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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
% entte et bas de page
\lhead{\small Devoir TS}%tapez un titre
\rhead{\small F. Laroche}
\lfoot{\small{Lyc\'ee La Merci Montpellier}}
\rfoot{\small  f\'evrier 2008}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

\Large

\shadowbox{\textbf{\hspace{0,5cm}Bacalaur\'eat blanc - TS~  \\
Lyc\'ee La Merci -- Montpellier\hspace{0,5cm}}}

\normalsize

\textit{L'utilisation de la calculatrice est autorisée.}

\end{center}

\vspace{0.5cm}

\noindent \textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}\\
\textbf{Non spécialistes uniquement}\\
On considère la fonction définie sur $]0 ~;~ + \infty[$ par 
\[f(x) =   \text{e}^x -  \ln x\]
 et sa courbe représentative $\mathcal{C}$ dans un
plan rapporté à un repère orthonormé\\ \Oij{} (unité graphique ; $2$~cm).
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  \'Etudier les variations de la fonction $g$ définie sur $[0 ~;~ + \infty[$ par \\
		$ g(x) = x\text{e}^x - 1$.
		\item En déduire qu'il existe un réel positif unique $\alpha$ tel que : $\alpha \text{e}^{\alpha} = 1$. Donner un encadrement de $\alpha$
d'amplitude $10^{-3}$.
		\item Préciser le signe de $g(x)$ selon les valeurs de $x$.
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer les limites de $f$ aux bornes de $]0 ~;~ + \infty[$.
		\item Calculer la fonction dérivée $f'$ de $f$ et étudier son signe sur $]0 ~;~ + \infty[$ en utilisant la question 1. Dresser le
tableau des variations de $f$.
		\item Montrer que $f$ admet un minimum $m$ égal à $\alpha + \dfrac{1}{\alpha}$.\\
Justifier que : $2,32 \leqslant  m \leqslant  2,34$.
 	\end{enumerate}
\item Donner une équation de la tangente T à $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse $1$. Déterminer le point d'intersection
de T et de l'axe des ordonnées.
\item Tracer $\mathcal{C}$ et T.
 \end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\noindent \textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}\\
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{}(unité graphique $1$~cm).\\
On considère dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation (E) d'inconnue $z$ suivante :
\[z^3 +(- 8 + \text{i})z^2 +(17 - 8\text{i})z +17\text{i} = 0.\]
\textbf{I. Résolution de l'équation (E)}
\begin{enumerate}
\item  Montrer que $-\text{i}$ est solution de (E).
\item  Déterminer les nombres réels $a,~ b,~ c$ tels que : 
\[z^3 +(-8 + \text{i})z^2 +(17 - 8\text{i})z +17\text{i} = (z + \text{i})\left(az^2 + bz + c\right).\]
\item  Résoudre l'équation (E) dans l'ensemble des nombres complexes.
 \end{enumerate}
 
\noindent \textbf{II.} On appelle A, B et C les points d'affixes respectives $4 + \text{i},~ 4 - \text{i},~ - \text{i}$.
\begin{enumerate}
\item  Placer les points sur une figure que l'on complétera dans la suite de l'exercice.
\item  Le point $\Omega$ est le point d'affixe 2. On appelle S l'image de A par la rotation de centre $\Omega$ et d'angle de mesure 2 $\dfrac{\pi}{2}$. Calculer l'affixe de S.
\item  Démontrer que les points B, A, S, C appartiennent à un m\^eme cercle ($\mathcal{C})$ dont on déterminera le centre
et le rayon. Tracer ($\mathcal{C})$.
\item \`A tout point $M$ d'affixe $z \neq 2$, on associe le point $M'$ d'affixe $z' = \dfrac{\text{i}z + 10 - 2\text{i}}{z - 2}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer les affixes des points A$'$, B$'$, C$'$ associés respectivement aux points A, B et C.
		\item Vérifier que A$'$, B$'$, C$'$ appartiennent à un cercle $(\mathcal{C}')$ de centre P, d'affixe i.\\
Déterminer son rayon et tracer $(\mathcal{C}')$.
		\item Pour tout nombre complexe $z \neq 2$, montrer que $\left|z' - \text{i}\right| = \dfrac{10}{|z - 2|}$. Donner une interprétation géométrique de cette relation.
		\item Soit $M$ un point d'affixe $z$ appartenant au cercle $(\mathcal{C})$. Démontrer que $\left|z' - \text{i}\right| = 2\sqrt{5}$.
		\item En déduire à quel ensemble appartiennent les points $M'$ associés aux points $M$ du cercle $(\mathcal{C})$.
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\noindent \textbf{Exercice 3 \hfill 4,5 points}\\
Une étude sur le comportement de bactéries placées dans une enceinte close dont le milieu nutritif est renouvelé en permanence a conduit à proposer une loi d'évolution de la forme

\[N'(t) =  2N(t) -  0,004\:5 [N(t)]^2 \quad  (1)\]
où $t$ est le temps exprimé en heures. $N(t)$ représente le nombre d'individus présents dans l'enceinte à l'instant $t$ ; à $t = 0$ on a $N(0) = 1$ (en milliers).
\begin{enumerate}
\item On pose $y(t) = \dfrac{1}{N(t)}$ ; montrer que $y$ est solution d'une équation différentielle (E) du type $y' = ay+b$.
\item  Résoudre (E).
\item  En déduire que la solution de (1) est $N(t)  = \dfrac{1}{0,997\:75\text{e}^{-2t} + 0,002\:25}$.
\item  \'Etudier les variations de $N$.
\item  Montrer que $N(t) = \dfrac{\text{e}^{2t}}{0,997\:75 + 0,002\:25\text{e}^{2t}}$. Déduisez-en une primitive de $N(t).$
\item  On appelle nombre moyen de bactéries la limite quand $T$ tend vers $+\infty$ de $\dfrac{1}{T}\displaystyle\int_{0}^T N(t)\:\text{d}t$. Calculer cette intégrale et en déduire le nombre moyen de bactéries dans l'enceinte.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\noindent \textbf{Exercice 4 \hfill 5,5 points}\\
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0 ~;~ +\infty[$ par 
\[f(x) = (x - 1)\left(2  - \text{e}^{-x}\right).\]
Sa courbe représentative $\mathcal{C}$ est tracée dans le repère orthonormal ci-dessous (unité graphique $2$~cm).
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  \'Etudier la limite de $f$ en $+\infty$.
		\item  Montrer que la droite $\Delta$ d'équation $y = 2x - 2$ est asymptote à $\mathcal{C}$.
		\item  Étudier la position relative de $\mathcal{C}$ et $\Delta$.
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x) = x\text{e}^{-x} + 2\left(1- \text{e}^{-x}\right)$.
		\item En déduire que, pour tout réel $x$ strictement positif, $f'(x) > 0$.
		\item Préciser la valeur de $f'(0)$ puis établir le tableau de variations de $f$.
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Rappeler la démonstration de la formule d'intégration par parties.
		\item  \`A l'aide d'une intégration par parties, calculer l'aire, exprimée en cm$^2$, du domaine plan limité par la
courbe $\mathcal{C}$, la droite $\Delta$ et les droites d'équations $x = 1$ et $x = 3$.\\
En donner une valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
 	\end{enumerate}
\item \emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en
compte dans l'évaluation.}
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer le point A de $\mathcal{C}$ où la tangente à $\mathcal{C}$ est parallèle à $\Delta$.
		\item   Calculer la distance, exprimée en cm, du point A à la droite $\Delta$. En donner une valeur approchée à $10^{-2}$
près.
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
\end{document}