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\lhead{\small A. P. M. E. P.}
\rhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{27 mai 2011}}
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\begin{center} { \Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Nord 27 mai 2011~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

EXERCICE 1 (5 points) 
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (0; ü, li) . 
On considère les points A et Bd' affixes respectives: a = i et b = 1 + i . 
On note: rA la rotation de centre A, d'angle 1t , lB la rotation de centre B, d'angle 1t et ro la 
	2 	2 . 
rotation de centre 0, d'angle _ 1t . 
	. 	2 
Partie A 
On considère le point C d'affixe c= 3i. On appelle D l'image de C par rA; G l'image de D par rB et H l'image de C par ro' 
On note d, get h les affixes respectives des points D, G et H. 
Démontrerque d=-2+L 
Déterminer g et h. 
Démontrer que le quadrilatère CDGH est un rectangle. 
Partie B 
On considère un point M, distinct de 0 et de A, d'affixe m. On appelle N l'image de M par rA' P l'image de N par rB et Q l'image de M par ra' 
On note n, p et q les affixes respectives des points N, P et Q. 
Montrer que n=im+l+i. On admettra que p=-m+l+i et q=-im. 
Montrer que le quadrilatère MNPQ est un parallélogramme. 
	  	" 	1" 	m-n . 1 

	. a 	ontrer ega lte : -- =1 +-. 
		p-n 	m 
Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. 
Déterminer l'ensemble (r) des points M tels que le quadrilatère MNPQ soit un rectangle. 
3
)
M
1

EXERCICE 2 (4 points) 
Les parties A et B sont indépendantes. 
Partie A 
Une salle informatique d'un établissement scolaire est équipée de 25 ordinateurs dont 3 sont défectueux. Tous les ordinateurs ont la même probabilité d'être choisis. 
On choisit au hasard deux ordinateurs de cette salle. 
Quelle est la probabilité que ces deux ordinateurs soient défectueux ? 
Partie B 
La durée de vie d'un ordinateur (c'est-à-dire la durée de fonctionnement avant la première panne), est une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de pararriètre Â avec 1 > 0 . 
Ainsi, pour tout réel tpositif, la probabilité qu'un ordinateur ait une durée de vie inférieure à t années, notée p( X:::; t), est donnée par: p (X ~ t) = f le-,bdx. 
Déterminer Â sachant que p ( X). 5) = 0,4 . 
Dans cette question, on prendra 1 = 0,18. 
Sach8.D:-t qu'un ordinateur n'a pas eu de panne au cours des 3 premières années, quelle est, à 10-3 près, la probabilité qu'il ait une durée de vie supérieure à 5 ans ? 
Dans cette question, on admet que la durée de vie d'un ordinateur est indépendante de celle des autres et que p( X> 5) = 0,4. 
On considère un lot de 10 ordinateurs. 
Quelle est la probabilité que, dans ce lot, l'un au moins des ordinateurs ait une durée de vie supérieure à 5 ans ? On donnera une valeur arrondie au millième de cette probabilité. 
Quel nombre minimal d'ordinateurs doit-on choisir pour que la probabilité de l'événement « l'un au moins d'entre eux a une durée de vie supérieure à 5 ans » soit supérieure à 0,999 ? 

EXERCICE 3 (5 points) 
Partie A : Restitution organisée de connaissances 
On considère trois points A, B et C de l'espace et trois réels a, b et c de somme non nulle. 
Démontrer que, pour tout réel k strictement positif, l'ensemble des points M de l'espace tels que Il a MA+ b MB+ c Meil= k est une sphère dont le centre est le barycentre des points A, B et C 
affectés des coefficients respectifs a, b et c. 
Partie B 
On considère le cube ABCDEFGH d'arête de longueur 1 représenté ci-dessous. Il n'est pas demandé de rendre le graphique avec la copie. 
L'espace est rapporté au repère orthonormal (A;AB,AD,AE). 
Démontrer que le vecteur n de coordonnées (1,0,1) est un vecteur normal au plan (BeE). 
Déterminer une équation du plan (BeE). 
On note (11) la droite perpendiculaire en E au plan (BeE). 
Déterminer une représentation paramétrique de la droite (11) . 
Démontrer que la droite· ( 11) est sécante au plan (ABC) en un point R, symétrique de B par 
rapport à A. 
a) Démontrer que le point Dest le barycentre des points R, B et C affectés des coefficients 
respectifs 1, -1 et 2. 
Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l'ensemble (S) des points M de 
l'espace tels que IIMR - MB+ 2MCII = 2.J2. 
Démontrer que les points B, E et G appartiennent à l'ensemble (S). 

Démontrer que l'intersection du plan (BeE) et de l'ensemble (S) est un cercle dont on précisera le rayon. 
H 

F 
c 

D: 
1 --- ...... 	........ ,._ ...... 

, 1 
shapeType75fBehindDocument1pWrapPolygonVertices8;8;(1170,14333);(0,14333);(0,4255);(1170,4255);(1170,0);(21500,0);(21500,21500);(1170,21500)posrelh0posrelv0pib
B 

EXERCICE 4 (6 points) 
Partie A 
On considère la fonction g définie sur [0, + co[ par g( x) = eX - x-l. 
Étudier les variations de la fonction g. 
Déterminer le signe de g(x) suivant les valeurs de x. 
En déduire que pour toutxde [0,+00[, eX -x> O. 
Partie B 
On considère la fonction [défmie sur [0,1] par [(x) = eX -1 . 
eX-x 
La courbe (C) représentative de la fonction [ dans le plan muni d'un repère orthonormal est donnée en annexe, page 6. 
Cette annexe sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve. On admet que [ est strictement croissante sur [0,1]. 
Montrer que pour tout x de [0,1], [(x) E [0,1] . 
Soit (D) la droite d'équation y= x. 
	. 	(1-x) g(x) 
	a) Montrerquepourtoutxde [0,1], [(x)-x= 		. 
eX-x 
b) Étudier la position relative de la droite (D) et de la courbe (C) sur [0,1]. 
a) Déterminer une primitive de [sur [0,1]. 
Calculer l'aire, en unités d'aire, du domaine du plan délimité par la courbe (C), la droite CD) et les droites d'équations x= 0 et x= 1. 
Partie C 
		1 
u - 
On considère la suite (u n) défmie par : 0 - 2
pour tout entier naturel n, u n+l = [( un) . 
Construire sur l'axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite en laissant apparents les traits de construction. 
I\10ntrer que pour tout entier naturel n, ~ ~ un:::; U n+l:::; 1. 
En déduire que la suite Cu n) est convergente et déterminer sa limite. 
{


ANNEXE 
Cette page sera complétée et remise avec la copie à la fin de J'épreuve. 
EXERCICE 4 

EXERCICE 3 (5 points) 
Partie A : Restitution organisée de connaissances 
Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout. 
Partie B 
On rappelle la propriété connue sous le nom de petit théorème de Fermat: 
«Si p est un nombre premier et qun entier naturel premier avec p, alors qrl == 1 (modulo p) ». 
On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n non nul par: u n= 2n + 3n + 6n -1. 
Calculer les six premiers termes de la suite. 
Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, un est pair. 
3. Montrer que, pour tout entier naturel n pair non nul, un est divisible par 4. 
On note (E) l'ensemble des nombres premiers qui divisent au moins un terme de la suite (un)' 
Les entiers 2, 3, 5 et 7 appartiennent-ils à l'ensemble (E) ? 
Soit punnombre premier strictement supérieur à 3. 
Montrer que: 6x2p-2 == 3 (modulo p) et 6x3p-2 == 2 (modulo p). 
En déduire que 6 U p-2 == 0 (modulo p). 
Le nombre p appartient-il à l'ensemble (E) ? 


\end{document}