\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
%Merci à Biram Ndiaye pour le sujet
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-eucl,pst-node,pst-circ,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {BTS groupement B},
pdftitle = {14 mai 2018},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}  
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupe B}}
\rfoot{\small{13 mai 2019}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}
{\Large\textbf{Brevet de technicien supérieur groupement B \\[5pt] 13 mai 2019 - Métropole--Antilles--Guyane--Polynésie}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

Lorsqu'un fil électrique est parcouru par un courant électrique d'intensité constante, celui-ci s'échauffe par effet Joule et sa température varie en fonction du temps. On note $f(t)$ la température, exprimée en degré Celsius, du conducteur à l'instant $t$, exprimé en seconde, avec $t$ variant dans l'intervalle $[0~;~ + \infty[$.

\smallskip

Dans cet exercice, on se propose d'étudier l'évolution de la température du conducteur en
fonction du temps.

\begin{center}

\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}\end{center}

\medskip

\textbf{A. Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

À l'instant $t = 0$ de la mise sous tension, la température du conducteur est celle du milieu ambiant, c'est-à-dire 18 degrés Celsius. Ainsi, on a $f(0)) = 18$.

Dans les conditions de l'expérience, la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle $(E)$ :

\[y' + 0,05y = 2,\]

où $y$ est une fonction inconnue de la variable $t$, définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$, et
$y'$ sa fonction dérivée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation $\left(E_0\right)\: :\quad  y' + 0,05y = 0$.
		
On fournit la formule suivante :
		\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Équation différentielle &Solutions sur un intervalle $I$\\ \hline
$ay' + by = 0$&$f(t) = k \text{e}^{- \frac{b}{a} t}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Vérifier que la fonction $g$ définie sur v par $g(t) = 40$ est une solution de l'équation différentielle $(E)$.
		\item En déduire les solutions définies sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$ de l'équation différentielle $(E)$.
	\end{enumerate}
\item  On rappelle que la température initiale du conducteur est $18$\degres{} Celsius. 
	
Ainsi, la fonction $f$ exprimant la température du conducteur est la solution de l'équation différentielle $(E)$ vérifiant la condition initiale $f(0) = 18$.
	
Déterminer alors une expression de la fonction $f$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B. Étude de la fonction }\boldmath $f$\unboldmath

\medskip

On admet que la fonction donnant la température du conducteur est la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par:

\[f(t) = -22 \text{e}^{-0,05t} + 40.\]

On note $C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal.

La courbe $C$ est tracée en annexe.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On admet que $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \text{e}^{-0,05t} = 0$.
		
Déterminer alors la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
		\item En déduire que la courbe $C$ admet une asymptote dont on donnera une équation.

Tracer cette asymptote sur la représentation graphique donnée en annexe.
	\end{enumerate}
\item Un logiciel de calcul formel permet d'obtenir ci-dessous une expression de la dérivée $f'$ de la fonction $f$.

\begin{center}
\begin{tabular}{l  c l}
1			& $f(t)$			&:= $-22\text{e}^{-0,05t} + 40$\\
$\bullet$	&$\to  f(t)$ 		&:= $-22 \text{e}^{-\frac{1}{20}t} + 40$\\ \hline
2			&Dérivée$(f(t), t)$	&\\
			&$\to$				& $\dfrac{11}{10}\text{e}^{-\frac{1}{20}t}$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item En admettant ce résultat, étudier les variations de la fonction $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
		\item Dresser le tableau de variation de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}	
\item Ce même logiciel de calcul formel affiche la partie régulière du développement limité à l'ordre 2 de la fonction $f$ au voisinage de zéro.

\begin{center}
\begin{tabular}{l  l}\hline
3&PolynômeTaylor$(f(t), t, 0, 2)$\\
 &$\to 18 + \dfrac{11}{10} t - \dfrac{11}{400} t^2$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\emph{Les deux questions suivantes sont des questions à choix multiples. Une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie la réponse qui vous parait exacte. On ne demande aucune justification.\\
La réponse juste rapporte $0,5$ point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne
rapporte ni n'enlève de point.}

	\begin{enumerate}
		\item Une équation de la tangente $T$ à la courbe $C$ au point d'abscisse $0$ est :
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$y = 18$&$y = 18 + \dfrac{11}{10}t$&$y = 18 + \dfrac{11}{10}t - \dfrac{11}{400}t^2$\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		\item La vitesse de chauffe, exprimée en degré Celsius par seconde, à l'instant initial est égale à $f'(0)$. Cette vitesse vaut :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
18&$\dfrac{11}{10}$&$\dfrac{11}{400}$\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{C. Dépassement d'un seuil et algorithmique}

\medskip

On cherche à déterminer le premier instant $t$, en seconde, à partir duquel la température du fil du conducteur dépasse $21$\degres Celsius.

À cette fin, on considère l'algorithme suivant.

\begin{center}
\begin{tabular}{l}
$t \gets 0$\\
Tant que $f(t) \leqslant  21$\\
\hspace{1cm} $t \gets t + 1$\\ 
Fin de Tant que\\
\end{tabular}
\end{center}

Remarque : dans cet algorithme $t \gets 0$ signifie que $t$ prend la valeur $0$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire tourner cet algorithme \og à la main \fg{} en complétant le tableau donné en annexe.
\item Quelle sera la valeur contenue dans la variable $t$ à la fin de l'algorithme ?

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE 2 \hfill 10 points}

\medskip

\begin{center}\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.\\
Dans cet exercice, sauf mention du contraire, les résultats approchés
sont à arrondir à} \boldmath $10^{- 3}$.
\end{center}

Un grand constructeur d'engins de travaux publics sous-traite la fabrication de chenilles et de pneumatiques à deux entreprises.

\bigskip

\textbf{A. Événements indépendants}

\medskip

Dans la première entreprise, les pneumatiques produits sont soumis à un contrôle de qualité
constitué de deux tests. On prélève au hasard un pneumatique après contrôle.
On considère les évènements suivants:

$A$ : \og le pneumatique a validé le premier test \fg{} ;

$B$ : \og le pneumatique a validé le second test \fg.

Un pneumatique est dit conforme s'il a validé les deux tests.

Une étude statistique permet d'admettre que les probabilités des évènements $A$ et $B$ sont respectivement $P(A) = 0,98$ et $P(B) = 0,85$ et que les évènements $A$ et $B$ sont indépendants.

Calculer les probabilités des évènements suivants :

\medskip

\begin{enumerate}
\item $E_1$ : \og le pneumatique contrôlé est conforme \fg{} ;
\item $E_2$ : \og le pneumatique contrôlé n'est pas conforme \fg{} ;
\item $E_3$ : \og le pneumatique n'a validé qu'un seul des deux tests. \fg.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B. Loi exponentielle}

\medskip

Dans la seconde entreprise, fabriquant les chenilles, une machine est chargée d'assembler
le barbotin moteur des chenilles. Le barbotin moteur est la roue dentée, à une ou deux
rangées de dents, qui entraîne la chenille.

Cette machine nécessite d'être étalonnée très régulièrement. La durée de bon
fonctionnement entre deux étalonnages, exprimée en heure, de cette machine est modélisée
par une variable aléatoire $T$ de loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

On rappelle les formules suivantes :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\multicolumn{2}{|c|}{Loi exponentielle}\\ \hline
$P(T \leqslant t) = 1 - \text{e}^{- \lambda t}$&$E(T) = \dfrac{1}{\lambda}$\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Pour cette machine, l'entreprise a constaté que la durée moyenne de bon fonctionnement est $10$ heures.

Montrer que $\lambda = 0,1$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P(T \leqslant 20)$.
		\item Déterminer la probabilité que la durée de bon fonctionnement de cette machine dépasse $15$ heures.
 	\end{enumerate}
\item  Déterminer la durée médiane de bon fonctionnement, c'est-à-dire la valeur $t_0$ telle que:

\[P\left(T \leqslant t_0\right) = 0,5.\]

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{C. Intervalle de confiance}

\medskip

Pour assurer la suspension de l'engin, de nombreux systèmes peuvent être utilisés : des
balanciers, des bras oscillants, des ressorts à lames ou hélicoïdaux ou encore des
suspensions hydropneumatiques.

Dans cette partie, on s'intéresse à la fabrication de ressorts hélicoïdaux. On souhaite estimer la proportion $p$ de ressorts conformes dans l'ensemble de la production. Pour cela on prélève
au hasard un échantillon de $50$ ressorts parmi cette production (celle-ci est suffisamment
importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise).

On constate que $44$ ressorts de cet échantillon sont conformes aux normes fixées par le
cahier des charges.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner une estimation ponctuelle $f$ de la proportion inconnue $p$ des ressorts qui sont conformes aux normes dans l'ensemble de la production.
\item  Soit$F$ la variable aléatoire qui à tout échantillon de $50$ ressorts ainsi prélevé, associe la fréquence, dans cet échantillon, des ressorts conformes. On suppose que $F$ suit la loi normale de moyenne $p$ inconnue et d'écart type $\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}$.

On fournit la formule suivante:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
Intervalle de confiance d'une proportion à $95$\,\%\\ \hline
$\left[t - 1,96 \sqrt{\dfrac{f(1 - f)}{n}}~;~t + 1,96 \sqrt{\dfrac{f(1 - f)}{n}}\right]$\rule[-5mm]{0mm}{11mm}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer un intervalle de confiance centré sur $f$ de la proportion $p$ au niveau de confiance de $95$\,\%.
		\item Peut-on affirmer que $p$ est compris dans cet intervalle de confiance ? Pourquoi ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
	
\newpage
	
\begin{center}
\textbf{ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE}

\medskip

\textbf{EXERCICE 1 QUESTION B. 1. b.}

\medskip

\psset{xunit=0.1cm,yunit=0.2cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(112,45)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=5](0,0)(0,0)(112,45)
\multido{\n=0+2}{57}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,45)}
\multido{\n=0+10}{12}{\psline[linewidth=0.4pt](\n,0)(\n,45)}
\multido{\n=0+1}{46}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(112,\n)}
\multido{\n=0+5}{9}{\psline[linewidth=0.4pt](0,\n)(112,\n)}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{112}{40 22 2.71828 0.05 x mul exp div sub}
\end{pspicture}

\vspace{2cm}

\textbf{EXERCICE 1 QUESTION C. 1.}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Valeur de $t$& Valeur de $f(t)$ arrondie à $10^{-2}$&Condition $f(t) \leqslant 21$\\\hline
0&18&Vraie\\ \hline
1&&\\ \hline
&&\\ \hline
&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}