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\begin{document}
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\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat STI  Génie mécanique A et F, énergétique, civil}
\lfoot{\small{France}}
\rfoot{\small{juin 2001}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STI France juin 2001~\decofourright\\Génie mécanique A et F, énergétique, civil } \end{center}

\vspace{0,5cm}

Durée : 4 heures \hfill Coefficient : 4

\begin{center} L'usage des calculatrices est autorisé pour cette épreuve

Le formulaire officiel de mathématiques est distribué en même temps que
 le sujet.

Ce sujet nécessite $2$ feuilles de papier millimétré. \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Oij{}  d'unité graphique $1$~cm. On considère les points A, B, C d'affixes respectives :

\[z_{\text{A}} = \sqrt{3} + 3\text{i}~ ;~ z_{\text{B}} = 2\sqrt{3} \quad 
\text{et}\quad  z_{\text{C}} = 2\text{i}.\]

\begin{enumerate}
\item Placer les points A, B et C dans le plan complexe
 (sur papier millimétré).
\item Déterminer le module et un argument du nombre
 complexe $z_{\text{A}}$.
\item
	 \begin{enumerate}
	 	 \item  Calculer les modules des nombres complexes
$z_{\text{A}}  - z_{\text{C}},~z_{\text{B}} - z_{\text{A}}$ et 
$z_{\text{B}} - z_{\text{C}}$.

En déduire la nature du triangle ABC.
		\item Déterminer l'affixe du centre K du cercle $(\Gamma)$
 circonscrit au triangle ABC préciser le rayon $r$ de ce cercle.
		\item Montrer que le point O appartient au cercle $(\Gamma)$.
	\end{enumerate}
\item On considère le point D, d'affixe $z_{\text{D}} = 2 \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}$.
	\begin{enumerate}
	 	\item Montrer, que $z_{\text{D}} = \sqrt{3}-  \text{i}$.
		\item Calculer l'affixe du milieu M du segment [AD].
		\item Démontrer que le quadrilatère ABDC est un rectangle.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\begin{enumerate} 
\item Résoudre l'équation différentielle : $4y'' + y = 0$.
\item Déterminer la solution particulière de cette équation différentielle vérifiant 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
f(\pi) & = & \sqrt{3}\\
f'(\pi)& =& - \dfrac{1}{2}.
\end{array}  \right.\]

\item Montrer que cette solution $f$ vérifie, pour
 tout $x$ réel : $f(x) = 2 \cos \left( \dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi}{3} \right)$.
\item Résoudre dans l'ensemble des nombres réels
 l'équation d'inconnue $x$
 
$ : f(x) = 1$~; en donner les solutions appartenant à l'intervalle $[0; 4\pi[$.
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  11 points}

\medskip

Dans tout le problème, le plan est rapporté à un repère orthogonal 
\Oij{}  (unités graphiques : $2$~cm sur l'axe des abscisses, $1$~cm sur l'axe des ordonnées).

Soit $f$ la fonction définie sur $]-\infty~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = 3\text{e}^{-x} + 2x - 4.\]

\bigskip

\textbf{Partie A : Construction de la courbe représentative de} 
\boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate} 
\item
	 \begin{enumerate} 
	 	\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
		\item Vérifier que $f(x) = \text{e}^{-x}\left(3 + 2x\text{e}^x - 
 4\text{e}^{x}\right)$. Déterminer alors la limite de $f$ en $- \infty$.
		\item Soit $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ et
soit (D) la droite d'équation : 
 
$y = 2x - 4$. Montrer que (D) est  asymptote à $(\mathcal{C})$ en $+ \infty$ et étudier la position relative  de la droite (D) par rapport à la courbe $(\mathcal{C})$. 
	\end{enumerate} 
\item
	 \begin{enumerate}
	 	 \item Calculer la dérivée de $f$ Résoudre l'inéquation d'inconnue réelle 
		 
$x~ :~ - 3\text{e}^{-x} + 2 \geqslant 0.$
		\item Dresser le tableau de variations de $f$.
		\item Donner une équation de la tangente (T) à la courbe $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $0$.
		\item Déterminer les valeurs exactes du minimum et du maximum de
 la fonction $f$ sur l'intervalle $[-2~;~5]$. 
	\end{enumerate}
\item Tracer $(\mathcal{C})$, (D) et (T) dans le
 repère \Oij, pour $x$ variant de $-2$ à $5$ (sur papier millimétré). 
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Partie B : Calcul d'une aire}

\medskip

\begin{enumerate}
 \item Chercher une primitive de $f$ sur $]- \infty~;~+ \infty[$.
\item
	 \begin{enumerate}
	 	\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet sur ]1 ; 2[ une unique solution $\alpha$ dont on donnera une valeur approchée au dixième près.
		\item Préciser, en le justifiant, le signe de $f(x)$ sur
 l'intervalle $]\alpha~;~ + \infty[$.
		\item Calculer, en cm$^2$, l'aire du domaine plan limité par la
 courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équation
 $x = \alpha$ et $x = 4$. En donner une valeur approchée en utilisant
 pour $\alpha$ la valeur approchée trouvée précédemment. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}