\documentclass[12pt,a4paper,twoside]{article}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage{amsmath,amsxtra,amstext,amssymb}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{dsfont} %pour les caract\`eres ensemblistes%
\usepackage{graphicx} %pour inclure des graphiques%
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{stmaryrd}
\usepackage{pst-plot}
\usepackage{tabularx}

\everymath{\displaystyle} \setlength{\topmargin}{-25mm}
\setlength{\textheight}{24.5cm} \setlength{\oddsidemargin}{-15mm}
\setlength{\evensidemargin}{-15mm} \setlength{\textwidth}{19cm}
\parindent=0pt

\renewcommand{\baselinestretch}{1.8} %interligne

\newcounter{numeroexo}
\newcommand{\exo}[1]{\setcounter{quest}{0}\setcounter{qquest}{0}\par\noindent\stepcounter{numeroexo}
\hspace{-.15cm}\fbox{\textbf{Exercice \arabic{numeroexo}. (#1 points)}}\quad}

\newcounter{quest} %Compteur Exercice%

\newcommand{\qst}{\stepcounter{quest}\setcounter{qquest}{0}
{\textbf{\arabic{quest}/~}}}
\newcommand{\e}[1]{\,\text{e}^{#1}}
\newcommand{\ch}{\,\text{ch}}
\newcommand{\sh}{\,\text{sh}}
\newcommand{\tgh}{\,\text{th}}
\newcommand{\p}[1]{\left(#1\right)}
\newcommand{\limite}[3]{\underset{#1\longrightarrow#2}{\lim}\,#3}
\newcommand{\conj}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\coo}[3]{\text{#1}\left(#2\,;#3\right)}
\newcommand{\aff}[2]{\text{#1}\left(#2\right)}
\newcounter{qquest}
\newcommand{\qqst}{\stepcounter{qquest}
{\alph{qquest}) }}
\newcommand{\sys}[2]{$\left\{ \begin{tabular}{@{}l} #1 \\ #2 \end{tabular} \right.$}
\newcommand{\ssys}[3]{\left\{ \begin{tabular}{@{}l} $#1$ \\ $#2$ \\ $#3$ \end{tabular} \right.}
\newcommand{\der}[1]{#1^{\prime}}
\newcommand{\arc}[1]{\wideparen{\text{#1}}}
\newcommand{\N}{\mathds{N}}
\newcommand{\Z}{\mathds{Z}}
\newcommand{\C}{\mathds{C}}
\newcommand{\R}{\mathds{R}}
\newcommand{\dx}{\,\text{d}x}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\mod}[1]{\,\left[#1\right]}
\renewcommand{\arg}[1]{\text{arg}\left(#1\right)}
\newcommand{\ssi}{\hspace{0.2cm}\underline{\textit{ssi}}\hspace{0.2cm}}
\newcommand{\sgn}[1]{\,\text{sgn }{#1}}
\newcommand{\vi}[1]{\overrightarrow{#1}}
\newcommand{\vt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}
\begin{document}
\pagestyle{fancy} \fancyhf{}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0pt}
\newcommand{\I}{\text{i}}

\fancyfoot[RO]{\large \textbf{\textit{Tournez la page SVP}}}
\fancyfoot[C]{\thepage\ $/$ \pageref{LastPage}}
\fancyfoot[LO]{\footnotesize{Lyc\'ee Albert Calmette, Nice}}

\begin{center}
\underline{\Large\sc T$^{\text{ales}}\text{S}$ - Bac Blanc (4 H) - Le
27/02/2008 - \'{E}nonc\'e}
\end{center}
\rule{\linewidth}{0.1mm}
Les calculatrices \'electroniques de poche sont autoris\'ees.\\$\bullet\quad$Si vous \textbf{n'avez pas choisi} l'enseignement de sp\'ecialit\'e, vous devez traiter les exercices 1, 2, 3 et 4.\\$\bullet\quad$Si vous \textbf{avez choisi} l'enseignement de sp\'ecialit\'e, vous devez traiter les exercices 1, 2, 3 et 5.\\
La qualit\'e et la pr\'ecision de la r\'edaction seront prises en compte dans l'appr\'eciation des copies.\\
\textbf{Cet \'enonc\'e est \`a remettre avec la copie.}\\
\rule{\linewidth}{0.1mm}
\exo{3} On consid\`ere la suite $\left(u_n\right)$ d\'efinie par :
\begin{center}
\sys{$u_0=0$}{Pour tout $n\in\N$, $u_{n+1}=\frac4{4-u_n}$}
\end{center}
\qst \qqst Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.\\
\qqst Le graphique ci-dessous repr\'esente sur $\left[0\,;+\infty\right[$ et dans un rep\`ere orthogonal $\left(\text{O}\,;\vi{i},\vi{j}\right)$ la courbe $\Gamma$ d'\'equation $y=\frac{2x}{x+1}$.
\begin{center}
\fbox{\psset{xunit=2,yunit=4}
\begin{pspicture}(-0.75,-0.25)(4.5,2.25)
\psaxes[Dx=1]{->}(0,0)(-0.2,-0.2)(4,2)
\psplot[plotpoints=500,linecolor=black,linewidth=0.5mm]{0}{3.5}{2 x mul x 1 add div}
\uput[0](2,1.2){ \large$\Gamma$}
 \uput[-135](0,0){O}
 \uput[-45](3.7,0){$x$}
 \uput[180](0,2){$y$}
 \psline[linewidth=0.6mm]{->}(0,0)(1,0)\rput(0.5,-0.1){$\vec i$}
 \psline[linewidth=0.6mm]{->}(0,0)(0,1)\rput(-0.15,0.5){$\vec j$}
 \psset{xunit=2,yunit=2}
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=2,griddots=1,gridwidth=0.1mm](0,0)(2,1)
\end{pspicture}}
\end{center}
Placer sur le graphique les points de coordonn\'ees $\left(k,u_k\right)$ pour $k=0,\,1,\,2$ et 3.\\
\qst D\'eduire de la question pr\'ec\'edente une conjecture de l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ puis d\'emontrer cette conjecture.
\pagebreak
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\exo{7}Soit l'\'equation diff\'erentielle :
\begin{center}
$(E):\der{y}+y=\e{-x}$
\end{center}
o\`u $y$ est une fonction de la variable $x$, d\'erivable sur $\R$.\\
\qst $f$ est la solution de $(E)$ v\'erifiant $f(0)=-1$. On note $\mathscr{C}_f$ sa courbe repr\'esentative dans un rep\`ere. \\
\qqst Calculer $\der{f}(0)$.\\
\qqst En d\'eduire une \'equation de la tangente \`a la courbe $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse 0.\\
\qst Soit $g$ la fonction d\'efinie pour tout $x\in\R$ par $g(x)=(x-1)\e{-x}$. On note $\mathscr{C}_g$ sa courbe repr\'esentative dans un rep\`ere. \\
\qqst D\'eterminer la limite de $g$ en $-\infty$ et la limite de $g$ en $+\infty$.\\
\qqst V\'erifier que pour tout $x\in\R$ on a :
\begin{center}
$g'(x)=(2-x)\e{-x}$
\end{center}
puis que $g$ est solution de $(E)$.\\
\qqst Dresser le tableau des variations de $g$ sur $\R$.\\
\qqst D\'eterminer une \'equation de la tangente \`a la courbe $\mathscr{C}_g$ au point d'abscisse 0.\\
\qst Soit l'\'equation diff\'erentielle :
\begin{center}
$(F):y^{\prime\prime}+2\,\der{y}+y=0$
\end{center}
o\`u $y$ est une fonction de la variable $x$, deux fois d\'erivable sur
$\R$.\\
\qqst V\'erifier que $g$ est solution de $(F)$.\\
\qqst Montrer que si $\phi$ est solution de $(E)$ alors $\phi$ est
solution de $(F)$.\\
\qqst Pour quelle valeur du r\'eel $a$, la fonction
$x\longmapsto\e{ax}$ est-elle solution de $(F)$ ?\\
\qqst Peut-on dire que si $\phi$ est solution de $(F)$ alors $\phi$
est solution de $(E)$ ? Justifier la r\'eponse.\vspace{2cm}
\vfill\pagebreak
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\exo {4} \textit{Cet exercice est un questionnaire \`a choix multiple. Les quatre questions sont ind\'ependantes. Pour chaque question, il y a deux conclusions correctes. Vous devez indiquer sur votre feuille de copie \textbf{les deux r\'eponses} que vous jugez correctes. Aucune justification n'est demand\'ee.\\
Chaque r\'eponse exacte rapporte $0,5$ point. Chaque r\'eponse fausse enl\`eve $0,25$ point. Une abstention ne rapporte aucun point tout comme si plus de deux r\'eponses sont propos\'ees. Un total des points n\'egatif sera ramen\'e \`a z\'ero.}\\
On consid\`ere trois suites $\left(u_n\right)$, $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$ qui v\'erifient la propri\'et\'e suivante :
\begin{center}
Pour tout entier naturel $n$ strictement positif : $u_n\leq v_n \leq w_n$
\end{center}
\qst Si la suite $\left(v_n\right)$ tend vers $-\infty$ alors :
\begin{itemize}
\setlength{\itemindent}{1cm}
\item[a)] la suite $\left(w_n\right)$ tend vers $-\infty$
\item[b)] la suite $\left(u_n\right)$ est major\'ee
\item[c)] la suite $\left(u_n\right)$ tend vers $-\infty$
\item[d)] la suite $\left(w_n\right)$ n'a pas de limite
\end{itemize} 
\qst Si $u_n\geq 1$, $w_n=2\,u_n$ et $\limite{n}{+\infty}{u_n}=\ell$ $\left(\ell\in\R\right)$ alors :
\begin{itemize}
\setlength{\itemindent}{1cm}
\item[a)] $\limite{n}{+\infty}{v_n}=\ell$
\item[b)] la suite $\left(w_n\right)$ tend vers $+\infty$
\item[c)] $\limite{n}{+\infty}{\left(w_n-u_n\right)}=\ell$
\item[d)] on ne sait pas dire si la suite $(v_n)$ a une limite ou non
\end{itemize} 
\qst Si $\limite{n}{+\infty}{u_n}=-2$ et $\limite{n}{+\infty}{w_n}=2$, alors :
\begin{itemize}
\setlength{\itemindent}{1cm}
\item[a)] la suite $\left(v_n\right)$ est major\'ee
\item[b)] $\limite{n}{+\infty}{v_n}=0$
\item[c)] la suite $\left(v_n\right)$ n'a pas de limite
\item[d)] on ne sait pas dire si la suite $(v_n)$ a une limite ou non
\end{itemize} 
\qst Si $u_n=\frac{2n^2-1}{n^2}$ et $w_n=\frac{2n^2+3}{n^2}$, alors :
\begin{itemize}
\setlength{\itemindent}{1cm}
\item[a)] $\limite{n}{+\infty}{w_n}=0$
\item[b)] $\limite{n}{+\infty}{v_n}=2$
\item[c)] $\limite{n}{+\infty}{u_n}=2$
\item[d)] la suite $(v_n)$ n'a pas de limite
\end{itemize} 
\exo{6} \textbf{\textit{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de sp\'ecialit\'e.}}\\
Le plan complexe est muni d'un rep\`ere orthonorm\'e direct
$\left(\text{O}\,;\vi{u},\vi{v}\right)$. On prendra 1 cm pour unit\'e
graphique. On consid\`ere les points A, B, C et P d'affixes respectives :
\begin{center}
$a=\frac32+6\I\hspace{2cm}b=\frac32-6\I\hspace{2cm}c=-3-
\frac14\I\hspace{2cm}p=3+2\I$
\end{center}
\qst \textit{Cette question est une restitution organis\'ee de
connaissances.}\\
Montrer que les affixes $z$ et $z'$ d'un point quelconque M
du plan et de son image M$'$ par l'homoth\'etie de centre $\Omega$ d'affixe $\omega$ et de rapport $k\in\R$ sont li\'ees par la
relation :
\begin{center}
$z'-\omega=k\left(z-\omega\right)$
\end{center}
\qst \qqst D\'eterminer l'affixe $q$ du point Q, image du point B par la translation $t$ de vecteur $\vi{w}$ d'affixe $-1+\frac52\I$.\vspace{0.2cm}\\
\qqst D\'eterminer l'affixe $r$ du point R, image du point P par l'homoth\'etie $h$ de centre C et de rapport $-\frac13$.\\
\qqst D\'eterminer l'affixe $s$ du point S, image du point P par la rotation $r$ de centre A et d'angle $-\frac{\pi}2$.\\
\qqst Placer les points A, B, C, P, Q, R et S.\\
\qst \qqst D\'emontrer que le quadrilat\`ere PQRS est un parall\'elogramme.\\
\qqst Calculer le rapport $\frac{r-q}{p-q}$. On \'ecrira le
r\'esultat sous forme exponentielle.\\
\qqst En d\'eduire la nature pr\'ecise du parall\'elogramme PQRS.\\
\qst D\'emontrer que les points P, Q, R et S appartiennent \`a
un m\^eme cercle, not\'e $\mathscr{C}$ dont on pr\'ecisera l'affixe du centre et le rayon.\\
\qst La droite (AP) est-elle tangente \`a $\mathscr{C}$ ? Justifier la r\'eponse.

\exo {4}\\
\textbf{R\'eserv\'e aux candidats ayant suivi l'enseignement de sp\'ecialit\'e math\'ematiques}\\
On rappelle le (petit) th\'eor\`eme de Fermat :\\
si $p$ est un nombre premier qui ne divise pas l'entier naturel $a$, alors on a la congruence
\[a^{p-1} \equiv  1\quad  \mod p\]

\noindent \textbf{Partie A}

\qst
\qqst Prouver que $29$ est un nombre premier.

\qqst Soit $x \in  \N$ et $n$ un entier naturel tel que $n \equiv  1 \quad \text{mod}~ 28$.\\
            En utilisant le th\'eor\`eme de Fermat, prouver que $x^n \equiv  x \quad  \mod~ 29$. 

\qst On consid\`ere l'\'equation (E) :   $17x - 28y = 1$ o\`u $(x,~y) \in \Z^2$.
\qqst Quel th\'eor\`eme permet d'affirmer que l'\'equation (E) admet au moins un couple solution d'entiers relatifs ?
\qqst En utilisant l'algorithme d'Euclide, trouver un tel couple solution. 

\noindent \textbf{Partie B}\\
Soit A $= \{x \in  \N,~ x < 29\} = \{0~;~1~;~2~;~...~;~28\}$\\
Pour $x \in  \text{A}$, on note $f(x)$ le reste de la division euclidienne de $x^{17}$ par $29$ et $g(x)$ le reste de la division euclidienne de $x^5$ par $29$.\\
\qst
\qqst Prouver que $f(x) \in  \text{A}$ et $x^{17} \equiv  f(x)\quad  \text{mod}~ 29$.\\
On admettra (la d\'emonstration est analogue) que $g(x) \in  \text{A}$ et $x^5 \equiv  g(x) \quad  \text{mod}~ 29$.\\
\qqst Pour $x \in  \text{A}$, prouver que $g[f(x)] = x$.\\
\qst \textbf{Applications} :\\
On attribue \`a chaque lettre de l'aphabet et aux deux signes \og + \fg{} et \og $-$ \fg, l'entier donn\'e par le tableau ci-dessous :

\medskip

\noindent \begin{tabularx}{\textwidth}{|*{14}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
a& 	b& 	c &	d &	e &	f& 	g& 	h& 	i& 	j &	k &	l& 	m &	n\\ \hline
1& 	2& 	3& 	4& 	5& 	6& 	7& 	8& 	9& 	10& 	11& 	12& 	13 &	14\\ \hline \hline
o& 	p& 	q& 	r& 	s& 	t& 	u& 	v& 	w& 	x &	y& 	z& 	$+$& 	$-$\\ \hline
15& 	16& 	17& 	18& 	19& 	20 &	21& 	22& 	23& 	24& 	25& 	26& 	27& 	28\\ \hline \hline
\end{tabularx}

\medskip

\qqst  Bob code le mot \og GAUSS \fg{} \`a l'aide de la fonction $f$ et envoie le message cod\'e \`a Alice.\\
Voici le codage des deux premi\`eres lettres \og G \fg{} et \og A \fg{} :

\medskip

\begin{center}
 \begin{tabularx}{0.7\textwidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Message initial	& 	G 				&A\\  \hline
Entier associ\'e 	&	7				& 1\\ \hline
Utilisation de $f$	&$7^{17} \equiv 24\quad  \text{mod}~ 29$& 	$1^{17} \equiv 1\quad  \text{mod}~ 29$\\ \hline
Message cod\'e 	&	X				& A\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
Compl\'eter son message.\\
\qqst  Alice reçoit le message suivant, cod\'e par Bob, \`a l'aide de la fonction $f$ :

\begin{center}
 \begin{tabularx}{0.6\textwidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
J &	I& 	L& 	L& 	R\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

\medskip

D\'ecrypter ce message \`a la place d'Alice. 
\end{document}
