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%Tapuscrit : Denis Vergès
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%Macro Tableau par Rémi Deniaud
\newcommand{\tableau}[6]{
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\hfil}m{0.8cm}<{\hfil}||m{9cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
	\hline
\addtocounter{Denis}{1}\theDenis & \hypertarget{#6}{}\hyperlink{#1}{#2} & #3 & #4 & #5 \\ \hline
\end{tabularx}}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Algorithmes}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\vspace{-0.8cm}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S  Algorithmes~\decofourright }}

\textbf{Index des exercices contenant un algorithme de  juin 2012 à novembre 2013} 

\vspace{0,5cm}Tapuscrit : \textsc{Denis Vergès}\end{center}

\newcounter{Denis}[Denis]
\setcounter{Denis}{0} 

\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\hfil}m{0.8cm}<{\hfil}||m{9cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
	\hline
\No & Lieu et date&& &\\ \hline \hline
\end{tabularx}
\tableau{Polynesie_juin2012}{Polynésie juin  2012}{}{}{}{Polynesie_juin2012_retour}
\tableau{Metropole_juin2012}{Métropole juin  2012}{}{}{}{Metropole_juin2012_retour}
\tableau{Etrangers_juin2012}{Centres étrangers juin  2012}{}{}{}{Etrangers_juin2012_retour}
\tableau{Asie_juin2012}{Asie juin  2012}{}{}{}{Asie_juin2012_retour}
\tableau{Antilles_juin2012}{Antilles--Guyane  2012}{}{}{}{Antilles_juin2012_retour}
\tableau{Antilles1_juin2012}{Antilles--Guyane (spécialité)  2012}{}{}{}{Antilles1_juin2012_retour}
\tableau{Liban_mai2012}{Liban mai  2012}{}{}{}{Liban_mai2012_retour}
\tableau{AmeriqueNord_mai2012}{Amérique du Nord mai  2012}{}{}{}{AmeriqueNord_mai2012_retour}
\tableau{Pondichery_avril2012}{Pondichéry avril  2012}{}{}{}{Pondichery_avril2012_retour}
\tableau{Pondichery_avril2013}{Pondichéry avril  2013}{}{}{}{Pondichery_avril2013_retour}
\tableau{Amerique Nord_mai2013}{Amérique du Nord mai  2013}{}{}{}{Amerique Nord_mai2013_retour}
\tableau{Liban_mai2013}{Liban mai  2013}{}{}{}{Liban_mai2013_retour}
\tableau{Antilles_juin2013}{Antilles-Guyane juin   2013}{}{}{}{Antilles_juin2013_retour}
\tableau{Centresetrangers_juin2013}{Centres étrangers juin  2013}{}{}{}{Centresetrangers_juin2013_retour}
\tableau{Asie_juin2013}{Asie juin  2013}{}{}{}{Asie_juin2013_retour}
\tableau{Metropole_juin2013}{Métropole juin  2013}{}{}{}{Metropole_juin2013_retour}
\tableau{Antillessept}{Antilles--Guyane septembre 2013}{}{}{}{Antillessept_retour}
\tableau{Antillesseptspe}{Antilles--Guyane septembre (spécialité 2013}{}{}{}{Antillesseptspe_retour}
\tableau{Metropolesept}{Métropole septembre 2013}{}{}{}{Metropolesept_retour}
\tableau{Caledonienov}{Nouvelle-Calédonie novembre 2013}{}{}{}{Caledonienov_retour}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Début des sujets
\newpage
%%%%%%%% Polynésie juin 2012
\hypertarget{Polynesie_juin2012}{}

\section{\textbf{Polynésie juin 2012}}

\medskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}

\medskip

On considère l'algorithme suivant :

Les variables sont le réel $U$ et les entiers naturels $k$ et $N$.\\
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{7cm}
\textbf{Entrée}

Saisir le nombre entier naturel non nul $N$.\\

\noindent \textbf{Traitement}\\
Affecter à $U$ la valeur 0\\
Pour $k$ allant de 0 à $N -1$\\

\noindent Affecter à $U$ la valeur $3U - 2k + 3$\\
Fin pour\\

\noindent \textbf{Sortie}\\
\noindent Afficher $U$
\end{minipage}}
\end{center}
\medskip

Quel est l'affichage en sortie lorsque $N = 3$ ?

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

\medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=0$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=3u_n-2n+3$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant n$.
		\item En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
\item Soit la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n - n +1$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique.

		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 3^n + n -1$.
	\end{enumerate}
\item Soit $p$ un entier naturel non nul.
	\begin{enumerate}
		\item Pourquoi peut-on affirmer qu'il existe au moins un entier $n_0$ tel que, pour tout $n\geqslant n_0$, $u_n\geqslant 10^p$ ?
		
On s'intéresse maintenant au plus petit entier $n_0$.
		\item Justifier que $n_0\leqslant 3p$.
		\item Déterminer à l'aide de la calculatrice cet entier $n_0$ pour la valeur $p = 3$.
		\item Proposer un algorithme qui, pour une valeur de $p$ donnée en entrée, affiche en sortie la valeur du plus petit entier $n_0$ tel que, pour tout $n\geqslant n_0$ , on ait $u_n\geqslant 10^p$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%  fin Polynésie juin 2012  %%%%%%%
\newpage
%%%%%%%% Métropole juin 2012   %%%%%%%%%%
\hypertarget{Metropole_juin2012}{}

\section{\textbf{Métropole juin 2012}}

\medskip

\emph{Il est possible de traiter la partie C sans avoir traité la partie B.}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
On désigne par $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$ par 

\[f(x) = \dfrac{1}{x + 1} + \ln \left(\dfrac{x}{x + 1}\right).\]
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. 
\item Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[1~;~+\infty[$, $f^{\prime}(x) = \dfrac{1}{x(x+1)^2}$.
 
Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
\item En déduire le signe de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier strictement positif par 

\[u_{n} = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{n} - \ln n.\] 

\begin{enumerate}
\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|p{2.5cm}p{6cm}|}\hline 
Variables:&$i$ et $n$ sont des entiers naturels.\\
& $u$ est un réel.\\
Entrée:&Demander à l'utilisateur la valeur de $n$.\\
Initialisation:& Affecter à $u$ la valeur 0.\\
Traitement:&Pour $i$ variant de 1 à $n$.\\
&\hspace{0,5cm}$\left\vert \text{Affecter à}\: u\: \text{la valeur} \:u + \dfrac{1}{i}\right.$\\
Sortie : &Afficher $u$.\\ \hline
\end{tabular} 
\end{center}
 
Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l'utilisateur entre la valeur $n = 3$. 
\item Recopier et compléter l'algorithme précédent afin qu'il affiche la valeur de $u_{n}$ lorsque l'utilisateur entre la valeur de $n$. 
\item Voici les résultats fournis par l'algorithme modifié, arrondis à $10^{-3}$. 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$& 4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &100 &\np{1000} &\np{1500} &\np{2000}\\ \hline 
$u_{n}$&0,697&0,674& 0,658 &0,647 &0,638 &0,632 &0,626 &0,582 &0,578 &0,578& 0,577\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
À l'aide de ce tableau, formuler des conjectures sur le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$ et son éventuelle convergence. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
Cette partie peut être traitée indépendamment de la partie B.
 
Elle permet de démontrer les conjectures formulées à propos de la suite $\left(u_{n}\right)$ telle que pour tout entier strictement positif $n$, 

\[u_{n} = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{n} - \ln n.\] 

\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout entier strictement positif $n$, 

\[u_{n+1} - u_{n} = f(n)\]
 
où $f$ est la fonction définie dans la partie A. 

En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Soit $k$ un entier strictement positif. 

Justifier l'inégalité $\displaystyle\int_{k}^{k + 1} \left(\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{x}\right)\:\text{d}x \geqslant 0$.

En déduire que $\displaystyle\int_{k}^{k + 1} \dfrac{1}{x}\:\text{d}x \leqslant \dfrac{1}{k}$.

Démontrer l'inégalité 	$\ln (k + 1) - \ln k \leqslant  \dfrac{1}{k}$ \quad (1). 
		\item Écrire l'inégalité (1) en remplaçant successivement $k$ par 1, 2, \ldots , $n$ et démontrer que pour tout entier strictement positif $n$, 

\[\ln (n + 1) \leqslant  1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{n}.\]
  
		\item En déduire que pour tout entier strictement positif $n,u_{n} \geqslant  0$.
	\end{enumerate} 
\item  Prouver que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. On ne demande pas de calculer sa limite. 
\end{enumerate}
%%%%%%%%  fin Métropole juin 2012  %%%%%%%
\newpage
%%%%%%%% Centres étrangers juin 2012   %%%%%%%%%%
\hypertarget{Etrangers_juin2012}{}

\section{\textbf{Centres étrangers juin 2012}}

\medskip

On considère la suite $\left(I_n\right)$ définie pour  $n$ entier naturel non nul par : \[I_n=\int_0^1x^n\mathrm{e}^{x^2}\text{ d}x.\]
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=x\mathrm{e}^{x^2}$.\\
Démontrer que la fonction $G$ définie sur $\mathbb{R}$ par $G(x)=\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{x^2}$ est une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $g$.

\item En déduire la valeur de $I_1$.

\item À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que, pour tout entier naturel $n$, supérieur ou égal à 1, on a : \[I_{n+2}=\dfrac{1}{2}\mathrm{e}-\dfrac{n+1}{2}I_n.\]

\item Calculer $I_3$ et $I_5$.
\end{enumerate}

\item On considère l'algorithme suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|*2{l|}} \hline
\multirow{2}{*}\textbf{Initialisation}&Affecter à $n$ la valeur 1\\
&Affecter à $u$ la valeur $\dfrac{1}{2}\mathrm{e}-\dfrac{1}{2}$\\
\hline
\multirow{3}{*}&Tant que $n<21$\\
&\qquad Affecter à $u$ la valeur $\dfrac{1}{2}\mathrm{e}-\dfrac{n+1}{2}u$\\
&\qquad Affecter à $n$ la valeur $n+2$\\
\hline
\textbf{Sortie}&Afficher $u$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Quel terme de la suite $\left(I_n\right)$ obtient-on en sortie de cet algorithme ?

\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, $I_n\geqslant 0$.

\item Montrer que la suite $\left(I_n\right)$ est décroissante.

\item En déduire que la suite $\left(I_n\right)$ est convergente.
On note $\ell$ sa limite.
\end{enumerate}

\item \emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}.\\
\noindent Déterminer la valeur de $\ell$.
\end{enumerate}
%%%%%%%%  fin Centres étrangers juin 2012  %%%%%%%
\newpage
%%%%%%%% Asie juin 2012   %%%%%%%%%%
\hypertarget{Asie_juin2012}{}

\section{\textbf{Asie juin 2012}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère l'algorithme suivant :

\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}X|p{8cm}|}\hline
&Saisir un réel strictement positif non nul $a$\\ 
\textbf{Entrée}& Saisir un réel strictement positif non nul $b\: (b > a)$\\ 
&Saisir un entier naturel non nul $N$\\ \hline 
&Affecter à $u$ la valeur $a$\\ 
\textbf{Initialisation}& Affecter à $v$ la valeur $b$\\ 
&Affecter à $n$ la valeur $0$\\\hline 
&TANT QUE $n < N$\\ 
&\hspace{1cm}Affecter à $n$ la valeur $n + 1$\\ 
&\hspace{1cm}Affecter à $u$ la valeur $\dfrac{a + b}{2}$\\ 
\textbf{Traitement}&\hspace{1cm} Affecter à $v$ la valeur $\sqrt{\dfrac{a^2 + b^2}{2}}$\\ 
&\hspace{1cm}Affecter à $a$ la valeur $u$\\ 
&\hspace{1cm}Affecter à $b$ la valeur $v$\\ \hline 
\textbf{Sortie}& Afficher $u$,  afficher $v$\\ \hline
\end{tabularx} 

\medskip

Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour $a = 4, b = 9 et N = 2$. Les valeurs successives de $u$ et $v$ seront arrondies au millième.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$n$& $a$&$b$ &$u$&$v$\\ \hline  
0 &4 &9&&\\ \hline 
1&&&&\\ \hline 
2&&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

Dans la suite, $a$ et $b$ sont deux réels tels que $0 < a < b$.
 
On considère les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ définies par : 

$u_{~0} = a, v_{0} = b$ et, pour tout entier naturel $n$ : 
 
\[u_{n+1} = \dfrac{u_{n}+ v_{n}}{2}\quad \text{et}\quad v_{n+1} = \sqrt{\dfrac{u_{n}^2 + v_{n}^2}{2}}\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} > 0$ et 
		
$v_{n} > 0$. 
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ : $v^2_{n+1} - u^2_{n+1} = \left(\dfrac{u_{n} - v_{n}}{2}\right)^2$.
		
En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n} \leqslant  v_{n}$. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante. 
		\item Comparer $v^2_{n+1}$ et $v^2_{n}$. En déduire le sens de variation de la suite $\left(v_{n}\right)$.
	\end{enumerate} 
\item Démontrer que les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont convergentes. 
\end{enumerate}
%%%%%%%%  fin Asie juin 2012  %%%%%%%%%%
\newpage
%%%%%%%% Antilles-Guyane juin 2012   %%%%%%%%%%
\hypertarget{Antilles_juin2012}{}

\section{\textbf{Antilles-Guyane juin 2012}}

\medskip

\emph{Les cinq questions sont indépendantes.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Dans un lycée donné, on sait que 55\,\% des élèves sont des filles. On sait également que 35\,\% des filles et 30\,\% des garçons déjeunent à la cantine.
 
On choisit, au hasard, un élève du lycée.
 
Quelle est la probabilité que cet élève ne déjeune pas à la cantine ? 

\item Une urne contient 10 jetons numérotés de 1 à 10, indiscernables au toucher. On tire 3 jetons simultanément.
 
Combien de tirages différents peut-on faire contenant au moins un jeton à numéro pair? 
3. 
\item Une variable aléatoire Y suit une loi binomiale de paramètres 20 et $\dfrac{1}{5}$.
 
Calculer la probabilité que Y soit supérieure ou égale à 2. Donner une valeur approchée du résultat à $10 ^{- 3}$. 
\item Un appareil ménager peut présenter après sa fabrication deux défauts.
 
On appelle A l'évènement \og l'appareil présente un défaut d'apparence \fg{} et F l'évènement \og l'appareil présente un défaut de fonctionnement \fg.
 
On suppose que les évènements A et F sont indépendants.
 
On sait que la probabilité que l'appareil présente un défaut d'apparence est égale à $0,02$ et que la probabilité que l'appareil présente au moins l'un des deux défauts est égale à $0,069$.
 
On choisit au hasard un des appareils. Quelle est la probabilité que l'appareil présente le défaut F ? 
\item On considère l'algorithme :

\begin{center} 
\fbox{
\begin{minipage}{0.75\textwidth}A et C sont des entiers naturels,\\ 
C prend la valeur 0 


Répéter 9 fois\\ 
\phantom{aaaaaaa}A prend une valeur aléatoire entière entre 1 et 7.\\
\phantom{aaaaaaaaaaaaaa}		Si A > 5 alors C prend la valeur de C + 1\\  
\phantom{aaaaaaaaaaaaaa}		Fin Si\\ 
Fin répéter\\ 
Afficher C.
\end{minipage}}
\end{center}
\medskip
 
Dans l'expérience aléatoire simulée par l'algorithme précédent, on appelle X la variable aléatoire prenant la valeur C affichée. 

Quelle loi suit la variable X ? Préciser ses paramètres. 
\end{enumerate}
%%%%%%%%  fin Antilles-Guyane juin 2012 (non spécialistes)
\newpage
%%%%%%%% Antilles-Guyane (spécialité) juin 2012   %%%%%%%%%%
\hypertarget{Antilles1_juin2012}{}

\section{\textbf{Antilles-Guyane (spécialité) juin 2012}}

\medskip

\textbf{Les quatre questions sont indépendantes.} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que le couple (4~;~6) est une solution de l'équation 
		
		\[(\text{E})\qquad 11x - 5y = 14.\]
		 
		\item Déterminer tous les couples d'entiers relatifs (x~;~y) vérifiant l'équation (E).
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, 

\[2^{3n} \equiv 1\quad  \pmod 7.\]
 
		\item Déterminer le reste de la division euclidienne de $\np{2011}^{\np{2012}}$ par 7.
	\end{enumerate}		 
\item On se place dans le plan complexe. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $f$ qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que :

\[z' = \dfrac{3}{2} (1 - \text{i})z + 4 - 2\text{i}.\]
  
\item 

\item On considère l'algorithme suivant où $\text{Ent}\left (\dfrac{\text{A}}{\text{N}}\right)$ désigne la partie entière de $\dfrac{\text{A}}{\text{N}}$.

\medskip

\begin{center} 
\fbox{
\begin{minipage}{0.75\textwidth} 
A et N sont des entiers naturels\\ 
Saisir A\\ 
N prend la valeur 1\\ 
Tant que N $\leqslant  \sqrt{\text{A}}$\\ 
\phantom{aaaaaaaaa} Si $\dfrac{\text{A}}{\text{N}} -  \text{Ent}\left (\dfrac{\text{A}}{\text{N}}\right) = 0$ alors Afficher N et $\dfrac{\text{A}}{\text{N}}$\\
\phantom{aaaaaaaaa}Fin si\\ 
N prend la valeur N + 1\\ 
Fin Tant que.
\end{minipage}}
\end{center}

\medskip
 
Quels résultats affiche cet algorithme pour A = 12 ?

Que donne cet algorithme dans le cas général? 

\end{enumerate}
%%%%%%%%  fin Antilles-Guyane (spécialité) juin 2012
\newpage
%%%%%%%% Pondichéry  2012
\hypertarget{Pondichery_avril2012}{}

\section{\textbf{Pondichéry avril  2012}}

\medskip

\emph{Les deux parties sont indépendantes.}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Un groupe de 50 coureurs, portant des dossards numérotés de 1 à 50, participe à une course cycliste qui comprend 10 étapes, et au cours de laquelle aucun abandon n'est constaté.
 
À la fin de chaque étape, un groupe de 5 coureurs est choisi au hasard pour subir un contrôle antidopage. Ces désignations de 5 coureurs à l'issue de chacune des étapes sont indépendantes. Un même coureur peut donc être contrôlé à l'issue de plusieurs étapes.
 
\begin{enumerate}
\item À l'issue de chaque étape, combien peut-on former de groupes différents de 5 coureurs ? 
\item On considère l'algorithme ci-dessous dans lequel : 

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item \og rand(1,~ 50) \fg{} permet d'obtenir un nombre entier aléatoire appartenant à l'intervalle [1~;~50] 
\item l'écriture \og $x := y$ \fg{} désigne l'affectation d'une valeur $y$ à une variable $x$. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{p{2.2cm}|X}
Variables& 	$a, b, c, d, e$ sont des variables du type entier\\ 
Initialisation& $a:= 0\:;\: b := 0\:;\: c := 0\:;\: d := 0 \:;\: e := 0$\\ 
Traitement& 	Tant que $(a = b)$ ou $(a = c)$ ou $(a = d)$ ou $(a = e)$ ou $(b = c)$ ou $(b = d)$ ou  $(b = e)$ ou $(c = d)$ ou $(c = e)$ ou $(d = e)$\\ 
&\hspace{1cm}Début du tant que\\ 
&\hspace{1.5cm}$a := \text{rand}(1,~50) \:;\: b := \text{rand}(1,~50) $\:;\:\\
&\hspace{1.5cm} $c := \text{rand}(1,~50) \:;\:d := \text{rand}(1,~50)$\:;\\
&\hspace{1.5cm} $e := \text{rand}(1,~50)$\\ 
&\hspace{1cm}Fin du tant que \\
Sortie& 	Afficher $a, b, c, d, e$
\end{tabularx}

\medskip
 
	\begin{enumerate}
		\item Parmi les ensembles de nombres suivants, lesquels ont pu être obtenus avec cet algorithme: 

$L_{1} = \{2~;~ 11~;~44~;~2~;~15\} ; L_{2} = \{8, 17,41,34, 6\} ;$ 

$L_{3} = \{12, 17,23,17, 50\} ; L_{4} = \{45, 19,43,21, 18\}$ ? 
		\item Que permet de réaliser cet algorithme concernant la course cycliste ?
	\end{enumerate} 
\item À l'issue d'une étape, on choisit au hasard un coureur parmi les 50~participants. Établir que la probabilité pour qu'il subisse le contrôle prévu pour cette étape est égale à $0,1$. 
\item On note $X$ la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de contrôles subis par un coureur sur l'ensemble des 10 étapes de la course. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ ? Préciser ses paramètres. 
		\item On choisit au hasard un coureur à l'arrivée de la course. Calculer, sous forme décimale arrondie au dix-millième, les probabilités des évènements suivants :
		 
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item il a été contrôlé 5 fois exactement; 
\item il n'a pas été contrôlé; 
\item il a été contrôlé au moins une fois.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
\emph{Dans cette partie, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.\\ 
On donnera les résultats sous forme de fraction irréductible.}

\medskip
 
Pour un coureur choisi au hasard dans l'ensemble des 50 coureurs, on appelle $T$ l'évènement : \og le contrôle est positif \fg, et d'après des statistiques, on admet que $P(T) = 0,05$.
 
On appelle $D$ l'évènement: \og le coureur est dopé \fg.
 
Le contrôle anti-dopage n'étant pas fiable à 100\,\%, on sait que : 

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item si un coureur est dopé, le contrôle est positif dans 97\,\% des cas ; 
\item si un coureur n'est pas dopé, le contrôle est positif dans 1\,\% des cas. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $P(D)$. 
\item Un coureur a un contrôle positif. Quelle est la probabilité qu'il ne soit pas dopé ?
\end{enumerate}
%%%%%%%%  fin Pondichéry avril 2012
\newpage
%%%%%%%% Pondichéry avril 2013
\hypertarget{Pondichery_avril2013}{}

\section{\textbf{Pondichéry avril 2013}}

\medskip
 
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

Dans une entreprise, on s'intéresse à la probabilité qu'un salarié soit absent durant une période d'épidémie de grippe.

\medskip
\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Un salarié malade est absent 
\item[$\bullet~~$] La première semaine de travail, le salarié n'est pas malade. 
\item[$\bullet~~$] Si la semaine $n$ le salarié n'est pas malade, il tombe malade la semaine $n + 1$ avec une probabilité égale à $0,04$. 
\item[$\bullet~~$] Si la semaine $n$ le salarié est malade, il reste malade la semaine $n + 1$ avec une probabilité égale à $0,24$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On désigne, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, par $E_{n}$ l'évènement \og le salarié est absent pour cause de maladie la $n$-ième semaine \fg. On note $p_{n}$ la probabilité de l'évènement $E_{n}$.
 
On a ainsi : $p_{1} = 0$ et, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1 : $0 \leqslant  p_{n} < 1$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la valeur de $p_{3}$ à l'aide d'un arbre de probabilité. 
		\item Sachant que le salarié a été absent pour cause de maladie la troisième semaine, déterminer la probabilité qu'il ait été aussi absent pour cause de maladie la deuxième semaine.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier sur la copie et compléter l'arbre de probabilité donné ci-dessous
		
\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$E_{n}$}\taput{$p_{n}$}}
	  { 
		  \TR{$E_{n+1}$}\taput{\ldots}
		  \TR{$\overline{E_{n+1}}$}\tbput{\ldots}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{E_{n}}$}\tbput{\ldots}}
	  {
		  \TR{$E_{n+1}$}\taput{\ldots}
		  \TR{$\overline{E_{n+1}}$}\tbput{\ldots}		  
	  }
}
\end{center}

		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1,
		
		 $p_{n+ 1} = 0,2p_{n} + 0,04$. 
		\item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1 par $u_{n} = p_{n} - 0,05$ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison $r$.
		
En déduire l'expression de $u_{n}$ puis de $p_{n}$ en fonction de $n$ et $r$. 
		\item En déduire la limite de la suite $\left(p_{n}\right)$. 
		\item On admet dans cette question que la suite $\left(p_{n}\right)$ est croissante. On considère l'algorithme  suivant : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l X|}\hline
Variables		& K et J sont des entiers naturels, P est un nombre réel\\ 
Initialisation 	&P prend la valeur $0$\\ 
				&J prend la valeur $1$\\ 
Entrée			& Saisir la valeur de K\\ 
Traitement		&Tant que P $< 0,05 - 10^{- \text{K}}$\\ 
				&\quad P prend la valeur $0,2 \times \text{P} + 0,04$\\
				&\quad  J prend la valeur J $+ 1$\\ 
				&Fin tant que \\
Sortie			&Afficher J \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

À quoi correspond l'affichage final J ?
 
Pourquoi est-on sûr que cet algorithme s'arrête ?
	\end{enumerate} 
\item Cette entreprise emploie 220 salariés. Pour la suite on admet que la probabilité pour qu'un salarié soit malade une semaine donnée durant cette période d'épidémie est égale à $p = 0,05$.
 
On suppose que l'état de santé d'un salarié ne dépend pas de l'état de santé de ses collègues.
 
On désigne par $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de salariés malades une semaine donnée. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
		 
Calculer l'espérance mathématique $\mu$ et l'écart type $\sigma$ de la variable aléatoire $X$. 
		\item On admet que l'on peut approcher la loi de la variable aléatoire $\dfrac{X - \mu}{\sigma}$ 
		
		par la loi normale  centrée réduite c'est-à-dire de paramètres $0$ et $1$.
		 
On note $Z$ une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. 

Le tableau suivant donne les probabilités de l'évènement $Z < x$ pour quelques valeurs du nombre réel $x$.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{11}{>{\scriptsize \centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$& $-1,55$ &$-1,24$ &$-0,93$ &$- 0,62$ &$- 0,31$ &0,00 &0,31 &0,62 &0,93 &1,24 &1,55\\ \hline 
$P(Z < x)$& 0,061 &0,108 &0,177 &0,268 &0,379 &0,500 &0,621 &0,732 &0,823 &0,892 &0,939\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
Calculer, au moyen de l'approximation proposée en question b., une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la probabilité de l'évènement : \og le nombre de salariés absents dans l'entreprise au cours d'une semaine donnée est supérieur ou égal  à 7 et inférieur ou égal à 15 \fg. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%  fin Pondichéry avril 2013
\newpage
%%%%%%%%  Amérique du Nord mai 2013 
\hypertarget{Amerique Nord_mai2013}{}

\section{\textbf{Amérique du Nord mai 2013}}

\medskip

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques}

\medskip
  
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 1$ et, pour tout entier naturel $n$,

\[ u_{n+1} = \sqrt{2u_{n}}.\]

\begin{enumerate}
\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|ll|}\hline
Variables :&$n$ est un entier naturel\\ 
&$u$ est un réel positif\\
Initialisation :& Demander la valeur de $n$\\
 	&Affecter à $u$ la valeur 1\\
Traitement :&Pour $i$ variant de 1 à $n$ :\\
	&\hspace{0.3cm}| Affecter à $u$ la valeur $\sqrt{2u}$\\
	&Fin de Pour\\ 
Sortie :& Afficher $u$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center} 
 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une valeur approchée à $10^{-4}$ près du résultat qu'affiche cet algorithme lorsque l'on choisit $n = 3$.
		\item Que permet de calculer cet algorithme? 
		\item Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées obtenues à l'aide de cet algorithme pour certaines valeurs de $n$.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$				& 1 		&5 			&10 		&15 		&20\\ \hline 
Valeur affichée	&\np{1,4142} &\np{1,9571} &\np{1,9986} &\np{1,9999} &\np{1,9999}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: 0 < u_{n} \leqslant 2$. 
		\item Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
		\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.
	\end{enumerate} 
\item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_{n} = \ln u_{n} - \ln 2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est la suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme  
$v_{0} = - \ln 2$. 
		\item Déterminer, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $v_{n}$ en fonction de $n$, puis de $u_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
		\item Recopier l'algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions du traitement et de la sortie, de façon à afficher en sortie la plus petite valeur de $n$ telle que $u_{n} > 1,999$.
		
\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline		 
Variables :	&$n$ est un entier naturel\\
			& $u$ est un réel\\
Initialisation :&Affecter à $n$ la valeur $0$\\
				&Affecter à $u$ la valeur 1\\ 
Traitement :	&\\
&\\ 
Sortie :&\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%  fin Amérique du Nord mai 2013
\newpage
%%%%%%%%%% Liban mai 2013
\hypertarget{Liban_mai2013}{}

\section{\textbf{Liban mai 2013}}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité}
 
\medskip


On considère la suite numérique $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par 

$\left\{\begin{array}{l c l}
v_{0} &=& 1\\ 	 
v_{n + 1}&=& \dfrac{9}{6 - v_{n}}
\end{array}\right.$ 

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel $n$ donné, tous les termes de la suite, du rang $0$ au rang $n$.
 
Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel en justifiant la réponse.

\medskip

\hspace{-1cm} 
\begin{small}
\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{|X|c|X|c|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Algorithme \No 1}}&&\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Algorithme \No 2}}&&\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Algorithme \No 3}}\\ \cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
\textbf{Variables :}&&\textbf{Variables :}&&\textbf{Variables :}\\
$v$ est un réel&&$v$ est un réel&&$v$ est un réel\\ 
$i$ et $n$ sont des entiers naturels&&$i$ et $n$ sont des entiers naturels&&$i$ et $n$ sont des entiers naturels\\
~&&&&\\ 
\textbf{Début de l'algorithme :}&&\textbf{Début de l'algorithme :}&& \textbf{Début de l'algorithme :}\\ 
Lire $n$&&Lire $n$&&Lire $n$\\ 
$v$ prend la valeur $1$&&Pour $i$ variant de $1$ à $n$ faire&&$v$ prend la valeur $1$\\ 
Pour $i$ variant de $1$ à $n$ faire&&$v$ prend la valeur $1$&& Pour $i$ variant de $1$ à $n$ faire\\ 
\hspace{0.2cm}$v$ prend la valeur $\dfrac{9}{6 - v}$&&\hspace{0.2cm}Afficher $v$&& \hspace{0.2cm}Afficher $v$\\  
Fin pour&&$v$ prend la valeur $\dfrac{9}{6 - v}$&&$v$ prend la valeur $\dfrac{9}{6 - v}$\\
Afficher $v$&&Fin pour&&Fin pour\\
&&&&Afficher $v$\\
\textbf{Fin algorithme}&&\textbf{Fin algorithme}&&\textbf{Fin algorithme}\\  \cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
\end{tabularx}
\end{small}

 
\item Pour $n = 10$ on obtient l'affichage suivant :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
1&1,800&2,143&2,333&2,455&2,538&2,600&2,647&2,684&2,714\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

Pour $n = 100$, les derniers termes affichés sont :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
2,967&2,968&2,968&2,968&2,969&2,969&2,969&2,970&2,970&2,970\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip
 
Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite $\left(v_{n}\right)$ ? 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n,\: 0 < v_{n} < 3$.  
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} - v_{n} = \dfrac{\left(3 - v_{n} \right)^2}{6 - v_{n}}$. 
 
La suite $\left(v_{n}\right)$ est-elle monotone ? 
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est convergente.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B Recherche de la limite de la suite } \boldmath $\left(v_{n}\right)$ \unboldmath

\medskip

On considère la suite $\left(w_{n}\right)$ définie pour tout $n$ entier naturel par 

\[w_{n} = \dfrac{1}{v_{n} - 3}.\]
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $\left(w_{n}\right)$ est une suite arithmétique de raison $- \dfrac{1}{3}$ 
\item En déduire l'expression de $\left(w_{n}\right)$, puis celle de $\left(v_{n}\right)$ en fonction de $n$. 
\item Déterminer la limite de la suite $\left(v_{n}\right)$. 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%   fin Liban mai 2013
\newpage
%%%%%%%%%  Antilles-Guyane juin 2013
\hypertarget{Antilles_juin2013}{}

\section{\textbf{Antilles-Guyane juin 2013}}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} 

\medskip
 
On considère la suite $\left(z_{n}\right)$ à termes complexes définie par : $z_{0} = 1 + \text{i}$ et, pour tout entier naturel $n$, par 

\[z_{n+1} =  \dfrac{z_{n} + \left|z_{n}\right|}{3}.\]
	 
Pour tout entier naturel $n$, on pose : $z_{n} = a_{n} + \text{i}b_{n}$, où $a_{n}$ est la partie réelle de $z_{n}$ et $b_{n}$ est la partie imaginaire de $z_{n}$.
 
Le but de cet exercice est d'étudier la convergence des suites $\left(a_{n}\right)$ et $\left(b_{n}\right)$.

\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner $a_{0}$ et $b_{0}$. 
\item Calculer $z_{1}$, puis en déduire que $a_{1} = \frac{1  + \sqrt{2}}{3}$ et $b_{1} = \frac{1}{3}$. 
\item On considère l'algorithme suivant :

\medskip
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l X|}\hline 
Variables : &A et B des nombres réels\\ 
&K et N des nombres entiers\\ 
Initialisation :& Affecter à A la valeur 1\\ 
&Affecter à B la valeur 1\\ 
Traitement :&\\ 
Entrer la valeur de N&\\ 
Pour K variant de 1 à N&\\ 
&Affecter à A la valeur $\dfrac{\text{A} +\sqrt{\text{A}^2 + \text{B}^2}}{3}$\\ 
&Affecter à B la valeur $\dfrac{\text{B}}{3}$.\\ 
Fin Pour&\\ 
Afficher A& \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item On exécute cet algorithme en saisissant $\text{N} = 2$. Recopier et compléter le tableau ci-dessous contenant l'état des variables au cours de l'exécution de l'algorithme (on arrondira les valeurs calculées à $10^{- 4}$ près).

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}}X|}\hline 
%K&A&B\\ \hline
%1&&\\ \hline
%2&&\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\end{center}
 
		\item Pour un nombre N donné, à quoi correspond la valeur affichée par l'algorithme par rapport à la situation étudiée dans cet exercice ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $z_{n + 1}$ en fonction de $a_{n}$ et $b_{n}$.
 
En déduire l'expression de $a_{n + 1}$ en fonction de $a_{n}$ et $b_{n}$, et l'expression de $b_{n + 1}$ en fonction de $b_{n}$. 
\item Quelle est la nature de la suite $\left(b_{n}\right)$ ? En déduire l'expression de $b_{n}$ en fonction de $n$, et déterminer la limite de la suite $\left(b_{n}\right)$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On rappelle que pour tous nombres complexes $z$ et $z'$ : 

\[\left|z + z'\right| \leqslant  |z| + \left|z'\right|\quad  \text{(inégalité triangulaire)}.\]
 
Montrer que pour tout entier naturel $n$, 
 
\[\left|z_{n +1}\right| \leqslant  \dfrac{2\left|z_{n}\right|}{3}.\]
 
		\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_{n} = \left|z_{n}\right|$.
		 
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, 
 
\[u_{n} \leqslant  \left(\dfrac{2}{3}\right)^n \sqrt{2}.\]
 
En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers une limite que l'on déterminera. 
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n,\quad  \left|a_{n}\right|  \leqslant  u_{n}$. 
		
En déduire que la suite $\left(a_{n}\right)$ converge vers une limite que l'on déterminera.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%  fin Antilles-Guyane juin 2013
\newpage
%%%%%%%%%%  Centres étrangers juin 2013
\hypertarget{Centresetrangers_juin2013}{}

\section{\textbf{Centres étrangers juin 2012}}

\medskip
\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas choisi la spécialité mathématique}

\medskip

L'objet de cet exercice est l'étude de la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par son premier terme $u_{1} = \dfrac{3}{2}$ et la relation  de récurrence : $u_{n+1} =\dfrac{nu_{n}+1}{2(n + 1)}$.\\

\textbf{Partie A - Algorithmique et conjectures }

\medskip

\parbox{6cm}{Pour calculer et afficher le terme $u_{9}$ de la suite, un élève propose l'algorithme ci-contre.

Il a oublié de compléter deux lignes.}\hfill
\parbox{8cm}{
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\arraybackslash}X|}} \hline
Variables&$n$ est un entier naturel \\
&$u$ est un réel \\
\hline
Initialisation &Affecter à $n$ la valeur 1\\
&Affecter à $u$ la valeur 1,5 \\
\hline
Traitement &Tant que $n<9 $\\
&\hspace*{1cm} Affecter à $u$ la valeur \dots\\ 
&\hspace*{1cm} Affecter à $n$ la valeur \dots\\
%\hline
&Fin Tant que \\
\hline
Sortie& Afficher la variable $u$ \\
\hline
\end{tabularx}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter les deux lignes de l'algorithme où figurent des points de suspension. 
\item Comment faudrait-il modifier cet algorithme pour qu'il calcule et affiche tous les termes de la suite de $u_{2}$ jusqu'à $u_{9}$ ? 
\item  Avec cet algorithme modifié, on a obtenu les résultats suivants, arrondis au dix-millième: 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
n &1&2 &3 &4 &5 &6 &\dots&99 &100 \\
\hline
$u_{n}$ &1,5 &0,625 &0,375 &0,2656 &\np{0,2063} &\np{0,1693}&\dots&\np{0,0102} &\np{0,0101} \\
\hline
\end{tabularx}

\medskip

Au vu de ces résultats, conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Étude mathématique }

\medskip

On définit une suite auxiliaire $\left(v_{n}\right)$ par : pour tout entier $n\geqslant 1$, $v _{n} = nu_{n} -1$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme. 

\item En déduire que, pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, on a : $u_{n}= \dfrac{1+(0,5)^{n}}{n}$.

\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.

\item Justifier que, pour tout entier $n \geqslant 1$, on a : $u_{n+1}- u_{n}=- \dfrac{1 + (1 + 0,5n)(0,5)^{n}}{n(n + 1)}$.

En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C - Retour à l'algorithmique }

\medskip

En s'inspirant de la partie A, écrire un algorithme permettant de déterminer et d'afficher le plus petit entier $n$ tel que $u_{n} < 0,001$.
%%%%%%%%%%%  fin Centres étrangers juin 2013
\newpage
%%%%%%%%%%% Asie juin 2013
\hypertarget{Asie_juin2013}{}

\section{\textbf{Asie juin 2012}}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité}  

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : $u_{0} = 2$ et, pour tout entier naturel $n$ : 

\[u_{n+1} = \dfrac{1 + 3u_{n}}{3 + u_{n}}.\] 
 
On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} > 1$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Établir que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1}- u_{n} = \dfrac{\left(1 - u_{n} \right)\left(1 + u_{n} \right)}{3+ u_{n}}$.
		\item Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$. 

En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ 	définie par : $u_{0} = 2$ et, pour tout entier nature $n$ :

\[ u_{n+1} = \dfrac{1 + 0,5u_{n}}{0,5 + u_{n}}.\]
 
On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 

On considère l'algorithme suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c |l|}\hline
 Entrée& Soit un entier naturel non nul $n$\\ \hline 
Initialisation &Affecter à $u$ la valeur 2\\ \hline 
\multirow{4}{1.2cm}{Traitement et sortie }&POUR $i$ allant de 1 à $n$\\ 
&\hspace{1cm}Affecter à $u$ la valeur $\dfrac{1 + 0,5u}{0,5 + u}$\\  
&\hspace{1cm}Afficher $u$\\ \hline 
&FIN POUR\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
 
Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour $n = 3$. Les valeurs de $u$ seront arrondies au millième. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$i$&1&2& 3\\ \hline 
$u$&&&\\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center} 
\item Pour $n = 12$, on a prolongé le tableau précédent et on a obtenu : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$i$&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\ \hline
$u$&\footnotesize\np{1,0083}&\footnotesize\np{0,9973}&\footnotesize\np{1,0009}&\footnotesize\np{0,9997}&\footnotesize\np{1,0001}&\footnotesize \np{0,99997}&\footnotesize\np{1,00001}&\footnotesize \np{0,999996}&\footnotesize \np{1,000001}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Conjecturer le comportement de la suite $\left(u_{n}\right)$ à l'infini. 
\item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par : $v_{n} = \dfrac{u_{n} - 1}{u_{n} + 1}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $- \dfrac{1}{3}$. 
		\item Calculer $v_{0}$ puis écrire $v_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $v_{n} \neq 1$. 
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} = \dfrac{1 + v_{n}}{1 - v_{n}}$.  
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%  fin Asie juin 2013
\newpage
%%%%%%%%%%  Métropole juin 2013
\hypertarget{Metropole_juin2013}{}

\section{\textbf{Métropole juin 2013}}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij, la courbe représentative $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 


\begin{center}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-2)(9,2.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(-1.5,-2)(9,2.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline(1,0)(1,2)(0,2)
\uput[dr](1,0){A}\uput[u](1,2){B}\uput[ul](0,2){C}\uput[dl](0,0){O}
\uput[u](8,0.8){$\mathcal{C}$}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.278}{9}{x ln 2 mul 2 add x div}
\end{pspicture}
\end{center}
 
On dispose des informations suivantes :
 
\setlength\parindent{6mm} 
\begin{itemize}
\item les points A, B, C ont pour coordonnées respectives (1~;~0), (1~;~2), (0~;~2) ; 
\item la courbe $\mathcal{C}$ passe par le point B et la droite (BC) est tangente à $\mathcal{C}$ en B ; 
\item il existe deux réels positifs $a$ et $b$ tels que pour tout réel strictement positif $x$, 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
			 
		\[f(x) = \dfrac{a+ b\ln x}{x}. \]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant le graphique, donner les valeurs de $f(1)$ et $f'(1)$. 
 
		\item Vérifier que pour tout réel strictement positif $x,\: f'(x) = \dfrac{(b - a) - b \ln x}{x^2}$. 
		\item En déduire les réels $a$ et $b$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0,~;~+\infty[,\: f'(x)$ a le même signe que $- \ln x$. 
		\item Déterminer les limites de $f$ en 0 et en $+ \infty$. On pourra remarquer que pour tout réel  
$x$ strictement positif, $f(x) = \dfrac{2}{x} + 2\dfrac{\ln x}{x}$. 
		\item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que l'équation $f(x) = 1$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $]0~;~1]$. 
		\item Par un raisonnement analogue, on démontre qu'il existe un unique réel $\beta$ de l'intervalle $]1~;~+ \infty]$ tel que $f(\beta) = 1$.
 
Déterminer l'entier $n$ tel que $n < \beta < n + 1$. 
	\end{enumerate}
\item On donne l'algorithme ci-dessous.

\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline 
Variables :& $a, b$ et $m$ sont des nombres réels.\\ 
Initialisation :& Affecter à $a$ la valeur $0$. \\
	&Affecter à $b$ la valeur 1.\\ 
Traitement :& Tant que $b - a > 0,1$\\ 
&\begin{tabular}{l|l}
~~& Affecter à $m$ la valeur $\dfrac{1}{2}(a + b)$.\\ 
~~& Si $f(m) < 1$ alors Affecter à $a$ la valeur $m$.\\ 
~~&Sinon Affecter à $b$ la valeur $m$.\\ 
~~&Fin de Si.\\
\end{tabular}\\ 
&Fin de Tant que.\\ 
Sortie :&Afficher $a$.\\
& Afficher $b$.\\ \hline
\end{tabular} 
\end{center} 

	\begin{enumerate}
		\item Faire tourner cet algorithme en complétant le tableau ci-dessous que l'on recopiera sur la copie.

\begin{center} 
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&étape 1 &étape 2 &étape 3 &étape 4 &étape 5 \\ \hline
$a$&0&&&&\\ \hline 
$b$&1&&&&\\ \hline 
$b - a$&&&&&\\ \hline 
$m$&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

		\item Que représentent les valeurs affichées par cet algorithme ? 
		\item Modifier l'algorithme ci-dessus pour qu'il affiche les deux bornes d'un encadrement de $\beta$ d'amplitude $10^{-1}$
	\end{enumerate} 
\item Le but de cette question est de démontrer que la courbe $\mathcal{C}$ partage le rectangle OABC en deux domaines d'aires égales. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que cela revient à démontrer que $\displaystyle\int_{\frac{1}{\text{e}}}^1 f(x)\:\text{d}x = 1$. 
		\item En remarquant que l'expression de $f(x)$ peut s'écrire $\dfrac{2}{x} + 2 \times \dfrac{1}{x}  \times  \ln x$, terminer la démonstration.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%  fin Métropole juin 2013
\newpage
%%%%%%%%%%   Antilles-Guyane septembre 2013
\hypertarget{Antillessept}{}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité }

\begin{center}  \emph{Les deux parties sont indépendantes}\end{center} 

Le robot Tom doit emprunter un pont sans garde-corps de 10 pas de long et de 2 pas de large. Sa démarche est très particulière :

\medskip
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Soit il avance d'un pas tout droit ; 
\item[$\bullet~~$] Soit il se déplace en diagonale vers la gauche (déplacement équivalent à un pas vers la gauche et un pas tout droit) ; 
\item[$\bullet~~$] Soit il se déplace en diagonale vers la droite (déplacement équivalent à un pas vers la droite et un pas tout droit).
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On suppose que ces trois types de déplacement sont aléatoires et équiprobables.

\medskip
 
L'objectif de cet exercice est d'estimer la probabilité $p$ de l'évènement $S$ \og Tom traverse le pont\fg{} c'est-à-dire \og Tom n'est pas tombé dans l'eau et se trouve encore sur le pont au bout de 10 déplacements \fg.

\medskip
 
\textbf{Partie A} : modélisation et simulation

\medskip
 
On schématise le pont par un rectangle dans le plan muni d'un repère orthonormé (O , I, J) comme l'indique la figure ci-dessous. On suppose que Tom se trouve au point de coordonnées (0~;~0) au début de la traversée. On note $(x~;~y)$ les coordonnées de la position de Tom après $x$ déplacements. 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1.1,-2.2)(10.5,2.3)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,-1)(10,1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,griddots=5]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1.1,-2.2)(10.5,2.3)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,-1)
\rput(-0.5,0.4){départ}
\uput[ul](0,0){O}\uput[ur](1,0){I}\uput[ur](0,1){J}
\end{pspicture*} 
\end{center}

\index{algorithme}

On a écrit l'algorithme suivant qui simule la position de Tom au bout de $x$ déplacements :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline 
$x, y, n$ sont des entiers\\
Affecter à $x$ la valeur 0\\
Affecter à $y$ la valeur 0\\ 
Tant que $y \geqslant - 1$ et $y \leqslant 1$ et $x \leqslant 9$\\ 
\hspace{1.5cm}Affecter à $n$ une valeur choisie au hasard entre $- 1,\: 0$ et $1$\\
\hspace{1.5cm}Affecter à $y$ la valeur $y + n$\\ 
\hspace{1.5cm}Affecter à $x$ la valeur $x + 1$ \\
Fin tant que\\ 
Afficher \og la position de Tom est \fg{} $(x~;~y)$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{center} 
 
\begin{enumerate}
\item On donne les couples suivants : $(-1~;~1)$ ; (10~;~0); (2~;~4) ; (10~;~2).
 
Lesquels ont pu être obtenus avec cet algorithme ? Justifier la réponse. 
\item Modifier cet algorithme pour qu'à la place de \og la position de Tom est $(x~;~y)$ \fg, il affiche finalement \og Tom a réussi la traversée\fg{} ou \og Tom est tombé \fg.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%   fin Antilles septembre 2013
\newpage
%%%%%%%%%%%%  Antilles-Guyane septembre 2013 spécialité
\hypertarget{Antillesseptspe}{}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
A et X sont des nombres entiers\\
Saisir un entier positif A\\
Affecter à X la valeur de A\\ 
Tant que X supérieur ou égal à 26\\
\hspace{1.25cm}Affecter à X la valeur X - 26\\
Fin du tant que\\ 
Afficher X\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item Qu'affiche cet algorithme quand on saisit le nombre 3 ? 
\item Qu'affiche cet algorithme quand on saisit le nombre 55 ? 
\item Pour un nombre entier saisi quelconque, que représente le résultat fourni par cet algorithme?
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On veut coder un bloc de deux lettres selon la procédure suivante (détaillée en quatre étapes) :

\medskip
 
$\bullet~~$\textbf{Étape 1} : chaque lettre du bloc est remplacée par un entier en utilisant le tableau ci-dessous: 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
A	&B	&C	&D	&E	&F	&G	&H	&I	&J	&K	&L	&M\\\hline
0	&1	&2	&3	&4	&5	&6	&7	&8	&9	&10	&11	&12\\\hline \hline
N	&O	&P	&Q	&R	&S	&T	&U	&V	&W	&X	&Y	&Z \\ \hline 
13	&14	&15	&16	&17	&18	&19	&20	&21	&22	&23	&24	&25\\\hline 
\end{tabularx}
\medskip

\index{matrice}

On obtient une matrice colonne $\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}$ où $x_{1}$ correspond à la première lettre du mot et $x_{2}$ correspond à la deuxième lettre du mot.
 
$\bullet~~$\textbf{Étape 2} : $\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}$ est transformé en $\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}$ tel que 

\[\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3&1\\5&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}\]

La matrice $C = \begin{pmatrix}3&1\\5&2\end{pmatrix}$ est appelée la matrice de codage.
 
$\bullet~~$\textbf{Étape 3} : $\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}$ est transformé en $\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}$ tel que
 
\[\left\{\begin{array}{l c l c l c l l}
z_{1}& \equiv& y_{1}\: (26)& \text{avec}\:\: 0 &\leqslant& z_{1}&\leqslant& 25\\
z_{2}& \equiv& y_{2}\: (26)& \text{avec}\:\: 0 &\leqslant& z_{2}&\leqslant& 25
\end{array}\right.\] 

$\bullet~~$\textbf{Étape 4} : $\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}$ est transformé en un bloc de deux lettres en utilisant le tableau de correspondance donné dans l'étape 1.

\begin{center}
\begin{tabular}{|l} 
\textbf{Exemple} : \\
RE $\to \begin{pmatrix}17\\4\end{pmatrix}\to \begin{pmatrix}55\\93\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix}3\\15\end{pmatrix}\to $ DP\\
Le bloc RE est donc codé en DP\\
\end{tabular}
\end{center}
 
Justifier le passage de $\begin{pmatrix}17\\4\end{pmatrix}$ à $\begin{pmatrix}55\\93\end{pmatrix}$ puis à  $\begin{pmatrix}3\\15\end{pmatrix}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soient $x_{1},\:x_{2},\:x'_{1},\:x'_{2}$ quatre nombres entiers compris entre 0 et 25 tels que $\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}x'_{1}\\x'_{2}\end{pmatrix}$ sont transformés lors du procédé de codage en $\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}$. 	
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\left\{\begin{array}{l c l}
		3x_{1}+ x_{2} & \equiv& 3x'_{1} + x'_{2}  \quad (26)\\
5x_{1}+ 2x_{2}&\equiv&5x'_{1} + 2x'_{2} \quad (26).
\end{array}\right.$ 
		\item En déduire que $x_{1} \equiv  x'_{1}\quad  (26)$ et $x_{2} \equiv  x'_{2} \quad (26)$ puis que $x_{1} = x'_{1}$ et $x_{2} = x'_{2}$.
	\end{enumerate} 
\item On souhaite trouver une méthode de décodage pour le bloc DP : 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que la matrice $C' = \begin{pmatrix}2&- 1\\- 5&3\end{pmatrix}$ est la matrice inverse de $C$. 
		\item Calculer $\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}$ tels que $\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&- 1\\- 5&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\15\end{pmatrix}$. 
		\item Calculer $\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}$ 	tels que $\left\{\begin{array}{l c l}
x_{1}&\equiv &y_{1}\quad (26)\:\: \text{avec}\:0 \leqslant x_{1} \leqslant 25\\
x_{2}&\equiv &y_{2}\quad (26)\:\: \text{avec}\:0 \leqslant x_{2} \leqslant 25\\
\end{array}\right.$ 
		\item Quel procédé général de décodage peut-on conjecturer ?
	\end{enumerate} 
\item Dans cette question nous allons généraliser ce procédé de décodage.
 
On considère un bloc de deux lettres et on appelle $z_{1}$ et $z_{2}$ les deux entiers compris entre 0 et 25 associés à ces lettres à l'étape 3. On cherche à trouver deux entiers $x_{1}$ et $x_{2}$ compris 
entre 0 et 25 qui donnent la matrice colonne $\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}$ par les étapes 2 et 3 du procédé de codage.
 
Soient $y'_{1}$ et $y'_{2}$ tels que $\begin{pmatrix}y'_{1}\\y_{2}\end{pmatrix} = C' \begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}$ où $C'	=  \begin{pmatrix}2&- 1\\- 5&3\end{pmatrix}$.

Soient $x_{1}$ et $x_{2}$, les nombres entiers tels que $\left\{\begin{array}{l c l}
x_{1}&\equiv & y'_{1} \quad (26) \: \text{avec}\:0 \leqslant x_{1}\leqslant 25\\  
x_{2}&\equiv &y'_{2} \quad (26) \: \text{avec}\:0 \leqslant x_{2}\leqslant 25  
\end{array}\right.$

Montrer que $\left\{\begin{array}{l c l}
3x_{1}+ x_{2} & \equiv& z_{1}  \quad (26)\\
5x_{1}+ 2x_{2}&\equiv&z_{2} \quad (26).
\end{array}\right.$.
 
Conclure. 
\item Décoder QC. 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%   fin Antilles septembre 2013 spécialité
\newpage
%%%%%%%%%%%   Métropole septembre 2013
\hypertarget{Metropolesept}{}

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie, on admet que la fonction $f$ évoquée dans la \textbf{partie A} est la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = (x + 2) \text{e}^{\frac{1}{2}x}.\]

\begin{enumerate}
\item L'observation de la courbe $\mathcal{C}$ permet de conjecturer que la fonction $f$ admet un minimum. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout réel $x,\: f'(x) = \dfrac{1}{2}(x + 4)\text{e}^{\frac{1}{2}x}$. 
		\item En déduire une validation de la conjecture précédente.
	\end{enumerate} 
\item On pose $I =  \displaystyle\int_{0}^1  f(x)\:\text{d}x$. 
	\begin{enumerate}
		\item Interpréter géométriquement le réel $I$.  
		\item Soient $u$ et $v$ les fonctions définies sur $\R$ par $u(x) = x$ et $v(x) = \text{e}^{\dfrac{1}{2}x}$.
		 
Vérifier que $f = 2\left(u'v + uv'\right)$. 
		\item En déduire la valeur exacte de l'intégrale $I$.
	\end{enumerate} 
\item On donne l'algorithme ci-dessous.

\index{algorithme}

\begin{center}
\begin{tabular}{|ll|}\hline
Variables: 	&$k$ et $n$ sont des nombres entiers naturels.\\ 
			&$s$ est un nombre réel.\\ 
Entrée : 	&Demander à l'utilisateur la valeur de $n$.\\ 
Initialisation :& Affecter à $s$ la valeur $0$.\\ 
Traitement :& 	Pour $k$ allant de $0$ à $n - 1$\\ 
	& \hspace{0,5cm}| Affecter à $s$ la valeur $s + \dfrac{1}{n}f\left(\dfrac{k}{n}\right)$.\\ 
	&Fin de boucle.\\ 
Sortie :& 	Afficher $s$.\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
 
On note $s_{n}$ le nombre affiché par cet algorithme lorsque l'utilisateur entre un entier naturel strictement positif comme valeur de $n$. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $s_{3}$ représente l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine hachuré sur le graphique ci-dessous où les trois rectangles ont la même largeur.
		
\begin{center}
\psset{xunit=4cm,yunit=4cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.2)(1.5,1.25)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2]{->}(0,0)(-0.5,-0.2)(1.5,1.25)
\pscurve[linecolor=blue](0,0.5)(0.333,0.65)(0.666,0.9)(1,1.15)
\psframe[fillstyle=vlines](0,0)(0.333,0.5)
\psframe[fillstyle=vlines](0.333,0)(0.666,0.65)
\psframe[fillstyle=vlines](0.666,0)(1,0.9)
\psline[linestyle=dashed](1,0.9)(1,1.15)
\uput[l](0,0.25){1}
\uput[ul](0.333,0.65){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}		 
		\item Que dire de la valeur de $s_{n}$ fournie par l'algorithme proposé lorsque $n$ devient grand ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%   fin Métropole septembre 2013
\newpage
%%%%%%%%%%%   Nouvelle-Calédonie novembre 2013
\hypertarget{Caledonienov}{}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soient deux suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ définies par $u_{0} = 2$ et $v_{0} = 10$ et pour tout entier naturel $n$,\index{suite}
  		 
\[u_{n+1} = \dfrac{2u_{n} + v_{n}}{3}	\quad \text{et}\quad	 v_{n+1} = 	\dfrac{u_{n} + 3v_{n}}{4}.\]
 
\textbf{PARTIE A}

\medskip
 
On considère l'algorithme suivant :\index{algorithme}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|lX|}\hline 
\textbf{Variables :}& 	$N$ est un entier\\ 
&$U, V, W$ sont des réels\\ 
&$K$ est un entier \\
\textbf{Début :}& Affecter $0$ à $K$\\ 
&Affecter 2 à $U$ \\
&Affecter 10 à $V$\\ 
&Saisir $N$\\ 
&Tant que $K < N$\\
&\hspace{0,6cm} Affecter $K + 1$ à $K$\\
&\hspace{0,6cm} Affecter $U$ à $W$\\ 
&\hspace{0,6cm} Affecter $\dfrac{2U+V}{3}$ à $U$\\ 
&\hspace{0,6cm}	Affecter $\dfrac{W+3V}{4}$	à $V$\\  
&Fin tant que\\ 
&Afficher $U$ \\
&Afficher $V$\\ 
\textbf{Fin}&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
On  exécute cet algorithme en saisissant $N = 2$. Recopier et compléter le tableau donné ci-dessous donnant l'état des variables au cours de l'exécution de l'algorithme.

\begin{center}
\definecolor{gristab}{gray}{0.80}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline  
$K$& $W$&$U$&$V$\\ \hline 
0&\multicolumn{1}{>{\columncolor{gristab}}X|}{\quad}&&\\ \hline 
1&&&\\ \hline
2&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
%%%%%%%%%%%   fin Nouvelle-Calédonie novembre 2013  
\end{document}