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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES  2002~\decofourright \\
\vspace{1cm} L'intégrale d'avril   à novembre 2002}}
\vspace{1cm}

Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large \textcolor{blue}{bleus}}
\end{center} 

\vspace{1cm}
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\Large}X}
\hyperlink{Pondichery}{Pondichéry  avril 2002} \dotfill  \pageref{Pondichery}\\ 
\hyperlink{AmeriqueduNord}{Amérique du Nord  juin 2002} \dotfill  \pageref{AmeriqueduNord}\\
\hyperlink{Antilles}{Antilles-Guyane  juin 2002} \dotfill  \pageref{Antilles}\\
\hyperlink{Asie}{Asie juin 2002} \dotfill \pageref{Asie}\\
\hyperlink{Centresetrangers}{Centres étrangers  juin 2002} \dotfill \pageref{Centresetrangers}\\
\hyperlink{Metropole}{Métropole  juin 2002} \dotfill \pageref{Metropole}\\
\hyperlink{LaReunion}{La Réunion  juin 2002}   \dotfill \pageref{LaReunion}\\
\hyperlink{Liban}{Liban  juin 2002}  \dotfill \pageref{Liban}\\ 
\hyperlink{Polynesie}{Polynésie   juin 2002} \dotfill \pageref{Polynesie}\\
\hyperlink{Antillessept}{Antilles--Guyane  septembre 2002} \dotfill \pageref{Antillessept}\\ 
\hyperlink{Metropolesept}{Métropole septembre 2002} \dotfill \pageref{Metropolesept}\\ 
\hyperlink{Polynesiesept}{Polynésie  septembre 2002}\dotfill \pageref{Polynesiesept}\\
\hyperlink{AmeriqueduSud}{Amérique du Sud novembre 2002} \dotfill \pageref{AmeriqueduSud}\\ 
\hyperlink{Caledonienov}{Nouvelle--Calédonie   novembre 2002} \dotfill \pageref{Caledonienov}
\end{tabularx}
\newpage
 ~
\newpage
%%%%%%%%%%%%%  Pondichéry avril 2002
\hypertarget{Pondichery}{}

\label{Pondichery}
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small{avril 2002}}
\pagestyle{fancy}    
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES  Pondichéry avril 2002~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On donne les valeurs d'un indice boursier au premier de chaque mois entre 
janvier et septembre 2001.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Date &1/01 		&1/02 		&1/03 		&1/04 		&1/05 		&1/06 		&1/07 		&1/08 & 
1/09\\ \hline
Rang $x_i$&1 	&2			&3			&4			&5			&6			&7			&8&9\\ \hline
Indice 
$y_i$&\np{7100}	&\np{6900}	&\np{6800}	&\np{6600}	&\np{6500}	&\np{6350}	&\np{6400}	&\np{6250}&\np{6000}\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

\emph{Les calculs seront effectués à l'aide de la 
calculatrice. Aucun détail de ces calculs n'est demandé.}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Représenter dans un repère orthogonal le nuage de 
points associé à la série statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$. On prendra 1 
cm pour deux unités en abscisse et 1~cm pour $200$ points d'indice en 
ordonnées, en commençant au point (0~;~\np{5000}).
\item Donner le coefficient de corrélation linéaire de la 
série $\left(x_i~;~y_i\right)$ arrondi à $0,01$.
\item On considère que ce coefficient justifie un ajustement 
affine par la méthode des moindres carrés. Donner une équation de la 
droite D d'ajustement affine de $y$ en $x$ (les coefficients étant arrondis 
à 0,01). Tracer D dans le repère.
\item On suppose que la tendance se poursuit.
	\begin{enumerate} 
		\item En utilisant cet ajustement, donner une estimation à 10 
points près de cet indice boursier au $1\up{er}$ janvier 2002.
		\item Calculer le mois à partir duquel on peut estimer que cet indice sera inférieur à \np{5000}. Comment peut-on vérifier ce résultat graphiquement ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Un jardinier propose ses services pour la plantation de la pelouse dans un 
lotissement nouvellement construit. Il dispose de deux produits : soit un 
gazon sport, soit un gazon anglais.

Parmi les foyers du lotissement, $60\,\%$ se déclarent intéressés 
par cette offre ; cependant le jardinier sait par expérience que, parmi 
ceux qui se disent intéressés, $50\,\%$ se décident pour le gazon sport, 
$30\,\%$ pour le gazon anglais, les autres renonçant finalement à faire appel à lui.

On note :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[] $I$ l'évènement \og le foyer est intéressé \fg{} ;
\item[] $S$ l'évènement \og le foyer prend du gazon sport \fg{} ;
\item[] $A$ l'évènement \og le foyer prend le gazon anglais \fg{} ;
\item[] $R$ l'évènement \og le foyer renonce à faire appel au jardinier \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Un foyer du lotissement est pris au hasard.

\begin{enumerate} 
\item Calculer les probabilités des évènements suivants :

$\bullet~$ \og le foyer est intéressé et prend du gazon sport \fg{} soit $I \cap S$ ;

$\bullet~$ $I \cap A$ ;

$\bullet~$ $I \cap R$.

\item Calculer la probabilité que le jardinier ne plante pas la pelouse dans ce foyer.

\item La plantation du gazon sport est facturée \np{2000}~\euro{} 
et celle du gazon anglais $s$ \euro. On appelle $X$ la variable aléatoire 
égale au montant (qui peut être nul) versé au jardinier par un foyer pris 
au hasard dans le lotissement.
	\begin{enumerate} 
		\item Donner la loi de probabilité de $X$.
		\item Exprimer l'espérance mathématique de $X$ en fonction de $s$.
		\item Calculer $s$ pour que le jardinier espère gagner en moyenne \np{1200} \euro{} par foyer dans ce lotissement.	
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Soit M la matrice carrée d'ordre 5 :

\[\text{M} = \begin{pmatrix}
0&1&1&1&1\\
1&0&1&1&0\\
1&1&0&1&1\\
1&1&1&0&0\\
1&0&1&0&0\\
\end{pmatrix}.\]

\smallskip

\begin{enumerate} 
\item Construire le graphe associé à M. On  appellera A, B, C, D, E les sommets.

Ce graphe est-il connexe ? Est-il complet ?

\item Existe-t-il une chaîne eulérienne ?

Existe-t-il un cycle eulérien ?

\item Donner un encadrement du nombre chromatique du graphe et 
déterminer sa valeur.

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer M$^2$.

		\item Combien y-a-t-il de chaînes de longueur 2 entre A et B ? Entre C 
et A ?

	\end{enumerate}

\item Combien y-a-t-il de chaînes de longueur 3 entre B et D ?

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Une société d'achats en ligne veut analyser le déroulement d'une vente 
promotionnelle \og flash \fg{} qu'elle a organisée sur l'Internet.

Cette vente, d'une durée annoncée de trois minutes, a provoqué 
sur son site un flux financier que l'on peut supposer continu et dont la 
vitesse instantanée a été variable en fonction du temps.

On a pu modéliser cette vitesse pendant les trois minutes de 
l'ouverture du site par la fonction $f$ définie par 

\[f(t) = 20t \text{e}^{- \frac{t^2}{2}}\]

où $t$ est le temps exprimé en minutes $(t \in [0~;~3])$ et 
$f(t)$ est la vitesse instantanée de ce flux, exprimée en milliers 
d'euros par minute.

\emph{Sauf indication contraire, les résultats 
numériques seront arrondis au millième}.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\emph{Étude de la vitesse instantanée pendant les trois minutes de 
la vente.}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer la fonction dérivée de $f$.

\item Démontrer que la vitesse admet un maximum. 
Donner un arrondi au millième de ce maximum.

\item Dessiner la courbe représentative 
$\mathcal{C}_{f}$ de $f$ dans un repère orthogonal (unités : 5 cm en 
abscisse, 1 cm en ordonnées) et préciser la tangente à $\mathcal{C}_{f}$ 
au point d'abscisse 0 (on calculera son coefficient directeur).

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\emph{Détermination de la vitesse moyenne pendant les trois minutes de la vente.}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Vérifier que la fonction $F$ définie sur [0~;~3] par 

\[F(t) = - 20 \text{e}^{- \frac{t^2}{2}}\]

est une primitive de $f$ sur [0~;~3].

\item En déduire l'aire du domaine plan limité par 
l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et les droites 
d'équations $t = 0$ et $t = 3$ exprimée en unités d'aire, puis en 
cm$^2$.
\item Quelle est la valeur moyenne de $f$ sur [0~;~3] ?
\item Quelle a été la somme totale transférée à la fin des trois minutes (à un euro près) ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Au cours des trois minutes, la somme d'argent transférée en fonction 
du temps écoulé (exprimée en milliers d'euros) est représentée par la 
fonction $g$  définie par :

\[g(t) = 20 - 20 \text{e}^{- \frac{t^2}{2}},\qquad \text{avec}~t \in 
[0~;~3]. \]

\smallskip

\begin{enumerate} 
\item Étudier les variations de $g$.
\item Tracer la courbe représentative de $g$ et la 
tangente au point d'abscisse $0$ dans le repère précédent.
\item On veut savoir à partir de quel instant $t_{0}$ 
il y a eu au moins \np{18000} euros transférés.
	\begin{enumerate} 
		\item Donner un encadrement d'amplitude 0,1 de $t_{0}$ en 
utilisant le graphique.
		\item Résoudre l'inéquation $g(t) \geqslant 18$. En déduire une 
expression de la valeur exacte de $t_{0}$ et sa valeur approchée à 
une seconde près par excès.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%  fin Pondichéry avril 2002
\newpage
%%%%%%%%%%%% Amérique du Nord juin 2002

\hypertarget{AmeriqueduNord}{}

\label{AmeriqueduNord}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{juin 2002}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}    

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft ~ Baccalauréat ES Amérique du Nord juin 2002 \decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{En l'absence d'indications spécifiques, les résultats seront
 arrondis à $10^{-2}$ près. On effectuera les calculs statistiques
 à l'aide de la calculatrice. Aucun détail n'est alors demandé.}
 
\medskip

Après injection d'une substance médicamenteuse, un laboratoire de recherche
 mesure l'évolution de la quantité de cette substance dans le sang d'un
 individu.
 
Après une série de mesures, on obtient les résultats donnés dans le
 tableau indiqué en annexe (document 1), où $x$ désigne le temps écoulé depuis
 l'injection (exprimé en minutes) et $y$ désigne la quantité de substance 
(exprimée en dixièmes de grammes par litre). Le nuage de points correspondant
 est indiqué sur le document 2 de la feuille annexe.
 
Les mesures réalisées pour $x = 10$ et $x = 60$ ayant été plusieurs
 fois vérifiées, on juge que les points A et B sont fiables. On se propose de
 modéliser ce nuage à l'aide de la courbe représentative d'une fonction, afin
 de réaliser une prévision sur les points d'abscisses 50 et 70 pour lesquels
 les mesures n'ont pas été effectuées.
 
\emph{Les questions} 1 \emph{et} 2 \emph{sont indépendantes}. 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item On propose un premier modèle d'ajustement du nuage par
 une courbe $\mathcal{C}$ d'équation $y = a \ln (x) + b$, et on impose à la
 courbe de passer par les points A et B. 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer alors les réels $a$ et $b$.
		\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ sur la feuille annexe (document 2).
		\item Prévoir, à l'aide de ce premier modèle, les quantités mesurables
 pour $x = 50$ et $x = 70$. 
  \end{enumerate}
\item Dans cette question, on détermine un deuxième modèle
 d'ajustement du nuage.
	\begin{enumerate} 
		\item Compléter le tableau (document 3) qui figure sur la feuille annexe avec des résultats arrondis à $10^{-3}$ près. Calculer alors le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique $(t ,~ y)$. Un ajustement affine paraît-il alors envisageable ? 
		\item Déterminer une équation de la droite de régression de $y$ en $t$ 
par la méthode des moindres carrés. 
		\item Montrer que ce second modèle conduit à des prévisions de $y$,
 pour $x = 50$ et $x = 70$, égales à 2,70 et 1,04 respectivement. 
	\end{enumerate} 
\item Une autre équipe de recherche a effectué les mesures
 pour $x = 50$ et $x = 70$ dans les mêmes conditions et a obtenu respectivement $y = 2,4$ et $y = 0,6$. Quel modèle doit-on préférer pour ajuster ce nuage ?
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center} \textbf{ANNEXE}

\textbf{Feuille à rendre avec la copie}

\textbf{Exercice  1}
 \end{center}

\textbf{Tableau des coordonnées des points du nuage (document 1) :} 

\medskip

\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{| *{7}{>{\centering \arraybackslash}X |}} \hline
$x$&	10&	20	&	30	&	40	&	60	&	80\\ \hline
$y$&	10&	7,8	&	6	&	3,5	&	1,5	& 	0,2\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Nuage de points (document 2) :}

\begin{center} \begin{pspicture}(9,6)
\psline(0,0)(9,0) \psline(0,1)(9,1) \psline(0,2)(9,2) \psline(0,3)(9,3) 
\psline(0,4)(9,4) \psline(0,5)(9,5) \psline(0,6)(9,6)
\psline(0,0)(0,6) \psline(9,0)(9,6)
\uput[d](0,0){0}  \uput[d](1,0){10}  \uput[d](2,0){20}  \uput[d](3,0){30}  
\uput[d](4,0){40}  \uput[d](5,0){50}  \uput[d](6,0){60}  \uput[d](7,0){70}  
\uput[d](8,0){80}  \uput[d](9,0){90}
\uput[l](0,0){0}  \uput[l](0,1){2} \uput[l](0,2){4} \uput[l](0,3){6}
\uput[l](0,4){8}\uput[l](0,5){10} \uput[l](0,6){12}
\rput(1,5){\small $\blacksquare$} \rput(2,3.9){\small $\blacksquare$} \rput(3,3){$\blacksquare$} 
\rput(4,1.75){\small $\blacksquare$} \rput(6,0.75){\small $\blacksquare$}
 \rput(8,0.1){\small $\blacksquare$}     
\uput[ur](1,5){A} \uput[ur](6,0.75){B}
\end{pspicture} \end{center} 

\newpage 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\begin{center} \begin{pspicture}(10,7)
\psline(4.5,6)(4.5,5)
\psline(4.5,5)(1.5,3)    \psline(4.5,5)(7.5,3)
\psline(1.5,3)(0.5,2) \psline(1.5,3)(2.5,2)
\psline(7.5,3)(5.5,2.5)
\psline(5.5,2.5)(4.5,2) \psline(5.5,2.5)(6.5,2)
\psline(0.5,2)(0.5,1) \psline(2.5,2)(2.5,1)
\psline(4.5,2)(4.5,1) \psline(6.5,2)(6.5,1)
\psline(9.5,2)(9.5,1) \psline(7.5,3)(9.5,2)
\rput(2,5){gauche $\Longleftarrow$ }
\rput(7,5){$\Longrightarrow$ droite}
\uput[u](4.5,6){I} \psframe(4,6)(5,6.5) 
\uput[u](0.5,0){$a$} \uput[u](2.5,0){$b$} \uput[u](4.5,0){$c$} 
\uput[u](6.5,0){$d$} \uput[u](9.5,0){$e$}
\psframe(0,0)(1,1) \psframe(2,0)(3,1) \psframe(4,0)(5,1) 
\psframe(6,0)(7,1) \psframe(9,0)(10,1) 
\end{pspicture}
\end{center}

On considère le circuit de billes schématisé par la figure ci-dessus.
 Un joueur lâche une bille en I et on admet qu'à chaque bifurcation la bille
 prend la direction gauche avec une probabilité de $\dfrac{1}{4}$.

\begin{enumerate} 
\item Réaliser un arbre pondéré modélisant cette expérience aléatoire.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Utiliser cet arbre pour déterminer les probabilités
 des évènements élémentaires suivants, sous forme de fractions irréductibles :
 
$A$ : \og La bille arrive en $a$ \fg{} ;

$B$ : \og La bille arrive en $b$ \fg{} ;

$C$ : \og La bille arrive en $c$ \fg{} ;

$D$ : \og La bille arrive en $d$ \fg{} ; 

$E$ : \og La bille arrive en $e$ \fg. 

Vérifier que la probabilité de l'évènement $D$ est $\dfrac{9}{64}$.
		\item Parmi les évènements précédents, quel est l'évènement le moins
 probable ? Le plus probable ? 
	\end{enumerate}
\item Le joueur gagne 48~points si la bille arrive en $a$, 16 points si elle arrive en $b$ et 64~points 
si elle arrive en $c$. Il ne gagne rien si la bille arrive en $d$ et il perd $32$ points si elle arrive en $e$.
	\begin{enumerate} 
		\item On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de points obtenus :
 ainsi si la bille arrive en $e$, on a $X = - 32$. En utilisant les résultats
 de la deuxième question, donner la loi de probabilité de $X$.
		\item Calculer alors E($X$), espérance mathématique de $X$. Le joueur
 a-t-il intérêt à jouer ?
		\item L'organisateur du jeu se doit de proposer un jeu équitable 
(c'est-à-dire tel que E($X) = 0$). Pour cela il décide de modifier le nombre
 de points perdus si la bille arrive en $e$. Quel nombre de points perdus
 doit-il choisir pour que E($X) = 0$ ? 
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère une fonction $f$ définie sur $\R$ par une expression de la 
forme 

\[f(x) = k + \dfrac{1}{4} (ax + b)\text{e}^x,\]

où $a$,\: $b$ et $k$ sont des nombres réels que l'on se propose de déterminer dans la \textbf{partie A}.
 
\bigskip

\begin{center}\textbf{Partie A} \end{center}

Sur la figure ci-dessous, on peut lire la représentation graphique de la
 fonction $f$ obtenue sur l'intervalle [0~;~3] à l'aide d'un logiciel de tracé
 ou d'une calculatrice graphique. On précise
que :

$\bullet~$ A est le point de la courbe d'abscisse 3,

$\bullet~$ Au point A, la courbe admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses,

$\bullet~$ Le point B(0~;~4) est un point de la courbe,

$\bullet~$ La droite (BC) est tangente à la courbe au point B, avec C (2 ; 2,5).

\begin{center} \psset{xunit=4cm,yunit=1.5cm}
\begin{pspicture}(3,4.5)
\psline[linewidth=1.25pt](0,4)(3,1.75)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](0,2.5)(2,2.5)(2,0)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{3}{5 0.25 x 4 sub mul 2.71828 x exp mul add}
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(3,4.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\multido{\n=0.0+0.1}{45}{\psline(0,\n)(0.04,\n)} 
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer une équation de la droite (BC).
\item Donner les valeurs des nombres $f(0),\:f'(0)$ et $f'(3)$.
\item Calculer l'expression de $f'(x)$ en fonction de $a,\: b$
 et $k,\: f'$ désignant la fonction dérivée de $f$.
\item Déduire des résultats des questions \textbf{2.} et 
\textbf{3.} les valeurs des réels $a,~ b$ et $k$. Vérifier que pour
tout $x$ réel : $f(x) = 5 + \dfrac{1}{4} (x - 4)\text{e}^x$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{Partie B} \end{center}

On étudie maintenant la fonction $f$ définie par : $f(x) = 5 + \dfrac{1}{4} (x - 4)\text{e}^x$  sur son ensemble de définition $\R$.

On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans
 un repère orthogonal \Oij.

\begin{enumerate} 
\item Calculer $f(3)$ et en donner une valeur approchée
 à $10^{-3}$ près. Confronter ce résultat à la figure de la première partie.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
		\item Démontrer que, pour tout réel $x,~ f(x) = \left(5 - \text{e}^x\right) + \dfrac{1}{4} x\text{e}^x$ et en déduire la limite de $f$  en $- \infty$ (on rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^x = 0$).
		
Quelle est l'interprétation graphique de ce résultat ? 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau
 de variations.
		\item Démontrer que la courbe $\mathcal{C}$ coupe la droite $\Delta$,
 d'équation $y = 5$, en un point E dont on précisera les coordonnées. 
	\end{enumerate}
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\Delta$
 (unités graphiques : 1 cm sur $\left(\text{O}~ ;~ \vect{\imath}\right)$ et 2 cm sur $\left(\text{O}~ ; ~ \vect{\jmath}\right)$.
\item En utilisant une observation graphique et la remarque
 de la question \textbf{1} de la \textbf{partie B}, indiquer le nombre de
 solutions de l'équation $f(x) = 0$ (on ne demande pas de résoudre cette
 équation mais il faut justifier succinctement la réponse). 
\end{enumerate}
 
\bigskip

\begin{center}\textbf{Partie C} \end{center}

\begin{enumerate} 
\item Vérifier graphiquement que, pour tout réel $x$ dans
 l'intervalle $[-2~;~2]$ :
 
\[0 \leqslant f(x) \leqslant 5.\]

\item Démontrer que la fonction $g$, définie par $g(x) =
 (x - 1)\text{e}^x$, est une primitive sur $\R$ de la
fonction $h : x \mapsto  x\text{e}^x.$
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier que, pour tout réel $x$, on a : $5 - f(x) =
 \text{e}^x - \dfrac{1}{4} x\text{e}^x$.
		\item Calculer, en cm$^2$, l'aire du domaine plan délimité par la courbe et les droites d'équations $x = -2 ,~ x = 2$ et $y = 5$. On hachurera ce domaine sur le graphique et on donnera un résultat exact, puis approché à
 $10^{-2}$ près.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%% fin Amérique du Nord juin 2002
\newpage
%%%%%%%%%%%%% Antilles-Guyane juin 2002
\hypertarget{Antilles}{}

\label{Antilles}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2002}}
\pagestyle{fancy}    
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES  Antilles-Guyane juin 2002~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textsl{On rappelle que l'euro est la nouvelle monnaie en
usage en France.}

Le tableau ci-dessous donne l'évolution du SMIC horaire converti en
 euros de 1995 à 2002.

\begin{center} 
\begin{tabular}{| l | *{7}{c|}}\hline
Année &1995 & 1996 & 1997 & 1998 & 1999 & 2000 & 2001\\ \hline
Rang de l'année ~$x_i$& 0 & 1 & 2& 3& 4& 5& 6\\ \hline
SMIC horaire en euros ~$y_i$& 5,64& 5,78& 6,01 &6,13& 6,21 & 6,41& 6,67\\ 
\hline
\multicolumn{8}{r}{\scriptsize (Source : INSEE)}
\end{tabular} 
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer le pourcentage d'évolution du SMIC horaire
 entre les années 1995 et 2001 (le résultat sera arrondi au centième)
\item Représenter le nuage de points associé à la série
 statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal (unités graphiques : 2~cm pour une année sur l'axe des abscisses, 
 10~cm pour 1~euro sur l'axe des ordonnées ;
 les graduations commencent à 0 sur l'axe des abscisses et à 5 sur l'axe des
 ordonnées)

\item Dans cette question, les calculs effectués à la
 calculatrice ne seront pas justifiés et les résultats seront donnés au millième.

Le nuage de points montre qu'un ajustement affine est justifié. 

Donner une équation de la droite de régression D de $y$ en $x$,
 obtenue par la méthode des moindres carrés. Représenter la droite D dans le
 repère précédent.
\item Calculer, avec cet ajustement affine, le montant du
 SMIC horaire en euros que l'on peut prévoir en 2005 (résultat arrondi au
 centième)
\item On envisage un autre modèle pour prévoir l'évolution du
 montant du SMIC horaire. On suppose qu'à partir de l'année 2001, le SMIC
 horaire progressera de 2\:\% par an. On désigne par $u_n$ le montant du
 SMIC horaire, en euros, de l'année $(2001 + n)$. On a donc $u_0 = 6,67.$
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer le montant du SMIC horaire en 2005 (résultat arrondi au
 centième)
		\item À partir de quelle année le SMIC horaire aura-t-il dépassé 10 
euros ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Lors d'une enquête réalisée auprès de familles d'une région, concernant
 leur habitation principale, on apprend que 55\,\% des familles interrogées
 sont propriétaires de leur logement, 40\,\% en sont locataires et enfin 5\:\%
 occupent leur logement gratuitement (ces familles seront appelées dans la
 suite de l'exercice \og occupant à titre gratuit \fg.)

Toutes les familles interrogées habitent soit une maison individuelle ,
 soit un appartement ; toute habitation ne contient qu'une seule famille.

60\,\% des propriétaires habitent une maison individuelle, 80\,\% des
 locataires habitent un appartement et enfin 10\:\% des occupants à titre gratuit habitent une maison individuelle.

On interroge au hasard une famille de la région et on note :

$A$ l'évènement : \og la famille habite un appartement \fg{} ;

$L$ l'évènement : \og la famille est locataire \fg{} ;

$P$ l'évènement : \og la famille est propriétaire \fg{} ;

$G$ l'évènement : \og la famille est occupant à titre gratuit \fg.

On notera $p(E)$ la probabilité de l'évènement $E$. L'évènement contraire de $E$
 sera noté $\overline{E}$.

$p(E/F)$ désignera la probabilité conditionnelle de l'évènement $E$ par rapport
 à l'évènement $F$.
 
 \medskip
 
\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Préciser à l'aide de l'énoncé les probabilités suivantes : $p\left(\overline{A}/P\right)$,\: $p(A/L)$ et 
  $p\left(\overline{A}/G\right)$.
		\item Construire un arbre pondéré résumant la situation.
	\end{enumerate}
\item Calculer la probabilité de l'évènement : \og la famille
 est propriétaire et habite un appartement \fg{}.
\item Montrer que la probabilité de l'évènement $A$ est égale à $0,585$.
\item On interroge au hasard une famille habitant un appartement.
 Calculer la probabilité pour qu'elle en soit le propriétaire.
\item On interroge trois familles de la région, le choix de
 ces familles se faisant aléatoirement et de manière indépendante.

Calculer la probabilité d'interroger trois familles habitant un
 appartement. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

Un dé à 6 faces a été testé sur un grand nombre de lancers.

On a obtenu les résultats partiels suivants pour chaque face :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Face 		&1 &2 &3 &4 &5 &6\\ \hline
Fréquence 	&$a$& 0,15&0,10&0,10&0,15&$b$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Pour la suite, on assimile ces fréquences aux probabilités des évènements
correspondants.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que: $a + b = 0,5$.
		\item On considère la variable aléatoire égale au numéro de la face
obtenue; sachant que son espérance mathématique est égale à $3,75$
quelle relation doivent vérifier $a$ et $b$ ?
		\item En déduire que : $a = 0,2$ et $b = 0,3$.
	\end{enumerate}
\item On lance le dé.
	
Calculer la probabilité de l'évènement: \og On obtient un nombre impair \fg.
\item Un joueur lance le dé 3 fois de suite. Les lancers sont indépendants
les uns des autres.
	
Chaque nombre impair apparu lui fait gagner 10 euros et chaque nombre pair lui fait perdre 10 euros.
	
On note $Y$ la variable aléatoire égale au gain obtenu (positif ou négatif).
	
\emph{Tous les résultats seront arrondis au millième.}
	\smallskip

	\begin{enumerate}
		\item On appelle $X$ la variable aléatoire égale au nombre de lancers donnant
un nombre impair. Établir la loi de probabilité de $X$.
		\item Quelles sont les valeurs possibles pour $Y$ ?
		\item Établir la loi de probabilité de $Y$.
		\item Calculer l'espérance mathématique $E(Y)$.
		
Ce jeu est-il favorable au joueur ?
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\newpage

\begin{center} \textbf{Graphique de } \boldmath $f$ \unboldmath

\vspace{1cm}

\psset{unit=2cm}\begin{pspicture}(6,5.2)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](0,0)(6,5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(6,5.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.007}{6}{x x ln sub}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

Le but de ce problème est d'étudier des fonctions utiles pour modéliser des
 situations en économie : seuil de rentabilité, bénéfice maximum, etc.
 
On rappelle que l'euro est la nouvelle monnaie en usage en France.

\medskip

\textbf{Première partie}

\medskip

On considère la fonction $g$ donnée sur I = [10 ; 50] par sa représentation
 graphique et le tableau de valeurs ci-dessous :

\[ \begin{tabularx}{0.6\linewidth}{| *{4}{>{\centering \arraybackslash}X |}}\hline
$x$ 	&10		& 20	& 50\\ \hline
$g(x)$	& 7 	& 0 	& $-1,8$\\ \hline
\end{tabularx}\]

\psset{xunit=0.24cm,yunit=1cm}
\begin{center} \begin{pspicture}(0,-2)(50,7)
\psaxes[Dx=10,linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,-2)(50,7)
\psplot[linecolor=red,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{10}{50}{1 x ln 20 ln div sub 300 mul x div}
\end{pspicture}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate} 
\item En utilisant les données de l'énoncé, préciser le signe de $g(x)$ sur I.
\item Soit $G$ une primitive de $g$ sur I.
	\begin{enumerate} 
		\item Quelle est la particularité de la courbe représentative de $G$ au point d'abscisse 20 ?
		\item L'une des trois courbes données en annexe est représentative de la fonction $G$. Déterminer laquelle en donnant toutes les justifications. 
	\end{enumerate}  
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur I $= [1~;~20]$ par 

\[f(x) = \dfrac{100}{x} \times  (3 - \ln x).\]

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $f'(x)$ où 
    $f'$ est la fonction dérivée de $f$ sur I.
		\item Montrer que $f'(x) = \dfrac{100}{x} \times  (\ln x - 4).$
	\end{enumerate}
\item Étudier le signe de $f'$ sur I. En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
\item Calculer $f(\text{e}^3)$. En déduire le signe de $f$ sur I.
\item Soit la fonction $F$ définie sur I par $F(x) = - 50 (\ln x  - 3)^2 + 30$.
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur I
		\item En déduire le tableau de variation de la fonction $F$.
	\end{enumerate}
\item Donner des raisons qui permettent de considérer la fonction $g$ de la première partie comme une bonne approximation de la fonction $f$. 
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Troisième partie}

\medskip

La société Dumoulin, qui fournit des hangars préfabriqués pour l'industrie
 peut en produire jusqu'à $50$ par mois.

Son bénéfice, pour $q$ unités produites ($q$ entier entre 10 et 50)
 est donné par :

\[B(q) = - 50 (\ln q - 3)^2 + 30 \quad  \text{en milliers d'euros.}\]

\smallskip

\begin{enumerate} 
\item À partir des études précédentes, ou de la calculatrice,
 déterminer l'ensemble des valeurs de $q$ qui permettent d'obtenir un résultat
 positif.
\item Déterminer la valeur de $q$ qui permet d'obtenir un bénéfice maximum.  Préciser ce bénéfice maximum.
\end{enumerate} 



\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité origine inconnue}

\medskip

\textsl{On rappelle que l'euro est la nouvelle monnaie en usage en France.}

\medskip

Un dé à 6 faces a été testé sur un grand nombre de lancers. On a obtenu
 les résultats partiels suivants pour chaque face :
 
\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l |*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Face 		&1 	&2 		&3 		&4 		&5 		&6 \\ \hline
Fréquence 	&$a$&0,15 	&0,10 	&0,10 	&0,15 	&$b$\\ \hline
\end{tabularx} 

\medskip

Par la suite, on assimile ces fréquences aux probabilités des évènements
 correspondants.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que $a + b = 0,5$.
		\item On considère la variable aléatoire égale au numéro de la face obtenue ; sachant que son espérance mathématique est égale à 3,75 quelle relation doivent vérifier $a$ et $b$ ?
		\item En déduire que $a = 0,2$ et $b = 0,3$.
	\end{enumerate}
\item On lance le dé. Calculer la probabilité de l'évènement : \og on obtient un numéro impair \fg.
\item Un joueur lance le dé trois fois de suite. Les lancers 
sont indépendants les uns des autres. Chaque nombre impair apparu lui fait
 gagner 10 euros et chaque nombre pair lui fait perdre 10 euros. On note 
 $Y$ la variable aléatoire égale au gain obtenu (positif ou négatif).

Tous les résultats seront arrondis au millième.
	\begin{enumerate} 
		\item On appelle $X$ la variable aléatoire égale au nombre de lancers
 donnant un nombre impair. Établir la loi de probabilité de $X$.
		\item Quelles sont les valeurs possibles pour $Y$ ?
		\item Établir la loi de probabilité de $Y$.
		\item Calculer l'espérance mathématique E($Y$). Ce jeu est-il favorable au joueur ?
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{Annexe} 
\end{center}
    
\vspace{1cm}

\textbf{Courbe numéro 1}

\psset{xunit=0.2cm,yunit=6cm,comma=true}
\begin{center} 
\begin{pspicture}(0,-0.6)(50,0.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=0.1]{->}(0,0)(0,-0.6)(60,0.2)
\pscurve[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](10,-0.51)(20,0.04)(50,0.2)
\rput(50,-0.2){$f_{1}(10) = - 0,51$}
\rput(50,-0.4){$f_{1}(20) = 0,04$}
\rput(50,-0.6){$f_{1}(50) =  0,2$}
\end{pspicture}
\end{center} 

\vspace{1cm}

\textbf{Courbe numéro 2}

\psset{unit=0.2cm,yunit=0.12cm}
\begin{center} \begin{pspicture}(0,-10)(50,35)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(0,-10)(60,30)
\pscurve[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,](10,5.68)(20,30)(50,-11.6)
\rput(52,35){$f_{2}(10) = 5,68$}
\rput(52,25){$f_{2}(20) = 30$}
\rput(52,15){$f_{2}(50) = - 11,6$}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{1cm}
 
\textbf{Courbe numéro 3}
\psset{unit=0.2cm,yunit=4.2cm}
\begin{center} \begin{pspicture}(0,-0.1)(50,1.4)
\psaxes[Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(0,-0.1)(60,1.4)
\uput[l](0,-0.1){-0,1} \uput[l](0,0){0} 
\uput[l](0,0.1){0,1} \uput[l](0,0.2){0,2} 
\uput[l](0,0.3){0,3} \uput[l](0,0.4){0,4} 
\uput[l](0,0.5){0,5} \uput[l](0,0.6){0,6} 
\uput[l](0,0.7){0,7} \uput[l](0,0.8){0,8} 
\uput[l](0,0.9){0,9} \uput[l](0,1){1} 
\uput[l](0,1.1){1,1} \uput[l](0,1.2){1,2} 
\uput[l](0,1.3){1,3} 
\pscurve[linecolor=blue](10,0.4)(20,1.1)(50,0.37)
\rput(45,1.3){$f_{3}(10) = 0,4$}
\rput(45,1.1){$f_{3}(20) = 1,1$}
\rput(45,0.9){$f_{3}(50) = 0,37$}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%   fin Antilles-Guyane juin 2002   
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Asie juin 2002
\hypertarget{Asie}{}

\label{Asie}
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{juin 2002}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES  Asie juin 2002~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Une statistique publiée en l'an 1998 donne le nombre 
d'abonnés à internet dans le monde, à la fin de l'année indiquée :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année					&1995	&1996	&1997 	&1998\\\hline
Rang de l'année : $x_i$ &0		&	1	&2 		&3\\\hline
Nombre d'abonnés en 
millions : $y_i$ 		&26		&55		&101	&150\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\textsl{Pour tout l'exercice, les détails des calculs statistiques
 ne sont pas demandés.}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Représenter le nuage de points associé à cette série 
statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$.

(Prévoir sur l'axe des $y$ des graduations jusqu'à 500).
\item Des prévisions ont été réalisées pour les années 1999, 
2000 et 2001 à l'aide d'un ajustement affine par la méthode des moindres carrés.
	\begin{enumerate} 
		\item Donner une équation de la droite d'ajustement affine de $y$ 
en $x$, les coefficients étant arrondis au dixième. Tracer cette droite sur le 
graphique.
		\item Calculer avec cet ajustement les prévisions $p,~ q$ et $r$ du 
nombre d'abonnés à internet pour les années 1999, 2000 et 2001.
	\end{enumerate}
\item Le nombre d'abonnés à internet pour les années 1999 et 
2000 est maintenant connu, on obtient le nouveau tableau :

\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année								&1995	&1996	&1997	&1998 	&1999	&2000\\ \hline
Rang de l'année : $x_i$				&0		&1		&2		& 3		&4 		&5 \\ \hline
Nombre d'abonnés en millions : $y_i$&26		&55		&101 	&150 	&248  	&407\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

\smallskip

	\begin{enumerate} 
		\item Placer les nouveaux points sur le graphique. L'ajustement 
choisi à la question \textbf{2} ne paraît plus pertinent ; on essaie donc un
 autre ajustement.
		\item Pour cela, on pose $z_i = \ln (y_i)$.

Calculer, arrondies au centième, les valeurs $z_i = \ln \left(y_i\right)$ pour $i$ entier variant de 0 à 5, et les présenter dans un tableau. Donner une 
équation de la droite d'ajustement affine de $z$ en $x$, les coefficients étant  arrondis au centième.
		\item En déduire l'ajustement : $y = 30\text{e}^{0,53x}$.
		\item Calculer avec cet ajustement la nouvelle prévision $r'$ pour 
l'année 2001.

Quelle serait, avec ce deuxième ajustement, la prévision pour 
2002 en millions d'abonnés ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Une entreprise vend des calculatrices d'une certaine marque. 
Le service après-vente s'est aperçu qu'elles pouvaient présenter deux types de 
défaut, l'un lié au clavier et l'autre lié à l'affichage.

Des études statistiques ont permis à l'entreprise d'utiliser 
la modélisation suivante :

La probabilité pour une calculatrice tirée au hasard de présenter un défaut de clavier est égale à $0,04$.

En présence du défaut de clavier, la probabilité que la calculatrice soit en panne d'affichage est de $0,03$.

Alors qu'en l'absence de défaut de clavier, la probabilité de ne pas présenter de défaut d'affichage est de $0,94$.

On note $C$ l'évènement : \og la calculatrice présente un défaut de clavier \fg, $A$ l'évènement \og la calculatrice présente un défaut d'affichage \fg. 

On notera $p(E)$ la probabilité de l'évènement $E$. L'évènement  contraire de $E$ sera noté $\overline{E}$.

$p_{F}(E)$ désignera la probabilité conditionnelle de l'évènement $E$  par rapport à l'évènement $F$.

\textsl{Dans cet exercice, les probabilités seront écrites sous forme 
de nombres décimaux arrondis au millième.}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Préciser à l'aide de l'énoncé les probabilités suivantes :

\[p_{\overline{C}}(A), \quad p_{C}(A)\quad  
\text{ et } \quad  p(C).\]

		\item  Construire un arbre pondéré décrivant cette situation.
	\end{enumerate}
\item On choisit une calculatrice de cette marque au hasard.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la probabilité pour que la calculatrice présente 
les deux défauts.
		\item Calculer la probabilité pour que la calculatrice présente 
le défaut d'affichage mais pas le défaut de clavier.
		\item En déduire $p$(A).
		\item Montrer que la probabilité de l'évènement \og la calculatrice 
ne présente aucun défaut \fg{} arrondie au millième est égale à $0,902$.
	\end{enumerate}
\item Un client choisit au hasard trois calculatrices de cette 
marque.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la probabilité pour que les trois calculatrices ne  présentent aucun défaut.
		\item Calculer la probabilité pour qu'au moins une calculatrice ait un défaut.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill	5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

On rappelle que l'euro, est la nouvelle monnaie en usage en 
France.
 
\textsl{Les résultats numériques seront donnés arrondis à 
l'unité.}

En janvier 2002, un artisan a réalisé une recette de \np{2300} ~euros alors que ses coûts se sont élevés à 800~euros. Son bénéfice est  donc de \np{1500}~euros. Grâce à une clientèle en augmentation, la recette, 
c'est-à-dire le chiffre d'affaires de cet artisan, augmente de $1\:\%$
 tous les mois.
 
Cependant les coûts, c'est-à-dire les frais, augmentent pendant le même temps de  $2,5\,\%$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Recopier et compléter le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{} 	&janvier 2002	&février 2002	&mars 2002\\ \hline 
Rang du mois			&0				&1				&2\\ \hline
Recette 				&\np{2300}		& 				& \\ \hline
Coûts					&800			& 				& \\ \hline
Bénéfice				&\np{1500}		& 				& \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Pour le mois de rang $n$, avec $n$ entier naturel, on note $R_n$ le 
montant de la recette, $C_n$ le montant des coûts et $B_n$ le montant du 
bénéfice.
	\begin{enumerate} 
		\item Exprimer $R_n$ et $C_n$ en fonction de $n$ ; justifier
 votre réponse.
		\item Montrer que $B_n = \np{2300} \times (1,01)^n - 800\times (1,025)^n$.
	\end{enumerate}
\item Pour étudier le sens de variations de la suite $\left(B_n\right)$, on 
étudie le signe de 

$B_{n+1} - B_n$.
	\begin{enumerate} 
		\item Établir que, pour tout entier positif $n,$

\[B_{n+1} - B_n = 23 \times (1,01)^n - 20 \times (1,025)^n.\]

		\item Établir que :

\[23\times (1,01)^n -20\times (1,025 )^n > 0 \quad  \text{équivaut à} \quad 
\left(\dfrac{1,025}{1,01}\right)^n < \dfrac{23}{20}.\]

En déduire les valeurs de $n$ telles que l'inégalité $B_{n+1} - B_n > 0$ 
soit vérifiée.

Que peut-on dire de la suite $\left(B_n\right)$ dans ce cas ?
	\end{enumerate}
\item Le bénéfice de cet artisan peut-il diminuer ? Si oui, à 
partir de quel mois obtiendra-t-il une baisse par rapport au mois précédent ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 	10 points}

\medskip

On rappelle que l'euro est la nouvelle monnaie en usage en  France.

Le but du problème est d'étudier le coût marginal et le coût 
total de production d'un produit dans une entreprise.

L'objet de la \textbf{partie A} est de déterminer une fonction $h$ 
satisfaisant à des conditions données.

L'objet de la \textbf{partie B} est l'étude de propriétés d'une 
fonction $f$.

L'objet de la partie \textbf{C} est d'utiliser certains résultats de 
la \textbf{partie A} pour répondre à des questions d'ordre économique.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

La courbe ($\mathcal{C}$), donnée ci-dessous, est la courbe 
représentative d'une fonction $h$ définie sur $[0~;~+ \infty[$.

Le point A a pour coordonnées (0~;~2). La droite (T) est tangente à la courbe
 ($\mathcal{C}$) au point A.

\smallskip

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm} \begin{pspicture}(-1,-1)(6,3)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](0,0)(-1,-1)(6,3)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1,-1)(6,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[ur](0,2){A} \uput[d](4.5,1.9){(\blue$\mathcal{C}$)}
\psline[linewidth=1.2pt](0,2)(3,-1)
\uput[d](2.4,-0.4){(T)}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{4.97}{x 1 add ln 2 mul 2 add x 2 exp 2 div add 3 x mul sub}
\end{pspicture} 
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Préciser $h(0)$.

Déterminer à l'aide d'une lecture graphique le nombre dérivé 
$h'(0)$. (Justifier la réponse).
\item La fonction $h$, définie sur $[0~;~ + \infty[$ est de la forme :

\[h(x) = ax^2 + bx + c + 2 \ln(x + 1)\quad  \text{où} \quad  a,~ b~  
\text{et}~  c~  \text{sont des nombres réels}.\]

On note $h'$ la dérivée de la fonction $h$. Exprimer $h'(x)$ en 
fonction de $a$ et $b$.
\item On donne $h'(3)  = \dfrac{1}{2}$.

En utilisant ce résultat et les résultats de la question \textbf{1} 
déterminer chacune des valeurs $a,~ b$ et~$c$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur  I $= [0~;~5]$ par :

\[f(x) = \dfrac{x^2}{2} -  3x + 2 + 2\ln (x + 1).\]

\smallskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la dérivée $f'$
 de la fonction $f$.
		\item Montrer que pour tout $x$ de l'intervalle I :
 	
\[f'(x) = \dfrac{x^2 - 2x -1}{x + 1}.\]

		\item Étudier le signe de la fonction $f'$ sur l'intervalle I.
		\item En déduire les variations de $f$ sur [0 ; 5].
	\end{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie sur I par :

\[g(x) = (x+1) \ln (x+1) - x.\]

	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la dérivée de la fonction $g$.
		\item En déduire une primitive de la fonction $f$ sur I
		\item Calculer la valeur exacte, puis la valeur approchée à $10^{-3}$ près, de l'intégrale $\displaystyle\int_0^5 f(x)\: \text{d}x$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip
Sur l'intervalle [0~;~5], la fonction $f$ de la partie précédente 
représente le coût marginal de production un liquide conditionné en flacons 
d'un litre, en fonction de la quantité produite.

On rappelle que le coût marginal de production est assimilé à 
la dérivée du coût total.

$x$ représente le volume en milliers de litres, $x$ variant sur 
l'intervalle [0~;~5] ;

$f(x)$ représente le coût marginal en milliers d'euros.

\begin{enumerate}
\item  Quel est le coût marginal en euros, du 
\np{3000}\up{e} litre produit ?
\item Pour quelle quantité produite  le coût marginal est-il 
minimum ? (donner la valeur au litre près).
\item Les coûts fixes sont de \np{1000} euros.
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer, en utilisant le résultat de la \textbf{partie B}, question \textbf{2. b}, que le coût total est donné par l'expression définie sur [0~;~5] par :

\[C(x) = \dfrac{1}{6}x^3 - \dfrac{3}{2}x^2 + 2(x+1) \ln (x + 1) + 1.\]

		\item Calculer $C(5) - C(0)$ à un euro près et interpréter  en termes de coût cette différence.

Comparer ce résultat à celui à la \textbf{partie B} question \textbf{2. 
c} et expliquer cette réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 
%%%%%%%%%%%%%   Asie juin 2002
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Centres étrangers juin 2002
\hypertarget{Centresetrangers}{}

\label{Centresetrangers}
\lfoot{\small{Centres étrangers 1}}
\rfoot{\small{juin 2002}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft ~ Baccalauréat ES  Centres étrangers I juin 2002 \decofourright}}\end{center}

\begin{center}\textbf{Calculatrice autorisée}\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Les détails des calculs effectués à la calculatrice ne sont pas demandés.\\ Sauf indication contraire, les valeurs obtenues seront données sous forme décimale arrondie à $10^{-2}$ près}.

\medskip

Le tableau ci-dessous donne l'évolution de la population d'une petite ville
 proche d'une métropole en pleine expansion.
 
\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l | *{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année					&1965		&1970		&1975		&1980		&1985		&1990	&1995&2000\\ \hline
Rang de l'année  $(x_i)$&0& 5		&10			&15			&20			&25			&30		&35\\ \hline
Population $(y_i)$		&\np{5400}	&\np{5600}	&\np{7000}	&\np{8000}	&\np{8750}	&\np{11200}&\np{13900}&
\np{15000}\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate} 
\item Le plan est rapporté à un repère orthogonal :

$\bullet~$ Sur l'axe des abscisses, on placera 0 à l'origine et on choisira 2~cm pour 5 années ;

$\bullet~$ Sur l'axe des ordonnées, on placera \np{5000} à l'origine et on choisira 1~cm pour \np{1000} habitants.
	\begin{enumerate} 
		\item Représenter le nuage de points associé à la série statistique 
$\left(x_{i}~;~y_i\right)$. 
		\item Déterminer les coordonnées du point moyen G de la série statistique $\left(xi~;~y_i\right)$ et placer ce point sur le graphique. 
		\item Déterminer l'équation de la droite $\mathcal{D}$ d'ajustement 
de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. Tracer $\mathcal{D}$ sur
 le graphique précédent. 
		\item En supposant que ce modèle reste pertinent jusqu'en 2020, quelle
 serait la population de cette ville, à une unité près, en 2020 ? 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Après l'avoir recopié, compléter le tableau suivant :

\medskip

 \begin{tabularx}{\linewidth}{|l |*{8}{>{\centering \arraybackslash}X |}}\hline 
Rang de l'année $(x_i)$	&0	&5	&10	&15	&20	&25	&30	&35\\ \hline
$z_i = \ln (y_i)$ 		&  	&  	&  	& 	&  	& 	& 	& \\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip

		\item Déterminer le coefficient de corrélation linéaire de la série
 statistique $\left(x_i~;~z_i\right)$. 
		\item Déterminer l'équation de la droite d'ajustement de $z$ en 
$x$ par la méthode des moindres carrés.
		\item En supposant que ce second modèle reste pertinent jusqu'en 2020,
donner une nouvelle prévision, à une unité près, de la population de cette
 ville en 2020. 
	\end{enumerate}
\item Les crédits alloués par l'État aux municipalités étant
 proportionnels au nombre d'habitants, quel modèle permet la prévision la plus
 favorable aux finances de la ville en 2020 ?
 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, les résultats seront donnés sous forme de fractions
 irréductibles.}

\vspace{0,5cm} 

Un jeu consiste à lancer de la main gauche, une balle dans un seau. Parmi
 l'ensemble des joueurs, $\dfrac{5}{6}$ sont droitiers et $\dfrac{1}{6}$ sont
 gauchers.
 
Pour un joueur droitier, la probabilité de mettre la balle dans le
 seau est $\dfrac{1}{4}$.
 
Pour un joueur gaucher, cette probabilité est $\dfrac{1}{2}$.

\begin{enumerate} 
\item On choisit au hasard un individu dans cette 
population. On note :

G l'évènement \og l'individu choisi est gaucher \fg{},

S l'évènement \og l'individu met la balle dans le seau \fg{}.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la probabilité de l'évènement G ~$\cap$~ S.
		\item Calculer la probabilité de l'évènement S.
		\item Calculer la probabilité que la personne choisie soit droitière,
 sachant qu'elle a mis la balle dans le seau. 
	\end{enumerate}
\item Dans cette question on a sélectionné Paul qui est un joueur droitier. Il lance deux balles l'une après l'autre ; on suppose les deux lancers indépendants.

Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de balles dans le
 seau après les deux lancers.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer les valeurs prises par $X$ 
		\item Déterminer la loi de probabilité de $X$. 
		\item Calculer l'espérance mathématique E($X$).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} 

\medskip

On considère une suite $(u_n)$ définie sur $\N$ par :

\[ \left\{ \begin{array}{r c l}
u_0			&	 =	&	 6\\ 
u_{n+1}	& =	& \dfrac{1}{3}u_n + 2
\end{array}\right.\]

On pose $v_n = u_n - 3$. 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item	
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite 
géométrique dont on déterminera le premier terme $v_0$ et la raison.
		\item Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.
		\item Déduire, en utilisant la question précédente, 
~$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_n$ et $\displaystyle\lim_{n \to + 
\infty} u_n$.
	\end{enumerate}
\item On constate que, pour tout $n$ appartenant à $\N,~v_n$ 
est strictement	positif et on pose $w_n = \ln v_n$.

Démontrer que ($w_n$) est une suite arithmétique dont on 
déterminera le premier terme et la raison.
\item  
	\begin{enumerate} 
		\item Exprimer $w_n$ en fonction de $n$.
		\item Pour quelle valeur de $n$ a-t-on : $w_n = - \ln \left( 27^3\right) - \ln 9$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  10 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{center} \textbf{Partie A} \end{center}

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par

\[ f(x) = (ax + b) \text{e}^{cx},~ \text{où}~ a,~ b~ \text{et}~ c ~\text{sont
 des nombres réels.}\] 

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère
 orthonormal \Oij.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer $a,~ b$ et $c$ pour que la courbe $\mathcal{C}$ passe par le point A $\left(- \dfrac{1}{2}~;~0\right)$, par le point B(0 ; 1) et qu'elle admette en B une tangente ayant un coefficient directeur égal au nombre 1. 
\item On supposera désormais que $f$ est définie sur $\R$ 
par $f(x) = (2x+ 1)\text{e}^{-x}$. 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la limite de $f$ en $-~\infty$ et en $+~\infty$. En
 déduire l'existence d'une asymptote pour $\mathcal{C}$. 
		\item Étudier les variations de $f$ sur $\R$.
	\end{enumerate}
\item Résoudre, sur $\R$, l'équation $f(x) = 0$ et en déduire
 le signe de $f$ sur $\R$. 
\item Montrer que, sur l'intervalle 
$\left[\dfrac{1}{2}~;~2 \right]$, l'équation $f(x) = 1$ a une solution
 unique $\alpha$. 

Donner la valeur décimale arrondie à $10^{-1}$ de $\alpha$. 
\item Écrire une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à 
$\mathcal{C}$ au point B. 
\item Tracer $\mathcal{C}$ et $\mathcal{T}$ dans le repère 
\Oij{} (unité graphique 2~cm).
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{Partie B} \end{center}

On donne la fonction $F$ définie sur $\R$ par 
\[F(x) = (- 2x - 3 ) \text{e}^{-x} + 3.\] 

\begin{enumerate} 
\item Montrer que $F$ est la primitive sur $\R$ de $f$ qui
 s'annule pour $x = 0$. 
\item Calculer, en cm$^2$, la valeur exacte de l'aire de
 la  partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$,
l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = - \dfrac{1}{2}$	et $x= 1$.

Donner une valeur approchée de cette aire à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%   fin Centres étrangers juin 2002
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Métropole juin 2002
\hypertarget{Metropole}{}

\label{Metropole}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2002}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat 
ES Métropole juin 2002 \decofourright}}\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Les résultats numériques seront obtenus à l'aide de la calculatrice ;
 aucun détail des calculs statistiques n'est demandé.}
 
\medskip

Le tableau suivant donne la dépense, en millions d'euros, des ménages
 en produits informatiques (matériels, logiciels, réparations) de 1990 à 1998.
 
\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année					&1990	&1991	&1992	&1993	&1994	&1995	&1996		&1997	&1998\\ \hline
Rang de l'année $x_i$	&0		&1		&2		&3		&4		&5		&6			&7		&8\\ \hline
Dépense $y_i$			&398	&451	&423	&501	&673	&956	&\np{1077}	&\np{1255}&\np{1427}\\ \hline
\multicolumn{10}{r}{\footnotesize{}Source INSEE}
\end{tabularx} 
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate} 
\item Représenter le nuage de points associé à la série statistique 
$\left(x_i~;~y_i\right)$ et le point moyen dans un repère orthogonal tel que 2 cm
 représentent une année en abscisse et 1 cm représente 100~millions
 d'euros en ordonnée (ainsi 398 sera représenté par 3,98~cm). 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Donner la valeur arrondie à $10^{-3}$ du coefficient de
 corrélation linéaire de la série $\left(x_i~;~y_i\right)$. Un ajustement affine vous paraît-il justifié ? 
		\item Écrire une équation de la droite d'ajustement affine D de $y$ 
en $x$ par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis
 à $10^{-3}$ ). Représenter D dans le repère précédent. 
		\item En utilisant cet ajustement affine, donner une estimation de la 
dépense des ménages (arrondie à un million d'euros) en produits 
informatiques en 2000.
	\end{enumerate}
\item L'allure du nuage permet d'envisager un ajustement exponentiel. On
 pose
 
$z_i = \ln y_i$. 
	\begin{enumerate} 
		\item Recopier et compléter le tableau suivant où $z_i$ est arrondi à  
$10^{-3}$ : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$	&	0	&	1	&	2	&	3	&	4	&	5	&	6	&	7	&	8\\ \hline
$z_i$	&5,986	& 6,111	& 6,047	& 6,217	&		& 		& 		& 		& \\ \hline
\end{tabularx} 

\medskip
		\item Donner la valeur arrondie à $10^{-3}$ du coefficient de corrélation linéaire
 de la série $\left(x_i~,~ z_i\right)$. Écrire une équation de la droite d'ajustement
 affine de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés (les coefficients
 seront arrondis à $10^{-3}$). 
		\item En utilisant cet ajustement, donner une estimation de la dépense
 des ménages (arrondie à un million d'euros) en produits informatiques
 en 2000. 
	\end{enumerate}
\item En 2000 les ménages ont dépensé 68,9 milliards d'euros pour la
 culture, les loisirs et les sports et 3,1\:\% de ces dépenses concernent
 les produits informatiques. 

Avec lequel des deux ajustements l'estimation faite est-elle la meilleure ? 

Quel est le salaire brut annuel moyen ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de
 spécialité}
 
\medskip
 
Une école de commerce a effectué une enquête, en janvier 2000, auprès de
 ses jeunes diplômés des trois dernières promotions afin de connaître
 leur insertion professionnelle. À la première question, trois réponses
 et trois seulement sont proposées  :

A \og La personne a une activité professionnelle \fg{} ;

B \og La personne poursuit ses études \fg{} ;

 C \og La personne recherche un emploi ou effectue son service
 national \fg.
 
 \medskip
  
On a constaté que 60\,\% des réponses ont été envoyées par des filles. Dans
 l'ensemble des réponses reçues, en a relevé les résultats suivants :

$\bullet~~$65\:\% des filles et 55\,\% des garçons ont une activité 
 professionnelle ;

$\bullet~~$20\:\% des filles et 15\,\% des garçons poursuivent leurs études. 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item On prend au hasard la réponse d'un jeune diplômé.

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la probabilité qu'il poursuive ses études est égale à $0,18$.
		\item Calculer la probabilité qu'il exerce une activité professionnelle.
	\end{enumerate}
\item On prend au hasard la réponse d'une personne qui poursuit
 ses études ; quelle est la probabilité que ce soit la réponse d'une fille (on
 donnera le résultat sous forme fractionnaire) ? 
\item On choisit maintenant au hasard et de façon indépendante trois 
réponses (on suppose que ce choix peut être assimilé à un tirage successif avec remise).

À l'aide d'un arbre pondéré, déterminer la probabilité que l'une au
 moins des réponses soit celle d'un jeune diplômé poursuivant ses études.
\item Dans l'ensemble des réponses des jeunes diplômés exerçant une 
activité professionnelle, la répartition des salaires bruts annuels
 en milliers d'euros est la suivante : 
\end{enumerate}
 
\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.cm}|*{7}{>{\small \centering \arraybackslash}X|}}\hline
Salaire brut annuel $S$	&$20 \leqslant S < 22$&$22 \leqslant S < 26$&$26 \leqslant S <
 30$&$30 \leqslant S < 34$	&$34 \leqslant S < 38$&$38 \leqslant S < 40$\\ \hline
Pourcentage				&5	&15	&28	&22	&20 	&10\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

Quel est le salaire brut annuel moyen ?

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Julie possède depuis plusieurs mois un téléphone mobile pour lequel elle
 a souscrit un forfait mensuel de deux heures. Soucieuse de bien gérer ses dépenses, elle étudie l'évolution de ses consommations.
 
Elle a constaté que : 

\smallskip

\setlength\parindent{6mm}
$\bullet~~$ Si pendant le mois noté $n$ elle a dépassé son forfait, la 
probabilité qu'elle le dépasse le mois suivant noté $(n + 1)$ est
$\dfrac{1}{5}$.

$\bullet~~$ Si pendant le mois noté $n$ elle n'a pas dépassé son forfait, la
 probabilité qu'elle le dépasse le mois suivant  est $\dfrac{2}{5}$. 
\setlength\parindent{0mm}

Pour $n$ entier naturel strictement positif, on désigne par $A_n$ 
l'évènement \og Julie a dépassé son forfait le mois $n$ \fg{}
et par B$_n$ l'évènement contraire. On pose $p_n = p(\text{A}_n)$ et $q_n = 
p(B_n$) ; on a $p_1 =	\dfrac{1}{2}$.

\emph{Tous les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.} 

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Donner les probabilités de $A_{n+1}$ sachant que 
A$_n$ est réalisé et de $A_{n+1}$
 sachant que $B_n$ est réalisé. 
		\item Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, les égalités 
suivantes sont vraies :

\[p\left(A_{n+1}~\cap  A_n\right) = \dfrac{1}{5}p_n \qquad 
\text{et} \qquad  p\left(A_{n+1}~\cap B_n\right) = 
\dfrac{2}{5}q_n. \]

En déduire que l'égalité suivante est vraie : $p_{n+1} = 
\dfrac{2}{5} - \dfrac{1}{5}p_n$.

	\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n > 1$ on pose : $u_n = p_n - 
\dfrac{1}{3}.$

Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera
 la raison et le premier terme $u_1$. 
\item Écrire $u_n$ puis $p_n$ en fonction de $n$. Déterminer la
 limite de $\left(p_n\right)$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty$[ par :

\[f(x) = (x^2 - 3x + 3)\text{e}^x - 4.\]

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. 
		\item Étudier les variations de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique 
$x_0$ appartenant à ]1~;~2[. 

Donner une valeur arrondie à $10^{-3}$ de $x_0$.
\item Déduire des résultats précédents le signe de $f(x)$ sur $[0~;~+ \infty  [$.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm} 

\textbf{Partie B}

\medskip

Une entreprise fabrique un produit, en quantité $x$ exprimée en tonnes,
 sa capacité de production ne pouvant dépasser 3 tonnes. Le coût total de fabrication de ce produit, en centaines de milliers d'euros, est donné par :

\[C_T(x) = (x - 3)\text{e}^x + 3x + 4.\] 

Le coût moyen est défini sur ]0~;~3] par la formule suivante :

\[C_m (x) = \dfrac{C_T (x)}{x}.\]

\begin{enumerate} 
\item Pour tout $x$ de ]0~;~3] calculer $C'_m(x)$ et vérifier que
 l'égalité suivante est vraie : $C'_m (x)  = \dfrac{f(x)}{x^2}.$ 

En déduire le sens de variation de $C_m$ sur ]0~;~3]. 
\item Pour quelle production l'entreprise a-t-elle un coût moyen
 minimum ? 

Quel est le coût moyen minimum (arrondi au millier d'euros) d'une tonne
 de ce produit ?
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{Partie C}

\medskip

Une tonne du produit fabriqué est vendue \np{300000} euros ; toute la 
production est vendue. 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item  
	\begin{enumerate} 
		\item Le bénéfice algébrique, en centaines de milliers d'euros, réalisé après la fabrication et la vente de $x$ tonnes du produit est noté 
 $B(x)$. Montrer l'égalité suivante : $B(x) = (3 - x)\text{e}^x - 4.$ 
		\item Étudier le sens de variation de $B$ sur [0~;~3].

 Quelle est la production pour laquelle le bénéfice est maximum ?  
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Tracer la courbe représentative de $B$ dans un plan muni d'un 
repère orthogonal (unités graphiques : 5~cm pour une tonne en 
abscisse et 2~cm pour \np{100000} euros en ordonnée). 
		\item À l'aide du graphique, déterminer à 0,1 près les quantités à
 produire pour que l'entreprise réalise un gain.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%  Métropole juin 2002
\newpage
%%%%%%%%%%%%%  La Réunion juin 2002
\hypertarget{LaReunion}{}

\label{LaReunion}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2002}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES La Réunion juin 2002~\decofourright}}\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Jean-Paul, marathonien émérite, note ses temps de passage lors d'un entraînement :
\begin{center}
\begin{tabular}{|l | *{4}{c |}}\hline
Distances parcourues $x_{i}$ en mètres	&200	&300&400 	&500\\ \hline
Temps de passage $y_{i}$ en secondes	&40		&60	&82		&104\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\textbf{Pour les questions \textbf{1.} et \textbf{2.}, les détails des calculs statistiques ne sont 
pas demandés.} 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Représenter sur  papier millimétré, le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~ y_{i}\right)$
 associé à la série double, dans un repère orthogonal.

On prendra pour unités : 1~cm pour 50~mètres sur l'axe des abscisses,
1~cm pour 10~secondes sur l'axe des ordonnées.
		\item Calculer les coordonnées du point moyen G associé à cette série 
statistique et placer ce point sur le graphique.
	\end{enumerate}
\item Déterminer la valeur du coefficient de corrélation 
linéaire de la série double $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$  (à $10^{- 4}$ près).

Peut-on envisager un ajustement affine ? Pourquoi ? 

\item Pour effectuer des prévisions, Jean-Paul utilise 
la droite $\mathcal{D}$ de coefficient directeur $0,21$ passant par le point G. 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer alors une équation de $\mathcal{D}$.
		\item Tracer $\mathcal{D}$ sur le graphique. 
		\item Calculer le temps de passage prévisible aux \np{1000}~m.
		\item En fait, aux \np{1000}~m, Jean-Paul a un temps de passage de $220$ secondes.

Par rapport à la valeur réelle, calculer (à $0,01$ près) le pourcentage 
d'erreur commise dans sa prévision de temps de passage aux  \np{1000}~m.
	\end{enumerate}
\item Peu satisfait de ses prévisions sur des distances 
plus longues, Jean-Paul recherche pour la série ci-dessous un ajustement par
une fonction trinôme du second degré :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l | *{3}{c |}}\hline
Distances parcourues $x_{i}$ en km& 0&0,2& 1 \\ \hline
Temps de passage $y_{i}$ en secondes&	0& 40& 220\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer $a$, $b$, $c$ pour que la parabole d'équation 
$y =  ax^2 + bx + c$ passe par les trois points de ce nuage.
		\item Aux \np{2000}~m, Jean-Paul a un temps de passage de $8$~minutes.

Laquelle des deux méthodes d'ajustement permet la meilleure  prévision ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

En annexe 1 est donnée la courbe $\mathcal{C}_{f}$ représentative d'une 
fonction $f$.

En annexe 2 est donnée la courbe $\mathcal{C}_{g}$ représentative d'une 
fonction $g$.

L'unité est Ie cm.

La droite (T) est la tangente en A à $\mathcal{C}_{f}$.

La droite (T$'$)  est la tangente en  B $\mathcal{C}_{g}$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Lire $f(0)$,\:$f(1)$,\: $f(5)$.
		\item La fonction $f'$ étant la dérivée de la fonction $f$, donner, 
en justifiant, $f'(1)$ et $f'(5)$.
		\item Déterminer alors une équation de la droite (T).
		\item La fonction $f$ étant définie par $f(x) = 3x - 8 + \dfrac{12}{x + 1}$ calculer en cm$^2$ l'aire du domaine plan limité par les droites d'équations $x = 0$,\:$x = 5$, l'axe	des abscisses
et la courbe $\mathcal{C}_{f}$. En donner une valeur approchée à  $10^{- 2}$ près.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate} 
		\item Lire $g(1)$,\: $g(4)$,\: $g(9)$.
		\item Donner en justifiant, $g'(9)$.
	\end{enumerate}
\item Soit $u$ la fonction définie sur [0~;~5] par $u(x) =  (g \circ f)(x)$.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer $u(0)$,\: $u(1)$ et $u(5)$.
		\item Calculer $u'(5)$.
		\item En utilisant le sens de variation de chacune des fonctions 
$f$ et $g$ donner le tableau de variations de la fonction $u$ sur l'intervalle 
[0~;~5].
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Soit $\left(r_{n}\right)$ la suite définie, pour tout entier
naturel $n$ supérieur ou égal à 1, par :

\[\left\{\begin{array}{l c r}
r_{1} 	& = & 0,6\\
r_{n+1} & = & 0,5r_{n} + 0,4
\end{array}\right.\]

Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie, pour $n \geqslant 1$, par $u_{n} = 
r_{n} - 0,3$. 

\medskip

	\begin{enumerate} 
		\item Prouver que $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison 
$0,5$. Déterminer $u_{1}$. 
		\item En déduire l'expression du terme général de $(u_{n})$ et de 
celui de $\left(r_{n}\right)$ fonction de $n$. 
		\item Montrer que, lorsque $n$ tend vers $+ \infty$, la suite 
$\left(r_{n}\right)$ a une limite que l'on  calculera.
	\end{enumerate}
\item Amateur de jeux vidéo, Albert fait l'acquisition d'un jeu de voitures de course.

Lors de son premier essai, il a seulement 6 chances sur 10 de terminer le circuit indemne.

S'il réussit le $n$-ième esai, sa probabilité de réussir l'essai 
suivant est $0,9$.

S'il manque le $n$-ième essai, sa probabilité de réussir l'essai 
suivant est de $0,4$. 

Pour $n \geqslant 1$, on note $p_{n}$ la probabilité de l'évènement 
$R_{n}$ \:\og Albert réussit  le $n$-ième essai \fg. 

	\begin{enumerate} 
		\item À partir des données du texte, évaluer $p_{1}$, et les 
probabilités conditionnelles, suivantes : $p\left(R_{n+1}/ 
R_{n}\right)$ et $p\left(R_{n+1}/ 
\overline{R_{n}}\right)$. 
		\item Déterminer en  fonction de $p_{n}$ , les probabilités suivantes : 
$p\left(\overline{R_{n}}\right),$\\
$\-p\left(R_{n+1} \cap  R_{n}\right)$ et $p\left(R_{n+1} \cap \overline{R_{n}}\right)$.
		\item En déduire que $p_{n+1} = 0,5p_{n} +  0,4$. 
		\item Que nous apprend sur le jeu la réponse à la question 
\textbf{1. c.} ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 8 points}

\medskip

L'objet de ce problème est de rechercher un coût moyen de production minimal, 
connaissant le coût marginal.

\bigskip

\textbf{I - Des résultats préliminaires susceptibles d'être 
utilisés ensuite}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ 
par 

\[f(x)  = 2x -2 + \text{e}^{- x}.\]

	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
		\item Déterminer $f'$ dérivée de $f$, ainsi que le signe de 
$f'(x)$ suivant les valeurs de $x$.
		\item Établir le tableau de variations de la fonction $f$.
		\item Prouver que, dans [0~;~1], l'équation $f(x) = 0$ admet une 
et une seule solution $\alpha$.

Donner une valeur décimale approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près par défaut.
		\item En déduire, suivant les valeurs de $x$, le signe de $f(x)$.
	\end{enumerate}
\item Montrer que la dérivée de la fonction $g~:~ x 
\mapsto  x \text{e}^{- x}$ est la fonction \\$g'~:~ x \mapsto (1 -x) \text{e}^{- x}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{II - Recherche du coût total}

\medskip

Une usine fabrique un produit dont le coût marginal $C$ \textbf{en milliers 
d'euros}, est donné par la formule :

\[C(x) =  3 x^2- 4x + 2 + (x - 1)\text{e}^{- x}.\]

$x$ représentant la quantité de produit en centaines de grammes.

On rappelle que le coût marginal $C$ peut être assimilé à la dérivée du 
coût total $C_{\text{T}}$.

Déterminer $C_{\text{T}}(x)$ sachant que $C_{\text{T}}(0)
= 0$.

\bigskip

\textbf{III}

\medskip

Pour une production de $x$ \textbf{centaines de grammes} on appelle 
$C_{m}(x)$ le coût moyen d'un \textbf{gramme}, en milliers d'euros. La 
fonction $C_{m}$ est définie sur $[0~;~+ \infty[$. 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Prouver que $C_{m}(x) = \dfrac{x^2 - 2x + 2 - \text{e}^{- x}}{100}$.
\item
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $C'_{m}(x)$ et prouver que $C'_{m}(x)$ et $f(x)$ ont le même signe.
		\item En déduire les variations de $C_{m}$. On ne demande pas les calculs de limites. 
		\item Donner une valeur approchée de la production donnant un coût moyen minimal. 
		\item Calculer, au centième près, le coût moyen en euros pour une  production de $76$~grammes.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE 1}
    
\vspace{0,5cm}

\psset{unit=1cm}    
\begin{pspicture}(8,12)
\psgrid[subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridlabels=0pt]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(8,12)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[u](8.1,0){$x$} \uput[r](0,12.1){$y$}
\psline(1.4375,-0.5)(6,11.667)
\psplot[linecolor=red,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{6}{12 x 1 add div 3 x mul add 8 sub}
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{<->}(0,1)(2,1)
\rput(0.5,2.5){\red $\mathcal{C}_{f}$} \rput(2.5,1.5){(T)} 
\uput[dr](5,9){A}
\end{pspicture}
\vspace{1cm}
    
\textbf{ANNEXE 2}
    
\vspace{0,5cm}
    
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(11,7)
\psgrid[subgriddiv=2,gridlabels=0pt,gridwidth=0.3pt,subgridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(11,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[u](11.1,0){$x$} \uput[r](0,7.1){$y$}
\psline(0,3)(11,1.7778)
\pscurve[linecolor=red,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt](1,6)(4,3)(9,2)(11,1.7778)
\rput(1,2.5){(T$'$)} \rput(2,4.5){\red $\mathcal{C}_{g}$} \uput[dl](9,2){B}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%   fin La Réunion juin 2002
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Liban juin 2002
\hypertarget{Liban}{}

\label{Liban}
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{juin 2002}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES  Liban juin 2002~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\vspace{0,5cm}

Dans le plan rapporté à un repère orthonormal (unité graphique : 4 
cm), la courbe $\mathcal{C}$ donnée ci-dessous représente une fonction $f$ définie 
et dérivable sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. La courbe $\mathcal{C}$ admet pour asymptotes les  axes de coordonnées, passe par le point A(1~;~0), par le point B$\left(\sqrt{\text{e}}~;~\dfrac{1}{2\text{e}}\right)$ 
et elle admet au point B une tangente horizontale.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item En utilisant ces renseignements et une lecture graphique :	
	\begin{enumerate} 
		\item Donner le tableau de variations de $f$ avec le signe de la 
dérivée et les limites aux bornes de l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
		\item Donner le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$.
	\end{enumerate}
\item On admet que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$  par

\[f(x) = \dfrac{\ln x}{x^2}.\]

	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que, pour tout réel $x$ strictement positif, on a

\[f'(x)  = \dfrac{ 1 - 2\ln x}{x^3}.\]

où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.
		\item Étudier les variations de $f$.
	\end{enumerate}

\medskip
\begin{center} \psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(0,-3)(5,1)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.3pt,subgridwidth=0.2pt](0,0)(0,-3)(5,1)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-3)(4.5,1)
\psaxes[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O} \uput[ul](1,0){A} \uput[u](1.649,0.184){B}
\uput[u](4,0.1){\blue $\mathcal{C}$} \uput[dr](1,0){1} \uput[l](0,1){1}
\uput[d](1.649,0){$\sqrt{\text{e}}$}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{0.489}{4.5}{x ln x 2 exp div}
\psline[linestyle=dotted](1.649,0)(1.649,0.184)(0,0.184)
\psline{<->}(1.049,0.184)(2.249,0.184)
\psline[linestyle=dashed](1.649,0)(1.649,0.184)(0,0.184)
\end{pspicture}
\end{center}

\item Soit $F$ la primitive de $f$ qui prend la valeur $-2$ en $1$. La 
représentation graphique de $F$ est l'une des trois courbes 
$\Gamma_1,~\Gamma_2,~\Gamma_3$
 données ci-après, dans un repère orthonormal (unités graphique : 1 cm.)

Déterminer celle des courbes $\Gamma_1,~ \Gamma_2,~ \Gamma_3$ qui représente $F$, en justifiant la réponse.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(0,-3)(6,3)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-3)(6,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[u](1.649,0){$\sqrt{\text{e}}$}
\uput[d](6,-1.465){$\Gamma_3$}
\psline[linestyle=dotted](4,0)(4,-1.597)(0,-1.597)
\psline[linestyle=dotted](1,0)(1,-2)(0,-2)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.18}{6}{x ln 1 add  x div neg 1 sub}
\multido{\n=0+1}{5}{\psline(\n,0)(\n,0.1)}
\multido{\n=-3+1}{7}{\psline(0,\n)(0.1,\n)}
\psline[linestyle=dashed](1,0)(1,-2)(0,-2)
\psline[linestyle=dashed](1.6487,0)(1.6487,-1.91)(0,-1.91)
\psline[linestyle=dashed](4,0)(4,-1.597)(0,-1.597)
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{1cm}

\begin{center}

\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(0,-3)(6,4)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-3)(6,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline[linestyle=dashed](1,0)(1,-2)(0,-2)
\psline[linestyle=dashed](4,0)(4,2.25)(0,2.25)
\uput[ul](1.649,0){$\sqrt{\text{e}}$}
\pscurve[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](0.85,-3)(1,-2)(2,0.6)(3,1.65)(4,2.25)(5,2.8)(6,3.2)
\uput[u](5,2.7){$\Gamma_2$}
\multido{\n=0+1}{7}{\psline(\n,0)(\n,0.1)}
\multido{\n=-3+1}{8}{\psline(0,\n)(0.1,\n)}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,8cm}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{center} 
\begin{pspicture}(0,-3)(5,6)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-3)(5,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\pscurve[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](0.16,5.5)(0.5,1.3)(0.62,0)(1,-2)(1.64872,-3)(2,-2.66)(3,0)(4,5.5)
%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0.1}{4}{x 1.64872 sub 2 exp 2.3762 mul  3 sub}
%\parabola(4,5.5)(1.649,-3) 
\uput[u](1.649,0){$\sqrt{\text{e}}$}
\psline[linestyle=dashed](4,0)(4,5.5)(0,5.5)
\psline[linestyle=dashed](1,0)(1,-2)(0,-2)
\psline[linestyle=dashed](1.6487,0)(1.6487,-3)
\uput[ul](4,5.5){$\Gamma_1$}
\multido{\n=0+1}{5}{\psline(\n,0)(\n,0.1)}
\multido{\n=-3+1}{10}{\psline(0,\n)(0.1,\n)}
\end{pspicture}
\end{center}

\item On désigne par $\mathcal{A}$ l'aire du domaine plan limite par :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  la courbe $\mathcal{C}$,
\item  l'axe des abscisses,
\item  les droites d'équations $x = 1$ et $x = 4$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate} 
\item Exprimer $\mathcal{A}$, en unités d'aire, à l'aide de la fonction $F$.
	
\item Utiliser la représentation graphique de $F$ pour donner une 
valeur approchée de $\mathcal{A}$, à $10^{-1}$ près, en cm$^2$.

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Dans une entreprise, les salariés sont classés en deux 
catégories : cadres et employés. Une entreprise emploie $30$ cadres et $240$ 
employés. Au cours de négociations sur la réduction du temps de travail, dite RTT, on propose aux salariés trois formules :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  Formule \no 1 : une RTT de 30 minutes par jour de travail,
\item  Formule \no 2 : une RTT d'un vendredi après-midi sur deux,
\item  Formule \no 3 : une RTT de 12 jours de travail par an.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Une enquête a été réalisée auprès de tous les salariés de 
l'entreprise, chacun remplissant une fiche mentionnant son statut (cadre ou employé) et son choix de RTT. On a obtenu les résultats suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item Aucun cadre n'a choisi la formule \no 1,
\item Parmi les employés :
\begin{itemize}
\item 36 ont choisi la formule \no 1,
\item 99 ont choisi la formule \no 2.
\end{itemize}
\item $40\,\%$ des salariés ont choisi la formule n$\up{o}$ 2.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On extrait, au hasard, la fiche d'un salarié. On notera :

\setlength\parindent{5mm}
$C$ l'évènement \og le salarié est un cadre \fg,

$E$ l'évènement \og le salarié est un employé \fg,

$R_1$ l'évènement \og le salarié a choisi la formule \no 1 \fg,

$R_2$ l'évènement \og le salarié a choisi la formule \no 2 \fg,

$R_3$ l'évènement \og le salarié a choisi la formule \no 3 \fg.
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip

$p(A)$ désigne la probabilité d'un évènement $A$ et $p_{B}(A)$ celle 
de l'évènement $A$ sachant que l'évènement $B$ est réalisé. Les probabilités 
seront données sous forme de fractions irréductibles.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer les probabilités $p(C)$ et $p(E)$.
\item Parmi les probabilités $p\left(R_1 \cap C\right)$, $p\left(R_1 \cap E\right)$, $p\left(R_2 \cap E\right)$, 
\:$p_{E}\left(R_1\right)$,\: $p_{E}\left(R_2\right)$,\: $p\left(R_2\right)$
indiquer celles qui correspondent aux quatre résultats du 
sondage et donner leur valeur numérique.

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la probabilité que le salarié soit un cadre 
ayant choisi la formule \no 2.
		\item Démontrer que la probabilité que le salarié ait choisi la 
formule \no 2, sachant qu'il s'agit d'un cadre, est 
$\dfrac{3}{10}$.
	\end{enumerate}

\item Calculer la probabilité $p\left(R_1\right)$,  puis la probabilité $p\left(R_3\right)$.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

L'espace est rapporte à un repère orthonormal $\left(\text{A},~\vect{\imath},
~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$.

ABCDEFGH est un pavé défini par $\vect{\text{AB}} = 
2\vect{\imath}~; ~\vect{\text{AD}} = 6\vect{\jmath}$ et 
$\vect{\text{AE}} = 4\vect{k}$.

I, J et K sont les milieux respectifs de [EF], [FB] et [AD]

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Placer les points I, J et K sur la figure donnée 
ci-dessous. 

Donner les coordonnées des points B, D et E. Puis vérifier par le 
calcul que I, J et K ont pour coordonnées respectives (1~;~0~;~4), (2~;~0;~2) 
et (0~;~3~;~0).
\item Soit $\mathcal{P}_1$ le plan d'équation $y = 0$ et $\mathcal{P}_2$ le plan d'équation $2x + z = 6$.
	\begin{enumerate} 
		\item Donner un vecteur $\vect{n}_1$ normal au plan $\mathcal{P}_1$
 et un vecteur $\vect{n}_2$ normal au plan $\mathcal{P}_2$.
		\item En déduire que les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont sécants.
		\item Soit $\Delta$ l'intersection des deux plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$.

Montrer que $\Delta$ est la droite (IJ).
	\end{enumerate}
\item Soit $\vect{n}$(2 ; 2 ; 1).
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que $\vect{n}$ est un vecteur orthogonal aux vecteurs
$\vect{\text{IJ}}$ et $\vect{\text{IK}}$
		\item En déduire que $\vect{n}$ est un vecteur normal au plan (IJK).
		\item Montrer alors que le plan (IJK) a pour équation $2x + 2y + z = 6$.
	\end{enumerate}
\item On considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation $5x + y = 5$.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer les coordonnées des points R et T, 
intersections du plan $\mathcal{P}$ avec les axes (A$x$) et (A$y$) respectivement.
		\item Vérifier que le point I appartient au plan $\mathcal{P}$.
		\item Sur la figure, placer les points R et T, puis 
dessiner la trace du plan $\mathcal{P}$ sur le plan ($x$A$y$).

\vspace{0,5cm}

\begin{center}\psset{unit=5mm}
\begin{pspicture}(0,0)(18,15)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.4pt]
\psline[linewidth=1.25pt](5,5)(18,5)
\psline[linewidth=1.25pt](5,5)(5,15)
\psline[linewidth=1.25pt](5,5)(0,0)
\psframe[linewidth=1.25pt](3,3)(15,11)
\psframe[linewidth=1.25pt](5,5)(17,13)
\psline[linewidth=1.25pt](3,11)(5,13)
\psline[linewidth=1.25pt](15,11)(17,13)
\psline[linewidth=1.25pt](15,3)(17,5)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(5,5)(7,5)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(5,5)(5,7)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(5,5)(4,4)
\uput[ul](5,5){A} \uput[ul](3,3){B} \uput[dr](15,3){C}
\uput[ur](17,5){D} \uput[ul](5,13){E} \uput[ul](3,11){F}
\uput[r](15,11){G} \uput[ul](17,13){H}
\uput[dr](0,0){$x$} \uput[ur](18,5){$y$} \uput[dr](5,15){$z$} 
\uput[r](4.5,4.5){\small $\vect{\imath}$}
\uput[u](6,5){\small $\vect{\jmath}$}
\uput[l](5,6){\small $\vect{k}$} 
\end{pspicture}
\end{center}        
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

Le taux de pénétration au radiotéléphone pour la France est donné par
le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Semestre/Année 	&1/95 	&2/95	&1/96 	&2/96 	&1/97 	&2/97 	&1/98\\ \hline	
Rang $x_i$		&0		&1		&2		&3		&4		& 5		& 6\\ \hline
Taux $y_i$ 		&1,4	&2,0	&2,7	&4,0	&6,0	&9,9 	&12,9\\ \hline\hline
Semestre/Année 	&2/98 	&1/99 	&2/99 	&1/00 	&2/00 	&1/01	&\multicolumn{1}{r}{~}\\ \cline{1-7}
Rang $x_i$		&7		&8		&9		&10		&11		&12		&\multicolumn{1}{r}{~}\\ \cline{1-7}
Taux $y_i$ 		&18,7	&24,4	&33,9	&39,9	&48,7	&54,2	&\multicolumn{1}{r}{~}\\ \cline{1-7}
\multicolumn{7}{r}{\footnotesize (Source : Autorité de régulation des 
télécommunications)} &\multicolumn{1}{c}{~}
\end{tabularx}

\medskip

Dans la première ligne du tableau, 1/95 désigne le $1\up{er}$ semestre 
1995 et 2/95 le $2\up{e}$ semestre 1995. Dans la troisième ligne du tableau, un taux de 2,0, par exemple, indique que 2 personnes sur 100 sont équipées 
d'un radiotétéléphone. On propose d'étudier deux modèles d'ajustement 
dans les \textbf{parties A et B} et de comparer les prévisions pour les années à venir dans la \textbf{partie C}.

\medskip

\begin{center} \textbf{Partie A - Ajustement affine (modèle A)} 
\end{center}

\textsl{Dans cette partie, aucun détail des calculs statistiques n'est 
demandé.}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Représenter graphiquement le nuage de points associés à la 
série statistique $\left(x_{i}~;~y_{j}\right)$ dans un repère orthogonal (unités graphiques : 1~cm pour un semestre sur l'axe des abscisses et 1 cm pour un taux de $5\:\%$ sur l'axe des ordonnées) (on prendra la feuille de papier millimétré dans le sens de la largeur). Le nuage de points montre qu'un ajustement affine est justifié.
\item Écrire une équation de la droite d'ajustement affine 
$\mathcal{D}$ de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés ; les coefficients seront arrondis à  $10^{-2}$ près.
\item Tracer la droite $\mathcal{D}$ sur le graphique.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center} \textbf{Partie B - Ajustement à l'aide d'une fonction (modèle 
B)} \end{center}

On obtient un autre ajustement du nuage à l'aide de la  fonction $g$ définie
sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par :

\[g(x) = \dfrac{80}{1 + 56\text{e}^{-0,4x}}.\]

On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $g$.

\begin{enumerate} 
\item Étudier le sens de variations de $g$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
\item Calculer la limite de $g$ en $+ \infty$. Interpréter graphiquement 
le résultat.
\item Construire, dans le repère précédent, la partie de la 
courbe $\mathcal{C}$ obtenue sur l'intervalle [0 ; 25].
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center} \textbf{Partie C} \end{center}

Avec le modèle A, on note $f$ la fonction affine représentée 
par la droite D.

Avec le modèle B, si $x$ est l'entier désignant la durée 
écoulée en nombre de semestres depuis le $1\up{er}$ semestre 
1995, alors $g(x)$ représente le taux de pénétration au radiotéléphone correspondant à ce nombre de semestres.

\begin{enumerate} 
\item Prévoir le taux de pénétration au radiotéléphone, 
à $10^{-1}$ près, pour chacun des deux modèles précédents :
	\begin{enumerate} 
		\item pour le deuxième semestre 2002.
		\item pour le deuxième semestre 2004.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Résoudre dans $\R$ les deux inéquations suivantes :

\[f(x) \geqslant 65 \qquad 	\text{et} \qquad	g(x) \geqslant 65.\]

		\item En déduire le plus petit entier $n$ tel que $f(n) \geqslant 65$ et le plus petit entier $p$ tel que $g(p) \geqslant 65$.
		\item Interpréter les résultats obtenus.
	\end{enumerate}
\item Calculer $f(24)$. Commenter le résultat obtenu.
\item En supposant que le modèle B soit valide à long terme, et 
en utilisant les questions \textbf{B 1} et \textbf{B 2}, que peut-on déduire pour le taux de  pénétration au radiotéléphone pour les années à venir?
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%   fin Liban juin 2002
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Polynésie juin 2002
\hypertarget{Polynesie}{}

\label{Polynesie}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2002}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES  Polynésie juin 2002~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le tableau suivant donne l'évolution du prix d'un paquet de 
café en francs au 31 décembre de l'année $1900 + n$.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l| *{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Rang $n_i$ de l'année&70 	&80 &88 &94		&96		&98		& 99& 100\\ \hline
Prix $y_i$ en francs & 3	&5,5&10	&15,50	&19,30	&19,40	& 20& 21\\ \hline
\end{tabularx} 

\medskip

\textsl{Sauf autre précision, tous les résultats et coefficients 
demandés seront arrondis à} $10^{-3}$.

\medskip

\begin{center} \textbf{A -- Ajustement affine} \end{center}

\textsl{Le détail des calculs n'est pas demandé.}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Représenter graphiquement le nuage.
 Que peut-on en  déduire ?
		\item Déterminer par la méthode des moindres carrés une équation 
de la droite d'ajustement affine de $y$ en $n$.
	\end{enumerate}
\item En supposant que ce modèle mathématique reste valable jusqu'à l'an 2002,
donner une estimation du prix, en euros, arrondi au centime,  d'un paquet de
café au 31/12/2002. On rappelle qu'un euro vaut \np{6,55957}  francs.

\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center} \textbf{B -- Ajustement exponentiel} \end{center}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Le détail des calculs n'est pas demandé.
	\begin{enumerate} 
		\item Recopier et compléter le tableau suivant o\`u $z_i = 
\ln y_i$ (valeurs arrondies à $10^{-3}$).

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n_i$	& 70	&80 	&  88	& 94	& 96	& 98	& 99 	&100 \\ \hline
$z_i$ 	& 1,099	&1,705 	& 2,303	& 		& 2,960 & 		& 		& \\\hline
\end{tabularx}

\medskip

		\item Représenter graphiquement le nuage. Que peut-on en  déduire ?
		\item Déterminer par la méthode des moindres carrés une équation 
de la droite d'ajustement affine de  $z$ en $n$.
	\end{enumerate}
\item Déduire du \textbf{B 1 c} une expression de $y$ en fonction de $n$ de 
la forme $y = \alpha \cdot \beta^n$.

Cet ajustement est dit exponentiel.
\item En supposant que ce	modèle exponentiel reste valable jusqu'en 2002, donner une estimation du prix en euros, arrondi au centime, d'un paquet de café au 31/12/2002.
\item Quelle est la meilleure estimation du prix au 31/12/2002 d'un 
paquet de café ? Justifier.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Un jeu consiste à lancer une première fois un dé à six faces :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item si le joueur obtient un \og six \fg{}, il gagne 10 euros ;
\item s'il obtient un \og un \fg{}, un \og deux \fg{} ou un \og trois \fg{}, il ne gagne rien  et le jeu s'arrête ;
\item s'il obtient un \og quatre \fg{} ou un \og cinq \fg{}, le joueur lance le dé une deuxième fois ; 
\item s'il obtient un \og six \fg{}, il gagne alors 5 euros, sinon il ne gagne rien et le jeu s'arrête.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip

Pour participer à ce jeu, chaque joueur mise 2 euros.

Le \og gain \fg{} d'un joueur est la différence entre ce qu'il reçoit à l'issue de la partie et sa mise ; un gain peut donc être négatif. Soit $G$ le  gain d'un joueur donné à chaque partie.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Quelles sont les valeurs prises par $G$ ?
\item Premier cas : le joueur joue avec un dé bien équilibré.
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que $p(G = 3) = \cfrac{1}{18}$. On pourra s'aider d'un arbre pondéré.
		\item Déterminer la loi de probabilité de $G$, puis l'espérance 
mathématique de $G$. Ce jeu est-il à l'avantage du joueur ?
	\end{enumerate}
\item Deuxième cas : le joueur joue avec un dé pipé.

On note $p_i$ la probabilité d'obtenir la face marquée \og $i$ \fg{} 
pour $1 \leqslant  i \leqslant  6$.

On sait que $p_6$ est le double de $p_1$ et que $p_1 = p_2 = p_3 = p_4 = 
p_5$.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer les valeurs de $p_i$ pour $1 \leqslant  i \leqslant  6$.
		\item Montrer alors que $p(G = 3) = \dfrac{4}{49}$
		\item Déterminer la loi de probabilité de $G$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill	5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

Le conseil municipal d'une station touristique de montagne a 
décidé de faire équiper une falaise afin de créer un site d'escalade.

L'équipement doit se faire depuis le pied de la falaise. Deux entreprises 
spécialisées dans ce genre de chantier ont été contactées et ont envoyé des devis.

On se propose d'étudier ceux-ci.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Devis de l'entreprise A :}

\medskip

Le premier mètre équipé coûte 20 \euro, puis chaque mètre 
supplémentaire équipé coûte 4 \euro{} de plus que le mètre précédent (20 \euro~ pour équiper une falaise de un mètre, 20 \euro{} + 24 \euro{} = 44~\euro{} pour équiper une falaise de deux mètres, 20~\euro{} + 24~\euro~ + 28~\euro~ = 72 \euro{} pour une falaise de trois mètres, etc.)

\bigskip

\textbf{Devis de l'entreprise B :}

\medskip

Le premier mètre équipé coûte 10~\euro{}, puis chaque mètre 
supplémentaire équipé coûte $5\,\%$ de plus que le mètre précédent (10 \euro~ pour 
équiper une falaise de un mètre, 10 \euro{} + 10,50 \euro{} = 20,50 \euro~ pour équiper une falaise de deux mètres, 10~\euro{} + 10,5~\euro{} + 11,025~\euro{} =  31,525~\euro{} pour une falaise de trois mètres, etc.).

\vspace{0,25cm}

On appelle $u_n$ le prix du $n$-ième mètre  équipé et $S_n$ le prix de l'équipement d'une falaise de $n$ mètres de hauteur indiqués par l'entreprise A.

On appelle $v_n$ le prix du $n$-ième mètre équipé et $R_n$ le prix 
de l'équipement d'une falaise de $n$ mètres de hauteur indiqués par 
l'entreprise B.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Exprimer $u_n$ puis $S_n$ en fonction de $n$.
\item Exprimer $v_n$ puis $R_n$ en fonction de $n$.
\item Calculer le prix à payer pour équiper une falaise de 50 mètres de hauteur avec chacune des deux entreprises. Préciser l'entreprise la moins chère. On arrondira les prix à l'euro près.
\item Le conseil municipal a décidé d'accorder un budget de \np{24000} \euro{} pour équiper ce site. Calculer la hauteur de la falaise qui peut 
être équipée avec cette somme par chacune des deux entreprises A et B (arrondir 
au mètre près).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} 	\hfill 10 points}

\bigskip

\textbf{Partie A -- Étude d'une fonction}

\medskip

On considère la fonction numérique $f$ définie sur l'intervalle I $= [0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = 0,4x + \text{e}^{-0,4x + 1}.\]

On désigne par ($\mathcal{C}$) sa courbe représentative dans le plan muni 
d'un repère orthogonal \Oij{} (unités graphiques : 2~cm en abscisse, 4~cm en ordonnée).

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
		\item Montrer que la droite (D) d'équation $y = 0,4x$ est asymptote à 
la courbe ($\mathcal{C}$).
		\item Étudier la position de la courbe ($\mathcal{C}$) par rapport à la droite (D).
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Résoudre sur l'intervalle I l'inéquation 
suivante :

\[1 - \text{e}^{-0,4x + 1} > 0.\]

		\item À l'aide de la question précédente, étudier les variations 
de la fonction $f$ sur I.
		\item Dresser le tableau de variations de $f$. En déduire le signe de 
$f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que la tangente (T) à ($\mathcal{C}$) au point
 d'abscisse 0  passe par le point B(2,5~;~1).
		\item Construire $(\mathcal{C})$, (D) et (T).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Application économique}

\medskip

Soit $x$ le nombre d'objets, exprimé en centaines, fabriqués par 
une usine, $f(x)$ est leur coût total, exprimé en milliers d'euros, On 
suppose que $x$ appartient à l'intervalle J $= [2,5~;~+ \infty[$.

Chaque objet est vendu 5 euros pièce.

On suppose que la fabrication est vendue dans sa totalité.

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Exprimer la recette $R(x)$, en milliers d'euros, en fonction du nombre $x$ de centaines d'objets fabriqués.
		\item Construire, sur le graphique précédent, la courbe 
représentative ($\Delta$) de la fonction $R$ traduisant cette recette.
		\item Vérifier graphiquement que ($\Delta$) et ($\mathcal{C}$) se coupent en un seul point, On désigne par $\alpha$ l'abscisse de ce point ; en donner une valeur approchée à $10^{-1}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que le bénéfice, noté $B(x)$, s'exprime en milliers 
d'euros par :

\[B(x) = 0,1x - \text{e}^{-0,4x + 1}.\]

		\item Quel est, en euros, le bénéfice obtenu en fabriquant \np{1000} ~objets ? On donnera une valeur arrondie à l'euro.
		\item Calculer $B(x)$ et étudier le sens de variation de $B$ sur 
$[2,5~;~+ \infty[$.
		\item Démontrer que l'équation $B(x) = 0$ admet une solution 
unique sur J appartenant à [2,5~;~10].

Montrer que cette solution est le nombre $\alpha$ défini dans la 
question \textbf{1 c}.

Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.

		\item En déduire le nombre entier minimum d'objets à produire 
pour réaliser un bénéfice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%  fin Polynésie juin 2002
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Antilles--Guyane septembre 2002
\hypertarget{Antillessept}{}

\label{Antillessept}
\lfoot{\small{Antilles -- Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2002}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES  Antilles--Guyane  septembre 2002~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Une étude réalisée sur tous les étudiants d'une université a permis d'établir que 
$30\,\%$ des étudiants possèdent un ordinateur personnel. Parmi
les étudiants possédant un ordinateur, $18\,\%$ possèdent une automobile.

On sait aussi que $25\,\%$ des étudiants de l'université ne possèdent pas
d'automobile.

On choisit au hasard un étudiant de cette université.

On note :

\begin{itemize}
\item  $O$ l'évènement : \og L'étudiant possède un ordinateur \fg{} ;
\item  $A$ l'évènement : \og L'étudiant possède une automobile \fg{} ;
\item  $p(E)$ la probabilité de l'évènement $E$, ainsi $p(O) = 0,3$ ;
\item  $\overline{E}$ l'évènement contraire de l'évènement $E$ ;
\item  $p_{F}(E)$ la probabilité conditionnelle de l'évènement $E$ par rapport à l'évènement $F$.
\end{itemize}

\textsl{Pour résoudre cet exercice, on pourra s'aider de la notion d'arbre pondéré.
Les résultats seront donnés en écriture décimale et arrondis au millième.}

\medskip

\begin{enumerate}
 \item À l'aide de l'énoncé, préciser : $p_{O}$(A) et $p(\overline{A})$.

\item On choisit au hasard un étudiant de cette université.
	\begin{enumerate}
		 \item Calculer la probabilité de l'évènement \og L'étudiant possède un ordinateur et une automobile \fg.
		\item Montrer que la probabilité de l'évènement \og L'étudiant possède un ordinateur mais pas d'automobile \fg{} est égale à $0,246$.
		\item Calculer la probabilité de l'évènement \og L'étudiant ne possède ni ordinateur ni automobile \fg.
		\item Calculer la probabilité que l'étudiant possède un ordinateur, sachant qu'il n'a pas d'automobile.
	\end{enumerate}
\item On choisit trois étudiants au hasard, indépendamment les uns 
des autres.
	\begin{enumerate}
		 \item Calculer la probabilité pour que les trois 
étudiants choisis possèdent tous un ordinateur.
		\item Calculer la probabilité pour qu'au moins un des étudiants chosis possèdent un ordinateur.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Dans une situation de monopole sur la production d'un objet, une entreprise le conditionne et en fait la promotion.

Une statistique a été établie pour étudier la liaison entre production et coût de publicité.

Soit $q$ la quantité produite exprimée en centaines, $y$ la part du coût de publicité en pourcentage.

\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{| p{3.5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Quantité $q_i$ (centaines)  & 1		&10 	&20 	&50 	&100 	&150 	&200 \\ \hline
Pourcentage $y_i$			&4,20	&3,70	&3,30	&2,30	&1,20 	&0,65 	&0,35\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

Par exemple : Pour une production de $100$ objets le coût de publicité est de $4,2\,\%$ du coût total.

\medskip

\begin{enumerate}
 \item Ci-joint en annexe le nuage de points $\left(q_i~;~ y_i\right)$ qui sera rendu    avec la copie.
	\begin{enumerate}
		 \item L'équation de la droite de régression de $y$ en $q$ est  : $y = - 0,02q+ 3,71$ (admis).

Tracer cette droite de régression sur la feuille donnée en annexe représentant le nuage de points.
		\item Quelle serait la part du coût de la publicité à prévoir pour une production de \np{25000}~objets ?

Que pensez-vous de l'ajustement effectué à la question précédente ?
	\end{enumerate}

\item On considère un nouveau modèle en posant $z = \ln (100y)$.

	\begin{enumerate}
		 \item Dresser le tableau des valeurs $z_i$ correspondant aux valeurs $q_i$. 

		\textsl{Les valeurs de} $z_i$ \textsl{seront données sous forme décimale arrondie au centième le plus proche.}
		\item Représenter le nuage de points $\left(q_i~;~z_i\right)$ dans un repère (unités graphiques : 1~cm pour 10 centaines en abscisses, 2 cm pour une unité en ordonnées) sur une feuille de papier millimétré.
		\item Ce nuage de points montre qu'un ajustement affine est justifié.

Déterminer une équation de la droite de régression de $z$ en $q$ de la forme $z = aq + b$ par la méthode des moindres carrés.

\textsl{Les calculs faits à l'aide d'une calculatrice ne seront pas justifiés. Les valeurs de} $a$ \textsl{et de} $b$ \textsl{seront données sous forme décimale arrondie au centième le plus proche.}
		\item Quelle serait la part du coût de la publicité à prévoir pour une production de \np{25000}~objets ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\begin{center} \textbf{Annexe à rendre avec la copie}
    
\vspace{0,5cm}

\psset{xunit=0.0425cm,yunit=2cm}
\begin{pspicture}(250,4.5)
\multido{\n=0+50}{6}{\psline(\n,0)(\n,4.5)}
\psdots[dotstyle=*,dotscale=1.5,linecolor=blue](1,4.2)(10,3.7)(20,3.3)(50,2.3)(100,1.2)(150,1.65)(200,0.35)
\multido{\n=0+0.5}{10}{\psline(0,\n)(250,\n)}
\uput[d](210,-0.3){Quantité $q$ en centaines}
\rput{90}(-10,4){Pourcentage $y$}
\psaxes[Dx=50,Dy=10,linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(250,4.5)
\end{pspicture} 
\end{center}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un capital initial $c_0$ de $600$~euros est placé sur un compte rapportant $5\,\%$ d'intérêts annuels. On note $c_n$ le capital acquis au bout de $n$ années ($n$ entier naturel).
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le capital $c_{n + 1}$ en fonction de $c_n$.
		\item En déduire l'expression de $c_n$ en fonction de $n$.
		\item Trouver le nombre minimal d'années nécessaires pour que le capital ainsi placé ait au moins triplé.
	\end{enumerate}
\item  Un autre épargnant place également un capital initial de $600$~euros au taux annuel de $5\,\%$ d'intérêts, et fait un versement supplémentaire de $150$~euros à la fin de chaque année. On appelle $d_0$ le capital initial et  $d_n$ le capital ainsi acquis à la fin de la $n$-ième année.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $d_1,\:d_2,\:d_3$.
		\item Vérifier que pour tout entier naturel $n,\: d_{n + 1} = 1,05 d_n + 150$.
		\item Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie par : $v_n = d_n + \np{3000}$.

Calculer $v_0$ et $v_1$.

Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $q = 1,05$.

Écrire $v_n$ en fonction de $v_0$ et de $n$.
		\item En déduire $d_n$ en fonction de $n$.
		\item À partir de combien d'années le capital $d_n$ aura-t-il au moins triplé ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $f$ la fonction numérique définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~20]  par :

\[f(x) = 4 - 3\text{e}^{-2x} + 7x^2.\]

\begin{enumerate}
\item Démontrer que $f$ est croissante sur [0~;~20].
\item Dresser le tableau des variations de $f$ sur l'intervalle [0; 20].
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $h$ la fonction définie et dérivable sur [0~;~20] par :

\[h(x) = 85 - 6\text{e}^{-2x} - 14x.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
 \item
 	 \begin{enumerate}
	 	 \item Démontrer que pour $x \geqslant 0$    on a $12\text{e}^{-2x} < 14$.
		\item En déduire le sens de variations de $h$ sur [0~;~20] et dresser son tableau de variations.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que l'équation $h(x) = 0$ admet sur [0~;~20] une solution unique $\alpha$ et que $\alpha$ appartient à l'intervalle [6 ; 7].
\item Montrer qu'une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près est 6,07.

\textsl{Dans toute la suite du problème on prendra cette valeur pour $\alpha$.}
\item Déterminer le signe de $h(x)$ sur [0~;~20].
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

$\star~$ \textbf{Application économique}

Dans une entreprise, le coût de fabrication, exprimé en milliers d'euro, de $x$ centaines d'appareils est donné par :

\[C(x)= 4 - 3\text{e}^{-2x} + 7x2 \quad  \text{pour} \quad  x \in  [0~;20].\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Sachant qu'un appareil est vendu au prix unitaire de 850 euros, montrer que le bénéfice réalisé par l'entreprise pour $x$ centaines d'appareils  produits et vendus, exprimé en milliers d'euros, est donné par l'expression :

\[B(x) = 3\text{e}^{-2x} - 7x^2 + 85x - 4.\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le sens de variations de la fonction $B$ sur [0~;~20].
		\item Déterminez la quantité à produire et à vendre pour que l'entreprise  réalise un bénéfice maximal ; préciser cette quantité à l'unité près.
		\item Déterminez, à l'aide de la calculatrice, les quantités de pièces à produire et à vendre à l'unité près pour que l'entreprise ne travaille pas à perte (aucune autre justification n'est demandée).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%   fin Antilles--Guyane septembre 2002
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Métropole septembre 2002
\hypertarget{Metropolesept}{}

\label{Metropolesept}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2002}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES France septembre  2002~\decofourright}}\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Les résultats des calculs numériques seront arrondis avec deux décimales.}

Une entreprise recherche trois personnes expérimentées pour occuper trois postes techniques importants. On a constaté, lors d'embauches précédentes, que parmi les candidats qui peuvent se présenter, 80\:\% ont les compétences requises pour occuper ces postes. Pour sélectionner les candidats, les recruteurs de l'entreprise élaborent un test. On estime que : 

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] si une personne est compétente, elle a $85$ chances sur $100$ de réussir le test ;
\item[$\bullet~$] si une personne est incompétente, elle a $20$ chances sur $100$ de réussir le test. 
\end{itemize}

\begin{enumerate} 
\item  Une personne se présente pour le premier poste. On note

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $C$ l'évènement \og la personne est compétente \fg 
\item[$\bullet~$] $R$ l'évènement \og la personne réussit le test \fg. 
\item[$\bullet~$] $\overline{C}$ et $\overline{R}$ désignent les évènements contraires respectifs de $C$ et $R$. 
\item[$\bullet~$] Si $A$ et $B$ sont des évènements, 
\end{itemize}

* $p(A)$ est la probabilité de réalisation de $A$
 
* $p_{B}(A)$ est la probabilité de réalisation de $A$ sachant que $B$ est réalisé, notée aussi $p(A / B)$. 

\medskip

	\begin{enumerate} 
		\item À l'aide des informations indiquées dans l'énoncé :

Donner les valeurs de $p(C)$ et $p_{C}(R)$. Donner la probabilité qu'une personne réussisse le test, sachant qu'elle n'est pas compétente. 
		\item Calculer $p\left(\overline{C}\right)$. 
		\item Calculer la probabilité qu'une personne réussisse le test et soit compétente.
		\item Montrer que $p(R) = 0,72$.
		\item Une personne réussit le test. Quelle est la probabilité qu'elle soit compétente ?
	\end{enumerate}
\item Trois candidats se présentent pour pourvoir les trois postes.

Ils subi successivement le test de façon indépendante.

On admet que la probabilité de réussite au test est de $0,72$ pour chacun.

$X$ désigne la variable aléatoire donnant le nombre de candidats, parmi les trois, réussissant le test. 
	\begin{enumerate}
		 \item On a esquissé ci-dessous un arbre pondéré traduisant la situation. 

Recopier cette esquisse sur la copie et la compléter par les branches et les légendes manquantes. 
		\item Calculer $p(X = 3)$. 
		\item Calculer la probabilité qu'exactement deux candidats sur les trois réussissent le test.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\newpage

\begin{center}Candidat 1~~~~~~~~	Candidat 2~~~~~~~~  Candidat 3

\vspace{0,5cm}

\pstree[linecolor=red,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{
  \pstree{\TR{$R$~}\taput{0,72}}
  {\pstree{\TR{}}{
           \TR{}  \TR{}
                 }
  \TR{} 
  }
  \pstree{\TR{$\overline{R}$~}\tbput{0,28}}
  {
  \TR{} 
  \TR{}
  }
} \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé :

\begin{itemize}
\item[$\bullet$~] la courbe $\mathcal{C}_{f}$ représentant une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $]0~;~-\infty$[ ;
\item[$\bullet$~] deux tangentes à cette courbe : celle au point A d'abscisse 1 et celle au point B  d'abscisse e.
\end{itemize}
La courbe $\mathcal{C}_{f}$ passe par les points A$(1 ~;~ - 1)$, B(e ; 0) et C(4 ;~$f(4)$).

La tangente en A est parallèle à l'axe des abscisses.

La tangente en B passe par le point E tel que BD = DE, où D est le point de
 coordonnées (4~;~0) et E a pour abscisse 4.
 
\begin{center}\psset{unit=2cm,arrowsize=2pt 3,comma=true} 
\begin{pspicture*}(-0.5,-2)(4.5,2)
\pscustom{
\psplot{1}{2.71828}{x ln x mul x sub}
\gsave
\psline[liftpen=1](2.71828,0)(1,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
\grestore
}
\psgrid[subgriddiv=2,gridlabels=0pt](0,-2)(4.5,2)
%\psline[linewidth=2pt]{->}(-0.5,0)(4.5,0)
%\psline[linewidth=2pt]{->}(0,-2)(0,2)
\psline{<->}(1,-1.718)(4,1.2817)
\psaxes[linewidth=1pt,Dy=0.5](0,0)(0,-1.99)(4.5,1.99)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.5]{->}(0,0)(1,1)
\uput[ul](2.718,0){e} \uput[ul](4,0){D}
\uput[dr](2.71828,0){B}
\uput[dl](1,-1){A} \uput[ur](4,1.2817){E}
\uput[ul](4,1.52){C}
\psline{<->}(0.5,-1)(1.5,-1)

\psline[liftpen=2](2.71828,0)(1,0)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{4.2}{x ln x mul x sub}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}

Le nombre e est la base des logarithmes népériens.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item Sans justifier, donner $f'(1)$ et $f'$(e).
		\item Sans justifier, donner les solutions dans ]0~;~4[ de  
l'inéquation $f(x) < 0$, puis celles de : $f'(x) < 0$.
		\item Soit $\mathcal{A}$, en unités d'aire, une estimation de l'aire de la région colorée, région comprise entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et les droites d'équations $x = 1$ et $x$ = e. 

Parmi les trois nombres suivants : 2,9 ; 1,1 ; 0,6 lequel est la
meilleure valeur approchée de $\mathcal{A}$ ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\item On suppose que la fonction $f$ précédente est définie 
sur $]0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = x \ln (x) - x.\]

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$. En déduire les variations de $f$ et les valeurs  de $f'(1)$ et de  $f'$(e) ; on ne  déterminera pas la limite en $+ \infty$.
		\item Montrer que la fonction $F$ définie sur ]0 ; 4] par :

\[F(x) = \dfrac{x^2}{2} \left( \ln x - \dfrac{3}{2}\right)\]
est une primitive de $f$ sur ]0~;~4].
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Dans un repère orthonormal de l'espace \Oijk~ on considère les points 
A(1~;~0~;~2)\quad  B(2~;~1~;~0) et C(0~;~1~;~2)
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que ABC est un triangle rectangle.
		\item Vérifier que le vecteur $\vect{u}$(1~;~1~;~1) est un vecteur normal au plan (ABC).
		\item En déduire une équation cartésienne de ce plan.
		\item Quelles sont les coordonnées des points E, F et G intersections du plan (ABC) avec les
droites $\left(\text{O}~;~\vect{\imath}\right),~\left(\text{O}~;~\vect{\jmath}\right)$ et $\left(\text{O}~;~\vect{k}\right)$ ?

Représenter les points A, B, C et le triangle EFG dans le repère \Oijk.
		\item Soit D le point défini par $\vect{\text{AD}} = 3 \vect{u}$.

Déterminer ses coordonnées, puis le placer sur le graphique.
		\item Pourquoi les triangles ABD et ACD sont-ils rectangles en A ?

Démontrer que BCD n'est pas rectangle.
	\end{enumerate}
\item Les points A, B, C et D déterminent un solide S à quatre faces
 triangulaires (tétraèdre) dont trois sont des triangles rectangles.
 
On considère un jeu où on lance le solide S . Il retombe sur une de ses faces.

On a perdu si cette face est un triangle rectangle et on a gagné dans le cas
 contraire.
 
Une étude statistique a montré que l'on avait deux fois plus de 
chances de perdre que de gagner.

	\begin{enumerate}
	 	\item On lance le solide S une fois.

Quelle est alors la probabilité que S retombe sur la face (BCD) ?
		\item On lance le solide S quatre fois, les lancers étant indépendants.

Quelle est la probabilité d'obtenir exactement deux fois la face (BCD) ?

(On donnera le résultat sous forme d'une fraction irréductible.)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  9 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textsl{La partie C est indépendante des parties A et B.}

\bigskip

\textbf{Partie A}

Soit $h$ la fonction polynôme du second degré définie sur [0~;~1] par 

\[h(x) = (\text{e} - 1) x^2 - 2(\text{e} - 1)x +1,\]

la constante e désignant la base des logarithmes népériens $(\text{e} \approx 2,718$).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $h$ est strictement décroissante sur [0 ; 1].
\item Justifier le fait que $h$ s'annule une fois et une seule entre 0 et 1.
 On note $\alpha$ le nombre réel qui vérifie $h(\alpha) = 0$.
\item En utilisant les résultats des questions précédentes, préciser le
 signe de $h(x)$ sur [0~;1].
\end{enumerate} 
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur [0~;~1] par 

\[f(x) = \ln \left[(\text{e} - 1)x^2 + 1 \right]\]

et $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal
(unité graphique 10~cm).

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Calculer $f(0)$ et $f(1)$.
	\item Étudier les variations de $f$ sur [0~;~1].
	\item On veut préciser la position de $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à la droite D d'équation $y = x$.

Pour cela, on étudie les variations de la fonction définie sur [0~;~1] 
par $d(x) = x - f(x)$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $d'(x) = \dfrac{h(x)}{(\text{e} - 1) x^2 + 1}$ où $h$ est la fonction étudiée dans la \textbf{partie A}.
		\item Étudier le sens de variation de $d$ sur [0~;~1].
		\item Calculer $d(0)$ et $d(1)$.
		\item Déduire de ce qui précède le signe de $d(x)$ sur [0~;~1].

Préciser la position de $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à la droite D.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 
	
\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Sur le graphique ci-dessous sont représentées la droite d'équation $y = x$, la courbe  $\mathcal{C}_{f}$ représentative de la fonction $f$ étudiée dans la \textbf{partie B} et la courbe $\mathcal{C}_{g}$ représentative d'une nouvelle fonction $g$.

%\begin{figure}
\begin{center}
\psset{unit=10cm,comma=true}
\begin{pspicture}(1.1,1.1)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=10]
\uput[dl](0,0){O}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.2,Dy=0.2](0,0)(0,0)(1,1)
\uput[r](0.62,0.5){\blue $\mathcal{C}_{f}$}
\uput[r](0.75,0.4){$\mathcal{C}_{g}$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{1.71828 x 2 exp mul 1 add ln}
\psplot{0}{1}{x}
\pscurve[linestyle=dashed](0,0)(0.1,0.013)(0.2,0.027)(0.3,0.053)(0.4,0.09)(0.5,0.15)(0.6,0.226)
(0.7,0.34)(0.8,0.485)(0.9,0.695)(1,1)
\end{pspicture}
\end{center}
%\end{figure}
\vspace{0,5cm}

Les courbes représentant $f$ et $g$ illustrent ici respectivement la répartition des salaires dans deux entreprises A et B.

En abscisses, $x$ représente le pourcentage cumulé (sous forme décimale) des personnes ayant les salaires les plus faibles par rapport à l'effectif total de chaque entreprise ; par exemple si l'on veut considérer les $60\:\%$ les moins bien payés de l'ensemble des salariés d'une entreprise, on choisira $x = 0,6$.

En ordonnées, $f(x)$ (ou $g(x)$) représente le pourcentage (sous forme décimale) de la masse salariale totale affectée aux $t\,\%$ les moins bien payés des salariés de chaque entreprise, avec $\dfrac{t}{100} = x$.

Les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ sont des courbes de Lorenz.

\medskip

\begin{enumerate}
\item	Déterminer graphiquement (avec la précision permise par le dessin), pour chaque entreprise, une valeur approchée du pourcentage de la masse salariale affectée aux  $60\,\%$ des salariés les moins bien payés.
\item Déterminer graphiquement (avec la précision permise par le dessin), pour chaque entreprise, une valeur approchée du pourcentage des salariés les moins bien payés dont la masse des salaires représente $60\:\%$ de la masse salariale totale.
\item Dans quelle entreprise la distribution des salaires est-elle la plus
irrégulièrement répartie ?
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole septembre 2002
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Polynésie septembre 2002
\hypertarget{Polynesiesept}{}

\label{Polynesiesept}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2002}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Polynésie septembre 2002~\decofourright}} \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

\textsl{On peut traiter la question} 4 \textsl{sans avoir traité les 
questions précédentes.}

\medskip

Pour un achat immobilier, lorsqu'une personne emprunte une somme
de \np{50000}~euros, remboursable par $n$ mensualités chacune égale à
$A$ euros, pour un intérêt mensuel de $0,4\,\%$, le montant de cette 
mensualité $A$ est donné par : 

\[A = \dfrac{200}{1 - (1,004)^{-n}}\]

(\textsl{on ne demande pas d'établir cette relation}). 	

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la mensualité $A$ lorsque cette personne emprunte
\np{50000}~euros remboursables par 120 mensualités pour un intérêt mensuel de 
$0,4\,\%$. On donnera une valeur arrondie au centime d'euro.

Calculer alors le montant total des intérêts pour ce prêt.
\item Mêmes questions avec un emprunt de 50 000 euros sur 8 ans à
$0,4\,\%$ mensuel.
\item Afin de payer le moins d'intérêts possible, l'emprunteur doit augmenter
 le montant de la mensualité et diminuer la période de remboursement. Mais il
 ne peut supporter au maximum que des remboursements de 950 euros par mois.
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans $[0~;~ +\infty[$ l'inéquation

\[\dfrac{200}{1-(1,004)^{-x}} \leqslant 	 950.\]

		\item En déduire le nombre entier $n$ minimum de mensualités pour lequel le montant de la mensualité $A$ est inférieur ou égal à 950 euros.

Que vaut alors $A$ arrondi au centime d'euro ? Calculer alors le montant
total des intérêts.
	\end{enumerate}
\item Voici des extraits du tableau d'amortissement d'un prêt de
\np{50000}~euros remboursable par 60 mensualités pour un intérêt de
$0,4\,\%$.

Calculer, en détaillant, les nombres $a,~ b,~ c,~ d$ et $e$ qui figurent dans le tableau.

On donnera des valeurs arrondies au centime d'euro.

{\footnotesize \begin{center} \begin{tabular}{|*{5}{c|}}\hline
\No de la&	Montant de la&Part des intérêts en euros&	Capital 
amorti&	Capital restant\\
mensualité&	mensualité en euros&	pour cette mensualité&	en euros&	à rembourser 
en euros\\ \hline\hline
1&	938,99&	200,00&	738,99&	\np{49261,01}\\ \hline
2&	938,99&	197,04&	$a$&	$b$\\ \hline
3&	938,99&	$c$&	$d$&	$e$\\ \hline
4&	938,99&	191,10&	747,89&	\np{47026,26}\\ \hline
$\bullet$&$\bullet$&	$\bullet$&	$\bullet$&	$\bullet$\\ \hline
$\bullet$&	$\bullet$&	$\bullet$&	$\bullet$&	$\bullet$\\ \hline
$\bullet$&	$\bullet$&	$\bullet$&	$\bullet$&	$\bullet$\\ \hline
$\bullet$&	$\bullet$&	$\bullet$&	$\bullet$&	$\bullet$\\ \hline
$\bullet$&	$\bullet$&	$\bullet$&	$\bullet$&	$\bullet$\\ \hline
$\bullet$&	$\bullet$&	$\bullet$&	$\bullet$&	$\bullet$\\ \hline
$\bullet$&	$\bullet$&	$\bullet$&	$\bullet$&	$\bullet$\\ \hline
59&	938,99&	7,47&	931,52&	935,25\\ \hline
60&	938,99&	3,74&	935,25&	0\\ \hline
\end{tabular} \end{center}}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Un stock de champignons est constitué de trois variétés de champignons conditionnés en barquettes.
Ces barquettes proviennent exclusivement de France ou d'Italie.

Ce stock est composé à $50\,\%$ de barquettes de cèpes, à $30\,\%$ de barquettes de girolles et à $20\,\%$ de barquettes de morilles.

$15\,\%$ des barquettes de cèpes proviennent d'Italie.

$20\,\%$ des barquettes de girolles proviennent d'Italie.

$40\,\%$ des barquettes de morilles proviennent d'Italie.

On choisit une barquette de ce stock au hasard.

On notera les évènements suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item $C$ : \og La barquette choisie contient des cèpes \fg{} ;
\item $G$ : \og La barquette choisie contient des girolles \fg{} ;
\item $M$ : \og La barquette choisie contient des morilles \fg{} ;
\item $I$ : \og La barquette choisie provient d'Italie \fg{} ;
\item $F$ : \og La barquette choisie provient de France \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
\begin{enumerate} 
\item Quelle est la probabilité que la barquette choisie contienne des
cèpes et provienne de France ? 
\item Montrer que la probabilité que la barquette choisie provienne
d'Italie est $0,215$.
\item Quelle est la probabilité que la barquette choisie contienne des
cèpes sachant que cette barquette provient d'Italie ? On donnera une
valeur arrondie à $10^{-3}$.
\item La barquette choisie provient de France. Quelle est la probabilité
que ce soit une barquette de girolles ? On donnera une valeur arrondie à
$10^{-3}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

Le tableau ci-dessous donne le taux d'équipement en magnétoscope des
couples avec enfant(s) d'une certaine région française de 1980 à 2000
tous les quatre ans.

Dans ce tableau, $x_i$ représente l'expression : $\dfrac{a_i - 1980}{4}$.

\smallskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|*{6}{c|}}\hline
Année $a_i$				&1980	&1984	&1988	&1992	&1996	&2000\\ \hline
Rang $x_i$ de l'année	&0		&1		&2		&3		&4		&5\\ \hline
Taux $y_i$ en \%		&5		&8		&24		&50		&77		&88\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\smallskip

Par exemple, $5\,\%$ des couples avec enfant(s) de cette région possède un
magnétoscope en 1980.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\textbf{Ajustement affine}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthogonal (unités graphiques : 2 cm
par rang d'année sur l'axe des abscisses et 1~cm pour $10\:\%$ sur l'axe des
ordonnées).

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Représenter le nuage de points correspondant à la série statistique
$\left(x_i~;~y_i\right)$. 
\item Calculer les coordonnées du point moyen G de cette série statistique et placer celui-ci sur le graphique précédent.
\item Dans toute cette question, aucun détail des calculs n'est demandé Les résultats pourront être obtenus à l'aide de la calculatrice; ils seront arrondis à $10^{-2}$.

Donner une équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$, obtenue
par la méthode des moindres carrés.

Représenter cette droite sur le graphique précédent.

On suppose que le modèle obtenu à la \textbf{question 3} reste valable pour les années suivantes.

Déterminer, par le calcul, en quelle année ce taux dépassera $95\:\%$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\textbf{Ajustement logistique}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = \dfrac{100}{1 + k\text{e}^{bx}}.\]

où $k$ et $b$ sont des constantes à déterminer.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer par le calcul les valeurs exactes de $k$ et $b$ pour que la courbe représentative de $f$ passe par les points M(0~;~5) et N(3~;~50).

Donner une valeur de $b$ arrondie à l'unité.
\item Dans toute cette question, on pose : 

\[f(x) = \dfrac{100}{1 +  19\text{e}^{-x}}\]

et on admettra que $f(x)$ représente le taux d'équipement en magnétoscope des couples avec enfant(s) de cette région pour l'année de rang $x$.

\medskip

	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que la droite d'équation $y = 100$ est asymptote horizontale à la courbe représentative de $f$ au voisinage de  $+ \infty$. 
Déterminer la position de la courbe représentative de $f$ par rapport à cette 
asymptote.
		\item Calculer la dérivée $f'$ de $f$ et vérifier que $f'(x)$ est du signe de $\text{e}^{-x}$.

En déduire les variations de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$ et dresser le tableau 
de variations de $f$. 
	\item Tracer la courbe représentative de $f$ sur le graphique de la 
\textbf{partie A}.
	\item Résoudre l'inéquation : $f(x) \geqslant  95$. Interpréter ce résultat en terme de taux d'équipement. 
	\item Montrer que pour tout $x$ de $[0~;~+ \infty[$, on a $f(x) =  
\dfrac{100\text{e}^{x}}{19 + \text{e}^{x}}$.
	\item En déduire une primitive de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
	\item On assimile le taux moyen d'équipement prévisible avec ce modèle
logistique entre les années 2000 et 2008 à la valeur moyenne de la 
fonction $f$ sur [5~;~7].

Calculer ce taux moyen d'équipement prévisible entre les années 2000 et 2008. On en donnera une valeur arrondie à $10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%   fin Polynésie septembre 2002
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Amérique du Sud novembre 2002
\hypertarget{AmeriqueduSud}{}

\label{AmeriqueduSud}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small{novembre 2002}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat  ES Amérique du Sud  novembre 2002~\decofourright }} 
\end{center}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty [$  par

\[g(x) = \ln (x + 1) - \ln (x).\]
 
Montrer que, pour tout $x > 0\: :\: g(x) = \ln \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)$.

Étudier le signe de $g(x)$.

Déterminer les limites de $g$ en $0$ et en $+ \infty$.

Démontrer que la fonction $G$, définie sur $]0~;~+ \infty[$  par 

\[G(x) = (x + 1) \ln(x + 1) - x \ln(x),\]
est une primitive de $g$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
\item Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$  
par 

\[f(x) = x + 2 + \ln(x + 1) - \ln(x),\]

et $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal  \Oij{} du plan (unité graphique : 1~cm). On ne demande pas de tracer $(\mathcal{C})$.
 
En utilisant les résultats  du \textbf{1.}, justifier les affirmations suivantes : 
	\begin{enumerate}
		\item l'axe des ordonnées est asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$ ;
		\item la droite (D) d'équation $y = x + 2$ est asymptote à  $(\mathcal{C})$ en $+ \infty$;
		\item la courbe $(\mathcal{C})$ est au-dessus de la droite (D).
\vspace{0,3cm}
 	\end{enumerate}
\item Calculer $\displaystyle\int_1^3 \left[f(x) - (x + 2)\right]\:\text{d}x$.

Quelle interprétation géométrique peut-on faire de cette intégrale ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité.}

\medskip

Pour compléter le financement d'un voyage scolaire, une association de parents d'élèves décide d'organiser une loterie. Pour cela, il faut une roue partagée en quatre secteurs de même dimension (voir figure ci-dessous) et deux urnes A et B.

L'urne A contient une boule jaune et trois boules noires et l'urne B contient trois boules jaunes et une boule noire.

\medskip

\parbox[c]{0.8\textwidth}{Le jeu se déroule de la manière suivante : le candidat fait tourner la roue qui, étant lancée, s'arrête de façon aléatoire, la flèche ne pouvant indiquer qu'un seul secteur (tous les secteurs ont donc la même chance de \og sortir \fg{}).

\begin{itemize}
\item  si le candidat obtient la lettre P, il a perdu et le jeu est fini ;
\item  s'il obtient la lettre A, il tire une boule dans l'urne A ;
\item  s'il obtient la lettre B, il tire une boule dans l'urne B
\end{itemize}
On note $P$, $A$, $B$,  $J$ et $N$ les évènements suivants : 

$P$ : \og à l'issue du lancer de la roue, on a obtenu la lettre P \fg{} ;

$A$ : \og à l'issue du lancer de la roue, on a obtenu la lettre A \fg{} ;

$B$ : \og à l'issue du lancer de la roue, on a obtenu la lettre B \fg{} ;

$J$ : \og on a tiré une boule jaune \fg{} ;

$N$ : \og on a tiré une boule noire \fg.} \hfill 
\parbox[c]{0.18\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(2,4)
\pscircle(1,1){1} \psline(0.293,0.293)(1.707,1.707) 
\psline(0.293,1.707)(1.707,0.293) 
\rput(1,0.5){P} \rput(1,1.5){B} \rput(0.5,1){A} \rput(1.5,1){A}
\psline[linewidth=2.5pt]{->}(1,3)(1,2) 
\end{pspicture}}

\vspace{0,5cm}

\emph{Dans cet exercice les probabilités seront donnée sous forme de fractions
 irréductibles.}

\begin{enumerate}
\item Donner la probabilité des évènements $A$, $B$ et $P$.
\item Construire un arbre pondéré illustrant la situation.
\item
	 \begin{enumerate}
	 	\item Sachant que lors du lancer de la roue on a obtenu la lettre A, quelle est la probabilité de tirer une boule jaune ?
		\item En déduire la probabilité de l'évènement $A ~\cap~ J$.
	\end{enumerate}
\item Un joueur fait une partie.
 
Quelle est la probabilité qu'à l'issue du lancer de la roue il obtienne la lettre B et qu'il tire une boule jaune ?

Déduire des questions précédentes que la probabilité que le joueur tire une boule jaune est $\dfrac{5}{16}$.
\item Un joueur fait deux parties consécutivement, les deux parties étant indépendantes l'une de l'autre. Quelle est la probabilité que ce joueur tire exactement deux boules jaunes ?
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité.}

\medskip

On dispose d'une pièce de monnaie parfaitement équilibrée et de deux urnes, l'une marquée de la lettre F et l'autre marquée de la lettre P.

 \vspace{0,3cm}

\begin{enumerate}
 \item Chacune des deux urnes contient 6 boules. L'urne marquée F contient 5 boules blanches et 1 boule noire alors que l'urne marquée P contient 2 boules blanches et 4 boules noires.

On lance la pièce de monnaie :

\begin{itemize}
\item  si on obtient \og face \fg{}, on tire une boule dans l'urne marquée F.
\item  si on obtient \og pile \fg{}, on tire une boule dans l'urne marquée P.
\end{itemize}

On note $P$, $F$, $B$ et $N$ les évènements suivants :

$P$ : \og on a obtenu pile au lancer de la pièce \fg{} ;

$F$ : \og on a obtenu face au lancer de la pièce \fg{} ;

$B$ : \og on a tiré une boule blanche \fg{} ;

$N$ : \og on a tiré une boule noire \fg.

Déterminer la probabilité de tirer une boule blanche sachant qu'on a obtenu \og face \fg{} au lancer de la pièce.

En déduire la probabilité d'obtenir \og face \fg{} au lancer de la pièce et de tirer une boule  blanche.

Calculer la probabilité de l'évènement $B \cap P$.

Déduire des questions précédentes que la probabilité de tirer une  boule blanche est $\dfrac{7}{12}$.
\item On effectue la même expérience aléatoire, les deux urnes contenant à présent $2n$ boules,~ $n$ étant un entier naturel non nul. L'urne marquée P contient  $(2n - 1)$ boules blanches et 1 boule noire alors que l'urne marquée P contient $(n - 1)$ boules blanches et $(n + 1)$ boules noires.

Montrer que la probabilité de tirer une boule blanche est : $\dfrac{3n - 2}{4n}$.
\item Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par : $u_n = \dfrac{3n - 2}{4n}$ pour tout $n$ entier naturel non nul.
	\begin{enumerate}
		 \item Déterminer la limite, quand $n$ tend vers plus l'infini, de la suite $\left(u_n\right)$.
		\item Montrer que pour tout entier $n \geqslant 1~:~u_{n+1} - u_n = \dfrac{2}{4n(n + 1)}$.

		Déduire de la question précédente le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

Un négociant en vins a fait mener une étude visant à déterminer à quel prix maximal ses clients sont prêts à acheter une bouteille de vin. Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{| l | *{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Prix maximal $x_i$ en euros de la bouteille & 5 &10 &15 &20 &25 &30\\[3pt] \hline
Pourcentage $y_i$ d'acheteurs potentiels 	&84 &58 &30 &19 &7 &4 \\[3pt] \hline
\end{tabularx}  \end{center}

On voit dans ce tableau, par exemple, que 58\:\% des clients de ce négociant sont prêts à payer $10$~euros une bouteille de vin.
 
\bigskip

\textbf{Partie A (Ajustement affine)}

\medskip

\begin{enumerate}
 \item
 	 \begin{enumerate}
	 	 \item Représenter le nuage de points correspondant à la série statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$ dans un repère orthogonal du plan (unités : 1 cm pour 2 euros sur l'axe des abscisses, 1 cm pour 5\:\% sur l'axe des ordonnées).
		\item Déterminer les coordonnées du point moyen G du nuage et le placer sur le graphique.
	\end{enumerate}

\vspace{0,3cm}

\item
	 \begin{enumerate} 
	 	\item Donner, à l'aide de la calculatrice, une valeur arrondie à $10^{-2}$ près du coefficient de corrélation linéaire de la série  statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$. Un ajustement affine est-il judicieux ?
		\item Donner une équation de la droite de régression de $y$ en $x$, par la méthode des moindres carrés, les coefficients étant calculés à l'aide de la calculatrice  et arrondis à $10^{-2}$ près.
 
Représenter la droite sur la figure du  \textbf{1.}, en précisant les coordonnées de deux points de cette droite.
 	\end{enumerate}
\item Chez ce négociant, le prix moyen d'une bouteille est de $13$~euros. En utilisant l'ajustement précédent, calculer le pourcentage des clients prêts à acheter une bouteille à ce prix. On arrondira le résultat à l'entier le plus proche.
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Partie B (Autre ajustement)}

\medskip 

On envisage un ajustement du nuage de points de la \textbf{partie A} par la courbe représentative d'une fonction. Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~ + \infty[$ par 

\[f(x) = \left(x^2 + 20x + 100\right)\text{e}^{- 0,2x}\]

et $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans le repère de la \textbf{partie A}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On admet que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \left(x^2 + 20x + 100\right)\text{e}^{- 0,2x} = 0$. Quelle interprétation graphique peut-on faire de ce résultat ?
\item
	 \begin{enumerate}
	 	 \item $f'$ étant la dérivée de la fonction $f$ , montrer que pour tout $x \in [0~;~+ \infty[$:

\[f'(x) = \left(- 0,2x^2 - 2x\right)\text{e}^{-0,2x}.\]

		\item Déterminer le signe de $f'(x)$ pour $x \in  [0~;~+ \infty[$.
		\item En déduire les variations de la fonction $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
	 	 \item Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant (on donnera les valeurs arrondies à $10^{-1}$ près)
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{| *{8}{>{\centering \arraybackslash}X|} }\hline
$x$ 	&0 	&5 		&10 &15 &20 &25 &30\\[3pt] \hline
$f(x)$  & 	&82,8 	& 	& 	& 	& 	&\\[3pt]  \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Tracer la courbe $(\mathcal{C})$ dans le repère de la \textbf{partie A}.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que l'équation $f(x) = 50$ admet une unique solution $\alpha$ appartenant à l'intervalle [10~;~15].
		\item Donner, en justifiant la réponse, un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$.
		\item Que représente $\alpha$ pour le négociant, si on admet que la fonction $f$ représente un bon ajustement du nuage de points ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%   fin Amérique du Sud novembre 2002
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Nouvelle-Calédonie novembre 2012
\hypertarget{Caledonienov}{}

\label{Caledonienov}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2002}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
 
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat  ES   Nouvelle-Calédonie novembre 2002~\decofourright }} \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Pierre se rend à une salle de jeux pour s'adonner à son jeu électronique favori.

Chaque partie de ce jeu est un duel entre Pierre et un adversaire virtuel
 choisi aléatoirement par la machine.
 
La machine choisit comme adversaire soit ATAR soit BLUT, avec la même probabilité $\frac{1}{2}$.

La probabilité pour que Pierre soit vainqueur contre ATAR est égale 
à $\frac{1}{4}$.

La probabilité pour que Pierre soit vainqueur contre BLUT
est égale à $\frac{2}{5}$.

On appelle :

$A$ l'évènement : \og Pierre combat ATAR \fg,

$B$ l'évènement : \og Pierre combat BLUF \fg,

$V$ l'évènement : \og Pierre est vainqueur \fg.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item \textbf{Pierre joue une partie.}
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $p(A \cap V)$
		\item Calculer $p(B \cap V)$.
		\item En déduire que $p(V) = 0,325$.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Étude de la dépense occasionnée si Pierre joue
 plusieurs parties.}

Pierre paie un euro par partie, or il n'a que quatre euros en poche.

Il joue une première fois. S'il est vainqueur, il arrête. Sinon il joue
 une deuxième fois. S'il est vainqueur, il arrête. Sinon il joue une troisième fois.
 
S'il est vainqueur, il arrête. Sinon il joue une quatrième fois. Après cette
 éventuelle quatrième partie, il doit s'arrêter, quel qu'en soit le résultat.

On suppose que les résultats de parties successives sont indépendants.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item À l'aide d'un arbre pondéré, décrire toutes les situations possibles.
\item On appelle $X$ la variable aléatoire égale à la dépense de Pierre,
 en euros.

Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de 
$X$. Écrire les résultats avec trois décimales.

\begin{center} 
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c | *{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Dépense $x_i$			&1	&2	&3	&4\\ \hline
p$\left(X = x_i\right)$ &  	&  	&  	&  \\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

\item Calculer l'espérance mathématique de $X$ que l'on donnera avec deux
 décimales.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité.}

\medskip

Le tableau suivant donne la population de l'an 2000 en millions d'habitants et le  taux d'évolution annuel de cette population dans quelques pays européens.

\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{| c |*{3}{ >{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Pays			&France	\footnotesize (sans les DOM-TOM)&Royaume-Uni&Russie\\ \hline
Taux d'évolution 
annuel en 		&0,4									&0,2		&$- 0,5$\\ \hline
Population en 
2000 (en millions)&	56,6								&59,8		&147\\ \hline
\multicolumn{4}{r}{\footnotesize Source : TEF}
\end{tabularx} 
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Soit $U_n$ le nombre d'habitants prévu pour l'année 
$(2000 + n)$ dans un pays donné.

On suppose que le taux d'évolution annuel est constant et on le note 
$t$\,\%.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $U_{n+1}$ en fonction de $U_n$ et de $t$.
		\item Préciser la raison de cette suite géométrique $\left(U_n\right)$.
		\item En déduire l'expression de $U_n$ en fonction de $t,\: n$ et $U_0$.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Prévisions à partir des données du tableau :}

On suppose que les taux d'évolution annuels de chaque pays restent constants
 après l'an 2000 et on note $F_n$, $B_n$ et $R_n$ les populations, en millions
 d'habitants prévues pour l'année $(2000 + n)$ respectivement en France, au
 Royaume-Uni et en Russie.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $F_n$, $B_n$ et $R_n$ en fonction de $n$ .
		\item Quelle sera la population de la France en 2010 ?
		\item À partir de quelle année la population de la Russie
sera-t-elle inférieure à 140 millions ?
	\end{enumerate}
\item \textbf{Comparaisons pays par pays.}
	\begin{enumerate} 
		\item Justifier que $F_{n} \geqslant B_{n}$ si et seulement si $n \geqslant \dfrac{\ln (59,8) - \ln (56,6)}{\ln(1,004) - ln(1,002)}$.
		\item En déduire l'année à partir de laquelle la population de la France dépassera celle du Royaume-Uni.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité.}

\medskip

Une personne place, le 1\up{er} janvier 2001, sur un compte rémunéré à intérêts composés au taux annuel de 4\,\%, une somme de $a$ euros.

De plus, chaque 1\up{er} janvier des années suivantes,
c'est-à-dire au le 1\up{er} janvier 2002, 1\up{er} janvier 2003, \ldots, etc, elle place sur ce compte la somme de \np{1000}~euros.

On pose $U_{0} = a$. Plus généralement, pour tout entier naturel $n$, on appelle $U_{n}$ la somme disponible sur
le compte, le $1^{\text{er}}$ janvier de l'année (2001 + $n$).

\medskip

\begin{enumerate} 
\item  
	\begin{enumerate} 
		\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $U_{n+1} = 1,04U_{n} + \np{1000}$.
		\item Montrer que cette suite n'est ni arithmétique, ni géométrique.
	\end{enumerate}
\item Optimisation du placement sur une durée
de quatre ans.

On pose $V_{n} = U_{n} + \np{25000}$.

	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier que la suite $V_{n}$ est géométrique, de raison 
$1,04$. Préciser son premier terme en fonction de $a$.
		\item Exprimer $V_{n}$ en fonction de $a$ et $n$.
		\item En déduire que, pour tout entier $n~:~U_{n} = 1,04^n \times(a + 
\np{25000}) - \np{25000}$.
	\end{enumerate}
\item Optimisation du placement sur une durée de 
quatre ans

Calculer à $0,01$~euro près le placement initial minimal $a$ permettant de
disposer sur ce compte, le 1\up{er} janvier 2005, d'une somme d'au moins \np{15000}~euros.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie, sur $\R$ , par : 

\[f(x) = \dfrac{10\text{e}^x}{\text{e}^x + 4}.\]

On appelle ($\mathcal{C}$) sa courbe représentative
dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij~( unité graphique : 1 cm).

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$.

En écrivant $f(x) = 10 - \dfrac{40}{\text{e}^x + 4}$,
déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.

En déduire les équations des asymptotes à ($\mathcal{C}$).
		\item Calculer $f '(x)$, où $f'$ est la dérivée de $f$.
		\item Étudier les variations de $f$.
		\item Dresser son tableau de variations.
	\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente (D), à
($\mathcal{C}$) au point d'abscisse $\ln 4$.
\item Tracer sur un même graphique, la courbe
($\mathcal{C}$), ses asymptotes et la droite (D).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie  B}

\medskip

Une entreprise fabrique un certain produit P. On appelle $x$ le nombre de tonnes de P fabriquées.
 
On note $C(x)$ leur coût total de fabrication, exprimé en milliers
d'euro.

La fonction coût marginal, $C'$, est la dérivée de la 
fonction $C$.

Pour tout $x \in  [0~;~+ \infty[$, on a : $C'(x) = f(x)$, où
$f$ est la fonction étudiée dans la \textbf{partie A}. De plus, on
suppose qu'il n'y a pas de charges fixes, donc que $C(0) = 0$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que le coût total est donné par :
\[C(x) = \displaystyle\int_{0}^x f(t)\:\text{d}t.\]

		\item Exprimer $C(x)$ en fonction de $x$.
		\item Quel est le coût total de 5 tonnes de ce produit P ? On en donnera la valeur exacte, puis la valeur arrondie à la dizaine d'euro près.
	\end{enumerate}
\item On appelle $C_{M}(x)$ le coût moyen défini, pour
tout $x$ strictement positif, par : $C_{M}(x) = \dfrac{C(x)}{x}$.
	\begin{enumerate} 
		\item Exprimer $C_{M}(x)$ en fonction de $x$.
		\item Vérifier que, pour tout $x > 0,~ C_{M}(x) = 10 + 
\dfrac{10 \ln \left(1 + 4\text{e}^{-x}\right)}{x} - \dfrac{10 \ln 5}{x}$.
		\item En déduire la limite de $C_{M}(x)$ en $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%   fin Nouvelle-Calédonie novembre 2002
\end{document}
 