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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small{Baccalauréat S année 2003}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
 
\begin{center}
{\huge \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S  
2003 \decofourright \\ \vspace{1cm} L'intégrale d'avril 2003 à  mars 2004}}

\vspace{1cm}

Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large 
\textcolor{blue}{bleus}}
\end{center}

\vspace*{1cm}

{\Large
 
\hyperlink{Pondichery}{Pondichéry   avril   2003} \dotfill \pageref{Pondichery}\\

\hyperlink{Centresetrangers}{Centres étrangers  juin 2003} \dotfill \pageref{Centresetrangers}\\

\hyperlink{AmeriqueNord}{Amérique du Nord  juin 2003} \dotfill \pageref{AmeriqueNord}\\

\hyperlink{Antilles}{Antilles-Guyane juin 2003} \dotfill \pageref{Antilles}\\

\hyperlink{Asie}{Asie juin 2003} \dotfill \pageref{Asie}\\

\hyperlink{Metropole}{Métropole juin 2003} \dotfill \pageref{Metropole}\\

\hyperlink{LaReunion}{La Réunion juin 2003} \dotfill \pageref{LaReunion}\\

\hyperlink{Liban}{Liban juin 2003} \dotfill \pageref{Liban}\\

\hyperlink{Polynesie}{Polynésie juin 2003} \dotfill \pageref{Polynesie}\\

\hyperlink{Antillessept}{Antilles-Guyane septembre 2003} \dotfill \pageref{Antillessept}\\

\hyperlink{Metropolesept}{Métropole septembre 2003} \dotfill \pageref{Metropolesept}\\

\hyperlink{Polynesiesept}{Polynésie septembre 2003} \dotfill \pageref{Polynesiesept}\\

\hyperlink{AmduSud}{Amérique du Sud  novembre 2003} \dotfill \pageref{AmduSud}\\

\hyperlink{Caledonienov}{Nouvelle-Calédonie   16 novembre 2003} \dotfill \pageref{Caledonienov}\\

\hyperlink{Caledoniemars}{Nouvelle-Calédonie   mars 2004} \dotfill \pageref{Caledoniemars}}

\newpage ~

\newpage

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Terminale S}
%%%%%%%%%%%%%%%   Pondichéry avril 2003
\hypertarget{Pondichery}{}

\label{Pondichery}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small{avril 2003}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Pondichéry   avril 2003~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

On considère la suite numérique $\left(u_n\right)$ définie sur $\N$ par :

\[u_0 = a,\:\text{et,~pour tout entier}\: n,\: u_{n+1} = u_n \left(2 - 
u_n\right)\]

où $a$ est un réel donné tel que $0 < a < 1$.

\begin{enumerate} 
\item On suppose dans cette question que $a = \dfrac{1}{8}$
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
		\item Dans un repère orthonormal (unité graphique 8~cm), tracer, sur l'intervalle [0~;~2], la droite (d) d'équation $y = x$ et la courbe $(\Gamma)$ représentative de la fonction : $f~: x \mapsto x(2 - x)$.
		\item Utiliser (d) et $(\Gamma)$ pour construire sur l'axe des abscisses les points A$_1$,~A$_2$,~A$_3$ d'abscisses respectives $u_1,~u_2,~u_3$.
	\end{enumerate}
\item On suppose dans cette question que $a$ est un réel quelconque de l'intervalle ]0~;~1[.
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer par récurrence que, pour tout entier $n,~0 < u_n < 1$.
		\item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
		\item Que peut-on en déduire ?
	\end{enumerate}
\item On suppose à nouveau dans cette question que $a = 
\dfrac{1}{8}$. On considère la suite numérique $\left(v_n\right)$ définie sur $\N$ par :

\[v_n = 1 - u_n.\]

	\begin{enumerate} 
		\item Exprimer, pour tout entier $n,~v_{n+1}$ en fonction de $v_n$.
		\item En déduire l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
		\item Déterminer la limite de la suite $(v_n)$, puis celle de la suite 
		$\left(u_n\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip
 
\textbf{Première partie}

\medskip

On considère dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation 
suivante :

\[\text{(E)}\quad z^3 + 2z^2 - 16 = 0.\]

\begin{enumerate} 
\item Montrer que 2 est solution de (E), puis que (E) peut s'écrire sous la forme : $(z - 2)\left(az^2 + bz + c\right) = 0$, où $a,~b$  et $c$ sont trois réels que l'on déterminera.
\item En déduire les solutions de l'équation (E) sous forme algébrique, puis sous forme exponentielle.
\end{enumerate}

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Oij.

\begin{enumerate} 
\item Placer les points A, B et D d'affixes 
respectives 

\[ z_{\text{A}} = - 2 - 2\text{i},~z_{\text{B}} = 2 \quad \text{et} 
\quad  z_{\text{D}} = - 2 + 2\text{i}.\]

\item  Calculer l'affixe $z_{\text{C}}$ du point C tel 
que ABCD soit un parallélogramme. Placer C.
\item Soit E l'image de C par la rotation de centre B et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$ et F l'image de C par la rotation de centre D et d'angle  $\dfrac{\pi}{2}$.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer les affixes des points E et F, notées $z_{\text{E}}$ 
et $z_{\text{F}}$.
		\item Placer les points E et F.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier que : $\dfrac{z_{\text{F}} - 
z_{\text{A}}}{z_{\text{E}} - z_{\text{A}}} = \text{i}$.
		\item En déduire la nature du triangle AEF.
	\end{enumerate}
\item Soit  I le milieu de [EF]. Déterminer l'image du triangle EBA par la rotation de centre I et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Première partie}

ABC est un triangle direct du plan orienté.

On désigne respectivement par I, J et K les milieux de 
[AB], [BC] et [CA].

Soit $\alpha$ un réel qui conduit à la réalisation de la figure 
jointe sur laquelle on raisonnera. Cette figure sera jointe à la copie.

d$_{1}$ est l'image de la droite (AB) par la rotation de 
centre I et d'angle $\alpha$.

d$_{2}$ est l'image de la droite (BC) par la rotation de 
centre J et d'angle $\alpha$.

d$_{3}$ est l'image de la droite (CA) par la rotation de 
centre K et d'angle $\alpha$.

A$_{1}$ est le point d'intersection de d$_{1}$ et d$_{3}$, 
B$_{1}$ celui de d$_{1}$ et d$_{2}$ et C$_{1}$ celui de d$_{2}$ et 
d$_{3}$.

\begin{enumerate} 
\item On appelle H le point d'intersection de (BC) et 
d$_{1}$. Montrer que les triangles HIB et HB$_{1}$J sont semblables.
\item En déduire que les triangles ABC et A$_{1}$B$_{1}$C$_{1}$ sont semblables.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

Le plan complexe est muni du repère orthonormal direct  \Ouv.

\textbf{A - Construction de la figure}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Placer les points A($- 4 - 6\text{i}$), B(14), 
C($-4 + 6\text{i}$), A$_{1}(3 - 7\text{i}$), B$_{1}(9 + 5\text{i}$) 
et C$_{1}(- 3 - \text{i}$).
\item Calculer les affixes des milieux I, J et K des 
segments [AB], [BC] et [CA]. Placer ces points sur la figure.
\item Montrer que A$_{1}$, I, B$_{1}$ sont alignés.

\emph{On admettra que } B$_{1}$, J, C$_{1}$ \emph{d'une 
part et} C$_{1}$, K, A$_{1}$ \emph{d'autre part sont alignés.}
\item  Déterminer une mesure en radians de l'angle $\left(\vect{\text{IB}},~\vect{\text{IB}_{1}} \right)$.

\emph{On admettra que } 
$\left(\vect{\text{KA}},~\vect{\text{KA}_{1}} \right) = \dfrac{\pi}{4}$ \emph{et que} 
$\left(\vect{\text{JC}},~\vect{\text{JC}_{1}} \right) = \dfrac{\pi}{4}$.
\item Quelle est l'image de la droite (AB) par la rotation de centre I et d'angle  $\dfrac{\pi}{4}$ ?
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{B - Recherche d'une similitude directe transformant 
ABC en A$_{1}$B$_{1}$C$_{1}$}

\medskip

On admet qu'il existe une similitude directe $s$ transformant 
les points A,  B et  C en A$_{1}$, B$_{1}$ et C$_{1}$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item  Montrer que l'écriture complexe de $s$ est 
$z' = \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}\right)z + 2 - 
2\text{i}$, où $z$ et $z'$ désignent respectivement les affixes d'un 
point et de son image par $s$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer le rapport et l'angle de $s$.
		\item Déterminer l'affixe du centre $\Omega$ de $s$.
	\end{enumerate}
\item Que représente le point $\Omega$ pour ABC ?
\end{enumerate}

\vspace{2cm}

\begin{center}Le candidat joindra cette figure à sa copie
    
\vspace{0,8cm}
    
\psset{unit=0.75cm}\begin{pspicture}(14,11)
\psline(3,3.8)(11.3,3.8)(5.1,9.65)(3,3.8)
\psline(0,1.1)(14,6.3)
\psline(14,4.2)(0,10.2)
\psline(4.2,0)(4.2,11)
\uput[dl](3,3.8){A} \uput[dr](11.3,3.8){B} \uput[u](5.1,9.65){C}
\uput[dl](4.2,2.7){A$_{1}$} \uput[u](11.4,5.3){B$_{1}$} 
\uput[ul](4.2,8.5){C$_{1}$}
\uput[d](7.15,3.8){I} \uput[ur](8.2,6.725){J} 
\uput[l](4.2,6.9){K} \uput[u](13,6){d$_{1}$} 
\uput[u](2,9.2){d$_{2}$} \uput[r](4.2,1){d$_{3}$}
\psarc(7.15,3.8){1.1}{0}{21} \psarc(8.2,6.725){1}{139}{162}
\psarc(4.2,6.725){1}{246}{270}
\uput[u](8.45,3.7){$\alpha$} \uput[u](7.2,7){$\alpha$} 
\uput[u](3.8,5){$\alpha$} 
\end{pspicture} \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\R$ par :

\[f(x) = x^2 \text{e}^{x - 1} - \dfrac{x^2}{2}.\]

Le graphique ci-dessous est la courbe représentative de 
cette fonction telle que l'affiche une calculatrice dans un repère 
orthonormal.

\parbox[l]{0.5\textwidth}{\textbf{Conjectures}\\
À l'observation de cette courbe, quelles conjectures pensez-vous 
pouvoir faire concernant\\
\textbf{a.} le sens de variations de $f$ sur [$-3$~;~ 2] ?\\
\textbf{b.} la position de la courbe par rapport à l'axe $(x'x)$ ? } 
\hfill \parbox[r]{0.45\textwidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.25,-1.5)(2.25,1.5)
\psline(-2.25,0)(2.25,0) \psline(0,-1.5)(0,1.5)
\psframe(-2.25,-1.5)(2.25,1.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.843}{1.313}{x dup mul 2.71828 x 1 sub exp mul x 
dup mul 2 div sub}
\psline(-2,0)(-2,0.2) \psline(-1,0)(-1,0.2) \psline(1,0)(1,0.2) \psline(2,0)(2,0.2) \end{pspicture}}

Dans la suite de ce problème, on se propose de valider ou non ces conjectures et de les complèter.

\medskip

\textbf{Partie A : contrôle de la première conjecture}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$, et 
l'exprimer à l'aide de l'expression $g(x)$ où $g$ est la fonction 
définie sur $\R$ par $g(x) = (x + 2)\text{e}^{x - 1} - 1$.
\item Étude du signe de $g(x)$ pour $x$ réel.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer les limites de $g(x)$ quand $x$ tend vers $+ 
\infty$, puis quand $x$ tend vers $- \infty$.
		\item Calculer $g'(x)$ et étudier son signe suivant les valeurs 
de $x$.
		\item En déduire le sens de variations de la fonction $g$, puis 
dresser son tableau de variations.
		\item Montrer que l'équation $g(x) = 0$ possède une unique 
solution dans $\R$. On note $\alpha$ cette solution. Montrer que 
$0,20 < \alpha < 0,21$.
		\item Déterminer le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$.
	\end{enumerate}
\item Sens de variations de la fonction $f$ sur $\R$.
	\begin{enumerate} 
		\item Étudier, suivant les valeurs de $x$, le signe de $f'(x)$.
		\item En déduire le sens de variations de la fonction $f$.
		\item Que pensez-vous de votre première conjoncture ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : contrôle de la deuxième conjoncture}

\medskip

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans 
un repère orthonormal \Oij. 

On se propose de contrôler la position de la courbe par rapport  à
l'axe $(x'x)$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Montrer que $f(\alpha) = \dfrac{-\alpha 
^3}{2(\alpha + 2)}$.
\item On considère la fonction $h$ définie sur 
l'intervalle [0~;~1] par $h(x) = \dfrac{- x^3}{2(x + 2)}$.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $h'(x)$ pour $x$ élément de [0~;~1], puis 
déterminer le sens de variations de $h$ sur [0~;~1].
		\item En déduire un encadrement de $f(\alpha)$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer les abscisses des points 
d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec l'axe $(x'x)$.
		\item Préciser alors la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à l'axe des abscisses.
		\item Que pensez-vous de votre deuxième conjecture ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie C : tracé de la courbe}

\medskip

Compte tenu des résultats précédents, on se propose de tracer la 
partie $\Gamma$ de $\mathcal{C}$ correspondant à l'intervalle 
$[-0,2~;~0,4]$, dans le repère orthonormal \Oij{} avec les unités suivantes :

\setlength\parindent{5mm} 
\begin{itemize}
\item sur l'axe des abscisses 1 cm représentera 0,05.
\item sur l'axe des ordonnées 1 cm représentera 0,001.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate} 
\item Recopier le tableau suivant et complèter 
celui-ci à l'aide de la calculatrice en indiquant les valeurs 
approchées sous la forme $n \times 10^{-4}$ ($n$ entier relatif).

\hspace{-0,5cm} {\footnotesize \begin{array}{|l|*{13}{c|}}\hline
x & -0,2 & -0,15 & -0,1 & -0,05 &0 & 0,05 & 0,1 & 0,15 & 0,2 & 0,25 & 
0,3 & 0,35 & 0,4\\ \hline
f(x) & & & & & & & & & & & & & \\ \hline
\end{array}}
\item Tracer alors $\Gamma$ dans le repère choisi.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie D : calcul d'aire}

\medskip

On désire maintenant calculer l'aire du domaine $\mathcal{D}$ 
délimité par la courbe $\Gamma$, l'axe des abscisses, l'axe des 
ordonnées et la droite d'équation $x =  1 - \ln 2$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item À l'aide d'une double intégration par parties, 
déterminer une primitive sur $\R$ de la fonction  :

\[x \mapsto x^2\text{e}^x.\]

\item En déduire une primitive $F$ sur $\R$ de la 
fonction $f$.
\item Calculer alors, en unités d'aire, l'aire du 
domaine  $\mathcal{D}$ puis en donner une valeur approchée en cm$^2$.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%  fin Pondichéry avril 2003
\newpage 
%%%%%%%%%%%%   Centres étrangers  juin 2003
\hypertarget{Centresetrangers}{}

\label{Centresetrangers}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{juin 2003}}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat  S  Centres étrangers
juin 2003~\decofourright}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On définit, pour tout entier naturel $n > 0$, la suite $(u_n)$ de nombres 
réels strictement positifs par $u_n = \dfrac{n^2}{2^n}$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Pour tout entier naturel $n > 0$, on pose $v_n = 
\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_n = \dfrac{1}{2}$.
 		\item Montrer que pour tout entier naturel $n > 0,\: v_n > \dfrac{1}{2}$.
		\item Trouver le plus petit entier $N$ tel que si $n \geqslant 
N,~v_n < \dfrac{3}{4}$.
		\item En déduire que si $n \geqslant N$, alors $u_{n+1} < \dfrac{3}{4}u_n$.
	\end{enumerate}
On pose pour tout entier naturel $n \geqslant 5,~S_n = u_5 + 
u_6 + \cdots + u_n$.
 \item On se propose de montrer que la suite $(S_n)_{n\geqslant 5}$ est convergente.
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n \geqslant 5,$

\[u_n \leqslant \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-5}u_5.\]

		 \item Montrer que pour tout entier naturel $n \geqslant 5$,

\[S_n \leqslant \left[1 + \dfrac{3}{4} + \left(\dfrac{3}{4}\right)^2 + 
\cdots + \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-5}\right]u_5.\]

		 \item En déduire que pour tout entier naturel $n \geqslant 
5,~S_n \leqslant 4u_5$.
	\end{enumerate}
 \item Montrer que la suite $\left(S_n\right)_{n\geqslant 
5}$ est croissante et en déduire qu'elle converge.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\textbf{Réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement 
de spécialité}

\medskip

Une entreprise d'autocars dessert une région montagneuse. En chemin, les véhicules peuvent être bloqués par des incidents extérieurs comme des chutes de pierres, la présence de troupeaux sur la route, etc.
 
Un autocar part de son entrepôt. On note $D$ la variable aléatoire
 qui mesure la distance en kilomètres que l'autocar va parcourir jusqu'à ce qu'il survienne un incident. On admet que $D$ suit
une loi exponentielle de paramètre $\lambda = \dfrac{1}{82}$, appelée aussi loi de durée de vie sans vieillissement.
 
On rappelle que la loi de probabilité est alors définie par : 

\[p(D \leqslant A) = \displaystyle\int_0^A  
\dfrac{1}{82}\text{e}^{-\frac{x}{82}} \:\text{d}x.\]

Dans tout l'exercice, les résultats numériques seront arrondis au millième.

\begin{enumerate} 
\item Calculer la probabilité que la distance parcourue sans
 incident soit : 
	\begin{enumerate} 
		\item comprise entre $50$ et $100$ km ;
		\item supérieure à $300$ km. 
	\end{enumerate} 
\item Sachant que l'autocar a déjà parcouru $350$ kilomètres
 sans incident, quelle est la probabilité qu'il n'en subisse pas non plus
 au cours des 25~prochains kilomètres ?
\item Détermination de la distance moyenne parcourue sans
 incident.
	\begin{enumerate} 
		\item Au moyen d'une intégration par parties, calculer I$(A) = 
\displaystyle\int_0^A  \dfrac{1}{82}x\text{e}^{-\frac{x}{82}} \:\text{d}x$ où $A$ est un nombre réel positif.
		 \item Calculer la limite de I$(A)$ lorsque $A$ tend vers $+ \infty$.
 (Cette limite représente la distance moyenne cherchée). 
 	\end{enumerate}
\item L'entreprise possède N$_0$ autocars. Les distances
 parcourues par chacun des autocars entre l'entrepôt et le lieu où survient un incident sont des variables aléatoires deux à deux
indépendantes et de même loi exponentielle de paramètre $\lambda = \dfrac{1}{82}$.

$d$ étant un réel positif, on note $X_d$ la variable aléatoire égale
 au nombre d'autocars n'ayant subi aucun incident après avoir parcouru $d$ kilomètres.
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que $X_d$ suit une loi binomiale de paramètres N$_0$ et  e$^{-\lambda d}$.
		\item Donner le nombre moyen d'autocars n'ayant subi aucun incident après avoir parcouru $d$ kilomètres. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\textbf{Réservé aux candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\vspace{2cm}

\parbox[l]{0.40\textwidth}{L'espace (E) est muni d'un repère orthonormal 
\Oijk.

On considère la surface \textbf{T} d'équation :
$x^2y = z$\quad  avec $-1 \leqslant x \leqslant 1$ \quad et 
$-1 \leqslant y \leqslant 1.$

La figure ci-contre est une représentation de la surface \textbf{T}, dans le
 cube de centre O et de côté 2.} \hfill 
\parbox[l]{0.45\textwidth}{
\psset{unit=1.5cm,xMax=2.2,yMax=2.2,zMax=2.5}
\begin{pspicture}(-1,-1)(1,1)
\pstThreeDCoor
\pstThreeDBox(1,1,-1)(-2,0,0)(0,-2,0)(0,0,2)
\psplotThreeD[linecolor=blue,drawStyle=xLines](-1,1)(-1,1){x 2 exp y mul}
\psplotThreeD[linecolor=red,drawStyle=yLines](-1,1)(-1,1){x 2 exp y mul}
\end{pspicture}}

\vspace{0,8cm}

\begin{enumerate} 
\item Éléments de symétrie de la surface \textbf{T}.

	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que si le point $M(x~;~y~;~z)$ appartient à \textbf{T}, alors le point
		
$M'(- x~;~y~;~z)$ appartient aussi à \textbf{T}. En déduire un plan de symétrie de \textbf{T}.
		\item Montrer que l'origine O du repère est centre de symétrie de \textbf{T}.
	\end{enumerate}
\item Intersections de la surface \textbf{T} avec des plans
 parallèles aux axes.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la nature des courbes d'intersection de \textbf{T} avec les plans parallèles au plan (x\text{O}z).
		\item Déterminer la nature des courbes d'intersection de \textbf{T} avec les plans parallèles au plan $(y\text{O}z)$. 
	\end{enumerate} 
\item Intersections de la surface \textbf{T} avec les plans
 parallèles au plan $(x\text{O}y)$ d'équations $z = k$, avec $k \in [0~;~1]$.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer l'intersection de la surface \textbf{T} et du plan d'équation $z = 0$.
		\item Pour $k > 0$ on note $K$ le point de coordonnées $(0,~0,~ k)$.
 Déterminer, dans le repère $\left(K~;~\vect{\imath},~
\vect{\jmath}\right)$, l'équation de la courbe d'intersection de
 \textbf{T} et du plan d'équation $z = k$.
		\item Tracer l'allure de cette courbe dans le repère $\left(K~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$. On précisera en particulier les coordonnées des extrémités de l'arc. 
	\end{enumerate} 
\item On note (D) le domaine formé des points du cube unité  situés sous la surface \textbf{T}.

\[(\text{D}) = {M(x,~y,~z) \in (E) \quad \text{avec} \quad 0 \leqslant x 
\leqslant 1~;~ 0\leqslant y\leqslant 1~;~ 0 \leqslant z \leqslant x^2y}.\]

	\begin{enumerate} 
		\item	Pour $0 < k \leqslant 1$, le plan d'équation $z = k$ coupe le domaine (D) selon une surface qu'on peut visualiser sur le graphique de la \textbf{question 3 c}.
		
C'est l'ensemble des points $M$ du cube unité, de coordonnées $(x,~ y,~ z)$ tels que $y \geqslant \dfrac{k}{x^2}$  et $z = k$.

Calculer en fonction de $k$  l'aire $S(k)$ exprimée en unités d'aire, de cette surface. 
		\item On pose $S(0) = 1$ ;  calculer en unités de volume, le volume $V$ du domaine (D).

On rappelle que $V = \displaystyle\int_0^1  S(k)\:\text{d}k$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 9 points}

\medskip

On appelle $f$ la fonction définie sur l'intervalle I $ = ]- 2~;~+ \infty[$ par

\[f(x) = 1 + x\ln (x + 2).\]

On note $\left(\mathcal{C}_f\right)$ la courbe représentative de $f$
 dans le repère orthonormal \Oij. (unité graphique 4 cm).
 
\vspace{0,25cm}

\textbf{I. Étude de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Étude des variations de la dérivée $f'$.
	\begin{enumerate} 
		\item $f'$ désigne la fonction dérivée première de $f$ et $f''$ la fonction dérivée seconde. Calculer $f'(x)$ puis $f''(x)$ pour $x$ appartenant  à l'intervalle 
		
$]-2~;~+ \infty[$.
		\item Étudier les variations de $f'$ sur l'intervalle $]-2~;~+ \infty[$.
		\item Déterminer les limites de $f'$ en $- 2$ et en $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\item Étude du signe de $f'(x)$.
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que sur l'intervalle $]-2~;~+ \infty[$ l'équation $f'(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ appartenant à l'intervalle $[- 0,6~;~- 0,5]$.
		\item En déduire le signe de $f'(x)$ selon les valeurs de $x$.
	\end{enumerate}
\item Étude des variations de $f$
	\begin{enumerate}
		\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle 
$]-2~;~+ \infty[$.
		\item Déterminer les limites de $f$ en $- 2$ et en $+ \infty$.
		\item Dresser le tableau de variation de $f$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{II. Position de la courbe \boldmath $(\mathcal{C}_f)$ 
\unboldmath par rapport à ses tangentes}

\medskip

Soit $x_0$ un réel appartenant  l'intervalle $]-2~;~+ \infty[$ , on 
appelle $T_{x_0}$ la tangente  $\left(\mathcal{C}_f\right)$ au point d'abscisse $x_0$.

On note, pour $x$ appartenant à l'intervalle $]-2~;~+ \infty[,$

\[d(x) = f(x) - \left[f'(x_0) (x- x_{0}) + f(x_0)\right].\]

\begin{enumerate} 
\item Étude des variations de $d$.
	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle 
$]-2~;~+ \infty[$,

\[d'(x) = f'(x) - f'\left(x_0\right).\]

		\item En utilisant la croissance de la fonction $f'$, donner le signe de $d'(x)$ selon les valeurs de $x$. En déduire les variations de $d$ sur l'intervalle $]-2~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer la position relative de $\left(\mathcal{C}_
f\right)$ et de $T_{x_0}$.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{III. Tracés dans le repère \boldmath \Oij \unboldmath}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer une équation de la droite $T_0$, tangente  
$\left(\mathcal{C}_f\right)$ au point d'abscisse 0 ; tracer $T_0$.
\item Trouver les réels $x_0$ pour lesquels les tangentes $T_{x_0}$
 passent par l'origine du repère puis tracer ces droites.

\item Tracer la courbe $\left(\mathcal{C}_f\right)$ pour les
 valeurs de $x$ comprises entre $- 1$ et 2. On prendra pour $\alpha$ la
valeur $- 0,54$ et pour $f(\alpha)$ la valeur $0,8$.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%   fin Centres étrangers juin 2003
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Amérique du Nord juin 2003
\hypertarget{AmeriqueNord}{}

\label{AmeriqueNord}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{juin 2003}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large\textbf{Baccalauréat série S 
Amérique du Nord juin 2003}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples constitué de six questions : chacune comporte trois réponses, une et une seule étant 
exacte.}

\emph{Les réponses à cet exercice sont à inscrire dans la feuille jointe 
en annexe, page 5, en cochant pour chaque question la case correspondante à la réponse proposée.}
 
\emph{Toute réponse ambigüe sera considérée comme une absence de réponse. Toute réponse exacte entraîne une bonification, toute erreur est pénalisée.}

\medskip

On s'intéresse à la durée de vie, exprimée en années, d'un appareil ménager avant la première panne. On peut  modéliser cette situation par une loi de probabilité $p$ de durée de vie sans vieillissement, définie sur  l'intervalle $[0~;~+ \infty$[. Ainsi, la probabilité d'un intervalle  $[0,~t[$, notée $p([0~;~t[)$, est la probabilité que l'appareil ménager tombe en panne avant l'instant $t$.

Cette loi est telle que $p([0,~t[) = \displaystyle\int_0^t 
\lambda \text{e}^{- \lambda x}\: \text{d}x$, où $t$ est un nombre réel positif représentant le nombre d'années (loi exponentielle de paramètre $\lambda$, avec $\lambda > 0$).

\begin{enumerate}
\item Pour $t \geqslant 0$, la valeur exacte de $p([t~;~+\infty[)$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.~~} $1 - \text{e}^{-\lambda t}$&\textbf{b.~~} $\text{e}^{-\lambda t}$
&\textbf{c.~~}$1 + \text{e}^{-\lambda t}$\\
\end{tabularx}
\medskip

\item La valeur de $t$ pour laquelle on a $p([0~;~t[) =  p([t~;~+\infty[)$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}  
\textbf{a.~~} $\dfrac{\ln 2}{\lambda}$&\textbf{b.~~}$\dfrac{\lambda}{\ln 2}$&	
\textbf{c.~~}$\dfrac{\lambda}{2}$\\
\end{tabularx} 
\medskip

\item D'après une étude statistique, la probabilité que l'appareil tombe en panne avant la fin de la première année est 0,18. La valeur exacte de $\lambda$ est alors :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.~~}$\ln \left(\dfrac{50}{41}\right)$&\textbf{b.~~}$\ln 
\left(\dfrac{41}{50}\right)$&\textbf{c.~~}$\dfrac{\ln (82)}{\ln (100)}$\\
\end{tabularx}
\medskip

\item Sachant que cet appareil n'a connu aucune panne au cours des deux premières années après sa mise en service, la probabilité qu'il ne connaisse aucune panne  l'année suivante est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.~~}$p([1;~+ \infty[)$&\textbf{b.~~}$p([3~;~+ \infty[)$&\textbf{c.~~} $p([2~;~3[)$\\
\end{tabularx}
\medskip

 Dans la suite de l'exercice on prendra $\lambda = 0,2$.

\item La probabilité que l'appareil n'ait pas eu de panne au cours des
trois premières années, arrondie à $10^{-4}$ près, est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.~~}\np{0,5523}&\textbf{b.~~}\np{0,5488}& \textbf{c.~~} \np{0,4512}\\
\end{tabularx}
\medskip

\item Dix appareils neufs de ce type ont été mis en service en même temps. On désigne par $X$ la  variable aléatoire égale au nombre d'appareils qui n'ont pas de panne au cours des trois premières années.

La valeur la plus proche de la probabilité de l'évènement \og $X = 4$ \fg{} est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.~~} \np{0,5555}&\textbf{b.~~} \np{0,8022}&\textbf{c.~~}\np{0,1607}\\
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Dans le plan complexe rapporté à  un repère orthonormé \Ouv, d'unité graphique 1 cm, on considère  les points A$_0$, A$_1$, A$_2$ d'affixes respectives $z_0 = 5 - 4\text{i},\\ z_1 = - 1- 4\text{i},~ z_2 = - 4 - \text{i}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
	
		\item Justifier l'existence d'une unique similitude directe 
$S$ telle que $S(\text{A}_0)~=~\text{A}_1$ et $S (\text{A}_1) = \text{A}_2$.
		\item Établir que l'écriture complexe de $S$ est $z'= 
\dfrac{1-\text{i}}{2}z + \dfrac{- 3 + \text{i}}{2}$.
		\item En déduire le rapport, l'angle et l'affixe $\omega$ du centre $\Omega$ de la similitude $S$.
		\item On considère un point $M$, d'affixe $z$ avec $z ­\neq 0$, et son image $M'$, d'affixe $z'$.

Vérifier la relation : $\omega - z'= \text{i}(z - z')$ ; en déduire la nature du triangle $\Omega MM'$.
	\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, le point A$_{n+1}$, est 
défini par A$_{n+1} = S(\text{A}_n)$ et on pose $u_n = 
\text{A}_n\text{A}_{n+1}$.
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A$_0$,~ A$_1$, A$_2$ et construire géoétriquement les points A$_3$,~ A$_4$,~ A$_5$,~ A$_6$.
		\item Démontrer que la suite $(u_n)$ est géométrique.
	\end{enumerate}
\item La suite $\left(v_n\right)$ est définie sur $\N$ par $v_n = u_0 + 
u_1 + \cdots + u_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} u_k$.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
		\item La suite $\left(v_n\right)$ est-elle convergente ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer en fonction de $n$ le rayon $r_n$ du cercle 
circonscrit au triangle $\Omega\text{A}_n\text{A}_{n+1}$.
		\item Déterminer le plus petit entier naturel $p$ tel que, pour tout entier naturel $n$ :  si $n > p$ alors $r_n < 10^{-2}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan est rapporté au reère orthonormé \Ouv{} (unité graphique : 2~cm).

On consière les points A, B et C d'affixes respectives 
$z_{\text{A}} = - 1 + \text{i}\sqrt{3},$

$z_{\text{B}} = - 1 - \text{i}\sqrt{3}$ et $z_{\text{C}} = 2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer ces points sur un dessin.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que : $\dfrac{z_{\text{B}}  - z_{\text{C}} 
}{z_{\text{A}} - z_{\text{C}} }	= \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$.
		\item En déduire la nature du triangle ABC.
		\item Déterminer le centre et le rayon du cercle $\Gamma_1$ circonscrit au triangle ABC.

Tracer le cercle $\Gamma_1$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Établir que l'ensemble $\Gamma_2$ des points $M$  d'affixe $z$ qui vérifient 

$2(z + \overline{z})~+~z\overline{z}~=~0$
est un cercle de centre $\Omega$ d'affixe $- 2$. Préciser son rayon. Construire $\Gamma_2$.
		\item Vérifier que les points A et B sont éléments de $\Gamma_2$.
	\end{enumerate}
\item On appelle $r_1$ la rotation de centre A et d'angle 
$\dfrac{\pi}{3}$.
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les images des points A et B par la rotation $r_1$ ? 
Construire l'image C$_1$ du point C par la rotation $r_1$ puis calculer son affixe.
		\item Déterminer l'image du cercle $\Gamma_2$ par la rotation $r_1$.
	\end{enumerate}
\item Soit $r$ une rotation. Pour tout point $M$ d'affixe 
$z$, on note $M'$ l'image de $M$ par $r$ et $z'$ l'affixe de $M'$.

On posera : $z'= az + b$, avec $a$ et $b$ des nombres complexes vérifiant 
$|a| = 1$ et $a ­\neq 1$.

On suppose que $r$ transforme le cercle $\Gamma_2$ en le cercle $\Gamma_1$.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est l'image du point $\Omega$ par $r$ ? En déduire une relation  entre $a$ et $b$.
		\item Déterminer en fonction de $a$ l'affixe du point $r(\text{C})$, image du point C par la rotation $r$ ;  en déduire que le point $r(\text{C})$ appartient  un cercle fixe que l'on définira. Vérifier que ce cercle passe par C$_1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A : étude d'une fonction  $f$  et construction de sa courbe}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \text{e}^{-x}  \ln \left(1 + \text{e}^x\right).\]

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan rapporté 
au repère orthogonal  \Oij.

L'unité graphique est 1 cm sur l'axe des abscisses et 10 cm sur l'axe des ordonnées.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On rappelle que : $\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{\ln (1 + h)}{h} = 1$. Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.
		\item Vérifier que pour tout réel $x : f(x) = 
\dfrac{x}{\text{e}^x} + \text{e}^{-x} \ln \left(1 + \text{e}^{-x}\right)$.

Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
		\item En déduire que la courbe admet deux asymptotes que l'on précisera.
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]- 
1~;~+ \infty[$ par :

\[g(t)= \dfrac{t}{1 + t}- \ln (1 + t).\]

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la fonction $g$ est strictement décroissante sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
		\item En déduire le signe de $g(t)$ lorsque $t > 0$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ et l'exprimer en fonction de 
$g\left(\text{e}^x\right),\: f'$ désignant la fonction dérivée de $f$.
		\item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ puis dresser son tableau de variations.
	\end{enumerate}
\item Tracer les asymptotes à la courbe $\mathcal{C}$ et la courbe $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : comportements asymptotiques d'une primitive 
\boldmath $F$ \unboldmath  de \boldmath $f$ \unboldmath  sur \boldmath  $\R$ 
\unboldmath}

\medskip

Soit $F$ la fonction définie sur $\R$ par $F(x) = \displaystyle\int_0^x f(t)\: \text{d}t.$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier le sens de variations de la fonction $F$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que, pour tout nombre réel 
$t,~\dfrac{1}{1 + \text{e}^t} = 1 - \dfrac{\text{e}^t}{1 + \text{e}^t}$	et calculer 

$\displaystyle\int_0^x \dfrac{1}{1 + \text{e}^t}\: 
\text{d}t.$		
		\item En déduire, à l'aide d'une intégration par parties, le calcul de 
$F(x)$.
		\item Vérifier que $F(x)$ peut s'écrire sous les formes suivantes :

\[\begin{array}{l l c l}
(1)& F(x)&=& x - \ln (1+ \text{e}^x) - f(x) + 2\ln 2.\\
(2)& F(x)& =&\ln \left(\dfrac{\text{e}^x}{1 + \text{e}^x}\right) -  f(x) + 2\ln 2.\\
\end{array}\]

	\end{enumerate}
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} F(x)$.
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \left[F(x) - 
x\right]$. Donner une interprétation graphique de ce résultat.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : étude d'une suite}

\medskip

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie sur $\N^*$ par :

\[u_n = f(1) + f(2) + \cdots + 
f(n) = \displaystyle\sum_{k = 1}^n \text{e}^{-k} \ln (1 + \text{e}^ k).\]

\begin{enumerate}
\item Hachurer sur la représentation graphique un domaine dont l'aire, en unités d'aire, est $u_n$.
\item Déterminer le sens de variation de la suite  $\left(u_n\right)$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que, pour tout entier $k$ tel que $1 
\leqslant k \leqslant n$, on a : 

\[f(k) \leqslant \displaystyle\int_{k-1}^{k}  f(t)\:\text{d}t.\]

		\item Comparer $u_n$ et $F(n)$.
	\end{enumerate}
\item La suite  $\left(u_n\right)$ est-elle convergente ?
\end{enumerate}

\vspace{2cm}

\begin{center} 

\textbf{Annexe à rendre avec la copie}

\vspace{0,5cm}

\emph{Réponses à l'exercice} 1 (mettre une croix dans la case 
correspondant à la réponse choisie)

\vspace{0,5cm}

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
 & (a) & (b) & (c) \\ \hline
1. & 	&  	&\\ \hline
2. &  	&  	&\\ \hline
3. &  	& 	&\\ \hline 
4. &  	&  	&\\ \hline 
5. &  	& 	& \\ \hline
6. &  	&  	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%   fin Amérique du Nord juin 21003
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Antilles-Guyane juin 2003
\hypertarget{Antilles}{}

\label{Antilles}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2003}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat série S  Antilles-Guyane juin 2003~\decofourright}}\end{center}
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun  tous les candidats}

\medskip

Le plan est rapporté au repère orthonormal \Ouv{} (unité graphique : 2~cm).  On considère les points A et B d'affixes respectives A($3 + 2$i) et B($-1 + 4$i). Extérieurement au triangle OAB, on construit les deux carrés OA$_1$A$_2$A et OBB$_1$B$_2$.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En remarquant que A$_2$ est l'image de O par une rotation de centre A, déterminer l'affixe de A$_2$. En déduire l'affixe du centre I du carré OA$_1$A$_2$A.
		\item En remarquant que B$_1$ est l'image de O par une rotation de centre B, déterminer l'affixe de B$_1$. En déduire l'affixe du centre J du carré OBB$_1$B$_2$.
	 \end{enumerate}
\item Calculer l'affixe du milieu K du segment [AB]. À l'aide des affixes des différents points, calculer les longueurs KI et KJ, ainsi qu'une mesure de l'angle  $\left(\vect{\text{KI}},~\vect{\text{KJ}}\right)$. Que  peut-on en déduire ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Une entreprise A est spécialisée dans la fabrication en série d'un article ; un contrôle de qualité a montré que chaque article produit par l'entreprise A pouvait présenter deux types de défaut : un défaut de soudure avec une probabilité égale à $0,03$ et un défaut sur un composant électronique avec une probabilité égale à $0,02$.

Le contrôle a montré aussi que les deux défauts étaient indépendants. Un article est dit défectueux s'il  présente au moins l'un des deux défauts.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que la probabilité qu'un article fabriqué par l'entreprise A soit défectueux est égale à \np{0,0494}.
\item Une grande surface reçoit 800 articles de l'entreprise A. Soit $X$ la variable aléatoire qui à cet ensemble de 800 articles associe le nombre d'articles défectueux.
	\begin{enumerate}
		\item  Définir la loi de $X$.
		\item  Calculer l'espérance matématique de $X$. Quel est le sens de ce nombre ?
	 \end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Un petit commerçant passe une commande de 25 articles  à l'entreprise~A.

Calculer, à $10^{-3}$ près, la probabilité qu'il y ait plus de 2 articles défectueux dans sa commande.
		\item Il veut que sur sa commande la probabilité d'avoir au moins un article 
défectueux reste inférieure à 50\,\%. Déterminer la valeur maximale du nombre $n$ d'articles qu'il peut commander.
 	\end{enumerate}
\item La variable aléatoire, qui à tout article fabriqué par l'entreprise associe sa durée de vie en jours, suit une loi exponentielle de paramètre \np{0,0007}, c'est-à-dire de densité de probabilité la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = \np{0,0007}\text{e}^{-\np{0,0007}x}.\]

Calculer la probabilité, à $10^{-3}$ près, qu'un tel article ait une durée de vie comprise entre $700$ et \np{1000} jours.
 \end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer : $\left(1 + \sqrt{6}\right)^2,~ \left(1 + \sqrt{6}\right)^4,~\left(1 + \sqrt{6}\right)^6$.

		\item Appliquer l'algorithme d'Euclide à  $847$ et $342$. Que peut-on en déduire  ?
	\end{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel non nul. On note $a$ et 
$b$ les entiers naturels tels que :

\[\left(1 + \sqrt{6}\right)^n  = a_n + b_n\sqrt{6}.\]

Que valent $a_1$ et $b_1$ ?

D'après les calculs de la question \textbf{1. a.}, donner d'autres 
valeurs de $a_n$ et $b_n$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$.
		\item Démontrer que, si 5 ne divise pas $a_n + b_n$, alors 5 ne divise pas non plus $a_{n+1} + b_{n+1}$.

En déduire que, quel que soit $n$ entier naturel non nul, 5 ne divise pas 
 $a_n + b_n$.
		\item Démontrer que, si $a_n$ et $b_n$ sont premiers entre eux, 
alors $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ sont premiers entre eux.

En déduire que, quel que soit $n$ entier naturel non nul, $a_n$ et $b_n$ sont premiers entre eux. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

\textbf{A. On se propose de résoudre sur~\boldmath $\R$ 
\unboldmath l'équation différentielle (E) :}

\[\boldmath y' - 2y = 2\left(\textbf{e}^{2x} - 1\right). \unboldmath\]

\begin{enumerate}
\item  Montrer que la fonction $h$ définie sur $\R$ par : 

\[h(x) = 2x\text{e}^{2x} + 1\]

est solution de l'équation différentielle (E).
\item On pose : $y = z + h$. Montrer que $y$ est solution de (E) si et seulement si $z$ est solution de l'équation différentielle : $z' - 2z = 0$. Résoudre cette dernière équation différentielle et en déduire les solutions de (E).
\item Démontrer qu'il existe une solution et une seule de (E) s'annulant en 0. Elle sera appelée $g$ et étudiée dans la \textbf{partie B}.
\end{enumerate} 

\medskip

\textbf{B. On considère la fonction \boldmath $g$ \unboldmath 
définie sur \boldmath $\R$ \unboldmath par :}

\medskip

\[g(x) = (2x - 1)\text{e}^{2x} + 1.\]

\begin{enumerate}
\item  Déterminer le sens de variation de $g$. Présenter son tableau de variations. En déduire le signe de $g$ sur $\R$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre dans $\R$ l'inéquation : $1 - g(x) 
\geqslant 0$.
		\item Calculer l'intégrale : I = $\displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}} [1 - g(x)]\:\text{d}x$.
		\item Interpréter graphiquement les résultats des questions \textbf{a.} et \textbf{b.}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{C. On considère la fonction numérique \boldmath $f$ 
\unboldmath définie pour \boldmath $x$ \unboldmath réel non nul par :}

\[f(x) = \dfrac{\text{e}^{2x}- 1}{x}.\]

\begin{enumerate}
\item  Calculer les limites de $f$ en $- \infty$, en $0$ et 
en $+ \infty$.
\item En déduire que la courbe représentative de $f$ admet une asymptote que l'on précisera.
\item Déterminer le sens de variation de $f$ et donner son 
tableau de variations (on pourra utiliser la \textbf{partie B)}.
\item Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans 
le repère orthogonal 
\Oij, avec pour unités : 4~cm sur 
$\left(\text{O}~;~\vect{\imath}\right)$ et 2~cm sur 
$\left(\text{O}~;~\vect{\jmath}\right)$. Après avoir recopié et complété le tableau ci-dessous avec des valeurs approchées arrondies à $10^{-2}$  près, construire la courbe  $\mathcal{C}$ pour des valeurs de $x$ comprises entre $-2$ et 1.

\begin{center}{\scriptsize\begin{tabularx}\linewidth{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&$-2$	&$-1,5$	&$-1$	&$-0,5$	&$-0,2$	&$-0,1$	&$-0,05$&0,05	&0,1	&0,2	&0,5	&1\\ \hline
$f(x)$	&		&		&		&		&		&		&		&		&		&		&	& \\ \hline
\end{tabularx}}\end{center}

\item Soit $f_{1}$ la fonction définie par $\left\{\begin{array}{l c l}
f_1(x) &=&f(x),~x \neq 0\\
f_1(0) &=& 0\\
\end{array}\right.$

Cette fonction est définie et continue sur $\R$. En supposant que $f_1$ est dérivable en 0, expliquer comment on peut déterminer graphiquement une valeur approchée du nombre dérivé $f'(0)$ ; faire cette lecture graphique.

Quel résultat de limite cela permet-il de conjecturer ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{D. On se propose de trouver un encadrement de 
l'intégrale :}

\[ \text{J} = \displaystyle\int_{-2}^{-1} \dfrac{\text{e}^{2x}- 
1}{x}\:\text{d}x.\]
		
Montrer que pour tout $x$ de $[-2~;~ -1]$ on a : $- \dfrac{0,86}{x} 
\leqslant \dfrac{\text{e}^{2x}- 1}{x} \leqslant - \dfrac{0,99}{x}$.

En déduire un encadrement de J d'amplitude $0,1$.
%%%%%%%%%%%%%   fin Antilles-Guyane juin 2003
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Asie juin 2003
\hypertarget{Asie}{}

\label{Asie}
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{juin 2003}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat  S 
Asie  juin 2003~\decofourright}}} \end{center}
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun  tous les candidats}

\medskip

L'espace E est rapporté au repère orthonormal \Oijk.

Les points A, B et C ont pour coordonnées respectives :

\[\text{A}(3~;~- 2~;~2) \quad ; \quad\text{B}(6~;~1~;~5) \quad;\quad
 \text{C}(6~;~- 2~;~-1).\]
 
\vspace{0,4cm}

\psset{unit=1cm}\begin{center} 
\begin{pspicture}(8,5)
\pspolygon(1,3.8)(2.8,4.8)(7.6,1.5)(0,0)%ABDC
\psline(0,0)(2.8,4.8)%BC
\psline(3.9,0)(3.9,5)%axe des $z$
\psline(5.5,4.85)(1.4,0)%axe des $x$
\psline(0,3.6)(8,2.35)%axe des $y$
\psline[linewidth=1pt]{->}(3.9,3)(3.6,2.6) 
\psline[linewidth=1pt]{->}(3.9,3)(4.5,2.9) 
\psline[linewidth=1pt]{->}(3.9,3)(3.9,3.6)
\uput[l](1,3.8){A} \uput[u](2.8,4.8){B} 
\uput[d](7.6,1.5){D}  \uput[d](0,0){C} 
\uput[ul](3.9,3){O}  \uput[ul](3.6,2.6){$\vect{\imath}$} 
\uput[dl](4.5,2.9){$\vect{\jmath}$}  \uput[l](3.9,3.6){$\vect{k}$} 
\end{pspicture} 
\end{center}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Montrer que le triangle ABC est un triangle rectangle. 
\item Soit P le plan d'équation cartésienne $x + y + z - 3 = 0$. 

Montrer que P est orthogonal à la droite (AB) et passe par le point A. 
\item Soit P$'$ le plan orthogonal  la droite (AC) et passant par le point A. 

Déterminer une équation cartésienne de P$'$. 
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$, droite d'intersection des plans P et P$'$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B} 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Soit D le point de coordonnées $(0~;~4~;~- 1)$.

 Montrer que la droite (AD) est perpendiculaire au plan (ABC). 
\item Calculer le volume du tétraèdre ABDC.
\item Montrer que l'angle géométrique BDC a pour mesure $\dfrac{\pi}{4}$ radian.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer l'aire du triangle BDC.
		\item En déduire la distance du point A au plan (BDC).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

$\Gamma$ est le cercle de centre O et de rayon $2\sqrt{2}$.

Le plan  est rapporté à un repère orthonormal \Ouv.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item À tout point $M$ d'affixe $z$, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que :

\[z' = z^2 - 2(1 + \text{i})z. \]

On pose $z = x + \text{i}y$ et $z' = x' + \text{i}y'$, où $x,~y,~x'$ et 
$y'$ sont des nombres réels.
	\begin{enumerate} 
		\item Exprimer $x'$ et $y'$ en fonction de $x$ et $y$.
		\item Soit $\mathcal{H}$ l'ensemble des points $M$ tels que $z'$ soit un nombre réel. Montrer que $\mathcal{H}$ est la représentation graphique  d'une fonction $h$ que l'on déterminera (l'étude de la fonction $h$ n'est pas  demandée). $\mathcal{H}$ est tracée sur le graphique ci-dessous.
	\end{enumerate}
\item Montrer que le point A d'affixe $a = 2(1 + \text{i})$ appartient  à
$\Gamma$ et $\mathcal{H}$.
\item Soit R la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$. On note B et C les points tels que R(A) = B et R(C) = A.
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que R(B) = C et que les triangles OAB, OBC et OCA sont isométriques.
		\item Quelle est la nature du triangle ABC ?
		\item Montrer que B et C appartiennent à $\Gamma$ et $\mathcal{H}$.
		\item Tracer $\Gamma$ et placer A, B et C sur le graphique ci-dessous.

\begin{center} \begin{pspicture}(-5,-3)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=8,Dy=8](0,0)(-5,-3)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=8,Dy=8]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\uput[dl](0,0){O}
\psline(-5,1)(4,1)
\psline(1,-3)(1,4)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-5}{0.75}{x x 1 sub div}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{1.333}{4}{x x 1 sub div}
\end{pspicture} \end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n,~3n^3 - 11n + 48$ est divisible par $n + 3$.
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n,~3n^2 - 9n + 16$ est un entier naturel non nul.
	\end{enumerate}
\item Montrer que, pour tous les entiers naturels non nuls $a,~b$ et $c$, 
l'égalité suivante est vraie :

\[\text{PGCD}(a~;~b) = \text{PGCD}(bc - a~;~b).\]

\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, supérieur ou égal à 2, 
l'égalité suivante est vraie :

\[\text{PGCD}\left(3n^3 - 11n~;~n + 3\right) = \text{PGCD}(48~;~n + 3).\]

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer l'ensemble des diviseurs entiers naturels de 48.
		\item En déduire l'ensemble des entiers naturels $n$ tels que $\dfrac{3n^3 - 11n}{n+3}$ soit un entier naturel.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

Le plan P est rapporté à  un repère orthonormal \Oij.

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par

\[f(x) = \dfrac{1 + 2\ln  x}{x^2}.\]

Soit ($\mathcal{C}$) la courbe représentative de $f$ et soit ($\mathcal{C}'$) 
celle de la fonction $h$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $h(x) = \dfrac{1}{x}$.

\begin{enumerate} 
\item Déterminer les limites de $f$ en 0 et en $+ \infty$. En déduire que ($\mathcal{C}$) a deux  asymptotes que l'on déterminera. 
\item Calculer la dérivée $f'$ de $f$ et étudier les variations de $f$. 
\item Soit I le point d'intersection de ($\mathcal{C}$) avec l'axe 
des abscisses. Déterminer les coordonnées de I. 
\item Pour tout $x$ de $]0~;~+ \infty[$, on pose $g(x) = 1 - x + 2\ln x$.
	\begin{enumerate} 
		\item Étudier les variations de la fonction $g$.
		\item Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une solution unique dans chacun des intervalles ]0~;~2[ et ]2~;~4[. Soit $\alpha$ la solution appartenant  ]2~;~4[. Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$. 
	 \end{enumerate}
 \item 
 	\begin{enumerate} 
 		\item Montrer que $f(x) - \dfrac{1}{x}  = \dfrac{g(x)}{x^2}$ et en déduire que ($\mathcal{C}$) et ($\mathcal{C}'$) se coupent  en deux points.
		\item Montrer que, pour tout réel $x$ supérieur ou égal à 4, la double inégalité suivante est vraie :

\[0 < f(x) \leqslant \dfrac{1}{x}.\]

	\end{enumerate}
\item Tracer ($\mathcal{C}$) et ($\mathcal{C}'$).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Soit $\mathcal{D}$ la partie du plan définie par les inégalités suivantes :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
 1  \leqslant &  x & \leqslant \alpha \quad (\alpha \quad  \text{est le réel défini dans la partie A})\\
0 \leqslant &  y  & \leqslant f(x)\\
\end{array}\right.\]

	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer l'aire de $\mathcal{D}$, notée $\mathcal{A}(\alpha)$, en unités d'aire (on utilisera une intégration par parties).
		\item Montrer que $\mathcal{A}(\alpha) = 2 - \dfrac{2}{\alpha}$ et donner une valeur approchée de $\mathcal{A}(\alpha)$  $10^{-2}$ près. 
	\end{enumerate} 
\item Soit la suite $\left(I_n\right)$ définie pour $n$ suérieur ou égal à 1 par :

\[I_n = \displaystyle\int_n^{n+1} f(x)\: \text{d}x.\]

	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que, pour tout $n$ supérieur ou égal à 4, la double inégalité suivante  est vraie :

\[0 \leqslant I_n \leqslant \ln\left(\dfrac{n + 1}{n}\right).\]

		\item En déduire que la suite $\left(I_n\right)$ converge et déterminer sa limite.
		\item Soit $S_n = I_1 + I_2 + I_3 + \cdots + I_n$. Calculer $S_n$ puis la limite de la suite $\left(S_n\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On considère, pour tout $n$ supérieur ou égal à 1, la fonction $f_{n}$, définie sur $]0~;~+ \infty[$ par

\[f_n(x) = \dfrac{1 + 2 \ln x}{x^{2n}}.\]

\begin{enumerate} 
\item Calculer la dérivée $f'_n$ de la fonction $f_n$. 
\item Résoudre l'équation $f'_n(x) = 0$. Soit $x_n$ la solution de cette équation. 
\item Déterminer la limite de la suite $\left(x_n\right)$.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%   fin Asie juin 2003
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Métropole juin 2003
\hypertarget{Metropole}{}

\label{Metropole}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2003}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat  S  Métropole juin 2003~\decofourright}}}\end{center}

\textbf{Note :}

Ce sujet a soulevé l'indignation des candidats et des professeurs de terminale. En rupture brutale avec les usages antérieurs, il était en effet trop difficile, trop long et ne correspondait pas à ce que doit être un sujet d'examen.

L'\textbf{A. P{}. M. E. P{}.} a choisi de publier, en partant du thème d'un exercice et du problème de cette épreuve, d'autres rédactions possibles qui nous ont paru intéressantes.

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal \Ouv{} (unité graphique : 2 cm), on considère les points A, B et C d'affixes respectives $a = 2,~ b = 1 - \text{i}$ et $c =  1 + \text{i}$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item
	 \begin{enumerate} 
	 	\item Placer les points A, B et C sur une figure.
		\item Calculer $\dfrac{c - a}{b - a}$. En déduire que le triangle ABC est rectangle isocèle. 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item On appelle $r$ la rotation de centre A telle que 
$r$(B) = C.

Déterminer l'angle de $r$ et calculer l'affixe $d$ du point D = 
$r$(C).
		\item Soit $\Gamma$ le cercle de diamètre [BC].

Déterminer et construire l'image $\Gamma '$  du cercle $\Gamma$ par la rotation $r$.
	\end{enumerate}
\item Soit $M$ un point de $\Gamma$ d'affixe $z$, distinct de 
C et $M'$ d'affixe $z'$ son image par $r$.
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer qu'il existe un réel $\theta$ appartenant à 
$\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right[ \cup \left]\dfrac{\pi}{2}~;~2\pi\right[$ tel que 

$z = 1 + \text{e}^{\text{i}\theta}$.
		\item Exprimer $z'$ en fonction de $\theta$.
		\item Montrer que	$\dfrac{z' - c}{z - c}$	est un réel. En déduire que les points C, $M$ et $M'$ sont alignés.
		\item Placer sur la figure le point M d'affixe $1+ 
\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}$ et construire son image M$'$ par $r$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\vspace{0,25cm}

\parbox[l]{0.45\textwidth}{Soient $a$ un réel strictement positif et OABC un tétraèdre tel que :

$\bullet$	OAB, OAC et OBC sont des triangles rectangles en O,

$\bullet$	OA = OB = OC = $a$.

On appelle I le pied de la hauteur issue de C du triangle ABC, H le pied de la hauteur issue de O
 du triangle OIC, et D le point de l'espace défini par
  
$\vect{\text{HO}} = \vect{\text{OD}}$.} \hfill 
\parbox[r]{0.53\textwidth}{\psset{unit=0.8cm}\begin{pspicture}(-0.5,0)(9,10.2)
%\psgrid
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.1pt](1.2,0.9)(2,4)(2,9.7)%AOC
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.1pt](6.7,4)(2,4)%BO
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.1pt](3.2,4.4)(2,4)%HO
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.1pt](6.7,4)(0.2,3.1)%BD
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.1pt](3.95,2.45)(2,4)%OI
\psline(2,9.7)(0.2,3.1)(1.2,0.9)(6.7,4)(2,9.7)(3.95,2.45)%CDABCI
\psline(1.2,0.9)(2,9.7)%AC
\uput[d](1.2,0.9){A} \uput[d](3.95,2.45){I} \uput[dr](6.7,4){B} 
\uput[ul](2,9.7){C} \uput[ul](2,4){O} \uput[l](0.2,3.1){D}  
\uput[r](3.2,4.4){H}
\end{pspicture}}

\begin{enumerate} 
\item Quelle est la nature du triangle ABC ?
\item Démontrer que les droites (OH) et (AB) sont orthogonales, puis que H est
 l'orthocentre du triangle ABC.
\item Calcul de OH
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer le volume V du tétraèdre OABC puis l'aire S du triangle ABC.
		\item Exprimer OH en fonction de V et de S, en déduire que OH = $a\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
	\end{enumerate}
\item Étude du tétraèdre ABCD.

L'espace est rapporté au repère orthonormal $\left(\text{O}~ 
;~\dfrac{1}{a}\vect{\text{OA}},~\dfrac{1}{a}\vect{\text{OB}},~
\dfrac{1}{a}\vect{\text{OC}}\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le point H a pour coordonnées : 
$\left(\dfrac{a}{3},~\dfrac{a}{3},~\dfrac{a}{3}\right)$.
		\item Démontrer que le tétraèdre ABCD est régulier (c'est-à-dire que toutes ses arêtes ont même longueur).
		\item Soit $\Omega$ le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD. Démontrer que $\Omega$ est un point de la droite (OH) puis calculer ses coordonnées.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} proposé par l'A. P{}. M. E. P{}. \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\vspace{0,25cm}

OABC est un tétraèdre tel que :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item OAB, OAC, OBC, sont trois triangles rectangles en O.
\item OA = OB = OC.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Le dessin fourni en annexe sera complété au fur et à mesure de l'avancement du
problème, et rendu avec la copie.

(Je propose que seul le tétraèdre OABC soit représenté, avec une disposition qui
permette ultérieurement de bien distinguer les points O et K, les droites (CK) et
(CO), les droites (AK) et (AO), et de placer le repère dans la disposition habituelle).

\medskip

\begin{enumerate}
\item On nomme K le point du plan ABC qui est le point de concours des trois
médiatrices du triangle ABC. Montrer que K est aussi l'isobarycentre de A, B, C.
\item On choisit la distance OA comme unité de longueur, et on munit l'espace du repère
$\left(\text{O},~\vect{\text{OA}},~\vect{\text{OB}},~\vect{\text{OC}}\right)$, qui est alors orthonormé.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées de K.
		\item Montrer que le vecteur $\vect{\text{OK}}$ est normal au plan ABC.
		\item Calculer la distance de O au plan ABC.
	\end{enumerate}
\item On rappelle que, dans l'espace, le plan médiateur d'un segment est défini de deux
façons équivalentes :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item c'est le plan orthogonal au segment et passant par son milieu
\item c'est l'ensemble de tous les points de l'espace situés à égale distance des deux
extrémités du segment.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le plan médiateur P du segment [AB] est le plan COK.
		
Déterminer le plan médiateur Q du segment [BC].
		\item Déterminer l'ensemble $\mathcal{E}$ des points de l'espace situés à égale distance des trois points A, B, C.
	\end{enumerate}
\item Soit D le point de l'espace symétrique de K par rapport à O, c'est à dire le point
tel que $\vect{\text{OD}} = \vect{\text{KO}}$, et soit $\Omega$ l'isobarycentre des quatre points A, B, C, D.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\Omega$ est le milieu du segment [OK].
		\item Montrer que $\Omega$ est le centre d'une sphère S contenant les quatre sommets du tétraèdre ABCO (S se nomme sphère circonscrite au tétraèdre).
	\end{enumerate}
\item Les unités d'aire et de volume étant celles attachées au repère, calculer :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item l'aire du triangle ABC ;
\item la mesure de la hauteur issue de D du tétraèdre ABCD ;
\item le volume du tétraèdre ABCD ;
\item le volume de la sphère S.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Les questions} \textbf{3.} \emph{et} \textbf{4.} \emph{sont indépendantes des
 questions} 1. \emph{et} 2. \emph{seule l'équation de} $\Gamma$ \emph{donnée en} \textbf{1.  c.} \emph{intervient à la question} \textbf{4.}.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item L'espace est rapporté au repère orthonormal \Oijk.
	\begin{enumerate}
		 \item Montrer que les plans P et Q d'équations respectives $x + 
y\sqrt{3}	- 2z = 0$ et $2x - z = 0$ ne sont pas parallèles.
		\item Donner un système d'équations paramétriques de la 
droite $\Delta$ intersection des plans P et Q.
		\item On considère le cône de révolution $\Gamma$ d'axe (O$x$) contenant la droite $\Delta$ comme génératrice.

Montrer que $\Gamma$ pour équation cartésienne $y^2 + z^2 = 7x^2$.
	\end{enumerate}
\item On a représenté sur les deux figures ci-dessous les intersections de $\Gamma$  avec des plans parallèles aux axes de coordonnées.

Déterminer dans chaque cas une équation des plans possibles, en justifiant avec soin votre réponse.
 
\begin{center} 
\psset{unit=0.8cm}\begin{pspicture}(14,7)
\pscurve(0,0)(1,1)(1.85,2)(2.5,3)(2.6,3.5)(2.5,4)(1.85,5)(1,6)(0,7)
\pscurve(7,0)(6,1)(5.15,2)(4.5,3)(4.4,3.5)(4.5,4)(5.15,5)(6,6)(7,7)
\pscircle(11,3.5){2.2}
\end{pspicture}
\end{center}

\hspace{2cm}Figure 1 	\hspace{5,5cm}Figure 2

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $x^2 \equiv 3 \quad [7]$ , 
dont l'inconnue $x$ est un entier relatif, n'a pas de solution,
		\item Montrer la propriété suivante :

pour tous entiers relatifs $a$ et $b$, si 7 divise $a^2 + b^2$ alors
 7 divise $a$ et 7 divise $b$. 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Soient $a,\: b$ et $c$ des entiers relatifs non nuls. Montrer la propriété  suivante :

si le point A de coordonnées $(a,\: b,\: c)$ est un point du cône 
$\Gamma$ alors $a,~b$ et $c$ sont divisibles par 7.
		\item En déduire que le seul point de $\Gamma$ dont les coordonnées 
sont des entiers relatifs  est le sommet de ce cône.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soit N$_{0}$ le nombre de bactéries introduites dans un milieu de culture à l'instant
 
$t = 0$~ (N$_{0}$ étant un réel strictement positif, exprimé en millions d'individus).

\textbf{Ce problème a pour objet l'étude de deux modèles d'évolution de cette population  de bactéries :}

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] un premier modèle pour les instants qui suivent l'ensemencement 
(\textbf{partie A})
\item[$\bullet~$]  un second modèle pouvant s'appliquer sur une longue période 
(\textbf{partie B}).
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center} \textbf{Partie A} \end{center}

Dans les instants qui suivent l'ensemencement du milieu de culture, on considère que la vitesse d'accroissement des bactéries est proportionnelle au nombre de bactéries en présence.

Dans ce premier modèle, on note $f(t)$ le nombre de bactéries à l'instant $t$ (exprimé en millions d'individus). La fonction $f$ est donc solution de l'équation différentielle :  $y' = ay$. (où $a$ est un réel strictement positif dépendant des conditions expérimentales).

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Résoudre cette équation différentielle, sachant 
que $f(0) = \text{N}_{0}$.
\item  On note $T$ le temps de doublement de la population bactérienne.

Démontrer que, pour tout réel $t$ positif : $f(t) = \text{N}_{0} 
2^{\frac{t}{T}}$.
\end{enumerate}

\begin{center}  \textbf{Partie B} \end{center}

Le milieu étant limité (en volume, en éléments nutritifs, ...), le nombre de bactéries ne peut pas croître indéfiniment de façon exponentielle. Le modèle précédent ne peut donc s'appliquer sur 
une longue période. Pour tenir compte de ces observations, on représente l'évolution de la
population de bactéries de la façon suivante :

Soit $g(t)$ est le nombre de bactéries à l'instant $t$ (exprimé en millions  d'individus) ; la fonction $g$ est une fonction strictement positive et dérivable sur $[0~;~+ \infty[$ qui vérifie pour tout $t$ de $[0~;~+ \infty[$ la relation :

\[\text{(E)}\qquad g'(t) = ag(t)\left[1 - 
\dfrac{g(t)}{\text{M}}\right].\]
 
où M est une constante strictement positive dépendant des conditions expérimentales et $a$ le réel défini dans la \textbf{partie A}.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que si $g$ est une fonction strictement positive vérifiant la relation (E), alors la fonction $\dfrac{1}{g}$ est solution de l'équation différentielle 
 
 \[\text{(E}') \qquad y'+ ay = \dfrac{a}{\text{M}}.\]

		\item Résoudre (E$'$).
		\item Démontrer que si $h$ est une solution strictement positive de (E$'$), alors $\dfrac{1}{h}$ vérifie (E).
	\end{enumerate}
\item On suppose désormais que, pour tout réel positif 
$t,~ g(t) = \dfrac{\text{M}}{1 + C\text{e}^{-at}}$ où $C$ est une constante
 strictement supérieure à 1 dépendant des conditions expérimentales.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la limite de $g$ en $+ \infty$ et démontrer, pour tout réel $t$ positif ou nul, la double inégalité : $0 < g(t) <  \text{M}$.
		\item Étudier le sens de variation de $g$ (on pourra utiliser la relation (E)).

Démontrer qu'il existe un réel unique $t_{0}$ positif tel que 
$g(t_{0}) = \dfrac{\text{M}}{2}$.
		\item Démontrer que $g'' = a\left(1 - 
\dfrac{2g}{\text{M}}\right)g'$. Étudier le signe de $g''$. En déduire que la vitesse d'accroissement du nombre de bactéries est décroissante à partir de l'instant $t_{0}$ défini ci-dessus.

Exprimer $t_{0}$ en fonction de $a$ et $C$.
		\item Sachant que le nombre de bactéries à l'instant $t$ est 
$g(t)$, calculer le nombre moyen de bactéries entre les instants $0$ et $t_{0}$, en fonction de M et $C$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie C} \end{center}

\begin{enumerate} 
\item Le tableau présenté en \textbf{Annexe I} a permis d'établir que 
la courbe représentative de $f$ passait par les points de coordonnées respectives (0~;~1) et (0,5~;~2). En déduire les valeurs de N$_{0},~T$ et $a$.
\item Sachant que $g(0) = \text{N}_{0}$ et que M = 100 
N$_{0}$, démontrer, pour tout réel $t$ positif ou nul, l'égalité suivante :

\[g(t) = \dfrac{100}{1 + 99 \times 4^{-t}}.\]
	
\item Tracer, sur la feuille donnée en \textbf{Annexe 
II}, la courbe $\Gamma$ représentative de $g$, l'asymptote à $\Gamma$ ainsi que le point de $\Gamma$ d'abscisse $t_{0}$.
\item Dans quelles conditions le premier modèle vous 
semble-t-il adapté aux observations faites ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} proposé par l'A. P{}. M. E. P{}. \hfill 11 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On étudie une population de bactéries introduites dans un milieu de culture à l'instant
$t = 0$. 

Ce problème a pour objet l'étude de trois modèles d'évolution de cette
population. Dans tout le problème, la population initiale sera de 1 million
d'individus, et on exprimera le temps en heures, et la population de bactéries en
millions d'individus.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\emph{Un modèle discret}

On suppose que la population double toutes les demi-heures.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Combien y-a-t-il de bactéries au bout d'une heure ? au bout de deux heures ?
\item Soit $P(n)$ le nombre d'individus au bout de $n$ heures. Donner l'expression de $P(n)$
en fonction de $n$.
\item Au bout de combien d'heures la population dépasse-t-elle $100$~millions
d'individus ?

Quelle est la limite de la suite $\left(P(n)\right)$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\emph{Un premier modèle continu}

\medskip

On s'intéresse à la population de bactéries à l'instant $t$. 

Pour faciliter le traitement
mathématique, on la représente par une fonction continue et dérivable $f(t)$ (ceci
malgré le fait qu'en toute rigueur, elle devrait être forcément un nombre décimal
n'ayant pas plus de 6 décimales, puisqu'il y a un nombre entier de bactéries).

On prend pour hypothèse dans ce premier modèle continu qu'à chaque instant
l'accroissement de la population par unité de temps, $f'(t)$, est proportionnel à la
population. 

Cela revient à dire qu'il existe un coefficient $a$ strictement positif et
invariant au cours du temps tel que $f'(t) = af(t)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation différentielle $y' = ay$, et en déduire l'expression de $f(t)$, en prenant en compte la population initiale.
		\item On suppose que la population double toutes les demi-heures. En déduire la
valeur de $a$.
	\end{enumerate}
\item On suppose désormais que la population à l'instant $t$ est : $f(t) = \text{e}^{t \ln 4}  = 4^t$.
	\begin{enumerate}
		\item Dans ce modèle, combien y-a-t-il de bactéries au bout de 10 minutes, au bout
de 1~h 40 ? 
		
Quelle est la limite de $f(t)$ en plus l'infini ?
		\item Si l'instant initial était midi, à quelle heure, à la minute près, la population atteindrait-elle $100$~millions ?
		\item Comparer $f(n)$ et $P(n)$ ; qu'apporte cette deuxième modélisation par rapport à la première? (On peut comparer les questions posées dans A et dans B pour
évaluer les \og performances \fg de chaque modélisation.)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\emph{Un modèle continu moins simpliste :  l'équation logistique}

\medskip

L'expérience montre que le nombre de bactéries ne peut pas croître sans limite comme dans le modèle précédent. Pour améliorer le modèle, on introduit un terme négatif dans l'équation différentielles qui va avoir pour effet de diminuer la vitesse du phénomène. Ce modèle a été imaginé par Verhulst en 1838. 

Dans ce paragraphe, la population à l'instant $t$ est notée $g(t)$ ; elle est supposée
définie sur l'ensemble des réels positifs ou nuls, dérivable et strictement positive et
elle est solution de l'équation différentielle :

\[y' = y \ln (4) - ky^2\]

où $k$ est une constante strictement positive dépendant des conditions expérimentales.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résolution de cette équation différentielle:
	\begin{enumerate}
		\item Prouver, pour toute fonction $g$ dérivable et strictement positive, l'équivalence suivante :
		
\[\left(\forall t, \:g'(t) = g(t)\ln 4 - k(g(t)^2\right) \iff  \left(\forall t, \: \left(\dfrac{1}{g}\right)'(t) = -  \dfrac{1}{g(t)}\ln 4 + k\right).
		\]
		\item Résoudre l'équation différentielle $y' = - y \ln (4) + k$.
		\item Déduire de a. et b. une expression de $g(t)$ en prenant en compte la condition
initiale : $g(0) = 1$.
		\item On suppose dans cette question que : $g(t) = \dfrac{\ln 4}{(\ln 4 - k)\text{e}^{-t\ln 4} + k}$.
		
Des mesures expérimentales montrent que la population finit par se stabiliser à
$100$~millions d'individus. On traduit cette stabilisation par la condition :
$\displaystyle\lim_{t \to + \infty} g(t) = 100$.

Quelle est la valeur de $k$ pour que cette condition soit remplie.
 	\end{enumerate}
\item  Comportement de ce modèle.

On suppose désormais que $g(t) = \dfrac{100}{1 + 99\text{e}^{t \ln 4}} = \dfrac{100}{1 + 99\times 4^t}$.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que cette fonction est solution de l'équation différentielle $(E)$
		
\[y' = y \ln 4 - \dfrac{\ln 4}{100}y^2\]

et qu'elle vérifie les deux conditions $g(0) = 1$ et $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} g(t) = 100$.
		\item Comparer les nombres $100$ et $g(t)$.
		\item Établir le tableau de variation complet de $g$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. Tracer dans un repère adapté aux données la représentation graphique $(T)$ de $g$.
		\item Résoudre graphiquement puis par le calcul l'équation : $g(T) = 50$.

On note la solution $d$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{Document à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\textbf{Annexe I}

\vspace{0,8cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$ (en h)				& 0 &0,5&1 & 1,5 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\  \hline
Nombre de bactéries (en millions)&1,0&2,0&3,9&7,9&14,5&37,9&70,4&90,1 &98\\ 
 \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\vspace{0,8cm}

Les points obtenus à partir de ce tableau, ainsi que le 
graphe de la fonction $f$, sont représentés dans le graphique 
ci-dessous.



\begin{center} \textbf{Annexe II}
    
\vspace{0,5cm}
    
\psset{xunit=1.55cm,yunit=1mm}
\begin{pspicture}(8,110)
\multido{\r=.5+1}{8}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](\r,0)(\r,110)}
\multido{\r=0+5}{23}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](0,\r)(8,\r)}
\multido{\i=1+1}{8}{\psline[linecolor=orange](\i,0)(\i,110)}
\multido{\r=0+20}{6}{\psline[linecolor=orange](0,\r)(8,\r)}
\psline(0,110)(8,110)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=20]{->}(0,0)(0,0)(8,110)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2]
(0,1)(0.5,2)(1,3.9)(1.5,7.9)(2,14.5)(3,37.9)(4,70,4)(5,90.1)(6,98)
\uput[r](8,0){$t$} \uput[u](0,110){$y$}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{0}{3.39}{4 x exp}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole juin 2003
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   La Réunion juin 2003
\hypertarget{LaReunion}{}

\label{LaReunion}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2003}}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat La Réunion S 
juin 2003~\decofourright}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\textbf{Commun  tous les candidats}

\bigskip

Cet exercice comporte 3 questions indépendantes.

Une question comporte 4 affirmations repérées par les lettres a, b, c et d.

Aucune justification n'est demandée pour cet exercice.

Vous devez indiquer pour chacune d'elles si elle est vraie ou fausse.

Vous inscrirez en toutes lettres \og VRAI \fg{} ou \og FAUX \fg{} dans la case correspondante du tableau donné en annexe à rendre avec la copie.
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item Une urne contient $75$ boules blanches et $25$ boules noires. L'expérience élémentaire consiste à tirer une boule. Les boules ont toutes la même probabilité d'être tirées. On effectue $n$ tirages indépendants et avec remise, $n$ désignant un entier supérieur à 10. Soit $X$ la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de boules blanches tirées. 
	\begin{enumerate}
		\item $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $\dfrac{1}{4}$.
		\item P($X = 0) = \dfrac{1}{2^{2n}}$
		\item P($X < 5) = 1 - \text{P}(X > 5)$
		\item E($X)  = 0,75n$ 
	\end{enumerate}
\item Une maladie atteint 1\,\% d'une population donnée.

Un test de dépistage de cette maladie a les  caractéristiques suivantes :

$\bullet$~Chez les individus malades, 99\,\% des tests sont positifs et 1\,\% sont négatifs.

$\bullet$~Chez les individus non malades, 98\,\% des tests sont négatifs
(les autres étant positifs).

Un individu est choisi au hasard dans cette population et on lui applique le test.

On note $M$ l'évènement : \textbf{l'individu est malade}  et $T$ l'évènement : \textbf{le test pratiqué est positif}.
	\begin{enumerate}
		\item P$_{M}(T) +$ P$_{\overline{M}}(T) = 1,01$.
\item P$_{M}(T$) + P$_{\overline{M}}(T$) = P$(T)$
		\item P$(T)  = 2,97 \cdot 10^{-2}$.
		\item Sachant que le test est positif, il y a deux chances sur trois pour que l'individu testé ne soit pas malade.
 	\end{enumerate}
\item La durée d'attente en seconde de la caisse d'un supermarché est une 
variable aléatoire $Y$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $0,01$. 
Alors :
	\begin{enumerate}
		\item La densité de probabilité de $Y$ est la fonction $f$
définie sur $[0~;~+ \infty[$ par : $f(t) = \text{e}^{-0,01t}$
		\item Pour tout réel $t$ positif, P($Y \leqslant t) = 1 - \text{e}^{-0,01t}$.
		\item La probabilité d'attendre moins de 3 minutes à cette caisse est, à  $0,01$ près, égale à $0,16$.
		\item Il y a plus d'une chance sur deux que l'attente à cette caisse soit supérieure à une  minute.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

On considère un cube ABCDEFGH d'arête 1.

Le nombre $a$ désigne un réel strictement positif.

On considère le point $M$ de la demi-droite [AE) défini par
$\vect{\text{A}M}=\dfrac{1}{a}\;\vect{\text{AE}}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le volume du tétraèdre ABD$M$ en
fonction de $a$.
\item Soit $K$ le barycentre du système de points pondérés :

\[\left\{\left(M\,;\,a^2\right),~(\text{B}\,;\,1),~(\text{D}\,;\,1)\right\}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $\vect{\text{B}K}$ en fonction de $\vect{\text{B}M}$
et de $\vect{\text{BD}}$.
		\item Calculer $\vect{\text{B}K}~\cdot~\vect{\text{A}M}$ et $\vect{\text{B}K}~\cdot~\vect{\text{AD}}$ puis en
déduire l'égalité $\vect{\text{B}K}~\cdot~\vect{M\text{D}}=0$.
		\item Démontrer l'égalité $\vect{\text{D}K}~\cdot~\vect{M\text{B}}=0$.
		\item Démontrer que $K$ est l'orthocentre du triangle BD$M$.
	\end{enumerate}
\item Démontrer les égalités $\vect{\text{A}K}~\cdot~\vect{M\text{B}}=0$ et $\vect{\text{A}K}~\cdot~\vect{M\text{D}}=0$. Qu'en déduit-on pour la droite (A$K$) ?
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le triangle BD$M$ est
isocèle et que son aire est égale à $\dfrac{\sqrt{a^2 +2}}{2a}$ unité
d'aire.
	\item Déterminer le réel $a$ tel que l'aire du triangle BD$M$ soit
égale à 1 unité d'aire. Déterminer la distance A$K$ dans ce cas.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vskip 1cm

\begin{center}
\begin{pspicture}(6,6)
\psset{unit=2cm}
\psframe(0,0)(2,2) %ABFE
\psline(0,2)(0.75,2.75)(2.75,2.75)(2,2)%EFGH
\psline(2.75,2.75)(2.75,0.75)(2,0)%BCG
\psline[linestyle=dashed](0,0)(0.75,0.75)%AD
\psline[linestyle=dashed](0.75,0.75)(0.75,2.75)%DH
\psline[linestyle=dashed](2.75,0.75)(0.75,0.75)%DC
\psline[linestyle=dashed](2,0)(0.75,0.75)%BD
\psline[linestyle=dashed](0,1.5)(0.75,0.75)%MD
\psline(0,1.5)(2,0)%MB
\uput[dr](0.4,0.85){D} \uput[dl](0,0){$A$} \uput[dr](2,0){B}
\uput[dr](2.75,0.75){C} \uput[dr](0.5,3){H} \uput[ul](0,2){E}
\uput[ul](2,2){F} \uput[dr](2.5,3){G} \uput[dl](0,1.65){$M$}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

Le plan est rapporté à  un repère orthonormal direct \Ouv. On prendra 1 cm, pour unité graphique.

On considère l'application $f$ du plan dans lui-même qui, à tout 
point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que :

\[z' = -\left(\sqrt{3} + \text{i}\right)z - 1 + \text{i}\left(1 + 
\sqrt{3} \right).\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est une similitude directe dont le centre
$\Omega$ a pour affixe i. En déterminer le rapport et l'angle.

\item Soit M$_{0}$ le point d'affixe $z_{0} = 
\dfrac{\sqrt{3}}{4} + \dfrac{3}{4}\text{i}$.
	
Calculer $\Omega \text{M}_{0}$ et donner une mesure en  
radians de l'angle $\left(\vect{u}~;~\vect{\Omega 
\text{M}_{0}}\right)$.
\item On considère la suite de points $(M_{n})_{n 
\geqslant 0}$, définie pour tout entier naturel $n$ par $M_{n+1} =  
f(M_{n})$. On note $z_{n}$ l'affixe du point $M_{n}$.
	\begin{enumerate}
		\item	Placer les points 
$\Omega,~\text{M}_{0},~\text{M}_{1},~\text{M}_{2},~\text{M}_{3}$ et 
$\text{M}_{4}$.
		\item Monter par récurrence, pour tout entier naturel $n$, 
l'égalité :

\[z_{n}- \text{i} =  2^n 
\text{e}^{\text{i}\frac{7n\pi}{6}}\left(z_{0} - \text{i}\right).\]

		\item Pour tout entier naturel $n$, calculer $\Omega M_{n}$, puis  déterminer le plus petit entier $n$	tel que $\Omega M_{n} \geqslant 10^2$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  On considère l'équation (E) : $7x -  12y = 1$ où $x$ et $y$ sont deux entiers relatifs. Après avoir vérifié que le couple $(-5~;~-3)$ est solution, résoudre l'équation  (E).
		\item Soit $\Delta$ l'ensemble des points $M$ du plan d'affixe 
$z$ telle que Im$(z) = 1$ et Re$(z) \geqslant 0$.

Caractériser géométriquement $\Delta$ et le représenter.

Déterminer l'ensemble des entiers naturels $n$ tels que $M_{n}$ appartienne
à la demi-droite d'origine $\Omega$ dirigée par le vecteur 
$\vect{u}$. Préciser son plus petit élément.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 9 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats.}

\bigskip

On considère l'équation différentielle (E) : $y - y' =  \dfrac{\text{e}^x}{x^{2}}$ et on cherche l'ensemble des solutions de cette équation définies sur $]0~;~+ \infty[$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la fonction $u$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $u(x) = \dfrac{\text{e}^x}{x}$	est solution de (E).	
		\item Démontrer qu'une fonction $v$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ est solution de (E) si et seulement si la fonction $v - u$, définie sur $]0~; ~+ \infty[$, est solution de l'équation
différentielle $y - y' = 0$.
		\item En déduire toutes les solutions définies sur $]0~; ~+ \infty[$ 
de l'équation (E).
	\end{enumerate}
\item Pour tout réel $k$ négatif ou nul, on considère la fonction
$f_{k}$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par :

\[f_{k}(x) = \dfrac{kx+1}{x} \text{e}^x.\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les limites de $f_{k}$ en $0$ et en $+ \infty$.
		\item Calculer $f'_{k}(x)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ et déterminer le nombre de solutions sur $]0~; ~+ \infty[$ de l'équation  $f'_{k}(x) = 0$.
	\end{enumerate}
\item On note $\mathcal{C}_{k}$ la courbe représentative de la
fonction $f_{k}$ dans un repère orthonormal  \Oij.

On a tracé sur le graphique ci-joint les courbes  $\mathcal{C}_{-1},~ 
\mathcal{C}_{-0,25},~\mathcal{C}_{-0,15}$ et  $\mathcal{C}_{0}$.

En utilisant la  deuxième question, reconnaître chaque courbe (les 
réponses doivent être justifiées).

\item Pour tout réel $a$ strictement positif, on pose 
$\mathcal{A}(a) = \displaystyle\int_{a}^{a+1} \dfrac{\text{e}^x}{x}\:\text{d}x$.

	\begin{enumerate}
		\item Interpréter géométriquement $\mathcal{A}(a)$.
		\item On désigne par  $F$ une primitive de la  fonction $x \mapsto 
\dfrac{\text{e}^x}{x}$ sur $]0~;~+ \infty[$.

En remarquant que $\mathcal{A}(a) = F(a + 1) -  F(a)$ étudier le sens de variation de la fonction qui à tout réel $a$ élément de $]0~; ~+ \infty[$ associe le réel $\mathcal{A}(a)$
		\item On veut découper dans le plan une bande verticale de largeur une unité de telle sorte que l'aire située dans cette bande entre les 
courbes $\mathcal{C}_{0}$ et (O$x$) soit minimale. Comment doit-on 
procéder ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center} \textbf{Annexe du problème}
    
\vspace{1cm}

\psset{yunit=2.5mm}
\begin{pspicture}(0,-15)(8,30)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(8,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-15)(0,30)
\uput[d](8,0){$x$} \uput[l](0,30){$y$}
\psplot[plotpoints=750]{0.04}{3.1}{1 x sub x div 2.71828 x exp mul}
\psplot[plotpoints=750]{0.04}{5.4}{1 0.25 x mul sub x div 2.71828 x exp mul}
\psplot[plotpoints=750]{0.04}{7.2}{1 0.15 x mul sub x div 2.71828 x exp mul}
\psplot[plotpoints=750]{0.035}{5.02}{ 2.71828 x exp  x  div}
\rput(1.5,-4){(3)} \rput(4.4,-4){(4)} \rput(4,4){(2)} \rput(4.5,26){(1)} 
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%   fin La Réunion juin 2003
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Liban juin 2003
\hypertarget{Liban}{}

\label{Liban}
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{mai 2003}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat  
S Liban mai 2003~\decofourright}}\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Une urne contient quatre boules noires et deux boules blanches.

\smallskip

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 2. On  répète $n$ fois
 l'épreuve qui consiste à tirer une boule puis  la remettre dans l'urne ; on  suppose que toutes les boules ont la même probabilité d'être tirées et que les tirages sont indépendants.
 
On note $p_n$, la probabilité de tirer exactement une boule blanche 
lors des $n -1$ premiers tirages et une boule blanche lors du $n$-ième 
tirage.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer les probabilités $p_2$, $p_3$ et $p_4$.
\item On considère les évènements suivants :

$B_n$ : \og On tire une boule blanche lors du $n$-ième tirage \fg,

$U_n$ : \og On tire une boule blanche et une seule lors des $n - 1$ premiers tirages \fg.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $B_n$.
		\item Exprimer la probabilité de l'évènement $U_n$ en fonction de $n$.
		\item En déduire l'expression de $p_n$ en fonction de $n$ et vérifier l'égalité :

\[p_n =  \dfrac{n-1}{4} \times \left( \dfrac{2}{3}\right)^n.\]

	\end{enumerate}
\item On pose : $S_n = p_2 + p_3 + \cdots + p_n$.	
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2, on a :
		
\[S_n = 1 - \left(\dfrac{n}{2} + 1\right) \times \left(\dfrac{2}{3}\right)^n.\]

		\item Déterminer la  limite  de la suite $(S_n)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Résoudre dans $\C$ l'équation :

\[ 4z^2 - 12z + 153 = 0. \]

\item Dans le plan rapporté à un repère orthonormé 
\Ouv,  d'unité graphique 1~cm on considère les points A, B, C, P d'affixes 
respectives : $z_{\text{A}} = \dfrac{3}{2} + 
6\text{i},\\z_{\text{B}} = \dfrac{3}{2} - 6\text{i}~;~z_{\text{C}} = - 
3 - \dfrac{1}{4}\text{i},~z_{\text{P}} = 3 + 2\text{i}$ et le vecteur
$\vect{w}$ d'affixe $z_{\vect{w}} = - 1 + \dfrac{5}{2}\text{i}$.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer l'affixe $z_{\text{Q}}$ du point Q, image du point  B dans la translation $t$ de vecteur $\vect{w}$.
		\item Déterminer l'affixe $z_{\text{R}}$ du point R, image du point  P par l'homothétie $h$ de centre C et de rapport $- 
\dfrac{1}{3}$.
		\item Déterminer l'affixe $z_{\text{S}}$ du point S, image du point P par la rotation $r$ de centre A et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$.

Placer les points P, Q, R et S.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que le quadrilatère PQRS est un 
parallélogramme.
		\item Calculer $\dfrac{z_{\text{R}} - 
z_{\text{Q}}}{z_{\text{P}} - z_{\text{Q}}}$.

En déduire la nature précise du parallélogramme PQRS.
		\item Justifier que les points P, Q, R et S appartiennent à un 
même cercle, noté $\mathcal{C}$. On calculera l'affixe de son 
centre $\Omega$ et son rayon $\rho$.
	\end{enumerate}
\item La droite (AP) est-elle tangente au cercle $\mathcal{C}$ ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Les suites d'entiers naturels $(x_n)$ et $(y_n)$ sont définies sur $\N$ 
par :

\[ \begin{array}{l}
x_0 = 3 \quad \text{et} \quad x_{n+1} = 2x_n - 1\\
y_0 = 1 \quad \text{et} \quad y_{n+1} = 2y_n + 3.
\end{array}\]

\begin{enumerate} 
\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel 
$n,~ x_n = 2^{n+1} + 1$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer le pgcd de $x_8$ et $x_9$, puis celui de 
$x_{\np{2002}}$ et $x_{\np{2003}}$. Que peut-on en déduire pour $x_8$ et $x_9$ d'une part, pour
 $x_{\np{2002}}$ et $x_{\np{2003}}$ d'autre part ?

		\item $x_n$ et $x_{n+1}$ sont-ils premiers entre eux pour tout entier naturel $n$ ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n,~ 2x_n - 
y_n = 5$.
		\item Exprimer $y_n$ en fonction de $n$.
		\item En utilisant les congruences modulo 5, étudier suivant les valeurs de l'entier naturel $p$ le reste de la division euclidienne de $2^p$ par 5.
		\item On note $d_n$ le pgcd de $x_n$ et $y_n$ pour tout entier naturel $n$.

Démontrer que l'on a $d_n = 1$ ou $d_n = 5$ ; en déduire l'ensemble des entiers naturels $n$ tels que $x_n$ et $y_n$ soient premiers entre eux. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A Étude d'une fonction auxiliaire \boldmath $g$ 
\unboldmath}

\medskip

La fonction $g$ est définie sur $\R$ par $g(x) =  2\text{e}^x + 2x - 7$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Étudier les limites de $g$ en $- \infty$ et en $+ \infty$.
\item Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur $\R$ et dresser son tableau de variations.
\item Justifier que l'équation $g(x) = 0$ admet dans $\R$ une solution
 unique $\alpha$ telle que :

\[0,94 < \alpha <  0,941.\]

\item Étudier le signe de $g$ sur $\R$.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B Étude d'une fonction}

\medskip

La fonction $f$ est définie sur $\R$ par 

\[f(x) = (2x - 5)\left(1 - \text{e}^{-x}\right).\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Étudier le signe de $f$ sur $\R$.
\item Étudier les limites de $f$ en $- \infty$ et $+ 
\infty$.
\item Calculer $f'(x)$, ou $f'$ désigne la fonction dérivée 
de  $f$ et vérifier que $f'(x)$ et $g(x)$ ont le même signe.

Dresser le tableau de variations de $f$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer l'égalité : $f(\alpha) =	 
\dfrac{(2\alpha - 5)^2}{2\alpha - 7}$.
		\item Étudier le sens de variations de la fonction $h : x \mapsto	\dfrac{(2x - 5)^2}{2x - 7}$ sur l'intervalle $\left]- 
\infty~;~\dfrac{5}{2}\right[$.

En déduire, à partir de l'encadrement de $\alpha$ obtenu dans la \textbf{partie A}, un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $f(\alpha)$.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que la droite $\mathcal{D}$, d'équation $y = 2x - 5$,
 est asymptote à $\mathcal{C}$ en $+ \infty$.

Préciser la position de $\mathcal{C}$ par rapport à $\mathcal{D}$.

\item Tracer la droite $\mathcal{D}$ et la courbe $\mathcal{C}$ dans
 le repère \Oij{} (unité graphique 2~cm).
 
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Partie C  - Calcul d'aires}

\medskip

À l'aide d'une intégration par parties, calculer en cm$^2$ l'aire 
$\mathcal{A}$ de la portion de plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe
 des abscisses,  l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x =  \dfrac{5}{2}$.

\bigskip

\textbf{Partie D - Étude d'une suite de rapports de distances}

\medskip

Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 3, on considère les 
points $A_n,\: B_n$, et $C_n$ d'abscisse $n$, appartenant respectivement à l'axe des abscisses,  la droite $\mathcal{D}$ et  la courbe $\mathcal{C}$ ; soit $u_n$ le réel défini par :

\[u_n = \dfrac{C_nB_n}{A_nB_n}.\]

\begin{enumerate} 
\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 3, on a :
 
 \[u_n = \dfrac{2n-5 - f(n)}{2n - 5}.\]

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ? 
		\item Calculer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Pouvait-on prévoir ce résultat ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%   fin Liban juin 2003
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Polynésie juin 2003
\hypertarget{Polynesie}{}

\label{Polynesie}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2003}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Polynésie juin 2003~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk, on considère les points A, B, C et D de coordonnées respectives :

\[\text{A}(0~;~0~;~3),\:\: \text{B}\left(2\sqrt{2}~;~0~;~- 1\right),\:\:
\text{C}\left(- \sqrt{2}~;~- \sqrt{6}~;~-1\right),\:\:\text{D}\left(- \sqrt{2}~;~\sqrt{6}~;~-1\right).\]

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Démontrer que ABCD est un tétraèdre régulier, c'est-à-dire un tétraèdre dont toutes les arêtes sont de même longueur. 	
\item On note R, S, T et U les milieux respectifs des arêtes [AC], [AD],
[BD] et [BC] ; démontrer que RSTU est un parallélogramme de
centre O.
\item Ce parallélogramme a-t-il des propriétés supplémentaires ?
Expliquer.

\medskip

\begin{center}\begin{pspicture}(5,5.5)
\psline(0,1)(2.6,5.4)(4.6,1.3)(2,0.3)(0,1)
\psline(2.6,5.4)(2,0.3)
\psline{->}(2.9,2.4)(2.5,1.8)
\psline{->}(2.9,2.4)(3.5,2.4)
\psline{->}(2.9,2.4)(2.9,2.9)
\psline[linestyle=dashed](0,1)(4.6,1.3)
\uput[l](0,1){C}  \uput[ur](2.6,5.4){A}  \uput[r](4.6,1){D} 
\uput[d](2,0.3){B}  \uput[u](2.7,2.3){$\vect{\imath}$} 
\uput[d](3.2,2.4){$\vect{\jmath}$} 
\uput[r](2.8,2.65){$\vect{k}$} 
\end{pspicture}\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On dispose de trois tétraèdres identiques au précédent, parfaitement équilibrés. Chacun d'eux a une face peinte en bleu, une face peinte en jaune et deux faces peintes en rouge.
 
On lance les trois tétraèdres simultanément (on remarquera que, lorsqu'on lance un tel tétraèdre, une seule face est cachée et trois faces sont visibles).

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer la probabilité pour qu'au moins trois faces rouges soient
 visibles sur les trois tétraèdres. 	
\item Calculer la probabilité pour que la couleur bleue ne soit visible sur
aucun tétraèdre. 
\item Calculer la probabilité de l'évènement $E$ \og les six faces rouges sont visibles \fg. 
\item On répète $n$ fois l'expérience qui consiste à lancer les trois
 tétraèdres.

Calculer la probabilité $p_{n}$ pour que l'évènement $E$ soit réalisé au moins
une fois.

Calculer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} p_n$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 2} (Obligatoire)\hfill 5 points}

\medskip

Dans tout l'exercice, le plan $\mathcal{P}$ est rapporté à  un repère orthonormal direct \Ouv.

Les constructions seront faites sur papier millimétré.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item  Le point E a pour affixe $Z_{\text{E}} = 
3 + \text{i}$ et le point F a pour affixe $Z_{\text{F}}= 1 +3\text{i}$.

Placer dans $\mathcal{P}$ les points E et F.
		\item Construire le point H tel que EHF soit un triangle rectangle isocèle direct de sommet H, c'est-à-dire tel que $\left(\vect{\text{HF}}~;~ 
\vect{\text{HE}}\right) = \dfrac{\pi}{2} [2\pi]$.
		\item On désigne par $Z_{\text{H}}$ l'affixe de H.

Montrer que $\left|\dfrac{3 + \text{i} - Z_{\text{H}}}{1 + 3\text{i}
- Z_{\text{H}}}\right| = 1$ et que $\text{arg} \left(\dfrac{3 + \text{i} -
Z_{\text{H}}}{1 + 3\text{i} -  Z_{\text{H}}}\right) = 
\dfrac{\pi}{2}\quad [2\pi]$.

En déduire que Z$_{\text{H}} = 3 + 3\text{i}$.
	\end{enumerate}
\item A, B, C et D sont quatre points du plan $\mathcal{P}$.

\begin{center}\begin{pspicture}(5,5.5)
\psline(0,1.5)(0.7,5.3)(2.8,5.3)(4.2,0)(0,1.5)
\uput[ur](4.2,0){C} \uput[l](0.7,5.3){A} \uput[ur](2.8,5.3){B} 
\uput[l](0,1.5){D}   
\end{pspicture}\end{center}
	\begin{enumerate} 
		\item Construire les triangles rectangles isocèles directs BIA, AJD, DKC et CLB d'angles droits respectifs $\widehat{\text{BIA}},~ 
\widehat{\text{AJD}},~\widehat{\text{DKC}}$ et $\widehat{\text{CLB}}$.
		\item Conjecturer la position relative des droites (IK) et (LJ) et le rapport des longueurs des segments [IK] et [LJ].
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate} 
		\item On désigne par $a,~ b$ et $z_{1}$ les affixes respectives des points A, B et I.
		
Montrer que $\left|\dfrac{b-z_{1}}{a-z_{1}}\right| = 1$ et arg$\left(\dfrac{ 
b-z_{1}}{a- z_{1}}\right) = \dfrac{\pi}{2}~[2\pi]$.

En déduire que $z_{1} = \dfrac{\text{i}a - b}{\text{i} - 1}$.
		\item Avec les points B, C et L d'affixes respectives $b,~ c$ et $z_{\text{L}}$, exprimer sans démonstration $z_{\text{L}}$ en fonction de $b$ et $c$.	
		\item Avec les points C, D et K d'affixes respectives $c,~ d$ 
et $z_{\text{K}}$, exprimer de même $z_{\text{K}}$ en fonction de $c$ et $d$. Avec 
les points D, A et J d'affixes respectives $d,~a$ et $z_{\text{J}}$ exprimer de même $z_{\text{J}}$ en fonction de $a$ et $d$.

		\item Montrer que $z_{\text{L}} - z_{\text{J}} = 
\text{i}\left(z_{\text{K}} - z_{\text{I}}\right)$. En déduire que les droites (JL) et (KI) sont perpendiculaires et que JL = KI.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} (Spécialité)\hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté  un repère orthonormal direct \Ouv, d'unité graphique 2~cm.

On donne les points A, C, D et $\Omega$, d'affixes respectives 1 + i, 1, 
3 et $2 + \dfrac{1}{2}\text{i}$.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Soit $\mathcal{C}$ le cercle de centre $\Omega$ passant par A.
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que $\mathcal{C}$ passe par C et D.	
		\item Montrer que le segment [AD] est un diamètre de $\mathcal{C}$.
		\item Sur une feuille de papier millimétré, faire une figure en plaçant les points A, C, D, $\Omega$ et tracer $\mathcal{C}$. On note B la seconde intersection de $\mathcal{C}$ avec la droite (OA).
		\item Montrer que le point O est extérieur au segment [AB].
	\end{enumerate}
\item Montrer par un raisonnement géométrique simple que les
triangles OAD et OCB sont semblables mais non isométriques.

Soit S la similitude qui transforme le triangle OCB en le triangle OAD.
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que S est une similitude indirecte différente d'une réflexion.
		\item Quel est le centre de S ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déduire de la partie \textbf{A 2} que l'on a OA $\times$  OB =  OC $\times$ OD.
		\item En déduire le module de l'affixe $z_{\text{B}}$ du point B. Déterminer un argument de $z_{\text{B}}$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer l'écriture complexe de S.

\item Déterminer la nature et les éléments caractéristiques 
de S $\circ$ S.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Problème}\hfill 11 points}

\vspace{0,25cm}
	
\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \text{e}^x \cos x.\]

On appelle $\mathcal{C}_{f}$ la représentation graphique de $f$ dans un repère orthogonal.

\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item Montrer que pour tout réel $x$,

\[- \text{e}^x \leqslant f(x) \leqslant \text{e}^x.\]

En déduire que $\mathcal{C}_{f}$ admet une asymptote au voisinage 
de $- \infty$. Quelle est cette asymptote ? 
\item Déterminer les abscisses des points d'intersection de $\mathcal{C}_{f}$ avec l'axe des abscisses. 		
\item On étudie $f$ sur l'intervalle $\left[- \dfrac{\pi}{2}~;~+ \dfrac{\pi}{2}\right]$.
		
Démontrer que pour tout réel $x \in  \left[- \dfrac{\pi}{2}~;~+
\dfrac{\pi}{2}\right]$ on a :
 
\[\cos x - \sin x = \sqrt{2} \cos \left(x+ \dfrac{\pi}{4}\right).\]
	
\item Calculer $f'(x)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.

Montrer que $f$ est croissante sur	$\left[- \dfrac{\pi}{2}~;~+ \dfrac{\pi}{4}\right]$ et décroissante  sur $\left[+ \dfrac{\pi}{4}~;~+ \dfrac{\pi}{2}\right]$.

Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\left[- \dfrac{\pi}{2}~;~+ \dfrac{\pi}{2}\right]$.

Indiquer les valeurs prises par $f$ en $- \dfrac{\pi}{2},~\dfrac{\pi}{4}$
et $\dfrac{\pi}{2}$.
\item Tracer $\mathcal{C}_{f}$ sur l'intervalle $\left[- \dfrac{\pi}{2}~;~+
\dfrac{\pi}{2}\right]$ sur le graphique ci-dessous

\begin{center}
\psset{unit=0.7cm}\begin{pspicture}(-8,-6)(8,6)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-8,-6)(8,6)
\uput[l](0,4){2}  \uput[l](0,2){1}  \uput[l](0,-2){$-1$}  
\uput[l](0,-4){$-2$}  \uput[dl](0,0){0}
\uput[d](2,0){$0,25\pi$} \uput[d](4,0){$0,5\pi$} 
\uput[d](6,0){$0,75\pi$} \uput[d](-2,0){$-0,25\pi$}
\uput[d](-4,0){$-0,5\pi$} \uput[d](-6,0){$-0,75\pi$}
\end{pspicture}
\end{center}

\item Démontrer que, sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$	l'équation $f(x) = \dfrac{1}{2}$ admet une solution unique $\alpha$. 

Trouver, à l'aide de la calculatrice, la valeur approchée décimale de $\alpha$ arrondie au centième.
\item On note $f''$ la fonction dérivée seconde de $f$. Montrer que 
$f''(x) = - 2\text{e}^x\sin x$.

En déduire que, sur l'intervalle $\left[- \dfrac{\pi}{2}~;~+
\dfrac{\pi}{2}\right]$, le coefficient directeur de la  tangente à $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $x$ atteint, pour $x = 0$, une valeur maximale que l'on précisera.

Trouver l'équation de la tangente T  $\mathcal{C}_{f}$ en $0$ et tracer T sur le graphique de la question 5.
\end{enumerate}

\bigskip
	
\textbf{Partie B}

\medskip

Pour tout entier naturel $n$, on pose 

\[I_{n} = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \text{e}^x \cos (nx)\: \text{d}x.\]

\begin{enumerate} 
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n,~ \cos 
(n\pi) = (- 1)^n$ et que $\sin (n\pi) = 0$.
\item À l'aide de deux intégrations par parties, montrer que :

\[I_{n} = \dfrac{(-1)^n \text{e}^{\pi} - 1}{1 + n^2}.\]

\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, \quad 	
$\left|I_{n}\right| \leqslant \dfrac{\text{e}^{\pi} + 1}{1 + n^2}$. 

En déduire $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} I_{n}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On considère les équations différentielles
	
\[(\text{E})\qquad y' - 2y - 1 = 0\]

\[(\text{E}')\qquad y' - 2y = 1 - \text{e}^x \sin x\]

où $y$ est une fonction définie et dérivable sur $\R$.

Dire, en le justifiant, si les assertions suivantes sont vraies ou fausses :

\medskip

\begin{enumerate} 
\item (E) admet une fonction polynôme du premier degré comme solution.
\item Soit $g$ une fonction positive définie sur $\R$ ; si $g$ est
solution de (E) alors elle est croissante sur D. 
\item La fonction $x \mapsto	3\text{e}^{2x} + \dfrac{1}{2}$ est une solution de (E). 
\item La primitive $F$ de $f$ qui s'annule en 0 est une solution de
(E$'$).
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%   fin Polynésie juin 2003
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Antilles-Guyane septembre 2003
\hypertarget{Antillessept}{}

\label{Antillessept}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2003}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S 
Antilles--Guyane  septembre 2003~\decofourright}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}
 
\medskip

Une association organise des promenades en montagne. Douze guides
emmènent chacun, pour la journée, un groupe de personnes dès le lever du
Soleil. L'été il y a plus de demandes que de guides et chaque groupe doit
s'inscrire la veille de la promenade.

Mais l'expérience des dernières années prouve que la probabilité que chacun 
des groupes inscrits ne se présente pas au départ de la promenade est
égale à  $\dfrac{1}{8}$. On admettra que les groupes inscrits se présentent
indépendamment les uns des autres.

\textsl{Les probabilités demandées seront arrondies au} 
$100\up{e}$ \textsl{le plus proche}.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que la probabilité
qu'un jour donné les $12$ groupes inscrits soient tous présents est comprise 
entre $0,20$ et $0,21$.
		\item On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au nombre de jours où les 12 groupes inscrits se sont tous présentés au départ lors d'un mois de $30$ jours. Montrer que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

Donner la signification des évènements $X = 30$ puis $X = 0$ et calculer la
probabilité de ces évènements.

Préciser l'espérance mathématique E($X$)

Quelle signification peut-on donner à ce résultat ?
		\item Une somme de 1 Crédit (la monnaie locale) est demandée à chaque
groupe pour la journée. Cette somme est réglée au départ de la promenade.

Dans le cas où un groupe ne se présente pas au départ, l'association ne
gagne évidemment pas le Crédit que ce groupe aurait versé pour la journée.

On nomme $S$ la variable aléatoire égale à la somme, en Crédits, perçue par
l'association un jour donné.

Calculer la probabilité de l'évènement $[S = 11]$.

Préciser l'espérance mathématique de $S$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate} 
		\item Agacé par le nombre de guides inemployés, le dirigeant de l'association
décide de prendre chaque jour une réservation supplémentaire. évidemment si 
les 13 groupes inscrits se présentent, le $13\up{e}$ groupe sera
dirigé vers une activité de substitution. Toutefois, cette activité de 
remplacement entraîne une dépense de 2 Crédits à l'association.

Quelle est la probabilité P$_{13}$ qu'un jour donné il n'y ait pas de 
désistement, c'est-à-dire que les 13 groupes inscrits la veille se présentent au départ de la promenade ?
		\item Soit $R$ la variable aléatoire égale au coût de l'activité de substitution.

Préciser la loi de la variable aléatoire $R$ et calculer son espérance 
mathématique.
		\item Montrer que le gain moyen obtenu pour chaque jour est :

\[ \left(\displaystyle\sum_{k=0}^{13} k \cdot \dbinom{k}{13} 
\left(\dfrac{7}{8}\right)^k \left(\dfrac{1}{8}\right)^{13-k}\right) - 
2 \text{P}_{13}.\]

Calculer ce gain.
		\item La décision du dirigeant est-elle rentable pour l'association ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

Soit l'équation (1) d'inconnue rationnelle $x$ :

\[ 78x^3 + ux^2 + vx - 14 = 0.\]

où $u$ et $v$ sont des entiers relatifs.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item On suppose dans cette question que $\dfrac{14}{39}$ est solution de 
l'équation (1)
	\begin{enumerate} 
		\item Prouver que les entiers relatifs $u$ et $v$ sont liés par la relation 
		
$14u + 39v = \np{1129}.$
		\item Utiliser l'algorithme d'Euclide, en détaillant les diverses étapes du calcul, pour trouver un couple $(x~;~y)$ d'entiers relatifs vérifiant l'équation $14x + 39y = 1$.

Vérifier que le couple $(- 25~;~9)$ est solution de cette équation.
	\item En déduire un couple $\left(u_{0}~;~v_{0}\right)$ solution particulière de l'équation 
	
$14u + 39v = \np{1129}$.

Donner la solution générale de cette équation c'est-à-dire l'ensemble des
couples $(u~;~ v)$ d'entiers relatifs qui la vérifient.
		\item Déterminer, parmi les couples $(u~;~ v)$ précédents, celui pour lequel le
nombre $u$ est l'entier naturel le plus petit possible.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Décomposer 78 et 14 en facteurs premiers.

En déduire, dans $\N$, l'ensemble des diviseurs de 78 et l'ensemble des diviseurs de 14.
		\item Soit $\dfrac{P}{Q}$ une solution rationnelle de l'équation (1) d'inconnue 
$x$ :

\[78x^3 + ux^2 + vx - 14 = 0 \quad \text{où } \:  u \:\text{ et }\:v\:\text{ sont des entiers relatifs.}\]

Montrer que si $P$ et $Q$ sont des entiers relatifs premiers entre 
eux, alors $P$ divise $14$ et $Q$ divise $78$.
		\item En déduire le nombre de rationnels, non entiers, pouvant 
être solutions de l'équation (1) et écrire, parmi ces rationnels, l'ensemble 
de ceux qui sont positifs.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A - étude préliminaire d'une fonction \boldmath 
$f$ \unboldmath  définie sur $\R$ par \boldmath $\varphi(x) = (2 - 
x)\text{e}^x - 1$ \unboldmath}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer les limites de la fonction $\varphi$ en $- \infty$ et $+ \infty$.
\item Montrer que la fonction $\varphi$ est continue et dérivable sur $\R$ et étudier le signe de sa dérivée.

En déduire les variations de la fonction $\varphi$ et préciser les valeurs 
de $\varphi(-2),\:\varphi(0),$

$\varphi(1)$ et $\varphi(2)$.
\item Prouver que la fonction $\varphi$ s'annule uniquement en deux valeurs que
l'on nommera $\alpha$ et $\beta$. On prendra $\alpha < \beta$. étudier alors le signe de la fonction $\varphi$ sur l'ensemble des réels et récapituler cette étude dans un tableau.
\item À l'aide de la calculatrice, fournir un encadrement d'amplitude 
$10^{-2}$ des valeurs $\alpha$ et $\beta$.
\item Montrer que $\text{e}^{\alpha} = \dfrac{1}{2 - \alpha}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Étude d'une fonction \boldmath $f$ \unboldmath
définie par  \boldmath $f(x) = \dfrac{\text{e}^x- 1}{\text{e}^x - x}$ \unboldmath et calcul intégral}

\medskip

	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que $\text{e}^x - x$ ne s'annule pas sur $\R$. En déduire que $f$ est définie sur $\R$.
		\item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $- \infty$ et $+ \infty$.
		\item Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$ puis, à l'aide des résultats de la \textbf{partie A}, construire le tableau des variations de $f$.
		\item Montrer que $f(\alpha) = \dfrac{1}{\alpha - 1}$, le nombre $\alpha$ étant la plus petite des deux valeurs pour lesquelles la fonction $\varphi$ de la partie A s'annule.
		\item Déterminer une primitive de la fonction $f$ sur $\R$. Donner une valeur exacte puis une valeur décimale approchée à 0,01 près de l'intégrale :

\[\displaystyle\int_0^1  \dfrac{\text{e}^x- 1}{\text{e}^x - x}\:\text{d}x.\]

	\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C - étude de deux suites}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Préciser l'ensemble de définition D$_g$ de la fonction $g$ définie sur cet ensemble par $g(x) = \ln \left(\dfrac{1}{2 - x}\right)$ où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

Prouver que la fonction $g$ est croissante sur son ensemble de définition et
que l'image par $g$ de l'intervalle I = $[-2~;~0]$ est incluse dans cet intervalle.

\medskip

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie pour
tout entier naturel $n$ par :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_0 & = & -2\\
u_{n+1}&  =& g\left(u_n\right)\\
\end{array}\right.\]

Montrer que $u_1$ appartient à l'intervalle I = $[-2 ~;~ 0]$. Prouver par
récurrence, à l'aide des variations de la fonction $g$, que la suite $\left(u_n\right)$ a tous ses termes dans l'intervalle I et est croissante.
		\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
v_0 & = & 0\\
v_{n+1}&  =& g\left(v_n\right)\\
\end{array}\right.\]

Calculer le terme $v_1$ et montrer que $-2 \leqslant  u_1 \leqslant	v_1 
\leqslant v_0 \leqslant 0$.

Établir par récurrence, à l'aide de la croissance de la fonction $g$ sur 
l'intervalle $[-2~;~0]$, que pour tout entier naturel $n$ strictement positif, on a :

\[- 2 \leqslant u_n \leqslant v_n \leqslant v_{n - 1} \leqslant 0.\]

Préciser le sens de variation de la suite $\left(v_n\right)$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Soit $m$ la fonction définie sur $[0~;  + \infty[$
par : 

\[m(x) = x - \ln (1 + x).\]

Montrer que $m$ est croissante et calculer $m(0)$ . En déduire que, pour tout $x$ positif, on a $\ln (1 + x) \leqslant x$.
		\item Vérifier que, pour tout entier $n,~v_{n+1} - u_{n+1} = \ln \left(1 + \dfrac{v_n - u_n}{2 - v_n}\right)$.

En déduire que $v_{n+1} - u_{n+1} \leqslant  \dfrac{v_n - u_n}{2 - v_n}$.

Sachant que, pour tout entier $n$, les termes de la suite $\left(v_n\right)$
 appartiennent à l'intervalle $[-2~;~0]$, donner un encadrement de 
$\dfrac{1}{2 - v_n}$ et établir que :

\[v_{n+1} - u_{n+1} \leqslant \dfrac{1}{2}\left(v_n - u_n\right).\]

Prouver alors que, pour tout entier naturel $n$,

\[ v_n -  u_n \leqslant \dfrac{1}{2^n} \left(v_0 - u_0\right).\]

Que peut-on en déduire pour la suite de terme général $v_n - u_n$ et pour les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ ?
	\end{enumerate}
\item Donner, à l'aide de la calculatrice, un encadrement d'amplitude 
$10^{-4}$ de $u_{10}$ et $v_{10}$.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%   fin Antilles-Guyane septembre 2003
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Métropole septembre 2003
\hypertarget{Metropolesept}{}

\label{Metropolesept}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2003}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat  S  Métropole septembre 2003~\decofourright}}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.

On considère les points A et $\Omega$ d'affixes respectives : $a = - 1 + \sqrt{3} + \text{i}$\: et \: $\omega  = - 1 + 2\text{i}$.
 
On appelle \emph{r} la rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\dfrac{2\pi }{3}$ et \emph{h} l'homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $- \dfrac {1}{2}$.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
\begin{enumerate}
\item Placer sur une figure les points A et $\Omega$, l'image B du point A par \emph{r}, l'image C du point B par \emph{r} et l'image D du point A par \emph{h}.
\item On note \emph{b}, \emph{c} et \emph{d} les affixes respectives des points B, C et D.

Le tableau ci-dessous contient une suite de $18$ affirmations, dont chacune débute dans la première colonne et s'achève sur la même ligne colonne $2$, colonne $3$ ou colonne $4$.

Le candidat doit se prononcer sur chacune de ces affirmations. Pour cela il doit remplir le tableau de la feuille annexe, en faisant figurer dans chacune des cases la mention VRAI ou FAUX (en toutes lettres).
\end{enumerate}

\bigskip

\renewcommand\arraystretch{1.9}
\begin{tabularx}{\linewidth}{c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2- 5}
1.&$|\emph{a} - \omega| =$& $2$ &  $4$ &  $\sqrt{3} - \text{i}$ \\ \cline{2- 5}
2.&$\arg (a - \omega) = $&$- \dfrac{5\pi}{6}$&$\dfrac{47\pi}{6}$&$\dfrac{\pi}{6}$
\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\\ \cline{2- 5}
\end{tabularx}\\[0.5cm]

\begin{tabularx}{\linewidth}{c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2- 5}
3.& $(\vect{v},\,\vect{\Omega \mathrm{C}}) =$ &$\arg((\omega - c)\text{i})$  &  $(- \vect{v},\,\vect{\mathrm{C}\Omega})$&  $\dfrac{2\pi }{3}$\rule[-3mm]{0mm}{8mm}  \\ \cline{2-5}
4.&$\omega$ = & $\dfrac{1}{3}(a+b+c)$ & $a+b+c$&$b - 2\text{i}$\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\\ \cline{2-5}
\end{tabularx}\\[0.5cm]

\begin{tabularx}{\linewidth}{c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2- 5}
5.& $\dfrac{b - d}{a - d}$ = &  $\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$&  $- \dfrac{\sqrt{3}}{3}i$ & $\dfrac{\sqrt{3}}{3}i$\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\\
\cline{2-5}
6.&Le point D est &\footnotesize l'image de $\Omega$ par la translation de vecteur $\dfrac{1}{2} \vect{\mathrm{A}\Omega}$.&\footnotesize l'image de $\Omega$ par l'homothétie de centre A et de rapport $\dfrac{3}{2}$&\footnotesize l'image de $\Omega$ par la rotation de centre B et d'angle $-\dfrac{\pi}{6}$\\ \cline{2-5}
\end{tabularx}\\[0.2cm]

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}\\[0.5cm]

\medskip

Un commerce possède un rayon \og journaux \fg et un rayon \og souvenirs \fg.

À la fin d'une journée, on trie les pièces de monnaie contenues dans les caisses de chaque rayon.
On constate que la caisse du rayon \og journaux \fg contient trois fois plus de pièces de $1$\euro{} que celle du rayon \og~souvenirs \fg.

Les pièces ont toutes le côté pile identique, mais le côté face diffère et symbolise un des pays utilisant la monnaie unique.

Ainsi, $40\,\%$ des pièces de $1$\euro{} dans la caisse du rayon \og souvenirs \fg et $8\,\%$ de celles du rayon \og journaux \fg portent une face symbolisant un pays autre que la France (on dira \og face étrangère \fg).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le propriétaire du magasin, collectionneur de monnaies, recherche les pièces portant une face étrangère.

Pour cela il prélève au hasard et avec remise $20$ pièces issues de la caisse \og souvenirs \fg. On note $X$ la variable aléatoire qui associe à chaque prélèvement le nombre de pièces portant une  face étrangère.
	\begin{enumerate}
		\item Expliquer pourquoi $X$ suit une loi binomiale ; déterminer les paramètres de cette loi.
		\item Calculer la probabilité qu'exactement $5$ pièces parmi les $20$ portent une face étrangère.
		\item Calculer la probabilité qu'au moins $2$ pièces parmi les $20$ portent une face étrangère.
	\end{enumerate}
\item Les pièces de $1$\euro{} issues des deux caisses sont maintenant rassemblées dans un sac.

On prélève au hasard une pièce du sac.

On note $S$ l'évènement : \og la pièce provient de la caisse \og souvenirs \fg \fg et $E$ l'évènement \og la pièce porte une face étrangère \fg.

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $P(S)$, $P_\mathrm{S}(E)$ ; en déduire $P(S \cap E)$.
		\item Démontrer que la probabilité que la pièce porte une face étrangère est égale à $0,16$.
		\item Sachant que cette pièce porte une face étrangère, déterminer la probabilité qu'elle provienne de la caisse \og souvenirs \fg.
	\end{enumerate}
\item Dans la suite, la probabilité qu'une pièce choisie au hasard dans le sac porte une face étrangère est égale à $0,16$.

Le collectionneur prélève \emph{n} pièces (\emph{n} entier supérieur ou égal à $2$) du sac au hasard et avec remise.

Calculer \emph{n} pour que la probabilité qu'il obtienne au moins une pièce portant une face étrangère soit supérieure ou égale à $0,9$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\begin{center}
\textbf{Partie A : Une équation différentielle}
\end{center}

On considère l'équation différentielle

\[\mathrm{(E)}\quad y' - 3y = \dfrac{-3\text{e}}{(1 + \text{e}^{-3x})^2}.\]

On donne une fonction $\varphi $ dérivable sur $\R$ et la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \text{e}^{-3x} \varphi(x).\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est dérivable sur $\R$ et pour tout réel $x$, exprimer $\varphi\,'(x) - 3 \varphi (x)$ en fonction de $f'(x)$.
\item Déterminer $f$ de sorte que $\varphi $ soit solution de (E) sur $\R$ et vérifie $\varphi(0) = \dfrac{\text{e}}{2}$.
\end{enumerate} 

\begin{center}
\textbf{Partie B : Étude d'une fonction}
\end{center}

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :

\[f(x) = \dfrac{\text{e}^{1 - 3x}}{1 + \text{e}^{-3x}}.\]

On désigne par $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal d'unité graphique $2$ cm.

\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $f$ en $- \infty $ et en $+ \infty $, puis étudier les variations de $f$.
\item Tracer $\mathcal{C}$.
\item Pour $\alpha $ réel non nul, on pose I$_\alpha = \displaystyle \int_0^\alpha f(x)\mathrm{d}x$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner le signe et une interprétation graphique de I$_\alpha$ en fonction de $\alpha$.
		\item Exprimer I$_\alpha$ en fonction de $\alpha$.
		\item Déterminer la limite de $I_\alpha$ lorsque $\alpha$ tend vers $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Partie C}
\end{center}

On définit sur $\N^{*}$ la suite $\left(u_n\right)$ par :

\begin{center}
$u_n = \displaystyle \int_0^\alpha f(x) \text{e}^{\frac{x}{n}}\mathrm{d}x$ où $f$ est la fonction définie dans la \textbf{partie B}.
\end{center}

On ne cherchera pas à calculer $u_n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Donner, pour tout $n$ de $\N^{*}$, le signe de $u_n$.
		\item Donner le sens de variation de la suite $(u_n)$.
		\item La suite $\left(u_n\right)$ est-elle convergente ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout $n$ de $\N^{*}$ :
		 
\[\textrm{I}_1 \leqslant u_n \leqslant \text{e}^{\frac{1}{n}} \textrm{I}_1\]

où I$_1$ est l'intégrale de la \textbf{partie B} obtenue pour $\alpha$ égal à $1$.
		\item En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
		
Donner sa valeur exacte.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}  
%%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole septembre 2003
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Polynésie septembre 2003
\hypertarget{Polynesiesept}{}

\label{Polynesiesept}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2003}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Polynésie  spécialité~\decofourright\\[4pt]septembre 2003}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère \Oijk{} orthonormé. Soit $s$ un nombre réel.

On donne les points A(8~;~0~;~8), B(10~;~3~;~10) ainsi que la droite 
$\mathcal{D}$ d'équations paramétriques :

\[\left\{\begin{array}{l c r}
x	&=	&- 5 + 3s\\
y 	&=	&1+ 2s\\
z 	&=	& - 2s\\
\end{array}\right.\]

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Donner un système d'équations paramétriques de la droite $\Delta$ définie par A et B.
		\item Démontrer que $\mathcal{D}$ et $\Delta$ sont non coplanaires.
	\end{enumerate
\item  
	\begin{enumerate} 
		\item Le plan $\mathcal{P}$ est parallèle à $\mathcal{D}$ et contient $\Delta$. Montrer que le vecteur $\vect{n}(2~;~ - 2~;~ 1)$ est un vecteur normal à $\mathcal{P}$.
		 
Déterminer une équation cartésienne de $\mathcal{P}$.
		\item Montrer que la distance d'un point quelconque $M$ de $\mathcal{D}$ à  $\mathcal{P}$ est indépendante de $M$.
		\item Donner un système d'équations paramétriques de la droite définie par l'intersection de $\mathcal{P}$ avec le plan ($x$O$y$).
 
	\end{enumerate}
\item La sphère $\mathcal{S}$ est tangente à $\mathcal{P}$ au point C(10~;~ 1~;~6). Le centre $\Omega$ de $\mathcal{S}$ se trouve à la distance $d = 6$ de $\mathcal{P}$, du même côté que O.

Donner l'équation cartésienne de $\mathcal{S}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

On désigne par $p$ un nombre entier premier supérieur ou égal à 7.

Le but de l'exercice est de démontrer que l'entier naturel $n = p^4 - 1$ est divisible par 240, puis d'appliquer ce résultat.

\begin{enumerate} 
\item Montrer que $p$ est congru à $- 1$ ou à $1$ modulo 3. En déduire que $n$ est divisible par 3.
\item En remarquant que $p$ est impair, prouver qu'il existe un entier naturel $k$
 tel que $p^2 - 1 = 4k(k + 1)$, puis que $n$ est divisible par $16$.
\item En considérant tous les restes possibles de la division euclidienne de $p$ par 5,  démontrer que $5$ divise $n$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Soient $a,~ b$ et $c$ trois entiers naturels.

Démontrer que si $a$ divise $c$ et $b$ divise $c$, avec $a$ et $b$ premiers entre eux, alors $ab$ divise $c$.
		\item Déduire de ce qui précède que $240$ divise $n$.
	\end{enumerate}
\item Existe-t-il quinze nombres premiers $p_1,~p_2, \ldots,~ p_{15}$ supérieurs ou égaux à 7 tels que l'entier $A =  p_1^4 + p_2^4 + \ldots + p_{15}^4$ soit un nombre premier ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ 
par :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
f(0) &=&1\\
f(x) &=& \dfrac{1}{2}x^2(3 - 2\ln x) + 1\quad  \text{si} \quad x > 0\\
\end{array}\right.\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal 
\Oij.

\bigskip

\textbf{ Partie A}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 0}  f(x)$. Que peut-on en déduire pour la fonction $f$ ?
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate} 
		\item Étudier la dérivabilité de $f$ en $0$.
		\item Montrer que $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0 ~;~ + \infty[$ et calculer $f'(x)$ pour $x > 0,~ f'$ désignant la fonction dérivée de $f$.
	\end{enumerate}
\item Étudier le sens de variations de $f$ sur $[0 ~;~ + \infty[$, puis dresser son tableau de variations.
\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ possède une solution unique $\alpha$ sur l'intervalle $[0 ~;~+ \infty[$. Déterminer une valeur approchée décimale de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ Partie B}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer une équation de la tangente $\mathcal{D}$ à la courbe 
$\mathcal{C}$ au point d'abscisse \mbox{$x = 1$}.
\item On considère la fonction $g~:~x \mapsto f(x) - 2x - \dfrac{1}{2}$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $g'(x)$, puis $g''(x)$ où $g'$ et $g''$ désignent respectivement les fonctions 
dérivées première et seconde de $g$. Étudier le sens de variations de $g'$. En déduire le signe de $g'(x)$ sur $]0~;~+ \infty[$
		\item Étudier le sens de variations de $g$. 

En déduire la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport
 à la tangente $\mathcal{D}$. 
	\end{enumerate} 
\item Construire la courbe $\mathcal{C}$ et la tangente $\mathcal{D}$
(unité graphique : 2~cm).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item $n$ est un entier naturel non nul.

Exprimer en fonction de $n$ le réel $I_n = 
\displaystyle\int_{\frac{1}{n}}^1 x^2 \ln x\:\text{d}x$ (on pourra utiliser une intégration par parties).
\item En déduire en fonction de l'entier $n$, l'aire $\mathcal{A}_n$ exprimée en cm$^2$ du domaine plan délimité par la courbe $\mathcal{C}$, la tangente $\mathcal{D}$ et les deux droites d'équation $x = \dfrac{1}{n}$ et $x = 1$.
\item Calculer	$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \mathcal{A}_n$ et interpréter le résultat obtenu.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%   fin Polynésie septembre 2003
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Amérique du Sud  novembre 2003
\hypertarget{AmduSud}{}

\label{AmduSud}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small novembre 2003}
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Sud~\decofourright\\  
novembre 2003}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Un sac contient 4 jetons numérotés respectivement $-1,~ 0,~ 0,~ 1$ et indiscernables au toucher.

On tire un jeton du sac, on note son numéro $x$ et on le remet dans 
le sac ; on tire un second jeton, on note son numéro $y$ et on le remet dans le sac ; puis on tire un troisième jeton, on note son numéro $z$ et on le remet dans le sac.

Tous les jetons ont la même probabilité d'être tirés.

À chaque tirage de trois jetons, on associe, dans l'espace muni d'un repère
 orthonormal \Oijk{} le point $M$ de coordonnées $(x,~ y,~ z)$.
 
Sur le graphique joint en annexe page 6, sont placés les 27 points correspondant aux différentes positions possibles du point $M$. Les coordonnées du point  A sont $(1~;~-1~;~-1)$ dans le repère \Oijk.
 
On note $\mathcal{C}$ le cube ABCDEFGH.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item	Démontrer que la probabilité que le point $M$ soit en A est égale à $\dfrac{1}{64}$.
\item On note E$_1$ l'évènement : \og $M$ appartient à l'axe des abscisses \fg{}.

Démontrer que la probabilité de E$_1$ est égale à $\dfrac{1}{4}$.
\item Soit $\mathcal{P}$ le plan passant par O et orthogonal 
au vecteur $\vect{n} (1~;~1~;~1)$.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$.
		\item Tracer en couleur sur le graphique de la page 5, la section du plan $\mathcal{P}$
 et du cube $\mathcal{C}$. (On ne demande pas de justification).
		\item On note E$_2$ l'évènement : \og $M$ appartient à $\mathcal{P}$ \fg{}.

Quelle est la probabilité de l'évènement E$_2$ ?
	\end{enumerate}
\item On désigne par $\mathcal{B}$ la boule de centre O et de rayon 1,5 (c'est-à-dire l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que O$M \leqslant  1,5$).

On note E$_3$ l'évènement : \og $M$ appartient à la boule $\mathcal{B}$ \fg{}.

Déterminer la probabilité de l'évènement E$_3$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip
 
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique 4~cm).

Soit I le point d'affixe 1. On note $\mathcal{C}$ le cercle de diamètre 
[OI] et on nomme son centre $\Omega$.

\medskip

\textbf{Partie I}

\medskip
 
On pose $a_0 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}$ et on note 
A$_0$ son image.

\begin{enumerate}
\item Montrer que le point A$_0$ appartient au cercle $\mathcal{C}$.
\item Soit B le point d'affixe $b$, avec $b =  -1 + 2\text{i}$, et B$'$ le
point d'affixe $b'$ telle que $b'= a_0b$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $b'$.
		\item Démontrer que le triangle OBB$'$ est rectangle en B$'$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie II}

\medskip

Soit $a$ un nombre complexe non nul et différent de 1, et $A$ son image dans le plan complexe.
 
À tout point $M$ d'affixe $z$ non nulle, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que $z' = az$.

\begin{enumerate}
\item On se propose de déterminer l'ensemble des points $A$ tels que
 le triangle O$MM'$ soit rectangle en $M'$.
	\begin{enumerate}
		\item Interpréter géométriquement arg$\left( \dfrac{a - 1}{ 
a}\right)$.
		\item Montrer que $\left(\vect{M'\text{O}},~ 
\vect{M'M}\right) = \text{arg}\left(\dfrac{a - 1}{a}\right) + 2k\pi
\quad (\text{où}~ k \in  \Z)$.
		\item En déduire que le triangle O$MM'$ est rectangle en $M'$ si et seulement si $A$ appartient au cercle $\mathcal{C}$ privé de O et de I. 
	\end{enumerate} 
\item Dans cette question, $M$ est un point de l'axe des abscisses,
 différent de O.

On note $x$ son affixe.

On choisit $a$ de manière que $A$ soit un point de $\mathcal{C}$ différent de I et de O.

Montrer que le point $M'$ appartient à la droite (O$A$).

En déduire que $M'$ est le projeté orthogonal de $M$ sur cette droite.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Oij{} (unité graphique : 1~cm).

On note $r_1$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$ et $r_2$ la rotation de centre O et d'angle~$\dfrac{\pi}{5}$.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Résoudre dans $\Z \times \Z$ l'équation 

\[(E) :	3y = 5(15 - x).\]

\item Soit I le point d'affixe 1.

On considère un point $A$ mobile sur le cercle trigonométrique 
$\mathcal{C}$ de centre O.

Sa position initiale est en I.

On appelle $d$ la distance, exprimée en centimètres, qu'a parcourue le point $A$ sur le cercle $\mathcal{C}$ après avoir subi $p$ rotations $r_1$ et $q$  rotations $r_2$ \quad ($p$ et $q$ étant des entiers naturels).

On convient que lorsque $A$ subit la rotation $r_1$ (respectivement $r_2$),
 il parcourt une distance de  $\dfrac{\pi}{3}$cm (respectivement 
 $\dfrac{\pi}{5}$ cm).

Déterminer toutes les valeurs possibles de $p$ et $q$ pour lesquelles le point $A$ a parcouru exactement deux fois et demie la circonférence du cercle $\mathcal{C}$ à partir de I.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On note $h_1$ l'homothétie de centre O et de rapport 4 et $h_2$ l'homothétie de centre O et de rapport $-6$. On pose $s_1 = r_1 \circ h_1$ et $s_2 = r_2 \circ h_2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Préciser la nature et les éléments caractéristiques 
de $s_1$ et $s_2$.
\item On pose :

$S_m = s_1  \circ s_1 \cdots \circ s_1$ (composée de $m$ fois $s_1$,~ $m$ étant un entier naturel non nul),

$S'_n = s_2  \circ s_2 \cdots \circ s_2$ (composée de $n$ fois $s_2$,~ 
$n$ étant un entier naturel non nul),
et $f = S'_n   \circ  S_m$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $f$ est la similitude directe de centre O, de rapport
 $2^{2m+n}~\times~ 3^n$ et d'angle $m\dfrac{\pi}{3} + n\dfrac{6\pi}{5}$.
		\item $f$ peut-elle être une homothétie de rapport 144 ?
		\item On appelle M le point d'affixe 6 et M$'$ son image par $f$.

Peut-on avoir OM$' =  240$ ?

Démontrer qu'il existe un couple d'entiers naturels unique $(m,~n)$ tel que  OM$' = 576$.

Calculer alors la mesure principale de l'angle orienté 
$\left(\vect{u},~ \vect{\text{OM}'}\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :

\[f(x) =	\dfrac{1}{\text{e}^{x} + \text{e}^{- x}} \]

et on désigne par $\Gamma$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal \Oij.
 
\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier la parité de $f$. Que peut-on en déduire pour la courbe $\Gamma$ ?
\item Démontrer que, pour tout réel $x$ positif ou nul, $\text{e}^{-x} \leqslant \text{e}^x$.
\item
	 \begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
		\item Étudier les variations de $f$ sur $[0~;~~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item On considère les fonctions $g$ et $h$ définies sur 
$[0~;~+ \infty[$ par $g(x) = \dfrac{1}{\text{e}^x}$ et
 
 $h(x) = \dfrac{1}{2\text{e}^x}$.

Sur l'annexe  sont tracées, dans le repère \Oij{}	les courbes représentatives de $g$ et $h$, notées respectivement $\Gamma_1$ et $\Gamma_2$.
	\begin{enumerate}
 		\item Démontrer que, pour tout réel $x$ positif ou nul, $h(x) 
\leqslant f(x) \leqslant g(x)$.
		\item Que peut-on en déduire pour les courbes $\Gamma,\: \Gamma_1$, et  $\Gamma_2$ ?

Tracer $\Gamma$ sur l'annexe, en précisant sa tangente au point d'abscisse $0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $\left(I_n\right)$ la suite définie sur $\N$ par : $I_n = 
\displaystyle\int_n^{n+1}\: f(x)\:\text{d}x$.

\begin{enumerate}
\item Justifier l'existence de $\left(I_n\right)$, et donner une
 interprétation géométrique de $\left(I_n\right)$.
\item
	 \begin{enumerate}
	 	\item Démontrer, que pour tout entier naturel $n,~f(n +1) 
\leqslant  I_n  \leqslant f(n)$.
		\item En déduire que la suite $\left(I_n\right)$ est décroissante.
		\item Démontrer que la suite $\left(I_n\right)$ est
 convergente et déterminer sa limite. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
  
\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Soit $\left(J_n\right)$ la suite définie sur $\N$ par : $J_n = 
\displaystyle\int_0^{n}\: f(x)\:\text{d}x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item	En utilisant l'encadrement obtenu dans la question 
\textbf{A. 4. a.}, démontrer que,  pour tout entier naturel $n$ :

\[\dfrac{1}{2}\left(1 - \text{e}^{-n}\right) \leqslant J_{n} 
\leqslant  1 - \text{e}^{-n} \leqslant 1.\]

\item Démontrer que la suite $\left(J_n\right)$ est croissante.

En déduire qu'elle converge.
\item On note $L$ la limite de la suite $\left(J_n\right)$ et on
 admet le théorème suivant :

\og Si $u_n$, $v_n$ et $w_n$ sont trois suites convergentes de limites respectives 
$a$, $b$ et $c$ et si, à partir d'un certain rang on a pour tout $n$, $u_n 
\leqslant v_n  \leqslant w_n$, alors 

$a \leqslant b \leqslant c$ \fg{}.

Donner un encadrement de $L$.
\item	Soit $u$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[u(x) = \dfrac{1}{1+ x^2}.\]

On note $v$ la primitive de $u$ sur $\R$ telle que $v(1) = 
\dfrac{\pi}{4}$.

On admet que la courbe représentative de $v$ admet en $+ \infty$ une asymptote d'équation $y = \dfrac{\pi}{2}$.
	\begin{enumerate}
		 \item Démontrer que, pour tout réel $x,~f(x) = \dfrac{\text{e}^x}{\left(\text{e}^x\right)^2 +1}$.
		\item Démontrer que, pour tout réel $x,~  f$ est la dérivée de la fonction 
		
		$x \mapsto v\left(\text{e}^x\right)$.
		\item En déduire la valeur exacte de $L$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}\textbf{Annexe de l'exercice 1}
    
\vspace{0,8cm}
    
\textbf{Cette page sera complétée et remise avec la copie}
    
\vspace{3cm}
\psset{unit=0.95cm}
 
\begin{pspicture}(-6.3,-6.1)(6.3,6.1)
%\psgrid
\psline[linewidth=2.pt]{->}(0,0)(4.7,-0.35)
\psline[linewidth=2.pt]{->}(0,0)(-1.6,-0.9)
\psline[linewidth=2.pt]{->}(0,0)(0,4.9)
\psline(3.2,-6)(3.2,3.7)(6.3,5.4)
\psline(-6.3,-5.4)(3.2,-6)(6.3,-4.4)(6.3,5.4)(-3.2,6)(-6.3,4.3)(-6.3,-5.4)
\psline(4.7,-5.2)(4.7,4.5)(-4.7,5.2)%ici
\psline(-6.3,-0.5)(3.2,-1.2)(6.3,0.5)
\psline(3.2,3.7)(-6.3,4.3)
\psline(-1.55,-5.75)(-1.55,4)(1.55,5.75)
\psline[linestyle=dotted](4.7,-5.3)(-4.7,-4.5)(-4.7,5.2)
\psline[linestyle=dotted](-4.7,0.3)(0,0)
\psline[linestyle=dotted](6.3,-4.4)(-3.2,-3.7)(-3.2,6)
\psline[linestyle=dotted](-1.55,-5.8)(1.5,-4)(1.5,5.7)
\psline[linestyle=dotted](0,0)(0,-4.9)
\psline[linestyle=dotted](-6.3,-0.5)(-3.2,1.2)(6.3,0.5)
\psline[linestyle=dotted](-6.3,-5.4)(-3.2,-3.7)
\psline[linestyle=dotted](0,0)(1.5,0.9)
\uput[ul](0,0){O} \uput[dl](-6.3,-5.4){A} \uput[dr](3.2,-6){B}
\uput[dr](6.3,-4.4){C} \uput[ul](-3.2,-3.7){D} \uput[ul](-6.4,4.3){E}
\uput[u](3.2,3.7){F} \uput[ur](6.3,5.4){G} \uput[u](-3.2,6){H}
\uput[u](-1,-0.6){$\overrightarrow{\imath}$} 
\uput[u](2.4,0){$\overrightarrow{\jmath}$}
\uput[r](0.2,2.4){$\overrightarrow{k}$}
\qdisk(-4.7,0.35){2pt} \qdisk(-3.2,1.2){2pt} \qdisk(1.5,0.9){2pt} 
\qdisk(-3.2,-3.7){2pt} \qdisk(-4.7,-4.5){2pt} \qdisk(0,-4.9){2pt}
\qdisk(1.5,-4){2pt} \qdisk(4.7,-0.35){2pt} \qdisk(4.7,-5.25){2pt}
\qdisk(-1.55,-5.7){2pt}
\end{pspicture}
\end{center}
    
\newpage

\begin{center}\textbf{Annexe du problème}

\vspace{0,8cm}
    
\textbf{Cette page sera complétée et remise avec la copie}    

\vspace{1cm}

Courbes $\Gamma_1$ et $\Gamma_2$

\vspace{2cm}
    
\psset{xunit=2cm,yunit=10cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.25)(6,1.1)
\multido{\n=-0.2+0.1}{14}{\psline[linecolor=orange](0,\n)(6,\n)}
\multido{\n=0+1}{7}{\psline[linecolor=orange](\n,-0.2)(\n,1.1)}
%\multido{\n=0+1}{7}{\uput[d](\n,0){\n}}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.1]{->}(0,0)(-0.2,-0.21)(6,1.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.1](0,0)(0,0)(6,1.11)
%\uput[l](0,-0.2){-0,2} \uput[l](0,-0.1){-0,1} \uput[l](0,0){0} 
%\uput[l](0,0.1){0,1} \uput[l](0,0.2){0,2} \uput[l](0,0.3){0,3} 
%\uput[l](0,0.4){0,4} \uput[l](0,0.5){0,5} \uput[l](0,0.6){0,6} 
%\uput[l](0,0.7){0,7} \uput[l](0,0.8){0,8} \uput[l](0,0.9){0,9} 
%\uput[l](0,1){1} \uput[l](0,1.1){1,1} 
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{0}{6}{1 2.71828 x   exp div}
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{0}{6}{1 2.71828 x   exp 2 mul  div}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%   fin Amérique du Sud  novembre 2003
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Nouvelle-Calédonie   16 novembre 2003
\hypertarget{Caledonienov}{}

\label{Caledonienov}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2003}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Nouvelle-Calédonie  S~\decofourright\\novembre 2003}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On observe sur une longue période le nombre d'accidents de scooters à un 
carrefour. Il est alors possible de proposer la modélisation suivante : pour $n$ scooters franchissant le carrefour durant une année ($n$ est un grand nombre inconnu), on admet que la variable aléatoire $S_n$ qui totalise le nombre d'accidents de scooters à ce carrefour durant cette année suit une loi binomiale ; on estime que l'espérance mathématique  de $S_n$ notée E$\left(S_n\right)$ est égale à 10.
 
Soit $p$ la probabilité pour un scooter d'être accidenté à ce carrefour pendant l'année considérée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $p$, puis justifier l'égalité 
P$\left(S_n = k\right) = {n \choose k} \left(\dfrac{10}{n}\right)^k
\left(1 - \dfrac{10}{n}\right)^{n-k}$  où $k$ est un entier 
naturel tel que  $0 \leqslant k \leqslant n$.
\item
	 \begin{enumerate}
	 	 \item Établir l'égalité	$\ln \left[\text{P}(S_n 
= 0)\right] = -10 \times \dfrac{\ln \left(1 - \frac{10}{n}\right)}{\frac{-10}{n}}$ où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien ; 
en déduire que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \text{P}\left(S_n = 0\right) = \text{e}^{-10}$.
		\item Démontrer que P$\left(S_n =k+1\right) = \text{P}\left(S_n = k\right) \times \dfrac{n-k}{n-10} \times \dfrac{10}{k+1}$, où $k$ est un entier naturel  tel que $0 \leqslant k \leqslant n - 1$.
		\item Démontrer que si $\displaystyle\lim_{n \to  + \infty} \text{P}\left(S_n = k\right) = \text{e}^{-10}\dfrac{10^k}{k!}$ pour $0 \leqslant k \leqslant n$, alors on a également
$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \text{P}\left(S_n = k+1\right) = 
\text{e}^{-10}\dfrac{10^{k+1}}{(k+1)!}$ pour $0 \leqslant k+1 \leqslant n$.
		\item Démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence sur l'entier naturel $k$ que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \text{P}\left(S_n =  k\right) = \text{e}^{-10}\dfrac{10^k}{k!}$ où $k$ est un entier naturel tel que $0 \leqslant k\leqslant n$.
	\end{enumerate}
\item On suppose que le nombre $n$ est suffisamment grand pour que l'on
 puisse admettre que $\text{e}^{-10}\dfrac{10^k}{k!}$
est une approximation acceptable de P$\left(S_n = k \right)$. Utiliser cette approximation pour calculer à $10^{-4}$ près la probabilité pour qu'au cours de cette année il  y ait au moins trois accidents de scooters à ce carrefour.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 }\hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk{} ; on considère les points A(3~;~0~;~10), B(0~;~0~;~15) et C(0~;~20~;~0).

\medskip

\begin{enumerate}
 \item
 	 \begin{enumerate}
	 	\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).
		\item Montrer que la droite (AB) coupe l'axe des abscisses au point E(9~;~0~;~0).
		\item Justifier que les points A, B et C ne sont pas alignés.
	\end{enumerate}
\item Soit H le pied de la hauteur issue de O dans le triangle OBC
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la droite (BC) est perpendiculaire au plan (OEH). En déduire que (EH) est la hauteur issue de E dans le triangle EBC.
		\item Déterminer une équation cartésienne du plan (OEH).
		\item Vérifier que le plan (ABC) admet pour équation cartésienne

\[ 20x + 9y + 12z - 180 = 0.\]

		\item Montrer que le système $\left\{\begin{array}{l c l}
x 					& =& 0\\
4y -3z 				&= & 0\\
20x + 9y + 12z - 180& =& 0\\
\end{array}\right.$ a une solution unique. Que représente cette solution ?
		\item Calculer la distance OH, en déduire que EH $=  15$ et l'aire du triangle EBC.
	\end{enumerate}
\item En exprimant de deux façons le volume du tétraèdre OEBC, déterminer la distance du point O au plan (ABC). Pouvait-on prévoir le résultat à partir de l'équation obtenue en \textbf{2. c.} ?
 \end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
 \item 
 	\begin{enumerate}
		 \item Soit $p$ un entier naturel. Montrer que l'un des 
trois nombres $p$,\:$p + 10$ et $p + 20$, et l'un seulement est divisible par 
3.
		\item Les entiers naturels $a$,\: $b$ et $c$ sont dans  cet ordre les trois premiers terme d'une  suite arithmétique de raison 10. Déterminer ces trois nombres sachant qu'ils sont premiers.
	 \end{enumerate}

\item Soit E l'ensemble  des triplets d'entiers relatifs 
$(u~;~~v~;~w)$ tels que 

\[3u + 13v + 23w = 0.\]

	\begin{enumerate}
		 \item Montrer que pour un tel triplet $v \equiv w 
 ~~(\text{mod} \quad 3)$
	\item On pose $v = 3k + r$ et $w = 3k' + r$ où $k$,\:$k'$ et $r$ sont 
 des entiers relatifs et $0 \leqslant r \leqslant 2$.

Montrer que les éléments de E sont de la forme : 

\[(-13k - 23k' - 12r~;~3k + r~;~3k' + r).\]
	\item L'espace est rapporté à un repère orthonormal d'origine O et  soit P le plan d'équation $3x + 13y + 23z = 0$.

Déterminer l'ensemble des points $M$ à coordonnées $(x,~y,~z)$ entières 
relatives appartenant au plan P et situés à l'intérieur du cube de centre O, 
de côté 5 et dont les arêtes sont parallèles aux axes.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip
 
\emph{Les trois parties sont dans une large mesure indépendantes.}

\medskip

Pour tout entier naturel $n$, on définit sur $\R$ la fonction numérique 
$f_n$ par :

\[f_0(x) = \dfrac{1}{1+x^2}~~\text{et pour}~ n~ \text{entier naturel non 
nul}~~ f_n(x) = \dfrac{x^n}{1 + x^2}.\]

On note $\Gamma_n$, la courbe  représentative de $f_n$, dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij, unité graphique : 4 cm.

On désigne par $I_n$ l'intégrale $I_n = \displaystyle\int_0^1 
f_n(t)\:\text{d}t$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Étudier les limites de $f_1$ en $+ \infty$ et 
en $- \infty$. Quelle est la conséquence graphique de ces résultats ?
		\item Étudier les variations de $f_1$.
		\item Tracer la courbe $\Gamma_1$.
		\item Calculer I$_1$.
	\end{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
	 	\item Étudier les limites de $f_3$ en $+ \infty$.
		\item Étudier les variations de $f_3$.
		\item Tracer la courbe $\Gamma_3$ sur le même dessin qu'au \textbf{1. c.}.
	\end{enumerate}
\item Calculer $\text{I}_1 + \text{I}_3$. En déduire la valeur de $\text{I}_3$.
\item Calculer, en unités d'aire, l'aire du domaine limité par les courbes
 $\Gamma_1,~ \Gamma_3$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Pour cette partie, on dessinera la figure demandée dans un nouveau repère orthonormal \Oij, unité graphique : 4~cm.

\begin{enumerate}
\item
 	 \begin{enumerate}
	 	 \item Étudier les limites  de $f_0$ en $+ \infty$ et 
en $- \infty$.
		\item Étudier les variations de $f_0$.
	 \end{enumerate}

\item Soit $\left(a_n\right)$ la suite définie, pour $n$ entier naturel non nul, par $a_n = \displaystyle\int_0^n \dfrac{1}{1 + t^2}\:\text{d}t$.
	\begin{enumerate}
		\item Interpréter graphiquement $a_n$.
		\item Montrer que la suite $\left(a_n\right)$ est croissante.
		\item Montrer que pour tout réel $t~ :~\dfrac{1}{1 + t^2} \leqslant 1$ et en déduire que $a_1 \leqslant 1$. 	
		\item Montrer que pour tout réel $t$ non nul : $\dfrac{1}{1+t^2} \leqslant \dfrac{1}{t^2}$  et en déduire que pour tout entier naturel non  nul,~$\displaystyle\int_1^n \dfrac{1}{1 + t^2}\:\text{d}t \leqslant 1 - 
\dfrac{1}{n}$.
		\item Montrer, en utilisant les questions précédentes, que pour tout entier naturel $n$ non nul,~$a_n \leqslant 2$. Que peut-on en déduire pour la convergence de la suite $\left(a_n\right)$ ?
 	\end{enumerate} 
 \end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Soit $F$ la fonction telle que :

\[ F(0) = 0,\: F\: \text{dérivable sur}~\R~ \text{et}\: F'(x) = \dfrac{1}{1 + x^2}.\]

\begin{enumerate}
 \item On pose, pour tout $x$ de $\left]- \dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2}\right[,~H(x) = F[\tan(x)]$.

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $H(0)$.
		\item Montrer que $H$ est dérivable sur $\left]- 
\dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2}\right[$ et calculer $H'(x)$.
		\item En déduire que, pour tout $x$ de $\left]- \dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2}\right[,$\: $H(x) =  x$.
		\item Montrer que $F(1) = \dfrac{\pi}{4}$.
	\end{enumerate}
\item On pose, pour tout $x$ réel positif ou nul, $k(x) = 
F\left( \dfrac{1}{x + 1}\right) + F\left( \dfrac{x}{x + 2}\right)$.

	\begin{enumerate}
		 \item Montrer que la fonction $k$ est dérivable sur $\R^{+}$ et déterminer $k'(x)$.
		\item En déduire la valeur de	$F\left( \dfrac{1}{2}\right) + F\left( \dfrac{1}{3}\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%   fin Nouvelle-Calédonie novembre 2003
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Nouvelle-Calédonie mars 2004
\hypertarget{Caledoniemars}{}

\label{Caledoniemars}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie Wallis-et-Futuna}}
\rfoot{\small{mars 2004}}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S  Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\[4pt]mars 2004}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Dans le plan complexe $\mathcal{P}$ muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, on considère le quadrilatère ABCD tel que :

\[\left(\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}}\right) = \alpha \quad [2\pi],~\left(\vect{\text{CD}},~\vect{\text{CB}}\right) = \beta \quad [2\pi],~0 < \alpha < \pi,~0 < \beta < \pi.\]

On construit les triangles équilatéraux DCP, DAQ, BAM et BCN tels que :

\[\left(\vect{\text{DC}},~\vect{\text{DP}}\right) = \dfrac{\pi}{3} \quad [2\pi], \quad \left(\vect{\text{DA}},~\vect{\text{DQ}}\right) =  \dfrac{\pi}{3} \quad [2\pi]\]

\[\left(\vect{\text{BA}},~\vect{\text{BM}}\right) = \dfrac{\pi}{3} \quad [2\pi]\quad \text{et}\quad \left(\vect{\text{BC}},~\vect{\text{BN}}\right) = \dfrac{\pi}{3} \quad [2\pi]\]

Soit $a, b, c$ et $d$ les affixes respectives des points A, B, C et D, $m, n, p$ et $q$ les affixes respectives des points M, N, P et Q.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer les relations suivantes :

\[m = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}(a - b) + b, \qquad n = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}(c - b) + b,\]
 
\[p = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}(c - d) + d, \qquad q = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}(a - d) + d.\]
 
\item En utilisant les relations précédentes : 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que MNPQ est un paralélogrammme.
		\item Démontrer que l'on a :

\[\left(\vect{\text{AC}},~\vect{\text{QP}}\right) = \dfrac{\pi}{3} \quad [2\pi], \quad \text{AC} = \text{QP}\]

\[\left(\vect{\text{NP}},~\vect{\text{BD}}\right) = \dfrac{\pi}{3} \quad [2\pi], \quad \text{et} \quad \text{NP} = \text{BD}.\]

	\end{enumerate}
\item Démontrer que MNPQ est un carré si, et seulement si, les diagonales [AC] et [BD] du quadrilatère ABCD vérifient :

\[\text{AC} = \text{BD} \quad \text{et} \quad \left(\vect{\text{AC}},~\vect{\text{BD}}\right) = \dfrac{\pi}{6} + k\pi\]

où $k$ est un entier relatif.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  5 points}

\medskip

\parbox[l]{0.52\textwidth}{On considère le cube ABCDEFGH
ci-contre.

O$_{1}$ et O$_{2}$ sont les centres des carrés
ABCD et EFGH, et I est le centre de gravité   du triangle EBD.

Soit $m$ un nombre réel et $G_{m}$ le barycentre du système de points pondérés :

\[\{(\text{E}~;~1),~(\text{B}~;~1 - m),~(\text{G}~;~2m - 1),~(\text{D}~;~1 - m)\}\]} \hfill          
\parbox[r]{0.45\textwidth}{\psset{unit=1.25cm}\begin{pspicture}(-0.4,-0.4)(3.6,3.4)
%\psgrid
\psframe(0,0)(2,2) %ACGF
\psline(0,2)(1.3,3)(3.3,3)(2,2)%FEHG
\psline(3.3,3)(3.3,1)(2,0)%HDC
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1.3,1)(1.3,3)(0,0)(3.3,1)(1.3,3)%BAEBDE
\psline[linestyle=dashed](3.3,1)(1.3,1)(2,2)%DAG
\uput[ul](1.3,1){A } \uput[dl](0,0){B } \uput[dr](2,0){ C} \uput[dr](3.3,1){D } 
\uput[ul](1.3,3){E } \uput[ul](0,2){F } \uput[ul](2,2){G } \uput[ur](3.3,3){H } 
\end{pspicture}}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier l'existence du point $G_{m}$.
\item Préciser la position du point G$_{1}$. 
\item Vérifier que G$_{0}$ = A. En déduire que les points A, I et G sont alignés.
\item Démontrer  que  $\vect{\text{A}G_{m}} = m\vect{\text{AO}_{2}}$. En déduire l'ensemble des points $G_{m}$ lorsque $m$ parcourt l'ensemble des nombres réels.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que les points A, $G_{m}$, E et O$_{1}$, sont coplanaires.
		\item Déterminer la  valeur de $m$ pour laquelle $G_{m}$ se trouve sur la droite
(EI).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette question, l'espace est rapporté au repère orthonormal
$\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la droite (AG) est orthogonale au  plan (EBD). En
déduire une équation cartésienne du plan ABD.
\item Déterminer  les coordonnées du point $G_{m}$.
\item Pour quelles valeurs de $m$, la distance de $G_{m}$ au plan (EBD) est-elle
égale à $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ ?

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}  \hfill  11 points}
 
\medskip

\textbf{Partie A étude d'une fonction}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par

\[ f(x] = 1 + \text{e}^{-x} - 2\text{e}^{-2x}\]

et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un plan rapporté à un repère orthogonal \Oij, (unités graphiques : 3~cm sur l'axe des abscisses et 8~cm sur l'axe des ordonnées).

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Soit le polynôme $P$ défini sur $\R$ par $P(X) = 1 + X - 2X^2.$

Étudier le signe de $P(X)$.
		\item En déduire le signe de $f(x)$ sur $\R$. 
		\item Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ?
	\end{enumerate}
\item  Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. Qu'en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ? 
\item Vérifier que $f(x) = \text{e}^{-2x}\left(\text{e}^{2x} + \text{e}^{x} - 2\right)$, puis déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.

\item
	\begin{enumerate} 
		\item Soit $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$, calculer $f'(x)$.
		\item Montrer que $f'(x)$ a le même signe que $\left(4 - \text{e}^x\right)$, puis étudier le signe de $f'(x)$.
		\item Dresser le tableau de variations de $f$. On montrera que Ie maximum est un nombre rationnel.
	\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 1$ n'ont qu'un point d'intersection $A$ dont on déterminera les coordonnées.
		\item Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport a la droite $\mathcal{D}$. 
	\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point $A$.
\item Tracer les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{T}$, puis la courbe $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B étude d'une suite}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer l'aire, en unités d'aire, de la  partie de plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$ l'axe des ordonnées et la droite  $\mathcal{D}$. 
\item On considère la suite $(u_{n})$ définie sur $\N^*$ par :

\[u_{n} = \displaystyle\int_{(n - 1) + \ln 2}^{n + \ln 2} \left[f(x) - 1\right]\:\text{d}x.\]

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est à termes positifs.
		\item Donner une interprétation géométrique de $\left(u_{n}\right)$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate} 
		\item En utilisant le sens de variation de $f$, montrer que,
pour tout $n  \geqslant  2$ :

si $x \in [(n - 1) + \ln 2~;~n + \ln 2]$  alors

\[f(n + \ln 2) - 1 \leqslant f(x) - 1 \leqslant  f[(n - 1) + \ln  2] - 1.\]

		\item En déduire que, pour tout $n,~ n \geqslant  2$, on a :

\[f(n + \ln 2) - 1 \leqslant u_{n} \leqslant  f\left[(n -1) + \ln 2 \right] -1.\]

		\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante à partir du rang 2.
		\item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente.
	\end{enumerate}
\item Soit la suite $\left(S_{n}\right)$ définie pour $n > 0$, par

\[S_{n} = u_{1} + u_{2} + u_{3} + \ldots  + u_{n}.\]

	\begin{enumerate} 
		\item Écrire $S_{n}$ à  l'aide d'une intégrale.
		\item Interpréter géométriquement $S_{n}$.
		\item Calculer $S_{n}$ et déterminer la limite de la suite $\left(S_{n}\right)$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%   fin Nouvelle-Calédonie mars 2004   
\end{document}