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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL Chimie de laboratoire}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2002}}
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\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Chimie de laboratoire~\decofourright\\ Métropole  juin 2002}}
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} 

\medskip

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal \Ouv{} 
d'unité graphique 3 cm. 

On appelle i le nombre complexe de module 1 et d'argument 
$\dfrac{\pi}{2}$.
 
On appelle notation exponentielle du nombre complexe $z$ l'écriture de $z$
 sous la forme $z = r\text{e}^{\text{i}\theta}$ où $r$ est le module
de $z$ et $\theta$ un argument de $z$ .

\begin{enumerate} 
\item	Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes
 l'équation:

\[z^2 -  z + 1 = 0.\]

\item On pose $z_{\text{A}} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}$i
 et  $z_{\text{E}} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}$i.
	\begin{enumerate} 
		\item Écrire $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{E}}$ en notation
    exponentielle.
		\item Construire les points A et E d'affixes respectives $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{E}}$.
	\end{enumerate}
\item On définit les quatre nombres complexes suivants :

\[z_{\text{B}} = z_{\text{A}}^2\quad ;\quad z_{\text{C}} = 
z_{\text{A}}^3\quad ; \quad z_{\text{D}} = z_{\text{A}}^4\quad ; \quad	
z_{\text{F}} = z_{\text{A}}^6.\]

	\begin{enumerate} 
		\item Écrire ces quatre nombres complexes en notation exponentielle.
		\item Démontrer que les points A, B, C, D, E et F sont situés 
sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon. 
		\item Construire les points B, C, D et F. On justifiera la construction.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

Au cours d'une réaction chimique, on appelle $C(t)$ la concentration
 du réactif (en moles par litre) à l'instant $t$ (en minutes). On
 admet que la fonction $C : t \mapsto C(t)$ définie sur l'intervalle I
 $= [0~;~+ \infty[$ est solution de l'équation différentielle (E) : 

\[C'(t) = - a C(t).\]

où $a$ est une constante donnée liée à la réaction. 

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Résoudre l'équation (E).
		\item Déterminer la solution de (E) vérifiant : $C(0)=0,1$ 
mol.L$^{- 1} (C(0)$ est la concentration initiale à l'instant $t = 0$).
	\end{enumerate}
\item On donne $a = 9,9 \times 10^{-3}$ min$^{- 1}$
et on suppose désormais que la fonction $C$ est définie sur  par :

\[C(t) = 0,1 \times \text{e}^{- 9,9 \times 10^{-1}t}.\] 

	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer le temps de demi-réaction noté $t_{1/2}$ , c'est à dire la valeur de $t$ pour laquelle la concentration est égale à la moitié  de la concentration initiale $C(0)$. On donnera d'abord la valeur exacte de $t$ puis celle arrondie à la minute. 
		\item La courbe représentative de la fonction $C$ est donnée en
 annexe. L'axe des abscisses est graduée en minutes. Déterminer
 graphiquement la valeur de $t$ pour laquelle la concentration 
est égale à $10\,\%$ de la concentration initiale.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle I $= ]0~;~+ 
\infty$[ par :

\[f(x) = x - 1 - 2 \ln x.\]

On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm. 

\begin{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la limite en $0$ de la fonction $f$ . Que peut-on
 en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ?
		\item En écrivant $f(x)$ sous la forme $f(x) = x \left(1 - 
\dfrac{1}{x} - 2\dfrac{\ln x}{x}\right)$,  déterminer la limite de la
fonction $f$ en $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur
l'intervalle I.

Calculer $f'(x)$, étudier son signe puis construire le tableau
de variations  de $f$.
\item Déterminer une équation de la tangente T à la courbe
$\mathcal{C}$ en son point A d'abscisse 1.
\item Calculer $f(2),~f(4),~f(6)$ puis en donner les valeurs
approchées à $10^{-1}$ près.

En utilisant les résultats précédents et le tableau de variations de
 la fonction $f$.
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique
 solution autre que 1.
		\item Donner un encadrement de cette solution par deux entiers
consécutifs.
	\end{enumerate}
\item Construire dans le repère \Oij{} la courbe $\mathcal{C}$,
 et la tangente T.

\item Soit $F$ la fonction définie sur l'intervalle I par

\[F(x) = \dfrac{1}{2}x^2  + x - 2x \ln x.\]

	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que $F$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle 
I.
		\item On appelle $S$ l'aire en cm$^2$ de la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, et les droites d'équations  $x = 4$ et $x = 6$.
 
Calculer la valeur exacte en cm$^2$ de $S$, puis une valeur approchée au 
mm$^2$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center} 
Courbe représentative de la fonction $C$

\medskip
    
\psset{xunit=0.38mm,yunit=165cm} \begin{pspicture}(310,0.11)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=50,Dy=0.2]{->}(0,0)(310,0.11)
\psaxes[ticks=x,Dx=10,labels=none](310,0.11)
\psaxes[ticks=y,Dy=0.01,labels=none](310,0.11)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{310}{0.1 2.72818 0.0099 x mul neg exp mul}
\uput[d](315,0){$t$} \uput[l](0,0.11){$C(t)$}
\uput[dl](0,0){0} \uput[l](0,0.1){0,1}  
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}