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%tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat  STL Chimie de laboratoire et de procédés industriels}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2000}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} \Large{ \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL  Métropole  septembre 2000~ \decofourright\\
Chimie de laboratoire et de procédés industriels}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\emph{\footnotesize
L'usage des calculatrices et des instruments de calcul est autorisé.}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Une roue de loterie munie d'un index fixe est divisée en secteurs 
de mêmes dimensions et de différentes couleurs. Le jeu consiste à miser 20 francs, à faire tourner la roue et à noter la couleur du secteur désigné par l'index à l'arrêt de la roue.

On admet que chaque secteur a la même probabilité d'apparaître. La roue 
comporte :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item $n$ secteurs rouges qui font perdre la mise (gain du joueur : $-20$ F) ;
\item 6 bleus où l'on reçoit 20 F (gain du joueur nul) ;
\item 3 verts où l'on reçoit 80 F ;
\item 1 jaune où l'on reçoit 120 F.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Soit X la variable aléatoire qui représente le gain du joueur.

\begin{enumerate} 
\item \textbf{Dans cette question, la roue comporte 14 secteurs 
rouges}\boldmath ($n = 14$) \unboldmath
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la loi de probabilité de X.
		\item Calculer l'espérance mathématique de X et interpréter ce résultat.
		\item Calculer l'écart-type de X au franc près.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, la roue comporte $n$ secteurs rouges et son 
propriétaire désire gagner en moyenne au moins $15\,\%$ des sommes misées.
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que l'espérance mathématique de X doit être inférieure ou égale à $-3$.
		\item Montrer que l'espérance mathématique de X est : $\dfrac{-20n + 280}{n+10}$
		\item Déterminer le nombre minimum $n$ de secteurs rouges que doit 
comporter la roue.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation
:

\[z^2 - 4 z + 16 = 0.\]

\item Soit $P$ le polynôme défini par : 

\[P(z) =  z^3 + \left(5 - \text{i}\sqrt{3}\right)z + 4\left(1 - \text{i}\sqrt{3}\right).\]

	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $P(-4)$.
		\item En déduire une factorisation de $P(z)$ sous la forme $(z + 4) (z + a)$ où $a$ est un nombre complexe à déterminer.
		\item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation :
 
\[P(z) = 0.\]
	\end{enumerate}
\item Le plan est muni d'un repère orthonormal \Ouv.

Soit les nombres complexes : 

$z_{\text{A}} = 2 + 2 \text{i}\sqrt{3}$ d'image le point A,

$z_{\text{B}} = 2 - 2\text{i}\sqrt{3}$ d'image le point B,

$z_{\text{C}} = - 4$ d'image le point C.

	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer le module et un argument de chacun de ces nombres.
		\item Placer les trois points A, B et C.
		\item Démontrer que A, B et C appartiennent à un même cercle de 
centre O.
		\item Démontrer que le triangle ABC est équilatéral.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

\begin{center} \begin{pspicture}(-2,-5)(5,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-5)(5,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
 \psline(-1,-5)(-1,5)
\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{\jmath}$}
\uput[ul](0,0){O}
\uput[d](5,0){$x$} \uput[r](0,5){$y$}
\uput[dr](0,-3){A} \uput[d](-2,-2){D} \uput[l](-1,-4.5){$\Delta$}
\uput[d](3,-2.4){$\mathcal{C}$}
\psline{<->}(-0.5,-3)(0.5,-3)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.7385}{5}{1 x 1 add 2 exp div 2 x 1 add div sub 2 sub}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
\psline[linewidth=1.5pt](-1,-5)(-1,5)\psline[linewidth=1.5pt](-2,-2)(5,-2)
\end{pspicture} \end{center}

\vspace{0,5cm}

Ci-dessus est tracée dans le repère orthonormal \Oij{} la représentation 
graphique $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ définie sur $]- 1~;~+ \infty[$ 
dont la valeur minimale n'est atteinte que pour $x = 0$.

On sait notamment que $\mathcal{C}$ admet deux asymptotes D et 
$\Delta$ qui sont représentées sur le graphique, qu'elle passe par le 
point A de coordonnées $(0~;~-3)$ et qu'elle admet en A une tangente 
horizontale.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie I}

\begin{enumerate} 
\item En utilisant l'énoncé et le graphique, donner les limites 
de $f$ aux bornes de son ensemble de définition ainsi que les valeurs de $f(0)$ et de $f'(0)$.
\item La fonction $f$ est de la forme : 

\[f(x) = a + \dfrac{b}{x + 1} + \dfrac{c}{(x + 1)^2},\]

où $a,~b,$ et $c$ sont trois constantes réelles.
	
Montrer que $f'(x) = \dfrac{- bx - b - 2c}{(x + 1)^3}$.

\item En utilisant les questions précédentes : 
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que $a = - 2$.
		\item Déterminer $b$ et $c$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

On admet que $f$ est définie sur $]-1~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = -2  - \dfrac{2}{x + 1} + \dfrac{1}{(x + 1)^2}.\]

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie II}

\begin{enumerate} 
\item Calculer $f'(x)$, étudier son signe et en déduire le tableau de 
variations de $f$.
\item Calculer les coordonnées du point d'intersection de $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses.
\item Étudier la position de $\mathcal{C}$ par rapport à la droite D d'équation $y = - 2$.
\item Calculer, en unités d'aire, la valeur exacte de l'aire de la 
région du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, la droite D et les droites d'équation $x = - \dfrac{1}{2}$ et $x = 3$.
\end{enumerate}
\end{document}