%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{enumitem} \usepackage{tabularx} \usepackage{lscape} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pst-eucl,pstricks-add} \usepackage{diagbox} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small{Baccalauréat S : l'intégrale 2006}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\huge\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S 2006~\decofourright\\\vspace{1cm}L'intégrale d'avril 2006 à mars 2007}} \vspace{0,5cm} Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large \textcolor{blue}{bleus}} \end{center} \vspace{1cm} \begin{tabularx}{\linewidth}{>{\Large}X} \hyperlink{Pondichery}{Pondichéry avril 2006} \dotfill \pageref{Pondichery} \\ \hyperlink{Amerique du Nord}{Amérique du Nord juin 2006} \dotfill \pageref{Amerique du Nord} \\ \hyperlink{Antilles2}{Antilles-Guyane juin 2006} \dotfill \pageref{Antilles2} \\ \hyperlink{Asie}{Asie juin 2006} \dotfill \pageref{Asie} \\ \hyperlink{Centres etrangers}{Centres étrangers juin 2006} \dotfill \pageref{Centres etrangers} \\ \hyperlink{France2}{Métropole juin 2006} \dotfill \pageref{France2} \\ \hyperlink{La Reunion}{La Réunion juin 2006} \dotfill \pageref{La Reunion} \\ \hyperlink{Liban}{Liban mai 2006} \dotfill \pageref{Liban} \\ \hyperlink{Polynesie2}{Polynésie juin 2006} \dotfill \pageref{Polynesie2} \\ \hyperlink{Antillessept}{Antilles-Guyane septembre 2006} \dotfill \pageref{Antillessept} \\ \hyperlink{France}{Métropole et La Réunion septembre 2006} \dotfill \pageref{France} \\ \hyperlink{Polynesie}{Polynésie spécialité septembre 2006} \dotfill \pageref{Polynesie} \\ \hyperlink{Amerique du Sud}{Amérique du Sud novembre 2006} \dotfill \pageref{Amerique du Sud} \\ \hyperlink{Nouvelle-Caledonie}{Nouvelle-Calédonie novembre 2006} \dotfill \pageref{Nouvelle-Caledonie} \\ \hyperlink{Caledoniemars}{Nouvelle-Calédonie mars 2007} \dotfill \pageref{Caledoniemars} \end{tabularx} \newpage~ \newpage %%%%%%%%%%%%% Pondichéry 3 avril 2006 \hypertarget{Pondichery}{} \label{Pondichery} \lfoot{\small{Pondichéry}} \rfoot{\small{3 avril 2006}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Pondichéry 3 avril 2006~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Dix affirmations, réparties en trois thèmes et numérotées de 1. a à 3. d sont proposées ci-dessous. Le candidat portera sur sa copie, en regard du numéro de l'affirmation, et avec le plus grand soin, la mention VRAI ou FAUX. Chaque réponse convenable rapporte $0,4$ point. Chaque réponse erronée enlève 0,1 point. Il n'est pas tenu compte de l'absence de réponse. Un éventuel total négatif est ramené à $0$. \medskip \begin{enumerate} \item Pour tout réel $x,~\text{e}^x$ désigne l'image de $x$ par la fonction exponentielle. \medskip \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{tabularx}{\linewidth}{| l | X|}\hline Affirmation 1. a& Pour tous les réels $a$ et $b : \left(\text{e}^a\right)^b = \text{e}^{\left(a^b\right)}$.\\ \hline Affirmation 1. b &\rule[-3mm]{0mm}{9mm} Pour tous les réels $a$ et $b : \text{e}^{a - b} = \dfrac{\text{e}^a}{\text{e}^b}$.\\ \hline Affirmation 1. c &La droite d'équation $y = x + 1$ est la tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle en son point d'abscisse 1.\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert I et soit $a$ un élément de I. \medskip \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l | X|}\hline Affirmation 2. a &Si $f$ est dérivable en $a$, alors $f$ est continue en $a$.\\ \hline Affirmation 2. b &Si $f$ est continue en $a$, alors $f$ est dérivable en $a$.\\ \hline Affirmation 2. c & Si $f$ est dérivable en $a$, alors la fonction \\ &\rule[-3mm]{0mm}{8mm} $h \mapsto \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$ admet une limite finie en $0$.\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item On considère deux suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ définies sur $\N$. \medskip %\renewcommand{\arraystretch}{1.9} \begin{tabularx}{\linewidth}{| l | X|}\hline Affirmation 3. a& Si $\lim u_{n} = +\infty$ et si $\lim v_{n} = -\infty$ alors $\lim \left(u_{n} + v_{n}\right) =0$.\\ \hline Affirmation 3. b&Si $\left(u_{n}\right)$ converge vers un réel non nul et si $\lim v_{n} = +\infty$, \\ &alors la suite $\left(u_{n,~} \times v_{n}\right)$ ne converge pas.\\ \hline Affirmation 3. c &Si $\left(u_{n}\right)$ converge vers un réel non nul, si $\left(v_{n}\right)$ est positive \\ & et si $\lim v_{n} = 0$, alors la suite $\left(\dfrac{u_{n}}{v_{n}}\right)$ ne converge pas.\rule[-4mm]{0mm}{10mm}\\ \hline Affirmation 3. d&\rule[-4mm]{0mm}{10mm} Si $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ convergent alors la suite $\left(\dfrac{u_{n}}{v_{n}}\right)$ converge.\\ \hline \end{tabularx} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. On prendra pour unité graphique 5 cm. On pose $z_{0}=2$ et, pour tout entier naturel $n,~ z_{n+1} = \dfrac{1 + \text{i}}{2}z_{n}$. On note $A_{n}$ le point du plan d'affixe $z_{n}$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $z_{1},~z_{2},~z_{3},~z_{4}$ et vérifier que $z_{4}$ est un nombre réel. Placer les points A$_{0}$,~A$_{1}$,~A$_{2}$,~A$_{3}$ et A$_{4}$ sur une figure. \item Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_{n} =\left|z_{n}\right|$. Justifier que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique puis établir que, pour tout entier naturel $n,$ \[u_{n} = 2\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^n.\] \item À partir de quel rang $n_{0}$ tous les points $A_{n}$ appartiennent-ils au disque de centre O et de rayon 0,1 ? \item \begin{enumerate} \item Établir que, pour tout entier naturel $n,~\dfrac{z_{n+1}- z_{n}}{z_{n+1}} = \text{i}$. En déduire la nature du triangle O$A_{n}A_{n+1}$. \item Pour tout entier naturel $n$, on note $\ell_{n}$ la longueur de la ligne brisée\\ $A_{0}A_{1}A_{2}\ldots A_{n-1}A_{n}$. On a ainsi : $\ell_{n} = A_{0}A_{1}+ A_{1}A_{2} +\ldots + A_{n-1}A_{n}$. Exprimer $\ell_{n}$ en fonction de $n$. Quelle est la limite de la suite $\left(\ell_{n}\right)$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \textbf{Candidat ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. On prendra 5~cm pour unité graphique. Soit $f$ la transformation qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par : \[z' = \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}\right)z + 1.\] \begin{enumerate} \item Justifier que $f$ est une similitude directe dont on précisera le centre $\Omega$ (d'affixe $\omega$), le rapport $k$ et l'angle $\theta$. \item On note $A_{0}$ le point O et, pour tout entier naturel $n$, on pose $A_{n+1} = f(A_{n})$. \begin{enumerate} \item Déterminer les affixes des points $A_{1}~A_{2},~A_{3}$ puis placer les points $A_{0},~A_{1},~A_{2}$ et $A_{3}$. \item Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_{n} = \Omega A_{n}$. Justifier que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique puis établir que, pour tout entier naturel $n,$ \[ u_{n} = \sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^n.\] \item À partir de quel rang $n_{0}$ tous les points $A_{n}$ appartiennent-ils au disque de centre $\Omega$ et de rayon $0,1$ ? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Quelle est la nature du triangle $\Omega A_{0}A_{1}$ ? En déduire, pour tout entier naturel $n$, la nature du triangle $\Omega A_{n}A_{n+1}$. \item Pour tout entier naturel $n$, on note $\ell_{n}$ la longueur de la ligne brisée $A_{0}A_{1}A_{2}\ldots A_{n-1}A_{n}$. On a ainsi : $\ell_{n} = A_{0}A_{1}+ A_{1}A_{2} +\ldots + A_{n-1}A_{n}$. Exprimer $\ell_{n}$ en fonction de $n$. Quelle est la limite de la suite $\left(\ell_{n}\right)$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk. \begin{center} \textbf{Partie A} (cette partie constitue une restitution organisée de connaissances)\end{center} Soit $a, b, c$ et $d$ des réels tels que $(a,~b,~c) \neq (0,~0,~0)$. Soit $\mathcal{P}$ le plan d'équation $ax + by + cz + d = 0$. On considère le point $I$ de coordonnées $\left(x_{I},~y_{I},~z_{I}\right)$ et le vecteur $\vect{n}$ de coordonnées $(a,~b,~c)$. Le but de cette partie est de démontrer que la distance de $I$ au plan $\mathcal{P}$ est égale à $\dfrac{\left|ax_{I} + by_{I} + cz_{I} + d\right|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$. \medskip \begin{enumerate} \item Soit $\Delta$ la droite passant par $I$ et orthogonale au plan $\mathcal{P}$. Déterminer, en fonction de $a,~b,~c,~x_{I},~y_{I}$ et $z_{I}$, un système d'équations paramétriques de $\Delta$. \item On note $H$ le point d'intersection de $\Delta$ et $\mathcal{P}$. \begin{enumerate} \item Justifier qu'il existe un réel $k$ tel que $\vect{IH} = k\vect{n}$. \item Déterminer l'expression de $k$ en fonction de $a,~ b,~ c,~ d,~x_{I},~y_{I}$ et $z_{I}$. \item En déduire que $IH = \dfrac{\left|ax_{I} + by_{I} + cz_{I} + d\right|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Partie B} \end{center} Le plan $\mathcal{Q}$ d'équation $x - y + z - 11 = 0$ est tangent à une sphère $\mathcal{S}$ de centre le point $\Omega$ de coordonnées $(1,~-1,~3)$. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le rayon de la sphère $\mathcal{S}$. \item Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite $\Delta$ passant par $\Omega$ et orthogonale au plan $\mathcal{Q}$ \item En déduire les coordonnées du point d'intersection de la sphère $\mathcal{S}$ et du plan $\mathcal{Q}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Les parties A et B sont indépendantes. Un laboratoire de recherche étudie l'évolution d'une population animale qui semble en voie de disparition. \begin{center}\textbf{Partie A} \end{center} En 2000, une étude est effectuée sur un échantillon de cette population dont l'effectif initial est égal à mille. Cet échantillon évolue et son effectif, exprimé en milliers d'individus, est approché par une fonction $f$ du temps $t$ (exprimé en années à partir de l'origine 2000). D'après le modèle d'évolution choisi, la fonction $f$ est dérivable, strictement positive sur $[0~;~+\infty[$, et satisfait l'équation différentielle : \[(\text{E})\qquad y' = - \dfrac{1}{20}y(3 - \ln y).\] \smallskip \begin{enumerate} \item Démontrer l'équivalence suivante : une fonction $f$, dérivable, strictement positive sur $[0~;~+\infty[$, vérifie, pour tout $t$ de $[0~;~+\infty[$, $f'(t) = - \dfrac{1}{20}f(t)[3 - \ln\left(f(t)\right)]$ si et seulement si la fonction $g =\ln (f)$ vérifie, pour tout $t$ de $[0~;~+\infty[, \: g'(t) = \dfrac{1}{20}g (t) - \dfrac{3}{20}$. \item Donner la solution générale de l'équation différentielle : \[(\text{H})\qquad z' = \dfrac{1}{20}z - \dfrac{3}{20}.\] \item En déduire qu'il existe un réel $C$ tel que, pour tout $t$ de $[0~;~+\infty[$ \[f(t) = \text{exp}\left[3 + C \text{exp}\left(\dfrac{t}{20}\right)\right].\] (la notation exp désigne la fonction exponentielle naturelle $x \mapsto \text{e}^x$). \item La condition initiale conduit donc à considérer la fonction $f$ définie par : \[f(t) = \text{exp}\left[3 - 3 \text{exp}\left(\dfrac{t}{20}\right)\right].\] \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. \item Déterminer le sens de variation de $f$ sur $[0~;~+\infty[$. \item Résoudre dans $[0~;~+\infty[$ l'inéquation $f(t) < 0,02$. Au bout de combien d'années, selon ce modèle, la taille de l'échantillon sera-t-elle inférieure à vingt individus ? \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Partie B} \end{center} En 2005, ce laboratoire de recherche met au point un test de dépistage de la maladie responsable de cette disparition et fournit les renseignements suivants : \og La population testée comporte 50\,\% d'animaux malades. Si un animal est malade, le test est positif dans 99\,\% des cas ; si un animal n'est pas malade, le test est positif dans 0,1\,\% des cas \fg. \medskip On note $M$ l'évènement \og l'animal est malade \fg, $\overline{M}$ l'évènement contraire et $T$ l'évènement \og le test est positif \fg. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer $P(M),\:P_{M}(T),\: P_{\overline{M}}(T)$. \item En déduire $P(T)$. \item Le laboratoire estime qu'un test est fiable, si sa valeur prédictive, c'est-à-dire la probabilité qu'un animal soit malade sachant que le test est positif, est supérieure à $0,999$. Ce test est-il fiable ? \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Pondichéry 3 avril 2006 \newpage %%%%%%%%%%%%% Amérique du Nord juin 2006 \hypertarget{Amerique du Nord}{} \label{Amerique du Nord} \lfoot{\small{Amérique du Nord}} \rfoot{\small{mai 2006}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2006~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Pour chacune des $3$ questions, une seule des trois propositions est exacte.\\ Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.\\ Une réponse exacte rapporte $1$ point ; une réponse inexacte enlève} $0,5$ point ; l'absence de réponse est comptée $0$ \emph{point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.} \bigskip Une urne contient 10 bulletins indiscernables au toucher de 3 sortes : 4 sont marqués \og oui \fg, 3 sont marqués \og non \fg{} et 3 sont marqués \og blanc \fg. Lors d'un premier jeu, le joueur commence par miser 30 centimes d'euro. Il tire ensuite un bulletin de l'urne et l'y remet après l'avoir lu. Si le bulletin tiré est marqué \og~oui~\fg, le joueur reçoit 60 centimes d'euro, s'il est marqué \og non \fg, il ne reçoit rien. Si le bulletin tiré est marqué \og blanc \fg, il reçoit 20 centimes d'euro. \medskip \textbf{Question 1} Le jeu est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{A :~~} favorable au joueur &\textbf{B :~~} défavorable au joueur&\textbf{C :~~} équitable \end{tabularx} \medskip \textbf{Question 2} Le joueur joue 4 parties indépendamment les unes des autres. La probabilité qu'il tire au moins une fois un bulletin marqué \og oui \fg{} est égale à \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{A :~~}$\dfrac{216}{625}$&\textbf{B :~~} $\dfrac{544}{625}$&\textbf{C :~~} $\dfrac{2}{5}$ \end{tabularx} \medskip Lors d'un second jeu, le joueur tire simultanément deux bulletins de l'urne. \textbf{Question 3} : la probabilité qu'il obtienne un tirage de deux bulletins de sortes différentes est égale à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{A :~~} $\dfrac{4}{15}$&\textbf{B :~~} $\dfrac{11}{30}$&\textbf{C :~~} $\dfrac{11}{15}$ \end{tabularx} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \medskip Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique 2~cm), on considère les points A, B et C d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 2,~$ $z_{\text{B}} = 1 + \text{i}\sqrt{3}$ et $z_{\text{C}} = 1 - \text{i}\sqrt{3}$. \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner la forme exponentielle de $z_{\text{B}}$ puis de $z_{\text{C}}$. \item Placer les points A, B et C. \end{enumerate} \item Déterminer la nature du quadrilatère OBAC. \item Déterminer et construire l'ensemble $\mathcal{D}$ des points $M$ du plan tels que $|z| = |z - 2|$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip À tout point $M$ d'affixe $z$ tel que $z\neq z_{\text{A}}$, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ défini par \[z' = \dfrac{- 4}{z - 2}.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Résoudre dans $\C$ l'équation $z = \dfrac{-4}{z - 2}$. \item En déduire les points associés aux points B et C. \item Déterminer et placer le point G$'$ associé au centre de gravité G du triangle OAB. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item \textbf{Question de cours :} \emph{Prérequis : le module d'un nombre complexe $z$ quelconque, noté $|z|$, vérifie $|z|^2 = z\overline{z}$ où $\overline{z}$ est le conjugué de $z$.} Démontrer que : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] pour tous nombres complexes $z_{1}$ et $z_{2}$, ~ $| z_{1} \times z_{2}| =| z_{1}| \times | z_{2}|$. \item[$\bullet~$] pour tout nombre complexe $z$ non nul, $\left|\dfrac{1}{z}\right| = \dfrac{1}{|z|}$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \item Démontrer que pour tout nombre complexe $z$ distinct de 2,~ \[\left|z' - 2\right| = \dfrac{2 |z|}{|z-2|}.\] \item On suppose dans cette question que $M$ est un point quelconque de $\mathcal{D}$, où $\mathcal{D}$ est l'ensemble défini à la question 3. de la partie A. Démontrer que le point $M'$ associé à $M$ appartient à un cercle $\Gamma$ dont on précisera le centre et le rayon. Tracer $\Gamma$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Exercice de spécialité} \medskip Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique : 4~cm). Soit $\Omega$ le point d'affixe 2. On appelle $r$ la rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$ et $h$ l'homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. \medskip \begin{enumerate} \item On pose $\sigma = h \circ r$. \begin{enumerate} \item Quelle est la nature de la transformation $\sigma$ ? Préciser ses éléments caractéristiques. \item Montrer que l'écriture complexe de $\sigma$ est : $z \longmapsto \dfrac{1 + \text{i}}{2}z + 1 - \text{i}$. \item Soit $M$ un point quelconque du plan d'affixe $z$. On désigne par $M'$ son image par $\sigma$ et on note $z'$ l'affixe de $M'$. Montrer que $z - z' = \text{i}\left(2 - z'\right)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item \textbf{Question de cours} $\bullet~$ \emph{Prérequis : définitions géométriques du module d'un nombre complexe et d'un argument d'un nombre complexe non nul. Propriétés algébriques des modules et des arguments.} \medskip Démontrer que : si $A$ est un point donné d'affixe $a$, alors l'image du point $P$ d'affixe $p$ par la rotation de centre $A$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ est le point $Q$ d'affixe $q$ telle que $q - a = \text{i}(p - a)$. \item Déduire des questions précédentes la nature du triangle $\Omega M M'$, pour $M$ distinct de $\Omega$. \end{enumerate} \item Soit A$_{0}$ le point d'affixe $2 + \text{i}$. On considère la suite $\left(A_{n}\right)$ de points du plan définis par : \[\text{pour tout entier naturel} \quad n,~ A_{n+1} = \sigma \left(A_{n}\right).\] \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, l'affixe $a_{n}$ de $A_{n}$ est donnée par : \[a_{n} = \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^n \text{e}^{\text{i}\frac{(n+2)\pi}{4}}+ 2.\] \item Déterminer l'affixe de $A_{5}$. \end{enumerate} \item Déterminer le plus petit entier $n_{0}$ tel que l'on ait : pour $n \geqslant n_{0}$, le point $A_{n}$ est dans le disque de centre $\Omega$ et de rayon 0,01. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \medskip \begin{enumerate} \item On considère la fonction $g$ définie sur $]0~;~ +\infty[$ par \[g(x) = \ln x - \dfrac{2}{x}\] On donne ci-dessous le tableau de variations de $g$. %\begin{center} %\begin{pspicture}(6,3.5) %\psframe(0,0)(6,3.5) \psline(0,3)(6,3) \psline(1,0)(1,3.5) %\uput[u](0.5,3){$x$} \uput[u](1.2,3){$0$} \uput[u](2.8,3){2,3} \uput[u](3.4,3){$x_{0}$} %\uput[u](4.1,3){2,4} \uput[u](5.5,3){$+ \infty$} \uput[u](0.5,1.3){$g$} \uput[u](1.3,0){$- \infty$} \uput[u](3.5,1.3){$0$} \uput[u](5.7,2.6){$+ \infty$} %\psline{->}(1.5,0.5)(3.3,1.4) \psline{->}(3.8,1.6)(5.5,2.5) %\end{pspicture} %\end{center} \begin{center} \begin{tabular}{|c|lp{2cm}rclp{2cm}r|} \hline $x$ & $0$ & & $2,3$ & $x_0$ & $2,4$ & & $+\infty$ \\ \hline & & & & & & & \rnode{C}{$+\infty$} \\ $g(x)$ & & & & \rnode{B}{$0$} & & & \\ & \rnode{A}{$-\infty$} & & & & & & \\ \hline \end{tabular} \psset{nodesep=2pt} \ncline{->}{A}{B}\ncline{->}{B}{C} \end{center} Démontrer toutes les propriétés de la fonction $g$ regroupées dans ce tableau. \medskip \item Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~ +\infty[$ par \[f(x) = \dfrac{5 \ln x}{x}\] \begin{enumerate} \item Montrer que $f\left(x_{0}\right) = \dfrac{10}{x_{0}^2}$ où $x_{0}$ est le réel apparaissant dans le tableau ci-dessus. \item Soit $a$ un réel. Pour $a > 1$, exprimer $\displaystyle\int_{1}^a f(t)\:\text{d}t$ en fonction de $a$. \end{enumerate} \item On a tracé dans le repère orthonormal \Oij{} ci-dessous les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ notées respectivement $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ et $\left(\mathcal{C}_{g}\right)$. On appelle I le point de coordonnées (1 ; 0), $P_{0}$ le point d'intersection de $\left(\mathcal{C}_{g}\right)$ et de l'axe des abscisses, $M_{0}$ le point de $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ ayant même abscisse que $P_{0}$ et $H_{0}$ le projeté orthogonal de $M_{0}$ sur l'axe des ordonnées. On nomme $\left(\mathcal{D}_{1}\right)$ le domaine du plan délimité par la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ et les segments [I$P_{0}$] et [$P_{0}M_{0}$]. On nomme $\left(\mathcal{D}_{2}\right)$ le domaine du plan délimité par le rectangle construit à partir de [OI] et [O$H_{0}$]. Démontrer que les deux domaines $\left(\mathcal{D}_{1}\right)$ et $\left(\mathcal{D}_{2}\right)$ ont même aire, puis donner un encadrement d'amplitude 0,2 de cette aire. \end{enumerate} \begin{center} \psset{unit=1.3cm} \begin{pspicture*}(-0.5,-3)(7,3) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.665}{7}{x ln 5 mul x div} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.743}{7}{x ln 2 x div sub} \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{ \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{2.3455}{x ln 5 mul x div} \psline(2.3455,0)(1,0) } \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(1,1.8173) \uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \uput[l](0,1.8173){$H_{0}$} \uput[u](2.3455,1.8173){$M_{0}$} \uput[dr](1,0){I} \uput[dr](2.345,0){$P_{0}$} \uput[u](4,1.733){\blue $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$} \uput[d](4,0.886){$\left(\mathcal{C}_{g}\right)$} \psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(0,-3)(7,3) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1) \end{pspicture*} \end{center} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points} Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij. \medskip On s'intéresse aux fonctions $f$ dérivables sur $[0~;~ + \infty[$ vérifiant les conditions \[\left\{\begin{array}{l c l} (1)& :&f'(x) = 4 -\left[f(x)\right]^2 \:\text{ pour tout réel }\: x\:\text{ appartenant à }\: [0~;~+ \infty[\\ (2)& :& f(0) = 0\\ \end{array}\right.\] On admet qu'il existe une unique fonction $f$ vérifiant simultanément (1) et (2). Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante. L'annexe sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve. \medskip \textbf{Partie A. Étude d'une suite} \medskip Afin d'obtenir une approximation de la courbe représentative de la fonction $f$ on utilise la méthode itérative d'Euler avec un pas égal à $0,2$. On obtient ainsi une suite de points notés $\left(M_{n}\right)$, d'abscisse $x_{n}$ et d'ordonnée $y_{n}$ telles que : \[\left\{\begin{array}{l l l} x_{0} = 0& \text{et pour tout entier naturel}&~ n,~ x_{n+1} = x_{n} + 0,2\\ y_{0} = 0& \text{et pour tout entier naturel}& n,~ y_{n+1} = - 0,2y_{n}^2 +y_{n} + 0,8\\ \end{array}\right.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Les coordonnées des premiers points sont consignées dans le tableau de l'annexe. Compléter ce tableau. On donnera les résultats à $10^{-4}$ près. \item Placer, sur le graphique donné en annexe, les points $M_{n}$ pour $n$ entier naturel inférieur ou égal à 7. \item D'après ce graphique, que peut-on conjecturer sur le sens de variation de la suite $\left(y_{n}\right)$ et sur sa convergence ? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Pour $x$ réel, on pose $p(x) = - 0,2x^2 + x + 0,8$. Montrer que si $x \in [0~;~2]$ alors $p(x) \in [0~;~2]$. \item Montrer que pour tout entier naturel $n,~ 0 \leqslant y_{n} \leqslant 2$. \item Étudier le sens de variation de la suite $\left(y_{n}\right)$. \item La suite $\left(y_{n}\right)$ est-elle convergente ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B. Étude d'une fonction} \medskip Soit $g$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $g(x) = 2\left(\dfrac{\text{e}^{4x} - 1}{\text{e}^{4x} + 1}\right)$ et $\left(\mathcal{C}_{g}\right)$ sa courbe représentative. \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $g$ vérifie les conditions (1) et (2). \item \begin{enumerate} \item Montrer que $\left(\mathcal{C}_{g}\right)$ admet une asymptote $\Delta$ dont on donnera une équation. \item Étudier les variations de $g$ sur $[0~;~ + \infty[$. \end{enumerate} \item Déterminer l'abscisse $\alpha$ du point d'intersection de $\Delta$ et de la tangente à $\left(\mathcal{C}_{g}\right)$ à l'origine. \item Tracer, dans le repère de l'annexe, la courbe $\left(\mathcal{C}_{g}\right)$ et les éléments mis en évidence dans les questions précédentes de cette partie B. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Cette page sera complétée et remise avec la copie avant la fin de l'épreuve} \medskip \textbf{Exercice 4 : Annexe} \medskip \textbf{Partie A} \medskip \[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $n$ &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline $x_{n}$ &0 &0,2 &0,4 & & & & &\\ \hline $y_{n}$ &0 &\np{0,8000}&\np{1,4720} & & & & & \\ \hline \end{tabularx}\] \vspace{1.5cm} \textbf{Partie B} \bigskip \psset{unit=4.5cm} \begin{pspicture}(2.4,2.4) \psgrid[gridlabelcolor=white,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(2.4,2.4) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(2.4,2.4) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%% fin Amérique du Nord juin 2006 \newpage %%%%%%%%%% Antilles-Guyane juin 2006 \hypertarget{Antilles2}{} \label{Antilles2} \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small juin 2006} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Antilles-Guyane juin 2006~\decofourright}} \end{center} \parindent=0cm \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Restitution organisée des connaissances} \textbf{Pré-requis :} \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item la fonction logarithme népérien est dérivable sur $]0~;~+\infty[$ et sa fonction dérivée est la fonction inverse $\left(x\mapsto\dfrac{1}{x}\right)$. \item $\ln(1)=0$ \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Démontrer que pour tous réels strictement positifs $a$ et $x$, \[\ln (ax) = \ln (a) + \ln (x).\] \item Utiliser le résultat précédent pour démontrer que \[\ln\left(\dfrac1b\right)= -\ln (b) \textrm{ et que }\ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln (a) - \ln (b)\] pour tous réels strictement positifs $a$ et $b$. \item On donne $\np{0,69}\leqslant \ln 2\leqslant\np{0,70}$ et $\np{1,09}\leqslant\ln 3\leqslant\np{1,10}$. En déduire des encadrements de $\ln 6$, $\ln\left(\dfrac16\right)$, et $\ln\left(\dfrac38\right)$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip QCM : pour chaque question une seule des réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Chaque bonne réponse rapporte \np{0,75} point, chaque erreur enlève \np{0,25} point, l'absence de réponse vaut 0 point. Si le total des points de l'exercice est négatif, la note est ramenée à 0. Vous répondrez sur votre copie en indiquant le numéro de la question et la lettre correspondant à votre réponse. \medskip \begin{enumerate} \item L'équation $\text{e}^{2x}-3\text{e}^x-4=0$ admet dans $\R$: \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}} \hline \textbf{a.~~} 0 solution &\textbf{b.~~} 1 solution &\textbf{c.~~} 2 solutions & \textbf{d.~~} plus de 2 solutions\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item L'expression $-\text{e}^{-x}$ \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}} \hline \textbf{a.~~} n'est jamais négative & \textbf{b.~~} est toujours négative & \textbf{c.~~} n'est négative que si $x$ est positif & \textbf{d.~~} n'est négative que si $x$ est négatif\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{2\text{e}^x-1}{\text{e}^x+2}=$ \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}} \hline \textbf{a.~~} $-\dfrac12$ & \textbf{b.~~} 1 & \textbf{c.~~} 2 & \textbf{d.~~} $+\infty$\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item L'équation différentielle $y=2y'-1$ a pour ensemble de solutions: \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}} \hline \textbf{a.~~} $x\mapsto k\text{e}^{2x}-1$ avec $k\in \R$ & \textbf{b.~~} $x\mapsto k\text{e}^{\frac12x}+1$ avec $k\in \R$ & \textbf{c.~~} $x\mapsto k\text{e}^{\frac12x}-1$ avec $k\in \R$ & \textbf{d.~~} $x\mapsto k\text{e}^{2x}+\dfrac12$ avec $k\in \R$ \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \textbf{Partie A} \medskip Soit $X$ une variable aléatoire continue qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. On rappelle que $P(X\leqslant a)=\displaystyle\int_{0}^{a}\lambda\text{e}^{-\lambda t}\text{d}t$. La courbe donnée en \textsc{annexe 1} représente la fonction densité associée. \medskip \begin{enumerate} \item Interpréter sur le graphique la probabilité $P(X\leqslant 1)$. \item Indiquer sur le graphique où se lit directement le paramètre $\lambda$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On pose $\lambda=\np{1,5}$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $P(X\leqslant 1)$, en donner une valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-3}$ près par excès. \item Calculer $P(X\geqslant 2)$. \item Déduire des calculs précédents l'égalité suivante: $P(1\leqslant X\leqslant 2)=\np{0,173}$ à $10^{-3}$ près. \item Calculer l'intégrale $F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\np{1,5}t\text{e}^{-\np{1,5}t}\text{d}t$. Déterminer la limite quand $x$ tend vers $+\infty$ de $F(x)$; on obtient ainsi l'espérance mathématique de la variable $X$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip Une machine outil fabrique des cylindres. On mesure l'écart, en dixièmes de millimètres, entre le diamètre des cylindres et la valeur de réglage de la machine. On suppose que cet écart suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda=\np{1,5}$. \medskip Si l'écart est inférieur à 1, le cylindre est accepté. Si l'écart est compris entre 1 et 2, on procède à une rectification qui permet d'accepter le cylindre dans 80\:\% des cas. Si l'écart est supérieur à 2, le cylindre est refusé. \medskip \begin{enumerate} \item On prélève au hasard un cylindre dans la production. \begin{enumerate} \item Montrer que la probabilité qu'il soit accepté est égale à $\np{0,915}$ à $10^{-3}$ près. \item Sachant qu'il est accepté, quelle est la probabilité qu'il ait subi une rectification~? \end{enumerate} \item On prélève de manière indépendante dix cylindres de la production. On suppose que le nombre de cylindres suffisamment important pour assimiler ce tirage à un tirage successif avec remise. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité que les dix cylindres soient acceptés~? \item Quelle est la probabilité qu'au moins un cylindre soit refusé~? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \begin{enumerate} \item Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal \Ouv, on considère les points \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item $A$ d'affixe $a$, $a\in\R$ \item $B$ d'affixe $b+\text{i}$, $b\in\R$ \item $C$ image de $B$ dans la rotation de centre $A$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer une relation entre $a$ et $b$ pour que le point $C$ appartienne à l'axe $\left(O~;~\vect{v}\right)$. \item Exprimer alors l'affixe du point $C$ en fonction de $a$. \end{enumerate} \item Dans cette question, on pose $a=\sqrt{3}$ et $b=0$. On considère les points $C$ d'affixe $c=-\text{i}$ et $D$ d'affixe $d=2+\sqrt{3}-2\text{i}\sqrt{3}$. \begin{enumerate} \item Quelle est la nature du triangle $ABC$~? \item Calculer le quotient $\dfrac{d-a}{c-a}$; que peut-on en déduire pour le triangle $ACD$~? \item Déterminer l'affixe du point $E$ image de $D$ dans la rotation de centre $A$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$. \item Déterminer l'affixe du point $F$ image de $D$ dans la translation de vecteur $\vect{AC}$. \item Déterminer la nature du triangle $BEF$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Sur la figure donnée en \textsc{annexe 2}, on considère les carrés $OABC$ et $OCDE$ tels que : \[\left(\vect{OA}~;~\vect{OC}\right)=\left(\vect{OC}~;~\vect{OE}\right)=\dfrac{\pi}{2}.\] On désigne par $I$ le milieu du segment $[CD]$, par $J$ le milieu du segment $[OC]$ et par $H$ le point d'intersection des segments $[AD]$ et $[IE]$. \medskip \begin{enumerate} \item Justifier l'existence d'une similitude directe $s$ transformant $A$ en $I$ et $D$ en $E$. \item Déterminer le rapport de cette similitude $s$. On admet que l'angle de la similitude $s$ est égal à $\dfrac{\pi}{2}$. \item Donner, sans justifier, l'image de $B$ par $s$. \item Déterminer et placer l'image de $C$ par $s$. \item Soit $\Omega$ le centre de la similitude $s$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\Omega$ appartient au cercle de diamètre $[AI]$ et à celui de diamètre $[DE]$. \item Montrer que $\Omega$ ne peut être le point $H$. \item Construire $\Omega$. \end{enumerate} \item On considère le repère orthonormal direct $\left(O~;~\vect{OA},~\vect{OC}\right)$. \begin{enumerate} \item Déterminer l'écriture complexe de la similitude $s$. \item En déduire l'affixe du centre $\Omega$ de $s$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère les suites de points $A_{n}$ et $B_{n}$ définies pour tout entier naturel $n$ de la manière suivante: sur un axe orienté $\left(O~;~\vect{u}\right)$ donné en \textsc{annexe 3}, le point $A_{0}$ a pour abscisse $0$ et le point $B_{0}$ a pour abscisse 12. Le point $A_{n+1}$ est le barycentre des points $(A_{n},~2)$ et $(B_{n},~1)$, le point $B_{n+1}$ est le barycentre des points pondérés $(A_{n},~1)$ et $(B_{n},~3)$. \medskip \begin{enumerate} \item Sur le graphique placer les points $A_{2}, B_{2}.$ \item On définit les suites $(a_{n})$ et $(b_{n})$ des abscisses respectives des points $A_{n}$ et $B_{n}$. Montrer que: \[ a_{n+1}=\dfrac{2a_{n}+b_{n}}{3}. \] On admet de même que $b_{n+1}=\dfrac{a_{n}+3b_{n}}{4}$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item On considère la suite $(u_{n})$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $u_{n}=b_{n}-a_{n}$. \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $(u_{n})$ est géométrique. En préciser la raison. \item Donner l'expression de $u_{n}$ en fonction de l'entier naturel $n$. \item Déterminer la limite de $(u_{n})$. Interpréter géométriquement ce résultat. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $(a_{n})$ est croissante (on pourra utiliser le signe de $u_{n}$). \item Étudier les variations de la suite $(b_{n})$. \end{enumerate} \item Que peut-on déduire des résultats précédents quand à la convergence des suites $(a_{n})$ et $(b_{n})$~? \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip \begin{enumerate} \item On considère la suite $(v_{n})$ définie, pour tout entier naturel $n$, par \[v_{n}=3a_{n}+4b_{n}.\] Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est constante. \item Déterminer la limite des suites $(a_{n})$ et $(b_{n})$. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\textsc{Annexe 1}} \psset{unit=2.5cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(4,2) \psaxes(0,0)(0,0)(4,2) \psaxes{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotstyle=curve,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{4}{2.71828182846 x 1.5 mul neg exp 1.5 mul} \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{center} \textbf{\textsc{Annexe 2}} \medskip \psset{unit=0.45cm,linewidth=1pt} \begin{pspicture}(0,0)(22,12) \psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridcolor=orange](0,0)(22,12) \psframe(1,1)(21,11) \psline(11,1)(11,11) \psline(21,1)(1,11) \psline(1,1)(6,11) \uput[u](1,11){D} \uput[u](6,11){I} \uput[u](11,11){C} \uput[u](21,11){B} \uput[d](5.1,9){H} \uput[ur](11,6){J} \uput[d](1,1){E} \uput[d](11,1){O} \uput[d](21,1){A} %\pstGeonode[PosAngle=-135](2,1){E} %\pstGeonode[PosAngle=-90](10,1){O} %\pstTranslation[PosAngle=-45]{E}{O}{O}{A} %\pstRotation[RotAngle=90,PosAngle=135]{E}{O}{D} %\pstTranslation[PosAngle=90]{E}{O}{D}{C} %\pstTranslation[PosAngle=45]{E}{O}{C}{B} %\pstMiddleAB[PosAngle=90]{D}{C}{I} %\pstMiddleAB[PosAngle=0]{C}{O}{J} %\pspolygon(E)(O)(A)(B)(D) %\psline(C)(O) \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{center} \textbf{\textsc{Annexe 3}} \bigskip \psset{unit=0.7cm} \begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(13.5,0.5) \psaxes[labels=none,ticksize=2pt](0,0)(-0.5,-0.5)(13.5,0.5) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0) \pstGeonode[PosAngle=135](0,0){A_0} \pstGeonode[PosAngle=90](4,0){A_1} \pstGeonode[PosAngle=90](12,0){B_0} \pstGeonode[PosAngle=90](9,0){B_1} \uput[90](0.5,0){$\vect{u}$} \uput[-135](0,0){\small 0} \uput[-90](2,0){\small 2} \uput[-90](4,0){\small 4} \uput[-90](6,0){\small 6} \uput[-90](8,0){\small 8} \uput[-90](10,0){\small 10} \uput[-90](12,0){\small 12} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%% fin Antilles-Guyane juin 2006 \newpage %%%%%%%%%%%%% Asie juin 2006 \hypertarget{Asie}{} \label{Asie} \lhead{\small BaccalaurŽéat S } \lfoot{\small{Asie}} \rfoot{\small{juin 2006}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large{\textbf{ \decofourleft~Baccalauréat S Asie juin 2006~\decofourright}}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique : 2~cm). On rappelle que pour tout vecteur $\vect{w}$ non nul, d'affixe $z$, on a : $|z| = \left\|\vect{w}\right\|$ et arg$(z) = \left(\vect{u},~\vect{w}\right)$ à $2\pi$ près. \bigskip \textbf{Partie A. Restitution organisée de connaissances} \medskip Prérequis : On sait que si $z$ et $z'$ sont deux nombres complexes non nuls, alors : \[\text{arg}(zz') = \text{arg}(z) + \text{arg}(z').\] Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes non nuls. Démontrer que : \[\text{arg}\left(\dfrac{z}{z'}\right) = \text{arg}(z) - \text{arg}(z')\] \medskip \textbf{Partie B} \medskip On note A et B les points d'affixes respectives $-\text{i}$ et $3\text{i}$. On note $f$ l'application qui, à tout point $M$ du plan, d'affixe $z$, distinct de A, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : \[z'= \dfrac{\text{i}z+3}{z + \text{i}}\] \begin{enumerate} \item Étude de quelques cas particuliers. \begin{enumerate} \item Démontrer que $f$ admet deux points invariants J et K appartenant au cercle de diamètre [AB]. Placer ces points sur le dessin. \item On note C le point d'affixe $c = - 2 + \text{i}$. Démontrer que le point C$'$, image de C par $f$, appartient à l'axe des abscisses. \end{enumerate} \item Pour tout point $M$ du plan distinct de A et B, démontrer que arg$\left(z'\right) = \left(\vect{M\text{A}},~ \vect{M\text{B}}\right) + \dfrac{\pi}{2}$ à $2\pi$ près. \item Étude de deux ensembles de points. \begin{enumerate} \item Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $z'$ soit un nombre complexe imaginaire pur. \item Soit $M$ d'affixe $z$ un point du cercle de diamètre [AB] privé des points A et B. À quel ensemble appartient le point $M'$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip On considère le cube ABCDEFGH représenté sur la feuille annexe. Dans tout l'exercice, l'espace est rapporté au repère orthonormal $\left(\text{A}~ ;~\vect{\text{AB}}~;~\vect{\text{AD}}~;~\vect{\text{AE}}\right)$. On note I le point de coordonnées $\left(\dfrac{1}{3}~;~1~;~1\right)$. \medskip \begin{enumerate} \item Placer le point I sur la figure. \item Le plan (ACI) coupe la droite (EH) en J. Démontrer que les droites (IJ) et (AC) sont parallèles. \item On note R le projeté orthogonal de l sur la droite (AC). \begin{enumerate} \item Justifier que les deux conditions suivantes sont vérifiées : \begin{enumerate} \item Il existe un réel $k$ tel que $\vect{\text{AR}}= k\vect{\text{AC}}$. \item $\vect{\text{IR}} \cdot \vect{\text{AC}} = 0$. \end{enumerate} \item Calculer les coordonnées du point R, \item En déduire que la distance IR s'exprime par IR $ = \dfrac{\sqrt{11}}{3}$. \end{enumerate} \item Démontrer que le vecteur $\vect{n}$ de coordonnées $(3~;~- 3~;~ 2)$ est normal au plan (ACI). En déduire une équation cartésienne du plan (ACI). \item Démontrer que la distance du point F au plan (ACI) est $\dfrac{5}{\sqrt{22}}$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Réservé aux candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Étant donné un entier naturel $n \geqslant 2$, on se propose d'étudier l'existence de trois entiers naturels $x,~y$ et $z$ tels que \[x^2 + y^2 + z^2 \equiv 2^n - 1 \: \text{ modulo }\:2^n.\] \bigskip \textbf{Partie A : Étude de deux cas particuliers} \medskip \begin{enumerate} \item Dans cette question on suppose $n = 2$. Montrer que 1, 3 et 5 satisfont à la condition précédente. \item Dans cette question, on suppose $n = 3$. \begin{enumerate} \item Soit $m$ un entier naturel. Reproduire et compléter le tableau ci-dessous donnant le reste $r$ de la division euclidienne de $m$ par 8 et le reste $R$ de la division euclidienne de $m^2$ par $8$. \[ \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $r$ &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline $R$ & & & & & & & &\\ \hline \end{tabularx}\] \item Peut-on trouver trois entiers naturels $x,\: y$ et $z$ tels que $x^2 +y^2 +z^2 \equiv 7 ~\text{modulo}~ 8$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B Étude du cas général où} \boldmath $n \geqslant 3$ \unboldmath \medskip Supposons qu'il existe trois entiers naturels $x,~y$ et $z$ tels que $x^2 + y^2 + z^2 \equiv 2^n - 1 ~ \text{modulo}~ 2^n$. \medskip \begin{enumerate} \item Justifier le fait que les trois entiers naturels $x,~ y$ et $z$ sont tous impairs ou que deux d'entre eux sont pairs. \item On suppose que $x$ et $y$ sont pairs et que $z$ est impair. On pose alors $x = 2q$, $y = 2r,~z = 2s +1$ où $q,~r,~s$ sont des entiers naturels. \begin{enumerate} \item Montrer que $x^2 + y^2 +z^2 \equiv 1 ~ \text{modulo}~ 4$. \item En déduire une contradiction. \end{enumerate} \item On suppose que $x,~ y,~ z$ sont impairs. \begin{enumerate} \item Prouver que, pour tout entier naturel $k$ non nul, $k^2 + k$ est divisible par $2$. \item En déduire que $x^2 +y^2 + z^2 \equiv 3 ~ \text{modulo}~ 8$. \item Conclure. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Pierre et Claude jouent au tennis. Les deux joueurs ont la même chance de gagner la première partie. Par la suite, lorsque Pierre gagne une partie, la probabilité qu'il gagne la suivante est $0,7$. Et s'il perd une partie, la probabilité qu'il perde la suivante est $0,8$. Dans tout l'exercice, $n$ est un entier naturel non nul. On considère les évènements : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] G$_{n}$ : \og Pierre gagne la $n$-ième partie \fg. \item[$\bullet~$] P$_{n}$ : \og Pierre perd la $n$-ième partie \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On pose : $p_{n} = p(\text{G}_{n})$ et $q_{n} = p(\text{P}_{n})$. \medskip \begin{enumerate} \item Recherche d'une relation de récurrence. \begin{enumerate} \item Déterminer $p_{1}$ puis les probabilités conditionnelles $p_{\text{G}_{1}}(\text{G}_{2})$ et $p_{\text{P}_{1}}(\text{G}_{2})$. \item Justifier l'égalité $p_{n} + q_{n} = 1$. \item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_{n+1} = 0,5 p_{n} + 0,2$. \end{enumerate} \item Étude de la suite $\left(p_{n}\right)$. On pose, pour tout entier naturel $n$ non nul, $v_{n} = p_{n} - \dfrac{2}{5}$. \begin{enumerate} \item Prouver que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique et exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$. \item En déduire l'expression de $p_{n}$ en fonction de $n$. \item Déterminer la limite de la suite $\left(p_{n}\right)$ quand $n$ tend vers $+ \infty$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère l'équation différentielle \[(\text{E}) : \quad y'+ y = \text{e}^{- x}.\] \begin{enumerate} \item Démontrer que la fonction $u$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par $u(x) = x\text{e}^{- x}$ est une solution de (E). \item Résoudre l'équation différentielle (E$_{0}) : \quad y'+ y = 0$. \item Démontrer qu'une fonction $v$, définie et dérivable sur $\R$, est solution de (E) si et seulement si $v - u$ est solution de (E$_{0}$). \item En déduire toutes les solutions de (E). \item Déterminer la fonction $f_{2}$, solution de (E), qui prend la valeur $2$ en $0$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip $k$ étant un nombre réel donné, on note $f_{k}$ la fonction définie sur l'ensemble $\R$ par : \[f_{k}(x) = (x + k)\text{e}^{- x}.\] On note $\mathcal{C}_{k}$ la courbe représentative de la fonction $f_{k}$ dans un repère orthonormal \Oij. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de $f_{k}$ en $-\infty$ et $+ \infty$. \item Calculer $f_{k}'(x)$ pour tout réel $x$. \item En déduire le tableau de variations de $f_{k}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip \begin{enumerate} \item On considère la suite d'intégrales $\left(I_{n}\right)$ définie par I$_{0} = \displaystyle\int_{-2}^0 \text{e}^{- x}\:\text{d}x$ et pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ par : $I_{n} = \displaystyle\int_{-2}^0 x^n\text{e}^{- x}\:\text{d}x$. \begin{enumerate} \item Calculer la valeur exacte de l'intégrale I$_{0}$. \item En utilisant une intégration par parties, démontrer l'égalité : \[I_{n+1} = (-2)^{n+1} \text{e}^2 + (n + 1)I_{n}.\] \item En déduire les valeurs exactes des intégrales I$_{1}$ et I$_{2}$. \end{enumerate} \item Le graphique ci-dessous représente une courbe $\mathcal{C}_{k}$ qui est la représentation graphique d'une fonction $f_{k}$ définie à la partie B. \end{enumerate} \bigskip \parbox{0.4\textwidth}{ \textbf{a.} À l'aide des renseignements donnés par le graphique, déterminer la valeur du nombre réel $k$ correspondant. \textbf{b.} Soit $\mathcal{S}$ l'aire de la partie hachurée (en unité d'aire) ; exprimer $\mathcal{S}$ en fonction de I$_{1}$ et I$_{0}$ et en déduire sa valeur exacte.} \hfill \parbox{0.57\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-4,-2)(4,3) \psaxes[linewidth=1pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-4,-2)(4,3) \psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(1,1) \uput[dl](0,0){O} \uput[d](4.1,0.1){$x$} \uput[r](0,3){$y$} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.22}{4}{2.71828 x neg exp x 2 add mul} \pscustom[fillstyle=vlines,fillcolor=lightgray]{ \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{0}{2.71828 x neg exp x 2 add mul} \psline(0,0)(-2,0)} \end{pspicture}} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 (candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité)} \vspace{1cm} \psset{unit=3cm,linewidth=1pt} \begin{pspicture}(3,3) \psframe(0,0)(2,2) %ABFE \psline(0,2)(0.75,2.75)(2.75,2.75)(2,2)%EFGH \psline(2.75,2.75)(2.75,0.75)(2,0)%BCG \psline[linestyle=dashed](0,0)(0.75,0.75)%AD \psline[linestyle=dashed](0.75,0.75)(0.75,2.75)%DH \psline[linestyle=dashed](2.75,0.75)(0.75,0.75)%DC \uput[dr](0.75,0.75){D} \uput[dl](0,0){$A$} \uput[dr](2,0){B} \uput[dr](2.75,0.75){C} \uput[u](0.75,2.75){H} \uput[ul](0,2){E} \uput[ul](2,2){F} \uput[u](2.5,2.75){G} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%% fin Asie juin 2006 \newpage %%%%%%%%%%%%% Centres étrangers juin 2006 \hypertarget{Centres etrangers}{} \label{Centres etrangers} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Centres étrangers}} \rfoot{\small{juin 2006}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Centres étrangers juin 2006~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A.} Restitution organisée de connaissances \medskip \fbox{\begin{minipage}{\textwidth} Prérequis : On rappelle les deux résultats suivants :\\ \textbf{i.} Si $z$ est un nombre complexe non nul, on a l'équivalence suivante : \[\left\{\begin{array}{l c l} |z|&=&r\\ \text{arg}~z &=& \theta~\text{à}~2\pi~\text{près}\\ \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l cl}z&=&r(\cos \theta + \text{i}\sin \theta)\\ r & > & 0\\ \end{array}\right.\] \textbf{ii.} Pour tous nombres réels $a$ et $b$ : \[\left\{\begin{array}{l cl} \cos (a + b)&=&\cos a\cos b - \sin a\sin b\\ \sin (a + b)&=&\sin a\cos b + \sin b \cos a\\ \end{array}\right.\] \end{minipage}} \medskip Soient $z_{1}$ et $z_{2}$ deux nombres complexes non nuls. Démontrer les relations : \[\left|z_{1}z_{2}\right| = \left|z_{1}\right|\left|z_{2}\right|~\text{et arg}\left(z_{1}z_{2}\right) = \text{arg}\left(z_{1}) + \text{arg}(z_{2}\right)~\text{à}~2\pi~\text{près}\] \medskip \textbf{Partie B.} \medskip Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration pour la réponse indiquée. Dans le cas d'une proposition fausse, la démonstration consistera à fournir un contre-exemple. Une réponse sans démonstration ne rapporte pas de point. On rappelle que si $z$ est un nombre complexe, $\overline{z}$ désigne le conjugué de $z$ et $|z|$ désigne le module de $z$. \medskip \begin{enumerate} \item Si $z = - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}$, alors $z^4$ est un nombre réel. \item Si $z + \overline{z} = 0$, alors $z = 0$. \item Si $z + \dfrac{1}{z} = 0$, alors $z = \text{i}$ ou $z = - \text{i}$. \item Si $|z| = 1$ et si $|z + z'| = 1$, alors $z' = 0$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Réservé aux candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité} \medskip On lance un dé tétraédrique dont les quatre faces portent les nombres 1, 2, 3 et 4. On lit le nombre sur la face cachée. Pour $k \in \{1~;~2~;~3~;~4)$, on note $p_{i}$ la probabilité d'obtenir le nombre $k$ sur la face cachée. Le dé est déséquilibré de telle sorte que les nombres $p_{1},~p_{2},~p_{3}$ et $p_{4}$ dans cet ordre, forment une progression arithmétique. \medskip \begin{enumerate} \item Sachant que $p_{4} = 0,4$ démontrer que $p_{1}= 0,1,~p_{2} = 0,2$ et $p_{3} = 0,3$. \item On lance le dé trois fois de suite. On suppose que les lancers sont deux à deux indépendants. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité d'obtenir dans l'ordre les nombres 1, 2, 4 ? \item Quelle est la probabilité d'obtenir trois nombres distincts rangés dans l'ordre croissant ? \end{enumerate} \item On lance $10$ fois de suite le dé. On suppose les lancers deux à deux indépendants. On note $X$ la variable aléatoire qui décompte le nombre de fois où le chiffre 4 est obtenu. \begin{enumerate} \item Pour $1 \leqslant i \leqslant 10$, exprimer en fonction de $i$ la probabilité de l'évènement $(X = i$). \item Calculer l'espérance mathématique de $X$. Interpréter le résultat obtenu. \item Calculer la probabilité de l'évènement ($X \geqslant 1$). On donnera une valeur arrondie au millième. \end{enumerate} \item Soit $n$ un entier naturel non nul. On lance $n$ fois le dé, les lancers étant encore supposés indépendants deux à deux. On note $U_{n}$ la probabilité d'obtenir pour la première fois le nombre 4 au $n$-ième lancer. \begin{enumerate} \item Montrer que $\left(U_{n}\right)$ est une suite géométrique et qu'elle est convergente. \item Calculer $S_{n} = \displaystyle\sum_{i = 1}^n U_{i}$ puis étudier la convergence de la suite $\left(S_{n}\right)$. \item Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $S_{n} > 0,999$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Réservé aux candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité} \medskip Le but de l'exercice est d'étudier certaines propriétés de divisibilité de l'entier $4^n -1$, lorsque $n$ est un entier naturel. On rappelle la propriété connue sous le nom de petit théorème de Fermat : \og si $p$ est un nombre entier et $a$ un entier naturel premier avec $p$, alors $a^{p-1} -1 \equiv 0 \mod p $\fg. \bigskip \textbf{Partie A.} Quelques exemples \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,~ 4^n$ est congru à $1$ modulo $3$. \item Prouver à l'aide du petit théorème de Fermat, que $4^{28} - 1$ est divisible par $29$. \item Pour $1 \leqslant n \leqslant 4$ , déterminer le reste de la division de $4^n$ par $17$. En déduire que, pour tout entier $k$, le nombre $4^{4k} - 1$ est divisible par $17$. \item Pour quels entiers naturels $n$ le nombre $4^n - 1$ est-il divisible par $5$ ? \item À l'aide des questions précédentes. déterminer quatre diviseurs premiers de $4^{28} - 1$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B.} Divisibilité par un nombre premier \medskip Soit $p$ un nombre premier différent de 2. \begin{enumerate} \item Démontrer qu'il existe un entier $n \geqslant 1$ tel que $4^n \equiv 1 \mod p$. \item Soit $n \geqslant 1$ un entier naturel tel que $4^n \equiv1 \mod p$. On note $b$ le plus petit entier strictement positif tel que $4^b \equiv 1 \mod p$ et $r$ le reste de la division euclidienne de $n$ par $b$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $4^r \equiv 1 \mod p$. En déduire que $r = 0$. \item Prouver L'équivalence : $4^n - 1$ est divisible par $p$ si et seulement si $n$ est multiple de $b$. \item En déduire que $b$ divise $p - 1$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On désigne par $f$ la fonction définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par \[f(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{-x}}.\] On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij, (unité graphique : 5~cm). \bigskip \textbf{Partie A.} Étude de la fonction $f$ \medskip \begin{enumerate} \item Vérifier que pour tout nombre réel $x ~:~ f(x) = \dfrac{ \text{e}^{x}}{1 + \text{e}^x}$. \item Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+ \infty$. Interpréter graphiquement les résultats obtenus. \item Calculer $f'(x)$ pour tout nombre réel $x$. En déduire les variations de $f$ sur $\R$. \item Dresser le tableau des variations de $f$. \item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ et ses asymptotes éventuelles dans le repère \Oij. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B.} Quelques propriétés graphiques \medskip \begin{enumerate} \item On considère les points $M$ et $M'$ de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisses respectives $x$ et~$-x$. Déterminer les coordonnées du milieu $A$ du segment [$MM'$]. Que représente le point $A$ pour la courbe $\mathcal{C}$ ? \item Soit $n$ un entier naturel. On désigne par $D_{n}$ le domaine du plan limité par la droite d'équation $y = 1$, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = n,~\mathcal{A}_{n}$ désigne l'aire du domaine $D_{n}$ exprimée en unité d'aire. \begin{enumerate} \item Calculer $\mathcal{A}_{n}$. \item Étudier la limite éventuelle de $\mathcal{A}_{n}$, lorsque $n$ tend vers $+\infty$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C.} Calcul d'un volume. \medskip Soit $\lambda$ un réel positif, On note $\mathcal{V}(\lambda)$ l'intégrale $\displaystyle\int_{- \lambda}^0 \pi[f(x)]^2 \:\text{d}x$. On admet que $\mathcal{V}(\lambda)$ est une mesure. exprimée en unité de volume, du volume engendré par la rotation autour de l'axe des abscisses, de la portion de la courbe $\mathcal{C}$ obtenue pour $- \lambda \leqslant x \leqslant 0$. \begin{enumerate} \item Déterminer les nombres réels $a$ et $b$ tels que : \[\text{pour tout nombre réel}~x : \dfrac{\text{e}^{2x}}{\left(\text{e}^x + 1\right)^2} = \dfrac{a\text{e}^x}{\text{e}^x + 1} + \dfrac{b\text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 1\right)^2}\] \item Exprimer $\mathcal{V}(\lambda)$ en fonction de $\lambda$. \item Déterminer la limite de $\mathcal{V}(\lambda)$ lorsque $\lambda$ tend vers $+ \infty$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Commun àˆ tous les candidats} \medskip ABCDEFGH est le cube d'arête 1 représenté sur la feuille annexe qui sera complétée et rendue avec la copie. L'espace est rapporté au repère orthonormal $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}}~;~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$ \medskip \textbf{Partie A.} Un triangle et son centre de gravité. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que le triangle BDE est équilatéral. \item Soit I le centre de gravité du triangle BDE. \begin{enumerate} \item Calculer les coordonnées de I. \item Démontrer que $\vect{\text{AI}} = \dfrac{1}{3}\vect{\text{AG}}$. Que peut-on en déduire pour les points A, I, G ? \end{enumerate} \item Prouver que I est le projeté orthogonal de A sur le plan (BDE). \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B.} Une droite particulière \medskip Pour tout nombre réel $k$, on définit deux points $M_{k}$ et $N_{k}$, ainsi qu'un plan $\mathcal{P}_{k}$ de la façon suivante : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $M_{k}$ est le point de la droite (AG) tel que $\vect{\text{A}M_{k}} = k\vect{\text{AG}}$ ; \item[$\bullet~$] $\mathcal{P}_{k}$ est le plan passant par $M_{k}$ et parallèle au plan (BDE) ; \item[$\bullet~$] $N_{k}$ est le point d'intersection du plan $\mathcal{P}_{k}$ et de la droite (BC). \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Identifier $\mathcal{P}_{\frac{1}{3}},~M_{\frac{1}{3}}$ et $N_{\frac{1}{3}}$ en utilisant des points déjà définis. Calculer la distance $M_{\frac{1}{3}}N_{\frac{1}{3}}$. \item Calcul des coordonnées de $N_{k}$. \begin{enumerate} \item Calculer les coordonnées de $M_{k}$ dans le repère $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}}~;~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$. \item Déterminer une équation du plan $\mathcal{P}_{k}$ dans ce repère. \item En déduire que le point $N_{k}$ a pour coordonnées $(1~;~3k - 1~;~0)$. \end{enumerate} \item Pour quelles valeurs de $k$ la droite $\left(M_{k}N_{k}\right)$ est-elle orthogonale à la fois aux droites (AG) et (BC) ? \item Pour quelles valeurs de $k$ la distance $M_{k}N_{k}$ est-elle minimale ? \item Tracer sur la figure donnée en annexe, la section du cube par le plan $\mathcal{P}_{\frac{1}{2}}$. Tracer la droite $\left(M_{\frac{1}{2}}N_{\frac{1}{2}} \right)$ sur la même figure. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE} \vspace{1cm} \textbf{Exercice 4 (commun à tous les candidats)} \vspace{1cm} \textbf{Feuille à compléter et à rendre avec la copie} \vspace{4cm} \begin{pspicture}(6,6) \psset{unit=3cm,linewidth=1pt} \psframe(0,0)(2,2) %ABFE \psline(0,2)(0.75,2.75)(2.75,2.75)(2,2)%EFGH \psline(2.75,2.75)(2.75,0.75)(2,0)%BCG \psline[linestyle=dashed](0,0)(0.75,0.75)%AD \psline[linestyle=dashed](0.75,0.75)(0.75,2.75)%DH \psline[linestyle=dashed](2.75,0.75)(0.75,0.75)%DC \uput[dr](0.6,0.9){A} \uput[dl](0,0){B} \uput[dr](2,0){C} \uput[dr](2.75,0.75){D} \uput[dr](0.6,3){E} \uput[ul](0,2){F} \uput[ul](2,2){G} \uput[ur](2.8,2.8){H} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%% fin Centres étrangers juin 2006 \newpage %%%%%%%%%%%%% Métropole juin 2006 \hypertarget{France2}{} \label{France2} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small 15 juin 2006} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole 15 juin 2006~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soit \Oijk{} un repère orthonormal de l'espace. On considère les points \[\text{A}(2~;~4~;~1),\: \text{B}(0~;~4~;~-3),\:\text{C}(3~;~1~;~-3),\:\text{D}(1~;~0~;~-2),\: \text{E}(3~;~2~;~-1),\: \text{I}\left(\dfrac{3}{5}~;~4~;~- \dfrac{9}{5}\right)\] \emph{Pour chacune des cinq affirmations suivantes, dire, sans le justifier, si elle est vraie ou si elle est fausse. Pour chaque question, il est compté un point si la réponse est exacte et zéro sinon.} \medskip \begin{enumerate} \item Une équation du plan (ABC) est : $2x + 2y - z - 11 = 0$. \item Le point E est le projeté orthogonal de D sur le plan (ABC). \item Les droites (AB) et (CD) sont orthogonales. \item La droite (CD) est donnée par la représentation paramétrique suivante : \[(\text{CD})\quad \left\{\begin{array}{l c r} x &=& - 1+2t \\ y&=&- 1+\phantom{2}t\\ z &= &1 - \phantom{2}t\\ \end{array}\right. \quad (t \in \R).\] \item Le point I est sur la droite (AB). \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par \[f(x) = x^2 \text{e}^{1 - x}.\] On désigne par $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm. \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de $f$ en $- \infty$ et en $+ \infty$ ; quelle conséquence graphique pour $\mathcal{C}$ peut-on en tirer ? \item Justifier que $f$ est dérivable sur $\R$. Déterminer sa fonction dérivée $f'$. \item Dresser le tableau de variations de $f$ et tracer la courbe $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \item Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère l'intégrale $I_{n}$ définie par \[ I_{n} = \displaystyle\int_{0}^1 x^n\text{e}^{1 - x}\:\text{d}x.\] \begin{enumerate} \item Établir une relation entre $I_{n+1}$ et $I_{n}$. \item Calculer I$_{1}$, puis I$_{2}$. \item Donner une interprétation graphique du nombre I$_{2}$. On la fera apparaître sur le graphique de la question 1. c. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout nombre réel $x$ de [0 ; 1] et pour tout entier naturel $n$ non nul, on a l'inégalité suivante : \[x^n \leqslant x^n\text{e}^{1 - x} \leqslant x^n \text{e}.\] \item En déduire un encadrement de $I_{n}$ puis la limite de $I_{n}$ quand $n$ tend vers~$+ \infty$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip On considère le plan complexe $\mathcal{P}$ rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. Dans tout l'exercice, $\mathcal{P}\verb+\+ \{\text{O}\}$ désigne le plan $\mathcal{P}$ privé du point origine O. \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Question de cours} On prend comme pré-requis les résultats suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item Si $z$ et $z'$ sont deux nombres complexes non nuls, alors : arg$(zz') = \text{arg}(z) + \text{arg}(z')$ à $2k\pi$ près, avec k entier relatif \item Pour tout vecteur $\vect{w}$ non nul d'affixe $z$ on a : arg$(z) = \left(\vect{u}~;~\vect{w}\right)$ à $2k\pi$ près, avec $k$ entier relatif \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Soit $z$ et $z'$ des nombres complexes non nuls, démontrer que arg$\left(\dfrac{z}{z'}\right) = \text{arg}(z)- \text{arg}(z')$ à $2k\pi$ près, avec $k$ entier relatif. \item Démontrer que si A, B, C sont trois points du plan, deux à deux distincts, d'affixes respectives $a,~ b,~ c$, on a : arg$\left(\dfrac{c - a}{b - a}\right) = \left(\vect{\text{AB}},~ \vect{\text{AC}}\right)$ à $2k\pi$ près, avec $k$ entier relatif. \end{enumerate} \item On considère l'application $f$ de $\mathcal{P}\verb+\+ \{\text{O}\}$ dans $\mathcal{P}\verb+\+ \{\text{O}\}$ qui, au point $M$ du plan d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par : $z'= \dfrac{1}{\overline{z}}$. On appelle U et V les points du plan d'affixes respectives $1$ et i. \begin{enumerate} \item Démontrer que pour $z \neq 0$, on a arg$\left(z'\right) = \text{arg}(z)$ à $2k\pi$ près, avec $k$ entier relatif. En déduire que, pour tout point $M$ de $\mathcal{P}\verb+\+ \{\text{O}\}$ les points $M$ et $M' = f(M)$ appartiennent à une même demi-droite d'origine O. \item Déterminer l'ensemble des points $M$ de $\mathcal{P}\verb+\+ \{\text{O}\}$ tels que $f(M) = M$. \item $M$ est un point du plan $\mathcal{P}$ distinct de O, U et V, on admet que $M'$ est aussi distinct de O, U et V. Établir l'égalité $\dfrac{z' - 1}{z' - \text{i}}= \dfrac{1}{\text{i}}\left(\dfrac{\overline{z} - 1}{\overline{z} + \text{i}} \right) = -\text{i}\overline{\left(\dfrac{z - 1}{z - \text{i}} \right)}$. En déduire une relation entre arg$\left(\dfrac{z' - 1}{z' - \text{i}}\right)$ et arg$\left(\dfrac{z - 1}{z - \text{i}} \right)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit $z$ un nombre complexe tel que $z \neq 1$ et $z \neq \text{i}$ et soit $M$ le point d'affixe $z$. Démontrer que $M$ est sur la droite (UV) privée de U et de V si et seulement si $\dfrac{z - 1}{z - \text{i}}$ est un nombre réel non nul. \item Déterminer l'image par $f$ de la droite (UV) privée de U et de V. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \textbf{Partie A : Question de cours} \medskip \begin{enumerate} \item Énoncer le théorème de Bézout et le théorème de Gauss. \item Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Il s'agit de résoudre dans $\Z$ le système \[(S) \quad \left\{ \begin{array}{l c l r} n& \equiv & 13 \quad &(19)\\ n & \equiv & 6 \quad &(12)\\ \end{array}\right.\] \begin{enumerate} \item Démontrer qu'il existe un couple $(u ~;~ v)$ d'entiers relatifs tel que : $19u + 12v = 1$. (On ne demande pas dans cette question de donner un exemple d'un tel couple). Vérifier que, pour un tel couple, le nombre $N = 13\times 12v + 6\times 19u$ est une solution de ($S$). \item \begin{enumerate} \item Soit $n_{0}$ une solution de ($S$), vérifier que le système ($S$) équivaut à \[\left\{ \begin{array}{l c l r} n& \equiv &n_{0}\quad &(19)\\ n & \equiv & n_{0}\quad &(12)\\ \end{array}\right.\] \item Démontrer que le système $\left\{ \begin{array}{l c lr} n& \equiv &n_{0}\quad &(19)\\ n & \equiv & n_{0}\quad &(12)\\ \end{array}\right.$ équivaut à $n \equiv n_{0}\quad (12 \times 19)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Trouver un couple $(u~;~v)$ solution de l'équation $19u + 12v = 1$ et calculer la valeur de $N$ correspondante. \item Déterminer l'ensemble des solutions de ($S$) (on pourra utiliser la question 2. b.). \end{enumerate} \item Un entier naturel $n$ est tel que lorsqu'on le divise par 12 le reste est 6 et lorsqu'on le divise par 19 le reste est 13. On divise $n$ par $228 = 12 \times 19$. Quel est le reste $r$ de cette division ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \begin{enumerate} \item Dans un stand de tir, un tireur effectue des tirs successifs pour atteindre un ballon afin de le crever. À chacun de ces tirs, il a la probabilité $0,2$ de crever le ballon. Le tireur s'arrête quand le ballon est crevé. Les tirs successifs sont supposés indépendants. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité qu'au bout de deux tirs le ballon soit intact ? \item Quelle est la probabilité que deux tirs suffisent pour crever le ballon ? \item Quelle est la probabilité $p_{n}$ que $n$ tirs suffisent pour crever le ballon ? \item Pour quelles valeurs de $n$ a-t-on $p_{n} > 0,99$ ? \end{enumerate} \item Ce tireur participe au jeu suivant : Dans un premier temps il lance un dé tétraédrique régulier dont les faces sont numérotées de 1 à 4 (la face obtenue avec un tel dé est la face cachée) ; soit $k$ le numéro de la face obtenue. Le tireur se rend alors au stand de tir et il a droit à $k$ tirs pour crever le ballon. Démontrer que, si le dé est bien équilibré, la probabilité de crever le ballon est égale à \np{0,4096} (on pourra utiliser un arbre pondéré). \item Le tireur décide de tester le dé tétraédrique afin de savoir s'il est bien équilibré ou s'il est pipé. Pour cela il lance 200 fois ce dé et il obtient le tableau suivant : \medskip \begin{center} \begin{tabular}{|*{5}{c|}}\hline Face $k$&1 &2 &3 &4 \\ \hline Nombre de sorties de la face $k$& 58 &49 &52 &41 \\ \hline \end{tabular} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer les fréquences de sorties $f_{k}$ observées pour chacune des faces. \item On pose $d^2 = \Sigma_{k = 1}^{4} \left(f_{k} - \dfrac{1}{4}\right)^2$. Calculer $d^2$. \item On effectue maintenant \np{1000} simulations des 200 lancers d'un dé tétraédrique bien équilibré et on calcule pour chaque simulation le nombre $d^2$. On obtient pour la série statistique des \np{1000} valeurs de $d^2$ les résultats suivants : \medskip \hspace*{-1.3cm}\begin{tabular}{|*{7}{c|}}\hline Minimum & D$_{1}$&Q$_{1}$ &Médiane&Q$_{3}$&D$_{9}$ &Maximum\\ \hline \np{0,00124} & \np{0,00192}& \np{0,00235} &\np{0,00281} &\np{0,00345} &\np{0,00452} & \np{0,01015}\\ \hline \end{tabular} \medskip Au risque de $10$\,\%, peut-on considérer que ce dé est pipé 7 \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Métropole juin 2006 \newpage %%%%%%%%%%%%% La Réunion juin 2006 \hypertarget{La Reunion}{} \label{La Reunion} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{La Réunion}} \rfoot{\small{15 juin 2006}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,5cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S La Réunion 15 juin 2006~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]1 ~;~ +\infty[$ par \[f(x) = \dfrac{x}{\ln x}\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $1$ et en $+\infty$. \item Étudier les variations de la fonction $f$. \end{enumerate} \item Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $u_{0} = 5$ et $u_{n+1} =f\left(u_{n}\right)$ pour tout entier naturel~$n$. \begin{enumerate} \item On a tracé la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ sur la figure donnée en annexe qui sera rendue avec la copie. Construire la droite d'équation $y = x$ et les points $M_{1}$ et $M_{2}$ de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisses respectives $u_{1}$ et $u_{2}$. Proposer une conjecture sur le comportement de la suite $\left(u_{n}\right)$. \item Démontrer que pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n} \geqslant \text{e}$ (on pourra utiliser la question 1. b.). \item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers un réel $\ell$ de l'intervalle $[\text{e} ~ ;~ +\infty[$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On rappelle que la fonction $f$ est continue sur l'intervalle $]1 ~;~ +\infty[$. \medskip \begin{enumerate} \item En étudiant de deux manières la limite de la suite $\left(f\left(u_{n}\right)\right)$, démontrer que $f(\ell) = \ell$. \item En déduire la valeur de $\ell$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Première partie} \medskip Calculer l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^1 x\text{e}^x \:\text{d}x$. \bigskip \textbf{Deuxième partie} \medskip La figure ci-dessous représente une cible rectangulaire OIMN telle que, dans le repère orthonormal $\left(\text{O}~;~\vect{\text{OI}},~\vect{\text{OJ}}\right)$, la ligne courbe $\mathcal{C}$ reliant le point O au point M est une partie de la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x\text{e}^x$. Cette courbe partage la cible OIMN en deux parties A et B comme l'indique la figure ci-dessous. Un jeu consiste à lancer une fléchette qui atteint soit l'extérieur de la cible, soit l'une des parties A ou B. On admet que la fléchette ne peut atteindre aucune des frontières de la cible, ni la courbe $\mathcal{C}$. \begin{center} \psset{unit=5cm,linewidth=1pt} \begin{pspicture}(1,2.71828) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psframe(1,2.71828) \psplot{0}{1}{ 2.71828 x exp x mul} \uput[dl](0,0){O} \uput[dr](1,0){I} \uput[l](0,1){J} \uput[ul](0,2.71828){N} \uput[ur](1,2.71828){M} \uput[u](0.6,0.45){partie A} \uput[u](0.2,2){partie B} \end{pspicture} \end{center} Une étude statistique a montré que la fléchette tombe à l'extérieur de la cible avec une probabilité de $\dfrac{1}{2}$ et que les probabilités d'atteindre les parties A et B sont proportionnelles à leurs aires respectives. \begin{enumerate} \item Démontrer que la probabilité d'atteindre la partie A est égale à $\dfrac{1}{2\text{e}}$. Quelle est la probabilité d'atteindre la partie B ? \item On lance de manière indépendante trois fléchettes. \begin{enumerate} \item Soit $X$ la variable aléatoire qui est égale au nombre de fléchettes ayant atteint la partie A. Définir la loi de probabilité de $X$. En déduire la valeur exacte de son espérance mathématique. \item Soit E l'évènement : \og Exactement deux fléchettes atteignent la partie A \fg. Calculer une valeur approchée au millième de la probabilité de E. \item Soit F l'évènement : \og les trois fléchettes atteignent la partie B \fg. Calculer la probabilité de F (on donnera la valeur exacte). Sachant qu'aucune fléchette n'a atteint l'extérieur de la cible, quelle est la probabilité que toutes les trois se trouvent dans la partie B ? \end{enumerate} \item On lance cette fois de manière indépendante $n$ fléchettes. \begin{enumerate} \item Déterminer en fonction de $n$ la probabilité $p_{n}$ pour qu'au moins une des fléchettes atteigne la partie A. \item Déterminer le plus petit naturel $n$ tel que $p_{n} \geqslant 0,99$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. L'unité graphique est 2 cm. On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $+ \dfrac{\pi}{2}$. On réalisera une figure que l'on complétera au fur et à mesure des questions. \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation $\dfrac{z - 4}{z} = \text{i}$. Écrire la solution sous forme algébrique. \item Résoudre dans $\C$ l'équation $z^2 - 2z + 4 = 0$. Écrire les solutions sous forme exponentielle. \item Soient A, B, A$'$ et D les points du plan complexe d'affixes respectives : \[a = 2, \qquad b = 4, \qquad a' = 2\text{i}\quad \text{et} \quad d = 2 + 2\text{i}.\] Quelle est la nature du triangle ODB ? \item Soient E et F les points d'affixes respectives $e = 1 - \text{i}\sqrt{3}$ et $f = 1 + \text{i}\sqrt{3}$. Quelle est la nature du quadrilatère OEAF ? \item Soit $\mathcal{C}$ le cercle de centre A et de rayon 2. Soit $\mathcal{C}'$ le cercle de centre A$'$ et de rayon 2. Soit $r$ la rotation de centre O et d'angle $+ \dfrac{\pi}{2}$ \begin{enumerate} \item On désigne par E$'$ l'image par la rotation $r$ du point E. Calculer l'affixe $e'$ du point E$'$. \item Démontrer que le point E$'$ est un point du cercle $\mathcal{C}'$. \item Vérifier que : $e - d = \left(\sqrt{3} + 2\right) \left(e' - d\right)$. En déduire que les points E, E$'$ et D sont alignés. \end{enumerate} \item Soit D$'$ l'image du point D par la rotation $r$. Démontrer que le triangle EE$'$D$'$ est rectangle. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \emph{On complètera la figure donnée en annexe} 2 \emph{au fur et à mesure des questions, et on la rendra avec la copie.} \medskip ABCD est un carré tel que $\left(\vect{\text{AB}},~ \vect{\text{AD}}\right) = + \dfrac{\pi}{2}$ . Soit I le centre du carré ABCD. Soit J le milieu du segment [CD]. On désigne par $s$ la similitude directe qui transforme A en I et B en J. \medskip \emph{Le but de l'exercice est d'étudier certaines propriétés de la similitude} $s$. \emph{Dans la partie} A \emph{on utilisera des raisonnements géométriques ; dans la partie} B \emph{on utilisera les nombres complexes.} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le rapport et l'angle de la similitude $s$. \item On désigne par $\Omega$ le centre de cette similitude. $\Gamma_{1}$ est le cercle de diamètre [AI], $\Gamma_{2}$ est le cercle de diamètre [BJ]. Démontrer que $\Omega$ est l'un des points d'intersection de $\Gamma_{1}$ et $\Gamma_{2}$. Placer $\Omega$ sur la figure. \item Donner l'image par $s$ de la droite (BC). En déduire le point image par $s$ du point C, puis le point K image par $s$ du point I. \item On pose $h = s \circ s$ (composée de $s$ avec elle même). \begin{enumerate} \item Donner la nature de la transformation $h$ (préciser ses éléments caractéristiques). \item Trouver l'image du point A par $h$. En déduire que les points A, $\Omega$ et K sont alignés. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère $\left(\text{A}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$ orthonormal direct, choisi de manière à ce que les points A, B, C et D aient comme affixes respectives 0, 2 , 2 + 2i et 2i. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que l'écriture complexe de la similitudes est $z' = \dfrac{1}{2} \text{i}z + 1 + \text{i}$. \item Calculer l'affixe du point $\Omega$. \item Calculer l'affixe du point E tel que $s$(E) = A. Placer le point E sur la figure. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Pour chacune des questions $1, 2, 3$ et $4$, \textbf{parmi les quatre affirmations proposées, deux sont exactes et deux sont fausses}. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et les deux affirmations qu'il pense exactes. Aucune justification n'est demandée. Les quatre questions sont indépendantes et sont notées sur $1$ point. Toute réponse juste rapporte $0,5$ point. Donner plus de $2$ réponses à une question entraîne la nullité de la question.} \medskip L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk. \medskip \begin{enumerate} \item Soit $P$ le plan d'équation $2x +3y + 4z - 1 = 0$. \begin{enumerate} \item La distance du point O au plan $P$ est égale à 1. \item La distance du point O au plan $P$ est égale à $\dfrac{1}{\sqrt{29}}$. \item Le vecteur $\vect{n}\left(1~;~\dfrac{3}{2}~;~2\right)$ est un vecteur normal au plan $P$. \item Le plan $Q$ d'équation $-5x + 2y + z = 0$ est parallèle au plan $P$. \end{enumerate} \item On désigne par $P$ le plan d'équation $2x + y - z = 0$, et par $D$ la droite passant par le point A$(1~;~ 1~;~ 1)$ et de vecteur directeur $\vect{u} \left(1~;~-4~;~-2\right)$. \begin{enumerate} \item La droite $D$ est parallèle au plan $P$. \item La droite $D$ est orthogonale au plan $P$. \item La droite $D$ est sécante avec le plan $P$. \item Un système d'équations paramétriques de $D$ est $\left\{\begin{array}{l c l} x &=&1 + \phantom{4}t \\ y &=&1 - 4t\\ z &=&1 - 2t\\ \end{array}\right. ~(t~\in~\R).$ \end{enumerate} \item On désigne par E l'ensemble des points $M(x~;~y~;~z)$ tels que : $x+y+z = 3$ et $2x -z = 1$. Soit le point A$(1~;~ 1~;~1)$. \begin{enumerate} \item L'ensemble E contient un seul point, le point A. \item L'ensemble E est une droite passant par A. \item L'ensemble E est un plan passant par A. \item L'ensemble E est une droite de vecteur directeur $\vect{u}(1~;~-3~;~2)$. \end{enumerate} \item ABCD est un tétraèdre quelconque. Soit $P$ le plan passant par A et orthogonal à la droite (BC). \begin{enumerate} \item Le plan $P$ contient toujours le point D. \item Le plan $P$ contient toujours la hauteur (AH) du triangle ABC. \item Le plan $P$ est toujours l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que : \[\vect{\text{B}M} \cdot\: \vect{\text{BC}} = \vect{\text{BA}} \cdot\: \vect{\text{BC}}.\] \item Le plan $P$ est toujours le plan médiateur du segment [BC]. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE 1} \vspace{1cm} \emph{À compléter et à rendre avec la copie} \vspace{1cm} Figure de l'exercice 1 \vspace{1cm} \psset{unit=2cm,arrowsize=2pt 4} \begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(5.5,5.2) \psgrid[gridwidth=1.5pt,gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10,gridcolor=orange](0,0)(5,5) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=2](0,0)(0,0)(5.5,5.2) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[dl](0,0){O} \uput[u](5.1,3.2){\blue $\mathcal{C}$} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1.28}{5.2}{x x ln div} \end{pspicture} \end{center} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE 2} \vspace{1cm} \emph{À compléter et à rendre avec la copie} \vspace{1cm} Figure de l'exercice 3 \vspace{6cm} \begin{pspicture}(11,5) \psframe(6,0)(11,5) \uput[dl](6,0){A} \uput[dr](11,0){B} \uput[ur](11,5){C} \uput[ul](6,5){D} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%% fin La Réunion juin 2006 \newpage %%%%%%%%%%%%% Liban juin 2006 \hypertarget{Liban}{} \label{Liban} \lfoot{\small{Liban}} \rfoot{\small{mai 2006}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Liban mai 2006~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Dans l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk, on donne les points A(2~;~1~;~3), B$(-3~;~-1~;~7)$ et C(3~;~2~;~4). \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés. \item Soit (d) la droite de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c r} x &= & - 7 + 2t\\ y &= & - 3t\\ z &= & 4 + \phantom{2}t\\ \end{array}\right.$ \begin{enumerate} \item Montrer que la droite (d) est orthogonale au plan (ABC). \item Donner une équation cartésienne du plan (ABC). \end{enumerate} \item Soit H le point commun à la droite (d) et au plan (ABC). \begin{enumerate} \item Montrer que H est le barycentre de (A~;~$- 2$), (B~;~$- 1$) et (C~;~2). \item Déterminer la nature de l'ensemble $\Gamma_{1}$, des points $M$ de l'espace tels que \[\left(-2 \vect{M\text{A}} - \vect{M\text{B}} +2\vect{M\text{C}}\right) \cdot \left(\vect{M\text{B}} - \vect{M\text{C}}\right) = 0\] En préciser les éléments caractéristiques. \item Déterminer la nature de l'ensemble $\Gamma_{2}$, des points $M$ de l'espace tels que \[\left\|-2 \vect{M\text{A}} - \vect{M\text{B}} +2\vect{M\text{C}}\right\| = \sqrt{29}\] En préciser les éléments caractéristiques. \item Préciser la nature et donner les éléments caractéristiques de l'intersection des ensembles $\Gamma_{1}$ et $\Gamma_{2}$. \item Le point S $(- 8~ ;~ 1~ ;~ 3)$ appartient-il à l'intersection des ensembles $\Gamma_{1}$ et $\Gamma_{2}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv. On prendra 2~cm pour unité graphique. Soit A le point d'affixe i et B le point d'affixe 2. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer l'affixe du point B$_{1}$ image de B par l'homothétie de centre A et de rapport $\sqrt{2}$. \item Déterminer l'affixe du point B$'$ image de B$_{1}$ par la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$. Placer les points A, B et B$'$. \end{enumerate} \item On appelle $f$ la transformation du plan dans lui-même qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que \[ z' = (1 + \text{i})z + 1.\] \begin{enumerate} \item Montrer que B a pour image B$'$ par $f$. \item Montrer que A est le seul point invariant par $f$. \item Établir que pour tout nombre complexe $z$ distinct de i,\: $\dfrac{z' - z}{\text{i} - z} = - \text {i}$. Interpréter ce résultat en termes de distances puis en termes d'angles. En déduire une méthode de construction de M$'$ À partir de $M$, pour $M$ distinct de A. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner la nature et préciser les éléments caractéristiques de l'ensemble $\Sigma_{1}$ des points $M$ du plan dont l'affixe $z$ vérifie $|z - 2| = \sqrt{2}$. \item Démontrer que $z' - 3-2\text{i} = (1 + \text{i})(z -2)$. En déduire que si le point $M$ appartient À $\Sigma_{1}$, alors son image $M'$ par $f$ appartient À un cercle $\Sigma_{2}$, dont on précisera le centre et le rayon. \item Tracer $\Sigma_{1}$ et $\Sigma_{2}$ sur la même figure que A, B et B$'$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Dans le plan complexe muni du repère orthonormal direct \Ouv, on considère les points A d'affixe 3i et B d'affixe 6 ; unité graphique : 1 cm. \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe une similitude directe et une seule qui transforme A en O et O en B. Préciser ses éléments caractéristiques. \item Montrer qu'il existe une similitude indirecte et une seule qui transforme A en O et O en B. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $f$ la transformation du plan dans lui-même qui, À tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z' = - 2\text{i}\overline{z} + 6$ où $\overline{z}$ désigne le conjugué de $z$. Montrer que $f$ possède un point invariant et un seul. On note K ce point. \item Soit $h$ l'homothétie de centre K et de rapport $\dfrac{1}{2}$. On pose $g = f \circ h$. \begin{enumerate} \item Montrer que $g$ est une isométrie laissant invariant le point K. \item On désigne par $M''$ l'image du point $M$ d'affixe $z$ par la transformation $g$. Montrer que l'écriture complexe de $g$ est $z'' = - \text{i}\overline{z} + 2 + 2\text{i}$ où $z''$ est l'affixe de $M''$. \item Montrer qu'il existe sur l'axe $\left(\text{O},~\vect{v}\right)$ un unique point invariant par $g$ ; on le note L. Reconnaître alors la transformation $g$. \item En déduire que la transformation $f$ est la composée d'une homothétie $h'$ suivie de la réflexion d'axe (KL). Préciser les éléments caractéristiques de $h'$. \end{enumerate} \item Déterminer les droites $\Delta$ telles que $f(\Delta)$ et $\Delta$ soient parallèles. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A : étude d'une fonction} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = x \ln (x +1).\] Sa courbe représentative $(\mathcal{C})$ dans un repère orthogonal \Ouv{} est donnée en annexe. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. \item L'axe des abscisses est-il tangent À la courbe $(\mathcal{C})$ au point O ? \end{enumerate} \item On pose I $ = \displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{x^2}{x + 1}\:\text{d}x$. \begin{enumerate} \item Déterminer trois réels $a,~b$ et $c$ tels que, pour tout $x \neq - 1,$ \[\dfrac{x^2}{x + 1} = ax + b + \dfrac{c}{x + 1}.\] \item Calculer I. \end{enumerate} \item À l'aide d'une intégration par parties et du résultat obtenu à la question 2, calculer, en unités d'aires, l'aire $\mathcal{A}$ de la partie du plan limitée par la courbe $(\mathcal{C})$ et les droites d'équations $x =0,~ x = 1$ et $y = 0$. \item Montrer que l'équation $f(x) = 0,25$ admet une seule solution sur l'intervalle [0~;~1]. On note $\alpha$ cette solution. Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B : étude d'une suite} \medskip La suite $\left(u_{n}\right)$ est définie sur $\N$ par $u_{n} = \displaystyle\int_{0}^1 x^n \ln (x + 1)\:\text{d}x$. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$. La suite $\left(u_{n}\right)$ converge-t-elle ? \item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $0 \leqslant u_{n} \leqslant \dfrac{\ln 2}{n + 1}$. En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip La durée de vie d'un robot, exprimée en années, jusqu'à ce que survienne la première panne est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, avec $\lambda > 0$. Ainsi, la probabilité qu'un robot tombe en panne avant l'instant $t$ est égale à \[p( X \leqslant t) =\displaystyle\int_{0}^t \lambda \text{e}^{-\lambda x}\:\text{d}x.\] \begin{enumerate} \item Déterminer $\lambda$, arrondi à $10^{-1}$ près, pour que la probabilité $p(X > 6)$ soit égale à 0,3. \textbf{Pour la suite de l'exercice, on prendra} \boldmath $\lambda = 0,2$ \unboldmath. \item À quel instant $t$, à un mois prés, la probabilité qu'un robot tombe en panne pour la première fois est-elle de $0,5$ ? \item Montrer que la probabilité qu'un robot n'ait pas eu de panne au cours des deux premières années est e$^{-0,4}$. \item Sachant qu'un robot n'a pas eu de panne au cours des deux premières années, quelle est, à $10^{-2}$ près, la probabilité qu'il soit encore en état de marche au bout de six ans ? \item On considère un lot de 10 robots fonctionnant de manière indépendante. Déterminer la probabilité que, dans ce lot, il y ait au moins un robot qui n'ait pas eu de panne au cours des deux premières années. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe} \end{center} \bigskip \textbf{Exercice 3} \bigskip \begin{center}\textbf{Représentation graphique de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath \textbf{obtenue à l'aide d'un tableur} \bigskip \textbf{Courbe} \boldmath $(\mathcal{C})$ \unboldmath \bigskip \psset{xunit=3.5cm,yunit=2cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(3.2,5.2) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(3,5) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(3.2,5.2) \psaxes[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[d](3.2,0){$x$} \uput[l](0,5.2){$y$} \psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{3}{x 1 add ln x mul} \qdisk(0,0){1.5pt} \qdisk(3,4.15888){1.5pt} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%% fin Liban juin 2006 \newpage %%%%%%%%%%%%% Polynésie juin 2006 \hypertarget{Polynesie2}{} \label{Polynesie2} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{juin 2006}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Polynésie juin 2006~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 5 points} \medskip Le plan complexe est muni du repère orthonormal direct \Ouv{} ; unité graphique 2~cm. On appelle A et B les points du plan d'affixes respectives $a = 1$ et $b= - 1$. On considère l'application $f$ qui, à tout point $M$ différent du point B, d'affixe $z$, fait correspondre le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par \[z' = \dfrac{z - 1}{z + 1}\] \emph{On fera une figure qui sera complétée tout au long de cet exercice.} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer les points invariants de $f$ c'est-à-dire les points $M$ tels que $M = f(M)$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout nombre complexe $z$ différent de $-1$, $\left(z'- 1\right) (z + 1) = - 2$. \item En déduire une relation entre $\left|z' - 1\right|$ et $|z + 1|$ , puis entre arg $(z' - 1)$ et arg~$(z + 1)$, pour tout nombre complexe $z$ différent de $-1$. Traduire ces deux relations en termes de distances et d'angles. \end{enumerate} \item Montrer que si $M$ appartient au cercle (C) de centre B et de rayon 2, alors $M'$ appartient au cercle (C$'$) de centre A et de rayon 1. \item Soit le point P d'affixe $p =-2 + \text{i}\sqrt{3}$. \begin{enumerate} \item Déterminer la forme exponentielle de $(p + 1)$. \item Montrer que le point P appartient au cercle (C). \item Soit $Q$ le point d'affixe $q = - \overline{p}$ où $\overline{p}$ est le conjugué de $p$. Montrer que les points A, P$'$ et Q sont alignés. \item En utilisant les questions précédentes, proposer une construction de l'image P$'$ du point P par l'application $f$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \medskip Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point. \bigskip Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal \Oijk, on donne les points A(0~;~0~;~2) B(0~;~4~;~0) et C(2~;~0~;~0). On désigne par I le milieu du segment [BC], par G l'isobarycentre des points A, B et C, et par H le projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC). \textbf{Proposition 1 :} \og l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $\vect{\text{A}M} \cdot\: \vect{\text{BC}} = 0$ est le plan (AIO) \fg{}. \smallskip \textbf{Proposition 2 :} \og l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $\left\|\vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}}\right\| = \left\|\vect{M\text{B}} - \vect{M\text{C}}\right\|$ est la sphère de diamètre [BC] \fg{}. \smallskip \textbf{Proposition 3 :} \og le volume du tétraèdre OABC est égal à 4 \fg{}. \smallskip \textbf{Proposition 4 :}\textbf{} \og le plan (ABC) a pour équation cartésienne $2x + y + 2z = 4$ et le point H a pour coordonnées $\left(\dfrac{8}{9}~;~\dfrac{4}{9}~;~\dfrac{8}{9} \right)$. \smallskip \textbf{Proposition 5 :} \og la droite (AG) admet pour représentation paramétrique\\ $\left\{ \begin{array}{l c r} x&=&t\\ y& =& 2t\\ z&=&2-2t \\ \end{array}\right. \quad (t \in \R)$ \fg{}. \bigskip \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point. \medskip \textbf{Proposition 1 :} \og pour tout entier naturel $n$, 3 divise le nombre $2^{2n} - 1$ \fg{}. \medskip \textbf{Proposition 2 :} \og Si un entier relatif $x$ est solution de l'équation $x^2+x \equiv 0\quad (\text{modulo}~ 6)$ alors $x \equiv 0 \quad (\text{modulo}~ 3)$ \fg{}. \medskip \textbf{Proposition 3 :} \og l'ensemble des couples d'entiers relatifs $(x~;~ y)$ solutions de l'équation $12x - 5y = 3$ est l'ensemble des couples $(4+10k~;~ 9+24k)$ où $k \in \Z$ \fg{}. \medskip \textbf{Proposition 4 :} \og il existe un seul couple $(a~;~b)$ de nombres entiers naturels, tel que $a < b$ et PPCM$(a,~b) - \text{PGCD}(a,~b) = 1$ \fg{}. \medskip Deux entiers naturels $M$ et $N$ sont tels que $M$ a pour écriture $abc$ en base dix et $N$ a pour écriture $bca$ en base dix. \medskip \textbf{Proposition 5 :} \og Si l'entier $M$ est divisible par 27 alors l'entier $M -N$ est aussi divisible par 27 \fg{}. \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3 \hfill 4 points} \medskip On a posé à \np{1000} personnes la question suivante : \og Combien de fois êtes-vous arrivé en retard au travail au cours des deux derniers mois ? \fg. Les réponses ont été regroupées dans le tableau suivant : \medskip \begin{center} \begin{tabular}{|*{5}{c|}}\hline \diagbox{Retards le 2\up{e}mois}{Retards le 1\up{er} mois} &0& 1 & 2 ou plus &Total \\ \hline 0 & 262 & 212 &73 &547 \\ \hline 1 & 250 & 73 &23 &346 \\ \hline 2 ou plus & 60 & 33 &14 &107 \\ \hline Total & 572 & 318 &110&\np{1000} \\ \hline \end{tabular}\end{center} \medskip \begin{enumerate} \item On choisit au hasard un individu de cette population. \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité que l'individu ait eu au moins un retard le premier mois, \item Déterminer la probabilité que l'individu ait eu au moins un retard le deuxième mois sachant qu'il n'en a pas eu le premier mois. \end{enumerate} \item On souhaite faire une étude de l'évolution du nombre de retards sur un grand nombre $n$ de mois ($n$ entier naturel non nul). On fait les hypothèses suivantes : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item si l'individu n'a pas eu de retard le mois $n$, la probabilité de ne pas en avoir le mois $n + 1$ est 0,46. \item si l'individu a eu exactement un retard le mois $n$, la probabilité de ne pas en avoir le mois $n + 1$ est 0,66. \item si l'individu a eu deux retards ou plus le mois $n$, la probabilité de ne pas en avoir le mois $n + 1$ est encore 0,66. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On note $A_{n}$, l'évènement \og l'individu n'a eu aucun retard le mois $n$, $B_{n}$, l'évènement \og l'individu a eu exactement un retard le mois $n$ \fg{}, $C_{n}$, l'évènement \og l'individu a eu deux retards ou plus le mois $n$\fg. Les probabilités des évènements $A_{n},~ B_{n},~C_{n}$ sont notées respectivement $p_{n},~q_{n}$ et $r_{n}$. \begin{enumerate} \item Pour le premier mois $(n = 1)$, les probabilités $p_{1},~ q_{1}$ et $r_{1}$ sont obtenues à l'aide du tableau précédent. Déterminer les probabilités $p_{1},q_{1}$ et $r_{1}$. \item Exprimer $p_{n+1}$ en fonction de $p_{n},~q_{n}$, et $r_{n}$. On pourra s'aider d'un arbre. \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_{n+1} = - 0,2 p_{n} + 0,66$. \item Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par $u_{n} = p_{n} - 0,55$. Démontrer que $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on donnera la raison. \item Déterminer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n}$. En déduire $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} p_{n}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 4 \hfill 6 points} \bigskip \textbf{Partie A} On donne le tableau de variations d'une fonction $f$ dérivable sur $\R$ : \medskip \begin{center} \begin{pspicture}(11,3) \psframe(11,3) \psline(0,2)(11,2) \psline(1,0)(1,3) \uput[u](0.5,2){$x$} \uput[u](1.3,2){$-\infty$} \uput[u](4,2){$0$} \uput[u](7,2){2} \uput[u](10.5,2){$+\infty$} \uput[u](0.5,0.7){$f$} \uput[d](1.3,2){$+ \infty$} \uput[u](4,0){0} \uput[d](7,2){$4\text{e}^{-2}$} \uput[u](10.8,0){0} \psline{->}(1.6,1.6)(3.7,0.3) \psline{->}(4.7,0.3)(6.6,1.6) \psline{->}(7.5,1.6)(10.5,0.3) \end{pspicture} \end{center} On définit la fonction $F$ sur $\R$ par \[F(x) = \displaystyle\int_{2} ^x f(t)\:\text{d}t.\] \begin{enumerate} \item Déterminer les variations de la fonction $F$ sur $\R$. \item Montrer que $0 \leqslant F(3) \leqslant 4\text{e}^{-2}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip La fonction $f$ considérée dans la partie A est la fonction définie sur $\R$ par \[f(x) = x^2\text{e}^{-x}.\] On appelle $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = \text{e}^{-x}$. On désigne par $(\mathcal{C})$ et ($\Gamma$) les courbes représentant respectivement les fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthogonal \Oij. Les courbes sont tracées en annexe. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que les variations de la fonction $f$ sont bien celles données dans la partie A. On ne demande pas de justifier les limites. \item Étudier les positions relatives des courbes $(\mathcal{C})$ et ($\Gamma$). \end{enumerate} \item Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x) = \left(x^2 - 1\right)\text{e}^{-x}$. \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $H$ définie sur $\R$ par $H(x) = \left(- x^2 - 2x - 1\right)\text{e}^{-x}$ est une primitive de la fonction $h$ sur $\R$. \item Soit un réel $\alpha$ supérieur ou égal à 1. On considère la partie du plan limitée par les courbes $(\mathcal{C})$ et ($\Gamma$) et les droites d'équations $x=1$ et $x = \alpha$. Déterminer l'aire $\mathcal{A}(a)$, exprimée en unité d'aire, de cette partie du plan. \item Déterminer la limite de $\mathcal{A}(a)$ lorsque $a$ tend vers $+ \infty$. \end{enumerate} \item On admet que, pour tout réel $m$ strictement supérieur à $4\text{e}^{-2}$, la droite d'équation $y = m$ coupe la courbe $(\mathcal{C})$ au point $P\left(x_{P}~;~ m\right)$ et la courbe ($\Gamma$) au point $Q\left(x_{Q}~;~m\right)$. \medskip L'objectif de cette question est de montrer qu'il existe une seule valeur de $x_{P}$, appartenant à l'intervalle $]- \infty~;~- 1]$ telle que la distance $PQ$ soit égale à 1. \begin{enumerate} \item Faire apparaître approximativement sur le graphique (proposé en annexe) les points $P$ et $Q$ tels que $x_{P} \in ]- \infty~;~- 1]$ et $PQ = 1$. \item Exprimer la distance $PQ$ en fonction de $x_{P}$ et de $x_{Q}$.\\ Justifier l'égalité $f\left(x_{P}\right) = g\left(x_{Q}\right)$. \item Déterminer la valeur de $x_{P}$ telle que $PQ = 1$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe} \bigskip \emph{Cette page sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve} \bigskip \textbf{Exercice 4} \bigskip \psset{xunit=1.4cm,arrowsize=2pt 4} \begin{pspicture}(-3,-1)(5,16) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10,gridwidth=1.2pt](-3,-1)(5,16) \psaxes[linewidth=1pt,Dy=2](0,0)(-3,-1)(5,16) \psaxes[linewidth=1pt,Dy=2](0,0)(0,0)(5,16) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.705}{5}{x 2 exp 2.71828 x exp div} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2.77}{5}{1 2.71828 x exp div} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%% fin Polynésie juin 2006 \newpage %%%%%%%%%%%%% Antilles-Guyane septembre 2006 \hypertarget{Antillessept}{} \label{Antillessept} \lfoot{\small{Antilles--Guyane}} \rfoot{\small{septembre 2006}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,5cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Antilles--Guyane septembre 2006~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points} \medskip On se propose de déterminer des valeurs approchées de l'intégrale \[\text{I} = \displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}} \dfrac{10t^2}{1 + t^2}\:\text{d}t\] en utilisant deux méthodes distinctes. \smallskip Les parties A et B sont largement indépendantes l'une de l'autre. \medskip \textbf{PARTIE A} \textbf{Utilisation d'une intégration par parties} \medskip \begin{enumerate} \item En remarquant que $\dfrac{10t^2}{1 + t^2}= 5t \times \dfrac{2t}{1 + t^2}$, établir l'égalité \[\text{I} = \dfrac{5}{2}\times \ln \left(\dfrac{5}{4}\right) - 5 \displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}} \ln \left(1 + t^2\right)\:\text{d}t.\] \item On pose, pour $x$ positif ou nul, $f(x) = \ln (1 + x) - x + \dfrac{x^2}{2}$ et $g(x) = \ln (1 + x) - x$. \begin{enumerate} \item En utilisant les variations de $f$, démontrer que $f (x) \geqslant 0$. En procédant de la même façon, on pourrait établir que $g(x) \leqslant 0$, inégalité que l'on admettra ici. \item À l'aide de ce qui précède, montrer que l'encadrement : \[t^2 - \dfrac{t^4}{2} \leqslant \ln \left(1 + t^2\right) \leqslant t^2.\] est vrai pour tout réel $t$. \item Déduire de la question précédente que \[\dfrac{5}{24} \leqslant -5\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}} \ln \left(1 + t^2\right)\:\text{d}t \leqslant - \dfrac{37}{192}.\] \end{enumerate} \item En utilisant les questions précédentes, donner un encadrement d'amplitude inférieure à 0,02 de I par des nombres décimaux ayant trois chiffres après la virgule. \end{enumerate} \medskip \textbf{PARTIE B} \textbf{Utilisation de la méthode d'Euler} \medskip \begin{enumerate} \item On pose $\Phi(x) = \displaystyle\int_{0}^{x} \dfrac{10t^2}{1 + t^2}\:\text{d}t$ pour $x \in \left[0~;~\dfrac{1}{2}\right]$. Préciser $\Phi(0)$ ainsi que la fonction dérivée de $\varphi$. \item On rappelle que la méthode d'Euler permet de construire une suite de points $M_{n}\left(x_{n}~;~y_{n}\right)$ proches de la courbe représentative de $\varphi$. En choisissant comme pas $h = 0,1$, on obtient la suite de points $M_{n}$ définie pour $n$ entier naturel par : \[\left\{\begin{array}{l c l} x_{0}& =& 0\\ y_{0}& =&0\\ \end{array}\right.~ \text{et}~\left\{\begin{array}{l c l} x_{n+1}&=& x_{n} + 0,1\\ y_{n+1}&=&y_n + \Phi'\left(x_{n}\right) \times 0,1\\ \end{array}\right.\] En utilisant, sans la justifier, l'égalité $x_{n} = \dfrac{n}{10}$, vérifier que $y_{n+1} = y_{n} + \dfrac{n^2}{100 + n^2}$. \item Calculer $y_{1}$, et $y_{2}$, puis exprimer $y_{3},{}y_{4}$ et $y_{5}$ sous la forme d'une somme de fractions que l'on ne cherchera pas à simplifier. Donner maintenant une valeur approchée à $0,001$ près de $y_{5}$. Le réel $x_{5}$ étant égal à $\dfrac{1}{2},{}y_{5}$ est donc une valeur approchée de $\Phi\left(\dfrac{1}{2}\right)$ c'est-à-dire de I. \item Avec la méthode d'Euler au pas $h = 0,01$, on obtient, pour I, la valeur approchée $0,354$. Les valeurs de I obtenues avec la méthode d'Euler sont-elles compatibles avec l'encadrement de la question 3. de la partie A ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \medskip Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. On désigne par A et B les point, d'affixes respectives 2 et 3. On fera un dessin (unité graphique 2~cm) qui sera complété selon indications de l'énoncé. \emph{La question $1$ est indépendante des questions $2$ et $3$.} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation \[z^2 - 4z + 6 = 0.\] \item On désigne par M$_{1}$ et M$_{2}$ les points d'affixes respectives \[z_{1} = 2 + \text{i}\sqrt{2}~ \text{et}~ z_{2} = 2 - \text{i}\sqrt{2}.\] Déterminer la forme algébrique du nombre complexe $\dfrac{z_{1} - 3}{z_{1}}$. En déduire que le triangle OBM$_{1}$ est un triangle rectangle. \item Démontrer sans nouveau calcul que les points O, B, M$_{1}$ et M$_{2}$, appartiennent à un m\^eme cercle $\mathcal{C}$ que l'on précisera. Tracer le cercle $\mathcal{C}$ et placer les points M$_{1}$ et M$_{2}$ sur le dessin. \end{enumerate} \item On appelle $f$ l'application du plan qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par l'égalité $z'= z^2 - 4z + 6$. On désigne par $\Gamma$ le cercle de centre A et de rayon $\sqrt{2}$. Ce cercle ne sera pas tracé sur le dessin, \begin{enumerate} \item Vérifier l'égalité suivante $z'- 2 = (z - 2)^2$. \item Soit $M$ le point de $\Gamma$ d'affixe $z = 2 + \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\theta}$ où $\theta$ désigne un réel de l'intervalle $]- \pi~;~\pi]$. Vérifier l'égalité suivante : $z'= 2 + 2\text{e}^{2\text{i}\theta}$ et en déduire que $M'$ est situé sur un cercle $\Gamma'$ dont on précisera le centre et le rayon. Tracer $\Gamma'$ sur le dessin. \end{enumerate} \item On appelle D le point d'affixe $d = 2 + \dfrac{\sqrt{2} + \text{i}\sqrt{6}}{2}$ et on désigne par D$'$ l'image de D par $f$. \begin{enumerate} \item Écrire sous forme exponentielle le nombre complexe $d - 2$. En déduire que D est situé sur le cercle $\Gamma$. \item À l'aide la question 2. b., donner une mesure de l'angle $\left(\vect{u},~\vect{\text{AD}'}\right)$ et placer le point D$'$ sur le dessin. \item Démontrer que le triangle OAD$'$ est équilatéral. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On suppose connu le résultat suivant : Si $X$ est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre strictement positif $\lambda$ alors, pour $t$ réel positif, $p(X \leqslant t) = \displaystyle\int_{0}^t \lambda \text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x$. \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] Démontrer l'égalité suivante : $p(X > t) = \text{e}^{- \lambda t}$. \item[$\bullet~$] En déduire que, pour $s$ et $t$ réels positifs, l'égalité suivante est vraie\\ $P_{(X>t)}(X> s + t) = p(X> s)$ (loi de durée de vie sans vieillissement),\\ $P_{(X>t)}(X> s + t)$ désignant la probabilité de l'évènement $(X> s + t)$ sachant que $(X> t)$ est réalisé. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \textbf{Partie B} \medskip La durée d'attente exprimée en minutes à chaque caisse d'un supermarché peut être modélisée par une variable aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle de paramètre strictement positif $\lambda$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer une expression exacte de $\lambda$ sachant que $p(T \leqslant 10) = 0,7$. On prendra, pour la suite de l'exercice, la valeur $0,12$ comme valeur approchée de $\lambda$. \item Donner une expression exacte de la probabilité conditionnelle $P_{(T > 10)}(T> 15)$. \item Sachant qu'un client a déjà attendu $10$ minutes à une caisse, déterminer la probabilité que son attente totale ne dépasse pas $15$ minutes. On donnera une expression exacte, puis une valeur approchée à $0,01$ près de la réponse. \end{enumerate} On suppose que la durée d'attente à une caisse de ce supermarché est indépendante de celle des autres caisses. Actuellement, 6~caisses sont ouvertes. On désigne par $Y$ la variable aléatoire qui représente le nombre de caisses pour lesquelles la durée d'attente est supérieure à 10~minutes. \begin{enumerate} \item Donner la nature et les paramètres caractéristiques de $Y$. \item Le gérant du supermarché ouvre des caisses supplémentaires si la durée d'attente à au moins 4 des 6 caisses est supérieure à 10~minutes. Déterminer à $0,01$ près la probabilité d'ouverture de nouvelles caisses. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \medskip Dans un cube ABCDEFGH, on désigne par I et J les milieux respectifs des segments [AB] et [GH]. K désigne le centre de la face BCGF. Les calculs seront effectués dans le repère orthonormal $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$. \parbox{0.65\linewidth}{ \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que le quadrilatère DIFJ est un parallélogramme. Établir que DIFJ est en fait un losange et montrer que l'aire de ce losange est égale à $\dfrac{\sqrt{6}}{2}$. \end{enumerate} \end{enumerate}} \hfill \parbox{0.3\linewidth}{\begin{pspicture}(3.5,3.5) \psframe(0.4,0)(2.4,2)%ABFE \psline(2.4,0)(3.1,1)(3.1,3)(2.4,2)%BCGF \psline(3.1,3)(1.1,3)(0.4,2)%GHE \psline[linestyle=dashed](0.4,0)(1.4,1)(3.1,1) \psline[linestyle=dashed](1.4,1)(1.4,3) \uput[dl](0.4,0){A} \uput[d](1.4,0){I} \uput[dr](2.4,0){B} \uput[r](3.1,1){C} \uput[u](2.75,1){K} \uput[ul](1.4,1){D} \uput[l](0.4,2){E} \uput[ul](2.4,2){F} \uput[ur](3.1,3){G} \uput[u](2.1,3){J} \uput[ul](1.1,3){H} \psline(1.4,0.1)(1.4,-0.1) \psline(2.1,3.1)(2.1,2.9) \rput(2.73,1.48){$\times$} \end{pspicture}} \medskip \begin{enumerate} \item[] \begin{enumerate} \setcounter{enumii}{1} \item Vérifier que le vecteur $\vect{n}\left(\begin{array}{c}2\\1\\-1\\ \end{array}\right)$ est un vecteur normal au plan (DIJ).\\ En déduire une équation cartésienne de ce plan.\\ \item Déterminer la distance du point E au plan (DIJ), puis calculer le volume de la pyramide EDIFJ. On rappelle que le volume V d'une pyramide de hauteur $h$ et de base correspondante $\mathcal{B}$ est donné par la formule suivante V $= \dfrac{1}{3} \times \mathcal{B}\times h$. \end{enumerate} \setcounter{enumi}{1} \item Soit ($\Delta$) la droite passant par E et orthogonale au plan (DIJ) \begin{enumerate} \item Donner une représentation paramétrique de ($\Delta$) et prouver que K est un point de ($\Delta$). \item Déterminer les coordonnées du point d'intersection L de ($\Delta$) et du plan (DIJ). \item Vérifier que L est le centre de gravité du triangle BEG. \end{enumerate} \item Soit (S) l'ensemble des points de l'espace dont les coordonnées vérifient l'équation $x^2 + y^2 + z^2 - 2x - y - z + \dfrac{4}{3} = 0$. \begin{enumerate} \item Vérifier que (S) est une sphère dont on précisera le centre et le rayon. \item Montrer que L est un point de (S), Quelle propriété géométrique relative à (S) et au plan (DIJ) peut-un déduire de ce dernier résultat ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \medskip \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. On désigne par A et C les points d'affixes respectives 1 et 2i. Sur le dessin joint en annexe (à rendre avec la copie), le quadrilatère OABC est un rectangle et I désigne le milieu de [AB]. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier le fait qu'il existe une unique similitude directe $s$ qui transforme O en I et A en C. \item Déterminer l'écriture complexe de $s$. En déduire les éléments caractéristiques de $s$ et, en particulier, établir que l'affixe du centre $\Omega$ de $s$ vaut $\dfrac{1 + 3\text{i}}{5}$. \item Vérifier par un calcul que $\Omega$ est situé sur le cercle $\Gamma$ de centre A passant par O. \end{enumerate} \item Soit $f$ l'application du plan complexe d'écriture complexe \[z \longmapsto \dfrac{-3 - 4\text{i}}{5}\overline{z} + \dfrac{8 + 4\text{i}}{5}.\] \begin{enumerate} \item Déterminer les images par $f$ des points A et C. En déduire la nature précise de $f$, puis démontrer que I est l'image de $\Omega$ par la symétrie orthogonale d'axe (AC). \item Construire le cercle $\Gamma$ sur le dessin et placer également le point $\Omega$ en utilisant les informations géométriques précédentes. \end{enumerate} \item À tout point $M$ d'image $M'$ par $s$, on associe le point $M''$ défini par l'égalité vectorielle $\vect{M'M''} = \vect{\Omega M}$. \begin{enumerate} \item Quel est le point $\Omega''$ associé à $\Omega$ ? \item Construire avec soin le point A$''$ en laissant les traits de construction. \item On suppose maintenant que $M$ a pour affixe $z$. Démontrer que $M''$ a pour affixe $z'' = \text{i}z + \dfrac{4 + 2\text{i}}{5}$. En déduire que $M''$ est l'image de $M$ par une similitude dont on donnera les éléments caractéristiques. \item Déterminer et représenter sur le dessin l'ensemble $\Gamma''$ des points $M''$ lorsque $M$ décrit le cercle $\Gamma$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe (exercice de spécialité)} \vspace{1cm} \psset{unit=4cm} \begin{pspicture}(-1,-0.25)(2,2.25) \psaxes[Dx=10,Dy=10](0,0)(-1,-0.25)(2,2.25) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1) \psframe(1,2) \uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\vect{u}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{v}$} \uput[d](1,0){A} \uput[r](1,1){I} \uput[ur](1,2){B} \uput[l](0,2){C} \psline(0.98,1)(1.02,1) \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%% fin Antilles-Guyane septembre 2006 \newpage %%%%%%%%%%%%% Métropole et La Réunion septembre 2006 \hypertarget{France}{} \label{France} \lfoot{\small{Métropole La Réunion}} \rfoot{\small septembre 2006} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole septembre 2006~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \begin{center} \textbf{Commun à tous les candidats} \end{center} \emph{La scène se passe en haut d'une falaise au bord de la mer. Pour trouver une plage et aller se baigner, les touristes ne peuvent choisir qu'entre deux plages, l'une à l'Est et l'autre à l'Ouest.} \medskip \textbf{ A -} Un touriste se retrouve deux jours consécutifs en haut de la falaise. Le premier jour, il choisit au hasard l'une des deux directions. Le second jour, on admet que la probabilité qu'il choisisse une direction opposée à celle prise la veille vaut 0,8. Pour $i = 1$ ou $i = 2$, on note $E_{i}$ l'évènement : \og Le touriste se dirige vers l'Est le $i$-ème jour\fg~ et $O_{i}$ l'évènement : \og Le touriste se dirige vers l'Ouest le $i$-ème jour \fg. \medskip \begin{enumerate} \item Dresser un arbre de probabilités décrivant la situation. \item Déterminer les probabilités suivantes : $p\left(E_{1}\right)$ ; $p_{E_{1}}\left(O_{2}\right)$ ; $p\left(E_{1}\cap E_{2}\right)$. \item Calculer la probabilité que ce touriste se rende sur la même plage les deux jours consécutifs. \end{enumerate} \bigskip \textbf{B -} On suppose maintenant que $n$ touristes ($n \geqslant 3$) se retrouvent un jour en haut de la falaise. Ces $n$ touristes veulent tous se baigner et chacun d'eux choisit au hasard et indépendamment des autres l'une des deux directions. On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de ces touristes qui choisissent la plage à l'Est. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité que $k$ touristes ($0\leqslant k\leqslant n$) partent en direction de l'Est. \item On suppose ici que les deux plages considérées sont désertes au départ. On dit qu'un touriste est \emph{heureux} s'il se retrouve seul sur une plage. \begin{enumerate} \item Peut-il y avoir deux touristes heureux ? \item Démontrer que la probabilité (notée $p$) qu'il y ait un touriste \emph{heureux} parmi ces $n$ touristes vaut : $p=\dfrac{n}{2^{n-1}}$. \item \textbf{Application numérique :} Lorsque le groupe comprend 10 personnes, exprimer la probabilité, arrondie au centième, qu'il y ait un touriste heureux parmi les 10. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \begin{center} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \end{center} \medskip Dans le plan complexe muni du repère orthonormal \Ouv, on considère les points $M$ et $M'$ d'affixes respectives $z$ et $z'$. On pose $z = x + \mathrm{i}y$ et $z' = x' + \mathrm{i}y'$, où $x,~x',~y,~y'$ sont des nombres réels. On rappelle que $\overline{z}$ désigne le conjugué de $z$ et que $|z|$ désigne le module de $z$. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que les vecteurs $\vect{\text{O}M}$ et $\vect{\text{O}M'}$ sont orthogonaux si et seulement si Re($z'\overline{z}) = 0$. \item Montrer que les points O, $M$ et $M'$ sont alignés si et seulement si lm($z'\overline{z}) = 0$.\ \textbf{Applications} \medskip \item $N$ est le point d'affixe $z^2-1$. Quel est l'ensemble des points $M$ tels que les vecteurs $\vect{\text{O}M}$ et $\vect{\text{O}N}$ soient orthogonaux ? \item On suppose $z$ non nul. $P$ est le point d' affixe $\dfrac{1}{z^2}-1$. On recherche l'ensemble des points $M$ d'affixe z tels que les points O, $N$ et $P$ soient alignés. \begin{enumerate} \item Montrer que $\left(\dfrac{1}{z^2}-1\right)\left(\overline{z^2-1}\right)=-\overline{z}^2\left|\dfrac{1}{z^2}-1\right|^2$. \item En utilisant l'équivalence démontrée au début de l'exercice, conclure sur l'ensemble recherché. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \begin{center} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \end{center} \begin{enumerate} \item On considère l'équation \[(\mathcal{E})\quad: \quad 17x - 24y = 9,\] où $(x,~y)$ est un couple d'entiers relatifs. \begin{enumerate} \item Vérifier que le couple $(9~;~ 6)$ est solution de l'équation $(\mathcal{E})$. \item Résoudre l'équation $(\mathcal{E})$. \end{enumerate} \item Dans une fête foraine, Jean s'installe dans un un manège circulaire représenté par le schéma de l'annexe 2. Il peut s'installer sur l'un des huit points indiqués sur le cercle. Le manège comporte un jeu qui consiste à attraper un pompon qui, se déplace sur un câble formant un carré dans lequel est inscrit le cercle. Le manège tourne dans le sens des aiguilles d'une montre, à vitesse constante. Il fait un tour à vitesse constante. Il fait un tour en 24 secondes. Le pompon se déplace dans le même sens à vitesse constante. Il fait un tour en 17 secondes. Pour gagner, Jean doit attraper le pompon, et il ne peut le faire qu'aux points de contact qui sont notés A, B, C et D sur le dessin. À l'instant $t = 0$, Jean part du point H en même temps que le pompon part du point A. \medskip \begin{enumerate} \item On suppose qu'à un certain instant $t$ Jean attrape le pompon en A. Jean a déjà pu passer un certain nombre de fois en A sans y trouver le pompon. À l'instant $t$, on note $y$ le nombre de tours effectués depuis son premier passage en A et $x$ le nombre de tours effectués par le pompon. Montrer que $(x,~y)$ est solution de l'équation $(\mathcal{E})$ de la question 1. \item Jean a payé pour 2 minutes ; aura-t-il le temps d'attraper le pompon ? \item Montrer, qu'en fait, il n'est possible d'attraper le pompon qu'au point A. \item Jean part maintenant du point E. Aura-t-il le temps d'attraper le pompon en A avant les deux minutes ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points} \begin{center} \textbf{Commun à tous les candidats} \end{center} Dans tout l'exercice, $\lambda$ désigne un nombre réel de l'intervalle $]0~;~1]$. \medskip \begin{enumerate} \item On se propose d'étudier les fonctions dérivables sur $\left]-\infty~;~\dfrac{1}{2}\right[$ vérifiant l'équation différentielle (E$_{\lambda}$) : $y' = y^2 + \lambda y$ et la condition $y(0) = 1$. On suppose qu'il existe une solution $y_{0}$ de (E$_{\lambda}$) strictement positive sur $\left]-\infty~;~\dfrac{1}{2}\right[$ et on pose sur $\left]-\infty~;~\dfrac{1}{2}\right[$ : $z=\dfrac{1}{y_{0}}$ Écrire une équation différentielle simple satisfaite par la fonction $z$. \item \textbf{Question de cours} \medskip \textsc{Pré-requis} \medskip Les solutions de l'équation différentielle $y' = -\lambda y$ sont les fonctions $x\mapsto C\mathrm{e}^{-\lambda x}$ où $C$ est une constante réelle. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer l'existence et l'unicité de la solution $z$ de l'équation différentielle (E'$_{\lambda}$) : $z'=-(\lambda z+ 1)$ telle que $z(0) = 1$. \item Donner l'expression de cette fonction que l'on notera $z_{0}$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \emph{On veut maintenant montrer que la fonction $z_{0}$ ne s'annule pas sur l'intervalle $\left]-\infty~;~\dfrac{1}{2}\right[$.} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que $\ln (1 +\lambda) >\dfrac{\lambda}{\lambda +1}$. \emph{On pourra étudier sur $]0~;~1]$ la fonction f définie par f$(x) =\ln (1 + x) -\dfrac{x}{x + 1}$.} \item En déduire que $\dfrac{1}{\lambda}\ln(1+\lambda)>\dfrac{1}{2}$. \end{enumerate} \item En déduire que la fonction $z_{0}$ ne s'annule pas sur $\left]-\infty~;~\dfrac{1}{2}\right[$ . Démontrer alors que (E$_{\lambda}$) admet une solution strictement positive sur $\left]-\infty~;~\dfrac{1}{2}\right[$ que l'on précisera. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} \begin{center} \textbf{Commun à tous les candidats} \end{center} On considère dans l'espace un cube de 3 cm de côté, noté ABCDEFGH et représenté sur l'annexe. Soit I le barycentre des points pondérés (E ; 2) et (F ; 1), J celui de (F ; 1) et (B ; 2) et enfin K celui de (G ; 2) et (C ; 1). \medskip \emph{On veut déterminer l'ensemble des points $M$ équidistants de} I, J \emph{et} K. \emph{On note }$\Delta$ \emph{cet ensemble.} \medskip \begin{enumerate} \item Placer les points l, J et K sur la figure de \textbf{l'annexe qui sera rendue avec la copie.} \item Soit $\Omega$ le point de $\Delta$ situé dans le plan (IJK). Que représente ce point pour le triangle IJK ? \medskip \emph{Pour la suite de l'exercice, on se place maintenant dans le repère orthonormal suivant :} $\left(\text{A}~;~\dfrac{1}{3}\vect{\text{AD}}~;~\dfrac{1}{3}\vect{\text{AB}}~;~\dfrac{1}{3}\vect{\text{AE}}\right)$. \item Donner les coordonnées des points I, J et K. \item Soit P(2~;~0~;~0) et Q(1~;~3~;~3) deux points que l'on placera sur la figure. Démontrer que la droite (PQ) est orthogonale au plan (IJK). \item Soit $M$ un point de l'espace de coordonnées $(x~;~y~;~z)$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $M$ appartient à $\Delta$ si, et seulement si, le triplet $(x~;~y~;~z)$ est solution d'un système de deux équations linéaires que l'on écrira. Quelle est la nature de $\Delta$ ? \item Vérifier que P et Q appartiennent à $\Delta$. Tracer $\Delta$ sur la figure. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer un vecteur normal au plan (IJK) et en déduire une équation cartésienne de ce plan. \item Déterminer alors les coordonnées exactes de $\Omega$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE 1}\end{center} \begin{center} \vspace{1cm}\textbf{À RENDRE AGRAFÉE À LA COPIE} \end{center} \vspace{2cm} Figure de l'exercice 4 \medskip \begin{center} \begin{pspicture}(0,-3)(8.5,9) \uput[dl](0,0){A}\uput[d](3,-2){D}\uput[dr](8,-1){C}\uput[r](5,1.1){B} \uput[dl](0.5,5.2){E}\uput[u](3.5,3){H}\uput[dr](8.5,4){G}\uput[r](5.4,6.2){F} \psline(0,0)(3,-2) \psline(3,-2)(8,-1) \psline[linestyle=dashed](8,-1)(5,1) \psline[linestyle=dashed](5,1) \psline(0.5,5)(3.5,3) \psline(3.5,3)(8.5,4) \psline(8.5,4)(5.5,6) \psline(5.5,6)(0.5,5) \psline(0.5,5)(0,0) \psline(3.5,3)(3,-2) \psline(8.5,4)(8,-1) \psline[linestyle=dashed](5.5,6)(5,1) \end{pspicture} \end{center} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE 2} \vspace{2cm} Schéma de l'exercice 2 \vspace{2cm} \begin{pspicture}(-5,-5)(5,5) \psframe(-5,-5)(5,5) \psline(-5,-5)(5,5) \psline(-5,5)(5,-5) \pscircle(0,0){5} \psline[linewidth=2.5pt]{->}(-4,5)(-3.8,5) \psline[linewidth=2.5pt]{->}(4,5)(4.2,5) \psarc[linewidth=2.5pt]{<-}(0,0){5}{205}{208} \uput[r](-3.5,3.5){E} \uput[u](0,5){A} \uput[l](3.5,3.5){F} \uput[l](-5,0){D} \uput[r](5,0){B} \uput[r](-3.5,-3.5){H} \uput[l](3.5,-3.5){G} \uput[d](0,-5){C} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%% fin Métropole La Réunion septembre 2006 \newpage %%%%%%%%%% Polynésie septembre 2006 \hypertarget{Polynesie}{} \label{Polynesie} \lfoot{\small{Polynésie (épreuve obligatoire)}} \rfoot{\small{septembre 2006}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \medskip {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Polynésie septembre 2006~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points} \medskip \begin{enumerate} \item Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. On pose $a = 3,~ b = 5 - 2\text{i}$ et $c = 5 + 2\text{i}$. On désigne par A, B et C les points d'affixes respectives $a,~ b$ et $c$. Soit $M$ un point d'affixe $z$ du plan, distinct des points A et B. \begin{enumerate} \item Montrer que ABC est un triangle rectangle isocèle. \item Donner une interprétation géométrique de l'argument du nombre complexe $\dfrac{z - 3}{ z - 5 + 2\text{i}}$. \item Déterminer alors l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $\dfrac{z-3}{ z - 5 + 2\text{i}}$ soit un nombre réel strictement négatif. \end{enumerate} \item Soit $\Gamma$ le cercle circonscrit au triangle ABC et $\Omega$ le point d'affixe $2 - \text{i}$. \begin{enumerate} \item Donner l'écriture complexe de la rotation $r$ de centre $\Omega$ et d'angle $-\dfrac{\pi}{2}$. \item Déterminer l'image $\Gamma '$ de $\Gamma$ par la rotation $r$. Déterminer une équation paramétrique de $\Gamma '$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points} \medskip Une urne contient 4 boules blanches et 2 boules noires indiscernables au toucher. \medskip \begin{enumerate} \item On effectue trois tirages successifs au hasard d'une boule selon la procédure suivante : après chaque tirage si la boule tirée est blanche, on la remet dans l'urne et si elle est noire, on ne la remet pas dans l'urne. On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au nombre de boules noires obtenues à l'issue des trois tirages. On pourra s'aider d'un arbre pondéré. \begin{enumerate} \item Quelles sont les valeurs prises par $X$ ? \item Calculer $P(X = 0)$. \item On se propose de déterminer maintenant $P(X =1)$. \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item Montrer que la probabilité que la seule boule noire tirée soit obtenue au second tirage est égale à $\dfrac{8}{45}$. \item En remarquant que la seule boule noire peut être tirée soit au premier, soit au deuxième, soit au troisième tirage, calculer $P(X = 1)$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \end{enumerate} \item On reprend l'urne dans sa composition initiale : 4 boules blanches et 2 boules noires indiscernables au toucher. Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à~3. On effectue maintenant $n$ tirages successifs au hasard d'une boule dans l'urne selon la même procédure : après chaque tirage, si la boule tirée est blanche, on la remet dans l'urne et si elle est noire, on ne la remet pas dans l'urne. Soit $k$ un entier compris entre $1$ et $n$. Soit $N$ l'évènement : \og{}la $k$-ième boule tirée est noire et toutes les autres sont blanches{}\fg. Soit $A$ l'évènement : \og{}on obtient une boule blanche dans chacun des $k - 1$ premiers tirages et une boule noire au $k$-ième{}\fg. Soit $B$ l'évènement : \og{}on obtient une boule blanche dans chacun des $(n - k)$ derniers tirages{}\fg. Calculer $P(A)$,\: $P_{A}(B)$ et $P(N)$. \end{enumerate} \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 7 points} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : \[ f(x) = \left(2x^3 - 4x^2\right) \text{e}^{-x}.\] \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de $f$ en $- \infty$ et en $+ \infty$. \item Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x) = 2x\left(- x^2 + 5x - 4\right)\text{e}^{-x}$. \item Dresser le tableau de variations de $f$. \item Tracer la courbe ($\mathcal{C}$) représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : 1 cm). \end{enumerate} \item Pour $n \in \N^{*}$, on pose \[ I_{n} = \displaystyle\int_{0}^1 x^n\text{e}^{-x}\,\text{d}x.\] \begin{enumerate} \item À l'aide d'une intégration par parties, calculer $I_{1}$. \item On admet que, pour tout $n$ supérieur ou égal à 2,~ $I_{n} = n I_{n-1} - \dfrac{1}{\text{e}}$. Déterminer $1_{2}$ et $1_{3}$. \item Soit $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en cm$^2$, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe ($\mathcal{C}$) et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1$. Calculer $\mathcal{A}$. \end{enumerate} \item Soit $u$ une fonction définie et dérivable sur $\R$. On définit la fonction $v$ sur $]0~;~ +\infty[$ par $v(x) = u\left(\dfrac{1}{x}\right)$. \begin{enumerate} \item On suppose que $u$ est croissante sur l'intervalle $[a~;~ b]$ (où $0 < a < b$). Déterminer le sens de variation de $v$ sur $\left[\dfrac{1}{b}~;~\dfrac{1}{a}\right]$. \item On définit maintenant la fonction $g$ par $g(x) = f\left(\dfrac{1}{x}\right)$ sur $]0~;~ +\infty[$, où $f$ est la fonction définie dans la question 1. Déterminer les limites de $g$ en $0$ et en $+ \infty$, \item Déduire des questions précédentes le tableau de variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points} \medskip L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk. Soit $\left(P_{1}\right)$ le plan d'équation cartésienne $-2 x + y + z- 6 = 0$ et $\left(P_{2}\right)$ le plan d'équation cartésienne $x - 2y+ 4z - 9 =0$. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que $\left(P_{1}\right)$ et $\left(P_{2}\right)$ sont perpendiculaires. On rappelle que deux plans sont perpendiculaires si et seulement si un vecteur normal non nul à l'un est orthogonal à un vecteur normal non nul à l'autre. \item Soit (D) la droite d'intersection de $\left(P_{1}\right)$ et $\left(P_{2}\right)$. Montrer qu'une représentation paramétrique de (D) est : \[\left\{\begin{array}{l c r} x &=& -7 + 2t\\ y&=& - 8 + 3t\\ z& =&t\\ \end{array}\right. (t~\in~\R).\] \item Soit $M$ un point quelconque de (D) de paramètre $t$ et soit A le point de coordonnées $(-9~;~-4~;~- 1)$. \begin{enumerate} \item Vérifier que A n'appartient ni à $\left(P_{1}\right)$, ni à $\left(P_{2}\right)$. \item Exprimer A$M^2$ en fonction de $t$. \item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(t)= 2t^2 - 2t + 3.$ \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] Étudier les variations de $f$. \item[$\bullet~$] Pour quel point $M$, la distance A$M$ est-elle minimale ? Dans la suite, on désignera ce point par I. \item[$\bullet~$] Préciser les coordonnées du point I. \end{itemize} \setlength\parindent{5mm} \end{enumerate} \item Soit (Q) le plan orthogonal à (D) passant par A. \begin{enumerate} \item Déterminer une équation de (Q). \item Démontrer que I est le projeté orthogonal de A sur (D). \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%% fin Polynésie septembre 2006 \newpage %%%%%%%%%%%% Amérique du Sud novembre 2006 \hypertarget{Amerique du Sud}{} \label{Amerique du Sud} \lfoot{\small{Amérique du Sud}} \rfoot{\small{novembre 2006}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Sud novembre 2006 ~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal \Oijk, on considère les points : A de coordonnées $(3 ~;~1~;~-5)$, B de coordonnées $(0~;~ 4~;~-5)$, C de coordonnées $(-1~;~2~;~-5)$ et D de coordonnées (2~;~3~;~4). \medskip \emph{Pour chacune des six affirmations ci-dessous, préciser si elle est vraie ou fausse. Aucune justification n'est demandée. Le candidat doit indiquer sur sa copie le numéro de la question et la mention} \og VRAI \fg{} \emph{ou} \og FAUX \fg. \emph{On attribue} 0,5 \emph{point par réponse correcte et on retranche} 0,25 \emph{point par réponse incorrect.\\ L'absence de réponse n'est pas pénalisée. Un éventuel total négatif est ramené à} 0. \medskip \begin{enumerate} \item Les points A, B et D sont alignés. \item La droite (AB) est contenue dans le plan d'équation cartésienne : $x + y = 4$. \item Une équation cartésienne du plan (BCD) est : $18x - 9y - 5z + 11 = 0$. \item Les points A, B, C et D sont coplanaires. \item La sphère de centre A et de rayon 9 est tangente au plan (BCD). \item Une représentation paramétrique de la droite (BD) est : \renewcommand\arraystretch{1.7} $\left\{\begin{array}{l c r} x&=&\phantom{-}1-2k\\ y&=&\phantom{-}\dfrac{7}{2} + \phantom{9}k,\\ z&=& - \dfrac{1}{2} - 9k\\ \end{array}\right.$$k \in \R$ \renewcommand\arraystretch{1} \end{enumerate} ~;~ \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal \Ouv. On prendra pour unité graphique 1 cm. \medskip \begin{enumerate} \item \emph{Question de cours} On rappelle que : \og Pour tout vecteur $\vect{w}$ non nul, d'affixe $z$ on a : $|z|= \|\vect{w}\|$ et arg $(z) = \left(\vect{u},~\vect{w}\right)$ \fg. Soient $M,~N$ et $P$ trois points du plan, d'affixes respectives $m,~ n$ et $p$ tels que $m \neq n$ et $m \neq p$. \begin{enumerate} \item Démontrer que : arg $\left(\dfrac{p - m}{n - m}\right) = \left(\vect{MN},~\vect{MP}\right)$. \item Interpréter géométriquement le nombre $\left|\dfrac{p - m}{n - m} \right|$ \end{enumerate} \item On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives \[z_{\text{A}} = 4 + \text{i},\quad z_{\text{B}} = 1+ \text{i}, \quad z_{\text{C}} = 5\text{i}~ \text{et}~z_{\text{D}} = -3 -\text{i}.\] Placer ces points sur une figure. \item Soit $f$ l'application du plan dans lui-m\^eme qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que : \[z' = (1 +2\text{i})z - 2 -4\text{i}.\] \begin{enumerate} \item Préciser les images des points A et B par $f$. \item Montrer que $f$ admet un unique point invariant $\Omega$, dont on précisera l'affixe $\omega$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout nombre complexe $z$, on a : \[z'-z = -2\text{i}(2 - \text{i} - z).\] \item En déduire, pour tout point $M$ différent du point $\Omega$, la valeur de $\dfrac{MM'}{\Omega M}$ et une mesure en radians de l'angle $\left(\vect{M \Omega},~\vect{MM'}\right)$ \item Quelle est la nature du triangle $\Omega MM'$ ? \item Soit E le point d'affixe $z_{\text{E}} = - 1 - \text{i}\sqrt{3}$. Écrire $z_{\text{E}}$ sous forme exponentielle puis placer le point E sur la figure. Réaliser ensuite la construction du point E$'$ associé au point E. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Rappel : Pour deux entiers relatifs $a$ et $b$, on dit que $a$ est congru à $b$ modulo 7, et on écrit $a \equiv b \quad \mod 7$ lorsqu'il existe un entier relatif $k$ tel que $a = b + 7k$. \medskip \begin{enumerate} \item \emph{Cette question constitue une restitution organisée de connaissances} \begin{enumerate} \item Soient $a,~ b,~ c$ et $d$ des entiers relatifs.\\ Démontrer que : si $a \equiv b \mod 7$ et $c \equiv d \mod 7$ alors $ac \equiv bd \mod 7$. \item En déduire que : pour $a$ et $b$ entiers relatifs non nuls\\ si $a \equiv b \mod 7$ alors pour tout entier naturel $n,~ a^n \equiv b^n \mod 7$. \end{enumerate} \item Pour $a = 2$ puis pour $a = 3$, déterminer un entier naturel $n$ non nul tel que $a^n \equiv 1 \mod 7$. \item Soit $a$ un entier naturel non divisible par 7. \begin{enumerate} \item Montrer que : $a^6 \equiv 1 \mod 7$. \item On appelle \emph{ordre} de $a \mod 7$, et on désigne par $k$, le plus petit entier naturel non nul tel que $a^k \equiv 1 \mod 7$. Montrer que le reste $r$ de la division euclidienne de $6$ par $k$ vérifie $a^r \equiv 1 \mod 7$.\\ En déduire que $k$ divise $6$.\\ Quelles sont les valeurs possibles de $k$ ? \item Donner l'ordre modulo 7 de tous les entiers $a$ compris entre $2$ et $6$. \end{enumerate} \item À tout entier naturel $n$, on associe le nombre \[A_{n} = 2^n + 3^n + 4^n + 5^n + 6^n.\] Montrer que $A_{2006} \equiv 6 \mod 7.$ \end{enumerate} ~;~ \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Un jardinier dispose de deux lots 1 et 2 contenant chacun de très nombreux bulbes donnant des tulipes de couleurs variées. La probabilité pour qu'un bulbe du lot 1 donne une tulipe jaune est égale à $\dfrac{1}{4}$. La probabilité pour qu'un bulbe du lot 2 donne une tulipe jaune est égale à $\dfrac{1}{2}$. Ce jardinier choisit au hasard un lot et plante 50 bulbes de tulipes. Soit $n$ un entier naturel vérifiant $0 \leqslant n \leqslant 50$. On définit les évènements suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item $A$ : \og le jardinier a choisi le lot 1 \fg \item $B$ : \og le jardinier a choisi le lot 2 \fg \item $J_{n}$ : \og le jardinier obtient $n$ tulipes jaunes \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Dans cette question, on suppose que le jardinier choisit le lot $1$. \begin{enumerate} \item Quelle loi de probabilité suit le nombre de tulipes jaunes obtenues à partir de 50 bulbes du lot $1$ ? \item Quelle est l'espérance mathématique de cette loi ? \item Donner une expression de la probabilité que le jardinier obtienne $n$ tulipes jaunes, \item Calculer la probabilité que le jardinier obtienne 15 tulipes jaunes. On donnera l'arrondi au millième du résultat. \end{enumerate} \item Probabilités conditionnelles \begin{enumerate} \item Montrer que : $P_{B}\left(J_{n}\right) = \binom{50}{n}2^{-50}$. \item En déduire la probabilité que le jardinier obtienne $n$ tulipes jaunes. \item On note $p_{n}$ la probabilité conditionnelle de l'évènement A sachant que $J_{n}$ est réalisé. établir que : \[p_{n} = \dfrac{3^{50 - n}}{3^{50 - n} + 2^{ 50}}.\] \item Pour quelles valeurs de $n$ a-t-on $p_{n} \geqslant 0,9$ ? Comment peut-on interpréter ce résultat ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 8 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \begin{enumerate} \item Pour tout entier naturel $n$ non nul, on considère la fonction $ f_{n}$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : \[f_{n}(x) = \ln x + \dfrac{x}{n} - 1.\] \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de $f_{n}$ en $0$ et en $+\infty$ puis étudier le sens de variations de $ f_{n}$. \item Montrer que l'équation $ f_{n}(x) = 0$ admet une unique solution dans $]0~;~+ \infty[$. On note $\alpha_{n}$ cette solution. Montrer qu'elle appartient à l'intervalle [1~;~e]. \end{enumerate} \item Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij. On note ($\Gamma$) la courbe représentative de la fonction logarithme népérien. \begin{enumerate} \item Soit $n$ un entier naturel non nul. Déterminer une équation de la droite $\Delta_{n}$ passant par le point A de coordonnées (0 ; 1) et le point $B_{n}$ de coordonnées $(n ~;~0)$. \item Faire un croquis représentant la courbe ($\Gamma$) et les droites $\Delta_{1}, ~\Delta_{2}$ et $\Delta_{3}$. \item Montrer que $\alpha_{n}$ est l'abscisse du point d'intersection de ($\Gamma$) avec $\Delta_{n}$. \item Préciser la valeur de $\alpha_{1}$ puis faire une conjecture sur le sens de variation de la suite $\left(\alpha_{n}\right)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Exprimer $\ln \left(\alpha_{n}\right)$ en fonction de $n$ et de $\alpha_{n}$. \item Exprimer $f_{n+1} \left(\alpha_{n}\right)$ en fonction de $n$ et de $\alpha_{n}$ et vérifier que : \\ $f_{n+1} \left(\alpha_{n}\right) < 0$. \item Déduire de la question précédente le sens de variation de la suite $\left(\alpha_{n}\right)$. \item Montrer que la suite $\left(\alpha_{n}\right)$ converge. On note $\ell$ sa limite. Établir que : $\ln \ell = 1$ et en déduire la valeur de $\ell$. \end{enumerate} \item On désigne par $\mathcal{D}_{n}$ le domaine délimité par la courbe ($\Gamma$), l'axe des abscisses et les droites d'équation : $x = \alpha_{n}$ et $x = \text{e}$. \begin{enumerate} \item Calculer l'aire du domaine $\mathcal{D}_{n}$ en fonction de $\alpha_{n}$ et montrer que cette aire est égaie à $\dfrac{\alpha_{n}^2}{n}$. \item Établir que : \[\left(\text{e} - \alpha_{n}\right) \ln \alpha_{n} \leqslant \dfrac{\alpha_{n}^2}{n} \leqslant \left(\text{e} - \alpha_{n}\right).\] \item En déduire un encadrement de $n\left(\text{e} - \alpha_{n}\right)$. \item La suite de terme général $n\left(\text{e} - \alpha_{n}\right)$ est-elle convergente ? Ce résultat permet-il d'apprécier la rapidité de la convergence de la suite $\left(\alpha_{n}\right)$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%% Amérique du Sud novembre 2006 \newpage %%%%%%%%%%%% Nouvelle-Calédonie novembre 2006 \hypertarget{Nouvelle-Caledonie}{} \label{Nouvelle-Caledonie} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small{16 novembre 2006}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie novembre 2006~\decofourright}} \end{center} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Une maladie est apparue dans le cheptel bovin d'un pays. Elle touche 0,5\,\% de ce cheptel (ou 5 pour mille). \medskip \begin{enumerate} \item On choisit au hasard un animal dans le cheptel. Quelle est la probabilité qu'il soit malade ? \item \begin{enumerate} \item On choisit successivement et au hasard 10 animaux. On appelle $X$ la variable aléatoire égale au nombre d'animaux malades parmi eux. Montrer que $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. Calculer son espérance mathématique. \item On désigne par $A$ l'évènement \og aucun animal n'est malade parmi les 10 \fg. On désigne par $B$ l'évènement \og au moins un animal est malade parmi les 10 \fg. Calculer les probabilités de $A$ et de $B$. \end{enumerate} \item On sait que la probabilité qu'un animal ait un test positif à cette maladie sachant qu'il est malade est $0,8$. Lorsqu'un animal n'est pas malade, la probabilité d'avoir un test négatif est $0,9$. On note $T$ l'évènement \og avoir un test positif à cette maladie \fg{} et $M$ l'évènement \og être atteint de cette maladie \fg. \begin{enumerate} \item Représenter par un arbre pondéré les données de l'énoncé. \item Calculer la probabilité de l'évènement $T$. \item Quelle est la probabilité qu'un animal soit malade sachant que le test est positif ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \textbf{Les parties A et B sont indépendantes} \medskip On considère l'équation (E) \[z^3 - (4 + \text{i})z^2 + (7 + \text{i})z - 4 = 0 \] où $z$ désigne un nombre complexe. \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que (E) admet une solution réelle, note $z_{1}$. \item Déterminer les deux nombres complexes $a$ et $b$ tels que, pour tout nombre complexe $z$ on ait : \[z^3 - (4 + \text{i})z^2 + (7 + \text{i})z - 4 = \left(z - z_{1}\right)(z - 2 - 2\text{i})(az + b)\] \end{enumerate} \item Résoudre (E). \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Dans le plan muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, on considère les trois points A, B et C d'affixes respectives $1,~ 2 + 2\text{i}$ et $1 - \text{i}$. \begin{enumerate} \item Représenter A, B et C. \item Déterminer le module et un argument de $\dfrac{2 + 2\text{i}}{1 - \text{i}}$. En déduire la nature du triangle OBC. \item Que représente la droite (OA) pour le triangle OBC ? Justifier votre affirmation. \item Soit D l'image de O par la rotation d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$ et de centre C. Déterminer l'affixe de D. \item Quelle est la nature de OCDB ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. (unité 1~cm). On construira une figure que l'on complétera au fur et mesure. \medskip \begin{enumerate} \item Soit A le point d'affixe 3, et $r$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$. On note B, C, D, E et F les images respectives des points A, B, C, D et E par la rotation $r$. Montrer que B a pour affixe $\dfrac{3}{2} + \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i}$. \item Associer à chacun des points C, D, E et F l'une des affixes de l'ensemble suivant \[\left\{- 3~;~- \dfrac{3}{2} + \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i}~;~\dfrac{3}{2} - \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i}~;~- \dfrac{3}{2} - \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i}\right\}\] \item \begin{enumerate} \item Déterminer $r$(F). \item Quelle est la nature du polygone ABCDEF ? \end{enumerate} \item Soit $s$ la similitude directe de centre A, de rapport $\dfrac{1}{2}$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$. Soit $s'$ la similitude directe de centre E transformant F en C. \begin{enumerate} \item Déterminer l'angle et le rapport de $s'$. En déduire l'angle et le rapport de $s' \circ s$. \item Quelle est l'image du point D par $s' \circ s$ ? \item Déterminer l'écriture complexe de $s' \circ s$. \end{enumerate} \item Soit A$'$ le symétrique de A par rapport à C. \begin{enumerate} \item Sans utiliser les nombres complexes, déterminer $s(\text{A}')$ puis l'image de A$'$ par $s' \circ s$. \item Calculer l'affixe du point A$'$. Retrouver alors le résultat du \textbf{a.} en utilisant l'écriture complexe de $s' \circ s$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : \[u_{0} = \dfrac{1}{2} \quad \text{et}\quad u_{n+1} = \dfrac{1}{2}\left(u_{n} + \dfrac{2}{u_{n}}\right)\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par \[f(x) = \dfrac{1}{2}\left(x + \dfrac{2}{x}\right)\] Étudier le sens de variation de $f$, et tracer sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij. (On prendra comme unité 2~cm). \item Utiliser le graphique précédent pour construire les points A$_{0}$,~ A$_{1}$,~ A$_{2}$ et A$_{3}$ de l'axe $\left(\text{O}~;\vect{\imath}\right)$ d'abscisses respectives $u_{0},~u_{1},~u_{2}$ et $u_{3}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul $u_{n} \geqslant \sqrt{2}$. \item Montrer que pour tout $x \geqslant \sqrt{2} ,~f(x) \leqslant x$. \item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante à partir du rang $1$. \item Prouver qu'elle converge. \end{enumerate} \item Soit $\ell$ la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. Montrer que $\ell$ est solution de l'équation \[x = \dfrac{1}{2}\left(x + \dfrac{2}{x}\right)\] En déduire sa valeur. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 6 points} \textbf{Commun tous les candidats} \medskip \textbf{Première partie} \medskip L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk. On considère : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item les points A(0~;~0~;~3), B(2~;~0~;~4), C$(-1~;~1~;~2)$ et D$(1~;~-4~;~0)$ \item les plans $(P_{1})~ :~7x + 4y - 3z + 9 = 0$ et $(P_{2}) : x - 2y = 0$. \item les droites $(\Delta_{1})$ et $(\Delta_{2})$ définies par leurs systèmes d'équations paramétriques respectifs \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \[\left\{\begin{array}{l c r} x &=&- 1 + \phantom{2}t\\ y &=&- 8 + 2t\\ z &=&- 10 + 5t\\ \end{array}\right. t \in \R \qquad \left\{\begin{array}{l c r} x&=&7 + 2t'\\ y&=&8 + 4t'\\ z&=&8 - \phantom{2}t'\\ \end{array}\right. t' \in \R\] \emph{Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.} \emph{Une réponse exacte rapporte $0,5$ point ; une réponse inexacte enlève $0,25$ point ; l'absence de réponse est comptée $0$ point. Si le total est négatif, la note est ramenée à $0$.} \medskip {\footnotesize \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.4cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5} \multicolumn{1}{c|}{} &a.& b.& e.& d.\\ \hline \textbf{1.} Le plan $(P_{1})$ est& Le plan (ABC)& Le plan (BCD) & Le plan (ACD)& Le plan (ABD)\\ \hline \textbf{2.} La droite $(\Delta_{1})$ contient& Le point A& Le point B& Le point C& Le point D\\ \hline \textbf{3.} Position relative de $(P_{1})$ et de $(\Delta_{2})$& $(\Delta_{1})$ est strictement parallèle a $(P_{1})$& $(\Delta_{1})$ est incluse dans $(P_{1})$&$(\Delta_{1})$ coupe $(P_{1})$&$(\Delta_{1})$ est orthogonale à $(P_{1})$\\ \hline \textbf{4.} Position relative de $(\Delta_{1})$ et de $(\Delta_{2})$&$(\Delta_{1})$ est strictement parallèle à $(\Delta_{2})$&$(\Delta_{1})$ et $(\Delta_{2})$ sont confondues&$(\Delta_{1})$ et $(\Delta_{2})$ ) sont sécantes&$(\Delta_{1})$ et $(\Delta_{2})$ sont non coplanaires.\\ \hline \textbf{5.} L'intersection de $(P_{1})$ et de $(P_{2})$ est une droite dont une représentation paramétrique est & \scriptsize$\left\{\begin{array}{l c r} x&=&t\\ y&=&- 2 + \frac{1}{2}t\\ z&=&3t\\ \end{array}\right.$&\scriptsize$\left\{\begin{array}{l c r} x&=&2t\\ y&=&\phantom{2}t\\ z&=&3 + 6t\\ \end{array}\right.$&\scriptsize$\left\{\begin{array}{l c r}x&=&5t\\y&=&1 - 2t\\z&=&t\\ \end{array}\right.$&\scriptsize$\left\{\begin{array}{l c r} x&=&-1 + t\\y&=&2 + t\\ z&=&-3t\\ \end{array}\right.$\\ \hline \end{tabularx}} \bigskip \textbf{Deuxième partie} \medskip L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk. On considère la droite (D) passant par A(0~;~0~;~3) et dont un vecteur directeur est $\vect{u}(1~;~0~;~-1)$ et la droite (D$'$) passant par B(2~;~0~;~4) et dont un vecteur directeur est $\vect{v}(0~:~1~;~1)$. L'objectif est de démontrer qu'il existe une droite unique perpendiculaire à la fois à (D) et à (D$'$), de la déterminer et de dégager une propriété de cette droite. \medskip \begin{enumerate} \item On considère un point $M$ appartenant à (D) et un point $M'$ appartenant à (D$'$), définis par $\vect{\text{A}M} = a\vect{u}$ et $\vect{\text{B}M'} = b\vect{v}$ , où $a$ et $b$ sont de nombres réels. Exprimer les coordonnées de $M$, de $M'$ puis du vecteur $\vect{MM'}$ en fonction de $a$ et $b$. \item Démontrer que la droite ($MM'$) est perpendiculaire à (D) et à (D$'$) si et seulement si le couple $(a~;~b)$ est solution du système \[ \left\{\begin{array}{l c r} 2a + b&=&1\\ a + 2b&=&-1\\ \end{array}\right.\] \item Résoudre ce système. En déduire les coordonnées des deux uniques points $M$ et $M'$, que nous noterons ici H et H', tels que la droite (HH$'$) soit bien perpendiculaire commune à (D) et à (D$'$). Montrer que HH$' = \sqrt{3}$ unités de longueur. \item On considère un point $M$ quelconque de la droite (D) et un point $M'$ quelconque de la droite (D$'$). \begin{enumerate} \item En utilisant les coordonnées obtenues à la question 1, démontrer que \[MM'^2= (a + b)^2 +(a - 1)^2 + (b + 1)^2 + 3.\] \item En déduire que la distance $MM'$ est minimale lorsque $M$ est en H et $M'$ est en H$'$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%% fin Nouvelle-Calédonie novembre 2006 \newpage %%%%%%%%%%%% Nouvelle Calédonie mars 2007 \hypertarget{Caledoniemars}{} \label{Caledoniemars} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small{mars 2007}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie mars 2007 (spécialité)~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Pour tout cet exercice, l'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk. \medskip \begin{enumerate} \item \emph{Question de cours} \medskip Établir l'équation cartésienne d'un plan dont on connaît un vecteur normal $\vect{n}(a,~b,~c)$ et un point $M_{0}\left(x_{0}~;~y_{0}~;~z_{0}\right)$. \item On considère les points A$(1~;~2~;~-3)$, B$(-3~;~1~;~4)$ et C$(2~;~6~;~-1)$. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que les points A, B et C déterminent un plan. \item Vérifier qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est $2x - y + z + 3 = 0$. \item Soit I le point de coordonnées $(-5~;~9~;~4)$. Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite $\mathcal{D}$ passant par I et perpendiculaire au plan (ABC). \item Déterminer les coordonnées du point J, intersection de la droite $\mathcal{D}$ et du plan (ABC). \item En déduire la distance du point I au plan (ABC). \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Pour chaque question une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.\\ Une réponse exacte rapporte les points attribués à la question, une réponse inexacte enlève la moitié des points attribués à la question, l'absence de réponse est comptée $0$ point.\\ Si le total est négatif la note est ramenée à $0$.} \medskip \textbf{A.} Un sac contient 3 boules blanches, 4 boules noires et 1 boule rouge, indiscernables au toucher. On tire, au hasard, successivement, trois boules du sac, en remettant chaque boule tirée dans le sac avant le tirage suivant. \medskip \textbf{Question 1} : La probabilité de tirer trois boules noires est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~} $\quad \dfrac{\binom{4}{3}}{\binom{8}{3}}$ &\textbf{b.~} $\quad \dfrac{9}{8}$&\textbf{c.~}$\quad \left(\dfrac{1}{2} \right)^3$&\textbf{d.~} $\quad \dfrac{4\times 3 \times 2}{8 \times 7 \times 6}$\\ \end{tabularx} \textbf{Question 2} : Sachant que Jean a tiré 3 boules de la même couleur, la probabilité qu'il ait tiré 3 boules rouges est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~} $\quad $0& \textbf{b.~} $\quad \left(\dfrac{1}{8}\right)^3$&\textbf{c.~} $\quad \dfrac{23}{128}$& \textbf{d.~} $\quad \dfrac{1}{92}$ \end{tabularx} \medskip \textbf{B.} Soit $f$ la fonction définie sur [0~;~1] par $f(x) = x + m$ où $m$ est une constante réelle. \textbf{Question 3} : $f$ est une densité de probabilité sur l'intervalle [0~;~1] lorsque \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~} $\quad m=-1$&\textbf{b.~}$\quad m=\dfrac{1}{2}$&\textbf{c.~} $\quad m=\text{e}^{\frac{1}{2}}$&\textbf{d.~} $\quad m = \text{e}^{-1}$\\ \end{tabularx} \medskip \textbf{C.} La durée de vie en années d'un composant électronique suit une loi exponentielle de paramètre $0,2$. \textbf{Question 4} : La probabilité que ce composant électronique ait une durée de vie strictement supérieure à 5 ans est \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~} $\quad 1 - \dfrac{1}{\text{e}}$&\textbf{b.~}$\quad \dfrac{1}{\text{e}}$&\textbf{c.~} $\quad \dfrac{1}{5\text{e}}$&\textbf{d.~} $\quad \dfrac{1}{0,2}(\text{e} - 1)$\\ \end{tabularx} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Pour coder un message, on procède de la manière suivante : à chacune des 26 lettres de l'alphabet, on commence par associer un entier $n$ de l'ensemble $\Omega = \{0~;~1~;~2~;~\ldots~;~24~;~25\}$ selon le tableau ci-dessous : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline A &B &C &D &E &F &G &H & I&J &K &L &M\\ \hline 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12\\ \hline\hline N &O &P &Q &R &S &T &U &V &W &X &Y &Z\\ \hline 13 &14 &15 &16 &17 &18 &19 &20 &21 &22 &23 &24 &25\\ \hline \end{tabularx} \medskip $a$ et $b$ étant deux entiers naturels donnés, on associe à tout entier $n$ de $\Omega$ le reste de la division euclidienne de $(an + b)$ par 26 ; ce reste est alors associé à la lettre correspondante. \emph{Exemple} : pour coder la lettre P avec $a = 2$ et $b = 3$, on procède de la manière suivante : \setlength\parindent{6mm} \begin{description} \item[ ] étape 1 : on lui associe l'entier $n = 15$. \item[ ] étape 2 : le reste de la division de $2 \times 15 + 3 = 33$ par 26 est $7$. \item[ ] étape 3 : on associe $7$ à H. Donc P est codé par la lettre H. \end{description} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Que dire alors du codage obtenu lorsque l'on prend $a = 0$ ? \item Montrer que les lettres A et C sont codées par la même lettre lorsque l'on choisit $a = 13$. \item \emph{Dans toute la suite de l'exercice}, on prend $a = 5$ et $b = 2$. \begin{enumerate} \item On considère deux lettres de l'alphabet associées respectivement aux entiers $n$ et $p$. Montrer, que si $5n + 2$ et $5p + 2$ ont le même reste dans la division par 26 alors $n - p$ est un multiple de $26$. En déduire que $n = p$. \item Coder le mot AMI. \end{enumerate} \item On se propose de décoder l a lettre E. \begin{enumerate} \item Montrer que décoder la lettre E revient à déterminer l'élément $n$ de $\Omega$ tel que $5n - 26y = 2$, où $y$ est un entier. \item On considère l'équation $5x - 26y = 2$, avec $x$ et $y$ entiers relatifs. \begin{enumerate} \item Donner une solution particulière de l'équation $5x - 26y = 2$. \item Résoudre alors l'équation $5x - 26y = 2$. \item En déduire qu'il existe un unique couple $(x~;~y)$ solution de l'équation précédente, avec $0 \leqslant x \leqslant 25$. \end{enumerate} \item Décoder alors la lettre E. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie sur $\N^*$ par \[u_{n} = \displaystyle\sum_{k=n}^{2n} \dfrac{1}{k} = \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n+1} + \cdots + \dfrac{1}{2n}.\] \vspace{0,25cm} \textbf{PARTIE A} \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $n$ de $\N^*$ \[u_{n+1} - u_{n} = \dfrac{-3n - 2}{n(2n+2)(2n+1)}\] \item En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$. \itemÉtablir alors que $\left(u_{n}\right)$ est une suite convergente. \end{enumerate} \medskip L'objectif de la partie B est de déterminer la valeur de la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. \vspace{0,25cm} \textbf{PARTIE B} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par : \[f(x) = \dfrac{1}{x} + \ln \left(\dfrac{x}{x+1}\right)\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier pour tout entier naturel $n$ non nul l'encadrement : \[\dfrac{1}{n+1}\leqslant \displaystyle\int_{n}^{n+1}\dfrac{1}{x}\:\text{d}x \leqslant \dfrac{1}{n}\] \item Vérifier que \[\displaystyle\int_{n}^{n+1}\dfrac{1}{x}\:\text{d}x = \dfrac{1}{n} - f(n)\] \item En déduire que pour tout entier naturel $n$ non nul, \[0 \leqslant f(n) \leqslant \dfrac{1}{n(n+1)}\] \end{enumerate} \item On considère la suite $\left(S_{n}\right)$ définie sur $\N^*$ par \[S_{n} = \displaystyle\sum_{k=n}^{2n} \dfrac{1}{k(k+1)} = \dfrac{1}{n(n+1)} + \dfrac{1}{(n + 1)(n + 2)} + \cdots + \dfrac{1}{2n(2n + 1)}\] \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, \[0 \leqslant f(n) + f(n + 1) + \cdots +f(2n) \leqslant S_{n}\] \item Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que pour tout réel $x$ distinct de $-1$ et de $0$, on ait \[\dfrac{1}{x(x + 1)} = \dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{x + 1}\] \item En déduire l'égalité \[S_{n} = \dfrac{n + 1}{n(2n + 1)}\] \item En utilisant les questions précédentes, déterminer alors la limite quand $n$ tend vers $+\infty$ de \[\displaystyle\sum_{k=n}^{2n} f(k) = f(n) + f(n + 1) + \cdots + f(2n)\] \item Vérifier que pour tout entier $n\geqslant 1$, \[f(n) + f(n+1) + \cdots + f(2n) = u_{n} - \ln\left(2 + \dfrac{1}{n}\right)\] \item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%% fin Nouvelle-Calédonie mars 2007 \end{document}