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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\makeatletter%graduations décimales
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lfoot{\small{ Baccalauréat L  année 2004}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge\textbf{\decofourleft~Baccalauréat L  2004 \decofourright \\\vspace{1cm} L'intégrale de juin à novembre 2004}}
\end{center}

\vspace{1cm}
 
{\Large   \hyperlink{AmeriqueNord}{Amérique du Nord juin 2004} \dotfill 3\medskip
 
\hyperlink{Antilles}{Antilles--Guyane juin 2004} \dotfill 6 \medskip

\hyperlink{Etranger}{Centres étrangers juin 2004} \dotfill  9 \medskip

\hyperlink{France}{Métropole juin 2004} \dotfill   14 \medskip

\hyperlink{Japon}{Japon juin 2004} \dotfill   17 \medskip

\hyperlink{LaReunion}{La Réunion juin 2004} \dotfill  21 \medskip

\hyperlink{Liban}{Liban juin 2004} \dotfill  24 \medskip

\hyperlink{Polynesie}{Polynésie juin 2004} \dotfill  28 \medskip

\hyperlink{AmduSud}{Amérique du Sud novembre 2004} \dotfill  33 \medskip

\hyperlink{Caledonie}{Nouvelle-Calédonie  novembre 2004} \dotfill  39 \medskip}
\newpage
~
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Amérique du Nord juin 2004
\hypertarget{AmeriqueNord}{}

\rhead{\small Baccalauréat L juin 2004}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat L Amérique du Nord  juin 2004~\decofourright}}

\vspace{0,25cm}

Les exercices 1 et 2 sont obligatoires. Le troisième exercice est à choisir parmi les exercices 3 et 4.
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 7 points}

\textbf{Partie I}

\vspace{0,2cm}

\parbox[l]{0.5\textwidth}{Soit $f$ une fonction définie sur l'intervalle [1 ; 8], strictement décroissante, dont la représentation graphique $\mathcal{C}$ dans un repère orthonormal est donnée ci-contre. La courbe
$\mathcal{C}$ contient les points A(1 ; 2) , B(2 ; 0) et C$(4~;~- 1)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  En utilisant la représentation graphique, donner, suivant
les valeurs de $x$, le signe de $f(x)$.

\item  On suppose que, pour tout $x$ de l'intervalle $[1~;~8]$~  $f(x) = - 2 + \dfrac{4}{x}$.

Retrouver par le calcul, le résultat du \textbf{1.}.
\end{enumerate}}\hfill
\parbox[r]{0.45\textwidth}{\psset{unit=0.65cm}\begin{pspicture}(0,-3)(8,3)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(0,-3)(8,3)
\psaxes[Dx=2,Dy=2](0,0)(0,-3)(8,3)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1)
\uput[dl](0,0){$0$} \uput[ur](2,0){B} \uput[dl](4,-1){A}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{8}{4 x div 2 sub}
\end{pspicture}}

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip

On considère la fonction $F$ définie sur l'intervalle [1~;~8] par : 

\[F(x) = 5 - 2x + 4\ln (x).\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que $F$ a pour dérivée la fonction $f$ de la \textbf{partie I}.

\item Étudier les variations de la fonction $F$ sur I'intervalle [1 ; 8], puis dresser son tableau de variations.
\item $\mathcal{C}_{F}$ désigne la courbe représentative de la fonction $F$ dans un repère orthogonal d'unités graphiques : en abscisses 1 cm, en ordonnées 2~cm.
	\begin{enumerate}
		\item Soit la droite $\Delta$, tangente à la courbe $\mathcal{C}_{F}$ en son point d'abscisse 1.

Montrer que le coefficient directeur de la droite $\Delta$ est égal à 2.
		\item Tracer la courbe $\mathcal{C}_{F}$ et la droite $\Delta$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Formulaire :}  La dérivée de la fonction $\ln$ sur I'intervalle $] 0~ ;~ + \infty [$ est la fonction qui, à $x$, associe $\dfrac{1}{x}$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points}

\medskip

Un directeur de société engage un jeune technicien et lui propose deux types de rémunération a partir du $1\up{er}$ janvier 2000.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Premier type de rémunération

Pour cette première année 2000, il percevra \np{22400}~euros, puis une augmentation annuelle constante de 750\,euros.

On note $u_{0}$ le salaire en euros pour l'année 2000, $u_{1}$, le salaire en euros pour l'année 2001, et d'une manière générale $u_{n}$ le salaire en euros pour l'année $2000 + n$ (pour $n$ entier naturel).
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les salaires annuels $u_{1}$, pour l'année 2001 et $u_{2}$ pour l'année 2002.
		\item Préciser la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ en indiquant sa raison.
		\item Montrer que $u_{n} = \np{22400} + 750 n$.
	\end{enumerate}
\item Deuxième type de rémunération

Pour l'année 2000, il percevra aussi \np{22400} euros, mais ensuite chaque année une augmentation de $3\,\%$ par rapport à l'année précédente. Dans ce cas, on note $v_{n }$ le montant en euros de la rémunération pour l'année $2000 + n$  (pour $n$ entier naturel).
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les salaires annuels $v_{1}$, pour l'année 2001 et $v_{2}$ pour l'année 2002.
		\item Montrer que $v_{n+1}  = 1,03 v_{n}$  pour tout $n$. En déduire la nature de la suite $(v_{n })$.
		\item En déduire l'expression de $v_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
\item Comparaison
	\begin{enumerate}
		\item Calculer dans chacun des deux cas Ie salaire annuel pour l'année 2008.
		\item Pour cette année 2008, préciser Ie type de rémunération Ie plus avantageux.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3 au choix } \hfill 6 points}

\medskip

Une urne contient cinq boules bleues, numérotées de 1 à 5, quatre boules vertes numérotées de 1 à 4 et une boule rouge portant le numéro 1.

Ces boules étant indiscernables au toucher, dans chacune des deux parties, les différentes éventualités sont équiprobables.

\textsl{Note : Les probabilités demandées seront présentées sous forme de fractions irréductibles.}

\bigskip

\textbf{Partie 1 : Tirages simultanés}

\medskip

On tire simultanément deux boules

\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre de tirages possibles.
\item Calculer la probabilité d'obtenir deux boules vertes.
\item Calculer la probabilité d'obtenir deux boules de la même couleur.
\item Calculer la probabilité d'obtenir au moins une boule bleue.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie 2 : Tirages successifs}

\medskip

On tire une boule, on note son numéro, puis sans remettre cette première boule tirée dans l'urne, on tire une autre boule et on note aussi son numéro. Avec ces deux numéros ainsi obtenus on forme un entier naturel comportant deux chiffres. Le premier numéro tiré est pris comme chiffre des dizaines et Ie second comme chiffre des unités.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre de tirages possibles.
\item Calculer la probabilité d'obtenir l'entier 24.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4 au choix } \hfill 6 points}

\medskip

\parbox[l]{0.65\textwidth}{Le but de l'exercice est de construire un pentagone régulier ABCDE inscrit dans un cercle de centre O.\\
On rappelle que, dans ce cas, les angles géométriques $\widehat{\text{AOB}},~ \widehat{\text{BOC}},~ \widehat{\text{COD}},~
\widehat{\text{DOE}}$ et $\widehat{\text{EOA}}$ ont tous pour mesure $72\up{o}$. \\
\textbf{Toutes les constructions demandées seront effectuées à la règle et au compas
 sur la feuille annexe (à rendre avec la copie) si l'exercice 4 est
choisi. Laisser les traits de construction apparents.}\\
MON (donné en annexe) est un triangle rectangle isocèle en M. Les
segments [OM] et [MN] ont pour longueur l'unité.} \hfill
\parbox[l]{0.33\textwidth}{\begin{pspicture}(-2,-2)(2,2)
\SpecialCoor
\pscircle(0,0){2}
\psline(0;0)(2;5)(2;77)(2;149)(2;221)(2;293)(2;5)
\psline(0;0)(2;5) \psline(0;0)(2;77) \psline(0;0)(2;149)
\psline(0;0)(2;221) \psline(0;0)(2;293)
\rput[ur](0.4;35){O}   \rput[r](2.3;5){A}  \rput[ur](2.3;77){B} 
\rput[ul](2.3;149){C}  \rput[dl](2.3;221){D}  \rput[dr](2.3;293){E}
\end{pspicture}} 

\begin{enumerate}
\item Construire, à la règle et au compas, sur la feuille annexe (à rendre avec la copie si l'exercice 4 est choisi) :
	\begin{enumerate}
		\item la médiatrice $\Delta$ du segment [OM] (on appelle I le milieu de [OM]) ;
		\item le point A, intersection  du  cercle de centre I passant  par N avec la demi-droite [OM).
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer IN.
		\item En déduire que OA = $\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Tracer le cercle de centre O passant par A. Placer les points B et E, intersections de ce cercle avec la médiatrice $\Delta$.

On admet que l'angle $\widehat{\text{IOB}}$  a pour mesure $72 \up{o}$.
		\item En déduire que les points A, B et E sont trois sommets d'un pentagone régulier ABCDE inscrit dans le cercle de centre O dont on achèvera la construction.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\begin{center} 

\textbf{Annexe à rendre avec la copie (si l'exercice 4 est choisi)}

\vspace{4cm}

\begin{pspicture}(5, 5)
\pspolygon(0,0)(5,0)(5,5)
\uput[dl](0,0){O} \uput[dr](5,0){M} \uput[ur](5,5){N} 
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%   fin Amérique du Nord juin 2004
\newpage
%%%%%%%%%%%%%% Antilles-Guyane juin 2004
\hypertarget{Antilles}{}

\lhead{\small Terminale L spécialité}
\rfoot{\small{juin 2004}}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
    
Le candidat traitera obligatoirement trois exercices

\textbf{OBLIGATOIREMENT} L'exercice 1 et l'exercice 2

\textbf{AU CHOIX :} L'exercice 3 ou l'exercice 4.

L'usage de la calculatrice est autorisé pour cette épreuve.

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat L Antilles--Guyane juin 2004 \decofourright}}

\vspace{0,2 5cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1 Obligatoire} \hfill  7 points}

\medskip

\parbox[l]{0.35\textwidth}{La figure ci-contre est le schéma d'un cric de voiture.\\
Celui-ci est constitué d'un losange que l'on peut déformer OABC, le point O étant le point d'appui
sur le sol et le point B étant le point par lequel la voiture est soulevée.\\
Lorsqu'on tourne la manivelle M, les écrous A et C se rapprochent (ou s'éloignent),
ce qui fait monter (ou descendre) l'appui B, selon l'axe (O$y$).} \hfill
\parbox[r]{.6\textwidth}{\psset{unit=0.7cm}\begin{pspicture}(10,5)
\pspolygon(0.6,2.3)(3.8,4.6)(7,2.3)(3.8,0)
\psline[linestyle=dotted]{->}(0,0)(10,0)
\psline[linestyle=dotted](0,2.3)(10,2.3)
\psline[linestyle=dotted]{->}(3.8,0)(3.8,5.2)
\psline(8.6,2.3)(9,2.3)(9,2.9)(10,2.9)(10,2.3)(10.2,2.3)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](1.9,0)(5.7,-0.2)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](3,4.6)(4.6,4.8)
\psline(8.7,2.2)(8.6,2.2)(8.6,2.4)(8.7,2.4)
\uput[ul](0.6,2.3){C} \uput[dr](3.8,4.5){B}
\uput[ur](7,2.3){A} \uput[ur](3.8,0.1){O}
\uput[ul](3.8,2.3){I} \uput[u](9.5,2.9){M}
\uput[u](9.8,0){$x$} \uput[r](3.8,5){$y$}
\multips(0,2.3)(0.3,0){10}{\psline(0,-0.1)(0.2,0.1)}
\multips(5,2.3)(0.3,0){10}{\psline(-0.1,0.1)(0.1,-0.1)}
\end{pspicture}}

\begin{center}On donne : OA = OC = AB = BC =25 cm \end{center}

Dans le repère orthonormal (O$xy$) d'unité un centimètre, $x_{\text{A}}$ désigne 
l'abscisse du point A et varie de 0 à 25.

L'ordonnée du point B est notée $y_{\text{B}}$. Pour $x_{\text{A}} = 0$, on a : $y_{\text{B}}
 = 50$ et pour $x_{\text{A}} = 25$ on a : $y_{\text{B}} = 0$.

Pour que le cric fonctionne correctement, il faut $x_{\text{A}} > 6$ et 
$y_{\text{B}} > 10$.

\begin{enumerate}
 \item 
 	\begin{enumerate}
		\item En utilisant le théorème de Pythagore dans
 le triangle AIB, trouver une relation entre $x_{\text{A}}$ et 
 $y_{\text{B}}$ et vérifier que $y_{\text{B}} = 2\sqrt{625 -  
 x_{\text{A}}^2}$.
		\item En utilisant la relation trouvée à la question \textbf{a.}, calculer la valeur de $x_{\text{A}}$ lorsque $y_{\text{B}}$ est égal à 10, puis
la valeur de $y_{\text{B}}$ lorsque $x_{\text{A}}$ est égal à 6.
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie pour $x$ appartenant à 
l'intervalle [0 ; 25] par 

\[f(x) = 2\sqrt{625 - x^2}.\]

\textsl{On admettra qu'une fonction de type $\sqrt{u}$	où $u$ est une fonction définie et  positive sur un intervalle, a le même sens de variation que $u$ sur cet intervalle.}
	\begin{enumerate}
 		\item Déterminer la dérivée $u'$ de la fonction $u$ définie sur l'intervalle 
$[0~;~25]$ par $u(x) = 625 - x^2$. Étudier le signe de $u'(x)$ quand $x$  varie entre 0 et 25.

En déduire le sens de variation de la fonction $u$ sur l'intervalle [0~;~25].
		\item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$. On précisera les valeurs de la fonction aux bornes de l'intervalle.
		\item Tracer la courbe ($\Gamma$) représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal d'unité graphique 0,5~cm. On précisera sur la courbe les points d'abscisses 18, 20, 22 et 24.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'augmentation $q_1$ de la hauteur $y_{\text{B}}$
 quand l'abscisse $x_{\text{A}}$ passe de 24 à 22. Vérifier ce résultat
sur la courbe ($\Gamma$) en faisant apparaître les constructions effectuées.
		\item Évaluer, à l'aide du graphique en faisant apparaître les traits de construction utiles, l'augmentation $q_2$ de $y_{\text{B}}$ lorsque $x_{\text{A}}$ passe de 22 à 20, puis l'augmentation $q_2$ de $y_{\text{B}}$ lorsque $x_{\text{A}}$ passe de 20 à 18.
		\item Lorsqu'on actionne la manivelle de façon régulière, peut-on dire 
que la voiture monte à une vitesse constante ? Justifiez votre réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice  Obligatoire} \hfill   7 points}

\medskip

Deux amies, Agnès et Bénédicte gagnent \np{2000}~\euro à un jeu. Elles partagent cette somme en deux parts égales.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Agnès, qui a déjà \np{3000}~\euro{} d'économies, ajoute ses \np{1000}~\euro{} à ses 
économies et place le total sur un livret d'épargne qui rapporte $3,5\,\%$ d'intérêts par an (intérêts composés).
	
On note $u_0$ le capital placé ($u_0 = \np{4000}),~ u_1$ le capital acquis au bout  d'un an, et plus généralement $u_n$ le capital acquis au bout de $n$ années.

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. En déduire la nature de la suite $(u_n)$.
\item Exprimer le terme général $u_n$ en fonction de $n$.
\item Quel sera le capital obtenu au bout de 6 ans ? (On arrondira le 
résultat au centime).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Bénédicte choisit un compte épargne dont le taux mensuel est de 0,25 % 
et choisit d'y ajouter à la fin de chaque mois la somme de 50 \euro. Les intérêts acquis sont capitalisés à la fin de chaque mois.

On note $y_0$ le capital placé ($y_0 = \np{1000}),~ y_1$ le capital acquis au bout 
d'un mois, et plus généralement $y_n$ le capital acquis au bout de $n$ mois.

\begin{enumerate}
\item Calculer $y_1$ et $y_2$ (on arrondira le résultat au centime). Vérifier que $y_3 = \np{1157,89}$.
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$.
\item On considère la suite $\left(w_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par  $w_{n} = v_n + \np{20000}$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(w_n\right)$ est une suite géométrique de raison  \np{1,0025}. Préciser $w_n$	et exprimer le terme général $w_n$ en fonction de $n$. En déduire $v_n$ en fonction de $n$.
		\item Calculer le capital acquis par Bénédicte au bout de 6 ans (soit 72 
mois). (On arrondira le résultat au centime).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3  au choix} \hfill 6 points}

\medskip

Le célèbre tableau de DAVID : \og Le sacre de Napoléon \fg{} immortalise 
l'évènement du 2 décembre 1804.

Sur la période considérée, toutes les années dont le millésime est 
multiple de 4 sont bissextiles, sauf l'année 1900.

Considérons le 2 décembre 1804 comme le jour de rang 1.

\begin{enumerate}
\item 
 	\begin{enumerate}
		\item Combien y-a-t-il d'années dont le millésime est compris entre 1805 (inclus) et 2003 (inclus) ?
		\item Parmi ces années, montrer qu'il y a 48 années bissextiles.
	\end{enumerate}
\item Prouver que le rang du 1\up{er} janvier 2004 
est \np{72714}.
\item Déterminer l'entier a compris entre 0 et 6 inclus tel que : 
$\np{72714}~ \equiv a$~ (modulo 7).
\item Sachant que le $1\up{er}$ janvier 2004 était un jeudi, recopier et 
compléter le tableau suivant où $k$ désigne un nombre entier :

\begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{1.9cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Rang du jour& $7k$ & $7k+1$ & $7k+2$ & $7k+3$ & $7k+4$ & $7k+5$ & $7k+6$\\ \hline
Jour de la semaine& & & & & & & \\ \hline
\end{tabularx} \end{center}

\item Quel jour de la semaine, Napoléon $\text{I}\up{er}$ a-t-il été sacré empereur ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4  au choix} \hfill 6 points}

\medskip

Un malade souffrant d'angine va consulter son médecin. L'agent infectieux a 4 chances sur 5 d'être un streptocoque. Le médecin décide de faire des analyses en laboratoire. 

Les techniques de laboratoire comportent des risques d'erreur

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Le streptocoque, lorsqu'il est présent, a 1 chance sur 5 de ne pas être décelé.
\item[$\bullet~$] Le streptocoque, lorsqu'il est absent, a 1 chance sur 10 d'être  décelé par erreur.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On note S l' évènement : \og Le streptocoque est présent \fg{} et D 
l'évènement \og Le streptocoque est décelé \fg{}.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans cette partie, les résultats seront donnés sous forme de fractions 
irréductibles.

Le médecin fait procéder à une première analyse.

\begin{enumerate}
 \item Traduire les données à l'aide d'un arbre pondéré.
Calculer la probabilité de l'évènement : \og Le streptocoque est présent 
et est décelé \fg{}.
\item Montrer que la probabilité $P$(D) que le streptocoque soit décelé est  égale à $\dfrac{33}{50}$.
\item Le streptocoque est décelé. Quelle est la probabilité pour qu'il 
soit présent ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

\textsl{Dans cette partie, les probabilités seront données sous forme décimale,
arrondies au millième.}

Pour confirmer son diagnostic, le médecin fait analyser quatre autres prélèvements faits sur ce patient.

(Les quatre tests sont réalisés dans les mêmes conditions et sont indépendants).

Quelle est la probabilité pour que le streptocoque soit décelé dans exactement trois tests parmi les quatre ?
%%%%%%%%%%%%%%   Fin Antilles juin 2004
\newpage
%%%%%%%%%%%%%% Centres étrangers juin 2004
\hypertarget{Etranger}{}

\lhead{\small Baccalauréat L spécialité}
\lfoot{\small{Centres étrangers groupe 1}}
\rfoot{\small{ juin 2004}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat L  Centres 
étrangers juin 2004~\decofourright}} 
    
\vspace{0,25cm}

L'usage d'une calculatrice est autorisée \hfill 3 heures

\vspace{0,25cm}

Le candidat doit traiter \textbf{trois} exercices

Obligatoirement : l'exercice 1 et l'exercice 2

Au choix : l'exercice 3 \textbf{ou} l'exercice 4

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 obligatoire} \hfill 8 points}

\medskip

Le but de l'exercice est d'étudier la fonction $f$ définie sur l'intervalle 
[1~;~3] par 

\[f(x) = \dfrac{x}{2} - \dfrac{\ln x}{x}.\]

On rappelle que e est le nombre tel que $\ln \text{e} =  1$.

On  note ($\mathcal{C}$) la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère \Oij.

La courbe ($\mathcal{C}$) est donnée en annexe à rendre avec la copie.

\textbf{Cette courbe permettra de contrôler l'exactitude de certains résultats, mais ne doit pas être utilisée pour justifier les réponses.}
 
\bigskip

\textbf{Partie I}

\medskip

On considère la fonction $u$ définie sur l'intervalle [1~;~3] par 

\[u(x) =  x^2 - 2 + 2 \ln x.\]

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item  On note $u'$ la dérivée de la fonction $u$. Calculer $u'(x)$.
\item  Dresser le tableau de variations de la fonction $u$ sur l'intervalle [1~;~ 3].
\item  On admet l'existence d'un nombre unique $a$, appartenant à l'intervalle [1~;~ 3] tel que $u(a) = 0$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Recopier et compléter le tableau ci-dessous en indiquant le signe de $u(x)$.

\begin{center}
\begin{pspicture}(7,2)
\uput[u](0.5,1){$x$} \uput[u](1.25,1){$1$} \uput[u](4,1){$a$} 
\uput[u](7,1){3}
\psline(0,1)(7,1)
\psline(1,0)(1,2)
\uput[u](0.5,0){$u(x)$} \uput[u](4,0){$0$}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip

\textbf{a.} On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$.

On admet que pour tout $x$ de l'intervalle [1 ; 3],~$ f'(x) = 
\dfrac{u(x)}{2x^2}$	où $u$ est la fonction définie dans la partie I.

Déterminer selon les valeurs de $x$ le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [1~;~ 3].

\textbf{b.} Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ (on ne calculera pas $f(a)$).

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item  On note A le point de coordonnées $\left(1~;~\dfrac{1}{2}\right)$.

Montrer que la tangente (T) à la courbe ($\mathcal{C}$) au point d'abscisse e est
 parallèle à la droite (OA).
\item  Tracer la droite (OA) et la tangente (T) sur l'annexe à rendre avec la copie.

Placer le point B de coordonnées $(a~;~f(a))$ et la tangente à la courbe ($\mathcal{C}$) au point B.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

\emph{Dans tout l'exercice, le format d'un rectangle est le quotient de sa longueur par sa largeur.}

\emph{Le but de cet exercice est d'étudier deux formats différents.}

\emph{Les parties} A \emph{et} B \emph{sont indépendantes.}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A - Étude d'un premier format}

\medskip

Les dimensions d'une feuille rectangulaire (appelée $R_1$ ) sont $l$ et $L$ (voir figure 1). Ainsi le format de $R_1$ est égal à $\dfrac{L}{l}$.

On coupe $R_1$ en deux rectangles égaux, appelés $R_2$ (voir figure 2). 

On suppose que $l < L < 2l$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(11,2.5)
\psframe(0,0)(3,2)
\uput[u](1.5,2){$L$} \rput(1.5,1){$R_1$} \uput[l](0,1){$l$}
\rput(1.5,-0.5){Figure 1}
\psframe(8,0)(11,2)
\uput[u](9.5,2){$L$} \uput[l](8,1){$l$}
\psline(9.5,0)(9.5,2)
\rput(8.75,1){$R_2$} \rput(10.25,1){$R_2$}
\rput(9.5,-0.5){Figure 2}
\end{pspicture} \end{center}

\vspace{0,5cm}

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item  Donner le format d'une feuille $R_2$ en fonction de $L$ et $l$.
\item  On suppose que les feuilles $R_1$ et $R_2$ ont le même format.

 Montrer alors que le format $\dfrac{L}{l}$ est égal à $\sqrt{2}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie B - Étude d'un second format}

\vspace{0,3cm}

\parbox[l]{0.6\textwidth}{Soit un rectangle ABCD de longueur AB $= L$ et de largeur AD $ = l$.

On suppose que $l < L < 2l$.

On considère le carré AEFD construit dans le rectangle
ABCD (voir figure 3).

Donner le format du rectangle EBCF en fonction de $L$ et $l$.} \hfill
\parbox[l]{0.36\textwidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4,2)
\psframe(0,0)(4,2) \psline(2.5,0)(2.5,2)
\uput[dl](0,0){A} \uput[d](2.5,0){E} \uput[dr](4,0){B} 
\uput[ur](4,2){C} \uput[u](2.5,2){F} \uput[ul](0,2){D}
\rput(2,-0.8){Figure 3}
\end{pspicture}}

\vspace{0,5cm} 

Vérifier que ce format peut s'écrire $\dfrac{1}{\dfrac{L}{l} - 1}$.

 -- On pose  $\dfrac{L}{l} = x$. On admet que $x$ appartient à 
l'intervalle $]1~;~+\infty[$.

On se propose de trouver une valeur de $x$ telle que les deux rectangles ABCD et EBCF aient le même format.

\textbf{a.} Montrer que les rectangles ABCD et EBCF ont le même format si $x = \dfrac{1}{x-1}$.

 \textbf{b.} On admet que, dans l'intervalle $]1~;~+\infty[$, résoudre l'équation $x = \dfrac{1}{x-1}$, revient à résoudre l'équation $x^2 - x - 1 = 0\quad  \text{E}_1$).

On rappelle que le nombre d'or est $\Phi = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$.
Montrer que $\Phi$ est solution de l'équation (E$_1$).

\textbf{c.} Conclure.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3 au choix} \hfill 6 points}

\medskip

Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par son premier terme $u_0 = 6$ et par la relation de récurrence : 

\[u_{n+1} = \dfrac{1}{4}u_n +3 \qquad  (n \quad  \text{est un entier 
naturel}).\]

On pose $v_n =u_n - 4$.

\textbf{a.} Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

\textbf{b.} Montrer que $v_n = 2\left(\dfrac{1}{4}\right)^n$. En déduire l'expression 
de $u_n$ en fonction de $n$.

\textbf{c.} Déterminer la limite de la suite $\left(v_n\right)$, puis celle de la suite $\left(u_n\right)$.

-- On pose $a_n =  \ln v_n$.

\textbf{a.} Montrer que la suite $\left(a_n\right)$ est une suite arithmétique de
 raison $- 2 \ln 2$.

\textbf{b.} Déterminer l'expression de $a_n$ en fonction de $n$.

\textbf{c.} Déterminer la valeur de $n$ pour laquelle $a_n$ est égale à $-13 \ln 2$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4 au choix} \hfill 6 points}

\medskip

Le tableau suivant contient trois lignes comportant chacune une situation et trois
 affirmations.

 Pour chaque affirmation, faire figurer le mot \og vrai \fg{} ou le mot \og faux \fg{} en toutes
 lettres dans la case correspondante du tableau de l'annexe, à rendre avec la copie.

{\footnotesize \begin{center} \begin{tabular}{|l|l|*{3}{c|}}\hline
 &	On sait que :&	 &	& \\
S$_1$& $10^7 \equiv 5$ (modulo 17)&$10^7 + 10^{11} \equiv 5$ &    
$10^{16k} \equiv  1$ &  	$10^{16k+7} \equiv 1$ \\
&et $10^{16} \equiv  1$\quad  (modulo 17)& 	(modulo 17) &(modulo 17)& (modulo 
17)\\ \hline
&Soit $f$ la fonction définie &&La fonction $f$ est&\\
&sur $]0~ ;~ +\infty[$&&strictement& \\
S$_2$&par $f(x) = - \dfrac{1}{x} + \ln x$&$f'(x) = \dfrac{1}{x} + 
\dfrac{1}{x^2}$& décroissante sur & $f\left(\sqrt{\text{e}}\right) = 
\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{\text{e}}}{\text{e}}$\\
&&&l'intervalle & \\ 
&&&	$]0~ ;~ + \infty[$& \\ \hline
&À l'entraînement, un basketteur &&& \\
&effectue des tentatives pour &La probabilité&La probabilité&	La probabilité\\
&marquer un panier. Chaque tenta-&de réussir les 4& de réussir 
les 4& de réussir\\
S$_3$&tive  a 8 chances sur 10 de réussir.&tentatives est 1&tentatives 
est &exactement 3\\
& À chaque tentative la probabilité &&$\dfrac{256}{625}$&tentatives est\\
&de  succès est donc égale à $\dfrac{8}{10}$.&&&	$\dfrac{256}{625}$\\
& Le joueur effectue 4 tentatives &&& \\
&successives (on admet qu'elles &&&\\
&sont  indépendantes).&&&\\\hline
\end{tabular} \end{center}}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe de l'exercice 1}

\vspace{1cm}

\textbf{À compléter et à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\psset{xunit= 4cm,yunit=11cm}
\begin{pspicture}(3.5,1.2)
\psline(0,0)(3.5,0)
\psline(0,0)(0,1.2)
\psline[linestyle=dotted](1,0)(1,0.5)
\psline[linestyle=dotted](0,0.5)(1,0.5)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{3}{x 2 div x ln x div sub}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.8){$\vect{\jmath}$}
\uput[d](1,0){1} \uput[d](2.71828,0){e} \uput[d](3,0){3} 
\psline[linestyle=dotted](2.71828,0)(2.71828,0.99126)
\psline[linestyle=dotted](3,0)(3,1.1338)
\uput[l](0,0.5){$0,5$} \uput[l](0,1){1}
\uput[u](1,0.5){$0,5$} \uput[u](2.719,1){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}
    
\newpage
    
\begin{center}
\textbf{Annexe de l'exercice 4}

\vspace{1cm}

\textbf{À rendre avec la copie si l'exercice est choisi}

\vspace{1cm}

\textbf{Tableau à compléter}

\vspace{1cm}

 \begin{tabular}{|l|l|*{3}{c|}}\hline
 &	On sait que :&~~~~~~~	 &~~~~~~~	& ~~~~~~~\\
S$_1$& $10^7 \equiv 5$ (modulo 17)& &     &  	 \\
&et $10^{16} \equiv  1$\quad  (modulo 17)& 	 && \\ \hline
&Soit $f$ la fonction définie &&&\\
&sur $]0~ ;~ +\infty[$&&& \\
S$_2$&par $f(x) = - \dfrac{1}{x} + \ln x$&&  & \\
&&&& \\ 
&&&	& \\ \hline
&À l'entraînement, un basketteur &&& \\
&effectue des tentatives pour &&&	\\
&marquer un panier. Chaque tenta-& &  & \\
S$_3$&tive  a 8 chances sur 10 de réussir.&& &\\
& À chaque tentative la probabilité &&&\\
&de  succès est donc égale à $\dfrac{8}{10}$.&&&\\
& Le joueur effectue 4 tentatives &&& \\
&successives (on admet qu'elles &&&\\
&sont  indépendantes).&&&\\\hline
\end{tabular} \end{center}
%%%%%%%%%%%%%%   Fin Centres étrangers juin 2004
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Métropole juin 2004 juin 2004
\hypertarget{France}{}

\lhead{\small Baccalauréat  L spécialité }
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{ juin 2004}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat L facultatif Métropole juin 2004~\decofourright}} 
    
\vspace{0,25cm}

L'usage d'une calculatrice est autorisée \hfill 3 heures

Ce sujet nécessite une feuille de papier millimétré

\vspace{0,5cm}

Le candidat doit traiter \textbf{trois} exercices

Obligatoirement : l'exercice 1 et l'exercice 2

Au choix : l'exercice 3 \textbf{ou} l'exercice 4

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 obligatoire} \hfill 7 points}

\medskip

\textbf{Partie I}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle I = [0 ; 10] par 

\[f(x) = x^2 - 10x + 100.\]

\begin{enumerate} 
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle I et montrer 
qu'elle admet un minimum que l'on précisera. 
\item Tracer la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal avec pour unités un centimètre sur l'axe des abscisses et deux millimètres sur l'axe
 des ordonnées. 
\item Résoudre graphiquement l'équation $f(x) = 81$.
\end{enumerate}

\textbf{Partie II}

On considère un triangle équilatéral ABC dont les côtés ont pour longueur 
10 centimètres et un point $M$ du segment [AB]. 

Le point $N$ est le point du segment [AC] tel que A$N$ = A$M$.

Le point $H$ est le pied de la hauteur issue de $N$ dans le triangle A$N$B.

\begin{enumerate}
\item Faire une figure. 
\item L'objectif de cette question est de déterminer par le calcul le point $M$ du segment [AB] pour lequel la distance B$N$ est minimale. Les distances  sont exprimées en centimètres. 

On pose A$M = x$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer L'intervalle des valeurs possibles pour $x$. 
		\item Déterminer en fonction de $x$ la distance $H$B. 
		\item Montrer que $HN = \dfrac{\sqrt{3}}{2}x$.
		\item Déterminer en fonction de $x$ la valeur de B$N^2$. 
		\item En utilisant les résultats précédents, déterminer le point $M$ du segment [AB] pour lequel B$N^2$ est minimal.
	\end{enumerate}

\item L'objectif de cette question est de retrouver géométriquement le résultat de la question précédente.
	\begin{enumerate}
		 \item Montrer que la distance B$N$ est minimale lorsque l'angle 
$\widehat{\text{A}N\text{B}}$ est droit. 
		\item Vérifier que l'on retrouve bien la réponse à la question \textbf{2.}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 obligatoire} \hfill 6 points} 

\medskip

Au 1\up{er} janvier 2004, j'ai une somme $u_0$ de \np{1000}~\euro{}
 sur mon compte rémunéré en intérêts composés à 2\,\% par an. 

On note $u_0 = \np{1000}$. 

Les intérêts sont versés chaque année le 31 décembre. 

Je décide qu'à partir de 2005 je retirerai chaque année 100~\euro{} le 1\up{er}
janvier.

J'appelle $u_n$ le solde au 1\up{er} janvier de l'année (2004 $+ n$) 
après mon retrait de 100~\euro.

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les soldes $u_1$ et $u_2$ de ce compte.
		\item La suite de terme général $u_n$ est-elle arithmétique ? Est-elle géométrique ?
		\item Montrer que pour tout $n$ entier naturel, $u_{n+1} = 1,02u_n - 100$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On pose, pour tout $n$ entier naturel, $v_n = u_n - \np{5000}$. Calculer  $v_0$.
		\item Montrer que pour tout $n,~ v_{n+1} = 1,02v_n$.
		\item Exprimer le terme général $v_n$ de la suite $\left(v_n\right)$ en fonction de $n$.
 \end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		 \item En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
		\item Calculer $u_{10}$ en arrondissant à 0,01 près.
		\item À partir du $1\up{er}$ janvier de quelle année mon compte aura-t-il un solde négatif pour la première fois ?
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 3 au choix} \hfill 7 points}

\medskip

Le but de l'exercice est de prouver pour les nombres à quatre chiffres, le critère de divisibilité : \og Un nombre est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3 \fg{}.

\begin{enumerate}
\item Un exemple
	\begin{enumerate}
		\item Pour un entier naturel $n$, que signifie La phrase \og $n$ est congru  à 1 modulo 3 \fg{} ?

Traduire à l'aide d'une congruence \og $n$ est divisible par 3 \fg{}.
		\item Pour chacun des nombres suivants, donner l'entier positif le plus petit auquel il est congru modulo 3 : 10, 100, 1 000, $10 ^p$ où $p$ est un entier positif.
		\item Déterminer le plus petit entier, positif auquel est congru le nombre 4520  modulo 3.

On remarquera que $\np{4520}  = 4 \times \np{1000} + 5 \times 100 + 2 \times 10$.
		\item En utilisant la \textbf{question b.} trouver le reste de la division de \np{5112} par 3.
	\end{enumerate}
\item Quelques généralisations

On considère un entier $N$ à quatre chiffres, quatre entiers $a,~ b,~ 
c$ et $d$ entre 0 et 9 tels que $a \neq 0$ et $N = \np{1000}a + 100b + 10c + d$.

Le chiffre des unités est $d$, celui des dizaines $c$, des centaines 
$b$ et des milliers $a$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $N \equiv a + b + c + d \quad  \text{modulo}\quad  3$.
		\item Justifier, pour les nombres à quatre chiffres, le critère de divisibilité par 3 énoncé au début de l'exercice.
		\item Énoncer un critère analogue de divisibilité par 9 et le démontrer pour les  nombres à quatre chiffres.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4 au choix} \hfill 7 points}

\medskip

À l'université de sciences économiques, les étudiants de licence sont répartis en deux filières A et B. Un tiers des étudiants de licence est dans la filière A.

Parmi les étudiants de la filière A, $60\,\%$ sont inscrits dans l'option droit.

Parmi les étudiants de la filière B, $90\,\%$ sont inscrits dans L'option droit.

\begin{enumerate}
\item On interroge un étudiant de licence au hasard. 

On note A l'évènement \og l'étudiant est dans la filière A \fg{}. 

On note D l'évènement \og l'étudiant est inscrit à l'option droit \fg{}.

	\begin{enumerate}
		\item Traduire la situation ci-dessus par un arbre.
		\item Montrer que la probabilité pour que l'étudiant soit inscrit dans l'option droit est $p$(D) = 0,8.
		\item Déterminer la probabilité $p_{\overline{\text{D}}}(\text{A})$, probabilité pour que l'étudiant appartienne  à la filière A sachant qu'il n'est pas inscrit dans l'option droit.
	\end{enumerate}
\item On interroge au hasard successivement trois étudiants de licence. On 
s'intéresse au nombre d'étudiants inscrits dans l'option droit, parmi 
les trois étudiants interrogés.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité pour que les trois étudiants soient inscrits dans l'option droit.
		\item Calculer la probabilité pour que deux étudiants exactement soient inscrits dans l'option droit.
		\item Calculer la probabilité pour qu'aucun des trois étudiants ne soit inscrit dans l'option droit.
		\item Calculer la probabilité pour qu'au moins un des trois étudiants ne soit pas  inscrit dans l'option droit.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%   Fin Métropole juin 2004
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%   Japon juin 2004
\hypertarget{Japon}{}

\lhead{\small Terminale L spécialité }
\rfoot{\small{juin 2004}}
\lfoot{\small{Japon}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat L Japon juin 2004~\decofourright}}

\vspace{1cm}
    
Le candidat traitera obligatoirement trois exercices

\textbf{OBLIGATOIREMENT} L'exercice 1 et l'exercice 2

\textbf{AU CHOIX :} L'exercice 3 ou l'exercice 4.

L'usage de la calculatrice est autorisé pour cette épreuve.


\vspace{0,25cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1 obligatoire} \hfill  7 points}
 
\medskip

La courbe ($\mathcal{C}$) ci-dessous est la représentation graphique dans le plan 
muni d'un repère orthonormal d'une fonction $f$ définie sur 
l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.  On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

La droite (D) est la tangente à la courbe ($\mathcal{C}$) au point d'abscisse 4 et 
est parallèle à l'axe des abscisses.

L'axe des ordonnées est asymptote à la courbe.

\begin{center} \psset{unit=0.4615cm} \begin{pspicture}(0,-2)(26,7)
\psaxes(0,0)(0,-1.9)(26,7)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1)
\uput[dl](0,0){O} \uput[u](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[u](20,1){($\mathcal{C}$)} 
\psline(0,5.77259)(26,5.77259)
\uput[u](20,5.77259){(D)}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.031}{26}{5 x 0.5 mul sub x ln 2 mul add}
\end{pspicture} \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A : Lectures graphiques}

\medskip

\begin{enumerate}
 \item 
 	\begin{enumerate}
		\item Donner par lecture graphique, une 
    valeur approchée à 0,5 près de $f(2)$ et $f(20)$.
		\item Donner la valeur exacte de $f'(4)$.
	\end{enumerate}
\item Donner par lecture graphique, le tableau de variations de la fonction 
$f$ ainsi que le signe de la dérivée $f'$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie B : Vérifications algébriques}

\medskip

On suppose que $f(x)$ est de la forme $ax + b + c \ln x$ où $a,~ b$ 
et $c$ sont trois réels et $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.
\begin{enumerate}
 \item
 	 \begin{enumerate}
		\item Exprimer $f'(x)$ en fonction 
de $a,~c$ et $x$.
		\item Le maximum de $f$ étant obtenu pour $x$ égal à 4, en déduire une relation entre $a$ et $c$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Sachant que la courbe représentative de $f$ passe par le point A(1 ; 4,5), donner une relation entre $a$ et $b$.
		\item On sait que le point B(e ; $7 - 0,5$e) appartient à la courbe représentative de $f$. En déduire une relation entre $a,~b$ et $c$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déduire des questions précédentes que l'on a 

\[f(x) = - 0,5x + 5 +  2 \ln x.\]

		\item En déduire les valeurs exactes de $f(2)$ et $f(20)$ et du maximum de $f$.
		\item Déterminer la limite en $0$ de $f$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 obligatoire} \hfill 7 points}

\vspace{0,3cm}

\textbf{Partie A} 

\medskip

Une retenue d'eau artificielle est alimentée par un ruisseau  dont le débit diminue de 20\,\% d'un jour sur l' autre à cause de la chaleur. Pour la journée 
du 1\up{er}  juin le débit D$_{0}$ est égal à 300~m$^3$ par jour.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer le débit D$_{1}$ pour le 2 juin.
\item Soit $D_{n}$ le débit pour le $n\up{e}$ jour après le $1\up{er}$ juin. Exprimer D$_{n+1}$ en fonction de $D_{n}$. Quelle est la nature de la suite $(D_{n})$ ?
\item Exprimer $D_{n}$ en fonction de $n$. Calculer le débit D$_{29}$ pour la journée du 30 juin. On arrondira au dixième de mètre cube.
\item Calculer le volume d'eau apporté dans la retenue au cours des 30 jours du mois de juin. On arrondira le résultat au mètre cube.
	
\[\text{On rappelle que} \quad  1 +b + \cdots + b^n = \dfrac{1 - b^{n+1}}{1- b}.\]

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

À partir du 1\up{er} juillet, le débit du ruisseau peut-être considéré
 comme nul (inférieur à 0,5 m$^3$/jour).

La chaleur provoque dans la retenue une évaporation de $4\,\%$ du volume total de l'eau par jour.

De plus, on doit libérer de la retenue 500 m$^3$ d'eau chaque soir, après évaporation, à cause de la sécheresse.

Le 1\up{er} juillet au matin, la retenue contient 
V$_0 = \np{100000}$ m$^3$ d'eau.

\begin{enumerate}
\item Soit $V_{n}$ le volume d'eau au 
$n\up{e}$ matin après le 1\up{er} juillet.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $V_{1}$ est égal à \np{95500}~m$^3$.
		\item Exprimer $V_{n+1}$ en fonction de $V_{n}$.
	\end{enumerate}
\item On considère la suite de terme général $U_{n}$ définie pour tout entier $n$ 
par : $U_{n } = V_{n} + \np{12500}$.

Montrez que la suite $(U_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,96 dont  on calculera le premier terme $U_{0}$.
\item Exprimer le terme général $U_{n}$ en fonction de $n$. En déduire 
l'expression de $V_{n}$ en fonction de $n$.
\item Calculer $V_{31}$ le volume restant au matin du 1\up{er} août.
(On arrondira le résultat au mètre cube).
\item À quelle date la retenue sera-t-elle à \og sec \fg{} ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3 au choix} \hfill 6 points}

\medskip

Le code d'identification d'un article est formé de sept chiffres entre 0 
et 9. Les six premiers chiffres identifient l'article, le septième est une clé de contrôle destinée à déceler une erreur dans l'écriture des six premiers.

On notera $x_1x_2x_3x_4x_5x_6x_7$ un tel code. La clé de contrôle 
$x_{7}$ est le reste de la division euclidienne par 10 de la
somme : $N = (x_1 + x_3 + x_5) + 7(x_2 + x_4 + x_6)$.

\begin{enumerate}
 \item
 	 \begin{enumerate}
		\item Vérifier que le code suivant est correct : 2 3 4 1 5 4 7.
		\item Calculer la clé du code suivant : 9 2 3 4 5 1 $\bullet$.
		\item Un des chiffres du code suivant a été effacé : 1 1 2 $\bullet$ 7 7 4. Le  calculer.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question un des chiffres du code est erroné au lieu de 
saisir $x_1x_2x_3x_4x_5x_6x_7$, le dactylographe a frappé $x_1x_2x_3x_5x_6x_7$.
	\begin{enumerate}
		\item Écrire les sommes $N_1$ et $N_2$ associées respectivement    aux deux codes précédents puis calculer la différence $N_1 - N_2$.
		\item Montrer que l'équation $7a \equiv  0$~ [modulo 10] où $a$ est un entier compris entre 0 et 9, a pour seule solution 0.
		\item L'erreur de frappe sera-t-elle détectée ?
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, deux des chiffres du code ont été intervertis : 
au lieu de saisir $x_1x_2x_3x_4x_5x_6x_7$, le dactylographe a frappé $x_1x_3x_2x_4x_5x_6x_7$.
	\begin{enumerate}
		\item Écrire les sommes $N_1$ et $N_2$ associées à ces deux codes, puis   calculer la différence $N_1 - N_2$.
		\item Donner un exemple de valeurs de $x_2$ et $x_3$ pour lesquelles la clé de contrôle ne détecte pas l'erreur.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4 au choix }\hfill  6 points}

\medskip

Dans cet exercice, on a choisi une unité de longueur qui n 'est pas 
précisée.

On considère trois cercles concentriques (C$_1$), (C$_2$), (C$_3$) de centre O et 
de rayons respectifs 2, 4 et 8 unités.

La figure correspondante est donnée sur la feuille annexe À RENDRE AVEC 
LA COPIE.

Elle sera complétée au fur et à mesure de l'exercice en faisant 
apparaître les traits de construction utiles.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire à la règle et au compas la tangente au point I au  cercle (C$_{1}$). Cette droite coupe le cercle (C$_{2}$) aux points A et B et le cercle (C$_{3}$) au point C.
\item Calculer les distances AI, AB et IC.
\item Montrer que AC = $2\sqrt{3}\left(1 + \sqrt{5}\right)$ et vérifier 
que $\dfrac{\text{AC}}{\text{AB}} = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$. On note $\Phi$ le nombre $\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$.
\item Le point C$'$ est placé sur la figure.
	\begin{enumerate}
		\item Construire, à la règle et au compas, le point D 
du segment [AC$'$] tel  que $\dfrac{\text{AC}'}{\text{AD}} = \Phi$.
		\item Construire un triangle AB$'$C$'$ isocèle en B$'$ que $\dfrac{\text{AC}'}{\text{AB}'} = \Phi$. Un tel triangle 
est appelé un triangle d'or.

Les traits de construction doivent figurer sur la feuille.

Combien y-a-t-il de solutions ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center} \textbf{ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE}
    
\vspace{1cm}
    
\textsl{L'unité de longueur n'est pas le centimètre}

\vspace{1cm}

\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(13,13)
\pscircle(6.3,6.3){1.575}
\pscircle(6.3,6.3){3.15}
\pscircle(6.3,6.3){6.3}
\psline(6.3,7.7)(6.3,8)
\uput[ur](6.3,7.85){I}
\psline(6.2,6.4)(6.4,6.2)
\psline(6.2,6.2)(6.4,6.4)
\uput[ul](3.7,8){A} \uput[ur](9.05,7.8){B}
\uput[ur](12.6,8){C} \uput[dl](6.3,6.3){O}
\uput[dl](4.4,3.7){(C$_{2}$)} 
\uput[dl](5.5,5){(C$_{1}$)} 
\uput[dl](2.3,1.5){(C$_{3}$)}
\uput[ur](11.8,1.6){C$'$}
\psline(11.7,1.7)(11.9,1.5)
\psline(11.7,1.5)(11.9,1.7)
\end{pspicture}
    
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%   Fin Japon juin 2004
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   La Réunion juin 2004
\hypertarget{LaReunion}{}

\lhead{\small Terminale L}
\rfoot{\small{juin 2004}}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat L La Réunion juin 2004~\decofourright}}

\vspace{0,25cm}
    
Le candidat traitera obligatoirement trois exercices

\textbf{OBLIGATOIREMENT} L'exercice 1 et l'exercice 2

\textbf{AU CHOIX :} L'exercice 3 ou l'exercice 4.

L'usage de la calculatrice est autorisé pour cette épreuve.

\vspace{0,25cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1 obligatoire} \hfill  7 points}

\medskip

On considère  la fonction numérique $f$ définie sur l'intervalle [1~;~12] 
par :

\[f(x) = x - 1 - 4 \ln x.\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction 
$f$ dans un repère  orthonormal d'unité graphique : 1~cm.

\begin{enumerate}
\item
 	 \begin{enumerate}
	 	 \item Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$. Vérifier que, pour tout 
$x$ de l'intervalle [1~;~12] , $f'(x)$ peut s'écrire :

\[f'(x) = \dfrac{x  - 4}{x}.\]

		\item Étudier le signe de $f'$ sur l'intervalle [1 ; 12], et en déduire le tableau de variation de $f$.
		\item Déterminer une équation de la tangente $\Delta$ à la courbe en son point B d'abscisse 1.
	\end{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
	 	 \item Recopier et compléter le tableau suivant en donnant 
les valeurs arrondies à 0,1 près.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$	& 1	&2 	&3 	&4 	&6 	&8 	&10 	&11 	&12\\ \hline
$f(x)$ 	& 	& 	& 	& 	& 	& 	& 	& 	& \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

		\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\Delta$ dans le même repère sur la feuille de papier millimétré fournie.

\textbf{Formulaire :} La dérivée de la fonction $\ln$ sur l'intervalle 
$]0~;~+ \infty[$ est la fonction qui, à $x$, associe $\dfrac{1}{x}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 obligatoire} \hfill  7 points}

\medskip

\textsl{Il est assez curieux qu'une infinité de termes positifs que l'on  ajoute au fur et à mesure puisse donner un résultat fini. Ainsi le Grec Zénon prétendait, au} 
IV$\up{e}$ \textsl{siècle avant J-C., démontrer qu'il est impossible d'aller d'un point à un autre car \og avant d'atteindre le but, il faut arriver au milieu de la route, puis atteindre le milieu du trajet à parcourir, et ainsi de suite . Comme  il y a une infinité d'étapes à observer, on ne peut arriver au bout de son  voyage \fg{}.}

\begin{flushright}Les nombres et leurs mystères - A. Warusfel 
\end{flushright}

\bigskip

\textbf{I - Construction de la figure :}

\medskip

Construire un segment [AB] puis,

\begin{enumerate}
\item le milieu A$_0$ de [AB],
\item le milieu A$_1$de [A$_O$B],
\item le milieu A$_2$ de [A$_1$B].
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{II - Utilisation d'une suite numérique :}

\medskip

On construit ainsi une suite de points $A_n$ tels que pour tout $n$ entier supérieur ou égal à 1, $A_n$ est le milieu du segment [$A_{n-1}$B].

On suppose que AB = 2. On pose $d_0$ = AA$_0,~ d_1$ = A$_0$A$_1,~ 
d_2$ = A$_1$A$_2$ et pour  tout entier $n \geqslant 1 ~:~ d_n = A_{n-1}A_n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On a $d_0 = 1$ ; calculer $d_1$ et $d_2$.
\item On admet que, pour tout entier naturel $n~ :~ d_{n+1} = 
\dfrac{1}{2}d_n$.
	\begin{enumerate}
		\item En déduire que la suite $(d_n)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier tenue et la raison.
		\item Donner l'expression de $d_n$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
\item On pose $S_n = d_0 + d_1 + d_2 +  \cdots + d_n$.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $S_n = 2\left[1 - 
\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}\right]$.
		\item Quelle est la limite de $S_n$ lorsque $n$ tend vers l'infini ?
		\item En donner une interprétation géométrique.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Formulaire :} Somme des $n + 1$ premiers termes d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ (avec $q ? 1$) :

\[S_n = u_0 + u_1 + u_2 + \cdots  + u_n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}.\]

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3 au choix }\hfill 6 points}

\medskip

Le Code Barre à 13 chiffres ou EAN 13 (European Article Number) est un code constitué de 13 chiffres compris entre 0 et 9, utilisé pour classifier les produits de la grande distribution :

\[a_1a_2a_3a_4a_5a_6a_7a_8a_9a_{10}a_{11}a_{12}a_{13}\]

On calcule $S = a_1 + 3a_2 +a_3 + 3a_4 + a_5 + 3a_6 +a_7 + 3a_8 +a_9 +   
3a_{10} +a_{11} + 3a_{12} + a_{13}.$

Le code est accepté lorsque : $S \equiv  0$~ [modulo 10], il est refusé sinon.

\medskip

\begin{enumerate}
\item En pratique

On considère le code A = 97 80130 51518 6.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que A est accepté.
		\item Au lieu du code A, on a saisi le code B = 97 70130 51518 6 en commettant une erreur sur le troisième chiffre.
Montrer que le code B est refusé.
		\item Lors de la saisie du code A, deux chiffres voisins ont été permutés.
	
Le code C = 97 80135 01518 6 est-il accepté ou refusé ?

Le code D = 97 80130 15518 6 est-il accepté ou refusé ?
	\end{enumerate}
\item Effet d'une erreur de saisie sur le quatrième chiffre
	\begin{enumerate}
		\item On désigne par E le code 97 8$n$130 515186 où $n$ représente un chiffre. Si $n = 0$, on retrouve le code A donc E est accepté.

Déterminer toutes les valeurs de $n$ pour lesquelles E est accepté.
		\item En déduire qu'une erreur de saisie sur le quatrième chiffre du code A est toujours détectée.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4 au choix} \hfill 6 points}

\medskip

On lance simultanément deux dés équilibrés (un bleu et un vert), dont 
les faces sont numérotées de 1 à 6.

(On suppose qu'il y a équiprobabilité pour tous les couples de nombres 
possibles).

On note $S$ la somme des nombres obtenus.

(N. B. : Tous les résultats des calculs de probabilité seront donnés sous 
forme de fractions).

\medskip

\begin{enumerate}
 \item
 	 \begin{enumerate}
		\item Compléter le tableau 
\no 1 (en annexe, à rendre avec la  copie si l'exercice 4 est choisi) par la somme des nombres obtenus.
		\item Compléter le tableau \no 2 (en annexe, à rendre avec la copie si l'exercice 4 est choisi)

($P(S)$ représente la probabilité que la somme des deux dés soit égale à 
$S$).
	\end{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité de l'évènement 
A : \og $5 \leqslant  S \leqslant 9$ \fg{}.
		\item Montrer que la probabilité d'obtenir une somme $S$ impaire est égale  à $\dfrac{1}{2}$.
	\end{enumerate}
\item On lance les deux dés, trois fois de suite. À l'issue de chaque 
lancer on note la somme obtenue.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la probabilité d'obtenir exactement trois fois une somme impaire est égale à $\dfrac{1}{8}$.
		\item Calculer la probabilité d'obtenir exactement deux fois une somme impaire.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center} \textbf{Annexe de l'exercice 4 (à rendre avec la copie si l'exercice 4 est choisi)} \end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{Tableau \no 1 : Somme des nombres obtenus.}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\backslashbox{vert}{bleu} & 1 & 2& 3& 4& 5&  6 \\ \hline
1&	2& & & & & \\ \hline
2&	3& & & & & \\ \hline
3&	4& & & & & \\ \hline
4&	5& & 7  & & & \\ \hline	
5&	6& 7 & & & & \\ \hline	
6&	7& & & & & \\ \hline
\end{tabularx} \end{center}

\vspace{2cm}

\textbf{Tableau \no 2 :}

\medskip
\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
 $S$& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8 & 9&	10& 11& 12\\ \hline
$P(S)$ &\rule[-3mm]{0mm}{8mm} & & & & $\dfrac{5}{36}$& & & & & & \\ \hline
\end{tabularx}
%%%%%%%%%%%%%%   Fin La Réunion juin 2004
\newpage
%%%%%%%%%%%%%% Liban juin 2004
\hypertarget{Liban}{}

\lhead{\small Terminale L spécialité}
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat L Liban juin 2004~\decofourright}}

\vspace{0,25cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1 obligatoire} \hfill  7 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie par

\[f(x) = 54\left(x^3 - 2x^2 + x\right)\]

sur l'intervalle [0~;~1].

\begin{enumerate}
\item
 	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ où $f'$ est
 la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; 1].
		\item Vérifier que $f'(x)= 54(3x - 1)(x - 1)$ pour tout $x$ de l'intervalle [0~;~1].
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [0 ; 1].
		\item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; 1].
	\end{enumerate}
\item Donner le maximum de $f$ sur l'intervalle [0 ; 1]. Pour quelle valeur de $x$ est-il atteint ?
\item Recopier et compléter le tableau suivant par les valeurs de $f(x)$ 
arrondies à 0,1 près.
\item Tracer la représentation graphique de la fonction $f$ sur la feuille de papier millimétré jointe, en prenant pour unités graphiques 10 cm en abscisse et 1 cm en ordonnée.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 obligatoire} \hfill 6 points}

\medskip

Des chardons envahissent une pelouse de deux façons différentes. Ce 
dimanche 13 juin, ils couvrent 300 m$^2$ de la pelouse. Chaque semaine l'aire de la
 surface envahie par les chardons augmente d'une part de $4\,\%$ par la 
 prolifération des racines, d'autre part de 13 m$^2$ dus aux graines envolées des
 jardins voisins.

On appelle $u_n$ l'aire de pelouse, en m$^2$, envahie par les chardons au bout de $n$ semaines. On a donc $u_0 = 300$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1,~ u_2$ et $u_3$.
\item Justifier que pour tout entier naturel $n,~ u_{n+1} = 1,04 \times 
u_n + 13$.
\item On définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n = u_n + 325$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $v_{n+1} = 1,04v_n$.
		\item En déduire que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
	\end{enumerate}
\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, en déduire que $u_n = 625 \times (1,04)^n -325$.
\item Au bout de combien de semaines les chardons auront-ils envahi plus de 700 m$^2$ de la pelouse ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3  au choix} \hfill  7 points}

\medskip

\og \textsl{La lutte incessante entre concepteurs et briseurs de codes a permis une série de remarquables percées scientifiques. Les concepteurs ont cherché à élaborer des codes toujours plus sophistiqués pour protéger les communications, alors que les décrypteurs imaginaient  perpétuellement des méthodes plus performantes pour les attaquer... Leur travail a accéléré le développement technologique, notamment dans le cas de l'ordinateur...}

\textsl{L'art de la communication secrète, aussi appelé cryptographie, fournira à 
l'âge de l'information ses verrous et ses clefs.} \fg{}

\begin{flushright} \emph{Histoire des codes secrets} - Simon Singh \end{flushright}

Le code ASCII (American Standards Code for Information Interchange) en informatique, permet d'associer à chaque caractère (lettre, signe de ponctuation, chiffre, ...) un nombre entier $n$, compris entre 0 et 255.

Le tableau ci-dessous donne les codes attribués aux lettres de l'alphabet :

\begin{center} 
\begin{tabular}{| *{15}{c|}}\hline
lettre&	A& B& C&D&E&F&G&H&I& 	J&K&L&M\\ \hline
code ASCII & 65&66& 67&68&69&70& 71&72& 73&74&75&76&77\\ \hline
lettre &N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y& Z\\ \hline
code ASCII&78&79&80&81&82&83&84&85&86&87&88&89&90\\ \hline
\end{tabular} 
\end{center}

\begin{enumerate}
\item \og Chiffrement \fg{} à clé utilisant l'arithmétique :

Le procédé suivant permet de masquer le mot initial : à chaque nombre $n$, du 
Code ASCII correspondant à une lettre donnée, on associe le reste de la division 
de $7n$ par 256.

\textbf{Exemple :} lettre : B 	Code ASCII de la lettre B : 66

Calcul du nouveau code de la lettre B : $7 \times  66 = 462\qquad 	462 = 
256 \times  1 + 206.$

Nouveau code de la lettre B : 206

Ainsi le mot BONJOUR sera codé :

\begin{center}\begin{tabular}{|*{8}{c|}}\hline
MOT& B&  O&  N&  J & O &U &  R\\ \hline
Code ASCII&	66& 79&  78&  74&  79&  85& 82\\ \hline
nouveau codage& 206&  41  &34 &  6 & 	41 &  83 & 	62\\ \hline
\end{tabular} \end{center}
	
Codage du mot CLÉ :

	\begin{enumerate} 
		\item  Code ASCII de C : 67.
    
$7 \times  67 =  469$.

Déterminer le reste de la division euclidienne de 469 par 256, en déduire 
le nouveau code de la lettre C.
		\item De la même façon, déterminer le nouveau code de la lettre L, puis 
de la lettre E, et en déduire le codage du mot CLÉ.
	\end{enumerate}
\item \og Déchiffrement \fg{} :

Soit $x$ le nouveau code de la lettre à découvrir et $n$ son code ASCII.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $x \equiv 7n \quad 
[\text{modulo}~ 256]$.
		\item En déduire que $183x \equiv n \quad [\text{modulo}~ 256]$.

On admet que $n$ est le reste de la division euclidienne de $183x$ par $256$.
		\item Vérifier que pour $x = 206$ on a bien $n = 66$ qui correspond à la lettre B.
		\item Décoder le mot suivant :

\begin{center}
 \begin{tabular}{|*{3}{c|}}\hline
    206 & 199 & 213 \\ \hline
\end{tabular}
 \end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4 au choix} \hfill 7 points}

\medskip

Au cours d'une expérience sur les animaux, on place un rat au départ 
d'un parcours et il doit choisir une porte de sortie parmi trois 
portes :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item s'il emprunte la porte A, il sort ;
\item s'il emprunte l'une des portes B ou C, il est ramené au départ, et 
cela jusqu'à ce qu'il choisisse la porte A.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\textsl{On donnera les résultats sous forme de fractions 
irréductibles.}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On suppose que le rat n'a aucune mémoire : il choisit une porte au 
hasard et peut emprunter la même porte plusieurs fois de suite.

Chaque porte a donc la même probabilité d'être choisie.

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité pour qu'il sorte dès 
le premier essai ?
\item Quelle est la probabilité pour qu'il ne sorte qu'au deuxième essai 
(le premier étant manqué et le deuxième est réussi) ?
\item Quelle est la probabilité pour qu'il ne sorte qu'au quatrième 
essai ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

On suppose que le rat a une mémoire parfaite : à chaque étape, il choisit 
au hasard l'une des portes qu'il n'a jamais empruntée.

\begin{enumerate}
\item Sur l'annexe jointe  à rendre avec la copie, compléter 
l'arbre par les pondérations.
\item $X$ désigne le nombre d'essais qu'il lui faut pour sortir. Quelles 
valeurs peut prendre le nombre $X$ ?
\item Compléter le tableau sur l'annexe jointe  à rendre avec la  copie.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center} \textbf{Annexe exercice 4 (à rendre avec la copie si 
l'exercice 4 est choisi)}\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{Partie B}

\textbf{a.}

\begin{center}\begin{pspicture}(9,7)
\psline(0,4)(3,7)
\psline(0,4)(3,4)
\psline(0,4)(3,1)
\psline(3.5,4)(6,5)
\psline(3.5,4)(6,3)
\psline(3.5,1)(6,2)
\psline(3.5,1)(6,0)
\uput[u](1.5,5.4){$\frac{1}{3}$}
\uput[d](1.5,4){\ldots}
\uput[d](1.5,1){\ldots}
\uput[u](4.5,4.5){\ldots}
\uput[d](4.5,3.5){\ldots}
\uput[u](4.5,1.5){\ldots}
\uput[d](4.5,0.5){\ldots}
\uput[u](7.5,3){\ldots}
\uput[u](7.5,0){\ldots}
\uput[r](3,1){C} \uput[r](3,4){B} \uput[r](3,7){A}
\uput[r](6,5){A} \uput[r](6,3){C} \uput[r](6,2){A}
\uput[r](6,0){B} \uput[r](9,3){A} \uput[r](9,0){A}
\psline(6.5,3)(9,3)
\psline(6.5,0)(9,0)
\end{pspicture} \end{center}

\vspace{2cm}

\textbf{Partie B}

\textbf{c.}

\renewcommand\arraystretch{2}
\begin{center} \begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Valeur de $X$ & 1 & & \\ \hline
Probabilité & $\dfrac{1}{3}$ & & \\ \hline
\end{tabularx} \end{center}
    
\vspace{2cm}
%\begin{figure}%[htbp]
%\includegraphics[heigt=0.8cm]{139.eps}
%\end{figure}
%%%%%%%%%%%%%%   Fin Liban juin 2004
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Polynésie juin 2004
\hypertarget{Polynesie}{}

\lhead{\small Baccalauréat  L spécialité}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{Polynésie juin 2004}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat L Polynésie juin 2004 \decofourright}} 
    
\vspace{0,25cm}

L'usage d'une calculatrice est autorisée \hfill 3 heures

L'annexe est à rendre avec la copie

\vspace{0,25cm}

Le candidat doit traiter \textbf{trois} exercices

Obligatoirement : l'exercice 1 et l'exercice 2

Au choix : l'exercice 3 \textbf{ou} l'exercice 4

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1 obligatoire} \hfill 8 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [1 ; 5] par 

\[f(x) = \dfrac{4}{x} + 2.\]

On note $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté
 à un repère orthonormal \Oij.
 
\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$.
\item Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de la
 fonction $f$.
\item Compléter le tableau de valeurs de la fonction $f$ donné sur l'annexe (à rendre avec la copie).
\item Placer les points A, B, C, D, L, M sur l'annexe (à rendre avec
 la copie). Tracer la courbe $(\mathcal{C})$ sur l'annexe.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note F le point de coordonnées (2 ; 0) et G le point de coordonnées
 (4 ; 0). On a construit sur  l'annexe le rectangle R$_1$ dont la longueur 
mesure $f\left(\dfrac{3}{2}\right)$, dont une largeur est le segment [EF] et 
tel que le point K se situe sur la largeur opposée.

Construire de manière analogue les rectangles R$_2$ et R$_3$ définis de la manière suivante :

$\bullet~$ R$_2$ est le rectangle dont la longueur mesure $f(3)$ dont une largeur
 est le segment [GF] et tel que le point L se situe sur la largeur opposée ; 

$\bullet~$ R$_3$ est le rectangle dont la longueur mesure $f\left(\dfrac{9}{2}\right)$, dont une largeur est le segment [GH] et tel que le point M se situe sur la largeur opposée.
\item Calculer la somme $A_1$, des aires de R$_1 $, R$_2$ et R$_3$. En donner une 
valeur approchée à 0,01 près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On considère la fonction $F$ définie sur l'intervalle [1~;~5] par 

\[F(x) = 4 \ln x + 2x.\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que $F'(x) =  f(x)$.
\item On admet que l'aire du domaine du plan limité par l'axe des 
abscisses. la courbe $(\mathcal{C})$ et les droites d'équations 
respectives $x = 1,~ x = 5$  est donnée par $F(5) - F(1)$.

Calculer l'aire $A_2$  de ce domaine. En donner une valeur approchée à 0,01 près.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

Une étude a été faite dans un lycée en début d'année scolaire, concernant la création d'un journal. Tous les élèves ont été interrogés.

Au lycée il a 55\,\% de filles.

À la question : \og achèteriez-vous le journal du lycée ? \fg{}, $72\,\%$ des filles ont  répondu OUI, 60\,\% des garçons ont répondu OUI.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On choisit au hasard un élève du lycée. Chaque élève a donc la même probabilité
 d'être choisi. 

On appelle F l'évènement \og l'élève choisi est une fille \fg{}. 

On appelle O l'évènement \og l'élève choisi a répondu OUI \fg{}. 

On note $\overline{\text{F}}$  l'évènement contraire de F et $\overline{\text{O}}$ l'évènement contraire de O.
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous (on notera sur chaque branche la probabilité correspondante).

\begin{center}
\pstree[linecolor=red]{\TR{}}
{
  \pstree{\TR{F}}
     {
     \TR{O}
     \TR{$\overline{\text{O}}$} 
     }
  \pstree{\TR{$\overline{\text{F}}$}}
    {
    \TR{O} 
    \TR{$\overline{\text{O}}$}
     }
}

\end{center}

\item Calculer la probabilité que l'élève choisi soit une fille et que cet élève ait répondu OUI.
\item Calculer la probabilité quel élève choisi soit un garçon et que cet élève ait répondu OUI.
\item En déduire la probabilité que l'élève choisi ait répondu OUI.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près.

Le journal est créé au lycée et son premier numéro parait au mois
 de décembre, puis une fois par mois jusqu'au mois de mai inclus.

On interroge un élève du lycée au mois de juin. On suppose que chaque mois de parution, la probabilité que l'élève achète le journal est 0,6 et cela de façon indépendante chaque mois. Cette probabilité ne change pas au cours de l'année.

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité que cet élève n'ait jamais acheté le journal.
\item Calculer la probabilité que cet élève ait acheté le journal au moins une fois.
\item Calculer la probabilité que cet élève ait acheté le journal exactement deux
 fois.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On se propose de crypter un message en remplaçant chaque lettre du message par une autre lettre. Pour cela on attribue à chaque lettre de l'alphabet un rang (A a le rang 0, B a le rang 1, ... et Z a le rang 25). 

On donne ci-dessous le rang des lettres de l'alphabet :

\renewcommand\arraystretch{1}
\begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\footnotesize lettre & A & B & C & D & E & F& G & H & I & J & K & L & M\\ \hline
\begin{tabular}{c}\footnotesize rang de\\
 \footnotesize la lettre\\ \end{tabular}& 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\ \hline
\footnotesize lettre & N	&O & P & Q & R & S & T & U & V & W & X &  Y & Z\\ \hline
\begin{tabular}{c}\footnotesize rang de\\
 \footnotesize la lettre\\ \end{tabular} & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 & 24 & 25\\ \hline
\end{tabularx} \end{center}
 
On remplace la lettre de rang $x$ par la lettre de rang $y~ (0 \leqslant 
y \leqslant 25)$ tel que $y \equiv 7x + 3\quad  $(modulo 26).

{\footnotesize Par exemple : pour crypter le lettre R,\\
$\bullet~$ on repère son rang (ici $x = 17$) ;\\
$\bullet~$ on calcule $y$ ; on obtient alors :\\
$y \equiv 7 \times 17 + 3 \quad $ (modulo 26)\\
$y \equiv 122\quad $ (modulo 26) :\\
$y \equiv 18 \quad $ (modulo 26) puisque $122 =  4 \times 26 + 18$ ;\\
donc $y =	18$.\\
$\bullet~$ on remplace R par la lettre de rang 18, qui est la 
lettre S.}

Crypter le mot S E C R E T

\item  On se propose maintenant de décrypter.

{\footnotesize Par exemple, pour trouver quelle est la lettre qui a été
 remplacée par la lettre N de rang $y = 13$\\
$\bullet~$ Il suffit de résoudre l'équation $13 \equiv 7x + 3 \quad$ (modulo 
26) :\\
$\bullet~$	Cela revient à chercher $x$ tel qu'on puisse écrire $7x \equiv 
 10 - 26n$ avec $n$ entier naturel\\
$\bullet~$	En donnant à $n$ les valeurs entières successives 0, 1,  2, . . .
 on trouve $x =  20$. La lettre qui a été remplacée par la lettre N a pour rang 20,
 c'est donc la lettre U.}

On a reçu le message suivant : S F N Z Z H G F.

Décrypter le message reçu.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill  6 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par son premier terme $u_0 = 
0,7$ et par la relation de récurrence

\[u_{n+1} = 2u_n - 0,4 \qquad  (n \quad  \text{entier naturel}).\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1,~u_2,~u_3$.

\item Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie pour tout $n$ entier naturel par $
v_n = u_n - 0,4.$
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $v_n.$
		\item Montrer que $v_{n+1}  =  2v_n$.
		\item En déduire la nature de la suite.
		\item Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

La règle de Titius-Bode (connue vers 1770) permet de retrouver approximativement la distance au Soleil de la plupart des planètes du système solaire. 

Pour cela, on prend comme unité la distance de la Terre au Soleil qui vaut environ
 150 millions de kilomètres. Cette unité est appelée unité astronomique (u.a.).
Ainsi 1 u.a. $\approx  15 \times 10^7$ km.

En écriture moderne, la loi de Titius-Bode s'exprime par la formule suivante :

\[u_n = 0,4 + 0,3 \times 2^n\]

où pour une planète donnée $u_n$ est la distance au Soleil de cette planète 
(en u.a.) et $n$ est le rang de la planète, défini dans le tableau ci-dessous :

\begin{center} \begin{tabular}{|l|*{7}{c |}}\hline
Planète & Vénus & Terre & Mars & (Cérès)* & Jupiter & Saturne & Uranus \\ \hline
Rang $n$&	0&	1&	2&	3&	4&5&	6\\ \hline
\end{tabular} \end{center}

{\footnotesize (*) La lacune observée entre les orbites de Mars et Jupiter fut comblée en 1801 par la découverte de la planète Cérès, puis plus tard de milliers 
d'astéroïdes.}

\begin{enumerate}
\item  Recopier et compléter le tableau suivant :

\begin{center} \begin{tabular}{|l|*{7}{c |}}\hline
$n$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ \hline
$u_n$ & & & & & & & \\ \hline
\end{tabular} \end{center}

\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la distance approximative au Soleil de la planète Uranus
 (on donnera le résultat en millions de kilomètres).
		\item Calculer le rang de la planète dont la distance approximative au
 soleil est $780$ millions de kilomètres. De quelle planète s'agit-il ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\newpage
 
\begin{center}
\textbf{Annexe de l'exercice 1}

\vspace{0,4cm}

\textbf{À rendre avec la copie}

\vspace{0,4cm}

Tableau de valeurs de la fonction $f$ à compléter

\vspace{0,4cm}

\renewcommand\arraystretch{2.3}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c| *{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
point & A & B & C & D & K & L & M \\ \hline
$x$ & 1 & 2 & 4 & 5 & $\dfrac{3}{2}$ & 3 & $\dfrac{9}{2}$\\ 
\hline
$f(x)$ & & & & & $\dfrac{14}{3}$ & & $\dfrac{26}{9}$\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{2cm}

Représentation graphique de la fonction $f$

\vspace{0,4cm}
         
\psset{unit=1.8cm}
\begin{pspicture}(5,6)
\psgrid[gridlabelcolor=white,griddots=10,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=1.3pt]
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(5.5,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,6.5)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1)
\uput[d](0,0){O} \uput[d](1,0){E} \uput[d](2,0){F} \uput[d](4,0){G} 
\uput[d](5,0){H}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[l](0,4.6667){$f\left(\dfrac{3}{2}\right)$}
\psframe[fillstyle=vlines](1,0)(2,4.6667)
\psline(1.5,0)(1.5,4.6667)
\psline(1.45,4.7167)(1.55,4.6167)
\psline(1.45,4.6167)(1.55,4.7167)
\uput[ur](1.5,4.6667){K}
\psline[linestyle=dotted](0,4.6667)(1.5,4.667)
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%  fin Polynésie juin 2004
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Amérique du Sud novembre 2004
\hypertarget{AmduSud}{}

\lfoot{\small{Amérique du Sud }}
\rfoot{\small{novembre 2004}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large \decofourleft~Baccalauréat L  Amérique du Sud novembre 2004 \decofourright}

\vspace{0,4cm}

Épreuve facultative

\end{center} 

\bigskip

\textsc{Durée de l'épreuve : 3 heures} 

\bigskip

\begin{center}\textbf{Le candidat doit traiter les deux premiers exercices 
et}

\textbf{soit l'exercice 3, soit l'exercice 4}\\ \end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1 obligatoire} \hfill 6 points}

\textbf{Rappels}

\setlength\parindent{5mm} 
\begin{itemize}
\item On note $\Phi$ le nombre d'or dont la valeur exacte est 	$\Phi= \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$ ;
\item $\Phi$  est l'unique nombre positif qui vérifie : $\Phi^2 - \Phi - 
1 = 0.$
\item On dit que deux triangles PQR et STU sont \og semblables \fg{} ou
 \og de même forme~\fg{} si les angles en P, Q, R dans le triangle PQR sont respectivement égaux aux angles en S, T, U dans le triangle STU, ce qui revient a dire que :
$\dfrac{\text{PQ}}{\text{ST}} = \dfrac{\text{PR}}{\text{SU}} = 
\dfrac{\text{QR}}{\text{TU}}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On donne un triangle ABC tel que : BC = 1 , $\widehat{\text{ABC}} = 
72\,\degres$ et $\widehat{\text{BCA}} = 72\,\degres$. (Voir 
l'annexe 1.)

On pose AB = AC $= x$. Le but des questions suivantes est de montrer que 
$x = \Phi$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la mesure en degrés de l'angle
$\widehat{\text{CAB}}$.
		\item Construire à la règle et au compas la bissectrice de l'angle 
$\widehat{\text{ABC}}$. On  explicitera la méthode utilisée.

Cette bissectrice coupe [AC] en M.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les mesures en degrés des angles 
$\widehat{\text{CBM}}$ et $\widehat{\text{CMB}}$.

En déduire que le triangle BCM est isocèle et que BM = 1.
		\item Justifier que les triangles ABC et BCM sont semblables.
		\item En déduire trois rapports de distances égaux.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le triangle BAM est isocèle.
		\item En déduire que : CM $=x - 1$.
	\end{enumerate}
\item D'après les résultats de la question \textbf{2. c.} : 
$\dfrac{\text{AB}}{\text{BC}} = \dfrac{\text{BC}}{\text{CM}}$.

En déduire que $x$ vérifie $x^2 - x -1  =0$ puis que $x = \Phi$.
\end{enumerate}

\textbf{On appelle triangle d'or tout triangle dont les angles mesurent 
$36\,\degres,~ 72\,\degres$ et $72\,\degres$, c'est-à-dire tout triangle semblable au triangle ABC étudié dans cet exercice, c'est-à-dire tout  triangle dont les longueurs des côtés sont proportionnelles à \boldmath $1,~ \Phi$ \unboldmath et \boldmath$\Phi$\unboldmath.}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 obligatoire}\hfill 7 points}

\textbf{Rappels}

$\bullet~$ $a$ étant une constante réelle, la fonction $x \longmapsto  \ln (ax)$ a pour fonction dérivée 

$x \longmapsto \dfrac{1}{x}$.

$\bullet~$ $x$ et $y$ étant deux réels strictement positifs : $\ln (xy) = 
\ln x + \ln y$ et $\ln \left(\dfrac{x}{y}\right) = \ln x - \ln y$.

$\bullet~$ $x$ étant un réel strictement positif : exp($\ln x) = x$.

\vspace{0,5cm}

Le son se manifeste par des variations de pression de l'air. L'unité 
de mesure de la pression de l'air est le Pascal.

La pression de l'air s'exerce sur le tympan de l'oreille humaine. 
Pour une pression supérieure ou égale à $20 \times 10^{-6}$ Pascals s'exerçant sur
 son tympan, l'oreille humaine perçoit un son dont le niveau se mesure en décibels.

On note $p_0 = 20 \times 10^{-6}$.

Pour une pression de $p$ Pascals s'exerçant sur le tympan, avec $p 
\geqslant  p_0$, le niveau sonore perçu est de $f(p)$ décibels o\`u :

\[f(p) = \dfrac{20}{\ln (10)}\ln \left(\dfrac{p}{p_0}\right), \quad 	
\text{c'est-à-dire} \quad  f(p) = \dfrac{20}{\ln (10)} \ln (50\:000p).\]

\begin{enumerate}
\item Quel est le niveau sonore perçu pour une pression de 2 Pascals ? 
de 0,2 Pascals ? de 0,02 Pascals ?
\item On note $k = \dfrac{20}{\ln 10}$ et I $= [p_0~;~ +\infty[$.

Donc $f$ est la fonction définie sur l'intervalle I par : $f(x)~=~k~\ln 
(\np{50000}x)$.

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle I.

\begin{enumerate}
\item Préciser la valeur de $f\left(p_0\right)$.
\item Pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle I, calculer $f'(x)$.
En déduire le sens de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle I.

\item Interpréter les résultats du \textbf{a.} et du \textbf{b.} en termes de pression s'exerçant sur le tympan et de niveau sonore perçu.
\end{enumerate}

\item À partir d'un niveau sonore de 120 décibels, on ressent une 
douleur.

Déterminer la pression $p$ correspondant à ce niveau sonore.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à 
l'intervalle I : 
\[f(10x) = k \ln (10) + f(x).\]

\textsl{On en déduit que :} $f(10x) = 20 + f(x)$ \textsl{et on dit que : }\og 
\textsl{le niveau sonore augmente de 20 décibels quand la pression s'exerçant sur le tympan est multipliée par} 10 \fg{}.
	\item Exprimer, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle I, $f(100x)$ en fonction de $f(x)$ et énoncer la propriété du niveau sonore correspondante.
	\end{enumerate}\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{Votre choix : Exercice 3 ou exercice 4. Indiquer clairement votre 
choix sur la copie.}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 7 points}

\textbf{Rappels}

On note $p$(A) la probabilité d'un évènement A, \og A et B \fg{} ou \og A~ $\cap$~ B \fg{} l'intersection de deux évènements A et B.

On note $p_{\text{B}}$(A) la probabilité qu'un évènement A se réalise, sachant qu'un évènement B (de probabilité non nulle) est déjà réalisé. On a : 
$p_{\text{B}}(\text{A}) = \dfrac{p(\text{A} \cap \text{B})}{p(\text{B})} = 
\dfrac{p(\text{A et B}) }{p(\text{B})}$.

\vspace{0,5cm}

On dispose de deux urnes numérotées 1 et 2.

L'urne 1 contient une boule blanche et une boule noire.

L'urne 2 contient deux boules noires et une boule blanche.

On réalise l'expérience aléatoire suivante: on tire au hasard une 
boule dans l'urne 1 et on la met dans l'urne 2, puis on tire au hasard une boule dans l'urne 2.

On suppose que tous les tirages sont équiprobables.

On note :

N$_{1}$ l'évènement:  \og La boule tirée de l'urne 1 est noire \fg{} ;

B$_{1}$ l'évènement : \og La boule tirée de l'urne I est blanche \fg{} ;

N$_{2}$ l'évènement : \og La boule tirée de l'urne 2 est noire \fg{} ;

B$_{2}$ l'évènement : \og La boule tirée de l'urne 2 est blanche \fg{}.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Donner les valeurs de $p(\text{B}_{1})$ et 
$p(\text{N}_{1})$.
\item Montrer que $p_{\text{B}_{1}}\left(\text{B}_{2}\right) = 
\dfrac{1}{2}$.

De la même façon donner les valeurs de 
$p_{\text{B}_{1}}\left(\text{N}_{2}\right),~p_{\text{N}_{1}}\left(\text{B}_{2}\right)$
et $p_{\text{N}_{1}}\left(\text{N}_{2}\right)$.
\item Compléter l'arbre de probabilités donné en \textbf{annexe 2}.
\item Calculer $p\left(\text{B}_{1} ~\text{et B}_{2}\right)$.
\item Montrer que $p\left(\text{B}_{2}\right) = \dfrac{3}{8}$ puis calculer 
$p\left(\text{N}_{2}\right)$.
\item Sachant qu'on vient de tirer une boule blanche dans l'urne 2, 
quelle est la probabilité qu'on ait tiré auparavant une boule blanche dans l'urne 1 ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Votre choix : Exercice 3 ou exercice 4. Indiquer clairement votre 
choix sur la copie.}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}

\medskip

\textsl{Une année bissextile compte} 366 \textsl{jours et une année non bissextile} 365 \textsl{jours.}

\textsl{Une année est bissextile si son \og numéro \fg{} est divisible par 4 sauf s'il s'agit d'un siècle.}

\textsl{Les siècles, années dont le \og numéro \fg{} se termine par deux zéros, ne sont, en général, pas bissextiles sauf si leur \og numéro \fg{} est divisible par} 400.

\textsl{Quelque exemples} : 1996 \textsl{était bissextile,} 1997 
\textsl{ne l'était pas,} 1900 \textsl{non plus mais} 2400 \textsl{le sera}.

\begin{enumerate} 
\item Trouver les deux entiers naturels $a$ et $b$ inférieurs ou égaux à 6 tels  que : $365 \equiv  a\quad  (\text{modulo}~ 7)$ et $366 \equiv b \quad (\text{modulo}~ 7)$.

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item En supposant que le premier janvier d'une année non
bissextile soit un lundi, expliquer pourquoi le premier janvier de l'année suivante sera un mardi.
		\item Si le premier janvier d'une année bissextile est un lundi, quel jour de la semaine sera le premier janvier de l'année suivante ?
	\end{enumerate}
\item Une période de quatre années consécutives compte $N = 3 \times 365 + 
1 \times 366$ jours.

Sans calculer $N$, justifier que $N \equiv  5\quad  (\text{modulo}~ 7)$.
\item En supposant que le premier janvier d'une année soit un lundi, quel 
jour de la semaine sera le premier janvier quatre ans plus tard ? Expliquer la réponse.

\textsl{Plus généralement, pour une date donnée, (par exemple le} 
$1\up{er}$ janvier), \textsl{chaque période de} 4 \textsl{années
produit un décalage de cinq jours dans le cycle des jours de la 
semaine}.
\item Compléter le tableau donné en \textbf{annexe 3}. Aucune justification 
n'est demandée.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Expliquer pourquoi l'année 2004 est bissextile.
		\item Sachant que le 29 février 2004 était un dimanche, quel jour de la semaine sera le 29 février 2008 ?

Quel jour de la semaine sera le 29 février 2012 ? Expliquer les réponses.
		\item Quelle sera la prochaine année o\`u le 29 février sera un dimanche ?  Expliquer la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{Annexe 1 (à rendre avec la copie)}

\vspace{1cm}

Exercice 1

Unité : 5 cm

\psset{unit=5cm}\begin{pspicture}(1,1.8)
\pspolygon(0,0)(0.5,1.53884)(1,0)
\uput[u](0.5,1.53884){A} \uput[dl](0,0){B} \uput[dr](1,0){C}
\psarc(0,0){0.1}{0}{72} \psarc(1,0){0.1}{108}{180}
\uput[ur](0.1,0.1){$72\up{o}$}
\uput[ul](0.9,0.1){$72\up{o}$}
\end{pspicture}  
\end{center}

\newpage

\begin{center}

\textbf{Annexe 2 (à rendre avec la copie si vous avez choisi 
l'exercice 3)}

\vspace{1cm}

Exercice 3, question 3

\vspace{1cm}

\begin{pspicture}(11,11)
    
\psline(0,5.5)(3.4,9) \psline(0,5.5)(3.4,2)
\psline(3.8,9)(9.4,10.5) \psline(3.8,9)(9.4,7.5)
\psline(3.8,2)(9.4,3.5) \psline(3.8,2)(9.4,0.5) 
\rput(3.6,9){B$_{1}$}  \rput(3.6,2){N$_{1}$}
\rput(9.6,10.5){B$_{2}$}  \rput(9.6,7.5){N$_{2}$} 
\rput(9.6,3.5){B$_{2}$}  \rput(9.6,0.5){N$_{2}$}
\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=white](1.75,7.25)(0.8,0.6)
\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=white](1.75,3.75)(0.8,0.6)
\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=white](6.2,9.75)(0.8,0.6)
\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=white](6.2,8.25)(0.8,0.6)
\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=white](6.2,2.75)(0.8,0.6)
\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=white](6.2,1.25)(0.8,0.6)
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe 3 (à rendre avec la copie si vous avez choisi 
l'exercice 4)} 

\vspace{1cm}

Exercice 4, question 5

\vspace{1cm}

\begin{tabular}{|*{3}{c|}}\hline
\multicolumn{1}{|p{4cm}|}{Nombre de périodes de quatre années} &
\multicolumn{1}{|p{4cm}|}{$J =$ nombre de jours de décalage dans le 
cycle des jours de la semaine} &
\multicolumn{1}{|p{4cm}|}{Reste de la division de $J$ par 7}\\ 
\hline
0&0&0\\ \hline
1&5&5\\ \hline
2&10&3\\ \hline
3 & & \\ \hline
4 & & \\ \hline
5 & & \\ \hline
6 & & \\ \hline
7 & & \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%   fin Amérique du Sud novembre 2004
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Nouvelle-Calédonie novembre 2004
\hypertarget{Caledonie}{}

\rfoot{\small{novembre 2004}}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat L  Nouvelle-Calédonie novembre 2004~\decofourright}

\vspace{0,25cm}

Épreuve facultative    novembre 2004

\end{center} 

\bigskip

\textsc{Durée de l'épreuve : 3 heures} 

\bigskip

\begin{center}\textbf{Le candidat doit traiter les deux premiers exercices 
et}\\

\textbf{soit l'exercice 3, soit l'exercice 4}\\ \end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1 obligatoire} \hfill 7 points}

\medskip

\textbf{Rappels :}

- La fonction exponentielle se note indifféremment $(x \mapsto  \text{exp}(x))$  ou $\left(x \mapsto \text{e}^x\right)$.

- Si $a$ et $b$ sont des constantes réelles la fonction dérivée de $\left(x \mapsto  \text{e}^{ax + b}\right)$ est : $\left(x \mapsto  a\text{e}^{ax + b}\right)$.

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie A}

Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle I = [\np{1900}~;~\np{2100}] par :

\[f(x) = \text{e}^{0,004x - 5}.\]

La fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle I et on note $f'$ sa fonction dérivée.

\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau de valeurs ci-dessous. Les valeurs de $f(x)$ seront arrondies au dixième.

\[\begin{tabularx}{0,75\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ 	&	\np{1900}&\np{1950} 	&\np{2000} 	&\np{2050} 	& \np{2100}	\\ \hline
$f(x)$ 	& 			& 			& 			& 			& \\ \hline
\end{tabularx}\]

\item Calculer, pour tout réel $x$ appartenant à  l'intervalle I, le nombre $f^{\prime}(x)$.

En déduire le sens de variation de $f$ sur l'intervalle I.
\item Tracer la courbe représentative de $f$ sur le graphique donné en annexe 1.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

On considère que, pour tout entier naturel $n$ appartenant à l'intervalle I, le nombre $f(n)$ donne la population d'une ville V, exprimée en centaines de milliers d'habitants, au $1\up{er}$ janvier de l'année $n$. 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement la population de la ville V au $1\up{er}$ janvier 1990.

(On fera apparaître les constructions nécessaires sur le graphique de l'annexe 1 et on donnera une réponse arrondie à la centaine de milliers d'habitants).
		\item Déterminer par le calcul la population de la ville V au $1\up{er}$ janvier 1990.

(On arrondira le résultat à la dizaine de milliers d'habitants.)
\end{enumerate}
\item On cherche à déterminer à partir du $1\up{er}$ janvier de quelle année la population de la ville V dépassera les \np{2600000}~habitants, 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement un encadrement de cette année.

(On fera apparaître les constructions nécessaires sur le graphique de l'annexe 1.)
		\item Déterminer cette année par le calcul.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 obligatoire} \hfill 7 points}

\medskip

Le but de cet exercice est de construire un carré d'aire égale à l'aire d'un rectangle donné.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A : Étude d'un exemple}

La figure 1 de l'annexe 2 représente dans un repère orthonormal d'origine O, les points A, B et C de coordonnées respectives (0~;~3), $(-5~;~3)$ et $(-5~;~ 0)$ et le rectangle OABC.

L'unité graphique est le centimètre.

Le cercle de centre O passant par A, coupe l'axe des abscisses en deux points.

On note E celui de ces points dont l'abscisse est positive et M le milieu du segment [CE].

Le cercle de diamètre [CE] coupe l'axe des ordonnées en deux points.

On note F celui de ces points dont l'ordonnée est négative.

\begin{enumerate}
\item Construire E, M et F sur la figure 1. Donner les coordonnées de M.
\item Calculer la valeur exacte de la distance OF.
\item Calculer l'aire $\mathcal{A}$, exprimée en cm$^2$, du rectangle OABC et vérifier que : 

$\mathcal{A}$ = OF$^2$.
\item Construire sur la figure 1 un carré d'aire égale à celle du rectangle OABC.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie B : Cas général}

La figure 2 de l'annexe 2 représente un rectangle quelconque OABC de largeur OA et de longueur AB. On note $a$ =  OA et $b$ = AB. On a donc : $b \geqslant a$. L'unité graphique est le centimètre.

On ne cherchera pas à mesurer $a$ et $b$ qui peuvent prendre toutes valeurs positives vérifiant $b \geqslant a$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire sur la figure 2, en utilisant uniquement le compas et la règle non graduée, les points suivants (on laissera apparents les traits de construction) :
	\begin{enumerate}
		\item le point E de la droite (CO) qui vérifie OE = $a$ et n'appartient pas au segment [CO].
		\item le point M milieu du segment [CE].
		\item le point F, point d'intersection du cercle de diamètre [CE] et de la droite (AO) qui vérifie : O est entre A et E.
	\end{enumerate}
\item Montrer que CE = $a + b$. En déduire ME puis montrer que  MO $= \dfrac{b - a}{2}$.
\item Préciser la valeur de la distance MF puis montrer que : OF $= \sqrt{ab}$.
\item Construire sur la figure 2 un carré de côté [OF].

Vérifier que ce carré et le rectangle OABC ont la même aire.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Votre choix : Exercice 3 ou exercice 4. Indiquer clairement votre choix sur la copie.}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3 } \hfill 6 points}

\medskip

Tous les ouvrages publiés sont identifiés par un numéro ISBN (International Standard Book Number) qui indique la langue de publication, l'éditeur et la référence de l'ouvrage chez cet éditeur. Un numéro ISBN est constitué de neuf chiffres (c'est-à-dire neuf entiers compris entre 0 et 9) suivis d'un espace et d'une clé. Cette clé est un chiffre ou la lettre X (le 10 en numération romaine).

Pour déterminer la clé d'un numéro ISBN dont les neuf premiers chiffres sont

$abcdefghi$, on calcule le nombre $N = a + 2b + 3c + 4d + 5e +6f + 7g + 8h + 9i$, puis on détermine le nombre $r$ compris entre 0 et 10 qui est congru à $N$ modulo 11. Si le nombre $r$ est strictement inférieur à 10, la clé est égale à $r$ ; si le nombre $r$ est égal à 10, la clé est X.

\begin{enumerate}
\item Vérifier que la clé du numéro ISBN 190190340 0 est correcte. 
\item Calculer la clé du numéro ISBN dont les 9 premiers chiffres sont : 103241052.
\item Le quatrième chiffre du numéro ISBN d'un ouvrage est illisible. On le note $d$. La clé de ce numéro est 4 et le numéro se présente ainsi : $329d12560\:\: 4$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que : $4d \equiv 2\quad  (\text{modulo} ~ 11)$.
		\item En déduire le chiffre $d$.
	\end{enumerate}
\item Le premier chiffre et le neuvième chiffre du numéro ISBN d'un autre ouvrage sont
illisibles. On les note $a$ et $i$. La clé de ce numéro est 9 et le numéro se présente ainsi : $a3210050i\:9$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $a \equiv 2 - 9i\quad  (\text{modulo}~ 11)$.
		\item Donner deux valeurs possibles du couple $(a~;~i)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Votre choix : Exercice 3 ou exercice 4. Indiquer clairement votre choix sur
la copie.}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\medskip

\textbf{Rappels}

\emph{On note $\overline{A}$ l'évènement contraire d'un évènement $A$, $p(A)$ la probabilité d'un évènement $A$,}

\emph{\og $A~\text{et}~B\fg{}$ ou \og $A \cap B$\fg{} l'intersection de deux évènements $A$ et $B$,}

\emph{\og $A ~\text{ou}~ B$ \fg{} ou \og $ A \cup  B$\fg{} la réunion de deux évènements $A$ et $B$.}

\emph{On note $p_{B}(A)$ la probabilité qu'un évènement $A$ se réalise, sachant qu'un évènement
$B$ (de probabilité non nulle) est déjà réalisé.  On a : $p_{B}(A) 	=
\dfrac{p(A \cap B)}{p(B)} = \dfrac{p(A~\text{et}~B)}{p(B)}.$}

Dans un pays européen, $12\,\%$ des moutons sont atteints par une maladie.

Un test de dépistage de cette maladie vient d'être mis sur le marché mais il n'est pas
totalement fiable.

Une étude a montré que quand le mouton est malade le test est positif dans $93\,\%$ des cas ; quand le mouton est sain, le test est négatif dans $97\,\%$ des cas.

On choisit un le mouton au hasard et on le soumet au test de dépistage de la maladie.

On note M l'évènement \og le mouton est malade \fg{}.

On note Po l'évènement \og le test est positif \fg{}.

\begin{enumerate}
\item Compléter l'arbre de probabilité donné en annexe 3.
\item Calculer les probabilités des évènements A, B, C suivants :

A : \og Le mouton est malade et le test est positif \fg{}. 

B : \og Le mouton est sain et le test est positif \fg{}.

C : \og Le mouton est malade et le test est négatif \fg{}.

\item En déduire que la probabilité de l'évènement Po est égale  $0,138$.

Quelle est la probabilité que le test soit négatif ?
	\item Dans cette question les résultats seront arrondis au millième.
		\begin{enumerate}
		\item Sachant qu'un mouton a un test positif, quelle est la probabilité qu'il ne soit pas malade ? 
		\item Sachant qu'un mouton a un test négatif, quelle est la probabilité qu'il soit malade ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE 1 (à rendre avec la copie)\\
Exercice 1, questions A. 3., B. 1. a. et B.2. a.}

\vspace{0,5cm}
\psset{xunit=0.45mm,yunit=0.9cm}
\begin{pspicture}(1840,8)(2120,31)
\psaxes[Dx=100,Dy=1,Ox=1860,Oy=9,labels=none,ticks=y](1860,9)(1840,8)(2120,31)
\psline[linewidth=1.5pt](1840,9)(2120,9)
\psline[linewidth=1.5pt](1860,8)(1860,31)
\multido{\n=1900+100}{3}{\psline[linestyle=dashed](\n,8)(\n,31)\uput[d](\n,9){\n}}
\multido{\n=10+5}{5}{\psline[linestyle=dashed](1840,\n)(2120,\n)\uput[l](1860,\n){\n}}
\end{pspicture}
\end{center}
 
\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE 2 (à rendre avec la copie)\\
Exercice 2} 
 \vspace{0,5cm}
 \begin{pspicture}(-6,-4)(4,4)
 \psaxes[labels=none]{->}(0,0)(-6,-4)(4,4)
 \psline(-5,0)(-5,3)(0,3)
 \uput[r](0,3){A} \uput[ul](-5,3){B} \uput[ul](-5,0){C} \uput[ur](0,0){O}
 \end{pspicture}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Figure 2}

\vspace{0,5cm}

\begin{pspicture}(5,3)
\psframe(5,3)
\uput[ul](0,0){C} \uput[ul](0,3){B} \uput[ur](5,3){A} \uput[dr](5,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}
 
\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE 3 (à rendre avec la copie si vous avez choisi l'exercice 4)\\
Exercice 4, question 1.}

\vspace{1cm}\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(4,5)
\rput(1,3.5){\ovalnode{A}{0,12}}
\rput(1,1.5){\ovalnode{B}{{\white 0,12 }}}
\rput(3,4.5){\ovalnode{C}{{\white 0,12 }}}
\rput(3,3.5){\ovalnode{D}{{\white 0,12 }}}
\rput(3,1.5){\ovalnode{E}{{\white 0,12 }}}
\rput(3,0.5){\ovalnode{F}{{\white 0,12 }}}
\pnode(0,2.5){O} \rput(2,4){\Rnode{M}{M}}
\rput(2,1){\Rnode{N}{$\overline{\text{M}}$}}
\rput(4,5){\Rnode{P}{Po}} \rput(4,3){\Rnode{Q}{$\overline{\text{Po}}$}}
\rput(4,2){\Rnode{R}{Po}} \rput(4,0){\Rnode{S}{$\overline{\text{Po}}$}}
\ncline{O}{A} \ncline{O}{B}
\ncline{A}{M} \ncline{B}{N}
\ncline{M}{C} \ncline{M}{D}
\ncline{N}{E} \ncline{N}{F}
\ncline{C}{P} \ncline{D}{Q}
\ncline{E}{R} \p\ncline{F}{S}
\end{pspicture}
\end{center} 
%%%%%%%%%%%%%%   Fin Nouvelle-Calédonie novembre 2004
\end{document} 