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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small BTS Nouvelle--Calédonie}
\lfoot{\small{Groupement B}}
\rfoot{\small{novembre 2007}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur session 2007~\decofourright\\Nouvelle--Calédonie  Groupement B}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill $10$ points}

\begin{center}
\emph{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante} \end{center}

Une usine fabrique un très grand nombre de billes en acier spécial destinées à un certain type de roulement.

\begin{center} \textbf{Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à} \boldmath  $10^{-3}$.\unboldmath \end{center}

\emph{A- Loi normale}

\medskip

Une bille est conforme lorsque sa masse, exprimée en grammes, appartient à l'intervalle [14,92~ ;~ 15,08].

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On noie $M$ la variable aléatoire qui, à chaque bille prélevée au hasard dans la production, associe sa masse. On suppose que la variable aléatoire $M$ suit la loi normale de moyenne $15$ et d'écart type $0,05$.

Calculer la probabilité qu'une bille prélevée au hasard dans la production soit conforme.
\item  La qualité de la production de billes étant jugée insuffisante, on effectue un réglage.

On note $M_{1}$ la variable aléatoire qui, à chaque bille prélevée dans la nouvelle production future, associe sa masse. On suppose que la variable aléatoire $M_{1}$, suit une loi normale de moyenne $15$ et d'écart type $\sigma_{1}$.

On admet que la probabilité qu'une bille prélevée au hasard dans la nouvelle production soit conforme est alors égale à $0,99$.

Déterminer $\sigma_{1}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{B. Loi binomiale et approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson}

\medskip

On note $E$ l'évènement : \og une bille prélevée au hasard dans un stock important est défectueuse \fg.

On suppose que $P(E) =  0,01$.

Les roulements fabriqués avec ce type de billes contiennent 36 billes.

On prélève au hasard 36~billes dans un stock suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 36 billes.

On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement ainsi défini associe le nombre de billes de ce prélèvement qui sont défectueuses.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la probabilité qu'il n'y ait aucune bille défectueuse dans un tel prélèvement.
		\item  Déterminer la probabilité qu'il y ait au plus deux billes défectueuses dans un tel prélèvement.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item On considère que la loi suivie par la variable aléatoire $X$ peut être approchée par une loi de Poisson.
		
Déterminer le paramètre $\lambda$ de cette loi de Poisson.
		\item On désigne par $Y$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre $\lambda$, où $\lambda$est la valeur obtenue au \textbf{a.}.

En utilisant cette loi de Poisson, calculer la probabilité qu'il y ait au plus deux billes défectueuses dans un tel prélèvement.			
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\medskip

\emph{C. Test d'hypothèse}

\medskip

Pour la fabrication des roulements, les billes doivent peser 15~grammes.
 
On se propose de construire un test d'hypothèse bilatéral pour contrôler la moyenne $m$ de l'ensemble des masses, en grammes, d'une importante livraison destinée au montage de roulements.
 
On note $Z$ la variable aléatoire qui à chaque bille prélevée au hasard dans la livraison associe sa masse.
 
La variable aléatoire $Z$ suit la loi normale de moyenne inconnue $m$ et d'écart type $0,05$.
 
On désigne par $\overline{Z}$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de 36~pièces prélevé dans la livraison, associe la moyenne des masses des billes de cet échantillon. La livraison est assez importante pour que l'on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages avec remise.
 
L'hypothèse nulle est $H_{0}~:~ m =  15$.
 
L'hypothèse alternative est $H_{1}~:~ m \neq 15$.
 
Le seuil de signification du test est fixé à $0,05$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Énoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test en admettant, sous l'hypothèse nulle $H_{0}$, le résultat suivant, qui n'a pas à être démontré.

\[P(14,984 \leqslant  \overline{Z} \leqslant  15,016) =  0,95.\]

\item  On prélève un échantillon aléatoire de 36~billes dans la livraison et on calcule la moyenne des masses des billes de cet échantillon.

On obtient $\overline{x} =  15,025$.

Peut-on conclure, au seuil de risque de 0,05 que la livraison est conforme pour la masse ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill $10$ points}

\begin{center} \textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante} \end{center}

\medskip

\emph{A. Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On considère l'équation différentielle 

\[(\text{E})~~: \qquad y' - y = - \dfrac{4\text{e}^{2x}}{\left(\text{e}^x  + 1\right)^2}\]

où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et dérivable sur $\R$, et $y'$ la fonction dérivée de $y$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer les solutions définies sur $\R$ de l'équation différentielle $\left(E_{0}\right)~~ : y' - y = 0$.
\item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = \dfrac{4\text{e}^x}{\text{e}^x + 1}$.

Démontrer que la fonction $g$ est une solution particulière de l'équation différentielle (E).
\item  En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E).
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\emph{B. Étude locale d'une fonction}

\medskip

On rappelle que $g$ est la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = \dfrac{4{\text{e}}^x}{\text{e}^x + 1}$	et on note $\mathcal{C}$ la courbe
représentative de $g$ dans un repère orthogonal.

On admet que le développement limite à l'ordre 3 de la fonction $x \longmapsto \dfrac{1}{\text{e}^x + 1}$	au voisinage de $0$ 
est :
 
\[\dfrac{1}{\text{e}^x + 1} = \dfrac{1}{2}- \dfrac{1}{4}x + \dfrac{1}{48}x^3	+ x^3 \epsilon(x)~~ \text{avec} \lim_{x \to 0} \epsilon(x) = 0.\]

(Ce résultat n'a pas à être démontré).

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que le développement limité à l'ordre 3 de la fonction $g$ au voisinage de $0$ est

\[g(x) = 2 + x - \dfrac{x^3}{12} + x^3 \epsilon(x)~~ \text{avec}~~ \displaystyle\lim_{x \to 0} \epsilon(x) = 0.\]

\item   En déduire une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ et la position relative de $T$ et $\mathcal{C}$ au voisinage de ce point.
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{C.  Calcul intégral}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On note $I = \displaystyle\int_{0}^1	g(x)\:\text{d}x$.
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que $I = 4 \ln \dfrac{\text{e} + 1}{2}$.
		\item  Donner la valeur approchée arrondie à $10^{-3}$ de $I$.
	\end{enumerate}
\item On note $J = \displaystyle\int_{0}^1 \left(2 + x - \dfrac{x^3}{12}\right)\: \text{d}x$.
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que $J = \dfrac{119}{48}$.
	48
		\item  Donner la valeur approchée arrondie à $10^{-3}$ de $J$.
		\item  Vérifier que les valeurs approchées de $I$ et de $J$ obtenues au 1. b. et au 2. b. diffèrent de $0,001$.
	 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}