\documentclass[10pt]{article} 
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%tapuscrit : Denis Verg\\`es Denis.Verges@wanadoo.fr
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\begin{document}
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\lhead{\small Baccalaur\'eat blanc}
\rhead{\small (obligatoire)}
\lfoot{\small{P. Warnaut}} 
\rfoot{\small{15 janvier 2008}} 
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\begin{center}{\Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalaur\'eat blanc 15 janvier 2008 \decofourright\\ 
}} \end{center} 

\vspace{0,5cm} 

\noindent \textbf{Exercice 1} \\
Le plan complexe est rapport\'e \`a un rep\`ere orthonormal direct 
\Ouv. L'unit\'e graphique est $2$~cm.\\
On d\'esigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.\\
On r\'ealisera une figure que l'on compl\'etera au fur et \`a mesure des questions.
\begin{enumerate}
\item  R\'esoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'\'equation:
\[\dfrac{z - 4}{z} = \text{i}.\]
 \´Ecrire la solution sous forme alg\'ebrique.
\item  R\'esoudre dans $\C$ l'\'equation $z^2- 2z + 4 = 0$. \´Ecrire les solutions sous forme exponentielle.
\item  Soient A, B, A$'$ et D les points du plan complexe d'affixes respectives :
\[a = 2,~ b = 4,~ a' = 2\text{i}~ \text{et}~ d = 2 + 2\text{i}.\]
Quelle est la nature du triangle ODB ?
\item  Soient E et F les points d'affixes respectives : $e = 1 - \text{i}\sqrt{3}$ et $f = 1 + \text{i}\sqrt{3}$.\\
Quelle est la nature du quadrilat\`ere OEAF ?
\item  Soit $\mathcal{C}$ le cercle de centre A et de rayon 2. Soit $\mathcal{C}'$ le cercle de centre A$'$ et de rayon $2$.\\
Soit $r$ la rotation de centre O et d'angle $+ \dfrac{\pi}{2}.$
	\begin{enumerate}
		\item  On d\'esigne par E$'$ l'image par la rotation $r$ du point E. Calculer l'affixe $e'$ du point E$'$.
		\item D\'emontrer que le point E$'$ est un point du cercle $\mathcal{C}'$.
		\item V\'erifier que : $e - d = (\sqrt{3} + 2)\left(e' - d\right)$. En d\'eduire que les points E, E$'$ et D sont align\'es.
	\end{enumerate}
\item Soit D$'$ l'image du point D par la rotation $r$. D\'emontrer que le triangle EE$'$D$'$ est rectangle.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm} 

\noindent \textbf{Exercice 2}\\

\medskip

\noindent \textbf{Partie A}\\
On dispose d'une boite de $13$~craies. Parmi ces craies, $4$~sont rouges, $3$~sont jaunes et 6 sont
blanches.\\
On tire au hasard et simultan\'ement 3 craies.
\begin{enumerate}
\item  Quelle est la probabilit\'e de tirer 3 craies blanches ?
\item  Quelle est la probabilit\'e d'obtenir 3 craies de la m\?eme couleur ?
\item  Quelle est la probabilit\'e d'obtenir au moins une craie jaune ?
 \end{enumerate}
 
 \medskip

\noindent \textbf{Partie B}\\
On suppose maintenant que la boite contient 4 craies rouges, 3 craies jaunes et $n$ craies
blanches, $n$ \'etant un entier naturel sup\'erieur ou \'egal \`a $6$.\\
On tire $2$~craies successivement sans remise. On note $p_{n}$ la probabilit\'e de tirer deux craies blanches.
\begin{enumerate}
\item  Calculer $p_{n}$.
\item  D\'eterminer $n$ pour que : $p_{n} > 0, 9$.
\end{enumerate} 
 
\vspace{0,5cm} 

\noindent \textbf{Exercice 3}

\medskip

\noindent \textbf{Partie A}\\
\textbf{R\'esolution de l'\'equation diff\'erentielle (1)
 :} \boldmath $y' - 2y = x\text{e}^x$. \unboldmath
\begin{enumerate}
\item  R\'esoudre l'\'equation diff\'erentielle (2) : $y' - 2y = 0$, o\`u $y$ d\'esigne une fonction d\'erivable sur $\R$.
\item  Soient $a$ et $b$ deux r\'eels et soit $u$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par 
\[u(x) = (ax + b)\pmtext{e}^x.\]
	\begin{enumerate}
		\item  D\'eterminer $a$ et $b$ pour que $u$ soit solution de l'\'equation (1).
		\item  Montrer que $v$ est une solution de l'\'equation (2) si, et seulement si, $u + v$ est solution de l'\'equation (1).
		\item  En d\'eduire l'ensemble des solutions de l'\'equation (1).
 	 \end{enumerate}
\item  D\'eterminer la solution de l'\'equation (1) qui s'annule en $0$.
\end{enumerate}
 
\medskip

\noindent \textbf{Partie B}\\
\textbf{\'Etude d'une fonction auxiliaire}\\
Soit $g$ la fonction d\'efinie sur $\pmR$ par 
\[g(x) = 2\text{e}^x - x - 2.\]
\begin{enumerate}
\item 

 D\'eterminer la limite de $g$ en $- 1$ et la limite de $g$ en $+ 1$.
\item \´Etudier le sens de variation de g, puis dresser son tableau de variations.
\item On admet que l\'equation $g(x) = 0$ a exactement deux solutions r\'eelles.
	\begin{enumerate}
		\item  V\'erifier que $0$ est l'une de ces solutions.
		\item  L'autre solution est appel\'ee $\alpha$. Montrer que $-1,6 \leqslant \alpha \leqslant    -1,5$.
	 \end{enumerate}
\item D\'eterminer le signe de $g(x)$ suivant les valeurs du r\'eel $x$.
 \end{enumerate}
 
\medskip

\noindent \textbf{Partie C}\\
\textbf{\'Etude de la fonction principale}\\
Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par 
\[f(x) = \text{e}^{2x} - (x + 1)\text{e}^x\]
\begin{enumerate}
\item D\'eterminer la limite de $f$ en $- 1$ et la limite de $f$ en $+ 1$.
(On pourra mettre $\rext{e}^{2x}$ en facteur.)
\item  Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x)$ et $g(x)$ ont le m\?eme signe.\\
\'Etudier le sens de variations de $f$.
\item  Montrer que $f(\alpha) = - \dfrac{\alpha^2 + 2\alpha}{4}$
o\`u $\alpha$ est d\'efini dans la \textbf{partie B}.\\
En d\'eduire un encadrement de $f(\alpha)$.
(On rappelle que $-1,6 \leqslant \alpha \leqslant   -1,5$.)
\item  \'Etablir le tableau de variations de  $f$.
\item  Tracer la courbe $(\mathcal{C})$, repr\esentative de $f$ dans le plan rapport\'e \`a un rep\`ere orthonormal (unit\'e graphique $2$~cm).
\end{enumerate}
\end{document}
?? quel est ce caract\`ere ?