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%Tapuscrit : Denis Vergès Denis.Verges@wanadoo.fr
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\makeatletter%graduations décimales
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small   L'année 2003}%tapez un titre
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\gray \decofourleft~Baccalauréat L  2003 \decofourright \\\vspace{1cm} L'intégrale de septembre 2002 à juin 2003}}
 \end{center}

\vspace{1cm}
 
 {\Large   Antilles--Guyane septembre 2002 \dotfill  3\medskip
 
 France septembre 2002  \dotfill  5\medskip
 
Amérique du Sud novembre 2002  \dotfill  8\medskip
 
Amérique du Nord juin 2003 \dotfill 11\medskip
 
 Antilles juin 2003 \dotfill 14 \medskip

Centres étrangers juin 2003 \dotfill  17 \medskip

Clermont juin 2003 \dotfill   21 \medskip

France  juin 2003 \dotfill   24 \medskip

Japon juin 2003 \dotfill  27 \medskip

La Réunion juin 2003 \dotfill  31 \medskip

Liban juin 2003 \dotfill  34 \medskip}

 \newpage
 ~
 \newpage
 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Antilles-Guyane septembre 2003
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\lhead{\small Bac L épreuve facultative}%tapez un titre
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2002}}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures}

{\Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalauréat L Antilles septembre 2002 \decofourright}}

 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 obligatoire} \hfill (7 points)}\\
On considère un segment [AB] de longueur 10 centimètres et un point $M$ de ce segment, différent de A et B. Les points $N$ et $P$ sont tels que 
 A$MNP$ est un carré.

L'objectif de l'exercice est de déterminer le point $M$ du segment [AB]
 pour lequel la distance B$N$ est minimale. Les distances sont exprimées
 en centimètres.

\textbf{I.} On pose A$M = x$.

\begin{enumerate}
 \item Faire une figure.

\item Déterminer l'intervalle des valeurs possibles pour $x$.

\item Déterminer en fonction de $x$ la distance B$M$.

\item Déterminer en fonction de $x$ la distance B$N$.

(On rappelle le théorème de Pythagore : dans un triangle ABC rectangle 
en A on a BC$^2$ = AB$^2$ + AC$^2$)

\end{enumerate}

\textbf{II.} On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0 ; 10]
par 
\[f(x) = \sqrt{2x^2 - 20x+ 100}.\]

La fonction dérivée $f'$ de $f$ est définie sur l'intervalle [0 ; 10] par 
\[f'(x) = \dfrac{2x - 10}{ \sqrt{2x^2 - 20x +100}}.\]

\begin{enumerate}
 \item 
 	\begin{enumerate}
		 \item étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~10].

		\item Montrer que la fonction $f$ admet un minimum sur l'intervalle [0 ; 10] que l'on précisera.
 
	\end{enumerate} 

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Tracer la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal d'unité un centimètre.

		\item Résoudre graphiquement l'équation $f(x) = 8$. On fera apparaître les traits de construction utiles et on donnera des valeurs approchées des solutions lues.
 
	\end{enumerate}

\end{enumerate} 

\textbf{III.} En utilisant les résultats précédents, déterminer le point $M$ du segment [AB] pour lequel la distance B$N$ est minimale.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 obligatoire} \hfill (6 points)}

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 8$ et pour 
tout entier naturel $n,$

$ u_{n+1} = \dfrac{1}{2}	u_n - 5$.

\begin{enumerate}
 \item
 	 \begin{enumerate}
	 	 \item Calculer les termes $u_1$ et $u_2$.

		\item La suite $\left(u_n\right)$ est-elle arithmétique? géométrique ? On justifiera les réponses.
 
	 \end{enumerate}

\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier 
naturel $n$ par 

\[v_n = u_n +10.\]

	\begin{enumerate}
		 \item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de  raison $\dfrac{1}{2}$ et calculer le premier terme $v_0$.

		\item Exprimer le terme général $v_n$ en fonction de $n$.
	 \end{enumerate}

\item Déterminer la limite de la suite $\left(v_n\right)$ puis celle de la suite $\left(u_n\right)$.
 
 \end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{AU CHOIX exercice 3 ou exercice 4}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  7 points}

Une urne contient trois boules vertes, une boule bleue et cinq boules
 rouges.

On tire au hasard simultanément trois boules de cette urne.

\begin{enumerate}
 \item Déterminer le nombre de choix possibles pour ce tirage.

 \item On considère les évènements A, B, C et D suivants :

 A : \og Tirer trois boules rouges \fg{}.

 B : \og Tirer trois boules de la même couleur \fg{}.

 C : \og Ne tirer aucune boule verte \fg{}.

 D : \og Tirer au moins une boule verte \fg{}.

	\begin{enumerate}
		 \item Montrer que la probabilité $p$(A) de l'évènement A est égale à $\dfrac{5}{42}$.

		 \item Déterminer la probabilité de chacun des événements B, C et D. On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles.
 
	\end{enumerate} 

 \item Un tirage est gagnant si l'on tire trois boules rouges.

  On effectue quatre tirages successifs en remettant à chaque fois les trois boules tirées dans l'urne. Tous les tirages sont indépendants.

 Déterminer la probabilité d'obtenir exactement trois tirages gagnants.
 On donnera le résultat arrondi à $10^{-3}$.
 
 \end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}

On considère les nombres A$ = \nombre{8387592115}$ et B $= \nombre{9276312516}$.
 
\begin{enumerate}
 \item
 	 \begin{enumerate}
	 	 \item Montrer que $1\:000$ est divisible par 8.

		\item Montrer que A est congru à 3 modulo 8.

		\item Donner l'entier naturel $b$ strictement inférieur à 8 tel que B soit congru à $b$ modulo 8.
 
	 \end{enumerate} 

\item Déterminer les entiers naturels strictement inférieurs
 à 8 qui sont congrus respectivement à A+B et à AB.

\item
	 \begin{enumerate}
	 	 \item Montrer que B$^2$ est divisible par 8.

		\item Montrer que A$^2$ n'est pas divisible par 8.

		\item Montrer que A$^{100}$ n'est pas divisible par 8.

	\end{enumerate}
 
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newpage

%%%%%%%%  France septembre 2002

\lhead{\small Baccalauréat  L facultatif}%tapez un titre
\lfoot{\small{France}}
\rfoot{\small{juin 2002}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large{\textbf{\gray \decofourleft~Baccalauréat L France septembre 
2002 \decofourright}}} \end{center}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}Durée de l'épreuve : 3 heures  \end{center}
    
 \vspace{0,5cm}   

\textbf{\textsc{Exercice 1 obligatoire}\hfill 8 points}

\vspace{0,5cm}

\parbox[c]{0.55\textwidth}{Une entreprise souhaite fabriquer,
 pour de jeunes enfants, des toboggans dont le profil a l'allure de la courbe
 ci-contre.} \hfill
\parbox[c]{0.35\textwidth}{\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(3.5,2.5)
\psline(-0.5,0)(3.5,0) \psline(0,-0.5)(0,2.5)
\psplot{0}{3}{4  27 div x mul x dup mul mul 2 3 div x dup mul mul sub 2 add}  
\uput[l](0,2){2} \uput[l](0,1){1} \uput[dl](0,0){0} 
\uput[d](1,0){1} \uput[d](2,0){2} \uput[d](3,0){3}
\psline(0,1)(0.15,1) \psline(1,0)(1,0.15)
\psline(2,0)(2,0.15) \psline(3,0)(3,0.15) 
\end{pspicture}}

\vspace{0,5cm}

Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij. On prendra $3$~cm pour
 unité graphique.

L'objet de l'exercice est de modéliser ce profil à l'aide de la courbe représen\-ta\-tive $\mathcal{C}$ d'une fonction définie sur l'intervalle [0 ; 3] vérifiant les conditions suivantes : 

(1) La courbe $\mathcal{C}$ passe par les points A(0 ; 2) et B(3 ; 0) ;

(2) La courbe $\mathcal{C}$ admet en chacun des points A et B une tangente parallèle à l'axe des abscisses.
 
\vspace{0,5cm} 

\textbf{Partie I}

\begin{enumerate}
 \item
 	 \begin{enumerate}
	 	 \item Soit $f$ la fonction définie sur 
l'intervalle $\R$ par :

\[ f(x) = - \dfrac{2}{3}x^2 + 2.\]

étudier les variations de la fonction $f$ (on ne demande pas l'étude des limites).

		\item Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $\R$ par :

\[g(x) = \dfrac{1}{3} x^2 - 2x + 3.\]

étudier les variations de la fonction $g$ (on ne demande pas l'étude
 des limites).
 
	\end{enumerate}

\item On note respectivement $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$. 

	\begin{enumerate}
 		\item Démontrer que $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ passent par le point  K $\left(1~;~\dfrac{4}{3}\right)$ et ont la même tangente T en ce point.

		\item Tracer sur un même graphique, la droite T, la partie de $\mathcal{C}_{f}$
 correspondant aux points d'abscisses comprises entre 0 et 1, et la partie de $\mathcal{C}_{g}$ correspondant aux points d'abscisses comprises entre 1 et 3.

\\emph{La courbe obtenue en réunissant les deux parties de courbes est une réponse  au problème posé.}
 
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Partie II}

Le bureau d'études a établi que l'on pouvait également modéliser le profil du toboggan à l'aide d'une partie de la courbe représentative $\mathcal{C}_{h}$ de la fonction $h$, définie sur $\R$ par :

\[h(x) = \dfrac{4}{27}x^3 -  \dfrac{2}{3}x^2 + 2.\]

\begin{enumerate}
 \item Démontrer que la fonction $h$ vérifie les conditions (1) et (2). 

\item Déterminer les coordonnées du point de $\mathcal{C}_{h}$
 d'abscisse 1 et le c?fficient directeur de la tangente en ce point.
 
\end{enumerate} 
 
\vspace{0,5cm}   

\textbf{\textsc{Exercice 2 obligatoire}\hfill  7 points}

Alice et Carole comparent leurs salaires. Elles débutent chacune avec un salaire de \nombre{1500}~euros.

Chaque mois, à partir du deuxième mois :

$\bullet$ Le salaire d'Alice augmente de $8$~euros.

$\bullet$ Le salaire de Carole augmente de $0,2$\:\% et on y ajoute $4$~euros.

Pour tout entier naturel $n$, on désigne par $a_{n}$, le salaire mensuel en euros que perçoit Alice à la fin du $(n+ 1)$-ième mois, et par $c_{n}$, celui perçu par Carole. Ainsi :

$a_{0} = c_{0} = \nombre{1500}~ ;~ a_{1}$, et $c_{1}$ représentent les salaires perçus à la fin du deuxième mois.

\begin{enumerate}
 \item Calculer $a_{1}$ et $c_{1},~ a_{2}$ et $c_{2}$.

\item
	  \begin{enumerate}
	  	 \item Pour tout entier naturel $n$, 
exprimer $a_{n+1}$ en fonction de $a_{n}$. Quelle est la nature de la 
suite $(a_{n})$ ?

		\item En déduire, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $a_{n}$, en fonction de $n$.

	\end{enumerate}

\item
 	\begin{enumerate} 
		\item Justifier que, pour tout entier naturel 
$n$ :

\[c_{n+1} = 1,002c_{n} + 4.\]

		\item On considère la suite $(v_{n})$ telle que, pour tout entier naturel $n,~ v_{n} = c_{n} + \nombre{2000}$.

Démontrer que la suite $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 1,002. Calculer $v_{0}$ et, pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_{n}$ en fonction  de $n$. En déduire que :

\[c_{n} =  \nombre{3500} \times 1,002^n - \nombre{2000}.\]

	\end{enumerate}

\item Calculer, puis comparer les salaires annuels qu'Alice
et Carole ont perçus au cours de leur première année de travail.

\end{enumerate}

\textbf{Rappel}

Si $q$ est un réel différent de 1 et $n$ un entier naturel supérieur à 2,

\[1 + q  + q^2 + \cdots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}.\]


\[\text{et} \qquad 1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n + 1)}{2}.\]
		

\vspace{1cm}

\begin{center}\textbf{Le candidat traitera au choix l'exercice 3 ou l'exercice 
4} \end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 3 au choix} \hfill 5 points}

Une agence de voyages de Paris organise des circuits touristiques comprenant les sites suivants : le musée d'Orsay, le musée du Louvre, le musée Grévin, l'Arc de Triomphe, la tour Eiffel, l'Assemblée nationale.

\begin{enumerate}
 \item L'agence propose à ses clients un forfait pour la visite de quatre sites parmi les six cités.

	\begin{enumerate}
		 \item Quel est le nombre de choix possibles si on ne tient pas compte de l'ordre des visites ?

		\item Combien de ces choix comprennent à la fois la visite de la 
tour Eiffel et celle du musée d'Orsay ?

	\end{enumerate}

\item Une étude statistique a permis d'observer que 
55\:\% des clients de l'agence sont des femmes et 45\:\% des hommes. De plus, parmi ces clients, $30$\:\% des hommes et $20$\:\% des femmes visitent l'Assemblée nationale.

On choisit au hasard un client. On note F l'évènement \og le client est une femme \fg{}, H l'évènement \og le client est un homme \fg{}, A l'évènement \og le client visite l'Assemblée nationale \fg{} et $\overline{\text{A}}$ l'évènement contraire  de A : \og le client ne visite pas l'Assemblée nationale \fg{}.

\begin{enumerate}
 \item D'après les informations de l'énoncé,
préciser les probabilités $p$(F), $p$(H), $p_{\text{H}}$(A), 
$p_{\text{F}}$(A).\\
\item Reproduire et compléter l'arbre de probabilité ci-contre.

En déduire la valeur de $p$(A).

\begin{center}\pstree[linecolor=red,treemode=R]{\TR{}}
{
  \pstree{\TR{F}}
  {
  \TR{A}
  \TR{$\overline{\text{A}}$} 
  }
  \pstree{\TR{H}}
  {
  \TR{A} 
  \TR{$\overline{\text{A}}$}
  }
}
\end{center}

		\item Quelle est la probabilité que le client soit un homme sachant qu'il ne visite pas l'Assemblée nationale ?

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4 au choix} \hfill 5 points}

Le $1\up{er}$ août 2002 sera un jeudi. Le but du problème est de déterminer les années comprises entre 2003 et 2029 pour lesquelles le $1^{\text{er}}$ août tombera aussi un jeudi.

Pour ces années, une année bissextile est une année dont le millésime est divisible par $4$. On rappelle qu'une année non bissextile compte $365$~jours et une année bissextile $366$~jours.

\begin{enumerate}
 \item Donner la liste des années bissextiles comprises entre
2003 et 2029.

\item
	 \begin{enumerate}
	 	 \item Démontrer que l'on a : $365 \equiv 1$ (modulo 7) et $366 \equiv 2$ (modulo 7).

		\item Prouver que le $1\textsuperscript{er}$ août 2003 sera un vendredi et le  $1^{\text{er}}$ août 2004 un dimanche.

		\item Préciser le jour de la semaine correspondant au $1\up{er}$ août de chacune des années de 2005 à 2013.

	\end{enumerate}

\item Donner la liste des années de 2003 à 2029 pour lesquelles
le $1\up{er}$ août sera un jeudi.

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newpage

%%%%%%%% Amérique du Sud novembre 2002
\lhead{\small Bac L facultatif}%tapez un titre
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small{novembre 2002}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 

\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures}
    
\vspace{0,5cm}
    
{\Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalauréat  L Amérique du Sud novembre 2002 \decofourright}} 

\vspace{0,5cm}

LE CANDIDAT TRAITERA OBLIGATOIREMENT L'EXERCICE 1 ET L'EXERCICE 2
	ET AU CHOIX SOIT L'EXERCICE 3 SOIT L'EXERCICE 4.
\vspace{0,5cm}

L'usage de la calculatrice est autorisé pour cette épreuve.
L'attention des candidats est attirée sur le fait que la qualité de la rédaction,
 la clarté et la précision des raisonnements entrent pour une part importante dans
 l'appréciation des copies.\end{center}
 
\vspace{1cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 1 obligatoire} \hfill 6 points}

à \og La ferme de la poule pondeuse \fg{}, chaque jour on produit des {\oe}ufs de deux tailles  différentes :

$60\:\%$ des {\oe}ufs sont moyens et $40\:\%$ des {\oe}ufs sont gros.

Les {\oe}ufs sont classés en deux catégories : ceux de qualité ordinaire et ceux de
 qualité supérieure.

On a remarqué que :

$50\:\%$ des {\oe}ufs moyens sont de qualité ordinaire,

$20\:\%$ des gros {\oe}ufs sont de qualité ordinaire.

On choisit un {\oe}uf au hasard. Le choix au hasard d'un {\oe}uf dans la production du jour signifie qu'on se place dans un modèle avec équiprobabilité. On définit les évènements
 suivants :

M : \og l'{\oe}uf est moyen \fg{},

G : \og l'{\oe}uf est gros \fg{},

O : \og l'{\oe}uf est de qualité ordinaire \fg{},

S : \og l'{\oe}uf est de qualité supérieure \fg{}.

\begin{enumerate}
 \item Donner les probabilités suivantes :

$P$(G), probabilité que l'{\oe}uf soit gros,

P$_{\text{G}}$(S), probabilité que l'{\oe}uf soit de qualité supérieure sachant qu'il
 est gros.

\item Démontrer que la probabilité de prendre un {\oe}uf gros et de qualité supérieure est
 égale à 0,32.

\item Calculer la probabilité $P(\text{M} \cap  \text{S})$ que l'{\oe}uf soit moyen et de qualité supérieure puis la probabilité $P$(S) de l'évènement S.
 
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 obligatoire} \hfill 8 points}

On veut résoudre, dans l'ensemble des nombres réels $\R$ l'équation : 

\[x^3 - 2x^2 - 4x + 5 = 0.\]

\vspace{0,5cm}

\textbf{A -- Méthode graphique :}

\vspace{0,5cm}

\begin{enumerate}
 \item
 	 \begin{enumerate}
	 	 \item Vérifier que le nombre 2 n'est pas solution de l'équation.

		\item Montrer que, pour $x	? 2$, l'équation $x^2 =	\dfrac{4x - 5}{x-2}$ est équivalente à l'équation $x^3 - 2x^2 - 4x + 5 = 0$.
 
	\end{enumerate} 

\item Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ différent de 2 par $f(x) = \dfrac{4x - 5}{x-2}$.
 Sa courbe représentative $\mathcal{H}$ dans un repère orthonormé est donnée en annexe à rendre avec la copie.

	\begin{enumerate}
		 \item Par lecture graphique, indiquer le sens de variations de $f$ sur chacun des intervalles $] - \infty~;~ 2 [$ et $] 2~;~ +\infty[$.

		\item Déterminer la dérivée $f'$ de $f$ puis justifier le résultat lu dans la question précédente.
 
	\end{enumerate}

	\item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = x^2$. Tracer sa courbe représentative $\mathcal{P}$ dans le repère utilisé pour utilisé pour $\mathcal{H}$.

	\item Par lecture graphique, déterminer le nombre de solutions dans $\R$ de l'équation  $x^3 - 2x^2 - 4x + 5 = 0$. Donner la valeur exacte ou une valeur approchée  à $10^{-1}$ près de chacune de ces solutions.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{B - Méthode algébrique}

\vspace{0,5cm}

\begin{enumerate}
 \item Vérifier que, pour tout réel $x~:~ (x - 1) (x^2 - x - 5) = x^3 - 2x^2 - 4x + 5$.

\item Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x) = x^2 - x - 5$.

	\begin{enumerate}
		 \item étudier le sens de variation de $h$.

		\item Montrer que $h\left(\dfrac{1}{2}\right)$ est la valeur minimum prise 
par $h$.

		\item On pose $x = \dfrac{1}{2} + u$. Exprimer $h\left(\dfrac{1}{2} + u\right)$ en  fonction de $u$~; factoriser l'expression obtenue.

		\item En déduire les valeurs du réel $x$ pour lesquelles $h(x) = 0$.

	\end{enumerate}

\item Donner l'ensemble des solutions dans $\R$ de l'équation $x^3 - 2x^2 - 4x +  5 =  0.$

\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\begin{center} \textbf{LE CANDIDAT TRAITERA L'UN DES DEUX EXERCICES 
SUIVANTS} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3  au choix} \hfill 6 points}

On divise un triangle équilatéral en quatre triangles équilatéraux obtenus en traçant les segments joignant les milieux des côtés et on noircit le triangle central.
 Chaque triangle non noirci est alors divisé en quatre triangles équilatéraux selon  le même procédé et on noircit le triangle central comme précédemment.

\begin{center}\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(12,2.5)
\pspolygon(0,0)(3,0)(1.5,2.598)
\pspolygon(5,0)(8,0)(6.5,2.598)
\pspolygon*(6.5,0)(7.25,1.299)(5.75,1.299)
\pspolygon(10,0)(13,0)(11.5,2.598)
\pspolygon*(11.5,0)(12.25,1.299)(10.75,1.299)
\pspolygon*(12.25,0)(12.625,0.6495)(11.875,0.6495)
\pspolygon*(11.5,1.299)(11.875,1.9485)(11.125,1.9425)
\pspolygon*(10.75,0)(11.125,0.6495)(10.375,0.6495)
\uput[d](6.5,-0.2){$1^{\text{ère}}$ étape}'
\uput[d](11.5,-0.2){$2^{\text{e}}$ étape}
\end{pspicture}
\end{center}
 	
\vspace{0,5cm}

\begin{enumerate}
 \item
 	 \begin{enumerate}
	 	 \item Réaliser la $3^{\text{e}}$ étape en partant d'un triangle équilatéral de côté 16 cm. Combien de triangles noircis ont-ils été rajoutés ?

		\item Combien de triangles noircis seront-ils rajoutés à la quatrième étape ?

	\end{enumerate}

\item On note $T_n$ le nombre de triangles noircis rajoutés à la $n$-ième étape où $n$
 est un entier supérieur ou égal à 1.

La suite $\left(T_n\right)$, ainsi définie, est une suite géométrique de raison 3.

	\begin{enumerate}
		 \item Donner la valeur de $T_1,~ T_2,~ T_3$.

		\item Exprimer $T_n$ en fonction de $n$. Vérifier les résultats trouvés à la  question \textbf{1.}

	\end{enumerate}

\item Calculer le nombre total de triangles noircis après la dixième étape.

\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4 au choix} \hfill 6 points}

Une urne contient $11$ jetons (indiscernables au toucher) numérotés de 1 à $11$.

On tire simultanément trois jetons de l'urne.

\begin{enumerate}
 \item Démontrer que le nombre de tirages possibles est égal à $165$.

\item 
	\begin{enumerate}
		 \item Déterminer le nombre de tirages ne comportant que des jetons ayant un numéro impair.

		\item En déduire le nombre de tirages ayant au moins un jeton dont le numéro  est pair.

	\end{enumerate}

\item
	 \begin{enumerate}
	 	 \item Déterminer le nombre de tirages comportant trois jetons ayant un numéro pair.

		\item Déterminer le nombre de tirages comportant le jeton numéroté 2 et aucun autre jeton ayant un numéro pair. En déduire le nombre de tirages avec un seul jeton portant un numéro pair.

		\item Justifier que le nombre de tirages ayant seulement deux jetons avec un numéro pair est égal à $60$.

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newpage

%%%%%%%  Amérique du Nord juin 2003
\lhead{\small{Bac L facultatif}}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{juin 2003}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\vspace{0,5cm}

\begin{center} {\Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalauréat L facultatif Amérique du 
Nord~ \decofourright\\ juin 2003}}

\vspace{0,5cm}

Durée de l'épreuve : 3 heures


L'usage d'une calculatrice est autorisé (circulaire \no 99-186 du 16-11-1999)

\vspace{0,5cm}

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront
 pour une part importante dans l'appréciation des copies.

\vspace{0,5cm}

Les graphiques demandés seront réalisés sur une feuille de papier millimétré mise
 à votre disposition.

\vspace{0,5cm}

Le candidat doit traiter TROIS exercices :

Obligatoirement : l'exercice 1 et l'exercice 2,

Au choix : l'exercice 3 ou l'exercice 4.

\end{center}

\vspace{1cm}

  \textbf{\textsc{Exercice 1 obligatoire}  \hfill 7 points}
  
On  considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle I = [0,25~;~10] par

\[f(x) = \ln(x) + \dfrac{2}{x}.\]
On note ($\mathcal{C}$) sa courbe représentative dans le plan muni d'un  repère orthonormal \Oij, l'unité de longueur étant $2$~cm.

\begin{enumerate}
 \item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de cette fonction $f$
et dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur I.

\item Calculer $f(1)$ et $f'(1)$ et en déduire l'équation 
réduite de la tangente (T) à ($\mathcal{C}$) en son point d'abscisse 1.

\item Tracer la courbe ($\mathcal{C}$) ainsi que la tangente (T).

\item 
	\begin{enumerate}
		 \item Développer $(x-3) (x - 6)$.

		\item Résoudre dans l'intervalle I l'équation $f'(x) = \dfrac{1}{9}$.

		\item Justifier alors que la courbe ($\mathcal{C}$) admet deux tangentes parallèles à la droite d'équation $y = \dfrac{x}{9}$.
 
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Dérivées de fonctions usuelles :}

\vspace{0,5cm}

\[\begin{array}{|l*{6}{c|}}\hline
F(x)		&		x	&x^2	&x^3		& \dfrac{1}{x}			&\ln x 			& \text{e}^x\\ \hline
F'(x)	& 1		&  2x 	& 3x^2	& - \dfrac{1}{x^2}	&\dfrac{1}{x}& \text{e}^x\\ \hline
\text{conditions}&	&	&			&	x \neq 0					& 	x > 0			& \\ \hline
\end{array} \]

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 obligatoire} \hfill 7 points}

Un jeu consiste à cocher 8 cases sur une grille A (n$\
up
{o}$ 1 à 20) et 1 case sur une grille B (\no 1 à 4)

\parbox[c]{0.45\textwidth}{\begin{center}GRILLE A \end{center}\\
$\begin{array}{|*{5}{c|}}\hline
~1&	2&	3&	4&	5\\ \hline
6&	7&	8&	9&	10\\ \hline
~11~&	~12~&	~13~&	~14~&	~15~\\ \hline
16&	17&	18&	19&	20\\ \hline
\end{array}$}
\hfill
\parbox[c]{0.45\textwidth}{\begin{center}GRILLE B\end{center}\\
$\begin{array}{|*{4}{c|}}\hline
~~1~~ & ~~2~~  & ~~3~~& ~~4~~\\ \hline
\end{array}$}

\og \emph{Les résultats des calculs de probabilité seront donnés à} 
$0,000\:1$  près} \fg{}

\begin{enumerate}
 \item Déterminer le nombre de façons possibles de cocher 8 cases dans la grille A.

Un tirage détermine 8 \og bons numéros \fg{} dans la grille A et 1 \og bon numéro \fg{} 
dans la grille B.

\item Cas 1 : le joueur récupère sa mise lorsqu'il a coché 4 \og bons numéros\fg{} dans
 la grille A et 1 \og bon numéro \fg{} dans la grille B.

	\begin{enumerate}
		 \item Combien de grilles cochées A comportent 4 \og bons numéros \fg{} et 4 \og mauvais numéros \fg{} ? En déduire la probabilité de cocher 4 \og bons numéros \fg{} dans la grille A.

		\item Déterminer la probabilité de cocher le \og bon numéro \fg{} dans la grille B.

	\item En déduire que la probabilité que le joueur récupère sa mise est de  \nombre{0,0688}.

	\end{enumerate}

\item Cas 2 : le joueur gagne s'il a coché 5, 6, 7 et 8 \og bons numéros \fg{} dans la grille A (avec ou sans le numéro gagnant de la grille B).

	\begin{enumerate} 
		\item Combien de grilles cochées A comportent 5 \og bons numéros \fg{} et 3 \og mauvais numéros \fg{} ?

		\item En déduire la probabilité de cocher $5$ \og bons numéros \fg{} dans la grille A.

	\end{enumerate}

\item On admet que la probabilité d'être gagnant est 
de $\dfrac{2}{11}$. Un joueur décide de jouer les mêmes numéros sur 4 tirages consécutifs. Déterminer la probabilité que ce joueur soit gagnant 2 fois sur  les 4 tirages.

\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3 au choix}  \hfill 6 points}

Rappel : un rectangle est un \og rectangle d'or \fg{} si le quotient de sa longueur par sa largeur est égal au nombre d'or : $\phi = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$.

ABCD est un rectangle tel que AD $>$ AB. On considère les points K $\in$ [BC]
 et H $\in$[AD] tel que ABKH soit un carré et I le milieu du segment [AH].

\begin{enumerate}
 \item Justifier que ID = AD $- \dfrac{1}{2}$AB.

\item Montrer que IB = $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ AB.

\item Dans cette question on suppose que le rectangle ABCD est un rectangle d'or.

	\begin{enumerate}
		 \item Exprimer ID en fonction de AB.

		\item En déduire que si ABCD est un rectangle d'or alors ID = IB.

	\end{enumerate}

\item Dans cette question, \textbf{on suppose que ID = IB}.

	\begin{enumerate}
		 \item Exprimer AD en fonction de AB.

		\item En déduire que ABCD est un rectangle d'or.

	\end{enumerate}

\item On considère un segment [AB] de longueur $6$~cm.

 Construire à la règle et au compas un rectangle d'or ABCD (AD $>$ AB) en justifiant la construction de chaque élément et en laissant apparaître les tracés.

\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4 au choix}  \hfill 6 points}

Dans une entreprise de vente par correspondance, les références des articles sont composées de 6 chiffres et d'une lettre de contrôle afin d'éviter les erreurs de saisie. La position de la lettre dans l'alphabet correspondant au reste de la division de la référence numérique par $26$.

Exemple : la référence numérique \nombre{123456}$ =  \nombre{4748} \times 26 + 8$ et
 la 8\up{e} lettre de l'alphabet est H donc la référence de l'article avec sa clé  de contrôle est 123456 H.

\begin{enumerate} 
\item La référence numérique d'un article est \nombre{784503}, déterminer la lettre
 de contrôle correspondant à cette référence.

\item On considère la référence $\cdot \nombre{37254}$ H où le $1^{\text{er}}$ chiffre
 a été effacé.

	\begin{enumerate}
		 \item On note $n$ le chiffre manquant. Vérifier que le nombre $n37\:254 = n \times \nombre{100000} + 37\:254$.

		\item Déterminer le reste de la division de \nombre{100000} par 26, puis de \nombre{37254} par 26.

		\item En déduire que $4n + 22 \equiv 8 \quad (\text{modulo}~ 26)$.

		\item Sachant que $1 \leqslant  n \leqslant 9$, déterminer le chiffre manquant
 de la référence.
 
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newpage

%%%%%%%%% Antilles juin 2003

\lhead{\small Bac L facultatif}%tapez un titre
\lfoot{\small{ Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2003}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalauréat L Antilles-Guyane juin 2003 \decofourright}} \end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 }\hfill 7 points}

La courbe ($\Gamma$) ci-dessous représente dans un repère orthonormal une  fonction $f$ définie sur $[1~;~ +\infty[$.

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur cet intervalle.

La droite (T) est tangente à la courbe ($\Gamma$) au point A(1 ; 1).

La tangente à la courbe ($\Gamma$) au point d'abscisse e est parallèle à l'axe des abscisses.

\begin{center}\begin{pspicture}(0,-2)(9,6)
\psgrid[subgriddiv=1](0,0)(0,-2)(9,6)
\psline[linewidth=2pt]{->}(-0.5,0)(9,0)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,-2)(0,6)
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](2.718,0){e}
\uput[d](9,0){$x$} \uput[l](0,6){$y$} 
\psline{<->}(1,1.35914)(4,1.35914)
\psline(1,1)(9,5) \uput[ul](1,1){A}
\uput[ur](2.71828,1.35914){B}
\psline[linestyle=dotted](2.71828,0)(2.71828,1.35914)
\uput[u](4,2.5){(T)} \uput[ur](7.389,0){C}
\psplot{1}{9}{x 2 div 2 x ln sub mul}
\end{pspicture} \end{center}

\begin{enumerate}
 \item Par lecture graphique

	\begin{enumerate} 
		\item Donner le coefficient directeur de la droite (T)

		\item Donner $f(1)$ et $f'$(e)

		\item Déterminer les réels $x$ de l'intervalle $[1~;~ +\infty[$ qui vérifient  $f'(x) \leqslant 0$.

		\item En traçant le plus précisément possible la tangente à la courbe ($\Gamma$) au point C, lire le coefficient directeur de cette tangente.
 
	 \end{enumerate}

\item On admet que la fonction $f$ est définie sur $[1~;~ +\infty[$ par 
\[f(x) = \dfrac{x}{2} [ 2 - \ln (x)].\]

	\begin{enumerate}
		 \item Calculer l'ordonnée du point B d'abscisse e

		\item Déterminer l'abscisse du point C, intersection de la courbe ($\Gamma$) avec l'axe des abscisses.
 
	\end{enumerate} 

\item La dérivée $f'$ de $f$ est définie sur $[1~;~ +\infty[$ par $f'(x) = 
k \ln \left(\dfrac{\text{e}}{x}\right)$ où $k$ est un nombre réel donné.

	\begin{enumerate}
	 	\item Vérifier le résultat donné pour $f'$(e) à la question 1.

		\item Déterminer le réel $k$ sachant que $f'\left(\text{e}^2\right) = - 
\dfrac{1}{2}$.

		\item Donner une équation de la tangente à la courbe ($\Gamma$) au point C.

		\item Déterminer les coordonnées du point d'intersection de la droite (T) et de la tangente à la courbe ($\Gamma$) au point C.
 
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points}

Le numéro I.N.S.E.E est constitué de 15 chiffres. En lisant de gauche à
 droite :

\begin{itemize}
\item  le premier chiffre est 1 s'il s'agit d'un homme et 2 s'il s'agit d'une femme ;
\item  les deux chiffres suivants désignent les deux derniers chiffres de l'année
 de naissance ;
\item  les deux chiffres suivants désignent le mois de naissance ;
\item  les deux chiffres suivants désignent le département de naissance ;
\item  les trois chiffres suivants désignent la commune de naissance ;
\item  les trois chiffres suivants désignent le numéro d'inscription sur le registre d'état-civil ;
\item  les deux chiffres suivants désignent la clé K, calculée de la manière suivante :
\end{itemize}

\hspace{1cm}- soit $A$ le nombre entier constitué par les $13$~chiffres de gauche ;

\hspace{1cm}- soit $r$ le reste de la division euclidienne de $A$ par $97$ ;

\hspace{1cm}- alors $K = 97 - r$.

Les $13$ premiers chiffres (sans la clé) du numéro I.N.S.E.E de Sophie sont 2 85 07 86 183 048.\\
On note $A$ ce nombre et $r$ le reste de la division euclidienne de $A$ par $97$.

\begin{enumerate}
 \item Donner le mois de l'année de naissance de Sophie.

\item

	\begin{enumerate}
		 \item Déterminer les deux entiers $a$ et $b$ tels que $A = a \times 10^6 + b$ avec 
$0 \leqslant b < 10^6$.

		\item En utilisant le reste de $100$ dans sa division euclidienne par $97$, montrer que $10^6 \equiv 27\quad  (\text{modulo} \quad 97)$.

		\item En déduire le reste $r$ de la division euclidienne de $A$ par $97$.

	\end{enumerate}

\item Déterminer la clé $K$ du numéro I.N.S.E.E de Sophie.

\item Sophie, à qui l'on demande les treize premiers de son numéro I.N.S.E.E, inverse les deux derniers chiffres et répond 2 85 07 86 183 084 à la place de  2~85~07~86~183~048.

On note $B$ la réponse de Sophie.

	\begin{enumerate}
		 \item Calculer la différence $B - A$ et en déduire que le reste de la division euclidienne de $B$ par $97$ est égal à $21$.

		\item L'erreur faite par Sophie peut-elle être détectée ?

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

On donnera les résultats sous forme irréductible.

On dispose d'un damier dont chacune des neuf cases est marquée d'un des trois nombres 1, 2 et 3 selon le schéma ci-contre :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
1 	&	2 	&	3\\ \hline
2 	&	3	& 	1\\ \hline
3 	&	1	& 	2\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On répartit au hasard trois pions indiscernables sur le damier (un pion par case) et on appelle $S$ la somme des trois nombres marqués sur les trois cases occupés par les pions.

Les répartitions sont toutes équiprobables.

\begin{enumerate}
 \item écrire le triangle de Pascal jusqu'à la dixième ligne et en déduire $9 \choose 3$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n / p$	& 0	& 1	& 2	& 3	& 4	& 5	& 6	&7	&8	&9\\ \hline
0 		&1	&	&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
1		& 1	& 1	&	&	&	&	&	&	&	&\\\hline
2		& 1	& 2	& 1	&	&	&	&	&	&	&\\\hline
3		& 1	& 3	& 3	& 1	&	&	&	&	&	&\\\hline
4		& 1	& 4	& 6	& 4	& 1	&	&	&	&	&\\\hline
		& 	& 	& 	& 	& 	& 	&	&	&	&\\\hline
		& 	& 	& 	& 	& 	&	 & 	&	&	&\\\hline
		& 	& 	& 	& 	& 	& 	& 	& 	&	&\\\hline
		& 	& 	& 	& 	& 	& 	& 	& 	& 	&\\\hline
		& 	&  	&	& 	& 	& 	& 	& 	& 	& \\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item On considère les évènements E, F et G suivants :

E : \og La somme $S$ est égale à 3 \fg{} ;

F : \og La somme $S$ est égale à 9 \fg{} ;

G : \og La somme $S$ est égale à 6 \fg{}.

	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer les probabilités $p$(E) et $p$(F) des évènements E et F.

		\item Montrer que la probabilité de l'évènement G est égale à 
$\dfrac{1}{3}$.

	\end{enumerate}

\item Soit A l'évènement : \og La somme $S$ est divisible par 3 \fg{} et B l'évènement : 
\og Les trois pions sont alignés en colonne, en ligne ou en diagonale \fg{}.

	\begin{enumerate}
		 \item Déterminer les probabilités $p$(A) et $p$(B) des évènements A et B.

		\item Calculer la probabilité $p_{\text{A}}(\text{B})$ de l'évènement B sachant que A est réalisé.

		\item Les évènements A et B sont-ils indépendants ?

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4 }\hfill 6 points}

La population d'une ville augmente régulièrement de $10\:\%$ par an. En l'an 2000, elle était de \nombre{8000}~habitants.

\begin{enumerate} 
\item On désigne par $u_n$ le nombre théorique d'habitants estimé
pour l'année $(2000 + n)$. On a donc $u_0 = \nombre{8000}$.

	\begin{enumerate}
		 \item Calculer les termes $u_1$ et $u_2$.

		\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ . En déduire l'expression du 
terme $u_n$ en fonction de $n$.

		\item Calculer le nombre d'habitants prévu pour l'année 2006.

		\item Déterminer en quelle année la population aura doublé.

	\end{enumerate}

\item On note $v_n$ l'augmentation par rapport à l'année précédente du nombre
 d'habitants constatée l'année $(2000 + n)$. On a donc, pour tout entier naturel
 $n$ non nul, $v_n = u_n - u_{n - 1}$.

	\begin{enumerate}
		 \item Calculer les termes $v_1$ et $v_2$.

		\item Exprimer le terme général $v_n$ en fonction de $n$.

		\item Calculer la somme $v_1 + v_2 + \cdots + v_n$ en fonction de $n$. Vérifier, pour le cas particulier $n = 6$, le résultat obtenu en \textbf{1. c.}
 
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newpage

%%%%%%%%% Centres étrangers juin 2003

\lhead{\small Baccalauréat L facultatif }%tapez un titre
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{juin 2003}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\vspace{0,5cm}

\begin{center} {\Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalauréat L Centres étrangers juin 2003~\decofourright\\  }} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

Le candidat traitera obligatoirement TROIS exercices

OBLIGATOIREMENT: l'exercice 1 et l'exercice 2

AU CHOIX : l'exercice 3 \textbf{ou} l'exercice 4.

L'usage de la calculatrice est autorisé pour cette épreuve.

L'attention des candidats est attirée sur le fait que la qualité
 de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entrent pour
 une part importante dans l'appréciation des copies.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1  obligatoire} \hfill 8 points}

Pour réduire la circulation des véhicules dans le centre d'une petite ville, la municipalité envisage de construire une déviation. Les propriétaires des terrains situés dans la zone où passera la déviation sont prévenus de ce projet.

On propose au propriétaire d'un terrain rectangulaire ABCD d'une longueur de $20$~mètres et d'une largeur de $10$~mètres, de modifier son terrain en  retirant $x$ mètres à la longueur et en ajoutant $x$ mètres à la largeur  comme l'indiquent les figures ci-dessous. Il deviendrait alors propriétaire d'un nouveau terrain rectangulaire.

\begin{center}\begin{pspicture}(12,5)
\psframe(0,2.2)(4.5,4.5)
\psframe(7.5,4.5)(9.7,0)
\psline[linestyle=dotted](7.5,2.2)(12,2.2)(12,4.5)(7.5,4.5)
\psline{<->}(8.5,0)(8.5,2.2)
\psline{<->}(9.7,3.5)(12,3.5)
\uput[ul](0,4.5){A} \uput[ur](4.5,4.5){B} \uput[dr](4.5,2.2){C} 
\uput[dl](0,2.2){D} 
\uput[ul](7.5,4.5){A} 
\uput[u](9.5,4.5){B$'$} \uput[ur](12,4.5){B} \uput[dr](12,2.2){C} 
\uput[dl](7.5,2.2){D} \uput[dl](7.5,0){D$'$} \uput[dr](9.7,0){C$'$} 
\uput[r](8.5,1.1){$x$} \uput[d](10.75,3.5){$x$}
\uput[d](2.25,-0.5){avant} \uput[d](9.75,-0.5){après}
\end{pspicture} \end{center}

\vspace{1cm}

Le but de l'exercice est de connaître pour quelles valeurs de $x$ le propriétaire obtient un nouveau terrain d'aire supérieure à l'aire de l'ancien terrain. 

\begin{enumerate}
 \item
 	 \begin{enumerate}
	 	 \item Préciser dans quel intervalle $I$ peut varier $x$, afin que la modification soit réalisable.

		\item Exprimer, en m$^2$, l'aire du nouveau terrain en fonction de $x$. On notera $f(x)$ le résultat. 

		\item Vérifier que, pour tout nombre réel $x$ de $I,~f(x)
 = 200 + 10 x - x^2$.
 
	\end{enumerate} 

\item
	 \begin{enumerate}
	 	 \item Calculer $f'(x)$ pour tout nombre réel $x$ de  l'intervalle [0 ; 20] 

		\item étudier le sens de variation de $f$ sur l'intervalle
 [0 ; 20] et dresser le tableau de variation de $f$.
 
	\end{enumerate} 
	
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Recopier et compléter le tableau de valeurs ci-dessous :

\begin{center}\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0 	&2 	&4 	&5 	&6	& 8\\ \hline
$f(x)$	&	&	&	&	&	&\\ \hline
$x$		& 10& 12& 14&16	&18 & 20\\ \hline
$f(x)$	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Le plan est rapporté à un repère orthogonal (unités : 0,5 cm pour 1 m 
en abscisse ; 0,5 cm pour 10 m$^2$ en ordonnée). On note $(\mathcal{C})$ 
la représentation graphique de $f$. Tracer $(\mathcal{C})$.

	\end{enumerate}

\item à l'aide de la représentation graphique, représenter sur l'axe des abscisses l'intervalle des valeurs de $x$ telles que le nouveau terrain ait une aire plus grande que celle de l'ancien.

\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2  obligatoire} \hfill 7 points}

Dans une maison nouvellement construite, on veut carreler les sols de 
certaines pièces.

\begin{enumerate} 
\item Le sol de la salle à manger est un rectangle de longueur $4,54$~m et de
 largeur $3,75$~m. On veut carreler cette pièce avec des carreaux carrés de $33$~cm de côté.

On commence la pose par un coin de la pièce comme le suggère la figure 1.

\begin{center}\begin{pspicture}(5,4) 
\psframe(0,2.5)(1,3.5)%horizontaux
\multido{\n=2.5+0.1}{10}{\psline(0,\n)(1,\n)}
\psframe(2,2.5)(3,3.5)
\multido{\n=2.5+0.1}{10}{\psline(2,\n)(3,\n)}
\psframe(0,0.5)(1,1.5)
\multido{\n=0.5+0.1}{10}{\psline(0,\n)(1,\n)}
\psframe(2,0.5)(3,1.5)
\multido{\n=0.5+0.1}{10}{\psline(2,\n)(3,\n)}
\psframe(1,1.5)(2,2.5)
\multido{\n=1.5+0.1}{10}{\psline(1,\n)(2,\n)}
\psframe(3,1.5)(4,2.5)
\multido{\n=1.5+0.1}{10}{\psline(3,\n)(4,\n)}
\psframe(4,1.5)(4.5,2.5)
\multido{\n=4+0.1}{6}{\psline(\n,1.5)(\n,2.5)}
\multido{\n=0.5+0.1}{10}{\psline(4,\n)(4.5,\n)}
\multido{\n=2.5+0.1}{11}{\psline(4,\n)(4.5,\n)}
\multido{\n=0+0.1}{5}{\psline(1,\n)(2,\n)}
\multido{\n=0+0.1}{5}{\psline(3,\n)(4,\n)}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\psframe(0,1.5)(1,2.5)%verticaux
\multido{\n=0+0.1}{10}{\psline(\n,1.5)(\n,2.5)}
\psframe(2,1.5)(3,2.5)
\multido{\n=2+0.1}{10}{\psline(\n,1.5)(\n,2.5)}
\psframe(1,0.5)(2,1.5)
\multido{\n=1+0.1}{10}{\psline(\n,0.5)(\n,1.5)}
\psframe(3,0.5)(4,1.5)
\multido{\n=3+0.1}{10}{\psline(\n,0.5)(\n,1.5)}
\psframe(1,2.5)(2,3.5)
\multido{\n=1+0.1}{10}{\psline(\n,2.5)(\n,3.5)}
\psframe(3,0.5)(4,1.5)
\multido{\n=3+0.1}{10}{\psline(\n,2.5)(\n,3.5)}
\psframe(3,2.5)(4,3.5)
\multido{\n=3+0.1}{10}{\psline(\n,2.5)(\n,3.5)}
\psframe(4,1.5)(4.5,2.5)
\multido{\n=0+0.1}{11}{\psline(\n,0)(\n,0.5)}
\multido{\n=2+0.1}{11}{\psline(\n,0)(\n,0.5)}
\multido{\n=4+0.1}{6}{\psline(\n,0)(\n,0.5)}
\rput(2,-0.5){Figure 1}
    \end{pspicture}\end{center}
    
\vspace{1cm}

 Calculer le nombre de carreaux non découpés qui auront été posés.

\item Le sol de la cuisine est un rectangle de longueur 4,55 m et de largeur 
3,85 m.

On veut carreler cette pièce avec un nombre entier de dalles carrées, sans
 aucune découpe.

	\begin{enumerate}
		 \item Donner la liste des diviseurs de $455$ puis la liste des diviseurs de $385$.

		\item Donner la liste des diviseurs communs à $455$ et $385$. 

		\item Quel est alors le plus grand côté possible des dalles carrées à utiliser
pour carreler cette cuisine ?

	\end{enumerate}

\item On dispose de dalles rectangulaires de longueur 24 cm et de largeur 
15 cm.

	\begin{enumerate}
		 \item Donner la liste des multiples de $24$ inférieurs à $400$, puis la liste des multiples de $15$ inférieurs à $400$. 

		\item Donner la liste des multiples communs à $24$ et $15$, inférieurs à $400$. 

		\item Quelle serait la longueur du côté de la plus petite pièce carrée qui pourrait être carrelée avec un nombre entier de dalles de ce type, sans aucune découpe ?
	  \end{enumerate}
  \end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3  au choix} \hfill 6 points}

Un paysagiste doit créer dans un jardin une spirale plantée d'arbustes.
Il veut connaître la longueur de cette spirale pour évaluer le nombre d'arbustes à planter.

Voici le schéma qu'il dresse :

\vspace{0,5cm}

\begin{center}\begin{pspicture}(0,-5)(9,2.5)
    \psline(9,0)
\psarc(6.1875,0){0.5625}{0}{180}
\psarc(6.75,0){2.25}{0}{180}
\psarc(5.625,0){1.125}{180}{360}
\psarc(4.5,0){4.5}{180}{360}
\uput[u](4.5,-4.2){$\mathcal{C}_{0}$}
\uput[d](7,2.2){$\mathcal{C}_{1}$}
\uput[d](5.5,-1.1){$\mathcal{C}_{2}$}
\uput[u](6.3,0.7){$\mathcal{C}_{3}$}
\uput[u](0,0){A$_{0}$} \uput[r](9,0){A$_{1}$} 
\uput[ul](4.5,0){A$_{2}$} \uput[ur](6.8,0){A$_{3}$}
\uput[ul](5.7,0){A$_{4}$} 
\end{pspicture}\end{center}

\vspace{1cm}

Cette spirale est constituée de demi-cercles construits de la manière suivante

$\bullet~$ le diamètre [A$_{0}$A$_{1}$] du demi-cercle $\mathcal{C}_{0}$ a pour milieu A$_{2}$ ;

$\bullet~$ le diamètre [A$_{1}$A$_{2}$] du demi-cercle $\mathcal{C}_{1}$  a pour milieu A$_{3}$ ;

Ainsi de suite on construit les demi-cercles $\mathcal{C}_{n}$ ($n$
est un entier naturel). 

L'unité de longueur est le mètre. On donne A$_{0}$A$_{1}$ = 100.

On note $l_{n}$ la longueur du demi-cercle $\mathcal{C}_{n}$.

\begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $l_{0},~ l_{1},~ l_{2}$ et $l_{3}$.

\item Exprimer $l_{n+1}$  en fonction de $l_{n}$. Indiquer la nature de la suite
$\left(l_{n}\right)$ en précisant sa raison.

\item Montrer que, pour tout entier $n,~l_{n} = 50\pi 
\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$.

\end{enumerate}

\item Le paysagiste décide de ne tracer que les huit demi-cercles $\mathcal{C}_{0},~
\mathcal{C}_{1},~\mathcal{C}_{1},~\mathcal{C}_{2},~\cdots,~\mathcal{C}_{7}$.

On appelle $\mathcal{L}$ la longueur de la spirale obtenue avec ces huit demi-cercles.
	
	\begin{enumerate}
 		\item Calculer	$\mathcal{L} = l_{0} + l_{1} + l_{2} + \cdots + l_{7}$.
Donner l'arrondi de $\mathcal{L}$ à $10^{-1}$.

		\item Sachant que le paysagiste doit planter un arbuste tous les cinquante
 centimètres à partir de A$_{0}$, en déduire le nombre d'arbustes à planter.

\textbf{Formule :} $1 + q + q^2 + \cdots + q^n = \dfrac{ 
1 - q^{n+1}}{1 - q}+  \quad (q \neq 1)$.

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4 au choix} \hfill 6 points}

Une entreprise de jouets est spécialisée dans la fabrication de poupées
 qui parlent et qui marchent. Chaque poupée peut présenter deux défauts et deux seulement: un défaut mécanique, un défaut électrique. Une étude statistique montre que :
 
 $8\:\%$ des poupées présentent le défaut mécanique ; 
 
 $5\:\%$ des poupées présentent le défaut électrique ; 
 
 $2\:\%$ des poupées présentent ces deux défauts.
 
La production journalière est de \nombre{1000} poupées. 

\begin{enumerate}
 \item Recopier et compléter le tableau ci-dessous qui décrit la production
 journalière :
 
 \begin{center} \begin{tabular}{| *{4}{c|}} \cline{2-4}
\multicolumn{1}{c |}{} &poupées avec défaut&	poupées sans 
défaut&total\\
\multicolumn{1}{c |}{} &mécanique &	mécanique& \\ \hline
poupées avec & & & \\
défaut électrique &&& \\ \hline
poupées sans & & & \\
défaut électrique&&& \\ \hline
total&	80&& 1 000\\ \hline
\end{tabular}\end{center}

\emph{Dans la suite de l'exercice, chaque résultat numérique sera donné sous forme décimale.}

\item On prélève au hasard une poupée dans la production d'une journée.

	\begin{enumerate}
 		\item Soit A l'évènement \og la poupée prélevée est sans défaut \fg{} . Calculer
 la probabilité de A. 

		\item Soit B l'évènement \og la poupée prélevée a au moins un défaut \fg{}. Montrer
que la probabilité de B est 0,11.

		\item Soit C l'évènement \og la poupée prélevée n'a qu'un seul défaut \fg{}. 
Quelle est la probabilité de C ? 

		\item Quelle est la probabilité que la poupée prélevée présente le défaut
mécanique sachant qu'elle présente le défaut électrique ?

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newpage

%%%%%%%%% Clermont ? juin 2003

\lhead{\small Bac L facultatif}%tapez un titre
\lfoot{\small{Clermont}}
\rfoot{\small{ juin 2003}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\vspace{0,5cm}

\begin{center} {\Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalauréat  L Clermont juin 2003 \decofourright}} 
\end{center} 

Le candidat traitera obligatoirement TROIS exercices

OBLIGATOIREMENT : l'exercice 1 \textbf{et} l'exercice 2

AU CHOIX : l'exercice 3 \textbf{ou} l'exercice 4.

L'usage de la calculatrice est autorisé pour cette épreuve.

L'attention des candidats est attirée sur le fait que la qualité de la rédaction, 
la clarté et la précision des raisonnements entrent pour une part importante dans 
l'appréciation des copies.

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1  obligatoire} \hfill 7 points}

\textbf{La feuille fournie en annexe sera rendue avec la copie.}

à partir d'un demi-cercle de diamètre AB = 16, voir figure donnée en annexe 1, on a effectué
 (à la règle et au compas) les constructions suivantes :

$1\up{re}$ étape : on construit deux demi-cercles de diamètre   $\dfrac{1}{2}$AB = 8 ;


$2\up{e}$ étape : on construit quatre demi-cercles de diamètre 
$\dfrac{1}{4}$AB = 4.

\begin{enumerate}
 \item On poursuit les constructions selon le même procédé.

	\begin{enumerate}
		 \item Construire à la règle et au compas, la $3\up{e}$ étape sur la figure donnée en annexe 1 en indiquant les étapes de la construction. Combien de demi-cercles doit-on construire ? Quel est leur diamètre ? 

		\item Soit $n$ un entier, $n  \geqslant 1$. On admet qu'au cours de l'étape $n$, il faut tracer $2^n$ demi-cercles supplémentaires.

Montrer que leur diamètre est égal à $2^{-n+4}$.

	\end{enumerate}

\item On désigne par $p_n$ la somme des longueurs des demi-cercles construits à 
l'étape $n.~ p_0$ désigne la longueur du demi-cercle initial, donc $p_0 = 8\pi$.

Calculer $p_1,~ p_2,~ p_3$, puis $p_n$ pour $n \in  \N$.

\item On désigne par $a_n$ l'aire délimitée par le segment [AB] et les demi-cercles construits
 à l'étape $n.~a_0$ désigne la longueur du demi-cercle initial, donc $a_0 =  32\pi$.

	\begin{enumerate}
		 \item Calculer $a_1,~ a_2,~ a_3$.

		\item Donner l'expression de $a_n$ en fonction de $n$.

Vérifier que la suite $\left(a_n\right)_{n \in \N}$  est une suite géométrique dont on  précisera la raison.

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2  obligatoire} \hfill 7 points}

\textbf{Partie A :} On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0,1 ; 6] par

\[x  \mapsto f(x) = 70,228 + 5,104 x + 9,222 \ln x.\]

\begin{enumerate} 
\item Reproduire et compléter le tableau ci-dessous en arrondissant le résultat à l'unité la plus proche.

\[ \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ 	& 0,1&0,3	&0,5& 1	& 2	& 3	& 4	&5  & 6\\ \hline
$f(x)$	&	&		&	&	&	&	&	&	&\\  \hline
\end{tabularx}\]

\item Calculer la dérivée $f'$ de $f$.

\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur [0,1 ; 6].

\item Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal : $1$~cm
 représente $0,5$~unités sur l'axe des abscisses et 1 cm représente $10$~unités sur l'axe des  ordonnées.

\end{enumerate}

\textbf{Partie B :} Une formule empirique permet d'estimer la taille $f(x)$ (en cm) d'un enfant de moins de 6 ans, en fonction de son âge $x$ (en années) par :

	\[f(x) = 70,228 + 5,104 x + 9,222 \ln x.\] 

\begin{enumerate}
 \item Estimer la taille d'un enfant de deux ans et demi, à $1$~cm près. 

\item Retrouver le résultat de la question précédente par une 
construction graphique utilisant la courbe tracée dans la partie \textbf{A. 4.}. 

\item évaluer l'âge d'un enfant mesurant 1 m par une construction graphique utilisant la courbe tracé dans la partie \textbf{A. 4.}.
 
\end{enumerate} 

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3  au choix} \hfill 6 points}

Les clients habituels d'une entreprise de vente par internet se voient attribuer un numéro
 personnel formé de 7 chiffres (a b c d e f g) où chacune des lettres a, b, c, d, e, f, g
 représente un chiffre de 0 à 9. Les cinq premiers chiffres (a b c d e) sont un numéro 
d'identification du client, les deux derniers (f g) sont une clé de contrôle, automatiquement
 calculée à partir de (a b c d e). 

\begin{enumerate}
 \item Combien de clients habituels au maximum la société peut-elle identifier par ce système ? 

\item La société emploie, pour calculer la clé de contrôle,
 la règle suivante : le nombre (f g) est égal au reste de (a b c d e) modulo 87.

	\begin{enumerate}
		 \item Combien y a-t-il de valeurs possibles pour la clé de contrôle ? 

		\item Quelle est la clé du client dont le numéro d'identification est (1 2 3 4 5) ?

	\end{enumerate} 

\item On propose à la société une nouvelle méthode de calcul de la clé de contrôle : le chiffre $f$ est le reste de (a b c d e) modulo 9 le chiffre g est le reste de (a~b~c~d~e) modulo 8.

	\begin{enumerate}
		 \item Combien y a-t-il de valeurs possibles pour la clé de contrôle ? 

		\item Quelle est la clé du client dont le numéro est (1 2 3 4 5) ?

	\end{enumerate}

\item Quel avantage voyez-vous, pour la société, à conserver le premier mode de calcul de la
 clé de contrôle ?
 
\end{enumerate} 

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4 au choix} \hfill 6 points}

Amélie et Béatrice projettent une sortie soit au cinéma soit en randonnée. Amélie ou 
Béatrice décide du choix de l'activité. On désigne par A l'évènement \og Amélie décide \fg{} 
et par B l'évènement \og Béatrice décide \fg{}, B est donc l'évènement contraire de A.\\
On suppose que la probabilité pour qu'Amélie décide est $p$(A) =  $\dfrac{7}{12}$.\\
Tous les résultats seront donnés sous la forme de fractions irréductibles. 

\begin{enumerate}
 \item Déterminer $p$(B), probabilité pour que Béatrice décide. 

\item Lorsque Amélie décide, 3 fois sur 10 elle choisit le cinéma. Lorsque Béatrice décide, 4 fois sur 10 elle choisit la randonnée. On désigne par C, l'évènement \og elles vont au cinéma \fg{} et par R, l'évènement \og elles font une randonnée \fg{}.

	\begin{enumerate}
		 \item Déterminer les probabilités conditionnelles $p_{\text{A}}$(C) et 
$p_{\text{B}}$(C) où $p_{\text{A}}$(C) est la probabilité de C sachant
A et $p_{\text{B}}$(C) est la probabilité de C sachant B.

		\item Reproduire et compléter l'arbre de probabilités suivant :

	\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\psset{tnpos=a,radius=1pt}
\begin{center}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}{
\pstree{\TC*~{A}}{
	\TC*~{C} 
		\Tdot}
\pstree{\Tdot}{
	\Tdot 
	\Tdot} 
		  }
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\item
	  \begin{enumerate}
	  	 \item Calculer les probabilités $p(\text{A} \cap \text{C})$ et $p(\text{B} 
\cap \text{C})$.

		\item Montrer que $p(\text{C}) = \dfrac{17}{40}$. 

		\item En déduire $p$(R).

	\end{enumerate}

\item Sachant qu'Amélie et Béatrice sont allées en randonnée, quelle est la probabilité pour que ce soit Béatrice qui ait décidé ?
 
\end{enumerate} 

\vspace{3cm}

\begin{center} \textbf{\gray ANNEXE 1}

à RENDRE AVEC LA COPIE

\vspace{1cm}

\psset{unit=0.9cm}\begin{pspicture}(16,8)
    \psline(0,0)(16,0)
\psarc(8,0){8}{0}{180}
\psarc(4,0){4}{0}{180} \psarc(12,0){4}{0}{180}
\psarc(2,0){2}{0}{180}\psarc(6,0){2}{0}{180}\psarc(10,0){2}{0}{180}\psarc(14,0){2}{0}{180}
\uput[d](0,0){A} \uput[d](4,0){J} \uput[d](8,0){I} \uput[d](12,0){K} 
\uput[d](16,0){B} 
\end{pspicture}\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newpage

%%%%%%%%% France juin 2003

\rhead{\small Bac L épreuve facultative}%tapez un titre
\lfoot{\small{France}}
\rfoot{\small{juin 2003}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalauréat
 série L France juin 2003 \decofourright}}\end{center}

\vspace{0,5cm}

\begin{center} \textbf{Durée de l'épreuve : 3 heures}

\textbf{Le candidat doit traiter TROIS exercices : le 1, le 2 
\textbf{et} le 3 \textbf{ou} le 4} \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 obligatoire}  \hfill 7 points}

Un fabricant de boîtes en carton dispose, pour sa fabrication, de rouleaux donnant une bande de
 carton de 32 cm de large dans laquelle il trace et découpe les patrons des boîtes avant de les
 coller. Il dispose ses patrons de la manière indiquée dans le dessin ci-dessous :

\begin{center}\begin{pspicture}(13,8)
\psline(13,0)(0,0)(0,7.7)(13,7.7)
\psline{<->}(11.3,0)(11.3,7.7)
\rput{90}(11,3.8){32}
\uput[l]{90}(0,0.1){1}
\uput[l]{90}(0,7.5){1}
\psframe[linewidth=2pt](0,0.3)(1.7,7.4)  
\psline[linewidth=2pt](0,1.9)(1.7,1.9)
\psline[linewidth=2pt](0,5.7)(1.7,5.7) 
\psline[linewidth=2pt](3.3,1.9)(3.3,5.7)  
\psline[linewidth=2pt](4.9,1.9)(4.9,5.7) 
\psframe[linewidth=2pt](1.7,1.9)(6.5,5.7)
\psline(0,7.4)(0.3,7.7)(1.4,7.7)(1.7,7.4)(2,7.1)(2,6)(1.7,5.7)
\psline(0,0.3)(0.3,0)(1.3,0)(1.6,0.3)(1.9,0.6)(1.9,1.6)(1.6,1.9)
\psline(6.5,5.7)(7.1,5.5) \psline(6.5,1.9)(7.1,2.1)
\uput[l](0,0.9){$x$}  \uput[l](0,3.6){$y$}  \uput[l](0,6.6){$x$} 
\psframe[linewidth=2pt](7.1,0.3)(8.7,7.4) 
\psline[linewidth=2pt](7.1,1.9)(8.8,1.9)
\psline[linewidth=2pt](7.1,5.7)(8.8,5.7)
\psline[linewidth=2pt](8.7,1.9)(8.7,5.7)
\psframe[linewidth=2pt](7.1,1.9)(11.9,5.7)
\psline[linewidth=2pt](11.9,1.9)(12.2,1.9) \psline[linewidth=2pt](11.9,5.7)(12.2,5.7) 
\psline(7.1,7.4)(7.4,7.7)(8.4,7.7)(8.7,7.4)(9,7.1)(9,6)(8.7,5.7)
\psline(7.1,0.3)(7.4,0)(8.4,0)(8.7,0.3)(9,0.6)(9,1.6)(8.7,1.9)
\psline[linewidth=2pt](10.3,1.9)(10.3,5.7)
 \end{pspicture}\end{center}

Les boîtes, en forme de pavés droits, comportent deux faces carrées de $x$ cm de côté, munies de deux languettes de 1 cm de large pour le collage, et quatre autres faces dont les dimensions en cm sont $x$ et $y$, ainsi qu'un rabat pour la fermeture.

\begin{enumerate}
 \item Le fabricant utilise toute la largeur de la bande de carton. On a donc $y = 30 - 2x$.

	\begin{enumerate}
		 \item Expliquer pourquoi on a nécessairement : $0 < x < 15$.

		\item Démontrer que le volume $V$ en cm$^3$, de la boîte est donné par la formule 

\[V = 30x^2 - 2x^3.\]

	\end{enumerate}

\item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 15] 
par : $f(x) = 30x^2 - 2x^3$.

	\begin{enumerate}
		 \item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$ et étudier le signe 
de $f'(x)$ sur l'intervalle [0 ; 15].

		\item En déduire le tableau des variations de la fonction $f$ sur cet intervalle.

	\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate}
		 \item Reproduire et compléter le tableau de valeurs :

\[\begin{array}{|*{10}{c|}}\hline
x& 1& 2& 4 & 6& 8& 10& 12& 14 & 15\\ \hline
f(x)& & & & & & & & & \\ \hline
\end{array}\]

		\item Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ dans un plan muni d'un repère orthogonal.
 On prendra 1 cm comme unité en abscisses et 1 cm pour 100 cm$^3$ en ordonnées.
 
	\end{enumerate} 

\item
	 \begin{enumerate} 
	 	\item Pour quelle valeur de $x$, le volume $V$ est-il maximum ? Quelle est alors
 la valeur de ce volume ? Quelle particularité présente la boîte dans ce cas-là ?

		\item Le fabricant veut que la boîte obtenue ait un volume de 500 
cm$^3$ et que $x$ soit inférieur à 10.

Déterminer, à l'aide du graphique, la valeur de $x$ qu'il doit choisir.

Vérifier par le calcul puis calculer la valeur de $y$ correspondante.

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 obligatoire} \hfill 6 points}

Le but de l'exercice est l'étude de la désintégration du carbone 14, corps radioactif, et de son utilisation pour la datation des fossiles ou des squelettes.
 
\vspace{0,5cm} 

\textbf{Partie A}

Soit $N_0$ le nombre d'atomes de carbone 14 à l'instant $t = 0$ ;

Soit $N_1$ le nombre d'atomes de carbone 14 un siècle après ;

Soit $N_k$ le nombre d'atomes de carbone 14 après $k$ siècles , $k$ entier 
naturel.

On sait que le nombre d'atomes de carbone 14 diminue très lentement au cours du temps, d'environ 1,24\:\% par siècle.

\begin{enumerate} 
\item Justifier que la suite $(N_k)$ est une suite géométrique 
de raison $0,987\:6$

\item Exprimer $N_k$ en fonction de $N_0$ et de l'entier $k$.

\item Quelle est la limite de la suite $(N_k)$ ? Justifier.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Partie B}

Les rayons cosmiques produisent continuellement dans l'atmosphère du carbone 14, qui s'y
 désintègre très lentement, ce qui fait que le taux de carbone 14 dans l'atmosphère de 
la terre est constant.

Durant leur vie, les tissus animaux et végétaux contiennent la même proportion de carbone 14
 que l'atmosphère ; à leur mort, l'assimilation en carbone 14 cesse et celui-ci se désintègre
 dans les conditions vues dans la \textbf{partie A}.

\begin{enumerate} 
\item Un squelette d'homme préhistorique contient 5\:\% du carbone 14 initial.
 Justifier que l'on peut estimer son âge à 24\:000 ans.

\item On admet que l'on peut ainsi estimer l'âge des fossiles qui contiennent
 au moins 1\:\% du carbone 14 initial. En utilisant des propriétés de la fonction logarithme
 népérien, déterminer l'âge maximum que l'on peut calculer.
 
\end{enumerate} 

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3 au choix} \hfill 7 points} 

Toutes les constructions demandées seront effectuées sur la feuille annexe. On
 laissera apparents les traits de construction

Le segment [AB] a pour longueur l'unité.

\begin{enumerate}
 \item Construire, à la règle et au compas :

	\begin{enumerate}
		 \item le milieu I du segment [AB],

		\item la perpendiculaire $\mathcal{D}$ à la droite (AB) passant par B.

	\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Construire un point C de la droite $\mathcal{D}$ tel que BC = BI.

		\item Calculer AC.

	\end{enumerate}

\item
	 \begin{enumerate}
	 	 \item Construire les points D et M suivants :

- D est le point d'intersection du segment [AC] avec le cercle de centre C passant par B.

- M est le point d'intersection du segment [AB] avec le cercle de centre A passant par D.

		\item Calculer AD et vérifier que AM$^2$ = AB $\times$ MB.

		\item Justifier que : $\dfrac{2}{\sqrt{5} - 1} = \dfrac{1 + 
\sqrt{5}}{2}$. Ce nombre est appelé nombre d'or et noté $\Phi$.

		\item Déduire des questions précédentes que 
$\dfrac{\text{AB}}{\text{AM}} = \Phi$ puis que	$\dfrac{\text{AM}}
{\text{AB}} = \Phi$.

	\end{enumerate}

\item On rappelle qu'un rectangle d'or est un rectangle dont 
le rapport $\dfrac{\text{longueur}}{\text{largeur}}$  est égal à $\Phi$.

En utilisant les questions précédentes, construire, à la règle et au compas, des points
 E et F tels que ABEF soit un rectangle d'or. Expliquer votre démarche.
 
\end{enumerate} 

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4 au choix} \hfill 7 points}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A} 

\begin{enumerate} 
\item Déterminer les 20 diviseurs positifs de 240.

\item Dans le tableau ci-dessous, parmi ces 20 entiers rangés dans l'ordre
 croissant, on a coché les multiples de 10.
 
\end{enumerate}

{\footnotesize \begin{center} \begin{tabular}{|*{21}{c|}}\hline
diviseurs &&&&&&&&&&&&&&&&&&&& \\
de 240&&&&&&&&10&&&&20&&30& 40&&60& 80& 120& 240\\ \hline
multiples&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\
de 10&&&&&&&&	
$\times$&&&&$\times$&&$\times$&$\times$&&$\times$&$\times$&$\times$&$\times$\\ 
\hline
multiples&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\
de 2&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\ \hline
multiples&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\
de 5&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\ \hline
\end{tabular}\end{center}}

Reproduire et compléter le tableau, en cochant les multiples de 2 
et de 5.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie B}

On étudie l'épreuve aléatoire qui consiste à tirer au hasard un nombre parmi les 20 diviseurs de 240.

\begin{enumerate}
 \item Quelle est la probabilité de tirer le nombre 2 ? le nombre 7?

\item On considère les évènements suivants :

A : \og On tire un multiple de 10 \fg{},
 
B : \og On tire un multiple de 2 \fg{},

C : \og On tire un multiple de 5 \fg{}.

Déterminer les probabilités $p$(A), $p$(B) et $p$(C) des évènements A, B, C.

\item On refait cette épreuve aléatoire quatre fois de suite dans les mêmes conditions.

	\begin{enumerate}
		 \item Quelle est la probabilité de tirer 4 fois de suite un multiple de 10 ?

		\item Quelle est la probabilité de ne jamais tirer un multiple de 10 ?

		\item Quelle est la probabilité de tirer au moins une fois un multiple de 10 ?

		\item Pour tout naturel n compris entre 1 et 4, on note A$_n$ l'évènement :

\og Obtenir un multiple de 10 pour la première fois au $n$-ième tirage \fg{}.

Calculer les probabilités $p(\text{A}_2),~ p(\text{A}_3)$ et $p(\text{A}_4)$  des évènements A$_2$, A$_3$, A$_4$.

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newpage

%%%%%%%%% Japon juin 2003

\lhead{\small Bac L facultatif}%tapez un titre
\lfoot{\small{Japon}}
\rfoot{\small{juin 2003}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\vspace{0,5cm}

\begin{center} {\Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalauréat L Japon juin 2003 \decofourright}} 

Le candidat traitera obligatoirement TROIS exercices

OBLIGATOIREMENT : l'exercice 1  \textbf{et} l'exercice 2

AU CHOIX : l'exerccie 3 \textbf{ou} l'exercice 4 \end{center}

L'usage de la calculatrice est autorisé pour cette épreuve.

L'attention des candidats est attirée sur le fait que la qualité de la rédaction, 
la clarté et la précision des raisonnements entrent pour une part importante dans 
l'appréciation des copies.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 obligatoire} \hfill 8 points}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A :} On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle  [1~;~25]  par :

\[f(x) =5x-50 \qquad \text{et}\qquad g(x)= \dfrac{\text{e}^x}{100}.\]

\textbf{I.}

\begin{enumerate}
 \item Donner le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [1 ; 25].

\item
	 \begin{enumerate}
	 	 \item Déterminer la dérivée $g'(x)$.

		\item étudier le sens de variations de la fonction $g$ sur l'intervalle [1 ; 25].

	\end{enumerate}

\item Tracer les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ dans un repère
 orthogonal. On prendra pour unité graphique :

- 2 cm pour 5 unités en abscisse

- 1 cm pour 20 unités en ordonnée.

Pour la courbe représentative de la fonction $g$, on se limitera à représenter les
 points dont l'abscisse est comprise entre 1 et 10.
 
 \end{enumerate}

\textbf{II.} On considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle [1 ; 25] par 

\[h(x) = 30\ln x - 2 x + 10.\]

 On note $h'$ la dérivée de $h$.
	
\begin{enumerate}
 \item Montrer que $h'(x) = \dfrac{30 - 2x}{x}$.

\item étudier le sens de variations de la fonction $h$ sur l'intervalle [1 ; 25]. 

\item Montrer que la fonction $h$ passe par un maximum. On donnera la valeur pour 
laquelle ce maximum est atteint et la valeur prise alors par la fonction. 

\item Tracer la courbe représentative de la fonction $h$ dans le même repère qu'à la question \textbf{I}.
 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie B :} Les gains exprimés en milliers d'euros de trois chanteurs sont fonction
 du nombre $x$ de semaines écoulées depuis la sortie simultanée de leurs albums et 
sont donnés par $f(x),~ g(x)$ et $h(x)$. 

\begin{enumerate}
 \item Dans cette question, aucune justification n'est demandée. Il s'agit seulement d'interpréter les données. 

	\begin{enumerate}
		 \item Quelle fonction correspond au gain du chanteur A sur lequel les producteurs ont
 investi près de 100 milliers d'euros et dont le succès est phénoménal après 
quelques semaines de promotion acharnée ? 

		\item Quelle fonction correspond au gain du chanteur B, inconnu, qui obtient un succès
 très rapide malgré l'absence d'investissement promotionnel avant de s'essouffler
 au bout de quinze semaines ?

		\item En vous inspirant des questions du \textbf{1.} et \textbf{2.}, décrire l'évolution
 du gain du chanteur C.
 
	 \end{enumerate}

\item Par lecture graphique :

	\begin{enumerate}
		 \item Déterminer le nombre de semaines qui s'écoule avant que le chanteur C gagne plus que le chanteur B. 

		\item Déterminer le nombre de semaines qui s'écoule avant que le chanteur A gagne plus
 que le chanteur B.
 
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 obligatoire} \hfill 7 points}

L'unité est le centimètre.

On considère un triangle A$_0$B$_0$C$_0$ rectangle isocèle en A$_0$ tel que : A$_0$B$_0$ = A$_0$C$_0$ = 20.

\begin{enumerate} \item Faire une figure que l'on complètera au fur et à mesure de l'exercice.

\item Soit A$_1$ le milieu du segment [B$_0$C$_0$], B$_1$ le milieu du segment 
[A$_0$C$_0$] et C$_1$ le milieu du segment [A$_0$B$_0$].

	\begin{enumerate}
		 \item Tracer le triangle A$_1$B$_1$C$_1$.

		\item Montrer que le triangle A$_1$B$_1$C$_1$ est un triangle rectangle isocèle en A$_1$.

		\item Calculer l'aire de A$_1$B$_1$C$_1$ notée $u_1$ et l'aire de A$_0$B$_0$C$_0$ notée 
$u_0$.

		\item Exprimer $u_1$ en fonction de $u_0$.

	\end{enumerate}

\item Soit A$_2$ le milieu du segment [B$_1$C$_1$], B$_2$ le milieu du segment 
[A$_1$C$_1$] et C$_2$ le milieu [A$_1$B$_1$].

	\begin{enumerate}
		 \item Calculer l'aire du triangle A$_2$B$_2$C$_2$ notée $u_2$.

		\item Exprimer $u_2$ en fonction du $u_0$.

	\end{enumerate}

\item En réitérant cette construction, on définit un triangle A$_n$B$_n$C$_n$ rectangle
 isocèle en A$_n$. On note $u_n$, l'aire de ce triangle.

	\begin{enumerate}
		 \item Exprimer $u_n$, en fonction de $u_{n-1}$  et montrer que pour tout entier naturel
 $n$, on a :
 
\[u_n = \left(\dfrac{1}{4}\right)^n \times 200.\]

		\item Déterminer le plus petit entier $p$ tel que $u_p < 10^{-3}$.

		\item Exprimer en fonction de $n$ la somme $u_0 + u_1 +  \cdots + u_n$. En déduire la
 limite de cette somme quand $n$ tend vers $+ \infty$.
 
	 \end{enumerate}

\end{enumerate}

\textbf{Rappel :}

\[\begin{array}{c |c} 
\text{Suites arithmétiques de premier terme}  &
\text{Suites géométriques de premier terme} \\ 
u_0~\text{et de raison}~ a: & u_0~\text{et de raison}~ b :\\
 u_{n+1} = u_n + a ~; &	u_{n+1} =bu_n \quad ; \quad u_n =u_0 b^n\\
1+2+ \cdots +n= \dfrac{n(n+1)}{2} & \text{Si}~1+b+b^2+\cdots + b^n = 
\dfrac{1 - b^{n+1}}{1 - b}\\
&\text{Si} ~b = 1~	1+b+b^2+\cdots + b^n	=n+1\\
\end{array}\]



\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice  3 au choix} \hfill 5 points}

Dans cet exercice on étudie la divisibilité par 11 en exploitant la congruence
 modulo 11 des puissances de 10.

\begin{enumerate}
 \item
 	 \begin{enumerate}
	 	 \item Vérifier que $100 \equiv 1 \quad (\text{modulo} \quad 11)$. En déduire que
 $10^4 \equiv  1 \quad (\text{modulo} \quad 11)$.

		\item Vérifier que $10 \equiv - 1 \quad (\text{modulo} \quad 11)$.

En déduire que $10^3 \equiv - 1 \quad (\text{modulo} \quad 11)$ et que 
$10^5 \equiv - 1 \quad (\text{modulo} \quad 11)$.

	\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate}
		 \item En utilisant l'égalité $3\:729 = 37 \times 100 + 29$ et les résultats 
précédents, montrer que $3\:729$ est divisible par $11$.

		\item En utilisant la méthode précédente, étudier la divisibilité de 
$9\:240$ par $11$.

	\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate}
		 \item En utilisant l'égalité $3\:729 = 3 \times 10^3 + 7 \times 10^2 + 2  \times 10 + 9$ et les résultats précédents, montrer que $3\:729$ est divisible par $11$.

		\item En utilisant cette méthode, étudier la divisibilité de $9\:240$ par $11$.

	\end{enumerate}

\item étudier la divisibilité de $197\:277$ par $11$.

\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4 au choix} \hfill 5 points}

Les constructions demandées sont à faire sur la FEUILLE ANNEXE à RENDRE AVEC LA COPIE.

\begin{enumerate} 
\item Compléter sur la figure 1 de la feuille annexe, la représentation en 
perspective cavalière de rapport $\dfrac{1}{2}$ d'angle
de fuite $30 \up{o}$ d'un cube ABCDEFGH dont on a donné le plan frontal ABFE. 

\item Compléter sur la figure 2 de la feuille annexe, la représentation en perspective
 à point de fuite d'un cube ABCDEFGH dont on a donné le plan frontal ABFE, 
le point C et le point de fuite O. 

\item Citer une propriété de la représentation en perspective cavalière qui ne soit pas
 vérifiée en perspective à point de fuite. 

\item Compléter sur la figure 3 de la feuille annexe, la représentation en perspective
 à point de fuite d'un carrelage régulier de quatre rangées de six carreaux.
 
\end{enumerate} 
 
 \newpage
 
 \begin{center} \textbf{ANNEXE  à RENDRE AVEC LA COPIE (si l'exercice 
 4 est choisi)}\end{center}
 
 \textbf{Figure 1}
 
\vspace{2cm}
\begin{pspicture}(2,2)
     \psframe(2,2)
     \uput[dl](0,0){A} \uput[dr](2,0){B} 
     \uput[ur](2,2){F} \uput[ul](0,2){E}
     \end{pspicture}
\vspace{1cm}
     
\textbf{Figure 2}
 
\begin{pspicture}(5,4)
     \psframe(2,2)
     \uput[dl](0,0){A} \uput[dr](2,0){B} 
     \uput[ur](2,2){F} \uput[ul](0,2){E}
     \qdisk(3.4,1.885){1pt} \uput[dr](3.4,1.885){C}
     \qdisk(4.6,3.5){1pt} \uput[dr](4.6,3.5){O}
\end{pspicture}
     
          \vspace{1cm}
     
\textbf{Figure 3} 
 
\psset{unit=0.9cm} \begin{pspicture}(15,11)
\pspolygon(0,0)(1.6,2.7)(3.9,2.7)(2.7,0)
\psline(0,0)(16.2,0)
\psline(5.4,0)(5.4,0.1) \psline(8.1,0)(8.1,0.1) 
\psline(10.8,0)(10.8,0.1)  \psline(13.5,0)(13.5,0.1)
\psline(16.2,0)(16.2,0.1) 
\end{pspicture} 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newpage

%%%%%%%%% La Réunion juin 2003

\lhead{\small  Bac L facultatif}%tapez un titre
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{ juin 2003}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\vspace{0,5cm}

\begin{center} {\Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalauréat L facultatif La Réunion 
juin 2003 \decofourright}} 
\end{center} 

Le candidat traitera obligatoirement  TROIS exercices

OBLIGATOIREMENT : l'exercice 1 \textbf{et} l'exercice 2

AU CHOIX : l'exercice 3 \textbf{ou} l'exercice 4.

L'usage de la calculatrice est autorisé pour cette épreuve.

L'attention des candidats est attirée sur le fait que la qualité de la rédaction, 
la clarté et la précision des raisonnements entrent pour une part importante dans 
l'appréciation des copies.

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 : obligatoire} \hfill 7 points}

On veut réaliser, dans le patron ci-dessous une boîte rectangulaire sans couvercle. Les longueurs sont exprimées en cm.
 
 \vspace{0,5cm}

\begin{center} \begin{pspicture}(8,5)
\psframe(1,1)(7,4)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1,1)
 \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,4)(1,5)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](7,0)(8,1)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](7,4)(8,5)
\psline(1,5)(7,5) \psline(1,0)(7,0)
\psline(0,1)(0,4) \psline(8,1)(8,4) 
\psline{<->}(0,5.1)(8,5.1)
\psline{<->}(8.1,0)(8.1,5)
\psline{<->}(0,-0.1)(1,-0.1)  \psline{<->}(-0.1,0)(-0.1,1)
\uput[u](4,5){16 cm} \uput[r](8,2.5){10 cm}
\uput[d](0.5,0){$x$} \uput[l](0,0.5){$x$}
\end{pspicture} \end{center}  

\begin{enumerate} \item Quelles sont les valeurs possibles de $x$ ?

\item Vérifier que le volume $V(x)$ de cette boîte est égal à $4x^3 - 52x^2 + 160x$.

\item Vérifier que $V'(x) = 4(x - 2)(3x - 20)$ ; étudier son signe sur l'intervalle [0 ; 5].

\item Construire le tableau de variations de la fonction $V$ sur l'intervalle [0 ; 5].

\item En déduire la valeur de $x$ pour laquelle le volume est maximal. Quel est alors 
ce volume ?

\end{enumerate}

\vspace{1 cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2  obligatoire} \hfill 7 points}

On considère une grille constituée de 6 lignes numérotées de haut en bas de 
L$_1$ à L$_6$ et de 4 colonnes numérotées de gauche à droite de C$_1$ à 
C$_4$.

\begin{center} \begin{tabular}{c | *{4}{c|}}
\multicolumn{1}{c}{}	& \multicolumn{1}{c}{~~C$_1$~~} & \multicolumn{1}{c}{~~C$_2$~~} & 
\multicolumn{1}{c}{~~C$_3$~~} & \multicolumn{1}{c}{~~C$_4$~~}\\ \cline{2-5}
L$_1$~~ &  &  &  & \\ \cline{2-5}
L$_2$~~ &  &  &  & \\ \cline{2-5}
L$_3$~~ &  &  &  & \\ \cline{2-5}
L$_4$~~ &  &  &  & \\ \cline{2-5}
L$_5$~~ &  &  &  & \\ \cline{2-5}
L$_6$~~ &  &  &  & \\ \cline{2-5}
\end{tabular} \end{center}

L'expérience consiste à noircir au hasard six cases dans cette grille.

\begin{enumerate}
 \item Dénombrer toutes les configurations possibles. 

\item On note A l'évènement : \og les six cases noires sont dans une même colonne\fg{} 
et B l'évènement \og il y a une case noire dans chacune des six lignes \fg{}.

Calculer la probabilité de A sous forme d'une fraction irréductible, puis celle de B à 
$10^{-4}$ près.

\item Soient les évènements L et C :

L : \og il y a exactement deux cases noires dans la ligne L$_1$ \fg{}

C : \og il y a exactement cinq cases noires dans la colonne C$_1$ \fg{}.

	\begin{enumerate}
		 \item Représenter une configuration prouvant que L et C ne sont pas incompatibles.

		\item Calculer sous forme de fraction irréductible la probabilité de l'évènement 
noté L ~$\cap$~ C.

		\item En déduire que la probabilité d'obtenir exactement deux cases noires dans la première
 ligne, sachant qu'il yen a exactement cinq dans la première colonne, est égale à
$\dfrac{5}{36}$.

(on rappelle que $p_{\text{C}}(\text{L}) = \dfrac{p(\text{L} \cap 
	\text{C})}{p(\text{C})}$.
	
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3 au choix}  \hfill 6 points}

Pierre opère un placement dans sa banque en versant sur un compte 200 euros, chaque premier janvier à partir du 01/01/2003. La banque rémunère ce compte au taux annuel 
 de $4\: \%$. On note $u_0$ le montant initial du compte, donc $u_0 = 200$ et 
 $u_n$ le montant au 1$^{\text{er}}$ janvier de l'année $(2003 + n),~ n$ étant un entier naturel.

\begin{enumerate}
 \item Calculer $u_1,~ u_2$ et $u_3$ . On arrondira au centime d'euro.

\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$.

\item On définit une nouvelle suite $\left(v_n\right)$ en posant, pour tout entier 
naturel $n,~ v_n = u_n + 5000$.

	\begin{enumerate} 
		\item Calculer les trois premiers termes de la suite $\left(v_n\right)$.

		\item Prouver que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique et préciser sa raison.

		\item Exprimer alors $v_n$ en fonction de $n$, puis en déduire que $u_n = 5200 
\times  (1,04)^n - 5000$.

	\end{enumerate}

\item Combien d'années Pierre devra-t-il attendre, pour disposer d'au moins 3000 euros sur ce
 compte ?

Pour cette question, on pourra faire appel à la fonction logarithme népérien 
notée $\ln$.

\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4 au choix } \hfill 6 points}

Voir annexe (à rendre avec la copie si l'exercice 4 est choisi).

SABCD est une pyramide de sommet S à base carrée ABCD. La droite (SA) est perpendiculaire
 au plan de base (ABCD). Sur la figure 1 ci-jointe, seule l'arête (SA) est représentée en
 vraie grandeur : SA = 9 cm, AB = 6cm.

\begin{enumerate}
 \item Compléter la figure 1 en perspective cavalière, en représentant toutes les arêtes et
 le point D en arrière plan.

\item On considère le point $M$ du segment [BD] tel que B$M = 4\sqrt{2}$. 
Soit $N$ le point de l'arête [SA] tel que S$N$ = B$M$.

	\begin{enumerate}
		 \item évaluer le quotient  $\dfrac{\text{B}M}{\text{BD}}$.

		\item Sur la figure 2 représenter en vraie grandeur le carré ABCD, puis construire le point
 $M$ à la règle non graduée et au compas (on pourra utiliser \textbf{a.})

		\item Sur la figure 1, construire le point $N$ défini ci-dessus.

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

Formule qui pourra être utile : La diagonale $d$ d'un carré de coté $a$ et telle 
que $d = a\sqrt{2}$.

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE à rendre si l'exercice 4 est choisi}
\end{center} 
\begin{pspicture}(7,10)
\psline(0,9.6)(0,1.5)(4.5,0)(6.5,2.7)
\uput[ul](0,9.6){S} \uput[l](0,1.5){A} \uput[d](4.5,0){B} 
\uput[r](6.5,2.7){C}
\rput(7.5,-0.4){Figure 1}
\end{pspicture}    
\vspace{1cm}
    
    \hrulefill
    
\begin{pspicture}(7,11)
\rput(7.5,-0.5){Figure 2}
\qdisk(7,0){1.5pt} \uput[d](7,0){A}
\end{pspicture}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newpage

%%%%%%%%%%  Liban juin 2003

\lhead{\small Baccalauréat   L facultatif}%tapez un titre
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{juin 2003}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\vspace{0,5cm}

\begin{center} {\Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalauréat L facultatif Liban juin 
2003 \decofourright}} 

\vspace{0,5cm}

Durée de l'épreuve : 3 heures
\end{center}

L'usage d'une calculatrice est autorisé (circulaire n° 99-186 du 16-11-1999)

\vspace{0,5cm}

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront
 pour une part importante dans l'appréciation des copies.

\vspace{0,5cm}

Les graphiques demandés seront réalisés sur une feuille de papier millimétré mise
 à votre disposition.

\vspace{0,5cm}

ANNEXE 1 : à rendre avec la copie si l'exercice 4 est choisi.

\vspace{1cm}

 {\large \textbf{\textsc{Exercice 1 obligatoire } \hfill 8 points}}

\begin{enumerate}
 \item On considère la fonction $g$ définie sur $[- 2~ ;~ 2]$ par 

\[g(x) = \text{e}^x - \text{e}^{-x}.\]

	\begin{enumerate}
		 \item Calculer des valeurs approchées à $10^{-2}$ près de $g(- 2)$ et de $g(2)$.

		\item Calculer $g(0)$ .

		\item Trouver la fonction dérivée de $g$ et montrer que $g'(x) > 0$ pour tout $x$
 dans $[- 2~ ;~ 2]$.

		\item En déduire le tableau de variations de la fonction $g$.

		\item Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $g(x) =  0$ ?

	\end{enumerate}

\item On considère la fonction $f$ définie sur $[- 2~ ;~ 2]$ par $f(x) = \text{e}^x + \text{e}^{-x}$.

On appelle $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal 
\Oij\\ (unité : 3 cm).

	\begin{enumerate}
		 \item Montrer que $f'(x) = g(x)$.

		\item En déduire le tableau de variations de $f$.

		\item Tracer la courbe représentative de $f$.

	\end{enumerate}

\item La courbe précédente s'appelle une chaînette parce qu'elle correspond
 à la forme obtenue lorsque on laisse pendre une chaîne maintenue aux deux
 extrémités. Galilée pensait que cette courbe devait être une parabole. Nous allons
 voir que ce n'est pas le cas.

Soit $h$ la fonction définie sur $[- 2~ ;~ 2]$ par $h(x) = ax^2 + b$.

	\begin{enumerate}
 		\item Montrer que l'on a $h( 0) = f(0)$ et $h(2) = f(2)$, si et seulement si

\[\left\{\begin{array}{r c l}
b&=& 2\\
4a + b&=&\text{e}^2 + \text{e}^{-2}\\
\end{array}\right.\]

		\item Donner une valeur approchée de $a$ à $10^{-2}$ près.

		\item En déduire une valeur approchée de $f(1)- h(1)$ à $10^{-2}$ près. Conclure.

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{1cm}

 {\large \textbf{\textsc{Exercice 2 obligatoire} \hfill 6 points}}

Un industriel qui produit des ampoules électriques a effectué une étude
 statistique pour connaître la durée de vie de ces ampoules. Les résultats sont 
résumés dans le tableau suivant :

{\footnotesize \begin{center} \begin{tabular}{| l | c | c | c | c | c |}\hline
Durée de vie  & & & & & \\
en heures& [0 ; 7000[& [7000 ; 8000[& [8000 ; 9000[& [9000; 
10000[ & Plus de 10000\\ \hline
Pourcentage& 10& 20& 40& 20& 10\\ \hline
\end{tabular} \end{center}}

\begin{enumerate}
 \item On choisit une ampoule au hasard parmi la production de l'industriel et on note :

A l'évènement \og la durée de vie de l'ampoule est supérieure à 8 000 heures \fg{}.

B l'évènement \og la durée de vie de l'ampoule est supérieure à 10 000 heures \fg{}.

	\begin{enumerate}
 		\item Donner les probabilités $p(\text{A})$ et $p(\text{B})$.

		\item Justifier que $p(\text{A} \cap \text{B}) = p(\text{B})$.

		\item En déduire la probabilité conditionnelle $p_{\text{A}} (\text{B})$.

	\end{enumerate}

\item On choisit maintenant deux ampoules au hasard parmi la production de l'industriel
 et on note :

C l'évènement \og la durée de vie de la première ampoule est supérieure à \nombre{10000}~heures \fg{}.

D l'évènement \og la durée de vie de la deuxième ampoule est supérieure à \nombre{10000}~heures \fg{}.

	\begin{enumerate} 
		\item Les évènements C et D sont indépendants. En déduire $p(\text{C} \cap \text{D})$.

		\item Calculer $p(\text{C} \cup \text{D})$.

		\item On place ces deux ampoules sur un plafonnier dans un bureau. Quelle est la probabilité que l'on puisse éclairer ce bureau plus de \nombre{10000}~heures sans changer d'ampoule ?
 
	 \end{enumerate}
 
 \end{enumerate}

Rappel :

\[p(\text{A} \cup \text{B})= p(\text{A})+ p(\text{B} )- p(\text{A} \cap \text{B}) \qquad p_{\text{A}}(\text{B})= \dfrac{p(\text{A} \cap \text{B})}{p(\text{A})}.\]

\vspace{1cm}

 {\large \textbf{\textsc{Exercice 3 (au choix)} \hfill 6 points}}

On note $\overline{abcd} = \nombre{1000}a + 100b + 10c + d$ l'écriture d'un nombre en base dix
 dont les chiffres sont $a,~ b,~ c$ et $d$.

\begin{enumerate}
 \item
 	 \begin{enumerate}
	 	 \item Déterminer le reste de la division euclidienne de 100 par 11, puis de \nombre{1000} par 11.

		\item Montrer que si un nombre entier $n$ vérifie $n \equiv 10 \qquad (\text{mod}~ 
11)$ alors on peut aussi écrire
\[n \equiv  - 1 \qquad (\text{mod}~ 11).\]

		\item En déduire que si $\overline{abcd}$ est divisible par 11 alors $- a + b - c + d$ est aussi
 divisible par 11.
 
	\end{enumerate} 

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Les nombres du type $\overline{abba}$ sont-ils divisibles par 11 ?

		\item Pour quelle valeur de $a$, le nombre $\overline{11a}$ est-il divisible par 11 ?

		\item Pour quelle valeur de $a$, le nombre $\overline{99a}$ est- il divisible par 11 ?

	\end{enumerate}

\item à quelles conditions les nombres du type 
$\overline{aab}$ sont-ils divisibles par 11 ?

\end{enumerate}

\vspace{1cm}

{\large \textbf{\textsc{Exercice 4 (au choix)}  \hfill  6 points}}

\begin{enumerate}
 \item Soit ABC un triangle quelconque et I, J et K les milieux des côtés [BC], [AC] et [AB].

	\begin{enumerate}
		 \item Faire une figure.

		\item Démontrer que AJIK est un parallélogramme. Donner deux autres parallélogrammes du même
type.

		\item Sur la figure 1 de l'annexe 1, construire à la règle et au compas le triangle dont
 les points I, J et K sont les milieux des côtés.
 
	\end{enumerate} 

\item Soit ABC un triangle quelconque et P, Q et R les pieds des hauteurs passant par
 A, B et C.

	\begin{enumerate} 
		\item Faire une figure.

On admet que les hauteurs du triangle ABC sont les bissectrices du triangle PQR.

		\item Expliquer comment on peut construire à la règle et au compas un triangle ABC 
dont on connaît les pieds des hauteurs P, Q et R.

		\item Effectuer la construction sur la figure 2 de l'annexe 1 (à rendre avec la
copie).

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}

\textbf{ANNEXE 1 : à rendre avec la copie si l'exercice 4 est choisi}

\vspace{2cm}
\psset{unit=1.5cm}

\begin{pspicture}(3,4)
\pspolygon(0,0)(2.3,0)(1.5,3)
\uput[dl](0,0){K} \uput[dr](2.3,0){J} \uput[ur](1.5,3){I} 
\rput(1.5,-1){Figure 1}
\end{pspicture}
\end{center} 

\vspace{3cm}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{center} 
\begin{pspicture}(3,4)
\pspolygon(0,0)(2.3,0)(1.5,3)
\uput[dl](0,0){R} \uput[dr](2.3,0){Q} \uput[ur](1.5,3){P} 
\rput(1.5,-1){Figure 2}
\end{pspicture}
\end{center} 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}