\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
%tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}
\setlength\paperheight{297mm}
\setlength\paperwidth{210mm}
\setlength{\textheight}{24cm}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr} 
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat STL Chimie de laboratoire et de procédés industriels}
\rfoot{\small{ juin 2000}}
\lfoot{\small{Métropole}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL  Métropole  juin 2000~\decofourright\\
Chimie de laboratoire et de procédés industriels}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}

Durée : 3 heures \hfill Coefficient : 4\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

\parbox[l]{0.7\textwidth}{Un cube de bois de 3 cm est
peint puis débité, parallèlement aux faces, en cubes de 1 cm d'arête.\\
On place les petits cubes dans un sac.} \hfill 
\parbox[c]{0.25\textwidth}{\psset{unit=1.25cm}\begin{pspicture}(2.5,2.5)
\psline(0,0)(1.5,0)(2.1,0.6) \psline(0,0.5)(1.5,0.5)(2.1,1.1) 
\psline(0,1)(1.5,1)(2.1,1.6) 
\psline(0,1.5)(1.5,1.5)(2.1,2.1)
\psline(0,0)(0,1.5)(0.6,2.1) \psline(0.5,0)(0.5,1.5)(1.1,2.1) 
\psline(1,0)(1,1.5)(1.6,2.1) 
\psline(1.5,0)(1.5,1.5)(2.1,2.1)
\psline(0.2,1.7)(1.7,1.7)(1.7,0.2)
\psline(0.4,1.9)(1.9,1.9)(1.9,0.4) 
\psline(0.6,2.1)(2.1,2.1)(2.1,0.6) 
\end{pspicture}}

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Combien de petits cubes a-t-on placé dans le sac ?
		\item Combien y-en-a-t-il ayant zéro face peinte, une face peinte, deux faces peintes, trois faces peintes ?
	\end{enumerate}
\item On tire au hasard, un cube du sac.

Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tirage associe	le nombre de faces peintes obtenues.

Donner la loi de probabilité de $X$.

Calculer l'espérance mathématique E($X$), la variance V($X$) 
puis l'écart-type $\sigma$($X$).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points}

\medskip

Dans le plan complexe muni du repère orthonormal 
\Ouv, on considère les points A et M d'affixes
respectives $z_{\text{A}} = 1 + \text{i}$ et $z_{\text{M}} = \sqrt{2} + z_{\text{A}}$.

\begin{enumerate} 
\item Calculer OA, puis placer les points A et M.
\item En utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle approprié, calculer OM et en déduire $\left|z_{\text{M}}\right|$.
\item Soit $Z$ le nombre complexe tel que $Z = z_{\text{M}}^2$.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $z_{\text{A}}^2$ puis montrer que 
$z_{\text{M}}^2 = 	\left(2\sqrt{2} + 2\right)(1 + \text{i})$.
		\item En déduire un argument de $z_{\text{M}}^2$  puis un argument 
de $z_{\text{M}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 12 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l' intervalle ]0~;~2[, dont 
la courbe représentative $\mathcal{C}$, dans le plan rapporté à un repère 
orthonormal \Oij, est la suivante :

\psset{unit=1.4cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-3)(4,1)
\psgrid[gridlabelcolor=white,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-1,-3)(4,1)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(-1,0)(4,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-3)(0,1)
\psline[linewidth=1.5pt](2,-3)(2,1)
\uput[d](1,0){1} \uput[d](4,0){$x$}
\uput[dl](0,0){O}  \uput[l](0,-1){-1} \uput[r](0,-2){$\mathcal{C}$}
\uput[r](2,0.5){$\mathcal{D}$} \uput[l](0,1){$y$}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.025}{1.975}{x 2 mul x dup mul sub ln}
\end{pspicture}
\end{center}

La droite $\mathcal{D}$ a pour équation $x = 2$.

\textbf{Partie A}

\medskip

Le but de cette partie est de déterminer $f$ sachant que $f(x)$ est de 
la forme $\ln \left(ax^2 + bx\right)$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels non nuls.

\begin{enumerate} 
\item Montrer que $f'(x) = \dfrac{2ax + b}{ax^2 + bx}$.
\item Sachant que la courbe $\mathcal{C}$ passe par le point A de coordonnées (1~;~0) où elle admet une tangente  horizontale , déterminer $a$ et $b$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : Étude de la fonction\boldmath $f$ 
\unboldmath}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = - x^2 + 2x$ et $f$ la 
fonction définie sur ]0~;~2[ par $f(x) = \ln g(x)$.

\begin{enumerate} 
\item	
	\begin{enumerate} 
		\item Étudier le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$.
		\item Déterminer la limite de $g(x)$ lorsque $x$ tend vers 0, puis la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers 0.	
		\item Déterminer la limite de $g(x)$ lorsque $x$ tend vers 2, puis la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers 2.	
		\item En déduire les équations des asymptotes à la courbe 
$\mathcal{C}$.
	\end{enumerate}
\item Calculer $g'(x)$ puis montrer que $f'(x) = \dfrac{-2x + 2}{g(x)}$.
\item Étudier le signe de $f(x)$, puis dresser le tableau 
de variations de $f$.
\end{enumerate}

\textbf{Partie C : Calcul d'aire.}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item	Soit $F$ la fonction définie sur ]0~;~2[ par 

\[F(x) =  x \ln x + (x - 2)\ln (2 - x) - 2x.\]

Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur ]0~;~2[.
\item Calculer la valeur exacte, en unité d'aire, de 
l'aire A($\alpha$) de la partie du plan comprise entre
la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites 
d'équation $x = \alpha$ et $x = 1$.
	
En déduire $\displaystyle\lim_{\alpha \to 0} \text{A}(\alpha)$,
puis son arrondi d'ordre 2.
\end{enumerate}
\end{document}