\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! }
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
%tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\texteuro{}}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}
\setlength\paperheight{297mm}
\setlength\paperwidth{210mm}
\setlength{\textheight}{24cm}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr} 
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Terminale STL Physique de laboratoire et de procédés industriels}%
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2001}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL  Métropole  juin 2001~\decofourright\\
Physique de laboratoire et de procédés industriels }}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\emph{\footnotesize
L'usage des calculatrices et des instruments de calcul est autorisé.}}
\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

À l'instant $t = 0$, un corps dont la température est de $100\,\degres${}
 est placé dans une salle à $20\,\degres$. On désigne par 
 $\theta(t)$ la température du corps à l'instant $t$, l'unité de
temps étant l'heure et l'unité de température le degré Celsius.

On suppose que la vitesse de refroidissement $\theta'(t)$ est 
proportionnelle à la différence de température entre la température du corps et la température de la salle (loi de Newton) (on négligera l'élévation de température de la salle) et on admettra donc qu'il existe un nombre réel $k$ tel que

\[\theta'(t) = k[\theta(t) - 20].\]

\begin{enumerate} 
\item On pose $y(t) = \theta(t) - 20$.
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que la fonction $y$ est solution de l'équation
 différentielle $y' = ky$ où $k$ est défini ci-dessus.
		\item Résoudre cette équation différentielle.
		\item En déduire que $\theta(t) = C\text{e}^{kt} + 20$ où $C$ est un nombre réel que l'on calculera.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Sachant qu'au bout de 20 minutes le corps s'est refroidi
de $100\,\degres${} à $60\,\degres$, montrer que

\[\theta(t) = 80\text{e}^{(-3\ln 2)t} + 20.\] 

		\item Quelle est la température du corps, arrondie au degré, au bout de 30 minutes ?
		\item En combien de temps la température tombera-t-elle à de $100\,\degres${} à $30\,\degres$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice  2} \hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv~ (unité
graphique 2 cm).

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier que le nombre 
complexe $\left(2 + \sqrt{3}\right) - \text{i}$ est solution de l'équation :

\[Z^2 - 2\left(2 + \sqrt{3}\right)Z + 4\left(2 + \sqrt{3}\right) = 0.\] 

		\item Donner l'autre solution de cette équation.
	\end{enumerate}
\item On considère les nombres complexes :

\[Z_1 = \left(2+\sqrt{3}\right) + \text{i}\quad  \text{et}\quad  Z_2 = 
\left(2+\sqrt{3}\right) - \text{i}.\]

	\begin{enumerate} 
		\item Placer dans le repère \Ouv{} le point A d'affixe $Z_1$
 et le point B d'affixe $Z_2$.
		\item Vérifier que $\dfrac{Z_2}{Z_1} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} - 
\dfrac{\text{i}}{2}$.
		\item Déterminer le module et un argument du complexe $\dfrac{Z_2}{Z_1}$.
		\item Déduire du résultat précédent l'angle de la rotation de centre O qui transforme A en B.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer l'affixe $Z_3$ du point C milieu du
 segment [AB].
		\item Quelle est la nature du triangle OCA ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $\left|Z_1\right|$ et $\left|Z_3\right|$.
		\item Déduire des résultats précédents que :

\[\cos \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}.\]

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

Le but du problème est l'étude de la fonction numérique $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = \dfrac{1}{2}x^2 + 1 - \dfrac{\ln x}{x},\]

où $\ln x$ désigne le logarithme népérien de $x$.

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique : 2 cm.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par :

\[g(x) = x^3 - 1 + \ln x.\]

\begin{enumerate} 
\item Étudier les variations de la fonction $g$. Les limites aux
 bornes ne sont pas demandées.

\item Calculer $g(1)$ et en déduire le signe de $g(x)$ suivant les valeurs 
de $x$.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Étudier les limites de la fonction $f$ aux bornes de
 l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. En déduire l'existence d'une droite asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ que l'on précisera.
\item Démontrer que $f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}.$

En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
\item Soit $h$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par :

\[h(x) =  \dfrac{x^2}{2} + 1.\]

Sa courbe représentative $\mathcal{P}$ dans le repère \Ouv~ est donnée ci-après.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la limite de $[f(x)-h(x)]$ en $+ \infty$.
		\item Déterminer le signe de $[f(x) - h(x)]$. Que peut-on en déduire pour la position relative des deux courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{P}$ ?
	\end{enumerate}
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ sur la feuille ci-après (à rendre avec la copie).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer une primitive de la fonction :

\[x \longmapsto	\dfrac{1}{x}\ln x.\]

sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
\item On appelle S l'aire en cm$^2$, de la partie du plan limitée par les deux courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{P}$ et les droites d'équations $x = 1$ et $x = 4$.

Donner la valeur exacte de S puis la valeur arrondie au mm$^2$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE}

\medskip

\psset{unit=1.6cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(6,10)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(6,10)
\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{0}{4.23}{x dup mul 2 div 1 add}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(6,10)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}