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\begin{document}
% ent\^ete et bas de page
\lhead{\small terminale L }
\rhead{\small Lyc\'ee Saint-Cyr}
\chead{\small A. P. M. E. P.}
\lfoot{\small{Bac blanc }}
\rfoot{\small{f\'evrier 2008}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} { \Large{ \textbf{\gray 
\decofourleft~Baccalaur\'eat blanc Lyc\'ee Saint-Cyr~\decofourright\\ 
f\'evrier  2008 }}} \end{center}

\vspace{1cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill }\\

\begin{enumerate}
\item  Une entreprise a fabriqu\'e 20\:000 objets d'un mod\`ele A en 1999.\\
Elle r\'eduit progressivement cette production de 2\:500 pi\`eces par an jusqu'\`a ce que la production devienne nulle.\\
On note $u_{0}$ la production du mod\`ele A pour l'ann\'ee 1999 et $u_{n}$ la production du mod\`ele A pour l'ann\'ee $(1999 + n)$.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$.
		\item  Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$. Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
		\item  Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
		\item  D\'eterminer le nombre total d'objets qui auront \'et\'e produits du 1\up{er} janvier 1999 au 31 d\'ecembre 2007.
 	\end{enumerate}
\item  D\`es 1999, cette entreprise lance un nouveau mod\`ele B. 11\:000 objets du mod\`ele B ont \'et\'e produits en 1999.\\
La production du mod\`ele B augmente de $8$\:\%
	 chaque ann\'ee.\\
On note $v_{n}$ la production du mod\`ele B pour l'ann\'ee $(1999 + n)$. Les r\'esultats num\'eriques seront arrondis \`a l'unit\'e pr\`es.
	\begin{enumerate}
		\item  V\'erifier que $v_{1} = 11\:880$ et calculer $v_{2}$.
		\item   Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_{n}$. Quelle est la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$ ?
		\item   Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.
		\item   Calculer la production de l'ann\'ee 2007.
		\item   D\'eterminer le nombre total d'objets du mod\`ele B qui auront \'et\'e produits du 1\up{er} janvier 1999 au 31 d\'ecembre 2007.
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\vspace{1cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill }\\
\begin{enumerate}
\item  Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite g\'eom\'etrique de premier terme $0,89$ et de raison $0,01$.\\
On pose $S_{n} = u_{0} + u_{1} + \cdots + u_{n}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Exprimer $S_{n}$ en fonction de $n$.
		\item  D\'eterminer la limite de $S_{n}$.
		\item  En d\'eduire l'\'ecriture fractionnaire de 1,89 89 \ldots
 	\end{enumerate}
\item D\'eterminer l'\'ecriture fractionnaire de $17,314\:314 \ldots$
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill }\\
 La population d'une ville nouvelle est donn\'ee par :
 \[f(t) = \dfrac{26t + 10}{t + 5}\]
o\`u $t$ est le temps depuis 1970 (exprim\'e en ann\'ees) et $f(t)$ est le nombre d'habitants (exprim\'e en milliers).
\begin{enumerate}
\item  Calculer la population de cette ville d\'ebut 1980, puis d\'ebut 1995.
\item   
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $f'(t)$ o\`u $f'$ est la d\'eriv\'ee de $f$.
		\item  En d\'eduire le sens de variation de $f$ sur l'intervalle $[0 ~;~ +\infty[$ et en donner une interpr\'etation concr\`ete.
 	\end{enumerate}
\item La d\'eriv\'ee de la fonction $f$ repr\'esente le rythme de croissance de la population de cette ville (exprim\'e en milliers d'habitants par an).
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer le rythme de croissance en 1990 pour cette ville.
		\item   D\'eterminer \`a quel moment le rythme de croissance sera \'egal \`a $0,125$ milliers (ou $125$ habitants de plus par an).
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{1cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill }\\
On lance simultan\'ement deux d\'es \'equilibr\'es (un bleu, un vert), dont les faces sont num\'erot\'ees de 1 \`a 6. (On suppose qu'il y a \'equiprobabilit\'e pour tous les couples de nombres possibles). On note $S$ la somme des nombres obtenus.\\

\noindent \emph{Tous les r\'esultats de calculs de probabilit\'e seront donn\'es sous forme de fraction irr\'eductible}
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Compl\'eter le tableau suivant par la somme des nombres obtenus :\\
		
		\medskip
\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\backslashbox{vert}{bleu}&1&2&3&4&5&6\\ \hline
1&2&&&&&\\ \hline
2&3&&&&&\\ \hline
3&4&&&&&\\ \hline
4&5&&7&&&\\ \hline
5&6&7&&&&\\ \hline
6&7&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

		\item Compl\'eter le tableau suivant : ($P(S)$ repr\'esente la probabilit\'e que la somme des deux d\'es soit \'egale \`a $S$).\\

		\medskip
		\renewcommand{\arraystretch}{2.25}
\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$S$&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\ \hline
$P(S)$&&&&&$\dfrac{5}{36}$&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  D\'eterminer la probabilit\'e de l'\'ev\`enement : \og $5 \leqslant  S \leqslant 9$ \fg.
		\item  Montrer que la probabilit\'e d'obtenir une somme $S$ impaire est \'egale \`a $\dfrac{1}{2}$.
	\end{enumerate}
\item On lance les deux d\'es trois fois de suite. \`A l'issue de chaque lancer, on note la somme obtenue.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la probabilit\'e d'obtenir exactement trois fois une somme impaire est \'egale \`a $\dfrac{1}{8}$.
		\item  Calculer la probabilit\'e d'obtenir exactement deux fois une somme impaire.
	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
 \vspace{1cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill }\\
Le code ISBN (International Standard Book Number, Num\'ero international normalis\'e du livre) permet d'identifier chaque livre de mani\`ere unique dans le monde entier. Il sert notamment de num\'ero de r\'ef\'erence dans les bases de donn\'ees informatiques (biblioth\`eque, \'editeurs). Il est compos\'e de dix chiffres r\'epartis en quatre groupes s\'epar\'es par des tirets.\\

\medskip

\noindent Exemples : ISBN 2 -- 266 -- 02612 -- 7 ou ISBN 2 -- 86623 -- 490 -- 1 .\\
Le premier groupe correspond au pays de l'\'editeur ( 2 pour la France), le deuxi\`eme groupe est le num\'ero de l'\'editeur, le troisi\`eme celui du livre, enfin le dernier chiffre est une cl\'e qui sert \`a v\'erifier qu'on a pas effectu\'e d'erreurs de saisie en rentrant le code dans un ordinateur. Cette cl\'e est calcul\'ee de la mani\`ere suivante :\\
\`A partir des neuf premiers chiffres $a_{1}~, a_{2},~ a_{3},~  \ldots,~  a_{9}$ (sans tenir compte des tirets), on calcule la somme : $S = a_{1} + 2 \times a_{2} + 3\times a_{3} + 4 \times a_{4} + 5 \times a_{5} + 6 \times a_{6} + 7 \times a_{7} + 8 \times a_{8} + 9 \times a_{9}$, puis on calcule le reste de la division euclidienne de $S$ par $11$. Ce reste est la cl\'e. Il s'agit d'un entier compris entre 0 et 10 inclus ; s'il vaut 10, on \'ecrit alors le chiffre romain X.\\
Exemple : un livre am\'ericain est cod\'e par les chiffres 0 ? 19 ? 857505 ? ? \\
La somme $S$ vaut dans ce cas 208 or $208 = 11 \times 18 + 10$. Le reste est donc \'egal \`a $10$, donc la cl\'e sera X. On obtient alors le code 0 -- 19 -- 857505 -- X.
\begin{enumerate}
\item  Compl\'eter les codes suivants par leur cl\'es :

ISBN 0 -- 7136 -- 6020 - ?

ISBN 2 -- 7427 -- 0008 - ?

ISBN 0 -- 691 -- 05729 - ?
\item Un biblioth\'ecaire saisi le code ISBN 2 -- 70 -- 031999 -- 7 . Le logiciel lui indique alors qu'il a commis une erreur.
	\begin{enumerate}
		\item  Comment le logiciel a-t-il d\'etect\'e l'erreur ?
		\item  Le biblioth\'ecaire s'aperçoit alors qu'il a interverti les deux chiffres du num\'ero de l'\'editeur ; il saisit donc le code ISBN 2 -- 07 -- 031999 -- 7. Ce code est-il coh\'erent avec la cl\'e de contrôle ?
 	\end{enumerate}
\item Le biblioth\'ecaire re\c{c}oit un nouveau message d'erreur en rentrant le code ISBN 2 -- 85368 -- 313 -- 2. Corriger son erreur sachant qu ?elle porte seulement sur le chiffre de gauche.
\item Les proposition suivantes sont-elles justes ou fausses ? (justifier rapidement)
	\begin{enumerate}
		\item  \og si la somme S est un multiple de 11, alors la cl\'e est 0 \fg
		\item  \og si la somme S est un multiple de 10, alors la cl\'e est X \fg
		\item  \og toutes les erreurs de saisie sont d\'etectables \fg
		\item  \og Si deux codes poss\`edent la m\^eme cl\'e, alors les sommes S correspondantes sont congrues modulo 11. \fg
 	\end{enumerate}
\item \'Ecrire la r\'eciproque de la derni\`ere proposition puis pr\'eciser si cette derni\`ere est juste ou fausse.
\item On voudrait savoir si intervertir deux chiffres entra\^{\i}ne toujours une modification de la cl\'e, ce qui permet de d\'eceler l'erreur.
On suppose par exemple qu'au lieu de saisir les neufs chiffres d'un code ISBN $a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}a_{6}a_{7}a_{8}a_{9}$, le biblioth\'ecaire saisisse $a_{1}a_{3}a_{2}a_{4}a_{5}a_{6}a_{7}a_{8}a_{9}$. On consid\`ere $S$ et $S'$ les sommes correspondant respectivement au code exact et au code erron\'e.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $S - S'$ en fonction des chiffres $a_{2}$ et $a_{3}$.
		\item  Quelles sont les valeurs possibles pour $S - S'$ ?
		\item  Est-ce que $S$ et $S'$ peuvent être congrues modulo 11 ?
		\item  Que peut-on en conclure ?
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 \end{document}