\documentclass[10pt]{article}
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% Fourier for math | Utopia (scaled) for rm | Helvetica for ss | Latin Modern for tt
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%tapuscrit : Claire Lacaze
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\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
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\begin{document}
\lhead{\small{Site Mathemitec}}
\lfoot{\small{Baccalaur\'eat blanc}}
\rfoot{\small{f\'evrier  2008}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\definecolor{gristab}{gray}{0.80}
 
\begin{center}    {\Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalaur\'eat blanc ES f\'evrier 2008~\decofourright }\\
Lyc\'ee Dupuy de L\^ome}\\
\vspace{0,5cm}
Du papier millim\'etr\'e est mis \`a la disposition des candidats
L'utilisation de la calculatrice est autoris\'ee 
\end{center}

\vspace*{1cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice} 1  \hfill 4,5 points}\\
\textbf{Commun \`a tous les candidats}\\
\parbox{0.4\textwidth}{La courbe $\mathcal{C}$ ci-contre repr\'esente une fonction $f$ d\'efinie et
d\'erivable sur l'intervalle I $= ]0~ ;~  +\infty[$.\\
On note $f'$ la fonction d\'eriv\'ee de $f$ sur l'intervalle I.\\
Les axes (O$x$) et (O$y$) sont asymptotes \`a $\mathcal{C}$.\\
La courbe $\mathcal{C}$ passe par les points A(1 ; 1) et B$\left(\dfrac{1}{\text{e}}~;~0\right)$ et admet
une tangente parall\`ele \`a (O$x$) au point A.}\hfill
\parbox{0.5\textwidth}{\psset{unit=0.8cm}\begin{pspicture}(-0.5,-4)(7,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-4)(7,2)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2,griddots=8](0,0)(-0.5,-4)(7,2)
\psplot[plotpoints=1500,linecolor=blue]{0.18}{7}{x ln 1 add x div}
\psline{<->}(0.4,1)(1.6,1)
\pscustom[fillstyle=hlines]{
\psplot[plotpoints=1500,linecolor=blue]{1}{2.71828}{x ln 1 add x div}
\psline(2.71828,0)(1,0)
}
\uput[dl](0,0){O} \uput[u](1,1){A} \uput[dr](0.4,0){B}\uput[u](6,0.4){$\mathcal{C}$} \uput[u](7,0){$x$}\uput[r](0,2){$y$}
\end{pspicture}}
\begin{enumerate}
\item  En utilisant les donn\'ees ci-dessus, d\'eterminer sans justification :
	\begin{enumerate}
		\item  $f(1)$ et $f'(1)$.
		\item $\displaystyle\lim_{x \to  0} f(x)$
 et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
		\item Les solutions de l'in\'equation $f(x) > 0$ et
les solutions de l'in\'equation $f'(x) > 0$.
 	\end{enumerate}
\item On suppose que l'une des trois courbes suivantes est la repr\'esentation graphique de la fonction d\'eriv\'ee $f'$ de $f$
et une autre repr\'esente une primitive $F$ de la fonction $f$.
	\begin{enumerate}
		\item  D\'eterminer la courbe associ\'ee \`a la fonction $f'$ et celle associ\'ee \`a $F$ en justifiant votre r\'eponse.\\
		
\hspace{-1cm}\psset{xunit=0.5cm,yunit=1cm}
\begin{tabularx}{1.2\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\begin{pspicture}(-0.5,-1.5)(6,3)\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-1.5)(6,3)\psplot{0.5}{6}{x ln x 2 exp div neg}
\psline[linestyle=dashed](0,-0.135)(2.71828,-0.135)(2.71828,0) \uput[dr](2.71828,-0.135){E}\uput[u](2.71828,0){e}\uput[d](6,0){$x$} \uput[r](0,3){$y$}\uput[dl](0,0){O}  \end{pspicture}
&\begin{pspicture}(-0.5,-1.5)(6,3)\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-1.5)(6,3) \psplot{0.28}{6}{ x ln 1 sub   x ln   mul}
\uput[dr](2.71828,0){E} \uput[u](2.71828,0){e}\uput[d](6,0){$x$} \uput[r](0,3){$y$}\uput[dl](0,0){O}  \end{pspicture}
&\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-0.5,-1.5)(3,3)\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-1.5)(3,3) \psplot{0.04}{3}{x ln 1 add 2 exp 2 div 0.5 sub} \psline[linestyle=dashed](2.71828,0)(2.71828,1.5)(0,1.5)
\uput[dr](2.71828,1.5){E}\uput[ul](2.71828,0){e}\uput[d](3,0){$x$} \uput[r](0,3){$y$}\uput[dl](0,0){O}\end{pspicture}\\
Courbe 1& Courbe 2& Courbe 3\\
\end{tabularx}
		\item En d\'eduire l'aire du domaine hachur\'e exprim\'ee en unit\'e d'aire.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace*{1cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice} 2  \hfill 5 points}\\ \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de sp\'ecialit\'e }\\
Pour chacune des cinq questions suivantes num\'erot\'ees de 1. \`a 5., une et une seule des trois propositions a., b., c. est exacte.\\
Indiquer sur la copie : \og enseignement obligatoire \fg{} puis le num\'ero de la question et la lettre correspondant \`a la proposition exacte.\\
Aucune justification n'est attendue.\\
\emph{Bar\`eme : une r\'eponse correcte rapporte $1$ point, une r\'eponse incorrecte enl\`eve $0,25$ point, une absence de r\'eponse
ne rapporte et n'enl\`eve aucun point. Si le total est n\'egatif, la note pour cet exercice est ramen\'ee \`a $0$.}
\begin{enumerate}
\item  Soit une s\'erie statistique \`a deux variables $(x ~;~ y)$.
Les valeurs de $x$ sont 1, 2, 5, 7, 11, 13 et une \'equation de la droite de r\'egression de $y$ en $x$ par la m\'ethode des
moindres carr\'es est : $y = 1,35 x + 22,8$.\\
Alors les coordonn\'ees du point moyen sont :
	\begin{enumerate}
		\item  (6,5 ; 30,575)
		\item  (32,5756 ; 6,5)
		\item  (6,5 ; 31,575)
 	\end{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par $f(x) = - \dfrac{x}{(x^2 + 1)^2}$.\\
Alors une primitive sur $\R$ de $f$ est la fonction $F$ d\'efinie par :
	\begin{enumerate}
		\item  $F(x) = \dfrac{1}{x^2}$
		\item  $F(x) = \dfrac{1}{2 (x^2 + 1)}$
		\item  $F(x) = - \dfrac{1}{2(x^2 + 1)}.$
 	\end{enumerate}
\item La valeur moyenne sur [1 ; 3] de la fonction $f$ d\'efinie par $f(x) = x^2 + 2x$ est :
	\begin{enumerate}
		\item  $\dfrac{25}{3}$
		\item $\dfrac{50}{3}$
		\item $9$
 	\end{enumerate}
\item L'ensemble des solutions de l'in\'equation $- 4 \ln x + 8 < 0$ est :
	\begin{enumerate}
		\item  $]2 ~;~ + \infty[$
		\item  $]0 ~;~ \text{e}^2[$
		\item  $]\text{e}^2~ ;~ + \infty[$
 	\end{enumerate}
\item Pour tout nombre r\'eel $a$ strictement positif, le nombre $\ln \left(a^2 + 3 a\right)$ est \'egal \`a :
	\begin{enumerate}
		\item  $\ln \left(a^2\right) + 3 \ln (a)$
		\item  $\ln (a) + \ln (a + 3)$
		\item  $\ln \left(a^2\right) \times \ln (3 a)$
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace*{1cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice} 2  \hfill 5 points}\\ \textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de sp\'ecialit\'e }\\
Pour chacune des cinq questions suivantes num\'erot\'ees de 1. \`a 5., une et une seule des trois propositions a., b., c.
est exacte.\\
Indiquer sur la copie : \og enseignement de sp\'ecialit\'e \fg{} puis le num\'ero de la question et la lettre correspondant \`a la
proposition exacte.\\
Aucune justification n'est attendue.\\
\emph{Bar\`eme : une r\'eponse correcte rapporte 1 point, une r\'eponse incorrecte enl\`eve $0,25$ point, une absence de r\'eponse
ne rapporte et n'enl\`eve aucun point. Si le total est n\'egatif, la note pour cet exercice est ramen\'ee \`a $0$.}
\begin{enumerate}
\item  La suite $\left(u_{n}\right)$ est d\'efinie par $u_{0} = 2$ et pour tout entier naturel $n,~ u_{n+1} - u_{n} = - 0,1 u_{n}$.
	\begin{enumerate}
		\item  La suite $\left(u_{n}\right)$ est arithm\'etique.
		\item   La suite $\left(u_{n}\right)$ n'est ni arithm\'etique, ni g\'eom\'etrique.
		\item   La suite $\left(u_{n}\right)$ est g\'eom\'etrique.
 	\end{enumerate}
\item Les ventes d'un nouveau roman ont r\'eguli\`erement progress\'e de 2\:\%
	 chaque semaine depuis sa parution.\\
Au cours de la premi\`ere semaine, il s'en \'etait vendu $10\:000$ exemplaires.\\
Le nombre d'exemplaires vendus au cours des $45$ semaines \'ecoul\'ees depuis sa parution est :
	\begin{enumerate}
		\item  $23\:900$
		\item $718\:927$
		\item $743\:306$
 	\end{enumerate}
\item Dans l'espace muni d'un rep\`ere orthonorm\'e, on consid\`ere :
le plan $(P)$ d'\'equation $x + y + z - 2 = 0$ et la droite $(D)$ d'\'equations cart\'esiennes : $\left\{\begin{array}{l c l}
 y &=& 1\\
z &=& 1 - x\\
	\end{array}\right.$
	\begin{enumerate}
		\item  La droite $(D)$ est incluse dans le plan $(P)$.
		\item  La droite $(D)$ est s\'ecante au plan $(P)$.
		\item  La droite $(D)$ est strictement parall\`ele au plan $(P)$.
 	\end{enumerate}
\item La matrice d'un graphe non orient\'e G, de sommets A, B, C, D, E est :
$\begin{pmatrix}
0& 0& 1& 0& 1\\
0& 0& 1& 1& 1\\
1& 1& 0 &1& 0\\
0 &1& 1& 0& 0\\
1& 1& 0& 0& 0\\
	\end{pmatrix}$
	\begin{enumerate}
		\item  Le graphe G comporte 12 arêtes.
		\item  Le graphe G admet une chaîne eul\'erienne.
		\item Le graphe G est complet.
 	\end{enumerate}
\item M est la matrice d'un graphe G dont les sommets A, B, C et D sont rang\'es dans cet ordre.
M $=\begin{pmatrix}
1& 1& 0& 1\\
0& 0& 1& 1\\
1& 0& 0& 0\\
0& 1& 1& 0\\
	\end{pmatrix}$.
On donne $\text{M}^ 4 =\begin{pmatrix}
7& 6& 6& 6\\
3& 4& 3& 3\\
3& 3& 4& 3\\
3& 3& 3& 4\\
\end{pmatrix}
	\begin{enumerate}
		\item  Il y a 16 chemins de longueur 4 partant de B.
		\item  Il y a 3 chemins de longueur 4 partant de C pour arriver \`a B : CABDB, CACAB et CAADB.
		\item  Il y a 3 chemins de longueur 4 partant de B pour arriver \`a C : BCABC, BCADC et BDBDC.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\vspace*{1cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice} 3  \hfill 4,5 points}\\ \textbf{Commun \`a tous les candidats}\\
La soci\'et\'e MERCURE vend des machines agricoles. Suite \`a une restructuration en 1998, elle a pu relancer sa production et ses b\'en\'efices annuels ont \'evolu\'e comme indiqu\'e dans le tableau suivant :\\
\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Ann\'ee& 1999& 2000& 2001& 2002& 2003& 2004\\ \hline
Rang de l'ann\'ee $x_{i}$& 0& 1& 2& 3& 4& 5\\ \hline
B\'en\'efice en milliers d'euros $y_{i}$& 64& 75& 100& 113& 125& 127\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Repr\'esenter le nuage de points associ\'e \`a la s\'erie statistique $\left(x_{i}~;~ y_{i}\right)$ dans un rep\`ere orthogonal.
Les unit\'es graphiques seront $2$~cm pour une unit\'e sur l'axe des abscisses et $1$~cm pour $10$~unit\'es sur l'axe des ordonn\'ees.
		\item  Calculer les coordonn\'ees du point moyen G du nuage (arrondir au dixi\`eme). Placer le point G dans le rep\`ere.
	\end{enumerate}
\item En premi\`ere approximation, on envisage de repr\'esenter le b\'en\'efice $y$ comme une fonction affine du rang $x$ de
l'ann\'ee.
	\begin{enumerate}
		\item  Donner une \'equation de la droite d'ajustement (D) obtenue par la m\'ethode des moindres carr\'es (arrondir les coefficients au centi\`eme).
		\item Tracer cette droite (D) dans le rep\`ere.
		\item Quelle pr\'evision ferait-on pour le b\'en\'efice en 2005 avec cette approximation ?
 	\end{enumerate}
\item En observant le nuage de points, on envisage un deuxi\`eme mod\`ele d'ajustement donn\'e par $y = f(x)$
avec $f(x) = - 2 x^2 + 23 x + 63$.
	\begin{enumerate}
		\item  \'Etudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; 6].
		\item Tracer la courbe repr\'esentative $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ de la fonction $f$ dans le rep\`ere de la question 1.
		\item Quelle pr\'evision ferait-on pour le b\'en\'efice en 2005 avec ce deuxi\`eme mod\`ele d'ajustement ?
 	\end{enumerate}
\item En r\'ealit\'e, le b\'en\'efice en 2005 est en hausse de 0,9\:\%
	 par rapport \`a celui de 2004.\\
Des deux ajustements envisag\'es dans les questions pr\'ec\'edentes, quel est celui qui donnait la meilleure pr\'evision
pour le b\'en\'efice en 2005 ? Justifier la r\'eponse.
\end{enumerate}

\vspace*{1cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice} 3  \hfill 6 points}\\ \textbf{Commun \`a tous les candidats}\\
On consid\`ere la fonction $f$ d\'efinie sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$ par :
\[ f(x) = 5 \dfrac{\ln x}{x}+ 3.\]
On note $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe repr\'esentative dans un rep\`ere orthogonal du plan.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  D\'eterminer la limite de $f$ en $0$ et en donner une interpr\'etation graphique.
		\item  D\'eterminer la limite de $f$ en $+ \infty$ et en donner une interpr\'etation graphique.
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $f'(x)$ o\`u $f'$ est la fonction d\'eriv\'ee de $f$, puis \'etudier son signe.
		\item En d\'eduire le tableau de variations de la fonction $f$. On y indiquera les limites aux bornes de l'intervalle de d\'efinition de $f$ ainsi que la valeur exacte de $f (\text{e})$.
	\end{enumerate}
\item On consid\`ere la fonction $F$ d\'efinie sur $]0 ~;~ + \infty[$ par 
	\[F(x) = \dfrac{5}{2}(\ln x)^2  + 3.\]
	\begin{enumerate}
		\item  D\'emontrer que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $]0 ~;~ + \infty[$.
		\item En d\'eduire la valeur exacte de I $= \displaystyle\int_{2}^{4}f(t)\:\text{d}t$ sous la forme $a (\ln 2)^2 + b$ avec $a$ et $b$ deux r\'eels \`a d\'eterminer.
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Pr\'eciser le signe de $f$ sur l'intervalle [2 ; 4].
		\item  Donner une interpr\'etation graphique de I .
 	\end{enumerate}
\item On admet que le b\'en\'efice, en milliers d'euros, que r\'ealise une entreprise lorsqu'elle fabrique $x$ milliers de pi\`eces
est \'egal \`a $f(x)$.\\
En utilisant les r\'esultats pr\'ec\'edents, d\'eterminer la valeur moyenne du b\'en\'efice lorsque la production varie entre
$2~000$ et $4~000$ pi\`eces. On donnera une valeur approch\'ee de ce b\'en\'efice \`a $100$ euros pr\`es.\\
\emph{Rappel} : Soit $f$ une fonction d\'efinie et d\'erivable sur un intervalle $[a~ ;~  b]$.\\
La valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $[a~ ;~  b]$ est le nombre $m$ tel que : \[m = \dfrac{1}{b - a}\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x.\]
\end{enumerate}

\end{document}