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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small L spécialité  L'année 2005}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Baccalauréat L spécialité  2005~\decofourright \\\vspace{1cm} L'intégrale d'avril  à novembre 2005}}
\end{center}

\vspace{1cm}
 
{\Large \hyperlink{Pondichery}{Pondichéry avril 2005} \dotfill 3 \medskip

\hyperlink{Metropole}{Métropole juin 2005} \dotfill  6 \medskip

\hyperlink{Reunion}{La Réunion juin 2005} \dotfill 9 \medskip

\hyperlink{Liban}{Liban juin 2005} \dotfill 11 \medskip

\hyperlink{Polynesie}{Polynésie juin 2005} \dotfill 13 \medskip

\hyperlink{Etranger}{Centres étrangers juin 2005} \dotfill  17\medskip

\hyperlink{Metropolesep}{Métropole septembre 2005} \dotfill  21\medskip

\hyperlink{Caledonie}{Nouvelle-Calédonie novembre 2005} \dotfill  24\medskip
}
\newpage
 ~
\newpage
%%%%%%%%%%%%%% Pondichéry avril  2005
\hypertarget{Pondichery}{}

\lhead{\small Baccalauréat  L}
\rfoot{\small{avril 2005}}
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{\Large \decofourleft~Baccalauréat L  Pondichéry  avril 2005~\decofourright}

\end{center} 

\bigskip

\textsc{Durée de l'épreuve : 3 heures} 

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1 } \hfill 5 points}

\medskip

Sophie et Marc s'envoient régulièrement des messages qu'ils codent afin de ne pas en révéler la teneur à n'importe qui. Sophie utilise le procédé suivant :

$\bullet~$	Tout d'abord, à chaque lettre de l'alphabet, elle associe son rang dans l'alphabet (ainsi 1 est associé à A, 2 à B, etc.). À chaque lettre, elle associe donc un nombre entier $x$.

$\bullet~$	Elle associe ensuite à $x$ un nouveau nombre entier $y$, en posant :
\[y \equiv  3x + 5 \quad (\text{modulo}~ 26) ~\text{avec}~ 0 \leqslant y \leqslant  25.\]

$\bullet~$	Elle envoie enfin le message crypté sous forme d'une suite de lettres en associant de nouveau au nombre $y$ la lettre qui lui correspond dans l'alphabet (à zéro elle associera la lettre Z, à 1 la lettre A, à 2 la lettre B, etc. et à 25 la lettre Y).

\begin{enumerate}
\item Vérifier qu'avec la méthode de Sophie :
	\begin{enumerate}
		\item le nombre $y$ associé à la lettre E est 20,
		\item la lettre P est codée par la lettre A.
	\end{enumerate}
\item Compléter le tableau de la feuille annexe n$\up{o} 1$ à rendre avec la copie (aucune justification n'est demandée).

\item Décrypter ensuite à l'aide de cette méthode le message :

\begin{center} S F S T O T J R H M C T R H M F D P T J.\end{center}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points}

\bigskip

\textbf{Partie I}

\medskip

Sur la feuille annexe \no 2 à rendre avec la copie, la figure 1 représente un triangle ABD rectangle isocèle en A. Construire sur cette figure le point C tel que ABCD soit un carré, le point E symétrique de C par rapport à D et le point J milieu du segment [AD].

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip

Sur la figure 2 de la feuille annexe \no 2, sont représentés le tracé en perspective à points de fuite du triangle ABD rectangle isocèle en A et la ligne d'horizon $\Delta$ du plan de ce triangle.

\textsl{Toutes les constructions demandées devront être effectuées sur cette feuille et justifiées sur la copie.}

\begin{enumerate}
\item Placer le point de fuite F$_{1}$, de la direction de la droite (AB), le point de fuite F$_{2}$ de la direction de (BD) et F$_{3}$, celui de la direction de (AD).
\item Construire le point C tel que ABCD soit un carré.
\item Construire le point E, symétrique du point C par rapport au point D.
\item Construire le point J, milieu du segment [AD].
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 8 points}

\medskip

\textsl{Le but de cet exercice est l'étude du comportement d'une balle de golf en fonction de sa vitesse, de la résistance de l'air, de la texture de la balle. Les mesures ont été faites avec un champion, d'où la nature exceptionnelle des réponses.}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On appelle $t$ le temps (en secondes) écoulé depuis la frappe de la balle par le joueur, et $h(t)$ la hauteur (en mètres) de la balle par rapport au sol à l'instant $t$, avant qu'elle ne retombe. Dans un premier temps, on considère que la fonction $h$ est définie pour $t$ réel positif ou nul, de la manière suivante

\[h(t) = - 0,008t^2 +  t.\]

\begin{enumerate}
\item À quel instant $t$ la balle retombera-t-elle sur le sol ?
\item Sur quel intervalle est-il utile d'étudier la fonction $h$ ? Justifier la réponse.
\item Calculer la fonction dérivée de la fonction $h$.
\item En déduire le tableau de variations de $h$ sur l'intervalle [0 ; 125].
\item À quel instant la balle atteint-elle sa hauteur maximale ? Quelle est cette hauteur ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Si on tient compte de la résistance de l'air et de la nature de la balle, la hauteur de la balle en fonction du temps est exprimée plus précisément par la fonction $g$ définie pour $t$ réel positif ou nul, par :

\[g(t) = - 0,008t^2 + t - \ln (t + 1).\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $g(0)$. Donner la signification du résultat.
\item En utilisant le fait que la dérivée de la fonction $t \longmapsto  \ln (t + 1)$ est la fonction $t  \longmapsto \dfrac{1}{t + 1}$, montrer que la dérivée de $g$ est donnée par :

\[g'(t) = \dfrac{- 0,016t^2 - 0,016t + t}{t + 1}.\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier les variations de la fonction $g$.
		\item À quel instant $t$ la balle atteint-elle sa hauteur maximale ? Donner une valeur approchée de la hauteur atteinte, arrondie au mètre.
	\end{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, donner une valeur approchée, arrondie à la seconde, de l'instant où la
balle retombe sur le sol.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center} \textbf{FEUILLE ANNEXE N\up{o} 1 À RENDRE AVEC LA COPIE}

\vspace{0,5cm}

Exercice 1

\vspace{0,5cm}

\begin{tabular}{|*{14}{c|}}\hline
lettre&	A &	B &	C& D & E & F & G & H & I & J &K &L & M\\ \hline
rang $x$ dans l'alphabet&1&2&3&4&5&&&&&&&& \\ \hline
nombre $y$ associé & & & & &20 & & & & & & & & \\ \hline
lettre envoyée & & & & & & & & & & & & & \\ \hline
\end{tabular}

\vspace{0,4cm}

\begin{tabular}{|*{14}{c|}}\hline
lettre&	N &	O &	P&  Q & R & S &T & U & V &W &X & Y & Z\\ \hline
rang $x$ dans l'alphabet&&&16&4&5&&&&&&&& \\ \hline
nombre $y$ associé & & & & & & & & & & & & & \\ \hline
lettre envoyée & & &A & & & & & & & & & & \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\newpage

\begin{center} \textbf{}FEUILLE ANNEXE N$\up{o}\: 2$ À RENDRE AVEC LA COPIE}

\vspace{0,5cm}

Exercice 2

\begin{pspicture}(9,6)
\pspolygon(0,0)(4.5,0)(4.5,4.5)
\uput[ul](0,0){B} \uput[ur](4.5,0){A} \uput[ur](4.5,4.5){D}
\rput(4.5,-3){\textbf{Figure 1}}
\end{pspicture}

\vspace{6cm}

\begin{pspicture}(14,8)
\psline(0,8)(14,8) \uput[d](14,8){$\Delta$}
\qdisk(2,5.6){1.5pt} \qdisk(3.9,2.6){1.5pt} \qdisk(6.3,6.7){1.5pt} 
\uput[ul](2,5.6){B} \uput[d](3.9,2.6){A}  \uput[ur](6.3,6.7){D}
\rput(7,0){\textbf{Figure 2}}
\end{pspicture}
\end{center} 
%%%%%%%%%%%%%%   Fin Pondichéry avril 2005
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Métropole juin 2005
\hypertarget{Metropole}{}

\rhead{\small Baccalauréat L}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat L spécialité Métropole juin 2005~\decofourright}} 
    
\vspace{0,25cm}

L'usage d'une calculatrice est autorisé \hfill 3 heures

Ce sujet nécessite une feuille de papier millimétré

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 obligatoire} \hfill 3 points}

\medskip

Arthur et Wilson sont deux jumeaux qui ont l'habitude de communiquer à l'aide de messages codés. Ils réalisent toujours leur cryptage de la façon suivante :

Chaque lettre de l'alphabet munie de son numéro d'ordre $n$ est remplacée par la lettre de l'alphabet munie du numéro d'ordre $p~ (1 \leqslant p \leqslant 26)$ obtenu à l'aide de la formule

\[p \equiv 3\times n + 7\quad  (\text{modulo}~ 26).\]

Par exemple la forme cryptée de L est Q car $3\times 12 + 7 = 43$ et $43 \equiv  17\quad  (\text{modulo}~26)$.

\begin{enumerate}
\item Compléter la table de cryptage donnée sur la feuille annexe à rendre avec la copie (aucune justification n'est demandée).
\item Arthur a envoyé le message suivant à Wilson : MIJUZ CZRI OJ IVRLLHOV.

Retrouver la forme décryptée du message.

\item Wilson désire lui répondre : MERCI.

Donner la forme cryptée de ce message.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 obligatoire} \hfill 5 points}

\medskip

On rappelle que le nombre d'or noté $\Phi$  est tel que $\Phi = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$.

On appelle rectangle d'or tout rectangle dont le rapport de la longueur sur la largeur est égal au nombre d'or.

Soit ABCD un carré. On considère :

$\bullet~$ le milieu I du segment [DC],

$\bullet~$ le cercle $\mathcal{C}$ de centre l et de rayon [lA],

$\bullet~$ le point d'intersection E de la demi-droite [DC) et du cercle $\mathcal{C}$,

$\bullet~$ le point F tel que AFED soit un rectangle.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item  Compléter la figure donnée sur la feuille annexe à rendre avec la copie.
\item Exprimer DI en fonction de AD.
\item Montrer que IA$^2 = \dfrac{5}{4}\text{AD}^2$, et en déduire l'expression de IE en fonction de AD.
\item Déduire des deux questions précédentes que DE $= \Phi \cdot$  AD, et que le rectangle AFED est un rectangle d'or.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3 obligatoire} \hfill 6 points}

\medskip

Soit la fonction $t$ définie sur $\R$ par $t(x) =4x^2 - 5x +1.$ 

\begin{enumerate} 
\item  Montrer que, pour tout réel $x,~ t(x) = (4x - 1)(x - 1)$. En déduire le signe de $t(x)$.
\item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$ par $f(x) = x(2x -5) + \ln x$.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$ et la limite de $f$ en $0$.
		\item Déterminer $f'(x)$ et vérifier que $f '(x) = \dfrac{t(x)}{x}$.
		\item En déduire le tableau des variations de $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
		\item Sur une feuille de papier millimétré, tracer la courbe $\mathcal{C}$ représentant la fonction $f$ dans un repère orthonormé d'unité 2 cm.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4 obligatoire} \hfill 6 points}

\medskip

\emph{Dans tout l'exercice, on donnera les résultats arrondis à}\: $10^{-4}$.

\emph{Les résultats d'une enquête concernant les véhicules circulant en France montrent que :}

$\bullet~$ 88\,\% des véhicules contrôlés ont des freins en bon état ;

$\bullet~$ parmi les véhicules contrôlés ayant des freins en bon état, 92\,\% ont un éclairage en bon état ;

$\bullet~$ parmi les véhicules contrôlés ayant des freins défectueux, 80\,\% ont un éclairage en bon état.

On choisit au hasard un des véhicules concernés par l'enquête. Il y a équiprobabilité des choix. 

On note F l'évènement \og le véhicule contrôlé a des freins en bon état \fg.

On note E l'évènement \og le véhicule contrôlé a un éclairage en bon état \fg.
 
$\overline{\text{E}}$ et $\overline{\text{F}}$ désignent les évènements contraires de E et de F.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item  Décrire cette situation à l'aide d'un arbre.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la probabilité $P\left(\overline{\text{F}}\right)$ de l'évènement $\overline{\text{F}}$.
		\item Quelle est la probabilité $P_{\overline{\text{F}}}\left(\overline{\text{E}}\right)$, probabilité que l'éclairage ne soit pas en bon état, sachant que les freins ne sont pas en bon état. 
		\item Montrer que la probabilité $P(\text{E}~\cap~\text{F})$ de l'évènement E~$\cap$~F est égale à 0,809\,6. 
		\item Quelle est la probabilité pour que le véhicule ait un éclairage en bon état ?

Tout conducteur d'un véhicule concerné par l'enquête ayant des freins ou un éclairage défectueux, doit faire réparer son véhicule. Calculer la probabilité pour qu'un conducteur ait des réparations à effectuer sur ses freins ou son éclairage.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}\textbf{FEUILLE ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 1}

\end{center}

Table de cryptage à compléter :

\begin{center}\begin{tabular}{|*{14}{c|}}\hline
lettre &A 	&B 	&C 	&D 	&E 	&F 	&G &H 	&I 	&J 	&K 	&L 		&M\\ \hline
$n$		&1	&2	&3	&4	&5	&6	&7	&8	&9	&10	&11	&12		&13\\ \hline
$p$		&10	& 	& 	&	&	&	&	&	&	&	&	& 17 	& \\ \hline
forme 	& 	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&		&\\
cryptée & J & 	& 	& 	& 	& 	& 	& 	& 	& 	& 	& Q		&\\ \hline\hline
lettre 	& N	& O &P 	&Q 	& R & S & T & U & V & W & X & Y  	& Z\\ \hline
$n$ 	& 14&15	&16	&17	&18	&19	&20	&21	&22	&23	&24	&25		&26\\ \hline
$p$ 	& 	& 	& 	& 	& 	& 	& 	& 	&  	& 	& 1 & 		& \\ \hline
forme 	& 	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&		&\\
cryptée & 	& 	& 	& 	& 	& 	& 	& 	& 	& 	& A & 		& \\ \hline \hline
\end{tabular}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 2}

 \end{center}
 
 Figure à compléter :
 
\begin{pspicture}(12,5)
\psline(0,0)(11.7,0)
\psframe(0,0)(4.4,4.4)
\uput[dl](0,0){D}  \uput[ul](0,4.4){A}  \uput[ur](4.4,4.4){B}  \uput[dr](4.4,0){C} 
\end{pspicture} 
%%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole juin 2005
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   La Réunion juin 2005
\hypertarget{Reunion}{}

\lhead{\small Baccalauréat L}
\rfoot{\small{juin 2005}}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalaurat L spécialité La Réunion juin 2005~\decofourright}}

\vspace{0,25cm}

L'usage de la calculatrice est autorisé pour cette épreuve.

\vspace{0,25cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}

\medskip

Dans cet exercice, aucune justification n'est demandée.

Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est exacte.

\emph{Une bonne réponse rapporte $1$ point. Une mauvaise réponse enlève $0,5$ point.}

\emph{L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.}

\emph{Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est} $0$.

\bigskip

\hspace*{-1cm}{\small \begin{tabular}{|c|l|*{3}{c|}}\hline
N$\up{o}$& 	Questions&	A&	B &	C\\ \hline
&$f$ est une fonction dérivable en $- 1$ telle que& & & \\
& $f(-1) = 3$ et $f'(-1) = - 2.$&&& \\
1&	Une équation de la tangente à la courbe&	$y = 2x+3$&	$y=3x+1$&	$y= -2x+1$\\
	& représentant $f$ au point d'abscisse $-1$ est & & & \\ \hline
2&$\ln 54 - 2\ln 3$ est égal à &	$\ln 9$ &	$\ln 3$ &	$\ln 6$\\ \hline
3&	Dire que deux évènements A et B sont&	$P(\text{A} \cap  \text{B}) =$&&$P(\text{A} \cap  \text{B}) =$\\
 &indépendants signifie que &  $P$(A) + $P$(B)& $P(\text{A} \cap  \text{B}) = 0$&$P$(A) $~\times~ P$(B)\\ \hline
&À une tombola, 100 billets sont mis en vente& & & \\
4&	parmi lesquels un billet sur deux est gagnant.&$\dfrac{1}{50}$ & $\dfrac{149}{198}$ & $\dfrac{4949}{4950}$\\
&Xavier achète 2 billets. La probabilité qu'il&&&\\			
&achète au moins 1 billet gagnant est  & & & \\ \hline
5 & A et B sont deux évènements tels que &	 & &\\
 & $P$(A)$\neq 0$. Alors $P(\text{A} \cap  \text{B}) =$&$P_{\text{A}}(\text{B}) \times P(\text{A})$&
$P_{\text{A}}(\text{B}) \times P(\text{B})$ &$P_{\text{B}}(\text{A}) \times P(\text{A})$\\ \hline
\end{tabular}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  7 points}

\medskip

Pierre et Jean collectionnent des cartes postales.

À ce jour Pierre en possède \np{5000} et Jean \np{3000}.

Pierre a remarqué que sa collection augmentait de $500$ chaque année, et Jean pense qu'il peut voir sa collection augmenter de 15\,\% annuellement.

Dans toute la suite de l'exercice, on désigne par $n$ un entier naturel non nul.

\begin{enumerate} 
\item On note $a_{n}$ le nombre de cartes postales que possédera Pierre dans $n$ années.
	\begin{enumerate} 
		\item Justifier que la suite $\left(a_{n}\right)$ est une suite arithmétique de premier terme $a_{0} = \np{5000}$ et de raison 500.
		\item Exprimer $a_{n}$ en fonction de $n$.
		\item Représenter graphiquement cette suite pour $0 \leqslant   n \leqslant  10$. On prendra un repère orthogonal \Oij{} dans lequel 1 cm représente une année sur l'axe (O$x$) et 1 cm représente \np{1000} cartes postales sur l'axe (O$y$).
	\end{enumerate}
\item On note $b_{n}$ le nombre de cartes postales que possédera Jean dans $n$ années.
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que la suite $\left(b_{n}\right)$ est une suite géométrique de premier terme $b_{0} = \np{3000}$ et préciser sa raison.
		\item Exprimer $b_{n}$ en fonction de $n$.
		\item Représenter graphiquement cette suite pour $0 \leqslant   n \leqslant  10$  sur le graphique précédent.
	\end{enumerate}
\item À partir de quelle année, la collection de Jean est-elle plus importante que celle de Pierre ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  8 points}

\medskip

\textbf{Construction du nombre d'or}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item On appelle nombre d'or le réel noté $\Phi = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$.

Démontrer que ce nombre vérifie la relation (1)  :  $\Phi^2 = \Phi + 1$.
\item On appelle rectangle d'or, un rectangle dont le quotient de la longueur par la largeur est égal au nombre $\Phi$.

On donne quatre points A, B, C et D tels que le rectangle ABCD soit un rectangle d'or. (voir figure ci-dessous).
 
On appelle respectivement E et F les point des segments [BC] et [AD] tels que le quadrilatère ABEF soit un carré.
  
On pose AB = $\ell$.
	\begin{enumerate} 
		\item Exprimer la longueur AD en fonction de jet de $\ell$ et de $\Phi$.
		\item Montrer que $\dfrac{\text{EF}}{\text{FD}} = \dfrac{1}{\Phi - 1}$.
		\item En utilisant la relation (1), montrer que $\Phi (\Phi - 1) = 1$, puis que $\dfrac{1}{\Phi - 1}	= \Phi$.
		\item Que peut-on en déduire pour le rectangle grisé FDCE ?
\end{enumerate}
\item Soit K le milieu de [BE]. 
	\begin{enumerate} 
		\item Exprimer KF en fonction de $\ell$.
		\item Montrer que KC $= \left(\Phi - \dfrac{1}{2}\right) \times \ell$.
		\item En déduire que KF =  KC.
		\item En déduire une construction géométrique d'un segment dont la longueur est le nombre d'or $\Phi$
(faire une figure et expliquer les étapes de la construction).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\begin{center} \begin{pspicture}(6,3.5)
\psframe(0,0)(3.35,3.35)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3.35,0)(5.35,3.35)
\uput[ul](0,3.35){A} \uput[dl](0,0){B} \uput[dr](5.35,0){C} 
\uput[ur](5.35,3.35){D} \uput[d](3.35,0){E} \uput[u](3.35,3.35){F} 
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%   Fin La Réunion juin 2005
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Liban juin  2005
\hypertarget{Liban}{}

\lhead{\small Terminale L}
\rfoot{\small{6 juin 2005}}
\lfoot{\small{Liban}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat L Liban 6 juin 2005~\decofourright}}

\vspace{0,25cm}

\textsl{Le candidat doit traiter les trois exercices}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  7 points} 

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

La production d'une entreprise peut être modélisée par une suite arithmétique $\left(u_{n}\right)$ telle que, pour tout entier naturel non nul $n,~ u_{n}$ désigne le nombre d'appareils produits l'année $n$. 

La $1\up{re}$ année, la production est de \np{7500} appareils ; on a donc $u_{1} =  \np{7500}$.

La $6\up{e}$ année, la production est de \np{12000} appareils ; on a donc $u_{6}  = \np{12000}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la raison de la suite $\left(u_{n}\right)$ est 900.
\item Pour tout entier naturel non nul $n$, exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
\item Au bout de combien d'années la production aura-t-elle dépassé le triple de la production initiale ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Une autre entreprise produit la $1\up{re}$ année \np{7500} appareils. On notera, pour tout entier naturel non nul $n, \:v_{n}$, le nombre d'appareils produits l'année $n$. On a donc $v_{1} = \np{7500}$. La production annuelle de cette entreprise augmente de $10\,\%$ chaque année.

\begin{enumerate}
\item Calculer $v_{2}$ et $v_{3}$.
\item Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique. Donner sa raison.
\item Pour tout entier naturel non nul $n$, exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.
\item Au bout de combien d'années la production aura-t-elle dépassé le triple de la production initiale ?
\item Combien d'appareils l'entreprise aura-t-elle produit en 13 ans ?
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Rappel : } pour  $q \neq 1, \quad 1 + q + q^2 + \cdots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}.$\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  7 points} 

\medskip

Pour engager du personnel, une entreprise organise des tests de sélection.

Parmi les candidats qui se présentent aux épreuves, il y a $60\,\%$ d'hommes.

Une étude statistique montre que l'entreprise engage $70\,\%$ des hommes candidats et $80\,\%$ des femmes candidates.

RAPPEL : La probabilité conditionnelle de A sachant B est $P_{\text{B}}(\text{A})= \dfrac{P(\text{A} \cap \text{B})}{P(\text{B})}$.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

À l'issue des tests, on interroge une personne au hasard parmi tous tes candidats.

On note

$\bullet~$ H l'évènement \og la personne est un homme \fg{} ;

$\bullet~$ F l'évènement \og la personne est une femme \fg{} ;

$\bullet~$ E l'évènement \og la personne est engagée \fg{} ;

$\bullet~$ $\overline{\text{E}}$  l'évènement complémentaire (ou contraire) de E.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité $p$(F) que la personne interrogée soit une femme ?
		\item Quelle est la probabilité que la personne interrogée ne soit pas engagée, sachant que c'est une femme ?
	\end{enumerate}
\item Construire un arbre de probabilité illustrant cette situation.
\item Calculer la probabilité $p\left(\overline{\text{E}} \cap  \text{F}\right)$ que la personne interrogée soit une femme et qu'elle ne soit pas engagée.
\item Montrer que $p\left(\overline{\text{E}} \right) =  0,26$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans celle partie les résultats seront donnés sous forme de valeurs approchées arrondies au millième.

À l'issue des tests on interroge 4 personnes au hasard. On considérera que ces 4 choix sont deux à deux indépendants.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité qu'aucune des 4 personnes ne soit engagée ?
\item Quelle est la probabilité qu'au moins une des 4 personnes ne soit pas engagée ?
\item Quelle est la probabilité que 2 personnes exactement soient engagées ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  6 points} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le reste de la division euclidienne de 5 par 8 ?

Quel est le reste de la division euclidienne de $5^2$ par $8$ ?
\item Quel est. le reste de la division euclidienne de $5^{86}$ par $8$ ?

Quel est le reste de la division euclidienne de $5^{87}$ par $8$ ?
\item Quel est le reste de la division euclidienne de $965^{87}$ par $8$ ?
\item Soit $n$ un entier naturel.

Montrer que $5^{2n +1} + 5^{2n} + 2$ est un multiple de $8$.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%   Fin Liban juin  2005
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Polynésie juin 2005
\hypertarget{Polynesie}{}

\rhead{\small Bac L}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{8 juin 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalaurat L Polynésie juin 2005~\decofourright}} 
    
\vspace{0,25cm}

 L'usage d'une calculatrice est autorisée \hfill 3 heures

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points}

\medskip

Pour chacune des questions suivantes, parmi les réponses proposées, ii y a toujours une réponse exacte et une seule.

Le candidat répond sur sa copie en rappelant le numéro de la question et la lettre qui correspond selon lui, à la bonne réponse. Aucune justification n'est demandée.

Chaque bonne réponse rapporte 0,5 point et chaque mauvaise réponse enlève 0,25 point ; la note totale de l'exercice ne pouvant être inférieure à 0.

\textbf{On rappelle que le nombre d'or, noté \boldmath $\varphi$\unboldmath, est défini par \boldmath $\varphi = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$\unboldmath.}

\begin{enumerate}
\item Le nombre d'or $\varphi$ vérifie une des 4 propositions suivantes, laquelle ?

\[\text{A} : ~\varphi^3 = \varphi^2 + 1 \quad 	\text{B} :~ \varphi = \varphi^2 + 1 \quad	\text{C} :~\varphi^2 = \varphi+1 \quad 
\text{D} :~ \sqrt{\varphi} = \varphi - 1.\]

\item Dans un dessin en perspective \textbf{cavalière}.

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X}|}}
A : Les droites perpendiculaires sont toujours représentées par des droites perpendiculaires. & B : Les droites parallèles sont toujours représentées par des droites parallèles. & C : Les lignes de fuite se coupent. & D : Les longueurs des segments sont toujours conservées\\
\end{tabularx}
	
\item	Dans un dessin en perspective à \textbf{points de fuite} :

\hspace*{-0.7cm} \begin{tabular}{|*{4}{p{2.6cm}|}}
 A : Sur les plans frontaux, les parallèles sont concourantes.&B : Les points de fuite  sont sur  la ligne d'horizon. & C : Sur les lignes de  fuite les proportions sont respectées. & D : Un angle droit est  toujours représenté par un angle droit.\\
\end{tabular}

\item Dans un triangle équilatéral MNP de centre O :

A : $\widehat{\text{MON}} = 115\degres$

B : les médianes sont les bissectrices intérieures

C : $\widehat{\text{MNP}} = 72\degres$

\item L'angle de deux côtés consécutifs d'un pentagone régulier vaut

A : $100\degres$\quad 	B : $108\degres$ \quad  	C :$116\up{o}$ \quad D :  $122\degres$

\item	Si ABCDE est un pentagone régulier:

A :~AB/DE = $\varphi$\quad 	B : AB/AC = $\varphi$\quad	C : AD/BC = $\varphi$\quad
D : AC/AD = $\varphi$
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Gaston hésite entre deux contrats d'embauche pour lesquels le salaire du premier mois est de \np{1600}~euros.

Contrat \no 1 : chaque mois à partir du deuxième mois le salaire mensuel augmente de 10 euros.

Contrat \no 2 : chaque mois à partir du deuxième mois le salaire augmente de $0,6\,\%$ par rapport au mois précédent.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour chacun des deux contrats, déterminer la nature de la suite des salaires mensuels, préciser le premier terme et la raison.
\item Pour chacun des deux contrats, calculer le total des salaires perçus pendant la première année.
\item À l'aide de la calculatrice, déterminer à partir de quel mois le salaire mensuel correspondant au contrat n$\up{o} 2$ devient supérieur à celui du contrat n$\up{o} 1$ Justifier correctement la réponse.
\end{enumerate}

On rappelle que :

$\bullet~$ La somme $S$ des $n$ premiers termes d'une suite géométrique $\left(u_{n}\right)$ de raison $ q~

(q \neq 1)$ est :

\[S = u_{1} + u_{2}+ \cdots + u_{n} = \dfrac{1 - q^n}{1 - q}.\]

$\bullet~$La somme $S'$ des $n$ premiers termes d'une suite arithmétique $\left(v_{n}\right)$ de raison $r$ :

\[S' = 	v_{1} + v_{2}  + \cdots 	+ v_{n} = 	nv_{1} + r\dfrac{n(n -1)}{2}.\]

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\medskip

Voici les premiers vers d'un poème de Jacques Prévert : \og Le cancre \fg{}.

\begin{verse}
Il dit non avec la tête\\
Mais il dit oui avec le c{\oe}ur\\
Il dit oui à ce qu'il aime\\
Il dit non au professeur\\
\end{verse}

Chacun des 26 mots de ces vers est inscrit sur une carte. On obtient ainsi la répartition suivante :

\begin{center}\begin{tabular}{|c||*{8}{c|}}\hline
mots & il &dit & non  & avec & la & tête& mais & oui\\ \hline
effectif &5&4&2&2&1&1&1&2\\ \hline \hline
mots & le & c{\oe}ur & à & ce & qu &aime  & au & professeur\\ \hline
effectif & 1&1&1&1&1&1&1&1\\  \hline \hline
\end{tabular}\end{center}

On a ainsi un jeu de 26 cartes.

Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

\begin{enumerate}
\item On tire successivement trois cartes au hasard parmi les 26.
	\begin{enumerate}
		\item Les tirages s'effectuent sans remise, calculer la probabilité d'obtenir, dans l'ordre \og il dit non \fg.
		\item Les tirages s'effectuent avec remise, calculer la probabilité d'obtenir exactement une fois le mot \og non \fg{}.
	\end{enumerate}
\item On tire au hasard et simultanément trois cartes au hasard parmi les 26.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité d'obtenir trois verbes.
		\item Calculer la probabilité d'obtenir ensemble les trois mots \og il \fg{}, \og dit \fg{} et \\\og non \fg{}.
		\item Calculer la probabilité d'obtenir au moins une fois le mot \og non \fg{}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\begin{center}\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}\end{center}

\textbf{PARTIE A}

\medskip

Pour effectuer un examen médical, on injecte par piqûre intramusculaire une dose de 3 cm$^3$ d'une substance médicamenteuse dans le sang d'un malade à l'instant $t =  0~ (t$ est exprimé en heures). Celle-ci passe alors progressivement dans le sang. La diffusion atteint son maximum au bout d'une heure.

La courbe de l'annexe représente la quantité de substance présente dans le sang à l'instant $t$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire sur la feuille annexe la tangente à la courbe au point d'abscisse 2, sachant que son coefficient directeur est égal à $(- 0,9)$.
\item À partir du graphique commenter l'évolution de la quantité de substance médicamenteuse contenue dans le sang.
\item Pour pouvoir effectuer l'examen, il faut que la quantité de substance médicamenteuse présente dans le sang soit supérieure ou égale à 0,5 cm$^3$. Déterminer graphiquement de combien de temps on dispose pour faire cet examen.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

On a injecté par piqûre intraveineuse 1 cm$^3$ de médicament à un malade à l'instant $t = 0$. La substance se répartit immédiatement dans le sang et elle est ensuite progressivement éliminée. Expérimentalement, on montre que la quantité $q(t)$ de substance présente dans le sang à l'instant $t$ est donnée par la relation $q(t) = \text{e}^{- 0,15t}$ où $t$ est exprimée en heures.

\begin{enumerate}
\item Quel volume de ce produit reste-t-il au bout de 90 minutes ?
\item Quel volume de ce produit le malade a-t-il éliminé au bout d'une demi-heure ? d'une heure ?
\item On donne $q'(t) = - 0,15\text{e}^{- 0,15t}$ où $q'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $q$.

Étudier les variations de la fonction $q$ sur l'intervalle [0~;~9] puis tracer sa représentation graphique dans un repère orthogonal en prenant pour unités 2~cm en abscisses et 10~cm en ordonnées.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}FEUILLE ANNEXE à rendre avec la copie

\vspace{3cm}

\psset{xunit=1.5cm,yunit=2.5cm}\begin{pspicture}(8,3)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=10,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(8,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(8,3)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{8}{2.71828 1 x sub exp x mul 2.41 mul}
\uput[r](0,3.1){Quantité présente dans le sang $\left(\text{en cm}^3\right)$}
\uput[d](7,-0.3){Instant $t$ en heures}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%   Fin Polynésie juin 2005
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Centres étrangers juin 2005
\hypertarget{Etranger}{}

\lhead{\small Baccalauréat  L }
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{juin 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat L spécialité Centres étrangers~\decofourright\\ juin 2005 }} 
    
\vspace{0,25cm}

 L'usage d'une calculatrice est autorisé \hfill 3 heures

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

\emph{Pour chaque question de cet exercice, il s'agit d'indiquer sur votre copie la lettre correspondant à l'unique bonne réponse : aucune justification n'est à rédiger.\\
Chaque bonne réponse rapporte $0,3$ point. Chaque mauvaise réponse enlève $0,25$ point. En cas de total négatif, la note de l'exercice est ramenée à zéro.}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{5cm}|c|X|}\hline
\multirow{3}{5cm}{\textbf{1.} \np{49359} est congru à :}&\textbf{a.}&1 modulo 11\\ \cline{2-3}
 	&	\textbf{b.}					&	2 modulo 11\\ \cline{2-3}
	&	\textbf{c.}					&	3 modulo 11\\ \hline
\multirow{3}{5cm}{\textbf{2.}  Si $x$  est congru à 4 modulo $5$ et si $y$ est	congru à 6 modulo 5 alors $x + y$ est congru à}&\textbf{a.}&	0 modulo 5\\ \cline{2-3}
&\textbf{b.}&4 modulo 5\\ \cline{2-3}
&\textbf{c.}&10 modulo 10\\ \hline
\multirow{3}{5cm}{\textbf{3.}  $6^{19} + 4$}&	\textbf{a.}& est  divisible par3\\ \cline{2-3}
 &	\textbf{b.}&	n'est pas un multiple de $5$\\ \cline{2-3}
	&	\textbf{c.}& est divisible par 5\\ \hline
\multirow{3}{5cm}{\textbf{4.} $10^{11}$ est congru  à :}&\textbf{a.} &	1 modulo 9\\ \cline{2-3}
	&\textbf{b.}&	9 modulo 10\\ \cline{2-3}
	&\textbf{c.} &	11 modulo 9\\ \hline
\multirow{3}{5cm}{\textbf{5.}  Si $U_{1} =  2$ et si pour tout $n$ $U_{n+1} = U_{n} + 3$, alors :}	&	\textbf{a.}&$U_{16} = 50$\\ \cline{2-3}
 &\textbf{b.}	& $U_{16}=\np{86093442}$\\ \cline{2-3}	
 &	\textbf{c.}&	$U_{16} = 47$\\ \hline
\multirow{3}{5cm}{\textbf{6.} La limite de la suite définie par}	&\textbf{a.}& $0$\\  \cline{2-3}
 &	\textbf{b.}&	2\\  \cline{2-3}
$U_{n} = 0,9^n+ 2$ est égale à :&	\textbf{c.}&	$+\infty$\\\hline
\multirow{3}{5cm}{\textbf{7.} La suite définie par $U_{0} = 5$ et $U_{n+1}  =3U_{n} + 2$  est :}	&	\textbf{a.}&arithmétique\\  \cline{2-3}
	&\textbf{b.}&	géométrique\\ \cline{2-3}
&	\textbf{c.}&ni	géométrique ni arithmétique\\ \hline
\multirow{3}{5cm}{\textbf{8.} La population d'un pays augmente de 3\,\% par an, cette progression est :}	&\textbf{a.}&	géométrique de raison $0,03$  \\  \cline{2-3}
&	\textbf{b.}&arithmétique de raison 3\\  \cline{2-3}
&	\textbf{c.}&géométrique de raison supérieure à 1.\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

On désigne par $f$ la fonction définie sur $\R$ par 
\[f(x) = 2x + 5 - \text{e}^x.\]
On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.\\
On appelle $\Gamma$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation d'inconnue $x$ :
\[2 - \text{e}^x > 0.\]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur exacte de $f(\ln 2)$.
		\item Déterminer les limites de $f$ en $- \infty$ et en $+ \infty$.
		\item Calculer $f'(x)$.
		\item Dresser le tableau de variations complet de la fonction $f$.
		\item Montrer que la courbe $\Gamma$ admet pour asymptote en $- \infty$ la droite $\Delta$ d'équation $y = 2x + 5$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\Gamma$ au point d'abscisse $0$.
\item Parmi les deux courbes tracées ci-dessous, une seule représente la fonction $f$. Indiquer laquelle en justifiant votre choix.
\end{enumerate}

\hspace*{-1cm} \psset{unit=0.75cm}
\parbox{0.48\textwidth}{ \begin{pspicture}(-4,-4)(3.8,5)
\psframe(-4,-4)(3.8,5) 
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4,-4)(3.8,5)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.58}{3.8}{4 3.2 x mul 3 div add x x mul .8 mul  sub}
\uput[d](3.5,0){$x$} \uput[l](0,3.8){$y$}
\uput[d](0,-5){Courbe \no 1}
\end{pspicture}} \hfill
\parbox{0.48\textwidth}{ \begin{pspicture}(-4,-4)(3.8,5)
\psframe(-4,-4)(3.8,5) 
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4,-4)(3.8,5)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{2.656}{2 x mul 5 add 2.71828 x exp sub}
\uput[d](3.5,0){$x$} \uput[l](0,3.8){$y$}
\uput[d](0,-5){Courbe \no 2}
\end{pspicture}}

\vspace{2cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à} $10^{-3}$  \emph{près.}

\bigskip

58\,\% des élèves d'une école sont des garçons.

Parmi les garçons, 25\,\% viennent à l'école à vélo.

Cette proportion tombe à 15\,\% chez les filles.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On choisit au hasard un élève de l'école, on considère les évènements :

G : \og l'élève choisi est un garçon \fg{} ;

V : \og l'élève choisi vient à vélo \fg{}.

L'évènement contraire de l'évènement A est noté $\overline{\text{A}}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Reproduire et compléter l'arbre probabiliste :

\begin{center}\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
	\pstree{\Tdot~[tnpos=a]{G}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{V}
 \Tdot~[tnpos=r]{$\overline{\text{V}}$}
 		}
	\pstree{\Tdot~[tnpos=b]{$\overline{\text{G}}$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{V}
 \Tdot~[tnpos=r]{$\overline{\text{V}}$}
 		}
}
		
		 \end{center}

		\item Montrer que P(V) = 0,208.
		\item Calculer la probabilité conditionnelle P$_{\text{V}}$(G).
	\end{enumerate}
\item On choit trois élèves au hasard dans l'école. On suppose que le nombre d'élèves est suffisamment grand pour que ce choix soit assimilable à trois tirages indépendants avec remise.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que les trois élèves soient des garçons.
		\item Calculer la probabilité qu'il y ait au moins une fille parmi les trois élèves.
		\item Calculer la probabilité qu'au moins deux élèves soient venus à vélo.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}

\medskip

Une plaque carrée ABCD a été dessinée en perspective à deux points de fuites sur l'annexe jointe.
\begin{enumerate}
\item Faire apparaitre sur le dessin de l'annexe la ligne d'horizon de cette perspective.
\item Dessiner sur cette plaque un damier de huit cases carrées comme indiqué sur la figure suivante (on pourra s'aider du point d'intersection des diagonales du carré ABCD et des deux points de fuite).
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\begin{center}
\begin{pspicture}(4,4)
\psframe(4,4)
\psframe*(0,0)(1,1) \psframe*(2,0)(3,1) 
\psframe*(1,1)(2,2) \psframe*(3,1)(4,2) 
\psframe*(0,2)(1,3) \psframe*(2,2)(3,3) 
\psframe*(1,3)(2,4) \psframe*(3,3)(4,4) 
\uput[ul](0,4){A} \uput[dl](0,0){B} \uput[dr](4,0){C} \uput[ur](4,4){D} 
\end{pspicture}
\end{center}
 
\newpage
 
\begin{landscape}
\begin{center}

\textbf{ANNEXE DE L'EXERCICE 4 (à rendre avec la copie)}

\vspace{2cm}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(14,7)
\pspolygon(0,5)(9,0)(13.5,4.7)(6.2,6)
\uput[l](0,5){A} \uput[d](9,0){B} \uput[r](13.5,4.7){C} \uput[u](6.2,6){D} 
\end{pspicture}
\end{center} 
\end{landscape}}
%%%%%%%%%%%%   Fin Centres étrangers juin 2005
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Métropole septembre 2005
\hypertarget{Metropolesep}{}

\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat L spécialité Métropole~\decofourright\\ septembre 2005}} 
    
\vspace{0,25cm}

L'usage d'une calculatrice est autorisé \hfill 3 heures

Ce sujet nécessite une feuille de papier millimétré

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 1 } \hfill 6 points}

Hector a participé de très nombreuses fois à une compétition qui se déroule en deux manches. Il a enregistré sur cassette vidéo chacune des compétitions auxquelles il a participé, et il a constaté les faits suivants :

\begin{description}
\item[$\bullet~$]  il a gagné la première manche dans 95\,\% des cas;
\item[$\bullet~$]  quand il a perdu la première manche, il a aussi perdu la deuxième 3 fois sur 10 ;
\item[$\bullet~$]  quand il a gagné la première manche, il a aussi gagné la deuxième dans 90\,\% des cas.
\end{description}

On choisit au hasard une des cassettes vidéo enregistrées par Hector et on la visionne. Il y a équiprobabilité des choix. On note :

\begin{description}
\item[$\bullet~$] $M_{1}$ l'évènement \og sur cette cassette, on voit Hector gagner la première manche~\fg{} ;
\item[$\bullet~$]  $M_{2}$ l'évènement \og sur cette cassette, on voit Hector gagner la deuxième manche~\fg{}.
\end{description}

On notera $\overline{M_{1}}$  l'évènement contraire de $M_{1}$ et $\overline{M_{2}}$ l'évènement contraire de $M_{2}$.
\begin{enumerate}
\item  À l'aide de l'énoncé donner :
	\begin{enumerate}
		\item $P(M_{1})$ la probabilité de l'évènement $M_{1}$,
		\item $P_{M_{1}}(M_{2})$ la probabilité de l'évènement $M_{2}$ sachant que $M_{1}$ est réalisé.
	\end{enumerate}
\item Traduire la situation à l'aide d'un arbre de probabilité et compléter cet arbre.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la probabilité de voir Hector gagner les deux manches est de 0,855.
		\item Quelle est la probabilité de l'évènement $M_{2}$ sachant que $M_{1}$ n'est pas réalisé ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la probabilité de l'évènement $M_{2}$.
		\item Achille, arrivé en retard, voit Hector gagner la deuxième manche. Calculer à $10^{- 2}$ près la probabilité que sur cette cassette, Hector ait aussi gagné la première manche.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 } \hfill 7 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle I  = [20 ; 150] par

\[ f(x) = 2x + \dfrac{\nombre{13122}}{x}.\]

\begin{enumerate}
\item  Montrer que sur l'intervalle I , $f'(x)=  \dfrac{2}{x^2}(x - 81)(x + 81)$. En déduire que sur l'intervalle I,  $f'(x)$ est du signe de $(x - 81)$.
\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle I.
\item La représentation graphique de la fonction $f$ est donnée ci-dessous :

\begin{center}
\psset{xunit=0.07cm,yunit=0.015cm}
\begin{pspicture}(-10,-40)(150,710)
\psaxes[Dx=10,Dy=50]{->}(0,0)(-9,-40)(150,710)
\multido{\n=0+5}{31}{\psline[linestyle=dotted](\n,0)(\n,700)}
\multido{\n=0+25}{29}{\psline[linestyle=dotted](0,\n)(150,\n)}
\uput[d](150,0){$x$} \uput[l](0,680){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{20}{150}{13122 x div x 2 mul add}
\end{pspicture}
\end{center}

Déterminer avec la précision permise par le graphique, une valeur approchée des solutions de l'équation : $f(x) = 350$ (\textbf{le graphique n'est pas à rendre avec la copie.})
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Un responsable de club doit organiser un déplacement. Le trajet total est de 600 km et le club dispose d'un bus dont la consommation en carburant, exprimée en litres par heure, est donnée par $\left(5+\dfrac{v^2}{300}\right)$ où $v$ représente la vitesse moyenne du véhicule en kilomètres par heure. Le prix du litre de carburant est de 1 \euro{} et le chauffeur est payé 16,87 \euro{} par heure.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On désigne par $t$ la durée totale du trajet, exprimée en heures.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $t$ en fonction de $v$.
		\item Démontrer que le coût du carburant, exprimé en euros, pour le trajet total est égal à

\[\dfrac{\np{3000}}{v}  + 2v.\]

\item Montrer que le coût du transport, exprimé en euros, est égal à $f(v)$.
	\end{enumerate}
\item En utilisant la partie A :
	\begin{enumerate}
		\item Donner la vitesse moyenne à laquelle doit rouler le bus pour que le coût du transport soit minimal. Quel est alors ce coût ?
		\item Le responsable du club dispose d'au plus $350$~\euro{} pour le transport. Pour des raisons de sécurité, la vitesse moyenne du bus ne peut dépasser $90$ kilomètres par heure. Déterminer l'intervalle dans lequel doit se situer la vitesse moyenne du bus, pour que le coût du transport ne dépasse pas $350$~\euro.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 3 } \hfill 7 points}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, la description des programmes des constructions n'est pas demandée sur la copie. Cependant, on laissera apparents tous les traits de construction. La question} 4 \emph{est indépendante des questions} 1, 2 \emph{et} 3.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer à la règle sur la feuille de papier millimétré (sans donner d'explications) un carré ABCD dont les côtés ont pour longueur 16 cm. Placer son centre O et les milieux des côtés.
\item Dans cette question, on note $c_{0}$ la longueur en cm des côtés du carré ABCD.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la longueur de la diagonale [AC] du carré en fonction de $c_{0}$.
		\item Tracer le cercle tangent aux quatre côtés du carré ABCD. Exprimer son diamètre en fonction de $c_{0}$.
		\item Tracer le carré A$'$B$'$C$'$D$'$ inscrit dans le cercle $\mathcal{C}$ et dont les côtés sont parallèles à ceux du carré ABCD.
		\item En constatant que les diagonales du carré A$'$B$'$C$'$D$'$ sont des diamètres du cercle $\mathcal{C}$, calculer la longueur $c_{1}$, des côtés du carré A$'$B$'$C$'$D$'$ en fonction de $c_{0}$.
	\end{enumerate}
\item Tracer le cercle $\mathcal{C}'$ tangent aux quatre côtés du carré A$'$B$'$C$'$D$'$ puis le carré A$''$B$''$C$''$D$''$ inscrit dans le cercle $\mathcal{C}'$ dont les côtés sont parallèles \^a ceux du carré $\mathcal{C}'$. Exprimer la longueur $c_{2}$ des côtés de A$''$B$''$C$''$D$''$ en fonction de $c_{1}$.
\item En renouvelant cette construction, on obtient une suite de carrés. On note $c_{3},~ c_{4},~ c_{5}$ et ainsi de suite la longueur des côtés des carrés successifs ainsi obtenus. Les calculs précédents ont montré que les premiers termes de la suite $\left(c_{n}\right)$ sont ceux d'une suite géométrique de raison  $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$	et de premier terme $c_{0} = 16$. On admettra que ce résultat est vrai pour tous les termes de la suite $\left(c_{n}\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'expression de $c_{n}$ en fonction de $n$.
		\item Calculer les valeurs exactes de $c_{6}$ et $c_{12}$.
		\item Pour quelles valeurs de l'entier $n$, la longueur $c_{n}$, des côtés du $(n+1)$-ième carré
construit est-t-elle strictement plus petite que 1 cm ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%   Fin Métropole septembre 2005
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Nouvelle-Calédonie novembre 2005
\hypertarget{Caledonie}{}

\lfoot{\small{novembre 2005}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large   \decofourleft~Baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\
épreuve de spécialité - novembre 2005\\
 Durée : 3 heures}
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 1}\hfill 8 points}\\

\framebox{
  \begin{minipage}{12cm}
\textbf{Rappels sur la fonction logarithme népérien, notée ln:}\\
$a$ et $b$ étant des réels strictement positifs et $n$ un entier
naturel:

$\ln (ab)= \ln a + \ln b$ \hspace{\stretch{1}} ; \hspace{\stretch{1}} $\ln \left( \dfrac{a}{b}
\right) = \ln a - \ln b$ \hspace{\stretch{1}} ; \hspace{\stretch{1}} $\ln (a^n) = n \ln
a$. \hspace{\stretch{5}}
 \end{minipage}}
 
\vspace{0.25cm}

\textbf{Partie A:}

\medskip

Sur la \textbf{feuille annexe à rendre avec la copie} on a tracé dans
un repère orthonormal la courbe $(\mathscr{C})$ représentant la
fonction logarithme népérien et la parabole $(\mathscr{P})$ représentant la fonction $f$ définie sur $\R$ par :

\[f(x)=2x^2-3x+ \dfrac{9}{2}\]

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f'$ sa fonction
dérivée.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$.
		\item En déduire le tableau de variation de la fonction $f$. (On ne  demande pas les limites de $f$ à l'infini.)
		\item Quelles sont les coordonnées exactes du point $S$ sommet de la  parabole~$(\mathscr{P})$ ?
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0 ; +
 \infty[$ par : 

  \[  g(x)=f(x) - \ln x = 2x^2 -3x + \dfrac{9}{2} - \ln x.  \]
  
La fonction $g$ est dérivable sur l'intervalle $]0~;~+
 \infty[$ et on note $g'$ sa fonction dérivée.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout réel strictement positif $x$:
 $g'(x) = \dfrac{(4x+1)(x-1)}{x}$.
		\item Étudier les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
 
 Justifier que le minimum de $g$ est égal à $\dfrac{7}{2}$.
		\item En déduire que pour tout réel strictement positif $x$: $f(x) - \ln x > 0$.
		
Quelle propriété des courbes $(\mathscr{P})$ et $(\mathscr{C})$,
  visible graphiquement, le résultat ci-dessus permet-il de justifier ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

Pour tout réel strictement positif $x$, on note $M$ le point
de la courbe $(\mathscr{P})$ d'abscisse $x$ et $N$ le point de la
courbe $(\mathscr{C})$ de même abscisse $x$. On a ainsi : \mbox{$MN = f(x)- \ln x = g(x)$}.\\
(la longueur $MN$ est exprimée dans l'unité graphique du schéma de
\textbf{feuille annexe}.)

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points $M$ et $N$ sur le schéma de la \textbf{feuille
  annexe} lorsque $x=2$.
\item Montrer que lorsque $x = \dfrac{3}{4}$ on a : $MN =
  \dfrac{27}{8} + 2 \ln 2 - \ln 3$.\\
  Donner la valeur de $MN$ arrondie au centième.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la \textbf{partie A}, déterminer pour quelle
  valeur de $x$, la longueur $MN$ est minimale. Que vaut alors cette
  longueur ?
		\item Tracer en rouge sur le schéma de la \textbf{feuille annexe} le  segment $[MN]$ correspondant.
	\end{enumerate}
\item Quelle est la limite de la longueur $MN$ quand $x$ tend vers
 $0$ (avec $x > 0$) ?
\end{enumerate}

\pagebreak
\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 6 points}\\

\framebox{
\begin{minipage}{12cm}
\textbf{Rappels:}\\
Soit $(U_n)$ une suite géométrique de raison $q$ et de premier
terme $U_1$.\\
On a alors pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $1$: $U_n =
U_1 \times q^{n-1}$.\\
Soit $(V_n)$ une suite arithmétique de raison $r$ et de premier
terme $V_1$.\\
On a alors pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $1$: $V_n = V_1
+ (n-1)r$.
\end{minipage}}

\begin{multicols}{2}

Un carré d'aire $1\ m^2$ est divisé en $9$ carrés égaux comme indiqué
sur la figure ci-contre.

On colorie le carré central. (1\ier{} coloriage)

\bigskip

Les huit carrés restant sont à leur tour divisés en $9$
carrés égaux comme indiqué sur la figure ci-contre.

On colorie les huit carrés centraux obtenus. (2\ieme{} coloriage)

\vspace{0.2cm}
On poursuit avec la même méthode la division et le coloriage
du carré.

\includegraphics{exo2}

\end{multicols}

Pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $1$, on désigne par $A_n$
l'aire en $m^2$ de la surface totale coloriée après $n$ coloriages. On
a ainsi : $A_1 = \dfrac{1}{9}$.

La surface grisée sur le figure ci-dessus a donc pour aire
$A_2$.

\textbf{On remarquera que chaque étape du coloriage consiste à
  colorier un neuvième de la surface non coloriée jusque là}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $A_2 = A_1 + \dfrac{1}{9} (1 -A_1)$ puis
  calculer la valeur numérique exacte de $A_2$.
		\item Expliquer pourquoi, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $1$,
		
 $A_{n+1} = \dfrac{8}{9}A_n + \dfrac{1}{9}$.
	\end{enumerate}
\item On pose pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $1$ : $B_n =
  A_n - 1$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $B_1$.
		\item Montrer que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $1$,
  $B_{n+1} = \dfrac{8}{9} B_n$.
		\item Quelle est la nature de la suite $\left(B_n\right)$ ?
		
Exprimer alors, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $1$, le
  terme général $B_n$ de la suite $\left(B_n\right)$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En déduire que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $1$:
    $A_n=1-\left( \dfrac{8}{9} \right)^n$.
		\item Calculer alors la limite de la suite $\left(A_n\right)$. Que peut-on en déduire ?
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 3}\hfill 6 points}

\medskip

Une horloge électronique a été programmée pour émettre un
bip toutes les sept heures. Le premier bip est émis le 31 décembre
2004 à minuit.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item À quelle heure est émis le dernier bip du 1\ier janvier 2005
  ?
		\item À quelle heure est émis le premier bip du 2 janvier 2005 ?
		\item À quelle heure est émis le dernier bip du 2 janvier 2005 ?
		\item À quelle heure est émis le premier bip du 3 janvier 2005 ?
	\end{enumerate}

Expliquer les réponses.
\item 
   \begin{enumerate}
		\item Montrer que : $24 \equiv 3 (\mathrm{ modulo } 7)$.
		\item En déduire le reste de la division euclidienne de $2 \times 24$ par $7$ et le reste de la division euclidienne de $3 \times 24$ par $7$. Justifier les réponses.
		
Reproduire sur la copie et compléter le tableau suivant:

   \begin{center}
   \begin{tabular}{|p{3cm}|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
     \hline
     $n$&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\
     \hline
     Reste de la division     &&&&&&&&&&\\
     euclidienne de $n\times 24$      &&&&5&1&4&0&3&6&2\\
     par $7$      &&&&&&&&&&\\
     \hline
   \end{tabular}
   \end{center}
		\item Expliquer pourquoi l'horloge émet un bip à minuit tous les $7$ jours et tout les $7$ jours seulement.
   \end{enumerate}
\item On rappelle que l'année 2005 est une année non bissextile et
 comporte donc 365 jours.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le plus petit entier naturel $a$ tel que: $365
 \equiv a (\mathrm{ modulo } 7)$
		\item À quelle date l'horloge émettra-t-elle un bip à minuit pour la  dernière fois en 2005 ?
  
Expliquer la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
  \textbf{ANNEXE à l'exercice 1 (à rendre avec la copie)}
\end{center}
\input{annexe.pgf}
\end{document}
\parbox{15cm}{\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-4)(8,9)
\psset{fillcolor=black}
\psset{linecolor=black}
\psaxes[linewidth=1pt,showorigin=true]{->}(0,0)(-2.5,-4)(8,9)
\psgrid(0,0)(-2.5,8)(-4,9)
%\uput[dl](-0.2,-0.2){$O$}
%\psplot{}{}{x sin}
\psplot[plotpoints=50,linecolor=black,linestyle=solid]{0}{2}{x 2 exp 2 mul x 3 mul  sub 4,5 add}
\psset{linestyle=solid}
\psset{linecolor=black}
\psline(-2.5,0)(8,0)
\end{pspicture}}
%%%%%%%%%%%%   Fin Nouvelle-Calédonie novembre 2005
\end{document} 