\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% J'ai fait quelques modifications qui simplifie la 
%% saisie.
%% Olivier
%% Et quelques propositions de modifications
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Fourier permet de mettre toutes les majuscules du mode math en
% romain droit ! Il vaut mieux gérer au coup par coup les cas
% où il faut les mettre en italique !
\usepackage[upright]{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pstricks,pst-func,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eucl,pst-bezier}
\usepackage{pstricks-add}
\everymath{\displaystyle}
% Il vaudrait mieux utiliser geometry....
\usepackage{geometry}
\geometry{paper=a4paper,margin=3cm,includeheadfoot}
% \setlength\paperheight{297mm}
% \setlength\paperwidth{210mm}
% \setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(O,~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(O,~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(O,~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
%% MODIFICATION
%% Plus simple à taper et aussi clair.
%% Ci : Complexe i
\newcommand{\Ci}{\text{i}}
%%% MODIFICATION
%% Plus simple à taper et aussi clair.
%% \e : exponentielle
\newcommand{\e}{\text{e}}
%%% MODIFICATION
%%% dx avec d en romain
\newcommand*{\dd}{\text{d}\,}
%%% MODIFICATION
%% Une majuscule en italique : elle désigne une intégrale et non un
%% point.
\newcommand*{\I}{\mathit{I}}
%%% MODIFICATION
%% Une majuscule en italique : elle désigne une transformation.
%% 
\newcommand*{\primitive}{\mathit{F}}
%% MODIFICATION
%% Titre des exercices + mise en forme !
%% compteur des énoncés :
\newcounter{exoBac} \setcounter{exoBac}{1}
\newcommand{\titreExe}[2][]{\vspace{0.1cm}\par
  \textbf {\textsc{Exercice} \theexoBac{} #1 \hfill #2 points} \par
  \medskip \par 
  \refstepcounter{exoBac}} \newcounter{partieBac}[exoBac]
\newcommand{\partieBac}[1]
{\refstepcounter{partieBac}\vspace{0.5cm}\hfill\textbf{PARTIE  
    \Alph{partieBac}. #1}\hfill~\par}%
%% raccourcis vers l'intervalle :
\newcommand*{\intervalleA}{[-2\,;\,4]}
\newcommand*{\intervalleB}{[-2\,;\,-1]}
\newcommand*{\intervalleC}{[-1\,;\,4]}
\newcommand*{\intervalleD}{[-3\,;\,2]}
\newcommand*{\intervalleE}{[0\,;\,20]}
\usepackage{fancyhdr} 
% \textheight 23,5cm %\voffset -1.5cm
% \oddsidemargin 0pt 
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{31 mai 2012}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\cfoot{\thepage}
\begin{center}{\Large\textbf{{\decofourleft~Baccalauréat ES Amérique du Nord 31 mai 2012~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill }

\emph{Commun à tous les candidats}

\bigskip

Le tableau 1 donne l'évolution de la
population du Nigeria, en millions d'habitants.

\begin{table}[!h]
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\footnotesize}m{1.7cm}|*{10}{>{\scriptsize \centering \arraybackslash}X|}}
    \hline
    		&1960 	&1965 	&1970 	&1975 	&1980 	&1985 	&1990 	&1995 	&2000 &2005 \\\hline
Rang ($x_i$)&1 	&2 	&3 	&4 	&5 	&6 	&7 	&8 	& 9 & 10 \\\hline
Population en millions $\left(y_i\right)$ & 45,148  & 50,414 & 56,467 &
63,948 & 74,523 & 85,151 & 97,338 & 110,449 & 124,842 & 140,879 \\\hline
\end{tabularx}
\caption{ }
\label{tab_BacES_AmeriqueNord_12a}
\end{table}

\bigskip

\textbf{Partie 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans un premier temps, on décide de faire un ajustement
  affine. On note $(d)$ la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue
  par la méthode des moindres carrés. Déterminer en utilisant la
  calculatrice, une équation de $(d)$. On arrondira les coefficients
  au millième.\index{Moindres carrés}
\item À l'aide de cet ajustement, faire une estimation de la population
  du Nigeria en 2010.

On arrondira la réponse au millier d'habitants.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 2}

\medskip

\emph{Dans cette partie, toutes les valeurs seront arrondies au
  millième}.

\begin{enumerate}
\item En 2010 on a noté une population de 154,729 millions d'habitant
  au Nigeria. On décide alors de faire un ajustement
  exponentiel. Reproduire et compléter le tableau
  \ref{tab_BacES_AmeriqueNord_12a}. 

\begin{table}[!h]
\centering
\setlength{\tabcolsep}{1.5em}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.7cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Rang ($x_i$) 	& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\\hline
$z_i = y_i$ 	&   & 	&  	&  	&  	&  	&  	&  	&  	&  \\\hline
\end{tabularx}
\caption{ }
\label{tab_BacES_AmeriqueNord_12a}
\end{table}

\item Déterminer l'équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$
  obtenue par la méthode des moindres carrés.\index{Moindres carrés}
\item En déduire une expression de la population du Nigeria $y$ en
  millions d'habitants en fonction du rang de l'année $x$ sous la
  forme $y = k\e^{mx}$.
\item Utiliser cet ajustement pour estimer la population du Nigeria en 2010.
\item D'après l'Institut National d'Études Démographiques (INÉD) la
  population du Nigeria devrait dépasser $430$ millions d'habitants en
  2050. Que peut-on penser de cette estimation ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill }

\emph{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

Un restaurateur propose trois formules à midi.
\begin{description}
\item[Formule $A$ :] Plat du jour/Dessert/Café
\item[Formule $B$ :] Entrée/Plat du jour/Dessert/Café
\item[Formule $C$ :] Entrée/Plat du jour/Fromage/Dessert/Café
\end{description}

Lorsqu'un client se présente au restaurant pour le repas de midi, il
doit choisir une des trois formules proposées et commander ou non du
vin.

Le restaurateur a constaté qu'un client sur cinq choisit la formule
$A$, tandis qu'un client sur deux  choisit la formule $B$.

On sait aussi que :
\begin{itemize}
\item Parmi les clients qui choisissent la formule $A$, une personne
  sur quatre commande du vin.
\item Parmi les clients qui choisissent la formule $B$, deux personnes
  sur cinq commandent du vin.
\item Parmi les clients qui choisissent la formule $C$, deux personnes
  sur trois commandent du vin.
\end{itemize}

Un client se présente au restaurant pour le repas du midi. On
considère les évènements suivants :

\begin{description}
\item[A :] \og Le client choisit la formule $A$\fg
\item[B :] \og Le client choisit la formule $B$\fg
\item[C :] \og Le client choisit la formule $C$\fg
\item[V :] \og Le client commande du vin \fg
\end{description}

Si $A$ et $B$ désignent deux évènements d'une même expérience
aléatoire, alors on notera $\bar{A}$ l'évènement contraire de $A$,
$p(A)$ la probabilité de l'évènement $A$, et $p_A(B)$ la probabilité
de l'évènement $B$ sachant que $A$ est réalisé.

\begin{enumerate}
\item Calculer $p(C)$.
\item Reproduire et compléter l'arbre de probabilités donné par la
  figure \ref{fig_BacESAmeriqueNord_2012a}.\index{Arbre pondéré}
\begin{figure}[!h]
\centering
\begin{pspicture}(0,-3)(0,3)
\pstree[treemode=R,treesep=0.75,treefit=loose]{\Tdot}%
      {%
\pstree[treesep=0.75]{\TCircle{$A$}}{\TCircle{$V$}\TCircle{$\bar{V}$}}
\pstree[treesep=0.75]{\TCircle{$B$}}{\TCircle{$V$} \TCircle{$\bar{V}$}}
\pstree[treesep=0.75]{\TCircle{$C$}}{\TCircle{$V$} \TCircle{$\bar{V}$}}
      }%
    \end{pspicture}
    \caption{}\label{fig_BacESAmeriqueNord_2012a}
  \end{figure} 
\item Montrer que $p(V) = 0,45$.
\item Le client commande du vin. Calculer la probabilité qu'il ait
  choisi la formule $A$.
\item La formule $A$ coûte $8$ euros, la formule $B$ coûte $12$ euros
  et la formule $C$ coûte $15$ euros. Le vin  est en supplément et
  coûte $3$ euros. On note $D$ la dépense en euro d'un client venant
  manger le midi au restaurant.
  \begin{enumerate}
  \item Déterminer la loi de probabilité de $D$.
  \item Calculer la dépense moyenne par client en euro.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill }

\emph{Commun à tous les candidats}

\bigskip

\textbf{Partie 1}

\medskip

On donne la figure \ref{fig_BacESAmeriqueNord_2012b}, dans un repère
\Oij, la courbe représentative de $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$
définie et dérivable sur l'intervalle $[-2\,;\,4]$.

On nomme $A$ le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $-1$ et $B$ le point
de $\mathcal{C}$ d'abscisse $0$.

\begin{itemize}
\item La fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle
  $[-2\,;\,-1]$ et strictement décroissante sur l'intervalle $[-1\,;\,4]$.
\item La tangente à $\mathcal{C}$ au point $A$ est horizontale.
\item La droite $\mathcal{T}$ est la tangente à $\mathcal{C}$ et a
  pour équation $y = - x + 2$.
\end{itemize}

\medskip

\begin{figure}[!h]
\centering
\begin{pspicture}(-4,-2)(8,8)
\psset%
 {%
     xunit=2,%
     yunit=2,%
     algebraic=true,%
   }% 
   \psclip%
   {\psframe[linestyle=none](-2,-1)(4,4)}%
   {%
     % \pscustom
     % Aire sous une courbe
     % [%
     % fillstyle=solid,%
     % fillcolor=SandyBrown,%
     % ]%
     % {%
     % \psplot[plotpoints=250]{}{}{}%
     % \psline(,)(,)
     % }%
     \psplot[plotpoints=2500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{4}{(x+2)*EXP(-x)}%
     \psplot[plotpoints=2]{-2}{4}{-x+2}%
     \psplot[plotpoints=2,arrows=<->]{-1.5}{-0.5}{2.718}%
     \pstGeonode[PosAngle=90](-1,2.718){A}
     \pstGeonode[PosAngle=45](0,2){B}
     \uput{0.1}[90](3,0.25){$\mathcal{C}$}
     \uput{0.1}[45](2.5,-0.5){$\mathcal{T}$}
   }%
   \endpsclip% 
   \psaxes%
     [%
 ysubticks=4,%
 xsubticks=4,%
 labelsep=-0.5cm,%
 xlabelPos=axis,%
 ylabelPos=axis,%
 subticksize=1,%
 xticksize=-1 4,%
 yticksize=-2 4,%
 tickcolor=lightgray,%
      ]%
      {->}(0,0)(-2,-1)(4.,4.)[$x$,90][$y$,0]
 
\end{pspicture}
\caption{}\label{fig_BacESAmeriqueNord_2012b}
\end{figure} 
\emph{Pour chacune des questions qui suivent, toute réponse sera justifiée.}\index{Lectures graphiques}
\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Donner la valeur de $f'(-1)$.
		\item Déterminer le signe de $f'(2)$.
		\item Interpréter graphiquement $f'(0)$, puis donner sa valeur.
	\end{enumerate}
\item Encadrer, avec deux entiers consécutifs, l'intégrale
  $\displaystyle\int_{-1}^{0} f(x)\:\text{d}x$ exprimée en unités d'aire.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 2}

\medskip

La fonction de la \textbf{partie A} a pour expression $f(x) =  (x + 2)\e^{-x}$.\index{Fonction exponentielle}
\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte de l'ordonnée du point $A$ de la
  courbe $\mathcal{C}$.
\item Justifier par le calcul le sens de variation de la fonction $f$
  sur l'intervalle $[-2\,;\,4]$.
\item Montrer que la fonction $F$ définie sur l'intervalle
  $[-2\,;\,4]$ par $F = (- x - 3)\text{e}^{-x}$ est une primitive
  de $f$.\index{Primitive}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur exacte de l'intégrale $\int_{-1}^{0} f(x)
    \:\text{d}x$.\index{Intégrale}
		\item Vérifier la cohérence de ce résultat avec celui de la question
    2. de la partie A.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Exercice 3}

\emph{Commun à tous les candidats}

\emph{\textbf{Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes}}

\begin{enumerate}
\item On donne la figure \ref{fig_BacESAmeriqueNord_2012c}, dans un repère orthonormé, la courbe $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-3\,;\,2]$. La courbe $\mathcal{C}$ coupe l'axe des abscisses au point $A$ d'abscisse $- 2$ et au point $B$ d'abscisse $1$.
\begin{figure}[!h]
\centering
\begin{pspicture}(-4,-3)(3,5) 
\psset%
        {%
          xunit=1,%
          yunit=1,%
          algebraic=true,%
        }%
        \psaxes%
        [%
        Dx=1,%
        Dy=1,%
        ysubticks=2,%
        xsubticks=2,%
        labelsep=-0.5cm,%
        xlabelPos=axis,%
        ylabelPos=axis,%
        subticksize=1,%
        xticksize=-3 5,%
        yticksize=-4 3,%
        tickcolor=lightgray,%
        ]%
        {->}(0,0)(-4,-3)(3.25,5.25)[$x$,-90][$y$,180] \psclip%
        {\psframe[linestyle=none](-3,-3)(3,4)}%
        {%
          % \pscustom
          % Aire sous une courbe
          % [%
          % fillstyle=solid,%
          % fillcolor=SandyBrown,%
          % ]%
          % {%
          % \psplot[plotpoints=250]{}{}{}%
          % \psline(,)(,)
          % }%
\psplot[plotpoints=2500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{2}{(x+2)*(x-1)}%
\pstGeonode[PosAngle=90](-2,0){A}
\pstGeonode[PosAngle=90](1,0){B} }%
\endpsclip%
\end{pspicture}
\caption{}\label{fig_BacESAmeriqueNord_2012c}
\end{figure}

Parmi les trois courbes proposées dans le tableau
\ref{tab_BacESAmeriqueNord_2012c}, déterminer la seule qui représente
une primitive de $f$ sur l'intervalle $[-1\,;\,4]$. Justifier la
réponse.\index{Lectures graphiques}

\begin{table}[!h]
 \centering
\begin{tabular}{|*{3}{c|}}
\hline
    a & b & c \\\hline
    % Le sujet proposé des courbes de tailles hauteurs différentes.
    % Uniformisation des trois hauteurs
    % pour que cela tienne sur la page les unités sont divisée par 2.
    % Première courbe
\begin{pspicture}(-2,-1.5)(1.75,4.5) 
        \psset%
        {%
          xunit=0.5,%
          yunit=0.5,%
          algebraic=true,%
        }%
        \psaxes%
        [%
        Dx=2,%
        Dy=2,%
        ysubticks=4,%
        xsubticks=4,%
        labelsep=-0.25cm,%
        xlabelPos=axis,%
        ylabelPos=axis,%
        subticksize=1,%
        xticksize=-3 8,%
        yticksize=-4 3,%
        tickcolor=black,%
        subtickcolor=lightgray,%
         labelFontSize=\scriptstyle]%
        {->}(0,0)(-4,-3)(3.5,8.5)[$x$,-90][$y$,180] 
        \psclip%
        {\psframe[linestyle=none](-4,-3)(2,8)}%
        {%
          % \pscustom
          % Aire sous une courbe
          % [%
          % fillstyle=solid,%
          % fillcolor=SandyBrown,%
          % ]%
          % {%
          % \psplot[plotpoints=250]{}{}{}%
          % \psline(,)(,)
          % }%
          \psplot[plotpoints=250]{-3}{2}{x^3/3+x^2/2-2*x}%
        }%
        \endpsclip%
      \end{pspicture}
      &
      % Deuxième courbe
      \begin{pspicture}(-2,-1.5)(1.75,4.5) 
        \psset%
        {%
          xunit=0.5,%
          yunit=0.5,%
          algebraic=true,%
        }%
        \psaxes%
        [%
        Dx=2,%
        Dy=2,%
        ysubticks=4,%
        xsubticks=4,%
        labelsep=-0.25cm,%
        xlabelPos=axis,%
        ylabelPos=axis,%
        subticksize=1,%
        xticksize=-3 8,%
        yticksize=-4 3,%
        tickcolor=black,%
        subtickcolor=lightgray,%
        labelFontSize=\scriptstyle
        ]%
        {->}(0,0)(-4,-3)(3.5,8.5)[$x$,-90][$y$,180] 
        \psclip%
        {\psframe[linestyle=none](-4,-3)(3,8)}%
        {%
          % \pscustom
          % Aire sous une courbe
          % [%
          % fillstyle=solid,%
          % fillcolor=SandyBrown,%
          % ]%
          % {%
          % \psplot[plotpoints=250]{}{}{}%
          % \psline(,)(,)
          % }%
          %
          \psbezier(-3,-3)(-2.5,-0.5)(-2.25,-0.5)(-2,-0.5)
          \psbezier(-2,-0.5)(-1.75,-0.5)(-1.5,-1)(-1,-1)
          \psbezier(-1,-1)(-0.5,-1)(-0.25,-0.5)(0,0)
          \psbezier(0,0)(0.5,1)(1,2)(2,7)
          % cette courbe est proche mais pas n'est pas assez proche de l'originale
          %\psplot[plotpoints=250]{-3}{2}{1.2*(x^3/3+1.5*x^2+2*x)}%
          }
        \endpsclip%
      \end{pspicture}
      &
      % troisième courbe
      \begin{pspicture}(-2,-1.5)(2,4.5) 
        \psset%
        {%
          xunit=0.5,%
          yunit=0.5,%
          algebraic=true,%
        }%
        \psaxes%
        [%
        Dx=2,%
        Dy=2,%
        ysubticks=4,%
        xsubticks=4,%
        labelsep=-0.25cm,%
        xlabelPos=axis,%
        ylabelPos=axis,%
        subticksize=1,%
        xticksize=-3 8,%
        yticksize=-4 3,%
        tickcolor=black,%
        subtickcolor=lightgray,%
        labelFontSize=\scriptstyle
        ]%
        {->}(0,0)(-4,-3)(3.5,8.5)[$x$,-90][$y$,180] 
        \psclip%
        {\psframe[linestyle=none](-4,-3)(2,8)}%
        {%
          % \pscustom
          % Aire sous une courbe
          % [%
          % fillstyle=solid,%
          % fillcolor=SandyBrown,%
          % ]%
          % {%
          % \psplot[plotpoints=250]{}{}{}%
          % \psline(,)(,)
          % }%
          \psplot[plotpoints=250]{-3}{2}{sqrt(x+3)-1.6}%
          }
          \endpsclip%
\end{pspicture}
      \\
      \hline
\end{tabular}
\caption{ }\label{tab_BacESAmeriqueNord_2012c}
\end{table}
\item On admet que l'équation $x\e^{2x-1} = 2$ n'a qu'un seule
  solution $\alpha$ dans $\R$.

Déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même
    incomplète, sera prise en compte}.
  
Une entreprise produit des tentes. Le coût marginal, en milliers
  d'euros, pour la production de $x$ centaines de tentes, avec $0 \leqslant
  x \leqslant 20$ est donné par la fonction $f$ définie sur l'intervalle
  $[0\,;\,20]$ par $f(x) = \dfrac{2}{x+1}$.

On note $C$ la fonction qui représente le coût total exprimé en
  milliers d'euros pour une production de $x$ centaines de tentes,
  avec $0 \leqslant x \leqslant 20$.

Sachant que les coûts fixes sont de \np{5000} euros, déterminer le  coût total en milliers d'euros, pour une production de $x$ centaines  de tentes, avec $0 \leqslant x \leqslant 20$.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill }

\emph{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

Un club de sport propose à ses adhérents deux types d'abonnements :
l'abonnement de type $A$ qui donne accès à toutes les installations
sportives et l'abonnement de type $B$ qui, en plus de toutes les
installations sportives, donne accès au saune, au hammam et au
jacuzzi. Chaque adhérent doit choisir un des deux abonnements.

La première année, en 2010, $80$\,\% des adhérents ont choisi
l'abonnement de type $A$. On considère ensuite que $30$\,\% des
adhérents ayant un abonnement de type $A$ changent d'abonnement pour
l'année suivante, tandis que $10$\,\% des adhérents ayant un abonnement
de type $B$ changent d'abonnement pour l'année suivante.

Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $0$.

On note $a_n$ la proportion des adhérents ayant un abonnement de type
$A$ l'année $2010+n$.

On note $b_n$ la proportion des adhérents ayant un abonnement de type
$B$ l'année $2010+n$.

Enfin on note enfin $P_n = \left(a_n \quad  b_n\right)$ la matrice
traduisant l'état probabiliste de l'année $2010+n$.\index{Matrices}

\begin{enumerate}
\item Déterminer $P_0$.
\item Représenter la situation par un graphe probabiliste.\index{Graphe probabiliste}
\item Écrire la matrice de transition $M$ associée à cette situation.
\item Déterminer la matrice $P_2$. En déduire la probabilité pour
  qu'en 2012 un adhérent choisisse l'abonnement de type $A$.
\item Montrer que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $0$,
  $a_{n+1} = 0,6a_n+0,1$.\index{Suite}
\item Pour toute entier $n$ supérieur ou égal à $0$, on pose
  $u_n=4a_n-1$.

  Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison
  $0,6$. Préciser son premier terme.\index{Suite géométrique}
\item Pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $0$, exprimer $u_n$ en
  fonction de $n$. En déduire $a_n$ en fonction de $n$.
\item Calculer la limite de la suite $\left(a_n\right)$ puis interpréter
  concrètement ce résultat.
\end{enumerate}
\end{document}