\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multirow}% 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
%\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat S},
pdftitle = {Année  1998},
allbordercolors = white}  
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S : l'intégrale  de mars  à décembre 1998}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S  1998~\decofourright \\[7pt] L'intégrale d'avril  à décembre 1998}}
 
\vspace{0,25cm}

Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large \textcolor{blue}{bleus}}
 \end{center}
 
 \vspace{0,25cm}

{\Large  \hyperlink{Pondichery}{Pondichéry avril 1998} \dotfill \pageref{Pondichery}\medskip

\hyperlink{AmeriqueduNord}{Amérique du Nord juin 1998} \dotfill \pageref{AmeriqueduNord}\medskip

\hyperlink{Antilles}{Antilles-Guyane juin 1998} \dotfill \pageref{Antilles}\medskip

\hyperlink{Asie}{Asie juin 1998} \dotfill \pageref{Asie}\medskip

\hyperlink{Etranger}{Centres étrangers juin 1998} \dotfill \pageref{Etranger}\medskip

\hyperlink{LaReunion}{La Réunion juin 1998} \dotfill \pageref{LaReunion}\medskip

\hyperlink{Metropole}{Métropole  juin 1998} \dotfill \pageref{Metropole}\medskip
	
\hyperlink{Polynesie}{Polynésie juin 1998} \dotfill \pageref{Polynesie}\medskip
 
\hyperlink{Antillessept}{Antilles-Guyane septembre 1998} \dotfill \pageref{Antillessept}\medskip

\hyperlink{Metropolesept}{Métropole septembre 1998} \dotfill \pageref{Metropolesept}\medskip

\hyperlink{Polynesiesept}{Polynésie septembre 1998} \dotfill \pageref{Polynesiesept}\medskip 

\hyperlink{Sportifs}{Sportifs de haut-niveau octobre 1998} \dotfill \pageref{Sportifs}\medskip

\hyperlink{AmeriqueSud}{Amérique du Sud novembre 1998} \dotfill \pageref{AmeriqueSud}\medskip

\hyperlink{Caledonie}{Nouvelle-Calédonie décembre 1998} \dotfill \pageref{Caledonie} \medskip

}

\begin{center} Tapuscrit : Denis Vergès

\end{center}

\newpage
~
\newpage
%%%%%%%%%%%%% Antilles-Guyane septembre 1998
\label{Pondichery}
\hypertarget{Pondichery}{}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Le baccalauréat de 1998}
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small{avril 1998}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{ \decofourleft~ Baccalauréat C Pondichéry avril 1998~\decofourright }}
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1  \hfill 4 points}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On dispose d'une urne U$_{1}$ contenant trois boules rouges
et sept boules noires.

On extrait simultanément deux boules de
cette urne ; on considère que tous les tirages sont équiprobables.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité $p_{1}$ que les deux boules tirées soient rouges ?
		\item Quelle est la probabilité $p_{2}$ que les deux boules tirées soient noires ?
		\item Quelle est la probabilité $p_{3}$ que les deux boules tirées soient de même couleur ?
		\item Quelle est la probabilité $p_{4}$ que les deux boules tirées soient de couleurs différentes ?
	\end{enumerate}
\item On dispose aussi d'une deuxième urne U$_{2}$ contenant quatre boules rouges et six boules noires.

On tire maintenant deux boules de l'urne U$_{1}$ et une boule de l'urne U$_{2}$ ; on suppose que tous les tirages sont équiprobables.

On considère les évènements suivants :

$R$ : \og Les trois boules tirées sont rouges \fg

$D$ : \og Les trois boules tirées ne sont pas toutes de la même couleur \fg

$B$ : la boule tirée dans l'urne U$_{2}$ est rouge \fg.

	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $R$.
		\item Quelle est la probabilité de tirer trois boules de
même couleur ?
		\item Calculer la probabilité conditionnelle 
$p_{\text{D}}$(B) de l'évènement B sachant que l'évènement $D$ est réalisé.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

On considère le polynôme P$(z)=z^{4}+17\,z^{2}-28\,z+260$, où $z$
est un nombre complexe.
\begin{enumerate}
\item Déterminer deux nombres réels $a$ et $b$ tels que :

\[\mathrm{P}(z)= \left(z^{2}+az+b\right)\left(z^{2}+4z+20\right).\]

\item Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation P$(z)=0$.
\item Placer dans un repère orthonormal direct \Ouv, les images M, N,
P et Q des nombres complexes respectifs $m=-2+4\text{i},\;n=-2-4\text{i},
\;p=2+3\text{i}$ et $q=2-3\text{i}$.
\item[\textbf{4.}]
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le nombre complexe $z$ vérifiant
$\displaystyle\frac{z-p}{z-m}= \text{i}$. Placer son image K.
		\item En déduire que le triangle MPK est isocèle
rectangle en K.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer par le calcul l'affixe du point L,
quatrième sommet du carré MKPL.
		\item Déterminer l'abscisse du point d'intersection R de la
droite (KL) et de l'axe des abscisses.
		\item Montrer que M, N, P et Q sont sur un même cercle de
centre R.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

Dans le plan rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv, d'unité
graphique 4 cm, on note A le point d'affixe 1, B le point d'affixe i, (C)
le cercle de centre O et de rayon 1 et (D) la droite d'équation $y = 1$.

À tout point $M$ du plan, d'affixe $z$ distincte de i, on associe le point $M'$
d'affixe $z'$, telle que 

\[z' = \dfrac{z - \text{i}}{\overline{z} + \text{i}}\]

où $\overline{z}$ désigne le conjugué de $z$.
\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$, avec $z$ distinct de i,
tels que $z' = 1$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout $z$ distinct de i, $z'\overline{z}' = 1$.
		
Interpréter géométriquement ce résultat.
		\item Montrer que, pour tout point $M$ n'appartenant pas à la droite (D),
$\dfrac{z' - 1}{z - \text{i}}$ est un imaginaire pur.

En déduire que les droites (A$M'$) et (B$M$) sont perpendiculaires.
		\item Déduire des questions 2. a. et b. une construction du point $M'$
lorsque $M$ est un point non situé sur la droite (D).
		
Préciser la position du point $M'$ lorsque $M$ appartient à la droite (D)
privée du point B.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit P un point du cercle (C), distinct du point A.
		
En utilisant la question 2. b., représenter l'ensemble $E$ des points $M$ tels
que $M' =$ P.
		\item Résoudre dans $\C$ l'équation $z^3 = 1$.
		\item En utilisant ce qui précède, et sans aucun calcul, représenter l'ensemble
$F$ des points $M$ dont les affixes $z$ sont les solutions dans $\C$ de
l'équation : $\left(\dfrac{z - \text{i}}{\overline{z} + \text{i}}\right)^3 = 1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 11 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par

\[f(x)=\dfrac{\text{e}^{x}-1}{x\text{e}^{x}+1}\]

On désigne par $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan rapporté
à un repère orthonormal \Oij{}
; unité graphique : 4~cm.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\textbf{$\star$} \textbf{Étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip

Soit la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par

\[g(x) = x + 2 - \text{e}^{x}.\]

\begin{enumerate}
\item Étudier le sens de variation de $g$ sur $[0~;~+\infty[$ et déterminer la limite de $g$ en $+\infty$.
\item[\textbf{2.}]
\begin{enumerate}
\item [\textbf{a.}]Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une solution et
une seule dans $[0~;~+\infty[$.

 On note $\alpha$ cette solution.
\item Prouver que $1,14 < \alpha<1,15$.
\end{enumerate}
\item En déduire le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de
$x$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B} 

\medskip

\textbf{$\star$} \textbf{Étude de la fonction $f$ et tracé de la courbe \boldmath$\mathcal{C}$\unboldmath}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout $x$ appartenant à
$[0~;~+\infty[$,

\[f\,^{\prime}(x)=\frac{\text{e}^{x}g(x)}{(x\text{e}^{x}+1)^{2}}.\]
\item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur
$[0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item [\textbf{a.}]Montrer que pour tout réel positif $x$,
\[
f(x)=\frac{1- \text{e}^{-x}}{x+\text{e}^{-x}}%
\]
		\item[\textbf{b.}] En déduire la limite de $f$ en $+\infty$.
Interpréter graphiquement le résultat trouvé.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Établir que $f(\alpha) = \displaystyle\frac{1}{\alpha+
1}$.
		\item En utilisant l'encadrement de $\alpha$ établi dans la
question \textbf{A.2.}, donner un encadrement de $f(\alpha)$ d'amplitude
$10^{-2}$. 
	\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente (T) à la
courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Établir que, pour tout $x$ appartenant à
l'intervalle $[0~;~+\infty[$,

\[f(x)-x=\frac{(x+1)\,u(x)}{x\text{e}^{x}+1}\quad \text{avec}\: u(x) = \text{e}^{x} - x\text{e}^{x}-1.
\]
		\item Étudier le sens de variation de la fonction $u$ sur
l'intervalle $[0~;~+\infty[$. En déduire le signe de $u(x)$.
		\item Déduire des questions précédentes la position
de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite (T).
	\end{enumerate}
\item Tracer $\mathcal{C}$ et (T).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\textbf{$\star$} \textbf{Calcul d'aire et étude d'une suite}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer une primitive F de $f$ sur $[0~;~+\infty[$ ; on pourra utiliser l'expression de $f(x)$ établie dans la question \textbf{B. 2.}
\item On note $\mathcal{D}$ le domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$, la tangente (T) et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$.

Calculer, en cm$^{2}$, l'aire $\mathcal{A}$ du domaine $\mathcal{D}$.

Donner une valeur décimale au mm$^{2}$ prés de l'aire $\mathcal{A}$.
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose

\[v_{n} = \int_{n}^{n+1}f(x)\:\text{d}x \]

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $v_{0}$, $v_{1}$ et $v_{2}$.
		
On donnera des valeurs décimales approchées à 10$^{-2}$ prés de $v_{0}$,\:$v_{1}$ et $v_{2}$.
		\item Interpréter graphiquement $v_{n}$.
		\item Montrer que, pour tout $n\geqslant2,\quad$%

\[f(n+1)\leqslant\int_{n}^{n+1}f(x)\:\textrm{d}x\leqslant f(n)\]

En déduire la monotonie de la suite $(v_{n})$ à partir de $n = 1$.
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(v_{n}\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%  fin Pondichéry avril 1998
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%  Amérique du Nord mai 1998
\label{AmeriqueduNord}
\hypertarget{AmeriqueduNord}{}

\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{juin 1998}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat C Amérique du Nord juin 1998~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1  \hfill 5 points}}

\medskip
 
Afin de créer une loterie, on met dans une urne $n$ billets différents
 ($n$ supérieur ou égal à 3), dont deux et deux seulement sont gagnants. 

\begin{enumerate} 
\item Dans cette question, on choisit au hasard et
 simultanément deux billes dans l'urne. 
	\begin{enumerate} 
		\item On suppose ici $n = 10.~ X$ désigne la variable aléatoire qui donne le 
nombre de billets gagnants parmi les deux choisis.
Déterminer la loi de probabilité de $X$. 
		\item On revient au cas général avec $n$ supérieur ou égal à 3. Calculer la
 probabilité notée $p_{n}$, d'avoir exactement un billet gagnant parmi des 
 deux choisis.
	\end{enumerate} 
\item Dans cette question, on choisit au hasard deux billets
 dans cette urne en remettant le premier bilet tiré avant de tirer le 
 second.
	\begin{enumerate} 
		\item On suppose ici $n = 10.~ Y$ désigne la variable aléatoire qui donne le 
nombre de billets gagnants parmi les deux choisis. 
Déterminer la loi de probabilité de $Y$.
		\item On revient au cas général avec $n$ supérieur ou égal à 3.
Calculer la probabilité, notée $q_n$ d avoir exactement un billet gagnant 
parmi les deux choisis.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que pour tout $n$ supérieur ou égal à 
3, on a :

\[p_n - q_n = \dfrac{4(n - 2)}{n^2(n - 1)}.\]
		\item En remarquant que pour tout entier $n,\:n - 2$ est inférieur à $n - 1$, 
déterminer un entier naturel $n_0$ tel que pour tout $n$ supérieur ou égal  
à $n_0$, on ait $p_n - q_n < 10^{-~3}$. 
		\item Pour obtenir exactement un billet gagnant en choisissant deux billets de 
cette loterie, est-il préférable de les tirer simultanément ou de les 
tirer l'un aprés l'autre en remettant le premier billet tiré ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2}\hfill 5 points

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct 
\Ouv, (unité graphique : 4 cm), on donne les points A et 
B d'affixes respectives 1 et $\dfrac{1}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Pour chaque point $M$ du plan, d'affixe $z,~ M_1$ d'affixe $z_1$, désigne l'image
 de $M$ par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$, puis $M'$
 d'affixe $z'$ l'image de $M_1$ par la translation de vecteur  $-~\vect{u}$. 

Enfin, on note T la transformation qui à chaque point $M$ associe le 
point $M'$. 
\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer : $z'= \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}z - 1$.
		\item Déterminer l'image du point B. 
		\item Montrer que T admet un unique point invariant dont on précisera 
l'affixe.
	\end{enumerate}
\item On pose $z = x + \text{i}y$, avec $x$ et $y$ 
réels. 
	\begin{enumerate} 
		\item Pour $z$ non nul, calculer la partie réelle du quotient $\dfrac{z'}{z}$ en
 fonction de $x$ et de $y$. 
		\item Démontrer que l'ensemble (E), des points $M$ du plan tels que le triangle
O$MM'$ soit rectangle en 0, est un cercle (C), dont on précisera le centre et
le rayon, privé de deux points.
Tracer (E).
	\end{enumerate}
\item Dans cette question on pose $z = 1 +$ i.
	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier que $M$ appartient à (E). Placer $M$ et $M'$ sur la figure.
		\item Calculer le module de $z'$.
		\item Calculer l'aire, en cm$^2$, du triangle O$MM'$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2}\hfill 5 points

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

Dans le plan orienté, on donne un carré ABCD de sens direct tel que
AB $= 1$ (sur la figure, on prendra 9 cm comme unité graphique) et les
points A$_1$ et B$_1$ définis par : $\vect{\text{AA}_1} = \dfrac{1}{3} \vect{\text{AB}}$ et 
$\vect{\text{BB}_1} = \dfrac{2}{9} \vect{\text{BC}}$.

On rapporte le plan au repère orthonormal direct $\left(\text{A} ~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}}\right)$.

On désigne par $S$ la similitude plane directe qui, à tout point $M$ d'affixe
$z$, associe le point $M_1$ d'affixe $z_1$ définie par : 

\[z_1 = \dfrac{6+ 2\text{i}}{9}z + \dfrac{1} {3}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'affixe du centre $\Omega$ de la similitude $S$. On ne demande
pas de calculer le rapport ni l'angle $\theta$ de la similitude. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les images des points A et B par la similitude $S$.
		\item Calculer l'affixe du point D$_1$ image de D par $S$. 
		\item Montrer que le point D$_1$ appartient au segment $\left[\text{DA}_1\right]$. 
		\item Placer D$_1$ puis C$_1$ image de C par $S$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que : $\left(\vect{\text{DA}},~ \vect{\text{DA}_1}\right) = \left(\vect{\text{A}_1\text{B}},~ \vect{\text{A}_1\text{B}_1}\right) = \theta\quad  (\text{modulo}\: 2\pi)$.
		\item En déduire une construction géométrique de $\Omega$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ Problème}\hfill 10 points

\medskip

On désigne par $n$ un entier supérieur ou égal à 2 et on considère les
 fonctions, notées $f_n$, qui sont définies pour $x$ appartenant à l'intervalle
 $]0~;~+~\infty[$ par : 
 
\[f(x) = \dfrac{1 + n \ln x}{x^2}.\]

\textbf{ Partie A}

{I. Étude des fonctions $f_n$}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer $f^{\prime}_n(x)$ et montrer que l'on peut écrire le résultat sous la forme
 d'un quotient dont le numérateur est $n - 2 - 2n \ln x$. 
\item Résoudre l'équation $f^{\prime}_n(x) = 0$. Étudier le signe de $f'_n(x)$.
\item Déterminer la limite de $f_n$ en $+ \infty$.
\item Établir le tableau de variations de la fonction  $f_n$ et calculer sa valeur
 maximale en fonction de $n$. 
\end{enumerate} 

{ II. Représentation graphique de quelques fonctions $f_n$.}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij, (unité graphique : 5~cm).

On note $\mathcal{C}_n$ la courbe représentative de la fonction $f_n$ dans ce
 repère.
\begin{enumerate} 
\item Tracer $\mathcal{C}_2$ et $\mathcal{C}_3$. 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $f_{n+1}(x)  - f_n(x)$ . Cette différence
 est-elle dépendante de l'entier $n$ ?
		\item Expliquer comment	il est possible de construire point par point la courbe
$\mathcal{C}_4$ à partir de $\mathcal{C}_2$ et tracer $\mathcal{C}_3$. 
Tracer $\mathcal{C}_4$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Calculs d'aires}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer en intégrant par parties, l'intégrale
I = $\displaystyle\int_1^{\text{e}} \ln x\:\text{d}x.$ 
\item En déduire l'aire, en unités d'aire, du domaine plan
 limité par les courbes $\mathcal{C}_n$,  $\mathcal{C}_{n+1}$	et les droites
 d'équation $x= 1$ et $x= \text{e}$.
\item On note $\mathcal{A}_n$ l'aire, en unités d'aire, du
 domaine plan limité par la courbe $\mathcal{C}_n$, et les droites d'équation
 $y = 0,~ x = 1$ et $x = \text{e}$. 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $\mathcal{A}_{2}$. 
		\item Déterminer la nature de la suite $\mathcal{A}_n$ en précisant l'interprétation
 graphique de la raison.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ Partie C : Étude sur l'intervalle \boldmath$]1~;~+ 
\infty[$\unboldmath~ de l'équation \boldmath $f_n(x) = 1$ \unboldmath}

\medskip

Dans toute la suite, on prendra $n \geqslant 3$.
\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier que pour tout $n,~ \text{e}^{\frac{n - 2}{ 2n}} > 1$ et	
$f_n\left(\text{e}^{\frac{n - 2}{ 2n}}\right) > 1.$
		\item Vérifier que l'équation $f_n(x) = 1$ n'a pas de solution sur l'intervalle
$\left]1~;~\text{e}^{\frac{n - 2}{ 2n}}\right[$.
	\end{enumerate}
\item Montrer que l'équation $f_n(x) = 1$ admet sur l'intervalle $\left[\textrm{e}^{\frac{n - 2}{ 2n}}~;~+\infty\right[$ exactement une solution notée $\alpha_n$. 
\item On se propose de déterminer la limite de la suite $\alpha_n$.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $f\left(\sqrt{n}\right)$ et montrer que pour tout $n > 
\text{e}^2$, on a $f_n\left(\sqrt{n}\right) \geqslant 1$.
		\item En déduire que, pour $n \geqslant 8$, on a $\alpha_n \geqslant \sqrt{n}$ et donner la limite de la suite  ($\alpha_n$).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%   fin Amérique du Nord mai 1998
\newpage
%%%%%%%%%%%   Antilles-Guyane juin 1998
\label{Antilles}
\hypertarget{Antilles}{}

\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{juin 1998}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{ \decofourleft~ Baccalauréat C Antilles--Guyane juin 1998~\decofourright }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1  \hfill 4 points}}

\medskip

Un jeu de dominos est fabriqué avec les sept couleurs : \emph{violet,
indigo, bleu, vert, jaune, orange, rouge}. Un domino se compose de deux cases
portant chacune l'une des sept couleurs. Chaque couleur peut figurer deux fois
sur le même domino : c'est un double.
\begin{enumerate}
\item  Montrer que le jeu comporte 28 dominos différents. Les 28 dominos,
indiscernables au toucher, sont mis dans un sac.
\item  On tire simultanément trois dominos du sac.

Quelle est la probabilité d'obtenir exactement deux doubles parmi ces trois dominos ?
\item  Dans cette question, on tire un seul domino. Calculer la
probabilité des évènements suivants :
\index{Probabilité}
\begin{enumerate}
\item  J$_{2}$ : \og Le jaune figure deux fois \fg
\item  J$_{1}$ : \og Le jaune figure une seule fois \fg
\item  J : \og Le jaune figure au moins une fois \fg
\end{enumerate}
\item  On effectue $n$ tirages successifs d'un domino, en notant à chaque
tirage la (ou les) couleur(s) obtenue(s) avant de remettre dans le sac le
domino tiré et de procéder au tirage suivant ; les tirages sont
indépendants.

Calculer, en fonction de $n$, la probabilité
$p_{n}$, que J soit réalisé au moins une fois.

Calculer la plus petite valeur de l'entier naturel $n$ pour laquelle $p_{n}\geqslant 0,99.$
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2  \hfill 5 points}}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\textbf{Partie A}
On considère le polynôme $P$ de la variable complexe $z$ défini
par :

\[
P\left(z\right)  = z^{4} + 2\sqrt{3}z^{3} + 8z^{2}+2\sqrt{3}z + 7
\]
\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $P\left(\text{i}\right)  $ et $P\left(-\text{i}\right).$
		\item  Montrer qu'il existe un polynôme $Q$ du second degré, que l'on
déterminera, tel que :
\[
\text{pour tout }z\in\mathbb{C},\:P\left(  z\right)  =\left(z^{2} + 1\right) Q\left(z\right)
\]
	\end{enumerate}
\item  Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation
$P\left(z\right)  = 0.$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le plan est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique $2$~cm).
\begin{enumerate}
\item  Placer dans ce repère les points A, B, C et D d'affixes
respectives $z_{\text{A}}= \text{i},$

$z_{\text{B}}=- \text{i},~z_{\text{C}}= -\sqrt{3}$ et $z_{\text{D}}=-\sqrt{3}%
-2\text{i}$.

Montrer que ces quatre points appartiennent au cercle de
diamétre $\left[\text{CD}\right]  .$
\item  Montrer qu'il existe une rotation de centre O qui transforme C en
D. Calculer une valeur entiére approchée à un degré prés d'une mesure de l'angle de cette rotation.
\item  Calculer, sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique, le rapport :

\[
\frac{z_{\text{B}}-z_{\text{C}}}{z_{\text{A}}-z_{\text{C}}}
\]

Interpréter géométriquement le module et l'argument de ce rapport.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2  \hfill 5 points}}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv.

On considère l'application $f$ du plan dans lui-même qui, à tout point
$M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe :

\[z' = \dfrac{1}{2}\text{i}z + \dfrac{1 - 3\text{i}}{2}.\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est une similitude directe dont on précisera le
centre $\Omega$,le rapport $k$ et l'angle $\theta$.
\item Soit M$_0$ le point d'affixe $1 + 4\sqrt{3} + 3\text{i}$. 

Pour tout entier naturel $n$,
le point $M_{n+ 1}$ est défini par $M_{n+ 1} = f\left(M_n\right)$.

	\begin{enumerate}
		\item En utilisant la première question, calculer $\Omega M_n$ en fonction de $n$.
		
Placer le point M$_0$ et construire les points $M_1,  M_2, M_3, M_4$.
		\item À partir de quel rang $n_0$ a-t-on : \og Pour tout $n \geqslant n_0,\: M_n$ appartient
au disque de centre $\Omega$ et de rayon $r = 0,05$ \fg{} ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer M$_0M_1$.
		\item Pour tout entier naturel $n$, on note $d_n = M_nM_{n + 1}$.
		
Montrer que $\left(d_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier
terme et la raison.
		\item On note $l_n = d_0 + d_1 + d_2 + \ldots + d_n$. Calculer $l_n$ en fonction de $n$ et
en déduire la limite de $l_n$ en $+ \infty$.
	\end{enumerate} 
\item Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $G_n$ l'isobarycentre des
points M$_0$,\: $M_1$,\: $M_2$, \ldots , $M_n$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout $n > 0,\: \Omega G_n \leqslant \dfrac{16}{n + 1}$.
		\item En déduire la position limite du point $G_n$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$.				\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème  \hfill 11 points}}

\medskip

\textbf{Partie A : étude de fonctions}

\medskip

On considère les fonctions $f_{1},\:f_{2},\:f_{3}$ définies sur
$\mathbb{R}$ par :

\[
f_{1}\left(  x\right)  =\left( x + 1\right)  \text{e}^{-x}\quad f_{2}\left( x\right)
=-x\text{e}^{-x}\quad f_{3}\left(x\right)  =\left(x - 1\right)  \text{e}^{-x}%
\]

On appelle $C_{1},\: C_{2},\: C_{3}$ leurs courbes représentatives
respectives dans un repère orthogonal \Oij{} du plan. Les courbes $C_{2}$ et $C_{3}$ sont données sur le graphique  ci-dessous.

\begin{enumerate}
\item  Étude de la fonction $f_{1}$
\begin{enumerate}
\item  Calculer la dérivée $f_{1}^{\prime}$ de $f_{1}$ et étudier
son signe. En déduire les variations de $f_{1}.$
\item  Déterminer les limites de $f_{1}$ en $+\infty,$ en $-\infty.$
\item  Dresser le tableau de variation de $f_{1}.$
\end{enumerate}
\item  Étude graphique.
\begin{enumerate}
\item  Identifier sur la figure donnée les courbes $C_{2}$ et $C_{3}$ et
placer sur le dessin le repère \Oij.
\item  Étudier la position relative des courbes $C_{1}$ et $C_{3}.$
\item  Tracer $C_{1}$ dans le même repère que $C_{2}$ et $C_{3}$ sur
la figure fournie.
\end{enumerate}
\item  Étude d'équations différentielles.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que $f_{1}$ est solution de l'équation différentielle :

\[\left( E_{1}\right)  \quad y^{\prime}+ y = \text{e}^{-x}\]

		\item  Montrer que $f_{1}$ est aussi solution de l'équation différentielle :

\[
\left(E_{2}\right)  \quad y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+y=0
\]
		\item  Déterminer toutes les solutions de l'équation différentielle $\left( E_{2}\right).$ En déduire que $f_{2}$ et $f_{3}$ sont aussi des solutions de $\left(  E_{2}\right).$
		\item  Parmi les solutions de $\left(  E_{2}\right),$ quelles sont celles
qui sont aussi solutions de $\left( E_{1}\right)  $ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : étude d'aires liées à }\boldmath $C_{1}$\unboldmath \textbf{\ et }\boldmath $C_{2}$\unboldmath

\medskip
Pour $n$ entier strictement positif, on appelle $M_{n}$ le point de $C_{3}$
d'abscisse $n\ln 2.$ On pose :

\[
f\left( x\right)  =f_{1}\left(x\right)  - f_{3}\left(x\right)
\]

pour tout $x$ réel.
\begin{enumerate}
\item  Calculer, en unités d'aire, l'aire $U_{n}$ du domaine plan
limité par la courbe $C_{3},$ la courbe $C_{1}$ et les segments $\left[
M_{n}P_{n}\right]  $ et $\left[  M_{n+1}P_{n+1}\right]  $ pour $n > 0.$ $P_{n}$
et $P_{n+1}$ sont les projections orthogonales respectives de $M_{n}$ et
$M_{n+1}$ sur $\left(\text{O}~;~\vect{\imath}\right)$.
\item  Calculer, en unités d'aire, l'aire $V_{n}$ du trapèze
$P_{n}M_{n}M_{n+1}P_{n+1}$ pour $n > 0.$ Montrer que le rapport $\dfrac{V_{n}}{U_{n}}$ est constant.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\Large Annexe}

\vspace{1cm}
\psset{xunit=1.8cm,yunit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-2,-10)(3,10)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[u](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psaxes[linewidth=1.5pt,labels=none]{->}(0,0)(-2,-10)(3,10)
\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.74}{3}{x 2.71828 x exp div neg}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=green]{-1.432}{3}{x 1 sub  2.71828 x exp div }
\end{pspicture}

\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%   fin Antilles-Guyane juin 1998
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Asie juin 1998
\label{Asie}
\hypertarget{Asie}{}

\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{juin 1998}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{ \decofourleft~ Baccalauréat C Asie juin 1998~\decofourright }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1  \hfill 4 points}}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le plan complexe $P$ est rapporté à un repère direct \Ouv, ayant comme unité graphique 3~cm. Les nombres complexes $z_{1},\: z_{2},\: z_{3},\: z_{4},\: z_{5}$ et $z_{6}$ que l'on va calculer dans cet exercice seront tous exprimés sous forme algébrique et sous forme 
exponentielle $\left(\rho\text{e}^{\text{i}\theta}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\C$ l'équation : 

\[z^2- z\sqrt{3} + 1 = 0.\]
 
On pose $z_{1} = \dfrac{\sqrt{3} + \text{i}}{2}$ et $z_{2} = 
\dfrac{\sqrt{3} - {i}}{2}$. Exprimer $z_{1}$ et $z_{2}$ sous forme exponentielle et placer les points M$_{1}$ et M$_{2}$ d'affixes respectives $z_{1}$ et $z_{2}$~ dans le plan $P$.

\item  Soit $r$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$.

Calculer l'affixe $z_{3}$ du point M$_{3} = r$(M$_{2}$). Placer M$_{3}$ sur la figure précédente. 
\item  Soit $t$ la translation dont le vecteur $\vect{w}$ a pour affixe $- \dfrac{\sqrt{3} + \text{i}}{2}$.

Calculer l'affixe $z_{4}$ du point M$_{4} = t$(M$_{2})$.

Placer M$_{4}$ sur la figure. 
\item  Soient $z_{5} = \dfrac{\text{i}}{2}(1 + 
\text{i}\sqrt{3})$ et  $z_{6} = \dfrac{2}{\text{i} - \sqrt{3}}$.

Exprimer $z_{5}$    et $z_{6}$ sous forme algébrique et sous forme 
exponentielle.

Placer les points M$_{5}$ et M$_{6}$ d'affixes respectives $z_{5}$  et $z_{6}$ 
sur la figure. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $z_{k}^6$ pour $k \in  \{1,~2,~3,~4,~5,~6\}$.
		\item Écrire $z^{6} + 1$ sous forme d'un produit de trois polynômes du second degré à coefficients réels. Justifier cette écriture.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2  \hfill 4 points}}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Les questions 1 et 2 sont indépendantes.

$\N$* est l'ensemble des entiers strictement positifs.
  
Pour tout entier $n$ de $\N^{\star}$, on considère l'intégrale : $I_{n} = 
\displaystyle\int_{1}^{\text{e}} (\ln x)^n \:\text{d}x.$ 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout $x$ dans l'intervalle ]1~;~e[,
et pour tout $n$ entier naturel, on a : 

\[(\ln x)^n - (\ln x)^{n + 1} > 0\]

		\item En déduire que la suite $\left(I_{n}\right)$ est décroissante.
	\end{enumerate}		
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $I_{1}$ à l'aide d'une intégration par
parties.
		\item Démontrer à l'aide d'une intégration par parties que, pour tout 
$n \in \N$*, $I_{n}  = \text{e} - (n + 1)I_{n}$.
		\item En déduire $I_{2},\:I_{3}$ et $I_{4}$. Donner les valeurs exactes, exprimées en fonction de e, et les valeurs approchées à $10^{-3}$ prés par 
défaut.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout $n \in \N$*,~$I_{n} \geqslant 0$.
		\item Démontrer que, pour tout $n \in \N$*,~$(n + 1)I_{n} \leqslant $ e.
		\item En déduire la limite de $I_{n}$.
		\item Déterminer la valeur de $nI_{n} + (I_{n} + I_{n + 1})$ et en déduire la limite de $nI_{n}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2  \hfill 4 points}}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij,	l'unité graphique étant 1 cm.

\begin{enumerate}
\item Soit ($\mathcal{C}$) la courbe dont une représentation
paramétrique est :

\renewcommand\arraystretch{1.8}
\[\left\{ \begin{array}{l c l}
x = f(t) & = &\dfrac{1}{2}\left(t^2 + 2\right)\\
y = g(t) & = &	\dfrac{1}{2} \left(t^3 + 2t\right)\\
\end{array}\right. ,~t \in \R\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que ($\mathcal{C}$) est symétrique par rapport à l'axe des 
abscisses.
		\item Étudier conjointement les variations des fonctions $f$ et $g$ sur 
[0~;~+~$\infty[$.
		\item Préciser la tangente au point de paramètre $t = 0$.
		\item Tracer la courbe  ($\mathcal{C}$).
	\end{enumerate} 
\item Soit ($\mathcal{P}$) la parabole d'équation $y^2 = 4x$.
	\begin{enumerate}
		\item Tracer ($\mathcal{P}$) dans le même repère que ($\mathcal{C}$).
		\item Vérifier qu'une représentation paramétrique de ($\mathcal{P}$) est : 

\renewcommand\arraystretch{1}
\[\left\{ \begin{array}{l c l}
x(t) &= &t^2\\
y(t) &= &2t\\
\end{array}\right.,~t \in \R\]

		\item Soit ($D_{t})$ la tangente à ($\mathcal{P}$) au point $M_{t}$
de coordonnées $(x(t)~;~y(t))$.

Soit ($\Delta_{t}$) la perpendiculaire à ($D_{t})$ au point $M_{t}$. Montrer
qu'une équation cartésienne de ($\Delta_{t}$) est :

\[Y = -~tX+ t^3 + 2t.\]
 
		\item Pour $t \in \R^{\star}$,~($\Delta_{t}$) coupe l'axe des abscisses en un point $A_{t}$ et l'axe des ordonnées en un point $B_{t}$. On appelle $I_{t}$ le milieu du
segment $[A_{t} B_{t}]$.

Exprimer en fonction de $t$ les coordonnées du point $I_{t}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème  \hfill 11 points}}

\medskip

\begin{center} \textbf{I} \end{center}

Soit la fonction $g$ définie sur $\R$, qui à tout $x$ associe :
 
\[g(x) = \text{e}^x (x - 1) + x^2.\]
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la dérivée de la fonction $g$ sur $\R$ est
$$g'(x)	= x(\text{e}^x + 2)$$
		\item Déterminer les limites de $g$ en $+ \infty$	et en $- \infty$.	
		\item Étudier le signe de $g'(x)$ sur $\R$, et dresser le tableau de variation
de $g$ sur $\R$.
	\end{enumerate}
\item Montrer que l'équation : $g(x) = 0$ admet une solution $\alpha$ et une seule
 sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. Montrer que $\alpha$ est dans l'intervalle
I$ = \left[\dfrac{1}{2}~;~1\right]$.
\end{enumerate}

\begin{center} \textbf{II} \end{center}

Soit la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + x}\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que les équations : $f(x) = x$ et $g(x) = 0$ sont équivalentes sur
$[0~;~+ ~\infty[$, et que, par suite, l'équation $f(x) = x$ admet $\alpha$ pour
 solution unique sur I.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée de $f$ et en déduire le sens de variation de $f$
sur $[0~;~+ \infty[$.
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ ~\infty[$.
		\item Dresser le tableau de variation de $f$.
		\item Construire la courbe représentative $\mathcal{C}$ de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$
 dans un repère orthonormal (unité 2~cm). On indiquera en particulier les
 tangentes à $\mathcal{C}$ aux points d'abscisses $0$ et $1$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\begin{center} \textbf{III} \end{center}

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $x$ appartenant à $I,~ f(x)$ appartient à $I$. 
\item Soit la suite $(u_n)_{u \in \N}$ définie par $\left\{ 
\begin{array}{r @{~=~} l}
u_1 & \dfrac{1}{2}\\
u_n & f(u_{n - 1})~\text{pour tout}~n > 1
\end{array} \right.$

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout $n \in  \N^{\star},~u_n \in I$.
		\item Montrer que, pour tout $x \in I ,~|f^{\prime}(x)| \leqslant \dfrac{1}{2}$.
		\item En appliquant le théorème de l'inégalité des accroissements finis, démontrer que :

\[\text{pour tout}~ n > 1 ,~|u_n - \alpha| \leqslant \dfrac{1}{2}|u_{n-1} - 
\alpha|.\]

		\item En déduire, par un raisonnement par récurrence, que
pour tout $n \in  \N^*,~|u_n - \alpha| \leqslant \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$.
		\item En déduire que $(u_n)$  converge vers $\alpha$.
		\item \emph{A priori}, combien suffit-il de calculer de termes de la suite pour
 obtenir une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-7}$  prés ?
	\end{enumerate} 
\item En utilisant la décroissance de $f$, montrer que $\alpha$ est compris entre
 deux termes consécutifs quelconques de la suite. En déduire un encadrement de
$\alpha$ d'amplitude $10^{-7}$.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%   fin Asie juin 1998
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Centres étrangers juin 1998
\label{Etranger}
\hypertarget{Etranger}{}

\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{juin 1998}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat C Centres étrangers juin 1998~\decofourright }}
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1  \hfill 4 points}}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Une urne contient 5 boules blanches et 4 boules rouges indiscernables au toucher.
On effectue $n$ tirages successifs ($n$ entier supérieur ou égal à 1) d'une boule
en respectant la régle suivante :

- si la boule tirée est rouge, on la remet dans l'urne ;

- si elle est blanche, on ne la remet pas. 

Les parties \textbf{A} et \textbf{B} sont indépendantes.

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans cette partie $n = 3$. On donnera les résultats sous forme de fractions
irréductibles.
 
Si $k$ est un entier compris entre 1 et 3, on note $E_{k}$ l'évènement \og seule la
$k$-ième boule tirée est blanche \fg. Par exemple, $E_{1}$ est l'évènement \og seule
la premiére boule tirée est blanche \fg. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que la probabilité de l'évènement $E_{1}$ est
$p(E_{1}) = \dfrac{5}{36}$.
\item Calculer les probabilités des évènements $E_{2}$ 
et $E_{3}$.
En déduire la probabilité qu'on ait tiré une seule boule blanche à l'issue des
trois tirages. 
\item Sachant que l'on a tiré exactement une boule blanche,
quelle est la probabilité que cette boule ait été tirée en dernier ? 
\end{enumerate}

\textbf{Partie B}

\medskip

On effectue maintenant $n$ tirages. 
\begin{enumerate}
\item Déterminer, en fonction de $n$, la 
probabilité $p_{n}$ de tirer au moins une boule blanche en $n$ 
tirages. 
\item Quelles valeurs faut-il donner à $n$ pour 
que $p_{n} > 0,99$ ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2\hfill 4 points})

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv. L'unité graphique est de 3~cm.

On considère les points B, C, D, E définissant le carré de sens direct 
BCDE d'affixes respectives :

\[b = 1 - \text{i}\quad ;\quad c = -1 - \text{i} \quad ;\quad  d = - 1 - 3\text{i} \quad ;\quad e = 1 - 3\text{i}\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $|b|,~ |c|,~ |d|$ et $|e|$. 
\item Soit $\Gamma$ le cercle de centre O passant par B. Déterminer une équation du
cercle $\Gamma$.
On considère $Q$ un point de $\Gamma$ distinct de B et C. L'affixe 
de $Q$ est notée $q = x + \text{i}y$ (avec $x$ et $y$ réels). 
\item Soient $F$ et $G$ les points du plan tels 
que $Q\textrm{B}FG$ soit un carré de sens direct, c'est-à-dire tels que 
$\left(\vect{Q\text{B}},~\vect{QG}\right) = + \dfrac{\pi}{2}$. On pose $Z = \dfrac{g - q}{b - q}$ où $g$ est l'affixe du point G.

Interpréter géométriquement le module et un argument de $Z$. En déduire 
$Z$.
\item Prouver que  $g = (1 + x + y) + \text{i}(1 - x + y)$. En déduire $|g|$ en fonction de  $x$ et $y$.
\item En utilisant la question 2), exprimer $|g|$ en fonction
de $x$ et $y$.
\item À l'aide de considérations géométriques, prouver que :
$If | = |g|,~ f$~ étant l'affixe du point $F$.
\item Pour quelles valeurs de $x$ et de $y$ les points 
E, D, $G$ et $F$ sont-ils sur un cercle de centre O ?

Préciser le rayon de ce cercle. En déduire alors la nature du 
triangle $Q$BC. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
\textbf{Exercice 2\hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\textbf{Partie A :} \emph{où on construit un triangle 
équilatéral.}

\medskip
 
On considère la figure suivante où  $(\Delta)$ et $(D)$ sont deux droites
paralléles et A un point situé entre les deux droites et n'appartenant à aucune
d'entre elles.
\begin{center} \begin{pspicture}(5,3)
    \psline(0,0)(5,0) \psline(0,2.8)(5,2.8)
    \rput(4.5,0.5){$(D)$}  \rput(4.5,3){$(\Delta)$}
    \rput(1,1.5){A} \psline(0.9,1.1)(1.1,0.9)  \psline(1.1,1.1)(0.9,0.9)
    \end{pspicture} \end{center}

\bigskip

On se propose de construire un triangle équilatéral A$BC$ tel que $B$ 
et $C$ appartiennent respectivement aux droites $(D)$ et $(\Delta)$.

\emph{Dans toute la suite}, on note $R$ la rotation de centre A et 
d'angle +~$\dfrac{\pi}{3}$.
 
\begin{enumerate}
\item On considère la droite $(D')$ image de $(D)$ par la
rotation $R$.
Montrer que $(D')$ coupe $(\Delta)$. On note C le point d'intersection de (D')
de $(\Delta)$. 
\item Soit B $= R^{-~1}$(C). Montrer que le triangle ABC
répond au probléme posé. 
\item Construire la droite $\left(D'\right)$ et placer les points B et C. 
\end{enumerate}

\textbf{Partie B} : où on calcule l'aire de ce triangle 
équilatétal.
Soit O le projeté orthogonal de A sur la droite $(D)$. Le plan est rapporté
au repère orthonormal direct (O~,$\vect{u},~\vect{v})$  où $\vect{u}$ est un vecteur
directeur  de $(D)$ et 	$\vect{v}$ est choisi de sorte que le point A ait pour
affixe $a$i ($a$ réel positif).

On note $\alpha$ la distance du point A à la droite $(\Delta)$. Soit B un point
de $(D)$ d'affixe $z_{\text{B}},~ (z_{\text{B}}$ est réel). On appelle 
$z_{\text{C}}$ l'affixe du point C image de B par la rotation 
$R$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $z_{\text{C}} = \dfrac{1}{2}\left( z_{\text{B}} + a\sqrt{3}\right) + 
\dfrac{\text{i}}{2}\left(a + z_{\text{B}}\sqrt{3}\right).$ 
\item En déduire que le point C appartient à la droite 
$(\Delta)$ si et seulement si 

$z_{\text{B}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}(a + 2 \alpha).$ 

\emph{Dans la suite}, on prendra cette valeur pour $z_{\text{B}}$.
\item Exprimer AB$^2$ en fonction de $a$ et de $\alpha$.

En déduire que l'aire du triangle équilatéral ABC est $S = 
\dfrac{\sqrt{3}}{3}(a^2 + a\alpha + \alpha^2)$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 11 points}

\medskip
 
Le but du probléme est l'étude d'une fonction $g_{k}$, où $k$ est un 
réel fixe qui vérifie : $0 < k < \text{e}$.

Dans la partie A on met en évidence certaines propriétés d'une
fonction $f$ qui seront utilisées dans la partie B. 

\begin{center} \textbf{Partie A} \end{center}

Soit $f$ la fonction de la variable réelle $x$ définie sur $\R$ par : 

\[f(x) = (2 - x)\text{e}^x - k.\]
 
\begin{enumerate}
\item Étudier les limites de $f$ en $-~\infty$ et en $+~\infty$.
\item Calculer $f^{\prime}(x)$. En déduire le tableau de variation de $f$. Calculer 
$f(1)$
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Établir que l'équation $f(x) = 0$ a deux solutions, une notée 
$\alpha_k$ appartenant à l'intervalle	$]-~\infty~;~1[$ et une autre notée 
$\beta_k$ appartenant à l'intervalle $]1~;~+ ~\infty[$.
		\item Montrer que $\text{e}^{\alpha_k} - k\alpha_k =  \left(\text{e}^{\alpha_k} - k\right) (\alpha_k - 1)$.
		
On démontrerait de même que $\beta_k$ vérifie l'égalité
		
$\text{e}^{\beta_k} - k\beta_k =  \left(\text{e}^{\beta_k} - k\right) (\beta_k - 1)$.
	\end{enumerate}	
\item Préciser le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$.
\end{enumerate}
 
 
\begin{center} \textbf{Partie B} \end{center}
 
\begin{enumerate}
\item Soit $u$ la fonction de la variable réelle $x$ définie sur $\R$ par : 
$u(x) =  \text{e}^x - kx.$
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le sens de variation de $u$.		
		\item On rappelle que $0 < k < \text{e}$. Justifier la propriété suivante 
		
		\[\text{pour tout réel}\: x, \:\text{e}^x - kx > 0.\]
		
	\end{enumerate}  
\item Soit $g_k$ la fonction définie sur $\R$ par : ~$g_k(x) = \dfrac{\text{e}^x - k}
{\text{e}^x - kx}$ . 
On note $\mathcal{C}_k$ la courbe représentative de la fonction $g_k$ dans le
 plan rappporté à un repère orthogonal. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $g_k$ en $-~\infty$  et en $+~\infty$.
		\item Prouver que : $g_k^{\prime}(x) = \dfrac{k f(x)}{\left(\text{e}^x - kx\right)^2}$.
		\item En déduire le tableau de variation de $g_k$. Calculer $g_k(1)$.
	\end{enumerate}
\item On nomme $M_k$ et $N_k$ les points de la courbe $\mathcal{C}_k$ d'abscisses
 respectives $\alpha_k$ et $\beta_k$.
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant la question 3)b) (partie \textbf{A}), montrer que
$g_k(\alpha_k) = \dfrac{1}{\alpha_k - 1}$.
		\item Donner de même $g_k(\beta_k)$.
		\item Déduire de la question précédente que lorsque $k$ varie les points $M_k$ et 
$N_k$ sont sur une courbe fixe $H$ dont on donnera une équation.
	\end{enumerate}
\item Représentations graphiques pour des valeurs particuliéres de $k$ :
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la position relative des courbes $\mathcal{C}_1$ et 
$\mathcal{C}_2$.
		\item Prouver que $\alpha_2 = 0$.
		\item En prenant comme unité 2 cm sur l'axe des abscisses et 4~cm sur l'axe des
ordonnées, construire les courbes $\mathcal{C}_1 ,~ \mathcal{C}_2$ et $H$ sur le
 même graphique.
		
On prendra $\alpha_1 = - 1,1~ ;~ \beta_1 = 1,8~ ;~ \beta_2 = 1,6.$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%   fin Centres étrangers juin 1998
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   La Réunion juin 1998
\label{LaReunion}
\hypertarget{LaReunion}{}

\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 1998}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat C La Réunion juin 1998~\decofourright }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1  \hfill 4 points}}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Les réponses seront données sous forme de fractions.}

\medskip
 
Pour un examen, dix examinateurs ont préparé chacun 2 sujets. On dispose donc de vingt sujets que l'on place dans 20 enveloppes identiques. Deux candidats se présentent: chacun choisit au hasard deux sujets ; de plus, les sujets choisis par le premier candidat ne seront plus disponibles pour le deuxième.

On note $A_{1}$ l'évènement : \og les deux sujets obtenus par le premier candidat proviennent du même examinateur \fg{} et $A_{2}$ l'évènement : \og les deux sujets obtenus par le deuxième candidat proviennent du même examinateur \fg.
 
On note $\overline{A}$ l'évènement contraire de l'évènement $A$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que la probabilité de l'évènement $A_{1}$ est égale à $\dfrac{1}{19}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer directement la probabilité conditionnelle $p\left(A_{2}/ A_{1}\right)$ de l'évènement $A_{2}$ sachant que $A_{1}$ est réalisé. 
		\item Montrer que la probabilité que les deux candidats obtiennent chacun 
deux sujets provenant d'un même examinateur est égale à $\dfrac{1}{323}$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité $p\left(A_{2}/ \overline{A_{1}}\right)$. 
		\item En remarquant que $A_{2} = \left(A_{2} \cap  A_{1}\right) \cup \left(A_{2} \cap \overline{A_{1}}\right)$,  calculer la probabilité 
$p\left(A_{2}\right)$ puis en déduire que $p\left(A_{2} \cup A_{1}\right) = \dfrac{33}{323}$.
	\end{enumerate}
\item Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de candidats qui ont choisi chacun deux sujets provenant d'un même examinateur. La variable aléatoire $X$ prend donc les valeurs 0, 1 ou 2. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la loi de la probabilité de la variable aléatoire $X$. 
		\item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2  \hfill 5 points}}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Dans l'espace muni d'un repère orthonormal direct \Oijk, on donne 
A, B et C de coordonnées respectives (2~;~0~;~1), $(3~;~-2~;~0)$ et $(2~;~8~;~-4)$. 

Aucune figure n'est demandée.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Un point $M$ étant de coordonnées $(x~;~y~;~z)$, exprimer en fonction de $x,~y$ 
et $z$ les coordonnées du produit vectoriel $\vect{\text{A}M} \wedge \vect{\text{B}M}$. 
\item Résoudre le système : 

\[\left\{
\begin{array}{l c r}
- x + y - 2z &=&-4\\
 -x - y - z&=& -11\\
2x + y - z&=& 8
\end{array}\right.\]
 
On fera figurer les étapes de la résolution sur la copie. 
\item Montrer qu'il existe un unique point $N$ vérifiant 
$\vect{\text{A}N} \wedge \vect{\text{B}N} = \vect{\text{C}N}$ et donner les coordonnées du point $N$. 
\item On rappelle que le volume d'un tétraèdre s'obtient par la formule $\mathcal{V} = \dfrac{1}{3}\mathcal{B} \times h$  où $\mathcal{B} $ représente l'aire d'une base et $h$ la hauteur correspondante. 
	\begin{enumerate}
		\item Le point $N$ étant défini à la question précédente, montrer que le volume du tétraèdre ABC$N$ est égal à $\dfrac{1}{6}\text{C}N^2$. 
		\item En utilisant les résultats du 1., et en prenant $M$ = C, calculer l'aire du triangle ABC. 
		\item Utiliser les résultats précédents pour calculer la distance du point $N$ au plan (ABC). 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2  \hfill 5 points}}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

Dans le plan orienté rapporté au repère orthonormal direct \Oij{} 
(unité : le cm), on trace le cercle $(C)$ de diamètre [AO] où A est le point de coordonnées $(-6~;~0)$ ; on appelle $\Omega$ le centre de $(C)$.
 
Si P est un point de $(C)$, on note K le projeté orthogonal de P sur la droite 
(AO) et M le point défini par $\vect{\text{KM}} = \vect{\text{AP}}$. 

Soit $t$ une mesure en radians de l'angle $\left(\vect{\Omega\text{O}},~ \vect{\Omega\text{P}}\right)$.
 
On veut déterminer l'ensemble $(\mathcal{E})$ des points M de paramètre $t$ obtenu lorsque P décrit $(C)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Sur une figure qui sera complétée à la question 5, représenter (C), placer un point P et les points K et M correspondants. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer en fonction de $t$ les coordonnées du point P puis celles du point M. 
		\item En déduire une représentation paramétrique de $(\mathcal{E})$. 
\item Soit M$'$ le point de $(\mathcal{E})$ de paramètre $\pi- t$. Par quelle transformation peut-on obtenir le point M$'$ à partir du point M de paramètre $t$ ?
	\end{enumerate} 
\item Soit N le point $(\mathcal{E})$ de paramètre $t + \dfrac{\pi}{2}$. Montrer que le vecteur 
$\left(\vect{\text{ON}}\right)$ est un vecteur directeur de la tangente à $(\mathcal{E})$ au point M de paramètre $t$. 
\item Dessin de $(\mathcal{E})$ : 
	\begin{enumerate}
		\item Dresser le tableau des variations conjointes des coordonnées de M pour $t$ 
appartenant à $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$. 
		\item Construire les points M$_{1}$ M$_{2}$ et M$_{3}$ obtenus pour les valeurs de $t$ 
suivantes : $\dfrac{\pi}{6},\: \dfrac{\pi}{4},\:\dfrac{\pi}{3}$ et utiliser le résultat des questions 3 et 4 et pour construire trois  autres points de $(\mathcal{E})$ ainsi que les tangentes à $(\mathcal{E})$ en M$_{1}$, M$_{2}$ et M$_{3}$. 
		\item Achever le dessin de $(\mathcal{E})$.
	\end{enumerate}		 
\textbf{N. B.} 
La question 5. a. a été transformée (elle demandait d'indiquer la nature de $(\mathcal{E})$ et de placer les sommets de $(\mathcal{E})$) afin de tenir compte des modifications de programme. Par ailleurs, cet exercice peut être traité désormais dans le cadre de l'enseignement obligatoire. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème  \hfill 11 points}}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \text{e}^x - x^2\]

dont la courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$ dans un repère orthonormal \Oij, est donnée sur le graphique ci-dessous à compléter et à rendre avec la copie.

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-3,-4)(4,4)
\psaxes[linewidth=1pt,labels=none](0,0)(-3,-4)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](4,0){$x$} \uput[l](0,4){$y$}\uput[r](-1.7,-3){\blue $\mathcal{C}_{f}$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{2.15}{2.71828 x exp x dup mul sub}
\end{pspicture}
\end{center}

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par $g(x) = \dfrac{f(x)}{x}= \dfrac{\text{e}^x}{x} - x$ et on note $\mathcal{C}_{g}$ sa courbe représentative dans le même repère.

\bigskip
 
\textbf{Partie A : Remarques préliminaires concernant la fonction \boldmath $f$ \unboldmath}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Sans chercher à déterminer son équation, tracer la tangente à $\mathcal{C}_{f}$ passant par O. On notera A son point de contact avec $\mathcal{C}_{f}$. Évaluer graphiquement le coefficient directeur de cette tangente en expliquant le procédé utilisé. 
\item Calculer la valeur exacte de l'intégrale $I = \displaystyle\int_{1}^2 f(x)\:\text{d}x$, puis en donner une  valeur approchée à $10^{-2}$ près. 
\item En déduire une interprétation graphique du nombre réel : $\text{e}^2 - \text{e} - \dfrac{7}{3}$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : Étude de la fonction}\boldmath $g$ \unboldmath

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Étudier les limites de $g$ en $+ \infty$ et en $0$ et justifier que $\mathcal{C}_{g}$ admet une asymptote. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée $g'(x)$ et montrer qu'elle est du signe de $(x - 1)\text{e}^x - x^2$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
		\item Soit $u$ la fonction qui à tout $x$ de l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ associe 
		
$u(x) = (x-1)\text{e}^{x } - x^2$. 
Étudier le sens de variation de $u$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$. 
		\item Déterminer le signe de $u(x)$ sur l'intervalle [0~;~1[. 
		\item Montrer que l'équation $u(x) = 0$ admet une solution unique $a$ sur l'intervalle [1~;~2].
		 
En déduire, suivant les valeurs de $x$, le signe de $u(x)$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$. 
		\item En déduire le signe de $g'(x)$ et dresser la tableau de variation de $g$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie C : Construction de } \boldmath $\mathcal{C}_{g}$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item On se propose de construire le point $S(a~;~g(a))$ où $a$ est le réel déterminé dans la question B.  2. d. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$, \quad $g^{\prime}(x) = 0$ équivaut à $f^{\prime}(x) = \dfrac{f(x)}{x}$ et que par conséquent $f'(a) = \dfrac{f(a)}{a}$. 
		\item En utilisant ce résultat, établir que $a$ est l'abscisse du point A défini dans la première partie. 
		\item Justifier que l'ordonnée de $S$ est $f^{\prime}(a)$ et placer $S$ sur le dessin. 
	\end{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées du point d'intersection de $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$. 
\item Construire la courbe $\mathcal{C}_{g}$. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie D : Étude d'une primitive de \boldmath $g$ \unboldmath et calcul d'une intégrale }

\medskip

Soit $G$ la primitive de $g$ sur l'intervalle [1~;~2] qui s'annule pour $x = 1$ (on ne cherchera pas à calculer cette primitive).
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer le sens de variation de $G$ sur [1~;~2]. 
\item Donner une interprétation géométrique du nombre $G(2)$. Dans la suite, on prendra $1,55$ comme valeur approchée de $G(2)$ à $10^{-2}$ près. 
\item On considère l'intégrale $J = \displaystyle\int_{1}^2 G(x)\:\text{d}x$. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que l'intégrale $I$ calculée dans la première partie peut s'écrire 
		 
\[I = \int_{1}^2 xg(x)\:\text{d}x.\]
 
		\item En utilisant une intégration par parties, établir que $I = 2 G(2) - J$ et en déduire une valeur approchée de $J$, à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
 \end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%   fin La Réunion juin 1998
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Métropole juin 1998
\label{Metropole}
\hypertarget{Metropole}{}

\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 1998}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
 
\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole juin 1998~\decofourright}}}

\vspace{0,5cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Dans tout l'exercice, $A$ et $B$ étant deux évènements, $P(A)$ désigne la
probabilité de $A$ ; $P(B / A)$ la probabilité de $B$ sachant que $A$ est 
réalisé.

\begin{enumerate}
\item Le nombre de clients se présentant en cinq minutes dans
une station-service est une variable aléatoire $X$ dont on donne la loi de
probabilité :
 
\begin{center} 
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$i$					&	0	&	1 	&2\\ \hline
$p_{i} = P(X = i)$	&0,1	&	0,5	&0,4\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Définir et représenter graphiquement la fonction de répartition 
de $X$.
		\item Calculer l'espérance mathématique de $X$.
	\end{enumerate}
\item Dans cette station-service, la probabilité qu'un client achète de l'essence est $0,7$ ; celle qu'il achète du gazole est $0,3$. Son choix est
indépendant de celui des autres clients. On considère les évènements suivants :

$C_{1}$ \og en cinq minutes, un seul client se présente \fg{} ;

$C_{2}$ \og en cinq minutes, deux clients se présentent \fg{} ;

$E$ : \og en cinq minutes, un seul client achète de l'essence \fg.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P\left(C_{1}~\cap~  E\right)$.
		\item Montrer que $P\left(E/C_{2}\right) = 0,42$ et calculer $P\left(C_{2} \cap  E\right)$.
		\item En déduire la probabilité qu'en cinq minutes un seul client achète de
l'essence.
	\end{enumerate}
\item Soit $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de clients achetant de l'essence en cinq minutes ; déterminer la loi de probabilité de $Y$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct
\Ouv.

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\C$ l'équation :
\[(1)~~\dfrac{z - 2}{z - 1} = z\]
 
On donnera le module et un argument de chaque solution.
\item Résoudre dans $\C$ l'équation :

\[(2)\qquad \dfrac{z-2}{z - 1} = \text{i}.\]

On donnera la solution sous forme algébrique.
\item Soit $M$,~ A et B les points d'affixes respectives :
$z$, 1 et 2.
On suppose que $M$ est distinct des points A et B.
	\begin{enumerate}
		\item Interpréter géométriquement le module et un argument de $\dfrac{z - 2}
{z - 1}$.
		\item Retrouver géométriquement la solution de l'équation (2).
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer, à l'aide d'une interprétation géométrique,
que toute solution de l'équation dans $\C$ : 

\[\left(\dfrac{z - 2}{z - 1}\right)^n = \text{i},\]

où $n$ désigne un entier naturel non nul donné, a pour partie réelle	
$\dfrac{3}{2}$.
		\item Résoudre alors dans $\C$ l'équation 

\[(3)~~\left(\dfrac{z - 2}{z - 1}\right)^2 = \text{i}.\]

On cherchera les solutions sous forme algébrique.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2  \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Dans le plan orienté, une unité étant choisie, on considère un rectangle ABCD
tel que AB = $\sqrt{2}$, AD = 1 ; $(\vect{\text{AB}},\: \vect
{\text{AD}})$ est un angle droit direct ; I désigne le
milieu de [AB].

\textbf{A.} Soit $\mathcal{E}$ l'ensemble des points $M$ du plan tels que 
$M\text{D}^2 - M\text{B}^2 = 1$.

\begin{enumerate}
\item Vérifier que les points C et I appartiennent à $\mathcal{E}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer et construire l'ensemble 
$\mathcal{E}$.
		\item En déduire que les droites (BD) et (CI) sont perpendiculaires.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B.} Le plan est rapporté au repère orthonormé direct (A ;~$\vect{u} 
,~\vect{v})$ avec $\vect{u} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\vect{\text{AB}}$
et $\vect{v} = \vect{\text{AD}}$.

Soit S une similitude directe qui, au point $M$ d'affixe $z$, associe le point
 $M'$ d'affixe $z'$, telle que $z' = az + b, a$ et $b$ étant des nombres
 complexes, avec $a \neq 0$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer les nombres $a$ et $b$ pour que  S(D) = C et S(C) = B.
\item Soit T la similitude directe qui, au point 
$M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que 

\[z' = -~\dfrac{\text{i}\sqrt{2}}{2}z + \dfrac{\sqrt{2}}{2} + 
\text{i}.\]

Déterminer le rapport et l'angle de T.
\item Montrer que la similitude T transforme B en I.
\item En déduire une autre justification de l'orthogonalité
des droites (BD) et (CI).
\item Montrer que le centre $\Omega$ de la similitude T est le
point d'intersection des droites (BD) et (CI).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 10 points}

\medskip

Les tracés des courbes seront faits dans un plan rapporté à un repère orthonormal
\Oij{} (unité : 2~cm).

On rappelle qu'une fonction $f$ est majorée par une fonction $g$ (ce qui signifie aussi que $g$ est minorée par $f$) sur un intervalle $I$ si et seulement si, pour tout $x$ appartenant à $I,\:f(x) < g (x)$. 

\bigskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

Soit $f$ et $g$ les fonctions définies sur $[0~;~+~\infty[$ par :

\[f(x) = \ln (1 + x) ~\text{et}~g(x) = \dfrac{2x}{1 + x}.\]

On notera $\mathcal{C}$ la représentation graphique de $f$ et $\Gamma$ celle de $g$.
 
On se propose de démontrer que $f$ est minorée par $g$ sur $[0~;~+ \infty[$.

Soit $h$ la fonction définie sur $[0~;~+~\infty[$ par $h(x) =  f(x) - 
g(x)$.

\begin{enumerate}
\item Étudier le sens de variation de $h$ sur $[0~;~+~\infty[$~;  calculer 
$h(0)$.

(L'étude de la limite de $h$ en $+ ~\infty$ n'est pas demandée.)

\item En déduire que pour tout réel $x$ positif ou nul,

\[(1) \qquad \dfrac{2x}{x + 2} <  \ln (1 + x).\]

\item Construire dans le même repère les courbes $\mathcal{C}$ et $\Gamma$ et
 montrer qu'elles admettent en 0 une même tangente $D$ que l'on tracera.
 (On justifiera rapidement le tracé de ces courbes.)
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

$k$ désignant un réel strictement positif, on se propose de déterminer toutes
 les fonctions linéaires $x \mapsto~kx$ , majorant la fonction $f~:~ x 
 \mapsto \ln (1 + x)$ sur $[0~;~+~\infty[$.
 
Soit $f_k$ la fonction définie sur $[0~;~+~\infty[$ par $f_k(x) = \ln(1 + 
x) - kx$.
 
\begin{enumerate}
\item Étudier le sens de variation de $f_1$, définie sur $[0~;~+~\infty[$ par
$f_1(x) = \ln(1 + x) - x$.
\item Étudier la limite de $f$, en $+ \infty[$ et donner la valeur de $f_1$ en 
0.
\item Montrer que pour tout réel $x$ positif ou nul

(2) \qquad	$\ln(1 + x) \leqslant x.$
\item En déduire que si $k \geqslant 1$ alors : pour tout $x \geqslant 0,~f(x) \leqslant kx$.
\item Le réel $k$ vérifie les conditions : ~$0 < k < 1$ .

Montrer que la dérivée de $f_k$ s'annule pour $x = \dfrac{1 - k}{k}$ et étudier
 le sens de variation de $f_k$. (L'étude de la limite de $f_k$ en $+ ~\infty$
n'est pas demandée.)
\item En déduire les valeurs de $k$ strictement positives telles que pour tout

$ x \geqslant 0,~f(x) < kx.$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide d'une intégration par parties, calculer

\[\text{I} = \displaystyle\int_0^1 \ln(1 + x)\: \text{d}x.\]

(On remarquera éventuellement que : $\dfrac{x}{1 + x} = 1 - \dfrac{1}{1 + x}$.

En déduire le	calcul	de	J =$\displaystyle\int_0^1 (x - \ln(1 + x)\:  \mathrm{d}x$
puis de K = $\displaystyle\int_0^1 \left[\ln(1 + x) - \dfrac{2x}{x + 2}\right]\:
 \mathrm{d}x$.
 
(Pour le calcul de K on pourra vérifier que : $\dfrac{2x}{x + 2} = 2 - 
\dfrac{4}{2 + x}$.)

Interpréter géométriquement les valeurs des intégrales J et K en utilisant les
courbes $\mathcal{C},~ \Gamma$ et la droite D obtenues dans la partie 
\textbf{A}.
\item Soit $u$ la fonction définie sur [0~;~1] de la façon suivante :

\[u(0) = 1 ~\text{et~si}~x \neq 0,~u(x) = \dfrac{\ln (1 + x)}{x}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la fonction $u$ est dérivable sur ]0~;~1].
		\item On admet que $u$ est dérivable sur [0~;~1 ] et on pose :

\[\text{L} = \displaystyle\int_0^1 u(x) \:  \text{d}x.\]

En utilisant les inégalités (1) et (2) obtenues dans les parties \textbf{A} et \textbf{B}, montrer que :

\[\displaystyle\int_0^1 \dfrac{2}{x + 2} \:  \text{d}x < L < 1.\]
 
En déduire une valeur approchée de $L$ à $10^{-1}$ près.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole juin 1998
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Polynésie juin 1998
\label{Polynesie}
\hypertarget{Polynesie}{}

\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 1998}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat C Polynésie juin 1998~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1  \hfill 5 points}}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Une urne A contient 2 boules rouges et 3 boules noires, une urne B contient 3
boules rouges et deux boules noires.

On tire au hasard une boule de l'urne A :
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item [$\bullet$]si elle est noire, on la place dans l'urne B,
\item[$\bullet$] sinon, on l'écarte du jeu.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On tire au hasard ensuite une boule de l'urne B.

On considère les évènements suivants :

$R_{1}$ : \og La boule tirée de A est rouge \fg{} ;

$N_{1}$ : \og La boule tirée de A est noire \fg{} ;

$R_{2}$ : \og La boule tirée de B est rouge \fg{} ;

$N_{2}$ : \og La boule tirée de B est noire \fg.
\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les probabilités des évènements $R_{1}$ et $N_{1}$.
		\item Calculer les probabilités des évènements \og $R_{2}$ sachant $R_{1}$ \fg\ et
\og $R_{2}$ sachant $N_{1}$ \fg. En déduire que la probabilité de $R_{2}$ est de
$\dfrac{27}{50}$.
		\item Calculer la probabilité de $N_{2}$.
	\end{enumerate}
\item On répète $n$ fois l'épreuve précédente (tirage d'une boule de A, suivie du tirage d'une boule de B dans les mêmes conditions initiales indiquées ci-dessus), en supposant les différentes épreuves indépendantes.

Quel nombre minimum d'essais doit-on effectuer pour que la probabilité
d'obtenir au moins une fois une boule rouge de l'urne B soit supérieure
à $0,99$ ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 5 points}} 

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} (unité graphique 2~cm). On note A le point d'affixe 1 et B le point d'affixe $3 + 2\text{i}$.

On appelle $f$ l'application qui, à tout point $M$ distinct de A et d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z^{\prime}$ définie par

\[{z^{\prime}=\frac{z - 1 + 2\text{i}}{z-1}}\]

\begin{enumerate}
\item  Calculer les affixes des points O$'$ et B$'$, images respectives des points
O et B par $f$. Placer les points A, O$'$, B et B$'$ dans le plan.
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer, pour tout complexe $z$ différent de 1, le produit

\[\left(  z^{\prime}-1\right)  \left(  z-1\right)\]

\item  En déduire que, pour tout point $M$ distinct de A, on a :

\[\text{A}M \times \text{A}M'= 2\text{ et }\left( \vect{u}%
,\vect{\text{A}M}\right)  +\left(\vect{u}%
,\vect{\text{A}M'}\right)  \text{=}\frac{\pi}{2} + 2k\pi
,\;k\in\mathbb{Z}\]

\end{enumerate}
\item  Démontrer que, si  $M$ appartient au cercle ($C$) de centre A passant
par O, alors $M'$ appartient à un cercle ($C^{\prime}$). En préciser le
centre et le rayon.

Construire ($C$) et ($C^{\prime}$).
\item
\begin{enumerate}
\item  Déterminer l'angle $\left(\vect{\ u},\:\vect{\text{AB}}\right)$.
\item  Démontrer que, si $M$ est un point autre que A de la demi-droite ($d$) d'origine A, passant par B, alors $M'$ appartient à une demi-droite que l'on précisera.
\end{enumerate}
\item  On appelle P le point d'intersection du cercle ($C$) et de la
demi-droite ($d$).

Placer son image P' sur la figure.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 5 points}} 

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv
(unité graphique : 2 cm).

On appelle $T$ l'application qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ non nulle, fait
correspondre le point $M'$ d'affixe 

\[z' = 2z + \dfrac{1}{z}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\theta$ désignant un réel quelconque de l'intervalle $[0~;~2\pi[$, on considère
le point $M$ ayant pour affixe $z = \text{e}^{\text{i}\theta}$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les coordonnées du point $M'$ sont : 
		\[\left\{\begin{array}{l c r}
x' &=& 3 \cos \theta\\
y'&= & \sin \theta.
		\end{array}\right.\]
		
		\item En déduire que l'image par $T$ du cercle (C) de centre O et de rayon 1
est une conique (E) dont on précisera la nature et les éléments caractéristiques
(centre, sommets, foyers). 
		
On vérifiera que les foyers F et F$'$ ont pour coordonnées respectives $\left(2\sqrt{2}~;~ 0\right)$ et $\left(- 2\sqrt{2}~;~ 0\right)$.
	\end{enumerate}
\item Réaliser une figure comportant :
	
$\bullet~~$ le cercle (C),
	
$\bullet~~$ la conique (E) et ses éléments caractéristiques déterminés au 1. b,
	
$\bullet~~$ un point $M$ de (C) et son image $M'$ par $T$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout point $M'(3 \cos \theta~;~\sin \theta)$ de la courbe (E), calculer les
distances $M'$F et $M'$F$'$ en fonction de $\theta$.
		\item En déduire que, pour tout point $M'$ de (E), $M'$F + $M'$F$'$ est indépendant
de $\theta$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

(\emph{Ce type d'exercice n'est plus au programme à partir de la session de }$1999$.)

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème \hfill 10 points}}

\medskip

\textbf{Partie A : Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ solutions de
l'équation différentielle (E$_{1}$) :

\[y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+y=0.\]

\item  On considère l'équation différentielle (E$_{2}$):

\[y'' + 2y' + y = x + 3.\]
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que la fonction $p$ définie sur $\mathbb{R}$ par
$p(x) = x + 1$ est solution de (E$_{2}$).
		\item  Démontrer qu'une fonction $g$ est solution de (E$_{2}$) si, et
seulement si, la fonction $g-p$ est solution de (E$_{1}$).
		\item  Déduire de \textbf{1.} et \textbf{2. b} les solutions de (E$_{2}$)
		\item  Déterminer la solution générale de (E$_{2}$) qui
vérifie :

\[g(0) = 1 \quad \text{et} \quad  g'(0) = 2.
\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : étude d'une fonction \boldmath{$f$} \unboldmath et
courbe représentative}

\medskip

On appelle $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par :

\[f(x) = x + 1 + x\text{e}^{-x}.\]

On note ($\mathcal{C}$) la courbe représentative de $f$ dans le plan muni
du repère orthonormal \Oij{} (unité graphique 2 cm).

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item $f'$ et $f''$ désignant respectivement les
dérivées première et seconde de $f$, calculer, pour tout réel
$x$, $f'(x)$ et $f''(x)$.
		\item  Étudier le sens de variation de la dérivée $f'$.
		\item  Démontrer que, pour tout réel $x$, $f'(x)>0$.
		\item  Calculer la limite de $f$ en +$\infty$.
		\item  Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que la droite ($\mathcal{D}$) d'équation $y = x+1$ est
asymptote à ($\mathcal{C}$) et préciser la position relative de
($\mathcal{D}$) et ($\mathcal{C}$).
		\item  La courbe ($\mathcal{C}$) admet en un point A une tangente
parallèle à la droite ($\mathcal{D}$).\newline Déterminer les coordonnées de A.
	\end{enumerate}
\item  Démontrer que l'équation de $f(x) = 2$ admet sur $[0~;~+\infty[$
une unique solution notée $\alpha$ , puis vérifier que $0 < \alpha < 1$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Construire la droite ($\mathcal{D}$), le point A défini au
\textbf{2. b.}, la courbe ($\mathcal{C}$) et la tangente en A à la courbe
($\mathcal{C}$).
		\item  Donner par lecture graphique une valeur approchée de $\alpha$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Recherche d'une approximation décimale de
\boldmath{$\alpha$} \unboldmath}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que, sur $[0~;~+\infty[$, l'équation : $f(x) = 2$
équivaut à l'équation :

\[{\frac{\text{e}^{x}}{\text{e}^{x}+1}=x}\]

\item  On appelle $h$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~1] par :

\[h(x)=\frac{\text{e}^{x}}{\text{e}^{x}+1}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $h'(x)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1]
et réaliser le tableau de variations de la fonction $h$.
		\item En déduire que, pour tout réel $x$ de [0~;~1], $h(x)$
appartient à [0~;~1].
		\item Calculer $h''(x)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle
[0~;~1] ; étudier le sens de variations de $h'$.
		\item En déduire que, pour tout réel $x$ de [0~;~1],

\[{0\leqslant h'(x)\leqslant\frac{1}{4}}\]

	\end{enumerate}
\item  On définit la suite ${(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}\text{ par :}\ }$%

\[{\left\{\begin{array}[c]{l}%
u_{0}=0\\
u_{n+1}=h\left(u_{n}\right)
\end{array}
\right.}\]

pour tout entier naturel $n$.

	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n}$ appartient
à l'intervalle [0~;~1].
		\item  Démontrer que, pour tout entier naturel $n$,

\[{|u_{n+1}-\alpha|\leqslant\frac{1}{4}|u_{n}-\alpha|}\]

		\item  En déduire que, pour tout entier naturel $n$,

\[{|u_{n+1}-\alpha|\leqslant\left( \frac{1}{4}\right)^{n}}\]

puis que la suite $\left(u_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers $\alpha$.
		\item  Déterminer un entier $p$ tel que $u_{p}$ soit une valeur
approchée à $10^{-6}$ près de $\alpha$ et, à  l'aide de
la calculatrice, proposer une approximation décimale de $u_{p}$ à
$10^{-6}$ près. Que peut-on en déduire pour $\alpha$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME}
 
\textbf{Partie A : Étude d'une fonction \boldmath$f$  \unboldmath et courbe
représentative}

On appelle $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+~\infty[$ par 

\[f(x) = x + 1 + xe^{-x}.\]

On note $\mathcal{(C)}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni du
repère orthonormal \Oij{} (unité 
graphique : 2~cm).

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $f'$ et $f''$ désignant respectivement les dérivées première et seconde de $f$, calculer, pour tout réel $x,~ f'(x)$ et $f''(x)$ .
		\item Étudier le sens de variation de la dérivée $f'$.
		\item Démontrer que, pour tout réel $x$ positif, $f'(x) > 0$ .
		\item Calculer la limite de $f$ en $+~\infty$ .
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la droite $(D)$ d'équation $y = x + 1$ est asymptote à $\mathcal{(C)}$ et préciser la position relative de $(D)$ et 
$\mathcal{(C)}$. 
		\item La courbe $\mathcal{(C)}$ admet en un point $A$ une tangente parallèle à la droite 
$(D)$.

Déterminer les coordonnées de $A$.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que l'équation $f(x) =  2$ admet sur $[0 ~;~+ ~\infty[$ une unique
solution notée $\alpha$, puis vérifier que $0 < \alpha < 1$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire la droite $(D)$, le point $A$ défini au 2)b), la courbe $\mathcal{(C)}$ et la tangente en $A$ à la courbe $\mathcal{(C)}$.
		\item Donner par lecture graphique une valeur approchée de $\alpha$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Partie B : Recherche d'une approximation décimale de 
}\boldmath$\alpha$\unboldmath.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que, sur $[0 ~;~+ ~\infty[$, l'équation $f(x) = 2$ équivaut à l'équation
$\dfrac{e^x}{e^x + 1} = x$.\\
\item On appelle $h$ la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 1 ] par :

\[h(x) = \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 1}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $h'(x)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1] et réaliser le 
tableau de variation de la fonction $h$.
		\item En déduire que, pour tout réel $x$ de [0~;~1], $h(x)$ appartient 
à [0 ; 1].
		\item Calculer $h''(x)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1] ; étudier le sens de
variation de $h$. 
		\item En déduire que, pour tout réel $x$ de [0~;~1], $0 < h'(x) < 
\dfrac{1}{4}.$
	\end{enumerate} 
\item On définit la suite $\left(u_{n}\right)_{n\in \N}$	par : $\left\{ 
\begin{array}{l @{~=~} l}
    u_{0} & 0\\
    u_{n+1} & h(u_{n})
    \end{array} \right.$ pour tout entier naturel $n$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,~ u_{n}$ appartient à l'intervalle
 [0~;~1].
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,~\left|u_{n + 1} - \alpha \right| \leqslant \dfrac{1}{4}\left|u_n - \alpha \right|$.
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n,~\left|u_n - \alpha \right| \leqslant 
\left(\dfrac{1}{4}\right)^n$,~puis que la suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ converge 
vers $\alpha$.
		\item Déterminer un entier $p$ tel que $u_p$ soit une valeur approchée à  $10^{-6}$ près de $\alpha$ et à l'aide de la calculatrice, proposer une approximation décimale de $u_p$ à $10^{-6}$ près.

Que peut-on dire de $\alpha$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

%%%%%%%%%%%%%    Antilles-Guyane septembre 1998
\label{Antillessept}
\hypertarget{Antillessept}{}

\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 1998}}
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty} 
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} 

\vspace{0,5cm} 

{\Large\textbf{ \decofourleft~Baccalauréat S Antilles-Guyane septembre 1998 \decofourright}}\normalsize{} 
\end{center} 

\vspace{0,5cm} 
 
\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}
 
\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip
 
Un meuble est composé de 10 tiroirs T$_{1}$,~ T$_{2}$,~\ldots,~ 
T$_{10}$.

Une personne place au hasard une boule dans un des tiroirs et une autre est chargée de \emph{trouver le tiroir contenant la boule} à l'aide de la stratégie suivante :

la personne ouvre le tiroir T$_{1}$. 

Si la boule est dans le tiroir T$_{1}$, la recherche est achevée, sinon la  personne ouvre le tiroir T$_{2}$, et ainsi de suite \ldots en respectant l'ordre des numéros de tiroirs.
 
On remarquera qu'avec cette stratégie, le tiroir T$_{10}$ n'est 
jamais ouvert.

Pour $i$ entier compris entre 1 et 10 ($1 \leqslant i \leqslant 10$), on 
appelle B$_{i}$ l'évènement \og La boule se trouve dans le tiroir 
T$_{i}$ \fg{}.

On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de tiroirs qui ont 
été ouverts afin de localiser la boule avec cette stratégie.

\begin{enumerate} 
\item Donner l'ensemble des valeurs possibles de 
$X$. 

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour $i$ entier 
compris entre 1 et 8 ($1 \leqslant i \leqslant 8$), 
l'évènement ($X = i$) est l'évènement B$_{i}$. 

		\item Justifier que l'évènement ($X = 9$) est la réunion des évènements B$_{9}$ 
et B$_{10}$. 

	 	\item Déterminer la loi de probabilité de $X$. 

	 	\item Calculer l'espérance mathématique de $X$. 

	\end{enumerate} 

\end{enumerate} 
\vspace*{0,5cm} 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}
  
\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct 
\Ouv. 

On placera sur une même figure, qui sera complétée au fur et à 
mesure, les points introduits dans le texte (unité graphique : $2$~cm.) 

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Résoudre l'équation 

\[(\text{E})\quad : \quad z^2 - 2z\sqrt{3} + 4 = 0.\] 

		\item On considère les nombres complexes $z_{1} = \sqrt{3} + \text{i}$ 
et $z_{2} = \sqrt{3} - \text{i}$ et on désigne par M et N les points d'affixes respectives $z_{1}$ et $z_{2}$. Déterminer le module et l'argument de $z_{1}$ et $z_{2}$ ; placer M et N sur la figure. 

		\item Déterminer les affixes des points Q et P images respectives de M et N par la translation de vecteur $\vect{w} = - 2\vect{u}$. Placer P et Q sur la figure. 

Montrer que MNPQ est un carré. 
	\end{enumerate} 

\item Soit R le symétrique de P par rapport à O, E l'image de P 
par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$, S l'image de E par l'homothétie de centre O et de rapport $\sqrt{3}$. 

Placer ces points sur la figure. 

Calculer les affixes de R et de S. Montrer que S appartient au 
segment [MN]. 

\item On pose $\alpha = 2 - \sqrt{3}$. 

	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que $1 + \alpha^2 = 4\alpha$ et $1 - \alpha^2 = 2\alpha\sqrt{3}$. 

		\item Exprimer les affixes $Z$ de $\vect{\text{PR}}$ et $Z'$ 
de $\vect{\text{PS}}$ en fonction de $\alpha$. 

		\item Montrer que $|Z| = |Z'|$ et que $\dfrac{Z}{Z'} = 
\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$. 

\item Déduire des questions précédentes la nature du triangle PRS. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
\textbf{Problème \hfill 11 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats} 

\medskip

\vspace{0,25cm} 

\textbf{Partie A}
  
$\star~$ \textbf{Étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip

La fonction $d$ est définie sur $] - 1 ~;~ + \infty[$ par : 

\[d(x) = \text{e}^{\frac{x}{x+ 1}}.\] 

\begin{enumerate} 
\item Calculer la fonction dérivée $d'$. En déduire les variations de $d$. 

\item Déterminer les limites de $d$ en $- 1$ et en $+ \infty$. 

\item Montrer que, pour tout $x > -~ 1$, on a : $0 < d(x) <$~ e. 

\end{enumerate} 

\vspace{0,25cm} 

\textbf{Partie B}
 
$\star~$ \textbf{Étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip
 
Dans cette partie on s'intéresse à la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]- 1~;~+~\infty[$ par : 

\[f(x) = x + 1 - \text{e}^{\frac{x}{x+ 1}}.\] 

On appelle $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal, l'unité graphique étant $5$~cm. On désigne par $f'$ et $f''$ les dérivées première et seconde de $f$.
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la droite (D) d'équation $y = x - \text{e} + 1$ est asymptote  à la courbe $(\mathcal{C})$.

Préciser la position relative de (D) et $(\mathcal{C})$. 

\item 
 	\begin{enumerate}
		\item Pour $x \in ] - 1 ~;~ +~\infty$[, calculer $f'(x)$ et $f''(x)$. 

 Vérifier que $f''(x) = \dfrac{2x+ 1}{(x + 1)^4} \text{e}^{\frac{x}{x+ 1}}$. 

 En déduire le sens de variations de $f'$. 

		\item Dresser le tableau de variations de $f'$. 

 (On admettra que $\displaystyle\lim_{x \to - 1} f' = \displaystyle\lim_{x \to + \infty} f' = 1$.) 

	\end{enumerate} 

\item Démontrer que l'équation $f'(x) = 0$ admet sur $]- 1~;~+ \infty[$ deux solutions dont l'une est $0$. 

Dans la suite du problème, on notera $\alpha$ la solution non nulle. Donner une valeur approchée de $\alpha$ au centième près. 

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier les variations de $f$. 

		\item Calculer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition. 

		\item Dresser le tableau de variations de $f$ 

	\end{enumerate} 

\end{enumerate} 

\vspace{0,25cm} 

\textbf{Partie C}
 
$\star~$ \textbf{Prolongement de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath 
en $- 1$

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur $]- 1~;~+ \infty[$ par :
 
\[ \left\{ \begin{array}{l c l} 
g(-~ 1)		& =	& 0\\ 
g(x)		& =	& f(x) ~\text{pour tout}~ x > -1.\\ 
\end{array}\right.\] 

On appelle ($\mathcal{C'}$) la courbe représentative de la fonction $g$ dans  le repère de la \textbf{partie B}. 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'on peut écrire 
\[\dfrac{g(x) - g( - 1)}{x - (- 1)} = 1 - 
\dfrac{1}{x}\left(\dfrac{x}{x + 1}\text{e}^{\frac{x}{x + 1}}\right).\] 

		\item Pour $x \in ]- 1~;~+ \infty[$, déterminer la limite lorsque $x$ tend vers $- 1$ de $\dfrac{x}{x + 1}$ puis de $\dfrac{x}{x + 1}\text{e}^ {\frac{x}{x + 1}}$. 

		\item En déduire que $g$ est dérivable en $- 1$ et préciser son nombre dérivé $g'(- 1).$ 

	\end{enumerate} 

 \item Construire (D) et ($\mathcal{C'}$). Préciser 
les tangentes à ($\mathcal{C'}$) aux points d'abscisses $-~1,~\alpha,~ 0$. 

\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%   fin Antilles-Guyane septembre 1998
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Métropole septembre 1998
\label{Metropolesept}
\hypertarget{Metropolesept}{}

\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 1998}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}
    
\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat S Métropole septembre 1998 \decofourright}}\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1\hfill 4 points}

\medskip
 
L'espace est muni d'un repère orthonormal direct \Oijk.
 
Il n'est pas demandé de faire de figure.
 
Les questions 3 et 4 sont indépendantes des questions 1 et 2.
 
On considère les quatre points A,\ B,\ C et I de coordonnées respectives :

\[\text{A}\left(
\begin{array}{c}%
-~1\\ 2\\ 1
\end{array}\right)  \qquad\quad 
\text{B}\left(
\begin{array}{c}%
1\\ -~6\\ -~1
\end{array}
\right)  \qquad\quad 
\text{C}\left(
\begin{array}{c}%
2\\ 2\\ 2
\end{array}
\right)  \qquad\quad \text{I}\left(
\begin{array}{c}%
0\\ 1\\ - 1
\end{array}
\right)\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer le produit vectoriel $\vect{\strut
\text{AB}}\wedge \vect{\strut \text{AC}}$.

		\item Déterminer une équation cartésienne du plan contenant les trois points 
A,\ B et C.
	\end{enumerate}

\item  Soit (Q) le plan d'équation :

\[x + y - 3z + 2 = 0\]

et (Q$'$) le plan de repère \Oijk.

	\begin{enumerate} 
		\item Pourquoi (Q) et (Q$'$) sont-ils sécants~?

		\item Donner un point E et un vecteur directeur$\vect{\strut u}$ de la droite d'intersection $(\Delta)$ des plans (Q)  et (Q$'$).
 
	\end{enumerate}

\item Écrire une équation cartésienne de la sphère S de
 centre I et de rayon 2.
 
\item On considère les points J et K de coordonnées
 respectives :
\[
\text{J}\left(
\begin{array}{c}%
-~2\\ 0\\ 0
\end{array}
\right)  \qquad\quad \text{K}\left(
\begin{array}{c}%
1\\ 0\\ 1
\end{array}
\right)
\]
Déterminer avec soin l'intersection de la sphère (S) et de la droite
(JK).\medskip

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice II \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère le polynôme $P$ défini
par :

\[P(z) = z^{3}- 6z^{2} + 12z - 16.\]

	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $P(4)$.

		\item  Résoudre dans $\C$ l'équation : $P(z) = 0$.

	\end{enumerate}
    
\item Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct
\Ouv{} tel que :
$\Vert\vec{u}\Vert=\Vert\vec{v}\Vert= 2\;$cm.

Soient A,B, C les points d'affixes respectives :

\[a = 4\qquad b = 1+\text{i}\sqrt{3}\qquad c = 1 - \text{i}\sqrt{3}\]

	\begin{enumerate}
		\item   Placer les points A,~B,~C  sur une figure que l'on complètera tout au long de l'exercice.

		\item  Montrer que le triangle ABC est équilatéral.

	\end{enumerate}

\item  Soit K le point d'affixe $k=-\sqrt{3}+\textrm{i}$

On appelle F l'image de K par la rotation de centre O et
d'angle de mesure $\displaystyle{\frac{\pi}{3}}$ et G l'image de
K par la translation de vecteur $\vect{\text{OB}}$.

	\begin{enumerate}
		\item   Quelles sont les affixes respectives de F et de G ?
    
		\item  Montrer que les droites (OC) et (OF) sont perpendiculaires.

	\end{enumerate}

\item Soit H le quatrième sommet du parallélogramme 
COFH.

	\begin{enumerate}
		\item   Montrer que le quadrilatère COFH est un carré.

\item  Calculer l'affixe du point H.

\item   Le triangle AGH est-il équilatéral ?

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 11 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre l'équation différentielle :

\[y^{\prime\prime}-4y^{\prime}+4y=0.\]

\item  Déterminer la solution $\varphi$ de cette équation,
 définie sur $\mathbb{R}$ et qui vérifie les conditions :

\[\varphi(0)=0\quad\text{et}\quad\varphi^{\prime}(0)=- \text{e}\]

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$
 par :

\[f(x) = - x\text{e}^{2x+1}.\]

	\begin{enumerate}
		\item  Quel est, suivant les valeurs de $x$, le signe de $f(x)$ ?		
		\item  Étudier le sens de variation de de $f$.
		\item  Déterminer les limites de $f$ en $+~\infty$ et en $-~\infty$.
		\item  Dresser le tableau de variations de $f$.
		\item  On appelle ($\mathcal{C}$) la représentation graphique de $f$ dans un repère orthonormé \Oij~ \ (unité graphique : $4$~cm).

Quelle est la tangente à ($\mathcal{C}$) au point O ?
 
Écrire une équation de la tangente T à ($\mathcal{C}$) au point d'abscisse $(-1)$. 
		\item  On appelle ($\Gamma$) la représentation graphique dans le	repère \Oij{}  de la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

\[g(x)= \text{e}^{x}.\]

Quelle est la tangente à ($\Gamma$) au point d'abscisse $(-1)$ ?
	\end{enumerate}
\item  On appelle $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$
 par :

\[h(x) = 1 + \text{e}x\text{e}^{x}.\]

	\begin{enumerate}
		\item  Étudier le sens de variation de $h$.
    
En déduire le signe de $h(x)$ suivant les valeurs de $x$.    
		\item  Étudier la position de ($\mathcal{C}$) par rapport à ($\Gamma$).
		\item  Tracer, sur le même graphique, les courbes T, ($\mathcal{C}$) et
($\Gamma$).

	\end{enumerate}
\item Soit $m$  un réel quelconque et $M$  le point de la
courbe ($\Gamma$) d'abscisse $m$.
	\begin{enumerate} 
		\item  Écrire une équation de la tangente D à ($\Gamma$) en $M$.    
		\item  La tangente D coupe les axes de coordonnées en $A$ et $B$.

Calculer, en fonction de $m$, les coordonnées du milieu $J$ du
segment $[AB]$.
		\item  Prouver que $J$ appartient à ($\mathcal{C}$).
		\item  Tracer (D) et $J$ pour $m=0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $x$ un réel quelconque.
À l'aide d'une intégration par parties, calculer l'intégrale :

\[I(x)=\int_{0}^{x}{t\text{e}^{2t}}\:\text{d}t.\]
\item  Soit $x$ un réel négatif.

Calculer l'aire $\mathcal{A}(x)$, exprimée en $\text{cm}^{2}$, de l'ensemble des points $N$ du plan dont les coordonnées ($u,~v$) vérifient :

\[\left\{
\begin{array}{l c c c l}
x &\leqslant	& u 	&\leqslant	& 0\\
 0& \leqslant& v	& \leqslant& f(x)
\end{array}
\right.\]

\item  Calculer $\mathcal{A}(-~1)$.
\item $\mathcal{A}(x)$ admet-elle une limite quand $x$ tend vers moins l'infini ? Si oui laquelle ?

\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole septembre 1998
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Polynésie septembre 1998
\label{Polynesiesept}
\hypertarget{Polynesiesept}{}

\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 1998}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat S Polynésie septembre 1998 \decofourright}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Durée : 4 heures}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip
 
Le plan (P) est muni du repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique : $2$~cm).

À tout point $M$ du plan (P) est associé le nombre complexe $z$, affixe du point $M$.

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes
			
\[z_1 = - 1,\quad  z_2 = \dfrac{1 - \text{i}\sqrt{3}}{2},~z_3 = - 1 - 
\text{i}\sqrt{3}.\]

		\item Déterminer le module et un argument de chacun des cubes $z_1^3,~ z_2^3,~ z_3^3$ des complexes ci-dessus, puis la partie réelle et la partie imaginaire de $z_1^3$, de $z_2^3$ et de $z_3^3$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Si $z = x + \text{i}y = \rho\text{e}^{\text{i}\theta}$ est un nombre complexe (avec $,~ y$ et $\theta$ réels et $\rho$ réel supérieur à zéro), déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de $z^3$ en fonction de $x$ et $y$, puis le module et un argument de $z^3$ en fonction de $\rho$ et $\theta$.
		\item Déterminer l'ensemble (E) des points $M$ d'affixe $z$ caractérisé par : $z^3$ est un nombre réel.
		\item Déterminer et tracer l'ensemble (E$'$) des points $M$ d'affixe $z$, caractérisé  par :
$z^3$ est un nombre réel et $1 \leqslant z^3 \leqslant  8$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}
 
Dans l'espace muni du repère orthonormal direct \Oijk, nous considérons les points A de coordonnées (0~;~6~;~0), B de coordonnées (0~;~0~;~8), C de coordonnées (4~;~ 0~;~8).

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Réaliser la figure comportant les points définis dans l'exercice (unité graphique : $1$~cm). 

		\item Démontrer que :

$\bullet~$ les droites (BC) et (BA) sont orthogonales ; 

$\bullet~$ les droites (CO) et (OA) sont orthogonales ; 

$\bullet~$ la droite (BC) est orthogonale au plan (OAB). 

		\item Déterminer le volume, en cm$^3$, du tétraèdre OABC. 

		\item Démontrer que les quatre points O, A, B, C se trouvent sur une sphère dont vous déterminerez le centre et le rayon. 
	 \end{enumerate}
\item À tout réel $k$ de l'intervalle ouvert ]0 ; 8[, est associé le point $M(0~;~0~;~k)$.
Le plan ($\pi$) qui contient $M$ et est orthogonal la droite (OB) rencontre les droites (OC), (AC), (AB) respectivement en $N,~ P,~ Q$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la nature du quadrilatère ($MNPQ$).
		\item La droite ($PM$) est-elle orthogonale à la droite (OB) ? Pour quelle valeur de $k$, la droite ($MP$) est-elle orthogonale à la droite (AC) ?
		\item Déterminer $MP^2$ en fonction de $k$. Pour quelle valeur de $k$, la  distance $PM$ est-elle minimale ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 	10 points}

\medskip
 
L'objectif est d'étudier quelques propriétés de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[- 1~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = (1 - x^2)\text{e}^{-x}.\]

\medskip

\textbf{Partie A}
 
\textbf{Variations de}~\boldmath  $f$\unboldmath ~ \textbf{et tracé de la courbe (F)}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[- 1~;~+ \infty[$ par : 

\[f(x) = (1 - x^2)\text{e}^{-x}.\]

Dans le plan (P) muni du repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : $2$~cm)  la représentation graphique de la fonction $f$ est notée (F).

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite en $+ \infty$ de $f$ : interpréter graphiquement ce résultat. 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer, suivant les valeurs de $x$ de l'intervalle 
$[- 1~;~+ \infty[$, le signe de $x^2 - 2x - 1$ et celui de $f(x)$. 
		\item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$.  En déduire le sens de variations de $f$ puis dresser son tableau de variations ; préciser les valeurs exactes du  minimum et du maximum.
	\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente notée (T) la courbe (F)
au point A de (F) dont l'abscisse est 0.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la valeur exacte et une valeur décimale approchée à $0,1$  près de chacun des coefficients directeurs des tangentes à la courbe (F) en B(1 ; 0) 
et C$(- 1~;~0)$. 
		\item Tracer les trois tangentes à la courbe (F) en A, B(1~;~0) et C$(- 1~;~0)$ et la courbe (F).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
\textbf{Intégrales et aires}

\medskip

Les surfaces $S$ et $S_1(u)$ du plan (P), où $u$ est un réel donné de l'intervalle  $[1~;~+ \infty[$  sont définies par :

$S$ est l'ensemble des points $M(x~;~ y)$ tels que : $0 \leqslant  x 
\leqslant 1$ et $0 \leqslant y \leqslant f(x)$,

$S_1(u)$ est l'ensemble des points $M(x~;~ y)$ tels que $1 \leqslant	x \leqslant u$ et $f(x) \leqslant y \leqslant 0$.
 
Les aires respectives de ces surfaces sont notées $\mathcal{A},~ 
\mathcal{A}_1(u)$. Leurs valeurs exactes seront exprimées en unités d'aire.

\begin{enumerate}
\item Justifier l'existence de l'intégrale $\displaystyle\int_1^x 
f(t)\:\text{d}t$ où $x$ est un réel positif.

En procédant à deux intégrations par parties successives, déterminer
cette intégrale. 

\item En déduire la valeur exacte de $\displaystyle\int_1^0 
f(t)\:\text{d}t$. 

En déduire la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}$. 

\item Déterminer, en fonction de $u$ où $u \geqslant 1$, l'aire $\mathcal{A}_1(u)$ puis la limite, lorsque $u$ tend vers $+ \infty$, de $\mathcal{A}_1(u)$.

Interpréter graphiquement ce résultat.

\item L'objectif est de déterminer le réel $\alpha$ supérieur ou égal à 1 pour lequel 

$\mathcal{A}_1(\alpha) = \mathcal{A}$.

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, sur l'intervalle $[1~;~+ \infty[$, l'équation $\mathcal{A}_1(x) = \mathcal{A}$ est
équivalente à : $x = 2 \ln(1 + x)$. 
		\item Étudier le sens de variations de la fonction $h$ définie sur l'intervalle
		
$[1~;~+\infty[$ par $h(x) = x - 2\ln (1 + x)$.

Démontrer que, sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$, l'équation $x = 2 
\ln(1 + x)$ admet exactement une solution et que celle-ci, notée $\alpha$, vérifie la condition $2< \alpha <3$. 
		\item% Déterminer, en indiquant la méthode utilisée, un encadrement d'amplitude $10^{-3}$ de $\alpha$.

Déterminer $f(\alpha)$ sous la forme d'une fonction rationnelle de $\alpha$ puis l'encadrement de $f(\alpha)$, que vous pouvez déduire du précédent, d'amplitude  $2 \times 10^{-4}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%   fin Polynésie septembre 1998
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Sportifs de haut-niveau octobre 1998
\label{Sportifs}
\hypertarget{Sportifs}{}

\lfoot{\small{Sportifs de haut-niveau}}
\rfoot{\small{octobre 1998}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat S ~Sportifs de haut-niveau~\decofourright\\octobre 1998}} 
\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}

\medskip
 
Un joueur dispose d'une urne contenant 3 boules rouges, 4 boules blanches et $n$	boules vertes ($0 \leqslant  n \leqslant 10$). Les boules sont indiscernables au toucher.
\begin{enumerate}
\item  Le joueur tire au hasard une boule de l'urne.
Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :
	 \begin{enumerate}
		\item  R : \og la boule tirée est rouge \fg{} ;	
		\item  B : \og la boule tirée est blanche \fg{} ;	
		\item  V : \og la boule tirée est verte \fg.	
	\end{enumerate}
\item  Le joueur décide de jouer une partie. Celle-ci se déroule de la manière indiquée ci-dessous.

Le joueur tire une boule de l'urne

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] si elle est rouge, il gagne $16$~F :
\item[$\bullet~~$] si elle est blanche, il perd $12$~F ;
\item[$\bullet~~$] si elle est verte, il remet la boule dans l'urne, puis tire une boule de l'urne ;
	\begin{itemize}
		\item  si celle boule est rouge, il gagne $8$~F ;
		\item  si cette boule est blanche, il perd $2$~F ;
		\item  si cette boule est verte, il ne perd rien ni ne gagne rien. 
	\end{itemize}
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Les tirages sont équiprobables et deux tirages successifs sont indépendants.
 
Au début de la partie, le joueur possède $12$~F. Soit $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeur la somme que le joueur possède à l'issue de la partie (un tirage ou deux tirages selon le cas).
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les valeurs prises par $X$.	
		\item Déterminer la loi de probabilité de $X$.
		\item Montrer que l'espérance mathématique de $X$ est $12 + 16\dfrac{n}{(n + 7)^2}$.
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction $f$  définie sur l'intervalle [0 ; 10]  par
$f(x) = \dfrac{x}{(x + 7)^2}$.

Étudier les variations de $f$.
\item En déduire la valeur de $n$ pour laquelle l'espérance mathématique $X$ est maximale. Calculer celle valeur maximale (on donnera le résultat sous la forme d'une fraction irréductible).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\medskip
 
On considère les intégrales I $ = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \cos ^4 x\:\text{d}x$ et J $ =  \displaystyle\int_{0}^{\pi} \sin ^4 x\:\text{d}x$.
\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que l'intégrale I peut s'écrire :
\[\text{I} =   \int_{0}^{\pi} \cos x \left(\cos x - \cos x \sin ^2 x\right)\:\text{d}x.\]
		\item À l'aide d'une intégration par parties, montrer que
 \[\text{I} = \int_{0}^{\pi} \sin ^2 x \:\text{d}x - \dfrac{1}{3}\text{J}.\]
		\item  Montrer de même que J $=  \displaystyle\int_{0}^{\pi} \cos ^2 x \:\text{d}x - \dfrac{1}{3}\text{I}$.
	 \end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que I + J $ = \dfrac{3\pi}{4}$.
		\item  Montrer que $\text{J} - \text{I} = 0$
		\item   En déduire les 	intégrales I et J.
	 \end{enumerate}
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points}
 
\medskip

\textbf{Partie A : Étude d'une fonction}

\medskip
 
Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par :
\[h(x) = \left(3\text{e}^x -  x - 4\right)\text{e}^{3x}.\]

Il semblerait, d'après la représentation graphique de $h$ tracée par ordinateur et donnée ci-après, que l'équation $h(x) = 0$ admette une seule solution dans $\R$. On se propose, dans cette partie, d'étudier la fonction $h$ et d'examiner si le tracé fourni par l'ordinateur donne une information fiable.

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $h$ en $- \infty$  (on pourra poser $X =  3x$).
\item  Déterminer la limite de $h$ en $+ \infty$ ;

 (on observera que 	$3\text{e}^x -  x - 4 = \left(3  - \dfrac{x}{\text{e}^x} - \dfrac{4}{\text{e}^x}\right) \text{e}^x$).
\item On note $h'$ la dérivée de $h$. Montrer que $h'(x) =  \left(12\text{e}^x - 3x - 13\right)\text{e}^{3x}$. 
\item  Étude d'une fonction auxiliaire.
 Soit $k$ la fonction définie sur $\R$ par 
 
 $k(x) = 12\text{e}^x - 3x - 13$.
	\begin{enumerate}
		\item  On note $k'$ la fonction dérivée de la fonction $k$.
Étudier le signe de $k'$ sur $\R$.
		\item  Déterminer la limite de $k$ en $+ \infty$.	
		\item  Déterminer la limite de $k$ en $- \infty$.	
		\item  Dresser le tableau de variations de la fonction $k$.	
	 \end{enumerate}
\item  Étude des variations de la fonction $h$.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer qu'il existe un nombre réel négatif $\alpha$ et un seul tel que $k(\alpha) = 0$ et vérifier que $- 4,3 < \alpha < - 4,2$.
		
On admet que l'on peut établir qu'il existe un nombre réel positif $\beta$ et 	un seul tel que $k(\beta)  = 0$ et que $0,1 < \beta < 0,2$.
		\item  En déduire le signe de $k$ sur $\R$ puis le sens de variations de la fonction $h$. 
		\item  Le plan est rapporté à un repère orthogonal \Oij{} (unité graphique 	: $1$~cm représente $0,1$ sur l'axe des abscisses et $1$~cm représente $10$ sur l'axe des
ordonnées). Représenter graphiquement la fonction $h$ sur l'intervalle
$[-5~;~-3,9]$.
	\end{enumerate}	
\item  Montrer que l'équation $h(x) = 0$ admet une solution unique $b$ 	dans l'intervalle $]- \infty~ ;~0[$.

Donner un encadrement de $b$ à $10^{- 1}$ près. 
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}
	
\textbf{Partie B : Approximation de l'une des solutions de l'équation} \boldmath$h(x) = 0$ \unboldmath

\medskip

On admet qu'il existe un nombre réel $a$ et un seul dans l'intervalle I =  [0~ ;~1] tel que $h(a) = 0$.
\begin{enumerate}
\item  Justifier que, dans l'intervalle I, l'équation $h(x) = 0$ est équivalente à l'équation $3\text{e}^x  - x - 4 = 0$	  puis à l'équation $x = \ln \left(\dfrac{x+4}{3}\right)$.
\item On considère la fonction $\varphi$ définie sur l'intervalle I par $\varphi(x) = \ln \left(\dfrac{x+4}{3}\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que, pour tout $x \in  \text{I},~\varphi(x) \in  \text{I}$.	
		\item  Montrer que, pour tout $x \in  \text{I},~\left|\varphi '(x)\right| \leqslant \dfrac{1}{4}$.	
		\item  Calculer $\varphi(a)$.	
	\end{enumerate}
\item  On considère la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ d'éléments de I définie pour tout 	$n \in  \N$ par

$u_{0} = 0$ et $u_{n+1} = \varphi\left(u_{n}\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que, pour tout $n \in \N,~ \left|u_{n+1} -a\right| \leqslant \dfrac{1}{4}\left|u_{n} - a\right|$. 		
		\item   Montrer que, pour tout $n \in \N,~\left|u_{n} - a\right| \leqslant \left(\dfrac{1}{4}\right)^n$. 
		\item   En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ converge. Préciser sa limite.
		\item   Déterminer un nombre entier naturel $p$ tel que $u_{p}$ soit une valeur approchée de $a$ à $10^{-4}$ près. 
		
Donner une valeur approchée de $u_{p}$ à $10^{-4}$.
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}


\vspace{1cm}
\begin{center}
\psset{unit=1.6cm}
\begin{pspicture}(-5,-2)(1.5,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-5,-2)(1.5,2)
\uput[d](1.5,0){$x$} \uput[l](0,2){$y$}
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot[plotpoints=5000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-5}{0.5}{2.71828 x exp 3 mul x sub 4 sub 2.71828 3 x mul exp mul}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%   fin Sportifs de haut-niveau octobre 1998
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Amérique du Sud novembre 1998
\label{AmeriqueSud}
\hypertarget{AmeriqueSud}{}

\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small{novembre 1998}}   
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty} 

{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Sud novembre 1998~\decofourright}} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}
 
Le plan est rapporté au repère \Ouv{} orthonormal direct ; unité graphique $2$~centimètres. 

\textsl{On complétera la figure au fur et à mesure de l'exercice.}

Soit I le point d'affixe 2i.

On nomme $f$ la transformation qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ 
associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que $z' = $i$z$. 

\begin{enumerate}
 \item 
 	\begin{enumerate}
		 \item Préciser la nature de $f$ ainsi que ses éléments caractéristiques. 

		\item Déterminer l'affixe du point A$'$, image par $f$ du point $A$ d'affixe 1 + $\sqrt{2}$ + i. 

		\item Montrer que les points A, I et A$'$ sont alignés. 

	\end{enumerate} 

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que l'ensemble ($\Gamma$) des 
points $M$ du plan tels que $M$, I et $M'$ sont alignés, est le cercle de centre  $\Omega$ d'affixe $1 + \text{i}$ et de rayon $\sqrt{2}$. 
		\item Vérifier que le point A appartient à ($\Gamma$). 
		\item Déterminer l'ensemble ($\Gamma'$) décrit par le point $M'$ lorsque le point $M$ décrit ($\Gamma$). 
	\end{enumerate} 
\item Soit B le point d'affixe $2 + 2\text{i}$ et B$'$ l'image 
de B par $f$. 
	\begin{enumerate}
		 \item Démontrer que les droites (AB) et (A$'$B$'$) sont perpendiculaires. 
		\item Soit C le point d'intersection des droites (AB) et (A$'$B$'$). 
Déterminer la nature du quadrilatère OACA$'$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 2\hfill 5 points}

\medskip
 
Dans le plan (P), on considère le triangle ABC isocèle en A, de 
hauteur [AH] tel que AH = BC = 4. On prendra le centimètre pour 
unité. 

\begin{enumerate} 
\item En justifiant la construction, placer le 
point G, barycentre du système de points pondérés 
$\left\{(\text{A}~;~2) ; (\text{B}~;~ 1) ; (\text{C}~;~ 1)\right\}$. 
\item On désigne le point $M$ un point quelconque 
de (P). 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le vecteur $\vect{V} = 2\vect{M\text{A}} - \vect{M\text{B}} - \vect{M\text{C}}$ est un  vecteur dont la norme est 8. 
		\item Déterminer et construire l'ensemble E$_{1}$ des points $M$ du plan tels que 

\[\left\|2\vect{M\text{A}} - \vect{M\text{B}} - 
\vect{M\text{C}}\right\| = \left\|\vect{V}\right\|\] 

	\end{enumerate} 
\item On considère le système de points pondérés 
\{(A~;~2) ; (B~;~$n$) ; (C~;~$n$)\} où $n$ est un entier naturel 
fixé. 
	\begin{enumerate}
		 \item Montrer que le barycentre G$_{n}$ de ce système de points pondérés existe. Placer G$_{0}$,~G$_{1}$,~G$_{2}$. 
		\item Montrer que le point G$_{n}$ appartient au segment [AH]. 
		\item Calculer la distance AG$_{n}$ en fonction de $n$ et déterminer la limite de AG$_{n}$ quand $n$ tend vers +~$\infty$. 

Préciser la position limite de G$_{n}$ quand $n$ tend vers +~$\infty$. 
		\item Soit E$_{n}$ l'ensemble des points $M$ du plan tels que 
\[\left\|2\vect{M\text{A}} + n \vect{M\text{B}} + 
n\vect{M\text{C}}\right\| = n\left\|\vect{V}\right\|.\] 

Montrer que E$_{n}$ est un cercle qui passe par le point A. 

En préciser le centre et le rayon, noté R$_{n}$. 
		\item Construire E$_{2}$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,25cm} 

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip
 
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Oij. 
L'unité graphique est $4$~cm. 

On considère les points A(1~;~0), C(0~;~1), D$(0~;~- 1)$ et le cercle 
($\Gamma$) de centre O et de rayon 1. Soit $M$ un point du cercle ($\Gamma$), 
d'ordonnée positive ou nulle, et distinct de C. 

La droite (D$M$) rencontre l'axe des abscisses au point I.

Le point $N$ est le point d'intersection de la droite (O$M$) et de la 
parallèle à la droite (CD) passant par I. 

\begin{enumerate} 
\item Réaliser la figure. 
\item On note $t$ une mesure de l'angle orienté 
$\left(\vect{\imath},~\vect{\text{O}M}\right)$.

On se propose de déterminer l'ensemble (F) décrit par le point $N$ 
lorsque $t$ décrit l'intervalle $[0~ ;~\pi$] privé de 
$\dfrac{\pi}{2}$. 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer les coordonnées de $M$ en fonction de $t$. 
		\item Montrer que les coordonnées de I sont $\left(\dfrac{\cos t}{1 + \sin t}~;~0\right)$ puis que les coordonnées $x(t)$ et $y(t)$ de $N$ sont : 

\[x(t) = \dfrac{\cos t}{1 + \sin t} \qquad y(t) = \dfrac{\sin t}{1 + 
\sin t}\] 

	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		 \item Comparer d'une part $x(t)$ et $x(\pi - t)$, puis 
d'autre part $y(t)$ et $y(\pi - t)$. 

En déduire une propriété géométrique de l'ensemble (F). 
		\item Faire l'étude conjointe des variations des fonctions $t \mapsto x(t)$ 
et $t \mapsto y(t)$ sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$. 
		\item Déterminer les limites de $x(t)$ et $y(t)$ quand $t$ tend vers $\dfrac{\pi}{2}$. 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		 \item Calculer, en fonction de $t$, la distance O$N$ puis la distance de $N$ à la droite d'équation $y = 1$. 
		\item En déduire que (F) est inclus dans une conique dont on précisera la nature et les éléments. 
		\item Tracer l'ensemble (F). 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Problème \hfill 11 points} 

\medskip 

\textbf{Partie A} $\star$ \textbf{Résolution d'une équation différentielle}

(Hors programme depuis 1998.) 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Résoudre dans $\R$ l'équation différentielle 
(E$_{0})~ y^{\prime\prime} - 2y^{\prime} + y = 0.$ 
\item Soit l'équation différentielle (E) : $ y^{\prime\prime} - 2y^{\prime} + y = 
x^2 - 4x + 2.$ 

Vérifier que le polynôme $h$ défini sur $\R$ par $h(x) = x^2$ est une 
solution particulière de (E), c'est-à-dire que, pour tout $x$ de $\R,~h^{\prime\prime}(x) - 2h^{\prime}(x) + h(x) = x^2 - 4x + 2$. 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que si $f$ est solution de (E), c'est-à-dire, si pour tout $x$ réel, 
		
$f^{\prime\prime}(x) - 2 f^{\prime}(x) + f(x) = x^2 - 4x + 2$, alors la fonction $g$, telle que $g = f - h$, est solution de (E$_{0}$). 
		\item Réciproquement, montrer que si $g$ est solution de (E$_{0}$) alors la fonction $f$, telle que $f = g + h$, est solution de (E). 
		\item En déduire la forme générale des solutions de (E) sur $\R$. 
	\end{enumerate} 
\item En déduire une solution $\varphi$ de (E) satisfaisant à 
~$\varphi(1) = 1$ et $\varphi^{\prime}(1) = 0.$ 
\end{enumerate} 

\medskip

\textbf{Partie B}  $\star$ \textbf{Étude de la fonction} $f$ \textbf{et tracé de sa courbe représentative} 

\medskip

On considère la fonction définie sur $\R$, par 

\[f(x) = x^2 - 2(x - 1)\text{e}^{(x - 1)}.\] 

On note ($\mathcal{C}$) sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij{} ; (unité graphique : 2~cm). 

\begin{enumerate}
 \item 
 	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la limite de $f$ en + ~$\infty$. On pourra montrer que 

\[f(x) = \text{e}\left(\dfrac{x^2}{\textrm{e}^x} - \dfrac{2x}{\text{e}} + \dfrac{2}{\text{e}}\right).\] 

		\item Déterminer la limite de $f$ en - $~\infty$. 
		\item Calculer $f'(x)$ pour tout $x$ réel et en déduire le sens de variation de $f$ sur $\R$. 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		 \item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet sur 
$\R$ une solution unique. On note $\alpha$ cette solution. 
		\item Montrer que $\alpha$ appartient à l'intervalle ]1,7~;~1,8[. 
	\end{enumerate} 
\item On appelle $(\Gamma)$ la parabole d'équation 
$y = x^2$. 
	\begin{enumerate} 
		\item Étudier la position relative de ($\mathcal{C}$) et de $(\Gamma)$. 
		\item Calculer la limite de $f(x) - x^2$ quand $x$ tend vers 
$-~\infty$. 
	\end{enumerate} 
\item Tracer sur une feuille de papier millimétré, 
la courbe ($\mathcal{C}$) et la parabole $(\Gamma)$. 
\end{enumerate} 

\medskip 

\textbf{Partie C} $\star$ \textbf{Calculs d'aires}

\medskip
 
Soit $a$ un nombre réel strictement inférieur à 1. On appelle D$_{a}$ le  domaine du plan limité par les courbes ($\mathcal{C}$) et $(\Gamma)$ et les droites d'équations $x = a$ et $x = 1$.

On note $\mathcal{A}(a)$ l'aire du domaine D$_{a}$, exprimée en unités d'aire. 

\begin{enumerate} 
\item Montrer que $\mathcal{A}(a) = 2(a - 1) 
\text{e}^{(a - 1)} - 2\text{e}^{(a - 1)} + 2$. 

(On pourra utiliser une intégration par parties). 
\item Calculer l'aire $\mathcal{A}(0)$ du domaine D. 
\item Déterminer la limite de $\mathcal{A}(a)$ quand $a$ tend 
vers $- \infty$. 
\end{enumerate} 

\medskip 

\textbf{Partie D} $\star$ \textbf{Calcul de probabilités}

\medskip

Sur la feuille de papier millimétré de la partie B, on place les 
points I(1~;~0), J(0~;~1) et K(1~;~1). On utilise cette feuille comme 
cible.

On admet que, pour chaque essai : 

$\bullet$ la probabilité d'atteindre un point du carré OIKJ est égale à 
$\dfrac{1}{2}$. ; 

$\bullet$ sachant qu'un point du carré est atteint, la probabilité que ce point appartienne à D$_{0}$ est égale à A($0$). 

\begin{enumerate} 
\item Pour un essai, montrer que la probabilité d'atteindre un 
point du domaine D$_{0}$ est égale à $1 - \dfrac{2}{\text{e}}$. 
\item On effectue $n$ essais ($n$ entier naturel non nul), tous 
indépendants les uns des autres. 
	\begin{enumerate} 
		\item Exprimer, en fonction de $n$, la probabilité $p_{n}$ d'atteindre au moins une fois un point du domaine D$_{0}$ au cours de ces $n$ essais. 
		\item Déterminer le nombre minimal $n$ d'essais pour que cette probabilité 
$p_{n}$ soit supérieure ou égale à $0,99$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%  fin Amérique du Sud novembre 1998
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Nouvelle-Calédonie novembre 1998
\label{Caledonie}
\hypertarget{Caledonie}{}

\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{décembre 1998}}
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty} 

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Nouvelle--Calédonie~\decofourright\\[4pt]décembre 1998}} 
\end{center} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice  \hfill }
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Dans une foire, une publicité annonce : \og Un billet sur deux est gagnant. Achetez deux billets \fg{}.

Dans cet exercice, on suppose qu'effectivement, sur le nombre de billets en vente, exactement un billet sur deux est gagnant. Xavier est toujours le premier acheteur de la journée.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
Il est mis en vente chaque jour cent billets.
\begin{enumerate}
\item   Xavier acheté deux billets. Calculer la probabilité qu'il achète au moins un billet gagnant. 

Le résultat sera donné sous forme d'une fraction irréductible, puis à $10^{-3}$ près. 

\item Xavier revient chaque jour, pendant trois tours, acheter deux billets Quelle est la probabilité qu'il achète au moins un billet gagnant sur les trois jours ?

Le résultat sera donné à $10^{-3}$ près.
  
\item Un autre tour, Xavier achète six billets Quelle est la probabilité qu'il achète au moins un billet gagnant Le resultat sera donné à $10^{-3}$ près.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
Soit $n$ un entier naturel non nul.

Désormais, il est mis en vente $2n$ billets. Xavier achète deux billets.
\begin{enumerate}
\item  Démontrer que la probabilité $p_{n}$, qu'il achète au moins un billet gagnant est
$p_{n} = \dfrac{2n - 1}{2(2n - 1)}$.
\item
	 \begin{enumerate}
		\item Étudier les variations de la suite $\left(p_{n}\right)_{n \in \N}$.
		\item Déterminer la limite de $p_{n}$, quand $n$ tend vers $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice  \hfill (spécialité)}

\medskip
 
Le plan complexe $\mathcal{P}$ est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique : $5$~cm).
 
On considère les points A d'affixe $\sqrt{2}$, et B d'affixe i. Soit C te point tel que OACB soit un rectangle. On note I le milieu du segment [OA], J le milieu du segment [BC] et K le milieu du segment [AI].

Placer ces points sur une figure.
\begin{enumerate}
\item  On considère la transformation $s$ de $\mathcal{P}$ dans $\mathcal{P}$ qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe  $z'$, tel que 
\[z' = - \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}z + \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $s$ est une similitude dont le centre $\Omega$ a pour affixe
$\dfrac{2\sqrt{2}}{3} + \dfrac{1}{3}\text{i}$ et dont on déterminera le rapport $k$ et une mesure $\theta$ de l'angle.
		\item Determiner les images par $s$ des points O, A, B, C.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer une mesure de l'angle $\left(\vect{\Omega \text{B}},~ \vect{\Omega \text{B}}\right)$.
		
En déduire que les points A, B et $\Omega$  sont alignés.
		\item  Démontrer de même que les points I, C, $\Omega$ sont alignés.
		\item En déduire une construction de $\Omega$. Placer $\Omega$ sur la figure.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\Omega$ appartient aux cercles $\Gamma_{1}$ et $\Gamma_{2}$ de diamètres respectifs [BC] et [AI].
		\item Démontrer que $\vect{\text{J}\Omega}$ et $\vect{\text{JK}}$ sont colinéaires.
		\item Démontrer que la droite ($\Omega$O) est la tangente commune à $\Gamma_{1}$ et $\Gamma_{2}$.
		
Représenter les cercles $\Gamma_{1}$,  $\Gamma_{2}$ et la droite  ($\Omega$O) sur la figure.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Problème  \hfill }

\medskip
 
Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij{} (unité : $3$~cm). On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\R$ par
 
\[f(x) = \ln \left(x^2 - 2x + 2\right).\]

On désigne par $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans \Oij.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Justifier que, pour tout $x$ réel, $x^2 - 2x + 2 > 0$.
\item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$ et étudier le sens de variations de $f$ sur $\R$.
\item Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$, et en $- \infty$.
\item Représenter $(\mathcal{C})$ et la droite ($\Delta$) d'équation $y =  x$ ;  on montrera que la droite d'équation $x =  1$ est un axe de symétrie de $(\mathcal{C})$ et on placera les points d'abscisses $0$ et $2$ ainsi que les tangentes à la courbe en ces points.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
On s'intéresse à l'intersection de $(\mathcal{C})$ et de ($\Delta$).
 
On pose, pour tout réel $x,~ \varphi(x) = f(x) - x$.
\begin{enumerate}
\item  Déterminer la fonction dérivée $\varphi'$ de $\varphi$. En déduire que $\varphi$ est strictement décroissante sur $\R$
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Determiner la limite de $\varphi$ en $-\infty$.
		\item Montrer que, pour tout réel $x$ strictement positif,

\[\varphi(x) = x \left[\dfrac{2\ln x}{x} + \dfrac{\ln \left(1 - \dfrac{2}{x} + \dfrac{2}{x^2}\right)}{x} - 1 \right].\]

En déduire la limite de $\varphi$ en $+ \infty$.
 	\end{enumerate}
\item Montrer que la droite ($\Delta$) coupe la courbe $(\mathcal{C})$ en un point et un seul.

On désigne par $\alpha$ l'abscisse de ce point.

Montrer que $0,3 < \alpha < 0,4$.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%  fin Nouvelle-Calédonie novembre 1998

\end{document}
\end{document}
\vspace{1cm}
\end{document}
\section{Polynésie 1998}
\begin{center}
\textbf{EXERCICE 1 (5 points)}
\textbf{\\[0pt]}
\end{center}
Une urne A contient 2 boules rouges et 3 boules noires, une urne B contient 3
boules rouges et deux boules noires.

On tire au hasard une boule de l'urne A :
\begin{itemize}
\item[$\bullet$]si elle est noire, on la place dans l'urne B,
\item[$\bullet$] sinon, on l'écarte du jeu.
\end{itemize}
On tire au hasard ensuite une boule de l'urne B.\newline On considère les
évènements suivants :
R$_{1}$ : \og La boule tirée de A est rouge
\fg ;
N$_{1}$ : \og La boule tirée de A est noire
\fg ;
R$_{2}$ : \og La boule tirée de B est rouge
\fg ;
N$_{1}$ : \og La boule tirée de B est noire
\fg.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item  Calculer les probabilités des évènements ${R_{1}}$ et
${N_{1}}$.
\index{Probabilité}
\item  Calculer les probabilités des évènements \guilsinglleft
\guilsinglleft\ R$_{2}$ sachant R$_{1}$ \fg\ et
\og R$_{2}$ sachant N$_{1}$ \guilsinglright
\guilsinglright. En déduire que la probabilité de ${R_{2}}$ est de
${\displaystyle\frac{27}{50}}$.
\item  Calculer la probabilité de ${N_{2}}$.
\end{enumerate}
\item  On répète $n$ fois l'épreuve précédente (tirage
d'une boule de A, suivie du tirage d'une boule de B dans les m\^{e}mes
conditions initiales indiquées ci-dessus), en supposant les diffé%
rentes épreuves indépendantes.\newline
Quel nombre minimum d'essais doit-on effectuer pour que la probabilité
d'obtenir au moins une fois une boule rouge de l'urne B soit supérieure
\`{a} 0,99 ?\bigskip
\end{enumerate}
\begin{center}
    
\noindent \textbf{\Large CORRIGÉ}

\noindent EXERCICE 1

\noindent \textbf{1. a.} Calculons la probabilité de R$_{1}$

R$_{1}$ est l'évènement : « la boule tirée de A est rouge ». A contient 5 boules, dont 2
rouges, la probabilité de tirer une rouge parmi les 5 est donc 
$p(\text{R}_{1} = \cfrac{2}{5}$.

Calculons la probabilité de N$_{1} :

N$_{1}  est l'évènement « la boule tirée de A est noire ». A contient 3 boules noires, donc 
$p(\text{N}_{1}) = \cfrac{3}{5}$.

\noindent \textbf{b.} Calculons la probabilité de l'évènement « R$_{2}$ 
sachant R$_{1}$ »

\noindent Nous cherchons la probabilité de tirer une boule rouge de B sachant qu'une houle rouge a été
tirée de A. Puisque la boule tirée dans A est rouge on l'écarte du jeu, et la composition de 
l'urne B n'est pas changée elle contient 5 boules, dont
3 rouges. La probabilité de tirer une rouge est donc
$p(\text{R}_{2}/\text{R}_{1}) = \cfrac{3}{5}$.

\noindent Calculons la probabilité de l'événement « R$_{2}$ sachant N$_{1}$ »

\noindent C'est la probabilité de tirer une boule rouge de B sachant que la boule tirée dans A est noire.
Puisqu'elle est noire la composition de l'urne B est changée : elle contient 6 boules, les 5,
plus la noire tirée de A, donc 3 rouges et 3 noires. La probabilité de tirer alors une boule
rouge de B est $\cfrac{3}{6} = \cfrac{1}{2}$.

\[p(\text{R}_{2}/\text{N}_{1}) = \cfrac{1}{2}.\]

\noindent Calculons la probabilité de R$_{2}$ :

\noindent Soit la boule tirée de A est rouge soit elle est noire. R$_{2}$ est la réunion des deux
évènements incompatibles $(\text{R}_{2} \cap \text{R}_{1})$ et 
$(\text{R}_{2} \cap \text{N}_{1})$. $(\text{R}_{1},~ \text{N}_{1})$ est 
unsystème complet d'évènements. Appliquons
la formule des probabilités totales:  

\[p(\text{R}_{2}) = p(\text{R}_{2} \cap \text{R}_{1}) + p(\text{R}_{2} 
\cap \text{N}_{1}).

Or $p(\text{R}_{2} \cap \text{N}_{1}) = p(\text{R}2/\text{N}_{1}) \times 
p(\text{N}_{1})$

$p(\text{R}_{2} \cap \text{R}_{1}) = p(\text{R}2/\text{R}_{1}) \times 
p(\text{R}_{1})$.

Nous avons alors
p(\text{R}_{2}) = p(\text{R}_{2}/\text{N}_{1})  \times p(\text{N}_{1} 
+ p(\text{R}_{2}/\text{R}_{1}) \times p(\text{R}_{1}

soit en remplaçant parles valeurs trouvées

	$p(\text{R}_{2}) = \cfrac{1}{2} \times \cfrac{3}{5} +  \cfrac{3}{5} \times 
	\cfrac{2}{5} = \cfrac{3}{10} + \cfrac{6}{25} = \cfrac{27}{50}.$

\noindent \textbf{c.} Calculons la probabilité de N$_{2}$

Les deux évènements N$_{2}$ et R$_{2}$ sont des évènements contraires, donc

$p(\text{N}_{2}) = 1 - p(\text{R}_{2}) = 1 - \cfrac{27}{50} = 
\cfrac{23}{50}.$

\vspace{0,8cm}

\noindent \textbf{2.} On répète $n$ fois l'épreuve précédente dans les mêmes conditions initiales,
en supposant les différentes épreuves indépendantes. Nous cherchons le nombre minimum d'essais à effectuer
pour que la probabilité d'obtenir au moins une fois une boule rouge de l'urne B soit supérieure
à 0,99.
Désignons par $E$ la probabilité d'obtenir au moins une fois une boule rouge de l'urne B au
cours des $n$ essais.
Cherchons $p(E)$.
L'événement $E$ est « obtenir au moins une fois une boule rouge au cours des $n$ essais ».
L'événement contraire de $E$ est l'évènement « ne pas obtenir de boule rouge au cours
des $n$ essais », donc l'évènement $\overline{\text{E}}$ est l'évènement « n'obtenir que des boules noires
au cours des $n$ essais ».

\noindent Calculons $p(\overline{\text{E}})$

\noindent Les essais étant indépendants et puisque nous en effectuons $n$, nous avons

\[p(\overline{\text{E}}) = (p(\text{N}_{2}))^n = 
\left(\cfrac{23}{50}\right)^n

\noindent Alors $p(\text{E}) = 1 - \left(\cfrac{23}{50}\right)^n$.

La probabilité d'obtenir au moins une fois une boule rouge de l'urne B au

cours des $n$ lancers est $p(\text{E}) = 1 - \left(\cfrac{23}{50}\right)^n$.

Nous voulons $$p(\text{E}) = 1 - \left(\cfrac{23}{50}\right)^n$	> 0,99$ soit
\left(\cfrac{23}{50}\right)^n < 0,01$.

Prenons les logarithmes néperiens, il vient, $n \ln \cfrac{23}{50} < \ln (0,01)$.				< In (0,OlnO,Ol
Puisque $\cfrac{23}{50}$ est inférieur a 1, $\ln \cfrac{23}{50}$ est négatif 
et  $n > \cfrac{\ln 0,01}{\ln \cfrac{23}{50}} \approx 5,93$		

$n$ étant un entier, $n = 6$ convient.

\noindent Il faut faire 6 essais pour que la probabilité de tirer au moins une boule rouge
de l'urne B au cours de ces 6 essais soit supérieure à 0,99.
%%%%%%%%%%%%%    fin Polynésie juin 1998