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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat STI  Génie électronique, électrotechnique, optique}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2001}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft ~Baccalauréat STI Métropole  septembre 2001~\decofourright\\Génie électronique, électrotechnique, optique}}

\vspace{0,5cm}

Durée : 4 heures \hfill Coefficient : 4

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

On lance trois fois de suite une pièce de monnaie et l'on note, dans l'ordre les résultats obtenus ; par exemple PFF correspond à \og Pile - Face - Face \fg{}.

Les résultats sont équiprobables.

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item À l'aide d'un arbre, écrire tous les résultats possibles et indiquer pour chacun de ces résultats le nombre de fois où on a obtenu \og Face \fg.
		\item Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de fois où on a 
obtenu \og Face \fg{} sur les trois lancers. Donner, sous forme d'un tableau, la loi de probabilité de $X$. 
	\end{enumerate}
\item Une personne mise $10$~euros pour participer à un jeu qui consiste à lancer trois fois de suite la pièce de monnaie.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] S'il a obtenu moins de deux fois \og Face \fg{}, le joueur ne reçoit rien.
\item[$\bullet~$] S'il a obtenu exactement 2 fois \og Face \fg{}, le joueur reçoit $10$~euros.
\item[$\bullet~$] S'il a obtenu exactement trois fois \og Face \fg{}, le joueur reçoit $30$~euros.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On désigne par $Y$ la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur (c'est-à-dire la différence entre la somme reçue et sa mise).

	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer les valeurs que peut prendre $Y$.
		\item Donner la loi de probabilité de $Y$.
		\item Calculer l'espérance mathématique de $Y$.
	\end{enumerate}
\item On veut modifier la mise pour que le jeu soit équitable, c'est-à-dire que E($Y$) soit égal à $0$.

Déterminer cette nouvelle mise en justifiant votre réponse.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Le but de l'exercice est le calcul de l'intégrale 
$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\sin (2x)}{1 + 2\sin x}\: 
\text{d}x$.

Pour cela, on introduit les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle 
$\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ par :

\[f(x) =  \dfrac{\sin (2x)}{1 + 2\sin x}\qquad \text{et} \qquad g(x) = 
\dfrac{\cos x}{1 + 2\sin x}\]

ainsi que les intégrales : I $=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \: 
\text{d}x$ et J $= \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \:\text{d}x$.

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que $f(x) + g(x) = \cos x$.
		\item En déduire que I + J = 1.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la dérivée de la fonction $u$ définie sur l'intervalle  $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ par : 

\[u(x) = 1 + 2\sin x.\]

		\item En déduire une primitive de la fonction $g$ sur l'intervalle 
$\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$.
		\item Calculer J.
	\end{enumerate}
\item En utilisant les questions précédentes, déterminer la valeur exacte de I.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.5cm} 
\begin{pspicture}(-4,-2)(4,18)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2]{->}(0,0)(-4,-2)(4,18)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{-2.886}{2.886}{2.71828 x exp 2.71828  x neg exp add}
\psplot{-4}{4}{2 x 2 exp add}
\uput[u](4,0){$x$} \uput[r](0,18){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par :

\[f(x) = \text{e}^x + \text{e}^{-x} \qquad \text{et} \qquad  g(x) =2 + 
x^2.\]

Sur le graphique joint , on a tracé les courbes représentatives 
$\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ de ces fonctions dans un repère 
orthogonal (unité graphique : 2~cm sur l'axe des abscisses et 0,5~cm sur
 l'axe des ordonnées).
 
Dans la \textbf{partie A}, on étudie la fonction $f$. L'objet de la \textbf{partie B} est d'étudier la position relative des courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$, puis de calculer une aire.

\bigskip

\textbf{Partie A : étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Montrer que $f$ et $g$ sont des fonctions paires et interpréter géométriquement cette propriété.
\item Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$.

En déduire la limite de $f$ en $- \infty$.
\item Calculer la fonction dérivée $f'$ de $f$.

Montrer que pour tout $x \in  [0~;~+ \infty[,\quad  \text{e}^x - 
\text{e}^{-x} \geqslant  0$.

En déduire les variations de $f$ sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$.
\item Donner le tableau de variations de $f$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que $f(\ln 2) = \dfrac{5}{2}$.
		\item En déduire $f\left(\ln \dfrac{1}{2}\right)$.
	\end{enumerate}
\item  Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) =  3$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Calcul d'une aire}

\medskip

Soit $h$ la fonction définie sur $[0~;~\infty[$ par :

\[h(x) =  \text{e}^x - \text{e}^{-x} - 2x.\]

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la fonction dérivée $h'$ de $h$.
		\item Montrer que $h'(x) = \dfrac{\left(\text{e}^x - 1\right)^2}{\text{e}^x}$.

Établir le tableau de variations de la fonction $h$ (on ne demande pas
 la limite en $+ \infty$).
		\item En déduire que $h (x) \geqslant  0$, pour tout $x \in [0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction $r$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$
 par
 
$r(x) = f(x) - g(x)$.
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que $h$ est la fonction dérivée de $r$. En déduire les variations de $r$.
		\item Calculer $r(0)$ et montrer que $r(x) \geqslant 0$, pour tout $x \in [0~;~+ \infty[$.
		\item Déterminer la position relative des courbes $\mathcal{C}_f$ et 
$\mathcal{C}_g$ pour $x \in [0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer une primitive de la fonction $r$ sur $\R$.
		\item Calculer I $= \displaystyle\int_{0}^2 r(x) \:\text{d}x$.
		\item En déduire l'aire $\mathcal{A}$ du domaine limité par les deux 
courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ et les droites d'équations 
$x = 2$ et $x = - 2$. (On donnera sa valeur exacte en unités d'aire, 
puis son approximation décimale À $10^{-2}$ près par défaut).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}