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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small L'intégrale 2001 ES }
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES  2001 \decofourright \\ \vspace{1cm} L'intégrale d'avril 2001 à mars 2002}}
\end{center} 

\vspace{1cm}
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\Large}X}
\hyperlink{Pondichery}{Pondichéry   avril 2001} \dotfill \pageref{Pondichery}\\  
\hyperlink{AmeriqueduNord}{Amérique du Nord juin 2001} \dotfill \pageref{AmeriqueduNord}\\
\hyperlink{Antilles}{Antilles--Guyane juin 2001} \dotfill \pageref{Antilles}\\
\hyperlink{Asie}{Asie juin 2001} \dotfill \pageref{Asie}\\
\hyperlink{Centresetrangers}{Centres étrangers juin 2001} \dotfill \pageref{Centresetrangers}\\
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\hyperlink{Polynesie}{Polynésie  juin 2001}\dotfill \pageref{Polynesie}\\
\hyperlink{Antillessept}{Antilles-Guyane   septembre 2001}  \dotfill \pageref{Antillessept}\\ 
\hyperlink{Metropolesept}{Métropole  septembre 2001} \dotfill \pageref{Metropolesept}\\
\hyperlink{Polynesiesept}{Polynésie  septembre 2001} \dotfill \pageref{Polynesiesept}\\ 
\hyperlink{AmeriqueduSud}{Amérique du Sud  novembre 2001} \dotfill \pageref{AmeriqueduSud}\\
\hyperlink{Caledoniedec}{Nouvelle-Calédonie    décembre 2001} \dotfill \pageref{Caledoniedec}
\hyperlink{Caledoniemars}{Nouvelle-Calédonie    mars 2002} \dotfill \pageref{Caledoniemars}
\end{tabularx}

\newpage
 ~
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Pondichéry avril 2001
\hypertarget{Pondichery}{}

\label{Pondichery}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small{avril  2001}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Pondichéry avril 2001 \decofourright}}\normalsize{}	
\end{center}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le tableau suivant indique, en millions, la population de la France
 métropolitaine d'après les recensements depuis 1946.

\medskip
 
\[\begin{array}{|c | c | c |} \hline
\text{Année} & 	\text{Rang} ~ x_i~ \text{de l'année} & 	\text{Population}~ 
y_i\\ \hline
1946&	0&	40,439\\ \hline
1954&	8&	42,706\\ \hline
1962&	16&	46,425\\ \hline
1968&	22&	49,712\\ \hline
1975&	29&	52,592\\ \hline
1982&	36&	54,335\\ \hline
1990&	44&	56,615\\ \hline
1999&	53&	58,416\\ \hline
\end{array}\]

Le détail des calculs statistiques effectués avec une calculatrice
n'est pas demandé. Les nombres à déterminer seront arrondis à trois décimales.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Quel est le coefficient de corrélation linéaire entre $x$ et $y$ ?
 
Un ajustement affine est-il envisageable ?

\item Le plan est rapporté à un repère orthogonal, les unités graphiques étant :
 
\setlength\parindent{0mm}
$\bullet~$ 0,25 cm sur l'axe des abscisses ;

$\bullet~$ 1 cm sur l'axe des ordonnées, la graduation des ordonnées débutant à 40.
\setlength\parindent{9mm}

	\begin{enumerate} 
		\item Construire le nuage de points $M_i\left(x_i~;~y_i\right)$.
		\item Indiquer les coordonnées du point moyen G associé à la série $(x~;~y)$ et placer ce point sur le graphique précédent.
 
	\end{enumerate} 
\item Déterminer une équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. Tracer cette droite (D) sur le graphique précédent.
\item En supposant que cette évolution de la population se poursuive, donner une estimation de la population en  2005.
 \end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Claude range ses crayons de couleur et il en trouve un orange, trois jaunes et quatre bleus. Il prend au hasard successivement trois crayons dont il note les couleurs : $o$ pour orange, $j$ pour jaune et $b$ pour  bleu.

\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item Tracer un arbre pondéré illustrant cette expérience aléatoire.
 
\emph{Les réponses aux questions suivantes seront exprimées sous forme d'une fraction irréductible}.
\item Quelle est la probabilité de l'évènement :
 \og Les trois crayons ont la même couleur \fg{} ?
\item Quelle est la probabilité de l'évènement :
 \og Les trois crayons sont pris parmi les crayons de couleur orange ou jaune \fg{} ?
\item Quelle est la probabilité de l'évènement :
 \og Parmi les trois crayons, un au moins est bleu \fg{} ?
 \item Claude veut dessiner un drapeau bleu et
 jaune. Quelle est la probabilité qu'il puisse le faire, sachant que le
 premier crayon est bleu ?
 \end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk.
Les six points suivants sont définis par leurs coordonnées :

A$(1~;~- 1~;~3)$ ; B(1~;~ 1~;~3) ; C$(1~;~1~;~- 3)$ ; A$'(19~;~ - 1~;~ 3)$ ;  B$'$(19~;~1~;~3) ; C$'(19~;~1~;~- 3)$.

\emph{Aucune figure n'est exigible}.

\medskip

\begin{enumerate}
 \item
 	 \begin{enumerate}
		\item Montrer que les trois points A, B et C
 ne sont pas alignés. 
		\item Établir que le vecteur $\vect{\text{AA}'}$ est normal au plan (ABC). 
		\item Écrire une équation cartésienne du plan (ABC).
		\item Les quatre points A, B, B$'$ et C sont-ils coplanaires ?
	\end{enumerate}
	\begin{enumerate}
		\item Prouver que le triangle ABC est rectangle.
		\item Calculer les coordonnées du point D tel que le quadrilatère ABCD soit un rectangle.
	\end{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
	 	 \item Démontrer que les trois points A$'$, B$'$ et
 C$'$ ne sont pas alignés. 
		\item Les plans (ABC) et (A$'$B$'$C$'$) sont-ils sécants ou parallèles ? Justifier votre réponse. 
	\end{enumerate}  
\item
	 \begin{enumerate}
		\item Calculer les longueurs des segments
 [AB], [BC] et [AA$'$] notées respectivement $l_0,~l_1$ et $l_2$. 
		\item Les nombres $l_0,~l_1$ et $l_2$ sont-ils les trois premiers termes d'une suite arithmétique ? Si oui, donner la raison. 
		\item Les nombres $l_0,~l_1$ et $l_2$ sont-ils les trois premiers termes d'une suite géométrique ? Si oui, donner la raison. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 11 points}

\vspace{0,3cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $\varphi$ la fonction définie par :

\[\varphi :   [2~;~20] \longrightarrow \R \qquad	x \mapsto  x - 2 - 
2 \ln (x).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de la fonction $\varphi$
 puis dresser son tableau de variation.
\item Montrer que la fonction $\varphi$ s'annule
 exactement une fois sur l'intervalle [2~;~20].
 
Indiquer la valeur arrondie à une décimale de ce nombre.
\item En déduire le signe de la fonction $\varphi$
 sur l'intervalle [2~;~20] et récapituler ces résultats dans un tableau.
\end{enumerate} 

\bigskip
  
\textbf{Partie B}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthogonal, les unités graphiques étant
 1~cm sur l'axe des abscisses et 5~cm sur l'axe des ordonnées.
 
Soit $f$ la fonction définie par :

\[f : [2~;~20] \longrightarrow \R \qquad	x \mapsto \dfrac{x \ln (x)}{x - 2}.\]

($\mathcal{C}$) désigne la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni de ce repère.

\begin{enumerate}
 \item
 	 \begin{enumerate}
		\item Montrer que la dérivée $f'$ de $f$ a le
 même signe que $\varphi$ sur ]2 ; 20]. 
		\item étudier les variations de la fonction $f$, déterminer la limite de $f$ en 2 puis dresser le tableau de variation de cette fonction. 
	\end{enumerate}  
\item Prouver qu'il existe un unique point de
 la courbe ($\mathcal{C}$) où la tangente à la courbe en ce point est parallèle à l'axe des abscisses.
\item Tracer la courbe ($\mathcal{C}$).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie par :
 
\[\begin{array}{r c l}
g ~:~[2~;~20]& \longrightarrow &\R\\
 x&  \longmapsto &\dfrac{1}{2}x^2 - 2x \ln (x).\\
\end{array}\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $g$ est une primitive
de $\varphi$ sur [2~;~20].

\item Soit I le nombre défini par : 
\[\text{I} = \displaystyle\int_{16}^{20} \varphi(x)\: \text{d}x.\]

	\begin{enumerate}
		\item Exprimer le nombre I uniquement à l'aide de nombres entiers et des deux nombres $\ln 2$ et $\ln 5$. 
		\item Donner la valeur de I arrondie à deux décimales.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%   fin Pondichéry avril 2001
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Amérique du Nord juin 2001
\hypertarget{AmeriqueduNord}{}

\label{AmeriqueduNord}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{juin  2001}}
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\Large{\textbf{Baccalauréat ES Amérique du Nord juin 2001}}\normalsize{}	
\end{center}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Dans cet exercice les probabilités demandées seront données sous forme décimale,
 éventuellement arrondies à} $10^{- 3}$ \emph{près}.
  
Lors d'une enquête réalisée par l'infirmière auprès d'élèves de classes de terminale, on apprend que $60\,\%$ des élèves sont des filles. De plus 
 $40\,\%$ des filles et $30\,\%$ des garçons fument.
 
\medskip

\begin{enumerate} 
\item On choisit un élève au hasard. On note $A$
l'évènement  \og L'élève choisi fume~\fg{}, et $P(A)$ la probabilité de cet 
évènement.

On note $F$ l'évènement : \og L'élève choisi est une fille \fg{}.

Quelle est la probabilité que :
	\begin{enumerate} 
		\item Cet élève soit un garçon ?
		\item Cet élève soit une fille qui fume ?
		\item Cet élève soit un garçon qui fume ?
	\end{enumerate}
\item Déduire des questions précédentes, en le
justifiant, que $P(A) = 0,36$. 
\item L'enquête permet de savoir que :

$\bullet~$Parmi les élèves fumeurs, la moitié ont des parents qui 
fument ;

$\bullet~$Parmi les élèves non fumeurs, $65\,\%$ ont des parents non 
fumeurs.

On note $B$ l'évènement : \og L'élève choisi a des parents fumeurs \fg{}.
 
On notera $P(C/D)$ la probabilité de l'évènement $C$ sachant l'évènement D. Dans cette question, on pourra s'aider d'un arbre pondéré.

\begin{enumerate} \item Calculer les probabilités $P(A \cap B)$ et 
$P\left(\overline{A} \cap \text{B}\right)$. En déduire $P(B)$.

\item Calculer $P(A/B)$, probabilité qu'un élève fume sachant qu'il a des
parents fumeurs.

Calculer P$\left(A/ \overline{B}\right)$, probabilité qu'un élève fume sachant qu'il a des parents non fumeurs.

Quelle remarque amène la comparaison de ces deux résultats ?
\end{enumerate}
\item On rappelle que, pour chaque élève choisi, la probabilité qu'il soit fumeur est égale à $0,36$. On choisit quatre élèves de terminale au hasard. On admettra que la population d'élèves de terminale est suffisamment grande pour que le choix d'élèves au hasard soit assimilé à un tirage avec remise.

Quelle est la probabilité qu'aucun de ces quatre élèves ne soit fumeur ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill	5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Dans tout l'exercice les sommes seront données arrondies au franc le plus proche}.

\medskip

Un directeur du personnel propose à l'un de ses employés de choisir
entre deux formes d'augmentation de salaire.

Sachant que son salaire actuel est de \np{6000}~F par mois, il lui propose soit une augmentation régulière de 55 F tous les mois (première proposition), soit une augmentation de 0,8\,\% tous les mois (deuxième 
proposition).
\begin{enumerate} 
\item On se place dans le cadre de la première
proposition et on note $M_{n}$ le salaire en francs au bout de $n$ 
mois.
	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier que $M_{1}$ est égal à \np{6055}. Montrer que la suite $\left(M_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ est une suite arithmétique dont on donnera la raison. 
		\item Donner l'expression de $M_{n}$ en fonction de $n$.
		\item Calculer $M_{12}$,\: $M_{24}$,\: $M_{36}$,\: $M_{48}.$
	\end{enumerate}
\item On se place dans le cadre de la deuxième
proposition et on note $M'_{n}$ le salaire en francs au bout de $n$ 
mois.
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que la suite $\left(M'_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ est une suite géométrique de raison 1,008. Calculer $M'_{1}$.
		\item Donner l'expression de $M'_{n}$ en fonction de $n$.
		\item Calculer $M'_{12}$,\: $M'_{24}$,\: $M'_{36}$,\: $M'_{48}$.
	\end{enumerate}
\item Quelle proposition permet d'obtenir le meilleur salaire mensuel au bout de trois ans ?
\item Avant de choisir une des deux propositions, le salarié compare la somme des salaires perçus.

Pour la proposition 1, on note $S_{n}$ la somme des salaires sur les $n$ 
premiers mois, de $M_{1}$ à $M_{n}$.

Pour la proposition 2, on note $S'_{n}$ la somme des salaires sur les $n$ premiers mois.
	\begin{enumerate} 
		\item Exprimer $S_{n}$ et $S'_{n}$ en fonction de $n$.
		\item Calculer $S_{36}$,\: $S_{48}$,\: $S_{60}$ et $S'_{36}$,\: 
$S'_{48}$,\: $S'_{60}$.
		\item Le salarié pense rester encore cinq ans dans l'entreprise.
		
S'il s'intéresse au montant total des salaires perçus, quelle proposition va-t-il choisir ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill	5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Un client dispose d'un capital de \np{20000}~F sur un compte bancaire. Ce capital ne lui rapporte pas d'intérêt et il l'utilise de la façon suivante  :

\setlength\parindent{9mm} 
$\bullet~$ chaque début de mois, il retire 10\,\% de son capital ;
 
$\bullet~$ le dernier jour de chaque mois il reverse \np{1000}~francs sur ce compte.
\setlength\parindent{0mm}

L'exercice a pour but de comprendre l'évolution de son capital.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item On appelle $C_{0}$ le capital détenu au 31 décembre 2000 et C$_{n}$ le capital détenu au bout de $n$ mois, ces sommes étant exprimées en francs.
	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier que $C_{1} = \np{19000}$ et que $C_{2} = \np{18100}$.
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $C_{n+1} = 
0,9C_{n} + \np{1000}$.
		\item Montrer par récurrence que, pour tout entier $n,~ 
C_{n} > \np{10000}$. En déduire le signe de C$_{n+1} - \text{C}_{n}$, puis le sens de variation de la suite $\left(C_{n}\right)$.
	\end{enumerate}
\item On considère la suite $\left(U_{n}\right)$ définie par 
$U_{n} = C_{n} - \np{10000}$.
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que la suite $(U_{n})$, définie pour $n > 0$, est une suite géométrique dont on précisera le premier terme $U_{0}$ et la 
raison.
		\item En déduire l'expression générale de U$_{n}$ en fonction 
de $n$. Montrer que $C_{n} = \np{10000}(0,9^n + 1)$.
		\item Quelle est la limite de la suite $\left(C_{n}\right)$ ?
		\item Calculer la valeur de $C_{12}$ arrondie au centime le plus proche. En déduire la somme totale qui a été retirée du compte durant l'année 2001.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\textbf{Étude d'une série statistique}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le nombre d'utilisateurs de téléphone portable en France est donné par
le tableau suivant : 

\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2,5cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Mois 		&12/1996& 10/1997 	&05/1998& 10/1998	&02/1999&07/1999&09/1999&03/2000\\ \hline
Rang~$x_{i}$&0 		&10 		&17 	&22 		&26 	&31 	&33 	&39\\ \hline
Millions d'utilisateurs
 $y_{i}$ 	&2,5	&4,5		&7,2	&9,4 		&12 	&15 	&16,2 	&22,6\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

{\textsl Les calculs seront effectués avec la calculatrice, aucun détail de ces calculs n'est demandé.}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item \textbf{Réalisation d'un ajustement  affine}
	\begin{enumerate} 
		\item Représenter le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$  dans un repère orthogonal où 1~cm représente quatre mois sur l'axe des abscisses, 1~cm représente 1 million d'utilisateurs sur l'axe
des ordonnées.
		\item Donner la valeur approchée à $10^{- 3}$ près par défaut du 
coefficient de corrélation linéaire de la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$.

Un ajustement affine est-il justifié ?
		\item Placer le point moyen G de cette série $(x_{i}~;~y_{i})$, après avoir déterminé ses coordonnées.
		\item Donner l'équation de la droite (D) de régression de $y$ 
en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés, sous la forme $y = 
ax + b$,\: $a$ et $b$ étant arrondis à $10^{- 2}$ près. 

Tracer cette droite (D) sur le graphique précédent.
\end{enumerate}
\item \textbf{Réalisation d'un autre ajustement}

On considère le tableau suivant :

\medskip

{\small \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{1.7cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Mois 			&12/1996	&10/1997	&05/1998	&10/1998	&02/1999&07/1999&09/1999 &03/2000\\  \hline
Rang $x_{i}$	&0			&10			&17			&22			&26		&31&	33		&39\\ \hline
$z_{i} = 
\ln(y_{i}$)		&$\ln (2,5)$	&$\ln (4,5)$	&$\ln (7,2)$	& $\ln (9,4)$&$\ln (12)$& $\ln (15)$&$\ln (16,2)$& $\ln (22,6)$\\ \hline
\end{tabularx}}

\medskip

Soit la série statistique $\left(x_{i}~;~z_{i}\right)$, où $z_{i} = \ln (y_{i})$.
	\begin{enumerate} 
		\item On admet qu'une équation de la droite de régression de $z$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés, est $z = 0,056x + 0,961$, avec  $z = \ln(y)$.
		
Exprimer $y$ en fonction de $x$. Mettre $y$ sous la forme $y =  \alpha \text{e}^{0,056x}$.
 
Donner la valeur décimale de $\alpha$ arrondie à $10^{- 1}$ près.
\item Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~50] par $g(x) = 2,6\text{e}^{0,056x}$. En vous aidant de la calculatrice, tracer avec soin et sans justification la courbe représentative (C) de la fonction $g$ sur le 
graphique précédent, pour $x$ compris entre 0 et 50.
	\end{enumerate}
\item À partir du graphique, quel ajustement semble être le meilleur ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On se propose de comparer par le calcul les deux ajustements. Pour cela on considère les fonctions $f,~ g$ et $h$ définies sur l'intervalle [0 ; 50] par 

\[f(x) = 0,5x+0,08~;~g(x) = 2,6\text{e}^{0,056x}~;~h(x) = g(x) - f(x).\]

\smallskip

\begin{enumerate} 
\item Résoudre l'inéquation $g(x) > 35$. En déduire
l'année et le mois à partir desquels il y aura, d'après le second modèle, plus de 35 millions d'utilisateurs de téléphone portable en France.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Soit $h'$ la fonction dérivée de la
fonction $h$. 

Montrer que $h'(x) = 0,1456\text{e}^{0,056x} - 0,5$.
		\item Résoudre l'équation $h'(x) = 0$. On donnera la valeur exacte,
puis l'arrondi entier, de la solution $x_{0}$ de cette équation.
		\item Justifier le signe de $h'(x)$, puis établir le tableau de variation de $h$ sur l'intervalle [0 ; 50]. On donnera les valeurs arrondies à $10^{- 2}$ près de $h(0),~ h(x_{0})$,
		
$h(50)$. Pour calculer $h(x_0)$, on remplacera $x_{0}$
par son arrondi entier.
		\item En remarquant que $h'(x) = g'(x)-f'(x)$, montrer que 
$g'(x_{0}) = 0,5$.
		\item Soit (T) la tangente à la courbe (C) au point d'abscisse 
$x_{0}$. Que dire des droites (T) et (D) ? Tracer la droite (T).
		\item Que représente la valeur $x_{0}$ lorsqu'on compare les fonctions
$f$ et $g$ considérées dans chacun des deux ajustements ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item En utilisant les variations de $h$, démontrer que la fonction $h$ s'annule pour deux valeurs $x_{1}$ et $x_{2}$ de l'intervalle [0~;~50].
		\item Encadrer $x_{1}$ par deux entiers successifs. Faire de même pour $x_{2}$.
		\item Placer les valeurs $x_{1}$ et $x_{2}$ sur le graphique. Que
représentent ces valeurs lorsqu'on compare les fonctions considérées dans
les deux ajustements ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%  fin Amérique du Nord mai 2001
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Antilles--Guyane juin 2001
\hypertarget{Antilles}{}

\label{Antilles}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{juin  2001}}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Antilles--Guyane juin 2001~\decofourright}}\normalsize{}	
\end{center}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
  
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

À partir des productions réalisées pour l'année 2000, on veut comparer les résultats prévisibles de deux entreprises A et B jusqu'en 2015.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item La production de l'entreprise A pour l'année 2000 est de \np{11000}~pièces. Chaque année, sa production augmente de 3\,\%.
	\begin{enumerate} 
		\item Quelle est sa production en 2001 ? en 2002 ? en 2015 ? (Donner les résultats arrondis à l'entier.)
		\item Quel est le pourcentage d'augmentation de la production de 2000 à 2015 ? (Résultat arrondi à 0,1 près.)
		\item Exprimer en fonction de $n$ la production de l'entreprise A en l'an $(2000+ n)$\: ($n$ entier $0 \leqslant n \leqslant 15$).
	\end{enumerate}
\item L'entreprise B a produit \np{9000} pièces en 2000, et sa production augmente de 5\,\% par an.
	\begin{enumerate} 
		\item Quelle est sa production en 2015 ?
		\item Exprimer en fonction de $n$ la production de l'entreprise B en l'an $(2000 + n)$ ($n$ entier $0 \leqslant n \leqslant 15$).
		\item Déterminer l'entier $n$ tel que en l'an $2000 + n$, la production de l'entreprise B dépasse pour la la première  fois, la production de l'entreprise A.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Une urne contient sept boules : une rouge, deux jaunes et quatre vertes. Un joueur tire au hasard une boule :

\setlength\parindent{9mm}
$\bullet~$ si elle est rouge, il gagne $10$ F ;

$\bullet~$ Si elle est jaune, il perd $5$ F ;
 
$\bullet~$ Si elle est verte, il tire une deuxième boule de l'urne sans
 avoir replacé la première boule tirée. Si cette deuxième boule est rouge, il gagne $8$ F, sinon il perd $4$ F.
\setlength\parindent{0mm}
 
\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item Construire un arbre pondéré représentant
 l'ensemble des éventualités de ce jeu. 
\item Calculer la probabilité de l'évènement \og le joueur est gagnant \fg.
\item Soit $X$ la variable aléatoire associant à
 chaque tirage le gain algébrique du joueur (une perte est comptée 
 négativement).
	\begin{enumerate} 
		\item Établir la loi de probabilité de la variable $X$.
		\item Calculer l'espérance de $X$. 
	\end{enumerate}
\item Les conditions de jeu restent identiques.
 Indiquer le montant du gain algébrique qu'il faut attribuer à un joueur lorsque la boule tirée au deuxième tirage est rouge, pour que l'espérance de $X$ soit nulle.
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

La courbe de la fonction $f$ définie sur $]0~;~+~\infty[$	par

\[f(x)	 = x - \ln x.\]

est donnée en annexe.

On considère la suite $\left(u_n\right)$ à termes strictement positifs définie par :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_0 	& =	& 7\\
u_{n+1} & = & f\left(u_n\right)\\
\end{array}\right.\]

\bigskip

\textbf{Partie I}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Au moyen du graphique donné en annexe, 
déterminer le minimum de $f$ sur $]0~;~+~\infty[$ et en déduire que pour 
tout entier naturel $n$, on a $u_n \geqslant 1$.
\item Exprimer $u_{n + 1} - u_n$ en fonction de  $u_n$.
Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est monotone décroissante.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Construire dans le repère de la courbe 
(C) donné en annexe la droite (D) d'équation $y = x$.
\item En vous aidant de la droite (D), 
représenter sur l'axe des abscisses du graphique ci-dessous les cinq 
premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$.
\item Quelle conjecture peut-on faire en ce 
qui concerne la limite de la suite $\left(u_n\right)$ ?
\end{enumerate}

\begin{center}
Annexe à rendre avec la copie

\bigskip

\begin{pspicture}(8,5)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.007}{7}{x x ln sub}
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(0,0)(8,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\rput(4,4.8){Graphique de $f$}
\end{pspicture}
\end{center}
    
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip

\emph{Le but de ce problème est l'étude de deux fonctions qui modélisent les
importations et les exportations de l'entreprise} E.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

$\star~$ \textbf{Étude de fonctions}

\medskip

Les fonctions $f$ et $g$ sont définies sur $[0~;~\infty[$	par :

\[f(x) = \dfrac{36}{8 + \text{e}^{-x}}\quad 	\text{et}\quad  g(x) =  2 
\ln (x + 1) + 2,5.\]

Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij{} (unité : 2~cm).

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Étudier les variations de $f$ et de $g$.
		\item Calculer les limites de $f$ et de $g$ en + ~$\infty$.
	\end{enumerate}
\item Représenter graphiquement ces deux fonctions.
On nommera leurs courbes respectivement $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ et
$\left(\mathcal{C}_{g}\right)$, et on se limitera aux valeurs de $x$ entre 0 et 6.
\item Recopier et compléter le tableau suivant, avec des valeurs numériques arrondies à $10^{- 2}$ près.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ 	&0	&1		&2	&3		&4	&5	& 6\\ \hline
$f(x)$	&  	&  		&  	&4,47 	&  	&  	& \\ \hline
$g(x)$	&  	&3,89 	& 	&  		&  	&   & \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

$\star$ \textbf{Étude de la fonction} \boldmath $g - f$ \unboldmath

\medskip

On pose $h = g - f$.

Le but de cette question est d'étudier le signe de $h'(x)$ afin d'établir le tableau des variations de $h$ sur $[0~;~\infty[$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer la dérivée $h'$ de $h$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier que e$^x . h'(x) = 
\dfrac{2\text{e}^x}{x + 1} - \dfrac{36}{(8 + \text{e}^{-x})^2}$.
		\item On rappelle que pour tout $x \in  [0~;~+ \infty[,~\text{e}^x > x + 1$.
		
Établir l'inégalité $\left(8 + \text{e}^{- x}\right)^2   \geqslant  64$.

En utilisant successivement ces deux résultats, établir que
 
\[\text{e}^x h'(x) \geqslant  \dfrac{2\text{e}^x}{x + 1} - 
\dfrac{9}{16}\quad \text{et que} \quad  \text{e}^x h'(x) \geqslant 2 - 
\dfrac{9}{16}.\]

		\item Établir le tableau de variation de $h$.
		\item Montrer que $h(x)$ s'annule pour une seule valeur $x_{0}$ comprise entre 0 et 6.
		
Déterminer un encadrement de $x_{0}$ de largeur $10^{- 2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip

$\star$ \textbf{Application}

\medskip

\emph{Notations} : $x$ désigne le temps en années. On pose $x = 0$ au 
1\up{er} janvier 2000.

Pour l'entreprise E,~ $f(x)$ désigne le montant, en millions de francs, des achats pour l'année $x$ et $g(x)$ désigne le montant, en millions de francs, de ses ventes.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Quel est le montant des achats et des
ventes de cette entreprise à la fin de l'année 2000 ?
\item À partir d'une certaine date, les ventes
l'emportent sur les achats. 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer l'année au cours de laquelle les ventes l'emportent sur  les achats. 
		\item Indiquer alors le rang de la semaine.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%   fin Antilles juin 2001
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Asie juin 2001
\hypertarget{Asie}{}

\label{Asie}
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{juin  2001}} 
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Asie juin 2001~\decofourright}}\normalsize{}	
\end{center}
	
\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Dans une kermesse, un jeu est organisé de la façon suivante : le joueur mise $10$~francs puis il réalise un tirage en deux étapes :

\smallskip

1\up{re} étape : Le joueur tire au hasard un billet dans un panier.
Dans ce panier, on a placé 10 billets marqués \og U$_{1}$ \fg{} et 2 billets marqués \og U$_{2}$ \fg.

2\up{e} étape :

--- Si le joueur a obtenu un billet marqué \og U$_{1}$ \fg, il tire alors
un jeton dans une urne U$_{1}$ où sont placés 10 jetons marqués \og Perdant \fg{} et 2 jetons marqués \og Gagnant \fg.

--- Si le joueur a obtenu un billet marqué \og U$_{2}$ \fg, il tire alors un jeton dans une urne U$_{2}$ où sont placés 7 jetons marqués \og Perdant \fg{} et 5 jetons marqués \og Gagnant \fg.

\medskip


On note $A$ l'évènement :  Le joueur a tiré un billet \og U$_{1}$  \fg.

On note $B$ l'évènement :  Le joueur a tiré un billet \og U$_{2}$  \fg.

On note $G$ l'évènement :  Le joueur a tiré un jeton marqué \og Gagnant \fg. 

\emph{Tous les résultats seront donnés sous forme de fractions 
irréductibles}.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Construire un arbre pondéré qui décrit ce jeu.
\item Calculer la probabilité des évènements
$(G \cap A)$ et $(G \cap B)$.
\item Montrer que la probabilité de l'évènement $G$ est égale à  $\dfrac{5}{24}$.
\item Quelle est la probabilité conditionnelle de l'évènement $A$ par  rapport à l'évènement $G$ ?

Les évènements $A$ et $G$ sont-ils indépendants en probabilité ?

\item Avec un jeton gagnant de l'urne U$_{1}$, le joueur reçoit 25 F ; avec un jeton gagnant de l'urne U$_{2}$, il reçoit 50 F ; sinon rien. On notera $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur à l'issue du jeu.
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les valeurs prises par $X$ ?
		\item Établir la loi de probabilité de $X$.
		\item Déterminer son espérance mathématique.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de 
spécialité}

\medskip

Le tableau suivant représente l'évolution du nombre d'éléphants dans une
réserve, à partir de sa création en 1988 :

\begin{center}
\begin{tabular}{|c||*{6}{c |}}\hline
Année						&1988	&1990	&1992	&1994	&1996	&1998\\ \hline \hline
Rang de l'année : ~$x_{i}$	&0		&2		&4		&6		&8		&10\\ \hline
Effectif :~ $y_{i}$ 		&144	&164	&210	&238	&266	&316\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

Le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ associé à cette série statistique est représenté en annexe.

Ce dernier document sera complété au fur et à mesure et rendu avec la
copie.

L'objet de l'exercice est de faire des prévisions sur l'effectif de la 
population d'éléphants de cette réserve pour l'année 2000.

\textsl{Ces prévisions  seront arrondies à l'entier le plus proche.}

\textsl{Aucun détail des calculs statistiques, à effectuer à la calculatrice, n'est demandé dans cet exercice.
Les coefficients des équations de droites seront arrondis au centième}.

\psset{yunit=0.3mm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(12,260)
\multido{\n=0.0+0.5}{25}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,260)}
\multido{\n=0+10}{27}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(12,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=100,Dy=50](0,0)(0,0)(12,260)
\rput(6.5,270){\textbf{Nombre d'éléphants dans la réserve}}
\rput{90}(-1,130){effectif}
\rput(7,-30){rang de l'année}
\psset{linecolor=gray}
\qdisk(0,44){2.5pt} \qdisk(2,64){2.5pt} \qdisk(4,110){2.5pt} 
\qdisk(6,138){2.5pt} \qdisk(8,166){2.5pt} \qdisk(10,216){2.5pt} 
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace*{0.7cm}
\begin{center}\textbf{Partie A} \end{center}

 Un premier ajustement affine du nuage de points est réalisé avec la droite $\Delta_{1} = (\text{M}_{0}\text{M}_{10})$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Tracer sur le graphique de l'annexe cette droite $\Delta_{1}$.
\item Au moyen d'une lecture graphique, déduire une prévision $p_{1}$ de l'effectif pour l'année 2000.
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie B} \end{center}

\medskip
    
On désigne par ($\Delta_{2}$) la droite de régression de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Donner une équation de ($\Delta_{2}$) et tracer cette droite sur le graphique joint en annexe.
\item Calculer la nouvelle prévision $p_{2}$ pour l'effectif en l'an 2000.
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie C} \end{center}

\medskip
    
L'effectif pour l'année 1999 est maintenant connu : 336 éléphants.

\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item Placer le nouveau point sur le graphique.
\item On intègre cette valeur dans la série statistique initiale.
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'équation de la nouvelle droite ($\Delta_{3}$) de régression de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés.
		\item Calculer la prévision correspondante $p_{3}$ pour l'effectif en l'an 2000.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie D} \end{center}

\medskip
    
On ne garde dans le tableau que les valeurs des années 1994 à 1999.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Donner l'équation de la droite ($\Delta_{4}$) de régression de $y$ en $x$.
\item Calculer la nouvelle prévision $p_{4}$ pour l'an 2000.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

L'espace est muni d'un repère \Oijk{} orthonormal.

Représenter ce repère sur votre copie en prenant pour unité sur chaque
axe 2~cm.

La qualité de cette représentation sera prise en compte. Le candidat pourra s'aider du graphique donné en annexe.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item On donne le plan (P) d'équation $2 x + 2y + 3 z = 6$.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer les coordonnées des points A, B, C intersections du plan (P) avec les axes du repère \Oijk.
		\item Tracer les droites d'intersection du plan (P) avec les plans de coordonnées du repère \Oijk.
	\end{enumerate}
\item On considère le plan (Q) d'équation 	$x + 2y = 2$.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer les coordonnées des points d'intersections du plan (Q) avec les axes du repère \Oijk, quand ceux-ci existent.
		\item Tracer les droites d'intersection du plan (Q) avec les plans de coordonnées du repère \Oijk.
		\item Tracer l'intersection des deux plans (P) et (Q).
	\end{enumerate}
\item On donne les points D(1~;~0~;~0), E$(0~;~- 4~;~0)$ et F(0~;~0~;~4).
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer une équation du plan (R) qui contient les points D, E, F.
		\item Calculer les coordonnées du point G, intersection des trois plans (P), (Q) et (R).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace*{0.5cm}
\psset{yunit=1cm}
\begin{center}
\rput(5.2,7){Annexe}
\begin{pspicture}(10.3,6.5)
\psframe(0,0)(10.3,6.5)
\psline(4.65,0)(4.65,6.5) % axe 8
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(5.1,0)(5.1,6.5)%axe 3
\psline(5.7,0)(5.7,6.5) % axe 9
\psline(5.8,6.5)(3.55,0) % ligne 7
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(7.8,6.5)(2.3,0) % axe 1
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0,4.05)(10.3,2.4) % axe 2
\psline(0,0.9)(10.3,4.95) % axe 4
\psline(0,1.6)(10.3,3.6) % axe 5
\psline(2.5,6.5)(10.3,0.35) % axe 6
\rput(4.95,3.45){O} \rput(6.9,2.7){B} 
\rput(4.5,2.3){A} \rput(4.95,4.8){C} 
\end{pspicture}
\end{center}
    
\vspace{0,5cm}
    
\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$	par :

\[f(x) = x + 3 + \text{e}^{(- x + 2)}.\]

On notera $(\mathcal{C}_{f})$ la courbe représentation de $f$ dans un repère \Oij{} orthonormal.

On prendra pour unité graphique 1~cm sur chaque axe.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$.
\item Montrer l'existence d'une droite (D) asymptote à la courbe $(\mathcal{C}_{f})$.
Donner une équation de (D).
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur $[0~;~+\infty[$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Tracer la droite (D) et la courbe $(\mathcal{C}_{f})$ dans le repère défini plus haut.
		\item En utilisant le graphique, indiquer le nombre de solutions de l'équation E : ~$f(x) = 8$.

Donner une valeur approchée de ces solutions avec la précision permise 
par le graphique.
	\end{enumerate}
\item Justifier que sur l'intervalle [2~;~6], l'équation E admet une 
solution unique $\alpha$, dont on donnera un encadrement d'amplitude $10^{- 2}$.
\item On appelle M la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle
[1~;~9].

Calculer M, en donner une valeur exacte, puis une valeur approchée à
$10^{- 2}$ près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Une entreprise industrielle produit chaque jour $x$ centaines d'objets 
 ($1~<~ x~<~20$).
 
Le coût de fabrication de $x$ centaines d'objets est donné par $f(x)$ 
exprimé en milliers de francs.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer le coût de fabrication de 600 objets, \np{1000}~objets, \np{1200}~objets, arrondi au franc.

Quel est, dans chacun de ces cas, le coût arrondi au franc de 
fabrication d'un objet ?
\item Quelle quantité d'objets doit-on fabriquer pour que le coût
de fabrication soit le plus proche possible de \np{8000}~F ?
\item Montrer que le coût de fabrication est minimal lorsque
l'entreprise fabrique une quantité $q_{0}$ d'objets. Donner la valeur de 
$q_{0}$.

Quel est alors le coût, en francs, de fabrication d'un objet ?
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%   fin Asie juin 2001
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%   Centres étrangers juin 2001
\hypertarget{Centresetrangers}{}

\label{Centresetrangers}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{juin  2001}}
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Centres étrangers juin 2001~\decofourright}}\normalsize{}	
\end{center}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le tableau ci-dessous donne le taux d'équipement en lave-vaisselle des ménages français, de 1975 à 1993.
 
\medskip 

\[\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|m{3cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\text{Année} 					&1975 	&1980 	&1985 	&1990 	&1993 \\ \hline
$x_i$ : rang de l'année 		&0 		&5 		&10 	&15 	&18 \\ \hline
$y_i$ : taux en \% 				&8,4 	&16,5 	&23,1 	&30,0 	&33,6\\ \hline
\multicolumn{6}{r}{\footnotesize(Source : INSEE)}
\end{tabularx}\]
 
Par exemple : 8,4\,\% des ménages français ont un lave-vaisselle en 1975.

\emph{Dans tout l'exercice, le détail des calculs n'est pas demandé. 
Les résultats pourront être obtenus à l'aide de la calculatrice; ils seront arrondis à $10^{-3}$ près}.

Le plan est rapporté à un repère orthogonal (unité graphique  : 0,5~cm
 par année sur l'axe des abscisses et 1~cm pour $3\,\%$ sur l'axe des  ordonnées.

\medskip
  
\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Représenter le nuage de points $\left(x_i~;~y_i\right)$. On utilisera une feuille de papier millimétré.
		\item Calculer les coordonnées du point moyen G de cette série statistique et le placer sur le dessin précédent.
\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer le coefficient de corrélation linéaire de la série $\left(x_i~;~y_i\right)$.

Un ajustement affine est-il justifié ?
		\item Donner une équation de la droite de régression (D) de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés.

Représenter (D) sur le dessin précédent.
	\end{enumerate}
\item On suppose dans cette question que le modèle
 obtenu à la question \textbf{2.} reste valable pour les années suivantes.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer le taux d'équipement en lave-vaisselle que l'on peut prévoir en 2002.
		\item En quelle année ce taux dépasserait-il 50\,\% ? Déterminer l'année par le calcul.
		
Expliquer comment on peut retrouver graphiquement ce résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Une enquête est faite auprès des élèves d'un lycée. Elle révèle que 
$30\,\%$ d'entre eux sont allés le mois précédent au moins quatre fois au 
cinéma. 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item D'après cette enquête, quelle est la
 probabilité pour qu'un lycéen, pris au hasard, y soit allé au plus trois fois ?
\item On interroge trois élèves choisis au hasard et
 de manière indépendante.
 
Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre d'élèves qui, parmi ces trois élèves, sont allés au moins quatre fois au cinéma le mois  précédent.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la loi de probabilité de $X$. On pourra utiliser un arbre pondéré.
		\item Calculer l'espérance mathématique de $X$.
	\end{enumerate}
\item Soit $F$ la fonction de répartition de 
$X$. Représenter graphiquement $F$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal (unités graphiques : 2 cm par unité en abscisse et 10 cm pour une unité en ordonnée).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormal $\left(\text{A}~ ; 
\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$.

ABCDEFGH est un pavé défini par $\vect{\text{AB}} = 
2\vect{\imath}~;~\vect{\text{AD}} = 
6\vect{\jmath}~;~$ et $\vect{\text{AE}} = 4 \vect{k}$. 

I, J et K sont les milieux respectifs de [EF], [FB] et [AD].

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Placer les points I, J et K sur la figure
 donnée en annexe. Donner les coordonnées des points B, D et E. Puis vérifier par le calcul que I, J et K ont pour coordonnées respectives (1~;~0~;~4),  (2~;~0~;~2) et (0~;~3~;~0).
\item Soit (P$_1$) le plan d'équation $y = 0$ et 
(P$_2$) le plan d'équation $2x + z = 6$.
	\begin{enumerate} 
		\item Donner un vecteur $\vect{n}_1$, normal au plan (P$_1$) et un vecteur $\vect{n}_2$ normal au plan (P$_2$).
		\item En déduire que les plans (P$_1$) et (P$_2$) sont sécants.
		\item Soit ($\Delta$) l'intersection des deux plans (P$_1$) et 
(P$_2$).

Montrer que ($\Delta$) est la droite (IJ).
	\end{enumerate}
\item Soit $\vect{n}$(2~;~2~;~1).
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que $\vect{n}$ est un vecteur orthogonal aux
 vecteurs $\vect{\text{IJ}}$ et $\vect{\text{IK}}$
		\item En déduire que $\vect{n}$ est un vecteur normal au 
plan (IJK).
		\item Montrer alors que le plan (IJK) a pour équation $2 x + 2y + z = 6$.
	\end{enumerate}
\item On considère le plan (P) d'équation $5 x +y = 
5$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées des points R et T, intersections du plan 
(P) avec les axes (A$x$) et (A$y$) respectivement.
		\item Vérifier que le point I appartient au plan (P).
		\item Sur la figure précédente, placer les points R et T, puis dessiner la trace du plan (P) sur le plan ($x$A$y$).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=8mm}
\begin{center}
\begin {pspicture}(9,7)
\psgrid[subgriddiv=2,gridlabelcolor=white,gridcolor=orange,subgridcolor=orange]
\psline[linewidth=1.pt](2,2)(9,2)
\psline[linewidth=1.pt](1,1)(7,1)(7,5)(8,6)(2,6)(1,5)(1,1)(2,2)(2,6)
\psline[linewidth=1.pt](1,5)(7,5) 
\psline[linewidth=1.pt](7,1)(8,2)(8,6)
\psline[linewidth=1pt](1,1)(0,0)
\psline[linewidth=1pt](2,6)(2,7)
\psline[linewidth=1pt](8,2)(9,2)
\uput[dr](2,2){A} \uput[l](1,1){B} \uput[dr](7,1){C} \uput[ur](8,2){D} 
\uput[ul](2,6){E} \uput[dl](1,5){F} \uput[dr](7,5){G} \uput[ur](8,6){H} 
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(2,2)(3,2)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(2,2)(2,3)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(2,2)(1.5,1.5)
\rput(2.4,2.4){$\vect{\jmath}$}\rput(1.2,1.7){$\vect{\imath}$}
\rput(1.7,2.5){$\vect{k}$}\rput(0.5,0.2){$x$} \rput(8.6,1.7){$y$} \rput(2.2,6.8){$z$}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}
 
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :

\[f(x) = (x + 1)^2 \text{e}^{- x}.\]

On désigne par ($\mathcal{C}$) la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij.

\medskip

\textbf{Partie A $\star~$ Étude d'une fonction}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer la limite de $f$ en - $\infty$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que, pour tout réel $x,~ f(x) =
 x^2\text{e}^{-x} + 2x \text{e}^{-x}  + \text{e}^{-x}$.
		\item En déduire la limite de $f$ en $+ \infty$. (On rappelle que
 $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x^{\alpha}\text{e}^{- x} = 0$,
pour tout réel $\alpha$.)

Quelle interprétation graphique peut-on en faire ?
	\end{enumerate}
\item Soit	la fonction dérivée de $f$. Montrer que,
 pour tout réel $x,$
 \[f'(x) = \left(1 - x^2\right)\text{e}^{- x}.\]
\item Donner une équation de la tangente (T) à la courbe ($\mathcal{C}$) au point d'abscisse 0. 
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\R$. Résumer cette étude dans un tableau.
\item Montrer que l'équation $f(x) = 1$ admet une unique solution $x_0$ dans l'intervalle [1~;~3]. Donner un encadrement décimal de $x_0$, d'amplitude $10^{- 2}$.
\item Construire dans le repère \Oij, d'unité graphique 2~cm la courbe ($\mathcal{C}$), la tangente (T) à la courbe ($\mathcal{C}$) au point d'abscisse 0, ainsi que les tangentes horizontales à la courbe ($\mathcal{C}$).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B $\star~$ Étude de la fonction inverse}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Montrer que la fonction $f$ est strictement
 positive sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
\item On considère la fonction $g$ définie sur
 $[0~ ;~ + ~\infty[$ par $g(x) = \dfrac{1}{f(x)}.$
 
Calculer $g(0),~ g(1)$ et $g(x_0)$, où $x_0$ désigne le nombre défini à la question \textbf{6.} de la \textbf{partie A}.
\item Déterminer la limite de $g$ en $+ \infty$.
\item Dresser le tableau des variations de la fonction $g$ sur $[0~;~+ \infty[$ en donnant les justifications nécessaires.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C} $\star~$ \textbf{Calcul d'aire}

\medskip

On considère la fonction $F$ définie pour tout $x$ de $\R$ par :

\[F(x) = \left(- x^2 - 4x - 5\right)\text{e}^{- x}.\]

\begin{enumerate} 
\item Montrer que la fonction $F$ est une primitive
 de la fonction $f$ sur $\R$.
\item On considère l'aire $\mathcal{A}$, exprimée en cm$^2$ du domaine plan limité par la courbe ($\mathcal{C}$), l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 2$.
 
Donner la valeur exacte de $\mathcal{A}$, puis une valeur approchée par défaut de $\mathcal{A}$ à $10^{- 2}$ près.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%  fin Centres étrangers juin 2001
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Liban juin 2001
\hypertarget{Liban}{}

\label{Liban}
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{juin  2001}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Liban juin 2001~\decofourright}}\normalsize{}	
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Sur le document ci-dessous, le graphique est celui de la courbe $\Gamma$
 représentative d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[1~;~+ \infty$[.
  
\begin{center}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(10,4)
\psgrid[gridlabelcolor=white,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt](0,0)(0,-1)(10,4)
\psline[linewidth=1pt](0,0)(10,0)
\psline[linewidth=1pt](0,-1)(0,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline(0,2.728)(10,2.728)
\psline(1,4)(6,-1)
\uput[dl](0,0){O} \uput[ur](1,0){I} \uput[ul](2,2.728){A} \uput[r](3,2){B}
\uput[u](9,2.728){$y = ~$ e} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} 
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \uput[u](6,2.728){T}
\uput[ur](2,3){T$'$} \uput[u](5.5,0.4){$\Gamma$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{10}{x 1 sub 2.728  3 x sub exp   mul} 
\psdots[dotscale=0.9](2,2.71828)(3,2)  
\end{pspicture}
\end{center}

La courbe $\Gamma$ passe par les points I(1~;~0), A(2~;~e) et B(3~;~2) où : e = exp (1). La droite T est tangente à $\Gamma$ au point A et elle est parallèle à l'axe des abscisses.

La droite T$'$ est tangente à $\Gamma$ en B et elle passe par le point de
 coordonnées (5~;~0).
 
La fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle $[2~;~+ \infty[$.

L'axe des abscisses est asymptote à la courbe $\Gamma$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item À l'aide d'une lecture graphique :
	\begin{enumerate} 
		\item Donner les valeurs de $f(1),\: f(2),\: f(3)$, puis de $f'(2)$ et $f'(3)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.
		\item Déterminer une équation de la droite T$'$.
		\item Donner la limite de $f$ en +$~\infty$.
		\item Dresser le tableau de variations de $f$~; donner le signe de $f$ sur l'intervalle $[1~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item La fonction $g$ est définie, pour tout $x$ de l'intervalle $[1~;~+ 
 \infty[$, par 
 
 $g(x) = \ln (f(x)$.
	\begin{enumerate} 
		\item Donner les valeurs de $g(2),~ g(3)$, puis de $g'(2)$ et $g'(3)$, où $g'$ désigne la fonction dérivée de $g$.
		\item Déterminer les limites de $g$ en 1 et en +~$  \infty$.
		\item Dresser en le justifiant le tableau de variations de $g$ sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$.
		\item En utilisant la courbe représentative $\Gamma$ de la fonction $f$, donner une valeur approchée des solutions de l'équation $g(x) = 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Un jeu de société est composé d'un grand nombre de fiches qui proposent
 chacune trois questions indépendantes : la première porte sur la géographie, la seconde sur l'histoire et la troisième sur les arts. À tour de rôle, chaque joueur tire une fiche au hasard et doit répondre aux trois questions dans l'ordre où elles sont proposées.
 
Le meneur de jeu remplit un bulletin réponse :

\begin{center}
\begin{tabular}{|*{3}{c|}}\hline
\quad G \quad  &\quad  H \quad &\quad  A\quad \\ \hline
 & & \\ \hline
\end{tabular}
\end{center} 
dans lequel, pour chaque question, il reporte F si la réponse est fausse, J si elle est juste. Ainsi, si le joueur a bien répondu aux questions sur
 la géographie et sur les arts, mais n'a pas trouvé la bonne réponse à la
 question sur l'histoire, le bulletin réponse à cette fiche sera :
 
\begin{center}
\begin{tabular}{|*{3}{c|}}\hline
\quad G \quad  &\quad  H \quad &\quad  A \quad \\ \hline
\quad J \quad &\quad F \quad &\quad J \quad\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

Le résultat sera noté : JFJ.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Donner la liste des huits résultats différents que l'on peut obtenir pour une fiche.
 		\item À chaque bulletin réponse est attribuée une note :  une réponse juste, J, fait gagner 5 points ; une réponse fausse ou l'absence de réponse, F, fait perdre 2 points.
 
Donner la liste des résultats qui conduisent à un total de 8 points.
	\end{enumerate}
\item La probabilité que Marc donne la réponse juste à une question, qu'elle soit sur la géographie, sur l'histoire ou sur les arts, est de 0,6.
 
Marc tire une fiche et répond aux trois questions.
	\begin{enumerate} 
		\item Quelle est la probabilité que Marc obtienne le bulletin réponse cité en exemple ci-dessus ?
		\item Montrer que la probabilité que son bulletin réponse conduise à une note de 8 points est 0,432.
	\end{enumerate}
\item On appelle $X$ la variable aléatoire égale à la note obtenue par Marc pour un bulletin réponse.
	\begin{enumerate} 
		\item Préciser toutes les valeurs (positives ou non) prises par $X$.
		\item Établir la loi de probabilité de $X$.
		\item Calculer l'espérance mathématique de $X$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

Maud vise une cible avec une fléchette. La probabilité qu'elle atteigne la cible est $\dfrac{2}{3}$.
 
Les résultats des lancers successifs sont supposés indépendants.

\begin{enumerate} 
\item Si Maud effectue cinq lancers successifs, quelle est la probabilité
 qu'elle atteigne exactement deux fois la cible ?
 \item Maud et Paul décident de jouer des billes avec la règle du jeu 
suivante :

- Maud mise des billes puis lance une fléchette.

- Avant le premier lancer, Maud mise une bille.

- À chaque lancer :

$\bullet~~$si elle rate la cible, elle perd sa mise que Paul récupère ; le jeu continue ; elle triple sa mise avant de lancer une nouvelle fléchette ;
 
$\bullet~~$si elle atteint la cible, elle récupère sa mise et Paul lui donne autant de billes que ce qu'elle vient de miser; le jeu s'arrête.
 
On suppose dans cette question que le jeu n'est pas limité par le nombre de billes.
	\begin{enumerate} 
		\item Soit $a_n$ la mise de Maud avant le $(n + 1)$-ième lancer. Ainsi $a_0 = 1,\: a_1 = 3$.
 
Donner les valeurs de $a_2$ et $a_3$.

Quelle est la nature de la suite $\left(a_{n}\right)$ ?

En déduire la valeur de $a_n$ en fonction de $n$.
		\item Maud a raté la cible aux $n$ premiers lancers : elle a donc perdu les mises $a_0,~a_1,\:\cdots,\: a_{n-1}$.
 
Montrer qu'elle a perdu $\dfrac{1}{2} \left(3^n - 1\right)$ billes depuis
 le début du jeu.
	\end{enumerate} 
\item Lorsque Maud et Paul commencent le jeu défini dans le 2., ils ont chacun $160$~billes.
	\begin{enumerate} 
		\item Si Maud perd à toutes les parties successives, quel est le nombre $k$ maximum de lancers qu'elle peut effectuer ?
		\item Quelle est la probabilité que cette situation se réalise et que Maud atteigne la cible au $k$-ième lancer ?
	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}
 
\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Partie A}

\medskip

\emph{Le document ci-après est à compléter et à rendre avec la copie}.

La fonction $h$ est définie sur l'intervalle [0~;~8] par : 

\[h(x) = x^2 + \dfrac{16x}{2x + 1}  - 8 \ln(2x + 1).\]

\begin{enumerate} 
\item Montrer que : $h'(x) = \dfrac{2x(2x + 5)(2x - 3)}{(2x + 1)^2},~ 
h'$ désignant la fonction dérivée de $h$ sur l'intervalle [0~;~8].
\item Étudier les variations de $h$ sur l'intervalle [0~;~8].
\item Montrer que l'équation $h(x) = 0$ a une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $\left[\dfrac{3}{2}~;~8\right]$.

Déterminer une valeur approchée de $\alpha$ arrondie à 0,01 près.
\item Déduire des résultats précédents le signe de $h$ sur l'intervalle 
[0~;~8].
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

La fonction $M$ est définie sur l'intervalle [0~;~8] par :

\[M(x) = x + \dfrac{8}{2x + 1}.\]

La fonction $C_{\text{T}}$ est la primitive de la fonction $M$ sur 
l'intervalle [0~;~8]  qui s'annule pour $x = 0$. Calculer 
$C_{\text{T}}(x)$.

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Une entreprise produit une quantité variable $x$ d'appareils ($x$ est exprimé en milliers d'appareils) dont le coût marginal $M$ est la fonction définie dans la \textbf{partie B.}. Dans la suite du problème, tous les coûts seront exprimés en milliers de francs.

On modélise le coût total de production de $x$ milliers d'appareils, pour $x$ appartenant à $\left[\frac{1}{4}~ ;~8\right]$ par la fonction $C_{\text{T}}$ définie dans la \textbf{partie B}.
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier que le coût moyen, par millier d'appareils, est défini sur  l'intervalle $\left[\frac{1}{4}~;~8\right]$ par :

\[C_{m}(x) = x + 4 \dfrac{\ln (2x + 1)}{x}.\]
 
		\item Calculer $C'_{m}(x)$, où $C'$ désigne la fonction dérivée de $C$.
		\item Montrer que, pour tout $x$ de l'intervalle $\left[\frac{1}{4}~ 
;~8\right],~C'_{m}(x) = \dfrac{h(x)}{2x^2}$ ,~où $h$ est la fonction étudiée dans la \textbf{partie A.}.
		\item Étudier les variations de la fonction $C_{m}$, et dresser son tableau de variations.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Pour quelle production, arrondie à la dizaine près, le coût moyen, par millier d'appareils, est-il minimum ?
		\item Vérifier que, pour cette valeur approchée de la production, le coût moyen et le coût marginal ont la même valeur, à $5$~francs près.
	\end{enumerate}
\item Le graphique donné ci-après est celui de la courbe $\mathcal{C}$
représentative de la fonction $M$ dans le repère \Oij,
où 2~cm représentent \np{1000} appareils sur l'axe des abscisses et $2$~cm
représentent \np{1000}~F sur l'axe des ordonnées.

	\begin{enumerate} 
		\item On note $\mathcal{C}'$ la courbe représentative de la fonction 
$C_{m}$ dans le repère \Oij{} précédent. Tracer la courbe $\mathcal{C}'$ sur le document donné ci-après.
		\item  Par une lecture graphique que l'on expliquera, retrouver le résultat de la question \textbf{2. b.}.

\medskip
 
\begin{center}
\psset{unit=1.2cm}\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(8,9)
\psgrid[gridlabelcolor=white,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt](0,0)(8,9)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(0,0)(8,9)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(1,1)
\psline[linewidth=1.15pt]{<->}(0.5,3.5)(2.5,3.5)
\uput[dl](0,0){O} 
\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{\imath}$}
\uput[l](0.,0.5){$\overrightarrow{\jmath}$}
\uput[d](7,7.5){\blue $\mathcal{C}$}
\uput[d](6,0){Milliers d'appareils}
\uput[l]{90}(0,7){Milliers de francs}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.05}{8}{8 2 x mul 1 add div x add}
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate}     
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%   fin Liban 2001
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Métropole juin 2001
\hypertarget{Metropole}{}

\label{Metropole}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin  2001}} 
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Métropole juin 2001~\decofourright}}\normalsize{}	
\end{center}
	
\vspace{0,5cm}	

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Une université propose aux étudiants trois orientations et trois seulement : une filière A, une filière B et une filière C. Chaque étudiant de l'université est inscrit dans une des trois filières et une seule.

Les effectifs de la filière A sont le double de ceux de la filière B.

Les effectifs de la filière B sont le triple de ceux de la filière C.

On sait de plus que :

\setlength\parindent{9mm}
$20\,\%$ des étudiants de la filière A sont des filles ;

$30\,\%$ des étudiants de la filière B sont des filles ;

$40\,\%$ des étudiants de la filière C sont des filles.
\setlength\parindent{0mm}

On choisit au hasard un étudiant de cette université.

On note $A$ l'évènement \og L'étudiant est inscrit dans la filière A \fg. De même pour $B$ et $C$.

On note $F$ l'évènement \og L'étudiant est une fille \fg{} ;

$G$ l'évènement : \og L'étudiant est un garçon \fg.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer les probabilités des évènements $A$, $B$, $C$ ; on vérifiera que $p(B) = 0,3$.
\item Calculer la probabilité que l'étudiant soit inscrit dans la filière A et soit une fille.
 
Montrer que $p(F) = 0,25$.
\item Calculer la probabilité que l'étudiant soit inscrit dans la filière  A sachant que c'est une fille.
\item L'étudiant, choisi au hasard, n'est pas inscrit dans la filière A.  Calculer alors la probabilité que ce soit une fille.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le prix de vente des terrains à bâtir dans la même commune rurale est
 donné par le tableau suivant :
 
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.4cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 							&1980 	&1985 	&1987 	&1990 	&1995 	&1997 	&2000  \\ \hline
Rang de l'année $x_i$ 			&0		&5		&	7	&10		&15		&17 	&20\\ \hline
Prix du m$^2$ en francs $y_i$	&58,8	&	60,9&62,1	&67,5	&71,7	&73 	&73,8\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate} 
\item Quelle est, en pourcentage, l'augmentation du prix du m$^2$ entre 1980 et 2000 ?
\item Représenter le nuage de points $M_i(x_i~;~y_i)$ dans un repère orthogonal
 où 5 cm représentent 10 ans en abscisse, 5 cm représentent 10 francs 
en ordonnée.
\item Déterminer le point moyen G du nuage et le placer sur le graphique.
\item Donner le coefficient de corrélation linéaire de la série $\left(x_i~;~y_i\right)$ à 0,01 près.
 
On considère que ce coefficient justifie un ajustement affine par la
 méthode des moindres carrés. Écrire une équation de la droite
 d'ajustement affine de $y$ en $x$, notée (D) (les coefficients sont 
arrondis à 0,01).

Tracer (D).
\item Estimer à 1 millier de francs près le prix d'un terrain de \np{1500}~m$^2$ en 2003. 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Un club de sport propose deux types d'abonnement non permutables.

\emph{Formule} A : une cotisation annuelle de 500 F à laquelle s'ajoute
 la première année seulement un droit d'entrée de \np{10000}~F.
 
\emph{Formule} B : une cotisation annuelle initiale de \np{1000}~F qui augmente de $10\,\%$ par an. Dès la seconde année, pour fidéliser la clientèle, on effectue une réduction de 50 F sur la cotisation annuelle. Si $C_n$, est le montant, exprimé en francs, de la cotisation annuelle la $n$-ième année, on a $C_1 = \np{1000}$, et pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1, on a $C_{n+1} = 1,1C_n - 50$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer la somme $T_n$ versée au club de sport par membre pendant $n$ années avec la formule A.
\item Soit $(D_n)$ la suite définie pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1 par  
$D_n = C_n + \alpha$ où $\alpha$ est un réel.
 
Déterminer le réel $\alpha$ pour que la suite $(D_n)$ soit une suite géométrique de raison $1,1$ et préciser le terme initial de la suite.
\item On suppose dans cette question que $\alpha = - 500$.
	\begin{enumerate} 
		\item Exprimer $D_n$ puis $C_n$ en fonction de $n$.
		\item Soit $S_n$ la somme versée au club par un membre pendant $n$ années avec la formule B.

Montrer que $S_n = \np{5000}\left[(1,1)^n - 1\right] + 500 n$.
		\item Quel nombre minimum d'années un membre doit-il cotiser pour
que la formule A soit plus avantageuse que la formule B ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

On donne les fonctions $f$ et $g$, définies sur $[1~;~+ \infty[$  par : 

\[f(x) = 1,1x + \ln x - \ln (x + 1),\quad g(x) = 1,1x + \dfrac{1}{x}.\]

On désigne par ($\mathcal{C}$) et ($\mathcal{C}'$) leurs courbes représentatives respectives dans un repère orthonormal d'unité graphique 2~cm.
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Étudier les variations de $f$ sur $[1~;~+~\infty[$.
    
Trouver la limite en +~ $\infty$ de $\ln \left(\dfrac{x}{x + 1}\right).$

En déduire la limite de $f$ en $+ \infty$.
\item Montrer que la droite (D) d'équation $y = 1,1x$ est une asymptote
 de la courbe ($\mathcal{C}$). Étudier la position de ($\mathcal{C}$) par
 rapport à (D).
\item Tracer ($\mathcal{C}$) et (D).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Étudier les variations de $g$ sur $[1~;~
+ \infty$[ et la limite de $g$ en $+\infty$.
 \item Vérifier que la droite (D) est une asymptote
 de la courbe ($\mathcal{C}'$).
 
Quelle est la position de ($\mathcal{C}'$) par rapport à (D) ?
\item Tracer ($\mathcal{C}'$) dans le même repère que 
($\mathcal{C}$) et (D).
\item On pose $H(x) = (x + 1) \ln (x+ 1) -x \ln x$,
pour tout $x$ de $[1 ~;~ +~\infty[$.

Calculer $H'(x)$~ ; en déduire une primitive sur $[1 ~;~ +~\infty[$ de la
 fonction $i~:~x \mapsto g(x) - f(x)$.
 \item Calculer l'intégrale $\displaystyle\int_1^5 \left[g(x) - 
f(x)\right]\:\text{d}x$.

En donner une interprétation graphique.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Les fonctions $f$ et $g$ données plus haut modélisent respectivement la quantité d'objets produits par une entreprise et la quantité d'objets commandés à cette entreprise.
 
Plus précisément, si $t$ est la date exprimée en semaines, $f(t)$ est la quantité d'objets produits à la date $t$ en milliers et $g(t)$ la quantité d'objets commandés à cette même date en milliers.

\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item Lorsque l'on a $f(t) > g(t)$, on dit que \og 
la demande est satisfaite à la date $t$ \fg.

Démontrer que la demande n'est jamais satisfaite.
\item On admet que le nombre total d'objets, en
 milliers, dont la demande n'est pas satisfaite entre les dates $n$ et $n'$ avec $n' > n$ est donné par
$\displaystyle\int_n^{n'} \left[g(t) - f(t)\right]\:\text{d}t$.
 
Donner, à un objet près, le nombre total d'objets dont la demande n'est 
pas satisfaite entre les dates 1 et 5.
\item On considère que \og le niveau de fabrication est suffisant \fg{} lorsque moins de 20 demandes d'objets ne sont pas satisfaites, c'est-à-dire lorsque l'on a : $g(t) - f(t) < 0,02$.

En admettant que $g - f$ est une fonction strictement décroissante sur
 $[1~;~+\infty[$, à partir de quelle date le niveau de fabrication est-il
 suffisant ?
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%  fin Métropole 2001
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Polynésie juin 2001
\hypertarget{Polynesie}{}

\label{Polynesie}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin  2001}}
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Polynésie juin 2001~\decofourright}}\normalsize{}	
\end{center}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Toutes les réponses aux questions posées devront être soigneusement
 justifiées}.
 
La courbe ($\mathcal{C}$) donnée sur l'annexe est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie et dérivable sur [- 3 ; 3] dans un repère orthogonal \Oij. La courbe ($\mathcal{C}$) vérifie les quatre conditions suivantes :

\setlength\parindent{6mm} 
$\bullet~$ elle passe par l'origine O du repère et par le point A(- 3 ; 9) ;

$\bullet~$ elle admet au point B d'abscisse 1 une tangente horizontale et elle  admet la droite (OA) pour tangente en 0.
\setlength\parindent{0mm} 

\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item Quel est le coefficient directeur d la droite (OA) ?
\item L'un des trois schémas numérotés 1, 2 et 3 donnés en annexe est la représentation graphique de la fonction dérivée  $f'$ de la fonction $f$. Indiquez le numéro de ce schéma en précisant les raisons de votre choix.
\item On suppose que $f$ est définie sur $[- 3~;~3]$
 par :

\[f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d~ \text{où}\: a,\: b,\: c,\: d\: \text{ sont des 
réels.}\]

	\begin{enumerate} 
		\item Montrer en utilisant les quatre conditions de départ que :
		
\[a = \dfrac{1}{3},\: b = 1,\: c = - 3,\: d = 0.\]

		\item On désigne par $f' $la fonction dérivée de la fonction $f$.
Factoriser $f'(x)$ et en déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur $[- 3~;~3]$.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ a une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle [1~;~2] et déterminer l'arrondi à une décimale de $\alpha$.
 
\end{enumerate} 

\vspace{0.5cm}
 
\begin{center}
\psset{yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-3)(4,11)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt](-4,-3)(4,10)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4,-3)(4,10)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[u](0,10.5){\large \textbf{Annexe}}
\psline(-3,9)(1,-3) \psline[linewidth=1.2pt]{<->}(0.3,-1.667)(1.7,-1.667) \uput[dl](0,0){O}
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(0,1)
\uput[d](0.5,0){\footnotesize $\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){\footnotesize $\vect{\jmath}$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{3}{x  dup mul x mul 3 div 
x dup mul add x 3 mul sub }
\uput[d](0,-3){ Courbe ($\mathcal{C}$) de $f$}
\end{pspicture}

\vspace{0.5cm}

\begin{pspicture}(-4,-5)(4,5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4,-5)(4,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){\footnotesize $\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){\footnotesize $\vect{\jmath}$}
  \uput[dl](0,0){O}
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(0,1)
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-3,-1)(-2,-1.2)(-1,-1.68)(-0.5,-2.2)(0,-3)(1,-4)(2,-2.9)(3,2)
\end{pspicture}

Schéma 1

\vspace*{0,4cm}
\begin{pspicture}(-4,-5)(4,5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4,-5)(4,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){\footnotesize $\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){\footnotesize $\vect{\jmath}$}
\uput[dl](0,0){O}
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(0,1)
\pscurve[linewidth=1.5pt,linecolor=blue](-3,-2)(0,-1)(1,0)(3,3)
\end{pspicture}

Schéma 2

\vspace{0,5cm}
\begin{pspicture}(-4,-5)(4,13)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange,subgridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4,-5)(4,13)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){\footnotesize $\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){\footnotesize $\vect{\jmath}$}
\uput[dl](0,0){O}
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(0,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{3}{x  dup mul x 2 mul add 3 sub}
\end{pspicture}

Schéma 3
\end{center}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

Pour tous évènements $A$ et $B$ on note  :

\medskip

\begin{itemize}
\item $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$ ;
\item $P(A)$ la probabilité de l'évènement A ;
\item $P(A/B)$ ou $P_{B}(A)$ la probabilité conditionnelle de l'évènement $A$ sachant que l'évènement $B$ est réalisé.
\end{itemize}

\emph{Les résultats seront donnés sous forme de fraction 
irréductible.}

Un club de tennis comporte $500$ adhérents : $300$ hommes et $200$ femmes. Le
tennis en compétition est pratiqué par $90$ hommes et $40$ femmes. Les autres
adhérents pratiquent ce sport uniquement pour le loisir. On choisit au hasard un adhérent. On note :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $H$ l'évènement : \og L'adhérent est un homme \fg{} ;
\item[$\bullet~$] $F$ l'évènement : \og L'adhérent est une femme \fg{} ;
\item[$\bullet~$] $C$ l'évènement : \og L'adhérent pratique la compétition \fg.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer les probabilités $P(H)$,
$P(F)$ et $P_{F}(C)$.
		\item Décrire l'évènement $C \cap F$ et calculer sa probabilité.
		\item Justifier l'égalité suivante : $P(C) = \dfrac{13}{50}$.
		\item L'adhérent choisi pratique la compétition. Quelle est la probabilité que cet adhérent soit une femme ?
 	\end{enumerate} 
 \item Chaque adhérent doit payer une cotisation annuelle de \np{3000}~F s'il pratique le tennis en compétition et de \np{2500}~F dans le cas contraire. De plus, pour la saison 2000-2001 une réduction exceptionnelle de 10\,\% est consentie aux femmes pratiquant la compétition.
 
On appelle $X$ la variable aléatoire égale au montant de la cotisation payée par l'adhérent choisi pour la saison 2000-2001.
 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la loi de probabilité de $X$.
		\item Calculer l'espérance mathématique de $X$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Monsieur A emprunte \np{40000}~F à un taux de $5\,\%$. Il désire effectuer chaque année, à la date anniversaire de l'obtention du prêt, des remboursements
 constants de \np{6000}~F, sauf éventuellement la dernière année où le 
remboursement pourra être moindre. Ces \np{6000}~F comprennent le 
remboursement des intérêts sur le capital dû et un amortissement du 
capital.

\emph{Le but de l'exercice est de déterminer le nombre p d'années nécessaires pour effectuer le remboursement de ce prêt.}
 
Pour tout entier naturel $n$, on désigne par $C_{n}$ le capital, exprimé en  francs, restant dû après le $n$-ième remboursement. On a donc :  
$C_{0} = \np{40000}$ et $C_{1} = \np{36000}$.

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que $C_{2}= 31\:800$.
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ tel que $0 \leqslant  n < p$, l'égalité suivante est vraie :
		 
\[C_{n+1} =   1,05C_{n} - \np{6000}.\]

	\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$ tel que  $0 \leqslant n < p$ on pose $U_{n} = C_{n} - \alpha$  où $\alpha$ est un  réel.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer $\alpha$ pour que les nombres $U_{n}$ soient les termes successifs d'une suite géométrique de raison $1,05$ dont on déterminera le premier terme.
		\item En déduire, dans ce cas, l'expression de $U_{n}$ en fonction  de $n$, puis celle de $C_{n}$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
\item Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $C_{n} < \np{6000}$.
 
On appelle cet entier $n_{0}$. Calculer alors $C_{n_{0}}$, et le
montant du $(n_{0} + 1$)-ième remboursement. 

Quelle a donc été la durée $p$ du remboursement ? Quel est le montant du remboursement total ?
 (Les résultats seront arrondis au centime.)
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

$\star~$\textbf{Étude de deux fonctions}

\medskip

On considère deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $[0~;~+\infty[$	
par :

\[f(x) = \dfrac{2\text{e}^x + 1}{3}\quad  \text{ et } \quad  g(x) = 
\dfrac{8}{2\text{e}^x - 1}.\]

\smallskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la limite de $f$ en 
+~$\infty$.
		\item Étudier les variations de $f$ sur $[0~;~+\infty[$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la limite de $g$ en $+ \infty$.
 Interpréter graphiquement ce résultat.
 		\item Étudier les variations de $g$ sur $[0~;~+\infty[$.
		\item Déterminer le signe de $g(x)$ sur $[0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}
\item On désigne par $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de la fonction $f$ et par ($\Gamma$) celle de $g$, dans un repère orthonormal \Oij{} [unité graphique 2~cm].
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer par le calcul les coordonnées du point I commun à  $(\mathcal{C})$ et à ($\Gamma$).
		\item Déterminer une équation de la tangente (T) à $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse 0.
		\item Tracer (T), $(\mathcal{C})$ et ($\Gamma$) dans le repère 
\Oij. Faire figurer le point I sur le schéma.
\end{enumerate}

\item  
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que $g(x) = - 8 + 16\dfrac{\text{e}^x}{2\text{e}^x - 1}$ sur $[0~;~+\infty[$.
En déduire une primitive $G$ de $g$ sur $[0~;~+\infty[$.
		\item On considère l'ensemble des points du plan situés entre 
($\Gamma$), l'axe $x'x$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = \ln 5$.
Hachurer sur le graphique cette partie du plan et calculer son aire en cm$^2$.
On en donnera une valeur exacte, puis l'arrondi du résultat à $10^{- 2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

$\star~$ \textbf{Application économique}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item \emph{ Prix d'équilibre}

Les fonctions $f$ et $g$ précédemment définies dans la \textbf{partie A} sont les fonctions d'offre et de demande de la vente d'un produit liquide sur un marché.

Plus précisément :

$\bullet~f(v)$ est le prix de vente unitaire proposé par les producteurs du  secteur pour un volume $v$ de ce produit ;

$\bullet~g(v)$ désigne le prix unitaire accepté par les consommateurs pour la
même quantité $v$ de ce produit.

Le volume $v$ est exprimé en m$^3$ et les prix en milliers de francs.
	\begin{enumerate} 
		\item Comment peut-on interpréter, d'un point de vue économique, le sens de variation de la fonction $g$ ?
 		\item Sur un marché en concurrence pure et parfaite, le prix $p_{0}$ qui se forme sur le marché correspond à l'égalité entre l'offre et la demande ; 
$p_{0}$ est le prix d'équilibre. Déterminer le volume $v_{0}$ correspondant du liquide arrondi à $10^{- 3}$, puis déterminer $p_{0}$.
\end{enumerate}
\item \emph{Surplus des consommateurs}
Tous les consommateurs qui étaient prêts à acheter à un prix supérieur au prix d'équilibre réalisent un gain fictif appelé surplus des consommateurs. 
On admet que ce gain est mesuré par 

$\text{S}_{c} = \displaystyle\int_{0}^{v_{0}} g(v)\:\text{d}v - p_{0}v_{0}$ en milliers de francs.
	\begin{enumerate} 
		\item Placer sur le graphique les points E($v_{0}$, 0) et F(0,~$ 
p_{0}$). Donner une interprétation graphique du surplus des consommateurs.
		\item Calculer une valeur exacte du surplus des consommateurs, puis  en donner l'arrondi au franc.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%  fin Polynésie juin 2001
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%  Antilles--Guyane septembre 2001
\hypertarget{Antillessept}{}

\label{Antillessept}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2001}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft ~ Baccalauréat ES  Antilles--Guyane septembre 2001 ~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\vspace{0,5cm}

Le tableau suivant donne le pourcentage de conscrits (jeunes gens ayant 18 ans dans l'année) qui sont en surpoids ou obèses.

\medskip

{  
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.8cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année					&1987 	&1988	&1989	&1990 	&1991 	&1992	&1993 	&1994 	&1995 	&1996\\ \hline
Rang de l'année $x_i$	&1 		&2 		&3 		&4 		&5 		&6 		&7 		&8 		&9 		&10 \\ \hline
Pourcentage $y_i$ 		&11,5	&11,7 	&12,5	&13,5	&13,3 	&14,5  	&15,8 	&15,5  	&15,6 	&16,5\\ \hline
\multicolumn{11}{r}{\footnotesize (Enquête du laboratoire espace, santé et territoire, université de Paris X -- Nanterre)}\\
\end{tabularx}}

\medskip

Les résultats des calculs seront arrondis à $10^{-2}$ près.

Les coordonnées des points seront arrondies à $10^{-1}$ près.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Représenter le nuage de points $M_i\left(x_i~;~y_i\right)$ associé à
 la série statistique dans un repère orthonormé. L'origine du repère correspond au point de coordonnées (0~;~10).
 
G désigne le point moyen de ce nuage. Calculer ses coordonnées ($x_0$ et 
$y_0$).

Placer ce point sur le graphique.
\item
	\begin{enumerate} 
		\item Trouver une équation de la droite (D) obtenue par la
 méthode des moindres carrés.
		\item Tracer cette droite (D) sur le graphique précédent et vérifier que le point G appartient à cette droite.
\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer une valeur approchée à $10^{-3}$ près du nombre 
$\rho = \dfrac{\text{cov}(x~;~y)}{\sigma_x\sigma_y}$.
		\item Calculer la somme S des carrés des résidus correspondant à cet ajustement. 
		\item Vérifier que $\dfrac{\text{S}}{\sum \left(y_i -y_0\right)^2} =  1 - \rho$. 	
	\end{enumerate}
\item En utilisant les résultats précédents donner une estimation du pourcentage de jeunes gens en surpoids ou obèses ayant 18 ans en 2001.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Le système éducatif français est composé du $1\up{er}$ degré (écoles maternelles et primaires) et du $2\up{e}$ degré (collèges et lycées).
 
Le personnel assurant le fonctionnement est composé de personnel enseignant
et de personnel non enseignant (administration, service...).

À la rentrée 1999, on a les informations suivantes :

\setlength\parindent{9mm}
$\bullet~64\:\%$ du personnel est enseignant

$\bullet~40\:\%$ du personnel est dans le $1\up{er}$ degré

$\bullet~39\:\%$ du personnel enseignant est dans le $1\up{er}$ degré.
\setlength\parindent{0mm}

On utilisera les notations suivantes pour désigner les 
évènements :

\setlength\parindent{9mm}
$E$ : \og être enseignant \fg{}

$\overline{E}$ : \og ne pas être enseignant \fg{}

$D1$ : \og être dans le $1\up{er}$ degré \fg{}

$D2$ : \og être dans le $2\up{e}$ degré \fg{}
\setlength\parindent{0mm}

On choisit au hasard une personne ; après justification, les résultats des calculs
seront donnés sous forme décimale à $10^{-2}$ près.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Quelle est la probabilité pour un enseignant d'être dans le $1\up{er}$ degré ?

\item Quelle est la probabilité pour un enseignant d'être dans le $2\up{e}$ degré ?
\item Quelle est la probabilité pour une personne du système éducatif d'être enseignant du $1\up{er}$ degré ?
\item Quelle est la probabilité pour une personne d'être enseignante, sachant
qu'elle est employée dans le $1\up{er}$ degré ?
\item Quelle est la probabilité pour une personne de ne pas être enseignante,
sachant qu'elle est employée dans le $2\up{e}$ degré ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

Un couple dépose au premier janvier de l'an 2000, une somme de \np{5000}~euros sur un compte rémunéré au taux annuel de $6\:\%$.

Par la suite, ce couple possède une capacité d'épargne annuelle de
\np{3000} euros, épargne versée tous les $1\up{er}$ janvier sur le compte précédent.

Les intérêts sont capitalisés au 31 décembre de chaque année.

On note $S_n$ la somme dont le couple dispose au $1\up{er}$ janvier
 de l'année $(2000 + n)$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer les valeurs de $S_0,~S_1,~S_2$.

\item Montrer que l'expression de $S_{n+1}$, en fonction de $S_n$ est donnée par la
relation :

\[S_{n+1} = 1,06S_n + \np{3000}.\]

\item On pose $T_n = S_n + \np{50000}$.

	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que $\left(T_n\right)$ est une suite géométrique de raison 1,06.
		\item Exprimer $T_n$ puis $S_n$ en fonction de $n$.
		\item Au $1\up{er}$ janvier de quelle année le couple possédera-t-il
une épargne supérieure à \np{50000} euros ?
	\end{enumerate}

\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

Une entreprise fabrique un produit en quantité $x$.

Le coût total de ce produit est donné par 

\[C_{\text{T}}(x) = \dfrac{x^2}{4}  + \dfrac{9}{2} \ln (x + 1)\quad  \text{pour} \quad  x \in [0~ ;~ 5].\]

Les coûts sont exprimés en millions d'euros et $x$ est exprimée en milliers de
tonnes.

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie I - Étude d'une fonction auxiliaire} \boldmath  
$f$ \unboldmath

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur [0~;~5] par 

\[f(x) = \dfrac{x^2}{2} + 	\dfrac{9x}{x + 1} - 9 \ln (x + 1).\]

\smallskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer $f'(x)$ et vérifier que l'on peut écrire 

\[f'(x) = \dfrac{x(x - 2)(x + 4)}{(x+ 1)^2}.\]

\textsl{Les détails du calcul de} $f'$ \textsl{devront figurer sur la 
copie.}

\smallskip

\item Établir le tableau de variations de $f$ sur [0~;~5].
\item En déduire que $f$ s'annule sur [0~;~5] pour une valeur unique $\alpha$.
\item Déterminer un encadrement à $10^{-3}$ près de $\alpha$. (On précisera la méthode
 utilisée.)
\item Déduire des résultats précédents le signe de $f$ sur [0 ; 5].
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie II -- Étude du coût moyen}

\medskip

La fonction coût moyen $C_m$ est définie sur [0~;~5] par :

\[C_{m}(x) = \dfrac{C_{\text{T}}(x)}{x} = \dfrac{x}{4} + \dfrac{9}{2} \times 
\dfrac{\ln (x + 1)}{x}.\]

\smallskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer $C'_m(x)$ et vérifier que l'on peut écrire $C'_m(x) = 
\dfrac{f(x)}{2x^2}$ où $f$ est la fonction auxiliaire de la question 
\textbf{1} de la partie \textbf{I}.

\textsl{Les détails du calcul de} $C'_m$  \textsl{devront figurer sur la 
copie.}
\item Étudier le sens de variation de $C_m$ sur [0 ; 5].
\item Pour quelle production, exprimée en tonnes, à une unité près, le coût moyen est-il minimal ?

Quel est alors ce coût ?
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%   fin Antilles-Guyane septembre 2001
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%   Métropole septembre 2001
\hypertarget{Metropolesept}{}

\label{Metropolesept}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2001}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES  Métropole septembre 2001~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Sur une portion de $6$ kilomètres de boulevard périphérique, le trafic peut être
perturbé entre 7~h et 11~h du matin.

Au début de cette portion, un panneau indique, à chaque instant, le temps de
parcours d'un véhicule sur ces $6$~kilomètres.

On modélise l'évolution du trafic à l'aide de la fonction $f$ définie sur 
[1~;~5] par

\[f(t) = 8\text{e} \dfrac{\ln t}{t} + 4 \quad \text{où e est égal à 
exp(1)}.\]

Le nombre $f(t)$ est alors le temps de parcours indiqué sur le panneau et
exprimé en minute, à un instant $t$ exprimé en heure. Il est 7~h du matin à
 l'instant  $t = 1$.
 
Le panneau indique \og trafic fluide \fg{} s'il faut moins de $6$~minutes pour parcourir les 6~kilomètres, il indique \og trafic perturbé \fg{} s'il faut plus de 11~minutes.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Étudier les variations de $f$ sur [1~;~5] et dresser son tableau de variations.

		\item En déduire que le trafic n'est pas fluide à 7 h 10 min et qu'il ne l'est plus jusqu'à 11 h.
	\end{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie sur [1~;~5] par 

\[g(t) = (\ln t)^2.\]

	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $g'(t)$ et en déduire une primitive de
 $f$ sur [1~;~5].
		\item Déterminer, à une minute près, la valeur moyenne du temps nécessaire pour parcourir les 6 kilomètres, entre 7~h et 11~h du matin.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Une personne qui dispose de 20~\euro{} souhaite miser sur \og pair \fg{} ou \og impair \fg{} avant le lancer d'un dé.

La mise est doublée si on gagne, sinon elle est perdue.

Au premier lancer, elle mise 10~\euro{} sur \og impair \fg, et on suppose que
 la probabilité d'obtenir \og pair \fg{} est la même que celle d'obtenir \og 
 impair \fg.
 
En revanche, aux lancers suivants, elle mise toute la somme qui lui reste ou
s'arrête s'il ne lui reste plus rien. Elle décide de jouer au maximum trois
 fois.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Dans cette question, on suppose que la personne mise
 chaque fois sur \og impair \fg{} et qu'à chaque fois la probabilité d'obtenir \og pair \fg{} est égale à celle d'obtenir \og impair \fg{}.

On note $X$ la somme qui lui reste à la fin.
	\begin{enumerate} 
		\item Illustrer la situation par un arbre pondéré.
		\item Déterminer la loi de probabilité associée à l'ensemble des valeurs prises par $X$ ainsi que l'espérance de cette loi.
\end{enumerate}
\item Pour cette question, on a constaté après une étude statistique qu'après
 un \og impair \fg, la probabilité d'obtenir de nouveau un \og impair \fg{} est de $0,4$,  et qu'après un \og pair \fg, la probabilité d'obtenir de nouveau un \og pair \fg{} est de $0,45$.

Le sachant, la personne mise, à partir du deuxième lancer, sur la solution la
plus probable.

On note $Y$ la somme qui lui reste à la fin.
	\begin{enumerate} 
		\item Illustrer la situation par un arbre pondéré. 
		\item Déterminer la loi de probabilité associée à l'ensemble des valeurs prises par $Y$ ainsi que l'espérance de cette loi.

Remarque : \textsl{Dans les deux cas décrits par les deux questions, le premier niveau de l'arbre pondéré est donc le suivant où la somme qui reste à la  personne est mise entre parenthèses :}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center} 
\begin{pspicture}(4,3)
\cnode(0,1.5){1pt}{root}
\cnode(3,2.5){3pt}{A}
\cnode(3,0.5){3pt}{B}
\ncline{root}{A} \ncput*{0,5}
\ncline{root}{B} \ncput*{0,5}
\uput[r](3.25,2.5){Pair (10)}
\uput[r](3.25,0.5){Impair (30)}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

La suite $\left(u_{n}\right)$ est définie par $u_{0} = 7$ et, pour tout entier
naturel $n$, par :

\[u_{n+1} = \dfrac{2u_{n} + 6}{5}.\]

\begin{enumerate} 
\item Calculer $u_{1},~ u_{2},~ u_{3}$.
\item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier 
naturel $n$, par :

\[v_{n} = u_{n} -2.\]

	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
		\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$, et en déduire que :

\[u_{n} = 5 \times \left(\dfrac{2}{5}\right)^n + 2.\]

		\item Quelle est la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
	\end{enumerate}
\item Illustration graphique

Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij~ (unité graphique : 2~cm).

Soit $f$ la fonction définie sur $\R^*$ par 

\[f(x) = \dfrac{2x+ 6}{5}.\]

	\begin{enumerate} 
		\item Tracer la représentation graphique D de $f$, ainsi que la droite 
$\Delta$ d'équation $y = x$.
		\item Placer, sur l'axe des abscisses, le point P$_{0}$ d'abscisse $u_{0}$. En utilisant les droites D et  $\Delta$, construire les points P$_{1}$, \:P$_{2}$,\: P$_{3}$ de l'axe $\left(\text{O},~\vect{\imath}\right)$ 
d'abscisses respectives  $u_{1},\: u_{2},\: u_{3}$.

À quoi correspond, sur ce graphique, l'abscisse du point d'intersection des
deux droites D et $\Delta$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\bigskip

\textbf{Première partie}

\medskip

Dans une commune les habitants paient un impôt en fonction de leurs revenus.

La population est alors classée du plus faible impôt au plus fort.

Le tableau suivant indique que $(100y)\,\%$ de la recette fiscale due à cet 
impôt est payée par $(100x)\,\%$ de la population.

Ainsi le couple (0,7~;~0,25) signifie que $70\,\%$ de la population paie 
$25\,\%$ de la recette fiscale.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$ &0,1	&0,2	&0,3	&0,4	&0,5	&0,6 	&0,7	&0,8 	&0,9 	&	1\\ \hline
$y_{i}$ &0		&0,025 	&0,04 	&0,06 	&0,1 	&0,16 	&0,25 	&0,4 	&0,65 	& 1\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Représenter le nuage de points $M_{i}\left(x_{i},~y_{i}\right)$.

Vous prendrez un repère orthonormal d'unité graphique 10~cm.				
		\item Un ajustement affine entre les variables statistiques $x$ et $y$ vous paraît-il approprié ?
	\end{enumerate}
\item \textsl{Dans cette question le détail des calculs n'est pas 
demandé.}

On considère la variable statistique $z = \ln (y)$ pour les valeurs de $y$ strictement positives.
	\begin{enumerate} 
		\item Recopier et compléter le tableau suivant où $z_{i}$ sera arrondi à 0,01.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.5cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$ 			& 0,2	&0,3	&0,4	&0,5 	&0,6 	&0,7 	&0,8 	&0,9 	& 1\\ \hline
$z_{i} = \ln y_{i}$	&$-3,69$&		& 		& 		& 		& 		& 		& 		& \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

		\item Donner une équation de la droite obtenue comme ajustement affine 
par la méthode des moindres carrés sous la forme $z =  ax + b$ où $a$ 
et $b$ seront arrondis à 0,1.
		\item En déduire une relation entre $y$ et $x$ de la forme $y = \alpha 
\text{exp} (ax)$ où $\alpha$ sera arrondi à 0,01.
		\item Recopier et compléter le tableau suivant en donnant des valeurs 
arrondies à 0,01.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.5cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$ 						& 0,2	&0,3	&0,4	&0,5	&0,6	&0,7	&0,8	&0,9	&	1\\ \hline
$\alpha \text{exp} (ax_{i})$ 	& 		& 		& 		& 		& 		& 		& 		& 		& \\ \hline			
\end{tabularx}

\medskip

Comparer avec le tableau initial et donner un bref commentaire.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur [0~;~1] par 

\[f(x) = 0,01 \text{exp} (4,6x) \quad  \text{et} \quad  g(x) =x - f(x).\]

On note ($\mathcal{C}$) la représentation graphique de $f$ et 
($\Delta$) la droite  d'équation $y = x$ dans le repère de la première partie.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item En utilisant $f(x)$ comme ajustement de la variable 
statistique $y$ de la première partie, déterminer à $1\:\%$ près le
pourcentage de la population payant la moitié de la recette fiscale.
		\item Étudier les variations de $f$ sur [0 ; 1].	
		\item Tracer ($\mathcal{C}$) et ($\Delta$) sur le graphique de la première partie.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Résoudre l'équation $f'(x) = 1$ sur [0 ; 1] ;  la solution $\beta$ sera arrondie à 0,01.

Tracer la tangente (T) à ($\mathcal{C}$) au point d'abscisse 3.
		\item Résoudre l'inéquation $f'(x) > 1$ sur [0 ; 1].
		\item Donner une relation entre $g'(x)$ et $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $g$ sur [0 ; 1].
		\item Pour quelle valeur de $x$ la fonction $g$ atteint-elle son maximum ?

Interpréter graphiquement ce résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole septembre 2001
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%   Polynésie septembre 2001
\hypertarget{Polynesiesept}{}

\label{Polynesiesept}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2001}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES  Polynésie septembre 2001~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\vspace{0,25cm}

Le plan est rapporté à un repère orthogonal \Oij. Sur le graphique ci-après, la courbe $\mathcal{C}_{f}$ est la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur [0~;~10] par :

\[ f(x) = k\text{e}^{ax}, \text{où}~  a~\text{et}~k~\text{sont deux constantes réelles.}\]
 
La courbe $\mathcal{C}_{f}$ passe par les points A et B de coordonnées : A (0~;~0,8) et B (7~;~1,6).
 
La courbe $\mathcal{C}_{g}$ est la courbe représentative de la fonction $g$ définie sur [0~;~10] par : 

\[g(x) = 4\text{e}^{- 0,3x}.\]

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-3)(10,6)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange] 
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2,-3)(10,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10}{2.71828 0.1 x mul exp 0.8 mul}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{10}{2.71828 0.3 x mul neg  exp 4 mul}
\psdots(0,0.8)(7,1.611)
\uput[dr](0,0.8){A} \uput[ur](7,1.611){B}
\uput[u](9.5,0.2){\red$\mathcal{C}_{g}$} \uput[u](9.5,2.2){\blue $\mathcal{C}_{f}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les nombres $a$ et $k$ à $10^{- 1}$ près. 
		\item Justifier le sens de variation de $g$.
		\item Résoudre graphiquement l'équation $f(x) = g(x)$ dans [0~;~10]. 
	\end{enumerate}
\item Dans une étude de marché, pour un produit donné, on a modélisé l'offre par la fonction $f$ et la demande par la fonction $g$ en fonction du prix unitaire $x$ par :
\[ 
f(x) = 0,8\text{e}^{0,1x}\quad \text{et} \quad  g(x) = 4\text{e}^{- 0,3x}.\]
 
Le prix d'équilibre correspond à la solution de l'équation $f(x) = g(x)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation $f(x) = g(x)$ dans [0~;~10].
		\item Donner la valeur approchée, notée $x_{e}$ à $10^{- 1}$ près par défaut du prix d'équilibre.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Pour $x$ appartenant à [0~;~9] montrer que le quotient $\dfrac{f(x + 1) - f(x)}{f(x)}$ est constant.
		
On donnera une valeur exacte, puis une valeur approchée à $10^{- 2}$ près par défaut. 
		\item En déduire le taux d'accroissement, exprimé en pourcentage, de l'offre quand le prix unitaire augmente d'une unité.
	\end{enumerate}
\item Le prix est fixé égal au prix $x_{e}$. On augmente ce prix de 1\,\% ; déterminer alors le pourcentage $t$\:\% de variation de la demande (on donnera un arrondi de $t$ à $10^{- 1}$).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Une maison d'édition a ouvert le 1\up{er} janvier 2002, sur Internet, un site de vente par correspondance.
 
Le tableau suivant donne l'évolution du nombre de livres vendus par mois en milliers.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Mois				& janvier 2002	& janvier 2003	& juillet 2003	& janvier 2004	& avril 2004\\ \hline 
Rang du mois $x_{i}$&1 				&13 			&19 			&25 			&28 \\ \hline
Nombre de livres en
milliers $y_{i}$	&1,2 			&2,5 			&3,5 			&5,1 			&6\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 
 
\begin{enumerate}
\item Représenter le nuage de points $\left(x_{i}~;~y_{j}\right)$ dans un repère (unités graphiques : 1~cm représente deux mois en abscisse et 1~cm représente 500~livres en ordonnée). 
\item L'allure du nuage permet d'envisager un ajustement exponentiel plutôt qu'un ajustement affine.
 Pour cela, on pose $z_{i} = \ln \left(y_{i}\right)$.
 
Après l'avoir recopié, compléter le tableau suivant où $z_{i}$ est arrondi à $10^{- 3}$.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Rang du mois $x_{i}$			&1	&13 &19 	&25 &28\\ \hline 
$z_{i} = \ln \left(y_{i}\right)$&	&	&1,253	&	&\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip 

\item \emph{Dans cette question, les résultats numériques pourront être obtenus à l'aide de la calculatrice, sans justification.}
 
Écrire une équation de la droite d'ajustement affine D de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés, $\left(\text{les coefficients seront arrondis à}~ 10^{-2}\right)$. 
\item Déduire de la question précédente une relation entre $y$ et $x$ de la forme 
$y = a\text{e}^{kx}$.
 
Les coefficients $a$ et $k$ seront arrondis à $10^{-2}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

On considère un groupe de 500~villes d'un pays.
 
Chaque année les impôts locaux d'une ville peuvent augmenter ou ne pas augmenter.
 
$n$ étant un entier naturel, on note :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $a_{n}$ la probabilité qu'une ville ait augmenté les impôts locaux l'année $n$ ; 
\item[$\bullet~$] $b_{n}$ la probabilité qu'une ville n'ait pas augmenté les impôts locaux l'année $n$ ; 
\item[$\bullet~$] $P_{n}$ la matrice $\left(a_{n}~~b_{n}\right)$ traduisant l'état probabiliste à l'année $n$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On a constaté statistiquement que tous les ans :

\setlength\parindent{5mm} 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 20\:\% des villes qui ont augmenté les impôts l'année précédente les augmentent l'année suivante ; 
\item[$\bullet~$] 90\:\% des villes qui n'ont pas augmenté les impôts l'année précédente les augmentent l'année suivante.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Chaque année, une ville peut être à l'état A \og les impôts locaux ont augmenté \fg{} ou à l'état B \og les impôts locaux n'ont pas augmenté \fg.
		
Tracer un graphe probabiliste traduisant les données de l'énoncé.

Exprimer $a_{n + 1}$ et $b_{n + 1}$ en fonction de $a_{n}$ et $b_{n}$. 
		\item Vérifier que la matrice $M$ de ce graphe est $\begin{pmatrix}
0,2& 0,8\\
0,9& 0,1\\
\end{pmatrix}$
	\end{enumerate} 
\item On a constaté qu'en 2002, les impôts locaux ont été augmentés dans 300 villes et n'ont pas été augmentés dans 200 villes.
 
On note $a_{0}$ et $b_{0}$ les fréquences correspondantes.
 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'état initial $P_{0} = \left(a_{0}\quad b_{0}\right)$.
		\item Calculer $P_{1}$. En déduire le nombre de villes qui augmenteront les impôts en 2003 et le nombre de celles qui ne les augmenteront pas en 2003.
	\end{enumerate}
\item On rappelle que, pour tout entier naturel $n$ : 

\[a_{n} + b_{n} = 1\quad  \text{et}\quad  P_{n + 1} = P_{n} \times  M.\]
 
Exprimer $a_{n + 1}$ en fonction de $a_{n}$·
\item  Soit $P = (x \quad  y)$ l'état stable. Expliquer ce que représentent $x$ et $y$ et déterminer $x$ et $y$ en utilisant les résultats précédents.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur [1~;~12] par 

\[f(x) = \dfrac{5 \ln x}{x^2}.\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f'(x) = \dfrac{5(1 - 2\ln x)}{x^3}$.
\item En déduire les variations de $f$ sur [2~;~10] puis dresser le tableau de variations de $f$.
\item Montrer que l'équation $f(x) = 0,5$ admet une solution unique sur [2~;~10] notée $\alpha$ puis donner un encadrement
de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{PARTIE B}
 
\medskip
 
Une ville décide de promouvoir les déplacements à vélo afin de lutter contre la pollution et a acheté un parc de
\np{1000}~vélos qu'elle loue à la journée. On constate que la demande est fonction du prix de location et que cette demande est modélisée par la fonction $f$ donnée ci-dessus dans la partie A définie sur [2~;~10] où
$x$ désigne le prix de location d'un vélo pour la journée et $f(x)$ la demande en milliers de vélos.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item En utilisant la partie A, indiquer le prix à partir duquel la demande sera inférieure à 500~vélos.

On donnera la valeur au centime d'euro près.
\item On suppose que le prix de location est fixé à 3~euros. Calculer le pourcentage de variation de la demande
à $10^{-2}$ près lorsque le prix augmente de $0,03$~euros.
\item Le pourcentage de variation de la demande lorsque le prix augmente de 1\:\% est appelé \og élasticité de la demande par rapport au prix \fg.

On admet qu'une valeur approchée de ce  nombre est $x\dfrac{f'(x)}{f(x)}$.
On note E$(x) = x\dfrac{f'(x)}{f(x)}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que E$(x) = \dfrac{1 - 2\ln(x)}{\ln (x)}$.
		\item Calculer E$(3)$ arrondi à $10^{-2}$. Comparer ce résultat avec celui de la question 2.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{PARTIE C}
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la recette lorsque le prix est égal à 3~\euro{} (on donnera le résultat à l'euro près).
\item Exprimer en euros la recette $R(x)$ en fonction du prix $x$.
\item Montrer que $R'(x) = \np{5000} \times \dfrac{1 - \ln x}{x^2}$.

Étudier les variations de $R$ sur [2~;~10].
\item En déduire  le prix de location permettant d'obtenir la recette maximum et déterminer cette recette maximum.

Le prix de la location sera arrondi au centime d'euro près et la recette à l'euro près.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%  fin Polynésie septembre 2001
\newpage
%%%%%%%%%%%%%  Amérique du Sud décembre 2001
\hypertarget{AmeriqueduSud}{}

\label{AmeriqueduSud}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small{décembre 2001}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES  Amérique du Sud décembre 2001~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On donne le tableau suivant indiquant l'évolution du nombre de 
centenaires en France depuis le début du siècle : 

\bigskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.2cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
années				&1911	&1931	&1946	&1962	&1970	&1980	&1992	&1995	&2000\\ \hline
$x_i$				&11		&31		&46		&62		&70		&80		&92		& 95	&100\\ \hline
nombre de centenaires
 $y_i$				&118 	&241 	&261 	&440 	&\np{1273}&\np{3112}&\np{4323}&\np{6060} &\np{9264}\\ \hline
\multicolumn{10}{r}{\footnotesize source : INSEE }\\
\end{tabularx}
 
\medskip

\emph{Tous les résultats statistiques seront donnés à l'aide de
la calculatrice.}

\emph{Le détail des calculs n'est pas demandé.} 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Représenter dans un repère orthogonal le nuage de points
 $M\left(x_i~;~y_i\right)$ : unités graphiques : 1~cm pour 10~ans sur l'axe des abscisses et 1~cm pour 500~personnes sur l'axe des ordonnées. 

\item On constate, au vu de ce nuage, qu'un ajustement 
linéaire ne semble pas le mieux adapté. 

On s'intéresse alors à la série $\left(x_i,~ \ln y_i\right)$. 
 
On appelle $z_i$ une valeur approchée de $\ln y_i$
 par défaut à $10^{-4}$ près.
	\begin{enumerate} 
		\item Recopier et compléter le tableau suivant :

\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{| *{10}{>{\centering \arraybackslash}X |}}\hline
$x_i$&11			&31			&46			&62	&70	&80	&92	&95	&100\\ \hline
$z_i$&\np{4,7706}	&\np{5,4847}&\np{5,5645}& 	&	&	&	&	&\np{9,1338}\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip
Pour la série $\left(x_i~;~z_i\right)$ du tableau précédent, donner le
 coefficient de corrélation linéaire (on en donnera une valeur approchée
 par défaut à $10^{-3}$ près) et justifier qu'un ajustement, linéaire est
 envisageable. 
		\item Déterminer l'équation $z = ax + b$ de la droite D de régression
 de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. Les nombres $a$ et $b$ seront donnés à $10^{-5}$ par défaut.
	\end{enumerate}
\item Si l'évolution restait la même, estimer le nombre de
 centenaires en France en 2015.
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Des calculs statistiques effectués sur les élèves de terminale d'un
 lycée, concernant l'année scolaire 1999-2000. ont donné les 
renseignements suivants :

en juin 2000, les élèves de terminale se répartissaient ainsi : 45\:\% en S, 25\,\% en L, et 30\,\% en ES. Les taux, arrondis, de réussite au baccalauréat ont été les suivants :

\begin{center} 
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{| *{3}{>{\centering \arraybackslash}X |}}\hline 
S &	L &	ES\\ \hline
$87\:\%$&	$85\:\%$ & 	$79\:\%$\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

À la fin du mois de décembre 2000, sur l'ensemble des élèves, qui 
étaient en terminale dans ce lycée en juin de la même année, on en
 choisit un au hasard. 

Dans la suite de l'exercice, on appelle :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] $S$ l'évènement \og l'élève choisi était en S l'année scolaire précédente \fg{},
\item[] $L$ l'évènement \og l'élève choisi était en L l'année scolaire précédente \fg{},
\item[] $E$ l'évènement \og l'élève choisi était en ES l'année scolaire précédente \fg{},
\item[] $R$ l'évènement \og l'élève choisi a été reçu au baccalauréat \fg{}. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Donner $p(E)$, $p(R / E)$ et montrer que    $p(R \cap E) = 0,237$.
		\item Calculer $p(R \cap S)$ et $p(R \cap L)$.
		\item En déduire que la probabilité que cet élève choisi au hasard ait été reçu au baccalauréat  est $0,841$. 
	\end{enumerate} 
\item Lorsque les élèves, \textbf{reçus au baccalauréat},
 sont venus au lycée chercher leur diplôme, on s'est renseigné sur leur
 poursuite d'études, et on a obtenu les résultats suivants : 

\begin{center} 
\begin{tabular}{|l| *{3}{c |}}\hline
élèves issus de					&S		&L 			& 	ES\\ \hline
poursuite d'études en faculté	&40\: \%&  60\:\%	&40\:\%\\ \hline
\end{tabular} 
\end{center}

On appelle :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] $F$ l'évènement \og l'élève choisi est en faculté \fg,
\item[] $E'$ l'évènement $R \cap E$,
\item[] $L'$ l'évènement $R \cap L$,
\item[] $S'$ l'évènement $R \cap S$. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

	\begin{enumerate} 
		\item Donner ~$p(F / E')$.
		\item Calculer $p(F \cap E')$.
		\item Montrer que la probabilité que l'élève choisi soit en faculté
 est \np{0,3789}.
 \end{enumerate}
\item À la même date, on choisit, toujours au hasard, un élève
 qui se trouvait en terminale de ce lycée l'année scolaire précédente et 
 \textbf{qui se trouve maintenant en faculté}.
	\begin{enumerate} 
		\item Pourquoi les évènements $F \cap E'$ et  $F \cap E$ sont-ils les mêmes ?
		\item Calculer la probabilité que l'élève choisi soit issu de
 terminale ES ? (En donner une valeur approchée par excès à $10^{-4}$
 près). 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Des adolescents ($5$ garçons et $7$ filles) passent ensemble des vacances.

Ils décident de tirer au sort deux d'entre eux chaque jour pour former une
équipe chargée d'effectuer les courses.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item \emph{Pour le tirage au sort fait le premier jour, on donnera les
résultats sous la forme de fractions irréductibles.}
	\begin{enumerate} 
		\item Combien d'équipes différentes peuvent-ils obtenir par ce tirage au sort ?
		\item Calculer la probabilité que l'équipe soit constituée de deux filles.
		\item Montrer que la probabilité que l'équipe soit mixte est 
$\dfrac{35}{66}$.
	\end{enumerate}
\emph{Dans les questions suivantes, les résultats seront donnés sous forme décimale : valeurs approchées par défaut à} $10^{-4}$ \emph{près}. 
\item On suppose dans cette question que les vacances durent 6 jours.
Ils recommencent chaque jour le tirage au sort dans les mêmes conditions (indépendamment des résultats des jours précédents).
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la probabilité que le sort désigne des équipes mixtes exactement quatre fois.
		\item Calculer la probabilité d'obtenir au moins une fois une équipe
mixte.
	\end{enumerate}

\item Quelle durée minimale doit avoir leur séjour pour que la probabilité que les courses soient effectuées au moins une fois par deux adolescents de sexe différent dépasse 0,999 ? 

\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 8 points}

\bigskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

\parbox[l]{0,55\textwidth}{Le plan est rapporté à un repère orthonormal. Sur
 le graphique ci-contre, la courbe ($\mathcal{C}$) représente une fonction
 $f$ définie et dérivable sur $\R$.

La droite (T) est la tangente à la courbe au point A d'abscisse 0.} \hfill
\parbox[r]{0,45\textwidth}{\psset{unit=0.9cm,mathLabel=true} \begin{pspicture}(-3,-1)(4,6)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](0,0)(-2,-1)(4,6)
\psaxes[linewidth=1pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-2,-0.99)(4,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.93}{4}{2.71828 x neg exp x dup mul x 2 mul add 1 add mul}
\rput(-1.5,5.5){\blue $\mathcal{C}$} \rput(3,4.5){(T)}
\psline(2,0)(2,1.21802)
\psline[linewidth=1pt]{<->}(0.4,1.47152)(1.6,1.47152)
\uput[l](-0.2,1.47152){$\frac{4}{\text{e}}$}
\psline(-2,-1)(3,4)
\uput[u](4,0){$x$} \uput[r](0,6.){$y$} 
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2}{2.71828 x neg exp x dup mul x 2 mul add 1 add mul}
\psline(2,0)(0,0)}
\end{pspicture}} 

\begin{enumerate} 
\item À partir du graphique, reproduire et compléter le 
tableau suivant : 

\[\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X |}} \hline
$x$ 	&$- 1$	&0	&1\\ \hline
$f(x)$ 	& 		& 	& \\ \hline
$f'(x)$	&  		&  	&  \\ \hline
\end{tabularx}\]

Justifier les valeurs de $f'(-1)$ et $f'(0)$. 

\item La fonction $f$ a pour dérivée une fonction $f'$
 dont la courbe est l'une des trois suivantes. 

Indiquer laquelle en justifiant votre réponse. 

\begin{center} 
\begin{tabular}{c c c } 
\no 1 &  \no 2 & \no 3\\
~&  & \\
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-2.5,-1.5)(2.5,2.5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0pt,gridwidth=0.3pt](-2.5,-1.5)(2,2.5)
\psaxes[linewidth=1pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-2.5,-1.5)(2,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.73}{1.73}{x dup mul 1 sub}
\uput[u](1.9,0){$x$} \uput[r](0,2.1){$y$}
\end{pspicture*} &\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-1.5)(2.5,2.5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0pt,gridwidth=0.3pt](0,0)(-2.5,-1.5)(2.5,2.5)
\psaxes[linewidth=1pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-2.5,-1.5)(2.5,2.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.4}{1.4}{1  x dup mul  sub 2 mul}
\uput[u](2.2,0){$x$} \uput[r](0,2.2){$y$}
\end{pspicture} &\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-1.5)(2.5,2.5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0pt,gridwidth=0.3pt](0,0)(-2.5,-1.5)(2.5,2.5)
\psaxes[linewidth=1pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-2.5,-1.5)(2.5,2.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.25}{2.5}{1 x dup mul sub 2.72818 x neg exp mul}
\uput[u](2.2,0){$x$} \uput[r](0,2.2){$y$}
\end{pspicture}
\end{tabular} 
\end{center}

\bigskip
 
\item Expliquer graphiquement pourquoi l'aire de la partie
 hachurée, exprimée en unités d'aire, est un nombre compris entre 2 et 
 $\dfrac{8}{\text{e}}$.
 
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :

\[f(x) = \left(x^2 + 2x + 1 \right)\text{e}^{-x}.\]

\smallskip

\begin{enumerate} 
\item Montrer que pour tout réel $x$ on a : $f(x) \geqslant 0$. 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.
		\item On admet que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 
\dfrac{\text{e}^x}{x^n} = + \infty$ pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1.

Déterminer alors la limite de $f$ en $+ \infty$.

Peut-on en déduire l'existence d'une asymptote à la courbe représentative de
 $f$ ? Si oui préciser laquelle.
 	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que la dérivée de $f$ est définie par $f'(x) =
 (- x^2 + 1)\text{e}^{-x}$. 
		\item Étudier alors les variations de $f$ suivant les valeurs de $x$.
 Dresser le tableau de variations de~$f$. 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que, sur l'intervalle [1~;~3], l'équation
 $f(x) = 1$  admet une solution $\alpha$ unique. 
		\item Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\item En fait la représentation graphique de la fonction
  $f$ est la courbe ($\mathcal{C}$) dessinée dans la~\textbf{partie A}. 
	\begin{enumerate} 
		\item On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par 

\[g(x) = \left(-x^2 - 4x - 5\right)\text{e}^{-x}.\] 

Calculer $g'(x)$. 

		\item Calculer $\displaystyle\int_0^2 f(x)\:\text{d}x$. Donner la valeur exacte puis une valeur approchée par excès à $10^{-2}$ près. 
		\item Interpréter graphiquement le résultat précédent.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%  fin Amérique du Sud novembre 2001
\newpage
%%%%%%%%%%%%%  Nouvelle--Calédonie décembre 2001
\hypertarget{Caledoniedec}{}

\label{Caledoniedec}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{décembre 2001}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES  Nouvelle-Calédonie décembre 2001~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le tableau ci-dessous donne la dépense de consommation finale des ménages
français en biens d'équipement pour les années 1993 à 1998.

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|*{6}{c|}}\hline
Année 					& 1993 	&1994 	&1995 	&1996 	&1997 	&1998 \\ \hline
Rang de l'année $x_i$	&1		&2		&3		&4		&5		&6\\ \hline
Dépense $y_i$ en milliards
 de francs				&34,6	&35,8	&18,8 	&40,5 	&41,5 	&46,1\\ \hline
\multicolumn{7}{r}{\tiny (Source INSEE, Comptes Nationaux)}
\end{tabular} 
\end{center}

\textsl{Le détail des calculs statistiques, à effectuer à la machine, n'est
 pas demandé.}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Représenter dans un repère orthogonal le nuage de points $M_i\left(x_i~;~y_i\right)$ en prenant comme unités graphiques : 2~cm pour 1 rang en abscisses et 1~cm pour 1~milliard de francs en ordonnées, en faisant débuter la graduation à 30 sur l'axe des ordonnées.
		\item Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage et placer ce point sur le graphique.

On veut réaliser un ajustement affine de ce nuage de points afin d'obtenir une
prévision pour l'année 1999 de la dépense des ménages français en biens
d'équipement.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question on utilise la méthode d'ajustement dite de la droite de Mayer.
	\begin{enumerate} 
		\item On désigne par $G_1$ le point moyen des trois premiers points ($M_1$, $M_2$ et $M_3$) du nuage et par $G_2$ le point moyen des trois derniers points ($M_4$, $M_5$ et $M_6$) du nuage.

Calculer les coordonnées de $G_1$ et $G_2$ puis placer ces deux points sur le graphique.
		\item Démontrer que l'équation réduite de la droite $\left(G_1G_2\right)$ est $y = 2,1x + 32,2$.

Tracer $\left(G_1G_2\right)$ sur le graphique.
		\item Calculer la prévision pour l'année 1999 de la dépense des ménages français en biens d'équipement obtenue en utilisant la droite $\left(G_1G_2\right)$.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on utilise la méthode des moindres carrés.
	\begin{enumerate} 
		\item Soit $D$ la droite d'ajustement par la méthode des moindres carrés ; elle a pour équation réduite $y = 2,18x + b$.

Justifier que $b = 31,92$ en utilisant le point moyen G.

Tracer $D$ sur le graphique.
		\item Calculer la prévision pour l'année 1999 de la dépense des ménages français en biens d'équipement obtenue en utilisant la droite $D$.
	\end{enumerate}
\item Le montant réel de la dépense pour l'année 1999 a été de 48,8 milliards de francs.

Commenter, au vu de cette donnée, les prévisions obtenues par les deux
méthodes d'ajustement envisagées précédemment.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Une entreprise fabrique un article qui doit répondre à des normes précises. On
considère que $8\,\%$ des articles produits ne sont pas conformes aux normes. Un
test de contrôle en fin de fabrication est censé repérer les articles non conformes.
 Cependant le test comporte une certaine marge d'erreur ; une étude a établi que

\setlength\parindent{9mm}
$\bullet~5\,\%$ des articles conformes aux normes sont refusés par le test ;

$\bullet~10\,\%$ des articles non conformes aux normes sont acceptés par le test.
\setlength\parindent{0mm}

On considère un article pris au hasard au moment de passer le test.
 
On note :

$C$ l'évènement \og l'article est conforme aux normes \fg{} ;

$T$ l'évènement \og l'article est accepté par le test \fg.

$\overline{C}$  et $\overline{T}$ désignent les évènements contraires respectifs de $C$ et $T$.

La probabilité d'un évènement $E$ est notée $p(E)$ ; la probabilité conditionnelle de $E$ sachant que $F$ est réalisé est notée $p_{F}(E)$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déduire des données les probabilités $p(C)$,\:
$p\left(\overline{C}\right),\:p_{C}(T),\: p_{\overline{C}}(T),\: p_{C}\left(\overline{T}\right)$
et $p_{\overline{C}}\left(\overline{C}\right)$ (on pourra faire un arbre).
		\item Calculer $p(T \cap  C)$ et $p\left(T \cap 
\overline{C}\right)$. En déduire que $p(T) = 0,882$.
		\item Quelle est la probabilité que le contrôle donne un résultat erroné ?
	\end{enumerate}
\item Le coût de fabrication d'un article est $80$~F.

Tout article refusé par le test est détruit.

Chaque article accepté par le test est mis sur le marché et vendu $120$~F mais
lorsqu'un tel article n'est pas conforme aux normes, l'entreprise doit rembourser $140$~F au client (prix d'achat plus $20$~F de frais de port) et l'article litigieux est détruit.

Soit $X$ le nombre indiquant le bénéfice ou la perte correspondant à un article
choisi au hasard. L'ensemble des valeurs de $X$ est : $\{ + 40~;~- 80~;~ 
- 100\}$.

	\begin{enumerate} 
		\item Exprimer les évènements $(X = 40)$,~$(X = 80)$ et $(X = 
-100)$ en utilisant $C$, $\overline{C}$,\: $T$ et $\overline{T}$.
		\item Donner la loi de probabilité associée à ces trois valeurs.
		\item Calculer l'espérance de cette loi. Quelle interprétation peut-on en donner ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

Dans un certain milieu professionnel M, toute personne est tenue de posséder
un agenda et de le renouveler chaque année. On supposera qu'aucune personne n'achète plus d'un agenda.

Deux fournisseurs, désignés respectivement par $a$ et $b$, se partagent le marché des agendas dans le milieu M (donc tout individu faisant partie de M se
fournit soit auprès de $a$, soit auprès de $b$).

On cherche à prévoir les parts de marché futures de $a$ et $b$ en faisant l'hypothèse que d'une année sur l'autre :

\setlength\parindent{9mm}
$\bullet~~$ $76$\,\% des clients de $a$ restent fidèles à $a$ ;

$\bullet~~$ $64$\,\% des clients de $b$ restent fidèles à $b$.
\setlength\parindent{0mm}

Pour l'année 2000, $40\,\%$ des individus faisant partie de M ont choisi 
$a$ et les autres ont choisi $b$.

On considère une personne prise au hasard dans M.

On note, pour tout entier naturel $n$ :

$A_n$ l'évènement \og l'année $2000 + n$, la personne choisit $a$ \fg.

$B_n$ l'évènement \og l'année $2000 + n$, la personne choisit $b$ \fg.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déduire des données les probabilités $p\left(A_0\right),~ P_{A_n} \left(A_{n+1}\right)$ et $P_{B_n} \left(A_{n+1}\right)$.
		\item Démontrer la relation $p\left(A_{n+1}\right) = 0,76 \times p\left(A_n\right) + 0,36 \times  p\left(B_n\right)$.
		\item On pose, pour tout entier naturel $n,~ p_n = p\left(A_n\right)$. Justifier la relation
$p_{n + 1} = 0,4p_n + 0,36$.
	\end{enumerate}
\item On pose, pour tout entier naturel $n,~ u_n = 0,6 - p_n$.
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,4 ; préciser son premier terme $u_0$.
		\item Exprimer $u_n$ puis $p_n$ en fonction de $n$.
		\item Calculer la limite de $p_n$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$.
	\end{enumerate} 	
\item Exprimés en pourcentages, les nombres $p\left(A_n\right)$ et $p\left(B_n\right)$ constituent les prévisions, pour une future année $2000 + n$, des parts de marché respectives de $a$ et $b$.

Quelle évolution peut-on prévoir à long terme pour les parts de marché respectives de $a$ et $b$ si le comportement de la clientèle reste toujours le même ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

Sur le graphique ci-dessous la courbe $\mathcal{C}$ représente une 
fonction $f$ définie sur $\R$.

\begin{center}\psset{unit=3cm} 
\begin{pspicture}(-2,-0.4)(2,2)
\psline(0,0)(1,1)
\psline(0.1,-0.1711)(1.3,1.0289)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.3pt,subgridwidth=0.2pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-2,-0.4)(2,2)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2,-0.4)(2,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\psline[linestyle=dotted](0.333,0)(0.333,0.123)(0,0.123)
\uput[d](0.3333,0){$\frac{1}{3}$}
\uput[l](0,0.123){$\frac{1}{3\text{e}}$}
\uput[dr](0.3333,0.123){M} \uput[dl](0,0){O}
\uput[r](1,1){P}
\uput[r](0.7,0.4){T}
\uput[ur](1,0){Q}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{1.29}{2.71828 x 1 sub 1.5 mul exp x mul}
\end{pspicture} \end{center}

\begin{enumerate} 
\item Expression de la fonction

La fonction $f$ est définie sur $\R$ par $f(x) = x\text{e}^{mx} + p$, $m$ et 
$p$ étant deux constantes.
	\begin{enumerate} 
		\item En utilisant les points P(1 ; 1) et 
M$\left(\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{1}{3\text{e}}\right)$ de la courbe	$\mathcal{C}$, démontrer que $m$ et $p$ vérifient : $\left\{\begin{array}{l c r}
m + p		&=&0\\
m + 3p 	&=&- 3\\
\end{array}\right.$.
		\item  En déduire que $f(x) = x\text{e}^{\frac{3}{2} (x-1)}$.
	\end{enumerate}
\item Tableau de variations de $f$.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$. On admet que 
$\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = 0$.
		\item Vérifier que 

\[f'(x) = \left(\dfrac{3}{2} x + 1\right)\text{e}^{\frac{3}{2} 
(x-1)}.\]

		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\R$ et dresser le tableau de 
variations de $f$.
	\end{enumerate}
\item Point de $\mathcal{C}$ où la tangente est parallèle à la droite (OP)
	\begin{enumerate} 
		\item On admet que $f'$ est strictement croissante sur l'intervalle 
[0~;~1].

Calculer $f'(0)$ et $f'(1)$.

Démontrer que, dans l'intervalle c[0~;~1], l'équation $f'(x) = 1$ a 
une solution unique $t$.

Donner un encadrement de $t$ d'amplitude $10^{-2}$.
		\item Justifier que $t$ est l'abscisse du point T de la courbe $\mathcal{C}$, situé entre O et P où la tangente est parallèle à la droite (OP).
	\end{enumerate}
\item Aire du domaine situé entre la courbe et le segment [OP]

On note $\mathcal{A}$ la mesure, en unités d'aire, de l'aire du domaine 
délimité par la courbe $\mathcal{C}$, le segment [OQ] et le segment [PQ] et $S$ la mesure, en  unités d'aire, de l'aire du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$ et le segment [OP].
	\begin{enumerate} 
		\item Justifier que $S = \dfrac{1}{2} -  \mathcal{A}$.
		\item Déterminer pour quelle valeur du réel $k$ la fonction 

\[G \quad :\quad  x \longmapsto  k\text{e}^{\frac{3}{2} (x-1)}.\]
		
est une primitive de la fonction $g\quad  \quad : x \longmapsto \text{e}^{\frac{3}{2} (x - 1)}$.
		\item Vérifier que $f(x) = \dfrac{2}{3}\left(f'(x) - g(x)\right)$. En déduire une primitive $F$ de $f$.
		\item Démontrer que $\mathcal{A} = \dfrac{2}{9}\left(1 + 
2\text{e}^{-\frac{3}{2}}\right)$.

Donner alors la valeur exacte de $S$ puis une valeur approchée 
de $S$ à $10^{-2}$ près. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%  fin Nouvelle-Calédonie novembre 2001
\newpage
%%%%%%%%%%%%%  Nouvelle--Calédonie mars 2002
\hypertarget{Caledoniemars}{}

\label{Caledoniemars}
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}}
\rfoot{\small mars 2002}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES  Nouvelle--Calédonie mars 2002~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,35cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\bigskip

\emph{Les résultats seront donnés, dans cet exercice, sous la forme d'une fraction.}

\medskip

Un club a organisé en l'an 2000, à l'intention de ses adhérents, trois voyages différents.

Deux contrats sont proposés (à l'exclusion de toute autre possibilité)

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item un contrat ($\mathcal{A}$) avec l'obligation d'effectuer au plus deux voyages ;
\item un contrat ($\mathcal{B}$) avec l'obligation d'effectuer au moins deux voyages.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\np{1200} membres ont participé à au moins l'un de ces trois voyages et 800
ont choisi le contrat de type ($\mathcal{A}$).

On choisit au hasard un des participants.

On note :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item $A$ l'évènement : \og a choisi un contrat de type ($\mathcal{A}$) \fg{} ;
\item $B$ l'évènement : \og a choisi un contrat de type ($\mathcal{B}$) \fg{} ;
\item $V_{1}$ l'évènement : \og a effectué exactement 1 voyage \fg{} ;
\item $V_{2}$ l'évènement : \og a effectué exactement 2 voyages \fg{} ;
\item $V_{3}$ l'évènement : \og a effectué exactement 3 voyages \fg{} ;
\item $p(E)$ la probabilité de l'évènement $E$ ;
\item $p_{F}(E)$ la probabilité de l'évènement $E$ sachant que $F$ est réalisé.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On sait de plus que plus que $p_{A}\left(V_{1}\right) = \dfrac{3}{4}$ 	et $p_{V_{2}}(A) = \dfrac{2}{3}$.

Pour répondre aux questions suivantes on pourra s'aider de l'arbre ci-dessous (en le complétant au fur et à mesure)

\bigskip

\begin{center}\pstree[treemode=D,nodesep=2.5pt]{\Tdot}
{
	\pstree{\Tdot~[tnpos=r]{$A$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{$V_{1}$}
 \Tdot~[tnpos=r]{$V_{2}$}
 		}
	\pstree{\Tdot~[tnpos=r]{$B$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{$V_{2}$}
 \Tdot~[tnpos=r]{$V_{3}$}
 		}
}		
		 \end{center}
		 
\bigskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $p(A)$ et $p(B)$.
		\item Déterminer $p\left(A \cap  V_{1}\right)$ et en déduire que $p\left(V_{1}\right) = \dfrac{1}{2}$.
		\item Déterminer $p\left(A \cap  V_{2}\right)$ et en déduire que $p\left(V_{2}\right) = \dfrac{1}{4}$.
		\item Calculer $p\left(V_{3}\right)$.
		\item Déterminer $p_{B}\left(V_{2}\right)$. À quoi correspond ce nombre ?
	\end{enumerate}
\item On répète 5 fois, de façon indépendante, le choix au hasard d'un  des participants.

Soit $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de membres, parmi les 5 choisis, ayant effectué exactement 2 voyages.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $p(X = 0)$.
		\item Déterminer $p(X \geqslant 1)$.
		\item Déterminer $p(X = 3)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\bigskip

\emph{Dans cet exercice, les résultats numériques pourront être obtenus à l'aide de la calculatrice sans justification.}

Le tableau suivant donne l'évolution du nombre de départs à la retraite au sein d'une entreprise à effectif stable.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X |}}\hline
Année	&1992	&1993	&1994	&1995	&1996	&1997	&1998	&1999\\ \hline
$x_{i}$	&	0	&	1	&	2	&	3	&	4	&	5	&	6	& 	7\\ \hline
$y_{i}$	&	50	&	53	&	53	&	58	&	57	&	59	&	63	& 	64\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

$x_{i}$ désigne le rang de l'année ; $y_{i}$ désigne le nombre de départs à la retraite.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Représenter le nuage de points $M_{i}(x_{i}~;~ y_{i})$ associé à la série double dans un repère orthogonal ayant pour origine le point M$_{0}(0~;~ 50)$, et pour unités 2 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées.
\item Dans cette question les résultats seront donnés à $10^{-2}$ près par défaut.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le coefficient de corrélation linéaire entre $x$ et $y$. (Hors programme 2003,)
		\item Peut-on envisager un ajustement affine ? Pourquoi ?
		\item Donner une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés.
		\item Tracer cette droite sur le graphique précédent.
	\end{enumerate}
\item En supposant que l'évolution se poursuive de la même façon pour les années suivantes, déterminer une estimation, arrondie à l'entier le plus proche, du nombre de départs à la retraite dans cette entreprise en 2000, puis en 2003.
\item En réalité, 64 employés ont fait valoir en 2000 leur droit à la retraite.

Soit T : estimation théorique obtenue pour l'année 2000.

Soit R : nombre réel donné ci-dessus.

On considère la différence T $-$ R.

Quel pourcentage cette différence représente-t-elle par rapport à l'estimation théorique ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\bigskip

Dans tout le problème, le plan est rapporté à un repère orthogonal
\Oij.

Unités graphiques $\dfrac{1}{4}$ cm sur l'axe des abscisses et $4$ cm sur l'axe des ordonnées.
 
\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle I = [0~;~60] par

\[g(x) = \dfrac{x - 8}{10(x + 2)}.\]
 
On désigne par $\Gamma$ sa courbe représentative relativement au repère \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée de la fonction $g$.
		\item Étudier le sens de variations de la fonction $g$.
		\item Déterminer les coordonnées des points d'intersection de $\Gamma$ avec l'axe des ordonnées, puis avec l'axe des abscisses.
		\item Déterminer le signe de la fonction $g$ sur I. 
	\end{enumerate}
\item Démontrer que $\Gamma$ admet en un point A et un seul une tangente
parallèle à la droite d'équation $y = \dfrac{1}{9}x + 10$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que, pout tout $x$ de I,~$g(x) = \dfrac{-1}{x + 2} + \dfrac{1}{10}$.
		\item Déterminer une primitive de la fonction $g$ sur I.
		\item Calculer le nombre réel $\displaystyle\int_{10}^{20} f(x)\,\text{d}x$. Préciser, en justifiant, ce que représente géométriquement ce nombre.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $B$ définie sur I = [0 ; 60] par
  
\[B(x) = 0,1x - \ln (x + 2 ) - 1.\]
 
\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la fonction $B$ est dérivable sur I.
		\item Démontrer que petit tout réel $x$ appartenant à I on a $B'(x) = g(x)$.
		\item Dresser le tableau de variations de $B$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que l'équation $B(x) = 0$ admet dans l'intervalle [49~;~50] une solution et une seule. On note $\alpha$ cette solution.  
		\item Déterminer un encadrement à $10^{-1}$ près de $\alpha$. 
		\item Déduire des questions 1. c. et 2. a. que l'équation $B(x) = 0$ admet dans l'intervalle I = [0~;~60] une solution et une seule.
	\end{enumerate}
\item Tracer la courbe représentative de la fonction $B$ dans le repère
orthogonal \Oij. 
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip

Une entreprise produit quotidiennement $x$ voitures ($0 \leqslant  x \leqslant  60$) pour un coût total exprimé en millions de francs par
 
 \[C(x) = 0,2x + \ln (x + 2) + 1.\]
 
Chaque voiture produite est vendue, et ce, au prix de \np{300000} francs. On appelle $R(x)$ la recette totale (en millions de francs) résultant de la vente de $x$ voitures.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer $R(x)$ en fonction de $x$.
\item Exprimer le terme $R(x) - C(x)$ en fonction de $x$. Que représente
ce terme ? 
\item Déterminer le nombre minimal de voitures à fabriquer journellement pour rentabiliser l'entreprise.
\item Pour quelle production quotidienne de voitures la perte de l'entreprise est-elle maximale ?
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%   fin Nouvelle Calédonie mars 2002
\end{document} 