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%Tapuscrit Denis Vergès 
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{A. P. M. E. P.}
\rhead{\small L'intégrale 2007}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\huge\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI  2007~\decofourright \\ \vspace{1cm} L'intégrale de  juin à novembre 2007}}

\vspace{0,25cm}

Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large \textcolor{blue}{bleus}}

 \end{center}

\vspace{1cm}
 
 {\Large   \hyperlink{Franceappli}{Métropole Arts appliqués juin 2007} \dotfill  3\medskip

\hyperlink{Artsappliquessept}{Métropole Arts appliqués septembre 2007} \dotfill 6 \medskip

\hyperlink{LaReunion}{La Réunion Génie civil juin 2007 juin 2007} \dotfill 10 \medskip

\hyperlink{Francecivil}{Métropole Génie civil juin 2007} \dotfill  12\medskip

\hyperlink{Polynesiemeca}{Polynésie Génie mécanique juin 2007} \dotfill  15\medskip

\hyperlink{Metrocivilsep}{Métropole Génie civil septembre 2007} \dotfill  18\medskip

\hyperlink{Polynesiecivilsep}{Polynésie Génie civil septembre 2007} \dotfill 21 \medskip

\hyperlink{NlleCaledocivil}{Nouvelle-Calédonie génie civil déc. 2007} \dotfill 24 \medskip

\hyperlink{Antilleselectro}{Antilles-Guyane Génie électronique juin 2007} \dotfill  27\medskip

\hyperlink{LaReunionelectro}{La Réunion Génie électronique juin 2007} \dotfill  29\medskip
 
\hyperlink{Franceelectro}{Métropole Génie électronique juin 2007} \dotfill  33\medskip

\hyperlink{Polynesieelectro}{Polynésie Génie électronique juin 2006} \dotfill  37\medskip

\hyperlink{electrosept}{Métropole Génie électronique septembre 2007} \dotfill 39 \medskip

\hyperlink{NlleCaledoelectro}{Nouvelle-Calédonie Génie électronique déc. 2007} \dotfill 42 \medskip

\hyperlink{Francemateriaux}{France Génie des matériaux juin 2007} \dotfill  45\medskip

\hyperlink{Antillesmatesep}{Antilles--Guyane Génie des matériaux septembre 2007} \dotfill 48 \medskip

\hyperlink{materiauxsept}{Métropole Génie des matériaux septembre 2007} \dotfill 51 \medskip}
 \newpage
 ~
\newpage
%%%%%%%%%%   Métropole arts appliqués juin 2007
\hypertarget{Franceappli}{}

\lhead{\small  Baccalauréat STI Arts appliqués}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{\Large \decofourleft~Baccalauréat STI Arts appliqués -- Métropole~\decofourright\\
juin 2007}

\vspace{0,25cm}

\end{center} 

\textbf{\textsc{Exercice  1} \hfill 8 points}
 
\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Parmi les réponses proposées, une seule est correcte. On indiquera sur la copie, pour chaque question, la lettre correspondant à la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée. Toutes les questions sont indépendantes. Les réponses exactes aux questions 2 et 3 rapportent deux points, les autres un point.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On considère l'ellipse tracée dans un repère orthonormé sur la figure ci-dessous :

\begin{center}
\psset{unit=0.5cm}\begin{pspicture}(-6,-4)(6,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelsep=1pt](0,0)(-6,-4)(6,4)
\psellipse[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,0)(5,3)
\end{pspicture} 
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Une équation de cette ellipse est :

\medskip

\hspace*{-1.2cm}\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
A : $25x^2+9y^2 = 225$& B : $9x^2+25y^2 =225$&	C : $3x^2+5y^2 =15$& 	D : $9x^2 - 25y^2=225$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Un de ses foyers est le point F de coordonnées :\\

\medskip
\hspace*{-1.2cm}\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
A : (4 ; 0) & B : (5 ; 0)&C : (0 ; 3) &D : (2 ; 0)\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\end{enumerate}
\item  Soit la fonction $f$ définie sur [0 ;  9] par $f(x) = - x^3+ 9 x^2$ dont la courbe représentative dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous. On remarquera que $f(0) = 0$ et $f(9) = 0$.

\begin{center}
\psset{yunit=0.015cm}
\begin{pspicture}(-1,-20)(10,120)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=20]{->}(0,0)(-0.9,-19)(10,140)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{9}{x 2 exp 9 mul x 3 exp sub}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}

L'aire du domaine compris entre la courbe de $f$ et l'axe des abscisses est, en unités d'aire :

\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
A : $0$&	B : $546,75$&		C : $81$& 	D : impossible à calculer\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item  Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $f(x) = \ln x + 4x$. Une primitive de $f$ est la fonction $F$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
A : \rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\dfrac{1}{x} + 4$&	B : \dfrac{1}x+ 2x^2$&	C : $\ln x + 2x^2$& 	D : $x\ln x + 2x^2 - x$\\ \hline
 \end{tabularx}
 
\medskip
 
\item  On tire une carte dans un jeu de 52 cartes. Toutes les cartes ont la même probabilité d'être tirées. La probabilité de tirer une carte qui ne soit ni un roi ni un c{\oe}ur est :\\

\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline 
A : \rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\dfrac{35}{52}$& B : $\dfrac{17}{52}$& C : $\dfrac{9}{13}$ &D : $\dfrac{2}{13}$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item  On donne la fonction $f$ définie par $f(x)= \text{e}^{2x} - \text{e}^{x} + x$ ; l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x$ vaut :

\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{X|}}\hline   
A : \rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\text{e}^2 - \text{e}+1$& B : $\dfrac{1}{2}\text{e}^2 - \text{e}+1$&	C : $3 - 2$ \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip  
\end{enumerate}
 
\vspace*{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice  2} \hfill 12 points}
  
\medskip

Un graphiste designer a conçu un flacon pour un parfum. ll s'agit d'un parallélépipède rectangle de base carrée surmonté d'un cube, comme le montre la figure ci-dessous :
 
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(11,9)
%\psgrid
\psline[arrowsize= 3pt 3]{<->}(2.1,6.9)(3,7.5)
\psline[arrowsize= 3pt 3]{<->}(1.6,6.3)(3.7,6.3) 
\psline[arrowsize= 3pt 3]{<->}(5.1,6.3)(7.3,6.3)
\psline[arrowsize= 3pt 3]{<->}(0.7,0.8)(6.3,0.8)
\psline[arrowsize= 3pt 3]{<->}(9.4,2.8)(9.4,8.3)
\psline[arrowsize= 3pt 3]{<->}(0.3,5.7)(1.2,6.3)
\psline[arrowsize= 3pt 3]{<->}(6.7,1)(9.4,2.8)
\psset{linewidth=1.2pt}
\psframe(0.7,1)(6.3,5.7)
\psline(6.3,1)(9,2.8)(9,7.5)(6,7.5)
\psline[linestyle=dashed](6,7.5)(3.7,7.5)
\psline(3.7,7.5)(3.4,7.5)(0.7,5.7)
\psline(6.3,5.7)(9,7.5)
\psline[linestyle=dashed](0.7,1)(3.4,2.8)(9,2.8)
\psline[linestyle=dashed](3.4,2.8)(3.4,7.5)
\psline(3.7,6.3)(5.1,6.3)(5.1,7.8)(6,8.3)(6,6.9)(5.1,6.3)(5.1,7.8)(6,8.3)(4.6,8.3)(3.7,7.8)(3.7,6.3)   %bouchon
\psline[linestyle=dashed](3.7,6.3)(4.6,6.9)(6,6.9)
\psline[linestyle=dashed](4.6,6.9)(4.6,8.3)
\psline(3.7,7.8)(5.1,7.8)
\psline(6.3,1)(6.7,1) \psline(9,2.8)(9.4,2.8) 
 \psline[linewidth=0.3pt](6,8.3)(9.4,8.3)
\psline[linewidth=0.3pt](0.7,5.7)(0.3,5.7)
\psline[linewidth=0.3pt](3.7,6.3)(1.2,6.3) 
\psline[linewidth=0.3pt](4.6,6.9)(2.1,6.9)
\psline[linewidth=0.3pt](3.4,7.5)(3,7.5) 

\uput[d](3.5,0.8){6 cm} \uput[r](8.1,1.9){6 cm}
\uput[d](2.6,6.3){$x$}\uput[d](6.2,6.3){$x$}
\uput[ul](0.7,5.9){$x$}\uput[ul](2.8,7.2){$x$}
\uput[dl](0.7,5.7){A} \uput[dr](6.3,5.7){B} \uput[ur](9,7.5){C} \uput[ul](3.4,7.5){D} 
\uput[d](3.7,6.3){E} \uput[d](5.1,6.3){F} \uput[dr](6,6.9){G} \uput[ul](4.6,6.9){H}
\uput[r](9.4,5.4){8 cm}
\end{pspicture}
\end{center}

Le cube de base EFGH est placé au centre du carré supérieur ABCD. La variable $x$ désigne la distance entre les côtés du carré de base EFGH du cube et les côtés du carré ABCD. Le flacon a une hauteur totale de 8~cm et les côtés du carré ABCL) mesurent 6~cm. On admettra que l'on a : $0 \leqslant  x \leqslant  3$.

\bigskip
 
\textbf{Partie A.} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que le volume du petit cube est $U(x) = - 8x^3 + 72x^2 - 216x + 216$.
\item En déduire que le volume total du flacon est $V(x) = - 8 x^3 + 72x^2 - 144x + 288$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B.}

\medskip
  
\begin{enumerate}
\item  Soit $f$  la fonction définie sur [0 ; 3] par $f(x)= -x^3 + 9x^2 - 18x + 36$.

Soit $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentant la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij.

(unités graphiques : 5 cm en abscisses et 0,5 cm en ordonnées).
	\begin{enumerate}
		\item  $f'$ désignant la dérivée de la fonction $f$, calculer $f'(x)$. 
		\item  Résoudre l'équation $f'(x) = 0$ dans l'intervalle [0~;~3]. On appelle $\alpha$ la valeur exacte de son unique solution. Déterminer $\alpha$ puis sa valeur arrondie au dixième. 
		\item  Étudier le signe de $f'(x)$ sur [0~;~3]  et dresser le tableau de variations de $f$ sur [0~;~3].
		\item  Pour quelle valeur de $x$ cette fonction admet-elle un minimum ?
	\end{enumerate}
\item 	Déterminer une équation de la tangente T à $\mathcal{C}_{f}$ en son point d'abscisse 1.
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item  Recopier puis compléter le tableau de valeurs suivant en arrondissant les valeurs
	calculées au centième.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0	&0,5&1	&1,5	&2	&2,5	&3\\ \hline
$f(x)$	& 	&	&	&		&	&		&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

		\item  Construire la tangente T et la courbe $\mathcal{C}_{f}$ sur la feuille de papier millimétré.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Vérifier que le volume du flacon vérifie $V(x) = 8f(x)$.
\item  À l'aide de la partie B de ce problème, déterminer la valeur en cm$^3$, arrondie à l'unité, du volume minimal V$_{\text{m}}$.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%   fin Métropole arts appliqués juin 2007
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Métropole arts appliqués septembre 2007
\hypertarget{Artsappliquessept}{}

\rhead{A. P. M. E. P. }
\lhead{\small  Baccalauréat STI Arts appliqués}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STI Arts appliqués -- Métropole~\decofourright\\septembre 2007}

\vspace{0,25cm}

\end{center} 

\textbf{\textsc{Exercice  1} \hfill 8 points}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chaque question, une seule des réponses proposées est correcte. Donner la lettre correspondant à cette réponse sur le tableau de la feuille annexe. Chaque réponse exacte rapporte un point. 

\medskip

\textbf{Question 1}
 
La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \text{e}^{-2x}$ admet pour dérivée la fonction  $f'$ définie par $f'(x) = $

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
A. $\quad \text{e}^{-2x}$ &B. $\quad 2\text{e}^{-2x}$  & C.$\quad - 2\text{e}^{-2x}$ & D. $\quad - \text{e}^{-2x}$ \\
\end{tabularx}

\medskip
 
\textbf{Question 2} 

L'équation, d'inconnue réelle $x,\:\: \ln x + 2 = 0$ admet pour solution : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
A. $\quad \text{e}^{-2}$ &B. $\quad -2$ & C. $\quad -\text{e}^{-2}$& D. $\quad $ aucune \\
\end{tabularx}

\medskip
 
\textbf{Question 3} 

Le nombre $\text{e}^{- \ln 3}$ est égal à : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
A. $\quad - 3$ &B. $\quad \dfrac{1}{3}$ & C. $\quad - \dfrac{1}{3}$& D.  $\quad $ n'existe pas\\
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 4}

\medskip

\begin{center}
\begin{pspicture}(-3.5,-2.5)(3.5,2.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt](0,0)(-3,-2)(3,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3.5,-2.5)(3.5,2.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0)(0,1)
\uput[ur](3,0){A} \uput[ur](0,2){B} \uput[ul](-3,0){A$'$} \uput[dr](0,-2){B$'$} \uput[dl](0,0){O} 
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psellipse[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,0)(3,2)
\end{pspicture}
\end{center} 

La courbe dessinée ci-dessus admet pour équation : 
 
 \medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
A. $\quad \dfrac{x^2}{3} + \dfrac{y^2}{2} = 1$ &B. $\quad \dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{4} = 1$ & C. $\quad \dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 0$& D.  $\quad \dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$\\
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 5}
 
Un des foyers de l'ellipse précédente est le point F de coordonnées : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
A. $\quad \text{F}\left(0~;~\sqrt{13}\right)$ &B.  $\quad \text{F}\left(\sqrt{13}~;~0\right)$& C. $\quad \text{F}\left(\sqrt{5}~;~0\right)$& D.  $\quad \text{F}\left(0~;~\sqrt{5}\right)$\\
\end{tabularx}

\medskip

Les trois dernières questions portent sur les données suivantes: 

\medskip
 
Une municipalité propose à ses habitants de choisir entre deux investissements possibles : 

choix X : une médiathèque. 

choix Y : un complexe sportif. 

La municipalité a reçu \np{1000}~fiches réponses de ses électeurs. On a classé les électeurs par tranches d'âge : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
Tranche A : 18 à 30 ans& 	Tranche B : 30 à 50 ans& 	Tranche C : Plus de 50 ans  \\
\end{tabularx}

\medskip
 
Qn a obtenu les résultats suivants : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
		&A 		&B 	&C 	&Total \\ \hline
X		&138	&214&172& 524 \\ \hline
Y		&176	&188&112& 476 \\ \hline
Total	&314	&402&284& \np{1000}\\ \hline
 \end{tabularx}
 
\medskip 
 
On tire la fiche d'un électeur au hasard :

\medskip
 
\textbf{Question 6}
 
La probabilité $p$(X) qu'il vote pour X vaut : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
A. $\quad 0,314$ &B. $\quad 0,138$ & C. $\quad 0,524$& D. $\quad \dfrac{524}{476}$ \\
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 7}
 
La probabilité $p(\text{B} \cap \text{X})$ est égale à : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
A. $\quad 0,214$ &B. $\quad \dfrac{214}{402}$ & C. $\quad \dfrac{214}{524}$& D. $\quad 0,712$ \\
\end{tabularx}

\medskip
	 
\textbf{Question 8}
 
La probabilité $p(\text{B} \cup \text{X})$ est égale à : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
A. $\quad 0,926 $ &B.  0,214$\quad $& C. $\quad \dfrac{214}{524}$& D.  $\quad 0,712 $\\
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice  2} \hfill 12 points}

Archibald Nikolaüs veut faire graver et dorer ses initiales $\mathcal{A N}$ sur les volumes reliés de sa bibliothèque. Pour cela, il établit un modèle que l'on a reproduit en partie sur la feuille annexe, dans 
un repère orthonormé \Oij. 

\medskip

\textbf{PARTIE 1}

\medskip

\textbf{Étude d'une première courbe} \boldmath $\mathcal{C}_{1}$ \unboldmath 

\medskip

$\mathcal{C}_{1}$ est la représentation graphique d'une fonction $g$, définie sur l'intervalle $[5~;~9]$, par 

\[g(x) = - x^2 + b x + c\]

où $b$ et $c$ sont des réels à déterminer.
  
\begin{enumerate}
\item Écrire les conditions que doivent vérifier les réels $b$ et $c$ pour que la courbe $\mathcal{C}_{1}$ passe par les 
points A(5~;~1) et B(9~;~5). 
\item  On admet que $g(x) = - x^2 +15x - 49$. 
	\begin{enumerate}
		\item  On désigne par $g'$ la dérivée de la fonction $g$. Calculer $g'(x)$ et étudier son signe. En déduire les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle [5~;~9]. 
		\item Déterminer pour quelle valeur de $x$ la fonction $g$ admet un maximum. En déduire les coordonnées du sommet C de la courbe $\mathcal{C}_{1}$ et le placer sur le graphique de la feuille annexe.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE 2}
 
\textbf{Étude et tracé de la courbe} \boldmath $\mathcal{C}_{2}$ \unboldmath 

$\mathcal{C}_{2}$ désigne la courbe représentant la fonction $f$  définie, pour tout $x$ de l'intervalle [1~;~5]$, par :

\[ f(x) = 1 + \dfrac{1}{2}x^2  - 4 \ln x.\] 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $f'$ désignant la dérivée de la fonction $f$ calculer $f'(x)$.
		\item Vérifier que $f'(x) = \dfrac{(x - 2)(x + 2)}{x}$.  
		\item En déduire le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [1~;~5]. 
	\end{enumerate}
\item Établir le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [1 ~;~5]. 
\item Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant en donnant des résultats arrondis au dixième. 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&1	&1,5&2 	&2,5&3		&3,5	&4	&4,5&5\\ \hline 
$f(x)$	&	&	&	&	&1,1	&		&	&	&7,1\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Tracer $\mathcal{C}_{2}$ avec soin sur la feuille annexe, dans le même repère \Oij.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE 3} 

Archibald Nikolaüs veut faire dorer à la feuille d'or la partie du plan limitée par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}_{2}$ les droites d'équation $x = 1$ et $x =5$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Hachurer sur le graphique de la feuille annexe la partie à dorer. 

\item  
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que la fonction $F$ définie sur l'intervalle [1 ~;~ 5] par 

		\[F(x) = \dfrac{1}{6}x^3 -  4x \ln x + 5x\]

 est une primitive de $f$.
		\item En déduire la valeur exacte de l'intégrale I $ = \displaystyle\int_{1}^5 f(x)\:\text{d}x$.
		\item Quelle est l'aire de la partie hachurée ? (On donnera un résultat en unités d'aire, arrondi au dixième).	 

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{FEUILLE ANNEXE à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(9.25,8.25)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.3pt,subgridwidth=0.2pt](0,0)(9,8)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(9.5,8.5)
\psaxes[linewidth=1.75pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=2pt]{5}{9}{15 x mul 49 sub x dup mul sub}
\uput[ur](5,1){A} \uput[r](9,5){B}
\uput[u](0.75,0){$\vect{\imath}$} \uput[r](0,0.75){$\vect{\jmath}$} 
\end{pspicture}

\vspace{1.5cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{1.85cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Question numéro	&1	&2	&3	&4	&5	&6	&7	&8\\ \hline
Réponse			&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%   fin STI Arts appliqués septembre 2007
\newpage
%%%%%%%%%%%%   La Réunion génie civil juin 2007
\hypertarget{LaReunion}{}

\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STI La Réunion 15 juin 2007~\decofourright\\Génie mécanique, énergétique, civil}}
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres  complexes l'équation :

\[ z^2 - 4z\sqrt{3} + 16 = 0.\]

\item Le plan est rapporté au repère \Ouv{} d'unité graphique 2~cm.

On considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 2\sqrt{3} - 2\text{i}$ et 

$z_{\text{B}} = 2\sqrt{3} + 2\text{i}$.

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer le module et un argument de $z_{\text{A}}$ et de $z_{\text{B}}$.
		\item  En déduire une construction des points A et B dans le repère \Ouv.
		\item  Déterminer une mesure en radians de l'angle orienté $\left(\vect{\text{OA}}~;~\vect{\text{OB}} \right)$.
		\item  Déterminer la nature du triangle AOB.
		\item  Soit I le point d'affixe $z_{\text{I}} = \dfrac{4\sqrt{3}}{3}$.
		
Démontrer que I est le centre du cercle circonscrit au
 triangle AOB.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  4 points}

Soit l'équation différentielle (E) :

\[\dfrac{1}{4}y'' + 9y = 0,\]

où $y$ est une fonction deux fois dérivable de la variable réelle $x$.
\begin{enumerate}
\item  Résoudre l'équation différentielle (E).
\item  Trouver la fonction $f$, solution particulière de (E), vérifiant les conditions suivantes :

\[f\left( \dfrac{\pi}{6}\right) = - \dfrac{1}{2}\quad \text{et} \quad f'\left( \dfrac{\pi}{6}\right) = 3 \sqrt{3}.\]

\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que, pour tout nombre réel $x,~ f(x) = \cos \left(6x + \dfrac{\pi}{3}\right)$.
		\item  En déduire les solutions, dans l'ensemble $\R$ des nombres réels, de l'équation $f(x) = 0$.
 	\end{enumerate}
\item Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[- \dfrac{5\pi}{36}~;~ \dfrac{\pi}{36}  \right]$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  11 points} 

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthogonal \Oij{} (unités graphiques : 2~cm sur l'axe des abscisses, 1~cm sur l'axe des ordonnées).

\medskip

\textbf{Partie A :  étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par : 

\[g(x) = 2\text{e}^{-2x} - 8\text{e}^{-x} - 4x + 6.\]

\begin{enumerate}
\item  Soit $g'$ la fonction dérivée de $g$. Montrer que, pour tout nombre réel $x,$

$g'(x) = - 4\left(\text{e}^{-x} - 1\right)^2$.
\item  Dresser le tableau de variations de la fonction $g$. On ne donnera pas les limites en $-1$ et $+1$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $g(0)$.
		\item  En déduire le signe de $g(x)$ sur $\R$ .
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}

\medskip 
 
\medskip

\textbf{Partie B : étude de la fonction}
 
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : 

\[f(x) = 2\text{e}^{-2x} - 8\text{e}^{-x} + 6.\]

On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère \Oij.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = 0$.
		\item  Donner l'interprétation graphique des solutions trouvées à la question précédente.
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Étudier la limite de $f$ en $+1$. En déduire l'existence d'une asymptote $\mathcal{D}$ à la courbe $\mathcal{C}$.
		
On donnera une équation de $\mathcal{D}$.
		\item Vérifier que, pour tout nombre réel $x,~  f(x) = \text{e}^{-2x}\left(2 - 8\text{e}^{x} + 6\text{e}^{2x}\right)$.
		
En déduire la limite de $f$ en $-1$.
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la dérivée $f'$ de $f$. Montrer que, pour tout nombre réel $x,\: f'(x)$ est du même signe que $\left(-\text{e}^{-x} + 2\right)$.
		\item Dresser le tableau de variation de $f$. On précisera la valeur exacte de $f(- \ln 2)$.
		\item Donner une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
		\item En utilisant les résultats de la partie A, étudier les positions relatives de la droite $\mathcal{T}$ et de
 la courbe $\mathcal{C}$.
		\item Tracer les droites $\mathcal{T}$ et $\mathcal{D}$, puis la courbe $\mathcal{C}$.
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie C : primitive et calcul d'aire}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$.
\item  Hachurer la partie $\mathcal{E}$ du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$, et les droites
 d'équations $x = - \ln 3$ et $x = 0$.
\item  Calculer, en cm$^2$, la valeur exacte de l'aire de la partie $\mathcal{E}$ ; en donner une valeur approchée au mm$^2$ près par défaut.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%   fin La Réunion génie civil juin 2007
\newpage
%%%%%%%%%%   Métropole génie civil juin 2007
\hypertarget{Francecivil}{}

\lhead{\small Baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie mécanique, civil  Métropole~\decofourright\\ juin 2007}}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

Du papier millimétré est mis  la disposition des candidats.

Le candidat doit traiter  les deux exercices et le problème. 

\end{center}
  
\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
\medskip
On considère l'équation différentielle (E) : $4y''+ \pi^2y = 0$ où $y$ est une fonction numérique deux fois dérivable de la variable réelle $x$.
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation (E).
\item Déterminer la fonction $g$, solution de cette équation, dont la courbe représentative dans un repère du plan passe par le point N de coordonnées $\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$ et qui, en ce point, admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses.
\item Vérifier que, pour tout nombre réel $x,~ g(x) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}	\cos \left(\dfrac{\pi}{2}x - \dfrac{\pi}{4}\right).$
\item Calculer la valeur moyenne de la fonction $g$ sur l'intervalle [0 ;  1].
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\medskip
	
i désigne le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
\begin{enumerate}
\item  Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation 

\[z^2 + 2z + 10 = 0.\]

\item  Déterminer les nombres complexes $c$ et $d$ vérifiant le système :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
-  2c + d& =&1+13\text{i}\\
-c + d &=&4 + 8\text{i}\\
\end{array}\right.\]

\item  Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{}	d'unité graphique $1$~cm.
	\begin{enumerate}
		\item  Placer sur une figure les points A, B, C et D dont les affixes respectives sont :

\[	-1 + 3\text{i},~	-1-3\text{i},~	3-5\text{i}~~ \text{et}~7+3\text{i}.\]

		\item  Démontrer que le triangle BAD est rectangle en A.
		\item  Démontrer que le triangle BCD est rectangle en C.
		\item  En déduire que les quatre points A, B, C et D sont sur un même cercle dont on déterminera le centre $\Omega$ et le rayon. Tracer le cercle sur la figure.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty [$ par 

\[f(x) = \text{e}^x \ln x  + \dfrac{\text{e}^x}{x}.\]

On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques $4$~cm sur l'axe des abscisses et $1$~cm sur l'axe des ordonnées.

\bigskip

\textbf{Partie A}
 
\medskip
L'objet de cette première partie est l'étude des limites de la fonction $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
\begin{enumerate}
\item  Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
\item   
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que, pour tout nombre réel strictement positif $x,$
		
$f(x) = \dfrac{\text{e}^x}{x}(x \ln x + 1)$.
 
On rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to 0} x \ln x = 0$. En déduire la limite de $f$ en $0$.
		\item  Montrer que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote $\mathcal{D}$ dont on donnera une équation.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B : étude d'une fonction intermédiaire}

\medskip
 
Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 

\[g(x) = \ln x + \dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{x^2}\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  On désigne par $g'$ la dérivée de la fonction $g$.

Montrer que, pour tout nombre réel strictement positif $x,$
	
$g'(x) = \dfrac{x^2 - 2x + 2}{x^3}$.
		\item  Étudier le signe de $g'(x)$. En déduire que la fonction $g$ est strictement croissante sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. L'étude des limites n'est pas demandée.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $\left[\dfrac{1}{2}~;~1\right]$.
		\item  Donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $\alpha$.
	\end{enumerate}
\item  Déduire des questions B 1 et B 2 le signe de $g(x)$, pour $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;+ \infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : étude des variations de la fonction \boldmath$f$  et construction de la courbe associée}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item  $f'$ désignant la dérivée de $f$, calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x) = \text{e}^x g(x)$, pour tout nombre $x$
appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
\item  En déduire le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
\end{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item  Dresser le tableau de variations de la fonction $f$. 
\item  Calculer une valeur approchée à $10^{-1}$ près de $f(\alpha)$, en prenant $0,6$ pour valeur approchée de $\alpha$.
\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Reproduire et compléter le tableau ci-dessous.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.5cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0,25& 0,5&0,75	&1&1,25&1,5&1,75&2&2,25&2,5\\ \hline
$f(x)$ à $10^{-1}$ près		&	&	&	&	&	&	&	&	&	&\\  \hline
\end{tabularx}

\medskip

		\item  Construire l'asymptote $\mathcal{D}$	et la courbe $\mathcal{C}$ pour $x$ appartenant à l'intervalle ]0~;~2,5].
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie D :  calcul d'aire}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que la fonction $F$, définie sur l'intervalle $]0~; + \infty[$  par $F(x)= \text{e}^x \ln x$ est une primitive de $f$.
\item  On désire calculer l'aire de la partie $\mathcal{E}$ du plan comprise entre la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = 2$.
	\begin{enumerate}
		\item  Hachurer la partie $\mathcal{E}$ sur le dessin.
		\item  Déterminer la valeur exacte de l'aire de $\mathcal{E}$ en unités d'aires, puis en cm$^2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%   fin Métropole génie mécanique juin 2007
\newpage
%%%%%%%%%%%    Polynésie Génie mécanique juin 2007
\hypertarget{Polynesiemeca}{}

\lhead{\small Baccalauréat STI  Génie mécanique, énergétique, civil}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2007}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STI Polynésie  juin 2007~\decofourright\\Génie mécanique, énergétique, civil}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}
 
\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. L'unité graphique est $2$~cm.

On note i nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Pour tout nombre complexe  $z$, on pose : 

\[P(z) = z^3 + \left(2\sqrt{2} - 4\right)z^2 + \left(8 - 8 \sqrt{2}\right)z + 16\sqrt{2}.\]

	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $P(-2\sqrt{2})$.
		\item  Déterminer une factorisation de $P(z)$ sous la forme :
		
$P(z)= \left(z + 2\sqrt{2}\right)\left(z^2 + \alpha z+\beta\right)$ où $\alpha$ et $\beta$ sont deux nombres réels que l'on déterminera.
		\item  Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation : $P(z) = 0$.
	\end{enumerate}
\item  On note A, B et C les points d'affixes respectives : $a = 2 + 2\text{i},\: b = 2 - 2\text{i}$ et 

$c = -2\sqrt{2}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Placer les points A, B et C dans le repère \Ouv.
		
Démontrer que A, B, C sont sur un même cercle $\Gamma$ de centre O, dont on donnera le rayon. 
		\item  Déterminer un argument du nombre complexe $a$ puis un argument du nombre complexe $b$.

En déduire une mesure en radian de l'angle $\left(\vect{\text{OB}},~\vect{\text{OA}}\right).$
		\item  Déterminer alors une mesure en radian de l'angle $\left(\vect{\text{CB}},~\vect{\text{CA}}\right).$.
		\item  Démontrer qu'une mesure de l'angle $\left(\vect{\text{AC}},~\vect{\text{AB}}\right)$ est $\dfrac{3\pi}{8}.$
		\item  En déduire l'égalité : $\tan \left(\dfrac{3\pi}{8} \right) = 1 +\sqrt{2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  4 points}

\medskip

Pour former une pièce métallique à partir d'un profilé de $2$~centimètres d'épaisseur, on utilise un marteau pilon.

Le marteau pilon frappe toutes les 6 secondes, et à chaque coup, l'épaisseur de métal diminue de 2\,\%.
 
On note $u_{n}$ ($n$ entier naturel) l'épaisseur en millimètres de la pièce après $n$ frappes de marteau pilon.
  
On a donc $u_{0} = 20$.
\begin{enumerate}
\item  Calculer $u_{1},~ u_{2}$ et $u_{3}$. On donnera les résultats arrondis au centième de millimètre.
\item  Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est géométrique, et préciser sa raison.
\item  Déterminer $u_{n}$ en fonction de l'entier $n$.
\item  Quelle est l'épaisseur, arrondie au centième de millimètre, de la pièce après $10$~frappes ?
\item  On considère que la pièce est terminée dès que son épaisseur est inférieure à $14$~millimètres.

Quel est le temps minimal pour que la pièce soit terminée ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  11 points}

\medskip
 
Le plan est rapporté au repère orthonormal \Oij. (L'unité graphique est $2$~cm).

Le but du problème est l'étude de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par 

\[f(x) =  x - 1 + \dfrac{2}{x}- \dfrac{2 \ln (x)}{x}\]

puis de calculer une aire.

\medskip

\textbf{I. Étude d'une fonction auxiliaire} \boldmath $g$
 \unboldmath
 
\medskip

On note $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par :

\[ g(x) = x^2  - 4 + 2 \ln (x).\]

\begin{enumerate}
\item Calculer la fonction dérivée $g'$ de la fonction $g$.
\item Déterminer le sens de variation de la fonction $g$. (On ne demande pas les limites en $0$ et en $+ \infty$).
\item Résolution de l'équation $g(x) = 0$.
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que sur l'intervalle [1~;~2] l'équation $g(x) = 0$ possède une solution unique $\alpha$. 
		\item Donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de ce nombre $\alpha$.
	\end{enumerate}
\item Déduire de ce qui précède le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$, dans l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{II. Étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le repère \Oij.

\begin{enumerate}
\item  Déterminer la limite de $f$ en $0$. Qu'en déduit-on pour la courbe $\mathcal{C}$ ?
\item  Etude en $+ \infty$.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. 
		\item  Démontrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x - 1$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.
		\item  Déterminer les coordonnées du point A commun à la courbe $\mathcal{C}$ et à la droite $\mathcal{D}$. 
		\item  Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $\mathcal{D}$.
	\end{enumerate}
\item  Étude des variations de $f$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$. Vérifier que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty[~ :~f'(x)= \dfrac{g(x)}{x^2}$, où $g$ est la fonction étudiée dans la partie I.
		\item En utilisant les résultats de la partie I, dresser le tableau des variations de la fonction $f$
	\end{enumerate}
\item  On note $\mathcal{T}$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $\text{e}^2$. Montrer que $\mathcal{T}$ est parallèle à l'asymptote $\mathcal{D}$.
\item  Dans le repère \Oij. tracer la droite $\mathcal{D}$, la tangente $\mathcal{T}$ et la courbe $\mathcal{C}$ à l'aide de l'étude précédente. (On prendra $f(\alpha) \approx  1,25$.)
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{III. Calcul d'une aire}

\medskip

On définit sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ la fonction $H$ par :

\[H(x) = \dfrac{x^2}{2} - x + 2\ln x - (\ln x)^2$.

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que $H$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
\item  Soit la région du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = $e.
	\begin{enumerate}
		\item  Hachurer la région sur votre figure. 
		\item  On note $S$ l'aire, exprimée en unité d'aire, de la région $S$. Déterminer la valeur exacte de $S$. 
\item  Donner la valeur décimale approchée de cette aire, arrondie au mm$^2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%    fin Polynésie Génie mécanique juin 2007
\newpage
%%%%%%%%%%%    Métropole Génie civil septembre 2007
\hypertarget{Metrocivilsep}{}

\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie mécanique, civil  Métropole~\decofourright\\ septembre 2007}}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

Du papier millimétré est mis  la disposition des candidats.

Le candidat doit traiter  les deux exercices et le problème. 

\end{center}
  
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à une repère orthonormal direct \Oij.
L'unité graphique est 1~cm. On note i le nombre complexe de module 1
et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation :

\[z^2 + 4z + 16 = 0.\]

\item  On note A, B, C, D et E les points du plan d'affixes respectives :

\[a = -2 + 2\text{i}\sqrt{3}\quad;\quad b = \overline{a}\quad;\quad c = 7+ \text{i}\sqrt{3}\quad ; \quad d = 7 + 5\text{i}\sqrt{3}\quad;\quad e = - \dfrac{1}{2}a.\]

	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que $b - a = c - d$ ; en déduire que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
		\item Calculer le module et un argument de chacun des nombres $a,~ b$ et $c$.
		\item Démontrer l'égalité : $e - c = \dfrac{2}{3}(b - c)$. En déduire que les points B, C et E sont alignés.
	\end{enumerate}
\item Utiliser les résultats précédents pour placer les points A, B et E dans le repère \Oij, puis terminer la construction du quadrilatère ABCD
en laissant apparents les traits de construction,
\item  On note F le point d'affixe : $f = - 2 - 6\text{i}\sqrt{3}$.\\
Démontrer que le point B est le milieu du segment [AF].\\
En déduire le centre de gravité du triangle ACF.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill}

\medskip
 
Soit (E) l'équation différentielle : 

\[9y" + 4y = 0,\]

où $y$ est une fonction numérique définie et deux fois dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels.

\begin{enumerate}
\item  Résoudre l'équation différentielle (E).
\item  Le plan est rapporté à un repère orthonormal.
Déterminer la fonction $g$, solution de (E), qui satisfait aux conditions suivantes :

\begin{itemize}
\item  la courbe représentative de $g$ passe par le point P de coordonnées $\left(\dfrac{\pi}{2}~;~\sqrt{3}\right)$ ;
\item la tangente à cette courbe en P a pour coefficient directeur $- \dfrac{2}{3}.$
\end{itemize}

\item  Vérifier que, pour tout nombre réel $x$ :

\[g(x) =  2\cos \left(\dfrac{2}{3}x - \dfrac{\pi}{6}\right).\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre dans $\R$ L'équation $g(x) = 0$.
		\item  Parmi les solutions trouvées à la question précédente, énumérer celle(s) qui appartient (appartiennent) à l'intervalle $[0~;~ 2\pi]$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill }\\

\medskip

 \textbf{Partie A. Étude d'une fonction auxiliaire}\\
On considère la fonction g définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par :
\[g(x) = x + 1 + \ln x.\]

\begin{enumerate}
\item  Étudier les variations de $g$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$;
\item  Démontrer qu'il existe une solution unique $\alpha$ de l'équation $g(x) = 0$ dans l'intervalle [0,1~;~0,5].
\item  Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
\item  Étudier le signe de $g(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B. Étude de la fonction} \boldmath  $f$ \unboldmath\\
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par

\[ f(x) = \dfrac{x \ln x}{x + 1} +2.\]

On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to 0}  x \ln x = 0$. Déterminer la limite de $f$ en $0$.
\item  Montrer que, pour tout nombre réel strictement positif $x$ :
\[f(x) = \dfrac{\ln x}{1 + \frac{1}{x}} + 2.\]
En déduire la limite de $f$ en $+\infty$.
\item  Soit $f'$ la dérivée de $f$. Montrer que, pour tout nombre réel strictement positif  $x,~ f'(x) =  \dfrac{g(x)}{(x + 1)^2}$.

\item  Étudier, en utilisant les résultats de la partie A, le signe de $f'(x)$ selon les valeurs de $x$.
\item  Dresser le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$.

(On indiquera une valeur approchée de $f(\alpha)$ en prenant $\alpha \approx  0,28$.)
	\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$.	
\item On a tracé ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}'$ de la fonction $h$ définie dans la partie C. Sur le graphique, tracer la tangente T ainsi que 	la courbe $\mathcal{C}$.\\

\bigskip

\psset{unit=2cm}
\begin{center} 
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(5,4)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.4pt,griddots=10](0,-1)(5,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(5,4)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.02}{5}{x ln x 1 add div neg}
\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}

(Ce graphique n'est pas à l'échelle.)

\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C. Aire comprise entre deux courbes}

\medskip

On considère dans cette partie la fonction h définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par : 

	\[h(x) = - \dfrac{\ln x}{x + 1}.\]
	
\begin{enumerate}
\item  On pose, pour tout nombre réel strictement positif $x$ : 	$u(x) = f(x) - h(x)$.

Montrer que $u(x) = \ln x + 2$.
	
\item	Montrer que la fonction $U$ définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par :

\[U(x) = x \ln x  + x\]

est une primitive de la fonction $u$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le signe de $u(x)$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$.
		\item En déduire les positions relatives des courbes $\mathcal{C}$  et $\mathcal{C}'$ sur l'intervalle [1~;~2].
 	\end{enumerate}
\item  Hachurer le domaine $\mathcal{D}$ compris entre les courbes $\mathcal{C}$  et $\mathcal{C}'$ et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 2$.
\item  Déterminer alors l'aire exacte du domaine $\mathcal{D}$ en unités d'aire, puis en cm$^2$. Donner une valeur approchée de cette aire au mm$^2$ près.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%    fin Métropole Génie civil septembre 2007
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Polynésie Génie civil septembre 2007
\hypertarget{Polynesiecivilsep}{}

\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2007}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Polynésie  septembre 2007 ~\decofourright\\Génie mécanique, énergétique, civil}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un  repère orthonormal direct \Ouv. L'unité graphique est $1$~cm.

On note i le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}.$

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation :

\[ z^2 + 4z + 16 = 0.\]

\item  On note A, B, C, D et E les points du plan d'affixes respectives :

\[a = - 2 + 2\text{i}\sqrt{3}\quad ; \quad b = \overline{a}\quad ; \quad c = 7 + \text{i}\sqrt{3}\quad ; \quad d = 7 + 5\text{i}\sqrt{3}\quad ; \quad e = - \dfrac{1}{2}a \]

	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que $b - a = c - d$ ; en déduire que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
		\item Calculer le module et un argument de chacun des nombres $a,~ b$ et $e$.
		\item Démontrer l'égalité : $e - c = \dfrac{2}{3}(b - c)$. En déduire que les points B, C et E sont alignés.
	\end{enumerate}
\item  Utiliser les résultats précédents pour placer les points A, B et E dans le repère \Ouv, puis terminer la construction du quadrilatère ABCD en laissant apparents les traits de construction.
\item  On note F le point d'affixe : $f = - 2 - 6 \text{i}\sqrt{3}$.

Démontrer que le point B est le milieu du segment [AF].

En déduire le centre de gravité du triangle ACF.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  4 points}

\medskip

On considère l'équation différentielle 

\[(\text{E}) : \quad  y' - \dfrac{1}{2}y  = \dfrac{1}{4}x - \dfrac{1}{2},\]

où $y$ est une fonction inconnue de la variable $x$, dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels.

\medskip

\parbox{0.5\linewidth}{\begin{enumerate}
\item  Résoudre l'équation différentielle : $y' - \dfrac{1}{2}y  = 0$.
\item  On considère la fonction $f$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par :

\[ f(x) = \text{e}^{\frac{1}{2}x} - \dfrac{1}{2}x.\]

Vérifier que $f$ est solution de l'équation (E)
\item  On a dessiné ci-contre la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$, précédemment définie, dans un repère orthonormé \Oij, pour les valeurs de $x$ comprises entre 0 et 2.

On note $\mathcal{K}$ le solide engendré par la rotation de la courbe 
$\mathcal{C}$ autour de l'axe des abscisses.
	\begin{enumerate}
		\item  On note $h$ la fonction définie sur $\R$ par : $h(x) = x\text{e}^{\frac{1}{2}x}$,  et $H$ la fonction définie sur $\R$ par : 
		H(x) = 2\text{e}^{\frac{1}{2}x}(x - 2)$.
		
Démontrer que $H$ est une primitive de $h$ sur $\R$.
		\item Calculer la valeur exacte du volume $\mathcal{V}$ du solide $\mathcal{K}$, exprimée en unités de volume.
		
(On rappelle que 

$\mathcal{V} =  \pi \displaystyle\int_{0}^2  [f(x)]^2\: \text{d}x$.)
	 \end{enumerate}
\end{enumerate}} \hfill 
\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=1.75cm}\begin{pspicture}(2.2,2.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(2.25,2.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){\vect{\jmath}$}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2}{2.71828 0.5 x mul exp 0.5 x mul sub}
\uput[u](1,1.1){$\mathcal{C}$}
\psline[linestyle=dashed](2,0)(2,1.71828)	 
	 \end{pspicture}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  11 points}

\medskip
 
Le plan est rapporté au repère orthogonal \Oij. (Unités graphiques : $3$~cm en abscisses et $2$~cm en ordonnée.)

Le but du problème est l'étude de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]-1~;~+\infty[$ par :

\[ f(x) = \dfrac{x^3}{(x+1)^2},\]

et de calculer une aire.

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le repère \Oij.

\textbf{I. Étude du comportement asymptotique de la fonction} \boldmath $f$\unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit $h$ la fonction définie sur l'intervalle $]-1~;~ +\infty[$ par : 
\[h(x) = \dfrac{3x+2}{x^2 +2x + 1}.\]
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que, pour tout réel $x$ non nul appartenant à l'intervalle	$]-1~;~+\infty[$ :  $h(x)= \dfrac{3 + \dfrac{2}{x}}{x + 2 + \dfrac{1}{x}}$.
		\item En déduire la limite de $h$ en $+\infty$.
	\end{enumerate}
\item Mise en évidence d'une asymptote oblique. 
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que,pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]-1~;~+\infty[$ :
		
$f(x) = x - 2 + h(x)$, où $h$ est la fonction définie dans la question précédente.
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
		\item Montrer que la droite ($\Delta$), d'équation : $y =  x - 2$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.
		\item Étudier la position de $\mathcal{C}$ par  rapport à la droite ($\Delta$).
	\end{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $- 1$ et en déduire que $\mathcal{C}$ a une asymptote ($\Delta'$) dont on donnera une équation.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{II. Étude des variations de \boldmath $f$ \unboldmath et tracé de  \boldmath$\mathcal{C}$ \unboldmath}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que le point O appartient à $\mathcal{C}$.
\item  Montrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]-1~;~ +\infty[$ : 

$f'(x) = \dfrac{x^2(x + 3)}{(x + 1)^3}$.

En déduire le sens de variations de $f$ sur l'intervalle $]-1~;~ +\infty[$.
\item  Donner une équation de la tangente à la courbe ($\mathcal{C}$) au point O.
\item  Tracer la courbe ($\mathcal{C}$) et les deux asymptotes ($\Delta$) et ($\Delta'$) dans le repère \Oij.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{III. Calcul d'aire}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit $H$ la fonction définie sur l'intervalle  $]-1~;~ +\infty[$ par  : 
\[H(x) = \dfrac{1}{x + 1} + 3\ln (x + 1).\]
Montrer que $H$ est une primitive de la fonction $h$ sur l'intervalle $]-1~;~ +\infty[$.
\item  On désigne par $\mathcal{S}$ le domaine limité par $\mathcal{C},~ (\Delta)$, et les droites d'équations $x = 2$ et $x = 4$.
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer le domaine $\mathcal{S}$ sur le dessin.
		\item Calculer, en unité d'aire, la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}$ du domaine $\mathcal{S}$.
		\item En déduire l'aire en cm$^2$, arrondie au mm$^2$, du domaine $\mathcal{S}$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%   fin Polynésie Génie civil septembre 2007
\newpage
%%%%%%%%%%%%    Nouvelle-Calédonie Génie civil novembre 2007
\hypertarget{NlleCaledocivil}{}
  
\lhead{\small Baccalauréat STI}
\rhead{\small Génie mécanique, énergétique, civil}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Novembre
 2007~\decofourright\\Génie Mécanique - Génie Énergétique - Génie Civil\\Nouvelle-Calédonie}}
\end{center}

\emph{Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que  le sujet. Une feuille de papier millimétré sera mise à la disposition des candidats.}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. L'unité graphique est $3$~cm.

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}.$

On considère le point A d'affixe $a = 2$ et le point B d'affixe $b = \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On note $P$ le polynôme défini pour tout nombre complexe $z$ par :

\[ P(z) = z^2 -\left(2 + \sqrt{2}\right)z + \left(2 + \sqrt{2}\right).\]
 
Déterminer les solutions de l'équation : $P(z) = 0$.

Dans la suite de l'exercice, on note C le point du plan d'affixe $c = \dfrac{2 + \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}}{2}$.
\item  Étude du triangle AOB.
	\begin{enumerate}
		\item  Placer les points A, B et C dans le repère \Ouv.
		\item  Déterminer l'écriture exponentielle du nombre complexe $b$.
		\item  En déduire la nature du triangle AOB, ainsi que la mesure de l'angle $\widehat{\text{AOB}}$.
	 \end{enumerate}
\item  Étude du triangle AOC.
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que C est le milieu du segment [AB].
		\item  En déduire la nature du triangle AOC, ainsi qu'une mesure de l'angle $\widehat{\text{AOC}}$
		\item  En déduire un argument du nombre complexe $c$.
	 \end{enumerate}
\item  Calcul de la valeur exacte de $\cos \left(\dfrac{\pi}{8}\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que : $|c| =  \sqrt{2 + \sqrt{2}}$.
		\item  Déduire des questions précédentes que $\cos \left(\dfrac{\pi}{8}\right)	= \dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$.
	 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points}

Une entreprise produit en série des objets qu'elle destine à la vente. Ces objets peuvent présenter deux types de défauts :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  le défaut S de nature esthétique ;
\item[$\bullet~$]  le défaut F de fonctionnement.
\end{itemize}

 Un objet est déclaré parfait s'il ne présente aucun des deux défauts.
\begin{enumerate}
\item  On prélève un lot de $200$~objets sur la production et on constate que : 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] le défaut S est observé sur 16 objets ;
\item[$\bullet~$] le défaut F est observé sur 12 objets;
\item[$\bullet~$] 180 objets sont déclarés parfaits.
\end{itemize}

Recopier et compléter le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}	&Avec le défaut F&	Sans le défaut F&	Total\\ \hline
Avec le défaut S		&				&					&16\\ \hline
Sans le défaut S		&				&					&     \\ \hline
Total					&				&					&200\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

On admet que la répartition des deux types de défauts, observée dans le lot de $200$~objets prélevés, reflète celle de l'ensemble de la production. On admet également que tout objet produit est vendu. On sait en outre que le coût de fabrication d'un objet est de $200$~\euro.
\item Dans cette question, le prix de vente de l'objet est fixé à $250$~\euro.

Si l'objet présente le seul défaut S, l'entreprise accorde au client une réduction de 15\,\% du prix.

Si l'objet présente le seul défaut F, l'entreprise réalise les réparations, à ses frais, pour un coût de $45$~\euro.

Si l'objet présente les deux défauts, l'entreprise réalise les réparations, à ses frais, pour un coût de $58$~\euro.

On note X la variable aléatoire qui, à chaque objet choisi au hasard dans la production, associe le bénéfice algébrique, en euro, réalisé par l'entreprise à la vente de cet objet.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier le fait que X prend les valeurs (exprimées en euro) : 50 ; 12,50 ; 5 et $- 8$.
		\item 	Démontrer que la probabilité pour qu'un objet présente le seul défaut S est $0,04$.
		\item 	Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X (On pourra représenter les résultats dans un tableau.)
		\item 	Calculer l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X. Que représente E(X) pour l'entreprise ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points}

Le plan est rapporté au repère orthogonal \Oij.

(Unités graphiques : $3$~cm en abscisse et $1$~cm en ordonnée).

\bigskip

\textbf{I. Résolution d'une équation différentielle}

On note (E) l'équation différentielle :
 
\[y'+y = 3\text{e}^{-x} + x +  1\]

où $y$ est une fonction inconnue de la variable réelle $x$, dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle : $y'+ y = 0$.
\item  Vérifier que la fonction $u$ définie sur $\R$ par : $u(x) =  3x\text{e}^{-x} + x$, est une solution de l'équation différentielle.
\item On admet que toute solution $f$ de l'équation (E) est de la forme $f(x) = u(x) + C\text{e}^{-x}$ où $C$ est une constante réelle et $u$ la fonction définie à la question 2. 

Déterminer la solution $f$ de l'équation (E) telle que : $f(0) = 2$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{II. Étude d'une fonction auxiliaire \boldmath $g$ \unboldmath}

\medskip

 On note $g$ la fonction définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par : 

\[g(x) =  \text{e}^{-x}(- 3x + 1) + 1.\]

\begin{enumerate}
\item  Calculer la dérivée $g'$ de la fonction $g$.
\item  Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur $\R$, et dresser le tableau de variations (On ne demande pas les limites de $g$ en $+ \infty$ et en $-\infty$.)
\item  Calculer $g\left(\dfrac{4}{3}\right)$ et en déduire le signe de la fonction $g$ sur $\R$.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{III. Étude de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath déterminée en I.}

\medskip

On rappelle que $f$ est définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par :

\[ f(x) =  \text{e}^{-x}(3x + 2)+ x.\]

 On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le repère orthogonal \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Étude des limites.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
		\item Déterminer la limite de $f$ en  $- \infty$.
	\end{enumerate}
\item   Étude des variations de $f$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$, et démontrer que, pour tout réel $x :  f'(x) = g(x)$.
		\item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\item  Démontrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x$  est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ en $+ \infty$, et préciser la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $\mathcal{D}$. (On notera A leur point d'intersection.)
\item  Déterminer l'abscisse du point B de la courbe $\mathcal{C}$ où la tangente $\mathcal{T}$ est parallèle à la droite $\mathcal{D}$.
\item  Tracer, dans le repère \Oij, les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{T}$. Placer les points A et B puis tracer la courbe $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{IV. Calcul d'une aire}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que la fonction $F$, définie sur $\R$ par :

\[F(x) = -f(x)  - 3\text{e}^{-x} + \dfrac{x^2}{2}+x,\]

est une primitive de la fonction $f$ sur $\R$.

\medskip

\item  En déduire l'aire en cm$^2$ du domaine plan délimité par la courbe $\mathcal{C}$, les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$, et l'axe des abscisses. (On donnera un résultat arrondi au mm$^2$.)
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%    fin Nouvelle-Calédonie Génie civil novembre 2007
\newpage
%%%%%%%%%%%    Antilles-Guyane génie électronique juin 2007
\hypertarget{Antilleselectro}{}

\rhead{\small Baccalauréat  STI Génie électrotechnique, génie optique }
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie électronique~\decofourright\\Antilles-Guyane  juin 2007}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
\medskip

On rappelle que i est le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre, dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, l'équation d'inconnue $z$ :

\[z^2 - 6z + 10 = 0.\]

\item  Soit $P$ le polynôme défini pour tout nombre complexe $z$ par :

\[P(z) = z^3 - 12z^2 +   46z - 60.\]

	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $P(6)$.
		\item  Déterminer trois réels $a,~ b$ et $c$ tels que, pour tout complexe $z$, on ait
		
$P(z) = (z - 6)\left(az^2 + bz + c\right)$.
		\item  Résoudre dans $\C$ l'équation $P(z) = 0$.
	\end{enumerate}
\item  Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 2~cm ; soient A, B et C les points de ce plan d'affixes respectives 3 + i , $3 - \text{i}$ et $6$.

Placer les points A, B et C.
\item  Démontrer que le quadrilatère OACB est un parallélogramme.
\item  Comparer les longueurs OA et OB. En déduire la nature du parallélogramme OACB.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

Une personne a $5$ jetons indiscernables au toucher dans sa poche : un jeton d'une valeur de 2 \euro{}, deux jetons d'une valeur de 1\euro{} chacun et deux jetons d'une valeur de 0,50 \euro{} chacun.

\medskip

\textbf{Partie I}

\medskip

Cette personne choisit au hasard, \emph{successivement et sans remise}, deux jetons dans sa poche. On s'intéresse à la somme $S$ des valeurs des deux jetons choisis.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Construire un arbre ou un tableau décrivant cette expérience. En déduire les valeurs possibles de la somme $S$.
\item  Soit A l'évènement: \og la somme $S$ est égale à 1,5 \fg{} et B l'évènement : \og la somme $S$ est égale à 1 \fg.
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que la probabilité de l'évènement A est égale à $0,4$.
		\item  Déterminer la probabilité de l'évènement B.
	\end{enumerate}
\item  Déterminer la probabilité pour que la somme $S$ soit supérieure ou égale à $2$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie II}

\medskip

Cette personne introduit les deux jetons choisis dans un appareil de stationnement. Le coût est de 0,50 \euro{} pour une heure de stationnement. Soit $X$ la variable aléatoire qui à chaque choix de deux jetons associe la durée maximale de stationnement autorisé, exprimée en heures.
\begin{enumerate}
\item  Déterminer, en utilisant la partie I, la probabilité pour que $X$ prenne la valeur $3$.
\item  Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
\item  Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}
 
\medskip

\emph{Les parties} II \emph{et} III \emph{peuvent être traitées indépendamment de la partie} I.

\medskip

\textbf{Partie I}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre l'équation différentielle $\left(E_{0}\right)~ :~ y' = 2y$ où l'inconnue $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et dérivable sur $\R$ et $y'$ sa fonction dérivée.
\item  Soit l'équation différentielle (E) : $ y' - 2y  = \text{e}^x$ où l'inconnue $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et dérivable sur $\R$ et $y'$ sa fonction dérivée.
	\begin{enumerate}
		\item Soit $a$ un nombre réel et $u$ la fonction définie pour tout réel $x$ par 
		
$u(x) = a\text{e}^x$.

Déterminer $a$ pour que la fonction $u$ soit une solution de l'équation différentielle (E).
		\item 	Soit $b$ un nombre réel. On admet que la fonction $w$ définie pour tout réel $x$ par $w(x) = b\text{e}^{2x} - \text{e}^x$ est une solution de l'équation différentielle (E). Déterminer $b$ pour que la fonction $w$ vérifie $w(0) =  0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie II}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par

\[f(x) = \text{e}^{2x} - \text{e}^x.\]

On appelle $f'$ la fonction dérivée de $f$ et $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 4 cm. On remarquera que, pour tout réel $x$, on a $\text{e}^{2x} - \text{e}^x =  \text{e}^x\left(\text{e}^x - 1 \right)$.
\begin{enumerate}
\item  Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)$. Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}_{f}$ ?
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$ et étudier son signe. 
		\item  Calculer $f(- \ln 2)$. On détaillera les calculs.
		\item  Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\item  Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $0$.
\item Tracer la droite T et la courbe $\mathcal{C}_{f}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie III}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Étudier le signe de $f(x)$ suivant les valeurs du réel $x$.
\item  Calculer I $ = \displaystyle\int_{0}^{\ln 2} f(x)\:\text{d}x$.
\item  On considère la partie $\mathcal{D}$ du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = \ln 2$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Hachurer la partie $\mathcal{D}$ sur le graphique. 
		\item  Déterminer l'aire de $\mathcal{D}$. On exprimera le résultat en centimètres carrés.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%    fin Antilles-Guyane génie électronique juin 2007
\newpage
%%%%%%%%%%%   La Réunion Génie électronique juin 2007
\hypertarget{LaReunionelectro}{}

\lhead{\small{Baccalauréat STI }}
\rhead{\small{Génie électronique, électrotechnique, optique}}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STI La Réunion juin 2007~\decofourright\\Génie électronique, électrotechnique, optique}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}

\medskip
 
Le plan $\mathcal{P}$ est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 1~cm.

On note i le nombre complexe de module $1$ et dont un argument est	$\dfrac{\pi}{2}.$

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation:

\[z^2 - 3z + 9 = 0.\]

\item  On considère les points A et B du plan d'affixes respectives:

\[z_{\text{A}} = \dfrac{3}{2} + \text{i}\dfrac{3\sqrt{3}}{2} \quad 	z_{\text{B}} = \dfrac{3}{2} - \text{i}\dfrac{3\sqrt{3}}{2}.\]

	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer le module et un argument des nombres complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$, puis les écrire sous la forme $r\text{e}^{\text{i}\theta}$, où $r$ est un nombre réel strictement positif et $\theta$ un nombre réel compris entre $-\pi$ et $\pi$.
		\item  Placer les points A et B dans le repère \Ouv.
		\item  Justifier que les points A et B sont symétriques par rapport à l'axe $\left(\text{O}~  ;~\vect{u}\right)$.
	\end{enumerate}
\item  On considère la rotation R de centre O et d'angle $- \dfrac{2\pi}{3}$ 	et $M$ un point du plan d'affixe $z$.

On note $M'$ le point d'affixe $z'$ image du point $M$ d'affixe $z$ par cette rotation.
	\begin{enumerate}
		\item  Exprimer $z'$ en fonction de $z$.
		\item  Démontrer que le point B est l'image du point A par la rotation R.
	\end{enumerate}
\item  On considère les points C et D du plan $\mathcal{P}$, d'affixes respectives $z_{\text{C}} =  -3$ et \\$z_{\text{D}}  = 4$.
	\begin{enumerate}
		\item  Placer les points C et D sur le graphique précédent.
		\item  Calculer les distances OD, DC et AB.
		\item  On note I le milieu du segment [AH].
		
Calculer la distance IB et déduire la valeur exacte $\mathcal{A}_{1}$ de l'aire du triangle CBD.
		\item  On note $\mathcal{A}_{2}$ l'aire du triangle AOD.
Calculer la valeur du quotient $\dfrac{\mathcal{A}_{1}}{\mathcal{A}_{2}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  5 points}

\medskip

Un établissement est composé de deux sas, notés 1 et 2, et de six salles de travail, notées A, B, C, D, E et F. Les communications entre ces différentes salles se font par le moyen de $12$~portes représentées par le schéma suivant :

\begin{center}
\begin{pspicture}(9,5)
\psframe(9,5)
\psline(0,1.25)(1.5,1.25) \psline(2,1.25)(4.25,1.25) \psline(4.75,1.25)(7.25,1.25)\psline(7.75,1.25)(9,1.25)
\psline(0,2.5)(1.5,2.5)\psline(2,2.5)(7.25,2.5)\psline(7.75,2.5)(9,2.5)
\psline(0,3.75)(1.5,3.75)\psline(2,3.75)(4.25,3.75)\psline(4.75,3.75)(7.25,3.75)\psline(7.75,3.75)(9,3.75)
\psline(2,1.05)(2,1.45) \psline(1.5,2.3)(1.5,2.7)\psline(1.5,3.55)(1.5,3.95)
\psline(1.5,1.05)(1.5,1.45) \psline(2,3.55)(2,3.95)
\psline(7.25,1.05)(7.25,1.45) \psline(7.75,1.05)(7.75,1.45) \psline(2,2.3)(2,2.7)
\psline(4.25,1.05)(4.25,1.45) \psline(4.75,1.05)(4.75,1.45) 
\psline(7.25,2.3)(7.25,2.7)\psline(7.75,2.3)(7.75,2.7)
\psline(4.25,3.55)(4.25,3.95)\psline(4.75,3.55)(4.75,3.95)
\psline(7.25,3.55)(7.25,3.95)\psline(7.75,3.55)(7.75,3.95)
\psline(3,1.25)(3,1.75) \psline(2.8,1.75)(3.2,1.75)
\psline(6,1.25)(6,1.75) \psline(5.8,1.75)(6.2,1.75)
\psline(3,2.5)(3,3) \psline(2.8,3)(3.2,3)
\psline(6,2.5)(6,3) \psline(5.8,3)(6.2,3)
\psline(3,3.75)(3,3.25) \psline(2.8,3.25)(3.2,3.25)
\psline(6,3.75)(6,3.25) \psline(5.8,3.25)(6.2,3.25)
\psline(3,2.5)(3,2) \psline(2.8,2)(3.2,2)
\psline(6,2.5)(6,2) \psline(5.8,2)(6.2,2)
\rput(4.5,4.3){Sas 2} \rput(4.5,0.6){Sas 1} 
\rput(1.75,1.8){A} \rput(4.5,1.8){B} \rput(7.5,1.8){C} 
\rput(7.5,3.1){D} \rput(4.5,3.1){E} \rput(1.75,3.1){F} 
\end{pspicture}
\end{center}

On remarquera que les salles B et E ne communiquent pas directement.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  Un robot, rangé dans le sas 1, est programmé pour nettoyer exactement trois salles différentes parmi les salles A, B, C, D, E et F.
\item  Le robot commence toujours son parcours par l'une des salles A, B ou C.
\item  Dès que le robot entre dans une salle, il la nettoie systématiquement.
\item  Il lui est impossible de franchir la même porte plus d'une fois ou de nettoyer deux fois la même salle.
\item  Une fois les trois salles nettoyées, le robot ressort :
	\begin{itemize}
		\item Soit par le sas 1,
		\item  Soit par le sas 2. Dans ce cas, il retourne plus tard dans le sas 1 par un couloir non représenté sur le schéma.
	\end{itemize}
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On appelle \og trajet\fg{} une suite ordonnée de 3 salles constituant un parcours possible pour le robot.

\textbf{Exemples :}

\begin{itemize}
\item ABC et BCD sont des trajets.
\item  CBA et ABC sont deux trajets différents.
\item  ABE n'est pas un trajet (les salles B et E ne communiquent pas directement).
\item  DEF n'est pas un trajet (le robot ne peut pas commencer par la salle D).
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer les six trajets possibles (on pourra s'aider d'un arbre).\\
Dans toute la suite, on admet que les six trajets obtenus sont équiprobables.
\item
  \begin{enumerate}
		\item  Calculer la probabilité $p_{1}$ de l'évènement \og la salle E est la troisième salle nettoyée par le robot \fg.
		\item  Calculer la probabilité $p_{2}$ de l'évènement \og  le robot sort par le sas 2 \fg.
	\end{enumerate}
\item  Le tableau suivant donne le temps de nettoyage du robot dans chacune des salles en minutes :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2.5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Salles & A&B&C&D&E&F\\ \hline
Temps de nettoyage du robot&20 min		&24 min&30 min&14 min&22 min &14 min\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

On désigne par X la variable aléatoire qui, à chaque trajet, associe le temps de nettoyage des $3$ salles exprimé en minutes.

	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire X.
		\item  Déterminer la loi de probabilité de X.
		\item  Calculer l'espérance E(X) de la variable aléatoire X. Que représente ce nombre ?
		\item  Calculer la probabilité $p_{3}$ de l'évènement \og le robot effectue le nettoyage des $3$ salles en moins de $60$~minutes \fg{}?
	\end{enumerate}
\item  On appelle $\sigma$(X) l'écart type de la variable aléatoire X.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la valeur arrondie au centième de $\sigma$(X)
		\item  Le robot effectue un parcours par jour, $7$ jours sur $7$. Soit $n$ un entier naturel non nul. On admet qu'il est acceptable d'utiliser le robot durant $n$ jours d'affilée sans révision si le nombre :
		
\[n \times  \text{E}(\text{X}) + 1,5 \times  \sigma(\text{X}) \times  \sqrt{n}\]

est inférieur à $500$~heures. Est-il acceptable de ne faire réviser le robot qu'une fois par an ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  10 points}

\medskip

\textbf{Partie A : étude d'une fonction auxiliaire}\boldmath $g$ \unboldmath

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par :

\[g(x) = 1 + x(1 + \ln x)\]
	
où $\ln$ désigne le logarithme népérien.
\begin{enumerate}
\item  On désigne par $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$.

Montrer que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]0~  ;~ + \infty[$, on a :

\[g'(x) = 2 + \ln x.\]

\item  Étudier le signe de $g'(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.

En déduire les variations de la fonction $g$ sur cet intervalle.
\item  Calculer la valeur exacte du minimum de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, puis en donner la valeur décimale arrondie au dixième.
\item  En déduire le signe de $g(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B : étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

Le plan $\mathcal{P}$ est rapporté au repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique $2$~cm.

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par

\[f(x) = (x+1)\ln x\]

et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan $\mathcal{P}$.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$ ?
		\item  Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$. Donner une interprétation graphique du résultat.
	\end{enumerate}
\item  On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que, pour tout $x$ strictement positif,

	\[f'(x) = \dfrac{g(x)}{x}\]
	
		\item En utilisant le résultat obtenu dans la partie A, question 4, dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées du point d'intersection A de la courbe $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses.
\item Montrer que l'équation $f(x) =  1$ admet une solution unique, notée $\alpha$, dans l'intervalle [1~;~2].

Donner la valeur décimale arrondie au dixième du nombre réel $\alpha$.
\item Tracer dans le plan $\mathcal{P}$ la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~e].
\end{enumerate}
	
\bigskip

\textbf{Partie C :  calcul d'une aire}

\medskip

On considère la fonction $F$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par:
\[F(x) = \left(\dfrac{x^2}{2} +x\right)(\ln x - 1) + \dfrac{x^2}{4}.\]
\begin{enumerate}
\item  Montrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Hachurer, sur le graphique obtenu dans la partie B, la partie $\mathcal{E}$ du plan, limitée par la courbe représentative de $f$, l'axe des abscisses, et les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = \text{e}$.
		\item  Déterminer la valeur exacte de l'aire de la partie $\mathcal{E}$ en cm$^2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%   fin La Réunion Génie électronique juin 2007
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Métropole  génie électronique juin 2007
\hypertarget{Franceelectro}{}

\lhead{\small Baccalauréat  STI }
\rhead{\small Génie électronique, électrotechnique, optique}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie électronique~\decofourright\\Génie électrotechnique, optique\\Métropole  juin 2007}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip
 
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique $1$~cm.

On désigne par i le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
\begin{enumerate}
\item  Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation $z^2 + 4z + 16 = 0$.
\item  Pour tout nombre complexe $z$, on pose $P(z) = z^3 - 64$.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $P(4)$.
		\item  Trouver les réels $a,\: b$ et $c$ tels que, pour tout nombre complexe $z$,
		
$P(z)=(z - 4)\left(az^2 + bz + c\right)$.
		\item  Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation $P(z) = 0$.
	\end{enumerate}
\item  On considère les points A, B et C d'affixes respectives : z_{\text{A}} = -2 + 2\text{i}\sqrt{3},\: z_{\text{B}} = \overline{z_{\text{A}}}$ et $z_{\text{C}} = 4$.
	\begin{enumerate}
		\item  Établir que $z_{\text{A}}  = 4\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}$.
		
		Écrire $z_{\text{B}}$ sous la forme $r\text{e}^{\text{i}\theta}$, où $r$ est un nombre réel strictement positif et $\theta$ un nombre réel compris entre $-\pi$ et $\pi$.
		\item  Placer les points A, B et C dans le plan muni du repère \Ouv.
		\item  Déterminer la nature du triangle ABC.
	\end{enumerate}
\item  On appelle D l'image de A par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{6}$, et on appelle $z_{\text{D}}$, l'affixe du point D.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer le module et un argument de $z_{\text{D}}$.
		\item  En déduire la forme algébrique de $z_{\text{D}}$.
		\item  Placer le point D sur le graphique précédent
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip
 
Le personnage virtuel d'un jeu électronique doit franchir un torrent en sautant de rocher en rocher.

Le torrent se présente de la manière suivante (les disques R$_{1}$, R$_{2}$, \ldots,  R$_{17}$, R$_{18}$, représentent les rochers) :

\vspace{0,5cm}
\newpage
%\begin{pspicture}(12,8)
%\psline(0,7)(12,7) \psline(0,-7)(12,-7)
\psset{colsep=0.8cm,rowsep=0.8cm}

\begin{psmatrix}[mnode=circle]
			&			&			& {\Large A}&		&		& [mnode=none]\\
			&R$_{1}$	&			&	&		&R$_{8}$& [mnode=none]\\
			&R$_{2}$	&			&	&R$_{9}$	&R$_{10}$	&R$_{11}$\\
R$_{3}$		&R$_{4}$	&R$_{5}$	&	&			&R$_{12}$	&R$_{13}$\\
			&R$_{6}$	&			&	&R$_{14}$	&R$_{15}$	& [mnode=none]\\
			&R$_{7}$	&			&	&R$_{16}$	&			& [mnode=none]\\
			&			&			&	&			&R$_{17}$	& [mnode=none]\\
			&			&			&	&R$_{18}$	&			& [mnode=none]\\
			&			&			&{\Large B}	&			&			&[mnode=none] \\
\end{psmatrix}
\psset{linestyle=dashed}
\psset{arrows=->}
\ncline{1,4}{2,2}\ncline{1,4}{2,6}\ncline{2,2}{3,2}
\ncline{2,6}{3,5}\ncline{2,6}{3,6}\ncline{2,6}{3,7}
\ncline{3,2}{4,1}\ncline{3,2}{4,2}\ncline{3,2}{4,3}
\ncline{4,3}{4,2}\ncline{4,1}{5,2}\ncline{4,2}{5,2}
\ncline{5,2}{6,2}\ncline{6,2}{9,4}\ncline{3,5}{5,5}
\ncline{5,5}{6,5}\ncline{6,5}{7,6}\ncline{7,6}{8,5}
\ncline{8,5}{9,4}\ncline{3,6}{4,6} \ncline{4,6}{5,5}
\ncline{3,7}{4,7} \ncline{4,7}{5,6} \ncline{5,6}{7,6} 

\vspace*{-20cm}
\psset{linestyle=solid,arrows=-}
\begin{pspicture}(12,10)
\rput(0,4){RIVE}
\rput(0,-10){RIVE}
\psline(0,3.5)(12,3.5)
\psline(0,-9.5)(12,-9.5)
\end{pspicture}

\vspace{10.5cm}

Le personnage virtuel part de A pour aller en B. Il ne peut choisir que les trajets matérialisés par des pointillés et avancer uniquement dans le sens des flèches.
On appelle \og parcours \fg{} une suite ordonnée de lettres représentant un trajet possible.

\textbf{Par exemple :} AR$_{1}$R$_{2}$R$_{3}$R$_{6}$R$_{7}$B est un parcours qui nécessite $6$ bonds.

\emph{Toute probabilité demandée sera donnée sous forme de fraction.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer les six parcours possibles.
\item  Le joueur choisit au hasard un parcours. On admet que les différents parcours sont équiprobables.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité $p_{1}$ de l'évènement \og le personnage virtuel passe par le rocher R$_{7}$ \fg{}?
		\item 	Quelle est la probabilité $p_{2}$ de l'évènement \og le personnage virtuel passe par le rocher R$_{14}$ \fg{}?
	\end{enumerate}
\item  Chaque bond du personnage virtuel nécessite 2 secondes.\\
On note X la variable aléatoire qui, à chaque parcours, associe sa durée en secondes.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire X.
		\item  Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
		\item  Calculer l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X.
	\end{enumerate}
\item  Quelle devrait être la durée d'un bond du personnage virtuel pour que la durée moyenne d'un parcours soit égale à 10 secondes ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 10 points}

\medskip

Le plan	$\mathcal{P}$ est muni d'un repère orthonormal \Oij{} 	d'unité graphique 2~cm.

On s'intéresse dans ce problème à une fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.

On note	$\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan $\mathcal{P}$.

On note $\ln$ la fonction logarithme népérien.

\medskip

\textbf{Partie A : étude d'une fonction auxiliaire}
 
\medskip

 Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par : 

\[g(x) = x^{2} - 1 +  \ln x. \]
 
On désigne par $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer $g'(x)$ pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.

En déduire le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
\item Calculer $g(1)$ et en déduire l'étude du signe de $g (x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : détermination de l'expression de la fonction}\boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

On admet qu'il existe deux constantes réelles $a$ et $b$ telles que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[,\: f(x) = ax + b - \dfrac{\ln x}{x}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

Calculer $f(x)$ pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
\item  Sachant que la courbe $\mathcal{C}$ passe par le point de coordonnées (1 ; 0) et qu'elle admet en ce point une tangente horizontale, déterminer les nombres $a$ et $b$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : étude de la fonction}~\boldmath $f$ \unboldmath
 
\medskip
On admet désormais que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty[$,

\[ f(x) = x - 1 - \dfrac{\ln x}{x}.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$ et donner une interprétation graphique de cette limite.
		\item  Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
	\end{enumerate}
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, 
		
$f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$.
		\item  Établir le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
		\item  En déduire le signe de $f(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item On considère la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x - 1$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la droite $\mathcal{D}$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.
		\item Étudier les positions relatives de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}$.
		\item Tracer la droite $\mathcal{D}$ et la courbe $\mathcal{C}$ dans le plan $\mathcal{P}$ muni du repère \Oij.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie D : calcul d'aire}
 
\medskip

On note $\mathcal{A}$ la mesure, exprimée en cm$^2$, de l'aire de la partie du plan $\mathcal{P}$ comprise entre la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les  droites d'équations $x = 1$ et $x = \text{e}$.
\begin{enumerate}
\item On  considère la fonction $H$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par $H(x) = (\ln x)^2$.

On désigne par $H'$ la fonction dérivée de la fonction $H$.

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $H'(x)$ pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
		\item En déduire  une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\mathcal{A}$.
		\item Donner la valeur de $\mathcal{A}$ arrondie au mm$^2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%   fin Métropole  génie électronique juin 2007
\newpage
%%%%%%%%%%%   Polynésie Génie électronique juin 2007
\hypertarget{Polynesieelectro}{}

\lhead{\small Baccalauréat STI}
\rhead{\small Génie électronique, électrotechnique, optique}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{ juin 2007}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie électronique Polynésie~\decofourright\\ juin 2007}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer trois réels $a,\: b$ et $c$ tels que pour tout nombre complexe $z$ on ait : $z^3  - 8 = (z - 2)\left(az^2 + bz + c\right)$.

En déduire la résolution dans $\C$ de l'équation $z^3 - 8 = 0$.
\item  Dans le plan muni d'un repère orthonormal \Ouv{} (unité 2 cm), on considère les points A d'affixe $z_{\text{A}} = 2$, B d'affixe $z_{\text{B}} = - 1 + \text{i}\sqrt{3}$ et C d'affixe 

$z_{\text{C}} = - 1 - \text{i}\sqrt{3}$.

	\begin{enumerate}
		\item  Placer les points A, B et C
		\item  Déterminer la nature du triangle ABC. Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\item  On considère la rotation $R$ de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{6}$ et on appelle A$'$, B$'$ et C$'$ les images respectives de A, B et C par $R$.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer les formes exponentielles de $z_{\text{A}},\:z_{\text{B}}$, et $z_{\text{C}}$ puis de $z_{\text{A}'},\: z_{\text{B}'}$, et $z_{\text{C}'}$.
		\item  Placer A$'$, B$'$ et C$'$ sur la figure précédente.
		\item  Vérifier que $z_{\text{A}'}, \:z_{\text{B}'}$, et $z_{\text{C}'}$ sont solutions de l'équation $z^3 = 8\text{i}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Exercice 2 \hfill 4 points}
 
\bigskip

\textbf{Partie A}
 
\medskip

En 1990, le chiffre d'affaires d'une entreprise A s'élevait à \np{230000} euros.

Chaque année, ce chiffre d'affaires a augmenté de \np{15000} euros.

\begin{enumerate}
\item  Calculer le chiffre d'affaires $u_{1}$ en 1991.
\item  Soit $u_{n}$ le chiffre d'affaires de l'année $1990 + n$. Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? Préciser le
premier tenue $u_{0}$ et la raison $a$ de cette suite.
\item  Calculer le chiffre d'affaires en 2006 de l'entreprise A.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

En 1990, le chiffre d'affaires d'une entreprise B s'élevait à \np{150000} euros.

Chaque année, ce chiffre d'affaires a augmenté de 7,4\,\%.
\begin{enumerate}
\item  Calculer le chiffre d'affaires $v_{1}$ en 1991.
\item  Soit $v_{n}$ le chiffre d'affaires de l'année $1990 + n$.

Justifier que $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $1,074$.
\item  Calculer le chiffre d'affaires en 2006 de l'entreprise B.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie C}

\begin{enumerate}
\item  Que constate-t-on en 2006 pour les entreprises A et B ?
\item  En 2006, le chef de l'entreprise B affirme qu'à ce rythme son entreprise aura dans 15 ans, un chiffre d'affaires pratiquement double de celui de l'entreprise A. A-t-il raison ? Justifier.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème  \hfill 11 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 

\[g(x) = x^2+3x - 4 + 4\ln x.\]

\begin{enumerate}
\item  Déterminer les limites de $g$ en $0$ et $+ \infty$.
\item  Soit $g'$ la dérivée de $g$. Montrer que $g'(x) = \dfrac{2x^2 + 3x + 4}{x}$.
\item  Dresser le tableau de variations de $g$ sur $]0~;~+ \infty[$.
\item  Calculer $g(1)$ et en déduire le signe de $g(x)$ sur $]0~;~+ \infty[$.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par
 
 \[f(x) = x +  3\ln (x) - \dfrac{4\ln (x)}{x}.\]
  
On appelle $(\mathcal{C})$ la courbe de $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} (unité $3$~cm).
\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
		\item  Déterminer la limite de $f$ en $0$ ; on remarquera que $f(x) = x+ \left(3 - \dfrac{4}{x}\right)\ln x$.

Que peut-on en déduire ?
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que pour tout $x$ strictement positif $f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$.
		\item  En utilisant les résultats de la partie A, étudier les variations de $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
		\item  Dresser le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item  On rappelle que pour tout $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[,~ f(x)=x+ \left(3 - \dfrac{4}{x}\right)\ln x$.

Donner les solutions dans l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ de l'équation $f(x) = x$.
\item  Tracer $(\mathcal{C})$ et la droite d'équation $y = x$.
\item  Interpréter graphiquement le résultat de la question 3.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}
 
\begin{enumerate}
\item  Montrer que la fonction $F$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par

\[ F(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - 3x + 3x\ln x - 2(\ln x)^2\]

 est une primitive de $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
\item  On considère dans le plan le domaine $(\mathcal{D})$ délimité par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = $e.
	\begin{enumerate}
		\item  Hachurer le domaine $(\mathcal{D})$.
		\item  Calculer l'aire du domaine $(\mathcal{D})$ en unités d'aires puis en cm$^2$. On donnera la valeur exacte puis la valeur approchée arrondie au mm$^2$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%   fin Polynésie Génie électronique juin 2007
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Métropole Génie électronique septembre 2007
\hypertarget{electrosept}{}

\lhead{\small Baccalauréat  STI}
\rhead{\small Génie électronique, électrotechnique, optique}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie électronique~\decofourright\\Génie électrotechnique, optique\\Métropole  septembre 2007}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill}

\medskip

Le plan complexe $\mathcal{P}$ est muni d'un repère orthonormal direct \Oij{} d'unité graphique 1~cm.

On désigne par i le nombre complexe de module 1, d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\begin{enumerate}
\item  Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation : 

\[z^2 - 6z + 12 = 0.\]

\item Dans le plan complexe $\mathcal{P}$, on considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 3 + \text{i}\sqrt{3}$ et $z_{\text{B}} = 3 - \text{i}\sqrt{3}$.

	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$.
		\item  Placer les points A et B dans le repère \Oij.
	\end{enumerate}
\item On considère le point C, image du point O par la translation de vecteur $\vect{\text{AB}}$.

	\begin{enumerate}
		\item  Placer le point C dans le repère \Oij.
		\item  Déterminer la forme algébrique de l'affixe $z_{\text{C}}$ du point C.
		\item  Démontrer que OC = BC,
		\item  En déduire la nature du quadrilatère OABC.
	\end{enumerate}
\item On considère le point D, image du point A par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$.

	\begin{enumerate}
		\item  Placer le point D dans le repère \Oij.
		\item  Déterminer la forme algébrique de l'affixe $z_{\text{D}}$ du point D.
		\item  Démontrer que le quadrilatère ABCD est un trapèze ayant deux côtés opposés de même longueur.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, les trois questions peuvent être traitées de manière indépendante.}

On désigne par $y$ une fonction de la variable réelle $t$, définie et 2 fois dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels, et par $y''$ sa fonction dérivée seconde.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre l'équation différentielle:
\[y" + 9y = 0.\]
\item  On désigne par (E) l'équation différentielle:
\[y" + 9y = 8\sin t.\]
	\begin{enumerate}
		\item  On désigne par $A$ un nombre réel quelconque.
		
Vérifier que la fonction $f$ définie sur $\R$ par :

\[f(t) = - \dfrac{1}{3}\sin (3t) + A\cos (3t) + \sin t.\]

est une solution de l'équation différentielle (E).
		\item  Déterminer le nombre réel $A$ tel que $f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 0$.
	\end{enumerate}

\item On considère maintenant la fonction $g$ définie sur $\R$ par :


\[g(t) = - \dfrac{1}{3}\sin (3t) + \dfrac{2}{3}\cos (3t) + \sin t.\]

Calculer la valeur moyenne de la fonction $g$ sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{3}\right]$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill}

\medskip

Ce problème a pour but d'étudier la position relative des courbes représentatives de deux fonctions. On note $\ln$ la fonction logarithme népérien.
		
\medskip
		
\textbf{Partie A. Détermination d'une fonction} \boldmath  $f$ \unboldmath

\medskip
			
On donne ci-dessous, dans le plan $\mathcal{P}$ muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm, la courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$ d'une 	fonction $f$ définie sur l'ensemble des nombres réels $\R$.

On suppose que la courbe $\mathcal{C}_{f}$ passe par les points A de coordonnées $(0~;~\ln 3)$, B de coordonnées $(-1~;~0)$ et C de coordonnées $(-2~;~0)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On admet qu'il existe trois nombres réels $a,\: b$ et $c$ tels que, pour 	$x$ réel, \\$f(x) = \ln \left(ax^2 + bx + c\right)$.

Calculer $a,\: b$ et $c$.

\medskip

\psset{unit=1.333cm}
\begin{pspicture}(-5,-2)(4,4)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=4,gridwidth=0.4pt,griddots=10](0,0)(-5,-2)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-5,-2)(4,4)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-5}{4}{x dup mul x 3 mul add 3 add ln}
\uput[d](4,0){$x$}\uput[l](0,4){$y$} \uput[u](3,3){$\mathcal{C}_{f}$}
\end{pspicture}

(Ce graphique n'est pas à l'échelle.)	
		
\item  On admet que la fonction $f$ est définie sur $\R$ par $f(x) = \ln \left(x^2  + 3x + 3\right)$ et on désigne par $f'$ sa fonction dérivée.

	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer $f'(x)$ pour tout $x$ réel.
		\item  Démontrer que la fonction $f$ admet un minimum sur $\R$.
		\item  Déterminer la valeur exacte de ce minimum.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	

\bigskip
		
\textbf{Partie B. Étude d'une fonction} \boldmath  $g$ \unboldmath

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[-1 ~;~ +\infty[$ par :
\[g(x) = \ln \left(\dfrac{10x + 11}{x+2}\right).\]
On note $\mathcal{C}_{g}$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans le repère \Oij,   du plan $\mathcal{P}$ et $g'$ sa fonction dérivée sur l'intervalle $[-1 ~;~ +\infty[$
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $g(- 1)$.
		\item Déterminer la limite de la fonction $g$ en $+\infty$.
		
En déduire que la courbe $\mathcal{C}_{g}$ admet une asymptote $D$ dont on donnera une équation.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  En remarquant que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[- 1 ~;~+\infty[$ :
		
\[g(x) = \ln (10x + 11) - \ln(x + 2),\]

justifier que :

\[g'(x) = \dfrac{9}{(10x + 11)(x + 2)}.\]	
		\item  Établir le tableau de variations de la fonction $g$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
		
\textbf{Partie C. Étude des positions relatives de $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On pose, pour tout $x$ réel, $P(x) = x^3 + 5x^2 - x - 5$.
		
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que, pour tout $x$ réel, $P(x) =\left (x^2 - 1\right)(x + 5)$.
tout	
		\item  Résoudre dans $\R$ l'équation $P(x) = 0$.
		\item  Étudier le signe de $P(x)$ pour tout $x$ réel.
	\end{enumerate}
\item On rappelle que la fonction $f$ est définie sur $\R$ par :
$f(x) = \ln \left(x^2 + 3x + 3\right)$
et que la fonction $g$ est définie sur l'intervalle 	$[-1 ~;~ +\infty[$ par 
$g(x) = \ln \left(\dfrac{10x + 11}{x+2}\right)$.

	\begin{enumerate}
		\item  En utilisant les résultats de la question C. 1. b., résoudre dans l'intervalle $[-1~;~+\infty[$ l'équation $f(x) = g(x)$.
		\item  En déduire les coordonnées des points d'intersection des courbes $\mathcal{C}_{f}$
et $\mathcal{C}_{g}$ sur l'intervalle $[-1~;~+\infty[$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  En utilisant les résultats de la question C. 1. c, résoudre dans l'intervalle $[-1~;~+\infty[$ l'inéquation $f(x) \geqslant  g(x)$.
		\item  En déduire selon les cas la position de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à la
courbe $\mathcal{C}_{g}$ sur l'intervalle $[-1 ~;~ +\infty[$ ; 
	\end{enumerate}
\item Sur le graphique de la partie A, tracer la droite $D$ et la courbe $\mathcal{C}_{g}$.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%    fin STI électronique France sept. 2007
\newpage
%%%%%%%%%%%    Nouvelle-Calédonie Génie électrique novembre 2007
\hypertarget{NlleCaledoelectro}{}

\lhead{\small Baccalauréat STI }
\rhead{\small Génie électronique, génie électrotechnique, génie optique}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

 {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Novembre
 2007~\decofourright\\Génie électronique, électrotechnique, optique\\Nouvelle-Calédonie}}
\end{center}

\emph{Le formulaire officiel de mathématiques est distribué en même  temps que le sujet.}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe $\mathcal{P}$ est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité $4$~cm).

On considère les trois nombres complexes suivants :

\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\centering \arraybackslash}X c >{\centering \arraybackslash}X c >{\centering \arraybackslash}X}
$z_{1} = \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{12}}$&;&$z_{2} = 1 - \text{i}$&;& $z_{3} = \dfrac{z_{1}}{z_{2}}$.\\
\end{tabularx}

\begin{enumerate}
\item  Écrire  $z_{2}$ sous forme exponentielle.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Écrire $z_{3}$ sous forme exponentielle.
		\item  En déduire que 	$z_{3} = \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  En remarquant que $z_{1} = z_{2} \times  z_{3}$, donner l'écriture de $z_{1}$ sous forme algébrique,
		\item  En déduire les valeurs exactes de $\cos \dfrac{\pi}{12}$ et $\sin \dfrac{\pi}{12}$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A, B et C d'affixes respectives $z_{1},~ z_{2}$ et $z_{3}$.
		\item  On désigne par I le point d'affixe $1$.
		
Placer le point I et préciser la nature du triangle OIB.
	\end{enumerate}
\item  On désigne par $R$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}.$
	\begin{enumerate}
		\item  Quelles sont les images respectives des points I et B par $R$ ?
		\item  En déduire la nature du triangle OAC.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points}

\medskip

Lors d'une fête, le comité d'organisation a prévu une animation qui consiste à lancer un dé parfaitement équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6.

La partie est organisée selon les règles suivantes :
 
On mise $3$~euros puis on lance le dé ;

\begin{itemize}
\item  pour la sortie du 6, on reçoit $10$~euros ; 
\item  pour la sortie du 5, on reçoit $4$~euros ;
\item  pour la sortie du 4, on reçoit $1$~euro ;
\item  dans les autres cas on ne reçoit rien.
\end{itemize}

On appelle gain algébrique d'une partie la différence entre la somme reçue et la mise initiale.

\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
\item  On note $X$ la variable aléatoire qui à l'issue d'une partie associe le gain algébrique.
\begin{enumerate}
\item  Quelles sont les valeurs prises par $X$ ?
\item  Établir la loi de probabilité de $X$.
\item  Calculer l'espérance mathématique E($X$).
\item  Le comité d'organisation prévoit la réalisation de $150$ parties réalisées lors de cette fête.

Quelle bénéfice peut-il espérer tirer de ce jeu ?
\end{enumerate}
\item  Un joueur se présente, il dispose de $4$~euros.

Déterminer la probabilité $P$ que ce joueur puisse jouer deux parties.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le comité d'organisation a décidé en dernière minute de rendre ce jeu équitable.

 La règle du jeu reste identique, seule la mise est changée.
 
Déterminer cette nouvelle mise $x$ qui rend le jeu équitable.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$  par 

\[f(x) = \text{e}^{-x} +2x - 2.\]

On note $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} du plan.

Cette courbe est donnée sur la feuille annexe.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
		\item  Montrer que la droite $(D)$ d'équation $y = 2x - 2$ est asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$ en $+ \infty$.
	 \end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer  que pour tout réel $x$ on a l'égalité suivante : \[f(x) = \text{e}^{-x}\left(1 + 2x\text{e}^x - 2\text{e}^x\right).\]
		\item  En déduire $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)$ (on utilisera le fait que  $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^x = 0$).
	\end{enumerate}
\item   Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $\R$.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer $f'(x)$ et montrer que pour tout réel $x,~ f'(x) = \dfrac{2\text{e}^x - 1}{\text{e}^x}$.
		
En déduire le signe de $f'(x)$ sur $\R$.
		\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\R$.
	\end{enumerate}
\item  Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle [0~;~1].

Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$ :
\item On considère le point A de la courbe $(\mathcal{C})$ d'abscisse $- \ln 3$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur exacte de l'ordonnée du point A.
		\item On note ($T$)la tangente à la courbe $(\mathcal{C})$ au point A.
		
Montrer que le coefficient directeur de la droite ($T$) vaut $-1$.
	\end{enumerate}
\item  Sur le graphique donné (feuille annexe), tracer les droites ($D$) et($T$).
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Vérifier que la fonction $F$ définie sur $\R$ par 

\[F(x) = -\text{e}^x + x^2 - 2x\]

 est une primitive de $f$ sur $\R$.
\item Soit ($\mathcal{E}$) le domaine du plan délimité par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 3$.

Hachurer le domaine ($\mathcal{E}$).
Soit ($\mathcal{A}$) l'aire du domaine ($\mathcal{E}$) en unités d'aire, calculer la valeur exacte de ($\mathcal{A}$).

Donner une valeur approchée de ($\mathcal{A}$) à $10^{2}$ près.
\item  Calculer la valeur moyenne $\mu$ de $f$ sur [1 ; 3]. Interpréter graphiquement cette valeur.
\end{enumerate}
 
\newpage
 
\begin{center}
\textbf{Annexe à rendre avec la copie} \end{center}
 
\bigskip  \bigskip  \bigskip
 
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-4,-3)(6,6)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt](0,0)(-4,-3)(6,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-4,-3)(6,6)
\uput[dl](0,0){O} \psline[linewidth=1.75pt]{->}(0,0)(1,0) 
\psline[linewidth=1.75pt]{->}(0,0)(0,1) 
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=4000]{-2.58}{3.98}{2.71828 x neg exp x 2 mul add 2 sub}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%    fin Nouvelle-Calédonie Génie électrique novembre 2007
\newpage
%%%%%%%%%%%   Métropole  Génie des matériaux juin 2007  
\hypertarget{Francemateriaux}{}

\lhead{\small Baccalauréat STI} 
\rhead{\small Génie des matériaux, mécanique }
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole juin 2007~\decofourright \\Génie des matériaux, mécanique B, C, D, E }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 4 points}
 
\medskip

Une entreprise fabrique des plaquettes de métal. Pour cela elle utilise deux machines, une qui les ajuste en longueur et une autre qui les ajuste en largeur.

Les machines sont programmées pour donner des plaquettes de 2,5 cm sur $1,5$~cm. Des erreurs de manipulation peuvent conduire à des dimensions non conformes : une longueur de $2,6$~cm au lieu de $2,5$~cm ; une largeur de $1,6$~cm au lieu de $1,5$~cm.
 
\medskip
 
Afin de vérifier la conformité de ces plaquettes, on procède à deux tests : un test sur la longueur et un test sur la largeur. On effectue les deux tests sur $100$~plaquettes et on obtient :
 
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 20 plaquettes ont une longueur de $2,6$~cm ;
\item[$\bullet~$] 18 plaquettes ont une largeur de $1,6$~cm ;
\item[$\bullet~$] 5 plaquettes ont une dimension de $2,6$~cm sur $1,6$~cm.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On prélève au hasard une plaquette parmi les $100$. Elles ont donc toutes la même probabilité d'être choisies.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau des effectifs suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
&Largeur conforme 1,5& 	Largeur non conforme 1,6	&Total\\ \hline
Longueur conforme 2,5&&& \\ \hline
Longueur non conforme 2,6&&	5&	20\\ \hline
Total&&&100\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

\item  
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité qu'une plaquette prélevée au hasard soit conforme à ce que veut l'entreprise ?
		\item 	Quelle est la probabilité qu'une plaquette prélevée au hasard ait exactement une de ses dimensions non conforme ?
	\end{enumerate}
\item 	Soit $X$ la variable aléatoire qui à chaque plaquette prélevée au hasard associe le nombre de ses dimensions non conformes.
	\begin{enumerate}
		\item  Donner les valeurs possibles de $X$.
		\item  Donner la loi de probabilité de $X$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation d'inconnue $z$

\[z^2 - 2z + 4 = 0.\]

On donnera les solutions sous forme algébrique puis, pour chacune d'elles, le module et un argument.
\item  Le plan est muni d'un repère orthonormé \Ouv{} d'unité graphique $2$~cm. On note A, B et C les points du plan ayant pour affixes respectives :

\[z_{\text{A}} = 1 - \text{i}\sqrt{3},\quad z_{\text{B}} = 2 \:\:\text{et}\:\: z_{\text{C}}	= 1 + \text{i}\sqrt{3}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A, B et C dans le plan complexe.
		\item Montrer que les triangles OAB et OBC sont équilatéraux.
		\item Soient D, E et F les points tels que le polygone ABCDEF soit un hexagone régulier. Construire les points D, E et F sur la figure commencée dans la question 2 a.
		
\emph{ On rappelle qu'un hexagone est un polygone à $6$ côtés.}
		\item Calculer le produit des affixes des $6$ sommets de cet hexagone régulier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Problème  \hfill 11 points}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur l'ensemble des nombres réels $\R$ par

\[f(x) = \text{e}^{-x} + 2x - 3.\]

Soit $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques $2$~cm en abscisse et $1$~cm en ordonnée.

\begin{enumerate}
\item  \textbf{Limites aux bornes}
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $- \infty$.\\
	On pourra établir au préalable que. pour tout nombre réel $x,~\\
 f(x) = \text{e}^{-x}\left(1 + 2x\text{e}^{x} - 3\text{e}^{x}\right)$.
	\end{enumerate}
\item  \textbf{Asymptote oblique}
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la droite $(\mathcal{D})$ d'équation $y = 2x - 3$ est asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$.
		\item Étudier la position relative de la droite $(\mathcal{D})$ par rapport à la courbe $(\mathcal{C})$.
	\end{enumerate}
\item  \textbf{Étude des variations de la fonction}\boldmath  $f$ \unboldmath
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout nombre réel $x,~ f'(x) = \dfrac{2\text{e}^{x} - 1}{\text{e}^{x}}$ où $f'$ est la dérivée de la fonction $f$.
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation d'inconnue $x,~ f(x) = 0$.
		\item Étudier le signe de la dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur $\R$.
		\item Établir le tableau de variations de la fonction $f$.
		\item Calculer $f(1)$ et déterminer le signe de $f(x)$ pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle [0 ; 1].
	\end{enumerate}
\item Tracer la droite $(\mathcal{D})$ et la courbe $(\mathcal{C})$ dans le repère \Oij.
\item Calculer l'aire $(\mathcal{A})$ en cm$^2$ de la partie du plan délimitée par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 1$. On donnera la valeur exacte de $(\mathcal{A})$, puis la valeur arrondie à $10^{-2}$.
\item Contrôler l'ordre de grandeur du résultat de la question précédente en calculant l'aire en cm$^2$ de la surface d'un ou deux trapèzes que l'on précisera.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole  Génie des matériaux juin 2007
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Antilles  Génie des matériaux septembre 2007
\hypertarget{Antillesmatesep}{}

\lhead{\small Baccalauréat STI} 
\rhead{\small Génie des matériaux, mécanique}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Antilles--Guyane septembre 2007~\decofourright\\Génie des matériaux, mécanique B, C, D, E }}
    
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 6 points}

\medskip

Dans un atelier, deux machines M$_{1}$ et
M$_{2}$ produisent le même type de pièces.

La machine M$_{1}$ fournit les $\dfrac{4}{5}$ de la production.

Parmi les pièces produites, certaines sont défectueuses. C'est le cas pour $5$\,\% de celles produites par M$_{1}$ et $4$\,\% de celles produites par M$_{2}$.

\begin{enumerate}
\item L'atelier produit \np{1000} pièces par jour. Reproduire et compléter le tableau d'effectif suivant.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}|c|}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}&Nombre de pièces	 produites par M$_{1}$&Nombre de pièces	 produites par M$_{2}$&Total\\ \hline
Nombre de pièces défectueuses		&40	&	8	&\\ \hline
Nombre de pièces non défectueuses	&		&		&\\ \hline
Total								&		&		&\np{1000}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item 	On choisit au hasard une pièce parmi la production totale de l'atelier d'un jour donné.
	Calculer la probabilité des évènements suivants
	\begin{enumerate}
		\item  A : \og la pièce choisie est produite par M1 \fg.
		\item  B : \og la pièce choisie est défectueuse \fg.
		\item 	On sait que la pièce choisie a été produite par M$_{1}$. Quelle est la probabilité qu'elle ne soit pas défectueuse ?
	 \end{enumerate}
\item 	En sortie de chaîne de production chaque pièce coûte 38 \euro{} à l'atelier. Les pièces qui sont défectueuses doivent être réparées pour être mises sur le marché. La réparation 	coûte 4,30~\euro{} pour une pièce fabriquée par M$_{1}$ et $4,50$~\euro{} pour une pièce fabriquée par M$_{2}$.

Soit X la variable aléatoire qui à chaque pièce associe son coût de revient.
	\begin{enumerate}
		\item  Quelles sont les trois valeurs prises par X  ?
		\item  Donner la loi de probabilité de X.
		\item  Calculer E(X), espérance mathématique de X.
		\item 	Quel doit être, au centime près, le prix minimal de vente d'une pièce pour que l'atelier ne vende pas à perte ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 4 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :

\[ f(x) = \text{e}^{2x} - \text{e}^{x} -6.\]

 On note $f'$ sa fonction dérivée sur $\R$.

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ et montrer que l'on a pour tout nombre réel $x,$

$f'(x) =  \text{e}^{x}\left(2\text{e}^{x}  - 1\right)$.
		\item  Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\R$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
		\item Calculer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$ (on pourra mettre en facteur le nombre $\text{e}^{x}$ dans l'expression de $f(x)$).
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ en précisant les limites de $f$.
		\item Écrire le calcul qui montre que le minimum de la fonction $f$ sur $\R$ est égal à $\dfrac{-25}{4}$.
		\item D'après le tableau de variation de la fonction $f$, quel est le nombre de solutions sur $\R$ de l'équation (E$_{1}$) suivante:
\[(\text{E}_{1}) \quad :\quad  f(x) = 0.\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

\medskip

On considère deux droites parallèles $d_{1}$ et $d_{2}$. Le point O appartient à la droite $d_{1}$ et le point A appartient la droite $d_{2}$ comme indiqué sur la figure ci-dessous. On note H le point d'intersection de la droite $d_{2}$ et de la perpendiculaire à la droite $d_{2}$ passant par le point O (on dit que le point H est le projeté orthogonal du point O sur la droite $d_{2}$). La distance OH vaut 3 (OH $= 3$).

\medskip

On considère un point $M$, distinct du point H, sur la demi-droite [HA) d'origine H et on note $x$ l'angle variable $\widehat{\text{H}M\text{O}}$.

Le nombre $x$ appartient donc à l'intervalle $\left]0~;~\dfrac{\pi}{2} \right[$.

\medskip

\begin{center}
\begin{pspicture}(8,4)
\psline(0,0)(8,0) \psline(0,3)(8,3)
\psline(1,0)(6,3) \psline[linestyle=dashed](6,3)(6,0)
\psline(5.8,0)(5.8,0.2)(6,0.2)
\uput[dl](0,0){A} \uput[ul](1,0){$M$} \uput[d](6,0){H} \uput[r](6,1.5){$3$} \uput[u](6,3){O} \rput(2.25,0.36){$x$} \uput[u](0,3){$d_{1}$} \uput[d](8,0){$d_{2}$}
\psarc(1,0){1cm}{0}{31} 
\qdisk(0,0){1.75pt}
\end{pspicture}
\end{center}
 
\medskip
 
\textbf{Partie I :   conjecture puis vérification}

\begin{enumerate}
\item Selon vous, comment varie la longueur O$M$ en fonction de l'angle $x$ ? (aucune justification mathématique n'est demandée) 
\item 	Calculer O$M$ lorsque $x = \dfrac{\pi}{3}$.
\item Exprimer O$M$ en fonction de $x$ pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $\left]0~;~\dfrac{\pi}{2} \right[$.
\item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left]0~;~\dfrac{\pi}{2} \right[$ par $f(x) = \dfrac{3}{\sin x}$.

Vérifier que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $\left]0~;~\dfrac{\pi}{2} \right[,~ f'(x) = \dfrac{-3\cos x}{\sin^2 x}$.

Étudier les variations de la fonction $f$, puis dresser son tableau de variations. (\emph{On ne demande pas de préciser la limite en} $0$.)
\item  Recopier puis compléter le tableau de valeurs de la fonction $f$ arrondies au dixième près.

\medskip
\renewcommand{\arraystretch}{2.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$	&$\dfrac{\pi}{6}$&$\dfrac{\pi}{4}$&$1$		&$\dfrac{\pi}{2}$\\ \hline
$f(x)$&				&					&		&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item   Tracer la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left]0~;~\dfrac{\pi}{2} \right[$ dans un repère
orthonormal \Oij. Prendre $2$~cm pour unité graphique.
\end{enumerate}

\bigskip
	
\textbf{Partie II : Calcul d'un volume}

\medskip

On veut calculer la valeur exacte du volume du solide de révolution engendré par la rotation de la courbe $\mathcal{C}$ autour de l'axe des abscisses.

On rappelle que le volume $V$ de ce solide, en unités de volume, est donné par la formule :

\[V =  \pi\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}[f(x)]^2\:\text{d}x.\]

\begin{enumerate}
\item  Calculer la dérivée de la fonction $g$ définie sur l'intervalle $\left[\dfrac{\pi}{6}~ ;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ 	par 

$g(x) = - \dfrac{\cos x}{\sin x}$.

En déduire une primitive $H$ sur l'intervalle $\left[\dfrac{\pi}{6}~ ;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ de la fonction $h$ définie par

\[h(x) =  [f(x)]^2.\]

\item  Calculer la valeur exacte du volume $V$ en cm$^3$, puis une valeur arrondie au mm$^3$.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%    fin Antilles  Génie des matériaux septembre 2007
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%   Métropole Génie des matériaux septembre 2007
\hypertarget{materiauxsept}{}

\lhead{\small Baccalauréat STI}
\rhead{\small Génie des matériaux, mécanique }
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2007}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole septembre 2007~\decofourright\\Génie des matériaux, mécanique B, C, D, E }}
    
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.2)(2.5,2.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-0.2)(2.5,2.5)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-0.5,0)(0,2)(0.5,2) 
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.5}{2}{1.2 x div 0.4 sub}
\psline(2,0.2)(2,0)
\psline[linestyle=dashed](0.5,0)(0.5,2)
\psline[linestyle=dashed](0,0.2)(2,0.2)
\uput[d](0.5,0){0,5} \uput[l](0,0.2){0,2}\uput[dl](0,0){0}
\end{pspicture}
\end{center}

Une entreprise veut réaliser les deux montants latéraux d'un toboggan. La courbe qui modélise le toboggan est définie comme une partie de la représentation graphique $(\mathcal{C})$ d'une fonction $f$ dans un repère orthonormé adapté.

\medskip

\textbf{Question préliminaire}

\medskip

La partie utile de la courbe $(\mathcal{C})$ qui modélise le toboggan est délimitée par les points de coordonnées (0,5~;~ 2) et (2~;~ 0,2) comme le suggère le schéma ci-dessus.

La fonction $f$ est définie, pour tout nombre réel $x$ strictement positif, par 

\[f(x) = a + \dfrac{b}{x},\]

où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.
 
Déterminer $a$ et $b$.
 
\bigskip

\textbf{Partie A. Étude de fonction}

On admet que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle [0,5~;~ 2] par:

\[f(x) = - 0,4 + \dfrac{1,2}{x}.\]


On note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 4~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$ pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0,5~;~ 2].
\item  Étudier le sens le variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0,5~;~ 2].
\item  Déterminer une équation de la tangente $T_{1}$ à la courbe $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $0,5$ et une équation de la tangente $T_{2}$ à la courbe $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $2$.
\item   Tracer, dans le repère indiqué, les droites $T_{1}$ et $T_{2}$, ainsi que la courbe $(\mathcal{C})$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle [0,5~;~ 2].
		\item  Montrer que l'aire exprimée en unités d'aire, du domaine plan délimité par la courbe représentative de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = 0,5$ et $x = 2$, vaut $2,4 \ln 2 - 0,6$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\bigskip

\textbf{Partie B. Étude de la masse perdue en production}

\medskip

Les montants sont réalisés dans des plaques de métal rectangulaires de 2,5~m sur 1,5~m.

On suppose que chaque plaque a une masse de 500~kg.
 
Chaque plaque permet de fabriquer deux montants comme indiqué sur le dessin ci-après. Les surfaces $S_{1}$ et $S_{2}$ de taille identique, correspondent aux deux montants latéraux d'un toboggan et la surface $S_{3}$ restante est perdue.
  
D'après la partie A, la valeur exacte, en m$^2$, de l'aire de la surface $S_{1}$est $2,4 \ln 2 - 0,6$.
   
\medskip
   
\begin{center}
\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture}(2,2.5)
%\psgrid
\psframe(0.5,0)(2,2.5)
\def\montant{\psline(1.5,0)(0.5,0)(0.5,2)\psplot{0.5}{2}{1.2 x div 0.4 sub} }
\psline(1.5,0)(0.5,0)(0.5,2)\psplot{0.5}{2}{1.2 x div 0.4 sub}
\rput{180}(2.5,2.5){\montant}
\rput(1,0.5){$S_{1}$} \rput(1.25,1.25){$S_{3}$} \rput(1.5,2){$S_{2}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer qu'une valeur approchée à $10^{-4}$ près de l'aire en m$^2$ de la surface restante $S_{3}$ est égale à \np{1,6229}.
\item Déterminer la masse de la partie inutilisée de la plaque correspondant à la surface $S_{3}$.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%   fin STI génie des matériaux sept. 2007
%%%%%%%%%%%%%   Fin 2007
\end{document} 