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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\small A. P. M. E. P.}
\rhead{\small L'intégrale 2005}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\huge\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL  2005~\decofourright \\\vspace{1cm} L'intégrale de  juin 2005}}
 \end{center}

\vspace{1cm}
 
 {\Large \hyperlink{Metrobio}{Métropole Biochimie juin 2005} \dotfill 3 \medskip

\hyperlink{Polynesiebio}{Polynésie Biochimie juin 2005} \dotfill 5 \medskip

\hyperlink{MetroChimie}{Métropole Chimie de laboratoire juin 2005} \dotfill 7 \medskip

\hyperlink{MetroPhysique}{Métropole Physique de laboratoire juin 2005} \dotfill 10  \medskip}

\newpage
~
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Métropole Biochimie juin 2005
\hypertarget{Metrobio}{}

\rhead{\small Baccalauréat STL  Biochimie - Génie biologique}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL 
Biochimie--Génie biologique \decofourright\\Métropole  juin 2005}} 
    
\vspace{0,8cm}

Calculatrice autorisée 

\vspace{0,5cm}

Durée de l'épreuve : 2 heures \hfill Coefficient  : 2

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 10 points}

\medskip

Une épidémie due au virus Ébola sévit dans une région composée de \np{125000} habitants. On estime que \np{18750} personnes sont contaminées par ce virus.

Une stratégie de dépistage, à l'aide d'un test biologique est mise en place. On observe les résultats suivants :

$\bullet~$	quand la personne est contaminée par le virus Ébola, le test est positif dans $99,6$\,\% des cas.

$\bullet~$	quand la personne n'est pas contaminée parce virus, le test est négatif dans $97,6$\,\% des cas.

\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|*{3}{c|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}&Nombre de personnes& Nombre de personnes&\\
\multicolumn{1}{c|}{}&contaminées & non contaminées& Total\\ \hline
Test positif && & \\ \hline
Test négatif & & & \\\hline
Total & & & 125\,000\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

Dans les questions suivantes, les probabilités seront données à $10^{-4}$ près.

\item On choisit an hasard une personne de cette population, toutes les personnes ayant la même probabilité d'être choisies.

On considere les évènements :

A \og La personne est contaminée par le virus Ébola \fg{}
 
B \og  La personne a un test positif \fg{}.
  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité de chacun des évènements A et B.
		\item Écrire à laide d'une phrase l'évènement A~$\cap$~B et calculer sa probabilité.

Écrire à l'aide des évènements A et B l'évènement :  \og la personne est contaminée par le virus Ébola ou a un test positif \fg{} et calculer sa probabilité.
		\item Calculer la probabilité $p_{1}$ que la personne ait un test positif et ne soit pas contaminée par le virus  Ébola.

Calculer la probabilité $p_{2}$ que la personne ait un test négatif et soit contaminée par le virils  Ébola.
 
Calculer la probabilité $p_{3}$ que le test donne un résultat faux.

	\end{enumerate}

\item on choisit maintenant au hasard une personne ayant un test négatif, toutes les personnes ayant la même probabilité d'être choisies.
Quelle est la probabilité qu'elle soit contaminée par le virus  Ébola ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 10 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ détinie sur $[0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = \dfrac{3\text{e}^{4x} - 1}{\text{e}^{4x} + 1}.\]

$\mathcal{C}$ est sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan (unité graphique $5$~cm).

\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variations sur $[0~;~+ \infty[$.
\item Calculer la limite de $f$ en $+ \infty ~\left.(\text{on pourra montrer que}~ f(x) = \dfrac{3 - \text{e}^{-4x}}{1 + \text{e}^{-4x}}\right)$.
\item Donner les valeurs approchées à $10^{-2}$	près de $(x)$ pour les valeurs suivantes de $x$ :  0 ;  0,2 ; 0,4 ;
0,6 ; 0,8 ; 1 ;  1,2 et 1,4.
\item Déterminer le coefficient directeur de la tangente $T$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ et  sa tangente $T$.
\item Montrer que $f(x) = \dfrac{3\text{e}^{3x} - \text{e}^{-x}}{\text{e}^{3x} + \text{e}^{-x}}$.

On considère la fonction $F$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par

\[ F(x) = \ln \left(\text{e}^{3x} + \text{e}^{-x}\right) + 1.\]

Expliquer pourquoi $F$ est une primitive de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole Biochimie juin 2005
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Polynésie Biochimie juin 2005
\hypertarget{Polynesiebio}{}

\rhead{\small Baccalauréat STL Biochimie - Génie biologique}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{ juin 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Polynésie 10 juin 2005 \decofourright\\Biochimie--Génie biologique}} 
    
\vspace{0,8cm}

Calculatrice autorisée 

\vspace{0,5cm}

Durée de l'épreuve : 2 heures \hfill Coefficient  : 2

La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour
 une part importante dans l'appréciation des copies.

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 10 points}

\medskip

On étudie l'évolution d'une culture bactérienne en fonction du temps. On estime que le nombre de bactéries en milliards par ml est donné, à chaque instant $t$ (exprimé en heures) par la fonction $f$ définie sur [0 ; 24] par

\[f(x) = (3t + 1)\text{e}^{-0,15t}.\]

On note ($\mathcal{C}$) la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal (unités graphiques : $0,5$~cm pour une heure sur l'axe des abscisses et $2$~cm pour un milliard par ml sur l'axe des ordonnées).

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la dérivée $f'$ de $f$ est telle que $f'(t) =  (2,85 - 0,45t)\text{e}^{-0,15t}.$
		\item Étudier le signe de $f'(t)$. Dresser le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire et compléter le tableau suivant (les résultats seront donnés à $10^{-2}$ près).
		\item Calculer le coefficient directeur de la tangente T à la courbe ($\mathcal{C}$) au point A d'abscisse 0.
		\item Tracer T et ($\mathcal{C}$) dans le repère donné.
	\end{enumerate}
\item À l'aide du graphique, et en faisant apparaître les constructions nécessaires, déterminer à une heure près les valeurs de $t$ pour lesquelles il y a 5~milliards de bactéries par ml.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 10 points}

\medskip

On étudie la croissance d'une population de crustacés planctoniques dans un environnement limité.

On note $x$ le nombre des individus de cette population à l'instant $t$ exprimé en jours. Les résultats obtenus sont dans le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_{i}$ (en jours)	&0	&2	&4		&6		&8		&10		&12		&14\\ \hline
$x_{i}$ (effectif)	&15&59	&199	&448	&631	&697	&715	&719\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  Dans un repère orthogonal \Oij{} représenter le nuage des huit points de coordonnées $\left(t_{i}~;~x_{i}\right)$. On prendra comme unités graphiques $1$~cm pour $1$~jour en abscisses et $1$~cm pour $50$~individus en ordonnées. Un ajustement affine de ce nuage parait-il justifié ?

\textbf{Dans la suite de l'exercice, toutes les valeurs seront arrondies à \boldmath$10^{-2}$ \unboldmath près.}

\item On pose $y = \ln \left(\dfrac{x}{720 - x}\right)$, où ln désigne la fonction logarithme népérien.

	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau de valeurs ci-dessous :

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_{i}$ &0			&2	&4	&6	&8	&10&12	&14\\ \hline
$y_{i}$	&$-3,85$	&	&	&	&	&	&	& \\ \hline
\end{tabularx}\]

		\item Calculer les coordonnées du point moyen $G_{1}$ des 4 premiers points $M_{i}\left(t_{i}~;~y_{i}\right)$ du nuage. 

Calculer de même les coordonnées de $G_{2}$, point moyen des 4 derniers points du nuage. 
		\item Déterminer l'équation réduite de la droite $\left(G_{1} G_{2}\right)$. On suppose que cette droite constitue un ajustement affine convenable du nuage de points $M_{i}\left(t_{i}~;~ y_{i}\right)$.

\end{enumerate}

\item On admet, dans cette question, que $t$ et $y$ sont reliés par la relation 

\[y = 0,74t - 3,91.\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer alors que $x = \dfrac{720}{1 + \text{e}^{-0,74t + 3,91}}$ ce qui détermine $x$ comme fonction de $t$ sur $[0~;~+ \infty[$.
		\item Sur le graphique de la \textbf{question 1}, quel phénomène semble apparaître lorsque $t$ devient suffisamment grand ? 
		\item Calculer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}  x(t)$. Ce résultat théorique est-il cohérent avec la réalité expérimentale ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%  fin Polynésie Biochimie juin 2005
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%  Métropole Chimie de laboratoire juin 2005
\hypertarget{MetroChimie}{}

\rhead{\small Baccalauréat STL Chimie de laboratoire et de procédés industriels}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Métropole juin 2005 \decofourright\\ Chimie de laboratoire et de procédés industriels}} \end{center}
    
\vspace{0,15cm}

 Calculatrice autorisée \hfill 3 heures 

\vspace{0,15cm}

\begin{center}

Durée de l'épreuve : 3 heures \hfill Coefficient  : 4

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument  $\dfrac{\pi}{2}$.\\
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique $1$~cm.

\begin{enumerate} 
\item	Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation suivante, en donnant les solutions sous forme algébrique :

\[z^2 + 3z + 3 = 0.\]

\item On considère les nombres complexes : $z_{1}=  - \dfrac{3}{2}+ \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$	et $z_{2}  = \overline{z_{1}}$.

	\begin{enumerate} 
		\item Écrire $z_{1}$ sous forme trigonométrique.

		\item Construire avec précision dans le repère \Ouv, les points A et B d'affixes respectives $z_{1}$ et $z_{2}$.

On laissera apparents les traits de construction.

	\end{enumerate}

\item On appelle D le point d'affixe $z_{3} = \dfrac{7}{2}- \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$ et K le point d'affixe $z_{4} = 1$.

	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que les points A, B et D appartiennent à un cercle $\mathcal{C}$ de centre K.

		\item Montrer que le point K est le milieu du segment [AD].

		\item Dans le repère \Ouv~ placer les points K et D et tracer le cercle $\mathcal{C}$.

Déterminer la nature du triangle ABD.

	\end{enumerate}
 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 4 points}

\medskip

Une urne contient trois boules indiscernables au toucher, numérotées respectivement 1, 2 et 3.

Le jeu proposé est le suivant :

 On verse d'abord $10$~euros, puis on effectue trois tirages successifs d'une boule avec remise et on obtient ainsi un nombre à trois chiffres en notant dans l'ordre les trois numéros obtenus. Par exemple, si on tire successivement 2, 3 et 1 on obtient le nombre $231$.

Si les trois chiffres sont identiques, on reçoit $25$~euros. Si les trois chiffres sont tous différents, on reçoit $15$~euros. Si la somme des trois chiffres vaut 7, on reçoit $13$~euros. Dans tous les autres cas, on ne reçoit rien.

\begin{enumerate} 
\item	En s'aidant d'un arbre comme ci-dessous, donner la liste des 27 tirages possibles.

\begin{center}
\begin{pspicture}(5,5)
\psline(0,2)(2,0) \psline(0,2)(2,2) \psline(0,2)(2,4) 
\psline(2.3,4)(4.3,5)  \psline(2.3,4)(4.3,4)  \psline(2.3,4)(4.3,3)  
\rput(2.2,4){1} \rput(2.2,2){2} \rput(2.2,0){3}
\rput(4.5,5){1} \rput(4.5,4){2}  \rput(4.5,3){3}    
\end{pspicture} 
\end{center}

\item	On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à chaque nombre à trois chiffres obtenu, associe le gain algébrique (c'est-à-dire la différence : somme reçue moins le versement initial).

	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire $X$.
		\item Présenter dans un tableau la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
		\item Calculer l'espérance mathématique E$(X)$ de la variable aléatoire $X$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 11 points}

\bigskip

\textbf{Partie A Étude d'une fonction auxiliaire \boldmath $g$ \unboldmath}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par

\[ g(x) = \ln x  -	2x^2 - 1.\]

	\begin{enumerate} 
		\item	Soit $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$.

Calculer $g'(x)$. Étudier le signe de $g'(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.

Dresser le tableau de variations de la fonction $g$ dans lequel on précisera la valeur exacte de l'extremum (aucune limite n'est demandée).
		\item	Déduire du \textbf{1.} que la fonction $g$ est négative sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B Étude d'une fonction}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = 1  - 2 -  \dfrac{\ln x}{x}.\]

On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ (dans un repère orthonormal \Oij~ d'unité graphique $2$~cm.

\begin{enumerate} 
\item	
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$.
	\end{enumerate}
\item Soit $\mathcal{D}$ la droite d'équation	$y = 1 - 2x$.
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que la droite $\mathcal{D}$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.
		\item Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $\mathcal{D}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Soit $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

Démontrer que  pour tout $x$  de l'intervalle $]0~;~+ \infty[,~f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$.
		\item En utilisant la \textbf{partie A} déduire le signe de $f'(x)$ sur I'intervalle $]0~;~+ \infty[$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\item Tracer la droite $\mathcal{D}$ et la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C Calcul d'une aire}

\medskip

On considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par

\[h(x) = \dfrac{1}{2}(\ln x)^2.\]

\begin{enumerate} 
\item On désigne par$h'$ la fonction dérivée de la fonction $h$.

Calculer $h'(x)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
\item On désigne par $\mathcal{A}$ la mesure, exprimée en cm$^2$, de l'aire de la partie du plan comprise entre la droite $\mathcal{D}$, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations $x = 1$ et $x = \text{e}$.
	\begin{enumerate} 
		\item Hachurer sur le graphique la partie du plan définie ci-dessus.
		\item Calculer la valeur exacte du nombre réel $\mathcal{A}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%  fin Métropole Chimie de laboratoire juin 2005
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%   Métropole Physique de laboratoire juin 2005
\hypertarget{MetroPhysique}{}

\rhead{\small Baccalauréat STL  Physique de laboratoire et de procédés industriels}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Métropole juin 2005 ~\decofourright\\
Physique de laboratoire et de procédés industriels }} \end{center}
    
\vspace{0,15cm}

Calculatrice autorisée \hfill 3 heures 

\vspace{0,15cm}

\begin{center}

Durée de l'épreuve : 4 heures \hfill Coefficient  : 4

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

Le plan P est rapporté à un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique $4$~cm.

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation.

\[z^2 - 2z\sqrt{3}+ 4 = 0.\]

Donner les solutions sous forme algébrique et sous forme trigonométrique.
		\item Représenter dans le plan P les points A d'affixe $\sqrt{3} - \text{i}$ et B d'affixe $\sqrt{3} + \text{i}$.
		\item Démontrer que le triangle OAB est équilatéral.
	\end{enumerate}
\item	On considère l'application $R$ de P dans P qui à tout point M d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$  telle que $z' = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}z$.
	\begin{enumerate} 
		\item Caractériser géométriquement l'application $R$.
		\item Placer le point A$'$ image du point A par $R$.
		\item Calculer sous forme trigonométrique puis sous forme algébrique l'affixe du point A$'$.
		\item En déduire les valeurs exactes de $\cos \dfrac{\pi}{12}$ et $\sin \dfrac{\pi}{12}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

Soit l'équation différentielle : 

\[y''  + 10^4 \pi^2y = 0.\]

où $y$ est une fonction de la variable $t$ et $y''$ sa derivée seconde,

\begin{enumerate} 
\item Résoudre cette équation différentielle.

\item Le plan est rapporté à un repére orthonormal \Oij.
 
Déterminer la fonction $f$ solution de cette équation différentielle telle que :

$\bullet~$	La courbe représentative  de $f$ passe par le point A de coordonnées (0~;~1)

$\bullet~$	La tangente à cette courbe en A a pour coefficient directeur $- 100\pi$.

\item Vérifier que pour tout réel $t~:~f(t) = \sqrt{2}\left(100\pi t + \dfrac{\pi}{4}\right)$.
\item Déterminer la valeur moyenne $\mu$ de $f$ sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{1}{50}\right]$.
\item Calculer la valeur efficace de la fonction $f$ sur cet intervalle, c'est-à-dire le nombre réel positif $I$ défini par :

\[I^2 = 50 \displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{50}} [f(t)]^2 \,\text{d}t.\]

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

\bigskip

\textbf{Partie A : Étude d'une fonction }

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par

\[f(x) =  2 - \dfrac{x - 2}{5}\text{e}^x.\]

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique $2$~cm.

\begin{enumerate} 
\item	
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$.
		\item Calculer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $- \infty$.
		\item En déduire l'équation d'une droite $\mathcal{D}$ asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.
		\item Calculer les coordonnées du point d'intersection A de la droite $\mathcal{D}$ et de la courbe $\mathcal{C}$.
		\item Déterminer la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $\mathcal{D}$.
	\end{enumerate}
\item	
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $f'(x)$.
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire le tableau de variations de $f$ sur $\R$.
	\end{enumerate}
\item Donner une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$  admet une solution $x_{0}$ sur [2~;~3]. 
		\item Donner un encadrement de $x_{0}$ à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\item Tracer sur un même graphique la droite $\mathcal{D}$ la tangente $\mathcal{T}$ et la courbe $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Calcul d'aire}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par 

\[g(x) = \dfrac{x - 3}{5} \text{e}^x.\]

\begin{enumerate} 
\item Calculer $g'(x)$.

\item En déduire une primitive de $f$ sur $\R$.

\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item	Hachurer sur le graphique le domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$,l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 2$.
		\item Calculer l'aire de la partie hachurée.
Donner la valeur exacte en cm$^2$, puis la valeur arrondie à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%  fin Métropole Physique de laboratoire juin 2005
\end{document} 