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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL  2001~\decofourright\\\vspace{1cm} L'intégrale de   juin à septembre 2001}}
 \end{center}

\vspace{1cm}
 
{\Large  
 
\hyperlink{Antillesbio}{Antilles-Guyane, Biochimie juin 2001} \dotfill 3 \medskip

\hyperlink{MetroBio}{Métropole Biochimie juin 2001} \dotfill 6 \medskip

\hyperlink{MetroBiosep}{Métropole Biochimie septembre 2001} \dotfill 9 \medskip

\hyperlink{MetroChimie}{Métropole Chimie de laboratoire  juin 2001} \dotfill 11 \medskip

\hyperlink{MetroPhysique}{Métropole Physique de laboratoire  juin 2001} \dotfill  13\medskip}

\newpage
 ~
\newpage
%%%%%%%%%%%% Antilles Biochimie juin 2001
\hypertarget{Antillesbio}{}

\lhead{\small STL Biochimie, génie biologique}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2001}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Antilles--Guyane  juin 2001 \decofourright\\ Biochimie--Génie biologique}}
    
\vspace{0,5cm}

Calculatrice autorisée 

\vspace{0,5cm}

Durée de l'épreuve : 2 heures \hfill Coefficient  : 2

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 10 points}

\medskip

On procède à l'hydrolyse alcaline du nitrobenzoate d'éthyle. Au cours de cette réaction, le nitrobenzoate d'éthyle se dégrade en nitrobenzoate et en éthanol. On a mesuré en fonction du temps la concentration du nitrobenzoate d'éthyle, notée $C(t)$.

On a obtenu le tableau de valeurs suivant dans lequel $t$ est exprimé en minutes et $C(t)$ en millimoles par litre (mmol.L$^{-1}$).

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$& 0& 1& 2& 3& 4 &6 &8 &10& 12& 14\\ \hline
$C(t)$& 50& 32,5& 27,6& 21,3& 17,2& 14,1& 10,0& 8,2& 7,7& 7,2\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Le nuage de points $(t~;~C(t))$ associé à cette série est donné en annexe. Un ajustement affine de ce nuage ne semblant pas adapté, on pose maintenant $y(t) = \dfrac{100}{C(t)}$.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant en arrondissant si nécessaire les résultats à $10^{-2}$, près.
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline		
$t$& 0& 1& 2& 3& 4& 6& 8& 10& 12& 14\\ \hline
$y(t)$&&&&&&&&&& \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

		\item Construire le nuage de points $(t~;~y(t))$ dans un repère orthonormal. (On prendra $1$~cm pour unité).
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item On appelle G le point moyen de ce nuage. Calculer ses coordonnées.
		\item Soit A le point du nuage d'abscisse $0$. On admet que la droite (AG) constitue un bon ajustement du nuage.
		
Construire cette droite.
		\item Déterminer une équation de la droite (AG) (on arrondira si nécessaire les coefficients à $10^{-2}$ près) et en déduire que $C(t) = \dfrac{100}{2+ 0,92 t}$.
	\end{enumerate}
\item En utilisant l'ajustement précédent :
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la concentration en nitrobenzoate d'éthyle au bout de 7 minutes 30 secondes. Le résultat sera arrondi au dixième.
		\item Déterminer graphiquement au bout de combien de temps la concentration en nitrobenzoate d'éthyle a diminué de moitié. Le résultat sera donné avec un chiffre après la virgule.
		\item Déterminer par le calcul à quel moment il reste 5 mmol.L$^{-1}$ de nitrobenzoate d'éthyle en solution. On donnera un résultat final exprimé en minutes et secondes arrondi à 1 seconde près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 10 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = \text{e}^{-\frac{1}{2}x + 1} - 2.\]
On note $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal \Oij{} (unités graphiques $2$~cm sur l'axe des abscisses et $4$~cm sur l'axe des ordonnées).

Les tracés demandés se feront sur papier millimétré.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$.
		\item En déduire l'existence d'une asymptote $D$ à $(\mathcal{C})$. Donner une équation de $D$.
\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ pour tout $x$ de $[0~;~+ \infty[$.
		\item Étudier le signe de $f'(x)$.
		\item Dresser le tableau complet des variations de $f$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $2$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Tracer les droites $D$ et $T$ dans le repère \Oij{}
  pour $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~8].
		\item Construire avec soin la courbe $(\mathcal{C})$ dans le repère \Oij.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement une estimation à $10^{-1}$ près de la solution $\alpha$ de l'équation $f(x) = 0$.
		\item Résoudre par le calcul l'équation $f(x) = 0$. On donnera la valeur exacte de la solution.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.125cm}
\begin{pspicture}(15,90)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=10]{->}(0,0)(15,70)
\multido{\n=0+1}{16}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,70)}
\multido{\n=0+10}{8}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(15,\n)}
\multido{\n=0+0.2}{76}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,1.5)}
\multido{\n=0+1}{71}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(0.2,\n)}
\psdots(0,50)(1,32.5)(2,27.6)(3,21.3)(4,17.2)(6,14.1)(8,10)(10,8.2)(12,7.7)(14,7.2)
\rput(7.5,76){Nuage de points de coordonnées $(t~;~C(t))$}
\uput[u](14,0){$t$ (minutes)}
\uput[r](0,68){$C(t)$ mmol.L$^{-1}$}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%  fin Antilles Biochimie juin 2001
\newpage
%%%%%%%%%%%%  Métropole Biochimie juin 2001
\hypertarget{MetroBio}{}

\lhead{\small STL Biochimie, génie biologique}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2001}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}    
\thispagestyle{empty}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Biochimie génie biologique ~\decofourright\\Métropole  juin 2001  }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

Une station pompe l'eau d'une rivière pour la transformer ensuite en eau
 potable. Lors d'une pollution, elle doit interrompre ses prélèvements
 le temps que la vague de pollution soit évacuée par le courant. On 
suppose qu'à partir de l'alerte, donnée à l'instant 0, la concentration
 en polluant $P$, exprimée en milligrammes par litre (mg/l), dépend du
 temps $t$, exprimé en heures, suivant la relation : 

\[P(t) = 100 t \text{e}^{-t}\qquad  \text{pour}~ t ~\text{appartenant à
 l'intervalle [0 ; 5]}.\]
 
\vspace{0,3cm} 

\begin{enumerate} 
\item Reproduire et compléter le tableau ci-dessous en donnant
 des valeurs arrondies à l'entier le plus proche :
  
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l| *{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$ en heures&	0&0,5 &1 & 1,5&	2& 2,5 & 3& 3,5& 4 & 4,5 & 	5\\ \hline
$P(t$) en mg/l&	 0&&	37&&&&&&&	 	5& \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Montrer que la dérivée $P'$ est définie sur l'intervalle
 [0~;~5] par :
 
\[P'(t) = 100 \text{e}^{- t} (1 - t).\]

\item Étudier le signe de la dérivée $P'$ et dresser le tableau
 de variation de la fonction $P$ pour $t$ appartenant à l'intervalle [0 ; 5]. 

\item Tracer la courbe représentative $\mathcal{C}_P$ de la
 fonction $P$ dans un repère orthogonal en prenant en abscisse 2 cm pour une heure et en ordonnée 2 cm pour 5 mg/l de pollution. 
\item Les normes en vigueur indiquent que ce polluant devient
 dangereux pour la santé si sa concentration dépasse 5 mg/l. 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer graphiquement à partir de quel instant $t_0$ la station peut reprendre son pompage sans risque pour la santé (on laissera les constructions apparentes). 
	\item Entre le début de l'alerte et l'arrêt effectif du pompage, il 
s'est écoulé exactement 6 minutes. Peut-on affirmer que l'eau 
prélevée a toujours été conforme aux normes en vigueur vis-à-vis
 de ce polluant ? On justifiera la réponse à l'aide d'un calcul.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\medskip

Données scientifiques concernant le brochet

La croissance observée en centimètres suivant l'âge est indiquée dans
 le tableau ci-dessous :
 
 \vspace{0,5cm}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l| *{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
âge du brochet en années& 1	& 2	& 3& 4& 5\\ \hline
taille en centimètres	& 23& 36&43&55&62\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

La longévité de l'espèce (âge maximal) est évaluée à neuf années.

Très nombreux à la naissance, les brochets se font plus rares à
 l'âge adulte, les spécimens très âgés devenant exceptionnels. Ainsi sur
 \np{1000} brochets qui viennent de naître, seuls 10 parviendront à l'âge de 8 ans. 

Le graphique de la page suivante représente le nuage de points correspondant aux données du tableau. 

\begin{enumerate} 
\item Un ajustement linéaire du nuage semble-t-il justifié? 
\item On désigne par G$_1$ le point moyen du trois premiers
 points du nuage et par G$_2$ celui des deux derniers
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer les coordonnées de G$_1$ et de G$_2$ et tracer la droite (G$_1$G$_2$) sur le graphique.
		\item Montrer que la droite (G$_1$G$_2$) admet pour équation 
réduite : 

$y = 9,8 x +14,4$.
		\item Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage et montrer qu'il appartient bien à la droite (G$_1$G$_2$).

Placer le point G sur le graphique.
	\end{enumerate}
\item On admet que cette droite constitue une bonne modélisation
 de la taille du brochet en fonction de son âge.
	\begin{enumerate} 
		\item Résoudre algébriquement l'inéquation $9,8 x + 14,4 > 200$. Est-il  vraisemblable qu'un brochet dont la taille dépasse 200~centimètres 
puisse être observé ? 
		\item Résoudre graphiquement l'équation $9,8 x + 14,4 = 100$.

En déduire l'âge d'un brochet mesurant 100~centimètres. (On donnera
 la valeur entière la plus proche et on laissera apparents les traits de
 construction ).
	\end{enumerate} 
\item On souhaite construire un tableau indiquant le nombre
 de brochets $U_n$, présents dans un lac, en fonction de leur âge $n$, en adoptant comme modèle une suite géométrique décroissante de raison $q = 0,565$ et de premier terme $U_0 = \np{1000}$.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer les nombres $U_1$ et $U_2$ (on donnera la valeur arrondie à l'entier le plus proche).
		\item Recopier et compléter le tableau suivant dans lequel les résultats seront arrondis à l'entier le plus proche :
		
{\small\begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{1.7cm}| *{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}p{1.8cm}|} \hline
âge $n$ en années&	1&	2&	3&	4&	5&	6&	7& 	8& 9 
& nombre total de brochets  $U_n$\\  \hline
nombre de brochets $U_n$&565&319&180& & & & & & 6 & \np{1291}\\ \hline
\end{tabularx} \end{center}}
	\end{enumerate}
\item On pêche un des \np{1291} brochets âgés de un an et plus présents dans le lac. On suppose que tous ont la même probabilité d'être capturés 
	\begin{enumerate} 
		\item Pour une bonne gestion piscicole, on ne peut conserver, après capture, qu'un poisson âgé de quatre ans et plus. On capture un
 brochet : quelle probabilité a-t-on de pouvoir le garder ? (On donnera un résultat à un dixième près) 
		\item Montrer que la probabilité de capturer un poisson dont la 
taille est un mètre, est d'environ 5 sur \np{1000}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
{ À REMETTRE AVEC LA COPIE}

\vspace{0,5cm}

Évolution de la taille d'un brochet en fonction de son âge

\vspace{0,5cm}

\psset{xunit=1cm,yunit=0.05cm}
\begin{pspicture}(9,200)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=20](0,0)(9,200)
\multido{\n=0+1}{10}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,200)} 
\multido{\n=0+20}{11}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(9,\n)}
\psdots(1,23)(2,36)(3,43)(4,55)(5,62)
\rput(4.5,-20){Âge en années}
\rput{90}(-1,180){Taille en cm}    
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole Biochimie juin 2001
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Métropole Biochimie septembre 2001 
\hypertarget{MetroBiosep}{}

\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2001}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Biochimie, génie biologique~\decofourright\\
Métropole septembre 2001}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 }  \hfill 12 points}

\medskip

Une réserve d'eau naturelle est aménagée pour la baignade. Un système
 d'évacuation permet de maintenir dans ce bassin, en toutes circonstances,
 un volume d'eau constant égal à \np{50000}~litres. À la suite de pluies
 torrentielles, des eaux de ruissellement, polluées par des pesticides,
 se déversent dans ce bassin. 

On a déterminé le volume $y_i$ (en litres) de pesticides contenus dans
 le bassin à l'instant $t_i$ (exprimé en heures). Les résultats 
figurent dans le tableau suivant :

\begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$t_i$&	0&	20&	40	&60	&80& 100\\ \hline
$y_i$&	0&	173&	375&	502&	688&	778\\ \hline
\end{tabularx} \end{center}

On pose $z_i = - 7 + \ln (\np{2000} - y_i)$, où $\ln$ désigne la fonction 
logarithme népérien. 

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau ci-dessous, en donnant
 les valeurs de $z_i$ à $10^{-2}$ près.
\begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$t_{i}$	&0	&20	&40		&60	&80	&100\\ \hline
$z_i$	&	&	&0,39 	& 	& 	&  	\\ \hline
\end{tabularx} \end{center}

\item Dans un repère orthogonal \Oij, représenter
 le nuage de points $M_i\left(t_i~;~z_i\right)$. 

(On prendra 0,1 cm pour unité en abscisses, et 20 cm pour unité en
 ordonnées). 

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées du point moyen G$_1$ des
 trois premiers points du nuage et celles du point moyen G$_2$ des trois
 derniers points du nuage. 
		\item Placer les points G$_1$ et G$_2$ sur le graphique et tracer la droite (G$_1$G$_2$). 
		\item Déterminer une équation de la droite (G$_1$G$_2$). 
	\end{enumerate}
\item On considère que la droite (G$_1$G$_2$) constitue un
 ajustement affine convenable du nuage de points $M_{i}\left(t_i,~z_i\right)$. À l'aide du résultat obtenu en \textbf{3. c.}, montrer que l'on peut choisir comme expression approchée de $y$ en fonction de $t$ :

\[ y = \np{2000} \left(1 - \text{e}^{-0,005t}\right).\] 

\item La baignade devient dangereuse dès que le taux de
 pesticides contenus  dans l'eau atteint 2\,\%.
	\begin{enumerate}
		\item Pour quel volume de pesticides ce taux est-il atteint ?
		\item Résoudre l'inéquation : 

\[\np{2000} \left(1 - \text{e}^{- 0,005 t}\right) \geqslant \np{1000}.\]

		\item En déduire au bout de combien de jours la baignade sera dangereuse (on arrondira le résultat à l'entier le plus proche).
		\item Comment peut-on vérifier graphiquement ce résultat ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 }  \hfill 8 points}

\medskip

Le but de l'exercice est la détermination puis l'étude de quelques 
propriétés d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$, dont la
 représentation graphique ($\mathcal{C}$), ainsi que la tangente à ($\mathcal{C}$) au point d'abscisse 0, figurent ci-dessous.

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Partie A : détermination de la fonction} \boldmath  $f$ 
\unboldmath

\begin{enumerate}
\item À l'aide du graphique, déterminer $f(0)$ et $f'(0)$,
 où $f'$ désigne la dérivée de la fonction $f$. 
\item On suppose que l'expression de $f$ est donnée pour
 tout nombre réel $x$ par : 

\[f(x) = \alpha + \beta x \text{e}^{-x},~ \text{où}~ \alpha~ \text{et}~
\beta~ \text{sont des nombres que l'on se propose de déterminer.}\] 

	\begin{enumerate}
		\item En utilisant un résultat du \textbf{1.} déterminer la valeur de $\alpha$.
		\item Démontrer que, pour tout nombre réel $x,~f'(x) = \beta \text{e}^{-x} (1 - x)$. 

À l'aide de l'autre résultat du \textbf{1.} en déduire $\beta$.-
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Partie B : étude de quelques propriétés de la fonction} 
\boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

On admet dans cette partie que l'expression de $f$ est 

\[f(x) = 2 + 3 x \text{e}^{-x}.\]

\begin{enumerate}
\item En utilisant l'expression de la dérivée obtenue dans la partie \textbf{A 2. b.}, étudier les variations de la fonction $f$ , et préciser les coordonnées exactes du point correspondant au maximum de cette fonction.
\item Étudier les limites de la fonction $f$ en - $\infty$ et  en  + $\infty$.
\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
\item Pour quelles valeurs du nombre réel $x$ a-t-on $f(x) < 
2$ ?
\end{enumerate}

\begin{center} \begin{pspicture}(-2,-3)(10,6)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(-2,-3)(10,6)
\psline[linewidth=1.8pt]{->}(-2,0)(10,0)
\psline[linewidth=1.8pt]{->}(0,-3)(0,6)
\uput[dl](0,0){O}
\psline(-1.667,-3)(1.333,6)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.771}{10}{3 x mul 2.71828 x exp div 2 add}
\rput(3.5,2.5){($\mathcal{C}$)}
\end{pspicture} \end{center}
%%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole Biochimie septembre 2001 
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Métropole Chimie de laboratoire juin 2001
\hypertarget{MetroChimie}{}
 
\lhead{\small Baccalauréat  STL Chimie de laboratoire et de procédés industriels}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2001}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL  Métropole  juin 2001~\decofourright\\
Chimie de laboratoire et de procédés industriels}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\emph{\footnotesize
L'usage des calculatrices et des instruments de calcul est autorisé.}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

Une urne contient trois boules, indiscernables au toucher, numérotées de 1 à 3.
 
Un jeu consiste à extraire successivement deux boules de l'urne, la première boule étant remise avant d'extraire la seconde.
 
On appelle tirage, tout couple $(a,~ b)$ où $a$ est le numéro de la première boule extraite et $b$ celui de la seconde.
 
On admet que tous les tirages sont équiprobables.
 
\begin{enumerate}
\item Préciser l'ensemble des neuf tirages possibles (on pourra s'aider d'un tableau).
\item Soit X la variable aléatoire qui, à chaque tirage $(a,~b)$, associe le produit $ab$. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les valeurs prises par X ? 
		\item Établir la loi de probabilité de X. 
		\item Calculer l'espérance mathématique E(X).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

On note i le nombre complexe de module 1 ayant pour argument $\dfrac{\pi}{2}$. 
 
On considère les nombres complexes $z_{1} = - \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}$  et $z_{2} = \sqrt{3} + \text{i}$. 
\begin{enumerate}
\item Déterminer le module et un argument de $z_{1}$ puis de $z_{2}$. 
\item On considère le nombre complexe $Z = z_{1} z_{2}^2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire $Z$ sous forme trigonométrique. 
		\item Vérifier que $Z = \left(-2\sqrt{2} - 2\sqrt{6}\right) + \text{i}\left(2\sqrt{2} - 2\sqrt{6}\right)$. 
		\item Déduire des deux résultats précédents les valeurs exactes de $\cos \dfrac{13\pi}{12}$ et de $\sin \dfrac{13\pi}{12}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip		

Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par : 

\[f(x) = \text{e}^{2x} - 3\text{e}^{x} + x + 2.\]
 
et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 4~cm. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $- \infty$. 
		\item Démontrer que la droite $D$ d'équation $y = x + 2$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$. 
		\item Étudier les positions relatives de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $D$.
	\end{enumerate} 
\item Vérifier que pour tout réel $x$ : 

\[f(x) = \text{e}^{x}\left(\text{e}^{x} -3 + \dfrac{x}{\text{e}^{x}}+ \dfrac{2}{\text{e}^{x}}\right) ;\] 

en déduire la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$. 
		\item Vérifier que $f'(x) = \left(2\text{e}^{x} - 1\right) \left(\text{e}^{x} - 1\right)$.
		 
Résoudre dans $\R$ l'équation $f'(x) = 0$ puis déterminer le signe de $f'(x)$. 
		\item Dresser le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse $\ln \left(\dfrac{3}{2}\right)$. Que peut-on dire des droites $T$ et $D$ ? 
		\item Tracer, dans le repère \Oij{} les droites $D,~ T$ et la courbe $\mathcal{C}$. 
\item Calculer l'aire, en cm$^2$, de la partie du plan limité par la courbe $\mathcal{C}$, la droite $D$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = \ln 3$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole Chimie de laboratoire juin 2001
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Métropole Physique de laboratoire juin 2001
\hypertarget{MetroPhysique}{}

\lhead{\small Terminale STL Physique de laboratoire et de procédés industriels}%
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2001}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL  Métropole  juin 2001~\decofourright\\
Physique de laboratoire et de procédés industriels }}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\emph{\footnotesize
L'usage des calculatrices et des instruments de calcul est autorisé.}}
\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

À l'instant $t = 0$, un corps dont la température est de $100\,\degres${}
 est placé dans une salle à $20\,\degres$. On désigne par 
 $\theta(t)$ la température du corps à l'instant $t$, l'unité de
temps étant l'heure et l'unité de température le degré Celsius.

On suppose que la vitesse de refroidissement $\theta'(t)$ est 
proportionnelle à la différence de température entre la température du corps et la température de la salle (loi de Newton) (on négligera l'élévation de température de la salle) et on admettra donc qu'il existe un nombre réel $k$ tel que

\[\theta'(t) = k[\theta(t) - 20].\]

\begin{enumerate} 
\item On pose $y(t) = \theta(t) - 20$.
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que la fonction $y$ est solution de l'équation
 différentielle $y' = ky$ où $k$ est défini ci-dessus.
		\item Résoudre cette équation différentielle.
		\item En déduire que $\theta(t) = C\text{e}^{kt} + 20$ où $C$ est un nombre réel que l'on calculera.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Sachant qu'au bout de 20 minutes le corps s'est refroidi
de $100\,\degres${} à $60\,\degres$, montrer que

\[\theta(t) = 80\text{e}^{(-3\ln 2)t} + 20.\] 

		\item Quelle est la température du corps, arrondie au degré, au bout de 30 minutes ?
		\item En combien de temps la température tombera-t-elle à de $100\,\degres${} à $30\,\degres$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice  2} \hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv~ (unité
graphique 2 cm).

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier que le nombre 
complexe $\left(2 + \sqrt{3}\right) - \text{i}$ est solution de l'équation :

\[Z^2 - 2\left(2 + \sqrt{3}\right)Z + 4\left(2 + \sqrt{3}\right) = 0.\] 

		\item Donner l'autre solution de cette équation.
	\end{enumerate}
\item On considère les nombres complexes :

\[Z_1 = \left(2+\sqrt{3}\right) + \text{i}\quad  \text{et}\quad  Z_2 = 
\left(2+\sqrt{3}\right) - \text{i}.\]

	\begin{enumerate} 
		\item Placer dans le repère \Ouv{} le point A d'affixe $Z_1$
 et le point B d'affixe $Z_2$.
		\item Vérifier que $\dfrac{Z_2}{Z_1} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} - 
\dfrac{\text{i}}{2}$.
		\item Déterminer le module et un argument du complexe $\dfrac{Z_2}{Z_1}$.
		\item Déduire du résultat précédent l'angle de la rotation de centre O qui transforme A en B.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer l'affixe $Z_3$ du point C milieu du
 segment [AB].
		\item Quelle est la nature du triangle OCA ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $\left|Z_1\right|$ et $\left|Z_3\right|$.
		\item Déduire des résultats précédents que :

\[\cos \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}.\]

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

Le but du problème est l'étude de la fonction numérique $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = \dfrac{1}{2}x^2 + 1 - \dfrac{\ln x}{x},\]

où $\ln x$ désigne le logarithme népérien de $x$.

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique : 2 cm.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par :

\[g(x) = x^3 - 1 + \ln x.\]

\begin{enumerate} 
\item Étudier les variations de la fonction $g$. Les limites aux
 bornes ne sont pas demandées.

\item Calculer $g(1)$ et en déduire le signe de $g(x)$ suivant les valeurs 
de $x$.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Étudier les limites de la fonction $f$ aux bornes de
 l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. En déduire l'existence d'une droite asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ que l'on précisera.
\item Démontrer que $f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}.$

En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
\item Soit $h$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par :

\[h(x) =  \dfrac{x^2}{2} + 1.\]

Sa courbe représentative $\mathcal{P}$ dans le repère \Ouv~ est donnée ci-après.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la limite de $[f(x)-h(x)]$ en $+ \infty$.
		\item Déterminer le signe de $[f(x) - h(x)]$. Que peut-on en déduire pour la position relative des deux courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{P}$ ?
	\end{enumerate}
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ sur la feuille ci-après (à rendre avec la copie).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer une primitive de la fonction :

\[x \longmapsto	\dfrac{1}{x}\ln x.\]

sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
\item On appelle S l'aire en cm$^2$, de la partie du plan limitée par les deux courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{P}$ et les droites d'équations $x = 1$ et $x = 4$.

Donner la valeur exacte de S puis la valeur arrondie au mm$^2$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE}

\medskip

\psset{unit=1.6cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(6,10)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(6,10)
\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{0}{4.23}{x dup mul 2 div 1 add}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(6,10)
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%  fin Métropole Physique de laboratoire juin 2001
\end{document} 