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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\lhead{A. P. M. E. P.}
\rhead{\small L'intégrale 2001}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\huge\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI  2001~\decofourright \\\vspace{1cm} L'intégrale de juin à novembre 2001}}

\vspace{0,25cm}

Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large \textcolor{blue}{bleus}}
\end{center}

\vspace{1cm}
 
{\Large  \hyperlink{Franceappli}{Métropole  Arts appliqués  juin 2001} \dotfill 3 \medskip

\hyperlink{LaReunionmeca}{La Réunion Génie civil juin 2001} \dotfill 5 \medskip
 
\hyperlink{Francecivi}{Métropole Génie civil  juin  2001}  \dotfill 8 \medskip

\hyperlink{Metrocivilsep}{Métropole Génie civil  septembre  2001}  \dotfill 10 \medskip

\hyperlink{Caledocivil}{Nouvelle-Calédonie  Génie civil  novembre  2001}  \dotfill 12 \medskip

\hyperlink{FranceF11}{Métropole F 11 F 11 $'$ juin  2001} \dotfill 15 \medskip

\hyperlink{Franceelectro}{Métropole  Génie électronique  juin 2001} \dotfill 18 \medskip

\hyperlink{LaReunionelectro}{La Réunion Génie électronique juin 2001} \dotfill 21 \medskip

\hyperlink{Metroelectrosep}{Métropole  Génie électronique  septembre 2001} \dotfill 23 \medskip

\hyperlink{Metromateriaux}{Métropole Génie des matériaux juin 2001} \dotfill 26 \medskip

\hyperlink{Metromateriauxsep}{Métropole Génie des matériaux septembre 2001} \dotfill 28 \medskip

\hyperlink{Caledomateriauxnov}{Nouvelle-Calédonie Génie des matériaux nov. 2001} \dotfill 30 \medskip
} 
\newpage
 ~
\newpage  
%%%%%%%%%%%%%%   Métropole  Arts appliqués juin 2001
\hypertarget{Franceappli}{}

\lhead{\small Baccalauréat STI Arts appliqués }
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2001}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole juin 2001~\decofourright\\Arts appliqués }  
    
\vspace{0,25cm}

Durée : 2 heures \hfill Coefficient : 2

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

Un atelier fabrique une série d'autocollants qui peuvent être de couleur bleue ou jaune, de forme ronde ou carrée, avec ou sans liseré.

On a récapitulé les quantités produites dans deux tableaux :

\vspace{0,4cm}

\begin{tabular}{| l | c | c |}\hline
\multicolumn{3}{|c|}{FOND JAUNE}\\ \hline%
\multicolumn{1}{ l|}{} & ronde & carrée\\ \hline%
avec liseré & $800$ & \nombre{1200}\\ \hline%
sans liseré & \nombre{1300} & \nombre{1700}\\ \hline
\end{tabular} \hspace{3cm}
 \begin{tabular}{| l | c | c |}\hline
\multicolumn{3}{|c|}{FOND BLEU}\\ \hline 
\multicolumn{1}{ l|}{}    & ronde & carrée\\ \hline
avec liseré & \nombre{1000} & \nombre{1500}\\ \hline
sans liseré & $900$ & \nombre{1600}\\ \hline
\end{tabular}
    
\bigskip

A - En utilisant les données précédentes, recopie et remplir toutes les cases des tableaux ci-dessous :

\vspace{0,4cm}

\begin{tabular}{| l | c | c |c |}\hline
\multicolumn{4}{|c|}{FORME RONDE}\\ \hline
\multicolumn{1}{ l|}{} & jaune & bleue & {\footnotesize Sous-total}\\ \hline
avec liseré &  & &\\ \hline
sans liseré &  & &\\ \hline
\multicolumn{1}{l|}{Sous-total}&&&\\ \cline{2-4}
\end{tabular} \hspace{0,25cm}
\begin{tabular}{| l | c | c |c |}\hline
\multicolumn{4}{|c|}{FORME CARRéE}\\ \hline
\multicolumn{1}{ l|}{}    & jaune & bleue & {\footnotesize Sous-total}\\ \hline
avec liseré &  & & \\ \hline
sans liseré &  & & \\ \hline
\multicolumn{1}{l|}{Sous-total} &&&\\ \cline{2-4}
\end{tabular}
    
\bigskip

B - On prélève au hasard l'un des autocollants produits. On note les évènements :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] R : \og prélever un autocollant rond \fg{} ;
\item[] C : \og prélever un autocollant carré \fg{} ;
\item[] J : \og prélever un autocollant jaune \fg{} ;
\item[] B : \og prélever un autocollant bleu \fg{} ;
\item[] L : \og prélever un autocollant avec liseré \fg{} ;
\item[] $\overline{\text{L}}$ : \og prélever un autocollant sans liseré \fg{} ;
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item On appelle $\Omega$ l'ensemble des autocollants produits.

Quel est le nombre d'éléments de $\Omega$ ?
\item Quel est le nombre d'éléments de R, J, L, et $\overline{\text{L}}$ ?
\item Calculer la probabilité des évènements suivants :
	\begin{enumerate}
		\item R ~$\cap$~L~$\cap$~J ;
		\item R~$\cap~ \overline{\text{L}}$ ;
		\item C ;
		\item C ~$\cup$~ B ;
		\item $\overline{\text{C} ~\cup~ \text{B}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

N.B. Les résultats seront donnés, en valeur exacte, sous forme 
de nombres décimaux avec deux chiffres après la virgule.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  12 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\left]- \infty~;~\dfrac{3}{2}\right[$ par

\[f(x) = 4\text{e}^x - \text{e}^{2x}.\]

On désigne par ($\mathcal{C}$) sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij, dont l'unité graphique est $2$~cm.

\bigskip

1\up{re} partie : étude de la fonction $f$.

\begin{enumerate}
\item Calculer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend 
vers $- \infty$.

En déduire que ($\mathcal{C}$) admet une asymptote dont on précisera une équation.
\item
	\begin{enumerate}
		 \item $f'$ désigne la dérivée de $f$ sur $\left]- \infty~;~\dfrac{3}{2}\right[$.

Montrer que $f'(x) = 2\text{e}^x\left(2 - \text{e}^x\right)$.
		\item Résoudre dans $R$ l'inéquation $2 - \text{e}^x > 0$ et en déduire 
le signe de $f'(x)$ sur $\left]- \infty~;~\dfrac{3}{2}\right[$.
		\item Dresser le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

2\up{e} partie : Courbe ($\mathcal{C}$) et applications.

\begin{enumerate}
\item Résoudre, dans $\left]- \infty~;~\dfrac{3}{2}\right[$,  l'équation $f(x) = 0$.

Interpréter graphiquement le résultat.
\item Tracer ($\mathcal{C}$) dans le repère \Oij.
\item Déterminer graphiquement l'ensemble des solutions 
de l'inéquation 

$f(x) \geqslant 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

3\up{e} partie : Calcul d'une aire et application.

\medskip

On désigne par (P) la partie du plan limitée par ($\mathcal{C}$), l'axe des abscisses, et les droites d'équations $x = - 5$ et $x = \ln 4$.

\begin{enumerate}
 \item
 	 \begin{enumerate}
	 	 \item Calculer $\displaystyle\int_{-5}^{\ln 4} 
f(x)\:\text{d}x$ et, à l'aide d'une calculatrice, en donner une valeur approchée à $10^{-2}$, près.
		\item En déduire l'aire de (P).
	\end{enumerate}
\item On désigne par (P$'$), le symétrique de (P) par rapport à l'axe des abscisses.

La réunion des domaines (P) et (P$'$) représente un logo, à l'échelle  $\dfrac{1}{8}$, pour une enseigne publicitaire.

En tenant compte du résultat précédent, calculer l'aire en  cm$^2$, puis en m$^2$, de ce logo.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin  Métropole  Arts appliqués juin 2001
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%  La Réunion Génie civil juin 2001
\hypertarget{LaReunionmeca}{}

\lhead{\small Baccalauréat STI  Génie civil,  énergétique,  mécanique (A et F)}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2001}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STI La Réunion juin 2001~\decofourright\\Génie civil,  énergétique,  mécanique (A et F) } \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

On dispose de deux urnes U$_1$ et U$_2$.

L'urne U$_1$ contient 4 boules rouges portant respectivement les numéros  0, 1, 2, 4 et l'urne U$_2$ contient $3$ boules vertes portant respectivement les numéros 1, 3, 5.

On tire au hasard et simultanément une boule de l'urne U$_1$ et une boule de l'urne U$_2$.

$\bullet~ a$ désigne le numéro de la boule tirée de U$_1$ et $b$ celui de la boule tirée de U$_2$.

$\bullet~ z$ est le nombre complexe dont la partie réelle est $a$ et la partie imaginaire $b$.

On suppose que les écritures algébriques $z = a + \text{i}b$ possibles sont équiprobables.

\textbf{Les probabilités demandées seront données sous forme de fractions irréductibles.}

\begin{enumerate}
\item	Dresser une liste de toutes les écritures algébriques possibles de $z$.
\item Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :
	\begin{enumerate}
		\item E$_1$ : \og  $z = 1 + 3\text{i}$ \fg{},
		\item E$_2$ : \og $z + \overline{z} = 2$ \fg{}.
\end{enumerate}
\item On désigne par A l'évènement \og le module de $z$ est 5 \fg{}, et par B l'évènement \og $z$ est un imaginaire pur \fg{}.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la probabilité de l'évènement A puis celle de l'évènement B.
		\item Définir par une phrase l'évènement A $\cap$ B.

Calculer la probabilité de cet évènement.
		\item En déduire la probabilité de l'évènement A $\cup$ B.
	\end{enumerate}
\item On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tirage, 
associe $a + b$.
	\begin{enumerate} 
		\item Quelles sont les valeurs prises par $X$ ?
		\item Déterminer la loi de probabilité de $X$.
		\item Calculer l'espérance mathématique E($X$) de $X$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  5 points}

\medskip

On appelle $f$ la fonction numérique définie sur l'intervalle $[0~;~ 1]$ par :

\[f(x) = \text{e}^x - 1.\]

On désigne par ($\mathcal{C}$) la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté  à un repère orthonormal \Oij{~} ; unité graphique $10$~cm.

\begin{enumerate}
\item Représenter la courbe ($\mathcal{C}$).
\item
	 \begin{enumerate}
	 	 \item Calculer $\displaystyle\int_0^1 
f(x)\:\text{d}x$.
		\item En déduire que la valeur moyenne $\mu$ de $f$ sur l'intervalle $[0~; ~1]$ est égale à $\text{e} - 2$.

Donner l'arrondi au centième de $\mu$.

On désigne par ($\mathcal{P}$) la partie du plan limitée par la courbe
 ($\mathcal{C}$), l'axe  des abscisses et la droite d'équation $x = 1$, et par
 ($\mathcal{R}$) la partie du plan limitée par la droite d'équation $y = 
 \mu$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x =1$.
	\end{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
	 	 \item Représenter ($\mathcal{P}$) et ($\mathcal{R}$) en utilisant des hachures.
		\item Justifier le fait que ($\mathcal{P}$) et ($\mathcal{R}$) ont la même aire.
	\end{enumerate}
\item On désigne par $V_1$ le volume, exprimé en unités de volume, du solide  engendré par la rotation de la partie ($\mathcal{P}$) autour de l'axe des abscisses et par $V_2$ celui du solide engendré parla rotation de la partie ($\mathcal{R}$)  autour du même axe.

\[\left(\text{On rappelle que}~  V_1 = \displaystyle\int_0^1 [f(x)]^2 
\:\text{d}x\right).\]

On se propose de comparer $V_1$ et $V_2$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur exacte de $V_1$.
		\item Calculer la valeur exacte de $V_2$.
		\item Calculer la valeur exacte de $V_1 - V_2$ puis donner un arrondi au millième.

Conclure.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij.

\bigskip

\textbf{Partie A : Détermination d'une fonction}

On considère la fonction $\varphi$, définie sur l'intervalle $]- 1~;~ + 
\infty[$ par :
 
\[\varphi(x) = a - (bx + 1)\ln (x + 1),\]
où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.

La courbe $\left(\mathcal{C}_{\varphi}\right)$, représentative de la fonction  $\varphi$, satisfait aux conditions suivantes :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $\left(\mathcal{C}_{\varphi}\right)$ passe par le point A de coordonnées  $(0~;~\text{e})$,
\item[$\bullet~$]  $\left(\mathcal{C}_{\varphi}\right)$ passe parle point B de coordonnées  $(\text{e} - 1~;~ 0)$.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Déterminer $a$ puis $b$.
\item En déduire $\varphi(x)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :  étude d'une fonction et tracé de sa courbe représentative}

\medskip

On appelle $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]- 1~;~+ \infty[$ par 

\[f(x)  = \text{e} - (x + 1)\ln (x + 1).\]

On désigne par $(\mathcal{C}_{f})$ sa courbe représentative.

\begin{enumerate}
 \item
 	 \begin{enumerate}
	 	 \item Démontrer que la limite de $f$ en $- 1$ est égale à e. (On admettra  que
		 
$\displaystyle\lim_{x \to 0} X \ln X = 0$).
		\item Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate} 
	 	\item Démontrer, en la résolvant, que l'équation $f'(x) =  0$ admet une unique solution, notée $\alpha$, dans 
l'intervalle $]-1~;~+ \infty[$.

Donner une valeur exacte puis la valeur décimale arrondie à $10^{-2}$ 
de  $\alpha$.
		\item Étudier le sens de variations de $f$ sur l'intervalle $]-1~;~+ \infty[$.
		\item Calculer la valeur exacte de $f(\alpha)$ et sa valeur décimale arrondie à $10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\item Dresser le tableau de variations de $f$.
\item
	 \begin{enumerate}
	 	 \item Calculer les coefficients directeurs des tangentes (T$_1$) et (T$_2$) à la courbe $(\mathcal{C}_{f})$ aux points d'abscisses respectives $0$ et $\text{e} - 1$.
		\item Tracer les tangentes (T$_1$) et (T$_2$) et la courbe $(\mathcal{C}_{f})$. (Unité graphique : $5$~centimètres).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Calcul d'une aire}

\begin{enumerate}
\item	Soit $G$ la fonction définie sur l'intervalle 
$]-1~;~+ \infty[$ par : 

\[G(x) = \dfrac{1}{4}(x +1)^2[2\ln (x+1) - 1].\]

Vérifier que $G$ est une primitive de la fonction qui, à $x$ associe $(x + 1)~\ln (x +1)$.

En déduire une primitive $F$ de $f$.
\item On désigne par ($\mathcal{P}$) la partie du plan délimitée par l'axe des  abscisses, l'axe des ordonnées et la courbe $(\mathcal{C}_{f})$.
	\begin{enumerate}
		 \item Représenter ($\mathcal{P}$) sur la figure précédente en utilisant des hachures.
		\item Calculer la valeur exacte de l'aire de la partie hachurée, en cm$^2$.
		
Donner sa valeur décimale arrondie à $10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%  fin La Réunion Génie civil juin 2001 
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Métropole génie civil juin 2001
\hypertarget{Francecivi}{}

\lhead{\small Baccalauréat STI  Génie mécanique A et F, énergétique, civil}
\lfoot{\small{France}}
\rfoot{\small{juin 2001}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STI France juin 2001~\decofourright\\Génie mécanique A et F, énergétique, civil } \end{center}

\vspace{0,5cm}

Durée : 4 heures \hfill Coefficient : 4

\begin{center} L'usage des calculatrices est autorisé pour cette épreuve

Le formulaire officiel de mathématiques est distribué en même temps que
 le sujet.

Ce sujet nécessite $2$ feuilles de papier millimétré. \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Oij{}  d'unité graphique $1$~cm. On considère les points A, B, C d'affixes respectives :

\[z_{\text{A}} = \sqrt{3} + 3\text{i}~ ;~ z_{\text{B}} = 2\sqrt{3} \quad 
\text{et}\quad  z_{\text{C}} = 2\text{i}.\]

\begin{enumerate}
\item Placer les points A, B et C dans le plan complexe
 (sur papier millimétré).
\item Déterminer le module et un argument du nombre
 complexe $z_{\text{A}}$.
\item
	 \begin{enumerate}
	 	 \item  Calculer les modules des nombres complexes
$z_{\text{A}}  - z_{\text{C}},~z_{\text{B}} - z_{\text{A}}$ et 
$z_{\text{B}} - z_{\text{C}}$.

En déduire la nature du triangle ABC.
		\item Déterminer l'affixe du centre K du cercle $(\Gamma)$
 circonscrit au triangle ABC préciser le rayon $r$ de ce cercle.
		\item Montrer que le point O appartient au cercle $(\Gamma)$.
	\end{enumerate}
\item On considère le point D, d'affixe $z_{\text{D}} = 2 \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}$.
	\begin{enumerate}
	 	\item Montrer, que $z_{\text{D}} = \sqrt{3}-  \text{i}$.
		\item Calculer l'affixe du milieu M du segment [AD].
		\item Démontrer que le quadrilatère ABDC est un rectangle.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\begin{enumerate} 
\item Résoudre l'équation différentielle : $4y'' + y = 0$.
\item Déterminer la solution particulière de cette équation différentielle vérifiant 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
f(\pi) & = & \sqrt{3}\\
f'(\pi)& =& - \dfrac{1}{2}.
\end{array}  \right.\]

\item Montrer que cette solution $f$ vérifie, pour
 tout $x$ réel : $f(x) = 2 \cos \left( \dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi}{3} \right)$.
\item Résoudre dans l'ensemble des nombres réels
 l'équation d'inconnue $x$
 
$ : f(x) = 1$~; en donner les solutions appartenant à l'intervalle $[0; 4\pi[$.
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  11 points}

\medskip

Dans tout le problème, le plan est rapporté à un repère orthogonal 
\Oij{}  (unités graphiques : $2$~cm sur l'axe des abscisses, $1$~cm sur l'axe des ordonnées).

Soit $f$ la fonction définie sur $]-\infty~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = 3\text{e}^{-x} + 2x - 4.\]

\bigskip

\textbf{Partie A : Construction de la courbe représentative de} 
\boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate} 
\item
	 \begin{enumerate} 
	 	\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
		\item Vérifier que $f(x) = \text{e}^{-x}\left(3 + 2x\text{e}^x - 
 4\text{e}^{x}\right)$. Déterminer alors la limite de $f$ en $- \infty$.
		\item Soit $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ et
soit (D) la droite d'équation : 
 
$y = 2x - 4$. Montrer que (D) est  asymptote à $(\mathcal{C})$ en $+ \infty$ et étudier la position relative  de la droite (D) par rapport à la courbe $(\mathcal{C})$. 
	\end{enumerate} 
\item
	 \begin{enumerate}
	 	 \item Calculer la dérivée de $f$ Résoudre l'inéquation d'inconnue réelle 
		 
$x~ :~ - 3\text{e}^{-x} + 2 \geqslant 0.$
		\item Dresser le tableau de variations de $f$.
		\item Donner une équation de la tangente (T) à la courbe $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $0$.
		\item Déterminer les valeurs exactes du minimum et du maximum de
 la fonction $f$ sur l'intervalle $[-2~;~5]$. 
	\end{enumerate}
\item Tracer $(\mathcal{C})$, (D) et (T) dans le
 repère \Oij, pour $x$ variant de $-2$ à $5$ (sur papier millimétré). 
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Partie B : Calcul d'une aire}

\medskip

\begin{enumerate}
 \item Chercher une primitive de $f$ sur $]- \infty~;~+ \infty[$.
\item
	 \begin{enumerate}
	 	\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet sur ]1 ; 2[ une unique solution $\alpha$ dont on donnera une valeur approchée au dixième près.
		\item Préciser, en le justifiant, le signe de $f(x)$ sur
 l'intervalle $]\alpha~;~ + \infty[$.
		\item Calculer, en cm$^2$, l'aire du domaine plan limité par la
 courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équation
 $x = \alpha$ et $x = 4$. En donner une valeur approchée en utilisant
 pour $\alpha$ la valeur approchée trouvée précédemment. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole génie civil juin 2001
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%   Métropole génie civil septembre 2001
\hypertarget{Metrocivilsep}{}

\lfoot{\small Métropole}
\rfoot{\small{septembre 2001}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~STI Métropole septembre   2001~\decofourright\\Génie mécanique, civil, énergétique }}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  6 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre l'équation différentielle (E) $y'' + \dfrac{1}{4}y = 0$ dans
laquelle l'inconnue $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur $\R$.
\item  Déterminer la solution particulière $f$ de (E) vérifiant : $f(0) = 1$ et $f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$.
\item  Vérifier que, pour tout réel $x,~ f(x) = \sqrt{2} \cos \left(\dfrac{1}{2}x  - \dfrac{\pi}{4}\right)$.
\item 	étudier les variations de $f$ sur l'intervalle $\left[- \dfrac{\pi}{2} ~;~\dfrac{\pi}{2}\right].$
\item 	On munit le plan d'un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : $4$~cm). Tracer la courbe représentant la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[- \dfrac{\pi}{2} ~;~ \dfrac{\pi}{2}\right]$ (sur papier millimétré).
\item  Soit $\mathcal{F}$ l'ensemble des points $M(x ~;~ y)$ du plan tels que $- \dfrac{\pi}{2} \leqslant 	x \leqslant \dfrac{\pi}{2}$ 	et

$0 \leqslant y	\leqslant f(x)$.

Calculer, en cm$^3$, le volume $\mathcal{V}$ du solide de révolution engendré par la rotation de autour de l'axe (O$x$).\\
(On rappelle qu'en cm$^3$ : $\mathcal{V} = 64\pi \displaystyle\int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}  [f(x)]^2\: \text{d}x).$
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  4 points}

\medskip

Une urne U$_{1}$ contient 5 boules numérotées 1, 2, 3, 4 et 5. Une urne U$_{2}$ contient trois boules numérotées 2, 3 et 4. Un jeu consiste à tirer une boule au hasard dans chaque urne. Dans chaque urne, chaque boule a la même probabilité d'être tirée.

Si la boule tirée dans l'urne U$_{1}$ porte les numéros 1 ou 5, le joueur ne gagne rien. Si les deux numéros tirés sont identiques, le joueur reçoit $50$~euros. Dans tous les autres cas, le joueur gagne $20$~euros.

\begin{enumerate}
\item 	Compléter le tableau ci-dessous indiquant, en fonction du tirage, le gain du joueur.
\item 	On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque tirage des deux boules associe le gain	du joueur.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la loi de probabilité de $X$. 
		\item   Calculer l'espérance de $X$. 
		\item   Avant de jouer, chaque participant doit
payer $15$~euros. Le joueur a-t-il alors intérêt à participer à ce jeu ? 
		\item   Quelle somme faudrait-il attribuer au joueur dans le cas où les deux numéros seraient identiques, pour que le jeu soit équitable (gain de $0$~euro et $20$~euros ne changeant pas) ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
\diagbox{U$_{1}$}{U$_{2}$}		&2		&3			&4\\ \hline
1								&		&			&\\\hline
2								&		&			&$20$\\ \hline
3								&		&			&\\ \hline
4								&		&			&\\ \hline
5								&		&$0$		&\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  10 points}

\medskip
	
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par

\[f(x) = x \text{e}^{-x}  +x\]

et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité : $1$~cm.

\medskip

\textbf{Partie A : étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par
 
\[g(x) = (1 - x)\text{e}^{-x} + 1.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $g'(x)$, puis étudier le signe de $g(x)$.
\item Calculer $g(2)$. Dresser le tableau de variations de $g$ (les limites en $+\infty$ en $- \infty$ ne	sont pas demandées). En déduire le signe de $g(x)$.
\end{enumerate}
	
\medskip

\textbf{Partie B : étude de \boldmath $f$ \unboldmath et représentation graphique}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)$.
\item Calculer $f'(x)$. Vérifier que $f'(x) = g(x)$. Dresser le tableau de variations de $f$.
\item Montrer que la droite $\Delta$ d'équation $y = x$ est asymptote à $\mathcal{C}$ au voisinage de $+\infty$.
\item Étudier la position de $\mathcal{C}$ par rapport à $\Delta$.
\item Tracer dans le repère \Oij{} la droite $\Delta$ et la courbe $\mathcal{C}$ (sur papier millimétré).
\end{enumerate}	
	
\medskip

\textbf{Partie C : étude d'une aire}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $H$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[H(x) = (- 1 - x)\text{e}^{-x}.\]

Calculer $H'(x)$.
\item Soit $\alpha$ un réel strictement positif. Soit (E) la partie du plan limitée par $\mathcal{C}$, $\Delta$ et les	droites d'équations $x =  0$ et $x = \alpha$. Calculer, en cm$^2$, l'aire $\mathcal{A}(\alpha)$ de (E).
\item  	Calculer la limite de $\mathcal{A}(\alpha)$ quand $\alpha$ tend vers $+ \infty$.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole génie civil septembre 2001
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%   Nouvelle-Calédonie génie civil novembre 2001
\hypertarget{Caledocivil}{}

\lfoot{\small Nouvelle--Calédonie }
\rfoot{\small{novembre 2001}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STI Nouvelle--Calédonie~\decofourright\\Génie civil, mécanique, énergétique \\ novembre 2001}

\end{center} 

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill	5 points}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, l'unité graphique étant le centimètre.

\begin{enumerate} 
\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation :
 
 \[(z - 11 \text{i})\left(z^2 - 16 z + 89\right) = 0.\]

\item On donne les points A, B et C d'affixes  respectives $z_{\text{A}} = 8 - 5 \text{i},~ z_{\text{B}} = 8 + 5$i  et $z_{\text{C}} = 11$i. 
	\begin{enumerate} 
		\item Placer A, B et C. La figure sera complétée au fur et à mesure des	questions.	
		\item Calculer $\left|z_{\text{C}} - z_{\text{B}}\right|$ et interpréter	géométriquement le résultat obtenu.	
		\item Démontrer que ABC est un triangle isocèle.
	\end{enumerate}
\item D est le point d'affixe $z_{\text{D}} = - 2$ et  B$'$ le milieu du segment [AC]. 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer l'affixe du point B$'$.	
		\item Calculer les affixes des vecteurs $\vect{\text{DB}}$	et $\vect{\text{DB}'}$.	
		\item En déduire que les points D, B et B$'$ sont alignés.	
		\item En déduire que (DB) est la médiatrice du segment [AC].
	\end{enumerate}
\item Justifier que la droite (DO) est une médiatrice du triangle ABC. 
\item Quel est le centre du cercle passant par A, B et C ?
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\medskip
 
Lors de la \og foire aux affaires \fg, dans un magasin de bricolage, un client s'intéresse à une meuleuse d'angle et à une scie sauteuse. On admet, pour ce client, les  hypothèses suivantes :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  La probabilité qu'il achète la meuleuse d'angle est $0,60$.
\item  La probabilité qu'il achète la scie sauteuse est $0,46$.
\item  La probabilité qu'il achète la meuleuse d'angle ou la scie sauteuse est $0,64$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
	
On désigne par $M$ l'évènement \og le client achète la meuleuse d'angle \fg{} et par $S$ l'évènement \og le client achète la scie sauteuse \fg.

\begin{enumerate} 
\item Quelques calculs préliminaires :
	\begin{enumerate} 
		\item	Calculer la probabilité de l'évènement \og le client n'achète pas la meuleuse d'angle \fg.
		\item	Montrer que la probabilité de l'évènement \og le client achète la meuleuse d'angle et la scie sauteuse \fg{} est $0,42$.
		\item Calculer la probabilité de l'évènement 
$\overline{M} \cap S$.
	\end{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau suivant :

\renewcommand\arraystretch{1.6} 
\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|} }\hline
				&$M$	&$\overline{M}$	& \\ \hline
$S$				&0,42	& 				& 0,46\\ \hline
$\overline{S}$	&		&				& \\ \hline
				&0,60 	&  				&1\\\hline
\end{tabularx}\]
\renewcommand\arraystretch{1}

\item La meuleuse d'angle coûte $12,96$~\euro{} et la scie 
sauteuse $15,09$~\euro. On désigne par $D$ la variable aléatoire égale à la dépense, en euros, du client.

	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer les différentes valeurs de la variable aléatoire $D$.		\item Établir la loi de probabilité de $D$.	
		\item Calculer l'espérance mathématique de $D$. On en donnera l'arrondi au centime d'euro.	
		\item Quel chiffre d'affaires le magasin peut-il espérer réaliser si 50~clients, intéressés par ces deux appareils, se présentent pendant 
cette \og foire aux affaires \fg{} ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\bigskip

\textbf{Première partie :}

\medskip

Soit $p$ la fonction polynôme définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par 

\[p(X) = 3 X^3  - 7 X^2 + 4.\]

\begin{enumerate} 
\item Montrer que pour tout nombre réel $X,~ p(X) = (X- 1)\left(3X^2 - 4X - 4\right)$.
\item Factorisation de $p$ : 
	\begin{enumerate} 
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation : $3X^3 - 7 X ^2 + 4 = 0$.
		\item En déduire une écriture de $p(X)$ sous la forme d'un produit de trois polynômes du premier degré.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que pour tout nombre réel 
 $x$,
\[ 3\text{e}^{3x} - 7\text{e}^2 + 4  = (\text{e}^x - 1)(\text{e}^x - 2)(3\text{e}^x + 2).\]

		\item Résoudre dans l'ensemble $\R$ l'équation 
$3\text{e}^{3x}x - 7\text{e}^{2x}x + 4 = 0$.
		\item Étudier le signe de $3\text{e}^{3x} - 7\text{e}^{2x} + 4$ 
pour $x$ appartenant à l'ensemble $\R$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie :}

\medskip

On considère l'équation différentielle $E~ :~ y'+ 2 y = 0$.

\begin{enumerate} 
\item Résoudre l'équation $E$.
\item Déterminer la solution particulière $f$ de 
 l'équation $E$ vérifiant $f(\ln 2) = 1$, ou $\ln$ représente la
fonction logarithme népérien.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Troisième partie :}

\medskip

On appelle $f$ et $g$ les fonctions respectivement définies sur l'ensemble $\R$ par :
	
\[f(x) = 4\text{e}^{-2x}\quad  \text{et} \quad g(x) = 7 - 
3\text{e}^x.\]

On appelle $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C'}$ les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij.  Unités graphiques : $6$~cm en abscisses et $2$~cm en ordonnées.

\begin{enumerate} 
\item Limites et asymptotes
	\begin{enumerate} 
		\item	Calculer les limites de $f$ et de $g$ en $- \infty$  et 	en $+ \infty$.	
		\item En déduire pour chacune des courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C'}$, l'existence d'une droite asymptote nommée D pour la courbe $\mathcal{C}$ et D$'$ pour la courbe $\mathcal{C'}$. Donner une équation pour chacune de ces droites.
	\end{enumerate}
\item Variations
	\begin{enumerate} 
		\item Étudier les variations de $f$ et de $g$ sur $\R$.	
		\item Dresser les tableaux de variation de $f$ et $g$.
	\end{enumerate}
\item Positions respectives de $\mathcal{C}$ et de $\mathcal{C'}$.
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que pour tout nombre réel $x,$
    
\[f(x) - g(x) = \text{e}^{-2x}\left(3\text{e}^{3x} - 7\text{e}^{2x} + 4\right).\]

		\item En déduire les coordonnées des points d'intersection de $\mathcal{C}$ et de $\mathcal{C'}$.
		\item Justifier que sur l'intervalle $[0~;~\ln 2]$, $\mathcal{C}$ est en dessous de $\mathcal{C'}$.
	\end{enumerate}
\item Construire D, D$'$,~ $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C'}$ dans le repère orthogonal $\left(\text{O}~;~\vect{\imath}~;~\vect{\jmath}\right)$ dont on rappelle que les unités graphiques sont $6$~cm en abscisses et $2$~cm en ordonnées.
\item On désigne par $\mathcal{P}$ le domaine plan limité par les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C'}$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = \ln 2$.
	\begin{enumerate} 
		\item Hachurer $\mathcal{P}$.
		\item Calculer la valeur exacte, en cm$^2$ , de l'aire de $\mathcal{P}$. En donner l'arrondi au mm$^2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Nouvelle-Calédonie génie civil novembre 2001
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%   Métropole F 11 juin 2001
\hypertarget{FranceF11}{}

\lhead{\small Baccalauréat F 11 - F 11$'$ }
\lfoot{\small{France}}
\rfoot{\small{ juin 2001}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat F 11 - F 11$'$ France juin 2001~\decofourright} 
    
\vspace{0,5cm}

Durée : 2 heures \hfill Coefficient : 2

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice}  \hfill 8 points}

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :

\[f(x) = \text{e}^{x}\left( 4 - \text{e}^{x}\right).\]

On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$. On donne ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ dans le repère orthogonal d'unités graphiques $2$~cm pour les abscisses et $1$~cm pour les ordonnées.

\psset{xunit=2cm}
\begin{center} 
\begin{pspicture}(-4,-7)(2,5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-4,-7)(2,5)
\psline[linewidth=1.75pt]{->}(-4,0)(2,0)
\psline[linewidth=1.75pt]{->}(0,-7)(0,5)
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1}
\uput[l](0,3){A} \uput[ur](0.69,4){B} \uput[ur](1.4,0){E}
\uput[u](-3,0.2){$\mathcal{C}$}
\psline[linestyle=dotted](0.69315,0)(0.69315,4)
\psline[linewidth=2pt]{<->}(-0.5,2)(0.7,4.4) \psline[linewidth=2pt]{<->}(0.19,4)(1.19,4)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{1.673}{4 2.71828 x exp sub 2.71828 x exp mul}
\end{pspicture} 
\end{center}

\begin{enumerate}
 \item
 	 \begin{enumerate}
	 	\item Étudier la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
		\item Étudier la limite de la fonction $f$ en $- \infty$. Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
	\end{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
	 	\item Calculer $f'(x)$.
		\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe 
$\mathcal{C}$ au point A d'abscisse $0$.
		\item La tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point B est parallèle à l'axe des abscisses.
Calculer les coordonnées de B.
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\R$ puis dresser le tableau de variations de  la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
	 	 \item Calculer les coordonnées du point d'intersection E de la courbe $\mathcal{C}$ et de l'axe des abscisses.
		\item Par lecture graphique, déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 1$ puis encadrer chaque solution par deux entiers consécutifs.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\vspace{0,5cm}

\parbox[l]{0.4\textwidth}{\textbf{I} On considère une fonction $f$ définie sur  l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = ax + b + \dfrac{2}{x}\]

où $a$ et $b$ désignent deux nombres réels.

La courbe $\mathcal{C}$ ci-contre est la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal d'unité graphique $1$~cm.} \hfill
\parbox[r]{0.5\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-1,-2)(5,5)
\psgrid[gridlabelcolor=white](0,0)(-1,-2)(5,5)
\psline[linewidth=2pt](-1,0)(5,0)
\psline[linewidth=2pt](0,-2)(0,5)
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](1,0){1} \uput[dr](5,5){$\mathcal{C}$} 
\uput[l](0,1){1} \uput[d](1,0){1} \uput[ur](0.5,0){{\small 1/2}}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.209}{4.785}{2 x mul  5 sub 2 x div add}
\psline[linewidth=2pt]{<->}(0.5,-1)(1.5,-1)
\end{pspicture}}

\vspace{0,5cm}

\begin{enumerate} 
\item
	 \begin{enumerate}
	 	 \item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la  fonction $f$. Calculer $f'(x)$ en fonction de $a$ et $x$.
		\item Sachant que $f\left(\dfrac{1}{2}\right) =  0$ et $f'(1) = 0$, déterminer les valeurs des réels $a$ et $b$.
	\end{enumerate}
\item Par lecture graphique :
	\begin{enumerate}
		\item déterminer la valeur entière de $f(2)$.
		\item déterminer le signe de $f(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item On pose $a = 2$ et $b = - 5$.
	\begin{enumerate}
		 \item Montrer que la droite à $\Delta$ d'équation  $y = 2x - 5$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ en $+ \infty$.
		\item étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\Delta$ sur l'intervalle $]0~ ;~ + \infty[$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{II} On considère la fonction $g$ définie sur $]0~ ;~ + \infty[$ par :

\medskip

\[g(x) = x^2 - 5x + 2 \ln x.\]

On appelle $\Gamma$ sa courbe représentative dans un repère 
orthonormal \Oij{} d'unité  graphique $2$~cm.

\begin{enumerate}
\item
 	 \begin{enumerate}
	 	\item Déterminer la limite de la fonction $g$ en $0$. Que peut-on en déduire pour la courbe $\Gamma$ ?
		\item Vérifier que $g(x) = x\left(x - 5 + 2\dfrac{\ln x}{x} \right)$ puis déterminer la limite de la fonction $g$ en $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que la fonction $g$ est une primitive  de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. En déduire les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
		\item Donner les valeurs exactes de $g(1)$ et de $g(2)$ puis les valeurs décimales approchées à $10^{-1}$ près  par défaut.
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $g$.
	\end{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
	 	 \item Recopier et compléter le tableau à l'aide des valeurs décimales arrondies à $10^{- 1}$ de $g(x)$.

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{| *{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0,2	&1	&2,5	&	3,5	&4	& 5\\ \hline
$g(x)$	&		&	&		&		&	&\\ \hline
\end{tabularx}\]

		\item Tracer les tangentes à la courbe parallèles à l'axe des abscisses puis la courbe $\Gamma$ dans le repère \Oij.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%   Métropole F 11 juin 2001
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Métropole Génie électronique juin 2001
\hypertarget{Franceelectro}{}

\lhead{\small Baccalauréat STI Métropole juin 2001}
\lfoot{\small{Génie électronique, électrotechnique,\\ optique}}
\rfoot{\small{}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole juin 2001~\decofourright\\Génie électronique, électrotechnique, optique } 

\vspace{0,5cm}

Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.

Il est rappelé aux candidats que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

LE CANDIDAT TRAITERA OBLIGATOIREMENT LES 2 EXERCICES
ET LE PROBLÈME

Durée : 4 heures \hfill Coefficient : 4

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  4 points}

\medskip

Soit l'équation différentielle (E) : $4 y'' + 9 y = 0$ , où $y$ est une fonction de la variable $t$ et $y''$ sa dérivée seconde.

\begin{enumerate} 
\item Résoudre l'équation différentielle (E).

\item Trouver la fonction $f$, solution particulière de (E), vérifiant les
conditions suivantes : 

\[f\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \sqrt{2}\quad \text{ et}\quad f'\left(\dfrac{\pi}{6}\right)= 0.\]

\item Vérifier que, pour tout réel $t,~ f(t) = 
\sqrt{2}\cos \left(\dfrac{3}{2}t - \dfrac{\pi}{4}\right)$.

\item Déterminer la valeur moyenne de $f$ sur 
l'intervalle $\left[0 ~;~\dfrac{\pi}{6}\right]$.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  4 points}

\medskip

Un jeu de hasard consiste à introduire une bille dans le tube d'une machine.

Cette machine possède trois portes P$_{1}$, P$_{2}$ et P$_{3}$ qui ferment ou ouvrent les accès aux quatre sorties possibles s$_{1}$, s$_{2}$, s$_{3}$  et s$_{4}$.

Un système électronique positionne aléatoirement ces trois portes puis libère la bille.

\begin{center}
\psset{xunit=0.95cm}
\begin{pspicture}(10,4)
\psline(0,3.55)(9.7,1.25)(9.7,0) \psline(0,3.2)(9.2,0.8)(9.2,0)
\psline(1.85,2.75)(1.85,0) \psline(2.35,2.5)(2.35,0) 
\psline(4.5,2.05)(4.5,0) \psline(5,1.9)(5,0)
\psline(6.75,1.45)(6.75,0) \psline(7.25,1.35)(7.25,0)
\psline[linewidth=3pt](1.85,2.7)(2.35,2.58) 
\psline[linewidth=3pt](5,1.9)(5,2.4)
\psline[linewidth=3pt](6.75,1.45)(7.25,1.32)
\psline[linestyle=dashed](2.35,2.5)(2.35,3.04)
\psline[linestyle=dashed](4.5,2.05)(5,1.9)
\psline[linestyle=dashed](7.25,1.35)(7.25,1.86)
\uput[d](2.1,0){s$_{1}$} \uput[d](4.75,0){s$_{2}$}
\uput[d](7,0){s$_{3}$} \uput[d](9.5,0){s$_{4}$}
\uput[u](2.1,3.3){P$_{1}$ (fermée)}
\uput[u](4.7,2.6){P$_{2}$ (ouverte)}
\uput[u](7,1.8){P$_{3}$ (fermée)}
\uput[l](-0.2,3.9){Entrée de} 
\uput[l](-0.2,3.5){la bille}
\psline{->}(0,3.4)(0.5,3.25) \psline{->}(4.75,0.5)(4.75,0)
\qdisk(4.75,1){1mm}
\end{pspicture}\end{center}

N.B. : sur le schéma les portes P$_{1}$ et P$_{3}$ sont fermées, 
la porte P$_{2}$ est ouverte, la bille sortira par s$_{2}$.

\begin{enumerate} 
\item énumérer dans un tableau comme ci-dessous, en s'aidant éventuellement d'un arbre de choix, toutes les positions simultanées possibles des trois portes et indiquer la sortie imposée à la bille pour chacune de ces configurations.

\begin{center} \begin{tabular}{| c | c | c | c|}\hline
P$_{1}$ &	P$_{2}$ & 	P$_{3}$ & 	sortie\\ \hline
\ldots\ldots&	\ldots\ldots& & \\ \hline
F & 	O & 	F&	s$_{2}$\\ \hline

\ldots\ldots&	\ldots \ldots & & \\ \hline
\end{tabular} \end{center}

Par convention on notera F une porte fermée et O une porte ouverte.)

\item On suppose que les huit évènements élémentaires, trouvés à la
question 1, sont équiprobables.
	\begin{enumerate}
		 \item Soit A l'évènement (F ; O ; F). Quelle est la probabilité p(A) de l'événement A ?
		\item Soit S$_{1}$ l'évènement \og la bille sort par s$_{1}$ \fg{}, 

S$_{2}$ l'évènement \og la bille sort par s$_{2}$ \fg{},

S$_{3}$ l'évènement \og la bille sort par s$_{3}$ \fg{},

S$_{4}$ l'évènement \og la bille sort par s$_{4}$ \fg{}.

Calculer les probabilités
$p$(S$_{1}$), $p$(S$_{1}$), $p$(S$_{1}$) et $p$(S$_{1}$) de chacun de ces évènements.
	\end{enumerate}
\item Pour jouer, on doit miser $7$~francs.

Si la bille sort par s$_{1}$, on ne reçoit rien. Si la bille sort par 
s$_{2}$ on reçoit $5$~francs.

Si la bille sort par s$_{3}$ on reçoit $10$~francs. Si la bille sort par 
s$_{4}$, on reçoit $20$~francs.

On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à chaque sortie possible, associe le gain ou la perte en francs du joueur (en tenant compte de la mise des $7$~francs ; par exemple : à la sortie s$_{4}$ , $X$ associe 13)
	\begin{enumerate} 
		\item Quelles sont les valeurs prises par $X$ ?
		\item Présenter dans un tableau la loi de probabilité de $X$.
		\item Calculer l'espérance mathématique E($X$) de $X$.
	\end{enumerate}
\item On veut modifier la mise afin que le jeu soit équitable,
c'est-à-dire que E($X$) soit égale à zéro. Déterminer cette nouvelle mise en justifiant la réponse.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

Sur le graphique ci-dessous, $\mathcal{C}$ est la courbe représentative, dans le repère orthonormal \Oij, d'une fonction $f$ définie sur $\R$.

\psset{unit=0.8cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-8,-8)(7,3)
\psgrid[gridlabelcolor=white](0,0)(-8,-8)(7,3)
\psline[linewidth=2.5pt](-8,0)(7,0)
\psline[linewidth=2.5pt](0,-8)(0,3)    
\uput[dl](0,0){O}     \uput[d](3,2){L : $y = 2$} 
\uput[d](5,-7){D : $y = -7$} 
\pstextpath[l](2mm,2mm){\psplot{-2.5}{1}{3 x mul}}{$y = 3x$}
\pstextpath[r](-2mm,2mm){\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-7}{2.78}{9 2.71828 x exp sub 16 1 
2.71828 x exp add div sub}}{$\mathcal{C} \:y = f(x)$~~}
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(0,1)
\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{\imath}$} 
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{\jmath}$}
\psline[linestyle=dotted](1.0986,2)(1.0986,0)
\uput[d](1.0986,0){$\ln 3$}
\psline[linewidth=2.5pt](-8,-7)(7,-7)
\psline[linewidth=2.5pt](-8,2)(7,2)
\end{pspicture}    
\end{center}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

La droite L, d'équation $y = 2$, est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $\ln 3$.

La droite T, d'équation $y = 3x$, est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.

La droite D, d'équation $y = - 7$, est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ au voisinage de $- \infty$.

Déterminer, à l'aide de ces données, les réels suivants :

\begin{enumerate}
\item[a.] $f(0)$ et $f(\ln 3)$ ;
\item[b.] $f'(0)$ et $f'(\ln 3)$ ;
\item[c.] $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

On admet que, pour tout réel $x,~ f(x) = a\text{e}^x  + b +	
\dfrac{c}{\text{e}^x + 1}$ où $a,~ b$ et $c$ sont des constantes réelles.

\begin{enumerate}
 \item
 	 \begin{enumerate}
	 	 \item Déterminer en fonction des réels $a,~ b$ et  $c$, les nombres suivants :

\[f(0)~ ;~ f(\ln 3)~ ;~ \displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x).\]

		\item En déduire un système d'équations vérifiées par $a,~ b$, 
et $c$.

Résoudre ce système et en déduire que $f(x) = - \text{e}^x 	+ 9 - 
\dfrac{16}{\text{e}^x + 1}$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$en $+ \infty$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$, pour tout réel $x$.
		\item Vérifier que, pour tout réel $x~ :~ f'(x) = \dfrac{\text{e}^x(\text{e}^x + 5)(3 - \text{e}^x)}{(\text{e}^x + 1)^2}$ et en déduire le tableau de  variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

On rappelle que $f(x) = - \text{e}^x + 9 - \dfrac{16}{\text{e}^x + 1}$ 
pour tout réel $x$.

\begin{enumerate}
\item Vérifier que, pour tout réel $x~ :~ f(x) = - 
\text{e}^x - 7 + 16 \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 1}$.
\item
	 \begin{enumerate}
	 	\item Déterminer l'abscisse du point d'intersection de  la courbe $\mathcal{C}$ avec la droite D d'équation $y = - 7$.
		\item Étudier la position de D par rapport à $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate}
\item Soit $F$ la fonction définie sur $\R$ par :

\[F(x) = 16 \ln \left(\text{e}^x + 1\right) - \text{e}^x - 7x.\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $F$ est une primitive de $f$.
		\item En déduire la valeur de l'intégrale $\mathcal{A} = 
\displaystyle \int_{0 }^{\ln 15} [f(x) + 7]\: \text{d}x$.
		\item Interpréter géométriquement l'intégrale $\mathcal{A}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole Génie optique juin 2001
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%   La Réunion Génie électronique juin 2001
\hypertarget{LaReunionelectro}{}

\lhead{\small Baccalauréat STI  Génie électronique,  électrotechnique,\\  optique}
\lfoot{\small{La Réunion }}
\rfoot{\small{juin 2001}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STI La Réunion juin 2001~\decofourright\\Génie électronique,  électrotechnique,  optique } \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle suivante :

\[(\text{E})\qquad  y'' + 9y = 0\]

où $y$ est une fonction numérique de la variable réelle $x$ deux fois 
dérivable sur $\R$.
\item Déterminer la solution particuli\`ere $f$ de l'équation (E) qui 
vérifie :

\[f(0) = \sqrt{2} \quad  \text{et} \quad  f'\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 
3\sqrt{2}.\]

\item Montrer que, pour tout réel $x,~f(x) = 2\cos\left(3x + 
\dfrac{\pi}{4}\right)$.
\item
	 \begin{enumerate}
	 	 \item Résoudre sur l'intervalle $[0~ ;~ 2\pi[$ l'équation $f(x) = - \sqrt{2}$.
		\item Représenter les solutions de cette équation sur le cercle 
trigonométrique.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unité 
graphique 2 cm, on considère les points A, B et C d'affixes respectives
$z_{\text{A}},~z_{\text{B}}$, et $z_{\text{C}}$ définies par :

\[z_{\text{A}} = 2 + 2\text{i} \quad ; \quad  z_{\text{B}} = -2 + 
2\text{i}~;~z_{\text{C}} = - \sqrt{3} + \text{i},\]

où i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument 
$\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le module et un
 argument de chacun des nombres complexes $z_{\text{A}},~z_{\text{B}}$,
 et $z_{\text{C}}$.
		\item Placer de façon précise les points A, B et C dans le repère \Ouv.
	\end{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
	 	 \item Calculer $\left|z_{\text{A}} - 
z_{\text{B}}\right|^2$ et  $\left|z_{\text{A}} - z_{\text{C}}\right|^2$, puis 
interpréter géométriquement les trois modules.
		\item En déduire la nature du triangle ABC.
	\end{enumerate}
\item On considère la rotation R de centre O et d'angle $- \dfrac{\pi}{3}$.
 Pour tout  point $M$ du plan, on désigne par $M'$ l'image de $M$ par la rotation R : $M' = \text{R}(M)$. Les affixes respectives de $M$ et $M'$ sont notées $z$  et $z'$.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $z'$ en fonction de $z$.
		\item Soit A$'$= R(A). Calculer sous forme exponentielle l'affixe 
$z_{\text{A}'}$ du point A$'$.
	\end{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
	 	\item Préciser le module et un argument de $z_{\text{A}'}$.
		\item Déterminer la forme algébrique de $z_{\text{A}'}$.
		\item Déduire des questions \textbf{a.} et \textbf{b.} les valeurs exactes de $\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ et $\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\bigskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par :

\[g(x) = (x - 3) \text{e}^{-x}.\]

\begin{enumerate}
\item	Étudier les variations de $g$. (On ne demande pas les limites en  $+ \infty$ et en $- \infty$).
\item Calculer $g(4)$ et en déduire le signe de $g$ sur $\R$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par

\[f(x) =  (2 - x) \text{e}^{-x} - x + 3\]

et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan
muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2 cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les limites de la fonction $f$ en $+ 
\infty$ et en $- \infty$.
\item
	 \begin{enumerate}
	 	\item Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$.
		\item Déduire à l'aide de la \textbf{partie A} les variations de la 
fonction $f$.
		\item Dresser le tableau des variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
	 	\item Montrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = - x + 3$ est asymptote à  la courbe $\mathcal{C}$ en $+ \infty$.
		\item Étudier, suivant les valeurs de $x$, la position de $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $\mathcal{D}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$, appartenant à l'intervalle $[2~;~3]$.
		\item Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$.
	\end{enumerate}
\item Tracer la droite $\mathcal{D}$ et la courbe $\mathcal{C}$ dans le plan muni du repère orthonormal \Oij.
\item La fonction $h$ est définie sur $\R$ par 

\[h(x) = (2 - x) \text{e}^{-x}.\]

Déterminer les réels $a$ et $b$ pour que la fonction $H$ définie par

 $H(x) = (ax + b)\text{e}^{-x}$ soit une primitive de la fonction $h$ sur $\R$.

\item Soit $t$ un réel supérieur à 2.

Déterminer, en fonction de $t$, l'aire $\mathcal{A}(t)$ en cm$^2$ de la partie du plan comprise entre la courbe $\mathcal{C}$, la droite $\mathcal{D}$ et les droites d'équations $x = 2$ et $x =  1$.

Déterminer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}  \mathcal{A}(t)$.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%   fin La Réunion Génie électronique juin 2001 
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%   Métropole génie électronique septembre 2001
\hypertarget{Metroelectrosep}{}

\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2001}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft ~Baccalauréat STI Métropole  septembre 2001~\decofourright\\Génie électronique, électrotechnique, optique}}

\vspace{0,5cm}

Durée : 4 heures \hfill Coefficient : 4

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

On lance trois fois de suite une pièce de monnaie et l'on note, dans l'ordre les résultats obtenus ; par exemple PFF correspond à \og Pile - Face - Face \fg{}.

Les résultats sont équiprobables.

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item À l'aide d'un arbre, écrire tous les résultats possibles et indiquer pour chacun de ces résultats le nombre de fois où on a obtenu \og Face \fg.
		\item Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de fois où on a 
obtenu \og Face \fg{} sur les trois lancers. Donner, sous forme d'un tableau, la loi de probabilité de $X$. 
	\end{enumerate}
\item Une personne mise $10$~euros pour participer à un jeu qui consiste à lancer trois fois de suite la pièce de monnaie.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] S'il a obtenu moins de deux fois \og Face \fg{}, le joueur ne reçoit rien.
\item[$\bullet~$] S'il a obtenu exactement 2 fois \og Face \fg{}, le joueur reçoit $10$~euros.
\item[$\bullet~$] S'il a obtenu exactement trois fois \og Face \fg{}, le joueur reçoit $30$~euros.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On désigne par $Y$ la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur (c'est-à-dire la différence entre la somme reçue et sa mise).

	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer les valeurs que peut prendre $Y$.
		\item Donner la loi de probabilité de $Y$.
		\item Calculer l'espérance mathématique de $Y$.
	\end{enumerate}
\item On veut modifier la mise pour que le jeu soit équitable, c'est-à-dire que E($Y$) soit égal à $0$.

Déterminer cette nouvelle mise en justifiant votre réponse.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Le but de l'exercice est le calcul de l'intégrale 
$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\sin (2x)}{1 + 2\sin x}\: 
\text{d}x$.

Pour cela, on introduit les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle 
$\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ par :

\[f(x) =  \dfrac{\sin (2x)}{1 + 2\sin x}\qquad \text{et} \qquad g(x) = 
\dfrac{\cos x}{1 + 2\sin x}\]

ainsi que les intégrales : I $=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \: 
\text{d}x$ et J $= \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \:\text{d}x$.

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que $f(x) + g(x) = \cos x$.
		\item En déduire que I + J = 1.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la dérivée de la fonction $u$ définie sur l'intervalle  $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ par : 

\[u(x) = 1 + 2\sin x.\]

		\item En déduire une primitive de la fonction $g$ sur l'intervalle 
$\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$.
		\item Calculer J.
	\end{enumerate}
\item En utilisant les questions précédentes, déterminer la valeur exacte de I.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.5cm} 
\begin{pspicture}(-4,-2)(4,18)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2]{->}(0,0)(-4,-2)(4,18)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{-2.886}{2.886}{2.71828 x exp 2.71828  x neg exp add}
\psplot{-4}{4}{2 x 2 exp add}
\uput[u](4,0){$x$} \uput[r](0,18){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par :

\[f(x) = \text{e}^x + \text{e}^{-x} \qquad \text{et} \qquad  g(x) =2 + 
x^2.\]

Sur le graphique joint , on a tracé les courbes représentatives 
$\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ de ces fonctions dans un repère 
orthogonal (unité graphique : 2~cm sur l'axe des abscisses et 0,5~cm sur
 l'axe des ordonnées).
 
Dans la \textbf{partie A}, on étudie la fonction $f$. L'objet de la \textbf{partie B} est d'étudier la position relative des courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$, puis de calculer une aire.

\bigskip

\textbf{Partie A : étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Montrer que $f$ et $g$ sont des fonctions paires et interpréter géométriquement cette propriété.
\item Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$.

En déduire la limite de $f$ en $- \infty$.
\item Calculer la fonction dérivée $f'$ de $f$.

Montrer que pour tout $x \in  [0~;~+ \infty[,\quad  \text{e}^x - 
\text{e}^{-x} \geqslant  0$.

En déduire les variations de $f$ sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$.
\item Donner le tableau de variations de $f$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que $f(\ln 2) = \dfrac{5}{2}$.
		\item En déduire $f\left(\ln \dfrac{1}{2}\right)$.
	\end{enumerate}
\item  Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) =  3$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Calcul d'une aire}

\medskip

Soit $h$ la fonction définie sur $[0~;~\infty[$ par :

\[h(x) =  \text{e}^x - \text{e}^{-x} - 2x.\]

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la fonction dérivée $h'$ de $h$.
		\item Montrer que $h'(x) = \dfrac{\left(\text{e}^x - 1\right)^2}{\text{e}^x}$.

Établir le tableau de variations de la fonction $h$ (on ne demande pas
 la limite en $+ \infty$).
		\item En déduire que $h (x) \geqslant  0$, pour tout $x \in [0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction $r$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$
 par
 
$r(x) = f(x) - g(x)$.
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que $h$ est la fonction dérivée de $r$. En déduire les variations de $r$.
		\item Calculer $r(0)$ et montrer que $r(x) \geqslant 0$, pour tout $x \in [0~;~+ \infty[$.
		\item Déterminer la position relative des courbes $\mathcal{C}_f$ et 
$\mathcal{C}_g$ pour $x \in [0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer une primitive de la fonction $r$ sur $\R$.
		\item Calculer I $= \displaystyle\int_{0}^2 r(x) \:\text{d}x$.
		\item En déduire l'aire $\mathcal{A}$ du domaine limité par les deux 
courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ et les droites d'équations 
$x = 2$ et $x = - 2$. (On donnera sa valeur exacte en unités d'aire, 
puis son approximation décimale À $10^{-2}$ près par défaut).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole génie électronique septembre 2001          
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%   Génie des matériaux Métropole juin 2001
\hypertarget{Metromateriaux}{}

\lhead{\small Baccalauréat STI  Génie mécanique B, C, D et E, génie des matériaux}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2001}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole juin 2001~\decofourright\\Génie mécanique B, C, D et E, génie des matériaux} 

\textbf{Calculatrice autorisée}

Durée : 4 heures \hfill Coefficient : 4

Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème. Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l'appréciation des copies.

Le formulaire officiel de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.

Ce sujet nécessite 2 feuilles de papier millimétré.
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation en $z$~ :
 
 \[z^2 - 6z + 13 = 0.\]

\item
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer les réels $b$ et $c$ tels que pour tout complexe $z$ :
	
\[z^3 - 9z^2 +31z - 39 = (z - 3)(z^2 + bz + c).\]

		\item En déduire les solutions dans $\C$ de l'équation en $z~:~ z^3 - 9z^2 + 31z - 39 = 0$.
	\end{enumerate}
\item Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal 
\Ouv{} (unité : $2$~cm).

Soient A, B, E et F les points d'affixes respectives

\[z_{\text{A}} = 3+2\text{i},~ z_{\text{B}}=3-2\text{i},~ z_{\text{E}} = 5 
+\text{i} \quad \text{et}~ z_{\text{F}} = 3.\]

	\begin{enumerate} 
		\item Placer les points A, B, E et F dans le plan complexe (sur papier millimétré).
		\item Calculer les distances FA, FB et FE. En déduire que les points A, B et E appartiennent à un cercle $(\Gamma)$ de centre F.
		\item Quelle est la nature du triangle ABE ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Résoudre l'équation différentielle (E) : ~$y'' +y = 0$.
\item On désigne par $f$ la solution particulière de (E) dont la courbe
 représentative dans un repère orthonormal passe par le point de coordonnées (0~;~1) et admet en ce point une tangente parallèle à la droite d'équation $y = x$.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer $f(0)$ et $f'(0)$.
		\item En déduire une expression de $f(x)$ en fonction de $x$.
		\item Vérifier que pour tout réel $x,~f(x) = \sqrt{2} \cos \left(x  - 
\dfrac{\pi}{4}\right)$.
	\end{enumerate}
\item Calculer la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle 
$[0~;~\pi]$, c'est-à-dire le réel $m$ défini par : 

\[m = \dfrac{1}{\pi} \displaystyle\int_{0}^{\pi} f(x)\: \text{d}x.\]

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  11 points}

\bigskip

\textbf{Partie I}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $g(x) = - x + x 
\ln x$ (où $\ln$ désigne le logarithme népérien).

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Résoudre dans l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, l'équation $g(x) = 0$.
\item Résoudre dans l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, 
l'équation $g(x) > 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = - \dfrac{3}{4}x^2 + \dfrac{1}{2}x^2\ln x.\]

On appelle $(\Gamma)$ la courbe représentative de $f$ dans le repère 
orthonormal \Oij{} (unités : $2$~cm).

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$ et  $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)$.
\item Montrer que $f'(x) = g(x)$. Utiliser les 
résultats de la \textbf{partie I} pour établir le tableau de 
variations de $f$.
\item Calculer $f\left(\text{e}^{\frac{3}{2}} \right)$. 
On fera apparaître le détail des calculs.
\item Soit A le point de $(\Gamma)$ d'abscisse 1. 
Déterminer une équation de la tangente (T) en A à la courbe $(\Gamma)$.
\item Tracer dans le repère \Oij{}  la tangente (T) ainsi que la partie de la courbe $(\Gamma)$ relative à l'intervalle [0 ; 6].
\item Soit $F$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ 
par :

\[F(x) = \dfrac{1}{6}x^3 \ln x - \dfrac{11}{36}x^3.\]

	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$.
		\item Calculer en cm$^2$ l'aire du domaine limité dans le repère 
\Oij{}, par la courbe $(\Gamma)$, l'axe des abscisses et les droites 
d'équation $x = 1$ et $x = \text{e}$. On en donnera la valeur exacte, 
puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole juin 2001 génie des matériaux
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%  STI génie des matériaux Métropole septembre 2001
\hypertarget{Metromateriauxsep}{}

\lhead{\small Baccalauréat STI  Génie des matériaux, mécanique (A et F)}
\lfoot{\small Métropole}
\rfoot{\small{septembre 2001}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~STI Métropole septembre 2001~\decofourright\\Génie mécanique B, C, D, E - Génie des matériaux}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 	Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : 

\[f(x) = \cos 3x - 2 \sin 3 x. \]
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer $f'(x),\: f'$ étant la fonction dérivée de la fonction $f$. 
		\item  Déterminer $f''(x),\: f''$ étant la fonction dérivée de la fonction $f'$.
		\item  Trouver une relation simple entre $f''(x)$ et $f(x)$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre dans $\R$ l'équation différentielle : $y'' + 9 y = 0$.
		\item  Déterminer la solution particulière $g$ de cette équation qui vérifie :
\[g(0) = - \dfrac{\sqrt{2}}{2}\quad \text{et}\quad  g'\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 
		\dfrac{3\sqrt{2}}{2}.\]
	\end{enumerate}
\item  	
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que pour tout $x$ réel, $g(x) = \cos \left(3x - \dfrac{5\pi}{4}\right)$.
		\item  Résoudre dans $[0~;~2\pi[$ l'équation $g(x) = 0$.
		\item  Montrer que les solutions obtenues forment une suite arithmétique de raison $\dfrac{\pi}{3}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  4 points}

\medskip
	
On note i le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.\\
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{}
(unité graphique : $2$~cm).
\begin{enumerate}
\item  On désigne par $\C$ l'ensemble des nombres complexes.
	\begin{enumerate}
		\item  Développer $\left(4 + 2\sqrt{2}\right)^2$. 
		\item  Résoudre dans $\C$, l'équation : $z^2 - 4z - 2\left(2\sqrt{2} + 1\right) = 0$.
	\end{enumerate}
\item Résoudre dans $\C$ l'équation : $z^2 - 4z + 7 = 0$.
\item On désigne par A, B, C, D les points du plan complexe d'affixes respectives :

\[z_{\text{A}} = - \sqrt{2},\quad 	z_{\text{B}} = 4+\sqrt{2}, \quad 	z_{\text{C}} = 2 - \text{i}\sqrt{3}, \quad  z_{\text{D}} = 2 + \text{i}\sqrt{3}.\]

	\begin{enumerate}
		\item  Placer les points A, B, C, D dans le repère donné (sur papier millimétré).
		\item  Montrer que les segments [AB] et [CD] ont le même milieu.
		\item  Montrer que le quadrilatère ABCD est un losange.
	\end{enumerate}
\item Déterminer $z_{\text{E}}$ et $z_{\text{F}}$ affixes respectives de points E et F tels que AEBF soit un carré.

Justifier votre réponse.
 \end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  11 points} 

\medskip

\textbf{Partie A : étude des variations d'une fonction}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle I $= ]-\ln 4~;~+ \infty[$ (où $\ln$ désigne le logarithme népérien) par : 

\[f(x) = \dfrac{\text{e}^x + 8}{4\text{e}^x - 1},\]

 et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un
repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique : $2$~cm.
\begin{enumerate}
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la limite de $f$ en $- \ln 4$. Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ?
		\item  Vérifier que, pour tout $x$ de I, on a $f(x) =  \dfrac{1 + 8\text{e}^{-x}}{4 - \text{e}^{-x}}$ puis déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.	En déduire l'existence d'une asymptote horizontale de $\mathcal{C}$ en $+ \infty$
		\item  Déterminer la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y =	\dfrac{1}{4}$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que pour tout $x$ de I : $f'(x) = - \dfrac{33\text{e}^x}{\left(4\text{e}^x - 1\right)^2}$.
		\item  Déterminer le signe de $f'(x)$ sur I.
		\item  Dresser le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate}
\item 	Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
\end{enumerate}
	
\medskip

\textbf{Partie B : tracé de la courbe représentative de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath sur I}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 	Reproduire et compléter le tableau suivant (les valeurs de $f(x)$ seront arrondies à $10^{-2}$ près).
\item 	Tracer la tangente $\mathcal{T}$, la droite $\mathcal{D}$ et la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij{}(sur papier millimétré).
\end{enumerate}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0	&0,5	&1	&1,5	&2	&2,5	&3	&3,5	&4\\ \hline
$f(x)$	&	&		&	&		&	&		&	&		&  \\ \hline
\end{tabularx}
 
\medskip

\textbf{Partie C :}

\medskip

Dans le plan rapporté au repère \Oij, on appelle $\mathcal{A}$ l'aire de la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$  et $x = 4$.

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que, tout $x$ de l'intervalle [0 ; 4], $f(x)$ peut s'écrire sous la forme :
\[f(x) = \dfrac{33\text{e}^x}{4\text{e}^x - 1} - 8.  \]

		\item  Déterminer une primitive sur [0 ; 4] de la fonction $g$ définie par :
\[g(x) = \dfrac{\text{e}^x}{4\text{e}^x - 1}.\]

		\item  En déduire une primitive de $f$ sur [0 ; 4].
	\end{enumerate}
\item  Calculer l'aire $\mathcal{A}$ en cm$^2$.

On donnera la valeur exacte de $\mathcal{A}$ puis une valeur approchée à $1$~mm$^2$ près.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%   fin Métropole génie des matériaux septembre 2001
\newpage
%%%%%%%%%%%   Nouvelle-Calédonie génie des matériaux novembre 2001
\hypertarget{Caledomateriauxnov}{}

\lfoot{\small Nouvelle--Calédonie }
\rfoot{\small{novembre 2001}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STI Nouvelle--Calédonie~\decofourright\\Génie des matériaux, mécanique  novembre 2001}

\end{center} 

\subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\begin{enumerate} 
\item Résoudre l'équation différentielle suivante :

\[(\text{E}) \qquad  y'' + 9y = 0.\]

où $y$ est une fonction numérique de la variable réelle $x$ deux fois 
dérivable sur $\R$.
\item Déterminer la solution particulière $f$ de l'équation (E) qui vérifie :

\[f(0) = \sqrt{2} \quad \text{et} \quad  f'\left(\dfrac{\pi}{3}\right) 
= 3\sqrt{2}.\]

\item Montrer que, pour tout réel $x,~f(x) = 2\cos \left(3x + 
\dfrac{\pi}{4}\right)$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre sur l'intervalle $[0~;~ 2\pi[$ 
l'équation $f(x) = - \sqrt{2}$.
		\item Représenter les solutions de cette équation sur le cercle 
trigonométrique.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\subsection*{\textsc{Exercice 2 } \hfill 5 points}

\medskip

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unité 
graphique $2$~cm, on considère les points A, B et C d'affixes respectives 
$z_{\text{A}},~z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$ définies par :

\[z_{\text{A}} =2 + 2\text{i}\quad ;\quad  z_{\text{B}} = -2 + 
2\text{i}\quad ;\quad  z_{\text{C}} = -\sqrt{3} + \text{i}.\]

où i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes $z_{\text{A}},~z_{\text{B}}$  et  $z_{\text{C}}$.

		\item Placer de façon précise les points A, B et C dans le repère \Ouv.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\left|z_{\text{A}} - 
z_{\text{B}}\right|^2,~ \left|z_{\text{B}} - z_{\text{C}}\right|^2$ et
$\left|z_{\text{A}} - z_{\text{C}}\right|^2$, puis interpréter 
géométriquement les trois modules.
		\item En déduire la nature du triangle ABC.
	\end{enumerate}
\item On considère la rotation R de centre O et d'angle $- \dfrac{\pi}{3}$. Pour tout point $M$ du plan, on désigne par $M'$ l'image de $M$ par la rotation  R : $M' = \text{R}(M)$. Les affixes respectives de 
$M$ et $M'$ sont notées $z$ et $z'$.
	\begin{enumerate} 
		\item Exprimer $z'$ en fonction de $z$.
		\item Soit A$' $ = R(A), Calculer sous forme exponentielle l'affixe 
$z_{\text{A}'}$ du  point A$'$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Préciser le module et un argument de $z_{\text{A}'}$.
		\item Déterminer la forme algébrique de $z_{\text{A}'}$.
		\item Déduire des questions \textbf{a.} et \textbf{b.} les valeurs exactes de $\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ et $\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\subsection*{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par :

\[g(x) = (x-3)\text{e}^{-x} - 1.\]

\begin{enumerate} 
\item Étudier les variations de $g$. (On ne demande pas les
 limites en  $+ \infty$ et en $- \infty$.

\item Calculer $g(4)$ et en déduire le signe de $g$ sur $\R$.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie  B}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = (2 - x)\text{e}^{-x} - x + 3.\]
et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère
 orthonormal \Oij{}  d'unité graphique $2$~cm.

\begin{enumerate} 
\item Calculer les limites de la fonction $f$ en $+ 
\infty$ et en $- \infty$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$.
		\item Déduire à l'aide de la \textbf{partie A} les variations de la fonction $f$.
		\item Dresser le tableau des variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation 
$y = - x + 3$  est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$  en $+ \infty$.
		\item Étudier, suivant les valeurs de $x$, la position de $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $\mathcal{D}$.
\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une 
solution unique $\alpha$, appartenant à l'intervalle [2~;~3].
		\item Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$.
	\end{enumerate}
\item Tracer la droite $\mathcal{D}$ et la courbe $\mathcal{C}$ dans le plan
 muni du repère orthonormal \Oij.
\item La fonction $h$ est définie sur $\R$ par $h(x) = (2 - x)\text{e}^{-x}$.

Déterminer les réels $a$ et $b$ pour que la fonction $H$ définie 
par \mbox{$H(x) = (ax + b)\text{e}^{-x}$} soit une primitive de la fonction $h$ 
sur $\R$.
\item Soit $t$ un réel supérieur à 2.

Déterminer, en fonction de $t$, l'aire $\mathcal{A}(t)$ en cm$^2$ de la partie du plan comprise entre la courbe $\mathcal{C}$, la droite $\mathcal{D}$ et les droites d'équation $x = 2$ et $x = t$.

Déterminer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \mathcal{A}(t)$.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%   fin Nouvelle-Calédonie génie des matériaux novembre 2001   
\end{document}
