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%Tapuscrit : François Kriegk (avec le site https://mathpix.com/pdf-to-latex)
%Sujet fourni par : Jennifer Faber
%Relecture : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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%	pdfauthor = {APMEP},
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%	pdftitle = {Amérique du Nord Sujet 1 27 mars 2023},
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 1}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{27 mars 2023}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Amérique du Nord 27 mars 2023~\decofourright\\[7pt]  Sujet 1\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Dans un souci d'améliorer sa politique en matière de développement durable, une entreprise a réalisé une enquête statistique sur sa production de déchets.

Dans cette enquête, les déchets sont classés en trois catégories :

\begin{itemize}
\item $69\,\%$ des déchets sont minéraux et non dangereux;
\item $28\,\%$ des déchets sont non minéraux et non dangereux;
\item les déchets restants sont des déchets dangereux.
\end{itemize}

Cette enquête statistique nous apprend également que :

\begin{itemize}
\item $73\,\%$ des déchets minéraux et non dangereux sont recyclables ;
\item $49\,\%$ des déchets non minéraux et non dangereux sont recyclables ;
\item $35\,\%$ des déchets dangereux sont recyclables.
\end{itemize}

\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} sont indépendantes et peuvent être traitées séparément.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans cette entreprise, on prélève au hasard un déchet. On considère les évènements suivants :

\begin{itemize}
\item $M$ : \og Le déchet prélevé est minéral et non dangereux \fg{} ;
\item $N$ : \og Le déchet prélevé est non minéral et non dangereux \fg{};
\item $D$ : \og Le déchet prélevé est dangereux \fg{};
\item $R$ : \og Le déchet prélevé est recyclable \fg.
\end{itemize}

On note $\overline{R}$ l'évènement contraire de l'évènement $R$.

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous représentant la situation de l'énoncé.
\end{enumerate}

%:-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/Arbre/
\begin{center}
	% Racine à Gauche, développement vers la droite
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		% Styles (MODIFIABLES)
		\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thick]
		\tikzstyle{noeud}=[fill=white,circle,inner sep=2pt]
		\tikzstyle{feuille}=[fill=white,circle,inner sep=2pt]
		\tikzstyle{etiquette}=[midway,fill=white, inner xsep=3pt, inner ysep=1.5pt]
		% Dimensions (MODIFIABLES)
		\def\DistanceInterNiveaux{3}
		\def\DistanceInterFeuilles{1}
		% Dimensions calculées (NON MODIFIABLES)
		\def\NiveauA{(0)*\DistanceInterNiveaux}
		\def\NiveauB{(1)*\DistanceInterNiveaux}
		\def\NiveauC{(2)*\DistanceInterNiveaux}
		\def\InterFeuilles{(-1)*\DistanceInterFeuilles}
		% Noeuds (MODIFIABLES : Styles et Coefficients d'InterFeuilles)
		\node[noeud] (R) at ({\NiveauA},{(2.5)*\InterFeuilles}) {};
		\node[noeud] (Ra) at ({\NiveauB},{(0.5)*\InterFeuilles}) {$M$};
		\node[feuille] (Raa) at ({\NiveauC},{(0)*\InterFeuilles}) {$R$};
		\node[feuille] (Rab) at ({\NiveauC},{(1)*\InterFeuilles}) {$\overline{R}$};
		\node[noeud] (Rb) at ({\NiveauB},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$N$};
		\node[feuille] (Rba) at ({\NiveauC},{(2)*\InterFeuilles}) {$R$};
		\node[feuille] (Rbb) at ({\NiveauC},{(3)*\InterFeuilles}) {$\overline{R}$};
		\node[noeud] (Rc) at ({\NiveauB},{(4.5)*\InterFeuilles}) {$D$};
		\node[feuille] (Rca) at ({\NiveauC},{(4)*\InterFeuilles}) {$R$};
		\node[feuille] (Rcb) at ({\NiveauC},{(5)*\InterFeuilles}) {$\overline{R}$};
		% Arcs (MODIFIABLES : Styles)
		\draw[fleche] (R.east)--(Ra.west) node[etiquette] {$\dots$};
		\draw[fleche] (Ra.east)--(Raa.west) node[etiquette] {$\dots$};
		\draw[fleche] (Ra.east)--(Rab.west) node[etiquette] {$\dots$};
		\draw[fleche] (R.east)--(Rb.west) node[etiquette] {$\dots$};
		\draw[fleche] (Rb.east)--(Rba.west) node[etiquette] {$\dots$};
		\draw[fleche] (Rb.east)--(Rbb.west) node[etiquette] {$\dots$};
		\draw[fleche] (R.east)--(Rc.west) node[etiquette] {$\dots$};
		\draw[fleche] (Rc.east)--(Rca.west) node[etiquette] {$\dots$};
		\draw[fleche] (Rc.east)--(Rcb.west) node[etiquette] {$\dots$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}
%:Fin

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item Justifier que la probabilité que le déchet soit dangereux et recyclable est égale à \np{0,0105}.
\item Déterminer la probabilité $P\left(M \cap \overline{R}\right)$ et interpréter la réponse obtenue dans le contexte de l'exercice.
\item Démontrer que la probabilité de l'évènement $R$ est $P(R)=\np{0,6514}$.
\item On suppose que le déchet prélevé est recyclable. Déterminer la probabilité que ce déchet soit non minéral et non dangereux. \emph{On donnera la valeur arrondie au dix-millième.}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On rappelle que la probabilité qu'un déchet prélevé au hasard soit recyclable est égale à \np{0,6514}.

\begin{enumerate}
\item Afin de contrôler la qualité de la collecte dans l'entreprise, on prélève un échantillon de 20 déchets pris au hasard dans la production. On suppose que le stock est suffisamment important pour assimiler le prélèvement de cet échantillon à un tirage avec remise.

On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au nombre de déchets recyclables dans cet échantillon.

	\begin{enumerate}
		\item On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.

		\item Donner la probabilité que l'échantillon contienne exactement 14 déchets recyclables. \emph{On donnera la valeur arrondie au dix-millième.}
	\end{enumerate}

\item Dans cette question, on prélève désormais $n$ déchets, où $n$ désigne un entier naturel strictement positif.

	\begin{enumerate}
		\item Donner l'expression en fonction de $n$ de la probabilité $p_{n}$ qu'aucun déchet de cet échantillon ne soit recyclable.
		\item Déterminer la valeur de l'entier naturel $n$ à partir de laquelle la probabilité qu'au moins un déchet du prélèvement soit recyclable est supérieure ou égale à \np{0,9999}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :

\[f(x)=\mathrm{e}^{3 x}-(2 x+1) \mathrm{e}^{x}\]

Le but de cet exercice est d'étudier la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.

\medskip

\textbf{Partie A - Étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip

On définit la fonction $g$ sur $\mathbb{R}$ par :

\[g(x)=3 \mathrm{e}^{2 x}- 2 x - 3\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $g$ en $-\infty$.
		\item Déterminer la limite de la fonction $g$ en $+\infty$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, et on note $g'$ sa fonction dérivée. Démontrer que pour tout nombre réel $x$, on a $g'(x)=6 \mathrm{e}^{2 x}-2$.
		\item Étudier le signe de la fonction dérivée $g'$ sur $\mathbb{R}$.
		\item En déduire le tableau de variations de la fonction $g$ sur $\mathbb{R}$. Vérifier que la fonction $g$ admet un minimum égal à $\ln (3) - 2$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $x=0$ est solution de l'équation $g(x) = 0$.
		\item Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une deuxième solution, non nulle, notée $\alpha$, dont on donnera un encadrement d'amplitude $10^{-1}$.
	\end{enumerate}
\item Déduire des questions précédentes le signe de la fonction $g$ sur $\mathbb{R}$.
	\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B - Étude de la fonction \boldmath$f$\unboldmath}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, et on note $f'$ sa fonction dérivée.

Démontrer que pour tout nombre réel $x$, on a $f'(x)=\mathrm{e}^{x} g(x)$, où $g$ est la fonction définie dans la \textbf{partie A}.
\item En déduire alors le signe de la fonction dérivée $f'$ puis les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
\item Pourquoi la fonction $f$ n'est-elle pas convexe sur $\mathbb{R}$ ? Expliquer.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.\\
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.\\
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.\\
Les cinq questions sont indépendantes.}

\medskip

L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk.

\smallskip

On considère les points A$(-1~;~2~;~5)$,\quad B$(3~;~6~;~3)$,\quad C$(3~;~0~;~9)$\quad et \quad D$(8~;~-3~;~-8)$.

On admet que les points A, B et C ne sont pas alignés.

\begin{enumerate}
\item ABC est un triangle :

\begin{tabularx}{\linewidth}
{@{}>{\bfseries}p{5mm}@{}X >{\bfseries}p{5mm}@{}X}
a.& isocèle rectangle en A&
b.& isocèle rectangle en B\\
c.& isocèle rectangle en C&
d.& équilatéral\\
\end{tabularx}

\item Une équation cartésienne du plan (BCD) est :

\begin{tabularx}{\linewidth}
{@{}>{\bfseries}p{5mm}@{}X >{\bfseries}p{5mm}@{}X}
a.& $2 x+y+z-15=0$&
b.& $9 x-5 y+3=0$\\
c.& $4 x+y+z-21=0$&
d.& $11 x+5 z-73=0$\\
\end{tabularx}

\item On admet que le plan (ABC) a pour équation cartésienne $x- 2y - 2z + 15 = 0$.

On appelle H le projeté orthogonal du point D sur le plan (ABC).

On peut affirmer que :

\begin{tabularx}{\linewidth}
{@{}>{\bfseries}p{5mm}@{}X >{\bfseries}p{5mm}@{}X}
a.& H$(-2~;~17~;~12)$&
b.& H$(3~;~7~;~2)$\\
c.& H$(3~;~2~;~7)$&
d.& H$(-15~;~1~;~-1)$\\
\end{tabularx}

\item Soit la droite $\Delta$ de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l}x=\phantom{-}5+t \\ y=\phantom{-}3-t \\ z =-1 + 3t\end{array}\right.$, avec $t$ réel.

Les droites (BC) et $\Delta$ sont :

\begin{tabularx}{\linewidth}
{@{}>{\bfseries}p{5mm}@{}X >{\bfseries}p{5mm}@{}X}
a.& confondues&
b.& strictement parallèles\\
c.& sécantes&
d.& non coplanaires\\
\end{tabularx}

\item On considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $2x - y + 2z - 6 = 0$.

On admet que le plan (ABC) a pour équation cartésienne $x-2 y-2 z+15=0$.

On peut affirmer que :

\begin{tabularx}{\linewidth}
{@{}>{\bfseries}p{5mm}@{}X }
a.& les plans $\mathcal{P}$ et (ABC) sont strictement parallèles\\
b.& les plans $\mathcal{P}$ et (ABC) sont sécants et leur intersection est la droite (AB)\\
c.& les plans $\mathcal{P}$ et (ABC) sont sécants et leur intersection est la droite (AC)\\
d.& les plans $\mathcal{P}$ et (ABC) sont sécants et leur intersection est la droite (BC)\\
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0}=5$ et pour tout entier naturel $n$,

\[	u_{n+1}=\frac{1}{2}\left(u_{n}+\frac{11}{u_{n}}\right)\]

On admet que la suite $\left(u_{n}\right)$ est bien définie.

\medskip

\textbf{Partie A - Étude de la suite \boldmath$ \left(u_{n}\right)$}\unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner $u_{1}$ et $u_{2}$ sous forme de fractions irréductibles.
\item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0 ; +\infty [$ par :

\[f(x)=\frac{1}{2}\left(x+\frac{11}{x}\right)\]

Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $\left[\sqrt{11}~;~+\infty\right[$.
\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a $: u_{n} \geqslant u_{n+1} \geqslant \sqrt{11}$.
\item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers une limite réelle. On note $a$ cette limite.
\item Après avoir déterminé et résolu une équation dont $a$ est solution, préciser la valeur exacte de $a$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B - Application géométrique}

\medskip

Pour tout entier naturel $n$, on considère un rectangle $R_{n}$ d'aire 11 dont la largeur est notée $\ell_{n}$ et longueur $L_{n}$

La suite $\left(L_{n}\right)$ est définie par $L_{0}=5$ et, pour tout entier naturel $n$,

\[L_{n+1}=\frac{L_{n}+\ell_{n}}{2} \]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Expliquer pourquoi $\ell_{0}=2,2$.
		\item Établir que pour tout entier naturel $n$,

\[\ell_{n}=\frac{11}{L_{n}}.\]
	\end{enumerate}
\item Vérifier que la suite $\left(L_{n}\right)$ correspond à la suite $\left(u_{n}\right)$ de la \textbf{partie A}.
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a $\ell_{n} \leqslant \sqrt{11} \leqslant L_{n}$.
\item On admet que les suites $\left(L_{n}\right)$ et $\left(\ell_{n}\right)$ convergent toutes les deux vers $\sqrt{11}$. Interpréter géométriquement ce résultat dans le contexte de la \textbf{partie B}.
\item Voici un script, écrit en langage Python, relatif aux suites étudiées dans cette partie :

\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\bfseries \ttfamily}l >{\ttfamily}l|} \hline
1 & def heron(n): \\
2 & \quad $L$=5 \\
3 & \quad $\ell$=2.2 \\
4 & \quad for i in range(n): \\
5 & \qquad $L$ = ($L$+$\ell$) / 2 \\
6 & \qquad $\ell$ = 11 / $L$ \\
7 & \quad return round($\ell$,6), round($L$,6)\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

On rappelle que la fonction Python \texttt{round(x,k)} renvoie une version arrondie du nombre \texttt{x} avec \texttt{k} décimales.

	\begin{enumerate}
		\item Si l'utilisateur tape \texttt{heron(3)} dans une console d'exécution Python, qu'obtient-il comme valeurs de sortie pour $\ell$ et $L$ ?
		\item Donner une interprétation de ces deux valeurs.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}