\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! 
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-circ}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\makeatletter%graduations décimales
\def\pshlabel#1{\expandafter\LabelVirgule#1..\@nil}
\def\psvlabel#1{\expandafter\LabelVirgule#1..\@nil}
\def\LabelVirgule#1.#2.#3\@nil{%
\ifx#1\@emptyO\else#1\fi
\ifx#2\@empty\else,#2\fi}
\makeatother
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\vspace{1cm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small  STL Biochimie Génie biologique}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2002}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}  {\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STL Biochimie, Génie 
Biologique~ \decofourright\\Métropole   juin 2002}} \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

Des étudiants en agronomie procèdent au croisement de deux variétés de pois, l'une ayant des graines jaunes et lisses, l'autre des graines vertes et ridées.

En première génération, F$_{1}$, les graines obtenues sont toutes semblables entre elles, elles sont jaunes et lisses.

L'expérience est poursuivie. Les étudiants croisent entre eux les individus de la génération F$_{1}$, pour obtenir la génération F$_{2}$.

L'observation de \np{5431} graines issues de la génération 
F$_{2}$ montre que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] \np{4069} graines sont jaunes dont \nombre{3057} lisses ;
\item[$\bullet~$] 341 graines sont vertes et ridées.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\emph{Dans les questions $2$ à $4$, les résultats seront donnés sous forme décimale arrondie à $10^{- 3}$ près}.

\vspace{0,4cm}

\begin{enumerate} 
\item Reproduire et compléter le tableau suivant (on ne justifiera pas les
résultats) :

\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}	& graines jaunes& graines vertes& Total\\ \hline 
graines lisses			&				&				& \\ \hline
graines ridées			&				&				& \\ \hline
Total					& 				& 				& \nombre{5341}\\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center}

\item On tire au hasard une graine parmi les \np{5431} de cet échantillon, tous les tirages étant équiprobables. Calculer la probabilité des évènements suivants : 

A : \og La graine est jaune \fg ; B : \og La graine est lisse \fg.
\item On considère les évènements suivants : A ~$\cap$~ B ; 
A ~$\cup$~ B ; $\overline{\text{A}}$ et $\overline{\text{A}} \cap 
\overline{\text{B}}$  où $\overline{\text{A}}$ et 
$\overline{\text{B}}$ désignent les évènements contraires respectifs de A et B.

Définir chacun de ces évènements par une phrase, puis calculer leur probabilité.
\item On prend, au hasard, une graine jaune. Quelle est la probabilité de
l'évènement C \og la graine est ridée \fg ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{PROTOZOAIRE} : être vivant unicellulaire, classé traditionnellement dans le règne animal. (dictionnaire \emph{Le Petit Robert})

On étudie l'évolution d'une colonie de protozoaires placés dans un milieu limité.

Le nombre $f(t)$ de protozoaires dépend du temps, exprimé en heures, selon la relation :

\[f(t) = \dfrac{10^3}{1 + 4\text{e}^{-0,5t}}.\]

pour $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$.

$\mathcal{C}$ désigne la courbe représentative de la 
fonction $f$ dans un repère orthogonal, d'unités graphiques :

$\bullet~$ 1 cm pour 1 heure sur l'axe des abscisses ;

$\bullet~$ 1 cm pour 100 protozoaires sur l'axe des ordonnées.

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Étudier la limite de $f(t)$  quand $t$ tend vers $+ \infty$.
		\item En déduire que $\mathcal{C}$ admet une asymptote dont on précisera une équation.
	\end{enumerate}
\item On note $f'$ la dérivée de $f$.
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que pour tout nombre réel positif $t$ :

\[f'(t) = \dfrac{\np{2000}\text{e}^{- 0,5t}}{\left(1 + 4\text{e}^{-0,5t} 
\right)^2}.\]

		\item Déterminer le signe de $f'(t)$ sur $[0~;~+ \infty[$.
		\item Établir le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate}
\item Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau suivant. 
Les valeurs de $f(t)$ seront arrondies à l'unité près.

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$ 	&0 	&1 		&2	&4	&6	&8	&9	&10\\ \hline 
$f(t)$	& 	& 		& 	& 	& 	& 	& 	& \\ \hline 	
\end{tabularx}\]

\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ et son asymptote.
\item Calculer l'instant $t_{0}$ où le nombre de protozoaires sera égal à 500.
Donner une valeur approchée de $t_{0}$ à une minute près. 

\item Déterminer graphiquement au bout de combien de temps, cette colonie de
protozoaires dépassera $95\,\%$ de son taux de saturation qui s'élève à 
\np{1000} individus. 

(\emph{On fera apparaître sur la figure les construction utiles}.)
\end{enumerate}
\end{document}