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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupe B}}
\rfoot{\small{14 mai 2018}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}
{\Large\textbf{Brevet de technicien supérieur Métropole--Antilles--Guyane\\[5pt] 14 mai 2018 - groupement B}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

\parbox{0.6\linewidth}{Plusieurs projets de train à très haute vitesse et à propulsion
électromagnétique sont en préparation, à l'image de l'Hyperloop.

Les wagons ont une forme cylindrique et sont propulsés dans
un tube à basse pression afin de réduire les frottements.

Les ingénieurs ont fixé comme objectif impératif pour le
départ de chaque wagon d'atteindre en moins de 2 minutes
une vitesse instantanée de 400 km.h$^{-1}$.}
\hfill
\parbox{0.33\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,5)
%\psgrid
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](0.1,4)(0.3,3.4)(0.3,0.4)(0.5,0.3)(0.8,0.4)(0.8,3.4)(0.9,4.3)(0.8,4)(0.6,4.05)(0.5,4)(0.4,3.94)(0.2,3.82)
\pscircle(4.5,2){0.2cm}
\pscircle(4.1,1.87){0.2cm}
\pscircle(0.7,4.2){0.2cm}
\pscircle(0.3,4.07){0.2cm}
\pscircle(0.8,4.15){0.2cm}
\pscircle(0.4,4.02){0.2cm}
\psline(0.8,4.37)(4.6,2.2)
\psline(0.42,4.24)(4.2,2.04)
\psline(0.2,3.9)(4,1.66)
\psline[linecolor=lightgray](0.56,4)(4.36,1.82)
\end{pspicture}}

\bigskip

On note $f(t)$ la distance parcourue par le wagon, en km, à l'instant $t$ en minute. On suppose que $f$ est une fonction de la variable $t$ définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~3].

\smallskip

L'objectif de cel exercice est d'étudier la fonction $f$ afin de vérifier les caractéristiques du départ.

\begin{center}
\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}
\end{center}

\medskip

\textbf{A. Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

En appliquant les contraintes physiques et technologiques du projet, de premiers résultats
conduisent à l'équation différentielle (E) :

\[y' - 0,2y = 3 t,\]

où $y$ est une fonction inconnue de la variable réelle $t$, définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ et $y'$ la fonction dérivée de $y$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre sur $[0~;~+ \infty[$ l'équation différentielle $\left(\text{E}_0\right)$ :
\[y'- 0,2y = 0.\]

On fournit les formules suivantes :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Équation différentielle&Solutions sur un intervalle $I$\\ \hline
$y'+ay=0$&$y(t) = k \text{e}^{- at}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
\item  Vérifier que la fonction $g$, définie sur [0~;~3] par $g(t) = - 15 t - 75$, est une solution de l'équation différentielle (E).
\item  En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E).
\item  Au temps $t = 0,$ le wagon est au point de départ. Déterminer la fonction $f$ solution de (E) vérifiant la condition initiale $f(0) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B. Étude de fonction et application}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~3] par 

\[f(t) = 75\left(\text{e}^{0,2 t} - 1\right) - 15 t.\]

On désigne par $\mathcal{C}$ la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un logiciel de calcul formel fournit ci-dessous des expressions de $f(t)$ et de $f'(t)$. 

Ces résultats sont admis et peuvent être exploités dans les questions suivantes.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{c|X}\hline
\multicolumn{2}{l}{$\triangleright$ Calcul formel}\\ \hline
1 & $f(t) := 75*(\text{exp}(0.2*t)-1)- 15*t$\\
$\bullet$&$\to f(t) := 75 \text{e}^{\frac{1}{5}t} - 15t - 75$\\ \hline
2&$f'(t)$\\
\pscircle(0,0){3pt}&$\to 15\text{e}^{\frac{1}{5}t} - 15$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Résoudre sur l'intervalle [0~;~3] l'inéquation $f'(t) \geqslant 0$.
		\item En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~3].
 	\end{enumerate}
\item  On rappelle que $f(t)$ correspond à la distance parcourue par le wagon, en km, à l'instant $t$, en minute. 
	
Déterminer le nombre de kilomètres parcourus au bout d'une minute. Arrondir le
résultat au dixième.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La vitesse du wagon, en kilomètre par minute, à l'instant $t$, correspond à $f'(t)$.
		
En déduire la vitesse, en kilomètre par minute, du wagon à $t = 2$ minutes. Arrondir le
résultat au dixième.
		\item L'objectif des ingénieurs est-il atteint ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\item  \emph{Cette question est une question à choix multiples. Une seule réponse est exacte.\\
Recopier sur la copie la réponse qui vous paraît exacte. On ne demande aucune justification.\\
La réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne
rapporte ni n'enlève de point.}
	
\medskip
	
Une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $2$ est :
	
\begin{center}
%\renewcommand\arraystretch{1.8}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$y= 15\left(\text{e}^{0,4} - 1\right)t$& $y= 15\left(\text{e}^{0,4} - 1\right)t + 45 \text{e}^{0,4}$&$y = \left(\text{e}^{0,4} - 1\right)t + 45 \text{e}^{0,4} - 75$\rule[-4mm]{0mm}{10mm}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On fournit la formule suivante :

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
Une équation de la tangente au point d'abscisse $a$ de la courbe représentative de $f$ est :\\
\multicolumn{1}{|c|}{ $y= f'(a) (t - a) + f(a)$.}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{C. Calcul intégral}

\medskip

Afin d'aménager les futures gares dédiées à ce train à très haute vitesse, les architectes ont dessiné la pièce suivante, représentée dans un repère orthonormé avec pour unité
graphique $1$ mètre sur les deux axes.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-3.5,-0.5)(3.5,3.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.8pt,griddots=6]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-3.2,-0.5)(3.2,3.5)
\psline(-3,2.25)(3,2.25)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{3}{27 x mul x dup mul 2 mul 18 add div}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-3}{0}{27 x neg mul x dup mul 2 mul 18 add div}
\uput[dr](0,0){O}\uput[dr](3,0){P} \uput[ur](3,2.25){Q} \uput[ur](0,2.25){R}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-3}{0}{27 x neg mul x dup mul 2 mul 18 add div}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{3}{27 x mul x dup mul 2 mul 18 add div}
\psline(3,2.25)(-3,2.25)}
\end{pspicture*}
\end{center}

On désire calculer de façon précise l'aire $\mathcal{A}$ de la surface hachurée sur le dessin. Pour cela on dispose des données suivantes :

\begin{itemize}
\item la pièce est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées;
\item le bord supérieur correspond à la droite d'équation $y = 2,25$ ;
\item le bord inférieur droit correspond à la fonction $g$ définie sur l'intervalle [0~;~3] par :

\[g(x)  = \dfrac{27 x}{2x^2 + 18}.\]
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \emph{Cette question est une question à choix multiples. Une seule réponse est exacte.\\
Recopier sur la copie la réponse qui vous parait exacte. On ne demande aucune justification.\\
La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne
rapporte ni n'enlève de point.}

\smallskip

L'aire $\mathcal{A}_1$ du rectangle OPQR, en unité d'aire (u. a.). est égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
3 u. a. &5,25 u. a. &6,75 u. a.\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\item  Un logiciel de calcul formel donne ci-dessous une primitive de la fonction $g$ sur l'intervalle [0~;~3], où $c_1$ est une constante. Ce résultat est admis et pourra être exploité dans les questions suivantes.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{c|X}\hline
\multicolumn{2}{l}{$\triangleright$ Calcul formel}\\ \hline
1 & $g(x) := 27*x/(2*x\verb+^+2 + 18)$\\
$\bullet$&$\to g(x) := 27 \cdot \dfrac{x}{2x^2+18}$\\ \hline
2&intégrale$(g(x))$\\
\pscircle(0,0){3pt}&$\to \frac{27}{4} \ln \left(x^2 + 9\right) + c_1$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Calculer l'aire $\mathcal{A}_2$, en unité d'aire, de la partie du plan limitée par la courbe représentative de la fonction $g$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 3$.
\item  Déduire des questions précédentes l'aire $\mathcal{A}$ en unité d'aire. Arrondir au millième.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

Dans cet exercice, on s'intéresse à l'obsolescence programmée de certains modèles de
smartphone. L'obsolescence programmée consiste à limiter volontairement la durée de vie
d'un produit afin d'augmenter le taux de remplacement et accroître les profits.

\medskip

\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}

\medskip

\textbf{Dans cet exercice, sauf mention du contraire, les résultats sont à arrondir à }\boldmath$10^{- 3}$\unboldmath.

\bigskip

\textbf{A. Probabilités conditionnelles}

\medskip

Une association de consommateurs a observé deux types d'obsolescence programmée sur
une population de $200$ smartphones.

La première est l'obsolescence technique, lorsqu'un composant tombe en panne et ne peut
être remplacé. Cela concerne 3\,\% des smartphones étudiés.

La seconde est l'obsolescence logicielle, quand un produit est trop vieux pour être mis à jour et devient inutilisable ou incompatible. Cela concerne 8\,\% des smartphones étudiés.

De plus, parmi les smartphones touchés par l'obsolescence logicielle, on compte 12,5\,\% de
smartphones également touchés par l'obsolescence technique.

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide de l'énoncé, recopier sur la copie et compléter le tableau d'effectifs ci-dessous.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
Smartphones&touchés par l'obsolescence logicielle&non touchés par l'obsolescence logicielle
&Total\\ \hline
 touchés par l'obsolescence technique&&&\\ \hline
non touchés par l'obsolescence technique&&&\\ \hline
Total &&&200\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\item On prélève au hasard un smartphone parmi les $200$ étudiés.

On note $T$ l'évènement : \og le smartphone prélevé est touché par l'obsolescence technique \fg et $L$ l'évènement : \og le smartphone prélevé est touché par l'obsolescence logicielle \fg.

\smallskip

Donner, à partir des informations figurant dans l'énoncé, les probabilités $P(T)$, $P(L)$ et $P_L(T)$.

(On rappelle que $P_L(T)$ est la probabilité de l'évènement $T$ sachant que l'évènement $L$ est réalisé.)
\item À l'aide des questions précédentes, calculer les probabilités suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item $P(T \cap L)$.
		\item  $P(T \cup L)$.
		\item  $P_T(L)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B. Loi binomiale}

\medskip

On s'intéresse dans cette partie à un modèle précis de smartphone appelé modèle A. On
considère le stock de smartphones de modèle A tombés en panne et revenus au service
après vente d'une société. Dans ce stock, 4,5\,\% des smartphones sont non réparables
(c'est-à-dire que la panne est causée par un composant non remplaçable).

On prélève un lot de 50 smartphones au hasard dans ce stock. On suppose ce stock
suffisamment important pour assimiler ce prélèvement à des tirages avec remise. Soit $X$ la
variable aléatoire qui, à chaque lot de $50$ smartphones ainsi prélevé, associe le nombre de smartphones non réparables dans ce lot.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
\item  Calculer la probabilité que, dans un tel lot, tous les smartphones soient réparables.
\item  On considère l'algorithme suivant. Dans cet algorithme, on note binom$(n, p, i)$ la fonction permettant de calculer $P(X = i)$ lorsque $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$.

\begin{center}
\begin{tabular}{l}
$n \gets 50$\\
$p \gets 0,045$\\
$S \gets 0$\\
Pour $i$ allant de 0 à 3\\
\hspace{0.75cm}|$S \gets  S + \text{binom}(n, p, i)$\\
Fin Pour\\
\end{tabular}
\end{center}

\emph{Remarque : dans cet algorithme $n \gets 50$ signifie que la valeur $50$ est affectée à la variable $n$.}

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Faire tourner \og à la main \fg{} cet algorithme, puis recopier et compléter le tableau ci-dessous.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$i$& 0&1 &2 &3\\ \hline
$P(X = i)$& 0,1&&&\\ \hline
$S$& 0,1&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Quelle est la valeur de la variable $S$ à la fin de l'algorithme ? Interpréter le résultat.
 	\end{enumerate}
\item  Calculer l'espérance de la variable aléatoire $X$. Interpréter le résultat.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{C. Test d'hypothèse}

\medskip

L'opinion est très sensible à l'obsolescence programmée et, de ce fait, les fabricants de
smartphones aussi. D'après un sondage issu de la presse écrite, 55\,\% des français pensent
que la marque B pratique l'obsolescence programmée.

\smallskip

La marque B décide de vérifier ce résultat en organisant une enquête sur un échantillon
aléatoire de 180 personnes et en construisant un test d'hypothèse bilatéral pour valider ou
invalider le résultat du sondage paru dans la presse.

\smallskip

On note $F$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon aléatoire de $180$ personnes, associe la fréquence des personnes déclarant que la marque B pratique l'obsolescence programmée.

\smallskip

On suppose que $F$ suit la loi normale de moyenne $p$ inconnue et d'écart type $\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{180}}$.

L'hypothèse nulle $H_0$ est: \og $p = 0,55$ \fg.

L'hypothèse alternative $H_1$ est : \og $p \neq 0,55$ \fg.

Le seuil de signification du test est fixé à $5$\,\%.

\medskip

\begin{enumerate}
\item \emph{Cette question est une question à choix multiples. Une seule réponse est exacte.\\
Recopier sur la copie la réponse qui vous paraît exacte. On ne demande aucune justification.\\
La réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne
rapporte ni n'enlève de point.}

\smallskip

On admet que sous l'hypothèse nulle $H_0$, la variable aléatoire $F$ suit la loi normale de
moyenne $0,55$ et d'écart type $0,037$.

Soit $h$ le réel positif, tel que, sous l'hypothèse $H_0$,\: $P(0,55 - h \leqslant F \leqslant 0,55 + h) = 0,95$.

La valeur approchée de $h$ arrondie à $10^{-2}$ est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
0,05 &0,06 &0,07\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item  Énoncer la règle de décision du test.
\item  Sur l'échantillon aléatoire de $180$ personnes interrogées, $76$ pensent que la marque B pratique l'obsolescence programmée.

Quelle est la conclusion du test ?
\end{enumerate}
\end{document}