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\lhead{\footnotesize{\textsf{Lyc\'ee Camille SEE\\Jeudi 21 f\'evrier 2008}}}
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{BAC BLANC MATH\'EMATIQUES}}}}
\rhead{\footnotesize{\textsf{Terminale ES\\Dur\'ee 3 heures}}}
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
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\setdefaultenum {1)}{a.}{}{}
\newcommand{\euro}{\texteuro{}}
\newcommand{\R}{\mathbb {R}}
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\DecimalMathComma
\hyphenpenalty 10000 % emp\`eche la coupure de mots
\newcommand{\exo}[1]{{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE #1}} }} }}}

\begin{document}


\exo{1} ( 3 \textit{points} ) \textsf{\textbf{\textcolor{red}{{\small{COMMUN \`A TOUS LES CANDIDATS }}}}}\\

Chaque question comporte trois affirmations, une seule des trois est exacte. Indiquer sur votre copie le num\'ero de la question et recopier l'affirmation exacte sans justifier votre choix. 
 
\textit{Une bonne r\'eponse rapporte $0,5$ point; une mauvaise r\'eponse retire $0,25$ point; l'absence de r\'eponse donne $0$ point. Si le total des points est n\'egatif, la note globale attribu\'ee \`a l'exercice est $0$.}\\

On consid\`ere la fonction  $f$ d\'efinie et d\'erivable sur $\R$ .
La figure ci-dessous montre une partie de sa courbe repr\'esentative $\left(C_f\right)$ dans un rep\`ere orthonormal.
 
On dispose des renseignements suivants sur la fonction $f$ et la courbe $\left(C_f\right)$ :
\begin{itemize}
	\item la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $\left[-2 ; 2\right]$, elle est strictement d\'ecroissante sur l'intervalle $\left]-\infty; -2\right]$ et sur l'intervalle $\left[2 ; +\infty\right[$ ;
	\item la droite d'\'equation $y=0,5$ est asymptote \`a la courbe $\left(C_f\right)$ en $- \infty$ et en $+ \infty$ ;
	\item la tangente en $A\left(0;\dfrac{1}{2}\right)$  \`a la courbe $\left(C_f\right)$ passe par le point de coordonn\'ees $\left(1;\dfrac{3}{2}\right)$.
\end{itemize}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-5,-0.75)(5,3.5)
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=2,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=gray,gridlabels=0](0,0)(-5,-0.5)(5,3.5)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-5,-0.5)(5,3.5)
\psline[linewidth=0.4pt](1,-0.1)(1,0.1)\rput(1,-0.3){\textsf 1}
\psline[linewidth=0.4pt](-0.1,1)(0.1,1)\rput(-0.3,1){\textsf 1}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.2 .5}
\uput[u](4.7,1){\textcolor{prune}{\small $C_{f}$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=1.5pt, linecolor=prune]{-5}{5}{e^(x*e^(-x^2/8))-.5}
\psline[linecolor=bleu, linewidth=0.75pt](-3,-0.203)(-1,-0.203)
\psline[linecolor=bleu, linewidth=0.75pt](-1,-0.5)(1,1.5)
\psline[linecolor=bleu, linewidth=0.75pt](1,2.864)(3,2.864)
\psdots[linecolor=prune,dotscale=.8] (-2,-0.203)
\psdots[linecolor=prune,dotscale=.8] (0,0.5)
\psdots[linecolor=prune,dotscale=.8] (2,2.864)
\uput[ul](0,0.5){\textcolor{bleu}{\footnotesize $A$}}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item  Sur $\R$, l'\'equation $f(x)=0,49$  admet :\\
	\begin{tabularx}{\linewidth}{@{{\footnotesize{\textbullet}}~~}p{5cm}@{{\footnotesize{\textbullet}}~~}X @{{\footnotesize{\textbullet}}~~}p{3.5cm}}	
une solution & deux solutions & trois solutions\\	
\end{tabularx}
\medskip		
\item On note $f'$ la d\'eriv\'ee de la fonction $f$ sur $\R$. La fonction $f'$  est :\\
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{{\footnotesize{\textbullet}}~~}p{5cm}@{{\footnotesize{\textbullet}}~~}X @{{\footnotesize{\textbullet}}~~}p{3.5cm}}	
croissante sur  $\left[0 ; 2\right]$& positive sur  $\left[-2 ; 2\right]$ & positive sur  $\left[0 ; +\infty\right[$\\
\end{tabularx}
\medskip		
		\item La tangente en $A$  \`a la courbe $\left(C_f\right)$ a pour \'equation :\\
		\begin{tabularx}{\linewidth}{@{{\footnotesize{\textbullet}}~~}p{5cm}@{{\footnotesize{\textbullet}}~~}X @{{\footnotesize{\textbullet}}~~}p{3.5cm}}		
$y=0,5x+1$ & $y=x+0,5$ & $y=1,5x+0,5$\\
\end{tabularx}	
\medskip
\item  Si $F$  est une primitive de la fonction $f$ sur $\R$ alors :\\
	\begin{tabularx}{\linewidth}{@{{\footnotesize{\textbullet}}~~}p{5cm}@{{\footnotesize{\textbullet}}~~}X @{{\footnotesize{\textbullet}}~~}p{3.5cm}}		
$F'(0)=0,5$ & $F$ est croissante sur  $\left]-2 ; 0\right]$ & $F'(2)=0$\\	
\end{tabularx}
\medskip		
\item On note $g$ la fonction d\'efinie sur $\left[0 ; + \infty\right[$ par $g(x)=\ln\left(f(x)\right)$ :\\
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{{\footnotesize{\textbullet}}~~}p{5cm}@{{\footnotesize{\textbullet}}~~}X @{{\footnotesize{\textbullet}}~~}p{3.5cm}}	
$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = + \infty$ & $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = - \infty$ & $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = - \ln 2$\\
\end{tabularx}
\medskip		
		\item On note $g'$ la d\'eriv\'ee de la fonction $g$ sur $\left[0 ; + \infty\right[$ :\\
		\begin{tabularx}{\linewidth}{@{{\footnotesize{\textbullet}}~~}p{5cm}@{{\footnotesize{\textbullet}}~~}X @{{\footnotesize{\textbullet}}~~}p{3.5cm}}	
$g'(0)=0$ & $g'(0)=2$ & $g'(0)= \ln 0,5$\\				
\end{tabularx}
	\end{enumerate}
	
\pagebreak

\exo{2} ( 4 \textit{points} ) \textsf{\textbf{\textcolor{red}{{\small{COMMUN À TOUS LES CANDIDATS }}}}}\\
% D'apr\`es sujet Am\'erique du sud novembre 2007
%Tapuscrit : Denis Verg\`es http://www.apmepaquitaine.com/dossier%20Pages/Pag%20annalesES.html

Une revue professionnelle est propos\'ee en deux versions : une \'edition papier et une \'edition \'electronique consultable via internet. Il est possible de s'abonner \`a une seule des deux \'editions ou de s'abonner \`a l'\'edition papier et \`a l'\'edition \'electronique.\\

 L' \'editeur de la revue a charg\'e un centre d'appel de d\'emarcher les personnes figurant sur une liste de lecteurs potentiels.\\
On admet que lorsqu'un lecteur potentiel est contact\'e par un employ\'e du centre d'appel, la probabilit\'e qu'il s'abonne \`a l'\'edition papier est \'egale \`a $0,2$ ; s'il s'abonne \`a l'\'edition papier, la probabilit\'e qu'il s'abonne aussi \`a l'\'edition \'electronique est \'egale \`a $0,4$ ; s'il ne s'abonne pas \`a l'\'edition papier, la probabilit\'e qu'il s'abonne \`a l'\'edition \'electronique est \'egale \`a $0,1$.\\

Une personne figurant sur la liste de lecteurs potentiels est contact\'ee par un employ\'e du centre d'appel.\\

 On note :
\begin{itemize}
\item $A$ l'\'ev\`enement \og la personne s'abonne \`a l'\'edition papier \fg,
\item $B$ l'\'ev\`enement \og la personne s'abonne \`a l'\'edition \'electronique \fg,
\item $\overline{A}$ l'\'ev\`enement contraire de $A$, $\overline{B}$ l'\'ev\`enement contraire de $B$.
\end{itemize}


\begin{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item  Reproduire et compl\'eter l'arbre suivant :

\medskip

\begin{center}
\psset{arrows=-,treesep=0.75cm,levelsep=2.5cm}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.2 .5}

\pstree[linecolor=bleu,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{~$A$~}\taput{0,2}}
	  { 
		  \TR{~$B$}
		  \TR{~$\overline{B}$}  
	  }
	\pstree{\TR{~$\overline{A}$~}}
	  {
		  \TR{~$B$}
		  \TR{~$\overline{B}$} 
	  }
	
}
\end{center}

\item   Donner la probabilit\'e de $\overline{B}$ sachant $A$ et la probabilit\'e de $\overline{B}$ sachant $\overline{A}$.\\
 \end{enumerate}
\item   \begin{enumerate}
\item  Calculer la probabilit\'e que la personne contact\'ee s'abonne \`a l'\'edition papier et \`a l'\'edition \'electronique.
\item  Justifier que la probabilit\'e de l'\'ev\`enement $B$ est \'egale \`a $0,16$.
\item  Les \'ev\`enements $A$ et $B$ sont-ils ind\'ependants ?\\
 \end{enumerate}
\item 	 On suppose que la personne contact\'ee s'est abonn\'ee \`a l'\'edition \'electronique. Quelle est alors la probabilit\'e qu'elle soit aussi abonn\'ee \`a l'\'edition papier ?
\end{enumerate}

\pagebreak

\exo{3} ( 5 \textit{points} ) \textsf{\textbf{\textcolor{red}{{\small{CANDIDATS N'AYANT PAS SUIVI L'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}}}}\\
%D'apr\`es sujet Am\'erique du sud novembre 2007
%Tapuscrit : Denis Verg\`es http://www.apmepaquitaine.com/dossier%20Pages/Pag%20annalesES.html
	
On admettra que les fonctions consid\'er\'ees dans cet exercice sont d\'erivables sur l'intervalle $]0~ ;~ +\infty[$.\\
Soit la fonction $f$ d\'efinie sur l'intervalle $]0~ ;~ +\infty[$ par :
\[f(x) = \left(2 - \ln x\right) \ln x.\]
La figure ci-dessous donne la courbe repr\'esentative $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ de la fonction $f$ dans un rep\`ere orthonormal $\left(O;\vec{i},\vec{j}\right)$ \\
	La courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ coupe l'axe des abscisses en $A(1 ; 0)$ et en $B$.\\
La tangente en $C$ \`a la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ est parall\`ele \`a l'axe des abscisses et la tangente en $A$ \`a la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ coupe l'axe
des ordonn\'ees en $D$.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1.25,-3.25)(9,2)
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=2,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=gray,gridlabels=0](0,0)(-1,-3)(9,2)
\psaxes[labels=all,labelFontSize=\footnotesize,xticksize=-0.1 0.1,yticksize=-0.1 0.1,linewidth=0.75pt]{->}(0,0)(-1,-3)(9,2)
\rput(-0.2,-0.2){\textsf 0}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.2 .5}
 \uput[u](5.8,0.4){\textcolor{prune}{\small $C_{f}$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=1.5pt, linecolor=prune]{0.367}{9}{(2-ln(x))*ln(x)}
\psline[linecolor=bleu, linewidth=0.8pt](2,2)(-0.5,-3)
\psdots[linecolor=prune,dotscale=.8] (1,0)
\uput[u](0.8,0){\footnotesize $A$}
\psline[linecolor=bleu, linewidth=0.8pt](1.718,1)(3.718,1)
\psdots[linecolor=prune,dotscale=.8] (2.718,1)
\uput[u](2.718,1){\footnotesize $C$}
\uput[u](7.5,0){\footnotesize $B$}
\uput[ul](0,-2){\footnotesize $D$}
\end{pspicture*}
\end{center}


\medskip

\begin{enumerate}
\item  D\'eterminer l'abscisse du point $B$ (la valeur exacte est demand\'ee).\\
\item  
\begin{enumerate}
	\item Calculer la limite de $f$ en $0$, en donner une interpr\'etation graphique.
	\item Calculer la limite de $f$ en $+\infty$.\\
\end{enumerate}
\item  On note $f'$ la fonction d\'eriv\'ee de $f$ sur $]0~;~ + \infty[$.
\begin{enumerate}
\item  D\'emontrer que pour tout r\'eel $x$ de l'intervalle $]0~;~ + \infty[$,
\[f'(x) = \dfrac{2(1 - \ln x)}{x}\]
\item  D\'eterminer les coordonn\'ees du point $C$ et l'ordonn\'ee du point $D$ (les valeurs exactes sont demand\'ees).\\
 \end{enumerate}
 \item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~ ;~ +\infty[$.
\end{enumerate}

\pagebreak

\exo{3} ( 5 \textit{points} ) \textsf{\textbf{\textcolor{red}{{\small{CANDIDATS AYANT SUIVI L'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}}}}\\		
		
Dans le graphe ci-dessous, les sommets repr\'esentent diff\'erentes zones de r\'esidence ou d'activit\'es d'un quartier. Une arête reliant deux de ces sommets indique l'existence d'une voie d'acc\`es principale entre deux lieux correspondants.
\begin{center}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.2 .5}
\psset{unit=1.5cm,linecolor=bleu, linewidth=0.5pt}
\begin{pspicture*}(-0.25,-2.25)(5.25,0.25)
\rput(0,0){\rnode{A}{\psframebox{\footnotesize{\textsf{A}}}}}
\rput(0,-2){\rnode{B}{\psframebox{\footnotesize{\textsf{B}}}}}
\rput(1,-1){\rnode{P}{\psframebox{\footnotesize{\textsf{P}}}}}
\rput(2,-2){\rnode{D}{\psframebox{\footnotesize{\textsf{D}}}}}
\rput(4,-2){\rnode{F}{\psframebox{\footnotesize{\textsf{F}}}}}
\rput(3,-1){\rnode{G}{\psframebox{\footnotesize{\textsf{G}}}}}
\rput(5,-1){\rnode{H}{\psframebox{\footnotesize{\textsf{H}}}}}
\rput(4,0){\rnode{E}{\psframebox{\footnotesize{\textsf{E}}}}}
\rput(2,0){\rnode{C}{\psframebox{\footnotesize{\textsf{C}}}}}
\psset{linewidth=1pt}
\ncline{-}{B}{D}
\ncline{-}{D}{F}
\ncline{-}{F}{G}
\ncline{-}{G}{C}
\ncline{-}{C}{E}
\ncline{-}{E}{H}
\ncline{-}{H}{G}
\ncline{-}{G}{D}
\ncline{-}{D}{P}
\ncline{-}{P}{C}
\ncline{-}{C}{A}
\ncline{-}{A}{P}
\ncline{-}{P}{B}
\ncline{-}{B}{A}
\end{pspicture*}
\end{center}

Les questions 1, 2 et 3 sont ind\'ependantes. Toutes les r\'eponses devront être justifi\'ees.\\
\begin{enumerate}
	\item La municipalit\'e d\'ecide de planter des arbres dans chaque zone, de mani\`ere \`a ce que dans deux zones, reli\'ees entre elles par une voie d'acc\`es principale les esp\`eces plant\'ees soient d'essence diff\'erente. Pour des raisons d'entretien, il est pr\'ef\'erable que le nombre d'essences plant\'ees soit le plus petit possible.
	
On note $V$ le nombre de vari\'et\'es d'arbres qu'il faut utiliser.	
\begin{enumerate}
	\item Donner un encadrement de $V$.
	\item Quel nombre minimal d'essences diff\'erentes faudra-t-il planter ?\\
\end{enumerate}
\item Pour sa campagne \'electorale, un candidat  souhaite parcourir toutes les voies d'acc\`es principales de ce quartier  sans emprunter plusieurs fois la même voie.
\begin{enumerate}
	\item Montrer qu'un tel parcours est possible.
	\item Un tel parcours est-il possible pour ce candidat en partant de sa permanence \'electorale situ\'ee en $P$ ? si oui le donner, sinon proposer un parcours possible en partant d'un autre endroit.\\
\end{enumerate}
\item Un candidat aux \'elections municipales se trouve dans sa permanence situ\'ee en zone $P$ quand on lui rappelle qu'il a un rendez-vous avec le responsable de l'hôpital situ\'e en zone $H$.
\begin{enumerate}
	\item Quel est le nombre minimal de voies d'acc\`es principales que ce candidat devra emprunter pour arriver \`a son rendez-vous ?
	\item Le graphe pond\'er\'e ci-dessous donne, en minutes, les dur\'ees moyennes des trajets existants entre les diff\'erents lieux :
	\begin{center}
	\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.2 .5}
\psset{unit=1.5cm,linecolor=bleu,linewidth=0.5pt}
\begin{pspicture*}(-0.25,-2.25)(5.25,0.25)
\rput(0,0){\rnode{A}{\psframebox{\footnotesize{\textsf{A}}}}}
\rput(0,-2){\rnode{B}{\psframebox{\footnotesize{\textsf{B}}}}}
\rput(1,-1){\rnode{P}{\psframebox[linewidth=0.75pt]{\footnotesize{\textsf{\textbf{P}}}}}}
\rput(2,-2){\rnode{D}{\psframebox{\footnotesize{\textsf{D}}}}}
\rput(4,-2){\rnode{F}{\psframebox{\footnotesize{\textsf{F}}}}}
\rput(3,-1){\rnode{G}{\psframebox{\footnotesize{\textsf{G}}}}}
\rput(5,-1){\rnode{H}{\psframebox[linewidth=0.75pt]{\footnotesize{\textsf{\textbf{H}}}}}}
\rput(4,0){\rnode{E}{\psframebox{\footnotesize{\textsf{E}}}}}
\rput(2,0){\rnode{C}{\psframebox{\footnotesize{\textsf{C}}}}}
\psset{linewidth=1pt}
\ncline{-}{B}{D}\mput*{\footnotesize{\textsf{4}}}
\ncline{-}{D}{F}\mput*{\footnotesize{\textsf{5}}}
\ncline{-}{F}{G}\mput*{\footnotesize{\textsf{8}}}
\ncline{-}{G}{C}\mput*{\footnotesize{\textsf{10}}}
\ncline{-}{C}{E}\mput*{\footnotesize{\textsf{11}}}
\ncline{-}{E}{H}\mput*{\footnotesize{\textsf{9}}}
\ncline{-}{H}{G}\mput*{\footnotesize{\textsf{10}}}
\ncline{-}{G}{D}\mput*{\footnotesize{\textsf{9}}}
\ncline{-}{D}{P}\mput*{\footnotesize{\textsf{12}}}
\ncline{-}{P}{C}\mput*{\footnotesize{\textsf{11}}}
\ncline{-}{C}{A}\mput*{\footnotesize{\textsf{7}}}
\ncline{-}{A}{P}\mput*{\footnotesize{\textsf{4}}}
\ncline{-}{P}{B}\mput*{\footnotesize{\textsf{6}}}
\ncline{-}{B}{A}\mput*{\footnotesize{\textsf{3}}}
\end{pspicture*}
\end{center}
En pr\'ecisant la m\'ethode utilis\'ee, d\'eterminer le plus court chemin que ce candidat devra emprunter pour arriver \`a son rendez-vous.
	
Combien de temps faut-il pr\'evoir pour effectuer ce trajet ?

\end{enumerate}
 
\end{enumerate}

\pagebreak

\exo{4} ( 8 \textit{points} ) \textsf{\textbf{\textcolor{red}{{\small{COMMUN À TOUS LES CANDIDATS }}}}}\\
%D'apr\`es sujet Asie 2005
%Tapuscrit : Denis Verg\`es http://www.apmepaquitaine.com/dossier%20Pages/Pag%20annalesES.html

Le but de cet exercice est d'\'etudier l'\'evolution du prix d'une mati\`ere premi\`ere.
  
 \emph{On ne fera qu'un seul graphique qui sera compl\'et\'e tout au long des questions.}\\

\noindent \textbf{\textsf{Partie A}}\\
Le tableau suivant donne le prix d'une tonne de mati\`ere premi\`ere en milliers d'euros
au $1\textsuperscript{er}$ janvier de chaque ann\'ee : 
\begin{center}\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline	
Ann\'ee & 1998&	1999&	2000 &	2001\\ \hline
Rang de l'ann\'ee : $x_{i}$ & 0 &1 &2 &3\\ \hline
Prix d'une tonne en milliers d'euro $y_{i}$ & 6,48 &5,74 & 5,19 & 5,01\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate} 
\item Sur la copie, repr\'esenter le nuage de points associ\'e \`a la s\'erie statistique $(x_{i}~ ; y_{i})$, le plan \'etant rapport\'e a un rep\`ere orthogonal (unit\'es graphiques : 1 cm pour une ann\'ee sur l'axe des abscisses, 2 cm pour un millier d'euros sur l'axe des ordonn\'ees).\\
\item Dans cette question, on envisage un ajustement affine pour mod\'eliser l'\'evolution du prix de cette mati\`ere premi\`ere.
\begin{enumerate}
 \item D\'eterminer une \'equation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la m\'ethode des moindres carr\'es, et la tracer sur le graphique pr\'ec\'edent (les calculs seront effectu\'es \`a la  calculatrice et les r\'esultats seront donn\'es \`a $10 ^{-3}$ pr\`es).
\item En supposant que cet ajustement affine reste valable pour les ann\'ees suivantes, quel serait le prix d'une tonne de mati\`ere premi\`ere au $1\textsuperscript{er}$ janvier 2005 ?\\
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\noindent \textbf{\textsf{Partie B}}\\
En fait, \`a partir de l'ann\'ee 2001, le prix d'une tonne de cette mati\`ere premi\`ere commence \`a
remonter, comme le montre le tableau suivant :
\begin{center}\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline	
Ann\'ee & 2001&	2002&	2003 &	2004\\ \hline
Rang de l'ann\'ee : $x_{i}$ & 3 &4 & 5 & 6\\ \hline
Prix d'une tonne en milliers d'euro $y_{i}$ & 5,01 &5,10 & 5,20 & 5,52\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate} 
\item Placer  sur le graphique de la \textbf{partie A} les points associ\'es \`a ce 2\textsuperscript{e} tableau.\\

\item On d\'esire trouver une fonction qui mod\'elise l'\'evolution de ce prix sur la p\'eriode 1998-2008.

Pour cela, on consid\`ere la fonction $f$ d\'efinie pour tout $x$ de l'intervalle $[0 ; 11]$ par
 \[f(x) = x + 10 - 5 \ln (x + 2).\] 
On admet que la fonction $f$ est d\'erivable sur cet intervalle, et on notera $f'$ sa fonction d\'eriv\'ee.
\begin{enumerate} 
\item Donner un tableau de valeurs de la fonction $f$ pour les valeurs de $x$ enti\`eres comprises entre $0$ et $11$. Les valeurs de la fonction seront arrondies \`a $10 ^{-2}$.
\item Calculer $f'(x)$, puis \'etudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ;  11]$.

Dresser son tableau de variations. Les valeurs des extremums seront donn\'ees \`a $10 ^{-2}$ pr\`es.

\item Tracer la courbe ($\mathcal{C}$) repr\'esentative de la fonction $f$ sur le graphique de la \textbf{Partie A.}\\
\end{enumerate}
\item On admet que la fonction $f$ mod\'elise l'\'evolution du prix de cette mati\`ere premi\`ere sur la p\'eriode 1998-2008.
\begin{enumerate} 
\item	Selon ce mod\`ele, quel serait le prix d'une tonne de mati\`ere premi\`ere au 1\up{er} janvier 2005 ?
\item D\'eterminer en quelle ann\'ee le prix d'une tonne de mati\`ere premi\`ere retrouvera sa valeur de 1998.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{document}
