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%Tapuscrit : Denis Vergès Denis.Verges@wanadoo.fr
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\begin{document}
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\rhead{\small A. P. M. E. P.}
\lhead{\small TES Bac blanc}%tapez un titre
\lfoot{\small{Lyc\'ee Saint-Sernin}}
\rfoot{\small{}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}%\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\gray \decofourleft~TES Baccalaur\'eat blanc janvier 2009~\decofourright}}

\vspace{1cm}

 

Ce sujet comporte cinq exercices.

L'usage des calculatrices graphiques est autorisé.
 \end{center}
 
\textsc{\textbf{Exercice  1 \hfill  5 points}}
 
\textbf{Sujet destiné aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité en mathématique}
 
Soit la fonction $f$ définie par :
\[\left\{\begin{array}{l c l l}
f(x) &= &- x + 1 \quad  &\text{si}~x \in ]- \infty~;~0[ ;\\
f(x) &= &- \dfrac{1}{3}x^2 + 2x + 1 \quad&  \text{si}~x \in ]0~;~6[ ;\\
 f(x) &= &- 2x + 14 \quad&  \text{si}~x \in ]6~;~+ \infty[ ;\\
 \end{array}\right.\]
et représentée par :
 
 \medskip
 
 \psset{unit=0.75cm}
 \begin{center}
\begin{pspicture}(-5,-6.25)(11,5.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=2]{->}(0,0)(-5,-6.25)(11,5.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,griddots=10](0,0)(-5,-6.25)(11,5.5)
\psplot[linecolor=blue]{-4.5}{0}{1 x sub}
\psplot[linecolor=blue]{0}{6}{ x 2 mul 1 add x dup mul 3 div sub}
\psplot[linecolor=blue]{6}{10.25}{14 2 x mul sub}
\end{pspicture} 
 \end{center}
 
 \begin{enumerate}
\item  D'après le graphique, la fonction est-elle continue en $0$ et en $6$ ? Justifiez graphiquement vos conjectures.
\item  Calculez $f(3)$ et $f'(3)$. Donnez l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $3$.
\item  Donnez graphiquement les solutions de l'équation $f(x)= 4$ sur l'intervalle $[- 4~;~10]$.

(Justifiez) 
\item  Donnez graphiquement les solutions de l'inéquation $f(x) \geqslant  0$. (Justifiez)
\item  Soit la fonction $g$ définie par $g(x) = \ln\left[f(x)\right]$. 

Précisez l'ensemble de définition de $g$.
\item  Donnez le tableau de variations de $g$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textsc{\textbf{Exercice  1 \hfill  5 points}}

\textbf{Sujet destiné aux candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité en mathématique}

Un concert de solidarité est organisé dans une grande salle de spectacle. À ce concert sont conviés sept artistes de renommé internationale : 

Luther Allunison (A), John Biaise (B), Phil Colline (C),
Bob Ditlâne (D), Jimi Endisque (E), Robert Fripe (F) et Rory Garaguerre (G).

 Les différents musiciens invités refusant de jouer avec certains autres, l'organisateur du concert doit prévoir plusieurs parties du spectacle. Les arêtes du graphe $\Gamma$ ci-dessous indiquent quels sont les musiciens qui refusent de jouer entre eux.
 
 \psset{unit=1cm}
 \begin{center}
\begin{pspicture}(8,5)
\cnodeput(5,5){A}{A}\cnodeput(3,5){B}{B}
\cnodeput(0,3.5){C}{C}\cnodeput(0.5,1){D}{D}
\cnodeput(3.25,0){E}{E}\cnodeput(5.5,0.5){F}{F}
\cnodeput(7,3){G}{G}
\ncline{A}{D}\ncline{A}{E}\ncline{A}{F}\ncline{A}{G}
\ncline{B}{C}\ncline{B}{E}\ncline{B}{F}
\ncline{C}{E} \ncline{C}{F} \ncline{C}{G} 
\ncline{D}{A}\ncline{D}{F}  
\ncline{E}{A} \ncline{E}{B}\ncline{E}{G}
\ncline{F}{A}\ncline{F}{B}\ncline{F}{C}
\ncline{F}{D}\ncline{F}{E}\ncline{F}{G}
\ncline{G}{A}\ncline{G}{C}\ncline{G}{E}
\ncline{G}{F}
\end{pspicture} 
 \end{center}
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminez la matrice $M$ associée au graphe $\Gamma$ (les sommets de $\Gamma$ étant classés dans l'ordre
alphabétique).
		\item  A l'aide de cette matrice $M$, déduisez le nombre de chaînes de longueur trois reliant les sommets B et D. Écrire toutes ces chaînes.
		\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Quelle est la nature du sous-graphe de $\Gamma$ constitué des sommets A, E, F et G ?
		\item  Que peut-on en déduire pour le nombre chromatique $\gamma(\Gamma)$ ?
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Quel est le sommet de plus haut degré de $\Gamma$ ?
		\item  Déduisez-en un encadrement de $\gamma(\Gamma)$.
 	\end{enumerate}
\item Après avoir classé l'ensemble des sommets de $\Gamma$ par ordre de degrés décroissants, coloriez le graphe $\Gamma$ en utilisant l'algorithme de Welch-Powell.
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Combien de parties l'organisateur du concert doit-il prévoir ?
		\item  Proposez une répartition des musiciens pour chacune de ces parties.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Le graphe $\Gamma$ admet-t-il un cycle eulérien (expliquez) ?
		\item  Sinon admet-il une chaîne eulérienne (expliquez) ?
		\item  Déterminez, s'il existe, ce cycle eulérien ou cette chaîne eulérienne.
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}
 
\textsc{\textbf{Exercice  2\hfill  4 points}}

\textbf{Commun à tous les candidats}

Le tableau ci-dessous donne l'évolution du SMIC (salaire minimum interprofessionnel de croissance) horaire de 2000 à 2006.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année& 2000& 2001& 2002& 2003& 2004& 2005& 2006\\ \hline
Rang de l'année $\left(x_{i}\right)$& 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ \hline
SMIC horaire en euros $\left(y_{i}\right)$&
5,64& 5,78& 6,01& 6,13& 6,21& 6,41& 6,67\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculez le pourcentage d'évolution du SMIC horaire entre les années 2000 et 2006 (le résultat sera arrondi au centième).
\item   Représentez le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal sur du papier millimétré.

(unités graphiques : 2~cm pour une année sur l'axe des abscisses et 10~cm pour 1~\euro{} sur l'axe des ordonnées, les graduations commençant à $0$ sur l'axe des abscisses et à $5$ sur l'axe des ordonnées).
\item   (Dans cette question, les calculs effectués à la calculatrice ne seront pas justifiés et les résultats seront donnés au millième)

Le nuage de points montre qu'un ajustement affine est justifié. Donnez une équation de la droite d'ajustement affine $D$ de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés.

Représentez la droite $D$ dans le repère précédent.
\item   Calculez avec cet ajustement affine le montant du SMIC horaire en euros que l'on peut prévoir en 2010 (résultat arrondi au centième).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textsc{\textbf{Exercice  3 \hfill  5 points}}

\textbf{Commun à tous les candidats}

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $I = ]0~;~ +\infty[$ par 

\[f(x) = \dfrac{2(1 + \ln x)}{x}.\]

\medskip

\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Résolvez dans $I$ l'équation $f(x)= 0$ en calculant la valeur exacte de la solution.
		\item  Donnez une valeur décimale arrondie à $10^{-3}$ près de la solution de cette équation ci-dessus.
 	\end{enumerate}
\item Calculez $f'(x)$.
\item Justifiez soigneusement les éléments du tableau de variations de $f$ donné ci-dessous :
	\begin{enumerate}
		\item  Signe de $f'(x)$.
		\item  Variations de $f$.
		\item  Limite en zéro de $f$.
		\item  Maximum de $f$.
	\end{enumerate}
	
\medskip
	
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3) \psline(2,0)(2,3) \psline(0,2)(8,2) \psline(0,2.5)(8,2.5) 
\psline(2.1,0)(2.1,2.5) \psline(2.15,0)(2.15,2.5)
\uput[u](1,2.5){$x$}  \uput[u](2.125,2.5){0}  \uput[u](5,2.5){1}  \uput[u](7.6,2.5){$+ \infty$}  
\uput[u](1,2){$f'(x)$}    \uput[u](5,2.5){$1$}   
\uput[u](3.5,2){$+$}\uput[u](5,2){0}\uput[u](6.5,2){$-$}
\rput(1,1){$f$}\rput(2.4,0.3){$- \infty$} \rput(5,1.85){2} \rput(7.7,0.3){0}
\psline{->}(2.7,0.3)(4.75,1.7) \psline{->}(5.25,1.7)(7.5,0.3)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

On admet que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$.
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textbf{Partie B}
 
Dans une entreprise, on a modélisé par la fonction $f$ sur l'intervalle $]0,2~;~ +\infty[$ le bénéfice mensuel (qui peut être négatif !) réalisé en vendant $x$ milliers d'objets fabriqués. Ce bénéfice est exprimé en
milliers d'euros.
 
En utilisant les résultats et informations précédents, répondre aux questions suivantes :
 
 \begin{enumerate}
 \item  Quel nombre minimal d'objets l'entreprise doit-elle vendre mensuellement pour que le bénéfice soit positif ?
 \item  Combien faut-il vendre d'objets pour réaliser un bénéfice maximal ?
 \item  Quel est alors le montant de ce bénéfice maximal ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textsc{\textbf{Exercice  4 \hfill  2 points}}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\emph{Les deux questions sont indépendantes}

\begin{enumerate}
\item  Soit $f(x) = 2x + 3 + \dfrac{5}{(x + 1)^2}$.

 Déterminez la primitive $F$ de $f$ prenant la valeur $2$ pour $x = 1$.
 \end{enumerate}
  
 \parbox{0.45\linewidth}{\textbf{2.} La fonction $f$ est définie sur $\R$ par la représentation graphique ci-contre.
 
Un des quatre graphiques ci-dessous
représente une primitive $F$ de $f$.
 
Indiquer quel est ce graphique en justifiant
votre choix.} \hfill
\parbox{0.52\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-2.8)(3,3)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-2,-2.5)(3,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,griddots=10](0,0)(-2,-2.5)(3,3)
\psplot{-1.68}{2.7}{x 2 add x dup mul sub}
\rput(0.5,-2.7){Représentation graphique de $f$}
\end{pspicture}}

\medskip 

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}\hline 
\psset{unit=0.6cm}\begin{pspicture}(-4,-3.5)(5,7.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2]{->}(0,0)(-4,-3)(5,7.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,griddots=10](0,0)(-4,-3)(5,7)
\psplot{-3.75}{4.7}{x dup mul 6 div  2 x mul 3 div add x 3 exp 9 div sub     2 add}
\rput(0,-3.4){Graphique 1}
\end{pspicture}&\psset{unit=0.7cm}\begin{pspicture}(-4,-3.5)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-4,-3)(4,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,griddots=10](0,0)(-4,-3)(4,4)
\psplot{-3.5}{2.5}{2 x mul  x dup mul 2 div sub x 3 exp 3 div sub   2 add}
\rput(0,-3.4){Graphique 2}
\end{pspicture}\\ \hline
\psset{unit=0.75cm}\begin{pspicture}(-3,-1.5)(5,5.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-3,-1.5)(5,5.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,griddots=10](0,0)(-3,-1.5)(5,5.5)
\psplot{-2.7}{3.6}{2 x mul  x dup mul 2 div add x 3 exp 3 div sub   1 add}
\rput(0,-2){Graphique 3}
\end{pspicture}&\psset{unit=0.75cm}\begin{pspicture}(-5.5,-2)(2.5,4.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-5.5,-2)(2.5,4.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,griddots=10](0,0)(-5.5,-2)(2.5,4.5)
\psplot{-5}{2}{x 3 exp 3 div x dup mul 3 mul 2 div add 6 mul 11 div}
\rput(-1.5,-2.5){Graphique 4}
\end{pspicture}\\ \hline
\end{tabularx}

\newpage
 
\textsc{\textbf{Exercice  5 \hfill  4 points}}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\begin{center} À remettre avec la copie \end{center}

\medskip

\emph{Pour chacune des huit affirmations suivantes, une seule réponse proposée est exacte.}

\emph{On demande de cocher la réponse exacte dans la case prévue à cet effet.}

\emph{Une bonne réponse rapporte 0,5 point, une mauvaise réponse enlève 0,25 point, l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.}

\begin{enumerate}
\item  Le réel $\ln \left(\text{e}^2\right) - 2\text{e} + \ln 1$ est égal à

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{$\square$~~~~}X @{$\square$~~~~}X@{$\square$~~~~}X}
$2 - 2\text{e}$&$\text{e}^2 - 2\text{e}$&0\\
\end{tabularx}
\item  L'ensemble des solutions de l'inéquation $1- x \ln 2 \geqslant  0$ est

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{$\square$~~~~}X @{$\square$~~~~}X@{$\square$~~~~}X}
$\left]- \infty~;~\dfrac{1}{\ln 2}\right]$&$\left]\dfrac{1}{\ln 2}~;~+ \infty\right]$&$\left]0~;~\dfrac{1}{\ln 2}\right]$\\
\end{tabularx}

\item  La courbe représentative de la fonction $\ln x$ admet une tangente de coefficient directeur 3 au point A de coordonnées :

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{$\square$~~~~}X @{$\square$~~~~}X@{$\square$~~~~}X}
$\left(3~;~ \ln \text{e}^3\right)$&$\left(\dfrac{1}{3}~;~- \ln 3 \right)$&$(3~;~\ln 3)$\\
\end{tabularx}

\item  Si $f(x)= \ln \left(x^2\right)$, alors $f'(x)$ s'écrit :

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{$\square$~~~~}X @{$\square$~~~~}X@{$\square$~~~~}X}
$\dfrac{2}{x}$&$2 \left(\ln x + \dfrac{1}{x}\right)$&$\dfrac{2 \ln x}{x}$\\
\end{tabularx}

\item  Si $f(x) = \dfrac{1}{3x - 1}$, alors une primitive $F$ de $f$ sur $\left]\dfrac{1}{3}~ ;~+ \infty\right[$ est définie par :

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{$\square$~~~~}X @{$\square$~~~~}X@{$\square$~~~~}X}
$F(x) = \ln (3x - 1)$&$F(x)= 3 \ln (3x - 1)$&$F(x) = \dfrac{1}{3} \ln(3x -  1)$\\
\end{tabularx}

\item  Si $f(x) = x \times \ln x$, alors :

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{$\square$~~~~}X @{$\square$~~~~}X@{$\square$~~~~}X}
$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)= 0$&$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)= + \infty$&$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)= 1$\\
\end{tabularx}
\item  La courbe représentative de la fonction $\ln x$ admet :

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{$\square$~~~~}X @{$\square$~~~~}X@{$\square$~~~~}X}
Une tangente horizontale&Une asymptote horizontale&Une asymptote
verticale\\
\end{tabularx}
\item  L'équation $\ln \left(x^2 - x\right) = 0$ a pour solutions :

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{$\square$~~~~}X @{$\square$~~~~}X@{$\square$~~~~}X}
0 et 1&$1$ et $\text{e}^{-1}$& $\dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}$ et $\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$
\end{tabularx}
\end{enumerate} 
 \end{document}