%2001 F11 - F11' Musique
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{ulem}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{diagbox}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text}
\setlength\paperheight{297mm}
\setlength\paperwidth{210mm}
\setlength{\textheight}{24cm}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr} 
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat F 11 - F 11$'$ }
\lhead{\small Baccalauréat F 11 - F 11$'$ }
\lfoot{\small{France}}
\rfoot{\small{ juin 2001}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat F 11 - F 11$'$ France juin 2001~\decofourright} 
    
\vspace{0,5cm}

Durée : 2 heures \hfill Coefficient : 2

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice}  \hfill 8 points}

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :

\[f(x) = \text{e}^{x}\left( 4 - \text{e}^{x}\right).\]

On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$. On donne ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ dans le repère orthogonal d'unités graphiques $2$~cm pour les abscisses et $1$~cm pour les ordonnées.

\psset{xunit=2cm}
\begin{center} 
\begin{pspicture}(-4,-7)(2,5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-4,-7)(2,5)
\psline[linewidth=1.75pt]{->}(-4,0)(2,0)
\psline[linewidth=1.75pt]{->}(0,-7)(0,5)
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1}
\uput[l](0,3){A} \uput[ur](0.69,4){B} \uput[ur](1.4,0){E}
\uput[u](-3,0.2){$\mathcal{C}$}
\psline[linestyle=dotted](0.69315,0)(0.69315,4)
\psline[linewidth=2pt]{<->}(-0.5,2)(0.7,4.4) \psline[linewidth=2pt]{<->}(0.19,4)(1.19,4)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{1.673}{4 2.71828 x exp sub 2.71828 x exp mul}
\end{pspicture} 
\end{center}

\begin{enumerate}
 \item
 	 \begin{enumerate}
	 	\item Étudier la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
		\item Étudier la limite de la fonction $f$ en $- \infty$. Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
	\end{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
	 	\item Calculer $f'(x)$.
		\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe 
$\mathcal{C}$ au point A d'abscisse $0$.
		\item La tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point B est parallèle à l'axe des abscisses.
Calculer les coordonnées de B.
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\R$ puis dresser le tableau de variations de  la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
	 	 \item Calculer les coordonnées du point d'intersection E de la courbe $\mathcal{C}$ et de l'axe des abscisses.
		\item Par lecture graphique, déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 1$ puis encadrer chaque solution par deux entiers consécutifs.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\vspace{0,5cm}

\parbox[l]{0.4\textwidth}{\textbf{I} On considère une fonction $f$ définie sur  l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = ax + b + \dfrac{2}{x}\]

où $a$ et $b$ désignent deux nombres réels.

La courbe $\mathcal{C}$ ci-contre est la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal d'unité graphique $1$~cm.} \hfill
\parbox[r]{0.5\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-1,-2)(5,5)
\psgrid[gridlabelcolor=white](0,0)(-1,-2)(5,5)
\psline[linewidth=2pt](-1,0)(5,0)
\psline[linewidth=2pt](0,-2)(0,5)
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](1,0){1} \uput[dr](5,5){$\mathcal{C}$} 
\uput[l](0,1){1} \uput[d](1,0){1} \uput[ur](0.5,0){{\small 1/2}}
\psplot{0.209}{4.785}{2 x mul  5 sub 2 x div add}
\psline[linewidth=2pt]{<->}(0.5,-1)(1.5,-1)
\end{pspicture}}

\vspace{0,5cm}

\begin{enumerate} 
\item
	 \begin{enumerate}
	 	 \item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la  fonction $f$. Calculer $f'(x)$ en fonction de $a$ et $x$.
		\item Sachant que $f\left(\dfrac{1}{2}\right) =  0$ et $f'(1) = 0$, déterminer les valeurs des réels $a$ et $b$.
	\end{enumerate}
\item Par lecture graphique :
	\begin{enumerate}
		\item déterminer la valeur entière de $f(2)$.
		\item déterminer le signe de $f(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item On pose $a = 2$ et $b = - 5$.
	\begin{enumerate}
		 \item Montrer que la droite à $\Delta$ d'équation  $y = 2x - 5$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ en $+ \infty$.
		\item étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\Delta$ sur l'intervalle $]0~ ;~ + \infty[$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{II} On considère la fonction $g$ définie sur $]0~ ;~ + \infty[$ par :

\medskip

\[g(x) = x^2 - 5x + 2 \ln x.\]

On appelle $\Gamma$ sa courbe représentative dans un repère 
orthonormal \Oij{} d'unité  graphique $2$~cm.

\begin{enumerate}
\item
 	 \begin{enumerate}
	 	\item Déterminer la limite de la fonction $g$ en $0$. Que peut-on en déduire pour la courbe $\Gamma$ ?
		\item Vérifier que $g(x) = x\left(x - 5 + 2\dfrac{\ln x}{x} \right)$ puis déterminer la limite de la fonction $g$ en $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que la fonction $g$ est une primitive  de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. En déduire les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
		\item Donner les valeurs exactes de $g(1)$ et de $g(2)$ puis les valeurs décimales approchées à $10^{-1}$ près  par défaut.
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $g$.
	\end{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
	 	 \item Recopier et compléter le tableau à l'aide des valeurs décimales arrondies à $10^{- 1}$ de $g(x)$.

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{| *{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0,2	&1	&2,5	&	3,5	&4	& 5\\ \hline
$g(x)$	&		&	&		&		&	&\\ \hline
\end{tabularx}\]

		\item Tracer les tangentes à la courbe parallèles à l'axe des abscisses puis la courbe $\Gamma$ dans le repère \Oij.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}