\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! 
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[mathscr]{eucal}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{24cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\makeatletter%graduations décimales
\def\pshlabel#1{\expandafter\LabelVirgule#1..\@nil}
\def\psvlabel#1{\expandafter\LabelVirgule#1..\@nil}
\def\LabelVirgule#1.#2.#3\@nil{%
\ifx#1\@emptyO\else#1\fi
\ifx#2\@empty\else,#2\fi}
\makeatother
\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat L  année 2001}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Baccalauréat L  2001~\decofourright \\\vspace{1cm} L'intégrale de juin  à septembre 2001}}
\end{center}

\vspace{1cm}
 
{\Large   
 
\hyperlink{Antilles}{Antilles-Guyane juin 2001} \dotfill 3 \medskip

 \hyperlink{Metropole}{Métropole juin 2001}  \dotfill   5 \medskip

 \hyperlink{Metropolesep}{Métropole septembre 2001}  \dotfill   8 \medskip
}
\newpage
 ~
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Antilles-Guyane juin 2001
\hypertarget{Antilles}{}

\lhead{\small Antilles juin 2001}
\lfoot{\small{Baccalauréat L facultatif }}
\rfoot{\small{ juin 2001}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat L  Antilles juin 2001 \decofourright}}
\end{center}
    
\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

Au $1\up{er}$ janvier 2000, l'abonnement à internet pour un forfait de $20$~heures était proposé par une société au tarif de $90$~F par mois.

Le tarif est révisé au $1\up{er}$ janvier de chaque année.

On note $P_n$ le prix mensuel (non arrondi) de l'abonnement en francs, au $1\up{er}$ janvier de l'année $(2000 + n)$.

$P_0$ est donc égal à 90.

Une étude de marché envisage $3$ scénarii d'évolution de ce prix.

On donnera tous les résultats demandés arrondis au centime.

\textbf{Question 1 : Premier scénario}

Le prix mensuel de l'abonnement subit une diminution de $10\:\%$ chaque année.

\textbf{a.} Calculer $P_1$ et $P_2$.

\textbf{b.} Exprimer le terme général $P_n$	en fonction de $n$ et calculer $P_{10}$.

\textbf{Question 2 : Deuxième scénario}

On prend comme hypothèse que la suite $\left(P_n\right)$ est arithmétique.

Calculer alors $P_{10}$ sachant que $P_1$ est égal à $85$.

\textbf{Question 3 : Troisième scénario}

On suppose que la suite $\left(P_n\right)$ vérifie pour tout entier naturel $n$ la relation suivante

\[P_{n+1} = 0,8 P_n + 6.\]

\textbf{a.} Calculer $P_1$ et $P_2$.

\textbf{b.} La suite $\left(U_n\right)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par $U_n = P_n - 30$.

Montrer que $\left(U_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,8$.

\textbf{c.} En déduire $P_n$ en fonction de $n$ et calculer $P_{10}$.\\
\textbf{Question 4 :}

Quel scénario conduit à l'abonnement mensuel le moins cher en 2010 ?

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Une urne contient $4$ boules en or et $3$ boules en acier indiscernables au toucher.

Un joueur tire au hasard simultanément $3$ boules dans cette urne.

Les probabilités demandées seront données sous forme de fractions irréductibles.

\begin{enumerate} 
\item Soit O l'évènement : \og le candidat tire $3$ boules en or \fg{}.

Déterminer la probabilité $p$(O) de cet évènement.

\item Dans cette question, chaque boule en or rapporte $100$~F, chaque boule en  acier rapporte $10$~F.

Soit $X$ la variable aléatoire qui désigne le gain d'un tirage.

	\begin{enumerate} 
		\item Quelles sont les valeurs possibles de $X$ ?
		\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
		\item Calculer l'espérance mathématique E($X$). Donner l'espérance de  gain arrondie au franc.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Dans cette question :}

$\bullet~$ Si le joueur tire $3$ boules en or, il gagne \nombre{1000}~F puis il doit répondre à  une question.

S'il donne la bonne réponse, il double son gain sinon il repart avec \nombre{1000}~F.

On estime que le candidat a $7$ chances sur $10$ de donner la bonne réponse.

$\bullet~$ Si le joueur ne tire pas $3$ boules en or, il ne gagne rien.

	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la probabilité pour que le candidat gagne \nombre{2000}~F.
		\item La probabilité pour que le joueur gagne \nombre{1000}~F étant égale à 
$\dfrac{6}{175}$ (on ne demande pas de le vérifier),  calculer l'espérance de  gain dans cette question. On arrondira le résultat au franc.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

Les deux tracés demandés en partie I question \textbf{6.} et en partie II 
question \textbf{4.}  seront effectués sur des figures séparées. On prendra un repère orthonormal, l'unité graphique étant $1$~cm.
 
\textbf{Partie I}

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \dfrac{8x}{x^2 + 4}.\]

On désigne par ($\mathcal{C}$) la courbe représentative de $f$.

\begin{enumerate} 
\item Montrer que l'origine du repère est centre de symétrie de la courbe ($\mathcal{C}$).
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
		\item En déduire que la courbe ($\mathcal{C}$) admet une asymptote au voisinage de  $+ \infty$.
		\item Étudier la position de la courbe ($\mathcal{C}$) par rapport à cette asymptote pour les points d'abscisses positives.
 	\end{enumerate} 

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que pour tout réel $x$ on a $f'(x) =  \dfrac{8(4 - x^2)}{(x^2 + 4)^2}$. 
		\item Étudier le sens de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle 
$[0~;~+ \infty[$.
\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Donner une équation de la tangente (T) à la courbe ($\mathcal{C}$) au point d'abscisse $0$. 
		\item Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif on a : $f(x) < 2x$.
		\item En déduire la position de la courbe ($\mathcal{C}$) par rapport à la droite  (T) pour les points d'abscisse positives.
	\end{enumerate}
\item Déterminer les abscisses des points d'intersection de la courbe ($\mathcal{C}$) et de la droite d'équation $y = 1$ puis en donner les valeurs arrondies au centième.
\item Tracer la droite (T) et la courbe ($\mathcal{C}$).
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{Partie II}

\medskip

Soit $F$ la fonction définie sur $\R$ par :

\[F(x) = 4\ln \left(\dfrac{x^2 + 4}{4}\right).\]

\begin{enumerate} \item Calculer la limite de $F$ en $- \infty$ et $+ 
\infty$.

\item Montrer que $F$ est la primitive de $f$ qui 
s'annule en $0$.

En déduire les variations de la fonction $F$ sur $[0~;~+ \infty[$.

\item Montrer que l'équation $F(x) = 1$ admet une 
solution unique $\alpha$ dont on donnera une approximation au
centième près.

\item Construire la représentation graphique de la 
fonction $F$ sur $\R$ et placer le réel $\alpha$.

\item Soit $\mathcal{A}$ l'aire de la surface limitée 
par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites 
d'équation $x = 0$ et $x = 2$.

Calculer $\mathcal{A}$, puis en donner une valeur approchée au 
centième près.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%   fin Antilles-Guyane juin 2001
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%   Métropole juin 2001
\hypertarget{Metropole}{}

\lhead{\small Métropole}
\lfoot{\small{Bac L facultatif }}
\rfoot{\small{juin 2001}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat L France juin 2001\decofourright}} \end{center}
    
\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

Lors d'une fête foraine, une loterie est organisée toutes les heures. \`A
 chaque fois, trente billets sont vendus parmi lesquels dix sont gagnants (on admet que tous les billets ont la même probabilité d'être achetés).

On donnera pour chaque résultat la valeur exacte puis la valeur approchée arrondie au millième.

\begin{enumerate} 
\item Luc achète un billet. Quelle est la probabilité que ce billet soit gagnant ?
\item Marc participe à trois loteries consécutives pour lesquelles
 il prend à chaque fois un billet (on admet que les loteries sont indépendantes).
 
 Quelle est la probabilité que Marc ait au moins un billet gagnant ?
\item Pierre participe à une loterie, il achète simultanément trois
 billets.
	\begin{enumerate} 
		\item Quelle est la probabilité que Pierre n'ait pas de billet gagnant ?
		\item Quelle est la probabilité que Pierre ait au moins un billet gagnant ?
	\end{enumerate}
\item Qui de Pierre ou de Marc a le plus de chances d'avoir 
au moins un billet gagnant ?
\item La publicité annonce \og \emph{Un billet sur trois est 
gagnant ! Achetez trois billets !} \fg{} Ce texte suggère que, en achetant trois billets, on est sûr de gagner.

Que pensez-vous de l'énoncé de la publicité ?
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

On considère la suite	définie pour tout entier naturel $n$ par 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_0			& =	&-\dfrac{3}{ 2}\\
u_{n+1}	&=	&\dfrac{2}{3}u_n - 1\\
\end{array}\right.\]

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
		\item La suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ est-elle arithmétique ?
 géométrique ?
 	\end{enumerate} 
\item On pose $v_n = u_n + 3$. Démontrer que la suite 
$\left(v_n\right)_{n \in \N}$ est une suite géométrique ; déterminer sa raison et son premier terme.
\item Donner l'expression de $v_n$ puis de $u_n$ en fonction 
de $n$.
\item En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$.
\item On pose $s_n =  v_0 + v_1 + \cdots + v_{n-1}$.

Exprimer $s_n$ en fonction de $n$ et en déduire $\displaystyle\lim_{n 
\to + \infty} s_n$.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip
	
\emph{On prendra soin de faire figurer sur la copie les calculs intermédiaires conduisant aux résultats présentés.}

Le plan étant rapporté à un repère orthonormal \Oij, la courbe 
$\mathcal{C}$ tracée sur la feuille annexe représente la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \text{e}^{-2x} -4\text{e}^{-x} - 2x + 4.\]

\begin{enumerate} 
\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$ (on pourra  factoriser $\text{e}^{-x}$ et utiliser la propriété $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^{x} = 0$).

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
		\item Soit la droite $\Delta$ d'équation $y = -2x + 4$. Tracer la droite 
$\Delta$ sur la feuille annexe, qui sera remise avec la copie, et montrer que
 $\Delta$ est une asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.
		\item Calculer les coordonnées de A, point d'intersection de $\mathcal{C}$ et de $\Delta$.
		
Déterminer la position relative de $\mathcal{C}$ et de $\Delta$.
 	\end{enumerate}
\item Montrer que $f'(x) = -2 \left(\text{e}^{-x} -1\right)^2$. En déduire le sens de variation de $f$ sur $\R$.
\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet sur l'intervalle [1~;~2]
 une unique solution $\alpha$.

Soit K le point de la courbe qui a pour abscisse $\alpha$ ; placer ce point sur la figure.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer une équation de la tangente D au point B d'abscisse $0$.
		\item Déterminer les coordonnées du point E de $\mathcal{C}$ o\`u la tangente D$'$ à la courbe est parallèle à la droite $\Delta$.
		\item Placer les points B et E sur la feuille annexe et construire les 
droites D et D$'$.
	\end{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie pour tout réel $x$ par

\[g(x) = -2x + 4 - f(x).\]

Calculer l'intégrale $\displaystyle\int_{- \ln 4}^0 g(x)\: \text{d}x$. Donner une interprétation graphique de ce résultat en illustrant la réponse à l'aide de la feuille annexe.
 \end{enumerate}
 
\newpage
 
\begin{center} {\large \textbf{Feuille annexe à rendre avec la 
 feuille}}

\vspace{1,5cm} Problème : courbe représentative de la fonction $f$.

\vspace{1cm}

\begin{pspicture}(-3,-10)(9,8)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10,gridcolor=orange](0,0)(-3,-10)(9,8)
\psline[linewidth=2pt]{->}(-3,0)(9,0)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,-10)(0,8)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(0,1)
\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](0.4,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.4){$\vect{\jmath}$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.445}{7}{2.71828 x 2 mul neg exp 2.71828 x neg exp 4 mul sub 
x 2 mul sub 4 add}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%   fin Métropole juin 2001
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Métropole septembre 2001
\hypertarget{Metropolesep}{}

\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2001}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat L Métropole septembre 2001~\decofourright}}}\end{center}

\begin{center}Durée de l'épreuve : 3 heures \hfill Coefficient : 4  \end{center}
    
Une feuille de papier millimétré, qui sera utilisée dans le problème, est remise au candidat avec le sujet.

L'usage des calculatrices est autorisé.

Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.

\vspace{0,25cm}   

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Résoudre le système	\renewcommand\arraystretch{1.8}$\left\{\begin{array}{l c l}
u +\dfrac{1}{2}v&=&0\\
u - \dfrac{1}{4}v&=&\dfrac{3}{2}\\
\end{array}\right. \renewcommand\arraystretch{1}\qquad $ 	($u$  et $v$ réels).
\item Soit $f$ une fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = a\text{e}^x + \dfrac{b}{\text{e}^x + 1} \quad (a \quad \text{et} 
\quad b \quad \text{réels}).\]

Trouver les valeurs des réels $a$ et $b$, sachant que la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère \Oij~ passe par O et que la tangente à la
 courbe en ce point est parallèle à la droite $\Delta$
d'équation $y = \dfrac{3}{2}x - 2$.

\item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[g(x) = \text{e}^x - \dfrac{2}{\text{e}^x + 1}.\]

	\begin{enumerate} 
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation $g(x) = 0$.
		\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation $g(x) \geqslant 1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\emph{Dans cet exercice, les questions} 1, 2 et 3 \emph{sont indépendantes}.

Une urne A contient trois pièces de monnaie en cuivre et deux pièces en 
argent. Une urne B contient quatre pièces de monnaie en cuivre et une pièce
 en argent. On considère que dans chaque urne, toutes les pièces étant 
indiscernables au toucher, chaque pièce a la même probabilité d'être tirée.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item On enlève une pièce de l'urne A et une pièce de B. Quelle est
 la probabilité pour que, à l'issue de ces deux opérations, les deux urnes
 aient la même composition ?
\item Les urnes ont la composition donnée au début de l'exercice.
 
On tire simultanément trois pièces de l'urne A ; ces pièces sont ensuite 
placées dans B. Soit $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de pièces en cuivre contenues dans B à l'issue de ces opérations.
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que la valeur minimale prise par $X$ est 5. 
		\item Déterminer la loi de probabilité de $X$. 
		\item Calculer l'espérance mathématique de $X$.
	\end{enumerate}
\item Les urnes ont à nouveau la composition donnée au début de 
l'exercice. On tire une pièce de A, que l'on place dans B, puis on enlève
 une pièce de B. Quelle est la probabilité pour que l'urne B ne contienne 
que des pièces en cuivre à l'issue de ces opérations ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Problème} \hfill 11 points}

\medskip

\emph{On prendra soin de faire figurer sur la copie les calculs intermédiaires conduisant aux résultats présentés.}

On considère la fonction $f$ définie sur $]1~;~ + \infty[$ par 

\[f(x) = 2x + \ln (x - 1) - \ln x.\]

Le plan étant rapporté à un repère orthogonal \Oij, on appelle 
$\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{ Partie A : étude de la fonction\boldmath $f$ \unboldmath
et de la courbe \boldmath $\mathcal{C}$ \unboldmath}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Montrer que $f'(x) = 2 + \dfrac{1}{x(x-1)}$	et en déduire le sens de
 variations de $f$ sur $]1~;~+ \infty[$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la limite de $f$ en 1.
		\item Vérifier que $f(x) = 2x + \ln \left(1 - \dfrac{1}{x}\right)$ et en déduire la limite de $f$ en $+ \infty$.
	\end{enumerate} 
\item Dresser le tableau de variations de $f$.
\item Montrer que la droite d'équation $y = 2x$ est asymptote à la courbe 
$\mathcal{C}$ en $+ \infty$.

Étudier la position de $\mathcal{C}$ par rapport à $\Delta$.
\item Montrer que, sur l'intervalle [2 ; 3], l'équation $f(x) =  4$ admet une unique solution $\alpha$. Donner une valeur approchée de $\alpha$ au centième près.
\item Construire la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\Delta$ sur une feuille de papier millimétré (on prendra comme unités : 2 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées).
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que la fonction $F$ définie par $F(x) = x^2 + (x - 1) \ln (x - 1) - x \ln x$ est une primitive de $f$ sur $]1~ ;~ + \infty[$.
		\item En déduire l'aire, exprimée en unités d'aires, du domaine du plan compris entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équation $x = 2$ et $x =  3$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ Partie B : étude d'une suite}

\medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)_{n \geqslant 2}$ de terme général 
$u_n =f(n) - 2n$ ($n$ entier naturel supérieur ou égal à 2).

\begin{enumerate} 
\item Étudier le signe de $u_n$ en fonction de $n$.
\item Pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 2, on pose $S_n = u_2 + u_3 + 
\ldots + u_n.$
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que $S_n = \ln \dfrac{1}{n}$.
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(S_n\right)_{n\geqslant 2}$.%
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%   fin Métropole septembre 2001
\end{document} 