\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{colortbl} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[mathscr]{eucal} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{dcolumn} \usepackage{multicol} \usepackage{diagbox} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eucl} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23,5cm} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \makeatletter%graduations décimales \def\pshlabel#1{\expandafter\LabelVirgule#1..\@nil} \def\psvlabel#1{\expandafter\LabelVirgule#1..\@nil} \def\LabelVirgule#1.#2.#3\@nil{% \ifx#1\@emptyO\else#1\fi \ifx#2\@empty\else,#2\fi} \makeatother \usepackage{fancyhdr} \usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} \lhead{\small L'année 2002} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\huge \textbf{\gray \decofourleft~BaccalaurŽéat L 2002 \decofourright \\ mathématiques--informatique\\ \vspace{1cm} L'intégrale d'avril à décembre 2002}} \vspace{1cm} Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large \textcolor{blue}{bleus}} \end{center} \vspace{1cm} {\Large \hyperlink{Pondichery}{Pondichéry avril 2002} \dotfill 3 \medskip \hyperlink{Antilles}{Antilles-Guyane juin 2002} \dotfill 6 \medskip \hyperlink{Amerique du Nord}{Amérique du Nord juin 2002} \dotfill 10 \medskip \hyperlink{Asie}{Asie juin 2002} \dotfill 14 \medskip \hyperlink{Etranger}{Centres étrangers juin 2002} \dotfill 17 \medskip \hyperlink{France2}{Métropole juin 2002} \dotfill 20 \medskip \hyperlink{La Reunion}{La Réunion juin 2002} \dotfill 23 \medskip \hyperlink{Polynesie}{Polynésie juin 2002} \dotfill 27 \medskip \hyperlink{Antillessept}{Antilles-Guyane septembre 2002} \dotfill 31 \medskip \hyperlink{Metropolesept}{Métropole septembre 2002} \dotfill 36 \medskip \hyperlink{Caledonie}{Nouvelle-Calédonie novembre 2002} \dotfill 40 \medskip \hyperlink{AmduSud}{Amérique du Sud décembre 2002} \dotfill 43 \medskip } \newpage ~ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%% Pondichéry avril 2002 \hypertarget{Pondichery}{} \lhead{\small BaccalaurŽéat L mathématiques--informatique} \lfoot{\small{Pondichéry}} \rfoot{\small{avril 2002}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} { \Large \gray \decofourleft~BaccalauréŽat gŽénŽéral Pondichéry \decofourright} {\large \textbf{ƒépreuve anticipŽée MathŽématiques -- avril 2002}} {\large \textbf{MathéŽmatiques-informatique - séŽrie L }} La calculatrice est autorisŽée. \textbf{Le candidat doit traiter les DEUX exercices} \end{center} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 12 points} \medskip Un journal, vendu exclusivement sur abonnement, possède \np{25000} abonnés au début de l'année 2000. Le service des abonnements estime que, d'une année sur l'autre, d'une part, 80 \%\ des lecteurs renouvellent leur abonnement et, d'autre part, qu'il y aura \np{20000} nouveaux abonnés. On note $0$ l'année de référence 2000. Les années suivantes sont notées 1, 2, \ldots \begin{enumerate} \item Dans le tableau ci-dessous, les colonnes sont repérées par des lettres : A, B, C, \ldots ; les lignes sont repérées par des nombres : 1, 2, 3, \ldots Ainsi la référence B3 repère la cellule se trouvant à l'intersection de la colonne B et de la ligne 3. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|c|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline & A & B & C & D & E & F & G \\ \hline 1 & année $n$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline 2 & abonnés & \np{25 000} & \np{40000} &&&& \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Vérifier que le nombre estimé d'abonnés en 2001 sera de \np{40000}. \item Recopier et compléter la ligne 2 du tableau donnant le nombre d'abonnés. \item Si l'on utilisait un tableur pour compléter le tableau précédent, quelle formule devrait-on écrire dans la cellule C2 et recopier vers la droite jusqu'en G2~? \end{enumerate} \item On note $U_n$ le nombre estimé d'abonnés durant l'année $n$. \begin{enumerate} \item Cette suite $(U_n)$ est-elle arithmétique~? Justifier la réponse. \item Cette suite $(U_n)$ est-elle géométrique~? Justifier la réponse. \item Exprimer $U_{n+1}$ en fonction de $U_n$. \end{enumerate} \item Le directeur souhaite \np{100000} abonnés pour rentabiliser son entreprise. Il calcule alors, pour chaque année à venir, la différence $V_n$ entre son objectif \np{100000} et le nombre estimé $U_n$ d'abonnés. On a donc $V_n = \np{100000} - U_n$. \begin{enumerate} \item Calculer $V_0$. \item Dans la cellule B3, quelle formule doit-on écrire, puis recopier vers la droite dans le tableau ci-dessous, pour compléter la ligne 3~? \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|c|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline & A & B & C & D &E & F & G \\ \hline 1 & année $n$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline 2 & abonnés $U_n$ & \np{25 000} & \np{40 000} & & & & \\ \hline 3 & $V_n$ & \np{75 000} & & & & & \\ \hline 4 & $V_n/V_{n-1}$ & & & & & & \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Compléter la ligne 3 du tableau ci-dessus. \end{enumerate} \item Dans cette question, on étudie la nature de la suite $(V_n)$. \begin{enumerate} \item Compléter la ligne 4 du tableau précédent. \item Que peut-on conjecturer pour la suite $(V_n)$~? \item En admettant que cette conjecture est vérifiée, montrer que $$V_n=75 000\times 0,8^n.$$ \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item En déduire $U_n$ en fonction de $n$. \item Combien d'abonnés peut-on estimer en 2010~? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 8 points} \medskip {\em Questionnaire à choix multiples : \medskip Dans chaque exercice, plusieurs réponses sont proposées. Parmi ces réponses, une seule est juste : entourer, sur la feuille annexe, la bonne réponse. Pour chaque question, la bonne réponse rapporte 1 point, une réponse fausse coûte 0,5 points. L'absence de réponse est notée 0. La note minimale pour l'exercice entier est 0.} \begin{enumerate} \item Le prix d'un article est passé en un mois de 28 euros à 29,54 euros. Le pourcentage d'augmentation de cet article est, à $10^{-1}$ près : \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline 5,2 \% & 5,5 \% & 1,54 \% & 1,055 \% \\ \hline \end{tabular} \end{center} \item Une production de \np{40000}~unités augmente de 4,5\,\% chaque année (par rapport à l'année précédente). On veut établir la production au cours des années suivantes à l'aide d'un tableur : \begin{center} \begin{tabular}{|p{1cm}|l|p{1.5cm}|p{1.5cm}|p{1.5cm}|p{1.5cm}|} \hline & A & B & C & D & E \\ \hline 1 & Année & 2000 & 2001 & 2002 & \\ \hline 2 & Production & 40 000 & & & \\ \hline \end{tabular} \end{center} La formule de calcul qu'il faut écrire dans la cellule C2 est : \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline =B2+4,5\% & =B2*1,045 & =B2*0,045 & =1,45*B2 \\ \hline \end{tabular} \end{center} \item On lance deux dés cubiques, un rouge et un bleu, dont les faces sont numérotées de 1 à 6, et on considère la somme des deux résultats obtenues. Le nombre de fa\c{c}ons d'obtenir une somme égale à 8 est : \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline 2 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \end{tabular} \end{center} \item Entre le $1\up{er}$ novembre 1999 et le $1\up{er}$ novembre 2000 le nombre de chômeurs en France est passé de \np{2628600} à \np{2175500}. Si l'on utilise une interpolation linéaire, le nombre de chômeurs que l'on peut estimer au 1\up{er} août 2000 est : \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline \np{2572300} & \np{2277885} & \np{2402050} & \np{2288775} \\ \hline \end{tabular} \end{center} \item Une entreprise fabrique sur commande des moteurs électriques. La courbe $(C)$ ci-dessous représente le coût de fabrication, en euros, des moteurs en fonction du nombre $x$ de moteurs fabriqués. la droite $(D)$ représente la recette, en euros, issue de la vente de ces moteurs. Le bénéfice est la différence entre la recette et le coût. \begin{center} \psset{xunit=1.1cm,yunit=0.5cm} \pspicture(0,-2)(10,17) \psgrid[subgriddiv=0,gridwidth=0.5pt,gridlabels=0,gridcolor=orange](0,0)(10,15) \psaxes[labels=none,ticks=none,linewidth=1.5pt]{<->}(0,0)(10,15) \psplot{0}{10}{x x mul 0.25 mul x 5 mul 0.25 mul neg add 2 add} \psplot{0}{10}{x} \uput[l](0,0){0} \uput[l](0,5){5\:000} \uput[l](0,10){10\:000} \uput[d](0,0){0} \uput[d](1,0){10} \uput[d](2,0){20} \uput[d](3,0){30} \uput[d](4,0){40} \uput[d](5,0){50} \uput[d](6,0){60} \uput[d](7,0){70} \uput[d](8,0){80} \uput[d](9,0){90} \uput[d](10,0){100} \uput[ul](9.25,12){$(C)$} \uput[dr](9,9){$(D)$} \endpspicture \end{center} \begin{enumerate} \item Le bénéfice est strictement positif lorsque : \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline $x=10$ & $x\in[0~;~10[~ \cup~]80~;~100]$ & $x \in ]10~;~80[$ & $x=90$ \\ \hline \end{tabular} \end{center} \item Le bénéfice est maximal lorsque \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline $x=100$ & $x=80$ & $x=45$ & $x=25$ \\\hline \end{tabular} \end{center} \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Pondichéry avril 2002 \newpage %%%%%%%%%%% Antilles-Guyane juin 2002 \hypertarget{Antilles}{} \lhead{\small Baccalauréat L mathématiques--informatique} \lfoot{\small{Antilles--Guyane}} \rfoot{\small{juin 2002}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} { \Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalauréat général Antilles--Guyane \decofourright}} {\large \textbf{épreuve anticipée Mathématiques}} {\large \textbf{Mathématiques-informatique - série L - juin 2002 }} \end{center} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points} \medskip Une usine de confection de linge possède deux unités de production, l'une équipée de 450 machines de la marque CEDUSOLID et l'autre de 300 machines de la marque TREFIABLE. On a observé le nombre d'interventions par machine (réglages, pannes ou révision obligatoire) nécessaires durant l'année 2001 dans chacune des deux unités de production. Les diagrammes en boite ou boîtes à moustaches, nommés (E) et (F). élagués aux déciles. sont donnés ci-dessous (document 1). \begin{center} \begin{pspicture}(12,5) \multido{\n=1+1}{11}{\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dotted](\n,0)(\n,5)} \multido{\n=1+1}{11}{\uput[d](\n,0){\n}} \psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dotted](1,0)(11,0) \psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dotted](1,5)(11,5) \psframe(5,1)(8,2) \psframe(3,3)(9,4) \psline[linewidth=1.5pt](6,1)(6,2) \psline[linewidth=1.5pt](6,3)(6,4) \psline(4,1.5)(5,1.5) \psline(8,1.5)(9,1.5) \psline(2,3.5)(3,3.5) \psline(9,3.5)(10,3.5) \uput[r](10,3.5){(E)} \uput[r](9,1.5){(F)} \uput[d](6,-0.5){Document 1} \end{pspicture} \end{center} \bigskip \bigskip \textbf{Partie 1} \medskip On étudie le nombre d'interventions sur les machines CEDUSOLID. Le tableau statistique (document 2) a été relevé sur tableur. Une formule a été écrite dans la cellule B14 se trouvant à l'intersection de la colonne B et de la ligne 14. Une représentation de cette série est donnée (document 3). \begin{enumerate} \item Quel résultat s'affiche dans la cellule B14 ? \item On admet que cette série a pour moyenne (notée $\mu$) 6,25 à 0,01 près et pour écart-type (noté $\sigma$) 2,08 à 0,01 près.\\ Calculer le pourcentage d'observations situées dans l'intervalle $[\mu -2\sigma~;~\mu + 2\sigma]$. Ce résultat correspond-il à ce qu'on peut attendre d'une série gaussienne, c'est-à-dire normale ? \item Montrer que, dans le document 1, le diagramme (F) correspond à cette série. \end{enumerate} \definecolor{gristab}{gray}{0.80} \begin{center} \begin{tabular}{|>{\columncolor{gristab}}*{4}{c|}}\hline \rowcolor{gristab}& A & B & C \\ \hline 1 & Nombre& Nombre de machines&Effectifs\\ & d'interventions& CEDUSOLUD& cumulés\\ \hline 2 & 1 & 6 & 6\\ \hline 3 & 2 & 12 & 18\\ \hline 4 & 3 & 21 & 39\\ \hline 5 & 4 & 42 & 81\\ \hline 6 & 5 & 81 & 162\\ \hline 7 & 6 & 90 & 252\\ \hline 8 & 7 & 83 & 335\\ \hline 9 & 8 & 51 & 386\\ \hline 10 & 9 & 39 & 425\\ \hline 11 & 10 & 12 & 437\\ \hline 12 & 11 & 9 & 446\\ \hline 13 & 12 & 4 & 450\\ \hline 14 & 2 &=SOMME(B2:B3)&\\ \hline \end{tabular} \vspace{0,4cm} Document 2 \vspace{1cm} \psset{yunit=0.1cm} \begin{pspicture}(12,100) \psframe(12,100) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=20](0,0)(12,100) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](0.1,0)(0.9,6) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](1.1,0)(1.9,12) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](2.1,0)(2.9,21) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](3.1,0)(3.9,42) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](4.1,0)(4.9,81) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](5.1,0)(5.9,90) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](6.1,0)(6.9,83) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](7.1,0)(7.9,51) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](8.1,0)(8.9,39) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](9.1,0)(9.9,12) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](10.1,0)(10.9,9) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](11.1,0)(11.9,4) \multido{\n=0+20}{5}{\psline[linestyle=dashed](0,\n)(12,\n)} \multido{\n=1+1, \i=0.5+1.0}{12}{\uput[d](\i,0){\n}} \end{pspicture} \medskip Document 3 \end{center} \medskip \textbf{Partie 2} \medskip Dans la deuxième unité de production, pour l'étude du nombre d'interventions sur les machines TREFIABLE, on dispose uniquement du diagramme en boîte (E) (document 1). \begin{enumerate} \item Complétez les phrases suivantes après les avoir recopiées. Justifiez vos réponses. \begin{enumerate} \item \ldots \,\% des machines TREFIABLE nécessitent un nombre d'interventions inférieur ou égal à $10$. \item 25\,\% des machines TREFIABLE nécessitent un nombre d'interventions au moins égal à \ldots \end{enumerate} \item Que pensez-vous des affirmations suivantes ? Justifiez vos réponses. \begin{enumerate} \item \og~ 50\,\% des machines TREFIABLE nécessitent un nombre d'interventions inférieur ou égal à 6. ~\fg \item \og~ Il y a autant de machines de chaque marque nécessitant un nombre d'interventions intérieur ou égal à 6. ~\fg \item \og~ La médiane de la série de l'ensemble des machines de l'usine est 6. ~\fg \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points} \medskip Document : \textbf{Une mise triplée en une décennie} \medskip Une \og~révolution~\fg{} dans les habitudes d'une population dont 30\,\% des adultes de 21 ans et plus fréquentent les casinos, soit 53 millions de personnes (contre 10 à 15\,\% des adultes français), et un manque à gagner pour l'économie nationale. \begin{center} Évolution des sommes engagées par les joueurs dans les casinos,\\ en moyenne par année, en milliards de dollars \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année & 1989&1990&1991&1992&1993&1994\\ \hline Sommes&7,5&8,3&8,6&9,6&11,2&13,8\\ \hline\hline Année&1995&1996&1997&1998&1999&2000\\ \hline Sommes&16,0&17,1&18,2&19,7&22,2&24,3\\ \hline \end{tabularx} \end{center} En effet, selon une étude de l'American Game Association, les 425 casinos américains répartis dans onze états ont réalisé un chiffre d'affaires de 25 milliards de dollars en 2000, soit une progression de 2 milliards de dollars par rapport à 1999. Pour l'État, c'est aussi une manne fiscale qui lui a rapporté 3,5 milliards de dollars (500 millions de plus qu'en 1999). Si l'ambiance reste morose, le secteur ne désespère pas. Le jeu est trop ancré dans les habitudes humaines. D'ailleurs, selon les toutes dernières tendances, les taux de fréquentation devraient commencer à remonter le week-end. Et paradoxalement, l'actuel fragilité de l'industrie du jeu \og{}traditionnelle~\fg{} pourrait profiler aux sites de jeux d'argent en ligne qui ont généré des recettes de 1,5 milliards de dollars en 2000 et 6 milliards de dollars sont attendus en 2003.\\ \emph{D'après un article du Figaro économique du 06/10/2001} * Sommes globales encaissées et sommes engagées dans les consommations, recettes de spectacles \begin{enumerate} \item Le titre de l'article est-il exact ? Justifier, \item Exploitation du texte de l'article. Pour chacune des questions posées, faire le calcul demandé lorsque cela est possible, sinon dire pourquoi il ne l'est pas. \begin{enumerate} \item Quel est le nombre d'adultes de 21 ans et plus aux états-Unis a 1 million près ? Quel est le nombre d'adultes de 21 ans et plus aux états-Unis a 1 million près ? \item Quelle est la moyenne du nombre de casinos par état ? (On arrondira le résultat à l'entier le plus proche.) \item Quel était, en milliards de dollars, le chiffre d'affaire en 1999 ? \end{enumerate} \item Calculer le taux de progression entre 1999 et 2000 des sommes engagées par les joueurs aux états-Unis (on donnera une réponse avec 2 chiffres après la virgule). \item \begin{enumerate} \item Montrer que le taux d'augmentation attendu des recettes des sites de jeux d'argent en ligne entre 2000 et 2003 est égal à 300\,\%. \item Si le taux d'augmentation de ces recettes était constant chaque année entre 2000 et 2003, quel serait ce taux ? (On donnera une réponse avec 2 chiffres après la virgule.) \end{enumerate} \item En 1997, un journaliste ayant pu observer que le total des sommes en milliards de dollars engagées par les joueurs avaient progressé de la même valeur chaque année depuis 1995, avait imaginé que cette évolution allait se poursuivre, de la même fa\c{c}on, les années suivantes. \begin{enumerate} \item à quel type de croissance ce journaliste avait-il pensé ? Justifier votre réponse. \item On note $u_{1}$ le montant des sommes engagées en 1995 en milliards de dollars, $u_{2}$ celui en 1996 et ainsi de suite. Calculer alors $u_{n}$. à quelle année correspond ce montant ? Comparer le résultat avec le montant réel de l'année concernée. Que peut-on dire de l'hypothèse du journaliste ? \end{enumerate} \item En 1995, un autre observateur avait estimé que le taux d'évolution des sommes engagées en milliards de dollars serait pour l'avenir annuellement constant et égal à 8,7\,\%. \begin{enumerate} \item Dans cette hypothèse, par quel coefficient faudrait-il multiplier le montant de l'année 1995 pour obtenir celui de 1996 ? \item à présent, on veut utiliser le tableur pour estimer les montants des sommes (en milliards de dollars) engagées les années suivantes selon son hypothèse. On utilisera le tableau (copie d'écran) ci-dessous \begin{center} \begin{tabular}{|*{4}{c|}}\hline & A & B& C \\ \hline 1& & &8,70\,\% \\ \hline 2&année & sommes réelles engagées & sommes estimées \\ \hline 3& 1995 & 16 & \\ \hline 4& 1996 & 17,1 &17,4 \\ \hline 5& 1997 & 18,2 & \\ \hline 6& 1998 & 19,7 & \\ \hline 7& 1999 & 22,2 & \\ \hline 8& 2000 & 24,3 & \\ \hline \end{tabular} \end{center} La cellule située, par exemple, à l'intersection de la colonne B et de la ligne 4 est notée B4 . Pour l'affichage de la colonne C, le tableur a arrondi à 1 chiffre après la virgule. \medskip Quelle formule de tableur, recopiable vers le bas, faut-il mettre en C4 pour calculer la colonne des montants estimés pour les années à venir ? Vérifier que le résultat obtenu en C4 est 17,4. Que devient la formule en C5 ? Si on modifie le montant de l'estimation, c'est-à-dire le taux situé dans la cellule C1, la formule reste-t-elle valable ? Si oui, pourquoi ? Sinon, la modifier. \item On note $\left(y_{n}\right),~ n$ étant un entier naturel non nul, la suite des montants des sommes (en milliards de dollars) qui seront engagées chaque année suivant l'hypothèse de l'observateur On note $y_{1} = 16$ 1a somme en 1995 et $y_{n}$ la somme $n$ années après 1994, c'est-à-dire en ($1994 + n$). Dans quelle cellule le tableur affiche-t-il $y_{9}$ ? Quelle est la valeur affichée ? \item Quelle est ta nature de la suite $\left(y_{n}\right)$ ? Donner l'expression de $y_{n}$ en fonction de $n$. En déduire le résultat qu'on obtiendrait en 2000 sous cette hypothèse. L'observateur a-t-il fait pour l'année 2000 une erreur de prévision ? \item à l'aide de votre calculatrice, compléter la colonne C. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Antilles-Guyane juin 2002 \newpage %%%%%%%%%%% Amérique du Nord juin 2002 \hypertarget{Amerique du Nord}{} \lhead{\small BaccalaurŽéat L mathématiques--informatique} \lfoot{\small{Amérique du Nord}} \rfoot{\small{juin 2002}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} { \Large \textbf{\gray \decofourleft~BaccalauréŽat gŽénŽéral Amérique du Nord \decofourright}} {\large \textbf{ƒépreuve anticipŽée MathŽématiques-informatique -- juin 2002}} La calculatrice est autorisŽée. \textbf{Le candidat doit traiter les DEUX exercices} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points} \medskip Imaginez un instant que vous êtes le journaliste chargé de réaliser un diagramme circulaire à partir des données fournies par le ministère de la Défense. Ce ministère vous a indiqué les sommes en millions de francs consacrées aux différents secteurs de l'armée. à partir de ces informations, vous décidez de calculer les pourcentages qui figureront sur ce diagramme circulaire. Pour ce faire, vous décidez d'utiliser un tableur à l'aide duquel vous construisez le tableau ébauché ci-dessous : \begin{center} \begin{tabular}{|c|p{3cm}|p{1.2cm}|p{1.2cm}|} \hline & \hfill \textsf{A}\hfill\hfill & \hfill\textsf{B}\hfill\hfill & \hfill\textsf{C}\hfill\hfill \\ \hline \textsf{1} & {\bf\textsf{Budget}} & & \\ \hline \textsf{2} & & \textsf{en MF} & \textsf{en \%} \\ \hline \textsf{3} & \textsf{Armée de terre} & \textsf{48 732} & \\ \hline \textsf{4} & \textsf{Armée de l'air} & \textsf{34 517} & \\ \hline \textsf{5} & \textsf{Marine} & \textsf{33 003} & \\ \hline \textsf{6} & \textsf{Gendarmerie} & \textsf{23 172} & \\ \hline \textsf{7} & \textsf{D. G. Armement} & \textsf{17 973} & \\ \hline \textsf{8} & \textsf{Admin. Géné.} & \textsf{15 728} & \\ \hline \textsf{9} & \textsf{état major} & \textsf{10 108} & \\ \hline \textsf{10} & \textsf{Soutien l.} & \textsf{3 136} & \\ \hline \textsf{11} & \textsf{Renseignement} & \textsf{1 575} & \\ \hline \textsf{12} & \textsf{} & \textsf{} & \\ \hline \end{tabular} \end{center} \begin{enumerate} \item Indiquer comment on peut calculer la part du budget de l'armée consacrée à l'armée de terre. \item On veut un tableau réutilisable l'année suivante. Les formules devront donc être toujours valables même si on change les données dans les cellules B3 à B11. \begin{enumerate} \item Donner une \og formule-tableur \fg{} que l'on peut inscrire en B12 pour calculer le budget total de l'armée. \item Donner une \og formule-tableur \fg{} que l'on peut inscrire en C3 et qui permette de compléter la colonne C par recopie de cette formule. \item Après recopie de la formule placée en C3, quelle formule se trouve en C11 ? \end{enumerate} \end{enumerate} {\bf Des effectifs en chute libre} \medskip En cinq ans, c'est un sévère régime d'amaigrissement que se sont imposé nos armées. Un quart des effectifs manque désormais à l'appel, dont les plus gros bataillons sont, bien évidemment, constitués par les postes d'appelés du contingent. 200 000 appelés ont, en effet, déserté les casernes depuis la décision de mettre fin à la conscription. [\ldots] La professionalisation oblige à des réajustements. Ainsi, le nombre de militaires de carrière doit passer de \np{299000} à \np{357000} l'an prochain, avec un doublement de l'effectif des hommes du rang (\np{92527} au lieu de \np{44552}), la création de plus de \np{27000} postes de volontaires du service national et une diminution sensible des postes de sous-officiers ($-\np{15500}$). Dans le même temps, en recrutant en moyenne \np{25000} jeunes par an, pour les cinq ans à venir, les armées seront un des plus gros pourvoyeurs d'emplois du pays.~ \begin{flushright} \small \textsl{La Vie du 11 au 17 octobre 2001.} \end{flushright} \begin{enumerate} \item Sachant que l'armée comptait en 2001 environ \np{500000} personnes et en utilisant l'article ci-dessus, calculer le nombre de personnes qui travaillaient pour l'armée cinq ans auparavant. \item \begin{enumerate} \item Calculer le taux d'augmentation du nombre d'hommes du rang entre 2001 et 2002 en utilisant les données chiffrées fournies dans l'article. \item L'article évoque aussi un doublement de l'effectif des hommes du rang. Est-ce une information précise ? Est-ce une information exacte ? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer, à 1\,\% près, le pourcentage d'hommes du rang parmi les militaires de carrière en 2001. \item Ce pourcentage va-t-il doubler en 2002 ? Justifier la réponse. \end{enumerate} \item Dans un autre article de la même revue, on peut lire : \og \np{150000} jeunes seront recrutés dans les cinq ans \fg. Cette information est-elle confirmée par la dernière phrase de l'article ci-dessus ? Vous expliquerez votre raisonnement. \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points} \medskip Nous sommes en 2040. Monsieur O. est chargé de l'étude de l'eau sur le site \no~22 : canal du lac Chestermere au Canada. On lui a demandé de déterminer jusqu'en quelle année l'eau de ce site sera utilisable. Pour réaliser de telles prévisions, Monsieur O. part en quête de données dans les archives d'un système d'exploitation d'eau. Il y trouve les diagrammes ci-après réalisés en 2000. Ce diagrammes illustrent les résultats d'études statistiques réalisées sur 22 sites au Canada. Pour chacun des sites, une \og boite à moustaches \fg{} résume les relevés de concentration en certains sels minéraux. Les extrémités des moustaches sont les 1\up{er} et 99\up{e} centiles\footnote{Le $1\up{er}$ centile est la plus petite valeur $c$ d'une série statistique telle qu'au moins 1\%\ des valeurs soient inférieures ou égales à $c$. Le $99\up{e}$ centile est la plus petite valeur $c'$ d'une série statistique telle qu'au moins 99\,\%\ des valeurs soient inférieures ou égales à $c'$.}. Les valeurs extrêmes sont représentées par des points, sauf si elles sont égales au $1\up{er}$ ou au $99\up{e}$ centile. La ligne pointillée horizontale indique la concentration maximale autorisée conformément au programme du service de contrôle de l'eau. \begin{center} \psset{xunit=0.5cm,yunit=3cm} \pspicture(0,-0.3)(23,2.6) \psaxes[labels=x,ticks=x](0,0)(23,2.6) \psline(-0.2,0.2)(0.2,0.2) \psline(-0.2,0.9)(0.2,0.9) \psline(-0.2,1.6)(0.2,1.6) \psline(-0.2,2.3)(0.2,2.3) \uput[l](0,0.2){0,2} \uput[l](0,0.9){0,9} \uput[l](0,1.6){1,6} \uput[l](0,2.3){2,3} \psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](0,1)(23,1) \newcommand{\diag}[8]{ \psline(#1,#4)(#1,#5) \pspolygon(#2,#5)(#3,#5)(#3,#7)(#2,#7) \psline(#2,#6)(#3,#6) \psline(#1,#7)(#1,#8)} \diag{1}{0.6}{1.4}{0.3}{0.35}{0.4}{0.47}{0.54} \diag{2}{1.6}{2.4}{0.3}{0.35}{0.4}{0.5}{0.58} \diag{3}{2.6}{3.4}{0.3}{0.35}{0.4}{0.5}{0.57} \diag{4}{3.6}{4.4}{0.3}{0.35}{0.39}{0.51}{0.58} \diag{5}{4.6}{5.4}{0.3}{0.35}{0.39}{0.53}{0.58} \diag{6}{5.6}{6.4}{0.3}{0.35}{0.39}{0.48}{0.61} \diag{7}{6.6}{7.4}{0.37}{0.4}{0.43}{0.58}{0.58} \psdot(7,1.15) \diag{8}{7.6}{8.4}{0.35}{0.4}{0.45}{0.6}{0.8} \diag{9}{8.6}{9.4}{0.35}{0.38}{0.45}{0.75}{0.83} \diag{10}{9.6}{10.4}{0.36}{0.38}{0.53}{0.68}{1.1} \diag{11}{10.6}{11.4}{0.3}{0.35}{0.39}{0.51}{0.72} \diag{12}{11.6}{12.4}{0.33}{0.37}{0.39}{0.51}{0.7} \diag{13}{12.6}{13.4}{1.6}{1.65}{1.75}{1.8}{1.88} \diag{14}{13.6}{14.4}{1.62}{1.65}{1.67}{1.86}{1.96} \diag{15}{14.6}{15.4}{0.41}{0.49}{0.53}{0.57}{0.65} \diag{16}{15.6}{16.4}{0.65}{0.8}{1}{1.16}{1.26} \diag{17}{16.6}{17.4}{0.48}{0.58}{0.68}{0.88}{1.22} \diag{18}{17.6}{18.4}{0.37}{0.74}{1.1}{1.3}{1.4} \diag{19}{18.6}{19.4}{1.9}{1.9}{2}{2.1}{2.15} \psdot(19,1.3) \diag{20}{19.6}{20.4}{0.39}{0.52}{0.65}{0.75}{0.8} \diag{21}{20.6}{21.4}{0.63}{0.73}{0.85}{1}{1.2} \diag{22}{21.6}{22.4}{0.38}{0.38}{0.4}{0.42}{0.42} \psdots(22,0.3)(22,0.5) \endpspicture \end{center} \begin{enumerate} \item Déduire de l'observation de ces boîtes à moustaches les sites correspondant aux caractéristiques suivantes : \begin{enumerate} \item Toutes les mesures effectuées sur le site sont inférieures à la concentration maximale autorisée. \item Au moins les trois quarts des mesures sont inférieures à la concentration maximale autorisée. \item Au moins la moitié des mesures sont inférieures à la concentration maximale autorisée. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item La moyenne des données est-elle en général précisée sur une boîte à moustaches ? \item Monsieur O. aimerait connaître la moyenne des taux de concentration au site 22 représenté par la dernière boîte à moustaches. Le diagramme ci-dessus peut-il lui permettre de l'estimer ? Si oui, donnez-en une estimation que vous justifierez. \end{enumerate} \end{enumerate} Monsieur O. poursuit les recherches dans les archives et résume les résultats trouvés dans le tableau suivant : \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline & A & B \\ \hline 1 & Année & Concentration moyenne \\ \hline 2 & 2000 & 0,400 \\ \hline 3 & 2001 & 0,408 \\ \hline 4 & 2002 & 0,416 \\ \hline 5 & 2003 & 0,424 \\ \hline \end{tabular} \end{center} {\em Note :} Les instruments de l'époque permettent une précision de 1 millième environ. \medskip Il décide d'appeler $c_n$ la concentration en l'an $2000+n$ ($c_0$ est la concentration en l'an 2000, $c_1$ la concentration en l'an 2001, etc.). Pour déterminer la nature de la suite $(c_n)$, il décide d'écrire dans la cellule C3 du tableur la formule {\tt =B3-B2} et de recopier cette formule vers le bas, dans les cellules C4 et C5. \begin{enumerate}\setcounter{enumi}{2} \item Compléter le tableau ci-dessous avec des valeurs numériques. (Recopier la colonne C sur votre copie.) \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline & A & B & C\\ \hline 1 & Année & Concentration moyenne & \\ \hline 2 & 2000 & 0,400 & \rule{30pt}{0pt}\\ \hline 3 & 2001 & 0,408 & \\ \hline 4 & 2002 & 0,416 & \\ \hline 5 & 2003 & 0,424 & \\ \hline \end{tabular} \end{center} \item Que suggèrent les résultats quant à la nature de la suite $(c_n)$ ? Justifiez. \item Monsieur O en déduit la concentration moyenne au site 22 en 2040. Quel résultat obtient-il ? Indiquer la formule utilisée. \end{enumerate} Malheureusement, Monsieur O. observe que la concentration moyenne en 2040 est de $0,883$. Aïe ! Aïe ! Aïe ! Cela ne correspond pas à son estimation (et cela n'est donc pas non plus votre réponse à la question 5. !). Il continue ses recherches dans les archives et trouve ce document :\newpage \begin{multicols}{2} \bigskip {\em \begin{center} Le 18 octobre 2022 ; au site 22. \end{center} Le tableau ci-contre indique la concentration moyenne de l'eau de l'an 2000 à l'an 2022. \bigskip On obtient la concentration d'une année donnée en multipliant la concentration de l'année précédente par 1,02. Ce phénomène devrait se poursuivre jusqu'en 2050. \begin{flushright} Monsieur M. \end{flushright} \vfill } \newcounter{an} \setcounter{an}{2000} \newcommand{\an}{\stepcounter{an}\arabic{an}} \newcounter{ligne} \setcounter{ligne}{0} \newcommand{\ligne}{\stepcounter{ligne}\arabic{ligne}} \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline & A & B\\ \hline \ligne & Année & Concentration moyenne\\ \hline \ligne & \an & 0,400\\ \hline \ligne & \an & 0,408\\ \hline \ligne & \an & 0,416\\ \hline \ligne & \an & 0,424\\ \hline \ligne & \an & 0,433\\ \hline \ligne & \an & 0,442\\ \hline \ligne & \an & 0,450\\ \hline \ligne & \an & 0,459\\ \hline \ligne & \an & 0,469\\ \hline \ligne & \an & 0,478\\ \hline \ligne & \an & 0,488\\ \hline \ligne & \an & 0,497\\ \hline \ligne & \an & 0,507\\ \hline \ligne & \an & 0,517\\ \hline \ligne & \an & 0,528\\ \hline \ligne & \an & 0,538\\ \hline \ligne & \an & 0,549\\ \hline \ligne & \an & 0,560\\ \hline \ligne & \an & 0,571\\ \hline \ligne & \an & 0,583\\ \hline \ligne & \an & 0,594\\ \hline \ligne & \an & 0,606\\ \hline \ligne & \an & 0,618\\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{multicols} On adopte dorénavant l'hypothèse de Monsieur M. \begin{enumerate}\setcounter{enumi}{5} \item \begin{enumerate} \item Que peut-on en déduire quant à la nature de la suite $(c_n)$ ? \item Exprimer alors $c_n$ en fonction de $c_0$ et de $n$. \item Vérifier que l'observation faite en 2040 par Monsieur O. confirme l'hypothèse de Monsieur M. \end{enumerate} \item Déterminer la concentration moyenne de l'eau en 2046 et en 2047. \item L'eau ne peut être utilisée que si sa concentration moyenne est inférieure à 1. à partir de quelle année l'eau ne sera-t-elle plus utilisable à cause d'une concentration moyenne trop élevée ? \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Amérique du Nord juin 2002 \newpage %%%%%%%%%%%%% Asie juin 2002 \hypertarget{Asie}{} \lhead{\small BaccalaurŽéat L mathématiques--informatique} \lfoot{\small{Asie}} \rfoot{\small{juin 2002}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\gray \decofourleft~BaccalauréŽat gŽénŽéral Asie~\decofourright}} {\large \textbf{ƒépreuve anticipŽée MathŽématiques -- juin 2002}} {\large \textbf{MathéŽmatiques-informatique - séŽrie L }} La calculatrice est autorisŽée. \textbf{Le candidat doit traiter les DEUX exercices} \end{center} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 12 points} \medskip L'objectif de cet exercice est de comparer l'évolution des économies de deux personnes au cours d'une année. \begin{itemize} \item[$\bullet~$] Pierre possède 500 euros d'économies le 1\up{er} janvier. Il décide d'ajouter 50 euros le 27 de chaque mois. \item[$\bullet~$] Sophie ne possède que 400 euros d'économies le 1\up{er} janvier, mais elle décide d'augmenter ses économies de 10\,\% le 27 de chaque mois. \end{itemize} \begin{enumerate} \item De combien dispose chaque personne fin janvier ? fin février ? \item Cas de Pierre. On note $U_{0}$ la somme initiale reçue le 1\up{er} janvier, et $U_{n}$ la somme disponible à la fin du $n$-ième mois. La suite $\left(U_{n}\right)$ ainsi définie est représentée par le graphique ci-dessous. \begin{enumerate} \item Par lecture graphique, donner la nature de la suite $\left(U_{n}\right)$, son premier terme et sa raison. \item Exprimer $U_{n+1} $ en fonction de $U_{n}$, et retrouver la nature de la suite $\left(U_{n}\right)$. \item Montrer que $U_{n} = 500 + 50n$. Calculer la somme dont dispose Pierre à la fin de l'année. \item Calculer le pourcentage d'augmentation de ses économies entre le 1\up{er} janvier et le 31 décembre. \end{enumerate} \item Cas de Sophie On note $V_{0}$ la somme initiale reçue le 1\up{er} janvier et $V_{n}$ la somme disponible à la fin du $n$-ième mois. Soit $\left(V_{n}\right)$ la suite ainsi définie. \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left(V_{n}\right)$ est la suite géométrique de raison $1,1$ et de premier terme $400$. \item Montrer que $V_{n} = 400\times (1,1)^n$. Calculer la somme dont dispose Sophie à la fin de l'année, arrondie à un euro près. \item Calculer le pourcentage d'augmentation de ses économies entre le 1\up{er} janvier et le 31 décembre. \item La copie d'écran ci-dessous est celle d'un tableur : \bigskip \hspace*{-0.5cm}\begin{tabularx}{1.05\linewidth}{|*{15}{> {\centering \arraybackslash}X|}} \hline &A & B & C & D & E & F & G & H &I & J & K & L & M & N\\ \hline 1 & & & & & & & & & & & & & &\\ \hline 2 & & & & & & & & & & & & & &\\ \hline 3 &$n$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 &7 & 8 & 9 & 10 &11 & 12\\ \hline 4 &$V_{n}$ &400& & & & & & & & & & & &\\ \hline% \end{tabularx} \bigskip Les colonnes sont repérées par des lettres A, B, C, \ldots ; les lignes sont repérées par des numéros 1, 2, 3, \ldots ; ainsi, la référence E3 repère la cellule se trouvant à l'intersection de la colonne E et de la ligne 3. Quelle formule doit-on taper dans la cellule C4 pour y obtenir le terme correspondant de la suite $\left(V_{n}\right)$ ? On recopie cette formule vers la droite. Quelle formule se trouve dans la cellule N4 ? Reproduire le tableau ci-dessus et le compléter à l'aide de votre calculatrice (les résultats seront arrondis à un euro près). \end{enumerate} \item Comparaison des deux cas \begin{enumerate} \item Tracer sur le graphique ci-dessous la représentation graphique de la suite $\left(V_{n}\right)$. \item Déterminer graphiquement le mois à la fin duquel les économies de Sophie deviennent supérieures à celles de Pierre. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \psset{xunit=0.95cm,yunit=0.01cm} \begin{pspicture}(0,400)(12,1300) \psaxes[linewidth=1.75pt,Dx=2,Oy=400,Dy=200](0,400)(12,1300) \multido{\n=0+1}{13}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,400)(\n,1300)} \multido{\n=400+100}{10}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(12,\n)} \psdots[dotstyle=*,dotscale=1.5](0,500)(1,550)(2,600)(3,650)(4,700)(5,750)(6,800)(7,850)(8,900)(9,950)(10,1000)(11,1050)(12,1100) \uput[d](11,400){mois} \rput{90}(-1,1275){euros} \end{pspicture} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 8 points} \medskip La courbe donnée ci-dessous représente la taille en centimètres d'un enfant entre 0 et 2 ans. Avec la précision permise par le graphique, répondre aux questions suivantes. \begin{enumerate} \item Quelle était la taille de l'enfant à la naissance ? \item à quel âge l'enfant mesurait-il 62 centimètres ? \item à partir de quel âge la taille de cet enfant a-t-elle dépassé 70 centimètres ? \item De combien de centimètres l'enfant a-t-il grandi entre un an et deux ans ? Quelle est la croissance moyenne par mois durant cette période ? \item Comparer la croissance moyenne par mois de cet enfant entre 0 et 6 mois, et entre un an et deux ans. \item La taille de l'enfant à trois ans est de 97 centimètres. On suppose qu'entre deux et trois ans, la taille est une fonction linéaire de l'âge. En expliquant votre démarche, déterminer la taille de l'enfant à deux ans et demi. \end{enumerate} \bigskip \psset{xunit=0.305cm,yunit=0.1cm} \begin{pspicture}(0,40)(36,110) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=3,Oy=40,Dy=10](0,40)(36,110) \rput{90}(-1,105){cm} \uput[d](38.5,40){mois} \psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,48)(9,68)(24,83) \multido{\n=40+10}{8}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(37,\n)} \multido{\n=0+3}{13}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,40)(\n,110)} \rput(17,25){Taille d'un enfant entre zéro et deux ans} \end{pspicture} %%%%%%%%%%% fin Asie juin 2002 \newpage %%%%%%%%%%% Centres étrangers juin 2002 \hypertarget{Etranger}{} \lhead{\small Baccalauréat L} \lfoot{\small{Centres étrangers}} \rfoot{\small juin 2003} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} { \Large \textbf{\decofourleft~BaccalaurŽéat gŽénŽéral Centres étrangers~ \decofourright}} {\large \textbf{Épreuve anticipŽée MathŽématiques}} {\large \textbf{MathéŽmatiques-informatique - séŽrie L - juin 2002 }} \end{center} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 11 points} \vspace{0,5cm} L'INSEE (Institut national de la statistique et des études économiques) répartit la population française de plus de 15 ans en plusieurs catégories. Parmi elles, on désignera par \og actifs \fg{} la catégorie des personnes ayant effectivement un emploi et par \og inactifs \fg{} la catégorie regroupant les scolaires, les étudiants, les retraités et les personnes sans emploi ou ayant un emploi à temps très réduit. Les données relatives à ces deux catégories sont répertoriées dans le tableau 1 fourni en annexe. \medskip \textbf{Partie I : Analyse de la journée des hommes} \medskip \begin{enumerate} \item En 1987, le temps libre des hommes actifs représentait 15\,\% d'une journée de 24 heures ou \nombre{1440} minutes. Déterminer, en minutes, cette durée. \item Exprimer, en pourcentage de la durée d'une journée de 24 heures, le temps consacré aux tâches domestiques par les hommes inactifs en 1987. On donnera ce pourcentage arrondi au centième. \item \`A l'aide des tableaux 1 et 2 figurant en annexe, calculer le temps professionnel moyen dont disposent les hommes de plus de 15 ans en 1999 (actifs et inactifs). On donnera un résultat arrondi à la minute. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie Il : Évolution de la durée quotidienne de temps libre moyen des femmes françaises actives} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer, en pourcentage, la variation de temps libre dont disposent les femmes actives entre 1987 et 1999. On arrondira le résultat au dixième. \item D'après une autre étude, on peur faire l'hypothèse que le temps libre des femmes actives a augmenté de 2\,\% tous les 3 ans sur la période 1987-1999. Pout tout entier $n \geqslant 0$, on appelle $t_{n}$ le temps libre dont disposent les femme, actives en ($1987 + 3 \times n$) (exprime en minutes). (\emph{On arrondira tous les résultats à la minute.}) \medskip \begin{enumerate} \item Vérifier que l'on trouve un temps libre $t_{1}$ des femmes actives en 1990 de 172 minutes. Déterminer le temps libre $t_{2}$ des femmes actives en 1993. \item Quel terme de la suite correspond au temps libre dont dispose les femmes actives en 1999 ? Quelle est la durée en minutes de ce temps libre ? \item Exprimer $t_{n+1}$ en fonction de $t_{n}$. En déduire la nature de la suite $\left(t_{n}\right)$. \item Exprimer $t_{n}$ en fonction de $t_{0}$. \item On suppose que cette tendance (augmentation de 2\,\% tous les 3 ans) se poursuit au moins jusqu'en 2014. Calculer le temps libre quotidien dont disposeraient les femmes actives en 2014. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} Annexe \bigskip Tableau 1 \bigskip Découpage de la journée moyenne des Français en 1987 et en 1999 \end{center} \textbf{Champ ;} Personnes de 15 ans et plus en France métropolitaine\\ D'après l'enquête \og Emploi du temps 1998-1999 \fg{}, INSEE\\ \textbf{Définitions :} \medskip \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] Temps physiologique : sommeil, toilette, repas, \ldots \item[$\bullet~$] Temps professionnel : profession, trajets liés au travail, études \item[$\bullet~$] Temps domestique : ménage, cuisine, courses, linge soins aux enfants \item[$\bullet~$] Temps libre : pratiques sportives, culturelles ou ludiques, bricolage, jardinage, \ldots \end{itemize} (\emph{Les temps sont exprimés en minutes.}) \setlength\parindent{0mm} \vspace{1cm} \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-9} \multicolumn{1}{c|}{}&\multicolumn{4}{c|}{Hommes} &\multicolumn{4}{c|}{Femmes} \\ \cline{2-9} \multicolumn{1}{c|}{}&\multicolumn{2}{c|}{Actif} &\multicolumn{2}{c|}{Inactif} &\multicolumn{2}{c|}{Actif}&\multicolumn{2}{c|}{Inactif}\\ \multicolumn{1}{c|}{}&\multicolumn{2}{c|}{occupé} &\multicolumn{2}{c|}{}&\multicolumn{2}{c|}{occupé}&\multicolumn{2}{c|}{}\\ \cline{2-9} \multicolumn{1}{c|}{}& 1987& 1999& 1987&1999&1987&1999&1987& 1999\\ \hline Temps physiologique& 683&682& 772& 760&693& 695& 762&757\\ \hline Temps professionnel&394&382& 115&92&313& 301&59&59\\ \hline Temps domestique& 112&119& 165& 175&229& 227& 317& 288\\ \hline Temps libre&&224&339& 375&169&183& 264& 301\\ \hline Autre&&33&49&38& 36& 34& 38& 35\\ \hline TotaI &24 h &24 h& 24 h& 24 h& 24 h& 24 h&24 h& 24 h\\ \hline \end{tabularx} * La prise en compte des samedis et dimanches pour le calcul de ces moyennes explique ces temps professionnels journaliers relativement faibles. \bigskip \textbf{Tableau 2} Répartition de la population française de plus de 15 ans selon le sexe et l'activité \bigskip \begin{tabular}{|l|*{2}{c|}}\cline{2-3} \multicolumn{1}{c|}{}& Actifs occupés& Inactifs\\ \hline Hommes& \nombre{14369489}& \nombre{8 701877}\\ \hline Femmes &\nombre{12172992}& \nombre{12826991}\\ \hline \end{tabular} Source : Recensemeni de la population 1999 \end{center} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 9 points} \vspace{0,5cm} \textbf{Taille et poids des enfants} \medskip Dans les deux tableaux ci-dessous sont répertoriés la taille en centimètres (cm) et le poids en kilogrammes (kg) de 59 enfants, tous âgés de 1 an et nés en 2000. \bigskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Taille en cm&67 &68 &69 & 70&71 &72 &73 &74 &75 &76 &77 &78\\ \hline Effectif &1 &3 &4 &7 &9 &10 &8 &7 &5 &3 &1 &1\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{14}{>{\small \centering \arraybackslash}X|}}\hline Poids en kg &7 &7,5&8 &8,5&9 &9,5&10 &10,5 &11 &11,5 &12 &12,5 &13\\ \hline Effectif &1 &1 &3 &4 &3 &5 &7 &9 &9 &7 &5 &3 &2\\ \hline \end{tabularx} \medskip On se propose d'étudier la répartition des données recueillies. Pour cela, on considère les séries statistiques suivantes : $T$ comprenant les tailles (en cm) des 59 enfants et $P$ comprenant les poids (en kg) des 59 enfants. \begin{enumerate} \item Calculer l'écart type de la série $T$ arrondi au dixième. \item On fait l'hypothèse que les tailles de tous les enfants âgés d'un an et nés en 2000 constituent des données gaussiennes, de moyenne $m = 73$ et d'écart type $\sigma = 2,5$. \begin{enumerate} \item Sous cette hypothèse, donner la plage de normalité (pour le niveau de confiance 95\,\%) correspondant aux tailles de tous les enfants âgés de un an et nés en 2000. \item Exprimer en pourcentage la proportion des valeurs de la série Tqui se trouvent effectivement dans la plage de normalité. \end{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau suivant, en arrondissant la moyenne arithmétique au dixième. \medskip \hspace*{-1cm}\begin{tabular}{|*{7}{c|}}\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}&Moyenne & Minimum& Quartile 1& Médiane& Quartile 3& Maximum\\ \hline Série $T$& 72,1& 67& 70& 72& 74& 78\\ \hline Série P&&&&&& \\ \hline \end{tabular} \item Après avoir consulté le diagramme représentatif de la série $T$ fourni ci-après, construire, à l'aide des valeurs précédentes, le diagramme de la série $P$ (unité : 1 cm pour 1 kg). \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin Centres étrangers juin 2002 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Métropole juin 2002 \hypertarget{France2}{} \lhead{\small BaccalaurŽéat L mathématiques--informatique} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{juin 2002}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\gray \decofourleft~BaccalauréŽat gŽénŽéral France \decofourright}} {\large \textbf{ƒépreuve anticipŽée MathŽématiques -- juin 2002}} {\large \textbf{MathéŽmatiques-informatique - séŽrie L }} La calculatrice est autorisŽée. \textbf{Le candidat doit traiter les DEUX exercices} \end{center} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 12 points} \medskip On a interrogé \np{14500} élèves de classes de première (des séries L, ES, S, STT et STI), issus de plusieurs lycées. On leur a demandé quelles étaient les trois fonctionnalités de leur calculatrice qu'ils utilisaient le plus souvent. Tous sauf cinq élèves (qui n'avaient pas de calculatrice) ont classé en tête les deux fonctionnalités suivantes : \og Tracer des représentations graphiques de fonctions \fg{} et \og établir des tableaux de valeurs de fonctions \fg.\\ Mais leur avis ont été partagés par rapport à la troisième fonctionnalité utilisée. Voici la copie d'une feuille de calcul d'un tableur donnant les résultat des cette enquête. Les nombres représentent un effectif d'élèves. Les codes utilisés signifient : \textsf{CS} : \og Faire des calculs statistiques \fg. \textsf{CF} : \og Faire du calcul formel \fg. \textsf{M} : \og Stocker des résultats en mémoire \fg. \textsf{J} : \og Jouer \fg. \textsf{P} : \og Programmer \fg. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{2.5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline & \hfill \textsf{A}\hfill\hfill & \hfill\textsf{B}\hfill\hfill & \hfill\textsf{C}\hfill\hfill & \hfill \textsf{D}\hfill\hfill & \hfill\textsf{E}\hfill\hfill & \hfill\textsf{F}\hfill\hfill & \hfill \textsf{G}\hfill\hfill \\ \hline \textsf{1} & \multicolumn{7}{|l|}{\textsf{Troisième fonctionnalité utilisée : effectifs}} \\ \hline \textsf{2} & & \hfill\textsf{CS}\hfill\hfill & \hfill\textsf{CF}\hfill\hfill & \hfill \textsf{M}\hfill\hfill & \hfill\textsf{J}\hfill\hfill & \hfill\textsf{P}\hfill\hfill & \hfill \textsf{Total}\hfill\hfill \\ \hline \textsf{3} & \textsf{série L} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{808}} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{0}} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{25}} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{12}} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{5}} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{850}} \\ \hline \textsf{4} & \textsf{série ES} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{\np{2208}}} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{1}} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{3\,048}} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{430}} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{3}} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{\np{5690}}} \\ \hline \textsf{5} & \textsf{série S} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{\np{2118}}} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{86}} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{3\,136}} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{272}} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{258}} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{5870}} \\ \hline \textsf{6} & \textsf{série STT} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{218}} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{2}} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{537}} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{165}} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{3}} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{925}} \\ \hline \textsf{7} & \textsf{série STI} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{14}} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{12}} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{853}} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{234}} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{47}} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{\np{1160}}} \\ \hline \textsf{8} & \textsf{total} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{\np{5366}}} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{101}} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{7\,599}} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{\np{1113}}} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{316}} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{\np{14495}}} \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Dans le tableau des effectifs ci-dessus, la cellule D6 contient le nombre 537. Que représente ici ce nombre ? \item Parmi l'ensemble des élèves interrogés, quelle est la part en pourcentage de ceux qui ont répondu \og stocker des résultats en mémoire \fg{} et qui sont en première S ? \item Parmi les élèves interrogés de la série ES, quelle est la part en pourcentage de ceux qui ont répondu \og faire des calculs statistiques \fg{} ? \item Parmi les élèves qui ont répondu \og programmer \fg, quelle est la part en pourcentage de ceux qui appartiennent à la série STI ? \item Voici un tableau de pourcentages correspondant au tableau précédent. On lit 81,6\, \%\ dans la cellule F23. Donner une interprétation de ce pourcentage. \begin{center} \begin{tabular}{|c|p{3cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|} \hline & \hfill \textsf{A}\hfill\hfill & \hfill\textsf{B}\hfill\hfill & \hfill\textsf{C}\hfill\hfill & \hfill \textsf{D}\hfill\hfill & \hfill\textsf{E}\hfill\hfill & \hfill\textsf{F}\hfill\hfill \\ \hline \textsf{19} & \multicolumn{6}{|l|}{\textsf{Troisième fonctionnalité utilisée : pourcentages}} \\ \hline \textsf{20} & & \hfill\textsf{CS}\hfill\hfill & \hfill\textsf{CF}\hfill\hfill & \hfill \textsf{M}\hfill\hfill & \hfill\textsf{J}\hfill\hfill & \hfill\textsf{P}\hfill\hfill \\ \hline \textsf{21} & \textsf{série L} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{15,1 \%}} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{0,0 \%}} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{0,3 \%}} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{1,1 \%}} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{1,6 \%}} \\ \hline \textsf{22} & \textsf{série ES} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{41,1 \%}} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{1,0 \%}} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{40,1 \%}} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{38,6 \%}} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{0,9 \%}} \\ \hline \textsf{23} & \textsf{série S} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{39,5 \%}} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{85,1 \%}} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{41,3 \%}} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{24,4 \%}} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{81,6 \%}} \\ \hline \textsf{24} & \textsf{série STT} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{4,1 \%}} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{2,0 \%}} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{7,1 \%}} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{14,8 \%}} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{0,9 \%}}\\ \hline \textsf{25} & \textsf{série STI} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{0,3 \%}} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{11,9 \%}} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{11,2 \%}} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{21,0 \%}} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{14,9 \%}} \\ \hline \textsf{26} & \textsf{total} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{100 \%}} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{100 \%}} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{100 \%}} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{100 \%}} & \multicolumn{1}{|c|}{\textsf{100 \%}} \\ \hline \end{tabular} \end{center} \item Il s'agit d'expliquer comment on peut obtenir le tableau de pourcentages de la question 5 à partir du tableau des effectifs donné au début de l'énoncé. Quelle formule a-t-on pu saisir dans la cellule B21 avant de la recopier automatiquement dans les cellules B22 à B25 ? \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 8 points} \medskip À partir des données publiées par l'INSEE, on a représenté graphiquement l'évolution du pouvoir d'achat du franc de 1901 à 1999, c'est à dire sa valeur exprimée en francs de 1999 pour chacune de ces années. Le graphique obtenu figure en annexe. Chacun des points de ce graphique a pour abscisse une année $n$ la valeur du franc de l'année $n$, exprimée en francs de l'année 1999 (ou \og francs de 1999\fg). Par exemple : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item un franc de 1901 valait environ 20 francs de 1999 ; \item un franc de 1920 valait environ 5 francs de 1999. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Ainsi, une somme de 10 francs de 1901 équivaut environ à une somme de 200 francs de 1999. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Lire graphiquement la valeur (exprimée en francs de 1999) du franc de 1930, puis du franc de 1940. \item En utilisant le graphique, expliquer pourquoi une somme de \np{1000} francs de 1975 équivaut environ à \np{3500} francs de 1999. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item La valeur du franc est-elle décroissante pendant la période 1922-1959 ? Justifier. \item La valeur du franc est décroissante pendant la période allant de 1960 à 1999. Cette décroissance est-elle linéaire ? \end{enumerate} \item On veut comparer le prix du pain en 1930, 1940 et 1950.\\ Selon l'INSEE, la valeur du franc de 1950 est environ 0,144 francs de 1999. Recopier et compléter le tableau suivant. \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline & en 1930 & en 1940 & en 1950 \\ \hline 1 kilo de pain coûtait & 2,15 francs & 3,10 francs & 35,10 francs \\ \hline Valeur correspondante & & & \\ en francs de 1999& & & \\ \hline \end{tabular} \end{center} \item Marie a acheté un appartement en 1970 pour une somme de \np{180000} francs. \begin{enumerate} \item À quelle somme exprimée en francs de 1999, puis en francs de 1980, correspond son investissement ? \item En 1980, elle a revendu son appartement \np{520000} francs. A-t-elle réalisé un gain ? Expliquer. \end{enumerate} \end{enumerate} \pagebreak \annexe{Pouvoir d'achat du franc de 1901 à 1999} \begin{center} \psset{xunit=1.15cm,yunit=0.4cm} \pspicture(-0.5,-2)(10,23) \psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=0,gridcolor=gray](0,0)(10,22) \psaxes[Ox=1900,dx=1,Dx=10](0,0)(10,22) \psdots(0.1,20)(0.2,20)(0.3,20)(0.4,20)(0.5,20)(0.6,21.6)(0.7,20)(0.8,20)(0.9,20)(1.0,20) (1.1,17.2)(1.2,17.2)(1.3,17.2)(1.4,17.2)(1.5,14.4)(1.6,13)(1.7,10.8)(1.8,8.3)(1.9,6.8)(2.0,4.9) (2.1,5.7)(2.2,5.8)(2.3,5.3)(2.4,4.7)(2.5,4.4)(2.6,3.3)(2.7,3.2)(2.8,3.2)(2.9,3.1)(3.0,3) (3.1,3.1)(3.2,3.4)(3.3,3.5)(3.4,3.7)(3.5,4)(3.6,3.8)(3.7,3)(3.8,2.6)(3.9,2.4)(4.0,2) (4.1,1.8)(4.2,1.5)(4.3,1.2)(4.4,1)(4.5,0.8)(4.6,0.5)(4.7,0.3)(4.8,0.2)(4.9,0.1)(5.0,0.05) (5.1,0.05)(5.2,0.05)(5.3,0.04)(5.4,0.04)(5.5,0.04)(5.6,0.03)(5.7,0.03)(5.8,0.02)(5.9,0.02)(6.0,8.1)(6.1,8)(6.2,7.5)(6.3,7.2)(6.4,7)(6.5,6.8)(6.6,6.6)(6.7,6.4)(6.8,6.1)(6.9,5.8)(7.0,5.5)(7.1,5.2)(7.2,4.9)(7.3,4.5)(7.4,3.95)(7.5,3.5)(7.6,3.2)(7.7,3)(7.8,2.8)(7.9,2.4)(8.0,2.1) (8.1,1.9)(8.2,1.7)(8.3,1.6)(8.4,1.5)(8.5,1.4)(8.6,1.35)(8.7,1.3)(8.8,1.2)(8.9,1.15)(9.0,1.1) (9.1,1.08)(9.2,1.06)(9.3,1.04)(9.4,1.02)(9.5,1)(9.6,0.99)(9.7,0.99)(9.8,0.98)(9.9,0.98) \uput[ur](0,22){Valeur en francs de 1999} \uput[d](9,-1.25){Années} \endpspicture \end{center} %%%%%%%%%%%%% fin Métropole juin 2002 \newpage %%%%%%%%%%%%% La Réunion juin 2002 \hypertarget{La Reunion}{} \lhead{\small BaccalaurŽéat L mathéŽmatiques--informatique} \lfoot{\small{La Réunion}} \rfoot{\small{juin 2002}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} { \Large \textbf{\gray \decofourleft~BaccalauréŽat gŽénŽéral La Réunion~ \decofourright}} {\large \textbf{ƒépreuve anticipŽée MathŽématiques -- juin 2002}} {\large \textbf{MathéŽmatiques--informatique - séŽrie L }} La calculatrice est autorisŽée. \textbf{Le candidat doit traiter les DEUX exercices} \end{center} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points} \medskip \begin{enumerate} \item à partir d'une feuille de papier carrée de 21 cm de côté on veut réaliser une boîte sans couvercle, selon le schéma ci-dessous : on coupe les quatre carrés grisés, de côté $x$ cm, et on plie suivant les pointillés. \medskip \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(5,5) \psframe(5,5) \psframe*(0,0)(.5,.5) \psframe*(4.5,0)(5,.5) \psframe*(0,4.5)(.5,5) \psframe*(4.5,4.5)(5,5) \psframe[linestyle=dotted](0.5,0.5)(4.5,4.5) \psline{<->}(4.5,-0.2)(5,-0.2) \psline{<->}(5.2,0)(5.2,0.5) \uput[d](4.75,-0.2){$x$} \uput[r](5.2,0.25){$x$} \end{pspicture} \end{center} \bigskip \begin{enumerate} \item Expliquer pourquoi $x$ doit être compris entre $0$ et $10,5$. \item Justifier que le volume de la boîte en cm$^3$ est égal à $x(21 - 2x)^2 $. \end{enumerate} \item On considère la fonction $f$ définie par : \[f(x) = x(21 - 2x)^2, \] où $x$ est un nombre réel. \begin{enumerate} \item Deux élèves ont cherché à représenter cette fonction à l'aide de leur calculatrice graphique : \begin{enumerate} \item[$\bullet~$] L'élève A a choisi la fenêtre suivante : $x$ varie de $-1$ à $4$ et le pas de graduation sur l'axe des abscisses est $0,5$ ; $y$ varie de $-100$ à $700$ et le pas de la graduation sur l'axe des ordonnées est 100 ; \item[$\bullet~$] l'élève B a choisi la fenêtre suivante : $x$ varie de $-1$ à $6$ et le pas de graduation sur l'axe des abscisses est $1$ ; $y$ varie de $- 100$ à $300$ et le pas de la graduation sur l'axe des ordonnées est $100$. \end{enumerate} Les écrans obtenus sont représentés ci-dessous. Lequel des élèves a obtenu l'écran \no 1 ? \bigskip \bigskip \hspace*{-1cm}\parbox[l]{0.4\textwidth}{\psset{xunit=0.714cm,yunit=0.0125cm} \begin{pspicture}(-1,-100)(6,300) \psaxes[Dx=1,Dy=100,labels=none](0,0)(-1,-100)(6,300) \psframe(-1,-100)(6,300) \rput(2.5,-120){écran \no 1} \psplot[plotpoints=30]{-0.2}{0.79}{21 x 2 mul sub 2 exp x mul} \end{pspicture}} \hfill \parbox[l]{0.4\textwidth}{\psset{xunit=1cm,yunit=0.00625cm} \begin{pspicture}(-1,-100)(4,700) \psaxes[Dx=0.5,Dy=100,labels=none](0,0)(-1,-100)(4,700) \psframe(-1,-100)(4,700) \rput(2,-130){écran \no 2} \psplot[plotpoints=20]{-0.2}{4}{21 x 2 mul sub 2 exp x mul} \end{pspicture}} \bigskip \item La fonction $f$ est-elle croissante sur [0 ; 6] ? Argumenter la réponse. \item En annexe 1, on donne une représentation graphique de la fonction $f$ obtenue à l'aide d'une calculatrice. Préciser la fenêtre utilisée. Pour cela, on pourra procéder à des essais successifs à l'aide de la calculatrice et on complétera le cadre en annexe 1. \end{enumerate} \item à l'aide d'un tableur, on a obtenu le tableau de valeurs fourni en annexe 1. \begin{enumerate} \item Quelle formule, à recopier vers la droite jusqu'à la cellule N2, peut-on saisir dans la cellule B2 pour remplir ce tableau ? \item Compléter ce tableau. \end{enumerate} \item Répondre par \og vrai \fg{} ou bien par \og faux \fg{} aux affirmations suivantes et argumenter chaque réponse : \begin{enumerate} \item On peut fabriquer deux boîtes différentes ayant pour volume 500 cm$^3$. \item On peut réaliser une boîte de volume 690 cm$^3$. \item Le volume le plus grand est obtenu pour une valeur de $x$ comprise entre 3 et 4. \end{enumerate} \item Par lecture graphique, donner le volume de la plus grande boîte réalisable, ainsi que la valeur de $x$ correspondante. \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points} \medskip \textbf{Partie I :} \medskip Une entreprise d'ébénisterie fabrique des tables de différents modèles. Chaque modèle est défini par : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item sa forme : ronde ou rectangulaire, \item sa finition : naturelle ou teintée. \end{itemize} \setlength\parindent{5mm} \begin{enumerate} \item Déterminer, en le justifiant, le nombre de modèles de tables différents que peut fabriquer cette entreprise. \item Pendant l'année 2001, elle a fabriqué en tout 250 tables, dont 144 tables rondes. On sait que 75\,\% des tables rondes et 50\,\% des tables rectangulaires sont teintées. \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau suivant : \[\begin{array}{|*{4}{c|}}\cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{} &\text{Tables rondes} &\text{Tables rectangulaires} & \text{Total} \\ \hline \text{Finition naturelle} & & & \\ \hline \text{Finition teintée} & & & \\ \hline \text{Total} & 144&& 250\\ \hline \end{array} \] \item Déterminer parmi l'ensemble des tables fabriquées : \begin{enumerate} \item[$\bullet~$] le pourcentage de tables rondes ; \item[$\bullet~$] le pourcentage de tables rondes et teintées. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie II :} \medskip On s'intéresse aux diamètres des 144 tables rondes fabriquées en 2001. On a obtenu les données suivantes : \medskip \hspace*{-1.5cm}{\scriptsize \begin{tabular}{|l|*{11}{c|}} \hline Diamètre en cm& 119,5& 119,6& 119,7& 119,8& 119,9& 120,0& 120,1& L20,2& 120,3&120,4&120,5 \\ \hline Nombre de tables& 4 &10& 14& 15& 36& 27& 16& 10& 8& 2 & 2\\ \hline \end{tabular}} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer le diamètre moyen $m$ de cette série de tables. \item Le diamètre annoncé par l'entreprise est de 120 cm: celui-ci correspond au diamètre $\mu$ programmé par l'entreprise sur ses machines-outils. Une étude statistique sur les performances des machines-outils achetées par cette entreprise a montré que, pour une dimension programmée $\mu$, les dimensions effectivement obtenues correspondent à des données gaussiennes de moyenne $\mu$ et d'écart-type $\sigma = 2$ mm. \begin{enumerate} \item Préciser la plage de normalité théorique, $[\mu - 2\sigma~;~\mu + 2\sigma]$. \item Calculer, parmi les valeurs observées ci-dessus, le pourcentage de celles qui appartiennent à cette plage de normalité. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie III :} \medskip On s'intéresse maintenant à l'évolution du nombre de tables fabriquées par l'entreprise pendant chacune des huit dernières années et on dispose des données suivantes : \medskip \hspace*{-0.75cm}\begin{tabular}{|l|*{8}{c|}}\hline Années& 1994& 1995& 1996& 1997& 1998& 1999& 2000& 2001\\ \hline Tabler rondes& 67& 59& 90& 105& 72& 96& 120& 144\\ \hline Tables rectangulaires& 65& 70& 101& 92& 61& 73& 88& 106\\ \hline \end{tabular} \medskip \begin{enumerate} \item On a commencé à reporter sur le graphique en annexe 2, qui sera à remettre avec la copie, les données de ce tableau. Compléter le graphique à l'aide des données fournies (ou mettra une légende pour chacune des courbes sur le graphique). \item Le graphique laisse entendre que, à partir de l'année 1998, la croissance du nombre de tables rondes fabriquées est linéaire. \begin{enumerate} \item Vérifier cette affirmation an utilisant le tableau précédent et préciser la nature et la raison de la suite correspondante (à savoir la suite des nombres de tables rondes fabriquées à partir de 1998). \item On suppose que cette croissance linéaire va se poursuivre. Comment cela se traduit-il sur le graphique ? Quelle sera alors la production de tables rondes en 2006 ? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier que la suite des nombres de tables rectangulaires à partir de l'année 1998 peut être considérée comme une suite géométrique de raison $1,2$. \item On suppose que cette croissance exponentielle va se poursuivre. Déterminer le nombre de tables rectangulaires en 2006. \end{enumerate} \item Depuis 1997, la production des tables rondes l'emporte sur celle des tables rectangulaires. Si l'on garde les modèles de croissance décrits ci-dessus aux questions 2. b. et 3. b., jusqu'à quand en sera-t-il ainsi ? \end{enumerate} \newpage \begin{center} Annexes à compléter et à rendre avec la copie \bigskip \textbf{Annexe 1} \end{center} \bigskip \hspace*{-1cm}\parbox[l]{0.4\textwidth}{\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.007cm} \begin{pspicture}(0,0)(10,700) \psaxes[Dx=1,Dy=100,labels=none](0,0)(10,700) \psframe(0,0)(10,700) \psplot[plotpoints=30]{0}{10}{21 x 2 mul sub 2 exp x mul} \end{pspicture}} \hfill \parbox[l]{0.55\textwidth}{Fenêtre correspondant au graphique ci-contre :\\ $x$ varie de $0$ à ...........\\ le pas de graduation sur l'axe des abscisses est .......\\ y varie de 0 à .........\\ le pas de graduation sur l'axe du ordonnées est ........ } \vspace{2cm} \hspace*{-1cm} \begin{tabular}{|*{15}{c|}}\hline &A & B& C& D& E& F& G& H& I& J& K& L& M & N\\ \hline 1& $x$& 0& 0,5& 1& 1,5& 2& 2,5& 3& 3,5& 4& 4,5& 5& 5,5& 6\\ \hline 2& $f(x)$& 0& 200& 361& 486& 578& 640& 675& 686&&&&&\\ \hline \end{tabular} \vspace{2cm} \begin{center} Annexe 2 \bigskip \psset{xunit=0.85cm,yunit=0.0267cm} \begin{pspicture}(13,300) \psaxes[Dx=50,Dy=50](0,0)(13,300) \multido{\n=0+1}{14}{\psline(\n,0)(\n,300)} \multido{\n=0+50}{7}{\psline(0,\n)(13,\n)} \uput[d](0,0){1994} \uput[d](1,0){1995} \uput[d](2,0){1996} \uput[d](3,0){1997} \uput[d](4,0){1998} \uput[d](5,0){1999} \uput[d](6,0){2000} \uput[d](7,0){2001} \uput[d](8,0){2002} \uput[d](9,0){2003} \uput[d](10,0){2004} \uput[d](11,0){2005} \uput[d](12,0){2006} \uput[d](13,0){2007} \psline(0,67)(1,59)(2,90) \psdots(0,67)(1,59)(2,90) \psline(0,65)(1,70)(2,101) \psdots(0,65)(1,70)(2,101) \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%% fin La Réunion juin 2002 \newpage %%%%%%%%%%%% Polynésie juin 2002 \hypertarget{Polynesie}{} \lhead{\small Baccalauréat L mathématiques--informatique} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{juin 2002}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} { \Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalauréat général Polynésie \decofourright}} {\large \textbf{épreuve anticipée Mathématiques}} {\large \textbf{Mathématiques-informatique - série L - juin 2002 }} \end{center} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 12 points} \medskip Cet exercice s'appuie sur des données réelles. Dans un lycée comptant plus de \np{1000} élèves, on a interrogé un échantillon de 192 élèves choisis au hasard, On a recherché dans cet échantillon les élèves fumeurs et les élèves que nous appellerons \og redoublants \fg{} ce qui signifie qu'ils ont redoublé au moins une fois pendant leur scolarité. Parmi les élèves interrogés, 69 se déclarent fumeurs, 84 sont redoublants. Par ailleurs, la moitié des redoublants sont fumeurs.\\ Ces données sont présentées dans la feuille de calcul ci-dessous : \medskip \begin{center} \begin{tabular}{|>{\columncolor[gray]{0.8}}c|*{4}{c|}}\hline \rowcolor[gray]{0.8}&A &B & C &D \\ \hline 1 &Tableau 1 &Fumeurs&Non-fumeurs&Total \\ \hline 2 &Redoublants &42 &42 &84 \\ \hline 3 &Non-redoublants&27 &81 &108 \\ \hline 4 &Total &69 &123 &192 \\ \hline 5 & & & & \\ \hline 6 & & & & \\ \hline 7 &Tableau 2 &Fumeurs&Non-fumeurs& Total \\ \hline 8 &Redoublants &22\,\% & & \\ \hline 9 &Non-redoublants& & & \\ \hline 10 &Total &36\,\% & &100\,\% \\ \hline I1 & & & & \\ \hline 12 & & & & \\ \hline 13 &Tableau 3 &Fumeurs&Non-fumeurs&Total \\ \hline 14 &Redoublants & & &100\,\% \\ \hline 15 & Non-redoublants& & &100\,\% \\ \hline \end{tabular} \end{center} \bigskip \begin{enumerate} \item Dans le tableau 2, on cherche à obtenir le pourcentage de chaque catégorie par rapport à l'effectif total de l'échantillon. \begin{enumerate} \item Compléter le tableau 2. Les résultats seront justifiés et arrondis à 1 près, \item Donner une formule permettant de calculer la valeur de la cellule D8. Dans le tableau 3. on cherche à obtenir les pourcentages de fumeurs et de non-fumeurs parmi les élèves redoublants (ligne 14) puis parmi les élèves non-redoublants (ligne 15). \item En donnant les justifications dans votre copie, compléter le tableau 3. \item Indiquer quelle formule permet de calculer la valeur de la cellule C14. \end{enumerate} \item Montrer, en citant quelques valeurs des tableaux, pourquoi on peut supposer que le redoublement et le tabagisme sont liés. On se gardera de conclure que l'un est une conséquence de l'autre. \item Le tableau ci-dessous donne la consommation en cigarettes par jour des 69 fumeurs de l'échantillon : \[\begin{array}{|*{7}{c|}}\hline 1& 4& 6& 8& 10& 13& 17 \\ \hline 2& 5& 6& 8& 10& 13& 20 \\ \hline 2& 5& 6& 8& 10& 13& 20 \\ \hline 2& 5& 6& 8& 10& 15& 20 \\ \hline 3& 5& 7& 10& 10& 15& 20 \\ \hline 3& 5& 7& 10& 10& 15& 20 \\ \hline 4& 5& 7& 10& 10& 15& 20 \\ \hline 4& 5& 8& 10& 10& I5& 30 \\ \hline 4& 5& 8& 10& 12& 15& 40 \\ \hline 4& 6& 8& 10& 13& 15& \\ \hline \end{array}\] \begin{enumerate} \item Trouver, dans cette série de nombres, le minimum, le 1\up{er} quartile, la médiane, le 3\up{e} quartile, le maximum. \item Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier en utilisant la question 3. a. \og Au moins 50\,\% des fumeurs consomment entre 5 et 13 cigarettes par jour. \fg{} \og La majorité des fumeurs consomme au moins 11 cigarettes parjour. \fg{} \og Plus du quart des fumettrs consomme au moins 13 cigarettes par jour. \fg{} \end{enumerate} \item Calculer la consommation quotidienne moyenne des 69 fumeurs à 0,1 près. \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 8 points} \medskip Dans cet exercice, on se propose d'analyser l'évolution de deux actions boursières nommées X et Y. L'étude est partagées en trois périodes que l'on analysera successivement dans les parties A, B et C de l'exercice. \begin{center} \emph{Comparaison des cours des actions} X \emph{et} Y \psset{xunit=0.48cm,yunit=0.25cm} \begin{pspicture}(0,45)(26,82) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt,gridcolor=orange](0,50)(25,80) \psaxes[Dx=5,Oy=50,Dy=5](0,50)(25,80) \uput[r](0,82){Cours en euros (T)} \psdots[dotstyle=*](1,78)(2,76)(3,74)(4,72)(5,70)(6,68)(7,66)(8,64)(9,62)(10,60)(11,58)(12,56)(13,54)(14,52)(15,50)(16,51.9)(17,53.8)(18,55.7)(19,57.6)(20,59.5)(21,61.4)(22,63.3)(23,65.2)(24,67.1)(25,69) \psdots[dotstyle=+,dotangle=45](1,72)(2,70.5)(3,69)(4,67.5)(5,66)(6,64.5)(7,63)(8,61.5)(9,60)(10,58.5)(11,57)(12,55.5)(13,54)(14,52.5)(15,51)(16,52.53)(17,54.11)(18,55.73)(19,57.4)(20,59.12)(21,60.9)(22,62.72)(23,64.61)(24,66.54)(25,68.54) \uput[d](12.5,49){Jour} \rput(5,45){$\bullet~$ Cours action X} \rput(20,45){$\times~$ Cours action Y} \end{pspicture} \end{center} \hspace{-1cm}\textbf{Partie A. Entre le 1\up{er} et le 15\up{e} jour, la chute des cours} \medskip Lors d'une période d'incertitude, on observe le cours des deux actions pendant quinze jours. Le graphe ci-dessus permet d'observer cette période. Le tableau page suivante contient certaines des valeurs correspondantes. \begin{enumerate} \item Pour les jours 1 à 15, les cours des actions constituent une suite arithmétique. Quelle propriété du graphique permet de le confirmer ? \item Déterminer graphiquement, pour les jours 1 à 5, les cours des deux actions X et Y. Reporter les résultats dans le tableau de la page ci-dessous. \item Pour chacune des suites arithmétiques, préciser le premier terme et la raison (c'est-à-dire la différence entre deux termes consécutifs de chaque suite). \medskip \begin{center} \begin{tabular}{|>{\columncolor[gray]{0.8}}c|*{3}{c|}}\hline \rowcolor[gray]{0.8}& A& B& C\\ \hline 1& Jour & Cours action X (en C)& Cours action Y (en \euro{})\\ \hline 2& 1 & &\\ \hline 3& 2 & &\\ \hline 4& 3 & &\\ \hline 5& 4 & &\\ \hline 6& 5 & &\\ \hline 7& 6 & 68,00 & 64,50\\ \hline 8& 7 & 66,00 & 63,00\\ \hline 9& 8 & 64,00 & 61,50\\ \hline 10& 9 & 62,00 & 60,00\\ \hline II& 10 & 60,00 & 58,50\\ \hline 12& 11 & 58,00 & 57,00\\ \hline 13& 12 & 56.00 & 55,50\\ \hline 14& 13 & 54,00 & 54,00\\ \hline 15& 14 & 52,00 & 52.50\\ \hline 16& 15 & 50,00 & 51,00\\ \hline 17& 16 & 51,90 & 52,53\\ \hline 18& 17 & 53,80 & 54,11\\ \hline 19& 18 & 55,70 & 55,73\\ \hline 20& 19 & 57,60 & 57,40\\ \hline 21& 20 & 59,50 & 59,12\\ \hline 22& 21 & 61.40 & 60,90\\ \hline 23& 22 & 63,30 & 62,72\\ \hline 24& 23 & 65,20 & 64,61\\ \hline 25& 24 & 67,10 & 66,54\\ \hline 26& 25 & 69,00 & 68,54\\ \hline 27& 26 & &\\ \hline 28& 27 & &\\ \hline 29& 28 & &\\ \hline 30& 29 & &\\ \hline 31& 30 & &\\ \hline \end{tabular} \end{center} \medskip \hspace{-1cm} \textbf{Partie B.} Entre le 16\up{e} jour et le 25\up{e} jour, la remontée des cours à partir du 16\up{e} jour, les indicateurs économiques sont rassurants et le cours des deux actions commence à remonter. \item En utilisant les données du tableau ci-dessus, calculer \begin{enumerate} \item le pourcentage d'augmentation de l'action X entre le I5\up{e} et le 16\up{e} jour ; \item le pourcentage d'augmentation de l'action Y entre le 15\up{e} et le 16\up{e} jour. \end{enumerate} \hspace{-1cm} \textbf{Partie C.} À partir du 26\up{e} jour, l'analyse prévisionnelle \medskip Le 26\up{e} jour, certains investisseurs tentent d'analyser la situation afin d'effectuer le meilleur placement. Sur la base des 11 jours de hausse précédents, ils font des hypothèses. \item On choisit d'appeler $x_{0}$ le cours du 15\up{e} jour. On suppose que le cours de l'action X constitue une suite arithmétique de premier terme $x_{0} = 50$ et de raison (différence entre deux termes consécutifs) $r = 1,9$. \begin{enumerate} \item Exprimer $x_{11}$ en fonction de $x_{10}$ et de $r$. En déduire une formule possible pour la cellule B27 du tableau, destinée à être recopiée vers le bas. \item Calculer les termes $x_{11}$ jusqu'à $x_{15}$ correspondants aux jours 26 à 30. Compléter alors le tableau. \end{enumerate} \item On choisit d'appeler $y_{0}$ le cours du 15\up{e} jour. On suppose que le cours de l'action Y constitue une suite géométrique de premier terme $y_{0} = 51$ et de raison (quotient entre deux termes consécutifs) $q = 1,03$. \begin{enumerate} \item Exprimer $y_{11}$ en fonction de $y_{10}$ et de $q$. En déduire une formule possible pour la cellule C27 du tableau, destinée à être recopiée vers le bas. \item Calculer les termes $y_{11}$ jusqu'à $y_{15}$ correspondants aux jours 26 à 30. Compléter alors le tableau. \end{enumerate} \item à la suite de cette étude, quelle action est-il préférable d'acheter le 26\up{e} jour ? \end{enumerate} %%%%%%%%% fin Polynésie juin 2002 \newpage %%%%%%%%% Antilles-Guyane septembre 2002 \hypertarget{Antillessept}{} \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small{septembre 2002}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} { \Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat général Antilles-Guyane \decofourright}} {\large \textbf{Épreuve anticipée Mathématiques}} {\large \textbf{Mathématiques-informatique - série L - septembre 2002}} \end{center} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 11 points} \medskip En Europe le nombre d'abonnés au téléphone mobile (tous opérateurs confondus) a suivi la progression indiquée dans le tableau ci-dessous colonnes 1 et 2. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \multicolumn{2}{|c|}{Colonnes 1 et 2 : données}&\multicolumn{2}{|c|}{Colonnes 3 et 4 : interprétation}\\ \hline 1.& 2. Abonnés&3. S'il y avait eu&4. Augmentation\\ Années& (en millions)& évolution constante& ou réduction en \,\% \\ \hline 1997&55,1 &$u_{1997} = 55,1$ &0,00\,\%\\ \hline 1998&92,1 &$u_{1998} = $ &\\ \hline 1999&154,5 &$u_{1999} = $ &\\ \hline 2000&244,5 &$u_{2000} = $ &\\ \hline \end{tabularx} Les colonnes 3 et 4 serviront à interpréter les résultats des colonnes 1 et 2. \begin{enumerate} \item Calculer le pourcentage d'augmentation du nombre d'abonnés (chiffres de la colonne 2). \begin{enumerate} \item de 1997 à 1998 ; \item de 1998 à 1999; \item de 1999 à 2000. \end{enumerate} \item Calculer le pourcentage d'évolution du nombre d'abonnés (chiffres de la colonne 2) entre les années 1997 et 2000. \item Pour cette question, on pourra reproduire les colonnes 3 et 4 dans la copie si on désire présenter les résultats sous forme de tableau. \begin{enumerate} \item En colonne 3 on considère 4 termes consécutifs de la suite géométrique de premier terme $u_{1997} = 55,1$ et de raison $q = \np{1,64327061}$. Cette suite peut être considérée comme une \og évolution théorique \fg{} du marché. Calculer les trois termes suivants de cette suite (3\up{e} colonne). \item Calculer en colonne 4 le pourcentage d'augmentation ou de diminution des chiffres constatés sur le marché (colonne 2) par rapport au chiffre théorique donné par la suite de la colonne 3 (résultats de la question a). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer la prévision $u_{2004}$ que l'on peut faire du nombre d'abonnés pour l'année 2004 en suivant la progression théorique de la colonne 3. \item En fait la prévision actuelle du nombre d'abonnés pour 2004 est de $305,1$ millions d'abonnés. Comparer les graphiques A et B, es expliquer en quoi le graphique B publié dans la presse risque de provoquer une erreur d'appréciation de cette évolution. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} Graphique A Abonnés en millions \bigskip \psset{yunit=0.014cm} \begin{pspicture}(9,350) \psaxes[Dx=50,Dy=100](0,0)(9,350) \psline[showpoints=true,dotstyle=square,dotangle=45](1,55.1)(2,92.1)(3,154.5)(4,244.5) \psdots[dotstyle=square,dotangle=45](8,305.1) \uput[d](0,0){1996} \uput[d](1,0){1997} \uput[d](2,0){1998} \uput[d](3,0){1999} \uput[d](4,0){2000} \uput[d](5,0){2001} \uput[d](6,0){2002} \uput[d](7,0){2003} \uput[d](8,0){2004} \uput[d](9,0){2005} \end{pspicture} % \vspace{1cm} Graphique B Le nombre d'abonnés au téléphone mobile en Europe \bigskip \psset{xunit=1.5cm,yunit=0.029cm} \begin{pspicture}(7.2,350) \psaxes[Dx=100,Dy=100]{->}(0,0)(7.2,350) \psline(0,55.1)(1,92.1)(2,154.5)(3,244.5)(7,305.1) \uput[dr](0,55.1){55,1} \uput[ul](1,92.1){92,1} \uput[ul](2,154.5){154,5} \uput[ul](3,244.5){244,5} \uput[ul](7,305.1){305,1} \rput{91}(0.2,330){(en millions)} \psline[linestyle=dashed](1,0)(1,92.1) \psline[linestyle=dashed](2,0)(2,154.5) \psline[linestyle=dashed](3,0)(3,244.5) \psline[linestyle=dashed](7,0)(7,305.1) \uput[d](0,0){1997} \uput[d](1,0){1998} \uput[d](2,0){1999} \uput[d](3,0){2000} \uput[d](7,0){2004} \end{pspicture} \end{center} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 9 points} \medskip Paul est à l'heure du premier bilan : il y a un an il a racheté une boulangerie et, sur le conseil du propriétaire précédent, il a produit des baguettes pendant chacune des 48 semaines où sa boutique a été ouverte selon la répartition suivante : \medskip \begin{tabular}{|l|*{6}{c|}}\hline Jour &Dimanche& Lundi & Mardi &Jeudi &Vendredi & Samedi\\ \hline Nombre & & & & & & \\ de baguettes & 320 & 220 & 350 & 270 & 220 & 270\\ \hline \end{tabular} \bigskip Le mercredi est jour de fermeture hebdomadaire. Chacun de ces $48 \times 6 = 288$ jours, il a soigneusement noté le nombre de baguettes invendues, donc perdues, afin de réajuster éventuellement cette répartition hebdomadaire de la production : il perd en effet de l'argent sur chaque baguette invendue mais ne doit pas pour autant se fixer l'objectif \og zéro perte \fg{} qui pourrait l'obliger à refuser du pain certains jours à ses clients alors que ceux-ci se présentent. Le \og manque à gagner \fg{} qui en résulterait et la fidélisation de sa clientèle l'incitent à avoir un rayon le mieux garni possible : il lui semble raisonnable d'accepter entre 1\,\% et 2,5\,\% de perte de sa production. Sur le conseil d'un voisin, élève de 1\up{re} L, il décide de s'aider d'un tableur pour synthétiser ses données, l'aider à opérer les calculs et mener à bien son analyse (Document Annexe). Le nombre de baguettes invendues est \og entré \fg{} sur une feuille de tableur : 1 jour de la semaine par colonne et 1 semaine par ligne, les calculs de la moyenne et de la médiane des données de chacune des 6 colonnes sont assurés par tableur. En bas de la feuille on a saisi les formules aptes à donner le nombre total de baguettes produites par jour de la semaine (sur un an) ainsi que des baguettes invendues (sur un an) avec le pourcentage que ces pertes représentent par rapport à la production. Pour chaque colonne est aussi calculé le nombre de jours où la totalité de la production a été vendue (\og Jours $0$ perte \fg{}), ces jours dont Paul aimerait bien augmenter le nombre \ldots \begin{enumerate} \item Représenter graphiquement les 2 séries de résultats des lignes \og invendues \fg{} (ligne 58) et \og Jours $0$ perte \fg{} (ligne 61) : on prendra en abscisse les 6 jours ouvrés de la semaine. On pourra au choix faire 2 graphiques distincts, ou au contraire représenter les 2 séries sur le même graphique. 2 unités distinctes étant alors clairement proposées en ordonnées, une pour chaque série. \item En comparant les résultats de la ligne \og Moyenne \fg{} (ligne 52) à ceux de la ligne \og Médiane \fg{} (ligne 53), doit-on conseiller à Paul de tenir compte des résultats de la ligne \og Médiane \fg{} (ligne 53) ? Donner une explication de l'écart observé entre les résultats de ces 2 lignes. \item Expliquer pourquoi le nombre total de baguettes invendues (106) en 48 vendredis comme en 48 samedis ne correspond pas au même pourcentage de perte pour ces 2 jours de la semaine. \item Indiquer les jours de la semaine où Paul pourrait envisager de modifier ses quotas de production afin de mieux cibler la fourchette \og de 1\,\% à 2,5\,\% \fg{}) qu'il s'est fixée (on précisera s'il doit augmenter ou diminuer sa production sans chercher à quantifier cette modification). \end{enumerate} \newpage \begin{center} Document annexe \vspace{2cm} \begin{tabular}{|*{9}{c|}}\hline & A&B&C&D&E&F&G&H\\ \hline 1&\multicolumn{6}{|l|}{Nombre de baguettes perdues par jour de la semaine} && \\\hline 2&Semaine \no&Dimanche &Lundi & Mardi & Jeudi & Vendredi & Samedi& \\ \hline 3&1&28&0&0&16&0&1&\\ \hline 4&2&0&0&0&0&0&0&\\ \hline 5&3&0&7&4&0&3&0&\\ \hline 6&4&26&7&0&12&8&8&\\ \hline 7&5&0&0&13&0&0&0&\\ \hline 8&6&40&0&0&12&0&7&\\ \hline 9&7&0&3&1&0&0&0&\\ \hline 10&8&27&1&12&5&0&3&\\ \hline 11&9&29&0&0&24&2&3&\\ \hline 12&10&0&0&0&0&0&0&\\ \hline 13&11&14&4&7&0&2&4&\\ \hline 14&12&35&7&9&12&0&2&\\ \hline 15&13&0&0&0&0&3&1&\\ \hline 16&14&18&2&9&17&4&0&\\ \hline 17&15&0&0&0&0&0&8&\\ \hline 18&26&5&1&5&1&0&0&\\ \hline 19&17&31&0&0&16&1&8&\\ \hline 20&18&30&0&0&0&0&0&\\ \hline 21&19&0&4&3&0&6&0&\\ \hline 22&20&23&5&6&7&0&1&\\ \hline 23&21&0&0&0&14&2&3&\\ \hline 24&22&46&0&0&0&2&0&\\ \hline 25&23&0&1&13&0&0&0&\\ \hline 26&24&33&0&0&6&0&1&\\ \hline 27&25&38&4&3&3&4&7&\\ \hline 28&26&0&0&0&0&3&0&\\ \hline 29&27&0&1&14&26&0&3&\\ \hline 30&28&8&6&9&0&0&0&\\ \hline \end{tabular} \newpage Document annexe (suite) \vspace{2cm} \begin{tabular}{|*{9}{c|}}\hline & A&B&C&D&E&F&G&H\\ \hline 1&\multicolumn{6}{|l|}{Nombre de baguettes perdues par jour de la semaine} && \\\hline 2&Semaine \no&Dimanche &Lundi & Mardi & Jeudi & Vendredi & Samedi& \\ \hline 31& 29& 35& 0& 0& 1& 8& 6&\\ \hline 32& 30& 0& 0& 0& 0& 10& 0&\\ \hline 33& 31& 0& 0& 4& 0& 0& 0&\\ \hline 34& 32& 12& 3& 0& 14& 0& 4&\\ \hline 35& 33& 43& 4& 0& 0& 6& 1&\\ \hline 36& 34& 7& 0& 4& 17& 0& 0&\\ \hline 37& 35& 50& 0& 7& 0& 5& 0&\\ \hline 38& 36& 0& 4& 0& 3& 0& 8&\\ \hline 39& 37& 37& 0& 0& 7& 3& 8&\\ \hline 40& 38& 0& 1& 5& 0& 10& 0&\\ \hline 41& 39& 0& 0& 0& 0& 0& 0&\\ \hline 42& 40& 14& 1& 0& 12& 0& 3&\\ \hline 43& 41& 62& 4& 14& 19& 3& 0&\\ \hline 44& 42& 0& 5 &15 &0 &5& 4&\\ \hline 45& 43& 2& 0& 0& 1& 0& 0&\\ \hline 46& 44& 10& 0& 0& 0& 0& 4&\\ \hline 47& 45& 59& 2& 5& 23& 7& 0&\\ \hline 48& 46& 0& 0& 13& 0& 0& 0&\\ \hline 49& 47& 0& 0& 0& 0& 9& 7&\\ \hline 50& 48& 50& 6& 0& 10& 0& 5&\\ \hline 51& & & & & & & & \\ \hline 52& Moyenne&16,9& 1,7& 3,6& 5,8& 2,2& 2,2&\\\hline 53&Médiane& 9& 0& 0& 0,5& 0& 0,5&\\ \hline 54& & & & & & & & \\ \hline 55&En 1 an& & & & & & &Total\\ \hline 56& Produites& \np{15360}& \np{10560}& \np{16800}& \np{12960}& \np{10560}& \np{12960}& \np{79200}\\\hline 57& Invendues& 812& 83& 175& 278& 106& 106& \np{1560}\\ \hline 58&\% de perte&5,29\,\%&0,79\,\%&1,04\,\%&2,15\,\%&1,00\,\%&0,87\,\%&1,97\,\%\\ \hline 59& & & & & & &&\\ \hline 60&Jours $0$ perte&20&25&26&24&26&24& \\ \hline \end{tabular} \end{center} %%%%%%%%%% fin Antilles-Guyane septembre 2002 \newpage %%%%%%%%%% Métropole septembre 2002 \hypertarget{Metropolesept}{} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{septembre 2002}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} { \Large \decofourleft~Baccalauréat général Métropole \decofourright} {\large \textbf{Épreuve anticipée Mathématiques -- septembre 2002}} {\large \textbf{Mathématiques-informatique - série L }} La calculatrice est autorisée. \textbf{Le candidat doit traiter les DEUX exercices} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 12 points} \medskip Un grand groupe industriel a mis en place, dans plusieurs de ses usines, une nouvelle formation sur le comportement physique et la sécurité dans le but de limiter le nombre des accidents du travail. Une partie des salariés a donc ainsi été formée, et ce lors d'un stage qui a eu lieu fin 2000. Dans le but de mesurer les effets de cette formation, la direction de ce groupe industriel a effectué des statistiques concernant les accidents du travail sur l'ensemble de l'année 2001. \begin{enumerate} \item Le tableau 1.1 de l'annexe 1 donne la répartition des salariés selon qu'ils ont bénéficié ou non de la formation et qu'ils ont été blessés ou non lors d'un accident du travail. \begin{enumerate} \item Compléter le tableau 1.1 par ses marges horizontales et verticales. \item Compléter le tableau 1.2 des pourcentages par rapport ? l'effectif total des salariés. \item Compléter le tableau 1.3 des pourcentages par ligne. \item En utilisant un argument chiffré, issu d'un des tableaux précédents, montrer que cette formation semble efficace. \item On fait l'hypothèse que, si le groupe des salariés qui a bénéficié de la formation n'avait pas reçu cette formation, la proportion de blessés aurait été la même que celle constatée dans le groupe des salariés non formés. De combien cette formation a-t-elle permis de diminuer le nombre de blessés en 2001 ? \end{enumerate} \item Le tableau 2 de l'annexe reproduit l'écran d'un tableur. \begin{enumerate} \item Pour obtenir les résultats de la colonne \textsf{E}, on a saisi une formule dans la cellule \textsf{E2}, puis effectué une recopie automatique vers le bas. Quelle formule a-t-on pu saisir dans la cellule \textsf{E2} ? \item Pour obtenir les résultats de la colonne \textsf{F}, on a saisi une formule dans la cellule \textsf{F2}, puis effectué une recopie automatique vers le bas. Quelle formule a-t-on pu saisir dans la cellule \textsf{F2} ? \item Calculer les valeurs numériques manquantes de la colonne \textsf{G} et la compléter. \item Pour obtenir les résultats de la colonne \textsf{H}, on a saisi une formule dans la cellule \textsf{H2}, puis effectué une recopie automatique vers le bas. Quelle formule a-t-on pu saisir dans la cellule \textsf{H2} ? \item En justifiant chaque réponse par des résultats chiffrés, préciser : \begin{enumerate} \item la tranche d'âge dans laquelle la proportion de blessés est la plus forte ; \item la tranche d'âge dans laquelle le nombre moyen de journées perdues par blessé est le plus élevé. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{ Exercice 2} \hfill 8 points} \medskip Des chercheurs s'intéressent à l'évolution des populations de deux espèces animales voisines A et B qu'ils ont introduites à l'intérieur d'un périmètre naturel donné. À partir de leurs observations, ils disposent d'estimations assez précises de ces populations sur une période de trois années. Elles sont données par le tableau suivant. \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} \hline $n$ & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline {\small Population (en milliers) de l'espèce A au bout de $n$ années} & 140 & 143 & 146 & 149 \\\hline {\small Population (en milliers) de l'espèce B au bout de $n$ années} & 150 & 161 & 172 & 184 \\\hline \end{tabular} \end{center} \begin{enumerate} \item Les données précédentes ont été représentées sur deux graphiques différents en annexe. \begin{enumerate} \item Qu'a-t-on changé entre le graphique 1 et le graphique 2 ? \item Peut-on affirmer que l'espèce B est deux fois plus nombreuse que l'espèce A ? Expliquer la réponse. \end{enumerate} Dans les questions qui suivent, on cherche à décrire l'évolution de chacune des populations selon un modèle de croissance linéaire, puis selon un modèle de croissance exponentielle. Certains résultats pourront être reportés sur le tableau de résultats, fourni en annexe. \item \textsf{Utilisation d'un modèle de croissance linéaire.} Pour la population de l'espèce A (on utilisera le graphique 2)~: \begin{enumerate} \item La croissance de cette population semble-t-elle linéaire ? Justifier la réponse à l'aide du tableau ou du graphique. \item On suppose dans cette question que la croissance de cette population reste linéaire à l'avenir. Déterminer par un procédé graphique quelle sera la population de l'espèce A au bout de 10 années. Expliquer. \end{enumerate} Pour la population de l'espèce B : \begin{enumerate} \item Calculer l'accroissement annuel moyen de cette population sur la période des trois années. \item On suppose qu'à l'avenir, la croissance de cette population reste celle d'une suite arithmétique de raison 11,3. Quelle sera alors la population de l'espèce B au bout de 10 années ? \end{enumerate} \item \textsf{Utilisation d'un modèle de croissance exponentielle.} Pour la population de l'espèce A (on utilisera le graphique 2)~: \begin{enumerate} \item Quel est le pourcentage d'augmentation de la population de l'espèce A sur la période des trois années~? \item Vérifier que, sur la période des trois années, la population de l'espèce A présente une croissance annuelle très voisine de la croissance d'une suite géométrique de raison 1,021. \item On suppose qu'à l'avenir la croissance de cette population se poursuit selon le même modèle. Quelle sera la population de l'espèce A au bout de 10 années~? \end{enumerate} Pour la population de l'espèce B : \begin{enumerate} \item Vérifier que, sur la période des trois années, la population de l'espèce B augmente approximativement de 7\,\% par an. \item Dans le cas où cette croissance reste de 7\,\% par an à l'avenir, quelle sera la population de l'espèce B au bout de 10 années~? \end{enumerate} \end{enumerate} \pagebreak \begin{center} Annexe \bigskip Tableaux de l'exercice 1 {\bf\textsf{Tableau 1.1}}\medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}p{1.5cm}|} \hline & \multicolumn{1}{|c|}{Salariés blessés} & \multicolumn{1}{|c|}{Salariés non blessés} & \multicolumn{1}{|c|}{Total} \rule{0pt}{15pt}\\ \hline Salariés formés & \multicolumn{1}{|c|}{144} & \multicolumn{1}{|c|}{2\,691} & \rule{0pt}{15pt}\\ \hline Salariés non formés & \multicolumn{1}{|c|}{479} & \multicolumn{1}{|c|}{4\,562} & \rule{0pt}{15pt}\\ \hline Total & & & \rule{0pt}{15pt}\\ \hline\end{tabularx} \end{center} \begin{center} {\bf\textsf{Tableau 1.2}}\medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}p{1.5cm}|} \hline & \multicolumn{1}{|c|}{Salariés blessés} & \multicolumn{1}{|c|}{Salariés non blessés} & \multicolumn{1}{|c|}{Total} \rule{0pt}{15pt}\\ \hline Salariés formés & & & \multicolumn{1}{|c|}{36,0 \%}\rule{0pt}{15pt}\\ \hline Salariés non formés & & & \rule{0pt}{15pt}\\ \hline Total & \multicolumn{1}{|c|}{7,9 \%} & & \multicolumn{1}{|c|}{100 \%}\rule{0pt}{15pt}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{center} {\bf\textsf{Tableau 1.3}}\medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}p{1.5cm}|} \hline & \multicolumn{1}{|c|}{Salariés blessés} & \multicolumn{1}{|c|}{Salariés non blessés} & \multicolumn{1}{|c|}{Total} \rule{0pt}{15pt}\\ \hline Salariés formés & & & \multicolumn{1}{|c|}{100 \%}\rule{0pt}{15pt}\\ \hline Salariés non formés & & & \multicolumn{1}{|c|}{100 \%}\rule{0pt}{15pt}\\ \hline Total & & & \multicolumn{1}{|c|}{100 \%}\rule{0pt}{15pt}\\ \hline\end{tabularx} \end{center} \begin{center} {\bf\textsf{Tableau 2}}\medskip {\footnotesize \sf\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline & A & B & C & D & E & F & G & H \\ \hline & Tranche & Nombre & Nombre & Nombre & Pourcentage & Répar- & Répar- & Nombre \\ & d'âge & de & de & de & de blessés & tition & tition & moyen de \\ 1 & & salariés & blessés & journées & dans la & des & des & journées \\ & & & & de travail & tranche & salariés & blessés & perdues \\ & & & & perdues & d'âge & (en \%) & (en \%) & par blessé \\ \hline 2 & $\leqslant$ 29 ans & 2 598 & 271 & 5 735 & 10,4 & 33,0 & & 21,2 \\ \hline 3 & 30 à 39 ans & 2 057 & 151 & 4 711 & 7,3 & 26,1 & & 31,2 \\ \hline 4 & 40 à 49 ans & 1 671 & 120 & 4 371 & 7,2 & 21,2 & & 36,4 \\ \hline 5 & $\geqslant$ 50 ans & 1 550 & 81 & 3 279 & 5,2 & 19,7 & & 40,5 \\ \hline 6 & Total & 7 876 & 623 & 18 096 & 7,9 & 100,0 & 100,0 & 29,0 \\ \hline \end{tabular}} \end{center} \pagebreak \begin{center} Annexe \bigskip Graphiques et tableau de l'exercice 2 {\bf\textsf{Graphique 1}}\medskip \psset{xunit=0.8cm,yunit=0.7cm} \pspicture(-1.5,-1)(14,6) \psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=0](0,0)(10,6) \psaxes[dy=1,Dy=50](0,0)(10,6) \psdots[dotscale=1.5 1.5](0,3)(1,3.22)(2,3.44)(3,3.68) \psdots[dotstyle=triangle*,dotscale=1.5 1.5](0,2.8)(1,2.86)(2,2.92)(3,2.98) \psdots[dotscale=1.5 1.5](11,2.7) \uput[r](11,2.7){Espèce B} \psdots[dotstyle=triangle*,dotscale=1.5 1.5](11,3.3) \uput[r](11,3.3){Espèce A} \pspolygon(10.5,2.2)(10.5,3.8)(13.3,3.8)(13.3,2.2) \endpspicture \end{center} \begin{center} {\bf\textsf{Graphique 2}}\medskip \psset{xunit=0.8cm,yunit=0.7cm} \pspicture(-1.5,-1)(14,6) \psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=0](0,0)(10,6) \psaxes[Oy=125,dy=1,Dy=25](0,0)(10,6) \psdots[dotscale=1.5 1.5](0,1)(1,1.44)(2,1.88)(3,2.36) \psdots[dotstyle=triangle*,dotscale=1.5 1.5](0,0.6)(1,0.72)(2,0.84)(3,0.96) \psdots[dotscale=1.5 1.5](11,2.7) \uput[r](11,2.7){Espèce B} \psdots[dotstyle=triangle*,dotscale=1.5 1.5](11,3.3) \uput[r](11,3.3){Espèce A} \pspolygon(10.5,2.2)(10.5,3.8)(13.3,3.8)(13.3,2.2) \endpspicture \end{center} \begin{center} {\bf\textsf{Tableau de résultats : population au bout de 10 années}}\medskip {\large \begin{tabular}{|c|c|c|} \cline{2-3} \multicolumn{1}{c|}{} & Selon le modèle & Selon le modèle \\ \multicolumn{1}{c|}{} & de croissance linéaire & de croissance exponentielle \\ \hline & & \\ Espèce A & & \\ & & \\ \hline & & \\ Espèce B & & \\ & & \\ \hline\end{tabular}} \end{center} %%%%%%%%%%% fin Métropole septembre 2001 \newpage %%%%%%%%%%% Nouvelle-Calédonie novembre 2002 \hypertarget{Caledonie}{} \lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}} \rfoot{\small{novembre 2002}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat Mathématiques--informatique \decofourright\\ Nouvelle--Calédonie novembre 2002 }}\end{center} \vspace*{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points} \medskip On étudie grâce à un tableur et à une calculatrice les communications téléphoniques d'une famille durant la période du 16 juin au 15 août 2000. \textbf{I} On s'intéresse d'abord à la durée des communications téléphoniques vers les téléphones mobiles pendant la période du 16 juin au 15 août. Sur la feuille annexe, figure une copie de l'écran d'une calculatrice où est tracé un diagramme en boîte représentant la série relative à la durée de ces communications. Sur ce diagramme sont entre autres indiqués \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] le minimum (10 secondes), \item[$\bullet~$] le premier quartile (50 secondes), \item[$\bullet~$] le troisième quartile (2 minutes 50 secondes), \item[$\bullet~$] et le maximum (5 minutes 20 secondes). \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Le pas de la graduation est de 10 secondes. \begin{enumerate} \item Quelle information a-t-on sur le pourcentage des communications téléphoniques qui ont duré moins de 50 s et sur celui des communications qui ont duré plus de 2 min 50 s ? \item \begin{enumerate} \item Lire graphiquement la médiane et donner le résultat en minutes, secondes. \item Peut-on dire qu'au moins la moitié des communications ont duré moins de 2 minutes ? \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{II} On s'intéresse ensuite à la durée des communications téléphoniques \textbf{locales}, toujours pendant la période du 16 juin au 15 août. \medskip On étudie plus particulièrement les communications téléphoniques des \textbf{quinze derniers jours du mois de juin}. Les données figurent dans le cadre 1 de la feuille annexe. On lit, par exemple, que le 16 juin il y a eu une communication téléphonique d'une durée de 8 minutes et 8 secondes ce qui est noté 0 : 08 : 08. \begin{enumerate} \item Pour cette période, quel est le jour où il y a eu le plus grand nombre de communications téléphoniques locales ? \item Pour ce jour-là, calculer la durée moyenne d'une communication téléphonique locale. \end{enumerate} \textbf{III} On considère maintenant \textbf{l'ensemble des communications téléphoniques locales durant la période du 16 juin au 15 août} et on s'intéresse à la série constituée par la durée de ces appels. \medskip Dans le cadre 2 de la feuille annexe figure un tableau regroupant les appels en fonction de leur durée. En utilisant les données de ce cadre, \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer le pourcentage des appels qui ont duré moins de 3 minutes. \item Justifier que la médiane de la série est comprise entre 1 minute et 2 minutes. \end{enumerate} \item À l'aide d'un tableur on a obtenu les résultats figurant dans le cadre 3 de la feuille annexe. En utilisant des données pertinentes de ce cadre, construire un diagramme en boîte correspondant à cette série (on prendra comme échelle 1 cm pour 1 minute). \psline[linecolor=blue,linewidth=0.5pt](-1,0)(13,0) \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points} \medskip On considère les quatre lettres \textbf{A, T, C, G}. Dans cet exercice, on s'intéresse aux \textbf{mots de trois lettres} (mots ayant un sens ou non) que l'on peut former avec ces lettres. Ainsi, les mots CAT, TTG et GAG convient. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer tous les mots de trois lettres distinctes que l'on peut constituer en commençant par la lettre T. \item Combien de mots de trois lettres distinctes peut-on constituer ? Justifier. \end{enumerate} \item Montrer que l'on peut former 64 mots de trois lettres. \item On veut simuler des tirages de mots de trois lettres. \begin{enumerate} \item Expliquer comment, en utilisant la table de chiffres au hasard donnée ci-dessous, on peut effectuer une telle simulation. L'illustrer par une suite d'exemples. \item Effectuer cette simulation pour vingt tirages de mots. Donner les vingt mots obtenus ; combien d'entre eux sont formés de trois lettres différentes ? Quelle est alors la fréquence d'apparition des mots de cette nature ? \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center}\begin{tabular}{|c|}\hline EXERCICE 2 : Table de chiffres au hasard.\\ \hline 72432 77372 46210 25703 18412\\ 50237 64312 80814 75120 33549\\ 58061 02571 58258 34743 92043\\ 45152 71434 30278 96654 10783\\ 23670 42367 04950 15824 38193\\ 35710 49301 02047 88463 01415\\ 26715 53714 39182 76434 97502\\ 21040 82379 91768 42893 34271\\ \hline \end{tabular} \end{center} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe de l'exercice 1} Diagramme en boîte %%%%%%%%% %\bam{min}{d1}{q1}{med}{q2}{d9}{max} \newlength{\haut} \newlength{\bas} \newcounter{bam}\setcounter{bam}{-1} \newcommand{\bam}[7]{ \addtocounter{bam}{2} \setlength{\haut}{\thebam\psyunit+.5\psyunit} \setlength{\bas}{\thebam\psyunit-.5\psyunit} \psline[linestyle=dotted](#1,\thebam\psyunit)(#7,\thebam\psyunit) \psline{|-|}(#2,\thebam\psyunit)(#6,\thebam\psyunit) \psframe(#3,\bas)(#5,\haut) \psline(#4,\bas)(#4,\haut) } \begin{pspicture}(0,-2.5)(10,2.5) %%%%%%%%%% %%% faut régler les unités, c'est pas auto \psset{xunit=.025,yunit=.5,dimen=middle,fillstyle=solid} %% pour l'axe \psline(0,0)(320,0) {\scriptsize \multido{\n=0+10}{33}{% \psline(\n,.1)(\n,-.1)}} \psline(10,0.5)(10,1.5) \psline(10,1)(50,1) \psframe(50,0.5)(170,1.5)\psline(100,0.5)(100,1.5) \psline(170,1)(320,1) \psline(320,0.5)(320,1.5) \end{pspicture} \vspace{1cm} {\small \begin{tabular}{| *{8}{c |}}\cline{1-5} \cline{7-8} \multicolumn{5}{|c|}{Cadre 1} & & \multicolumn{2}{c|}{Cadre 2}\\ \cline{1-5} \cline{7-8} Dates & Durée & & Dates & Durée &~~~~ &durée des & nombre de \\ & & & & & &communications & communications\\ \cline{1-2} \cline{4-5} \cline{7-8} 16 juin &0:08:08 & &24 juin &0:02:03 & &$0 \leqslant d < 30$ s &49 \\ \cline{1-2} \cline{4-5} \cline{7-8} 16 juin &0:11:07 & &24 juin &0:01:56 & &30 s $\leqslant d < $ 1 min &31 \\ \cline{1-2} \cline{4-5} \cline{7-8} 16 juin &0:01:00 & &24 juin &0:01:35 & &1 min $\leqslant d < $ 2 min &47 \\ \cline{1-2} \cline{4-5} \cline{7-8} 16 juin &0:12:22 & &24 juin &0:00:17 & &2 min $\leqslant d < $ 3 min &21 \\ \cline{1-2} \cline{4-5} \cline{7-8} 16 juin &0:12:48 & &24 juin &0:00:17 & &3 min $\leqslant d < $ 5 min &34 \\ \cline{1-2} \cline{4-5} \cline{7-8} 16 juin &0:07:29 & &24 juin &0:03:32 & &5 min $\leqslant d < $ 10 min &28 \\ \cline{1-2} \cline{4-5} \cline{7-8} 16 juin &0:11:36 & &24 juin &0:00:30 & &10 min $\leqslant d < $ 20 min &19 \\ \cline{1-2} \cline{4-5} \cline{7-8} 16 juin &0:09:28 & &24 juin &0:00:05 & & & \\ \cline{1-2} \cline{4-5} \cline{7-8} 18 juin &0:02:30 & &24 juin &0:02:57 & &nombre total d'appels & 229 \\ \cline{1-2} \cline{4-5} \cline{7-8} 18 juin &0:02:54 & &24 juin &0:01:18 &\multicolumn{3}{c}{} \\ \cline{1-2} \cline{4-5} 19 juin &0:00:10 & &25 juin &0:05:06 & \multicolumn{3}{c}{} \\ \cline{1-2} \cline{4-5} 19 juin &0:05:29 & &25 juin &0:00:04 & \multicolumn{3}{c}{} \\ \cline{1-2} \cline{4-5} 19 juin &0:01:05 & &25 juin &0:00:56 & \multicolumn{3}{c}{} \\ \cline{1-2} \cline{4-5} 19 juin &0:01:21 & &25 juin &0:13:21 & \multicolumn{3}{c}{} \\ \cline{1-2} \cline{4-5} 19 juin &0:00:18 & &26 juin &0:01:22 & \multicolumn{3}{c}{} \\ \cline{1-2} \cline{4-5} \cline{7-8} 19 juin &0:13:58 & &26 juin &0:02:54 & & \multicolumn{2}{c|}{Cadre 3} \\ \cline{1-2} \cline{4-5} \cline{7-8} 20 juin &0:01:08 & &26 juin &0:04:36 & &moyenne = &0:03:11 \\ \cline{1-2} \cline{4-5} \cline{7-8} 20 juin &0:07:59 & &26 juin &0:00:35 & &médiane = & 0:01:36 \\ \cline{1-2} \cline{4-5} \cline{7-8} 20 juin &0:04:31 & &26 juin &0:03:00 & &premier quartile = &0:00:36 \\ \cline{1-2} \cline{4-5} \cline{7-8} 20 juin & 0:04:53 & &26 juin &0:00:16 & &troisième quartile = &0:04:21 \\ \cline{1-2} \cline{4-5} \cline{7-8} 21 juin &0:00:01 & &26 juin &0:01:15 & &minimum = &0:00:01 \\ \cline{1-2} \cline{4-5} \cline{7-8} 21 juin &0:01:53 & &26 juin &0:03:47 & &maximum = &0:14:01 \\ \cline{1-2} \cline{4-5} \cline{7-8} 21 juin &0:01:28 & &26 juin &0:00:30 & &premier décile = &0:00:12 \\ \cline{1-2} \cline{4-5} \cline{7-8} 21 juin &0:01:18 & &27 juin &0:07:28 & &neuvième décile = &0:09:28 \\ \cline{1-2} \cline{4-5} \cline{7-8} 21 juin &0:01:10 & &27 juin &0:11:29 & \multicolumn{3}{c}{} \\ \cline{1-2} \cline{4-5} 21 juin &0:00:34 & &27 juin &0:01:27 & \multicolumn{3}{c}{} \\ \cline{1-2} \cline{4-5} 22 juin &0:00:08 & &27 juin &0:01:00 & \multicolumn{3}{c}{} \\ \cline{1-2} \cline{4-5} 23 juin &0:01:05 & &27 juin &0:00:56 & \multicolumn{3}{c}{} \\ \cline{1-2} \cline{4-5} \multicolumn{3}{c|}{}&28 juin &0:03:39 & \multicolumn{3}{c}{} \\ \cline{4-5} \multicolumn{3}{c|}{}&28 juin &0:03:43 & \multicolumn{3}{c}{} \\ \cline{4-5} \multicolumn{3}{c|}{}&28 juin &0:01:07 & \multicolumn{3}{c}{} \\ \cline{4-5} \multicolumn{3}{c|}{}&29 juin &0:00:20 & \multicolumn{3}{c}{} \\ \cline{4-5} \end{tabular}} \end{center} %%%%%%%%%%%% fin Nouvelle-Calédonie novembre 2002 \newpage %%%%%%%%%%%% Amérique du Sud décembre 2002 \hypertarget{AmduSud}{} \lfoot{\small{Amérique du Sud}} \rfoot{\small{décembre 2002}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~ Baccalauréat Mathématiques--informatique \decofourright\\ Amérique du Sud décembre 2002}}\end{center} \vspace*{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 9 points} \medskip Le graphique donné en annexe 1 représente les coûts de production et les recettes, en milliers d'euros, d'une entreprise, en fonction de la quantité de produit vendu, exprimée en tonnes. Les coûts de production sont représentés par la courbe et les recettes par la droite. En utilisant ce graphique, répondre aux questions suivantes. Les recettes et les coûts seront exprimés en milliers d'euros. \begin{enumerate} \item L'entreprise vend 2 tonnes de marchandises. Quels sont ses recettes et ses coûts de production ? L'entreprise réalise-t-elle un bénéfice ou une perte ? De combien ? \item L'entreprise fait une recette de 200 milliers d'euros. Quelle quantité de marchandise a-t-elle vendue ? Quels sont ses coûts de production ? Est-ce rentable ? \item L'entreprise a des coûts de production de 160 milliers d'euros. Quelle quantité de marchandise a-t-elle vendue ? Quelles sont ses recettes ? Est-ce rentable ? \item \begin{enumerate} \item L'entreprise vend 10 tonnes de marchandises. Quel est son bénéfice ? \item Quelles sont les quantités vendues qui permettent à l'entreprise de réaliser un bénéfice ? \item Quelle quantité, approchée à 0,5 près, doit être vendue pour que l'entreprise réalise un bénéfice maximum ? Quel est alors ce bénéfice ? \end{enumerate} \item En utilisant les résultats précédents, dresser le tableau de variation sur l'intervalle [3 ; 12], de la fonction exprimant le bénéfice en fonction de la quantité de produit vendu. \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 11 points} \medskip L'entreprise \og Bon Fondu \fg{} fabrique des boîtes de fromage fondu, sur un même site. Elle utilise trois machines différentes A, B, C. La fabrication du fromage fondu et le conditionnement sont automatisés. Le service qualité est chargé du suivi statistique de la production afin de garantir au mieux le respect des règles prévues par la législation en vigueur. \vspace{0,5cm} \textbf{Partie A} \medskip La fabrication d'une journée est de \np{10000} tonnes avec la répartition précisée dans le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{| c *{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \multicolumn{5}{|l|}{Tableau \No 1 : les masses sont exprimées en tonnes}\\ \hline Machine & A & B & C & Totaux\\ \hline Boîtes sans défaut & \np{1800} & \np{4500} & \np{2500} & $M$\\ \hline Boîtes avec défauts de fabrication & 180 & 400 & 200 & 780 \\ \hline Boîtes avec défauts de conditionnement& 20 & 100 & 300 & 420 \\ \hline Totaux & $X$ & \np{5000} & \np{3000} & \np{10000}\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer, en justifiant vos calculs, les valeurs de $X$ et de $M$ figurant dans les marges du tableau \No 1 précédent. Dans les questions suivantes, les résultats demandés seront arrondis à $10^{-1}$ près. \item \begin{enumerate} \item Compléter le tableau \No 2, figurant sur la feuille annexe 2, donnant les pourcentages de chaque production par rapport à la production totale. \item Compléter le tableau \No 3, figurant sur la feuille annexe 2, donnant, par colonnes, les pourcentages par rapport à la production de la colonne pour chacune des machines A, B et C. \item Compléter le tableau \No 4 donnant, sur chaque ligne, les pourcentages produits par chaque machine par rapport à la production de la ligne (production sans défaut, avec défauts de fabrication ou, enfin, avec défauts de conditionnement). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Pour la machine A, quel est le pourcentage des boîtes présentant un défaut de fabrication ? \item Pour la machine B, quel est le pourcentage des boîtes sans défaut ? \item Parmi les boîtes sans défaut, quel est le pourcentage des boîtes fabriquées par la machine B ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Partie B} \medskip La masse nette de fromage inscrite sur les boîtes est de 320 grammes. Afin de vérifier que la production est conforme à la déclaration figurant sur les boîtes, le service qualité prélève un échantillon de 20 boîtes produites par la machine B. Les valeurs en grammes, ordonnées, sont les suivantes : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{| *{10}{>{\centering \arraybackslash}X |}} \hline 315,5 & 315,5 & 316 & 321 & 322 & 323 & 323,5 & 323,5 & 324 & 324\\ \hline 324 & 325 & 325,5 & 326 & 326 & 327 & 328,5 & 329 & 329 & 329\\ \hline \end{tabularx} \medskip La moyenne $m$ de cette série statistique est 323,85 et son écart type $\sigma$ est 4,22 \begin{enumerate} \item La production issue d'une machine est considérée comme conforme si au moins 95\:\% des boîtes de l'échantillon ont une masse appartenant à l'intervalle $[m - 2\sigma ,~ m + 2\sigma]$, où $m$ est la moyenne de l'échantillon et $\sigma$ son écart type. La production de la machine B est-elle conforme ? Justifier. \item \begin{enumerate} \item Pour cet échantillon, préciser la médiane, le premier quartile et le troisième quartile. \item Représenter le diagramme en boîte associé à cet échantillon, sur lequel figureront au moins la médiane et les premier et troisième quartiles. \end{enumerate} \end{enumerate} Unité graphique : 1 centimètre par gramme. \newpage \psset{xunit=0.8cm,yunit=0.025cm} \begin{center} \textbf{Annexe 1} \end{center} \vspace{1cm} \begin{center} \begin{pspicture}(13,700) %\psgrid[subgriddiv=1] \multido{\n=10+10}{69}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=.2pt](0,\n)(13,\n)} \multido{\n=0.5+0.5}{26}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=.2pt](\n,0)(\n,700)} \pstextpath[c](1mm,1mm){\psline(13,520)}{Recettes} \psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(13,0) \psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(0,700) %\pstextpath[c](1mm,1mm){\pscurve(0,0)(1,65)(2,100)(3,120)(4,128)(5,130)(6,131)(7,140) %%(8,156)(9,200) %(10,260)(11,350)(12,480)(13,650)}{Coûts de production} \pstextpath[c](1mm,1mm){\psbezier[linecolor=blue](0,0)(1,63)(2,100)(3,120) \psbezier[linecolor=blue](3,120)(4,128.5)(5,130)(6,132) \psbezier[linecolor=blue](6,132)(7,140)(8,156)(9,200) \psbezier[linecolor=blue](9,200)(10,260)(11,350)(12,480) \psbezier[linecolor=blue](12,480)(12.25,520)(12.75,600)(13,650)}{Coûts de production} \uput[d](10,-10){quantités vendues en tonnes} \uput[r](0,690){coûts de production} \uput[r](0,675){et recettes en} \uput[r](0,660){milliers d'euros} \uput[d](1,0){1} \uput[d](5,0){5} \uput[d](10,0){10} \uput[d](13,0){13} \uput[l](0,100){100} \uput[l](0,200){200} \uput[l](0,300){300} \uput[l](0,400){400} \uput[l](0,500){500} \uput[l](0,600){600} \uput[l](0,700){700} \end{pspicture} \end{center} \newpage \begin{center} Feuille annexe 2 À rendre avec la copie \vspace*{2cm} \begin{tabular}{|l| c | c | c | c |} \hline \multicolumn{5}{|l|}{Tableau \No 2 des pourcentages par rapport à l'effectif total}\\ \hline Machine & ~A~ & ~B~ & ~C~ & Totaux \\ \hline Boîtes sans défaut & & & & \\ \hline Boîtes avec défauts de fabrication & & & & \\ \hline Boîtes avec défauts de conditionnement & & & & \\ \hline Totaux & & & & 100\:\%\\ \hline \end{tabular} \vspace{1cm} \begin{tabular}{|l| c | c | c | } \hline \multicolumn{4}{|l|}{Tableau \No 3 des pourcentages par colonnes}\\ \hline Machine & A & B & C \\ \hline Boîtes sans défaut & & & 83,3 \\ \hline Boîtes avec défauts de fabrication & & & 6,7 \\ \hline Boîtes avec défauts de conditionnement & & & 10 \\ \hline Total & 100\:\% &100\:\% &100\:\% \\ \hline \end{tabular} \vspace{1cm} \begin{tabular}{|l| c | c | c | c | } \hline \multicolumn{5}{|l|}{Tableau \No 4 des pourcentages par lignes}\\ \hline Machine & A & B & C & Totaux \\ \hline Boîtes sans défaut &20,5 &51,1 &28,4 &100\:\% \\ \hline Boîtes avec défauts de fabrication &23,1 & & &100\:\% \\ \hline Boîtes avec défauts de conditionnement &4,8 & & &100\:\% \\ \hline \end{tabular} \end{center} %%%%%%%%%% fin Amérique du Sud décembre 2002 \end{document}