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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat  STL Chimie de laboratoire et de procédés industriels}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2001}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL  Métropole  juin 2001~\decofourright\\
Chimie de laboratoire et de procédés industriels}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\emph{\footnotesize
L'usage des calculatrices et des instruments de calcul est autorisé.}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

Une urne contient trois boules, indiscernables au toucher, numérotées de 1 à 3.
 
Un jeu consiste à extraire successivement deux boules de l'urne, la première boule étant remise avant d'extraire la seconde.
 
On appelle tirage, tout couple $(a,~ b)$ où $a$ est le numéro de la première boule extraite et $b$ celui de la seconde.
 
On admet que tous les tirages sont équiprobables.
 
\begin{enumerate}
\item Préciser l'ensemble des neuf tirages possibles (on pourra s'aider d'un tableau).
\item Soit X la variable aléatoire qui, à chaque tirage $(a,~b)$, associe le produit $ab$. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les valeurs prises par X ? 
		\item Établir la loi de probabilité de X. 
		\item Calculer l'espérance mathématique E(X).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

On note i le nombre complexe de module 1 ayant pour argument $\dfrac{\pi}{2}$. 
 
On considère les nombres complexes $z_{1} = - \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}$  et $z_{2} = \sqrt{3} + \text{i}$. 
\begin{enumerate}
\item Déterminer le module et un argument de $z_{1}$ puis de $z_{2}$. 
\item On considère le nombre complexe $Z = z_{1} z_{2}^2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire $Z$ sous forme trigonométrique. 
		\item Vérifier que $Z = \left(-2\sqrt{2} - 2\sqrt{6}\right) + \text{i}\left(2\sqrt{2} - 2\sqrt{6}\right)$. 
		\item Déduire des deux résultats précédents les valeurs exactes de $\cos \dfrac{13\pi}{12}$ et de $\sin \dfrac{13\pi}{12}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip		

Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par : 

\[f(x) = \text{e}^{2x} - 3\text{e}^{x} + x + 2.\]
 
et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 4~cm. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $- \infty$. 
		\item Démontrer que la droite $D$ d'équation $y = x + 2$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$. 
		\item Étudier les positions relatives de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $D$.
	\end{enumerate} 
\item Vérifier que pour tout réel $x$ : 

\[f(x) = \text{e}^{x}\left(\text{e}^{x} -3 + \dfrac{x}{\text{e}^{x}}+ \dfrac{2}{\text{e}^{x}}\right) ;\] 

en déduire la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$. 
		\item Vérifier que $f'(x) = \left(2\text{e}^{x} - 1\right) \left(\text{e}^{x} - 1\right)$.
		 
Résoudre dans $\R$ l'équation $f'(x) = 0$ puis déterminer le signe de $f'(x)$. 
		\item Dresser le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse $\ln \left(\dfrac{3}{2}\right)$. Que peut-on dire des droites $T$ et $D$ ? 
		\item Tracer, dans le repère \Oij{} les droites $D,~ T$ et la courbe $\mathcal{C}$. 
\item Calculer l'aire, en cm$^2$, de la partie du plan limité par la courbe $\mathcal{C}$, la droite $D$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = \ln 3$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}