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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat STI Métropole juin 2001}
\lfoot{\small{Génie électronique, électrotechnique,\\ optique}}
\rfoot{\small{}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole juin 2001~\decofourright\\Génie électronique, électrotechnique, optique } 

\vspace{0,5cm}

Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.

Il est rappelé aux candidats que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

LE CANDIDAT TRAITERA OBLIGATOIREMENT LES 2 EXERCICES
ET LE PROBLÈME

Durée : 4 heures \hfill Coefficient : 4

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  4 points}

\medskip

Soit l'équation différentielle (E) : $4 y'' + 9 y = 0$ , où $y$ est une fonction de la variable $t$ et $y''$ sa dérivée seconde.

\begin{enumerate} 
\item Résoudre l'équation différentielle (E).

\item Trouver la fonction $f$, solution particulière de (E), vérifiant les
conditions suivantes : 

\[f\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \sqrt{2}\quad \text{ et}\quad f'\left(\dfrac{\pi}{6}\right)= 0.\]

\item Vérifier que, pour tout réel $t,~ f(t) = 
\sqrt{2}\cos \left(\dfrac{3}{2}t - \dfrac{\pi}{4}\right)$.

\item Déterminer la valeur moyenne de $f$ sur 
l'intervalle $\left[0 ~;~\dfrac{\pi}{6}\right]$.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  4 points}

\medskip

Un jeu de hasard consiste à introduire une bille dans le tube d'une machine.

Cette machine possède trois portes P$_{1}$, P$_{2}$ et P$_{3}$ qui ferment ou ouvrent les accès aux quatre sorties possibles s$_{1}$, s$_{2}$, s$_{3}$  et s$_{4}$.

Un système électronique positionne aléatoirement ces trois portes puis libère la bille.

\begin{center}
\psset{xunit=0.95cm}
\begin{pspicture}(10,4)
\psline(0,3.55)(9.7,1.25)(9.7,0) \psline(0,3.2)(9.2,0.8)(9.2,0)
\psline(1.85,2.75)(1.85,0) \psline(2.35,2.5)(2.35,0) 
\psline(4.5,2.05)(4.5,0) \psline(5,1.9)(5,0)
\psline(6.75,1.45)(6.75,0) \psline(7.25,1.35)(7.25,0)
\psline[linewidth=3pt](1.85,2.7)(2.35,2.58) 
\psline[linewidth=3pt](5,1.9)(5,2.4)
\psline[linewidth=3pt](6.75,1.45)(7.25,1.32)
\psline[linestyle=dashed](2.35,2.5)(2.35,3.04)
\psline[linestyle=dashed](4.5,2.05)(5,1.9)
\psline[linestyle=dashed](7.25,1.35)(7.25,1.86)
\uput[d](2.1,0){s$_{1}$} \uput[d](4.75,0){s$_{2}$}
\uput[d](7,0){s$_{3}$} \uput[d](9.5,0){s$_{4}$}
\uput[u](2.1,3.3){P$_{1}$ (fermée)}
\uput[u](4.7,2.6){P$_{2}$ (ouverte)}
\uput[u](7,1.8){P$_{3}$ (fermée)}
\uput[l](-0.2,3.9){Entrée de} 
\uput[l](-0.2,3.5){la bille}
\psline{->}(0,3.4)(0.5,3.25) \psline{->}(4.75,0.5)(4.75,0)
\qdisk(4.75,1){1mm}
\end{pspicture}\end{center}

N.B. : sur le schéma les portes P$_{1}$ et P$_{3}$ sont fermées, 
la porte P$_{2}$ est ouverte, la bille sortira par s$_{2}$.

\begin{enumerate} 
\item énumérer dans un tableau comme ci-dessous, en s'aidant éventuellement d'un arbre de choix, toutes les positions simultanées possibles des trois portes et indiquer la sortie imposée à la bille pour chacune de ces configurations.

\begin{center} \begin{tabular}{| c | c | c | c|}\hline
P$_{1}$ &	P$_{2}$ & 	P$_{3}$ & 	sortie\\ \hline
\ldots\ldots&	\ldots\ldots& & \\ \hline
F & 	O & 	F&	s$_{2}$\\ \hline

\ldots\ldots&	\ldots \ldots & & \\ \hline
\end{tabular} \end{center}

Par convention on notera F une porte fermée et O une porte ouverte.)

\item On suppose que les huit évènements élémentaires, trouvés à la
question 1, sont équiprobables.
	\begin{enumerate}
		 \item Soit A l'évènement (F ; O ; F). Quelle est la probabilité p(A) de l'événement A ?
		\item Soit S$_{1}$ l'évènement \og la bille sort par s$_{1}$ \fg{}, 

S$_{2}$ l'évènement \og la bille sort par s$_{2}$ \fg{},

S$_{3}$ l'évènement \og la bille sort par s$_{3}$ \fg{},

S$_{4}$ l'évènement \og la bille sort par s$_{4}$ \fg{}.

Calculer les probabilités
$p$(S$_{1}$), $p$(S$_{1}$), $p$(S$_{1}$) et $p$(S$_{1}$) de chacun de ces évènements.
	\end{enumerate}
\item Pour jouer, on doit miser $7$~francs.

Si la bille sort par s$_{1}$, on ne reçoit rien. Si la bille sort par 
s$_{2}$ on reçoit $5$~francs.

Si la bille sort par s$_{3}$ on reçoit $10$~francs. Si la bille sort par 
s$_{4}$, on reçoit $20$~francs.

On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à chaque sortie possible, associe le gain ou la perte en francs du joueur (en tenant compte de la mise des $7$~francs ; par exemple : à la sortie s$_{4}$ , $X$ associe 13)
	\begin{enumerate} 
		\item Quelles sont les valeurs prises par $X$ ?
		\item Présenter dans un tableau la loi de probabilité de $X$.
		\item Calculer l'espérance mathématique E($X$) de $X$.
	\end{enumerate}
\item On veut modifier la mise afin que le jeu soit équitable,
c'est-à-dire que E($X$) soit égale à zéro. Déterminer cette nouvelle mise en justifiant la réponse.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

Sur le graphique ci-dessous, $\mathcal{C}$ est la courbe représentative, dans le repère orthonormal \Oij, d'une fonction $f$ définie sur $\R$.

\psset{unit=0.8cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-8,-8)(7,3)
\psgrid[gridlabelcolor=white](0,0)(-8,-8)(7,3)
\psline[linewidth=2.5pt](-8,0)(7,0)
\psline[linewidth=2.5pt](0,-8)(0,3)    
\uput[dl](0,0){O}     \uput[d](3,2){L : $y = 2$} 
\uput[d](5,-7){D : $y = -7$} 
\pstextpath[l](2mm,2mm){\psplot{-2.5}{1}{3 x mul}}{$y = 3x$}
\pstextpath[r](-2mm,2mm){\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-7}{2.78}{9 2.71828 x exp sub 16 1 
2.71828 x exp add div sub}}{$\mathcal{C} \:y = f(x)$~~}
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(0,1)
\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{\imath}$} 
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{\jmath}$}
\psline[linestyle=dotted](1.0986,2)(1.0986,0)
\uput[d](1.0986,0){$\ln 3$}
\psline[linewidth=2.5pt](-8,-7)(7,-7)
\psline[linewidth=2.5pt](-8,2)(7,2)
\end{pspicture}    
\end{center}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

La droite L, d'équation $y = 2$, est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $\ln 3$.

La droite T, d'équation $y = 3x$, est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.

La droite D, d'équation $y = - 7$, est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ au voisinage de $- \infty$.

Déterminer, à l'aide de ces données, les réels suivants :

\begin{enumerate}
\item[a.] $f(0)$ et $f(\ln 3)$ ;
\item[b.] $f'(0)$ et $f'(\ln 3)$ ;
\item[c.] $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

On admet que, pour tout réel $x,~ f(x) = a\text{e}^x  + b +	
\dfrac{c}{\text{e}^x + 1}$ où $a,~ b$ et $c$ sont des constantes réelles.

\begin{enumerate}
 \item
 	 \begin{enumerate}
	 	 \item Déterminer en fonction des réels $a,~ b$ et  $c$, les nombres suivants :

\[f(0)~ ;~ f(\ln 3)~ ;~ \displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x).\]

		\item En déduire un système d'équations vérifiées par $a,~ b$, 
et $c$.

Résoudre ce système et en déduire que $f(x) = - \text{e}^x 	+ 9 - 
\dfrac{16}{\text{e}^x + 1}$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$en $+ \infty$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$, pour tout réel $x$.
		\item Vérifier que, pour tout réel $x~ :~ f'(x) = \dfrac{\text{e}^x(\text{e}^x + 5)(3 - \text{e}^x)}{(\text{e}^x + 1)^2}$ et en déduire le tableau de  variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

On rappelle que $f(x) = - \text{e}^x + 9 - \dfrac{16}{\text{e}^x + 1}$ 
pour tout réel $x$.

\begin{enumerate}
\item Vérifier que, pour tout réel $x~ :~ f(x) = - 
\text{e}^x - 7 + 16 \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 1}$.
\item
	 \begin{enumerate}
	 	\item Déterminer l'abscisse du point d'intersection de  la courbe $\mathcal{C}$ avec la droite D d'équation $y = - 7$.
		\item Étudier la position de D par rapport à $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate}
\item Soit $F$ la fonction définie sur $\R$ par :

\[F(x) = 16 \ln \left(\text{e}^x + 1\right) - \text{e}^x - 7x.\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $F$ est une primitive de $f$.
		\item En déduire la valeur de l'intégrale $\mathcal{A} = 
\displaystyle \int_{0 }^{\ln 15} [f(x) + 7]\: \text{d}x$.
		\item Interpréter géométriquement l'intégrale $\mathcal{A}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}