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%Tapuscrit : Denis Verg\`es Denis.Verges@wanadoo.fr
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\begin{document}
\rhead{\small Bac blanc ann\'ee 2006}%tapez un titre
\begin{center} {\Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalaur\'eat blanc S -- 4 heures~\decofourright\\ Lyc\'ee Corneille - Rouen
 2007 }}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation de la calculatrice est autoris\'ee \end{center}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{Exercice 1 :\hfill 6 points}\\
D\'emonstration de cours
\begin{enumerate}
\item  D\'emontrer que : pour tout $x \in [0~;~+\infty[,~ \text{e}^x - \dfrac{x^2}{2}\geqslant 1$.

\item  En d\'eduire $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^x}{x}$.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,25cm}
 
\noindent \textbf{Partie A : \'Etude d'une fonction auxiliaire}
Soit $g$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par 
 \[g(x)= 2\text{e}^x - x - 2.\]
\begin{enumerate}
\item  D\'eterminer la limite de $g$ en $-\infty$ et la limite de $g$ en $+\infty$.
\item  \'Etudier le sens de variation de $g$, puis dresser son tableau de variations.
\item  On admet que l'\'equation $g(x)= 0$ a exactement deux solutions r\'eelles.
\begin{enumerate}
\item  V\'erifier que $0$ est l'une de ces solutions.
\item  L'autre solution est appel\'ee $\alpha$. Montrer que $-1,6 \leqslant  \alpha \leqslant  -1,5$.
\end{enumerate}
\item  D\'eterminer le signe de $g(x)$ suivant les valeurs du r\'eel $x$.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}
 
\noindent \textbf{Partie B : \'Etude de la fonction principale}\\
Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par 
 \[f(x) = \text{e}^{2x} - (x + 1)\text{e}^x.\]
\begin{enumerate}
\item  D\'eterminer la limite de $f$ en $-\infty$ et la limite de $f$ en $+\infty$.
\item  Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x)$ et $g(x)$ ont le même signe.\\
\'Etudier le sens de variation de $f$.
\item  Montrer que $f(\alpha) = - \dfrac{\alpha^2 + 2\alpha}{4}$, o\`u $\alpha$ est d\'efini dans la partie B.\\
En d\'eduire un encadrement de $f(\alpha)$. (On rappelle que $-1,6 \leqslant  \alpha \leqslant  -1,5$.)
\item  \'Etablir le tableau de variations de $f$.
\item  Tracer la courbe ($\mathcal{C}$), repr\'esentative de $f$ dans le plan rapport\'e \`a un rep\`ere orthonormal (unit\'e graphique 2 cm).
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{Exercice 2 :\hfill 5 points}\\
\`A traiter par les \'el\`eves n'ayant pas choisi l'option math\'ematiques
\vspace{0,25cm}
 
\noindent \textbf{Partie A :} Lectures graphiques
 
 \vspace{0,5cm}
 
\noindent \psset{xunit=1.75cm,yunit=1cm} \begin{pspicture}(-2,-5)(5,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-5)(5,2)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt](0,0)(-2,-5)(5,2)
\psplot[plotpoints=1000]{-1.625}{5}{x 1 add 2 exp 2.71828 x exp div}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=1000]{-1.465}{5}{ 1 x 2 exp sub  2.71828 x exp div}
\uput[dl](0,0){O}\uput[u](3,0.7){$\mathcal{C}$} \uput[d](3,-0.4){$\Gamma$}
 \end{pspicture}

\noindent On donne dans un rep\`ere orthogonal les courbes $\mathcal{C}$ et $\Gamma$ repr\'esentatives de deux fonctions d\'efinies et d\'erivables sur $\R$. On sait que l'une de ces fonctions est la fonction d\'eriv\'ee de l'autre, on peut donc les noter $g$ et $g'$.
\begin{enumerate}
\item  Associer \`a chacune des fonctions $g$ et $g'$ sa repr\'esentation graphique. On justifiera le r\'esultat en donnant un tableau o\`u figurera sur l'intervalle $\left[- \dfrac{3}{2}~;~5\right]$
 le signe de $g'(x)$ et les variations de $g$.
\item   Quel est le coefficient directeur de la tangente \`a $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0 ?
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}
 
\noindent \textbf{Partie B}\\
Soit l'\'equation diff\'erentielle (E) : $y' + y = 2(x + 1)\text{e}^{-x}$.
\begin{enumerate}
\item  Montrer que la fonction $f_{0}$ d\'efinie sur $\R$ par $f_{0}(x) = \left(x^2 + 2x\right)\text{e}^{-x}$ est une solution de l'\'equation (E).
\item  R\'esoudre l'\'equation diff\'erentielle (E$'$) : $y' + y = 0$.
\item  Soit $u$ une solution de (E$'$). Montrer que la fonction $f_{0} + u$ est une solution de (E).\\
On admettra que, r\'eciproquement, toute solution $f$ de (E) est de la forme $f = f_{0} + u$ o\`u $u$ est une solution de (E$'$).\\
En d\'eduire, pour $x \in \R$, l'expression de $f(x)$ lorsque $f$ est solution de (E).
\item  Sachant que la fonction $g$ de la partie A est solution de (E), d\'eterminer $g(x)$ pour $x \in  \R$.
\item  D\'eterminer la solution $h$ de l'\'equation (E) dont la repr\'esentation graphique admet au point d'abscisse $0$ une tangente de coefficient directeur $0$.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{Exercice 2 :\hfill 5 points}\\
\`A traiter par les \'el\`eves ayant choisi l'option math\'ematiques\\
On consid\`ere deux entiers naturels, non nuls, $x$ et $y$ premiers entre eux.\\
On pose $S = x + y$ et $P = xy$.
\begin{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item  D\'emontrer que $x$ et $S$ sont premiers entre eux, de même que $y$ et $S$.
\item  En d\'eduire que $S = x+y$ et $P = xy$ sont premiers entre eux.
\item  D\'emontrer que les nombres $S$ et $P$ sont de parit\'es diff\'erentes (l'un pair, l'autre impair).
\end{enumerate}
\item  D\'eterminer les diviseurs positifs de $84$ et les ranger par ordre croissant.
\item  Trouver les nombres premiers entre eux $x$ et $y$ tels que : $SP = 84$.
\item  D\'eterminer les deux entiers naturels $a$ et $b$ v\'erifiant les conditions suivantes:
\[\left\{\begin {array}{l c r}
a+b&=&84\\
ab &=& d^3\\
\end{array}\right.  \text{avec}~ d = \text{PGCD}(a~ ;~b)\]
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{Exercice 3 :\hfill 4,5 points}\\
Commun \`a tous les \'el\`eves 

\vspace{0,25cm}

\noindent \textbf{Partie A}
\begin{enumerate}
\item  R\'esoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'\'equation :
\[z^2 - 2z + 4 = 0.\]
Les solutions seront not\'ees $z'$ et $z'', z'$ d\'esignant la solution dont la partie imaginaire est positive.\\
Donner les solutions sous forme alg\'ebrique puis sous forme exponentielle.
\item  Donner la valeur exacte de $\left(z'\right)^{2007}$ sous forme exponentielle puis sous forme alg\'ebrique.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,25cm}

\noindent \textbf{Partie B}\\
Le plan complexe est muni d'un rep\`ere orthonormal direct \Ouv ; (unit\'e graphique : 2 cm).
\begin{enumerate}
\item  Montrer que les points A d'affixe $1+ \text{i}\sqrt{3}$ et B d'affixe $1- \text{i}\sqrt{3}$ sont sur un même cercle de centre O dont on pr\'ecisera le rayon.\\
Tracer ce cercle puis construire les points A et B.
\item  On note O$'$ l'image du point O par la rotation $r_{1}$ de centre A et d'angle $-\dfrac{\pi}{2}$ et B$'$ l'image du point B par la rotation $r_{2}$ de centre A et d'angle $+ \dfrac{\pi}{2}$.\\
Calculer les affixes des points O$'$ et B$'$ et construire ces points.
\item  Soit I le milieu du segment [OB].
\begin{enumerate}
\item  Que peut-on conjecturer pour la droite (AI) dans le triangle AO$'$B$'$ ?
\item   Calculer l'affixe du vecteur $\vect{\text{AI}}$.\\
Montrer que l'affixe du vecteur $\vect{\text{O}'\text{B}'}$
est \'egale \`a $3\sqrt{3} - \text{i}$.
\item   La conjecture \'emise \`a la question a est-elle vraie ?
\end{enumerate}
\end{enumerate} 
 
\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{Exercice 4 :\hfill 4,5 points}\\
Commun \`a tous les \'el\`eves\\
Un joueur ach\`ete 10 euros un billet permettant de participer \`a un jeu constitu\'e d'un grattage suivi d'une loterie. Il gratte une case sur le billet. Il peut alors gagner 100 euros avec une probabilit\'e de
$\dfrac{1}{50}$ ou bien ne rien gagner.\\
G d\'esigne l'\'ev\`enement : \og Le joueur gagne au grattage \fg.\\
Il participe ensuite \`a une loterie avec le même billet. \`A cette loterie, il peut gagner 100 euros, ou 200
euros, ou bien ne rien gagner.\\
L$_{1}$ d\'esigne l'\'ev\`enement \og Le joueur gagne 100 euros \`a la loterie \fg.\\
L$_{2}$ d\'esigne l'\'ev\`enement \og Le joueur gagne 200 euros \`a la loterie \fg.\\
P d\'esigne l'\'ev\`enement \og Le joueur ne gagne rien \`a la loterie \fg.\\
Si le joueur n'a rien gagn\'e au grattage, la probabilit\'e qu'il gagne 100 euros \`a la loterie est
$\dfrac{1}{70}$, et la probabilit\'e qu'il gagne 200 euros \`a la loterie est $\dfrac{1}{490}$.
\begin{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item  Faire un arbre sur lequel on indiquera les renseignements qui pr\'ec\`edent.
\item   Calculer la probabilit\'e que le joueur ne gagne rien \`a la loterie, sachant qu'il n'a rien gagn\'e au
grattage. Compl\'eter l'arbre obtenu avec cette valeur.
\item   Au bout de chaque branche, indiquer le gain alg\'ebrique total du joueur, apr\`es grattage et loterie, d\'eduction faite du prix du billet.
\end{enumerate}
\item   En supposant le nombre de billets suffisamment grand pour que deux r\'esultats soient consid\'er\'es comme ind\'ependants.
\begin{enumerate}
\item  Calculer la probabilit\'e de ne rien gagner \`a ce jeu.
\item  Le joueur ach\`ete 10 billets, calculer la probabilit\'e pour qu'un ticket au moins soit gagnant \`a ce jeu.
\item  En utilisant votre calculatrice, combien doit-il acheter de billets pour avoir une probabilit\'e
strictement sup\'erieure \`a 0,5 de gagner ?
 \end{enumerate}
\item  On note $X$ la variable al\'eatoire qui repr\'esente le gain alg\'ebrique total du joueur, apr\`es grattage et loterie, d\'eduction faite du prix du billet.\\
La probabilit\'e de l'\'ev\`enement \og  X = 90 \fg{} est
$\dfrac{2}{125}$.\\
La probabilit\'e de l'\'ev\`enement \og X = 190 \fg{} est
$\dfrac{2}{250}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la probabilit\'e que le joueur gagne 100 euros \`a la loterie, sachant qu'il a gagn\'e 100
euros au grattage, est \'egale \`a $\dfrac{1}{10}$.
\item  Calculer la probabilit\'e que le joueur ne gagne rien \`a la loterie, sachant qu'il a gagn\'e 100 euros au grattage.
\item  D\'eterminer la loi de probabilit\'e de $X$.
Calculer l'esp\'erance de $X$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}