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\begin{document}
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\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat STI  Génie mécanique B, C, D et E, génie des matériaux}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2001}}
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\begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole juin 2001~\decofourright\\Génie mécanique B, C, D et E, génie des matériaux} 

\textbf{Calculatrice autorisée}

Durée : 4 heures \hfill Coefficient : 4

Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème. Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l'appréciation des copies.

Le formulaire officiel de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.

Ce sujet nécessite 2 feuilles de papier millimétré.
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation en $z$~ :
 
 \[z^2 - 6z + 13 = 0.\]

\item
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer les réels $b$ et $c$ tels que pour tout complexe $z$ :
	
\[z^3 - 9z^2 +31z - 39 = (z - 3)(z^2 + bz + c).\]

		\item En déduire les solutions dans $\C$ de l'équation en $z~:~ z^3 - 9z^2 + 31z - 39 = 0$.
	\end{enumerate}
\item Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal 
\Ouv{} (unité : $2$~cm).

Soient A, B, E et F les points d'affixes respectives

\[z_{\text{A}} = 3+2\text{i},~ z_{\text{B}}=3-2\text{i},~ z_{\text{E}} = 5 
+\text{i} \quad \text{et}~ z_{\text{F}} = 3.\]

	\begin{enumerate} 
		\item Placer les points A, B, E et F dans le plan complexe (sur papier millimétré).
		\item Calculer les distances FA, FB et FE. En déduire que les points A, B et E appartiennent à un cercle $(\Gamma)$ de centre F.
		\item Quelle est la nature du triangle ABE ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Résoudre l'équation différentielle (E) : ~$y'' + y = 0$.
\item On désigne par $f$ la solution particulière de (E) dont la courbe
 représentative dans un repère orthonormal passe par le point de coordonnées (0~;~1) et admet en ce point une tangente parallèle à la droite d'équation $y = x$.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer $f(0)$ et $f'(0)$.
		\item En déduire une expression de $f(x)$ en fonction de $x$.
		\item Vérifier que pour tout réel $x,\: f(x) = \sqrt{2} \cos \left(x  - 
\dfrac{\pi}{4}\right)$.
	\end{enumerate}
\item Calculer la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle 
$[0~;~\pi]$, c'est-à-dire le réel $m$ défini par : 

\[m = \dfrac{1}{\pi} \displaystyle\int_{0}^{\pi} f(x)\: \text{d}x.\]

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  11 points}

\bigskip

\textbf{Partie I}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $g(x) = - x + x 
\ln x$ (où $\ln$ désigne le logarithme népérien).

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Résoudre dans l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, l'équation $g(x) = 0$.
\item Résoudre dans l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, 
l'équation $g(x) > 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = - \dfrac{3}{4}x^2 + \dfrac{1}{2}x^2\ln x.\]

On appelle $(\Gamma)$ la courbe représentative de $f$ dans le repère 
orthonormal \Oij{} (unités : $2$~cm).

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$ et  $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)$.
\item Montrer que $f'(x) = g(x)$. Utiliser les 
résultats de la \textbf{partie I} pour établir le tableau de 
variations de $f$.
\item Calculer $f\left(\text{e}^{\frac{3}{2}} \right)$. 
On fera apparaître le détail des calculs.
\item Soit A le point de $(\Gamma)$ d'abscisse 1. 
Déterminer une équation de la tangente (T) en A à la courbe $(\Gamma)$.
\item Tracer dans le repère \Oij{}  la tangente (T) ainsi que la partie de la courbe $(\Gamma)$ relative à l'intervalle [0 ; 6].
\item Soit $F$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ 
par :

\[F(x) = \dfrac{1}{6}x^3 \ln x - \dfrac{11}{36}x^3.\]

	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$.
		\item Calculer en cm$^2$ l'aire du domaine limité dans le repère 
\Oij{}, par la courbe $(\Gamma)$, l'axe des abscisses et les droites 
d'équation $x = 1$ et $x = \text{e}$. On en donnera la valeur exacte, 
puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}