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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Baccalauréat L spécialité}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\huge \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat L spécialité 2006~\decofourright \\
\vspace{1cm} L'intégrale de juin à septembre 2006}}
 
\vspace{1cm}

Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large\textcolor{blue}{bleus}}
\end{center}

\vspace{1cm}
 
{\Large  \hyperlink{Etranger}{Centres étrangers juin 2006} \dotfill 3 \medskip
 
\hyperlink{Metropole}{Métropole juin 2006} \dotfill 7\medskip
 
\hyperlink{Reunion}{La Réunion juin 2006}  \dotfill 11\medskip
 
\hyperlink{Polynesie}{Polynésie juin 2006} \dotfill 14\medskip

\hyperlink{Metropolesep}{Métropole septembre 2006} \dotfill 18\medskip}

\newpage
 ~
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Centres étrangers juin 2006
\hypertarget{Etranger}{}

\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat L spécialité Centres étrangers~\decofourright\\juin 2006}} 
    
\vspace{0,25cm}

L'usage d'une calculatrice est autorisé \hfill 3 heures

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction numérique définie sur l'intervalle $]0~ ;~ + \infty[$ par
 
\[f(x) = (\ln x)^2(3 - 2 \ln x).\]

On note ($\mathcal{C}$) sa courbe représentée dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique 2 cm).

\medskip

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la limite de $f$ en $0$ et interpréter graphiquement le résultat.
		\item Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$.
\end{enumerate}
\item $f'$ désignant la dérivée de $f$ sur $]0~ ;~ + \infty[$ on admet que $f'(x) = \dfrac{6\ln x (1 - \ln x)}{x}$.
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre les inéquations

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]   $\ln x \geqslant 0$ ; 
\item[$\bullet~$]  $1 - \ln x \geqslant  0$.
 \end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
 
		\item En déduire le signe de $f'(x)$ et les variations de $f$.
		\item Calculer les extremums de $f$ sur l'intervalle [0,75~;~3].
	\end{enumerate}
\item Donner le tableau de variations de $f$.
\item Tracer la courbe ($\mathcal{C}$).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Pour chacune des questions suivantes une et une seule réponse est exacte. (On indiquera sur la copie le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la réponse exacte.) Chaque bonne réponse rapporte $1$ point ; une mauvaise réponse enlève $0,5$ point ; une absence de réponse vaut $0$ pour la question. Si le total de l'exercice ainsi calculé est négatif il est ramené à} $0$.
\begin{enumerate}
\item On lance deux dés cubiques équilibrés et on lit la somme des résultats des faces supérieures.

La probabilité d'obtenir \og 7 \fg{} est :

\[\begin{flalign}
\textbf{a :}\quad  \dfrac{1}{6}\qquad & \textbf{b :}\quad  \dfrac{1}{12}\qquad &\textbf{c :} \quad \dfrac{7}{36}\\
\end{flalign}\]
\item	On lance une pièce de monnaie trois fois de suite.

La probabilité d'obtenir trois fois \og pile \fg{} est :
\[\begin{flalign}
\textbf{a :}\quad  \dfrac{1}{2}\qquad & \textbf{b :}\quad  \dfrac{1}{3}\qquad &\textbf{c :} \quad \dfrac{1}{8}\\
\end{flalign}\]
\item Une urne contient quatre boules vertes et deux boules noires indiscernables au toucher. On prélève au hasard une boule de l'urne. La probabilité d'obtenir une boule verte est :
\[\begin{flalign}
\textbf{a :}\quad  \dfrac{2}{3}\qquad & \textbf{b :}\quad  \dfrac{1}{2}\qquad &\textbf{c :} \quad \dfrac{1}{6}\\
\end{flalign}\]

\item Une urne contient quatre boules vertes et deux boules noires indiscernables au toucher.

On prélève successivement deux boules, sans remettre la première boule tirée dans l'urne.

La probabilité d'obtenir deux boules vertes est :

\[\begin{flalign}
\textbf{a :}\quad  \dfrac{4}{9}\qquad & \textbf{b :}\quad  \dfrac{2}{5}\qquad &\textbf{c :} \quad \dfrac{1}{36}\\
\end{flalign}\]

\item Une urne contient quatre boules vertes et deux boules noires indiscernables au toucher.

On prélève successivement et avec remise, deux boules de l'urne.\\
La probabilité que la deuxième boule tirée soit noire sachant que la première est verte est
\[\begin{flalign}
\textbf{a :}\quad  \dfrac{1}{3}\qquad & \textbf{b :}\quad  \dfrac{2}{9}\qquad &\textbf{c :} \quad \dfrac{4}{15}\\
\end{flalign}\]
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer les restes de la division euclidienne par $7$ des nombres $3^n$ pour $n \in \N, n \leqslant  6$.
		\item Recopier et compléter le tableau suivant :

\vspace{0,2cm}

\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Puissance de 3	&$3^0$ 	&$3^1$ 	&$3^2$ 	& $3^3$ 	& $3^4$ 	& $3^5$ 	& $3^6$\\ \hline
Reste modulo  7	&		&		&		&		&		&		&	\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{0,2cm}
\item En déduire que, pour tout $k \in \N,~ 3^{6k}$ est congru à $1$ modulo $7$.
\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer le plus petit entier naturel congru à \np{1515} modulo $7$.
		\item Après avoir remarqué que $\np{2004} = 6 \times 334$, déduire du 1 le reste de la division euclidienne de $\np{1515}^{\np{2004}}$  par $7$.
		\item Montrer que dans la division euclidienne de $\np{1515}^{\np{2006}}$ par $7$ le reste est $2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}

\medskip

Pour fabriquer un solide S, on découpe, dans un cube d'arête 4~cm, un tétraèdre (voir le schéma ci-dessous en perspective cavalière) où M, N et P sont les milieux de trois arêtes. On note S le solide ABFEDMNPGH ainsi obtenu.

\begin{center}
\begin{pspicture}(6,5)
\psline(0,2.9)(0,0)(2.9,0)(4.6,0.6)(4.6,3.4)(1.8,3.4)(0,2.9)(1.5,2.9)
(2.9,1.45)(3.8,3.2)(4.6,3.4)%DABFGHDMNPG
\psline(3.8,3.2)(1.5,2.9)%PM
\psline(2.9,0)(2.9,1.45)%BN
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1.8,0.6)(4.6,0.6)%AEF
\psline[linestyle=dashed](1.8,0.6)(1.8,3.4)%EH
\uput[l](0,0){A} \uput[dr](2.9,0){B} \uput[r](4.6,0.6){F} \uput[r](4.6,3.4){G} 
\uput[u](1.8,3.4){H} \uput[l](0,2.9){D} \uput[dl](1.5,2.9){M} \uput[dl](2.9,1.45){N} 
\uput[dr](3.8,3.2){P} \uput[ul](1.8,0.6){E} 
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Sur l'annexe, on a ébauché le dessin en perspective à point de fuite du solide S, le plan (ABNMD) étant frontal.

Les points A, B, F, E, D, M, N, P, G, H sont représentés par les points nommés en minuscules \texttt{a, b, f, e, d, m, n, p, g, h}. Compléter le dessin de la représentation du solide S après avoir placé le point de fuite principal \texttt{w}.

On laissera apparent les traits de construction.
\item Calculer le volume en cm$^3$ du solide S

 (rappel : volume d'une pyramide $V = \dfrac{1}{3}B \times h$ où $B$ est l'aire de la base et $h$ la mesure de la hauteur).
\end{enumerate}

\newpage

\begin{landscape}

\begin{center}
\textbf{ANNEXE DE L'EXERCICE 4 à rendre  avec la copie)}

\vspace{2cm}

\begin{pspicture}(20,7)
\psline(5.2,0)(9.5,0)(9.5,2.15)(7.3,4.3)(5.2,4.3)(7.7,5.2)%abnmdh
\psline(0,7)(18,7)
\uput[dl](5.2,0){\texttt{a}} \uput[dr](9.5,0){\texttt{b}} \uput[dl](9.5,2.15){\texttt{n}} 
\uput[dl](7.3,4.3){\texttt{m}} \uput[l](5.2,4.3){\texttt{d}} \uput[ul](7.7,5.2){\texttt{h}} 
\uput[u](2,7){Ligne d'horizon}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{landscape}
%%%%%%%%%%%%%   Fin Centres étrangers juin 2006
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Métropole juin 2006
\hypertarget{Metropole}{}

\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat L spécialité Métropole juin 2006 \decofourright}} 
    
\vspace{0,25cm}

L'usage d'une calculatrice est autorisé \hfill 3 heures

Ce sujet comporte une feuille annexe à rendre avec la copie

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\bigskip

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous est la représentation graphique dans un repère orthonormal d'une fonction $f$ définie et derivable sur l'intervalle ]0~;~10]. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur cet intervalle.

\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-1)(11,5)
\psframe(-1,-1)(11,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-1)(11,5)
\uput[ur](1,0){A} \uput[u](-0.8,2){T} \uput[u](9,0.5){$\mathcal{C}$}
\uput[d](10.8,0){$x$} \uput[l](0,4.8){$y$} \uput[dl](0,0){O}
\psline(-1,2)(2,-1)
\psplot[plotpoints=500]{0.237}{10}{x ln 2 x div add 2 sub}
\end{pspicture}
\end{center}

On précise que la droite T est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A de coordonnées (1~;~0) et qu'elle passe par le point de coordonnées (0~;~1).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Répondre aux deux questions suivantes par lecture graphique :
	\begin{enumerate}
		\item Donner $f(1)$ et $f'(1)$ en justifiant la valeur de $f'(1)$.
		\item Lire les solutions de l'équation $f(x) = 0$ sur l'intervalle ]0~;~10].
	\end{enumerate}
\item On sait que $f(x)$ est de la forme $f(x) = \ln x + \dfrac{a}{x} + b$, où $a$ et $b$ désignent deux nombres réels.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$. 
		\item En utilisant les valeurs trouvées pour $f(1)$ et $f'(1)$ à la question 1 , calculer $a$ et $b$. 
		\item En déduire l'expression de $f(x)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	
	
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On sait désormais que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle ]0~;~10] par
 
\[f(x) = \ln x + \dfrac{2}{x} - 2\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle ]0~;~10]
		
\[f'(x) = \dfrac{ x - 2}{x^2}\]

Étudier le signe de $f'(x)$.
		\item On admet que la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $0$ est $+\infty$.

Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.

En déduire le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 0$ sur l'intervalle ]0~;~10].
	\end{enumerate}
\item Le nombre 5 est-il vraiment une solution de l'équation $f(x) = 0$  ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

On admet qu'on obtient le même reste en divisant un nombre par 9 qu'en divisant la somme de ses chiffres par 9.

Par exemple :

\[\begin{array}{l l}
\np{8753} = 972\times 9 + 5,& 	\text{le reste est donc}~ 5.\\
8+7+5+3 = 23 = 2\times 9 + 5,& \text{le reste est également}~ 5.\\
\end{array}\]

\bigskip

Sur les billets de banque en euros figure un code de 11 chiffres précédé d'une lettre. On remplace la lettre par son rang dans l'alphabet habituel comportant 26 lettres. On obtient ainsi un nombre à 12 ou 13 chiffres et on cherche le reste de la division de ce nombre par 9. Ce reste est le même pour tous les billets authentiques et vaut 8.

Exemple :

\bigskip

\parbox{0.35\textwidth}{\begin{pspicture}(4.3333,2.3333)
\psframe(4.3333,2.3333)
\uput[d](0.5,2.23){\huge{20}}
\uput[u](0.5,0.1){\Huge{20}}
\uput[u](3,0.1){EURO \Huge{20}}
\uput[d](3,2.1){\small s00212913862}
\uput[u](1.5,0.8){\small  s00212913862}
\end{pspicture}}\hfill
\parbox{0.6\textwidth}{\begin{tabular}{l r}
Code : &	s00212913862.\\
Rang dans l'alphabet de la lettre s ;& 19.\\
Nombre obtenu : &	1900212913862.\\
Reste pour ce billet : &8\\
\end{tabular}
}

\begin{enumerate}
\item Le code u01308937097 figure sur un billet de banque.
	\begin{enumerate}
		\item Donner le nombre à 13 chiffres correspondant à ce code.
		\item Calculer le reste de la division par 9 de la somme des 13 chiffres de ce nombre.
		\item Que peut-on dire de ce billet ?
	\end{enumerate}
\item Sur un billet authentique figure le code s0216644810$x,~ x$ pour le dernier chiffre illisible. Montrer que $x + 42$ est congru à $8$ modulo $9$.

En déduire $x$.
\item Sur un autre billet authentique la partie du code formé par les 11 chiffres est 16122340242, mais la lettre qui les précède est effacée. On appelle $n$ le rang dans l'alphabet de la lettre effacée.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les valeurs possibles de $n$.
		\item Quelles sont les possibilités pour la lettre effacée ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\medskip

Un architecte a commencé le dessin d'un couloir (voir la figure en feuille annexe). Il a dessiné une large fenêtre rectangulaire sur le mur vertical de droite. Il n'a dessiné qu'une partie du carrelage du sol.

On admet que l'architecte respecte les règles de la perspective à point de fuite.

Toutes les constructions sont à faire sur la figure donnée en annexe à rendre avec la copie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Citer une règle de la perspective à point de fuite. La vérifier sur la figure fournie en feuille annexe (on peut éventuellement effectuer des constructions sur la figure).
\item Sachant que le carrelage est régulier, représenter les 3 premières rangées de 5 carreaux (laisser clairement apparaître les traits de construction; aucune justification écrite n'est demandée par ailleurs).
\item La fenêtre rectangulaire du mur de droite comporte deux battants de même largeur séparés par une traverse verticale. Au milieu de cette traverse verticale est fixée une poignée. Seul le cadre de la fenêtre est représenté sur le dessin. Compléter la figure en représentant la traverse verticale par un segment et la poignée par un point M.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{Feuille annexe de l'exercice 3 à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\psset{unit=0.85cm}
\begin{pspicture}(15,19)
\psframe(14.2,18.5) \psframe(7.1,11.5)(9,14)
\psline(0,0)(7.1,11.5) \psline(0,18.5)(7.1,14)
\psline(14.2,0)(9,11.5) \psline(14.2,18.5)(9,14)
\pspolygon(10.4,14.2)(12.6,15.1)(12.6,7.8)(10.4,10.5)
\psline(2.8,0)(5.6,6.8) \psline(1.2,2.2)(5,2.2)
\uput[u](8,9){Sol} \uput[u](11.5,12){Fenêtre}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%   Métropole juin 2006
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   La Réunion juin 2006
\hypertarget{Reunion}{}

\rfoot{\small{juin 2006}}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat L spécialité La Réunion juin 2006~\decofourright}}

\vspace{0,25cm}

L'usage de la calculatrice est autorisé pour cette épreuve.

\vspace{0,25cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}

\medskip

\emph{Le but de cet exercice est de modéliser, par une suite numérique, les variations du stock d'une bibliothèque.}

L'inventaire de janvier 2006 indique un effectif de \np{8000}~ouvrages. Chaque année, 10\,\% des ouvrages sont égarés, tandis que 400 nouveaux ouvrages sont achetés.

Pour tout entier naturel $n$, on note $p_{n}$ le nombre d'ouvrages en stock au début de l'année $2006+ n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Indiquer la valeur de $p_{0}$.
		\item Calculer les valeurs prévisionnelles $p_{1}$ et $p_{2}$ de l'effectif du stock lors des inventaires de janvier 2007 et de janvier 2008.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, le terme général de la suite $\left(p_{n}\right)$ vérifie la relation :

\[p_{n+1} = 0,9p_{n} + 400.\]

		\item En quelle année l'effectif du stock sera-t-il pour la première fois inférieur à \np{6000} ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  5 points}

\medskip

On considère l'ensemble $E$ défini par $E= \{-2,~-1,~ 0,~1,~2,~3,~4,~5,~6,~7,~8,~9\}$.

\begin{enumerate}
\item Préciser la signification de la phrase : \og Le nombre entier $A$ est congru à zéro modulo 12 \fg{}.
\item On admet que tout nombre entier est congru modulo $12$ à un élément de $E$ et un seul.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer à quel élément de $E$ le nombre $10$ est congru modulo $12$.
		\item Déterminer à quel élément de $E$ le nombre $100$ est congru modulo $12$.
	\end{enumerate}
\item À tout entier $n$ on associe l'élément $u_{n}$ de $E$ tel que $10^n$ soit congru à $u_{n}$ modulo $12$.

Calculer $u_{3},\: u_{4},\:u_{5},\:u_{6},\: u_{7},\: u_{8}$ et $u_{9}$.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  5 points}

\medskip

Une passerelle autoroutière a la forme d'un prisme droit ABCA$'$B$'$C$'$ dont la base est un triangle isocèle ABC de sommet principal A : sur la figure ci-dessous, elle est représentée en perspective cavalière. La longueur de cette passerelle est 40 mètres et on a AB = AC = 4 m.

\bigskip

\emph{Formulaire} : 	\emph{volume d'un prisme = aire de la base $\times$ hauteur.}

\medskip

\begin{center}
\begin{pspicture}(8,4.5)
\pspolygon(1.9,4.6)(0,2)(4,0)(5.9,2.6)%A'B'BA
\psline(5.9,2.6)(7.5,0)(4,0)%ACB
\psline[linestyle=dashed](1.9,4.6)(3.5,2)(7.5,0)%A'C'C
\psline[linestyle=dashed](3.5,2)(0,2)%C'B'
\uput[ur](5.9,2.6){A} \uput[dl](4,0){B} \uput[dr](7.5,0){C} 
\uput[ul](1.9,4.6){A$'$} \uput[dl](0,2){B$'$} \uput[ur](3.5,2){C$'$} 
\end{pspicture}
\end{center}

\emph{En ce qui concerne les questions} 1 \emph{et} 2 \emph{ci-dessous, on laissera apparentes sur la feuille annexe toutes les constructions. Aucune autre justification n'est demandée.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Dans cette question, on cherche à représenter le prisme par une vue en perspective à points de fuite pour laquelle le plan ABC est un plan frontal. Sur la feuille annexe à compléter et à rendre avec la copie, on a placé les points A, B, C, C$'$ et la ligne d'horizon $\Delta$.
	\begin{enumerate}
		\item Placer sur la feuille annexe le point de fuite principal F.
		\item Compléter sur la feuille annexe la représentation en perspective à points de fuite du prisme ABCA$'$B$'$C$'$.
	\end{enumerate}
\item Soit I le milieu du segment [BB$'$] et J le milieu du segment [CC$'$]. Le segment [IJ] représente un joint de dilatation inséré dans le sol de la passerelle. Représenter le segment [IJ] sur la figure de la feuille annexe.
\item Soit H le pied de la hauteur issue de C dans le triangle ABC. Soit $x$ la mesure de la longueur CH exprimée en mètres.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le nombre $x$ est inférieur ou égal à 4. La valeur 4 peut-elle être atteinte ?
		\item Déterminer le volume maximal que peut avoir le prisme.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill  6 points}

\medskip

\emph{L'objectif de cet exercice est d'étudier une fonction qui permet d'estimer la taille d'un enfant de moins de $6$ ans, en fonction de son âge.}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0,1~;~6] par :

\[f(x) =  70 + 5x + 9 \ln x.\]

\begin{enumerate}
\item  Reproduire et compléter le tableau ci-dessous en arrondissant le résultat à l'unité la plus proche.

\vspace{0,2cm}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0,1	&0,3	&0,5	&1		&2	&3	&4	&5		&6 \\ \hline
$f(x)$		&		&		&		&		&	&	&	&		& \\ \hline
\end{tabularx}
\vspace{0,2cm}
\item Étudier le sens de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0,1 ; 6].

\item Tracer la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ dans un repère orthogonal : 1~cm représente 0,5 unités sur l'axe des abscisses et 1~cm représente 10~unités sur l'axe des ordonnées.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

La fonction $f$ de la partie A permet d'estimer la taille, exprimée en cm, d'un enfant de moins de 6 ans, en fonction de son âge $x$, exprimé en années. Cette taille est donc donnée par $f(x) = 70 + 5x + 9\ln x.$

\begin{enumerate}
\item  Calculer une estimation de la taille d'un enfant de 2 ans et demi, arrondie au centimètre.
\item Retrouver le résultat de la question précédente par une construction graphique utilisant la courbe tracée dans la partie A.
\item Évaluer l'âge d'un enfant mesurant 1 m par une construction graphique utilisant la courbe tracée dans la partie A.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{Feuille annexe - Exercice 3}

\vspace{1cm}

(à rendre avec la copie)

\vspace{1cm}

\begin{pspicture}(12,8)
\pspolygon(0,0)(3.5,0)(1.75,2.7)
\uput[ur](1.75,2.7){A} \uput[dl](0,0){B} \uput[dr](3.5,0){C}
\psline(0,6.6)(12,6.6)
\uput[u](0.5,6.6){$\Delta$}
\rput(6.4,2.7){$\times$} \uput[dr](6.4,2.7){C$'$}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%   Fin La Réunion juin 2006
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Polynésie juin 2006
\hypertarget{Polynesie}{}

\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{6 juin 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat L Polynésie juin 2006~\decofourright}} 
    
\vspace{0,25cm}

L'usage d'une calculatrice est autorisée \hfill 3 heures

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip

Un jeu consiste à jeter un dé de forme tétraédrique dont les faces sont numérotées de 1 à 4.
 
Ce dé est pipé de telle façon que la probabilité d'obtenir une face est proportionnelle au numéro porté par cette face.
 
On note $p_{i}$ la probabilité d'obtenir le nombre $i$ pour $i \in  \{1~;~2~;~3~;~4\}$.

\begin{enumerate}
\item Exprimer $p_{i}$ en fonction de $i$ puis vérifier que la probabilité d'obtenir un nombre pair est $\dfrac{3}{5}$.
\item On jette le dé. Si le nombre obtenu est pair, la somme reçue par le joueur est égale à sa mise augmentée de 10\,\%. Si le nombre obtenu est impair, le joueur reçoit sa mise diminuée de $11$ euros. La mise minimale est de $20$ euros.

\medskip

Un joueur décide de faire trois parties successives :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item il mise cent euros pour la première partie ;
\item pour la seconde partie il mise la somme reçue à l'issue de la première partie ;
\item pour la troisième partie il mise la somme reçue à l'issue de la seconde partie.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour ce joueur, les montants possibles de la somme reçue à l'issue des trois parties sont, arrondies â un euro près, 133~euros, 110~euros, 109~euros, 108~euros, 88~euros, 87~euros, 86~euros et 67~euros.
		\item Montrer que la probabilité de gagner 110 euros est égale à $\dfrac{18}{125}$.
		\item Calculer la probabilité de chacun des quatre évènements qui conduisent à une perte.
		\item Montrer que la probabilité, pour ce joueur, de gagner de l'argent est supérieure à celle d'en perdre.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\emph{Indication : pour la question $2$, on pourra s'aider d'un arbre}.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = \text{e}^x - 2x$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $g'(x)$ où $g'$ désigne la dérivée de $g$ puis dresser le tableau de variations de $g$.
\item En déduire que pour tout réel $x$ de $\R,~ g(x) > 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \text{e}^x - x^2\]
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$    en $- \infty$ puis la limite de $f$ en $+ \infty$.

Pour la limite en $+ \infty$ on pourra remarquer que pour $x$ non nul $f(x)$ peut s'écrire : $x^2 \left(\dfrac{\text{e}^x}{x^2} - 1\right)$.
\item Calculer $f'(x)$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$, puis en utilisant la partie A construire le tableau de variations de $f$.
\item On admet que l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution dans $\R$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f(- 1)$ et $f(0)$.
		\item Montrer que la solution de l'équation $f(x) =  0$ est unique et qu'elle appartient à l'intervalle $[-1~;~0]$.
		\item En utilisant une calculatrice pour calculer $f(x)$ pour différentes valeurs de $x$, donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près de cette solution.
		
Justifier la valeur retenue.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

La reine Cléopâtre ordonna à son architecte, le célèbre Numérobis, de réaliser une pyramide régulière à base carrée dont les dimensions devaient être telles que le carré de la hauteur soit égal à l'aire de chaque face triangulaire de cette pyramide
\begin{enumerate}
\item Compléter le dessin donné en annexe, représentant la pyramide en perspective cavalière ;  L est le centre du carré AOUT, I est le sommet de la pyramide, J le milieu du segment [OU].

On pose OJ $= r$ ; IL $= h$ et $t = \dfrac{\text{IJ}}{\text{JL}}$.
\item Calculer :
	\begin{enumerate}
		\item La longueur JL en fonction de $r$. 
		\item La longueur IJ en fonction de $r$ et de $h$.
		\item En déduire la valeur de $t$ en fonction de $r$ et $h$.
		\item L'aire du triangle OUI en fonction de $r$ et $h$.
	\end{enumerate}
\item Montrer que l'exigence de Cléopâtre se traduit par la relation :

\[\dfrac{h^2}{r^2} = \dfrac{\sqrt{h^2 +r^2}}{r} \quad (1)\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $t^2- 1$.
		\item En déduire qu'alors l'égalité (1) peut s'écrire : $t^2- t -1 = 0 \quad (2)$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que : $\left(t - 	\dfrac{1}{2}\right)^2 -	\dfrac{5}{4}	= t^2 - t - 1$.
		\item En déduire les solutions de l'équation (2).
		\item Quel nom porte la seule solution possible ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}

\medskip

Un globe-trotter a parié de parcourir \np{5000} km â pied.

Il peut, frais et dispos, parcourir 50 km en une journée, mais chaque jour la fatigue s'accumule et donc sa performance diminue de 1\,\% tous les jours.

On notera $d_{n}$ la distance parcourue durant le $n$-ième jour.
\begin{enumerate}
\item Calculer les distances $d_{1},~ d_{2},~  d_{3}$ parcourues durant les trois premiers jours.
\item Expliquer pourquoi $d_{n+1} = 0,99d_{n}$.
En déduire la nature de la suite $\left(d_{n}\right)$ et l'expression de $d_{n}$ en fonction de $n$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer, en fonction de $n$, le nombre total $L_{n}$ de kilomètres parcourus au bout de $n$ jours.
		
$\left(L_{n} = d_{1} + d_{2} + \cdots + d_{n}\right)$.
		\item En déduire la limite de $L_{n}$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty.$
		
Le globe-trotter peut-t-il gagner ?
	\end{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, déterminer le nombre minimal de jours $N$ qui lui seraient nécessaires pour parcourir \np{4 999} km.
\end{enumerate}

\bigskip

On rappelle que :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item La somme $S$ des $n$ premiers termes d'une suite arithmétique $\left(u_{n}\right)$ de raison $r$ est :

\[S = u_{1} +u_{2} +  \cdots + u_{n} = n \dfrac{u_{1} + u_{n}}{2}\]

\item La somme $S'$ des $n$ premiers termes d'une suite géométrique $\left(v_{n}\right)$ de raison $q~ (q \neq 1)$ est :

\[S' = v_{1} + v_{2} + \cdots + v_{n}  = v_{1}\dfrac{1 - q^n}{1 - q}\]
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE de l'exercice 3 à rendre avec la copie}

\vspace{2cm}

\psset{unit=1.3cm}
\begin{pspicture}(8,6)
\pspolygon(5.7,0)(3.9,4.5)(0,0)(5.7,0)(7.7,1.68)(3.9,4.5)%OIAOUI
\psline[linestyle=dashed](0,0)(2,1.68)(7.7,1.68)
\psline[linestyle=dashed](2,1.68)(3.9,4.5)
\psset{linewidth=2pt}
\psline[linestyle=dotted](0,0)(7.7,1.68)
\psline[linestyle=dotted](5.7,0)(2,1.68)
\psline[linestyle=dotted](3.9,4.5)(3.88,0.8)
\uput[dl](0,0){A}  \uput[dr](5.7,0){O} \uput[r](7.7,1.68){U}
\uput[ul](2,1.68){T} \uput[r](3.88,2.6){h} \uput[u](3.9,4.5){I} 
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%   Fin Polynésie juin 2006
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Métropole septembre 2006
\hypertarget{Metropolesep}{}

\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat L spécialité Métropole~\decofourright\\septembre 2006}} 
    
\vspace{0,25cm}

L'usage d'une calculatrice est autorisé \hfill 3 heures

Ce sujet comporte une feuille annexe à rendre avec la copie

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\bigskip

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous est la représentation graphique dans un repère orthonormal d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle ]0~;~10]. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur cet intervalle.

\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-1)(11,5)
\psframe(-1,-1)(11,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-1)(11,5)
\uput[ur](1,0){A} \uput[u](-0.8,2){T} \uput[u](9,0.5){$\mathcal{C}$}
\uput[d](10.8,0){$x$} \uput[l](0,4.8){$y$} \uput[dl](0,0){O}
\psline(-1,2)(2,-1)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.237}{10}{x ln 2 x div add 2 sub}
\end{pspicture}
\end{center}

 On précise que la droite T est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A de coordonnées (1 ; 0) et qu'elle passe par le point de coordonnées (0 ; 1).
 
 \medskip
 
\begin{enumerate}
\item Répondre aux deux questions suivantes par lecture graphique :
	\begin{enumerate}
		\item Donner $f(1)$ et $f '(1)$ en justifiant la valeur de $f'(1)$.
		\item Lire les solutions de l'équation $f(x) = 0$ sur l'intervalle ]0 ; 10].
	\end{enumerate}
\item On sait que $f(x)$ est de la forme $f(x) = \ln x + \dfrac{a}{x} + b$, où $a$ et $b$ désignent deux nombres réels.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$. 
		\item En utilisant les valeurs trouvées pour $f(1)$ et $f'(1)$ à la question 1 , calculer $a$ et $b$. 
		\item En déduire l'expression de $f(x)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	
	
\bigskip

\textbf{Partie B}
 
\medskip
 
On sait désormais que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle ]0 ; 10] par 

\[f(x) = \ln x + \dfrac{2}{x} - 2\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle ]0 ; 10]

\[f'(x) = \dfrac{ x - 2}{x^2}\]

Étudier le signe de $f'(x)$.
		\item On admet que la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $0$ est $+\infty$.

Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.

En déduire le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 0$ sur l'intervalle $]0~;~10]$.
	\end{enumerate}
\item Le nombre 5 est-il vraiment une solution de l'équation $f(x) = 0$  ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

On admet qu'on obtient le m\^{e}me reste en divisant un nombre par 9 qu'en divisant la somme de ses chiffres par 9.

Par exemple :

\[\begin{array}{l l}
\nombre{8753} = 972\times 9 + 5,& 	\text{le reste est donc}~ 5.\\
8+7+5+3 = 23 = 2\times 9 + 5,& \text{le reste est également}~ 5.\\
\end{array}\]

\bigskip

 Sur les billets de banque en euros figure un code de 11 chiffres précédé d'une lettre. On remplace la lettre par son rang dans l'alphabet habituel comportant 26 lettres. On obtient ainsi un nombre à 12 ou 13 chiffres et on cherche le reste de la division de ce nombre par 9. Ce reste est le même pour tous les billets authentiques et vaut 8. Exemple :

\bigskip

 \parbox{0.35\textwidth}{\begin{pspicture}(4.3333,2.3333)
\psframe(4.3333,2.3333)
\uput[d](0.5,2.23){\huge{20}}
\uput[u](0.5,0.1){\Huge{20}}
\uput[u](3,0.1){EURO \Huge{20}}
\uput[d](3,2.1){\small s00212913862}
\uput[u](1.5,0.8){\small  s00212913862}
\end{pspicture}}\hfill
\parbox{0.6\textwidth}{\begin{tabular}{l r}
Code : &	s00212913862.\\
Rang dans l'alphabet de la lettre s ;& 19.\\
Nombre obtenu : &	1900212913862.\\
Reste pour ce billet : &8\\
\end{tabular}
}

\begin{enumerate}
\item Le code u01308937097 figure sur un billet de banque.
	\begin{enumerate}
		\item Donner le nombre à 13 chiffres correspondant à ce code.
		\item Calculer le reste de la division par 9 de la somme des 13 chiffres de ce nombre.
		\item Que peut-on dire de ce billet ?
	\end{enumerate}
\item Sur un billet authentique figure le code s0216644810$x,~ x$ pour le dernier chiffre	illisible. Montrer que $x + 42$ est congru à $8$ modulo $9$.

En déduire $x$.
\item Sur un autre billet authentique la partie du code formé par les 11 chiffres est 16122340242, mais la lettre qui les précède est effacée. On appelle $n$ le rang dans l'alphabet de la lettre effacée.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les valeurs possibles de $n$.
		\item Quelles sont les possibilités pour la lettre effacée ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\medskip

Un architecte a commencé le dessin d'un couloir (voir la figure en feuille annexe). Il a dessiné une large fenêtre rectangulaire sur le mur vertical de droite. II n'a dessiné qu'une
partie du carrelage du sol.

On admet que l'architecte respecte les règles de la perspective à point de fuite.

Toutes les constructions sont à faire sur la figure donnée en annexe à rendre avec la copie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Citer une règle de la perspective à point de fuite. La vérifier sur la figure fournie en
feuille annexe (on peut éventuellement effectuer des constructions sur la figure).
\item Sachant que le carrelage est régulier, représenter les 3 premières rangées de 5
carreaux (laisser clairement apparaître les traits de construction; aucune justification écrite n'est demandée par ailleurs).
\item La fenêtre rectangulaire du mur de droite comporte deux battants de même largeur séparés par une traverse verticale. Au milieu de cette traverse verticale est fixée une poignée. Seul le cadre de la fenêtre est représenté sur le dessin. Compléter la figure en représentant la traverse verticale par un segment et la poignée par un point M.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Feuille annexe de l'exercice 3 à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\psset{unit=0.85cm}
\begin{pspicture}(15,19)
\psframe(14.2,18.5) \psframe(7.1,11.5)(9,14)
\psline(0,0)(7.1,11.5) \psline(0,18.5)(7.1,14)
\psline(14.2,0)(9,11.5) \psline(14.2,18.5)(9,14)
\pspolygon(10.4,14.2)(12.6,15.1)(12.6,7.8)(10.4,10.5)
\psline(2.8,0)(5.6,6.8) \psline(1.2,2.2)(5,2.2)
\uput[u](8,9){Sol} \uput[u](11.5,12){Fen\^etre}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%   Fin Métropole septembre 2006
\end{document}