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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole}
\lfoot{\small{Groupement B3}}
\rfoot{\small{15 mai 2023}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~BTS Métropole 15 mai 2023~\decofourright\\[5pt]Groupement B3\footnote{Systèmes photoniques}}}

\textbf{Durée : 3 heures}

\vspace{0,25cm}

\textbf{L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé}

\textbf{L'usage de calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé}

\end{center}

\smallskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 8 points}

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(8.2,1.6)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.2,0)(7.9,0)(7.9,1.3)(7.6,1.3)(7.6,1)(2.4,1)(2.4,0.15)(0.2,0.15)
\psline(0,0.15)(8,0.15)
\psdots(0.2,0.15)(2.4,0.15)
\uput[u](0.2,0.15){O}\uput[ur](2.4,0.15){M}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(0.2,1.5)(2.4,1.5)\uput[d](1.3,1.5){$f(t)$}
\end{pspicture}
\end{center}

\smallskip

Lorsqu'un tiroir se referme, le fond du tiroir, marqué par le point M, se rapproche du
fond du meuble, marqué par le point O (voir croquis ci-dessus).

On note $f(t)$, la distance entre le point O et le point M, à l'instant $t$.

$f(t)$ est exprimée en centimètres et $t$ est exprimée en seconde.

L'instant $t = 0$ correspond au moment où l'utilisateur pousse le tiroir pour le fermer.

\medskip

\emph{Les deux parties peuvent être traitées de façon indépendante}

\medskip

\textbf{Partie A. Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On admet que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle :
\[\left(E_0\right) :\: y'' + 5y' + 4y = 0,\]
où $y$ est une fonction inconnue de la variable réelle $t$, définie et deux fois dérivable sur $[0~;~ + \infty[$, et où $y'$ est la dérivée de $y$ , et $y''$ la dérivée seconde de $y$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation: $r^2 + 5r + 4 = 0$.
		\item Résoudre l'équation différentielle $\left(E_0\right)$.
		
On fournit le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&Équation caractéristique:&Équation différentielle:\\
&$ar^2 + br + c = 0.$& $ay'' + by' + cy = 0$.\\ \hline
$\Delta > 0$&2 solutions réelles distinctes:

$r_1$ et $r_2$.&$y(t) = C_1\text{e}^{r_1 t}  + C_2\text{e}^{r_2 t}.$\\ \hline
$\Delta = 0$&1 solution réelle:

$r_0$.&$y(t) = \left(C_1 + C_2 t\right)\text{e}^{r_0 t}$.\\ \hline
$\Delta < 0$&\small 2 solutions complexes conjuguées.

$r_1 = \alpha + \text{i}\beta$ et $r_2 =  \alpha - \text{i}\beta$&\small $y(t) = \left[C_1 \cos(\beta t) + C_2 \sin (\beta t)\right]\text{e}^{\alpha t}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}
\item On suppose qu'à l'instant $t = 0$, la situation est la suivante :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] le point M est situé à $20$~cm du point O.
\item[$\bullet~~$] le point M se déplace vers le point O avec une vitesse négative égale
à $- 10$ cm·s$^{-1}$.
\end{itemize}

	\begin{enumerate}
		\item En déduire la valeur de $f(0)$ et celle de $f'(0)$.
		\item On admet que :
\[f(t) = \dfrac{70}{3} \text{e}^{-t} - \dfrac{10}{3} \text{e}^{-4t}.\]

Déterminer la valeur exacte de la distance OM, deux secondes après le début de la fermeture.

Le tiroir est dit fermé lorsque la distance OM est inférieure à 0,5~cm.

Le constructeur affirme que le tiroir est fermé en moins de $4$~secondes.

A-t-il raison ? Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B. Étude de fonction}

\medskip

On considère à nouveau la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par :
\[f(t) = \dfrac{70}{3} \text{e}^{-t} - \dfrac{10}{3} \text{e}^{-4t}.\]

On admet que la fonction $f$ est dérivable et on note $f'$ sa fonction dérivée.

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item On rappelle que $\displaystyle\lim_{u \to + \infty} \text{e}^{-u} = 0$. Déterminer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t)$.
		\item En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ possède une asymptote dont on donnera une équation.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $f'(t)$ pour tout $t$ appartenant à $[0~;~ +\infty[$.
		\item On admet que sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ on a $f'(t) < 0$.

En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.
	\end{enumerate}
\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
t $\gets$ 0\\
p $\gets$ 0,1\\
s $\gets$ 0,5\\
Tant que  (70/3)* e \^ (- t) - (10/3)*e \^ (- 4t) $>$ s\\
\qquad \quad t $\gets$ t + p\\
Fin Tant que.\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Recopier le tableau ci-dessous, au besoin en rajoutant des lignes, et compléter à partir de la ligne numéro 36 jusqu'a ce que l'algorithme s'arrête.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|c|>{\small}m{3cm}|>{\small}X|}\hline
ligne			&t		&Valeur de $f(t)$&Condition\\
 &&arrondie à $10^{-2}$&(70/3)* e \textasciicircum	 (- t) - (10/3)* e\textasciicircum (- 4t) > s\\ \hline
ligne numéro 0	&0		&20		&VRAIE\\ \hline
ligne numéro 1	&0,1	&18,88	&VRAIE\\ \hline
ligne numéro 2	&0,2	&17,61	&VRAIE\\ \hline
				&		&		&\\ \hline
ligne numéro 36	&3,6	&\ldots	&\ldots\\ \hline
ligne numéro 37	&3,7	&\ldots	&\ldots\\ \hline
ligne numéro 38	&3,8	&\ldots	&\ldots\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Quelle est la valeur de la variable $t$ à la fin de l'exécution de l'algorithme ? 
		
Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\item  On note $T$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.

Un logiciel de calcul formel donne la partie régulière du développement limité à l'ordre deux de la fonction $f$ au voisinage de zéro.

\begin{center}
$\begin{array}{|l|}\hline
f(t)\\
\to \dfrac{70}{3}\text{e}^{-t} - \dfrac{10}{3}\text{e}^{-4t}\\
\text{PolynômeTaylor}(f(t), t, 0, 2)\\
\to 20 - 10t - 15t^2\\ \hline
\end{array}$
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation de la tangente $T$.
	\end{enumerate}

Les questions \textbf{b.} et \textbf{c.} sont des questions à choix multiples.

Une seule  réponse est exacte. 

Recopier sur la copie la réponse qui vous parait exacte.

On ne demande aucune justification.

Une réponse fausse, une réponse multiple ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.

	\begin{enumerate}[resume]
		\item Le développement limité de $f$ à l'ordre deux au voisinage de zéro est :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\footnotesize}X|}}\hline
$20 -10t - 15t^2 + t^2\epsilon(t)$&$20-10t - 18t^2 + t^2\epsilon(t)$&$20-10t - 15t^2\epsilon(t)$&$ - 15t^2 + t^2\epsilon(t)$\\
Avec $\displaystyle\lim_{t \to 0}\epsilon(t) = 0$&Avec $\displaystyle\lim_{t \to 0}\epsilon(t) = 0$&Avec $\displaystyle\lim_{t \to 0}\epsilon(t) = 0$&Avec $\displaystyle\lim_{t \to 0}\epsilon(t) = 0$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item On s'intéresse à la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la tangente $T$ au
voisinage de $0$.

On peut affirmer que:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}\hline
La courbe $\mathcal{C}$ est au-dessus de la tangente $T$&La courbe $\mathcal{C}$ est en dessous de la tangente $T$.\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 2 \hfill 9 points}

\medskip

\begin{center}\emph{Un formulaire sur les séries de Fourier est placé à la fin de l'exercice.}\end{center}

\medskip

On considère une fonction $f$ pour laquelle on dispose des informations suivantes :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $f$ est périodique de période $T = 2 \pi$ ;
\item[$\bullet~~$] $f$ est paire.
\item[$\bullet~~$] $f(t) = \left\{\begin{array}{l c l}\dfrac{\pi}{2}&; &\text{si}\:\: 0 \leqslant t \leqslant \dfrac{\pi}{2}\\
\pi - t&;&\text{si}\:\: \dfrac{\pi}{2}\leqslant t \leqslant \pi
\end{array}\right.$
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Sur le document-réponse}, tracer la représentation graphique de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-2\pi~;~2\pi]$.
\item Démontrer que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1, on a : $b_n = 0$.
\item On note $\omega$ la pulsation associée à la fonction $f$. 

Déterminer $\omega$.
\item Démontrer que $a_0 = \dfrac{3\pi}{8}$.
\item Démontrer que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1, on a :

\[a_n = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos (nt)\:\text{d}t + \dfrac{2}{\pi}\displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} (\pi - t)\cos (nt)\:\text{d}t.\]

\item On admet que l'on a :
\[a_n = \dfrac{2}{\pi n^2}\left[\cos \left(\dfrac{n \pi}{2}\right) - \cos (n \pi)\right].\]

 Déterminer les valeurs exactes de $a_1$,\: $a_2$. et $a_3$.
\item En déduire que l'on a :
\[s_3(t) = \dfrac{3\pi}{8} +  \dfrac{2}{\pi}\cos (t) - \dfrac{1}{\pi}\cos (2t) + \dfrac{2}{9\pi}9 \cos (3t).\]

\item Indiquer, sans justifier, quelle est, parmi les trois courbes ci-après, celle qui est associée à la fonction $s_3$.

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=3.14159cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.2,-1)(2.2,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dx=5](0,0)(-2.2,-0)(2.2,2)
\psline[linewidth=1.25pt](-2.2,1.5)(-1.5,1.5)(-1,0)(-0.5,1.5)(0.5,1.5)(1,0)(1.5,1.5)(2,1.5)
\rput(0,-0.8){Courbe \no 1}
\multido{\n=-2+1}{5}{\uput[d](\n,0){\n$\pi$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{center}
\psset{xunit=3.14159cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.2,-1)(2.2,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dx=5](0,0)(-2.2,-0)(2.2,2)
\rput(0,-0.8){Courbe \no 2}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-2.2}{2.2}{x 3 mul RadtoDeg cos 0.5 mul 1.25 add}
\multido{\n=-2+1}{5}{\uput[d](\n,0){\n$\pi$}}
\end{pspicture}
\end{center}
%
\begin{center}
\psset{xunit=3.14159cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.2,-1)(2.2,2)
\multido{\n=-2+1}{5}{\uput[d](\n,0){\n$\pi$}}
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dx=5](0,0)(-2.2,-0)(2.2,2)
\psline[linewidth=1.25pt](-2.2,1.5)(-1.5,1.5)
\psline[linewidth=1.25pt](-0.5,1.5)(0.5,1.5)
\psline[linewidth=1.25pt](1.5,1.5)(2.2,1.5)
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-1.5}{-0.5}{x 3 mul  RadtoDeg cos 0.2 add}
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2.2}{2.2}{x RadtoDeg cos x 2 mul RadtoDeg cos 0.3183 mul sub x 3 mul RadtoDeg cos 0.0707 mul add 1.1781 add}
\pscurve(-1.5,1.5)(-1.25,1.2)(-1,0.2)(-0.75,1.2)(-0.5,1.5)
\pscurve(0.5,1.5)(0.75,1.2)(1,0.2)(1.25,1.2)(1.5,1.5)
\rput(0,-0.8){Courbe \no 3}
\end{pspicture}
\end{center}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item On note $P = \left(a_0\right)^2 + \dfrac12\left[\left(a_1\right)^2 + \left(a_2\right)^2 + \left(a_3\right)^2\right]$.

Donner une valeur approchée de $P$ à $10^{-4}$.
		\item  On note $F$ la valeur efficace de la fonction $f$.

On admet que $F^2 = \dfrac{\pi^2}{6}$.

On sait que $P$ constitue une approximation de $F^2$.

On cherche à déterminer le pourcentage d'erreur de cette approximation.

\textbf{Cette question est une question à choix multiples.\\
Une seule réponse est exacte.\\
Recopier sur la copie la réponse qui vous parait exacte.\\
On ne demande aucune justification.}

Le pourcentage d'erreur de cette approximation est égal à :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
0,1\,\%& 1\,\%& 10\,\%\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 3 \hfill 3 points}

\medskip

On s'intéresse à un magasin de vélos.

\bigskip

Le magasin décide de prêter gratuitement pendant un jour des vélos à des clients dans l'espoir que cela débouche sur une vente.

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]80\,\% des vélos prêtés sont des vélos électriques.

$\to $ Cela débouche sur une vente dans 60\,\% des cas.
\item[$\bullet~~$]20\,\% des vélos prêtés sont des vélos mécaniques.

$\to $ Cela débouche sur une vente dans 70\,\% des cas.
\end{itemize}

\medskip

On choisit au hasard l'un des vélos prêtés. On considère les évènements suivants : 

\begin{description}
\item[ ] $E$ : \og il s'agit d'un vélo électrique \fg
\item[ ] $V$ : \og le prêt débouche sur une vente\fg.
\end{description}

\medskip

\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-contre décrivant la situation.
\item Déterminer la probabilité $p(E \cap V)$.
\item Démontrer que la probabilité que le prêt débouche sur une vente est égale à $0,62$.
\item On considère un vélo pour lequel le prêt a débouché sur une vente.

Quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'un vélo électrique ? Arrondir à $10^{-3}$.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepB=3pt,levelsep=2.75cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$E$~~}\naput{0,8}}
	{\TR{$V$}\naput{\ldots}
	\TR{$\overline{V}$}\nbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$\overline{E}$~~}\nbput{\ldots}}
	{\TR{$V$}\naput{\ldots}
	\TR{$\overline{V}$}\nbput{\ldots}
	}
}
\end{center}
\end{minipage}

\newpage

\begin{center}\textbf{Formulaire sur les séries de Fourier}
\end{center}

\bigskip

$f$ est une fonction périodique de période $T$ et de pulsation $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$.

\bigskip

Développement en série de Fourier de la fonction $f$ :

\begin{center}
\[s(t) = a_0 + \displaystyle\sum_{n=1}^{+ \infty}\left[a_n \cos (n \omega t) + b_n \sin (n \omega t)\right].\]

\[s_n(t) = a_0 + \displaystyle\sum_{n=1}^{n}\left[a_n \cos (n \omega t) + b_n \sin (n \omega t) \right].\]

\[a_0 = \dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^T f(t)\:\text{d}t.\]

\[a_n = \dfrac{2}{T}\displaystyle\int_0^T f(t)\cos (n \omega t) \:\text{d}t\quad (n \geqslant 1).\]

\[b_n = \dfrac{2}{T}\displaystyle\int_0^T f(t)\sin (n \omega t) \:\text{d}t\quad (n \geqslant 1).\]

$\to$ Lorsque la fonction $f$ est paire, on a :

\[a_n = \dfrac{4}{T}\displaystyle\int_0^{\frac T2} f(t)\cos (n \omega t) \:\text{d}t.\quad (n \geqslant 1).\]
\end{center}
\newpage
\begin{center}\textbf{DOCUMENT--RÉPONSE\\[10pt]
(À rendre avec la copie)}\end{center}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 2}

\bigskip

\textbf{Question 1.}

\bigskip

\begin{center}
\psset{xunit=1.570796cm,yunit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-4.2,-1)(4.2,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dx=5,Dy=3](0,0)(-4.2,-2)(4.2,2)
\multido{\n=-4+1}{9}{\rput(\n,0){\psline(0,-0.1)(0,0.1)}}
%\multido{\n=-3+2.0}{4}{\uput[d](\n,0){\n$\frac{\pi}{2}$}}
\uput[l](0,1.5){$\frac{\pi}{2}$}
%\uput[l](0,-1.5){$-\frac{\pi}{2}$}
\uput[d](-3,0){$\frac{-3\pi}{2}$}\uput[d](-1,0){$\frac{-\pi}{2}$}
\uput[d](1,0){$\frac{\pi}{2}$}\uput[d](3,0){$\frac{3\pi}{2}$}
\uput[d](-4,0){$-2\pi$}\uput[d](-2,0){$-\pi$}
\uput[d](4,0){$2\pi$}\uput[d](2,0){$\pi$}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}