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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES  2011~\decofourright \\\vspace{1cm} L'intégrale d'avril à novembre 2011}}
 
\vspace{0,25cm}

Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large \textcolor{blue}{bleus}}
\end{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\Large}X} 
\hyperlink{Pondichery}{Pondichéry 13  avril 2011} \dotfill  \pageref{Pondichery} \\
\hyperlink{AmeriqueNord}{Amérique du Nord 27 mai 2011} \dotfill \pageref{AmeriqueNord} \\
\hyperlink{Liban}{Liban 30 mai 2011} \dotfill \pageref{Liban} \\
\hyperlink{Polynesie}{Polynésie 10 juin 2011} \dotfill \pageref{Polynesie}\\
\hyperlink{Asie}{Asie 21 juin 2011} \dotfill  \pageref{Asie} \\
\hyperlink{Centresetrangers}{Centres étrangers 14 juin 2011} \dotfill \pageref{Centresetrangers}\\
\hyperlink{Antilles}{Antilles-Guyane juin 2011} \dotfill  \pageref{Antilles} \\ 
\hyperlink{LaReunion}{La Réunion juin 2011}  \dotfill \pageref{LaReunion}\\
\hyperlink{Metropole}{Métropole 23 juin 2011} \dotfill\pageref{Metropole} \\
\hyperlink{Antillessept}{Antilles-Guyane septembre 2011} \dotfill \pageref{Antillessept}\\
\hyperlink{Metropolesept}{Métropole septembre 2011} \dotfill \pageref{Metropolesept}\\
\hyperlink{Polynesiesep}{Polynésie septembre 2011} \dotfill \pageref{Polynesiesept}\\
\hyperlink{AmeriqueSud}{Amérique du Sud novembre 2011} \dotfill \pageref{AmeriqueSud}\\
\hyperlink{Caledonienov}{Nouvelle-Calédonie novembre 2011} \dotfill \pageref{Caledonienov}
\end{tabularx}
\newpage
 ~
\newpage
%%%%%%%%%%%%%  Pondichéry 13 avril 2011
\hypertarget{Pondichery}{}

\label{Pondichery}
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small 13 avril 2011} 
\renewcommand \footrulewidth{.2pt} 
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty} 

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Pondichéry 13 avril 2011~\decofourright}} 
\end{center} 

\vspace{0,25cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats} 

\bigskip

Un restaurant propose à sa carte deux types de dessert :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] un assortiment de macarons, choisi par 50\,\% des clients; 
\item[$\bullet~$] une part de tarte tatin, choisie par 30\,\% des clients.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
20\,\% des clients ne prennent pas de dessert et aucun client ne prend plusieurs desserts.

\medskip
 
Le restaurateur a remarqué que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] parmi les clients ayant pris un assortiment de macarons, 80\,\% prennent un café ; 
\item[$\bullet~$] parmi les clients ayant pris une part de tarte tatin, 60\,\% prennent un café; 
\item[$\bullet~$] parmi les clients n'ayant pas pris de dessert, 90\,\% prennent un café.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
On interroge au hasard un client de ce restaurant. On note $p$ la probabilité associée à cette expérience aléatoire.

\medskip
 
On note :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $M$ l'évènement : \og Le client prend un assortiment de macarons \fg{} ; 
\item[$\bullet~$] $T$ l'évènement : \og Le client prend une part de tarte tatin \fg{} ; 
\item[$\bullet~$] $P$ l'évènement : \og Le client ne prend pas de dessert \fg{} ; 
\item[$\bullet~$] $C$ l'évènement: \og Le client prend un café \fg{} et $\overline{C}$ l'évènement contraire de $C$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item En utilisant les données de l'énoncé, préciser la valeur de $p(T)$ et celle de $P_{T}(C)$, probabilité de l'évènement $C$ sachant que $T$ est réalisé. 
\item Recopier et compléter l'arbre ci-dessous: 

\medskip

\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$M$~}\taput{0,5}}
	  { 
		  \TR{$C$}\taput{0,8}
		  \TR{$\overline{C}$}	   
	  }
	\pstree{\TR{$T$~}}
	  {
		  \TR{$C$}
		  \TR{$\overline{C}$}
	  }
	\pstree{\TR{$P$~}}
	  {
		  \TR{$C$}
		  \TR{$\overline{C}$}
	  }	
}
\end{center}

\medskip

\item  
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer par une phrase ce que représente l'évènement $M \cap C$ puis calculer $p(M \cap C)$. 
		\item Montrer que $p(C) = 0,76$.
	\end{enumerate} 
\item Quelle est la probabilité que le client prenne un assortiment de macarons sachant qu'il prend un café? (\emph{On donnera le résultat arrondi au centième}). 
\item Un assortiment de macarons est vendu 6~\euro, une part de tarte tatin est vendue 7~\euro, et un café est vendu 2~\euro.
 
Chaque client prend un plat (et un seul) au prix unique de 18~\euro, ne prend pas plus d'un dessert ni plus d'un café.
 
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les six valeurs possibles pour la somme totale dépensée par un client? 
		\item Reproduire et compléter le tableau ci-dessous donnant la loi de probabilité de la somme totale dépensée par un client :
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline	Sommes $s_{i}$& 18 &20 &24 &\ldots&\ldots&\ldots\\ \hline
$p\left(s_{i}\right)$&0,02&0,18&\ldots&&&\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip 
		\item  Calculer l'espérance mathématique de cette loi et interpréter ce résultat. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats} 

\bigskip

La courbe $\mathcal{C}_{f}$ tracée ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$. 

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] La tangente T à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A(0 ; 3) passe par le point B(1~;~5). 
\item[$\bullet~$] La droite D d'équation $y = 1$ est asymptote horizontale à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au voisinage de $+ \infty$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

\medskip

\psset{unit=1.25cm}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-2,-1)(5.5,5.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=0.8pt](0,0)(-2,-1)(5.5,5.5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1.99,-0.99)(5.5,5.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline[linewidth=1.25pt](-2,1)(5.5,1)
\psplot[linewidth=1.5pt]{-2}{1.25}{2 x mul 3 add}
\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=8000,linecolor=blue]{-2}{5.5}{4 x mul 2 add 2.71828 x exp div 1 add}
\uput[dl](0,0){O}\uput[u](4.8,1.2){\blue $\mathcal{C}_{f}$}\uput[d](4.8,1){D}
\uput[dr](0,3){A}\uput[r](1,5){B}\uput[l](-1.4,0.4){T}
\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant les données et le graphique, préciser : 
	\begin{enumerate}
		\item La valeur du réel $f(0)$ et la valeur du réel $f'(0)$. 
		\item La limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. 
	\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A . 
\item Préciser un encadrement par deux entiers consécutifs de l'aire, en unités d'aire, de la partie du plan située entre la courbe $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 1$. 
\item On admet que la fonction $f$ est définie, pour tout nombre réel $x$, par une expression de la forme $f(x) = 1 + \dfrac{ax + b}{\text{e}^x}$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'expression de $f'(x)$ en fonction de $a$, de $b$ et de $x$. 
		\item À l'aide des résultats de la question 1. a., démontrer que l'on a, pour tout réel $x$ : 

\[f(x) = 1 +  \dfrac{4x+2}{\text{e}^x}.\] 
 
	\end{enumerate}
\item Soit $F$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ par $F(x) = x + \dfrac{- 4x -6}{\text{e}^x}$. On admet que $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$.
 
Déterminer la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près de l'aire, en unités d'aire, de la partie du plan située entre la courbe $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 1$.
 
Ce résultat est-il cohérent avec l'encadrement obtenu à la question 3. ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} 

\bigskip
 
Le responsable d'un site Internet s'intéresse au nombre de pages visitées sur son site chaque semaine.

\medskip
 
\begin{center}\textbf{PARTIE A} \end{center} 

Le tableau ci-dessous donne le nombre de pages visitées, exprimé en milliers, durant chacune des quatre semaines suivant l'ouverture du site.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Semaine $x_{i}, \,\,1 \leqslant i \leqslant 4$& 1 &2 &3 &4\\ \hline% 
Nombre de pages visitées en milliers : $y_{i},\,\,1 \leqslant i \leqslant 4$& 40 &45 &55 &70\\ \hline%  
\end{tabularx}

\medskip

Ainsi, au cours de la deuxième semaine après l'ouverture du site, \np{45000} ~pages ont été visitées.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ associé à cette série statistique est représenté en annexe 1 dans un repère orthogonal. L'allure de ce nuage suggère un ajustement affine. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage puis placer ce point sur le graphique de \textbf{l'annexe 1}. 
		\item On appelle $(d)$ la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. Parmi les deux propositions ci-dessous, une seule correspond à l'équation réduite de la droite $(d)$. Préciser laquelle, en utilisant le point moyen G :
		 
\[y = 9x + 29 \qquad  y = 10x + 27,5\]
 
		\item Tracer la droite $(d)$ sur le graphique de l'annexe 1.
	\end{enumerate} 
\item En supposant que cet ajustement reste valable pendant les deux mois qui suivent l'ouverture du site, donner une estimation du nombre de pages visitées au cours de la huitième semaine suivant l'ouverture du site.
\end{enumerate}
 
\begin{center}\textbf{PARTIE B}\end{center}
 
Le responsable décide de mettre en place, au cours de la quatrième semaine suivant l'ouverture du site, une vaste campagne publicitaire afin d'augmenter le nombre de visiteurs du site.
 
Il étudie ensuite l'évolution du nombre de pages du site visitées au cours des trois semaines suivant cette opération publicitaire. 

Le tableau ci-dessous donne le nombre de pages visitées au cours des sept semaines suivant l'ouverture du site.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Semaine $x_{i}, \,\,1 \leqslant i \leqslant 7$	&1 	&2 	&3 	&4	&5	&6	&7\\ \hline%
Nombre de pages visitées en milliers : 
$y_{i},\,\,1 \leqslant i \leqslant 7$			&40 &45 &55 &70	&95	&125&175\\ \hline%  
\end{tabularx}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Compléter le nuage de points fourni dans \textbf{l'annexe 1} par les trois nouveaux points définis dans le tableau précédent.
 
Compte tenu de l'allure du nuage, un ajustement exponentiel semble approprié.

Pour cela on pose $z = \ln y$.
\item On donne ci-dessous les valeurs de $z_{i} = \ln \left(y_{i}\right)$ pour $1 \leqslant i \leqslant 7$, les résultats étant arrondis au centième.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3.25cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Semaine $x_{i},\,1 \leqslant i \leqslant 7$&1&2&3&4&5&6&7\\ \hline%
$z_{i} = \ln \left(y_{i}\right),\, 1 \leqslant i \leqslant 7$&3,69&3,81&4,01&4,25&4,55&4,83&5,16\\ \hline%
\end{tabularx}

\medskip
  
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés.
		 
On donnera la réponse sous la forme $z = ax + b$, en arrondissant les coefficients $a$ et $b$ au centième. 
		\item En déduire la relation $y = \alpha\text{e}^{\beta x}$, où $27,94$ et $0,25$ sont des valeurs approchées au centième des réels $\alpha$ et $\beta$ respectivement. 
		\item À l'aide de ce nouvel ajustement, donner une estimation du nombre de pages visitées au cours de la huitième semaine suivant l'ouverture du site.
		 
Combien de semaines auraient été nécessaires pour atteindre ce résultat sans campagne publicitaire ? (on utilisera l'ajustement obtenu dans la \textbf{partie A}).
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité} 

\bigskip

Un orchestre doit effectuer une tournée passant par les villes A, B, C, D, E, F, G et H, en utilisant le réseau autoroutier.

\medskip
 
Le graphe $\Gamma$ ci-dessous représente les différentes villes de la tournée et les autoroutes reliant ces villes (une ville est représentée par un point, une autoroute par une arête) :

\begin{center}
\psset{xunit=1.25cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture}(5,7)
\uput[ul](0.5,6.5){A} \uput[r](2.3,5.5){B} \uput[l](1,4.8){C} \uput[ur](2.5,3.4){D} 
\uput[l](0.5,3.3){E} \uput[r](4.8,3){F} \uput[dl](2,0.6){G} \uput[d](3.6,0.2){H}
\pspolygon(0.5,6.5)(2.3,5.5)(2.5,3.4)(4.8,3)(3.6,0.2)(2,0.6)(0.5,3.3)(3.6,0.2)(2.5,3.4)(1,4.8)
\psline(2.3,5.5)(1,4.8)(0.5,3.3) 
\psdots(0.5,6.5)(2.3,5.5)(2.5,3.4)(4.8,3)(3.6,0.2)(2,0.6)(0.5,3.3)(1,4.8)
\end{pspicture}
\end{center} 

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Est-il possible d'organiser la tournée en passant au moins une fois par chaque ville, tout en empruntant une fois et une seule chaque tronçon d'autoroute? (la réponse sera justifiée).
 
Si oui citer un trajet de ce type. 
\item On appelle $M$ la matrice associée au graphe $\Gamma$ (les sommets étant pris dans l'ordre alphabétique). 

On donne la matrice $M^3$ :

\[M^3 = \begin{pmatrix} 

2	&5	& 6& 2& 1& 2& 1& 3\\ 
5	&4	& 6& 7& 3& 2& 2& 3\\ 
6	& 6	& 4& 9& 7& 3& 2& 3\\  
2	&7	& 9& 4& 3& 5& 3& 8\\ 
1	& 3	& 7& 3& 2& 3& 4& 7\\ 
2	& 2	& 3& 5& 3& 2& 2& 5\\ 
1	& 2	& 2& 3& 4& 2& 2& 5\\ 
3	& 3	& 3& 8& 7& 5& 5& 4\\
\end{pmatrix}\] 

Combien existe-t-il de chemins de longueur 3 reliant B à H ? (la réponse devra être justifiée).
 
Préciser ces chemins. 
\item  Des contraintes de calendrier imposent en fait d'organiser un concert dans la ville F immédiatement après un concert dans la ville A.
 
Le graphe $\Gamma$ est complété ci-dessous par les longueurs en kilomètres de chaque tronçon (les longueurs des segments ne sont pas proportionnelles aux distances). 

\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(5,7)
\uput[ul](0.5,6.5){A} \uput[r](2.3,5.5){B} \uput[l](1,4.8){C} \uput[ur](2.5,3.4){D} 
\uput[l](0.5,3.3){E} \uput[r](4.8,3){F} \uput[dl](2,0.6){G} \uput[d](3.6,0.2){H}
\pspolygon(0.5,6.5)(2.3,5.5)(2.5,3.4)(4.8,3)(3.6,0.2)(2,0.6)(0.5,3.3)(3.6,0.2)(2.5,3.4)(1,4.8)
\psline(2.3,5.5)(1,4.8)(0.5,3.3) 
\psdots(0.5,6.5)(2.3,5.5)(2.5,3.4)(4.8,3)(3.6,0.2)(2,0.6)(0.5,3.3)(1,4.8)
%\psgrid
\rput(1.5,6.2){300} \rput(0.5,5.6){500} \rput(1.6,4.9){400} \rput(2.7,4.5){400} 
\rput(1.5,4){100} \rput(0.5,4.1){200} \rput(3.6,3.4){700} \rput(4.5,1.6){200} 
\rput(3.3,2){700} \rput(2.7,0.2){200} \rput(2.1,2.1){300} \rput(1.,1.8){200} 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip
 
Déterminer, en utilisant un algorithme dont on citera le nom, le trajet autoroutier le plus court (en kilomètres) pour aller de A à F.
 
Préciser la longueur en kilomètres de ce trajet. 
 
\end{enumerate} 
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats} 

\bigskip
 
Un laboratoire pharmaceutique fabrique un médicament qu'il commercialise sous forme liquide. Sa capacité journalière de production est comprise entre $25$ et $500$~litres, et on suppose que toute la production est commercialisée.
 
Dans tout l'exercice, les coûts et recettes sont exprimés en milliers d'euros, les quantités en centaines de litres.
\medskip
 
Si $x$ désigne la quantité journalière produite, on appelle $C_{\text{T}}(x)$, pour $x$ variant de $0,25$ à $5$, le coût total de production correspondant.
 
La courbe $\Gamma_{1}$ fournie en \textbf{annexe 2} est la représentation graphique de la fonction $C_{\text{T}}$ sur l'intervalle [0,25~;~5].
 
La tangente à $\Gamma_{1}$ au point A(1~;~1) est horizontale.

\medskip
 
\textbf{PARTIE A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On admet que la recette $R(x)$ (en milliers d'euros) résultant de la vente de $x$ centaines de litres de médicament, est définie sur [0,25~;~5] par 
		
$R(x) = 1,5 x$.
 
Quelle est la recette (en euros) pour $200$~litres de médicament vendus ? 
		\item Tracer, sur le graphique fourni en \textbf{annexe 2}, le segment représentant graphiquement la fonction $R$.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Lectures graphiques}

\medskip
 
\emph{Les questions a., b., c. suivantes seront résolues à l'aide de lectures graphiques seulement. On fera apparaître les traits de construction sur le graphique en annexe $2$.\\ 
Toute trace de recherche même non aboutie sera prise en compte.}

\medskip
 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer des valeurs approximatives des bornes de la \og plage de rentabilité \fg, c'est-à-dire de l'intervalle correspondant aux quantités commercialisées dégageant un bénéfice positif. 
		\item Donner une valeur approximative du bénéfice en euros réalisé par le laboratoire lorsque $200$~litres de médicament sont commercialisés. 
		\item Pour quelle quantité de médicament commercialisée le bénéfice paraît-il maximal ? 
		
À combien peut-on évaluer le bénéfice maximal obtenu? 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip
 
Dans la suite de l'exercice, on admet que la fonction coût total $C_{\text{T}}$ est définie sur l'intervalle [0,25~;~5] par 

\[C_{\text{T}}(x) = x^2 - 2x \ln (x).\]

\smallskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que le bénéfice, en milliers d'euros, réalisé par le laboratoire pour $x$ centaines de litres commercialisés, est donné par : 

\[B(x) = 1,5x - x^2 + 2x \ln (x).\]
 
Calculer $B(2)$, et comparer au résultat obtenu à la question 2. b. de la \textbf{partie A}. 
\item On suppose que la fonction $B$ est dérivable sur l'intervalle [0,25~;~5] et on note $B'$ sa fonction dérivée. Montrer que $B'(x) = 2\ln (x) - 2x + 3,5$. 
\item On donne ci-dessous le tableau de variation de la fonction $B'$, dérivée de la fonction $B$, sur l'intervalle [0,25~;~5] :

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,2.5)
\psframe(8,2.5) \psline(0,2)(8,2)
\psline(2,0)(2,2.5) 
\psline{->}(2.5,0.5)(4.5,1.5)\psline{->}(5.5,1.5)(7.5,0.5)
\uput[u](1,1.9){$x$}  \uput[u](2.35,1.9){$0,25$}  \uput[u](5,1.9){$1$}  \uput[u](7.8,1.9){$5$}
\rput(1,1){$B'(x)$}  \uput[u](2.2,0){$y_{1}$}\uput[d](5,2){1,5} \uput[u](7.8,0){$y_{2}$} 
\end{pspicture}
\end{center} 

\medskip

On précise les encadrements : $0,22 < y_{1} < 0,23$ \quad  
et $- 3,29 < y_{2} < - 3,28$.  
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que l'équation $B'(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle [0,25~;~5].
		 
\emph{Pour la suite de l'exercice, on prendra $2,77$ pour valeur approchée de } $\alpha$. 
		\item Dresser le tableau précisant le signe de $B'(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle [0,25~;~5].
		 
En déduire le tableau de variations de la fonction $B$ sur l'intervalle [0,25~;~5].
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour quelle quantité de médicament commercialisée, le bénéfice est-il maximal ? (On donnera une valeur approchée de cette quantité en litres). Donner alors une valeur approchée en euros de ce bénéfice maximal. 
		\item Ces résultats sont-ils cohérents avec ceux obtenus graphiquement à la question 2. c. de la partie A ? 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE 1}

\textbf{Exercice 3}

 
\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\textbf{À rendre avec la copie}

\vspace{0,7cm}

\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,0)(8.5,190)
\multido{\n=0.0+0.5}{18}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,190)}
\multido{\n=0+5}{39}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(8.5,\n)}
\multido{\n=10+20}{9}{\uput[l](0,\n){\n}}
\psdots[dotstyle=+,dotscale=2](1,40)(2,45)(3,55)(4,70)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=1000](0,0)(0,0)(8.5,190)
\uput[r](0,193){$y_{i}$ : nombre de pages visitées (en milliers)}
\uput[u](7,0){$x_{i}$ : rang de la semaine}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture} 

\end{center}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE 2}

\textbf{Exercice 4}

\textbf{À rendre avec la copie} 

\vspace{1.5cm}

\psset{unit=1.7cm}
\begin{pspicture}(-0.75,-0.5)(6,9.75)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](6,10)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,0)(6,9.75)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(0,0)(6,9.75)
\uput[r](0,10){Coût total (en millier d'euros)}
\uput[u](4.75,0.2){\small Volume du médicament produit}
\uput[u](4.75,0){\small(en centaines de litres)}
\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.25}{5}{x dup mul x ln x mul 2 mul sub}
\psline[linewidth=1.25pt]{<->}(0.2,1)(1.8,1)
\psdots(1,1)(5,8.905) \uput[r](4.75,7.75){\blue $\Gamma_{1}$}\uput[u](1,1){A}
\uput[u](5.9,0){$x$}\uput[l](0,9.5){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%  fin Pondichéry avril 2011
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%  Amérique du Nord 27 mai 2011
\hypertarget{AmeriqueNord}{}

\label{AmeriqueNord}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{27 mai  2011}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Amérique du Nord  27 mai  2011~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
\emph{L'exercice suivant est un Q. C. M. (questionnaire à choix multiples) Pour chaque proposition choisir l'unique bonne réponse sachant qu'une bonne réponse rapporte un point et que l'absence de réponse ou une réponse fausse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}
 
\emph{Aucune justification n'est demandée.}

\bigskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : 

\[f(x) = x\text{e}^{-x}.\]
 
La courbe représentative de $f$ est tracée dans le repère ci-dessous : 

\medskip

\psset{unit=1.5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-1.1,-2.2)(5.3,2.3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](-1,-2)(6,2)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1,-2)(5.2,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[u](5.2,0){$x$}\uput[r](0,1.9){$y$} \uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.85}{5.2}{x 2.71828 x exp div}
\end{pspicture*}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Pour tout réel $x,\, f'(x)$ est égale à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}~~ $- \text{e}^{- x}$ &\textbf{b.}~~ $\text{e}^{- x}$ &\textbf{c.}~~ $(1 - x)\text{e}^{- x}$\\
\end{tabularx}
\medskip

\item  La tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse 0 a pour équation :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}~~ $y = x$&\textbf{b.}~~ $y = 2x$ &\textbf{c.}~~ $y = -x$\\
\end{tabularx}
\medskip 

\item  Une primitive $F$ de $f$ est définie sur $\R$ par :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}~~ $F(x) = \dfrac{1}{2}x^2 \text{e}^{- x}$&\textbf{b.}~~  $F(x) = - (1 + x)\text{e}^{- x}$&\textbf{c.}~~ $F(x)= - x\text{e}^{- x}$ \\
\end{tabularx}
\medskip 

\item  La valeur de $\displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}~~ négative&\textbf{b.}~~  inférieure à 1&\textbf{c.}~~ supérieure à 3\\
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

Le glacier d'Aletsch, classé à l'UNESCO, est le plus grand glacier des Alpes, situé dans le sud de la Suisse, il alimente la vallée du Rhône.
 
Pour étudier le recul de ce glacier au fil des années, une première mesure a été effectuée en 1900 : ce glacier mesurait alors $25,6$~km.
 
Des relevés ont ensuite été effectués tous les 20~ans : le recul du glacier est mesuré par rapport à la position où se trouvait initialement le pied du glacier en 1900.

Les mesures successives ont été relevées dans le tableau ci-dessous. 
On note $t$ la durée, en années, écoulée depuis 1900, et $r$ le recul correspondant, mesuré en kilomètres. 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année de mesure :& 1900 &1920 &1940 &1960 &1980 &2000\\ \hline
Durée $t$ écoulée (depuis 1900): &0 &20 &40 &60 &80 &100\\ \hline 
Recul $r$ (en km) : &0 &0,3 &0,6 &1 &1,6 &2,3\\ \hline
\multicolumn{7}{r}{Mesures déduites de : The Swiss Glaciers,}\\
\multicolumn{7}{r}{Yearbooks of the Glaciological Commission of the Swiss}
\end{tabularx}

\medskip
 
Par exemple, en 1940 ($t = 40$), le recul du glacier par rapport à 1900 a été de 0,6~km : la longueur du glacier était donc de $25,6 - 0,6 = 25$km.

\medskip
 
\textbf{Dans cet exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, à \boldmath $10^{-3}$ près.}

\medskip
 
\textbf{Partie A} Étude d'un modèle affine 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer le nuage de points dans le repère donné en annexe (Durée $t$ en abscisse, distance $r$ en ordonnée). 
\item À l'aide de la calculatrice, donner l'équation de la droite d'ajustement affine par la méthode des moindres carrés de $r$ en fonction de $t$, puis tracer cette droite dans le repère précédent. 
\item À partir du modèle affine obtenu précédemment, estimer par le calcul : 
	\begin{enumerate}
		\item Le recul puis la longueur du glacier en 2011. 
		\item L'année de disparition du glacier (arrondir à l'unité).
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B} 	Utilisation d'un modèle exponentiel

\medskip
 
Le résultat du \textbf{3. b.} de la partie A étant peu en accord avec la plupart des autres études, les glaciologues considèrent un autre modèle : le modèle exponentiel. 

\medskip

On pose $y = \ln (r)$. On rappelle que $\ln (r)$ désigne le logarithme népérien du recul $r$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Recopier puis compléter le tableau suivant sur votre copie (pour permettre le calcul de $y$, la durée 0 de l'année 1900 a été exclue du tableau.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Durée $t$ (à partir de 1900) 	&20 &40 &60 &80 &100\\ \hline 
$y = \ln (r)$					&	&	&	&	&\\ \hline 
\end{tabularx}

\item
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la calculatrice, donner l'équation de la droite d'ajustement affine par la méthode des moindres carrés de $y$ en fonction de $t$. 
		\item Déduire que $r(t) = \text{e}^{0,025 t - 1,599}$.
	\end{enumerate} 		 
\item En utilisant le modèle obtenu précédemment, estimer par le calcul : 
	\begin{enumerate}
		\item Le recul puis la longueur du glacier en 2011. 
		\item L'année de disparition du glacier (arrondir à l'unité).
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip 

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, à $10^{-3}$ près. 

\medskip

On rappelle que si $A$ et $B$ sont deux évènements d'un ensemble probabiliste, avec $A$ de probabilité non nulle, la probabilité de $B$ sachant $A$ est le réel noté $P_{A}(B)$.

\medskip
 
\emph{L'asthme est une maladie inflammatoire chronique des voies respiratoires en constante augmentation.\\ 
En France les statistiques font apparaître que, parmi les adultes, environ $4$\,\% des hommes et $5$\,\% des femmes sont asthmatiques.} 

\medskip

Dans la population française, on considère l'ensemble des couples homme-femme.

\medskip
 
\textbf{Partie A} Étude de l'état d'asthme du couple

\medskip
 
On note : 
\begin{description}
\item[ ] $H$ l'évènement : \og L'homme est asthmatique \fg,
\item[ ] et $F$ l'évènement : \og La femme est asthmatique \fg.
\end{description}

\parbox{0.62\textwidth}{On admet que les évènements $H$ et $F$ sont indépendants. 
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter  l'arbre de probabilités ci-contre. 
\item On note les évènements :
 
$A$ : \og Aucun des deux adultes du couple n'est asthmatique \fg

$B$ : \og Un seul des deux adultes du couple est asthmatique \fg 

$C$ : \og Les deux adultes du couple sont asthmatiques \fg
 
Montrer que : $P(A) = 0,912$  ;

$P(B) = 0,086 \quad ; \quad  P(C) = 0,002$.
\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.34\textwidth}{
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$H$~}}
		{
		\TR{$F$}
		\TR{$\overline{F}$}
 		}
	\pstree{\TR{$\overline{H}$~}}
		{
		\TR{$F$}
		\TR{$\overline{F}$}
 		}
}
\end{center}}

\bigskip

\textbf{Partie B} 	Étude de la transmission de l'asthme au premier enfant 

\medskip

Les études actuelles sur cette maladie montrent que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Si aucun des parents n'est asthmatique, la probabilité que leur enfant soit asthmatique est de $0,1$. 
\item[$\bullet~~$] Si un seul des parents est asthmatique, la probabilité que leur enfant soit asthmatique est de $0,3$. 
\item[$\bullet~~$] Si les deux parents sont asthmatiques, la probabilité que leur enfant soit asthmatique est de $0,5$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\parbox{0.62\textwidth}{On note E l'évènement: \og Le premier enfant du couple est asthmatique \fg.
\begin{enumerate}
\item Reproduire sur votre copie puis compléter l'arbre de probabilités ci-contre. 
\item Montrer que $P(\text{E}) = 0,118$. 
\item Calculer $P_{\text{E}}(\text{A})$ et interpréter le résultat.
 
Déduire $P_{\text{E}}\left(\overline{\text{A}}\right)$ et interpréter le résultat. 
\item  Quelle est la probabilité qu'un enfant non asthmatique ait au moins un de ses parents asthmatiques ? 

(\textbf{Indication :} on pourra chercher à calculer l'évènement contraire) 
\end{enumerate}}\hfill
\parbox{0.34\textwidth}{
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$A$~}}
		{
		\TR{$E$}
		\TR{$\overline{E}$}
 		}
	\pstree{\TR{$B$~}}
		{
		\TR{$E$}
		\TR{$\overline{E}$}
 		}
	\pstree{\TR{$C$~}}
		{
		\TR{$E$}
		\TR{$\overline{E}$}
 		}
}
\end{center}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip 

\textbf{Partie A} 	Étude d'un site

\medskip
 
\parbox{0.68\textwidth}{Un site internet comporte 8 pages, notées A, B, C, D, E, F, G, H reliées entre elles suivant le graphe ci-contre.
 
Ainsi, par exemple, à partir de la page A on peut directement 
accéder aux pages B, C et D.
 
Par contre, la page A ne permet pas d'accéder directement à la page~F.
 
\begin{enumerate}
\item Le technicien souhaite tester les liens de pages. En partant de la page A, est-il possible de trouver un parcours passant une seule fois par tous les liens de pages ? Justifier la réponse. 
\item Pour marquer les changements de page, l'administrateur du site souhaite que deux pages reliées aient des couleurs différentes.
 
On note $N$ le nombre minimum de couleurs nécessaires. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner un sous-graphe complet d'ordre maximal. 
		\item En utilisant la question 2. a. et à l'aide d'un algorithme, montrer, que $N = 3$.	\end{enumerate}\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.29\textwidth}{\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(5,5)
\psset{radius=.3cm,linewidth=0.75pt}
\rput{0}(2.5,2.5){\multido{\rA=90+51.4268,\n=0+1}{7}{\Cnode(2.5;\rA){S\n}}}
\Cnode(2.5,3){S7} 
\rput(S0){\small{A}}\rput(S1){\small{B}}\rput(S2){\small{E}}\rput(S3){\small{G}} \rput(S4){\small{H}} \rput(S5){\small{F}} \rput(S6){\small{D}} \rput(S7){\small{C}}
\ncline{S0}{S1}\ncline{S1}{S2}  \ncline{S2}{S3}  \ncline{S3}{S4}  \ncline{S4}{S5} \ncline{S5}{S6}  \ncline{S6}{S0}    
 \ncline{S7}{S0}   \ncline{S7}{S1}   \ncline{S7}{S2}  \ncline{S7}{S6} 
  \ncline{S2}{S5}  \ncline{S3}{S5} \end{pspicture}}

\medskip
\textbf{Partie B} 	Étude de propagation d'un virus d'un site à l'autre

\medskip
 
Le  site précédent, appelé site \no 1, propose un unique lien vers un site partenaire, appelé Site \no 2, sans retour possible. De même, le site \no 2 propose un unique lien vers un site \no 3, sans retour possible et ainsi 
de suite ... (voir le schéma ci-dessous) :
 
Site \no 1 $\longrightarrow$ Site \no 2 $\longrightarrow$ Site \no 3 $\longrightarrow$ ... $\longrightarrow$ Site \no $n$ $\longrightarrow$ Site \no $n+1$  ... 

Le site \no 1 vient d'être infecté par un virus informatique qui utilise les liens entre les sites pour essayer de se propager, les autres sites n'étant pas encore touchés.
 
Face à ce nouveau virus, les antivirus ne sont efficaces qu'à 80\,\%. On note : 
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item V l'état \og le site est infecté par le virus \fg 
\item S l'état \og le site est sain (non infecté par le virus) \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
On a dessiné ci-dessous le graphe probabiliste traduisant les risques de propagation du virus d'un site au suivant :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,2)
%\psgrid
\cnodeput(1.5,1){A}{V}\cnodeput(3.5,1){B}{S}
\rput{90}{\nccircle{->}{A}{0.6}}\rput{-90}{\nccircle{->}{B}{0.6}}\ncarc[arcangle=40]{->}{A}{B} \ncarc[arcangle=40]{->}{B}{A}
\rput(2.5,0.4){$0$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier la valeur $0$ indiquée sur le graphe probabiliste précédent, puis recopier et compléter ce graphe sur votre copie.
\item Préciser la matrice de transition $M$ de ce graphe (première ligne pour V, deuxième ligne pour S)

Pour tout entier naturel non nul $n$, on note :

$P_{n}$ la probabilité que le $n$-ième site soit infecté, $Q_{n}$ la probabilité que le $n$-ième site soit sain et $X_{n} = \left(P_{n} \quad Q_{n}\right)$.

On a donc $X_{1} = (1\quad 0)$ (traduisant que le site \no 1 est infecté) et $X_{n+1} = X_{n}~M$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant la relation $X_{n+1} = X_{n}M$, montrer que $P_{n+1} = 0,2P_{n}$.
		\item En déduire $P_{n}$ en fonction de $n$.
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(P_{n}\right)$ lorsque $n$ tend vers plus l'infini.
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 
 
Un supermarché souhaite acheter des fruits à un fournisseur.
 
Ce fournisseur propose des prix au kilogramme, dégressifs en fonction du poids de fruits  commandé.
 
Pour une commande de $x$ kilogrammes de fruit, le prix $P(x)$ en euros du kilogramme de fruits est donné par la formule :

\[ P(x) = \dfrac{x + 300}{x + 100}	\quad \text{pour}\,  x \in  [100~;~+\infty[.\]
 
Par exemple si le supermarché achète $300$~kilogrammes de fruits, ces fruits lui sont vendus $P(300) = \dfrac{600}{400} = 1,50$~euros le kilogramme.
 
Dans ce cas, le supermarché devra payer $300 \times 1,5 = 450$~euros au fournisseur pour cette commande.

\medskip
 
\textbf{Partie A} Étude du prix $P$ proposé par le fournisseur

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer 	$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} P(x)$. 
\item Montrer que $P'(x) = - \dfrac{200}{(x + 100)^2}$ sur $[100~;~+ \infty[$. 
\item Dresser le tableau de variations de la fonction $P$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B} Étude de la somme $S$ à dépenser par le supermarché 

\medskip

On appelle $S(x)$ la somme en euros à dépenser par le supermarché pour une commande de $x$ kilogrammes de fruits (ces fruits étant vendus par le fournisseur au prix de $P(x)$ euros par kilogramme).
 
Cette somme est donc égale à $S(x) = xP(x)$ pour $x \in  [100~;~+ \infty[$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} S(x)$.  
\item Montrer que pour tout $x$ appartenant à $[100~;~+ \infty[$ : $S'(x) = \dfrac{x^2 + 200x + \np{30000}}{(x + 100)^2}$. 
\item Montrer que pour tout $x$ appartenant à $[100~;~+ \infty[$ :

 $S(x) = x + 200 - \np{20000} \times \dfrac{1}{x + 100}$. 
\item En déduire une primitive $T$ de $S$ sur $[100~;~+ \infty[$ . 
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{Partie C } Étude de différentes situations

\medskip
 
Les questions suivantes peuvent être traitées indépendamment les unes des autres. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le magasin dispose d'un budget de 900~euros pour la commande de fruits.
 
Préciser, au kilogramme près, le poids maximum de fruits que le magasin peut commander sans dépasser son budget. On justifiera la réponse. 
\item  On rappelle que la valeur moyenne $M$ d'une fonction $f$ définie et continue sur un intervalle $[a~;~b]$ est donnée par la formule $\dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x$. 

Le supermarché estime acheter régulièrement entre 400 et 600~kilogrammes de fruits à ce fournisseur.
 
Déterminer la valeur moyenne de $S$ sur [400~;~600] et donner le résultat arrondi à l'unité. 
\end{enumerate} 

\newpage

\begin{center}\textbf{ANNEXE \\(à rendre avec la copie)}

\vspace{2cm}

\begin{flushleft} 
\textbf{Exercice 2} \end{flushleft} 

\vspace{2cm}

\psset{xunit=0.075cm,yunit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-10,-0.5)(170,3.5)
\uput[u](145,0){Durée (à partir de 1900)}
\uput[u](11,3.5){Recul (mesuré en km)}\uput[dl](0,0){O}
\multido{\n=0+10}{18}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,3.5)}
\multido{\n=0+0.5}{8}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(170,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20]{->}(0,0)(0,0)(170,3.5)
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%  fin Amérique du Nord 27 mai 2011
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%  Liban 31 mai 2011
\hypertarget{Liban}{}

\label{Liban}
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{30 mai 2011}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES  Liban 30  mai 2011~\decofourright}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

\emph{Cet exercice constitue un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, indiquer sur votre copie le numéro de la question et la seule réponse exacte.\\ 
Barème : Une réponse correcte rapporte $1$ point, une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève ni ne rapporte aucun point.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = \ln \left(1 - x^2\right)$. On note $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé. 
	\begin{enumerate}
		\item L'ensemble de définition de la fonction $f$ est :
		
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{$\bullet~~$}X}} 
$]0~;~+\infty[$	& $[-1~;~1]$	& $]-1~;~1[$ 	&$]1~;~+ \infty[$\\
\end{tabularx}

\medskip 
		\item Le point de $\mathcal{C}_{f}$ d'abscisse $\dfrac{1}{2}$ a pour ordonnée:
		
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{$\bullet~~$}X}}		
$\ln \left(\dfrac{1}{2}\right)$&$\ln 1 - \left(\dfrac{1}{4}\right)$ &$\ln 3 - 2\ln 2$&$\np{- 0,2876820725}$\\
\end{tabularx}

\medskip  
 
	\end{enumerate}
\item On considère à présent la fonction $g$ définie sur $]1~;~+\infty[$ par $g(x) = \ln (\ln x)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Sur $]1~;~+\infty[$, l'inéquation $g(x) > 0$ admet comme ensemble de solutions :
		
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{$\bullet~~$}X}}		 
$]1~;~\text{e}[$& $]1~;~+\infty[$& $]\text{e}~;~+\infty[$ &$[\text{e}~;~+\infty[$
\end{tabularx}

\medskip  
		\item Sur $]1~;~+\infty[$, l'expression de la dérivée de la fonction $g$ est égale à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{$\bullet~~$}X}}			
$\dfrac{1}{\ln x}$&$\dfrac{1}{x} \times \dfrac{1}{x}$ &$x$&$\dfrac{1}{x \ln x}$ 
\end{tabularx}

\medskip 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

On rappelle que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Le taux d'emploi d'une classe d'individus est calculé en rapportant le nombre d'individus de la classe ayant un emploi au nombre total d'individus dans la classe. 
\item[$\bullet~~$] Un individu âgé de 55 ans à 64 ans est appelé un \og senior \fg. 
\item[$\bullet~~$] UE désigne l'Union européenne.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
Selon un rapport de l'INSEE :
 
\og Le taux d'emploi des personnes âgées de 55 à 64 ans est considéré comme un levier privilégié pour limiter l'exclusion de ces personnes du marché du travail et maîtriser les dépenses de retraites.

En 2008, il est de 45,6\,\% dans l'UE, mais seulement de 38,3\,\% en France alors que l'objectif de l'UE comme de la France est d'atteindre 50\,\% en 2010. \fg

\medskip
 
Le but de l'exercice est de vérifier si la France a atteint l'objectif visé par l'UE.
 
Dans tout l'exercice, le taux d'emploi sera exprimé en pourcentage. Les valeurs approchées seront arrondies au dixième.

\medskip
 
\textbf{Partie A} 	Étude statistique et interpolation de données

\medskip
 
Le tableau ci-dessous indique le taux d'emploi des seniors en France entre 1992 et 1998 : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année					&1992&1993&1994&1995&1996 &1997 &1998\\ \hline  
Rang de l'année $x_{i}$	& 0		& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ \hline  
Taux d'emploi des seniors en \,\% $y_{i}$&29,8 &29,7 &29,6 &29,6 &29,4 &29 &28,3\\ \hline 
\multicolumn{8}{r}{\emph{Source : INSEE, Eurostat}}\\ 
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer, en utilisant la calculatrice, l'équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. 
\item Selon cet ajustement, déterminer le taux d'emploi des seniors en 1999. 
\item Selon cet ajustement, déterminer si la France a atteint l'objectif fixé en 2010.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B} Interpolation de données à l'aide d'un second modèle

\medskip
 
Le taux d'emploi des séniors en France est en réalité de 28,8\,\% en 1999 et on admet qu'à partir de l'année $2000 + n$, il est donné par l'expression $29,9 \times 1,037^n$ où $n$ désigne un entier naturel. Selon ce modèle, déterminer :

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Le taux d'emploi des seniors en 2010. 
\item À partir de quelle année, la France aura atteint son objectif. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C} 	Extrapolation de données selon un troisième modèle

\medskip
 
Le tableau ci-dessous indique le taux d'emploi des seniors en France entre 2001 et 2009 :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 					&2001 	&2002 	&2003 	&2004 	&2005 	&2006 	&2007 	&2008 	&2009\\ \hline 
Rang de l'année $x_{i}$	&9 		&10 	&11 	&12 &13 &14 &15 &16 &17\\ \hline 
Taux d'emploi des seniors
 en \,\%  $y_{i}$		&31,9 	&34,7 	&37 &37,8 &38,5 &38,1 &38,2 &38,2 &38,9\\ \hline
\multicolumn{10}{r}{\emph{Source : INSEE, Eurostat}}\\ 
\end{tabularx}

\medskip 
 
Désormais, à partir de 2001, on choisit un modèle logarithmique et on admettra qu'à partir de 2001, le taux d'emploi des seniors est donné par la fonction $f$ définie sur $[9~;~+ \infty[$ par
 
\[f(x) = a \ln (x + 1) + b \,\,\text{où}\, a\,\, \text{et}\, b\, \text{désignent deux nombres réels}.\]

\smallskip
 
\begin{enumerate}
\item En considérant les années 2001 et 2006, écrire le système d'équations que doivent vérifier $a$ et~$b$. 
\item En déduire que $a = \dfrac{6,2}{\ln 1,5}$.
 
Dans la suite, on admettra que $a = 15,3$ et $b = -3,3$. 
\item Selon ce modèle, déterminer à partir de quelle année, la France aura atteint son objectif. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

On considère les fonctions $f, g$ et $h$ définies sur $\R$ par

\[f(x) = \text{e}^{- x},\quad  g(x) = - x + 1\quad  \text{et} \quad  h(x) = f(x) - g(x).\]
 
On note $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ et $\Delta$ la droite représentant la fonction $g$ dans un repère orthonormé du plan.

\bigskip 
 
\textbf{Partie A} 	Position relative de $\mathcal{C}_{f}$ et de l'une de ses tangentes.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Vérifier, par le calcul, que la tangente à $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $0$ est la droite $\Delta$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout $x \in  \R,\, h'(x) = 1 - \text{e}^{- x}$. 
		\item Étudier le signe de $h'(x)$ suivant les valeurs de $x$. 
		\item En déduire le sens de variation de la fonction $h$ sur $\R$.
	\end{enumerate} 
\item En utilisant les questions 1. et 2., étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et de sa tangente au point d'abscisse $0$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}  Calcul d'aire 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\displaystyle\int_{0}^1 h(x)\:\text{d}x = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{\text{e}}$. 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même non aboutie sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Soit $a$ un nombre réel vérifiant $a > 1$. On appelle D le domaine colorié sur le graphique en \textbf{annexe}.

On note $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine D. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer en fonction de $a$ la valeur de $\mathcal{A}$. 
		\item Déterminer la limite de $\mathcal{A}$ lorsque $a$ tend vers $+ \infty$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip
 
On rappelle que pour tout évènement $A$ et $B$ d'un univers :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] l'évènement \og $A$ et $B$ \fg{} est noté $A~\cap~B$, 
\item[$\bullet~~$] la probabilité de l'évènement $A$ est notée $P(A)$, 
\item[$\bullet~~$] si $P(A) \neq 0$, alors la probabilité conditionnelle de $B$ sachant $A$ est notée $P_{A}(B)$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
Lors de l'année de terminale ES, les trois quarts des élèves travaillent sérieusement tout au long de l'année scolaire.
 
Un candidat au baccalauréat ES a une probabilité de $0,9$ d'obtenir son bac s'il a travaillé sérieusement et une probabilité de $0,2$ s'il n'a pas travaillé sérieusement pendant l'année scolaire.

Un candidat est dit surpris s'il est admis alors qu'il n'a pas travaillé sérieusement pendant l'année scolaire ou bien s'il est refusé et qu'il a travaillé sérieusement pendant l'année scolaire. On note :

\medskip

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $T$ l'évènement \og le candidat a travaillé sérieusement \fg 
\item[$\bullet~~$] $A$ l'évènement \og le candidat est admis au baccalauréat ES \fg 
\item[$\bullet~~$] $S$ l'évènement \og Le candidat est surpris \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
On interroge au hasard un candidat au baccalauréat ES.
 
Dans tout l'exercice, on donnera des valeurs approchées arrondies au millième.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré traduisant les données de l'énoncé. 
\item Déterminer la probabilité des évènements suivants :
	\begin{enumerate}
		\item $T ~\cap~ A$ 
		\item $T ~\cap~\overline{A}$
		\item $\overline{T}~\cap~ A$ 
		\item $\overline{T}~\cap~\overline{A}$
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité que le candidat interrogé soit admis. 
		\item Le candidat est admis. Déterminer la probabilité que ce candidat ait travaillé sérieusement pendant l'année scolaire.
	\end{enumerate} 
\item Démontrer que la probabilité de l'évènement $S$ est $0,125$. 
\item On interroge trois élèves au hasard. Calculer la probabilité qu'au moins un élève soit surpris ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

En 2010, les clients d'une banque nationale se répartissent en deux catégories distinctes :

\setlength\parindent{5mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item[$\bullet~~$] Catégorie A, composée des clients d'agence 
\item[$\bullet~~$] Catégorie I, composée des clients internet 
\end{enumerate}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

En 2010, 92\,\% des clients sont des clients d'agence et 8\,\% des clients sont des clients internet.
 
On admet que chaque année, 5\,\% des clients d'agence deviennent clients internet et inversement 1\,\% des clients internet deviennent clients d'agence.
 
On suppose que le nombre de clients de la banque reste constant au cours du temps et qu'un client ne peut faire partie des deux catégories.

\medskip
 
On s'intéresse à l'évolution de la répartition des clients de cette banque dans les années à venir.

\medskip
 
On note pour tout entier naturel $n$ : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $a_{n}$ la probabilité qu'un client de la banque, pris au hasard, soit un client d'agence à l'année $2010 + n$, 
\item[$\bullet~~$] $i_{n}$ la probabilité qu'un client de la banque, pris au hasard, soit un client internet à l'année $2010 + n$, 
\item[$\bullet~~$] $P_{n} = \left(a_{n} \quad  i_{n}\right)$ la matrice correspondant à l'état probabiliste de l'année \mbox{$2010 + n$}.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

On note $M$ la matrice de transition, telle que pour tout entier naturel $n,$
$P_{n+1} = P_{n} \times  M$.

\bigskip
 
\textbf{Partie A}  État stable d'un graphe probabiliste

\medskip
 
Dans cette partie, on donnera des valeurs approchées arrondies au centième.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer le graphe probabiliste correspondant à cette situation. 
\item Donner $P_{0}$ la matrice traduisant l'état probabiliste initial.
 
On admettra que $M = \begin{pmatrix}
0,95& 0,05\\
0,01& 0,99\\
\end{pmatrix}$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la matrice $P_{1}$. 
		\item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, la répartition des clients de la banque en 2015.
	\end{enumerate}		 
\item Déterminer, par le calcul, l'état stable de la répartition des clients.
 
Interpréter le résultat. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}  Étude de la limite d'une suite récurrente

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la relation $P_{n+1} = P_{n} \times M$, exprimer $a_{n+1}$ en fonction de $a_{n}$ et $i_{n}$.
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n,\, a_{n+1} = 0,94a_{n} + 0,01$.
	\end{enumerate}
\item On définit la suite $\left(u_{n}\right)$ par $u_{n} = a_{n} - \dfrac{1}{6}$ pour tout entier naturel $n$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite, géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
		\item En déduire l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$.
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n,\, a_{n} = \dfrac{113}{150}\times 0,94^n + \dfrac{1}{6}$.
		\item Déterminer la limite de la suite $a_{n}$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$. Interpréter le résultat.
	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE}

\vspace{1cm}

\begin{flushleft}\textbf{Exercice  3}\end{flushleft} 

\vspace{1cm}

\psset{xunit=2.7cm,yunit=4cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.4)(3.8,1.6)
\psplot[linewidth=1.25pt]{-0.5}{1.25}{1 x sub}
\multido{\n=-0.5+0.5}{9}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,1.6)}
\multido{\n=0.0+0.2}{9}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](-0.5,\n)(3.8,\n)}
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5,Dy=0.2,comma=true](0,0)(-0.49,0)(3.8,1.6)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.2,comma=true]{->}(0,0)(1,1)
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2.8}{2.71828  x neg exp}
\psline(2.8,0)(1,0)(0,1)}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.47}{3.8}{2.71828  x neg exp}
\uput[u](3.28,0.05){\blue $\mathcal{C}_{f}$}\uput[dl](-0.5,1.5){$\Delta$}
\uput[d](3.8,0){$x$}\uput[r](0,1.5){$y$}\uput[dl](0,0){O}\uput[d](2.8,-0.05){$a$}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%  fin Liban 30 mai 2011
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%  Polynésie 10 juin 2011
\hypertarget{Polynesie}{}

\label{Polynesie}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{10 juin 2011}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{{\decofourleft~Baccalauréat ES  Polynésie 10 juin 2011 \decofourright}}}
\end{center}

\subsection*{{Exercice 1 \hfill 4 points}}

\emph{Commun à tous les candidats.}

\medskip
 
Soit $f$ une fonction définie sur l'ensemble $]- \infty~;~1[\, \cup\, ]1~;~+ \infty[$.
 
On note $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal.
 
On suppose que $f$ est dérivable sur chacun des intervalles $]- \infty~;~1[$ et $]1~;~+ \infty[$ et on note $f'$ la fonction dérivée de $f$.
 
Soit $F$ une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle ]1~;~6]. On suppose que $f$ admet le tableau de variation ci-dessous :

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(11,2.5)
\psframe(11,2.5)\psline(0,2)(11,2)
\psline(2,0)(2,2.5) \psline(4.95,0)(4.95,2)\psline(5.05,0)(5.05,2)
\uput[u](1,2){$x$} \uput[u](2.4,2){$- \infty$} \uput[u](5,2){$1$} \uput[u](8,2){$6$} \uput[u](10.6,2){$+ \infty$} 
\rput(1,1){$f$}
\uput[d](2.15,2){2}
\uput[u](4.6,0){$- \infty$} 
\uput[d](5.4,2){$+ \infty$}
\uput[u](8,0){3}
\uput[d](10.65,2){$+ \infty$}
\psline{->}(2.5,1.5)(4.5,0.5)\psline{->}(5.5,1.5)(7.5,0.5)\psline{->}(8.5,0.5)(10.5,1.5)
\end{pspicture}
\end{center} 

Pour chacune des huit affirmations ci-dessous, une seule de ces trois propositions convient :
 
VRAIE ou FAUSSE ou LES INFORMATIONS DONNÉES NE PERMETTENT PAS DE CONCLURE.
 
Recopier sur la copie le numéro de la question et la proposition choisie. Aucune justification n'est demandée.
 
\emph{Une bonne réponse rapporte $0,5$ point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'apporte ni ne retire aucun point.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item L'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur $]- \infty~;~1[ \cup ]1~;~+ \infty[$. 
\item La droite d'équation $y = 1$ est asymptote à la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$· 
\item Pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]1~;~+ \infty[,\, f'(x) \geqslant 0$. 
\item La fonction $F$ est décroissante sur l'intervalle ]1~;~6]. 
\item $\ln [f(x)]$ existe pour tout $x$ appartenant à $]- \infty~;~ 0[$. 
\item Soit $g$ la fonction définie sur $]- \infty~;~1[ \cup ]1~;~+ \infty[$ par $g(x) = \text{e}^{f(x)}$. 
	\begin{enumerate}
		\item $g(6) = \text{e}^3$.  
		\item $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 1\\x < 1}} g(x) = +\infty$. 
		\item $g'(3) \geqslant  0$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\subsection*{{Exercice 2 \hfill 5 points}}

\emph{Commun à tous les candidats.}

\medskip

L'objet de l'exercice consiste à étudier les évolutions du nombre de mariages et du nombre de pacs (pacte civil de solidarité) signés entre partenaires de sexe opposé en France à partir de l'année 2000.

\medskip
 
\textbf{Partie A : étude du nombre de mariages}

\medskip
 
Le tableau suivant donne le nombre de mariages en France, en milliers, de 2000 à 2008.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.2cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année &2000 	&2001 	&2002 	&2003 	&2004 	&2005 	&2006 	&2007 	&2008\\ \hline 
 Rang de l'année $x_{i}$	&0 		&1 		&2 		&3		&4 		&5 		&6 		&7 		&8\\ \hline 
 Nombre de mariages $y_{i}$ en milliers &305 &296 &286 &283 &278 &283 &274 &274 &265\\ \hline 
\multicolumn{10}{r}{\footnotesize \emph{Source : INSEE}}\\
\end{tabularx}
\medskip
 
Pour $i$ entier variant entre 0 et 8, on a représenté en \textbf{annexe 1} dans le plan muni d'un repère orthogonal le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ associé à cette série.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire une équation de la droite d'ajustement affine D de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au centième). 
		\item Représenter D dans le repère de l'annexe 1. 
	\end{enumerate}
\item En utilisant cet ajustement affine, déterminer par la méthode de votre choix une estimation du nombre de mariages en France en 2012 (le résultat sera arrondi au millier).
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : étude du nombre de pacs}

\medskip
 
Le tableau suivant donne le nombre de pacs signés entre partenaires de sexe opposé en France, en milliers, de 2000 à 2008. 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.75cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année 					&2000	&2001	&2002	&2003 	&2004 	&2005 	&2006 	&2007 	&2008\\ \hline 
Rang de l'année $x_{i}$	&0 		&1 		&2 		&3 		&4 		&5 		&6 		&7 		&8\\ \hline  
Nombre de pacs $Y_{i}$	&16 	&15 	&21 	&26 	&33 	&53 	&64 	&96 	&138\\ \hline  
\multicolumn{10}{r}{\emph{Source : INSEE}}\\
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter dans le repère de l'\textbf{annexe 1} le nuage points $N_{i}\left(x_{i}~;~Y_{i}\right)$ associé à cette nouvelle série statistique.
 
L'allure du nuage permet d'envisager un ajustement exponentiel. Pour $i$ entier variant entre 0 et 8 on pose $Z_{i} = \ln Y_{i}$. 
\item  Recopier sur la copie et compléter le tableau suivant où $z_{i}$ est arrondi au centième :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline  
$x_{i}$	&0		&1	& 2 &3 	&4 	&5 	&6 	&7 	&8\\ \hline 
$Z_{i}$	&2,77	&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

\item Une équation de la droite d'ajustement affine de $Z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés est $Z = 0,29x + 2,51$ (les coefficients étant arrondis au centième). 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant la relation $Z = \ln Y$, justifier la relation : $y = 12,30 \text{e}^{0,29 x}$. 
		\item En utilisant cet ajustement, donner une estimation du nombre de pacs signés en France entre personnes de sexe opposé en 2012 (arrondir au millier).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C : Comparaison}

\medskip
 
\emph{Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
Si les évolutions du nombre de mariages et du nombre de pacs signés entre personnes de sexe opposé en 
France se poursuivent selon les modèles décrits dans les parties A et B, estimer à partir de quelle année le 
nombre de pacs dépassera celui des mariages. 

\subsection*{{Exercice 3 \hfill 5 points}}

\emph{Pour les élèves n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
Une session du baccalauréat se compose de deux parties :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] le premier groupe d'épreuves (encore appelé : \og écrit \fg{} par abus de langage ou \og premier tour \fg) ; 
\item[$\bullet~~$] le second groupe d'épreuves (encore appelé : \og oral de rattrapage \fg{} ou \og second tour\fg).
 
Ce second groupe d'épreuves concerne les candidats n'ayant pas obtenu le bac à l'issue du premier groupe, mais ayant obtenu une moyenne générale supérieure ou égale à 08/20.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Les résultats au baccalauréat ES, en France métropolitaine et DOM, pour la session de juin 2010 à l'issue du \emph{premier groupe d'épreuves} sont les suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 74,3\,\% des candidats ont été reçus à l'issue du premier tour (c'est-à-dire que leur moyenne 
générale $m$ est telle que $m \geqslant  10$) ; 
\item[$\bullet~~$] 17,8\,\% des candidats sont allés aux oraux de rattrapage (c'est-à-dire que leur moyenne générale $m$ est telle que $8 \leqslant m < 10$) ; 
\item[$\bullet~~$] les autres candidats ont été recalés (c'est-à-dire que leur moyenne générale $m$ est telle que $m < 8$).
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Le taux final de réussite au baccalauréat ES, en France métropolitaine et DOM, pour la session 2010 à l'issue des deux groupes d'épreuves est 86,1\,\%.
 
On interroge au hasard un candidat ayant passé le baccalauréat ES en 2010.

On note : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $R_{1}$ l'évènement: \og le candidat interrogé a obtenu le baccalauréat à l'issue du premier tour\fg ; 
\item[$\bullet~~$] $O$ l'évènement : \og le candidat interrogé est allé à l'oral de rattrapage\fg{} ; 
\item[$\bullet~~$] $E_{1}$ l'évènement : \og le candidat interrogé a été recalé à l'issue du premier tour\fg{} ; 
\item[$\bullet~~$] $R_{2}$ l'évènement : \og le candidat interrogé a obtenu le baccalauréat à l'issue de l'oral de rattrapage \fg{} ; 
\item[$\bullet~~$] $E_{2}$ l'évènement : \og le candidat interrogé a été recalé à l'issue de l'oral de rattrapage \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On peut modéliser la situation par l'arbre (partiellement pondéré) ci-dessous, qu'on ne demande pas de compléter pour l'instant :

\medskip
 
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\psset{linewidth=.75pt}
\pstree[treemode=R,levelsep=3cm,treesep=1.1,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{
	\TR{$R_{1} \;$}	  
	\pstree{\TR{$O \;$}\taput{\footnotesize{0,178}}}
	  {
		  \TR{$\; R_{2}$}
		  \TR{$\;E_{2}$}
	  }
	\TR{$E_{1} \;$}	  	
}
\end{center}

\medskip

Si $X$ est un évènement, on note $p(X)$ sa probabilité. 

\emph{Dans cet exercice les résultats demandés seront arrondis au millième.}

\medskip 
 
\begin{enumerate}
\item Donner les valeurs des probabilités suivantes : $p\left(R_{1}\right) ; p(O)$ et $p\left(E_{1}\right)$. 
\item On appelle $A$ l'évènement: \og le candidat interrogé a obtenu son baccalauréat \fg{} : on a donc $p(A) = 0,861$.
 
Montrer que $p\left(O \cap  R_{2}\right) = 0,118$ et interpréter ce résultat. 
\item Calculer $p_{O}\left(R_{2}\right)$, probabilité de l'évènement $R_{2}$ sachant que l'évènement $O$ est réalisé. Interpréter ce résultat. 
\item Recopier et compléter l'arbre partiellement pondéré, donné ci-dessus. 
\item On interroge au hasard trois candidats ayant passé le baccalauréat ES en 2010 pour savoir s'ils l'ont obtenu. On suppose que le nombre de candidats à cette session est suffisamment grand pour 
considérer ces trois réponses comme indépendantes. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que les trois candidats aient été admis. 
		\item Calculer la probabilité qu'au moins deux des candidats aient été admis.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\subsection*{{Exercice 3 \hfill 5 points}}

\emph{Pour les élèves ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\textbf{Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre}

\medskip
 
On considère le graphe $\Gamma$ ci-dessous : 

\medskip
\psset{unit=0.8cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(9,8.5)
\psdots(0.7,4.5)(4.3,8.2)(7,5.6)(4.3,3)(2.3,1.8)(8.4,1)(5.3,0.3)%OWHLPTE
\psline(0.7,4.5)(4.3,8.2)(7,5.6)(8.4,1)(5.3,0.3)(2.3,1.8)(8.4,1)(4.3,3)(2.3,1.8)%OWHTEPTLP
\psline(7,5.6)(4.3,3)(4.3,8.2)%HLW
\psline(0.7,4.5)(2.3,1.8)%PO
\uput[l](0.7,4.5){O} \uput[u](4.3,8.2){W} \uput[ur](7,5.6){H} \uput[ul](4.3,3){L} 
\uput[dl](2.3,1.8){P} \uput[r](8.4,1){T} \uput[d](5.3,0.3){E} 
\end{pspicture}
\end{center}
 
\textbf{Partie A : Étude d'un graphe}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Ce graphe admet-il une chaîne eulérienne ? (La réponse devra être justifiée). Si oui donner une telle chaîne. 
\item Ce graphe admet-il un cycle eulérien ? (La réponse devra être justifiée). Si oui donner un tel cycle. 
\item Donner la matrice $M$ associée au graphe $\Gamma$ (les sommets seront pris dans l'ordre alphabétique: E ; H ; L ; O ; P ; T ; W).
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : Voyage scolaire}

\medskip
 
La classe de Terminale d'Arthur est en voyage scolaire en Angleterre.
 
Les professeurs organisateurs de ce voyage décident de visiter plusieurs sites de Londres.
 
Les sites retenus dans Londres sont les suivants : Warren Street, Oxford Circus, Piccadilly Circus, Leicester Square, Holborn, Embankment et Temple. Ces lieux sont désignés respectivement par les lettres W, O, P, L, H, E et T et sont représentés dans le graphe $\Gamma$ donné ci-dessus (chaque sommet représente un site à visiter et chaque arête une route reliant deux sites).
 
Les élèves sont laissés en autonomie deux heures pour faire du shopping et ramener des souvenirs~à leurs familles. Le point de rendez-vous avec les organisateurs est fixé à Temple. Les temps de parcours en minutes entre chaque sommet ont été ajoutés sur le graphe. 
 
\medskip
\psset{unit=0.8cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(9,8.5)
\psdots(0.7,4.5)(4.3,8.2)(7,5.6)(4.3,3)(2.3,1.8)(8.4,1)(5.3,0.3)%OWHLPTE
\psline(0.7,4.5)(4.3,8.2)(7,5.6)(8.4,1)(5.3,0.3)(2.3,1.8)(8.4,1)(4.3,3)(2.3,1.8)%OWHTEPTLP
\psline(7,5.6)(4.3,3)(4.3,8.2)%HLW
\psline(0.7,4.5)(2.3,1.8)%PO
\uput[l](0.7,4.5){O} \uput[u](4.3,8.2){W} \uput[ur](7,5.6){H} \uput[ul](4.3,3){L} 
\uput[dl](2.3,1.8){P} \uput[r](8.4,1){T} \uput[d](5.3,0.3){E}
\uput[ul](2.6,6.4){15} \uput[ur](5.6,6.8){14}   \uput[l](4.3,5.6){26}  \uput[ul](5.6,4.4){8} 
 \uput[dl](1.4,3.2){13}  \uput[ul](3.4,2.4){5}  \uput[ur](6.2,2.1){30}  \uput[ur](7.6,3.4){20} 
  \uput[ur](5.4,1.4){34}  \uput[dl](3.8,1){15}  \uput[dr](6.9,0.6){19} 
\end{pspicture}
\end{center} 

Arthur, qui est à Oxford Circus, n'a pas vu le temps passer. Lorsqu'il s'en rend compte, il ne lui reste plus que 40~minutes pour arriver à Temple.
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le plus court chemin en minutes reliant Oxford Circus à Temple. Justifier la réponse à l'aide d'un algorithme. 
\item Quelle est la longueur en minutes de ce chemin ? Arthur sera-t-il en retard ?
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\subsection*{{Exercice 4 \hfill 6 points}}

\emph{Commun \`a tous les candidats}

\medskip
 
Certains scientifiques estiment que les futures découvertes de pétrole dans le monde peuvent être modélisées, à partir de l'année 2011, grâce à la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[11 ; +\infty[$ par
 
\[f(x) = \np{17280}\text{e}^{- 0,024x}\] 

de sorte que $f(x)$ représente, en billions de barils (millions de millions de barils), l'estimation de la quantité de pétrole qui sera découverte au cours de l'année $2000~+ ~x$.
 
On admet que la fonction $f$ est continue et dérivable sur l'intervalle $[11~;~ +\infty[$ et on note $f'$ sa fonction  dérivée sur cet intervalle.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer l'estimation du nombre de barils de pétrole à découvrir en 2011 d'après ce modèle (on arrondira le résultat au billion près). 
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. 
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[11~;~ +\infty[$  puis dresser son tableau de variations. 
\item Selon ce modèle, peut-on envisager qu'au cours d'une même année, \np{15000}~billions de barils de pétrole soient découverts ?
 
Si oui, déterminer, en justifiant, cette (ces) année(s). Si non, justifier la réponse. 
\item Selon ce modèle, peut-on envisager qu'au cours de chaque année à partir de 2011, au moins \np{6000}~billions de barils de pétrole soient découverts ?
 
Si oui, justifier la réponse.
 
Si non, déterminer, en justifiant, l'année pour laquelle les découvertes de pétrole deviendront 
strictement inférieures à \np{6000}~billions de barils. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[11~;~ +\infty[$. 
		\item Calculer la valeur exacte, puis donner la valeur arrondie à l'unité près, de l'intégrale $I$ suivante : 

\[I  = \int_{11}^{21} f(x)\:\text{d}x.\]
 
		\item En déduire le nombre moyen de barils, en billions, que l'on peut espérer découvrir par an d'après ce modèle, entre les années 2011 et 2021.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE 1\\
 À RENDRE AVEC LA COPIE\\
Exercice 2 - commun à tous les candidats}
  
\vspace{1cm}
  
\psset{xunit=0.85cm,yunit=0.0425cm}
\begin{pspicture}(-1,-50)(13,320)
\multido{\n=0+1}{14}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,320)}
\multido{\n=0+10}{33}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(13,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=50]{->}(0,0)(13,320)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=50](0,0)(13,320)
\uput[u](11.5,0){Rang de l'année}\uput[r](0,325){effectifs, en milliers}
\uput[l](-0.2,10){10}
\psdots[dotscale=1.4,linecolor=blue](0,305)(1,296)(2,286)(3,283)(4,278)(5,286)(6,274)(7,274)(8,265)(0,-40)
\rput(0,-20){\emph{Légende} :} 
\rput(0,-40){{\Large $\bullet$}}
\uput[r](1,-40){série du nombre de mariages en fonction du rang de l'année}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%    fin Polynésie 10 juin 2011
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%  Asie 21 juin 2011
\hypertarget{Asie}{}

\label{Asie}
\lfoot{\small Asie}
\rfoot{\small  20  juin 2011}
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \bf  \decofourleft~Baccalauréat   Asie  ES  20 juin 2011~\decofourright}
\end{center}

\bigskip

{\bf  \large Exercice 1} \hfill{\bf 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

Le tableau ci-dessous indique, pour une année donnée, l'évolution de l'indice de consommation des produits des Technologies de l'Information et de la Communication (T. I. C.) des années 2000 à 2009.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.95cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année 				&2000 	& 2001 	&2002 	&2003 	& 2004 	& 2005 	&2006 	&2007 	&2008\\ \hline 
Rang de l'année
 : $x_{i}$			&0 		&1 		&2 		&3 		&4 		&5 		&6 		&7 		&8\\ \hline
\end{tabularx}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.95cm}|*{9}{>{\small \centering \arraybackslash}X|}}    
Indice : $y_{i}$	&100 	&114,14 &131,17 &147,06 &166,56 &189,63 &219,38 &251,01 &268,14\\ \hline 
\multicolumn{10}{r}{\footnotesize \emph{Source : Insee comptes nationaux - base} 2000}\\
\end{tabularx}

\medskip

 
\textbf{Partie A : ajustement exponentiel}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Pour $i$ entier variant de $0$ à $8$, construire le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ associé à la série statistique dans le plan rapporté à un repère orthogonal fourni en annexe 1 \textbf{à rendre avec la copie}. 
\item Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $f(x) = 101 \text{e}^{0,13x}$. On suppose que la fonction $f$ modélise un ajustement exponentiel de la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$. Sa courbe représentative est tracée dans l'annexe 1. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les variations de la fonction $f$. 
		\item Résoudre dans l'intervalle $[0~;~+\infty[$ l'inéquation $f(x) \geqslant 350$. Interpréter le résultat obtenu.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : ajustement affine}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées du point moyen $G$ du nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ ($i$ entier variant de 0 à 8) puis le placer dans le graphique de l'annexe 1. 
\item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, l'équation réduite de la droite $\mathcal{D}$ de ce nuage par la méthode des moindres carrés. \emph{Les coefficients seront arrondis à} $10^{-2}$.
 
Tracer cette droite dans le graphique de l'annexe 1. 
\item On suppose que le modèle affine reste valable jusqu'en 2014.
 
Déterminer à partir de quelle année, l'indice de consommation des produits des T. I. C. sera supérieur à 350. Justifier votre réponse.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie C : Comparaison des modèles}

\medskip
 
On sait que pour l'année 2009, l'indice de consommation des produits des Technologies de l'Information et de la Communication (T. I. C.) est de $284,24$. Des deux ajustements précédents, lequel donne l'estimation la plus proche de la réalité ? Justifier votre réponse. 
 
\vspace{0,5cm}

{\bf \large Exercice 2} \hfill{\bf 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité }

\medskip
 
On considère une fonction $f$ :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]  définie, continue et dérivable sur l'intervalle $[-1~;~+\infty[$ ; 
\item[$\bullet~~$]  strictement croissante sur l'intervalle $[0~;~2]$ ; 
\item[$\bullet~~$]  strictement décroissante sur les intervalles $[- 1~;~0]$ et $[2~;~+ \infty[$. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ et $F$ la primitive de $f$ sur l'intervalle $[-1~;~+\infty[$ qui s'annule en $0$. 

La courbe $\mathcal{C}$, tracée ci-dessous, représente la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal. 

Elle passe par les points A$(-1~;~6)$, B$(0~;~-2)$, D(1~;~2) et E(2~;~6).

Elle admet au point D une tangente passant par le point G$(0~;~-4)$. 

Elle admet au point B et au point E une tangente horizontale. 

\medskip

\psset{xunit=2cm,yunit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1.5,-5)(4,8)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt]
\multido{\n=-1.25+.50}{11}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-5)(\n,8)}
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1.5,-5)(4,8)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psframe[fillstyle=vlines](3,6)(4,7)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot{-0.165}{2}{6 x mul 4 sub}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{3.15}{x dup mul 6 mul x 3 exp 2 mul sub 2 sub}
\uput[r](0,-4){G}\uput[r](1,2){D}\uput[u](2,6){E}\uput[u](-1,6){A}\uput[dl](0,0){O}\uput[dr](0,-2){B}
\psline[linewidth=1.5pt]{<->}(1.5,6)(2.5,6)\psline[linewidth=1.5pt]{<->}(-0.5,-2)(0.5,-2)
\end{pspicture}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $f'(1)$ et $f'(2)$. Justifier les réponses. 
\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point D. 
\item Montrer que sur l'intervalle $[-1~;~0]$, l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution que l'on notera $x_{1}$. 
\item On admet que l'équation $f(x) = 0$ admet, sur l'intervalle $[-1~;~+\infty[$, deux autres solutions que l'on notera $x_{2}$ et $x_{3}$, avec $x_{2} < x_{3}$. Dresser le tableau de signes de la fonction $f$. 
\item Parmi les trois courbes suivantes, $\mathcal{C}_{1},\, \mathcal{C}_{2},\, \mathcal{C}_{3}$, préciser, en justifiant la réponse, celle qui représente $F$, et celle qui représente $f'$.

\medskip
\begin{center}
\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.6cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-5.1)(4.1,6.5)
\def\pshlabel#1{\small #1}
\def\psvlabel#1{\small #1}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt]
\multido{\n=-1.25+.50}{11}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-5)(\n,6.5)}
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1.5,-4.9)(4,6.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{3.15}{2 x sub x  mul 6 mul}
\rput(3,-3){Courbe $\mathcal{C}_{1}$}
\end{pspicture*}

\smallskip
\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.6cm}

\begin{pspicture*}(-1.5,-3)(4.1,8.1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt]
\def\pshlabel#1{\small #1}
\def\psvlabel#1{\small #1}
\multido{\n=-1.25+.50}{11}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-3)(\n,8)}
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1.5,-2.9)(4,8.1)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{3.84}{x 3 exp 2 mul  x 4 exp 2 div sub x 2 mul sub}
\rput(2,-2){Courbe $\mathcal{C}_{2}$}
\end{pspicture*} 

\smallskip
\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.6cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-6.25)(4.1,4.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt]
\def\pshlabel#1{\small #1}
\def\psvlabel#1{\small #1}
\multido{\n=-1.25+.50}{11}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-6.25)(\n,4.5)}
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1.5,-6.25)(4,4.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{3.15}{x 2 sub x  mul 6 mul}
\rput(2.5,-5.5){Courbe $\mathcal{C}_{3}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}

\newpage

{\bf  Exercice 2} \hfill{\bf 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité }

\bigskip
 
\emph{Les parties \text{I} et \text{II} sont indépendantes}

\medskip
 
Le graphe $\Gamma$ suivant représente le plan d'un zoo.
 
Le sommet A représente son accès. Les sommets B, C, D, E, F et G désignent les différents secteurs animaliers de ce zoo.
 
Une arête représente l'allée reliant deux secteurs et est pondérée par la distance de parcours, exprimée en mètres, entre ces deux secteurs.
 

AB = 90,\,AC = 290,\,AD = 175,\,AE = 150,\,BC = 185,\,BD = 155,\,BE = 180,\,CD = 120,\,CG =260,\,

DE = 110,\,DF = 105,\,EF = 135,\,FG = 230.
 
\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,6)
\cnodeput(0,4.5){A}{A}\cnodeput(1.5,6){B}{B}\cnodeput(5.5,5.5){C}{C}
\cnodeput(4,2.5){D}{D}\cnodeput(1.25,0){E}{E}\cnodeput(3.75,0.25){F}{F}
\cnodeput(7,1.5){G}{G}
\ncline{A}{B}\ncput*{90}
\ncline{C}{D}\ncput*{120}
\ncline{A}{C}\ncput*{290}
\ncline{A}{D}\ncput*{175}
\ncline{A}{E}\ncput*{150}
\ncline{B}{C}\ncput*{185}
\ncline{B}{D}\ncput*{155}
\ncline{B}{E}\ncput*{180}
\ncline{C}{D}\ncput*{120}
\ncline{C}{G}\ncput*{260}
\ncline{D}{E}\ncput*{110}
\ncline{D}{F}\ncput*{105}
\ncline{E}{F}\ncput*{135}
\ncline{F}{G}\ncput*{230}
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{Partie 1 :} Pour mieux visualiser sur le plan les différents secteurs du zoo, on veut les colorier de telle sorte que deux secteurs adjacents ne soient pas de la même couleur. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le nombre minimum de couleurs nécessaires à la réalisation de ce plan ? Justifier la réponse. 
\item Donner un encadrement du nombre chromatique du graphe $\Gamma$. 

Justifier la réponse. 
\item Proposer alors une telle coloration.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II :}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Pour nettoyer les allées, les services techniques du zoo utilisent une balayeuse automobile.
 
Est-il possible que cette balayeuse n'emprunte chaque allée qu'une fois et une seule ? Si oui, proposer un tel chemin, sinon justifier votre réponse. 

\item Les services de sécurité basés au point A doivent intervenir dans le secteur G. Déterminer, à l'aide d'un algorithme, l'itinéraire le plus court. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

{\bf  \large Exercice 3} \hfill{\bf 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip  

Une entreprise financière est divisée en deux secteurs ; 65\,\% de son personnel travaille dans le secteur A et 35\,\% dans le secteur B.
 
Cette entreprise s'intéresse au niveau de stress de son personnel.
 
Une enquête, menée sous la forme d'un questionnaire informatisé, est réalisée au sein de l'entreprise. Le questionnaire est proposé de manière anonyme aux salariés des deux secteurs. Cette enquête révèle que pour le secteur A, 20\,\% du personnel se dit stressé, tandis que, dans le secteur B, ce taux est de 30\,\%. 

On choisit au hasard le questionnaire d'un employé de l'entreprise, chacun ayant la même probabilité d'être choisi.
 
On note : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] A : \og le questionnaire est celui d'un employé du secteur A \fg. 
\item[$\bullet~~$] B : \og le questionnaire est celui d'un employé du secteur B \fg. 
\item[$\bullet~~$] S : \og le questionnaire est celui d'un employé stressé \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré décrivant la situation. 
\item Calculer la probabilité que le questionnaire choisi soit celui d'un employé qui travaille dans le secteur B et qui est stressé. 
\item \emph{Toute trace de recherche même incomplète, d'initiative même non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
L'entreprise examine l'opportunité d'installer une salle de relaxation. Si le taux d'employés stressés est strictement supérieur à 25\,\%, cette salle sera installée.
 
L'entreprise implantera-t-elle la salle de relaxation ? Justifier la réponse. 
\item Sachant que le questionnaire choisi est celui d'un employé stressé, quelle est la probabilité qu'il travaille dans le secteur A ? (le résultat sera arrondi à $10^{-2}$)
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

{\bf  Exercice 4} \hfill{\bf 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip 
 
Le but de cet exercice est de déterminer le bénéfice maximum réalisable pour la vente d'un produit \og alpha\fg{} fabriqué par une entreprise. Toute l'étude porte sur un mois complet de production.

\medskip
 
Le coût marginal de fabrication du produit \og alpha\fg{} par l'entreprise est modélisé par la fonction $C_{m}$ définie sur l'intervalle [1~;~20] par 

\[C_{m}(q) = 4+ \left(0,2q^2 - 2q\right)\text{e}^{- 0,2q},\]

$q$ étant la quantité exprimée en tonnes et $C_{m}(q)$ son co\^ut exprimé en milliers d'euros.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La fonction coût total est modélisée par la fonction $C_{T}$ définie sur l'intervalle [1~;~20] par : 

\[C_{T}(q) = 4q - q^2\text{e}^{-0,2q}.\]

Vérifier que cette fonction $C_{T}$ est une primitive de la fonction $C_{m}$ sur l'intervalle [1~;~20]. 
\item La fonction coût moyen, notée $C_{M}$, est la fonction définie sur l'intervalle [1~;~20] par: 

\[C_{M}(q) = \dfrac{C_{T}(q)}{q}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $C_{M}(q) = 4 - q\text{e}^{-0,2q}$. 
		\item Déterminer la fonction dérivée $C'_{M}$ de la fonction $C_{M}$· 
		\item Pour quelle production mensuelle $q_{0}$ (exprimée en tonnes) l'entreprise a-t-elle un coût moyen minimal ?
		 
Quel est ce coût ? Pour cette production $q_{0}$, quelle est la valeur du coût marginal ?
	\end{enumerate} 
\item \emph{Toute trace de recherche même incomplète, d'initiative même non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
On suppose que l'entreprise vend toute sa production mensuelle.

Chaque tonne du produit \og alpha\fg{} est vendu \np{4000}~euros.
 
On désigne par $R(q)$ la recette mensuelle obtenue pour  la vente de $q$ tonnes du produit \og alpha\fg{} et par $B(q)$ le bénéfice mensuel en millier d'euros ainsi réalisé.
 
Les représentations graphiques des fonctions recette et coût total sont données dans l'annexe 2 à rendre avec la copie.
 
Estimer graphiquement, en précisant votre démarche, le bénéfice maximal que l'on peut espérer sur le mois étudié. 
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Annexe 1  Exercice 1 à rendre avec la copie}

\vspace{2.5cm}

\begin{center}
\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.0375cm}
\begin{pspicture}(-1,-10)(15,350)
\multido{\n=0.0+0.5}{31}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,350)}
\multido{\n=0+10}{36}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(15,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=100,Dy=50]{->}(0,0)(0,0)(15,350)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=100,Dy=50](0,0)(0,0)(15,350)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{11.5}{101 2.71828 0.13 x mul exp mul 100 sub}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\textbf{Annexe 2  Exercice 4 à rendre avec la copie}

\vspace{2.5cm}

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.1cm}
\begin{pspicture}(-1,-2.5)(21,85)
\multido{\n=0.0+0.5}{43}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,85)}
\multido{\n=0.0+2.5}{35}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(21,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=5]{->}(0,0)(0,0)(21,85)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=5](0,0)(0,0)(21,85)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{20}{4 x mul}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{1}{20}{4  x  mul  x dup mul 2.71828 0.2 x mul exp div sub}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%   fin Asie 20 juin 2011
\newpage
%%%%%%%%%%%   Centres étrangers juin 2011
\hypertarget{Centresetrangers}{}

\label{Centresetrangers}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{16 juin 2011}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Centres étrangers 16 juin 2011~\decofourright}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On donne ci-dessous, dans un repère orthogonal du plan \Oij, la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ représentative d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[- 6~;~6]$.
 
La droite $(T)$ d'équation $y  = x + 3$ est tangente à la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$  au point I de coordonnées $(0~;~3)$. 

\psset{unit=0.85cm}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-7.15,-2.5)(7.1,7.1)
\def\pshlabel#1{\small #1}
\def\psvlabel#1{\small #1}
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt](-7,-2.5)(7,7)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-7,-2.5)(7,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\def\f{-x^4/96-3*x^3/16-7*x^2/12+x+3}
\def\g{0.001588*x^5-0.017613*x^4+0.051399*x^3-0.295048*x^2+x+3}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=300,linewidth=1.25pt, linecolor=blue]{-6}{0}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=300,linewidth=1.25pt, linecolor=blue]{0}{6}{\g}
\psdots[dotstyle=+,linecolor=blue,linewidth=1.5pt,dotscale=1.5](-6,3)(-4,-1)(-2,0)(0,3)(2,4)(5.5,0)(6,-1)
\psline(-5.5,-2.5)(4,7)
\uput[dl]{45}(2.75,5.75){$(T) : \quad y = x + 3$}
\rput(5.5,1){\blue $\mathcal{C}_{f}$}
\uput[ul](0,3){I}
\end{pspicture*}
\end{center}

\emph{Cet exercice est un \textbf{questionnaire à choix multiples}. Pour chacune des trois questions, trois réponses sont proposées; une seule de ces réponses convient. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte sans justifier le choix effectué.}

\emph{Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte ne rapporte ni n'enlève aucun point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le nombre dérivé de $f$ en $0$ est : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}~~ $0$&\textbf{b.}~~ 1& \textbf{c.}~~ 3\\
\end{tabularx}

\medskip

\item On pose J $= \displaystyle\int_{- 1}^{0} f(x)\:\text{d}x$. On peut affirmer que : 
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}~~ $-2< \text{J}<0$&\textbf{b.}~~ $-4 <\text{J} <-2$&\textbf{c.}~~ $2 < \text{J} < 4$\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\item On appelle $F$ une primitive de $f$ sur l'intervalle $[- 6~;~6]$.
	\begin{enumerate}
		\item $F$ est croissante sur l'intervalle $[-3~;~2]$ ; 
		\item $F$ est décroissante sur l'intervalle $[-1~;~5]$ ; 
		\item $F$ est croissante sur l'intervalle $[-1~;~5]$ 
	\end{enumerate}
\item  On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[- 6~;~6]$ par : $g(x)~=~\text{exp}~[f(x)]~=~\text{e}^{f(x)}$ On peut affirmer que :
	\begin{enumerate}
		\item la fonction $g$ a les m\^emes variations que $f$ sur l'intervalle $[- 6~;~6]$. 
		\item la fonction $g$ est strictement croissante sur l'intervalle $[- 6~;~6]$
		\item la fonction $g$ a les variations inverses de celles de $f$ sur l'intervalle $[- 6~;~6]$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidat n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité }

\medskip

Le tableau ci-dessous présente l'évolution du nombre d'internautes en Chine de 2002 à 2009.
 
Les rangs des années sont calculés par rapport à l'année 2000.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.25cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année &2002& 2003& 2004&2005&2006 &2007 &2008 &2009\\ \hline 
Rang de l'année $x_{i}$& 
2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 \\ \hline
Nombre d'internautes $y_{i}$ (en millions)&60 &70 &95  &100 &140 &160 &250 &385\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 
 
On cherche à étudier l'évolution du nombre d'internautes en fonction du rang $x$ de l'année.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le taux d'évolution de ce nombre d'internautes entre 2002 et 2009. On donnera le résultat à $0,1$ près. 
\item Représenter sur votre copie le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ associé à cette série statistique dans le plan muni d'un repère orthogonal en prenant pour unités graphiques :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item Sur l'axe des abscisses, 1 cm pour 1 an, 
\item Sur l'axe des ordonnées, 1 cm pour $20$~millions d'internautes (en plaçant 50 à l'origine).
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\item On cherche dans un premier temps un ajustement affine. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés (\emph{aucune justification n'est exigée, les calculs seront effectués à la calculatrice et les coefficients arrondis à l'unité}). Tracer cette droite sur le graphique précédent. 
		\item En supposant que cet ajustement reste valable pour l'année suivante, donner une estimation, arrondie au million, du nombre d'internautes en Chine en 2010.
	\end{enumerate} 
\item Une étude récente a montré qu'au 1\up{er} mai 2010, on a dépassé les 400~millions d'internautes en Chine. On envisage donc un ajustement exponentiel et on pose $z = \ln y$. 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les valeurs de $z_{i}$ au millième : 
		
\medskip
\renewcommand\arraystretch{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline		
$x_{i}$&2&3 &4 &5 &6 &7 &8 &9\\ \hline
$z_{i} = \ln y_{i}$&4,094&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip
 
		\item Déterminer une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés (\emph{aucune justification n'est exigée, les calculs seront effectués à la calculatrice et les coefficients arrondis au millième}). 
		\item En déduire une expression de $y$ en fonction de $x$. 
		\item En prenant l'approximation $y \approx  32,5 \times \text{e}^{0,253 x}$ et en supposant qu'elle reste valable pour les années suivantes, donner une estimation, arrondie au million, du nombre d'internautes en 2012.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidat ayant suivi l'enseignement de spécialité }

\medskip

On considère la fonction $f$, définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~10]$ et tout réel $y$ de l'intervalle $[0~;~8]$ par 

\[f (x~;~y) =\dfrac{1}{4}xy.\]

La représentation graphique de la surface (S) d'équation $z = f(x~;~y)$ dans un repère orthonormé \Oijk{} est donnée en \textbf{annexe 1}. 

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Sur le graphique  de l'\textbf{annexe 1} colorer la courbe de niveau $(\Gamma)$ de cote 10.
 
Donner la nature de  cette courbe.
\item Placer sur le graphique de l'\textbf{annexe 1} le point C d'ordonnée 5 appartenant à cette courbe ($\Gamma$). 

Déterminer graphiquement l'abscisse de ce point. 
\item Vérifier que le point B de coordonnées $(6~;~2~;~3)$ appartient à la surface (S). 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Les membres du bureau du foyer socio-éducatif d'un lycée font une étude pour déterminer quelle cotisation demander par élève au cours de l'année 2010.

Ils voudraient investir le quart des cotisations dans la rénovation de la salle de détente, réservée aux élèves. 

Si la cotisation s'élève à $x$ euros avec $0 \leqslant x \leqslant 10$ et si $y$ centaines d'élèves adhèrent au foyer avec $0  \leqslant  y  \leqslant 8$, la somme allouée aux travaux de rénovation de la salle de détente en centaines d'euros sera égale à $f(x~;~y)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quelle est la somme allouée à la rénovation de la salle de détente lorsque la cotisation est fixée à  6 euros par élève et que 600 élèves sont adhérents au foyer ? 
\item  Les membres du foyer font l'hypothèse que le nombre $y$, en centaines d'adhérents, et le nombre $x$, en euros, sont directement liés par la relation $y  =  12 - x$ 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, sous cette contrainte, on peut exprimer $f(x~;~y)$ en fonction de la seule variable $x$ sous la forme $h(x) =  3x - \dfrac{1}{4}x^2$.
		\item Déterminer pour quelle valeur de $x$ la somme allouée sera la plus élevée.
		\item De quelle somme en euros disposeront les membres du foyer pour la rénovation dans ce cas ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle I $ = \left[0~;~\dfrac{3}{2}\right[$ par 

\[f(x) = \ln(- 2x + 3) + 2x.\]

La fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle I et  on note $f'$ sa fonction dérivée. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier la limite de $f$ en $\dfrac{3}{2}$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $f'$ est définie sur l'intervalle I par $f'(x) = \dfrac{- 4x + 4}{- 2x + 3}$.
		\item Déterminer le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle I et donner le tableau des variations de $f$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, sur l'intervalle [0~;~1], l'équation $f(x) = 1,9$ admet une unique solution $\alpha$. 
		\item Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près par défaut de $\alpha$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}  Application de la partie A

\medskip
 
Une entreprise, fournisseur d'énergie, envisage d'installer un parc d'éoliennes en pleine mer.

L'installation du parc en mer nécessite un câblage coûteux et délicat, mais le fait d'éloigner les éoliennes des turbulences dues aux reliefs de la côte améliore leur rendement.
 
On note $x$ la distance en dizaines de kilomètres séparant le parc de la côte.

\medskip
 
Pour des raisons techniques, l'installation doit se faire entre deux et douze kilomètres de la côte, c'est-à-dire qu'on a $0,2 \leqslant x \leqslant 1,2$.
 
Un service spécialisé, au sein de l'entreprise, arrive à la modélisation suivante :
 
Si l'installation se fait à $x$ dizaines de kilomètres de la côte, le bénéfice en centaines de milliers d'euros réalisé, par année de fonctionnement du parc, est donné par $f(x)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item À combien de kilomètres de la côte le fournisseur d'énergie doit-il placer le parc pour que son bénéfice soit maximal ?
		\item Déterminer le bénéfice réalisé, en euros, en plaçant le parc à cette distance.
	\end{enumerate} 
\item À partir de quelle distance $x$ de la côte, exprimée en dizaines de kilomètres, le bénéfice dépasse-t-il \np{190000}~euros ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Un producteur de fruits rouges propose en vente directe des framboises, des groseilles et des myrtilles. 

Le client peut acheter, soit des barquettes de fruits à déguster, soit des barquettes de fruits à confiture. 

Le producteur a remarqué que, parmi ses clients, 9 sur 10 achètent une barquette de fruits à confiture. Lorsqu'un client achète une barquette de fruits à confiture, la probabilité qu'il demande une barquette de myrtilles est de $0,3$ et la probabilité qu'il demande une barquette de groseilles est de $0,5$.

 Lorsqu'un client achète une barquette de fruits à déguster, il ne demande jamais des groseilles et demande des framboises dans 60\,\% des cas. 

Un client achète une barquette. On notera :

\setlength\parindent{5mm} 
\begin{itemize}
\item $C$ l'évènement \og le client achète une barquette de fruits à confiture \fg, 
\item $F$ l'évènement \og le client demande des framboises \fg, 
\item $G$ l'évènement \og le client demande des groseilles \fg, 
\item $M$ l'évènement \og le client demande des myrtilles \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Reporter sur l'arbre donné en \textbf{annexe 2} les données de l'énoncé.
 
On pourra compléter l'arbre avec les réponses obtenues dans les questions suivantes. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que le client demande des framboises sachant qu'il achète une barquette de fruits à confiture. 
		\item Le client achète une barquette de fruits à déguster ; quelle est la probabilité qu'il demande des myrtilles ? 
	\end{enumerate}
\item Montrer que la probabilité que le client achète une barquette de framboises est égale à $0,24$. 
\item Le client ach\`ete une barquette de framboises. Quelle est la probabilité que ce soit une barquette de fruits à confiture ? 
\item Le producteur vend 5~euros la barquette de fruits à confiture, quel que soit le fruit, 2~euros la barquette  de framboises à déguster et 3~euros la barquette de myrtilles à déguster; 
	\begin{enumerate}
		\item On note $x_{i}$ les valeurs possibles, en euros, du gain du producteur par barquette vendue et $p_{i}$ leur probabilité. Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi du gain du producteur par barquette vendue. On justifiera les réponses.
		
\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.5} 
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|m{4cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Valeur : $x_{i}$&5&2&3\\ \hline 
Probabilité associée : $p_{i}$&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
		\item Calculer l'espérance de cette loi de probabilité. 
		\item Déterminer le gain en euros que le producteur peut espérer pour 150~barquettes vendues ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large Annexe}

\vspace{0,5cm}

\textbf{(à rendre avec la copie)}

\vspace{2cm}

\begin{flushleft}
\textbf{Exercice 4}
\end{flushleft}

\vspace{3cm}

\pstree[treemode=R,treesep=1cm,levelsep=3cm,treenodesize=5pt,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}{
\pstree{\TR{$C$~}}
	{\TR{$M$}
	\TR{$F$}
	\TR{$G$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{C}$~}}
	{\TR{$M$}
	\TR{$F$}
	}
}
\end{center}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe 1\\(à rendre avec la copie)}

\vspace{1cm}

\begin{flushleft}
\textbf{Exercice 2 (enseignement de spécialité)}
\end{flushleft}

\vspace{1cm}

\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-1,-2)(16,14.5)
\definecolor{C1} {rgb}{.65 .58 .8}
\definecolor{C2} {rgb} {.85 .88 1}
\definecolor{C3} {rgb}{.5 .5 1}
\definecolor{C4} {rgb}{.95 .89 .98}
\definecolor{C5} {rgb}{1 1 0.8}
\definecolor{C6} {rgb}{.8 .8 1}
\definecolor{C7} {rgb}{.7 0.4 .8}
\definecolor{C8} {rgb}{.92 .86 .95}
\definecolor{C9} {rgb}{.72 .55 .68}
\definecolor{C10} {rgb}{.96 .9 0.88}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\rput(7.5,14){\small{\textbf {Surface (S)}}}
\psset{linewidth=0.1pt,gridcolor=gray,linecolor=gray,Alpha=162,Beta=24}
\psset{xsubticks=20,ysubticks=8}
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=xy](0,0)(10,10)
\psset{xsubticks=20,ysubticks=10}
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=xz,planeGridOffset=10](0,0)(10,10)
\psset{xsubticks=10,ysubticks=10}
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=yz](0,0)(10,10)
\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=10,yMax=10,zMax=10,drawing=false] 
\psset{linewidth=0.75pt,linecolor=black}
\pstThreeDLine(0,0,0)(0,0,10)
\pstThreeDLine(0,0,0)(10,0,0)
\pstThreeDLine(10,0,0)(10,10,0)

\psset{linewidth=0.25pt,linecolor=black}
\multido{\n=0+1}{11}{\pstThreeDLine(\n,-.1,0)(\n,0,0)
\pstThreeDPut(\n,0,-0.25){\footnotesize{\n}}}
\multido{\n=2.5+2.5,\i=2+2}{4}{\pstThreeDLine(10,\n,-.1)(10,\n,0)\pstThreeDPut(10.1,\n,-0.3){\footnotesize{\i}}}
\multido{\n=0+1,\i=0+2}{11}{\pstThreeDLine(-.1,0,\n)(0,0,\n)\pstThreeDPut(-.25,0,\n){\footnotesize{\i}}}
\pstThreeDPut(5,-1,-.5){$x$}
\pstThreeDPut(10,7,-1.5){$y$}
\pstThreeDPut(-1,0,5){$z$}

%surface
\psset{linewidth=0.1pt}
% z = 0 à z= 20
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C10,linecolor=C10]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,10){t 0 0}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,10){10 t 10 t mul 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](10,0){t 10  10 t mul 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](10,0){0 t 0}}

\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C9,linecolor=C9]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,10){t 0 0}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,9){10 t t}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,9){t 90 t div 9}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](9,0){t 10 t}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](10,0){0 t 0}}

\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C8,linecolor=C8]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,10){t 0 0}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,8){10 t t}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,8){t 80 t div 8}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](8,0){t 10 t}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](10,0){0 t 0}}

\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C7,linecolor=C7]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,10){t 0 0}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,7){10 t t}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,7){t 70 t div 7}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](7,0){t 10 t}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](10,0){0 t 0}}

\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C6,linecolor=C6]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,10){t 0 0}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,6){10 t t}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,6){t 60 t div 6}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](6,0){t 10 t}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](10,0){0 t 0}}

\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C5,linecolor=C5]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,10){t 0 0}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,5){10 t t}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,5){t 50 t div 5}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](5,0){t 10 t}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](10,0){0 t 0}}

\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C4,linecolor=C4]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,10){t 0 0}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,4){10 t t}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,4){t 40 t div 4}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](4,0){t 10 t}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](10,0){0 t 0}}

\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C3,linecolor=C3]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,10){t 0 0}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,3){10 t t}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,3){t 30 t div 3}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](3,0){t 10 t}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](10,0){0 t 0}}

\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C2,linecolor=C2]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,10){t 0 0}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,2){10 t t}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,2){t 20 t div 2}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](2,0){t 10 t}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](10,0){0 t 0}}

\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C1,linecolor=C1]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,10){t 0 0}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,1){10 t t}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,1){t 10 t div 1}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](1,0){t 10 t}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](10,0){0 t 0}}

% lignes de niveau
\psset{linewidth=.5pt,linecolor=prune}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,1){t  10  t div 1}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,2){t  20  t div 2}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,3){t  30  t div 3}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,4){t  40  t div 4}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,5){t  50  t div 5}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,6){t  60  t div 6}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,7){t  70  t div 7}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,8){t  80  t div 8}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,9){t  90  t div 9}

\psplotThreeD[drawStyle=xyLines,yPlotpoints=8,xPlotpoints=10,linewidth=0.5pt,linecolor=bleu](0,10)(0,10){x y mul 10 div}  
%la légende
\psset{unit=0.4cm}
%\psframe[linewidth=0.1pt,linecolor=darkgray](27.6,5.6)(32,21.6)
\psset{linewidth=0.1pt, fillstyle=solid,linecolor=prune}
\psframe[ fillcolor=C1](28,6)(28.8,6.8)  \rput[l](29.6 ,6.4){\small{\textsf{0-2}}}
\psframe[ fillcolor=C2](28,7.6)(28.8,8.4)  \rput[l](29.6,8){\small{\textsf{2-4}}}
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\psframe[ fillcolor=C4](28,10.8)(28.8,11.6)  \rput[l](29.6,11.2){\small{\textsf{6-8}}}
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\psframe[ fillcolor=C7](28,15.6)(28.8,16.4)  \rput[l](29.6,16){\small{\textsf{12-14}}}
\psframe[ fillcolor=C8](28,17.2)(28.8,18)  \rput[l](29.6,17.6){\small{\textsf{14-16}}}
\psframe[ fillcolor=C9](28,18.8)(28.8,19.6)  \rput[l](29.6,19.2){\small{\textsf{16-18}}}
\psframe[ fillcolor=C10](28,20.4)(28.8,21.2)  \rput[l](29.6,20.8){\small{\textsf{18-20}}}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%   fin  Centres étrangers juin 2011
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%  Antilles--Guyane juin 2011
\hypertarget{Antilles}{}

\label{Antilles}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{20 juin 2011}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{Baccalauréat ES Antilles-Guyane 20 juin 2011}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Dans chaque programme de construction proposé par un grand constructeur immobilier, les acquéreurs doivent choisir entre la pose de moquette, de carrelage ou de sol plastifié pour revêtir le sol du salon. Pour le revêtement des murs du salon, ils ont le choix entre peinture ou papier peint.

\medskip

Le recueil des choix des acquéreurs par l'entreprise donne les résultats suivants :
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item 20\,\% ont choisi la moquette;
\item 50\,\% ont choisi le carrelage;
\item les autres acquéreurs ont choisi la pose de sol plastifié.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
Parmi les acquéreurs ayant choisi la moquette, 46\,\% choisissent le papier peint pour le revêtement des murs.

Parmi les acquéreurs ayant choisi le carrelage, 52~\% choisissent le papier peint pour le revêtement des murs.

\np{42,7}\,\% des acquéreurs ont choisi le papier peint pour le revêtement des murs.

\medskip
On interroge au hasard un acquéreur de logement construit par cette entreprise.

On considère les évènements suivants:
\begin{description}
\item[$M$] l'évènement: \og l'acquéreur a choisi la pose de moquette \fg{};
\item[$C$] l'évènement: \og l'acquéreur a choisi la pose de carrelage \fg{};
\item[$S$] l'évènement: \og l'acquéreur a choisi la pose de sol plastifié \fg{};
\item[$P$] l'évènement: \og l'acquéreur a choisi la pose de papier peint \fg{};
\item[$\overline{P}$] l'évènement contraire de $P$, correspondant à : \og l'acquéreur a choisi la peinture \fg{}.
\end{description}

\emph{Les résultats seront donnés sous forme décimale, et arrondis au millième}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré, qui sera complété tout au long de l'exercice.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Décrire l'évènement $M\cap P$.
		\item Calculer la probabilité $p(M\cap P)$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la probabilité que l'acquéreur ait choisi la pose de sol plastifié et de papier peint est égale à \np{0,075}.
		\item L'acquéreur a choisi le sol plastifié. Calculer la probabilité qu'il ait choisi le papier peint.
	\end{enumerate}
\item
On interroge au hasard et de façon indépendante trois acquéreurs parmi tous les clients du constructeur.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité, notée $p_1$, qu'au moins un des trois acquéreurs ait choisi le papier peint.
		\item Calculer la probabilité, notée $p_2$, qu'exactement deux des trois acquéreurs aient choisi le papier peint.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A : étude d'une fonction}

\smallskip

Soit $f$ la fonction dérivable définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par:
\[
f(x)=\dfrac{80}{1+4\e^{-\np{0,3}x}}.
\]
Dans un repère orthogonal, on note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ et $D$ la droite d'équation $y=7x$.

On admet que la courbe $\mathcal{C}_f$ et la droite $D$ se coupent en un seul point d'abscisse $x_0$ et on donne $x_0\simeq\np{9,02}$.
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(10,9)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(10,9)
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.1cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=10,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(0,0)(20,90)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=10,ticksize=-2pt 0,subticks=2](0,0)(0,0)(20,90)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0}{20}{(-0--7*x)/1}
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=magenta,linewidth=1.25pt]{0.0}{20.0}{80/(1+4*EXP(-(0.3)*x))}
\uput[90](4,40){\magenta $\mathcal{C}_f$}
\uput[dl](0,0){O}
\uput[135](11,77){\blue $D$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f(0)$ et la valeur arrondie au centième de $f(20)$.
\item Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la limite de $f$ en $+\infty$. En déduire que la courbe $\mathcal{C}_f$ admet une asymptote horizontale au voisinage de $+\infty$ et en donner une équation.
		\item Montrer que pour tout $x$ appartenant à $[0~;~+\infty[$, on a $f(x)<80$. En déduire la position relative de la courbe $\mathcal{C}_f$ par rapport à la droite d'équation $y=80$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
	\end{enumerate}
\item À l'aide du graphique, déterminer, selon les valeurs de $x$, le signe de $7x-f(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : interprétation économique}

\smallskip


\emph{Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}.

\smallskip

\emph{On utilisera les résultats de la partie A.}

\smallskip

Une entreprise peut produire chaque jour au maximum \np{2000} thermomètres de bain pour bébé.

\smallskip

On note $x$ le nombre de centaines de thermomètres produits chaque jour travaillé, $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~20]$.

\smallskip

On suppose que le coût total de production par jour, exprimé en centaines d'euros, est égal à $f(x)$, où $f$ est la fonction définie dans la \textbf{partie A}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le montant des \og coûts fixes\fg{}, c'est-à-dire le montant des coûts lorsque la quantité produite est nulle.
\item Le coût total de production des thermomètres peut-il atteindre \np{8100}~\euro par jour~? Justifier.
\item Le prix de vente d'un thermomètre est fixé à 7~\euro. La recette journalière, exprimée en centaines d'euros, est donc donnée par $R(x)=7x$.

\smallskip

Pour quelles productions journalières de thermomètres l'entreprise réalise-t-elle un bénéfice~? Justifier.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

Une entreprise du secteur \og Bâtiments et Travaux Publics\fg{} doit réduire la quantité de déchets qu'elle rejette pour respecter une nouvelle norme environnementale. Elle s'engage, à terme, à rejeter moins de \np{30000} tonnes de déchets par an.

\smallskip

En 2007, l'entreprise rejetait \np{40000} tonnes de déchets.

Depuis cette date, l'entreprise réduit chaque année la quantité de déchets qu'elle rejette de 5~\% par rapport à la quantité rejetée l'année précédente, mais elle produit par ailleurs 200 tonnes de nouveaux déchets par an en raison du développement de nouvelles activités.

Pour tout entier naturel $n$, on note $r_n$ la quantité, en tonnes, de déchets pour l'année $(2007+n)$. On a donc $r_0=\np{40000}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $r_1$ et $r_2$.
		\item Justifier que pour tout entier $n$ naturel on a $r_{n+1}=\np{0,95}r_n+200$.
	\end{enumerate}
\item Soit $\left(s_n\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $s_n = r_n-\np{4000}$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(s_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
		\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $s_n$ en fonction de $n$.

En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a $r_n=\np{36000}\times\np{0,95}^n+\np{4000}$.
		\item La quantité de déchets rejetée diminue-t-elle d'une année sur l'autre~? Justifier.
		\item Déterminer la limite de la suite $(r_n)$ quand $n$ tend vers l'infini.
		\item Calculer une estimation, en tonnes et à une tonne près, de la quantité de rejets en 2011.
	\end{enumerate}
\item \emph{Dans cette question, tout trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}.

\smallskip

À partir de quelle année, le contexte restant le même, l'entreprise réussira-t-elle à respecter son engagement~?

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

\textbf{Les parties A et B de ce exercice sont indépendantes}

\smallskip

Le tableau suivant donne le nombre de cartes bancaires, en France, exprimé en millions, entre 2002 et 2009.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 					&2002 	&2003 	&2004 	&2005 	&2006 	&2007 	&2008 	&2009 \\\hline
Rang de l'année $x_i$ 	&0 		& 1 	& 2 	& 3 	& 4 	& 5 	& 6 	& 7 \\\hline
Nombre de cartes bancaires :
 $y_i$ (en millions)	& \np{45,4}&\np{47,6} &\np{49,1} &\np{51,2} &\np{53,6} &\np{55,7} &\np{57,5} &\np{58,4} \\\hline
\multicolumn{9}{r}{(source: INSEE / groupement des cartes bancaires)}
\end{tabularx}
\medskip

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter le nuage de points $M_i\left(x_i~;~y_i\right)$, avec $0\leqslant i\leqslant 7$, associé à cette série statistique dans le plan $(P)$ muni d'un repère orthogonal défini de la manière suivante :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item sur l'axe des abscisses, on placera 0 à l'origine et on choisira 2~cm pour représenter une année;
\item sur l'axe des ordonnées, on placera 45 à l'origine et on choisira 1~cm pour représenter 1 million.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\item Un ajustement affine du nuage de points paraît justifié.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite $(D)$ d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au centième.
		\item Tracer la droite $(D)$ dans le repère précédent.
	\end{enumerate}
\item En admettant que cet ajustement affine reste valable pour les années suivantes, estimer le nombre de cartes bancaires en France en 2011.

Le résultat sera exprimé en millions et arrondi au dixième.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que le pourcentage d'augmentation du nombre de cartes bancaires en France entre les années 2008 et 2009 est d'environ \np{1,6}~\%.
\item On admet que ce pourcentage annuel d'augmentation est valable pour les années à venir, à partir de 2009. Sous cette hypothèse, estimer le nombre de cartes bancaires en France en 2011. Le résultat sera exprimé en millions et arrondi au dixième.
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}.

Toujours sous l'hypothèse d'une augmentation annuelle de \np{1,6}\,\%, déterminer à partir de quelle année l'estimation du nombre de cartes bancaires en France sera supérieure à $63$~millions.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$.

On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère du plan.

On donne ci-dessous le tableau de variation de la fonction $f$ sur $\R$.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|ccccc|}
\hline
$x$ & $-\infty$ &\qquad\qquad &3&\qquad\qquad &$+\infty$ \\
\hline
&\rnode{a}{1}& & & &\rnode{c}{$+\infty$}\\
$f(x)$& & & & & \\
& & &\rnode{b}{$-1$}& & \\
\hline
\end{tabular}
\ncline[nodesep=3pt]{->}{a}{b}
\ncline[nodesep=3pt]{->}{b}{c}
\end{center}

On donne de plus: $f(-2)=0$ et $f(5)=0$ et $f(10)=3$.

\smallskip

À l'aide des informations fournies ci-dessus, répondre aux questions suivantes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dresser sans justification le tableau donnant le signe de $f(x)$ suivant les valeurs du nombre réel $x$.
\end{enumerate}
\emph{\textbf{Les réponses aux questions suivantes devront être justifiées.}}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La courbe $\mathcal{C}$ admet-elle une asymptote horizontale~?
		
Si oui, préciser une équation de cette droite.
		\item Montrer que l'équation $f(x)=2$ admet une unique solution sur l'intervalle $[3~;~10]$.
		\item On appelle $F$ une primitive de la fonction $f$ sur $\R$.\\
Déterminer les variations de la fonction $F$ sur $\R$.
	\end{enumerate}
\item On note $g$ la fonction définie sur $]-\infty~;~-2[\cup]5~;~+\infty[$ par $g(x)=\ln\left[f(x)\right]$ où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.
	\begin{enumerate}
		\item Expliquer pourquoi la fonction $f$ n'est pas définie sur l'intervalle $[-2~;~5]$.
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}g(x)$ et $\displaystyle\lim_{\underset{\scriptstyle x>5}{\scriptstyle 
x\rightarrow 5}}g(x)$.
		\item Préciser le sens de variation de la fonction $g$ sur son ensemble de définition.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%   fin  Antilles--Guyane juin 2011
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   La Réunion juin 2011
\hypertarget{Reunion}{}

\label{LaReunion}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small 21 juin 2011}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES La Réunion 21 juin 2011~\decofourright}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des huit questions, quatre réponses sont proposées. Une seule de ces réponses est exacte.\\
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse jugée correcte. Aucune justification n'est demandée.\\ 
Une bonne réponse rapporte $0,5$ point, une mauvaise réponse ou une absence de réponse ne rapporte ni ne retire aucun point.}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}\hline 
\textbf{1.} L'égalité $\ln [\exp(x)] = x$ :&\textbf{A.} n'est vraie que pour tout réel $x$ strictement positif.
  
\textbf{B.} est vraie pour tout réel $x$. 

\textbf{C.} n'est jamais vraie. 

\textbf{D.} n'est vraie que pour tout réel $x$ supérieur ou égal à 1.\\ \hline 
\textbf{2.} L'égalité $\exp[\ln(x)] = x$ est vraie pour tout réel $x$ appartenant à :&\begin{tabular}{m{2.9cm} m{2.9cm}} 
\textbf{A.~~} $[0~;~+\infty[$ 	&\textbf{B.~~} $\R$\\ 
\textbf{C.~~} $]0~;~+\infty[$	&\textbf{D.~~}  $[-1~;~+\infty[$\\
\end{tabular}\\  \hline
\textbf{3.} On lance une pièce de monnaie équilibrée quatre fois de suite. La probabilité d'obtenir au  moins une fois pile est :&\begin{tabular}{m{2.9cm} m{2.9cm}} 
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\textbf{A.~~} $\dfrac{1}{4}$	&\textbf{B.~~} $\dfrac{15}{16}$\\ 
\textbf{C.~~}  $\dfrac{1}{16}$	&\textbf{D.~~} $\dfrac{1}{8}$ \\
\end{tabular}\\ \hline
\textbf{4.} Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $\R$, d'expression : $f(x) = 3 \text{e}^{2x}- x + 1$.

Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point 
d'abscisse $0$ est :&\begin{tabular}{m{2.9cm} m{2.9cm}}
\textbf{A.~~} $y = 2x + 4$&\textbf{B.~~} $y = 6x+4$ \\
\textbf{C.~~}  $y = 5x + 4$ &\textbf{D.~~} $y = 5x-4$\\
\end{tabular}\\  \hline
\textbf{5.}  On considère l'inéquation : 

$\ln(3 - x) \leqslant 0$. Elle admet pour ensemble de solutions : &\begin{tabular}{m{2.9cm} m{2.9cm}} 
\textbf{A.~~} ]0~;~3]&\textbf{B.~~} [2~;~3]\\ 
\textbf{C.~~}  $[2~;~+ \infty]$&D. ]0~;~2]\\
\end{tabular}\\  \hline 
\textbf{6.}  $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{\left(- 2 + \frac{1}{x}\right)}$ est égale à : &\begin{tabular}{m{2.9cm} m{2.9cm}}
\textbf{A.~~} $0$ &\textbf{B.~~} $+\infty$\\ 
\textbf{C.~~}   $\text{e}^{-2}$&\textbf{D.~~}  $- \infty$\\ 
\end{tabular}\\  \hline
\textbf{7.} Soit $g$ la fonction définie sur  $]1~;~+ \infty[$ par : 

\[g(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}.\]

Sa courbe représentative admet :  &
\textbf{A.~~} une unique asymptote. Elle est parallèle à l'axe des abscisses.
 
\textbf{B.~~} une unique asymptote. Elle est parallèle à l'axe des ordonnées.

\textbf{C.~~}  deux asymptotes.

\textbf{D.~~} aucune asymptote.
\\ \hline
\textbf{8.} Soit $h$ la fonction définie et dérivable sur 
$]0~;~+ \infty[$ d'expression :

\[h(x) = 2\ln (x) - x \]

Soit $h'$ la fonction dérivée de $h$ sur $]0~; + \infty[$. Alors l'expression de $h'$ est :& 

\textbf{A.~~} $h'(x) = \dfrac{2 - x}{x}$\rule[-3mm]{0mm}{9mm}

\textbf{B.~~} $h'(x) = \dfrac{2}{x} - x$

\textbf{C.~~} $h'(x) = \dfrac{1}{x} - 1$

\textbf{D.~~} $h'(x) = \dfrac{2}{x} + 1$\rule[-3mm]{0mm}{9mm}
 \\ \hline
\end{tabularx}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

En vue de sa prochaine brochure d'information sur les dangers d'internet un lycée a fait remplir un questionnaire à chacun des \np{2000}~élèves, répartis dans les sections de seconde, première et terminale.

On obtient la répartition suivante : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] un quart des élèves est en terminale ; 
\item[$\bullet~~$] 35\,\% des élèves sont en première ; 
\item[$\bullet~~$] tous les autres sont en seconde ; 
\item[$\bullet~~$] parmi les élèves de terminale, 70\,\% utilisent régulièrement internet ; 
\item[$\bullet~~$] 630 élèves sont des élèves de première qui utilisent régulièrement internet. 
\item[$\bullet~~$] \np{1740}~élèves utilisent régulièrement internet.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Cette enquête permet de modéliser le choix d'un élève du lycée.
 
On choisit au hasard un questionnaire d'élève en supposant que ce choix se fait en situation d'équiprobabilité. On note :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $S$ l'évènement \og le questionnaire est celui d'un élève en classe de seconde \fg
\item[$\bullet~~$] $E$ 	l'évènement \og le questionnaire est celui d'un élève en classe de première \fg 
\item[$\bullet~~$] $T$ 	l'évènement \og le questionnaire est celui d'un élève en classe de terminale \fg 
\item[$\bullet~~$] $I$ l'évènement \og le questionnaire est celui d'un élève qui utilise régulièrement internet \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau d'effectifs donné en annexe. 
\item Déterminer la probabilité d'obtenir le questionnaire d'un élève de seconde qui utilise régulièrement internet. 
\item Calculer la probabilité de $I$ sachant $T$, notée $P_{T}(I)$, et interpréter ce résultat à l'aide d'une phrase. 
\item Calculer la probabilité que le questionnaire choisi soit celui d'un élève qui n'utilise pas internet. 
\item Le questionnaire est celui d'un élève qui utilise régulièrement internet.
 
Montrer que la probabilité que ce soit le questionnaire d'un élève de première est égale à $\dfrac{21}{58}$.
\item On choisit au hasard, successivement et avec remise, trois questionnaires.
 
Quelle est la probabilité que, parmi les trois questionnaires, un exactement soit celui d'un élève utilisateur régulier d'internet ? 

On en donnera la valeur arrondie au millième. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

\emph{Dans cet exercice tous les résultats numériques seront arrondis à l'unité sauf indication contraire.}

\smallskip

Le tableau ci-dessous donne l'évolution du nombre d'hypermarchés (établissement, réalisant plus d'un tiers de leurs ventes en alimentation et dont la surface est supérieure à \np{2500}~m$^2$) en France de l'année 1991 à l'année 2003. 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année					&1991	&1993	&1995	&1997	&1999	&2001	&2003\\ \hline
Rang de l'année $x_{i}$	&1		&3		&5		&7		&9		&11		&13\\ \hline
Nombre d'hypermarchés
 $y_{i}$				&862	&955	&\np{1048}&\np{1112}&\np{1184}&\np{1261}&\np{1343}\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Partie A -- Un ajustement affine}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Représenter le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal.
 
Unités graphiques : 1~cm représente une année en abscisse et 1~cm représente 100 hypermarchés en ordonnée ; faire débuter la graduation à 800 sur l'axe des ordonnées. 
\item  Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage et le placer dans le repère précédent. 
\item  Dans cette question, les calculs seront effectués à la calculatrice. 

Donner une équation de la droite de régression D de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés.
 
Représenter cette droite D dans le repère précédent. 
\item En supposant que ce modèle reste valide jusqu'en 2012, en déduire une estimation du nombre d'hypermarché, en France pour l'année 2012. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B -- Un nouvel ajustement}

\medskip
 
Les relevés précédents permettent de considérer que le nombre d'hypermarchés en France augmente de 3,2\,\% par an à partir de 1997.
 
On suppose que cette progression reste valide jusqu'en 2018.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer une estimation du nombre d'hypermarchés en France pour l'année 2012.
 
\emph{Dans la question suivante,  toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\smallskip

\item  Déterminer à partir de quelle année le nombre d'hypermarchés en France dépassera \np{2000}. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

Un artisan glacier fabrique des glaces et des sorbets.
 
On appelle respectivement $x$ et $y$ les quantités de glace et de sorbet exprimées en centaines de litres, produites et vendues quotidiennement.
 
Le coût total de production $z$ exprimé en dizaines d'euros, est donné par la relation : 

\[z = 2x^2 + y^2 - xy + 6x,\,\, \text{avec}\, x  \in [0~;~10]\,\text{et} y \in [0~;~10].\] 

Sur l'annexe 2 :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] la surface ($S$) représentant le coût de production en fonction de $x$ et de $y$ dans un repère orthogonal est donnée en figure 1 ;
\item[$\bullet~~$] la figure 2 représente la projection orthogonale de la surface ($S$) sur le plan ($x$O$y$) ; 
\item[$\bullet~~$] les courbes de niveau de cette surface sont représentées pour $z$ allant de 20 en 20.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item C est le point de ($S$) d'abscisse 6 et d'ordonnée 2.
		 
Placer le point C sur la figure 1 donnée en annexe ?
		\item Calculer la cote $z$ du point C précédent. Interpréter le résultat obtenu. 
		\item On suppose dans cette question que $y = 4$.
		 
Exprimer alors $z$ en fonction de $x$.
 
En déduire la nature de la section de la surface ($S$) par le plan d'équation $y = 4$. 

Surligner en couleur cet ensemble sur la figure 1.
	\end{enumerate} 
Pour des raisons de stockage et de rentabilité, la fabrication de $x$ centaines de litres de glace et de $y$ centaines de litres de sorbet engendre la contrainte : $x + y = 10$.
 
On note (E) l'ensemble des points du plan vérifiant cette contrainte. 
	\begin{enumerate}
		\item La figure 2 donnée en annexe 2, représente les lignes de niveau des coûts de production.
		 
Représenter l'ensemble (E) sur cette figure. 
		\item Vérifier que, sous la contrainte $x + y = 10,\, z$ peut s'écrire sous la forme:
		
$z = g(x)$, avec $g(x) = 4x^2 - 24x + 100$.

\medskip
 
Dans la question suivante, toute trace de recherche, même incomplète,  ou d'initiative même non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.

\medskip
 
Déterminer les quantités de glace et de sorbet (en centaines de litres) qu'il faudrait produire pour que le coût de production soit minimum. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center} 
\small{\textbf{\textsf{\textsc{annexe 2} de l'exercice 3}}}
\end{center}

\small{\textbf {Figure 1}}


\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-9,0)(9,16)
\definecolor{C1} {rgb}{.7 0.4 .8}
\definecolor{C2} {rgb}{.96 .9 0.88}
\definecolor{C3} {rgb}{.5 .5 1}
\definecolor{C4} {rgb}{.95 .89 .98}
\definecolor{C5} {rgb}{.65 .58 .8}
\definecolor{C6} {rgb}{.8 .8 1}
\definecolor{C7} {rgb}{.72 .55 .68}
\definecolor{C8} {rgb}{.92 .86 .95}
\definecolor{C9} {rgb}{.97 .98 0.8}
\definecolor{C10} {rgb} {.85 .88 1}
\definecolor{C11} {rgb}{.56 .4 0.48}
\definecolor{C12} {rgb}{.85 .88 0.78}
\definecolor{C13} {rgb}{.48 .58 0.78}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{linewidth=0.1pt,gridcolor=gray,linecolor=gray,Alpha=30,Beta=-20}
\psset{xsubticks=10,ysubticks=10}
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=xy](0,0)(10,10)
\psset{xsubticks=10,ysubticks=13}
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=xz,planeGridOffset=10](0,0)(10,13)
\psset{xsubticks=10,ysubticks=13}
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=yz,planeGridOffset=10](0,0)(10,13)
\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=10,yMax=10,zMax=10,drawing=false] 
\psset{linewidth=0.75pt,linecolor=black}
\pstThreeDLine(10,0,0)(10,0,13)
\pstThreeDLine(0,0,0)(10,0,0)
\pstThreeDLine(0,0,0)(0,10,0)

\psset{linewidth=0.25pt,linecolor=black}
\multido{\n=0+1}{11}{\pstThreeDLine(\n,-.1,0)(\n,0,0)
\pstThreeDPut(\n,0,-0.25){\footnotesize{\n}}}
\multido{\n=2+2,\i=2+2}{5}{\pstThreeDLine(-.1,\n,0)(0,\n,0)\pstThreeDPut(-0.2,\n,-0.1){\footnotesize{\i}}}
\multido{\n=0+1,\i=0+20}{14}{\pstThreeDLine(10.1,0,\n)(10,0,\n)\pstThreeDPut(10.5,0,\n){\footnotesize{\i}}}
\pstThreeDPut(5,-1,-.5){$x$}
\pstThreeDPut(0,7,-1.5){$y$}
\pstThreeDPut(11.5,0,5.5){$z$}
%surface
\psset{linewidth=0.1pt}
% z = 0 à z= 20
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C13,linecolor=C13]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,10){t 0 t t 3 add mul 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,10){10 t t dup mul 10 t mul sub 260 add 20 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,0){t 10 t dup mul 2 t mul sub 50 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,0){0 t t dup mul 20 div}}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C12,linecolor=C12]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,9.55667){t 0 t t 3 add mul 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,2.76393){1956 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt t add 6 sub 4 div t 12}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](2.76393,7.23607){10 t t dup mul 10 t mul sub 260 add 20 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](7.23607,10){1956 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt t add 6 sub 4 div t 12}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](9.42615,0){t 10 t dup mul 2 t mul sub 50 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,0){0 t t dup mul 20 div}}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C11,linecolor=C11]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,9.09481){t 0 t t 3 add mul 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,10){1796 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt t add 6 sub 4 div t 11}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](8.81025,0){t 10 t dup mul 2 t mul sub 50 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,0){0 t t dup mul 20 div}}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C10,linecolor=C10]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,8.61187){t 0 t t 3 add mul 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,10){1636 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt t add 6 sub 4 div t 10}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](8.14143,0){t 10 t dup mul 2 t mul sub 50 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,0){0 t t dup mul 20 div}}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C9,linecolor=C9]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,8.10469){t 0 t t 3 add mul 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,10){1476 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt t add 6 sub 4 div t 9}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](7.40312,0){t 10 t dup mul 2 t mul sub 50 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,0){0 t t dup mul 20 div}}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C8,linecolor=C8]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,7.56918){t 0 t t 3 add mul 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,10){1316 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt t add 6 sub 4 div t 8}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](6.56776,0){t 10 t dup mul 2 t mul sub 50 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,0){0 t t dup mul 20 div}}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C7,linecolor=C7]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,7){t 0 t t 3 add mul 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,10){1156 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt t add 6 sub 4 div t 7}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](5.58258,0){t 10 t dup mul 2 t mul sub 50 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,0){0 t t dup mul 20 div}}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C6,linecolor=C6]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,6.38987){t 0 t t 3 add mul 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,10){996 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt t add 6 sub 4 div t 6}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](4.31662,0){t 10 t dup mul 2 t mul sub 50 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,0){0 t t dup mul 20 div}}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C5,linecolor=C5]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,5.72842){t 0 t t 3 add mul 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,10){836 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt t add 6 sub 4 div t 5}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](2,0){t 10 t dup mul 2 t mul sub 50 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,0){0 t t dup mul 20 div}}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C4,linecolor=C4]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,5.72842){t 0 t t 3 add mul 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,9.00724){676 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt t add 6 sub 4 div t 4}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=10](9.00724,8.94427){676 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt neg t add 6 sub 4 div t 4}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](8.94427,0){0 t t dup mul 20 div}}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C3,linecolor=C3]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,4.17891){t 0 t t 3 add mul 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,7.771239){516 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt t add 6 sub 4 div t 3}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=10](7.771239,7.74597){516 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt neg t add 6 sub 4 div t 3}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](7.74597,0){0 t t dup mul 20 div}}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C2,linecolor=C2]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,3.21699){t 0 t t 3 add mul 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,6.325599){356 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt t add 6 sub 4 div t 2}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=10](6.325599,6.32456){356 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt neg t add 6 sub 4 div t 2}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](6.32456,0){0 t t dup mul 20 div}}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C1,linecolor=C1]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,2){t 0 t t 3 add mul 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,4.47214){196 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt t add 6 sub 4 div t 1}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](4.47214,0){0 t t dup mul 20 div}}

% lignes de niveau
\psset{linewidth=.5pt,linecolor=prune}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,2.76393){1956 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt t add 6 sub 4 div t 12}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](7.23607,10){1956 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt t add 6 sub 4 div t 12}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,10){1796 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt t add 6 sub 4 div t 11}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,10){1636 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt t add 6 sub 4 div t 10}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,10){1476 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt t add 6 sub 4 div t 9}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,10){1316 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt t add 6 sub 4 div t 8}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,10){1156 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt t add 6 sub 4 div t 7}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,10){996 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt t add 6 sub 4 div t 6}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,10){836 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt t add 6 sub 4 div t 5}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,9.00724){676 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt t add 6 sub 4 div t 4}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=10](9.00724,8.94427){676 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt neg t add 6 sub 4 div t 4}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,7.771239){516 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt t add 6 sub 4 div t 3}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=10](7.771239,7.74597){516 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt neg t add 6 sub 4 div t 3}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,6.325599){356 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt t add 6 sub 4 div t 2}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=10](6.325599,6.32456){356 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt neg t add 6 sub 4 div t 2}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,4.47214){196 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt t add 6 sub 4 div t 1}


\psplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=10,xPlotpoints=100,linewidth=0.5pt,linecolor=bleu](0,10)(0,10){2 x dup mul mul y dup mul add x y mul sub 6 x mul add  20 div}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,xPlotpoints=10,yPlotpoints=100,linewidth=0.5pt,linecolor=bleu](0,10)(0,10){2 x dup mul mul y dup mul add x y mul sub 6 x mul add  20 div}
%la légende
\psset{unit=0.5cm}
%\psframe[linewidth=0.1pt,linecolor=darkgray](27.6,5.6)(32,21.6)
\psset{linewidth=0.1pt, fillstyle=solid,linecolor=prune}
\psframe[ fillcolor=C1](10,5)(10.8,5.8)  \rput[l](11.6 ,5.4){\small{\textsf{0-20}}}
\psframe[ fillcolor=C2](10,6.6)(10.8,7.4)  \rput[l](11.6,7){\small{\textsf{20-40}}}
\psframe[ fillcolor=C3](10,8.2)(10.8,9)  \rput[l](11.6,8.6){\small{\textsf{40-60}}}
\psframe[ fillcolor=C4](10,9.8)(10.8,10.6)  \rput[l](11.6,10.2){\small{\textsf{60-80}}}
\psframe[ fillcolor=C5](10,11.4)(10.8,12.2)  \rput[l](11.6,11.8){\small{\textsf{80-100}}}
\psframe[ fillcolor=C6](10,13)(10.8,13.8)  \rput[l](11.6,13.4){\small{\textsf{100-120}}}
\psframe[ fillcolor=C7](10,14.6)(10.8,15.4)  \rput[l](11.6,15){\small{\textsf{120-140}}}
\psframe[ fillcolor=C8](10,16.2)(10.8,17)  \rput[l](11.6,16.6){\small{\textsf{140-160}}}
\psframe[ fillcolor=C9](10,17.8)(10.8,18.6)  \rput[l](11.6,18.2){\small{\textsf{160-180}}}
\psframe[ fillcolor=C10](10,19.4)(10.8,20.2)  \rput[l](11.6,19.8){\small{\textsf{180-200}}}
\psframe[ fillcolor=C11](10,21)(10.8,21.8)  \rput[l](11.6,21.4){\small{\textsf{200-220}}}
\psframe[ fillcolor=C12](10,22.6)(10.8,23.4)  \rput[l](11.6,23){\small{\textsf{220-240}}}
\psframe[ fillcolor=C13](10,24.2)(10.8,25)  \rput[l](11.6,24.6){\small{\textsf{240-260}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\small{\textbf {Figure 2}}

\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(0,0)(12,10)
\definecolor{C1} {rgb}{.7 0.4 .8}
\definecolor{C2} {rgb}{.96 .9 0.88}
\definecolor{C3} {rgb}{.5 .5 1}
\definecolor{C4} {rgb}{.95 .89 .98}
\definecolor{C5} {rgb}{.65 .58 .8}
\definecolor{C6} {rgb}{.8 .8 1}
\definecolor{C7} {rgb}{.72 .55 .68}
\definecolor{C8} {rgb}{.92 .86 .95}
\definecolor{C9} {rgb}{.97 .98 0.8}
\definecolor{C10} {rgb} {.85 .88 1}
\definecolor{C11} {rgb}{.56 .4 0.48}
\definecolor{C12} {rgb}{.85 .88 0.78}
\definecolor{C13} {rgb}{.48 .58 0.78}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psset{linewidth=.1pt}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=C13,linecolor=C13](0,0)(10,10)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C12,linecolor=C12]{
\psline(0,0)(9.55667,0)
\psplot[plotpoints=50]{9.55667}{10}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 960 add sqrt neg  x add 2 div }
\psline(10,2.76393)(10,7.23607)
\psplot[plotpoints=50]{10}{9.42615}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 960 add sqrt x add 2 div }
\psline(9.42615,10)(0,10)(0,0)
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C11,linecolor=C11]{
\psline(0,0)(9.09481,0)
\psplot[plotpoints=50]{9.09481}{9.628247}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 880 add sqrt neg  x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{9.628247}{8.81025}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 880 add sqrt x add 2 div }
\psline(8.81025,10)(0,10)(0,0)
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C10,linecolor=C10]{
\psline(0,0)(8.61187,0)
\psplot[plotpoints=50]{8.61187}{9.11274}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 800 add sqrt neg  x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{9.11274}{8.14143}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 800 add sqrt x add 2 div }
\psline(8.14143,10)(0,10)(0,0)
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C9,linecolor=C9]{
\psline(0,0)(8.10469,0)
\psplot[plotpoints=50]{8.10469}{8.57142}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 720 add sqrt neg  x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{8.57142}{7.40312}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 720 add sqrt x add 2 div }
\psline(7.40312,10)(0,10)(0,0)
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C8,linecolor=C8]{
\psline(0,0)(7.56918,0)
\psplot[plotpoints=50]{7.56918}{8}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 640 add sqrt neg  x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{8}{6.56776}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 640 add sqrt x add 2 div }
\psline(6.56776,10)(0,10)(0,0)
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C7,linecolor=C7]{
\psline(0,0)(7,0)
\psplot[plotpoints=50]{7}{7.39278}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 560 add sqrt neg  x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{7.39278}{5.58258}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 560 add sqrt x add 2 div }
\psline(5.58258,10)(0,10)(0,0)
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C6,linecolor=C6]{
\psline(0,0)(6.38987,0)
\psplot[plotpoints=50]{6.38987}{6.74208}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 480 add sqrt neg  x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{6.74208}{4.31962}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 480 add sqrt x add 2 div }
\psline(4.31962,10)(0,10)(0,0)
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C5,linecolor=C5]{
\psline(0,0)(5.72842,0)
\psplot[plotpoints=50]{5.72842}{6.03694}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 400 add sqrt neg  x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{6.03694}{2}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 400 add sqrt x add 2 div }
\psline(2,10)(0,10)(0,0)
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C4,linecolor=C4]{
\psline(0,0)(5,0)
\psplot[plotpoints=50]{5}{5.26088}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 320 add sqrt neg x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{5.26088}{0}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 320 add sqrt   x add 2 div }
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C3,linecolor=C3]{
\psline(0,0)(4.17891,0)
\psplot[plotpoints=50]{4.17891}{4.3869}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 240 add sqrt neg x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{4.3869}{0}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 240 add sqrt   x add 2 div }
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C2,linecolor=C2]{
\psline(0,0)(3.21699,0)
\psplot[plotpoints=50]{3.21699}{3.36468}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 160 add sqrt neg x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{3.36468}{0}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 160 add sqrt   x add 2 div }
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C1,linecolor=C1]{
\psline(0,0)(2,0)
\psplot[plotpoints=50]{2}{2.07614}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 80 add sqrt neg x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{2.07614}{0}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 80 add sqrt   x add 2 div }
}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(10,10)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=0.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(10,10)
\uput[d](10,0){$x$} \uput[dl](0,10){$y$}
% lignes de niveau
\psset{linewidth=1pt,linecolor=prune}
\psplot[plotpoints=50]{9.55667}{10}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 960 add sqrt neg  x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{10}{9.42615}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 960 add sqrt x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{9.09481}{9.628247}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 880 add sqrt neg  x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{9.628247}{8.81025}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 880 add sqrt x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{8.61187}{9.1127405}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 800 add sqrt neg  x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{9.1127405}{8.14143}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 800 add sqrt x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{8.10469}{8.571428}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 720 add sqrt neg  x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{8.571428}{7.40312}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 720 add sqrt x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{7.56918}{8}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 640 add sqrt neg  x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{8}{6.56776}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 640 add sqrt x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{7}{7.392787}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 560 add sqrt neg  x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{7.392787}{5.58258}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 560 add sqrt x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{6.38987}{6.742084}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 480 add sqrt neg  x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{6.742084}{4.31962}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 480 add sqrt x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{5.72842}{6.036948}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 400 add sqrt neg  x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{6.036948}{2}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 400 add sqrt x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{5}{5.260889}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 320 add sqrt neg x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{5.260889}{0}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 320 add sqrt  x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{4.17891}{4.386902}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 240 add sqrt neg x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{4.386902}{0}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 240 add sqrt   x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{3.21699}{3.3646825}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 160 add sqrt neg x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{3.3646825}{0}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 160 add sqrt   x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{2}{2.0761415}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 80 add sqrt neg x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{2.0761415}{0}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 80 add sqrt   x add 2 div }
% légende
\psset{unit=0.4cm}
%\psframe[linewidth=0.1pt,linecolor=darkgray](27.6,5.6)(32,21.6)
\psset{linewidth=0.1pt, fillstyle=solid,linecolor=prune}
\psframe[ fillcolor=C1](22,0)(22.8,0.8)  \rput[l](23.6 ,0.4){\small{\textsf{0-20}}}
\psframe[ fillcolor=C2](22,1.6)(22.8,2.4)  \rput[l](23.6,2){\small{\textsf{20-40}}}
\psframe[ fillcolor=C3](22,3.2)(22.8,4)  \rput[l](23.6,3.6){\small{\textsf{40-60}}}
\psframe[ fillcolor=C4](22,4.8)(22.8,5.6)  \rput[l](23.6,5.2){\small{\textsf{60-80}}}
\psframe[ fillcolor=C5](22,6.4)(22.8,7.2)  \rput[l](23.6,6.8){\small{\textsf{80-180}}}
\psframe[ fillcolor=C6](22,8)(22.8,8.8)  \rput[l](23.6,8.4){\small{\textsf{180-120}}}
\psframe[ fillcolor=C7](22,9.6)(22.8,10.4)  \rput[l](23.6,10){\small{\textsf{120-140}}}
\psframe[ fillcolor=C8](22,11.2)(22.8,12)  \rput[l](23.6,11.6){\small{\textsf{140-160}}}
\psframe[ fillcolor=C9](22,12.8)(22.8,13.6)  \rput[l](23.6,13.2){\small{\textsf{160-180}}}
\psframe[ fillcolor=C10](22,14.4)(22.8,15.2)  \rput[l](23.6,14.8){\small{\textsf{180-200}}}
\psframe[ fillcolor=C11](22,16)(22.8,16.8)  \rput[l](23.6,16.4){\small{\textsf{200-220}}}
\psframe[ fillcolor=C12](22,17.6)(22.8,18.4)  \rput[l](23.6,18){\small{\textsf{220-240}}}
\psframe[ fillcolor=C13](22,19.2)(22.8,20)  \rput[l](23.6,19.6){\small{\textsf{240-260}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

On considère la fonction $f$ définie sur l' intervalle $]2~;~+ \infty[$ par : 

\[f(x) = x^2 - 3x + 2 - 3\ln (x - 2).\]
 
La courbe $\mathcal{C}_{f}$ représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal est donnée en annexe. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner par lecture graphique : $\displaystyle\lim_{x \to 2} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. 
		\item Retrouver par le calcul $\displaystyle\lim_{x \to 2} f(x)$. 
	\end{enumerate}
\item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle  $]2~;~+ \infty[$. 
 	
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f^{\prime}(x)$ et montrer que : $f^{\prime}(x) = \dfrac{(x - 3)(2x - 1)}{x - 2}$. 
		\item Étudier le signe de $f^{\prime}(x)$. 
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$. 
	\end{enumerate}		
\item Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]2~;~+ \infty[$ par $g(x) = \ln(x - 2)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $G$ la fonction définie sur l'intervalle $]2~;~+ \infty[$ par : 

\[G(x) = (x - 2) \ln(x - 2) - x.\]
 
Montrer que $G$ est une primitive de $g$ sur l'intervalle $]2~;~+ \infty[$. 
		\item En déduire une primitive $F$ de $f$ sur l'intervalle $]2~;~+ \infty[$. 
		\item Sur l'annexe (à rendre avec la copie), hachurer le domaine $D$, délimité par la courbe $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 3$ et $x = 4$. 
		\item Calculer l'aire,  exprimée en unités d'aire,  du domaine $D$.
		 
On donnera la valeur exacte de celle aire puis une valeur approchée au centième près.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\newpage
\begin{center}
\textbf{Annexe 1 de l'exercice 2}

\vspace{1cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
						&Seconde&Première 	&Terminale 	&Total\\ \hline
Utilise internet 
régulièrement 			&		&			&			&\\ \hline
N'utilise pas internet
régulièrement			&		&			&			&\\ \hline
Total 					&		&			&			&\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{1cm}

\textbf{Annexe 2 de l'exercice 4}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(9,14)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=0.4pt](0,0)(9,14)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(9,14)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(9,14)
\uput[u](8.8,0){$x$}\uput[r](0,13.9){$y$}\uput[r](5,9){\blue $\mathcal{C}_{f}$}
\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{2.0094}{5.77}{x dup mul 3 x mul sub 2 add x 2 sub ln 3 mul sub}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%   fin La Réunion juin 2011
\newpage
%%%%%%%%%%% Métropole juin 2011
\hypertarget{Metropole}{}

\label{Metropole}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small 22 juin 2011}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Métropole 22 juin 2011~\decofourright}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

La Caisse Nationale de l'Assurance Maladie des Travailleurs Salariés (CNAMTS) publie, chaque année, des statistiques sur les accidents du travail en France. Celles-ci permettent d'obtenir divers indicateurs, notamment l'indice de fréquence (nombre moyen d'accidents du travail avec arrêt pour 1000 salariés).

Le tableau ci-dessous donne l'évolution de l'indice de fréquence pour le secteur du BTP (Bâtiment et Travaux Publics) en France, au cours des années 2001 à 2009 :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.8cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année& 2001& 2002& 2003& 2004& 2005& 2006& 2007& 2008& 2009\\ \hline
Rang de l'année : $x_{i}$& 1& 2 &3& 4& 5 &6 &7 &8 &9\\ \hline
Indice de fréquence : $y_{i}$& 100,3& 98,9& 91,6& 89,5& 87,6& 85,4& 84,0& 79,9& 76,0\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Premier ajustement}

\medskip

Grâce à un logiciel, un élève a obtenu le nuage de points représentant la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ et, par la méthode des moindres carrés, la droite d'ajustement de $y$ en $x$ dont une équation est $y = - 2, 89x + 102, 59$ (les coefficients sont arrondis à $0,01$).

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=0.9cm,yunit=0.045cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-10)(11,110)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=10](0,0)(11,110)
\psdots(1,100,3)(2,98,9)(3,91,6)(4,89,5)(5,87,6)(6,85,4)(7,84,0)(8,79,9)(9,76,0)
\psplot[linewidth=1.1pt,plotpoints=1000]{0}{11}{102.59 2.89 x mul sub}
\end{pspicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item En supposant que cet ajustement affine est valable jusqu'en 2012, déterminer une estimation de l'indice de fréquence en l'année 2012.
		\item Quel serait le pourcentage d'évolution entre 2007 et 2012 de l'indice de fréquence selon ce modèle ? On arrondira le résultat à $10^{- 2}$.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Deuxième ajustement}
	
\medskip
	
Un autre élève envisage un ajustement exponentiel de la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$.
	
On pose $z_{i} = \ln y_{i}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau ci-dessous (les valeurs de $z_{i}$ seront arrondies à $10^{-3}$).
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.5cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline		
$x_{i}$				&1		&2 		&3		&4	&5 	&6 	&7 	&8 	&9\\ \hline
$z_{i} = \ln y_{i}$	&4,608	&4,594	&4,517	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$ sous la forme $z = ax + b$, les coefficients $a$ et $b$ étant arrondis à $10^{?4}$.
		\item En déduire une expression de $y$ en fonction de $x$ sous la forme $y = K\text{e}^{\np{- 0,0328}x},\, K$ étant une constante arrondie à $10^{?1}$ près.
	\end{enumerate}
\item  \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
	
\medskip
	
La stratégie européenne de santé au travail a fixé comme objectif une réduction de 25\,\% de l'indice de fréquence entre 2007 et 2012.
	
Peut-on prévoir d'atteindre cet objectif selon les deux ajustements précédents, que l'on suppose
valables jusqu'en 2012 ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

Une chaîne de production d'une usine fabrique des vêtements pour nourrissons. Une étude statistique a montré que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 12\,\% des vêtements fabriqués ont un défaut dans la couleur,
\item[$\bullet~~$] parmi les vêtements ayant un défaut dans la couleur, 20\,\% ont un défaut dans la forme,
\item[$\bullet~~$] parmi les vêtements n'ayant pas de défaut dans la couleur, 8\,\% présentent un défaut dans la forme.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On appelle $C$ l'évènement \og le vêtement présente un défaut dans la couleur \fg{} et $\overline{C}$ l'évènement contraire.

On appelle $F$ l'évènement \og le vêtement présente un défaut dans la forme \fg{} et $\overline{F}$ l'évènement contraire.

Un employé choisit un vêtement au hasard, dans un lot de vêtements fabriqués et conformes à l'étude statistique ci-dessus.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire les données de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que le vêtement choisi ait un défaut dans la couleur et un défaut dans la forme.
		\item Calculer la probabilité que le vêtement choisi ait un défaut dans la forme.
		\item Les évènements $C$ et $F$ sont-ils indépendants ? Justifier.
 	\end{enumerate}
\item  Le directeur de l'usine affirme que 92\,\% des vêtements fabriqués ne présentent aucun défaut.
	
Cette affirmation est-elle correcte ? Expliquer.
\item  Les employés de l'usine sont autorisés à acheter des vêtements à tarif préférentiel.
	
L'un d'entre eux choisit au hasard trois vêtements. Le nombre de vêtements fabriqués est suffisamment grand pour considérer que les trois choix sont indépendants.
	
Quelle est la probabilité pour qu'aucun de ces trois vêtements choisis ne présente de défaut ? Le
résultat sera arrondi à $10^{- 3}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

Chaque année, une association de cyclotourisme prépare de nouveaux circuits. Pour satisfaire ses nombreux membres, elle élabore des circuits de différents niveaux : \og niveau facile \fg, \og niveau moyen \fg{} et \og niveau difficile \fg.

Au premier janvier 2010, l'association a fait son bilan :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 20\,\% de ses adhérents ont choisi le niveau facile, noté A
\item[$\bullet~~$] 70\,\% de ses adhérents ont choisi le niveau moyen, noté B
\item[$\bullet~~$] 10\,\% de ses adhérents ont choisi le niveau difficile, noté C
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Pour répondre aux attentes des adhérents et les fidéliser sur le long terme, une enquête est effectuée.

Il s'avère que, d'une année à l'autre :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] parmi les adhérents ayant choisi le niveau A, 40\,\% restent à ce niveau et 60\,\% passent au niveau B,
\item[$\bullet~~$] parmi les adhérents ayant choisi le niveau B, 70\,\% restent à ce niveau et 20\,\% reviennent au niveau A et les autres passent passent au niveau C,
\item[$\bullet~~$] parmi les adhérents ayant choisi le niveau C, 85\,\% restent à ce niveau et les autres reviennent au niveau~B.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

On note :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] A l'état \og l'adhérent a choisi le niveau A \fg,
\item[$\bullet~~$] B l'état \og l'adhérent a choisi le niveau B \fg,
\item[$\bullet~~$] C l'état \og l'adhérent a choisi le niveau C \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

Pour $n$ entier naturel positif ou nul, on note $P_{n} = \left(a_{n}\quad b_{n}\quad c_{n}\right)$ la matrice ligne donnant l'état probabiliste de la répartition dans les différents niveaux (indiqués dans l'ordre donné dans l'énoncé), au premier janvier de l'année $2010 + n$. Ainsi $P_{0} = (0,2\quad 0,7 \quad 0,1)$.

\medskip

On se décide se baser uniquement sur ces résultats pour prévoir l'évolution de la répartition à partir du premier janvier 2010 (on néglige donc les nouveaux abonnés et les départs).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets A, B et C.
\item Reproduire et compléter la matrice de transition $M$ de ce graphe probabiliste, en respectant l'ordre alphabétique des sommets.

\[M = \begin{pmatrix}
\cdots	&\cdots	&0\\
0,2		&\cdots	&\cdots\\
\cdots	&0,15	&\cdots\\
\end{pmatrix}\]
\item Une seule des trois matrices $Q,\,R,\, T$ ci-dessous correspond à l'état probabiliste stable.

\[Q = \begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}\\
\end{pmatrix}\quad R =   \begin{pmatrix}\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{3}\\\end{pmatrix}  \quad T = \begin{pmatrix}\dfrac{1}{5}&\dfrac{4}{5}&0\\\end{pmatrix}\]

Le président de l'association affirme que 50\,\% des adhérents choisiront apr\`es un certain nombre d'années le niveau B. Cette affirmation est-elle correcte ?
\end{enumerate} 

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule des trois réponses est exacte.

Recopier le numéro de chaque question et indiquer la réponse choisie.

Aucune justification n'est demandée.

\textbf{Barème :} \emph{Une réponse exacte rapporte $1$ point ; une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels $\R$ par :
\[f(x) = \text{e}^{-2x+1}\]

On note $f'$ sa fonction dérivée.

	\begin{enumerate}
		\item Pour tout $x$ de $\R,\, f'(x) = \text{e}^{-2}$
		\item Pour tout $x$ de $\R,\, f'(x) = \text{e}^{-2x+1}$
		\item Pour tout $x$ de $\R,\, f'(x) = - 2\text{e}^{-2x+1}$
	\end{enumerate}
\item On donne le tableau de variation d'une fonction $g$ définie et continue sur l'intervalle $[? 5~;~12]$.
	
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,2.5)
\psframe(7,2.5) \psline(0,2)(7,2) \psline(1,0)(1,2.5)
\uput[u](0.5,2){$x$} \uput[u](1.3,2){$- 5$} \uput[u](3,2){$2$} \uput[u](5,2){$8$} \uput[u](6.8,2){$12$}
\rput(0.5,1){$g(x)$} \uput[d](1.7,2){$- 3$} \uput[d](5,2){$1$}\uput[u](3,0){$- 8$} \uput[u](6.8,0){$0$}
\psline{->}(1.8,1.5)(2.7,0.5)\psline{->}(5.5,1.5)(6.5,0.5)\psline{->}(3.5,0.5)(4.5,1.5)
\end{pspicture}
\end{center}	
	\begin{enumerate}
		\item $\displaystyle\int_{-5}^2 g(x)\:\text{d}x = 7$
		\item L'équation $g(x) = 0$ admet exactement deux solutions sur l'intervalle $[- 5~;~12]$
		\item Pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[- 5~;~12],\,  g(x) < 0$.
\end{enumerate}
\item La courbe $\mathcal{C}$ donnée ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction $h$ définie et dérivable sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. La droite (AB), tracée sur le graphique, est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point B d'abscisse 1.

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-3)(7,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=lightgray](0,-3)(7,4)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-3)(7,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O}\uput[ur](5,-1.5){\blue $\mathcal{C}$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.368}{7}{x ln 1 x ln sub mul 1.5 mul}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.pt]{-1}{3.5}{1.5 x mul 1.5 sub}
\psdots(1,0)(3,3)
\uput[ul](1,0){B} \uput[ul](3,3){A}
\end{pspicture}
\end{center}

On note $h'$ la fonction dérivée de la fonction $h$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.

\begin{enumerate}
\item $h'(1) = 0$
\item $h'(1) = 1,5$
\item $h'(1) = - \dfrac{2}{3}$
\end{enumerate}
\item  Une seule des trois courbes ci-après est la représentation graphique d'une primitive de la fonction $h$ (introduite à la question 3.) sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. Préciser laquelle.

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{a.}& \textbf{b.}& \textbf{c.}\\ \hline
\psset{unit=0.5cm}\begin{pspicture}(-1,-2)(6,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=lightgray]
\psaxes[linewidth=1pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,-2)(6,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(1,1)
 \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.1}{6}{x ln dup mul 3 add x ln 3 mul sub 1.5 mul x mul neg 6 add}\end{pspicture}
&\psset{unit=0.5cm}\begin{pspicture}(-1,-2)(6,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=lightgray]
\psaxes[linewidth=1pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,-2)(6,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(1,1)
 \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.1}{5.8}{x x ln sub}\end{pspicture}
&\psset{unit=0.5cm}\begin{pspicture}(-1,-2)(6,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=lightgray]
\psaxes[linewidth=1pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,-2)(6,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.5}{6}{2.5 x div 1  sub}\end{pspicture}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

Dans une entreprise, le résultat mensuel, exprimé en milliers d'euros, réalisé en vendant $x$ centaines d'objets fabriqués, est modélisé par la fonction $B$ définie et dérivable sur l'intervalle [0,1~;~10] par :

\[B(x) = 10 \times \dfrac{1 + \ln x}{x}\]

Si $B(x)$ est positif, il s'agit d'un bénéfice ; s'il est négatif, il s'agit d'une perte.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Coraline utilise un logiciel de calcul formel. À plusieurs reprises, elle entre une commande, et le logiciel renvoie une réponse. Elle obtient l'écran suivant :

\smallskip

\hrulefill

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{XX}
\multicolumn{2}{l}{(Commande) B(x) :=10*((1+ln(x))/x)}\\
(Réponse 1)& $x \mapsto 10 *\left(\dfrac{1 + \ln x}{x}\right)$\\
\multicolumn{2}{l}{(Commande) dériver(B(x),x)}\\
(Réponse 2)&$\dfrac{10}{x^2} + \dfrac{10 * (1 + \ln(x)) * (- 1)}{x^2}$\\
\multicolumn{2}{l}{(Commande) résoudre(B(x)=0,x)}\\
(Réponse 3)& $[\exp(- 1)]$\\
\multicolumn{2}{l}{(Commande) résoudre(B(x)>0,x)}\\
(Réponse 4)& $[x > \exp(- 1)]$\\
\multicolumn{2}{l}{(Commande) maximum(B(x),[0.1;10])}\\
(Réponse 5)& 10\\
\end{tabularx}
\end{center}

\hrulefill

	\begin{enumerate}
		\item Traduire sur le graphique donné en annexe, illustrant la courbe représentative de la fonction $B$, les réponses 3, 4 et 5 renvoyées par le logiciel de calcul formel.
		\item Justifier la réponse 3 renvoyée par le logiciel de calcul formel. Interpréter cette valeur en terme de résultat mensuel pour l'entreprise.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer qu'une primitive de la fonction $B$ sur l'intervalle [0,1~;~10] est la fonction $F$ définie sur [0,1~;~10] par

		\[F(x) = 5 \ln x (\ln x + 2)\]
		\item Calculer $\displaystyle\int_{0,5}^{1,5} B(x)\:\text{d}x$ puis en donner une valeur approchée à $10^{- 3}$ près.
		
Ce nombre représente le bénéfice mensuel moyen en milliers d'euros lorsque l'entreprise
produit et vend chaque mois un nombre d'objets compris entre 50 et 150.
\item Pour quel nombre d'objets le bénéfice mensuel $B$ est-il maximal ? Justifier la réponse par un calcul.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\large Annexe à rendre avec la copie}

\vspace{2,5cm}

\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(10,11)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2]{->}(0,0)(0,-1)(10,11)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2](0,0)(0,-1)(10,11)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=magenta]{0.355}{10}{x ln 1 add x div 10 mul}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole juin 2011 
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%  Antilles-Guyane septembre 2011
\hypertarget{Antillessept}{}

\label{Antillessept}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small septembre 2011}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures}

\bigskip

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Antilles--Guyane septembre 2011~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

Pour chacune des questions de ce QCM, une seule réponse est exacte.
 
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et recopiera la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
 
\emph{Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'apporte ni ne retire de point.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]- \infty~;~\text{e}[$ par $f(x) = \ln (\text{e} -x)$.
 
On suppose $f$ dérivable sur $]- \infty~;~\text{e}[$ et on note $f^{\prime}$ sa fonction dérivée.
 
$f^{\prime}(0)$ est égal à : 

\medskip
\renewcommand\arraystretch{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$- 1$&$- \dfrac{1}{\text{e}}$ &$\dfrac{1}{\text{e}}$&$1$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $f(x) = \text{e}^{- x} + \dfrac{1}{x}$. 

On considère une fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ telle que, pour tout $x > 0$, on ait $0 < g(x) <f(x)$.

La limite de la fonction $g$ en $+ \infty$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$- \infty$&$0$ &$+ \infty$&on ne peut pas savoir\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 
 
\item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par $f(x) = 3x+ 1 + \dfrac{\text{e}^x}{x^3}$.
 
Soit $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal. La courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash \small}X|}}\hline
admet comme asymptote la droite d'équation $x = 0$&admet comme asymptote la droite d'équation  $y = 3x + 1$&admet comme asymptote la droite d'équation  $y = 0$&n'admet pas de droite asymptote \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item On note exp la fonction exponentielle.
 
Soit $u$ une fonction définie sur $\R$ telle que $u(0) = 1,\: u(1) = 0$ et $u(\text{e}) = 2$. Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = u[\text{exp}(x)]$.
 
$f(0)$ est égal à : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$0$&$1$ &$2$&e\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

À l'occasion d'un festival culturel, une agence de voyages propose trois types de transport pour permettre à chaque client de se rendre dans la ville organisatrice afin d'assister à la cérémonie d'ouverture.
 
Les trois moyens de transport proposés sont l'avion, le train ou le car.
 
À chacun des clients qui achètent un billet de transport, l'agence propose de souscrire une assurance multirisque qui permet, sous certaines conditions, une indemnisation en cas de retard ou de vol de bagages.

\medskip
 
Une enquête montre que 55\,\% des clients choisissent l'avion, que 40\,\% choisissent le train et que les autres choisissent le car.
 
De plus, parmi les clients ayant choisi l'avion, 20\,\% ont souscrit l'assurance multirisque ; ils sont 8\,\% à choisir cette assurance parmi ceux qui ont choisi le voyage en train et seulement 4\,\% parmi ceux qui ont choisi le car.

\medskip
 
On prend au hasard le dossier d'un client qui se rendra à la cérémonie d'ouverture du festival, chaque dossier ayant la même probabilité d'être choisi.
 
On note :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $A$ l'évènement : \og Le client a acheté un billet d'avion \fg{} ; 
\item[$\bullet~~$] $T$ l'évènement : \og Le client a acheté un billet de train \fg{} ; 
\item[$\bullet~~$] $C$ l'évènement : \og Le client a acheté un billet de car \fg{} ; 
\item[$\bullet~~$] $S$ l'évènement : \og Le client a souscrit une assurance multirisque\fg{} et $\overline{S}$ son évènement contraire.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré décrivant la situation. 
\item Calculer la probabilité que le dossier choisi soit celui d'un client qui voyagera en train et qui a souscrit une assurance multirisque. On donnera la valeur exacte de cette probabilité. 
\item Montrer que la probabilité de l'évènement $S$ est égale à $0,144$. 
\item On prend un dossier au hasard parmi les clients n'ayant pas souscrit une assurance multirisque.
 
Calculer la probabilité que ce dossier soit celui d'un client voyageant en train. Le résultat sera donné arrondi au millième. 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
On choisit trois dossiers au hasard, indépendamment les uns des autres.
 
Calculer la probabilité, arrondie au millième, qu'au moins deux des dossiers concernent un client ayant souscrit l'assurance multirisque. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip
 
Pour les candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité. 
Un centre aéré, ouvert tous les mercredis après midi à partir du 1\up{er} septembre, propose aux enfants de s'inscrire chaque semaine à une activité. L'une de ces activités est la natation.
 
Une étude effectuée sur l'année scolaire 2009/2010 montre que d'une semaine sur l'autre 5\,\% des enfants ne se réinscrivent pas à la natation, alors que dans le même temps 10 nouveaux enfants s'y inscrivent.
 
Le directeur se base sur les résultats de l'année scolaire 2009/2010 pour prévoir l'évolution des inscriptions pour l'année scolaire 2010/2011.
 
La première semaine de l'année scolaire 2010/2011, 80 enfants se sont inscrits à la natation. On note $u_{0}$ le nombre initial d'enfants inscrits à la natation, ainsi $u_{0} = 80$.
 
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_{n}$ le nombre d'enfants inscrits à la natation au bout de n semaines.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $u_{1} = 86$. 
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$. 
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $a_{n} = u_{n} - 200$. 
Montrer que la suite $\left(a_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
 
Pour tout entier naturel $n$, exprimer $a_{n}$ en fonction de $n$. 
En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n} = 200 - 120 \times  0,95^n$.

\medskip
 
\emph{Les questions suivantes peuvent être traitées indépendamment les unes des autres.}
 
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1} - u_{n} = 6 \times 0,95^n$. En déduire que le nombre d'inscriptions à la natation augmente toutes les semaines.

\medskip
 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Après combien de semaines, le contexte restant le même, le nombre d'enfants inscrits à la piscine dépassera-t-il 150 ? 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

Le tableau ci-dessous donne la fréquentation des lignes aériennes, en millions de passagers, entre la France métropolitaine et les pays étrangers depuis 1980 (source INSEE).

\medskip
\renewcommand\arraystretch{1.75}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année 										&1980 &1985 &1990 	&1995 &2000 &2005 &2008\\ \hline 
Rang de l'année : $x_{i}$ 					&0 	  &5 	&10 	&15 	&20 &25 &28\\ \hline 
Nombre de passagers $y_{i}$ (en millions)	&21,9 &26,4 &36,9 	&44,7 	&67 &82 &97,9\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip 

On cherche à étudier l'évolution du nombre de passagers $y$ entre la France métropolitaine et les pays étrangers en fonction du rang $x$ de l'année.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer le pourcentage d'évolution du nombre de passagers entre 2005 et 2008 (le résultat sera arrondi à 0,1\,\%). 
\item Représenter le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ associé à cette série dans le plan muni d'un repère orthogonal défini de la manière suivante :
 
0,5~cm pour 1 année sur l'axe des abscisses ;
 
1~cm pour 10 millions de passagers sur l'axe des ordonnées.

\medskip
 
\item Expliquer pourquoi un ajustement affine ne semble pas adapté.
 
L'allure du nuage suggère un ajustement exponentiel. Pour cela, on pose $z = \ln y$. 
\item Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les valeurs de $z_{i}$ au millième.

\medskip
\renewcommand\arraystretch{1.75}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline  
Rang de l'année : $x_{i}$	&$0$ 	&5 	&10 &15 &20 &25 &28\\ \hline
$z_{i}$						&3,086 	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\renewcommand\arraystretch{1}
\medskip

\item À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite de régression de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au millième). 
\item Montrer que l'on a la relation $y = A\text{e}^{Bx}$  avec $A \approx 20,989$ et $B \approx 0,055$. 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Les compagnies aériennes prévoient que le pourcentage d'augmentation entre 2008 et 2011 sera de 30\,\%. Cela est-il cohérent avec l'ajustement exponentiel déterminé dans la question 6 ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

Une entreprise fabrique et vend à des particuliers des panneaux solaires photovoltaïques produisant de l'électricité. Elle en produit chaque mois entre 50 et \np{2500}.

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0,5~;~25] par 

\[f(x) = 18 \ln x - x^2 + 16x - 15.\]
 
Si $x$ représente le nombre de centaines de panneaux solaires fabriqués et vendus, alors on admet que $f(x)$ représente le bénéfice mensuel de l'entreprise, en milliers d'euros.
 
On suppose que $f$ est dérivable sur [0,5~;~25], et on note $f^{\prime}$ sa fonction dérivée.

\medskip
 
\textbf{PARTIE A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $f^{\prime}(x)$. Vérifier que, pour tout nombre $x$ appartenant à l'intervalle [0,5~;~25], on a $f^{\prime}(x) = \dfrac{- 2x^2 + 16x + 18}{x}$. 
 \item Étudier le signe de $f^{\prime}(x)$ sur l'intervalle [0,5~;~25]. En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0,5~;~25]. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f(1)$. 
		\item Montrer que sur l'intervalle [18~;~19] l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$. Déterminer une valeur approchée par défaut de $\alpha$ à $10^{- 2}$ près. 
		\item En déduire le signe de $f(x)$ pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0,5~;~25].
	\end{enumerate} 
\item Quels sont le nombre minimal et le nombre maximal de panneaux que l'entreprise doit produire et vendre pour être bénéficiaire ? 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
L'entreprise peut-elle réaliser un bénéfice mensuel de \np{100000}~\euro{} ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On admet que la fonction $G$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par $G(x) = x\ln x - x$ est une primitive de la fonction logarithme népérien sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. En déduire une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle [0,5~;~25]. 
\item \emph{Rappel: soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $[a~;~b]$, où $a < b$.\\
La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $[a~;~b]$ est le nombre réel $m$ défini  par } $m = \dfrac{1}{b - a} \displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x$. 
 
Déterminer la valeur moyenne du bénéfice mensuel de l'entreprise, arrondie à la centaine d'euros, lorsque celle-ci produit et vend entre 100 et \np{1800} panneaux solaires. 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%   fin Antilles-Guyane septembre 2011
\newpage
%%%%%%%%%%%   Métropole septembre 2011
\hypertarget{Metropolesept}{}

\label{Metropolesept}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small  16 septembre 2011}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Métropole septembre 2011~\decofourright}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

Pierre, le président d'un club de judo. veut acheter 60 médailles ayant la même référence. Elles sont gravées à l'effigie d'une ou d'un champion Doullet, Rinar ou Vécosse. Il passe commande chez un grossiste qui travaille avec deux fournisseurs A et B. Le tableau suivant indique les caractéristiques du colis contenant les 60 médailles envoyées par le grossiste :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \cline{2-5}
\multicolumn{1}{c|}{} & Doullet	& Rinar	& Vécosse	& Total \\ \hline
Fournisseur A &	10 &	10 &	10 &	30 \\ \hline
Fournisseur B &	5	& 10 & 15 &	30 \\  \hline
Total &	15 &	20 &	25 &	60 \\  \hline
\end{tabularx}

\medskip

Pierre reçoit le colis, et tire au hasard une médaille. Dans la suite de l'exercice, on suppose que chaque médaille a la même probabilité d'être tirée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la probabilité que cette médaille soit à l'effigie de Vécosse est égale à $\dfrac{5}{12}$.
		\item Quelle est la probabilité que cette médaille soit à l'effigie de Vécosse et provienne du fournisseur B ?
		\item Pierre constate que la médaille tirée est à l'effigie de Vécosse. Quelle est la probabilité qu'elle provienne du fournisseur B ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
Pierre remet la médaille dans le colis.
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
	\item Pierre répète maintenant trois fois de suite les mêmes gestes :
	
\begin{itemize}
	\item il tire au hasard une médaille ;
	\item il note l'effigie du champion et remet la médaille dans le colis.
\end{itemize}
Quelle est la probabilité qu'au moins une des médailles soit à l'effigie de Vécosse ?
\end {enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

On s'intéresse au nombre de personnes atteintes d'une maladie A ou d'une maladie B en France entre 1970 et 2005.

Les données ont été représentées graphiquement sur l'annexe (à rendre avec la copie). On précise que sur l'axe des abscisses, le rang zéro correspond à l'année 1970, le rang cinq à l'année 1975. 

\medskip

\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie i.}  Maladie A}}}

\medskip
 
On envisage un ajustement affine du nuage de points correspondant à la maladie A. Voici une partie des données : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.8cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Année 				&1970	&1975	&1980	&1985	&1990	&1995	&2000	&2005 \\ \hline
Rang de l'année : $x_i$	&0		&5		&10		&15		&20		&25		&30		&35 \\ \hline
Nombre de personnes atteintes de la maladie A : $y_i$ 	&\np{4884}&	\np{4303}&	\np{3713}&	\np{3175}&	\np{2836}&	\np{2352}&	\np{2011}&	\np{1789} \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item À l'aide de la calculatrice et en arrondissant les coefficients à l'unité, donner l'équation réduite de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés.
	\item Tracer cette droite dans le repère situé sur l'annexe.
	\item En supposant que cet ajustement affine est valable jusqu'en 2011, quelle prévision peut-on faire du nombre de personnes qui seront atteintes de cette maladie A en France en 2011 ?
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie ii.}  Maladie B}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item À partir des données du graphique concernant la maladie B (fournies en annexe), un ajustement affine parait-il approprié ? Justifier votre réponse.
\item On admet que la courbe $\Gamma$  tracée sur l'annexe représente un ajustement du nuage, valable jusqu'en 2011. 

Lire le nombre prévisible de personnes qui seront atteintes de la maladie B en 2011.
\item La courbe $\Gamma$ est une parabole d'équation $y=ax^2+bx+c$ , $a$ étant un nombre réel non nul, $b$ et $c$ étant des nombres réels. La courbe $\Gamma$ passe par les points $P(0~;~\np{1700})$, $Q(10~;~\np{1950})$ et $R(20~;~\np{2900})$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $c = \np{1700}$.
		\item Déterminer les nombres réels $a$ et $b$.
		\item En déduire le nombre prévisible de personnes qui seront atteintes de la maladie B en 2011. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

La société \og Vélibre \fg{}, spécialisée dans la location de vélos, a été créée en janvier 2010 avec un parc de 150 vélos neufs.

Afin de conserver un parc de bonne qualité, le directeur de la société a décidé :

\begin{itemize}
	\item de racheter 40 vélos neufs en janvier de chaque année ;
	\item de revendre 20\,\% des vélos en janvier 2011 et en janvier 2012 ;
	\item de revendre 20\,,\% au moins des vélos les plus usagés en janvier de chaque année suivante.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Pour tout nombre entier naturel $n$, on modélise le nombre approximatif de vélos du parc en janvier de l'année $2010 + n$ par les termes de la suite $(U_n)$ définie pour tout nombre entier naturel $n$ par

	 \[U_{n+1}=0,8U_n + 40 \text{ et } U_0 = 150 \]
	 	
Vérifier que $U_1$ et $U_2$ correspondent bien au nombre prévu de vélos du parc pour janvier 2011 et janvier 2012.
\item Pour connaître l'évolution du nombre approximatif de vélos du parc, le directeur utilise un tableur. Voici un extrait de sa feuille de calcul :

\medskip
\renewcommand\arraystretch{1}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{0.5cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}m{0.5cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
	&\textsf{A} &	\textsf{B} &	\textsf{C} &	\textsf{D} &	\textsf{E} \\ \hline
\textsf{\small{1}} & 	Valeur de $n$& 	Valeur de $U_n$ & &		Valeur de $n$ &	Valeur de $U_n$ \\ \hline 
\textsf{\small{2}} & 	0 &	150 & & 18 &	199,10 \\ \hline
\textsf{\small{3}} & 	1 &	160 & & 19 &	199,28 \\ \hline
\textsf{\small{4}} & 	2 &	168 & & 20 &	199,42 \\ \hline
\textsf{\small{5}} & 	3 &	174,4 & & 21 &	199,54 \\ \hline
\textsf{\small{6}} &	4 &	179,52 & & 22 &	199,63 \\ \hline
\textsf{\small{7}} & 	5 &	183,62 & & 23 &	199,70 \\ \hline
\textsf{\small{8}} & 	6 &	186,89 & & 24 &	199,76 \\ \hline
\textsf{\small{9}} &	7 &	189,51 & & 25 &	199,81 \\ \hline
\textsf{\small{10}}&	8 &	191,61 & & 26 &	199,85 \\ \hline
\textsf{\small{11}}&	9 &	193,29 & & 27 &	199,88 \\ \hline
\textsf{\small{12}}& 	10&	194,63 & & 28 &	199,90 \\ \hline
\textsf{\small{13}}& 	11&	195,71 & & 29	& 199,92 \\ \hline
\textsf{\small{14}}& 	12& 196,56 &	& 30 & 199,94 \\ \hline
\end{tabularx}
\begin{enumerate}
	\item Conjecturer le sens de variation de la suite $(U_n)$. 
	\item Quelle semble être la limite de la suite $(U_n)$ ?
\end{enumerate}
\item Pour tout nombre entier naturel $n$, on pose  $V_n = U_n-200$.
\begin{enumerate}
	\item Prouver que la suite $(V_n)$ est géométrique de raison $0,8$. Déterminer son premier terme.
	\item En déduire, pour tout nombre entier naturel $n$, l'expression de $V_n$ puis celle de $U_n$ en fonction du nombre entier $n$.
	\item Déterminer la limite de la suite $(U_n)$.
	\item Démontrer que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a :

	\[U_{n+1}-U_n = 10 \times 0,8^n \]
	
	\item En déduire le sens de variation de la suite $(U_n)$.
\end{enumerate}
 \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
 La municipalité prévoit d'implanter de nouvelles bornes dans la ville afin d'offrir aux usagers 250 emplacements. La société \og Vélibre \fg{} pourra-t-elle satisfaire cette demande ? Argumenter la réponse.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Une entreprise fabrique chaque mois $x$ tonnes d'un certain produit, avec $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~6]$. Le coût moyen de fabrication, exprimé en milliers d'euros, pour une production mensuelle de $x$ tonnes est donné par $C(x)$, où $C$ est la fonction définie par :

 \[C(x)=\dfrac{0,01 \mathrm {e}^x +2}{x}.\]

\smallskip
 
\begin{enumerate}
	\item À l'aide de la calculatrice :	
	\begin{enumerate}
		\item conjecturer en terme de variations l'évolution du coût moyen de fabrication sur l'intervalle $]0~;~6]$;
		\item estimer le minimum du coût moyen de fabrication et la production mensuelle correspondante ;
		\item dire s'il est possible d'atteindre un coût moyen de fabrication de 4000 euros. On précisera la méthode utilisée.
	\end{enumerate}
\item On désigne par $C'$  la fonction dérivée de la fonction $C$. Montrer que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~6]$ :

\[C'(x) = \dfrac{0,01 x \mathrm {e}^x - 0,01 \mathrm {e}^x - 2}{x^2}.\]
 
 \item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~6]$ par :

\[f(x) = 0,01 x \mathrm {e}^x - 0,01 \mathrm {e}^x - 2.\]
  
  On désigne par $f'$  la fonction dérivée de la fonction $f$.  
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~6]$   
		
\[f'(x) = 0,01 x \mathrm{e}^x .\]

		\item Justifier que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $]0~;~6]$.
		\item Justifier que l'équation $f(x) = 0$  admet une seule solution $\alpha$  appartenant à l'intervalle $[4; 5]$.
	
Donner la valeur arrondie au dixième du nombre réel $\alpha$.
		\item Déduire des résultats précédents le signe de $f(x)$ sur l'intervalle $]0~;~6]$.
	\end{enumerate}
\item À l'aide des questions précédentes, justifier que le minimum du coût moyen de fabrication est obtenu pour une production mensuelle de $\alpha$ tonnes du produit.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule des trois réponses est exacte.

Recopier le numéro de chaque question et préciser la réponse choisie.

Aucune justification n'est demandée.

\emph{Barème : Une réponse exacte rapporte \emph{1} point; une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item En septembre 2009, la T.V.A. dans la restauration est passée de 19,6\,\% à 5,5\,\%. En août 2009, une brasserie proposait un menu à 12,70~ \euro{} (T.V.A incluse). Le responsable a appliqué ce changement de T.V.A. Quel était en septembre 2009 le prix de ce menu après le changement de T.V.A. (arrondi au centime) ?
	\begin{enumerate}
		\item 10,91 \euro
		\item 11,20 \euro
		\item 12,70 \euro
	\end{enumerate}
\item La fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $f(x)=\ln \left( 100 +x \right)$. Comment varie la fonction $f$ ?
	\begin{enumerate}
		\item la fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. 
		\item la fonction $f$ est constante sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. 
		\item la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
	\end{enumerate}
\item Quelle est la valeur de l'intégrale  	$\displaystyle\int_{0}^1 \left(3x - x^2 \right) \,\mathrm{d} x $ ?
	\begin{enumerate}
		\item $0$
		\item $\dfrac{7}{6}$
		\item $2$
	\end{enumerate}
\item La fonction $g$ est définie sur l'intervalle $]0~;~4]$ par $g(x) = \ln x$. Parmi les trois courbes suivantes, laquelle représente une primitive de la fonction $g$ ?

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
a. & b. & c. \\ \hline
\psset{unit=.7cm}
\begin{pspicture}(-.2,-2.2)(4,3.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{1/x}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{-}(0,0)(0,-2)(4,3)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=1.25pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{.33}{4}{\f}
\end{pspicture}
&
\psset{unit=.7cm}
\begin{pspicture}(-.2,-2.2)(4,3.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x*ln(x)-x}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{-}(0,0)(0,-2)(4,3)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=1.25pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0.0001}{4}{\f}
\end{pspicture}
&
\psset{unit=.7cm}
\begin{pspicture}(-.2,-2.2)(4,3.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x-x*ln(x)+1}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{-}(0,0)(0,-2)(4,3)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=1.25pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0.0001}{4}{\f}
\end{pspicture} \\ \hline
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textsf {\textbf{\textsc{Annexe à rendre avec la copie}}}
\end{center}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}
\rput[bl]{90}(12,-5.5){
\psset{xunit=2.5mm,yunit=0.015mm}
\begin{pspicture}(-2,-100)(45,7600)
\rput(22.5,7600){Nombre de personnes atteintes de la maladie A ou de la maladie B}
\rput(22.5,7400){en France entre 1970 et 2005}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
%\psset{xunit=1.6cm,yunit=0.8cm}
%\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(9,15)
%\psset{xunit=3.5mm, yunit=0.02mm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=5,Dy=10000]{->}(0,0)(45,7250)
\multido{\n=0+5}{10}{\psline[linewidth=.1pt,linecolor=gray](\n,0)(\n,7250)}
\multido{\n=0+250}{30}{\psline[linewidth=.1pt,linecolor=gray](0,\n)(45,\n)}
\multido{\n=0+1000}{8}{\uput[l](0,\n){\footnotesize \np{\n}}}
\uput[ul](45,0){\footnotesize{Rang de l'année}}
\uput[dr](0,7300){\footnotesize{Nombre de personnes atteintes}}
\psdots[dotstyle=triangle*,linecolor=bleu,plotstyle=dots,dotscale=.8](0,4884)(1,4618)	(2,4706)(3,4529)(4,4396)(5,4303)(6,4151)(7,4085)(8,3952)(9,3774)(10,3713)(11,3596)(12,3552)(13,3441)(14,3419)(15,3175)(16,3019)(17,2953)(18,3019)(19,2864)(20,2836)(21,2642)(22,2620)(23,2620)(24,2398)(25,2352)(26,2264)(27,2176)(28,2131)(29,2087)(30,2011)(31,1954)(32,1976)(33,1776)(34,1820)(35,1789)
\psdots[dotstyle=square*,linecolor=prune,plotstyle=dots,dotscale=.8](0,1554)(1,1634)	(2,1665)(3,1732)(4,1754)(5,1776)(6,1785)(7,1829)(8,1931)(9,1865)	(10,1954)	(11,2065)	(12,2122)(13,2242)(14,2220)(15,2353)(16,2442)(17,2664)(18,2753)(19,2864)(20,2900)(21,3064)	(22,3041)(23,3286)(24,3352)(25,3600)(26,3792)(27,3774)(28,4218)(29,4316)	(30,4240)	(31,4440)(32,4928)(33,5217)(34,5460)(35,5945)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=760,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{0}{41}{3.5*x^2-10*x+1700}
\uput[ur](38,6570){\prune{$\Gamma$}}
\psdot[dotstyle=triangle*,linecolor=bleu](26,6850)\uput[r](26,6850){\small{\bleu{Maladie A}}}
\psdot[dotstyle=square*,linecolor=prune](26,6550)\uput[r](26,6550){\small{\prune{Maladie B}}}
\end{pspicture}}
\end{pspicture}
%%%%%%%%%   fin Métropole septembre 2011
\newpage
%%%%%%%%%   Polynésie septembre 2011
\hypertarget{Polynesiesept}{}

\label{Polynesiesept}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 

\begin{center} { \Large{ \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES (spécialité) Polynésie
septembre 2011~\decofourright}}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\bigskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm.
 
On s'intéresse dans cet exercice à la fonction $f$ définie sur l'ensemble des réels $\R$ par 

\[f(x) = - 1 + x\text{e}^x.\]
 
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le repère \Oij.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. 
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $- \infty$. Interpréter graphiquement cette limite.
		 
(\emph{On rappelle le résultat:} $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^x = 0$)  
	\end{enumerate}
\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f^{\prime}$ sa fonction dérivée. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout nombre réel $x$ on a $f^{\prime}(x) = (x + 1 )\text{e}^x$.
		 
Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ (la valeur de l'extremum sera arrondie à $10^{-2}$).
	\end{enumerate} 
\item Justifier que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle [0~;~ 1].
 
Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$. 
\item Démontrer qu'une équation de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ est $y = x - 1$. 
\item Dans le repère \Oij{} tracer la droite T et la courbe $\mathcal{C}$. 

Quelle conjecture peut-on faire sur la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite T ? 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Justifier la conjecture émise à la question 5. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

Dans  une  ville,  une  enquête  portant  sur  les  habitudes  des  ménages  en  matière  d'écologie  a donné les résultats suivants : 

\begin{itemize}
	\item  70 \% des ménages pratiquent le tri sélectif ; 
	\item parmi les ménages pratiquant le tri sélectif, 40\, \% consomment des produits bio ; 
	\item parmi les ménages ne pratiquant pas le tri sélectif, 10\, \% consomment des produits bio. 
\end{itemize}
 
On choisit un ménage au hasard (tous les ménages ayant la même probabilité d'être choisis) et on note : 

$T$ l'évènement \og le ménage pratique le tri sélectif \fg{} et  $\overline{T}$  son évènement contraire ; 

$B$ l'évènement \og le ménage consomme des produits bio \fg{} et  $\overline{B}$  son évènement contraire. 

\begin{center}
\emph{Les résultats seront donnés sous forme décimale}.
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner sans justification la probabilité  $p\left(T\right)$ de l'évènement $T$.
		\item Donner sans justification  $p_{T}\left(B\right)$ et $p_{\overline{T}}\left(B\right)$
	\end{enumerate}
\item Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer  la  probabilité  de  l'évènement :  \og le  ménage  pratique  le  tri  sélectif  et consomme des produits bio \fg{}.
		\item Montrer que la probabilité que le ménage consomme des produits bio est égale à 0,31.
	\end{enumerate}
\item Calculer la probabilité que le ménage pratique le tri sélectif sachant qu'il consomme des produits bio (le résultat sera donné sous forme décimale arrondie au centième).
\item Les évènements $T$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifier. 
\item Calculer la probabilité de l'évènement $ T \cup B$ puis interpréter ce résultat. 
\item Cette  ville  décide  de  valoriser  les  ménages  ayant  un  comportement  éco-citoyen.  Pour cela, elle donne chaque année un chèque de 20~\euro{} aux ménages qui pratiquent le tri sélectif et un chèque de 10~\euro{} aux ménages qui consomment des produits bio sur présentation de justificatifs (les deux montants peuvent être cumulés). 

Soit $S$ la somme d'argent reçue par un ménage. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelles  sont  les  différentes  valeurs  que  peut  prendre  $S$ ?  (on  n'attend  pas  de justification). 
		\item Donner la loi de probabilité de $S$.
		\item Calculer l'espérance mathématique de cette loi et interpréter ce résultat. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip
 
Deux enfants Alexis et Bilal jouent dans la cour de leur immeuble.
 
Ils décident d'entamer une compétition formée d'une série de parties (notées partie 1, partie 2, \ldots).
 
On désigne par $n$ un entier supérieur ou égal à 1. On suppose que : 

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Alexis a 65\,\% de chances de gagner la partie 1 ; 
\item[$\bullet~~$] si Alexis gagne la partie $n$, alors il a 10\,\% de chances de gagner la partie $n + 1$ ; 
\item[$\bullet~~$] si Alexis perd la partie $n$, alors il a 60\,\% de chances de gagner la partie $n + 1$. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1, on note : 

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $A_{n}$ l'évènement : \og Alexis gagne la partie $n$ \fg ; 
\item[$\bullet~~$] $B_{n}$ l'évènement : \og Bilal gagne la partie $n$ \fg (on remarquera que : $B_{n} = \overline{A_{n}}$) ; 
\item[$\bullet~~$] $a_{n}$ la probabilité de l'évènement $A_{n}$ et $b_{n}$ celle de l'évènement $B_{n}$. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}\textbf{Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre}\end{center}
 
\textbf{PARTIE A : Étude d'un graphe probabiliste}

\medskip
 
Pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1, on note $P_{n} = \left(a_{n}\quad  b_{Jn}\right)$ la matrice ligne représentant l'état probabiliste lors de la partie $n$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner sans justification la matrice $P_{1}$. 
		\item Traduire la situation à l'aide d'un graphe probabiliste.
	\end{enumerate} 
\item On admet que la matrice de transition $M$ associée au graphe probabiliste précédent est $M = \begin{pmatrix}0,1 &0,9\\ 0,6& 0,4 \end{pmatrix}$
	\begin{enumerate}
		\item Donner $M^2$ (on pourra utiliser la calculatrice ; les coefficients de $M^2$ seront donnés sous forme décimale exacte). 
		\item En déduire la probabilité que Bilal gagne la partie 3, en justifiant la réponse (le résultat sera donné sous forme décimale arrondie à $10^{-2}$). 
	\end{enumerate}
\item Soit $P = (x\quad y)$ la matrice correspondant à l'état stable ($x$ et $y$ sont des nombres réels tels que $x + y = 1$). 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les nombres $x$ et $y$. 
		\item Interpréter ces deux valeurs.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE B : Détermination d'un nombre chromatique}

\medskip

Carlos (C), Dora (D), Edwige (E) et Farid (F), eux aussi intéressés par le jeu, décident de rejoindre Alexis (A) et Bilal (B) et de former ainsi des équipes.
 
Comme ils ne s'entendent pas tous entre eux, ils optent pour une répartition en équipe par affinité. 

On donne ci-après le graphe G d'incompatibilité entre les différents enfants :

\medskip

\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-1,0)(5,5)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](0.5,2)(1.25,3.5)(4.5,3)(4,0.5)(2.5,0.5)(3.25,1.25)%ABCDE
\pspolygon(0.5,2)(4.5,3)(1.25,3.5)(2.5,0.5)%ACBEA
\pspolygon(4,0.5)(2.5,0.5)(3.25,1.25)%DEF
\uput[l](0.5,2){A} \uput[u](1.25,3.5){B} \uput[r](4.5,3){C} \uput[d](4,0.5){D} \uput[d](2.5,0.5){E} \uput[u](3.25,1.25){F} 
\end{pspicture}}
\hfill 
\parbox{0.5\linewidth}{Par exemple, Alexis ne peut pas se trouver dans une équipe où il y aurait Carlos ou Edwige.
 
Cela est représenté dans le graphe par le fait que les sommets A et C, ainsi que les sommets A et E sont adjacents.} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer un sous-graphe complet d'ordre 3. Que peut-on en déduire pour le nombre chromatique du graphe G ? 
\item Donner en justifiant un encadrement du nombre chromatique du graphe G. 
\item Proposer une coloration du graphe (sans justification) puis en déduire le nombre chromatique du graphe G. 
\item Proposer une répartition des enfants faisant intervenir un nombre minimal d'équipes. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats }

\bigskip

Le tableau suivant donne la valeur de revente d'une machine outil au bout de $t$ années d'utilisation (les prix sont donnés en centaines d'euros). On veut faire une estimation de son prix de revente au-delà de 6 ans.

\medskip
\renewcommand\arraystretch{1}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Temps écoulé depuis l'achat $t_{i}$\: $0 \leqslant  i \leqslant 6$& 0 &1 &2& 3& 4 &5 &6\\ \hline 
Valeur de revente $y_{i}$\: en centaines d'euros $0 \leqslant  i \leqslant 6$&90 &73,8 &60 &49,5 &40,5 &33 &27 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le pourcentage de baisse du prix de revente de la machine au bout de six ans d'utilisation (de $t_{0}$ à $t_{6}$) ? 
\item Étude d'un modèle affine 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter graphiquement le nuage de points $M_{i}\left(t_{i}~;~y_{i}\right)$ pour $0 \leqslant i \leqslant 6$ dans un repère orthogonal, en prenant comme unités graphiques: 
1~cm pour une unité sur l'axe des abscisses ; 1~cm pour 10~unités sur l'axe des ordonnées. 
		\item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite de régression de $y$ en $t$ par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au centième). Tracer cette droite dans le repère précédent. 
		\item On sait qu'au bout de 10~ans la valeur de revente est de \np{1000}~euros. Le modèle vous semble-t-il adapté pour des calculs à plus long terme ?
	\end{enumerate} 
\item Étude d'un modèle exponentiel 
	\begin{enumerate}
		\item Pour $0 \leqslant i \leqslant 6$, on pose $z_{i} = \ln \left(y_{i}\right)$. Recopier et compléter le tableau suivant (en arrondissant les nombres au dixième) :
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Temps écoulé depuis l'achat $t_{i}$ \: $0
 \leqslant  i \leqslant 6$		&0 	&1 	&2	& 3	&4 	&5 	&6\\ \hline 
$z_{i} = \ln \left(y_{i}\right)$&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx} 

\medskip

		\item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $t$ par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au dixième). 
		\item En déduire que $y = \text{e}^{- 0,2t + 4,5}$ est un ajustement exponentiel possible. 
		\item Déterminer à l'aide de ce modèle une estimation de la valeur de revente au bout de 10~ans d'utilisation. Ce modèle vous semble-t-il mieux adapté que celui de l'ajustement affine ? 
		
Justifier la réponse.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats }

\medskip

\parbox{0.45\linewidth}{Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $]- 4~;~+ \infty[$. 

On désigne par $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $]- 4~;~+ \infty[$. 

La courbe $\Gamma$ ci-contre est la représentation graphique dans un repère orthogonal de $f^{\prime}$, la fonction dérivée de $f$ sur  $]- 4~;~+ \infty[$. 

Cette courbe $\Gamma$ passe par les points A$(- 3~;~0)$, B$(- 1~;~0)$ et C$(0~;~- 1,5)$.}\hfill  
\parbox{0.5\linewidth}{\psset{xunit=0.88cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-5,-7)(2,3)
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\psgrid[gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange,subgriddiv=1,gridlabels=0pt]
\uput[dl](0,0){O}
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-5,-7)(2,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3.576}{2}{x 3 add 2 mul x 1 add mul x 4 add div neg}
\uput[l](-3.4,-3.5){\blue $\Gamma$}\uput[ul](-3,0){A}\uput[ur](-1,0){B}\uput[ur](0,-1.5){C}
\end{pspicture}}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item À l'aide de la représentation graphique de la fonction dérivée $f^{\prime}$, déterminer $f'(0)$ et $f'(-3)$. 
\item Trois courbes sont présentées ci-dessous. Une seule de ces trois courbes peut représenter la fonction $f$.

Déterminer laquelle des trois représentations graphiques ci-dessous est celle de la fonction $f$, en justifiant votre réponse :

%\hspace{-.1\linewidth}
\parbox{\linewidth}{
\begin{center}
\psset{xunit=0.42cm,yunit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-5,-12)(3,3)
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=orange,subgriddiv=1,gridlabels=0pt](0,0)(-5,-12)(3,3)
\psaxes[linewidth=1pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-5,-12)(3,3)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-3.955}{1.38}{x 4 add ln 6 mul x dup mul add neg}
\uput[l](-3.7,-7){\red $\mathcal{C}_{1}$}
\end{pspicture} \hfill
\psset{xunit=0.42cm,yunit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-5,-5)(3,10)
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=orange,subgriddiv=1,gridlabels=0pt](0,0)(-5,-5)(3,10)
\psaxes[linewidth=1pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-5,-5)(3,10)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-3.975}{1.51}{x 4 add ln 6 mul x dup mul add  .8 mul}
\uput[l](-3.4,7){\red $\mathcal{C}_{2}$}
\end{pspicture} \hfill
\psset{xunit=0.42cm,yunit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-5,-5)(5,10)
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=orange,subgriddiv=1,gridlabels=0pt](0,0)(-5,-5)(5,10)
\psaxes[linewidth=1pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-5,-5)(5,10)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-3.293}{5}{6 x 4 add dup mul div 2 sub}
\uput[l](-3,4){\red $\mathcal{C}_{3}$}
\end{pspicture}
\end{center}}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
On suppose qu'il existe deux entiers relatifs $a$ et $b$ tels que, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]- 4~;~+ \infty[$, on a $f(x) = ax^2 + b \ln(x + 4)$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $x$ un réel appartenant à l'intervalle $]- 4~;~+ \infty[$. 

Exprimer $f^{\prime}(x)$ en fonction de $x,\:a$ et $b$. 
		\item Déduire des questions précédentes que $a = -1$ et $b = - 6$ 
	\end{enumerate}
\item On considère l'intégrale $I = \displaystyle\int_{-3}^{- 1} f^{\prime}(x)\:\text{d}x$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur exacte de l'intégrale $I$ puis en donner une valeur arrondie au dixième. 
		\item Donner une interprétation géométrique de l'intégrale $I$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%   fin Polynésie septembre 2011
\newpage
%%%%%%%%%%%   Amérique du Sud novembre 2011
\hypertarget{AmeriqueSud}{}

\label{AmeriqueSud}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small 16 novembre 2011}
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty} 

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat ES Amérique du Sud 16 novembre 2011~\decofourright} 
\end{center} 

\bigskip
 
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

\bigskip
 
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soit $u$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $]- \infty~;~ 3[$.
 
On note $u'$ la dérivée de $u$. 

On donne ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_{u}$ représentant la fonction $u$.
 
L'axe des abscisses et la droite d'équation $x = 3$ sont deux asymptotes à $\mathcal{C}_{u}$.
 
La droite d'équation $y = \text{e}$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}_{u}$ en son point d'abscisse $1$.
 
La courbe $\mathcal{C}_{u}$ coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse $- 1$ et lui est tangente au point d'abscisse $2$. 

\medskip
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-5,-1)(4,7)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](-5,-1)(4,7)
\psaxes[labelsep=.75mm,ticksize=-2pt 2pt](0,0)(-5,-1)(4,7)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psset{linecolor=blue,linewidth=1.25pt}
\psbezier(-5,-0.08)(-2.5,-0.1)(-1.2,-.5)(-1,0)(-.6,1)(0.15,2.71828)(1,2.71828)(1.6,2.71828)(1.5,0.07)(2,0)(2.2,0)(2.6,0)(2.8,7)
\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed](3,-1)(3,7)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](0,2.71828)(1,2.71828)
\psline[linewidth=1.25pt]{<->}(0.5,2.71828)(1.5,2.71828)
\rput(2.4,6.5){\blue $\mathcal{C}_{u}$}
\uput[l](0,2.71828){\footnotesize{$y = \mathrm {e}$}}
\end{pspicture}
\end{center}
\emph{Cet exercice est un \og Vrai-Faux \fg. Voici huit affirmations. 
Pour chacune d'entre elles, indiquer si elle est vraie ou fausse. On ne demande aucune justification.\\ 
Chaque bonne réponse apporte $0,5$ point.} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $u^{\prime}(1) = \text{e}$. 
		\item $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} u(x) = 0$.  
		\item $\displaystyle\lim_{x \to 3} u(x) = + \infty$. 
		\item L'équation $u(x) = 1$ admet exactement trois solutions.
	\end{enumerate} 
\item Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $]-1~;~2[$ telle que $f = \ln(u)$.
 
On note $f^{\prime}$ sa fonction dérivée.
	\begin{enumerate}
		\item Sur l'intervalle $]-1~;~0[,\: f$ change de signe. 
		\item $f^{\prime}(1) = \dfrac{1}{\text{e}}$. 
		\item L'équation $f(x) = 2$ n'admet aucune solution. 
		\item $\displaystyle\lim_{x \to - 1} f(x) = 0$.  
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Dans un cadre économique, on appelle fonction de satisfaction une fonction $f$ définie et dérivable sur une partie de $\R$ et à valeurs dans l'intervalle [0~;~100].
 
On dit qu'il y a \og saturation\fg{} lorsque la fonction de satisfaction prend la valeur $100$.
 
La fonction $v$, dérivée de la fonction $f$, est appelée fonction \og envie \fg. On a donc $v = f^{\prime}$. 

On dit qu'il y a \og envie \fg{} lorsque $v$ est positive, sinon on dit qu'il y a \og rejet \fg.
 
Charlotte doit rédiger un mémoire de recherche. Elle souhaite connaître la durée quotidienne de travail qui lui convient le mieux, sachant qu'elle a la possibilité d'y consacrer entre $0$ et $8$ heures par jour. En début de journée, elle est de plus en plus efficace, mais après un certain temps sa productivité ne la satisfait plus.
 
Elle modélise son taux de satisfaction en fonction du nombre d'heures $x$ passées quotidiennement à travailler.
 
La courbe représentant sa satisfaction $f$ est donnée ci-dessous.

\smallskip
 
La tangente à cette courbe au point d'abscisse $4$ est parallèle à l'axe des abscisses.
 
La courbe passe par l'origine du repère et la tangente en ce point passe par le point de coordonnées (1~;~50). 

\medskip
\psset{xunit=1cm,yunit=0.05cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-0.9,-15)(9,110)
\multido{\n=0+1}{10}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,110)}
\multido{\n=0+20}{6}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(9,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=20,Ox=0]{->}(0,0)(0,0)(9,110)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=20,Ox=0](0,0)(0,0)(9,110)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{8}{6.25 x mul 8 x sub mul}
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(1.2,60)
%\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt]{0}{1.3}{50 x mul }
\psline[linestyle=dashed](0,50)(1,50)(1,0)
\psline[linewidth=1.pt]{<->}(3,100)(5,100)
\uput[u](9,0){$x$}\uput[l](0,110){$y$}
\uput[l](0,50){50}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique répondre aux questions suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item Pour quelle durée de travail quotidien y a-t-il \og saturation\fg ? 
		\item Sur quel intervalle y a-t-il \og envie \fg{} ? 
		\item Sur quel intervalle y a-t-il \og rejet \fg{} ? 
		\item Donner $v(4)$.
	\end{enumerate} 
\item On admettra que la fonction $v$ est ici une fonction affine définie sur l'intervalle [0~;~8]. 

Expliquer pourquoi son expression est : $v(x) = - \dfrac{25}{2}x + 50$. 
\item Sachant que $f(0) = 0$, déterminer $f(x)$ pour $x \in [0~;~8]$. 
\item En déduire les valeurs de $x$ pour lesquelles la satisfaction prend la valeur $75$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Dans tout cet exercice on donnera la valeur exacte de chaque résultat.}

\medskip
 
Grâce à un système de détecteur, une borne de péage automatique peut délivrer des tickets à deux hauteurs différentes selon le véhicule détecté afin que le conducteur ne soit pas obligé de sortir pour le saisir :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] s'il s'agit d'une voiture, d'une moto ou d'une camionnette, le ticket sort en bas; 
\item[$\bullet~~$] s'il s'agit d'un camion, le ticket sort en haut.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
La société d'autoroute a modélisé le fonctionnement défectueux du détecteur de l'une de ces bornes :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] lorsqu'un camion passe, il n'est correctement détecté que deux fois sur trois; 
\item[$\bullet~~$] lorsqu'un autre type de véhicule passe, son conducteur est contraint d'en sortir pour saisir son ticket une fois sur quatre.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On estime qu'à cette borne de péage 60\:\% des véhicules sont des camions. On considère les évènements suivants :
 
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $C$ :	\og Le véhicule qui se présente est un camion \fg 
\item[$\bullet~~$] $H	$ : 	\og Le ticket sort en haut \fg 
\item[$\bullet~~$] $B$ : 	\og Le ticket sort en bas \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Notation : pour tout évènement $E$ et tout évènement $F$ de probabilité non nulle, on note $p(E)$ la probabilité de l'évènement $E$ et $p_{F}(E)$ la probabilité conditionnelle de $E$ sachant $F$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner les probabilités : $p(C), \: p_{\overline{C}}(H)$ et $p_{\overline{C}}(B)$. 
\item Construire un arbre probabiliste présentant la situation. 
\item Calculer la probabilité que le ticket sorte en haut. 
\item Montrer que la probabilité qu'un conducteur ne soit pas obligé de sortir de son véhicule pour saisir le ticket vaut $0,7$. 
\item Trois véhicules se présentent l'un après l'autre à cette borne de péage défectueuse. On modélise cette situation comme un tirage avec remise. 

Calculer la probabilité qu'au moins l'un des conducteurs soit contraint de descendre de son véhicule pour saisir son ticket. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Franck Geek est adepte de jeux vidéo en ligne. Afin de préserver son temps de travail scolaire, il essaye de se modérer. Il constate que :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] s'il a joué un jour, la probabilité qu'il ne le fasse pas le lendemain est de $0,6$ ; 
\item[$\bullet~~$] s'il n'a pas joué un jour, la probabilité qu'il joue le lendemain est de $0,9$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Le jour de la rentrée (premier jour), Franck a décidé de ne pas jouer.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité que Franck joue le deuxième jour ? 		\item Quelle est la probabilité qu'il ne joue pas le deuxième jour ?
	\end{enumerate} 
\item On note $D$ l'évènement: \og Franck a joué \fg{} et $E$ l'évènement: \og Franck a su résister \fg. 
	\begin{enumerate}
		\item Modéliser cette situation par un graphe probabiliste. 
		\item Donner la matrice de transition $M$ associée à ce graphe.
	\end{enumerate} 
\item Soit $n$ un entier naturel non nul. Soient $D_{n}$ l'évènement : \og Franck a joué le $n$-ième jour \fg{} et $E_{n}$ l'évènement : \og Franck a su résister le $n$-ième jour \fg.
 
L'état probabiliste lors du $n$-ième jour est alors donné par la matrice ligne $P_{n} = \left(d_{n} \quad  e_{n}\right)$ où $d_{n}$ désigne la probabilité de l'évènement $D_{n}$ et $e_{n}$ celle de l'évènement $E_{n}$.
 
On a ainsi $P_{1} = (0\quad  1)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $P_{2}$. 
		\item Donner la relation liant $P_{n+1}$ et $P_{n}$. 
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n,\: d_{n+1} = - 0, 5d_{n} + 0,9$.
	\end{enumerate} 
\item Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose $u_{n} = d_{n} - 0,6$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $u$ est une suite géométrique. 

Préciser sa raison et la valeur de son premier terme. 
		\item Exprimer alors $u_{n}$ puis $d_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Calculer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} d_{n}$ et interpréter ce résultat. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Une substance médicamenteuse est injectée par voie intraveineuse. Dans les heures qui suivent l'injection, la substance est éliminée par les reins.
 
La quantité $q_{i}$ de substance présente dans le sang ($q_{i}$ en milligrammes) à l'instant $t_{i}$ ($t_{i}$ en heures) a 
été mesurée par des prises de sang toutes les deux heures.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$t_{i}$ (en heures)& 0&2&4&6&8\\ \hline
$q_{i}$ (en mg)&9,9&7,5&5,5&3,9&3\\ \hline%
\end{tabularx}
\end{center} 

\textbf{Partie A - Modélisation par une fonction affine}

\medskip
 
Le nuage de points associé à la série $\left(t_{i}~;~q_{i}\right)$, représenté dans un repère orthogonal, est donné sur la feuille annexe, à rendre avec la copie. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite $(D)$ d'ajustement affine de $q$ en $t$ par la méthode des moindres carrés. On donnera la valeur des coefficients arrondie au centième. 
\item Tracer la droite $(D)$ sur la feuille annexe. 
\item En supposant que ce modèle reste valable pendant 12~heures, donner une estimation de la quantité de médicament présente dans le sang au bout de 12~heures.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B - Autre modélisation} 

\medskip

On pose $y_{i} = \dfrac{\ln \left(q_{i}\right)}{\ln (10)}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau de l'annexe. On arrondira les valeurs au centième. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la forme $y = at + b$ de la droite d'ajustement affine de $y$ en $t$ par la méthode des moindres carrés. On arrondira $a$ à $10^{-3}$ et $b$ à l'unité. 
		\item Montrer que l'expression de $q$ en fonction de $t$ obtenue à partir de cet ajustement est de la forme : $q(t) = B\text{e}^{-At}$ (on donnera l'arrondi au centième de $A$ et la valeur de $B$ arrondie à l'unité).
	\end{enumerate} 
\item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~12] par : 

\[f(t) = 10\text{e}^{-0,15t}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le sens de variation de la fonction $f$. 
		\item On suppose que la quantité $q$ de substance présente dans le sang à l'instant $t$ ($t$ exprimé en heures) est donnée par $q(t) = f(t)$ pour $t$ variant de 0 à 12 heures.
		 
Calculer à $10^{-1}$ près la quantité de substance présente dans le sang au bout de 12~heures. 
		\item En comparant les réponses trouvées à la question précédente et à la question 3 de la partie A, dire lequel de ces deux modèles vous paraît le mieux adapté à la situation.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C - Valeur moyenne}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Soit $F$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~12] par : 

\[F(t) = - \dfrac{200}{3}\text{e}^{-0,15t}.\]

Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur [0~;~12]. 
\item Soit $I = \displaystyle\int_{0}^{10} f(t)\:\text{d}t$. 

Calculer la valeur exacte de $I$, puis en donner une valeur approchée au centième près. 
\item En déduire, à un dixième de milligramme près, la quantité moyenne de substance médicamenteuse présente dans le sang pendant les 10~heures qui suivent l'injection. 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\large Annexe de l'exercice 4}

\bigskip

\begin{flushleft}
\textbf{Partie A}
\end{flushleft}

\psset{unit=0.73cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(15.5,12.5)
\multido{\n=0.0+0.1}{156}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,12)}
\multido{\n=0+1}{16}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,12)}
\multido{\n=0.0+0.1}{121}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(15.5,\n)}
\multido{\n=0+1}{13}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=orange](0,\n)(15.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=20,Dy=20](0,0)(0,0)(15.5,12)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\psdots[dotstyle=square*,linecolor=blue](0,9.9)(2,7.5)(4,5.5)(6,3.9)(8,3)
\uput[d](14,0){$t$ (en heures)}\uput[r](0,12.3){$q$ (en mg)}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}

\vspace{2cm}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie B}
\end{flushleft}

\bigskip

\renewcommand\arraystretch{1.8}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_{i}$ (en heures)			&0	&2	&4	&6	&8\\ \hline%
$y_{i}$ (au centième près)	&	&	&	&	&\\ \hline%
\end{tabularx}
\renewcommand\arraystretch{1}
\end{center}
%%%%%%%%%%%   fin Amérique du Sud novembre 2011
\newpage
%%%%%%%%%%%   Nouvelle-Calédonie novembre 2011
\hypertarget{Caledonienov}{}

\label{Caledonienov}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small 14 novembre 2011}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie 14 novembre 2011~\decofourright} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $]- \infty~;~6[$.
 
On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $]- \infty~;~6[$ et $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère du plan. 

On donne le tableau de variations de la fonction $f$ ci-dessous.

\begin{center} 
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8.5,3)
\psframe(8.5,3)\psline(0,2.5)(8.5,2.5)
\psline(1,0)(1,3)
\psline{->}(1.5,2)(3,0.5) \psline{->}(4,0.5)(5.75,2)\psline{->}(6.25,2)(8,0.5)
\uput[u](0.5,2.5){$x$} \uput[u](1.3,2.5){$- \infty$} \uput[u](3.5,2.5){$- 2$} \uput[u](6,2.5){$1$} \uput[u](8.3,2.5){$6$}
\rput(0.5,1.25){$f$} \uput[d](1.1,2.5){1}\uput[u](3.5,0){0}\uput[d](6,2.5){5}\uput[u](8,0){$ - \infty$}
\end{pspicture}
\end{center}

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou si elle est fausse, en justifiant la réponse.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Pour tout nombre de l'intervalle $]- \infty~;~1]$, on a $f^{\prime}(x) \geqslant 0$. 
\item La courbe $\mathcal{C}_{f}$ admet une asymptote parallèle à l'axe des ordonnées. 
\item La droite d'équation $y = 5$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$. 
\item Si $h$ est la fonction définie sur $]- \infty~;~6[$ par $h(x) = \text{e}^{f(x)}$, on a $\displaystyle\lim_{x \to 6} h(x) = - \infty.$ 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité mathématiques }

\bigskip

Joanne est éducatrice canin : elle donne des leçons d'éducation le samedi après-midi.
 
Neuf chiots sont présents : Allegro, Bronx, Chouchou, Delco, Euclide, Falbala, Galipette, Homère et Indigo.
 
Joanne souhaite réaliser des exercices d'apprentissage par petits groupes de deux ou trois chiens. Falbala ne pense qu'à jouer si elle est trop proche de Bronx, Chouchou ou Euclide.
 
De même, Delco est très inattentif si Bronx ou Falbala sont à proximité !
 
Indigo ne supporte pas le caractère trop fougueux de Galipette.
 
Enfin le turbulent Allegro ne supporte la présence d'aucun autre chiot, sauf Euclide et Homère. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter cette situation à l'aide d'un graphe G dont les sommets sont les noms des chiots et relier entre eux les chiots que l'on ne peut pas mettre ensemble pour ce travail de groupe. 
\item Le graphe G est-il connexe ? Expliquer. 
\item Déterminer un sous graphe complet d'ordre maximal du graphe G.
 
Que peut-on en déduire pour le nombre chromatique du graphe G ? 
\item Donner la valeur du nombre chromatique du graphe G. 
\item Peut-on proposer une répartition des chiots en groupes de deux à trois chiots pouvant travailler ensemble ? 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité }

\bigskip

\emph{Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au millième et donnés sous forme décimale.} 

\medskip

Jade est une jeune cavalière qui participe régulièrement à des concours d'obstacles.
 
À chaque concours, sa monitrice met à sa disposition l'un des trois chevaux du club.
 
À l'issue de chaque concours, elle a noté sur une fiche le nom de sa monture ainsi que la performance qu'elle a réalisée.
 
L'examen de la collection de fiches ainsi constituée a permis à Jade de constater que :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Six fois sur dix, elle a monté Cacahuète, une vieille jument docile mais qui fait souvent tomber les barres d'obstacle. Lorsqu'elle a monté Cacahuète, Jade a réussi son parcours deux fois sur cinq. 
\item[$\bullet~~$] Trois fois sur dix, elle a monté la jeune jument Tornade. C'est une jument performante mais difficile à maitriser. Lorsque Jade l'a montée, elle a réussi son parcours une fois sur deux. 
\item[$\bullet~~$] Lors des autres concours, Jade a monté le courageux et régulier Abricot et avec lui, elle a réussi son parcours quatre fois sur cinq.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
Jade prend au hasard une fiche parmi sa collection. On s'intéresse au nom du cheval et au résultat du concours mentionnés sur la fiche.
 
On note :
 
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $C$ l'évènement \og Jade montait Cacahuète. \fg 
\item[$\bullet~~$] $T$ l'évènement \og Jade montait Tornade. \fg 
\item[$\bullet~~$] $A$ l'évènement \og Jade montait Abricot. \fg 
\item[$\bullet~~$] $R$ l'évènement \og Jade a réussi son parcours. \fg 
\item[$\bullet~~$] $\overline{R}$ l'évènement \og Jade n'a pas réussi son parcours.\fg
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré. 
\item Calculer la probabilité de l'évènement : \og Jade montait Abricot et a réussi son parcours \fg.
 
Calculer la probabilité de l'évènement : \og Jade montait Cacahuète et a réussi son parcours \fg. 
 \item Montrer que la probabilité de l'évènement: \og Jade a réussi son parcours \fg{} est égale à $0,47$. 
\item Sachant que Jade a réussi son parcours, quelle est la probabilité que ce jour là elle ait monté Tornade ? 
\item Sachant que Jade n'a pas réussi son parcours, quelle est la probabilité que ce jour là elle ait monté Abricot? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip
  
On s'intéresse à la quantité de thons blancs pêchée par an (en milliers de tonnes) en Nouvelle--Calédonie.
 
On utilise plusieurs méthodes pour modéliser l'évolution de cette quantité et estimer sa valeur en 2010.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Année &2003 &2004 &2005 &2006 &2007 &2008 &2009\\ \hline% 
Rang $x_{i}$ de l'année &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline% 
Quantité $y_{i}$ en milliers de tonnes de thons blancs pêchés & 55,7& 77,4 &88,2 &73,7 &73,5 &85,0 &92,5\\ \hline
\multicolumn{8}{r}{\footnotesize Source : Service de la Marine marchande et des pêches maritimes}\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On décide de modéliser la quantité de thons blancs pêchée à l'aide d'un ajustement affine.
		 
Donner, à l'aide de la calculatrice, l'équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés.
 
\emph{Pour chacun des coefficients, donner la valeur décimale arrondie au centième.} 
		\item On suppose que l'évolution pour 2010 se poursuit sur le même modèle, utiliser cet ajustement pour donner une estimation de la quantité de thons blancs pêchée en 2010.
		 
\emph{On donnera une valeur arrondie au millier de tonnes.}
	\end{enumerate} 
\item On sait que $82,7$~milliers de tonnes de thons blancs ont été péchés au cours des neuf premiers mois de l'année 2010. On ne connaît pas la quantité pêchée pendant les trois derniers mois de l'année.
 
Les années précédentes, de 2003 à 2009, la quantité de thons blancs pêchée de janvier à fin septembre représentait en moyenne 73\,\% de la quantité annuelle.
 
En considérant que cette proportion demeure en 2010, proposer une nouvelle estimation de la quantité de thons blancs pêchés en 2010.
 
On donnera une valeur arrondie au millier de tonnes. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le taux d'évolution global (en pourcentage, arrondi au dixième) entre 2003 et 2009 de la quantité pêchée puis montrer que le taux d'évolution moyen annuel de cette quantité, arrondi au dixième d'unité de pourcentage, est égal à 8,8\,\%. 
		\item Utiliser ce taux pour proposer une autre estimation de la quantité de thons blancs pêchés en 2010.
		 
\emph{On donnera une valeur arrondie au millier de tonnes.} 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
Soit $u$ la fonction définie sur $]- \infty~;~ 4[\:\cup\:]4~;~ +\infty[$ par 

\[u(x) = \dfrac{x^2 - 5x + 6}{x - 4}.\] 

\smallskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner le signe de $x^2 - 5x + 6$ pour tout $x$ de $\R$. 
\item En déduire le signe de $u(x)$ pour tout $x$ de $]-\infty~;~ 4[\:\cup\:]4~;~+\infty[$. 
\item Factoriser $x^2 - 5x + 6$. 
\end{enumerate}

\textbf{Partie B}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item En utilisant la partie A, expliquer pourquoi la fonction $f$ telle que 

\[f(x) = \ln \dfrac{(x - 2)(x - 3)}{(x - 4) }\] 

peut être définie pour $x \in ]4~;~+\infty[$. 
\item Une représentation graphique de la fonction $f$ figure ci-dessous. 

\medskip

\psset{unit=0.8cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-1)(12,7)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=0.3pt](0,0)(12,7)
\uput[dl](0,0){O}
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(12,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{4.0018}{12}{x 2 sub x 3 sub mul x 4 sub div ln}
\end{pspicture}
\end{center}

Utiliser cette représentation graphique pour déterminer une valeur approchée, arrondie à l'entier le plus proche, du nombre $\mathcal{A} = \displaystyle\int_{5}^7 f(x)\:\text{d}x.$
 
\emph{On expliquera la démarche.} 
\item Soient $i,\: j$ et $k$ les fonctions définies sur $]4~;~+\infty[$ par :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $i(x) = \ln(x - 2)$ 
\item[$\bullet~~$] $j(x) = \ln(x - 3)$ 
\item[$\bullet~~$] $k(x) = \ln(x - 4)$ 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que la fonction $I$ définie sur $]4~;~+\infty[$ par 
		
\[I(x) = (x - 2) \ln(x - 2) - x\]

 est une primitive de la fonction $i$ sur $]4~;~+\infty[$. 
		\item On admet que la fonction $J$ définie sur $]4~;~+\infty[$ par
		
$J(x) = (x - 3) \ln (x - 3) - x$ est une primitive de la fonction $j$ sur $]4~;~+\infty[$ et que la fonction $K$ définie par $K(x) = (x - 4) \ln (x - 4)- x$ est une primitive de la fonction $k$ sur $]4~;~+\infty[$.
		 
Pour $x \in ]4~;~+\infty[$, exprimer $f(x)$ à l'aide de $i(x),\: j(x)$ et $k(x)$. 
		\item En déduire l'expression d'une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $]4~;~+\infty[$.
	\end{enumerate} 
\item Calculer la valeur exacte de $\mathcal{A}$, puis donner la valeur arrondie au centième. 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%   fin Nouvelle-Calédonie novembre 2011   %%%%%%%%%%
\begin{center}
\rput[r](0pt,3pt){\psvectorian[color=black,height=1
cm]{9}}%
\qquad\Large ~Fin~%
\qquad\rput[l](0pt,3pt){\psvectorian[color=black,height=1
cm,mirror]{9}}%
\end{center}
\end{document}