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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie Groupe A}}
\rfoot{\small{novembre 2009}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\novembre 2009 - groupement A Nouvelle-Calédonie}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 11 points}

\medskip
 
Dans cet exercice, on s'intéresse à un système entrée-sortie.

\medskip
 
Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.

\medskip
 
\textbf{Partie A : étude du système pour une entrée nulle}

\medskip
 
On considère l'équation différentielle du second ordre suivante : 

\[y''(t) + 4y(t) = 0 \quad  	\left(E_{1}\right)\]
	 
où $y$ désigne une fonction de la variable $t$, deux fois dérivable sur $\R$.
 
\begin{enumerate}
\item  Donner la solution générale de l'équation différentielle $\left(E_{1}\right)$ 
\item  Déterminer la fonction $f$ solution de l'équation différentielle $\left(E_{1}\right)$ qui vérifie : $f(0) = 0$ et $f'(0) = 2$.
 
La représentation graphique de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~2\pi]$ est donnée sur la feuille annexe. 
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B : étude du système soumis à un contrôle}

\medskip
 
Une fonction définie sur $\R$ est dite causale si elle est nulle sur l'intervalle $]-\infty~;~0[$.

On rappelle que la fonction échelon unité $U$ est définie sur $\R$ par : 

\[\left\{\begin{array}{l c l l}
U(t)&=&0& \text{si}~ t < 0\\
U(t)&=& 1& \text{si}~ t \geqslant  0\\
\end{array}\right.\]
 
\begin{enumerate}
\item  On considère la fonction causale $e$ définie sur l'ensemble des nombres réels par : 
\[e(t) =  2U(t) - 2U\left(t - \dfrac{\pi}{4}\right).\]
	\begin{enumerate}
		\item  Construire la courbe représentative de la fonction $e$ dans un repère orthogonal. 
		\item  On note $E$ la transformée de Laplace de la fonction $e$. Déterminer $E(p)$.
	\end{enumerate} 
\item On considère la fonction causale $s$, telle que :
 
\[4\int_{0}^t s(u)\:\text{d}u + s'(t) = e(t)\quad  \text{et}~  s\left(0^+\right) = 0.\]
 
On admet que la fonction $s$ et sa dérivée possèdent chacune une transformée de Laplace. 

\medskip

On note $S$ la transformée de Laplace de la fonction $s$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une expression de $S(p)$. 
		\item  En déduire une expression de $s(t)$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que :
\[\left\{\begin{array}{l c l l} 
s(t)& = &0&\text{si}~  t < 0\\
s(t)& =& \sin (2t) &\text{si}~0 \leqslant t < \dfrac{\pi}{4}\\
s(t)& =& \sin (2t) - \sin \left(2t - \dfrac{\pi}{2}\right)&\text{si}~t \geqslant \dfrac{\pi}{4}
\end{array}\right.\]
 
		\item Établir que : $s\left(\dfrac{\pi^{-}}{4}\right) =  s\left(\dfrac{\pi^{+}}{4}\right)$. 
		\item Vérifier que pour tout nombre réel $t$ supérieur ou égal à $\dfrac{\pi}{4}$, on a : 
		
\[s(t) = \sqrt{2} \cos \left[ 2\left(t - \dfrac{\pi}{8}\right)\right].\] 
		\item  Résoudre l'équation $s(t) = 0$ sur l'intervalle $[0~;~2\pi]$.
	\end{enumerate} 
\item Tracer successivement sur la feuille annexe, à rendre avec la copie, les courbes représentatives sur l'intervalle $[0~;~2\pi]$  des fonctions :

\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} 
	$t \longmapsto \cos (2t)$,& 	$t \longmapsto \cos \left[ 2\left(t - \dfrac{\pi}{8}\right)\right]$& et 	$t \longmapsto s(t)$.\\
\end{tabularx} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 9 points}

\medskip

\textbf{Partie A :}

\medskip 

Une entreprise fabrique des pièces en grande série.
 
Une pièce est conforme si sa masse, en grammes, est comprise entre 7,495 et 7,505.

L'entreprise dispose d'une machine de contrôle des pièces fabriquées.
 
On prélève une pièce au hasard dans la production.
 
On note $C$ l'évènement : \og la pièce est conforme \fg.
 
On note $A$ l'évènement : \og la pièce est acceptée par la machine de contrôle \fg.

Une étude statistique a été conduite, au terme de laquelle on a pu estimer que :

\[p(A) = 0,95,~ p\left(C \cap  \overline{A}\right)= 0,01 ~\text{et}~ p\left(\overline{C} \cap A\right) = 0,005.\] 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  À l'aide d'une phrase, donner la signification des évènements $C \cap  \overline{A}$ et $\overline{C} \cap A$.
		 
Ces deux évènements correspondent aux cas où la machine de contrôle commet une erreur. 
		\item  Calculer la probabilité que la machine de contrôle commette une erreur.
	\end{enumerate} 
\item Calculer la probabilité qu'une pièce soit conforme, sachant qu'elle est refusée.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B :} 

\medskip

On appelle $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeur la masse d'une pièce en grammes.
 
On admet que $X$ suit une loi normale de moyenne 7,5 et d'écart type $\sigma$ où $\sigma$ désigne un nombre réel strictement positif.
 
\begin{enumerate}
\item Après une période de production, la machine de fabrication a subi un dérèglement brutal.
 
L'écart type $\sigma$ vaut alors $0,015$.
 
On rappelle qu'une pièce est conforme si sa masse, en grammes, est comprise entre 7,495 et 7,505.
 \item Calculer la probabilité qu'une pièce soit conforme.
 \item Calculer la valeur de $\sigma$ pour laquelle la probabilité qu'une pièce soit conforme est égale à $0,99$. 
 \item Dans cette question, on suppose que $\sigma$ vaut 0,002 et qu'à la suite d'un nouveau dérèglement, la variable aléatoire $X$ suit la loi normale de moyenne $7,502$ et d'écart type $0,002$.
 
Calculer la probabilité qu'une pièce, choisie au hasard, soit conforme. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C :} 

\medskip

Les pièces acceptées par la machine de contrôle sont emballées par lots de 100. On prélève au hasard un lot. La production est suffisamment importante pour que l'on assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 100~pièces.
 
On considère la variable aléatoire $Y$ qui, à tout prélèvement de 100~pièces, associe le nombre de pièces non conformes.
 
On admet que la probabilité qu'une pièce soit non conforme, sachant qu'elle a été acceptée, est \nombre{0,0053}. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Justifier que la variable aléatoire $Y$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. 
		\item  Donner l'espérance mathématique de la variable aléatoire $Y$.
	\end{enumerate} 
\item Calculer la probabilité qu'un lot ne contienne que des pièces conformes. On donnera une valeur approchée du résultat à $10^{-2}$ près. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

%\vspace{0.5cm}

\psset{xunit=\pstRadUnit}
\psset{trigLabels=true,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-1,-20)(17,3)
\rput(6,3.25){\textbf{Annexe à rendre avec la copie}}
\uput[r](0,2.5){$y = f(t)$}
\uput[r](0,-3.5){$y = \cos (2t)$}\uput[l](0,-4){1}
\uput[r](0,-9.5){$y = \cos \left[2\left(t - \dfrac{\pi}{8}\right) \right]$}
\uput[l](0,-10){1}
\uput[r](0,-15.5){$y = s(t)$}\uput[l](0,-16){1}
\psline[xunit=0.5cm,linewidth=1.25pt](-0.35,-6)(17,-6)
\psline[xunit=0.5cm,linewidth=1.25pt](0,-8)(0,-4)
\psline[xunit=0.5cm,linewidth=1.25pt,linecolor=black](-0.35,-12)(17,-12)
\psline[xunit=0.5cm,linewidth=1.25pt](0,-14)(0,-10)
\psline[xunit=0.5cm,linewidth=1.25pt,linecolor=black](-0.35,-18)(17,-18)
\psline[xunit=0.5cm,linewidth=1.25pt](0,-20)(0,-16)
\psaxes[xunit=0.5cm,linewidth=1.25pt,trigLabelBase=8]{->}(0,0)(-0.35,-1)(17,3)
\psgrid[xunit=0.5cm,gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt](0,0)(-0.35,-20)(17,3)
\psplot[xunit=1.275cm,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0}{6.28}{ x 2 mul RadtoDeg  sin}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}