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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
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\rfoot{\small{septembre 2004}}
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\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL France septembre 2004~\decofourright\\Physique de laboratoire et de procédés industriels }}

\vspace{0,25cm}

Le sujet nécessite 2 feuilles de papier millimétré

\end{center}

Il est rappelé aux candidats que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}

\medskip

Soit l'équation différentielle (E) :  $y'' + 4y = 0$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer la solution $f$ de (E) qui vérifie $f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}$	et $f'\left(\dfrac{\pi}{8}\right) = 0$.
\item Montrer que $f(x)$ peut s'écrire sous la forme $f(x) = 2 \cos \left(2x - \dfrac{\pi}{4}\right)$.
\item Résoudre l'équation $f(x) = \sqrt{2}$ sur l'intervalle $[0 ~;~2\pi]$.
\item Déterminer la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{3\pi}{8}\right]$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2  \hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe $P$ est rapporté à un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique $1$~cm.

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

Dans P, les points A et B ont pour affixes respectives 8 et 8i.

\begin{enumerate}
\item On appelle D l'image de A par la rotation R$_{1}$ de centre O et d'angle $- \dfrac{\pi}{3}$  et C l'image de B par la rotation R$_{2}$ de centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$.
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les fonctions $f_{1}$ et $f_{2}$ de $\C$ dans $\C$ associées respectivement aux rotations R$_{1}$ et R$_{2}$.
		\item Calculer les affixes des points C et D.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les points A, B, C et D appartiennent à un m\^eme cercle $\mathcal{C}$ dont on précisera le centre et le rayon. Tracer le cercle $\mathcal{C}$ dans le plan $P$ et représenter les points A, B, C et D.
		\item Quelle est la nature du triangle OCD ?
	\end{enumerate}
\item On note $a$ l'affixe du vecteur $\vect{\text{AD}}$  et $b$ celle du vecteur 
$\overrightarrow{\text{BC}}$. Montrer que $b = a\sqrt{3}$.

En déduire que le quadrilatère ABCD est un trapèze.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème } \hfill  10 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction numérique de la variable $x$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = 2 - \dfrac{2}{\text{e}^x + 1}.\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij{}  d'unité graphique $2$~cm.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les limites de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$ puis quand $x$ tend vers $- \infty$.
		\item En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ admet deux asymptotes $D$ et $D'$ dont on donnera les équations.
	\end{enumerate}
\item Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variations.
\item Soit $T$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point I$(0~;~1)$. Déterminer une équation de la droite $T$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout réel $x$, on appelle $M$ le point de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisse $x$ et $M'$ celui d'abscisse $- x$. Démontrer que  I(0~;~1) est le milieu du segment $[M M']$.
		\item Que représente le point I pour la courbe $\mathcal{C}$ ?
	\end{enumerate}
\item Tracer les droites $D,~D',~T$ et la courbe $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que, pour tout réel $x,~ f(x) = \dfrac{2\text{e}^x}{\text{e}^x + 1}$.

En déduire une primitive $F$ de $f$ sur $\R$.
\item $\alpha$ désigne un réel inférieur ou égal à 1.
On appelle $\mathcal{A}(\alpha)$ l'aire, en cm$^2$, de la partie du plan, ensemble des points $M(x~;~y)$ tels que :

\[ \left\{\begin{array}{l c c c l}
\alpha &  \leqslant & x & \leqslant & 1\\
0 & \leqslant & y & \leqslant & f(x)\\
\end{array}\right.\] 

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\mathcal{A}(\alpha)$ en fonction de $\alpha$.
		\item Donner la valeur exacte de $\mathcal{A}(0)$ puis sa valeur arrondie au cm$^2$.
		\item Calculer $\displaystyle\lim_{\alpha \to - \infty} \mathcal{A}(\alpha)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}  