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% Tapuscrit : Luc Giraud
%Relecture : François Hache 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat Sciences et technologies de l'industrie et du développement durable\\Sciences et technologies de laboratoire\\spécialité SPCL}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{16 juin 2016}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat  Métropole 16 juin 2016 STI2D--STL~\decofourright\\[4pt] spécialité SPCL}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  3 points}

\medskip
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.\\
\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse.}\\
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct  \Ouv.  On note $\text{i} $ le nombre complexe vérifiant $\text{i}^2 =-1$


\begin{enumerate}
\item  Un argument du nombre complexe $2 + 2\text{i}$ est égal à :

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item $-\dfrac{\pi}{4}$
\item $-\dfrac{9\pi}{4}$
\item $2\sqrt 2$
\item  $\dfrac{\pi}{4}$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\item Le nombre complexe $\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{5}}\times \text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{15}}$	est égal à :

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $\frac{1}{2}+ \frac{\sqrt 3}{2}\text{i}$
\item $\frac{\sqrt 3}{2}+\frac{1}{2} \text{i}$
\item $0,5+0,866 \text{i}$
\item $0,5+ \np{0,8660254038} \text{i}$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\item    On considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text A} = 2 \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ et $z_{\text B} = \frac{5}{2} \text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{6}}$. Le triangle OAB est :

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item isocèle en O
\item rectangle en O
\item rectangle et isocèle en B
\item isocèle en B
\end{multicols}
\end{enumerate}

\item  Pour tout nombre réel $\theta$, le nombre complexe  $\text{e}^{\text{i}\theta} +\dfrac{1}{\text{e}^{\text{i}\theta}} $ est égal à :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}

\item $2\cos\left(\theta\right)$
\item $\cos\left(\theta\right)+\text{i}\sin\left(\theta\right) $
\item $1$
\item $2\text{i}\sin\left(\theta\right)$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  6 points}

\medskip
Un centre de vacances possède une piscine de $600$~m$^3$ soit \np{600000} litres. L'eau du bassin contient du chlore qui joue le rôle de désinfectant. Toutefois le chlore se dégrade et 25\,\% de celui-ci disparaît chaque jour, en particulier sous l'effet des ultra-violets et de l'évaporation. Le 31 mai à 9 h, le responsable analyse l'eau du bassin à l'aide d'un kit distribué par un magasin spécialisé.

Le taux de chlore disponible dans l'eau est alors de 1,25 mg/L (milligrammes par litre).

\newpage
\textbf{Document }
\begin{center}
\textbf{Réglementation des piscines publiques}
\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
\textbf{Paramètres contrôlés} & \textbf{Seuils de qualité \newline réglementaire} &\textbf{Incidences sur \newline la qualité de l'eau }\\ 
\hline 
 					&					& $< 2$ mg/L : sous chloration\\
					&	Au minimum 2 mg/L&Risque de prolifération\\
Présence de Chlore	&					&bactérienne dans l'eau \\ 
\cline{2-3}
	&Au maximum 4 mg/L 	\rule{0pt}{15pt}&$> 4$ mg/L : surchloration \\
					&					&Irritation de la peau\\ \hline
\multicolumn{3}{r}{\footnotesize \textbf{Source : Agence Régionale de Santé}} 
\end{tabularx} 
\end{center}

À partir du 1\up{er} juin pour compenser la perte en chlore, la personne responsable de l'entretien ajoute, chaque matin à 9~h, $570$~g de chlore dans la piscine.

Pour le bien-être et la sécurité des usagers, le responsable souhaite savoir si cet apport journalier en chlore permettra de maintenir une eau qui respecte la réglementation donnée par l'Agence Régionale de Santé pour les piscines publiques.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Pour tout entier naturel $n$ on note $u_n$ la quantité de chlore disponible, exprimée en grammes, présente dans l'eau du bassin le $n$-ième jour suivant le jour de l'analyse, immédiatement après l'ajout de chlore. Ainsi $u_0$ est la quantité de chlore le 31 mai à 9 h et $u_1$ est la quantité de chlore le 1\up{er} juin à 9 h après l'ajout de chlore.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la quantité de chlore, en grammes, présente dans l'eau du bassin
le 31 mai à 9h est $u_0 = 750$.

Au regard des recommandations de l'agence régionale de santé, le responsable
pouvait-il donner l'accès à la piscine le 31 mai ?
\item Montrer que $u_1 = \np{1132,5}$.
\item Justifier que pour tout entier naturel $n, u_{n+1} = 0, 75u_n + 570$.
\item La suite $\left(u_n\right)$ est-elle géométrique ?

\end{enumerate}
\item  Soit l'algorithme ci-dessous :

\[\begin{array}{|l |l |}\hline
\text{Variables } 
&u : \text{un nombre réel }\\
&N : \text{un nombre entier naturel }\\
&k : \text{un nombre entier naturel }\\
\text{ Initialisation :} 
&\text{Saisir la valeur de } N  \\
& u \text{ prend la valeur } 750 \\  
\text{  Traitement :} 
&\text{ Pour  } k \text{ allant de   } 1 \text{ à  } N\\
&\hspace{0,5cm} u\text{ prend la valeur }  0,75 u +570\\
&\text{ Fin du Pour }\\
\text{ Sortie : }& \text{ Afficher  } u \\\hline 
        \end{array}\]
                
	\begin{enumerate}
        \item Quel est le rôle de cet algorithme ?
        \item Recopier et compléter le tableau suivant, par des valeurs exactes, en exécutant cet algorithme \og pas à pas \fg   pour $N=3$.
        
\[\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline 
\text{Variables } & \text{ Initialisation }& \text{ Étape 1 } & \text{ Étape 2 } & \text{ Étape 3 } \\ \hline 
u & 750 &\np{1132,5}&   &  \\ \hline 
\end{array}\]
        
Au regard des recommandations de l'agence régionale de santé, au bout de combien de jours la piscine peut-elle être ouverte ?
\item Calculer une valeur approchée à $10^{-3}$ près de la quantité de chlore le 15\up{e} jour juste après l'ajout de chlore.
        \end{enumerate}        
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Au fil du temps, la quantité de chlore évolue. On note $d_n$ l'écart de quantité de chlore d'un jour à l'autre en grammes. Pour tout entier naturel $n$, on a $d_n = u_{n+1}- u_n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item    
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $d_0$, $d_1$ et  $ d_2$. On donnera une valeur exacte.
		\item Justifier que $d_0$, $d_1$ et  $ d_2$ semblent être les termes d'une suite géométrique.
	\end{enumerate}
\item  Vérifier que  $u_{n+1}- u_n = -0,25u_n + 570$.
\item On admet que pour tout entier naturel $n$, on a $d_{n+1}= 0, 75d_n$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $d_n = 382,5 \times  0, 75^n$.
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a $u_n = \np{2280} - \np{1530}\times  0,75^n$.
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Interpréter le résultat trouvé.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  4 points}

\medskip

 Quand l'oreille humaine est soumise à une intensité acoustique, exprimée en watts par mètre carré (W/m$^2$), le niveau sonore du bruit responsable de cette intensité acoustique est exprimé en décibels (dB).
 
\medskip

\textbf{Document}

\begin{center}
\textbf{Échelle de bruit}
\[\begin{array}{|*{4}{>{\footnotesize}c|}}\hline 
\text{Sources sonores} 	&\text{Intensité} 		&\text{Niveau} 		& \text{Sensation auditive} \\ 
						&\text{acoustique}		&\text{sonore}		&\\
						&\text{(W/m}^2\text{ )}	&\text{arrondi} 	&   \\
						&						&\text{éventuellement}&\\
						&						&\text{à l'unité}	&\\\hline 
\text{Décollage de la Fusée Ariane}& 10^ 6 		&180 				&\text{Exige une protection spéciale} \\ \hline 
\text{Turboréacteur} 	& 10^2 					&140	 			&\text{Exige une protection spéciale} \\ \hline 
\text{Course de Formule 1} & 10 				&130 				&\text{Exige une protection spéciale} \\ \hline 
\text{Avion au décollage} & 1					&120				&\text{Seuil de douleur} \\ \hline 
\text{Concert et discothèque} & 10^{-1} 		&110 				&\text{Très difficilement supportable} \\ \hline 
\text{Baladeur à puissance}&  10^{-2} 			&100  				&  \text{Très difficilement supportable} \\ 
\text{ maximum }			&					&					&\\ \hline 
\text{ Moto} 			& 10^{-5} 				& 70 				&\text{Pénible à entendre}  \\ 
\hline 
\text{ Voiture au ralenti}&10^{-7} 				& 50 				&\text{Bruit courant}\\ \hline 
\text{Seuil d'audibilité} & 10^{-12} 			& 0,08 				&\text{Silence anormal} \\ \hline 
\end{array}\]
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item D'après le tableau, lorsque l'intensité acoustique est multipliée par 10, quelle semble être l'augmentation du niveau sonore ?
\item La relation liant l'intensité acoustique $x$ où $x$ appartient à l'intervalle  $\left [10^ {-12} ; 10^6\right ]$ et le niveau sonore est donnée par :
 
\[f(x) =\dfrac{10}{\ln (10)}	\times  \ln(x) + 120.\]
 
On pourra prendre $\dfrac{10}{\ln (10)} \approx 4,34$.

	\begin{enumerate}
		\item Vérifier la conjecture émise à la question 1.
		\item Quel serait le niveau sonore de deux motos ?
	\end{enumerate}
\item Pour éviter tout risque sur la santé, le port d'un casque de protection acoustique est
donc conseillé au delà de $85$~dB.
Déterminer l'intensité acoustique à partir de laquelle le port d'un tel casque est conseillé.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill  6 points}

\medskip

\textbf{Les parties A et B sont indépendantes.}

Un pont levant enjambant un canal peu fréquenté est constitué d'un tablier qui, une fois relevé, permet le passage de bateaux de différentes tailles.

\begin{center}
\parbox{0.45\linewidth}{
\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(10,7)
%\psgrid
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.6,4.3)(8.4,4.6)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,1.3)(1.8,1.6)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](8.2,1.3)(9.9,1.6)
\pspolygon*(1.6,0)(2.4,0)(2.4,0.4)(2.2,0.4)(2.2,5)(1.8,5)(1.8,0.4)(1.6,0.4)
\pspolygon*(7.6,0)(8.4,0)(8.4,0.4)(8.2,0.4)(8.2,5)(7.8,5)(7.8,0.4)(7.6,0.4)
\psline(1.6,4.6)(1.8,5)(2.2,5.8)(2.2,5)\psline(2.2,5.8)(2.5,5.8)(2.5,4.6)
\psline(8.4,4.6)(8.2,5)(7.8,5.8)(7.8,5)\psline(7.8,5.8)(7.5,5.8)(7.5,4.6)
\psline(2,0)(8,0)
\rput(4.9,6.8){Position haute}
\rput(4.9,5){tablier du pont}
\rput(4.9,0.4){chenal maritime}
\rput(0.8,1.9){route}\rput(9.2,1.9){route}
\end{pspicture}} \hfill\parbox{0.45\linewidth}{
\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(10,7)
%\psgrid
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.6,1.3)(9.9,1.6)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,1.3)(1.8,1.6)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](8.2,1.3)(9.9,1.6)
\pspolygon*(1.6,0)(2.4,0)(2.4,0.4)(2.2,0.4)(2.2,5)(1.8,5)(1.8,0.4)(1.6,0.4)
\pspolygon*(7.6,0)(8.4,0)(8.4,0.4)(8.2,0.4)(8.2,5)(7.8,5)(7.8,0.4)(7.6,0.4)
\psline(1.6,4.6)(1.8,5)(2.2,5.8)(2.2,5)\psline(2.2,5.8)(2.5,5.8)(2.5,1.6)
\psline(8.4,4.6)(8.2,5)(7.8,5.8)(7.8,5)\psline(7.8,5.8)(7.5,5.8)(7.5,1.6)
\psline(2,0)(8,0)
\rput(4.9,6.8){Position basse}
\rput(4.9,1.9){tablier du pont}
\rput(4.9,0.4){chenal maritime}
\rput(0.8,1.9){route}\rput(9.2,1.9){route}
\end{pspicture}
}
%\includegraphics[scale=0.1]{pont.png} 
\end{center}
\[\begin{array}{|l |}\hline 
\text{Hauteur du tablier en position haute : 7 mètres}\\
\text{Longueur du tablier : 30 mètres}\\
\text{Temps de montée du tablier : 2 minutes}\\
\text{Temps en position haute du tablier (hors incident) : 8 minutes}\\
\text{Temps de descente du tablier : 2 minutes}\\
\hline 
\end{array}\]

\textbf{Partie A - Sur la route}

\medskip

Un automobiliste se présente devant le pont. Le tablier du pont est \emph{en position haute}. On s'intéresse ici au temps d'attente $D$, exprimé en minutes, de l'automobiliste avant qu'il puisse franchir le canal, pont baissé (hors incident).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Combien de temps l'automobiliste attend-il au minimum ? au maximum?
\item On admet que le temps d'attente, en minutes, de l'automobiliste pour franchir le pont est une variable aléatoire $D$ qui suit la loi uniforme sur l'intervalle [2~;~10].

Déterminer l'espérance $E(D)$ de la variable aléatoire $D$ et interpréter le résultat dans le contexte.
\item Calculer la probabilité que le temps d'attente de l'automobiliste ne dépasse pas 5 minutes.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Sur l'eau}

\medskip

\emph{Dans cette partie les résultats demandés seront arrondis à $10^{-2}$ près.}

\medskip

Lorsqu'un bateau est passé, le tablier du pont revient en position basse. Le temps, exprimé en heures, avant que le bateau suivant se présente devant le pont est une variable aléatoire $T$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,05$. Ce temps est appelé temps de latence.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'espérance $E(T)$ de la variable aléatoire $T$ et interpréter le résultat dans le contexte.
\item On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par 

\[f(x) = 0,05 \text{e}^{-0,05 x}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $F$ définie sur $[0~;~+\infty[$  par $F(x) = -\text{e}^{-0,05 x}$ est une primitive de $f$.
		\item On rappelle que pour tout nombre réel $t$  de $[0~;~+\infty[ , P(T \leqslant t) = \displaystyle\int_0 ^t f(x)\; dx$.

Démontrer que $P(T \leqslant t)  = 1 - \text{e}^{-0,05 t}$.
	\end{enumerate} 
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que le temps de latence soit inférieur à une demi-journée,
soit 12 heures.
		\item  Calculer la probabilité que le temps de latence soit supérieur à un jour.
		\item  Calculer $P(12\leqslant T \leqslant 24)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 \end{document}