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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small A. P. M. E. P.}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\huge\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL  2002~\decofourright \\\vspace{1cm} L'intégrale de  juin à septembre 2002}}
 \end{center}

\vspace{1cm}
 
{\Large 
 
\hyperlink{Antilles}{Antilles-Guyane Biochimie juin 2002} \dotfill 3 \medskip 

\hyperlink{France2}{Métropole Biochimie, génie biologique juin 2002} \dotfill 5 \medskip

\hyperlink{France3}{Métropole Chimie de laboratoire  juin 2002} \dotfill 7 \medskip

\hyperlink{ChimieLabosept}{Métropole Chimie de laboratoire  septembre 2002} \dotfill 10 \medskip

\hyperlink{France4}{Métropole Physique de laboratoire  juin 2002} \dotfill  12\medskip}

\newpage
 ~
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%  Antilles-Guyane Biochimie juin 2002
\hypertarget{Antilles}{}

\lhead{\small STL Biochimie, génie biologique}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2002}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STL Antilles--Guyane  juin 2002 \decofourright \\ Biochimie--Génie biologique}}
    
\vspace{0,5cm}

Calculatrice autorisée 

\vspace{0,5cm}

Durée de l'épreuve : 2 heures \hfill Coefficient  : 2

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Évolution d'une population de levures}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par : 

\[f(t) =\dfrac{650}{1+ 64\text{e}^{-0,5t}}\]

 et $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal \Oij.
\begin{enumerate}
\item  Reproduire et compléter le tableau suivant en donnant les valeurs arrondies à 1 unité près.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$		&0	&4	&8	&12	&16	&20	&24	&28	&30\\ \hline
$f(t)$	&	&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Déterminer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \left(1 + 64\text{e}^{-0,5t}\right)$  ; en déduire $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}f(t)$. Donner l'interprétation graphique de ce résultat.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ est définie sur $[0~;~+ \infty]$ par
		
\[f'(t) = \dfrac{\np{20800}\text{e}^{-0,5t}}{\left(1 + 64\text{e}^{-0,5t} \right)^2}.\]
		\item Étudier le signe de $f'$ suivant les valeurs de $t$.
		\item Dresser le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la droite $T$ tangente à la courbe 
$\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $0$.
\item Tracer, dans le repère \Oij{} l'asymptote à la courbe 
$\mathcal{C}_{f}$, la tangente $T$ et la courbe $\mathcal{C}_{f}$. On prendra en abscisse $1$~cm pour $2$~unités et en ordonnée $1$~cm pour
$50$~unités.
\item On étudie l'évolution d'une population de levures cultivées dans un milieu non renouvelé. On admet que $f(t)$ est une bonne évaluation du nombre d'individus, par cm$^3,~t$ heures après le début de l'observation.
	\begin{enumerate}
		\item Décrire l'évolution de la population de levures dans le temps.
		\item Quel était le nombre d'individus au début de l'observation ?
		\item Déterminer graphiquement le temps au bout duquel la population dépassera $500$~individus.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 8 points}

\medskip

Lors d'une mission de Médecins Sans Frontières, on a analysé le sang de la population d'une ville sur un échantillon représentatif de \np{8000} ~personnes.
Les résultats concernant la répartition selon les Rhésus $+$ et Rhésus $-$ et selon les quatre groupes sanguins A, B, AB et O sont les suivants :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item Il y a 70\,\% de ces \np{8000}~personnes qui sont Rhésus $+$. Parmi les personnes de Rhésus
$+$, 33\,\% sont de groupe A, 48\,\%  de groupe O et 260 personnes sont de groupe AB.
\item  Parmi les Rhésus négatifs, il y a 17\,\% qui sont de groupe B, $\dfrac{1}{12}$ de groupe AB et il y a autant de personnes de groupe A que de groupe O.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau suivant des effectifs :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\backslashbox{\begin{tabular}{l}Groupe\\ Sanguins\\
\end{tabular}}{Rhésus}&A& B& AB& O& TOTAL\\ \hline
$+$&&&&&\\ \hline
$-$&&&&&\\ \hline
TOTAL&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item On choisit au hasard une personne de l'échantillon.

On considère les évènements suivants :

E$_{1}$ :  \og La personne observée est de Rhésus $-$ \fg ;

E$_{2}$ : \og La personne observée est de groupe O \fg.
	\begin{enumerate}
		\item  Définir par une phrase en français les évènements suivants :
\begin{center} $\overline{\text{E}_{2}}$ \hspace{1,5cm}; \hspace{1,5cm}  E$_{1} \cap  \text{E}_{2}$ 
\end{center}
		\item Déterminer la probabilité, à $10^{-2}$ près, des évènements suivants :
\begin{center} E$_{2} \quad  ; \quad \overline{\text{E}_{2}} \quad ; \quad \text{E}_{1} \cap \text{E}_{2} \quad ; \quad  \text{E}_{1} \cup \text{E}_{2}$\end{center}
		\item Définir par une phrase en français, l'évènement $\overline{\text{E}_{1}} \cup \overline{\text{E}_{2}}$ et calculer sa probabilité.
	\end{enumerate}
\item Si l'on choisit une personne de groupe O, déterminer à $10^{-2}$ près la probabilité qu'elle soit de Rhésus $+$.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%   fin Antilles-Guyane Biochimie juin 2002  %%%%%%%%%%%%%
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%   STL Biochimie Métropole juin 2002 %%%%%%%%%%%%%%%
\hypertarget{France2}{}

\lhead{\small  STL Biochimie Génie biologique}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2002}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}  {\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STL Biochimie, Génie 
Biologique~ \decofourright\\Métropole   juin 2002}} \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

Des étudiants en agronomie procèdent au croisement de deux variétés de pois, l'une ayant des graines jaunes et lisses, l'autre des graines vertes et ridées.

En première génération, F$_{1}$, les graines obtenues sont toutes semblables entre elles, elles sont jaunes et lisses.

L'expérience est poursuivie. Les étudiants croisent entre eux les individus de la génération F$_{1}$, pour obtenir la génération F$_{2}$.

L'observation de \np{5431} graines issues de la génération 
F$_{2}$ montre que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] \np{4069} graines sont jaunes dont \nombre{3057} lisses ;
\item[$\bullet~$] 341 graines sont vertes et ridées.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\emph{Dans les questions $2$ à $4$, les résultats seront donnés sous forme décimale arrondie à $10^{- 3}$ près}.

\vspace{0,4cm}

\begin{enumerate} 
\item Reproduire et compléter le tableau suivant (on ne justifiera pas les
résultats) :

\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}	& graines jaunes& graines vertes& Total\\ \hline 
graines lisses			&				&				& \\ \hline
graines ridées			&				&				& \\ \hline
Total					& 				& 				& \nombre{5341}\\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center}

\item On tire au hasard une graine parmi les \np{5431} de cet échantillon, tous les tirages étant équiprobables. Calculer la probabilité des évènements suivants : 

A : \og La graine est jaune \fg ; B : \og La graine est lisse \fg.
\item On considère les évènements suivants : A ~$\cap$~ B ; 
A ~$\cup$~ B ; $\overline{\text{A}}$ et $\overline{\text{A}} \cap 
\overline{\text{B}}$  où $\overline{\text{A}}$ et 
$\overline{\text{B}}$ désignent les évènements contraires respectifs de A et B.

Définir chacun de ces évènements par une phrase, puis calculer leur probabilité.
\item On prend, au hasard, une graine jaune. Quelle est la probabilité de
l'évènement C \og la graine est ridée \fg ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{PROTOZOAIRE} : être vivant unicellulaire, classé traditionnellement dans le règne animal. (dictionnaire \emph{Le Petit Robert})

On étudie l'évolution d'une colonie de protozoaires placés dans un milieu limité.

Le nombre $f(t)$ de protozoaires dépend du temps, exprimé en heures, selon la relation :

\[f(t) = \dfrac{10^3}{1 + 4\text{e}^{-0,5t}}.\]

pour $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$.

$\mathcal{C}$ désigne la courbe représentative de la 
fonction $f$ dans un repère orthogonal, d'unités graphiques :

$\bullet~$ 1 cm pour 1 heure sur l'axe des abscisses ;

$\bullet~$ 1 cm pour 100 protozoaires sur l'axe des ordonnées.

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Étudier la limite de $f(t)$  quand $t$ tend vers $+ \infty$.
		\item En déduire que $\mathcal{C}$ admet une asymptote dont on précisera une équation.
	\end{enumerate}
\item On note $f'$ la dérivée de $f$.
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que pour tout nombre réel positif $t$ :

\[f'(t) = \dfrac{\np{2000}\text{e}^{- 0,5t}}{\left(1 + 4\text{e}^{-0,5t} 
\right)^2}.\]

		\item Déterminer le signe de $f'(t)$ sur $[0~;~+ \infty[$.
		\item Établir le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate}
\item Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau suivant. 
Les valeurs de $f(t)$ seront arrondies à l'unité près.

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$ 	&0 	&1 		&2	&4	&6	&8	&9	&10\\ \hline 
$f(t)$	& 	& 		& 	& 	& 	& 	& 	& \\ \hline 	
\end{tabularx}\]

\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ et son asymptote.
\item Calculer l'instant $t_{0}$ où le nombre de protozoaires sera égal à 500.
Donner une valeur approchée de $t_{0}$ à une minute près. 

\item Déterminer graphiquement au bout de combien de temps, cette colonie de
protozoaires dépassera $95\,\%$ de son taux de saturation qui s'élève à 
\np{1000} individus. 

(\emph{On fera apparaître sur la figure les construction utiles}.)
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%   Biochimie Métropole juin 2002
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%   Chimie de laboratoire juin 2002
\hypertarget{France3}{}

\lhead{\small STL Chimie de laboratoire}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2002}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Chimie de laboratoire~\decofourright\\ Métropole  juin 2002}}
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} 

\medskip

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal \Ouv{} 
d'unité graphique 3 cm. 

On appelle i le nombre complexe de module 1 et d'argument 
$\dfrac{\pi}{2}$.
 
On appelle notation exponentielle du nombre complexe $z$ l'écriture de $z$
 sous la forme $z = r\text{e}^{\text{i}\theta}$ où $r$ est le module
de $z$ et $\theta$ un argument de $z$ .

\begin{enumerate} 
\item	Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes
 l'équation:

\[z^2 -  z + 1 = 0.\]

\item On pose $z_{\text{A}} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}$i
 et  $z_{\text{E}} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}$i.
	\begin{enumerate} 
		\item Écrire $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{E}}$ en notation
    exponentielle.
		\item Construire les points A et E d'affixes respectives $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{E}}$.
	\end{enumerate}
\item On définit les quatre nombres complexes suivants :

\[z_{\text{B}} = z_{\text{A}}^2\quad ;\quad z_{\text{C}} = 
z_{\text{A}}^3\quad ; \quad z_{\text{D}} = z_{\text{A}}^4\quad ; \quad	
z_{\text{F}} = z_{\text{A}}^6.\]

	\begin{enumerate} 
		\item Écrire ces quatre nombres complexes en notation exponentielle.
		\item Démontrer que les points A, B, C, D, E et F sont situés 
sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon. 
		\item Construire les points B, C, D et F. On justifiera la construction.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

Au cours d'une réaction chimique, on appelle $C(t)$ la concentration
 du réactif (en moles par litre) à l'instant $t$ (en minutes). On
 admet que la fonction $C : t \mapsto C(t)$ définie sur l'intervalle I
 $= [0~;~+ \infty[$ est solution de l'équation différentielle (E) : 

\[C'(t) = - a C(t).\]

où $a$ est une constante donnée liée à la réaction. 

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Résoudre l'équation (E).
		\item Déterminer la solution de (E) vérifiant : $C(0)=0,1$ 
mol.L$^{- 1} (C(0)$ est la concentration initiale à l'instant $t = 0$).
	\end{enumerate}
\item On donne $a = 9,9 \times 10^{-3}$ min$^{- 1}$
et on suppose désormais que la fonction $C$ est définie sur  par :

\[C(t) = 0,1 \times \text{e}^{- 9,9 \times 10^{-1}t}.\] 

	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer le temps de demi-réaction noté $t_{1/2}$ , c'est à dire la valeur de $t$ pour laquelle la concentration est égale à la moitié  de la concentration initiale $C(0)$. On donnera d'abord la valeur exacte de $t$ puis celle arrondie à la minute. 
		\item La courbe représentative de la fonction $C$ est donnée en
 annexe. L'axe des abscisses est graduée en minutes. Déterminer
 graphiquement la valeur de $t$ pour laquelle la concentration 
est égale à $10\,\%$ de la concentration initiale.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle I $= ]0~;~+ 
\infty$[ par :

\[f(x) = x - 1 - 2 \ln x.\]

On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm. 

\begin{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la limite en $0$ de la fonction $f$ . Que peut-on
 en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ?
		\item En écrivant $f(x)$ sous la forme $f(x) = x \left(1 - 
\dfrac{1}{x} - 2\dfrac{\ln x}{x}\right)$,  déterminer la limite de la
fonction $f$ en $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur
l'intervalle I.

Calculer $f'(x)$, étudier son signe puis construire le tableau
de variations  de $f$.
\item Déterminer une équation de la tangente T à la courbe
$\mathcal{C}$ en son point A d'abscisse 1.
\item Calculer $f(2),~f(4),~f(6)$ puis en donner les valeurs
approchées à $10^{-1}$ près.

En utilisant les résultats précédents et le tableau de variations de
 la fonction $f$.
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique
 solution autre que 1.
		\item Donner un encadrement de cette solution par deux entiers
consécutifs.
	\end{enumerate}
\item Construire dans le repère \Oij{} la courbe $\mathcal{C}$,
 et la tangente T.

\item Soit $F$ la fonction définie sur l'intervalle I par

\[F(x) = \dfrac{1}{2}x^2  + x - 2x \ln x.\]

	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que $F$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle 
I.
		\item On appelle $S$ l'aire en cm$^2$ de la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, et les droites d'équations  $x = 4$ et $x = 6$.
 
Calculer la valeur exacte en cm$^2$ de $S$, puis une valeur approchée au 
mm$^2$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center} 
Courbe représentative de la fonction $C$

\medskip
    
\psset{xunit=0.38mm,yunit=165cm} \begin{pspicture}(310,0.11)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=50,Dy=0.2]{->}(0,0)(310,0.11)
\psaxes[ticks=x,Dx=10,labels=none](310,0.11)
\psaxes[ticks=y,Dy=0.01,labels=none](310,0.11)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{310}{0.1 2.72818 0.0099 x mul neg exp mul}
\uput[d](315,0){$t$} \uput[l](0,0.11){$C(t)$}
\uput[dl](0,0){0} \uput[l](0,0.1){0,1}  
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%   fin Chimie de laboratoire juin 2002
\newpage
%%%%%%%%%%%%  Chimie de laboratoire Métropole septembre 2002
\hypertarget{ChimieLabosept}{}

\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2002}}
\thispagestyle{empty}
 \begin{center}{ \Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat
 série STL Métropole septembre 2002~\decofourright\\
 Chimie de laboratoire et de procédés industriels }}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Durée de l'épreuve : 3 heures} \hfill \textbf{Coefficient 4}

\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. 

On considère les nombres complexes suivants : 

\[z_{1} = \dfrac{3}{2}\left(\sqrt{3} + \text{i}\right)\quad  \text{et} \quad  z_{2} = \overline{z_{1}}.\] 

\begin{enumerate}
\item D\'eterminer le module et un argument du nombre complexe $z_{1}$, puis le module et un argument du nombre complexe $z_{2}$.
\item Résoudre le système d'inconnues complexes $z$ et $z'$ : 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
z - 2z' &=& 3\sqrt{3}\\
2z - 2z' &=& 9\text{i} -3\sqrt{3}
\end{array}\right.\] 

\item Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 1~cm.
 
On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives : 

\[z_{1},~ z_{2},~ 3\text{i} \quad \text{et}~ \dfrac{3}{2}\left(- \sqrt{3}  + \text{i}\right).\] 

	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A, B, C et D. 
		\item Démontrer que ces quatre points sont sur un cercle $\Gamma$ de centre O et de rayon à préciser. 
		\item Construire $\Gamma$ puis justifier que le triangle BCD est rectangle.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 4 points}

\medskip

Après des violents orages, des eaux de ruissellement contenant 4\,\% de pesticides se déversent dans un bassin aménagé pour la baignade. 

Le système d'évacuation du bassin permet d'y maintenir un volume constant de \np{30000}~litres.
 
On admet que le volume de pesticides en litres dans ce bassin 
est une fonction du temps définie par : $g(t) = f(t) + \np{1200}, t$ \'etant le temps en minutes et $f$ étant une solution de l'équation 
diff\'erentielle
 
\[(\text{E})~~ :\quad  y' + 5 \times 10^{-3}y = 0.\]
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle (E). 

En déduire l'expression générale de $g(t)$.
\item On suppose qu'à l'instant $t = 0$, le volume des pesticides dans l'eau est nul.
 
Déterminer la fonction $g$ satisfaisant à cette condition. 
\item Le corps médical considère que des affections cutanées peuvent survenir dès que le taux de pesticides dans le bassin atteint 2\,\%.
 
Au bout de combien de minutes ce taux est-il atteint ? (on donnera d'abord le résultat exact puis une valeur approchée à une minute près). 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Probl\`eme}  \hfill 11 points}

\medskip

\textbf{A.} Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par

\[f(x) = x + (x - 1)\text{e}^x\]

et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unités graphiques 2~cm sur l'axe des abscisses et 1~cm sur l'axe des ordonnées.   

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant l'écriture de $f(x)$ sous la forme :
		 
$f(x) = x + x\text{e}^x - \text{e}^x$,

déterminer la limite de $f$ en $- \infty$. 
		\item Démontrer que la droite $D$ d'équation $y = x$ est asymptote 
à la courbe $\mathcal{C}$ en $- \infty$.
		\item Étudier la position relative de $D$ par rapport à $\mathcal{C}$ (on précisera les coordonnées du point d'intersection de $\mathcal{C}$ et $D$).
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$. 
		\item On admet que le tableau de variations de $f'$ est le suivant :
		
\medskip
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,2.5)
\psframe(8,2.5) \psline(0,2)(8,2)
\psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2){$x$} \uput[u](2.4,2){$- \infty$} \uput[u](5,2){$- 1$} \uput[u](7.5,2){$+ \infty$} 
\rput(1,1){$f'(x)$}
\psline{->}(2.4,1.6)(4.5,0.5)\psline{->}(5.5,0.5)(7.6,1.6)
\uput[u](5,0){$1 - \dfrac{1}{\text{e}}$}
\end{pspicture}
\end{center}

Justifier que pour tout $x$ de $\R$, on a $f'(x) > 0$.
 
En déduire le sens de variation de $f$, puis dresser le tableau de 
variation de $f$.
	\end{enumerate} 
\item Tracer $\mathcal{C}$ et $D$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B.} 

\begin{enumerate}
\item Soit $H$ la fonction définie sur $\R$ par $H(x) = x\text{e}^x - 2\text{e}^x$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $H'(x)$. 
		\item En déduire une primitive $F$ de $f$ sur $\R$. 
	\end{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte en cm$^2$ de l'aire $S$ de la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = 2$.
 
Donner la valeur arrondie de $S$ au mm$^2$ près.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%% fin Chimie de Laboratoire septembre 2002
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%   Métropole Physique de laboratoire juin 2002
\hypertarget{France4}{}

\lhead{\small STL Physique de Laboratoire et de Procédés Industriels}%
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2002}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}  {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL France  juin 2002~\decofourright\\ Physique de laboratoire et de procédés industriels}} \end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} 

\medskip

\parbox[l]{0.65\textwidth}{Un condensateur de capacité $C$ est associé en série avec une bobine d'inductance $L$.
Les tensions aux bornes du condensateur et aux bornes de la bobine à l'instant $t$ exprimé en secondes sont respectivement notées $u_{C}(t)$ et $U_{L}(t)$.
On désigne par $i(t)$ l'intensité du courant à l'instant $t$.} \hfill
\parbox[l]{0.3\textwidth}{\begin{pspicture}(3,2.5)
\psline(0,0.5)(0,1.8)
\psline(3,1.8)(3,0.5)
\psline{->}(3,1.8)(3,1.15)
\pnode(0,0.5){A} \pnode(0,1.8){B}
\pnode(3,0.5){C} \pnode(3,1.8){D}
\capacitor(A)(C){$C$}
\coil[dipolestyle=curved](B)(D){$L$}
\psline{->}(0.7,-0.2)(2.1,-0.2)
\psline{->}(1.9,2.3)(0.5,2.3)
\uput[d](1.4,-0.2){$u_C$}
\uput[r](3,1.45){$i$} \uput[u](1.2,2.3){$u_L$} 
\end{pspicture}}

À chaque instant, on a :	

\[i(t) = Cu'_C(t) \quad  \text{et} \quad u_L(t) = Li'(t).\]

On admet que la tension $u$ est solution sur l'intervalle $[0~;~+ 
\infty[$ de l'équation
différentielle

\[u''_C(t) + \dfrac{u_C(t)}{LC} = 0.\qquad 	(\text{E})\]

On prendra $C = 16 \times 10^{-6}$ F (farads) et $L = 1$ H (henry).

\begin{enumerate} 
\item Résoudre l'équation différentielle (E).

\item Le condensateur est initialement chargé sous une tension de 15 V (volts) et, à cet instant initial, l'intensité du courant est nulle. Ceci se traduit par les deux conditions initiales

\[u_C(0) = 15 \qquad  \text{et} \qquad  u(0) = 0.\]

Montrer alors que la solution $u$ correspondante s'écrit : $u_C(t) = 15 
\cos \omega t$, où $\omega$ est un réel positif dont on précisera la valeur.
\item Soit $I_m$ la valeur moyenne de la fonction $i$ entre les instants $t_0 = 0$ et $t_1 = \dfrac{\pi}{\omega}$.

Montrer que $I_m = - \dfrac{0,12}{\pi}$.
\end{enumerate}

\vspace{1cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, l'équation (E)
d'inconnue $z$ :

\[z^2+2z\sqrt{3} + 4 = 0.\qquad	(\text{E})\]

On notera :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$~] $z_{1}$ la solution dont la partie imaginaire est positive ;
\item[$\bullet$~] $z_{2}$ la solution dont la partie imaginaire est négative.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\item Écrire les complexes $z_{1},~z_{2},~z_{1}^2$ et $z_{2}^2$ sous forme trigonométrique.
\item Dans le plan muni d'un repère orthonormal (unité graphique : 2 cm), on considère les points A, B, C et D d'affixes respectives $z_{1},~z_{2},~z_{1}^2$ et $z_{2}^2$.
	\begin{enumerate} 
		\item Placer, très précisément, les points A, B, C et D (on se servira des résultats de la question \textbf{2.}).
		\item Démontrer que le triangle AOD est un triangle rectangle.
		\item Démontrer que le quadrilatère ABCD est un trapèze isocèle.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

Le but du problème est l'étude de la fonction $f$ définie sur 
l'intervalle $]0~;~2[$ par :

\[f(x) = \dfrac{\ln x}{(x - 2)^2}.\]

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal
\Oij.

Unités graphiques : 5 cm sur l'axe des abscisses, 1~cm sur l'axe des ordonnées.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A - Étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Résoudre dans l'intervalle ]0 ; 2[ l'équation : $1 + 2 \ln x = 0$.
\item On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle ]0 ; 2[ par :

\[g(x) = x - 2 - 2x\ln x.\]

	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la dérivée $g'$ de la fonction $g$ et étudier son signe sur l'intervalle ]0 ; 2[.
		\item Démontrer que la fonction $g$ admet en 
$\dfrac{1}{\sqrt{\text{e}}}$ un maximum égal à $\dfrac{2}{\sqrt{\text{e}}} - 2$.
		\item En déduire le signe de $g(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle ]0~;~2[.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie B - Étude et représentation graphique de la 
fonction \boldmath $f$ \unboldmath}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Étudier les limites de la fonction $f$ aux bornes de l'intervalle ]0~;~2[. En déduire l'existence de deux asymptotes à la courbe $\mathcal{C}$.

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle ]0 ; 2[ :

\[f'(x) = \dfrac{g(x)}{x(x - 2)^3}.\]

		\item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur 
l'intervalle ]0~;~2[.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer une équation de la tangente T à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1.
		\item Tracer T et $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie C - Calcul d'aire}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Soit la fonction $F$ définie sur l'intervalle ]0 ; 2[ par :

\[F(x) = \dfrac{\ln x}{2 - x} + \dfrac{1}{2}\left[\ln (2 - x) - \ln 
x\right].\]

Déterminer sa fonction dérivée $F'$.
\item On appelle $\mathcal{S}$ l'aire, en cm$^2$, de la partie du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites 
d'équations $x = 1$ et $x = \dfrac{3}{2}$.

Calculer la valeur exacte de $\mathcal{S}$ puis la valeur arrondie au centième.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%  Métropole Physique de laboratoire juin 2002
\end{document}