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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small Avril à novembre 2004}

\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES  2004~\decofourright \\\vspace{1cm} L'intégrale de mars  à novembre 2004}}
 
\vspace{1cm}

Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large \textcolor{blue}{bleus}}
\end{center}

\vspace{1cm}
 
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\Large}X}  
\hyperlink{Pondichery}{Pondichéry  31 mars 2004} \dotfill \pageref{Pondichery}\\ 
\hyperlink{AmeriqueduNord}{Amérique du Nord juin 2004} \dotfill\pageref{AmeriqueduNord}\\
\hyperlink{Antilles}{Antilles--Guyane juin 2004} \dotfill \pageref{Antilles}\\
\hyperlink{Asie}{Asie juin 2004} \dotfill \pageref{Asie}\\
\hyperlink{Centresetrangers}{Centres étrangers juin 2004}\dotfill \pageref{Centresetrangers}\\
\hyperlink{Metropole}{Métropole juin 2004}\dotfill \pageref{Metropole}\\ 
\hyperlink{LaReunion}{La Réunion juin 2004}\dotfill \pageref{LaReunion}\\ 
\hyperlink{Liban}{Liban juin 2004}\dotfill \pageref{Liban}\\  
\hyperlink{Polynesie}{Polynésie  juin 2004}\dotfill \pageref{Polynesie}\\
\hyperlink{Antillessept}{Antilles--Guyane  septembre 2004} \dotfill \pageref{Antillessept}\\  
\hyperlink{Metropolesept}{Métropole septembre 2004} \dotfill \pageref{Metropolesept}\\  
\hyperlink{AmeriqueSud}{Amérique du Sud novembre 2004} \dotfill \pageref{AmeriqueduSud}\\ 
\hyperlink{Caledonienov}{Nouvelle--Calédonie   novembre 2004} \dotfill \pageref{Caledonienov} 
\end{tabularx}

\newpage
 ~
\newpage
\lhead{\small{Baccalauréat ES}}
%%%%%%%%%%%%%%% Pondichéry avril 2004
\hypertarget{Pondichery}{}

\label{Pondichery}
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small{avril 2004}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES  Pondichéry avril 2004~\decofourright}}
    
\vspace{0,5cm}
    
L'utilisation d'une  calculatrice  est autorisée.

\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Chaque question comporte trois affirmations repérées par les 
lettres} a, b \emph{et} c.

\emph{ Le candidat doit indiquer pour chacune d'elles si elle et vraie ou 
fausse sans justification.}

\emph{À chaque question est affecté un certain nombre de points. Pour
 chaque question, une réponse exacte rapporte le nombre de points affecté,
 une réponse inexacte enlève la moitié du nombre de points affecté.}

\emph{Le candidat peut décider de ne pas répondre à certaines
 de ces questions ; elles ne rapportent aucun point et n'en 
enlèvent aucun.}

\emph{Si le total est négatif, la note est ramenée à} $0$.

\textbf{Les réponses seront transcrites dans le tableau fourni en annexe.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $]0 ~;~ +\infty[$ par $f(x) = 2 \ln 
x - 3x+ 5$.

Dans un repère, une équation de la tangente à la courbe 
représentative de $f$ au point d'abscisse 1 est :
	\begin{enumerate}
		\item $\quad y=-x+1\quad$ \item $\quad y = 2x - 3\quad$  
		\item $\quad y = -x+3\quad$
	\end{enumerate}
\item On considère une fonction $g$ dont le tableau de variations est
 donné ci-dessous. On pose 
 
 $h = \ln g$.

\[\begin{pspicture}(6,2.5)
\psline(0,0)(6,0) \psline(0,2)(6,2) \psline(0,2.5)(6,2.5)
\psline(0,0)(0,2.5) \psline(2,0)(2,2.5) \psline(6,0)(6,2.5)
\uput[u](1,2){$x$} \uput[u](2.4,2){$5$} \uput[u](5.6,2){$7$}
\rput(2.4,0.3){$-3$} \rput(5.6,1.6){$1$}
\psline{->}(2.7,0.4)(5.4,1.5)  
\rput(1,1.3){Variation}
\rput(1,0.3){de $g$}
\end{pspicture}\]

	\begin{enumerate}
		\item $\quad h$ n'est pas définie sur [5 ; 7] 
		\item $\quad h$ est strictement décroissante sur [5 ; 7]
		\item $\quad h$ est strictement croissante sur [5 ; 7]
	\end{enumerate}
\item L'ensemble des solutions de l'inéquation $x\ln(0,3)-1 \leqslant 0$ est :
	\begin{enumerate}
		\item $\quad\left]- \infty~;~\dfrac{1}{\ln (0,3)}\right]\quad$  
		\item $\quad\left[\dfrac{1}{\ln 
(0,3)}~;~+ \infty\right[\quad$ \item $\quad\left]0~;~\dfrac{1}{\ln (0,3)}
\right[\quad$
	\end{enumerate}
\item $u$ est la fonction définie sur $\R$ par $u(x) = \dfrac{x+1}{x^2+2x+3}$.

Une primitive $U$ de $u$ sur $\R$ est définie par :
	\begin{enumerate}
		\item $\quad U(x) = \ln \left(x^2 +2x+3\right)$
		\item $\quad U(x) =2 \ln \left(x^2 +2x+3\right)$
		\item $\quad U(x)= \dfrac{1}{2} \ln \left(x^2 +2x+3\right) + 4$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de
spécialité}

\medskip

Dans une académie, les élèves candidats au baccalauréat série ES
 se répartissent en 2003 selon les trois enseignements de spécialité
 : mathématiques, sciences économiques et sociales et langue vivante.
 
Nous savons de plus que :

\setlength\parindent{9mm}
37\,\% des candidats ont choisi l'enseignement de spécialité mathématiques ;

25\,\% des candidats ont choisi l'enseignement de spécalité langue vivante ;

21\,\% des candidats ont choisi l'enseignement de spécialité 
mathématiques et ont obtenu le baccalauréat ;

32,5\,\% des candidats ont choisi l'enseignement de spécialité 
sciences économiques et sociales et ont obtenu le baccalauréat.
\setlength\parindent{0mm}

De plus, parmi les candidats ayant choisi l'enseignement de 
spécialité langue vivante, 72,5\,\% ont obtenu le baccalauréat.

On interroge un candidat pris au hasard.

On note :

$M$ l'évènement \og le candidat a choisi l'enseignement de 
spécialité mathématiques \fg{} ;

$S$ l'évènement \og le candidat a choisi l'enseignement de spécialité
 sciences économiques et sociales \fg{} ;
 
$L$ l'évènement \og le candidat a choisi l'enseignement de spécialité
 langue vivante \fg{} ;
 
$R$ l'évènement \og le candidat a obtenu le baccalauréat \fg.

\smallskip

On pourra faire un arbre pour faciliter la réponse aux questions. Les
 résultats demandés seront arrondis au millième près.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire en termes de probabilités et en utilisant les notations
 indiquées les informations numériques données ci-dessus.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité pour que ce candidat ait choisi 
l'enseignement de spécialité sciences économiques et sociales.

	\item Déterminer la probabilité pour que ce candidat ait choisi 
l'enseignement de spécialité langue vivante et ait réussi aux
épreuves du baccalauréat.
	\end{enumerate}
\item Quelle est la probabilité pour que ce candidat ait choisi 
l'enseignement de spécialité langue vivante et ait échoué au baccalauréat ?
\item Ce candidat a choisi l'enseignement de spécialité mathématiques.

Quelle est la probabilité qu'il n'ait pas obtenu le baccalauréat ?
\item Montrer que le pourcentage de réussite au baccalauréat pour les
 candidats de ES dans cette académie est $71,6$\:\%.
\item On interroge successivement au hasard et de façon indépendante
 trois candidats.
 
Quelle est la probabilité qu'au moins l'un d'entre eux soit reçu ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur 
$[0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = (ax + b)\text{e}^{-\frac{x}{3}} + 3\]

où $a$ et $b$ sont deux réels que l'on se propose de déterminer.

On sait que $f$ admet un maximum au point d'abscisse 4 
et que le point A($0~;~2$) appartient à la
courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ dans un repère
orthogonal  \Oij{} d'unités graphiques 2~cm en abscisses et 5~cm en ordonnées.

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$. Déterminer $f'(x)$ pour $x$ 
appartenant à $[0~;~+ \infty[$.
		\item Montrer que $a = 1$ et $b = - 1$.
	\end{enumerate}
\item Étude de la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$
par 

\[f(x) = (x-1)\text{e}^{-\frac{x}{3}} + 3.\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en  $+\infty$. En déduire l'existence d'une asymptote $\Delta$ à la courbe $\mathcal{C}$ en $+ \infty$. Étudier la position de $\mathcal{C}$ par rapport à $\Delta$.
		\item Étudier le sens de variation de $f$ puis dresser son tableau de variations.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire et compléter le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X| }}\hline
$x$		&0	&1	&2	&3	&4	&5	&6	&7	&8\\ \hline
$f(x)$	&	&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

On arrondira les valeurs au centième.
		\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\Delta$.
	\end{enumerate}
\item \emph{Étude économique}

Les dépenses de téléphone, en milliers d'euros, de la société TOUPACHER sont consignées dans le tableau suivant : $x_{i}$ désigne
 le rang de l'année et $y_{i}$ désigne la dépense.
 
\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année	& 1995  &1996  	&1997	&1998	&1999  	&2000	&2001  	&2002  	&2003\\ \hline
$x_{i}$	&0		&1		&2		&3		&4		&5		&6		&7		&8\\ \hline
$y_{i}$	&1,97 	&3,02 	&3,49	&3,71 	&3,80 	&3,76 	&3,65 	&3,55	&3,50\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

On recherche une fonction qui rende compte relativement correctement du phénomène.

On dira qu'une fonction $f$ est acceptable si pour chaque valeur $x$, on a : 

\[\left|f(x_{i}) - y_{i}\right| \leqslant  10^{-1}.\]

\smallskip
 
	\begin{enumerate} 
		\item Représenter le nuage de points $M_{i}\left(x_{i},~y_{i}\right)$
 dans le repère précédent.
		\item Montrer que la fonction $f$ est acceptable.
		\item Le responsable financier affirme que \og si l'évolution des
 dépenses se poursuit selon ce modèle, on pourrait espérer
 retrouver une facture de téléphone inférieure à \np{3000} euros \fg.
 
Êtes-vous d'accord avec cette affirmation ? Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{ Exercice 4} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Un éditeur spécialisé en ouvrages d'art diffuse sur une année $22\:000$
livres dont les prix varient de 15 à $75$~euros.

On désigne par $x$ le prix d'un livre, par $p$ le nombre de livres
\textbf{disponibles} et par $q$ le nombre de livres \textbf{demandés}. Les
résultats figurent dans le tableau ci-dessous :

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ &15 		&25 		&30 		&45 		&60 		&75\\ \hline
$p$	&\np{2400} 	&\np{2600} 	&\np{2900} 	&\np{3900} 	&\np{4500} 	&\np{5700}\\ \hline
$q$	&\np{5400} 	&\np{4100} 	&\np{3800} 	&\np{2800} 	&\np{2700} 	&\np{2000}\\ \hline
\end{tabularx}\]

On a tracé ci-dessous les nuages de points $\left(x_{i}~;~p_{i}\right)$ et 
$\left(x_{i}~;~q_{i}\right)$ dans un repère orthogonal du plan :

\begin{center}
\psset{xunit=1mm,yunit=0.007mm}
\begin{pspicture}(0,-400)(80,6000)
\psframe(0,0)(80,6000)
\multido{\n=0+1000}{6}{\psline(0,\n)(80,\n)}
\multido{\n=0+1000}{7}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=7000](0,0)(80,6000)
\psdots[dotstyle=square*,dotangle=45,linecolor=red](15,2400)(25,2600)(30,2900)(45,3900)(60,4500)(75,5700)
\psdots[dotstyle=square*](15,5400)(25,4100)(30,3800)(45,2800)(60,2700)(75,2000)
\psframe(90,2000)(100,4000)
\psdots[dotstyle=square*](92,2500) \rput(95,2500){$q$}
\psdots[dotstyle=square*,dotangle=45,linecolor=red](92,3500) \rput(95,3500){$p$}
\end{pspicture}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item On pose $y = \ln p$.
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau : les résultats seront arrondis au millième.

\[ \begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ 		& 15 		& 25 		&30 		&45 		&60 		&75\\ \hline
$p$			&\np{2400} 	&\np{2600}	&\np{2900} 	&\np{3900} 	&\np{4500} 	&\np{5700}\\ \hline
$y = \ln p$	&			&			&			&			&			& \\ \hline
\end{tabularx}\]
	
		\item \emph{Dans cette question, le détail des calculs statistiques n'est
pas demandé.}

À l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite 
$\mathcal{D}$ d'ajustement affine de $y$ en~$x$.

Les coefficients seront arrondis au centième.
		\item En utilisant cet ajustement, donner une estimation du nombre de 
livres disponibles pour un prix unitaire de 40 euros (\emph{résultat arrondi
à la centaine}).
	\end{enumerate}
\item On pose $z = \ln q$ et on admet l'égalité suivante $z = - 0,02x+8,73$.

En utilisant cette relation, donner une estimation du prix correspondant
à une demande de \np{2800} livres (\emph{résultat arrondi à l'unité}).
\item Le prix pour lequel l'offre est égale à la demande s'appelle le prix
d'équilibre ; il est noté $x_{0}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer par le calcul le prix d'équilibre, arrondi à l'unité.
		\item Les calculs précédents permettaient-ils de prévoir le résultat ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%% fin Pondichéry avril 2004  
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%  Amérique du Nord mai 2004
\hypertarget{AmeriqueNord}{}

\label{AmeriqueduNord}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}} 
\rfoot{\small{mai 2004}} 
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty} 
\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures} 

\vspace{0,5cm} 

{\Large \textbf{Baccalauréat ES Amérique du Nord mai 2004}} 
\end{center} 

\vspace{0,5cm} 

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. 

Des éléments de formulaire sont joints au sujet. 

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour 
une part importante dans l'appréciation des copies. 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} 

\textbf{Commun à tous les candidats} 

\medskip

Les parties A et B sont indépendantes. 

À la rentrée scolaire, on fait une enquête dans une classe de sixième comprenant 25 élèves. 

\bigskip

\textbf{Partie A :} 

\medskip

On sait que, dans cette classe, $48\,\%$ des élèves ont $11$ ans, $\dfrac{1}{5}$ ont 13 ans et les autres ont 12 ans. Ces élèves utilisent deux types de sacs de cours : le sac à dos  ou le cartable classique. 15 élèves, dont les $\dfrac{2}{3}$ ont 11 ans, ont acheté un cartable 
classique ; les autres, dont la moitié ont 12 ans, ont acheté un sac à dos. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier le tableau suivant sur votre copie et le compléter à l'aide des données de 
l'énoncé : 

\begin{center} 
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4} 
\multicolumn{1}{c|}{}	&Sac à dos	&Cartable	& Total\\ \hline 
11 ans					&			&			&\\ \hline 
12 ans					&			&			&\\ \hline 
13 ans					&			&			&\\ \hline 
Total					&			&			& 25\\ \hline 
\end{tabularx} 
\end{center} 

\item On interroge au hasard un élève de cette classe. 

On note : 

$S$ l'évènement : \og l'élève a un sac à dos \fg{}. 

$C$ l'évènement : \og l'élève a un cartable \fg{}. 

$T$ l'évènement : \og l'élève a treize ans \fg. 

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $P(S) = 0,4$. 
		\item Calculer $P(C \cap T)$. 
	\end{enumerate} 
\item On interroge successivement et de manière indépendante trois élèves de cette classe ; quelle est la probabilité qu'exactement deux d'entre eux aient un sac à dos ? 
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Partie B :} 

\medskip

À leur inscription, ces élèves doivent souscrire une assurance scolaire ; 
deux types de contrats annuels sont proposés. D'après des études statistiques, le contrat 
A dont le coût est de 20~\euro{} est choisi avec une probabilité de 0,7 et le contrat B dont le coût est de 30~\euro{} est choisi avec une probabilité de $0,3$. 

De plus, le collège propose une adhésion facultative au foyer coopératif, d'un montant de $15$~\euro. 

Indépendamment du contrat d'assurance choisi, $40\:\%$ des élèves prennent une carte d'adhérent du foyer. 

On note : 

$A$ l'évènement : \og l'élève a choisi le contrat A \fg 

$B$ l'évènement : \og l'élève a choisi le contrat B \fg{} - 

$F$ l'évènement : \og l'élève est adhérent du foyer \fg{}. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire l'arbre des probabilités associé à la situation décrite ci-dessus. 
\item Quelle est la probabilité qu'un élève ait pris le contrat B et soit adhérent du foyer ? 
\item À chaque élève pris au hasard, on associe le coût $X$ de son inscription (assurance scolaire plus adhésion éventuelle au foyer) ; 
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les valeurs possibles de ce coût ? 
		\item Établir la loi de probabilité de ce coût et présenter le résultat dans un tableau. 
		\item Calculer l'espérance mathématique de cette loi. Quelle interprétation peut-on en donner ? 
	\end{enumerate} 
	\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} 

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} 

\medskip

Une grande entreprise publie chaque année son chiffre d'affaires, en millions d'euros. 

Le tableau ci-dessous donne les chiffres d'affaires des années 1995 à 2001. 

\begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X |}}\hline 
Année							&1995	&1996	&1997	&1998	&1999	&2000	&2001\\ \hline 
Rang de l'année $x_{i}$			&0		&1		&2		&3		&4		&5		&6\\ \hline 
Chiffre d'affaires $y_{i}$	
en millions d'euros&20,4	&24,2	&33,8	&38,6	&49		&53,9	&59,29\\  \hline 
\end{tabularx} \end{center} 

Le nuage des points $M_{i}$, associé à la série statistique 
$\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un plan rapporté à un repère orthogonal est donné en \textbf{annexe}. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Répondre sans justification par Vrai ou Faux aux quatre affirmations 
suivantes : 

\emph{Les pourcentages sont arrondis au dixième.} 
	\begin{enumerate}
		\item Entre 1997 et 1998, le chiffre d'affaires a augmenté de $14,2\,\%$ ; 
		\item Entre 2000 et 2001, l'augmentation en pourcentage du chiffre d'affaires a été la même qu'entre 1999 et 2000 ; 
		\item Entre 1995 et 2001, l'augmentation annuelle moyenne, en pourcentage, du chiffre d'affaires a été d'environ $31,8\,\%$ 

\item On considère le nuage des points $M_i\left(x_i~;~y_i\right)$. Les coordonnées du point moyen de ce nuage sont (3~;~38,6). 

\end{enumerate} 

On cherche maintenant à faire des prévisions sur le chiffre d'affaires pour l'année 2004  en utilisant plusieurs méthodes. 

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Expliquer pourquoi le nuage de points donné en annexe montre qu'un ajustement affine peut être envisagé. 
		\item Tracer la droite $d_{1}$ passant par M$_0$ et M$_6$ ; par lecture graphique, déterminer une prévision $n_1$ du chiffre d'affaires pour l'année 2004. 
		\item À l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite $d_2$, droite d'ajustement 
de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés, en arrondissant les coefficients au centième le plus proche. En déduire une prévision $n_{2}$ du chiffre d'affaires pour l'année 2004. 
	\end{enumerate} 
\item On remarque que les valeurs du chiffre d'affaires correspondant aux années 1999,  2000 et 2001 forment une suite géométrique ; on pose donc $u_0 = 49,$

$u_1 = 53,9$ et $u_2 = 59,29$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la raison de cette suite. 
		\item Calculer la valeur de $u_5$ pour cette suite géométrique. Comment peut-on l'interpréter ? 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\newpage 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} 

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} 

\medskip

\textbf{Les parties A et B sont indépendantes.} 

\medskip

\textbf{Partie A} 

\medskip

On considère le graphe G$_{1}$ ci-dessous : 

\vspace{0,4cm} 

\begin{center} \begin{pspicture}(6,3) 
\psline(0,2)(1,3)(4,3)(0,2)%FBCF 
\psline(0,2)(4.2,1.8)(5.4,0.8)(0,2)%FADF 
\psline(1,3)(4.2,1.8)%BA 
\psline(0,2)(2.3,0.7)(4.2,1.8)(0,2)%FEAF 
\psline(1,3)(2.3,0.7) 
\uput[ul](1,3){B} \uput[ur](4.2,1.8){A} \uput[r](4,3){C} 
\uput[dr](5.4,0.8){D} \uput[d](2.3,0.7){E} \uput[l](0,2){F} 
\end{pspicture} 
\end{center} 

\begin{enumerate}
\item Justifier les affirmations suivantes : 

A$_{1}$. Le graphe G$_1$ admet au moins une chaîne eulérienne. 

A$_{2}$. La chaîne DABCFBEFAE n'est pas une chaîne eulérienne de G$_1$. 
\item Déterminer un sous-graphe complet de G$_1$, ayant le plus grand ordre possible. En déduire un minorant du nombre chromatique $\gamma$ de ce graphe. 
\item Déterminer un majorant de ce nombre chromatique. (On justifiera la réponse). 
\item En proposant une coloration du graphe G$_1$, déterminer son nombre chromatique. 
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Partie B} 

\medskip

Soit la matrice M d'un graphe orienté G$_2$ dont les sommets A, B, C, D et E sont pris dans l'ordre alphabétique. 

On donne M = $\begin{pmatrix} 
0&1&1&1&0\\ 
1&0&1&0&1\\ 
1& 1& 0& 0& 1\\ 
0&1&0&0&1\\ 
1&1&0&1&0\\ 
\end{pmatrix}$~et ~$\text{M}^3 = \begin{pmatrix} 
6&6&4&5&3\\ 
5&6&5&3&6\\ 
5& 7& 4 &3& 6\\ 
3&5&3&3&3\\ 
6& 6& 3& 3& 5\\ 
\end{pmatrix}$. 

\begin{enumerate}
\item Construire le graphe G$_2$. 
\item Déterminer le nombre de chaînes de longueur 3 reliant B à D. Les citer toutes. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} 

\textbf{Commun à tous les candidats} 

\medskip

La représentation graphique ($\mathcal{C}$) ci-dessous est celle d'une fonction $f$ définie 
sur $[- 2~;~3 ]$ dans le repère \Oij. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. 

La courbe ($\mathcal{C}$) vérifie les propriétés suivantes : 

Les points ainsi marqués $\bullet$ sont à coordonnées 
entières et appartiennent à la courbe tracée, la tangente au point 
d'abscisse $- 1$ est parallèle à l'axe des abscisses, la tangente au 
point d'abscisse $0$ coupe l'axe des abscisses en $x = 2$. 

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=2mm} \begin{pspicture}(-2,-5)(3,20) 
\multido{\n=-2+0.5}{11}{\psline[linestyle=dotted](\n,-5)(\n,20)} 
\multido{\n=-5+5}{6}{\psline[linestyle=dotted](-2,\n)(3,\n)} 
%\multido{\n=-2+1}{5}{\uput[dr](\n,0){\n}} 
%\multido{\n=-5+5}{5}{\uput[ur](0,\n){\n}} 
%\psline[linewidth=2pt]{->}(-2,0)(3,0) 
%\psline[linewidth=2pt]{->}(0,-5)(0,20)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=5]{->}(0,0)(-2,-5)(3,20)  
\psline[linewidth=1.1pt]{<->}(-2,20)(3,-5) 
\psline{<->}(-1.5,13.5914)(-0.5,13.5914) 
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2}{3}{x 5 mul 10 add 2.71828 x exp div} 
\qdisk(0,10){2pt} \qdisk(-2,0){2pt} 
\end{pspicture} 
\end{center} 

\begin{enumerate}
\item Donner une équation de la tangente au point d'abscisse $0$. 
\item Donner les variations de $f$ 
\item Une des quatre courbes ci-dessous représente graphiquement 
la fonction $f'$. 

Déterminer celle qui la représente, en justifiant l'élimination de chacune 
des trois autres courbes. 

\vspace{0,6cm} 

\parbox[c]{0.4\textwidth}{ 
\psset{yunit=1mm}\begin{pspicture}(-2,-10)(3,20) 
\multido{\n=-2+1}{6}{\psline[linestyle=dotted](\n,-10)(\n,20)} 
\multido{\n=-10+10}{4}{\psline[linestyle=dotted](-2,\n)(3,\n)} 
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(-2,0)(3,0) 
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-10)(0,20) 
\multido{\n=-2+1}{6}{\uput[dr](\n,0){\n}} 
\multido{\n=-10+10}{4}{\uput[ur](0,\n){\n}} 
\rput(0,-13){Figure 1} 
\pscurve[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](-2,0)(-1.5,-5.5)(-1,-9)(0,-5)(1,-3)(2,-2)(3,-1) 
\end{pspicture}} \hfill 
\parbox[c]{0.4\textwidth}{ 
\psset{yunit=1mm}\begin{pspicture}(-2,-10)(3,20) 
\multido{\n=-2+1}{6}{\psline[linestyle=dotted](\n,-10)(\n,20)} 
\multido{\n=-10+10}{4}{\psline[linestyle=dotted](-2,\n)(3,\n)} 
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(-2,0)(3,0) 
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-10)(0,20) 
\multido{\n=-2+1}{6}{\uput[dr](\n,0){\n}} 
\multido{\n=-10+10}{4}{\uput[ur](0,\n){\n}} 
\rput(0,-13){Figure 2} 
\pscurve[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](-2,12)(-1.5,4.3)(-1,0)(0,4.5)(0.75,10)(1,12)(2,20) 
\end{pspicture}} 

\vspace{1cm} 
\parbox[c]{0.4\textwidth}{ 
\psset{yunit=1mm}\begin{pspicture}(-2,-10)(3,20) 
\multido{\n=-2+1}{6}{\psline[linestyle=dotted](\n,-10)(\n,20)} 
\multido{\n=-10+10}{4}{\psline[linestyle=dotted](-2,\n)(3,\n)} 
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(-2,0)(3,0) 
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-10)(0,20) 
\multido{\n=-2+1}{6}{\uput[dr](\n,0){\n}} 
\multido{\n=-10+10}{4}{\uput[ur](0,\n){\n}} 
\rput(0,-13){Figure 3} 
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.7}{3}{5 neg 5 x mul sub 2.71828 x exp div} 
\end{pspicture}} \hfill 
\parbox[c]{0.4\textwidth}{ 
\psset{yunit=1mm}\begin{pspicture}(-2,-10)(3,20) 
\multido{\n=-2+1}{6}{\psline[linestyle=dotted](\n,-10)(\n,20)} 
\multido{\n=-10+10}{4}{\psline[linestyle=dotted](-2,\n)(3,\n)} 
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(-2,0)(3,0) 
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-10)(0,20) 
\multido{\n=-2+1}{6}{\uput[dr](\n,0){\n}} 
\multido{\n=-10+10}{4}{\uput[ur](0,\n){\n}} 
\rput(0,-13){Figure 4} 
\pscurve[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](-2,20)(-1.5,3)(-1,0)(0,-2)(1,-3)(2,-4)(3,-5) 
\end{pspicture}} 

\vspace{0,8cm} 

\item On admet que la fonction $f$ est définie par une expression de la forme 
$f(x) = (ax + b)\text{e}^{kx}$ 
où $a,~ b$ et $k$ sont des nombres réels. 

\textbf{a.} Déterminer $f'$ en fonction de $a,~ b$ et $k$. 

\textbf{b.} En utilisant la question précédente et les propriétés de la 
courbe ($\mathcal{C}$) données au début de l'exercice, calculer $a,~ b$ et $k$. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} 

\textbf{Commun à tous les candidats} 

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\text{I} = ]0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = \dfrac{ 2(1 + \ln x)}{x}.\] 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans I l'équation $f(x) = 0$ ; $\left(\text{Calculer la valeur exacte de la solution,}\right.$\\
 $\left.\text{puis en donner une valeur arrondie à}~ 10^{-3}\right)$. 
		\item Résoudre dans I l'inéquation $f(x) > 0$. 
	\end{enumerate} 
\item On donne ci-dessous le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle I. 

Justifier tous les éléments contenus dans ce tableau (variations, limites, valeurs numériques). 

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.75cm} 
\begin{pspicture}(10,4.1) 
\psframe(10,4.1) \psline(2,0)(2,4.1) 
\psline[doubleline=true](2.25,0)(2.25,3.5)  \uput[u](2.25,3.5){$0$} 
\psline(0,3)(10,3) \psline(0,3.5)(10,3.5) 
\uput[u](1,3.5){$x$} \uput[u](6,3.5){$1$} \uput[u](9.6,3.5){$+ \infty$}
\rput[u](1,3.2){$f'(x)$} \uput[u](4,3){+} \uput[u](6,3){$0$} 
\uput[u](8,3){$-$} 
\uput[u](1,1.3){$f(x)$} \rput(6,2.7){$2$} \rput(2.6,0.3){$- \infty$} 
\rput(9.6,0.3){$0$} 
\psline{->}(2.8,0.5)(5.6,2.6) \psline{->}(6.4,2.6)(9.2,0.5) 
\end{pspicture} 
\end{center} 

\item Dans une entreprise, on a modélisé par la fonction $f$ sur 
l'intervalle $[0,2~;~+ \infty[$ le \og bénéfice \fg{} mensuel (éventuellement négatif) réalisé  en vendant $x$ milliers d'objets fabriqués. Ce bénéfice est exprimé en milliers d'euros. 

En utilisant les résultats des questions précédentes, répondre aux questions 
suivantes : 

	\begin{enumerate}
		\item Quel nombre minimal d'objets l'entreprise doit-elle vendre mensuellement pour que le bénéfice soit positif ? 
		\item Combien faut-il vendre d'objets pour réaliser le bénéfice maximal ? Quel est le montant de ce bénéfice maximal ? 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\newpage 

\begin{center} \textbf{ANNEXE À L'EXERCICE 2 (non spécialistes)} 

\textbf{À rendre avec la copie} 

\vspace{1,5cm} 

\psset{xunit=1.4cm,yunit=0.225cm} 
\begin{pspicture}(9,80)  
\uput[u](9,0){$x$} \uput[r](0,80){$y$}  
\multido{\n=0+1}{10}{\psline[linestyle=dotted](\n,0)(\n,80)} 
\multido{\n=0+10}{9}{\psline[linestyle=dotted](0,\n)(9,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=4,Dy=20]{->}(0,0)(9,80)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](0,20.4)(1,24.2)(2,33.8)(3,38.6)(4,49)(5,53.9)(6,59.29)
\uput[ur](0,20.4){M$_{0}$} \uput[ur](1,24.2){M$_{1}$} 
\uput[ur](2,33.8){M$_{2}$} \uput[ur](3,38.6){M$_{3}$} \uput[ur](4,49){M$_{4}$} 
\uput[ur](5,53.9){M$_{5}$} \uput[ur](6,59.29){M$_{6}$} 
\end{pspicture} 
\end{center} 

\newpage 

\begin{center} \textbf{MATHÉMATIQUES -- SÉRIE ES}\\ 

Eléments de formulaire \end{center} 

\textbf{Probabilités} 

\textbf{Probabilité conditionnelle de B sachant A} 

$P_{A}(B)$ est définie par $P(A \cap B) = P_{A}(B) \times P(A)$. 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Cas où $A$ et $B$ sont indépendants :} $P(A \cap B) = 
P(A) \times~ P(B)$. 

\textbf{Formule des probabilités totales} 

Si les évènements $B_{1}$, $B_{2}$, \ldots, $B_{n}$ forment une partition 
de $\Omega$ 
alors 

\begin{center}$P(A) =P(A \cap B_1) + P(A\cap B_2) 
\ldots + P(A\cap B_n)$.
\end{center} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Espérance mathématique} 

Une loi de probabilités étant donnée, son espérance mathématique est 

\[ \text{E} = \displaystyle\sum_{i=1}^n p_ix_i.\] 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Analyse} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Limites} 

\vspace{0,3cm} 

\[\displaystyle\lim_{x \to 0} \ln x = - \infty \qquad \qquad 
\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x } {x} = 0\] 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Dérivées et primitives} 

Les hypothèses permettant d'utiliser les formules doivent être vérifiées par le candidat. 

\vspace{0,5cm} 

\[\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\]
%%%%%%%%%%%%%%  fin Amérique du Nord mai 2004
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Antilles-Guyane juin 2004
\hypertarget{Antilles}{}

\label{Antilles}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small {juin 2004}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Antilles juin 2004~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Chaque question contient trois propositions repérées par les lettres A, B 
et C.

Le candidat doit indiquer pour chacune d'elles si elle est vraie ou fausse 
sans justification.

À chaque question est affecté un certain nombre de points. Pour chaque 
question, une réponse exacte rapporte le nombre de points affecté, une 
réponse inexacte enlève la moitié du nombre de points affecté.

Le candidat peut décider de ne pas répondre à certaines de ces questions ; 
elles ne rapportent aucun point et n'en enlèvent aucun.

Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.

\textbf{Les réponses seront transcrites dans le tableau fourni en
annexe.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La figure 1. donne la représentation graphique d'une fonction $f$ 
définie sur $\R$ et la figure 2 celle d'une primitive de $f$ sur $\R$.

\begin{center} 
\psset{xunit=2cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(3,6)
\psgrid[gridlabelcolor=white,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt](0,0)(-2,-1)(3,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-2,-1)(3,6)
\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{\jmath}$}
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-1.1,-1)(-0.25,0)(0,0.375)(1,2)(1.5,3.2)(2,4.71828)
\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](1,0){1} \uput[d](2,0){2} 
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](0,4.71828)(2,4.71828)(2,0)
\uput[l](0,4.71828){e + 2}
\rput(0.5,-1.5){Figure 1}
\end{pspicture}

\vspace{0,8cm}

\psset{xunit=2cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(3,6)
\psgrid[gridlabelcolor=white,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt](0,0)(-2,-1)(3,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-2,-1)(3,6)
\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{\jmath}$}
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-2,2)(-1,0.63)(-0.25,0.375)(0,0.4)(1,1.5)(1.5,2.85)(2,4.71828)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](0,4.71828)(2,4.71828)(2,0)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](0,1.5)(1,1.5)(1,0)
\uput[l](0,4.71828){e + 2}
\uput[l](0,1.5){$\frac{3}{2}$}
\uput[d](1,0){1} \uput[d](2,0){2}
\rput(0.5,-1.5){Figure 2}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,6cm}

Quelle est l'aire, en unités d'aire, de la partie du plan limitée par la 
représentation graphique de la fonction $f$, l'axe des abscisses et les 
droites d'équation $x = 1$ et $x = 2$ ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{Proposition A :~~} $\text{e} + \dfrac{3}{4}$&
\textbf{Proposition B :~~} $\text{e} + \dfrac{1}{2}$&
\textbf{Proposition C :~~} $1$
\end{tabularx}
\medskip 

\item La fonction $k$ définie et strictement positive sur $\R^+$ est connue 
par son tableau de variations.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.75cm}
\begin{pspicture}(12,3.5)
\psline(0,0)(12,0) \psline(0,3)(12,3) \psline(0,3.5)(12,3.5)
\psline(0,0)(0,3.5) \psline(2,0)(2,3.5) \psline(12,0)(12,3.5)
\uput[u](1,3){$x$} \uput[u](2.18,3){$0$} \uput[u](5,3){$1$} 
\uput[u](8,3){3} \uput[u](11,3){$+ \infty$}
\rput(1,1.5){$k(x)$}
\psline{->}(2.2,0.2)(4.5,2.5)  \psline{->}(5.5,2.5)(7.5,0.2)
\psline{->}(8.5,0.2)(10.5,2.5) \rput(11.2,2.6){$+ \infty$}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,6cm}

Quel est le tableau de variations de la fonction $g$ définie sur 
$\R^+$ par $g(x) = \dfrac{1}{k(x)}$ ?

\vspace{0,5cm}

\begin{center}  \begin{pspicture}(12,3.5)
\psset{xunit=1cm,yunit=0.75cm}
\psline(0,0)(12,0) \psline(0,3)(12,3) \psline(0,3.5)(12,3.5)
\psline(0,0)(0,3.5) \psline(2,0)(2,3.5) \psline(12,0)(12,3.5)
\uput[u](1,3){$x$} \uput[u](2.18,3){$0$} \uput[u](5,3){$1$} 
\uput[u](8,3){3} \uput[u](11,3){$+ \infty$}
\rput(1,1.5){$g(x)$}
\psline{->}(2.5,2.5)(4.5,0.5)  \psline{->}(5.5,0.5)(7.5,2.5)
 \psline{->}(8.5,2.5)(10.5,0.5) \rput(11,0.2){$0$}
\end{pspicture}

\vspace{0,5cm}

\begin{pspicture}(12,3.5)
\psset{xunit=1cm,yunit=0.75cm}
\psline(0,0)(12,0) \psline(0,3)(12,3) \psline(0,3.5)(12,3.5)
\psline(0,0)(0,3.5) \psline(2,0)(2,3.5) \psline(12,0)(12,3.5)
\uput[u](1,3){$x$} \uput[u](2.18,3){$0$} \uput[u](5,3){$1$} 
\uput[u](8,3){3} \uput[u](11,3){$+ \infty$}
\rput(1,1.5){$g(x)$}
\psline{->}(2.5,2.5)(4.5,0.5)  \psline{->}(5.5,0.5)(7.5,2.5)
\psline{->}(8.5,2.5)(10.5,0.5) \rput(11,0.2){$- \infty$}
\end{pspicture}

\vspace{0,5cm}

\begin{pspicture}(12,3.5)
\psset{xunit=1cm,yunit=0.75cm}
\psline(0,0)(12,0) \psline(0,3)(12,3) \psline(0,3.5)(12,3.5)
\psline(0,0)(0,3.5) \psline(2,0)(2,3.5) \psline(12,0)(12,3.5)
\uput[u](1,3){$x$} \uput[u](2.18,3){$0$} \uput[u](5,3){$1$} 
\uput[u](8,3){3} \uput[u](11,3){$+ \infty$}
\rput(1,1.5){$g(x)$} 
\psline{->}(2.2,0.2)(4.5,2.5)  \psline{->}(5.5,2.5)(7.5,0.2)
\psline{->}(8.5,0.2)(10.5,2.5) \rput(11,2.5){$0$}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\item Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x) = \text{e}^x - x + 
1$.

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $h$ dans un repère 
orthonormal \Oij.

\textbf{Proposition A :~~} \qquad La droite d'équation $y = 1$ est 
asymptote à $\mathcal{C}$.

\textbf{Proposition B :~~} \qquad  La droite d'équation $x = 0$ est 
asymptote à $\mathcal{C}$.

\textbf{Proposition C :~~} \qquad La droite d'équation $y = -x + 1$ est 
asymptote à $\mathcal{C}$.

\item En économie, le coût marginal est le coût occasionné par la 
production d'une unité supplémentaire, et on considère que le coût 
marginal est assimilé à la dérivée du coût total.

Dans une entreprise, une étude a montré que le coût marginal 
$C_{m}(q)$ exprimé en milliers d'euro en fonction du nombre $q$ 
d'articles fabriqués est donné par la relation :

\[C_{m}(q) = 3q^2 - 10q + \dfrac{2}{q} + 20.\]

Quel est le coût total $C_{T}$ exprimé en milliers d'euros 
sachant qu'il est de $10\:000$ euros pour $q = 1$ ?

\textbf{Proposition A :~~} \qquad $C_{r}(q) = q^3 - 5q^2 + 2\ln q + 
20q + 9984$.

\textbf{Proposition B :~~} \qquad  $C_{r}(q) = q^3 - 5q^2 + 2\ln q + 
20q - 6$.

\textbf{Proposition C :~~} \qquad $C_{r}(q) = 6q - 10 - \dfrac{2}{q^2}$.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de 
spécialité}

\medskip

On considère les épreuves de courses du 100~m, 200~m ou 400~m lors des
meetings internationaux d'athlétisme. On s'intéresse au nombre de faux
départs survenant lors de ces épreuves. 

On rappelle qu'un faux départ est le démarrage d'un coureur avant le signal de départ donné par le starter, à la suite de quoi on doit donner un nouveau signal de départ.

Les statistiques des années précédentes ont permis d'établir les données
suivantes :

\setlength\parindent{10mm}
$\bullet~$ la probabilité qu'il y ait un faux départ au premier signal est de 
0,2 ;  

$\bullet~$ quand il y a eu un faux départ au premier signal, la probabilité qu'il y ait de nouveau un faux départ au deuxième signal est de 0,05 ; 

$\bullet~$ il n'y a jamais de faux départ au troisième signal.
\setlength\parindent{0mm}

On admet que les départs sont indépendants les uns des autres.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter ces données par un arbre de probabilités.

On notera	

$F_{1}$ : l'évènement : \og il y a un faux départ au premier signal \fg{} ;

$F_{2}$ : l'évènement : \og il y a un faux départ au deuxième signal \fg.

\item Montrer que la probabilité qu'il y a ait exactement un faux départ  est de $0,19$.
\item Déterminer la loi de probabilités du nombre de faux départs donnés lors d'une épreuve quelconque.

Justifier l'affirmation suivante: \og dans $20\:\%$ des épreuves, il y au moins un faux départ \fg.
\item Lors d'un quart de finale au 200 m, on fait courir les athlètes en
quatre séries indépendantes, soit quatre épreuves. 

Calculer la probabilité qu'il y ait exactement trois séries sans faux
départ au premier signal lors de ce quart de finale.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

On s'intéresse aux performances réalisées par des étudiants courant 
le 200~mètres dans les compétitions universitaires. Lors d'une 
compétition, le \textbf{score} d'un(e) étudiant(e) est son meilleur 
temps en secondes obtenu aux 200~m. Une enquête a permis d'établir le 
comportement général suivant, qu'on supposera valable pour les filles 
et les garçons dans toute la suite :

\setlength\parindent{9mm}
$\bullet~$ Lors de la première compétition, le score d'un(e) étudiant(e) est toujours supérieur ou égal à 25 secondes.

$\bullet~$ Si, lors de la $n$-ième compétition, l'étudiant(e) a réalisé un score strictement inférieur à 25 secondes, la probabilité qu'il (elle)  réalise encore un score strictement inférieur à 25 secondes lors de 
la $n + 1$-ième compétition est de  $\dfrac{2}{5}$.

$\bullet~$ Si, lors de la $n$-ième compétition, l'étudiant(e) a réalisé un score supérieur ou égal  à 25 secondes, la probabilité qu'il (elle) réalise encore un score strictement inférieur à 25 secondes  est 
$\dfrac{1}{5}$.
\setlength\parindent{0mm}

On représente les données précédentes par un graphe probabiliste G à 
deux états.

On note A tout score strictement inférieur à 25 secondes et B tout 
score supérieur ou égal à 25 secondes.

On note $a_{n}$ la probabilité d'obtenir un score A lors de la 
compétition $n$ et $b_{n}$ la probabilité d'obtenir un score B lors 
de la compétition $n$.

L'état probabiliste lors de la compétition $n$ est donc représenté par 
la matrice ligne $\left(a_{n}~~b_{n}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter G et donner sa matrice.
\item Jamalia, jeune étudiante, se présente à sa première compétition 
universitaire.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité qu'elle réalise un score strictement 
inférieur à 25 secondes aux 200 mètres lors de cette compétition.
		\item Calculer la probabilité qu'elle réalise un score strictement 
inférieur à 25 secondes aux 200 mètres lors de sa troisième compétition.
	\end{enumerate}
\item Déterminer l'état stable du graphe G.
\item Julien a déjà de nombreuses compétitions universitaires dans les 
jambes.

Montrer que, pour sa prochaine compétition, il a environ une chance 
sur quatre de réaliser un score strictement inférieur à 25 secondes 
aux 200 mètres.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle I = [0~;~5] par 

\[f(x) = 9x - 15 - \text{e}^{2 - 0,2x}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur I. calculer 
$f'(x)$ et étudier son signe sur I.

Dresser le tableau de variations de $f$ sur I.
\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet sur I une solution unique 
notée $\alpha$.

Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
\item La valeur moyenne d'une fonction $f$ sur un intervalle $[a~;~b]$ 
est donnée par : $\dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_{a}^b f(t) 
\:\text{d}t$.

Calculer la valeur moyenne exacte de $f$ sur I.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans une entreprise, un économiste est chargé de modéliser le coût de 
production exprimé en \textbf{milliers d'euro de} \boldmath $x$ 
\unboldmath \textbf{centaines d'objets} fabriqués.

Il obtient une fonction $C$ définie par 

\[C(x) = 9x + 15 + \text{e}^{2 - 0,2x}.\]

Chaque appareil est vendu 200 \euro{} mais seulement $90\,\%$ de la 
production est effectivement vendue.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sachant que l'entreprise ne peut pas fabriquer plus de 500 
appareils, à quel intervalle J doit appartenir $x$ ?
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que la recette $R$ en milliers d'euro, pour une 
production de $x$ centaines d'objets, est donnée par : $R(x) = 18x$.
		\item Montrer que le bénéfice, en milliers d'euro, obtenu lors de la 
production de $x$ centaines d'objets est modélisé par la fonction $B$ 
définie sur J par : $B(x) = 9x - 15 - \text{e}^{2 - 0,2x}$.
	\end{enumerate}
\item Déduire de la \textbf{partie A} :
	\begin{enumerate}
		\item le nombre minimum d'appareils que l'usine doit fabriquer pour faire un bénéfice ;
		\item la valeur moyenne du bénéfice, en milliers d'euro, réalisé pour 
les 500 premiers appareils fabriqués (donner un résultat arrondi à l'euro).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Un promoteur a construit en 1980 une résidence formée de plusieurs 
petites maisons de vacances dont le prix de vente cette année là était 
de \np{170000}~francs par maison. En 1985 le prix de revente était de 
$240\,000$ francs, en 1992 de \np{320000}~francs, en 2000 de \np{60980}~ 
euros, et en 2003 de \np{69000}~euros.

On rappelle : 1 euro = \np{6,55957}~francs.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner le tableau de valeurs $x_{i}$ et $y_{i}$, correspondant 
respectivement à l'année et au prix de vente d'une maison en euros 
(valeurs arrondies à l'euro si nécessaire).
\item Déterminer, à la calculatrice, l'équation de la droite 
d'ajustement linéaire obtenue par la méthode des moindres carrés, 
donnée sous la forme $y = ax + b,~a$ et $b$ étant arrondis au 
centième ; le détail des calculs n'est pas demandé.

 En déduire, par le calcul, une valeur approchée à l'euro près du prix 
de revente en 2005.
\item Soit $t\,\%$ le taux annuel moyen d'augmentation du prix de vente 
entre les années 1980 et 1985.

Exprimer le prix de revente en francs de la maison en 1985 en 
fonction de $t$.

En déduire que $t$ est égal à $100\left(\text{e}^{\frac{1}{5}\ln 
\left(\frac{24}{17}\right)} - 1\right)$.
\item On admet  qu'une valeur approchée de $t$ obtenue à partir de la 
question précédente est 7,14.

Si l'on suppose que le taux moyen annuel d'augmentation est, à partir 
de 1985, de $7,14\,\%$, calculer, en euro, le prix de revente en 2005.

Comparer avec le résultat trouvé à la question \textbf{2.}

Que pouvez-vous en déduire ?
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%   fin Antilles-Guyane juin 2004
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%   Asie juin 2004
\hypertarget{Asie}{}

\label{Asie}
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES  Asie juin 2004~\decofourright}}
\end{center}
    
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le 1$\up{er}$ janvier 2003, la population d'un pays s'élevait à 30 millions d'habitants.
 
On estime que l'augmentation de la population pour les 15 années à venir sera de $2\,\%$ par an.

\begin{enumerate}
\item Calculer la population au 1\up{er} janvier 2004, puis au 1\up{er} janvier 2010.

Les résultats seront donnés en millions et arrondis à $10^{-3}$. 
\item Quelle est l'augmentation en pourcentage, entre la population au 1\up{er} janvier 2003 et la population au 
1\up{er} janvier 2010 ? Le résultat sera arrondi à $0,1\,\%$. 
\item Résoudre dans l'ensemble $\R$ des nombres réels, l'inéquation :

\[1,02^x \geqslant 1,2.\] 

\item Déterminer l'année à partir de laquelle la population dépassera $36$~millions d'habitants.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le tableau suivant donne le chiffre d'affaires en millions d'euro au 31 décembre de chaque année d'une entreprise depuis sa création en 1996. L'année 1996 a le rang 0.

\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Rang $x_i$ de l'année		&0	&1	&2		&3		&4		&5 	&6 &7\\ \hline
Chiffre d'affaires $y_i$	&0,7&1,6&2		&2,4	&2,5	&2,8&3 &3\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

Par exemple, en 1999 le chiffre d'affaires a été de 2,4 millions  d'euros.

\begin{enumerate}
 \item Représenter sur votre copie le nuage de points associé à la
 série $\left(x_i~;~y_i\right)$ dans un repère orthogonal \Oij{} du plan (unités graphiques : 1~cm pour une année en abscisse et 2~cm pour un million d'euros en ordonnée).
\item La forme du nuage de points suggère un ajustement de la forme
$y = \ln (ax + b)$, où $a$ et $b$ sont deux réels à déterminer.
	\begin{enumerate}
		 \item On pose $z_i = \text{e}^{y_i}$.

Compléter le tableau suivant (les valeurs de $z_i$ seront arrondies à 
$10^{-3}$.)

\begin{center}\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*8{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_i$					&0		&1	&2&3	&4	&5	&6 &7\\ \hline
$y_i$					&0,7	&1,6&2&2,4	&2,5&2,8&3 &3\\ \hline
$z_i = \text{e}^{y_i}$	&2,014	&	&&		&	&	&	& \\ \hline
\end{tabularx}\end{center}
	\item Donner l'équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. Les calculs seront faits à la calculatrice et les résultats donnés à $10^{-2}$ près.

On ne demande aucune justification.
	\item En déduire l'expression de $y$ en fonction de $x$.
	\item À l'aide de valeurs fournies par la calculatrice, tracer dans le même repère que précédemment (défini à la \textbf{question 1.}) la courbe d'équation
$y= \ln (2,74x + 2,17)$, pour $0 \leqslant  x \leqslant  14$.
	\end{enumerate}
\item On suppose que l'évolution du chiffre d'affaires se poursuivra durant la prochaine décennie selon le modèle précédent. Déterminer par le calcul le chiffre d'affaires attendu pour l'année 2004 arrondi à $10^{-1}$ millions d'euros.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ élément de [0~;~10] et pour tout réel $y$ élément de [0~;~12] par :

\[f(x~;~y) = 2x(y+ 1).\]

On donne ci-après la représentation graphique de la surface $z =  f(x,~ y)$ dans un repère \Oijk.

Pour financer un projet humanitaire, les adhérents d'une association décident de fabriquer des cartes de voeux.

Pour produire une quantité $z$ de paquets de cartes, ils utilisent $x$ décilitres d'encre A et $y$ décilitres d'encre B. On admet que $x,~ y$ et $z$ sont liés  par la relation

\[z = 2x(y+ 1),\]

où $x$ est un nombre entier compris entre 0 et 10, et $y$ un nombre entier compris entre 0 et 12.

Dans tout l'exercice, les quantités d'encre seront exprimées en décilitres.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
 \item
	\begin{enumerate}
		 \item Combien de paquets de cartes peut-on fabriquer avec 7 décilitres d'encre A et 8 décilitres d'encre B ?
		\item Donner la quantité d'encre A, la quantité d'encre B, et le nombre de paquets de cartes associés respectivement aux points M, P et R à coordonnées entières, de la surface donnée ci-dessous.
	\end{enumerate}
\item Quelle est la nature de la section de la surface par le plan d'équation $x = 4$, parallèle au plan $\left(\text{O},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$ ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le prix d'un décilitre d'encre A est 6~\euro{} et celui d'un décilitre d'encre B est 2~\euro.

L'association décide d'investir 46~\euro{} dans l'achat des encres.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Donner la relation entre les quantités x et y d'encres A et B achetées pour un montant de $46$~\euro.
\item Montrer alors que $z = - 6x^2 + 48x$.
\item 
	\begin{enumerate}
		 \item Quelle quantité d'encre A l'association 
achètera-t-elle pour fabriquer le maximum de paquets de cartes ?
		\item Combien de paquets de cartes seront alors fabriqués ?
		\item Quelle quantité d'encre B sera alors utilisée ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
% Figure de Marc Grillet dont je salue l'aimable participation.
\begin{center}
	\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.6cm}
	\begin{pspicture*}(-8,-1)(20,11)%
		\psset{Beta=15,Alpha=215}%Définitif
		%\psset{Beta=15,Alpha=50}%Essais
		\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=10,yMax=12,zMax=7,drawing=false]%
		\psset{linecolor=gray}%
		\pstThreeDLine(10,12,7)(10,12,0)(10,0,0)(0,0,0)\pstThreeDLine(0,12,0)(0,12,7)%
		%Titres
			\pstPlanePut[plane=xz,planecorr=normal](-2,5,0){{\small $y$}}%
			\pstPlanePut[plane=xz,planecorr=normal](5,-3,0){\small{$x$}}%
			\pstPlanePut[plane=xz,planecorr=normal](0,14,3.50){\small{$z$}}%
			\rput(10,10){\textbf{Surface } $(\mathcal{S})$  \textbf{d'équation }
			\boldmath $z = 2x(y + 1)$\unboldmath}%
		%Labels
			\psset{linewidth=0.5pt}%
			\multido{\n=0+1}{11}{\pstThreeDPut(\n,0,-0.5){\footnotesize{\n}}}%Abs
				\multido{\n=0+1}{11}{\pstThreeDLine(\n,0,0)(\n,12,0)(\n,12,7)}%
					\multido{\n=0+1}{11}{\pstThreeDLine(\n,0,0)(\n,0,-0.2)}%
			\multido{\n=2+2}{6}{\pstThreeDPut(0,\n,-0.5){\footnotesize{\n}}}%Ord
				\multido{\n=0+1}{13}{\pstThreeDLine(0,\n,-0.2)(0,\n,0)}%
					\multido{\n=0+1}{13}{\pstThreeDLine(0,\n,0)(10,\n,0)(10,\n,7)}%
			\multido{\n=0+40}{8}{\def\p{\n\space 40 div}\pstThreeDPut(-0.5,12,\p){\footnotesize{\n}}}%cote
				\multido{\n=0+1}{8}{\pstThreeDLine(10,0,\n)(10,12,\n)(0,12,\n)}%
					\multido{\n=0+1}{8}{\pstThreeDLine(0,12,\n)(-0.2,12,\n)}%
		%z est divisé par 40
	  \psplotThreeD[linewidth=0.5\pslinewidth,drawStyle=xyLines,xPlotpoints=10,yPlotpoints=12,hiddenLine=true,plotstyle=curve,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](0,10)(0,12){2 x mul y 1 add mul 40 div}%surface pour cacher l'arrière
		%z=0-40
			\newgray{gris}{0.25}%
			\parametricplotThreeD[linewidth=0pt](12,0){0 t 0}%pscustom semble avoir besoin de ceci pour "démarrer"
			\psset{linecolor=blue,linewidth=0.5pt,xPlotpoints=200,plotstyle=curve}%le xPlotpoints permets d'éviter les problèmes quant la courbe s'approche de son asymptote, apparemment.
			\def\exactun{40 26 div}
			\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{%
				\parametricplotThreeD(12,0){0 t 0}%
				\parametricplotThreeD(0,10){t 0 2 t mul 40 div}%
				\parametricplotThreeD(0,1){10 t 20 t 1 add mul 40 div}%
				\parametricplotThreeD(10,\exactun){t 40 2 t mul div 1 sub 1}%
				\parametricplotThreeD(\exactun,0){t 12 2 t 12 1 add mul mul 40 div}%
				}%
			\parametricplotThreeD[linewidth=0pt](10,\exactun){t 40 2 t mul div 1 sub 1}%pour démarrer correctement pscustom
		%Lignes de niveau intermédiaires
			\def\getColor#1{\ifcase#1 white\or green\or lightgray\or yellow\or purple\or orange\or cyan\or blue\or green\or magenta\or yellow\or green\or cyan\fi}
		\multido{\n=1+1}{5}{%
			\def\nint{40}%Variation (tous les 40 pour le sujet initial)
			\def\exactun{\n\space \nint\space mul 26 div }\def\exactdeux{\n\space \nint\space mul 40 add 26 div}%
			\def\borneun{\n\space \nint\space mul 40 div 2 mul 1 sub}\def\bornedeux{\n\space \nint\space mul 40 div 2 mul 1 add}%
			\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=\getColor{\n}]{%
				\parametricplotThreeD(\exactun,10){t \n\space \nint\space mul 2 t mul div 1 sub \n\space \nint\space mul 40 div}%
				\parametricplotThreeD(\borneun,\bornedeux){10 t 20 t 1 add mul 40 div}%
				\parametricplotThreeD(10,\exactdeux){t \n\space \nint\space mul 40 add 2 t mul div 1 sub \n\space \nint\space mul 40 add 40 div}%
				\parametricplotThreeD(\exactdeux,\exactun){t 12 2 t 12 1 add mul mul 40 div}%
				}%
			}%
		%z=240-280
			\newgray{gris}{0.50}%
			\psset{linecolor=blue,linewidth=0.5pt,xPlotpoints=200,plotstyle=curve}%
			\def\exactun{240 26 div}
			\def\exactdeux{280 26 div}
			\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{%
				\parametricplotThreeD(\exactun,10){t 240 2 t mul div 1 sub 6}%
				\parametricplotThreeD(11,12){10 t 20 t 1 add mul 40 div}%
				\parametricplotThreeD(10,\exactun){t 12 2 t 12 1 add mul mul 40 div}%
				}%
		%Légende%green\or lightgray\or yellow\or purple\or orange\or cyan\or blue\or green\or magenta\or yellow\or green\or cyan\fi}
			\newgray{gris}{0.25}\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gris](10.7,2.5)(11.5,3.3)\rput[l](12,2.9){$0\leqslant z\leqslant 40$}%
			\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=green](10.7,3.5)(11.5,4.3)\rput[l](12,3.9){$40\leqslant z\leqslant 80$}%
			\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](10.7,4.5)(11.5,5.3)\rput[l](12,4.9){$80\leqslant z\leqslant 120$}%
			\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=yellow](10.7,5.5)(11.5,6.3)\rput[l](12,5.9){$120\leqslant z\leqslant 160$}%
			\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=purple](10.7,6.5)(11.5,7.3)\rput[l](12,6.9){$160\leqslant z\leqslant 200$}%
			\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=orange](10.7,7.5)(11.5,8.3)\rput[l](12,7.9){$200\leqslant z\leqslant 240$}%
			\newgray{gris}{0.5}\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gris](10.7,8.5)(11.5,9.3)\rput[l](12,8.9){$240\leqslant z\leqslant 280$}%
		%surface%
			\psset{linewidth=0.5pt,linecolor=black}%
			\psplotThreeD[xPlotpoints=10,yPlotpoints=12,drawStyle=xyLines,linecolor=black,plotstyle=curve](0,10)(0,12){2 x mul y 1 add mul 40 div}%
		%le bord de la surface :
%			\parametricplotThreeD[linecolor=black](0,10){t 12 t 36 mul t 12 add div 2 div}%
%			\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,linecolor=black](0,12){10 t t 15 mul t 10 add div}%
		%les points
			\pstThreeDDot[dotstyle=o,linewidth=2pt](5,11,3)\pstThreeDPut(5,11,3.4){\large{\bf{$P$}}}%
			\pstThreeDDot[dotstyle=o,linewidth=2pt](4,4,1)\pstThreeDPut(4,4,1.4){\large{\bf{$R$}}}%
			\pstThreeDDot[dotstyle=o,linewidth=2pt](8,9,4)\pstThreeDPut(8,9,3.4){\large{\bf{$M$}}}%
	\end{pspicture*}
\end{center}
\psset{unit=1cm}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Dans un lycée, on compte 150 élèves de terminale ES dont un tiers de garçons.

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Chaque élève suit l'un des deux enseignements de spécialité : Maths ou LV1.
\item[$\bullet~$] $60\:\%$ des élèves suivent l'enseignement de spécialité Maths.
\item[$\bullet~$] La proportion de filles qui suivent l'enseignement de
 spécialité Maths est le double de la proportion de garçons qui suivent  l'enseignement de spécialité Maths.
\end{itemize}

On note $a$ la proportion de garçons qui suivent l'enseignement de spécialité Maths.

Dans cet exercice, les questions 1 et 2 sont indépendantes.

\medskip

\begin{enumerate}
 \item On interroge au hasard un élève de terminale ES.
 Chaque élève a donc la même probabilité d'être interrogé. On note :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $F$ l'évènement : \og l'élève interrogé est une fille \fg
\item[$\bullet~$] $G$ l'évènement : \og l'élève interrogé est un garçon \fg
\item[$\bullet~$] $M$ l'évènement : \og l'élève interrogé suit l'enseignement de spécialité Maths \fg
\item[$\bullet~$] $L$ l'évènement : \og l'élève interrogé suit l'enseignement de spécialité LV1 \fg.
\end{itemize}
	\begin{enumerate}
		 \item On note $P_{G}(M)$ la probabilité de $M$ sachant $G$.
 On a alors $P_{G}(M) =  a$.

L'arbre ci-dessous décrit la situation probabiliste de l'énoncé. Le compléter.

 Pour le deuxième niveau d'arborescence, donner les valeurs en fonction  de $a$.
 
 \begin{center} 
 \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}{
 \pstree{\TR{$F$~}\taput{\ldots}}
 {
 	\TR{$M$} \taput{$2a$}
	 \TR{$L$}} \tbput{\ldots} 
  \pstree{\TR{$G$~} \tbput{\ldots}}{
 \TR{$M$} \taput{$a$}
 \TR{$L$} \tbput{\ldots}}
 }
\end{center}
		\item Montrer que $a = \dfrac{9}{25}$.
		\item Les évènements $M$ et $G$ sont-ils indépendants ? Justifier.
	\end{enumerate}
\item On interroge au hasard, de façon indépendante, trois élèves 
de terminale ES.

On admet que cette expérience peut être assimilée à un tirage avec remise,
et que chaque élève a la même probabilité d'être interrogé.

Quelle est la probabilité qu'au moins un des trois élèves interrogés suive
l'enseignement de spécialité Maths ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

La courbe $\Gamma$ ci-dessous est la représentation partielle donnée par la calculatrice de la fonction définie pour tout $x$ élément de $\R$ par :

\[f(x) = \left(1 - x^2\right)\text{e}^{-x}\]

dans un repère orthogonal du plan \Oij. La courbe $\Gamma$ coupe l'axe des ordonnées au point A et l'axe des abscisses respectivement en B et C.

\textsl{Les quatre questions sont indépendantes.}

\begin{enumerate}
 \item On cherche à retrouver les unités.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées des points A, B et C.
		\item Placer $\vect{\imath}$ et $\vect{\jmath}$ sur la figure ci-dessous.
	\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-4)(3,2)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2,gridwidth=0.3pt](0,0)(-2,-4)(3,2)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2,-4)(3,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O} \uput[ul](-1,0){B}
\uput[ur](0,1){A} \uput[ur](1,0){C}
\uput[ul](-0.75,1){\blue $\Gamma$}
\uput[u](3,0){$x$}
\uput[r](0,2){$y$}
%\psline[linewidth=1.5pt]{->}(-2,0)(3,0)
%\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-4)(0,2)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-1.407}{3}{1 x 2 exp sub 2.71828 x neg exp mul}
\end{pspicture}
\end{center}

\item Étude des limites
	\begin{enumerate}
		 \item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)$.  Justifier la réponse.
		\item On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 
\dfrac{x^2}{\text{e}^x}= 0$. Développer $f(x)$ et en déduire sa limite en $+ \infty$.

Interpréter graphiquement le résultat.
	\end{enumerate}
\item Étude des variations

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$, et on note $f'$ sa
 fonction dérivée.
	\begin{enumerate}
		 \item Montrer que pour tout $x$ réel:

\[f'(x) = (x^2 - 2x - 1)\text{e}^{-x}.\]
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation : $f'(x) = 0$.

(Les solutions seront arrondies à $10^{-2}$.)

Déterminer le signe de $f'(x)$ sur $\R$.
		\item En déduire le sens de variations de la fonction $f$ sur $\R$.

Faire apparaître, sur le graphique, le ou les points de la courbe $\Gamma$
 en lesquels celle-ci admet une tangente horizontale.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Asie juin 2004
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Centres étrangers juin 2004
\hypertarget{Centresetrangers}{}

\label{Centresetrangers}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{13 juin 2004}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Centres étrangers juin 2004~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

La courbe ($\mathcal{C}$) donnée ci-dessous est la représentation graphique 
dans un repère orthonormal d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$.

\begin{center}\psset{unit=0.95cm} \begin{pspicture}(-3,-6)(10,6)
\psgrid[gridlabelcolor=white,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt](0,0)(-3,-6)(10,6)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=5,Dy=2](0,0)(-3,-6)(10,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\psline(0,-4)(1.111,6)
\psline[linewidth=1.25pt]{<->}(1.5,4.584)(3.5,4.584)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{-0.19}{10}{8 x mul 4 sub 2.71828 x 2 div exp div}
\uput[dr](0.5,0){B} \uput[r](0,-4){A} \uput[u](2.5,4.584){D}\uput[ul](1,5){T} 
%\multido{\n=-6+2}{7}{\uput[l](0,\n){\n}}
\end{pspicture} \end{center}

\vspace{0,6cm}

Les points A, B et D appartiennent à ($\mathcal{C}$) : A$(0~;~-4)$ ; B(0,5 ; 
0) ; D$\left(2,5~;~16\text{e}^{-\frac{5}{4}}\right)$.

La courbe ($\mathcal{C}$) admet en D une tangente parallèle à l'axe des abscisses.

On donne le point T de coordonnées(1 ; 5) ; la droite (AT) est tangente à ($\mathcal{C}$) en A.

\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique et sans justifier : 
	\begin{enumerate}
		\item Donner les valeurs de $f(0),\: f'(0)$ et $f'(2,5)$. 
		\item Donner les solutions dans [0 ; 10] de l'inéquation $f(x) < 0$. 
		\item Donner les solutions dans [0 ; 10] de l'inéquation $f'(x) < 0$.
	\end{enumerate}
\item Pour chacune des affirmations ci-dessous indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier votre réponse : 
	\begin{enumerate}
		\item $f'(5) > 0$. 
		\item L'équation $f(x) = 2$ admet une solution unique dans l'intervalle $[5~ ;~ 7]$.
		\item $1 < \displaystyle\int_1^2 f(x)\:\text{d}x < 2$.
		\item Toute primitive de $f$ s'annule pour 0,5.
		\item Toute primitive de $f$ est décroissante sur [0 ; 2,5].
	\end{enumerate}
\item Parmi les courbes $(\mathcal{C}_1)$ et $(\mathcal{C}_2)$ données 
ci-dessous, l'une est la représentation graphique d'une primitive de $f$ 
sur $\R$. Indiquer laquelle en précisant les raisons de votre choix.

\vspace{0,2cm}

\begin{center}\psset{unit=0.75cm} \begin{pspicture}(-3,-6)(10,6)
\psgrid[gridlabelcolor=white](0,0)(-3,-6)(10,6)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=11,Dy=11](0,0)(-3,-6)(10,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=11,Dy=11]{->}(0,0)(1,1)
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](1.2,6)(2,1.4)(3,-0.85)(4,-1.6)(5,-1.55)(6,-1.35)(7,-1.05)(8,-0.8)(9,-0.6)(10,-0.4)
\uput[d](4,-6.2){Courbe $(\mathcal{C}_1)$}
\multido{\n=-6+2}{7}{\uput[l](0,\n){\n}}
\uput[d](5,0){5} \uput[d](10,0){10} 
\end{pspicture} \end{center}

\vspace{1cm}

\begin{center}\psset{unit=0.75cm}  \begin{pspicture}(-3,-6)(10,6)
\psgrid[gridlabelcolor=white](0,0)(-3,-6)(10,6)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=11,Dy=11](0,0)(-3,-6)(10,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=11,Dy=11]{->}(0,0)(1,1)
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-1,6)(-0.85,4)(-0.7,2)(-0.55,0)(-0.3,-2)(0,-4)(0.5,-5)(1,-4.2)(1.42,-3)(2,-0.5)(3,4)(3.45,6)
\uput[d](4,-6.2){Courbe $(\mathcal{C}_2)$}
\multido{\n=-6+2}{7}{\uput[l](0,\n){\n}}
\uput[d](5,0){5} \uput[d](10,0){10} 
\end{pspicture} \end{center}

\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip


\medskip
{Dans cet exercice on pourra s'aider d'un arbre pondéré.}

Une agence de voyage propose deux durées de séjours -- le week-end ou la 
semaine -- et deux types de destinations -- France ou Étranger--.

Parmi les dossiers de l'agence ou constate que :

\setlength\parindent{9mm}
$\bullet~60\,\%$ des séjours ont lieu en France ;

$\bullet~45\,\%$ des séjours en France durent une semaine ;

$\bullet~75\,\%$ des séjours à l'étranger durent une semaine.
\setlength\parindent{0mm}

On choisit un dossier au hasard et on note :

\setlength\parindent{9mm}
$\bullet~$ $F$ l'évènement : \og Le séjour a lieu en France \fg{} ;

$\bullet~$ $S$ l'évènement :  \og Le séjour dure une semaine \fg{} ;

$\bullet~$ $E$ l’évènement  contraire de $F$
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant  les données de l'énoncé, trouver les probabilités des trois évènements $F$, $S$ sachant $F$ et $S$ sachant $E$.
\item Quelle est la probabilité qu'un séjour dure une semaine et ait lieu en France ?
\item Montrer que la probabilité qu'un séjour dure une semaine est de 0,57.
\item En déduire la probabilité qu'un séjour d'une semaine ait lieu en France.

\emph{On donnera le résultat exact sous la forme d'une fraction 
irréductible.}
\item On choisit quatre dossiers au hasard et indépendamment les uns des autres et on s'intéresse au séjour choisi On admettra que le nombre de dossiers est  suffisamment grand pour que le choix d'un dossier soit assimilé à un tirage avec remise.

Quelle est la probabilité qu'aucun des séjours ne dure une semaine ?

\emph{On donnera la valeur décimale arrondie à} $10^{-3}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Toutes les réponses à cet exercice seront  données sur la feuille 
annexe ; aucune justification n'est nécessaire. La feuille annexe sera rendue 
avec la copie.}

De 1994 à  2001, une entreprise a établi la statistique de sa production annuelle.

Les années sont numérotées de 0 à 7.

On choisit la base 100 en 1994 pour établir les indices de production.

\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.2cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année					&1994				&1995				&1996				&1997		&1998 				&1999				&2000		&2001\\ \hline
$x$						&1 					& 						&2 					&3 			&4 					&5 					&6 			&	7\\ \hline
Production $P$ (à l'unité près)		&\np{175255}	&\np{189275}	&\np{217315}	&\ldots	&\np{287415}	&\np{329475}	&\ldots 	&\np{45565}\\ \hline
Indice $y$ (à l'unité près)		&100				&	108				& 124				& 140		& 164				&  188				&224		&260\\ \hline
$Y =  0,5 \times
 \ln y$ 				&\ldots 			&\ldots 			&\ldots 			&\ldots 	&\ldots 			&\ldots 			&\ldots 	&\ldots\\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les valeurs manquantes. \textbf{On les recopiera sur le tableau donné  sur la feuille annexe.}

On appelle $\Delta$ la droite d'ajustement affine de $Y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés et on note 
$Y = ax + b$ son équation. 
\item Pour chacune des huit affirmations suivantes une seule des trois 
réponses A, B ou C est exacte ; les résultats respectent les règles d'arrondis du tableau ci-dessus. \textbf{On reportera les  réponses A, B ou C sur la feuille annexe.}
\end{enumerate}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{5cm}*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
N°&	Affirmation&	A&	B&	C \\ \hline
1&\multicolumn{1}{m{5cm}|}{La médiane de la série des indices 
est}&152&	140&	163\\ \hline
2 &\multicolumn{1}{m{5cm}|}{Le pourcentage d'augmentation de la 
production entre 1994 et 200 est}&	$24\:\%$&	$76\:\%$ &	$124\:\%$\\ \hline
3&\multicolumn{1}{m{5cm}|}{Le pourcentage d'augmentation des indices entre 
1998 et 2000 est} &$60\:\%$ &$36,59\:\% $ & $48\:\%$\\ \hline
4&\multicolumn{1}{m{5cm}|}{L'écart type de la série des indices arrondie 
au dixième près est}&	57,1&	120,4&	53,4\\ \hline
5&\multicolumn{1}{m{5cm}|}{La longueur de l'intervalle interquartile de la série des
indices est}& 90&	64&	116\\ \hline
6&\multicolumn{1}{m{5cm}|}{L'équation de la droite $\Delta$ est}&$Y=0,07x+2,28$&$Y = 
0,7x+2,28$&$Y=0,07x+0,3$\\ \hline
7&\multicolumn{1}{m{5cm}|}{L'expression de  $y$ en fonction de $x,~a$ et $b$ est}&	$y = 
2\text{e}^{ax+b}$&\small  $y = 0,5 \ln (ax+b)$& $y = 
\left(\text{e}^{ax+b}\right)^2$\\ \hline
8&\multicolumn{1}{m{5cm}|}{Si la tendance se poursuivait l'indice de production 
en 2004 serait égal à}&	388&	403&	383\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Un jardinier possède un terrain bien ensoleillé avec une partie plus ombragée.

Il décide d'y organiser des parcelles où il plantera 8 variétés de légumes :

 de l'ail (A), des courges (Co) des choux (Ch), des poireaux (Px), des pois (Po), 
des pommes de terre (Pt), des radis (R) et des tomates (T).

Il consulte un almanach où figurent des incompatibilités de plantes, données 
par les deux tableaux :

\vspace{0,5cm}

\parbox[c]{0.48\textwidth}{\begin{tabular}{|l|l|}\hline
\multicolumn{2}{|p{6cm}|}{Expositions incompatibles de plantes}\\ \hline
\multicolumn{1}{|p{3cm}|}{Plantes d'ombre partielle} 
&\multicolumn{1}{p{3cm}|}{Plantes de plein soleil}\\ \hline
& \\
& choux \\ 
pois & tomates\\ 
radis & courges \\
 & \\
 & \\ \hline
\multicolumn{2}{|p{6cm}|}{Par exemple : les pois sont incompatibles avec les
choux, les tomates et les courges}\\ \hline
\end{tabular}} \hfill
\parbox[c]{0.48\textwidth}{ \begin{tabular}{|l|l|}\hline
\multicolumn{2}{|p{6cm}|}{Associations incompatibles de} \\ 
\multicolumn{2}{|p{6cm}|}{plantes dans une même parcelle}\\ \hline
 pois 			& ail, poireaux\\ \hline
pommes de 	& courges, radis et\\
terre				 & tomates\\ \hline
					& tomates, ail\\
choux 			& poireaux et courges\\ \hline
courges 		& tomates\\ \hline
\multicolumn{2}{|p{6cm}|}{Par exemple : les pois sont incompatibles avec 
l'ail et les poireaux}\\ \hline
\end{tabular}}

\vspace{0,5cm}
  
Pour tenir compte de ces incompatibilités le jardinier décide de modéliser la situation sous la forme d'un graphe de huit sommets, chaque sommet représentant un légume.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur la feuille annexe : compléter le graphe mettant en évidence les
incompatibilités d'exposition ou les associations incompatibles indiquées dans les deux tableaux ci-dessus.
\item Calculer la somme des degrés des sommets du graphe, en déduire le nombre 
de ses arêtes.
\item Rechercher un sous-graphe complet d'ordre 4, qu'en déduit-on pour le nombre chromatique du graphe ?
\item Donner le nombre chromatique du graphe et l'interpréter en nombre minimum de parcelles  que le jardinier devra créer.
\item Donner une répartition des plantes par parcelle de façon à ce que chaque parcelle contienne exactement deux types de plantes et que le nombre de parcelles soit minimum.
\item Donner une répartition des plantes de façon à ce qu'une parcelle contienne trois plantes 
et que le nombre de parcelles soit minimum.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{A : Préliminaires}

\medskip

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $[0~;~+ \infty[$ par

\[f(x) = 5(x+2)\text{e}^{-x} \quad \text{et} \quad g(x) = \dfrac{x+2}{5}\text{e}^x.\]

\smallskip
\begin{enumerate}
\item Résoudre sur $[0~;~+ \infty[$ l'équation $f(x) = g(x)$.
\item Quelle est la dérivée de la  fonction $h$ définie sur $\R$ par  
$h(x) = (x+3)\text{e}^{-x}$ ? 
\item En déduire une primitive $F$ de $f$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B : Application économique}

\medskip

On suppose que les fonctions $f$ et $g$ précédemment définies dans la partie A sont les fonctions demande et offre d'une entreprise de transport de marchandises. Plus précisément, pour une tonne de marchandises à  transporter :

$\bullet~f(x)$ est le prix en euros aux 100 km accepté par les clients en fonction 
de la distance $x$ parcourue en centaines de kilomètres.

$\bullet~g(x)$ est le prix en euros aux 100 km du service proposé par l'entreprise en 
fonction de la distance $x$ parcourue en centaines de kilomètres.

Dans les questions suivantes les prix demandés seront arrondis au centime d'euro et les distances arrondies au kilomètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel prix $p_{1}$ en euros aux 100 km, est prêt à payer un client (se 
conformant à la fonction de demande $f$) et quel prix $p_{2}$, en euros aux 100 km, est prête à lui offrir l'entreprise (se conformant à la fonction d'offre $g$) pour un parcours de 120 km ?
 \item Prix d'équilibre

Sur un marché en concurrence pure et parfaite le prix $p_{0}$ qui se forme sur le marché correspond à l'égalité entre la demande et l'offre : $p_{0}$ est le prix d'équilibre.

À quelle distance $d_{0}$, correspond-il ? En déduire la valeur 
$p_{0}$.

On donnera les valeurs exactes puis arrondies.
\item Surplus des consommateurs

Tous les consommateurs prêts à acheter le service à un prix supérieur au 
prix d'équilibre réalisent un gain fictif appelé surplus des consommateurs. On admet que
ce gain, exprimé en euro aux 100~km est mesuré par

\[\text{S} = \displaystyle\int_{0}^{d_{0}} f(x) \:\text{d}x - p_{0} \times d_{0}.\]

Calculer la valeur exacte de S puis en donner une valeur approchée.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{C : Interprétation graphique}

\medskip

Sur la feuille annexe figurent les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ représentatives des fonctions $f$ et $g$.

Elles sont tracées dans un repère orthogonal \Oij~ avec pour unités 
graphiques  : en abscisse une unité représente une distance parcourue égale 
à 100~km et en ordonnée une unité représente 1 euro.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les noms des courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$.
\item Placer le point I et ses coordonnées, où I est le point d'intersection 
de $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$.
\item Placer $p_{0},~ p_{1},~ p_{2}$ et $d_{0}$.
\item Hachurer le domaine du plan d'aire S.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center} 
    
\textbf{Feuille annexe  à rendre avec la copie}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\textbf{Question 1}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{8}{>{\centering\arraybackslash}X|}}\hline
Année				&1994		&1995		&1996		&1997	&1998 		&1999		&2000	&2001\\ \hline
$x$					&1 			& 			& 2 		&3 		&4 			&5 			&6 		&7\\ \hline
\small Production $P$	
(à l'unité près)	&\np{17525}	&\np{18927}	&\np{21731}	&\ldots	&\np{28741}	&\np{32947}	&\ldots &\np{45565}\\ \hline
Indice $y$
(à l'unité près)	&100		&108		&124		&140	&164		&188		&224	&260\\ \hline
$Y =  0,5 \times \ln y$&\ldots 	&\ldots 	&\ldots 	&\ldots &\ldots 	&\ldots 	&\ldots &\ldots\\ \hline 
\end{tabularx}

\vspace{1cm}

\textbf{Question 2 : répondre par A, B ou C}

\end{center}

Barème :  0,5 point pour une bonne réponse, $- 0,25$ pour une mauvaise 
réponse ; la note finale à cette question ne peut être inférieure à 0.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\No 	&1 	&2 	&3 	&4	&5 	&6 	&7 	&8\\ \hline
Réponse &	&	&	&	&	&	&	& \\ \hline
\end{tabularx}     
\end{center}

\vspace{1cm}

\begin{center} \textbf{\gray Exercice 4}
    
\vspace{0,5cm}
	
\psset{xunit=4cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(3,20)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1]
\psaxes[linewidth=1pt,Dy=5](0,0)(0,0)(3,20)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=5]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{0}{3}{x 2 add 5 mul 2.71828 x neg exp mul}
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{0}{3}{x 2 add 5 div 2.71828 x exp mul}
\end{pspicture}

\end{center}

\newpage

\begin{center}
    
\textbf{Feuille annexe à rendre avec la copie}
    
\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}
    
\textbf{Exercice 3}
     
\vspace{2cm}
     
\begin{pspicture}(6,5)
\qdisk(1,0.8){2pt}\uput[l](1,0.8){R}
\qdisk(0.2,3.3){2pt} \uput[l](0.2,3.3){Po} 
\qdisk(0,2){2pt} \uput[l](0,2){Pt} 
\qdisk(0.9,5){2pt} \uput[l](0.9,5){Px} 
\qdisk(3.5,5){2pt} \uput[r](3.5,5){A}
\qdisk(5.6,3.4){2pt} \uput[r](5.6,3.4){T} 
\qdisk(5.3,2){2pt} \uput[r](5.3,2){Co} 
\qdisk(3.3,0.2){2pt} \uput[r](3.3,0.2){Ch}
\psline(0.2,3.3)(0.9,5) 
\psline(0.2,3.3)(3.5,5)
\psline(0.2,3.3)(5.6,3.4)
\psline(0.2,3.3)(5.3,2)
\psline(0.2,3.3)(3.3,0.2)
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%  Centres étrangers juin 2004
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%  Métropole juin 2004
\hypertarget{Metropole}{}

\label{Metropole}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Métropole juin 2004~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Pour chacune des questions ci-dessous, une seule des réponses proposées est exacte. On demande de cocher cette réponse sur la feuille. Une bonne réponse rapporte $0,5$ point. Une mauvaise réponse enlève 0,25 point. L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.

Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est 0.

\begin{center} \begin{tabular}{|l|l|}\hline
\textbf{QUESTIONS}& 	\textbf{RÉPONSES}\\
&	(à porter sur la feuille\\
&	ANNEXE 1)\\ \hline
\multicolumn{2}{|l|}{Pour les trois premières questions, $A$ et $B$ sont des 
évènements associés}\\ 
\multicolumn{2}{|l|}{ à une expérience aléatoire}\\ \hline
&	$\bullet$ $p(A)  = 1 + p(B)$\\
\multicolumn{1}{|l|}{\textbf{1.} Si $B$ est l'évènement contraire de $A$, alors}&	$\bullet$ $p(A) = 1 - p(B)$\\
&	$\bullet$ $p(A) = p(B)$\\ \hline
&	$\bullet$ $A \cap B = \emptyset$\\
\multicolumn{1}{|l|}{\textbf{2.} Si $A$ et $B$ sont deux évènements  
}&	$\bullet$ $p(A \cup B) = p(A) . p(B)$\\
indépendants et~$p(A) \neq 0$, alors&	$\bullet$ $p_A(B) = p(B)$\\ \hline
&$\bullet$	$p(A \cup B) = p(A) + p(B)$\\
\multicolumn{1}{|l|}{\textbf{3.} Si $A$ et $B$ sont deux évènements } & $\bullet$ $p(A) = 1 - p(B)$\\
incompatibles alors	&$\bullet$ $p(A \cap B) = 1$\\ \hline
& $\bullet$ $- \infty$\\
\multicolumn{1}{|l|}{\textbf{4.} Soit $a$ un nombre réel strictement positif}&
$\bullet$ $0$\\
$\displaystyle\lim_{x \to - \infty}  \ln(-ax+5)=$ &	$\bullet$ $+ \infty$\\ \hline
&	$\bullet$ une asymptote verticale\\
\multicolumn{1}{|l|}{\textbf{5.} La représentation graphique de la fonction }&$\bullet$ une asymptote horizontale\\
logarithme népérien  admet &	$\bullet$ une tangente horizontale\\ \hline
	&$\bullet$ $\R$\\
\multicolumn{1}{|l|}{\textbf{6.} $\text{e}^{\ln x} = x$ pour tout $x$ appartenant 
à} &$\bullet$ $]0~;~+ \infty[$\\
	&$\bullet$ $[ 0~ ;~ + \infty [$\\ \hline
&$\bullet$ $\text{e}^a - 2\text{e} + \text{e}$\\
\multicolumn{1}{|l|}{\textbf{7.} Soit un réel $a$.}&$\bullet$ $\text{e}^a - 2\text{e}$ \\
$\ln\left(\text{e}^a \right) - 2\text{e} + \ln (1) =$&$\bullet$ $a - 2\text{e}$\\ \hline
	&$\bullet$ $-ab$\\
\multicolumn{1}{|l|}{\textbf{8.} Soient $a$ et $b$ des réels strictement 
positifs,}&$\bullet$ $a - b$\\ 	
$\text{e}^{\ln a} + \text{e}^{-\ln b} =$ & $\bullet$ $\dfrac{ab +1}{b}$\\ \hline
& $\bullet$ $x \mapsto \dfrac{1}{\ln x}$\\
\multicolumn{1}{|l|}{\textbf{9.} Une primitive de la fonction logarithme  
} & $\bullet$ $x \mapsto x \times \ln x - x + 3$\\
népérien sur $[0~;~+ \infty[$& $\bullet$ $x \mapsto \ln \left(\dfrac{1}{x}\right) - 2$\\\hline
& $\bullet$ $x < 1$\\
\multicolumn{1}{|l|}{\textbf{10.} Pour tout réel $x$ strictement inférieur 
à 1,} &$\bullet$ $x < 1 - \text{e}$\\ 
$\ln (1 - x) > 1$ est équivalent à :& $\bullet$ $x > \text{e}$\\ \hline
\end{tabular} \end{center}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de 
spécialité}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie pour tout $x$ élément de $\R$ par

\[ f(x) =  \left(x^2 + 1\right)\text{e}^{-x+2}.\]

On note $\Gamma$ la représentation graphique de $f$ dans un repère orthogonal 
et D la droite d'équation 

$y = \dfrac{5}{2}x$.

On note $\mathcal{A}$ l'aire (en unités d'aire) du domaine délimité par la courbe $\Gamma$ , la droite D et la droite d'équation $x = 0$.

On note O, P, Q et R les points de coordonnées O(0~;~0), P(0~;~5), Q(2~;~5) et R$\left(0~;~\text{e}^2\right)$. (Voir la représentation ci-dessous).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Détermination d'un encadrement de l'aire $\mathcal{A}$
	\begin{enumerate}
		\item Montrer par le calcul que le point Q appartient à la droite D et à la courbe $\Gamma$ et que la courbe $\Gamma$ coupe l'axe des ordonnées au point R. 
		\item Calculer, en unités d'aire, la valeur exacte des aires de chacun des triangles OPQ et OQR.
 
En déduire un encadrement de l'aire $\mathcal{A}$ en unités d'aire.
	\end{enumerate}
\item Calcul de la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}$
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer l'aire $\mathcal{A}$ à l'aide d'une expression faisant intervenir une intégrale. 
		\item Soit $G$ la fonction définie pour tout $x$ élément de $\R$ par 

\[G(x) = \left(-x^2 - 2x - 3\right)\text{e}^{-x+2}.\]

On note $G'$ la fonction dérivée de $G$ sur $\R$. 

Pour tout $x$ élément de $\R$, calculer $G'(x)$ en donnant les détails du calcul.

En déduire une primitive de la fonction $f$ sur $\R$. 
		\item Déterminer la valeur exacte de $\mathcal{A}$. En donner une valeur approchée arrondie au centième. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\psset{xunit=3cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-0.2,0)(4,8)
\psgrid[gridlabels=0pt](0,0)(4,8)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(4,8)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2}{x 2 exp 1 add 2.71828 2 x sub exp mul}
\psline(2,5)(0,0)}
\uput[dr](0,0){O} \uput[ul](0,5){P} \uput[d](2,5){Q} \uput[l](0,7.389){R}
\psline(0,0)(3.2,8) 
\uput[d](3.1,7.6){D} \uput[u](1.1,5.4){\blue$\Gamma$} 
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{4}{x 2 exp 1 add 2.71828 2 x sub exp mul}
\psgrid[gridlabels=0pt](0,0)(4,8)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{FORMULAIRE}

L'aire d'un triangle est donnée par : Aire = $\dfrac{\text{Base} 
\times \text{Hauteur}}{	2}$

$\bullet~$ La dérivée d'un produit de fonctions (sur des intervalles convenables) :
 $(uv)' = u'v + uv'.$

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

 On considère la courbe ci-dessous représentative d'une fonction $g$ définie et dérivable  sur l'intervalle I = ]0 ; 21].

\textbf{La courbe est à rendre avec la copie.}

\psset{xunit=5mm,yunit=2mm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-8)(21,27)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt](0,0)(-2,-8)(21,27)		\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-2,-8)(21,27)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.1}{21}{x 4  mul 3 x ln sub mul 4 sub}
\psline(0,0)(21,21)
\psline(0,0)(3,24)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](14.608,0)(14.608,14.608)
\uput[d](1,0){1}
\end{pspicture}
\end{center}

La droite tracée sur le graphique est tangente à la courbe au point 
d'abscisse 1 et passe par l'origine. On prendra 7,4 comme valeur approchée
 du réel de l'intervalle I pour lequel $g$ atteint son maximum.

\begin{enumerate}
\item On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$ sur l'intervalle I.
 
Utiliser le graphique pour donner les valeurs de $g(1)$ et $g'(1)$. (Aucune
 justification n'est demandée).
\item Résoudre graphiquement dans l'intervalle I les trois inéquations 
ci-dessous (les valeurs lues sur le graphique seront données à $10^{-1}$ près).
 Aucune justification n'est demandée, mais pour l'inéquation (3) les éléments
 graphiques utiles seront portés sur la courbe

(1) : $g(x) \geqslant 0$ 

(2) : $g'(x)  \geqslant 0$ 

(3) : $g(x) < x$.

\item On admet que pour tout $x$ de l'intervalle I,~ $g(x) = - 4 + ax(3 - 
b \cdot \ln x)$ 
où $a$ et $b$ sont deux nombres réels. On veut calculer $a$ et $b$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout $x$ élément de l'intervalle I : $g'(x) = a\left[3 - b(1 + \ln x)\right]$.

Exposer le détail des calculs. 
		\item À l'aide des valeurs de $g(1)$ et $g'(1)$ obtenues
 à la question \textbf{1.}, calculer $a$ et $b$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

La subvention accordée par une entreprise à son club sportif était de 
\np{3000}~\euro{} pour l'année 1998.

Depuis 1998, L'évolution de la subvention en pourcentage d'une année à 
l'autre est celle décrite dans le tableau ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|l| *{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 					&1999 		&2000		&2001		&2002		&2003\\ \hline
Évolution en pourcentage&+ $17\:\%$	&+ $15\:\%$ &+ $10\:\%$ &+ $9\:\%$	& $+ 6\:\%$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Par exemple, le taux d'évolution de la subvention de 2000 à 2001 est de 
$10\,\%$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
	 	\item Calculer, pour chacune des années, le montant de la subvention attribuée (en euro). Les résultats seront arrondis à l'unité. 
		\item Le responsable sportif se plaint d'une diminution continuelle des subventions depuis l'année 1999. Quelle confusion fait-il ? 
	\end{enumerate} 
\item On admet que le montant de la subvention en 2003 est de \np{5130}~\euro.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le pourcentage de diminution ou d'augmentation de la subvention de 1998 à 2003.
		\item Si le taux d'évolution de la subvention d'une année à l'autre était fixe et égal à $t\;\%$, quelle serait la valeur de $t$ arrondie à $10^{-3}$ près qui donnerait la même augmentation de la subvention entre 1998 et 2003 ? 
		\item Avec ce même taux d'évolution $t$, quelle serait la subvention, arrondie à l'unité, en 2004 ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

Le graphe ci-dessous indique, sans respecter d'échelle, les parcours possibles
 entre les	sept bâtiments d'une entreprise importante.	
 
\vspace{0,8cm}
 
\psset{unit=0.9cm} \begin{center} \begin{pspicture}(11,6.2)
\pspolygon(0,3.9)(3.8,6.3)(8,6.3)(11,3.9)(8,1.7)(5.9,0)(3.8,1.7)
\psline(8,1.7)(3.8,1.7)(3.8,6.3)(8,1.7)
\psline(8,1.7)(8,6.3)(3.8,1.7)
\uput[l](0,3.9){A} \uput[ul](3.8,6.3){B} \uput[ur](8,6.3){C} 
\uput[r](11,3.9){D} 
\uput[dr](8,1.7){E} \uput[d](5.9,0){F} \uput[dl](3.8,1.7){G} 
\end{pspicture} \end{center}

\vspace{0,5cm}

Un agent de sécurité effectue régulièrement des rondes de surveillance. 
Ses temps de parcours en minutes entre deux bâtiments sont les 
suivants :

 AB : 16~minutes AG : 12~minutes ; BC : 8~minutes  ; BE : 12~minutes ; BG : 
8~minutes ; CD : 7~minutes ; CE : 4~minutes ; CG : 10~minutes ; DE : 2~minutes 
; EF : 8~minutes ; EG : 15~minutes ; FG : 8~minutes.

 Sur chaque arête, les temps de parcours sont indépendants du sens de parcours.

\begin{enumerate}
\item En justifiant la réponse, montrer qu'il est possible que l'agent de sécurité passe une fois et une seule par tous les chemins de cette usine.
 Donner un exemple de trajet.
\item L'agent de sécurité peut-il revenir à son point de départ après avoir 
parcouru une fois et une seule tous les chemins ? Justifier la réponse.
\item Tous les matins, l'agent de sécurité part du bâtiment A et se rend au 
bâtiment D. 

En utilisant un algorithme que l'on explicitera, déterminer 
le chemin qu'il doit suivre pour que son temps de parcours soit le plus 
court possible, et donner ce temps de parcours.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole juin 2004
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   La Réunion juin 2004
\hypertarget{LaReunion}{}

\label{LaReunion}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES La Réunion juin 2004~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

\parbox[l]{0.55\textwidth}{
\textbf{1.} La fonction $f$ représentée (graphique 1) par la courbe 
$(\mathcal{C})$ est définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) =  (ax + b)\ln x\]

où $a$ et $b$ sont deux constantes que l'on calculera dans la suite de cette 
question.

Sur le graphique 1 sont placés les points A(1 ; 0), B(2 ; 0) et 
E$(0~;~-1)$.

Les points A et B appartiennent à la courbe $(\mathcal{C})$, la droite 
(AE) est tangente à la courbe $(\mathcal{C})$ en A.

\textbf{a.} Donner par lecture graphique $f(2)$ et $f'(1)$.

\textbf{b.} En déduire que $a$ et $b$ sont solutions du système 
$\left\{\begin{array}{l c l}
a+b		&=&1\\
2a + b 	&=&0\\
\end{array}\right.$\\
\textbf{c.} Déterminer $a$ et $b$.} \hfill
\parbox[l]{0.35\textwidth}{\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(0,-2)(4,3)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=0.3pt]
\psaxes[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,-2)(4,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[ul](1,0){A} \uput[ur](2,0){B} \uput[dr](0,-1){E}
\uput[d](0.5,0){\footnotesize $\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){\footnotesize $\vect{\jmath}$}
\rput(3.5,-1.5){\blue $\mathcal{C}$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.3}{3.6}{2 x sub x ln mul}
\psline(-0.2,-1.2)(4,3)
\rput(2,-2.1){graphique 1}
\end{pspicture}}

\vspace{0,5cm}

\parbox[l]{0.55\textwidth}{\textbf{2.} Soit $G$ une primitive de
la fonction $f$ représentée par la courbe $(\mathcal{C})$
du graphique 1.

Parmi les trois courbes 
$(\mathcal{C}_{1}),\:(\mathcal{C}_{2}),\:(\mathcal{C}_{3})$  proposées sur le
graphique 2, quelle est la seule qui peut représenter $G$ dans le repère 
\Oij{} ? Justifier votre réponse.} \hfill
\parbox[l]{0.35\textwidth}{\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(0,-2)(4,3)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=0.3pt]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-2)(4,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){\footnotesize $\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){\footnotesize $\vect{\jmath}$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.12}{4}{2 x mul 0.5 x 2 exp mul sub x ln mul x 2 mul sub 0.25 
x 2 exp mul add 3.75 add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{3}{x 2 exp 3 x mul sub 3 add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{3}{3 x mul x 2 exp sub 2 sub}
\rput(3.4,3.1){\red $(\mathcal{C}_{1})$} 
\rput(3.4,1.6){\blue $(\mathcal{C}_{2})$} 
\rput(3.3,-1.9){$(\mathcal{C}_{3})$} 
\rput(2,-2.1){graphique 2}
\end{pspicture}}

\vspace{0,8cm}

\textbf{3.} On admet à partir de maintenant
que $f$ est définie sur $[0~;~+ \infty[$ par

\[f(x) = 2\ln x - x \ln x.\]

Le but de la question est de calculer une intégrale.

Soit $F$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par 

\[F(x) = \left(2x- \dfrac{1}{2}x^2\right)\ln x - 2x + 
\dfrac{1}{4}x^2 + \dfrac{15}{4}.\]

\textbf{a.} Démontrer que la fonction $F$ est la primitive de $f$ qui prend la valeur 2 pour
$x = 1$.

\textbf{b.} Calculer $\displaystyle\int_{1}^2  f(x)\:\text{d}x$. Donner une interprétation
géométrique de cette intégrale.

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} (pour les candidats n'ayant pas fait la spécialité 
\hfill 5 points}

\medskip

Lors d'une kermesse, dans un stand sont disposées trois roues. Chaque roue est 
divisée en douze secteurs de même aire. Une roue étant lancée, elle s'arrête 
aléatoirement face à la flèche  sur un seul secteur. On admettra que tous les 
secteurs ont la même probabilité  d'être \og tirés \fg. 

Pour participer, un joueur choisit l'une des trois roues, acquitte la mise 
correspondant à la roue choisie, puis lance cette roue. 

Si le secteur \og tiré \fg{} est grisé, le joueur reçoit le gain correspondant 
à la roue choisie.

\begin{center} 
\begin{pspicture}(12,4.8)
\psframe(4,4.8) \psframe(4,4.8)(8,0) \psframe(8,0)(12,4.8)
\rput(0.5,4.3){R1} \rput(4.5,4.3){R2}  \rput(8.5,4.3){R3}
\pscircle(2,2.4){1.2} \pscircle(6,2.4){1.2} \pscircle(10,2.4){1.2}
\pswedge(2,2.4){1.2}{0}{30}
\pswedge(2,2.4){1.2}{30}{60}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2,2.4){1.2}{60}{90}
\pswedge(2,2.4){1.2}{90}{120}
\pswedge(2,2.4){1.2}{120}{150}
\pswedge(2,2.4){1.2}{150}{180}
\pswedge(2,2.4){1.2}{180}{210}
\pswedge(2,2.4){1.2}{210}{240}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2,2.4){1.2}{240}{270}
\pswedge(2,2.4){1.2}{270}{300}
\pswedge(2,2.4){1.2}{300}{330}
\pswedge(2,2.4){1.2}{330}{360}
\pswedge(6,2.4){1.2}{0}{30}
\pswedge(6,2.4){1.2}{30}{60}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](6,2.4){1.2}{60}{90}
\pswedge(6,2.4){1.2}{90}{120}
\pswedge(6,2.4){1.2}{120}{150}
\pswedge(6,2.4){1.2}{150}{180}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](6,2.4){1.2}{180}{210}
\pswedge(6,2.4){1.2}{210}{240}
\pswedge(6,2.4){1.2}{240}{270}
\pswedge(6,2.4){1.2}{270}{300}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](6,2.4){1.2}{300}{330}
\pswedge(6,2.4){1.2}{330}{360}
\pswedge(10,2.4){1.2}{0}{30}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](10,2.4){1.2}{30}{60}
\pswedge(10,2.4){1.2}{60}{90}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](10,2.4){1.2}{90}{120}
\pswedge(10,2.4){1.2}{120}{150}
\pswedge(10,2.4){1.2}{150}{180}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](10,2.4){1.2}{180}{210}
\pswedge(10,2.4){1.2}{210}{240}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](10,2.4){1.2}{240}{270}
\pswedge(10,2.4){1.2}{270}{300}
\pswedge(10,2.4){1.2}{300}{330}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](10,2.4){1.2}{330}{360}
\psline{->}(2.8,4.7)(2.4,3.8) \psline{->}(6.8,4.7)(6.4,3.8) 
\psline{->}(10.8,4.7)(10.4,3.8)
\rput(2,1){mise : 1,50 \euro} \rput(2,0.5){gain : 8 \euro}
\rput(6,1){mise : 1 \euro} \rput(6,0.5){gain : 4 \euro}
\rput(10,1){mise : 1 \euro} \rput(10,0.5){gain : 2 \euro}
\end{pspicture} 
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Le gain algébrique du joueur, noté $g$, est le gain de la loterie diminué de la mise. 
	\begin{enumerate}
		\item Pour un joueur qui a choisi la roue R1, calculer la probabilité de gagner 6,50~\euro, puis celle de perdre 1,50~\euro. En déduire le gain algébrique moyen espéré  par tout joueur qui fait le choix de cette roue.
		\item Un joueur dit \og avec la roue R2, le jeu est équitable \fg. Qu'en pensez-vous ?
	\end{enumerate}
\item Les organisateurs de la kermesse remarquent que $\dfrac{1}{6}$ des joueurs ont choisi la roue R1, $\dfrac{1}{3}$ la roue R2 et les
autres la roue R3.

On interroge au hasard une personne qui a participé au jeu.

Soit les évènements :

$A$ : \og La personne a choisi la roue R1 \fg,

$B$ : \og La personne a choisi la roue R2 \fg,

$C$ : \og La personne a choisi la roue R3 \fg,

$G$ : \og La personne a gagné \fg{} (c'est-à-dire qu'un secteur grisé a été \og tiré \fg).
	\begin{enumerate}
		\item Donner la probabilité des évènements $A$ et $B$. En déduire la probabilité de l'évènement $C$.
		\item Préciser les valeurs de : $p_{A}(G)$,\: $p_{B}(G)$ et $p(G)$.
		\item Calculer la probabilité de l'évènement : \og La personne a choisi la roue R2 et elle a gagné \fg{} (on pourra traduire les données l'aide d'un arbre pondéré).
		\item Démontrer que la probabilité de l'évènement : \og La personne a gagné \fg{} est égale à $\dfrac{23}{72}$. 
		\item Sachant que la personne n'a pas gagné, quelle est la probabilité qu'elle ait joué avec la roue R3 ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} (pour les candidats ayant fait la spécialité  \hfill 5 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On note G le graphe représenté ci-dessous et $M$ sa matrice obtenue en prenant les sommets dans l'ordre alphabétique. La matrice $M^3$ est également donnée.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(9,7)\cnodeput(0,2){B}{b} 
 \cnodeput(1.8,6.5){C}{c} \cnodeput(5.9,6.5){G}{g} 
 \cnodeput(6.7,3.3){F}{f} 
 \cnodeput(5.5,2){E}{e} \cnodeput(9,2){H}{h} \cnodeput(6.7,0){D}{d} 
 \cnodeput(2.5,0){A}{a}
 \ncarc{B}{C} \ncarc{B}{A} \ncarc{A}{C} \ncarc{A}{G} 
 \ncarc{A}{E} \ncarc{E}{C} \ncarc{G}{E} \ncarc{H}{G} 
 \ncarc{H}{F} \ncarc{H}{D} \ncarc{E}{D} \ncarc{A}{D}
 \ncarc{C}{G} \ncarc{F}{E}
\end{pspicture} 
 
\vspace{0,8cm}

$M^3 = \begin{pmatrix}
10 &8 &11& 10& 12& 5& 13& 4\\
8   & 2&  7& 3& 5& 2 & 4 & 3\\
11 & 7& 8& 6& 12&  3& 10&  5\\
10 &  3& 6& 2& 11&  1& 4 & 8\\
12 & 5& 12& 11& 8 & 8& 13& 3\\
5   & 2& 3& 1&	8 &0 &2 &6\\
13 & 4& 10& 4& 13&  2&  6&  9\\
4   &  3& 5& 8& 3& 6& 9&  0\\
\end{pmatrix}$
\end{center}

Dire, en justifiant votre réponse, si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses : 
\begin{enumerate}
\item L'ordre du graphe est égal au plus grand des degrés des sommets. 
\item Le graphe G contient un sous-graphe complet d'ordre 3. 
\item Les sommets de G peuvent être coloriés avec trois couleurs sans que deux
 sommets adjacents soient de même couleur. 
\item Il est possible de parcourir ce graphe en passant une fois et une seule par chaque arête. 
\item Il existe au moins un chemin de longueur 3 qui relie chaque sommet à chacun des sept autres sommets du graphe. 
\item il y a 72 chemins de longueur 3 qui relient le sommet e à chacun des huit sommets du graphe. 
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le graphe précédent représente un réseau de lignes d'autobus. Les sommets du
 graphe désignent les arrêts. Les poids des arêtes sont les durées de parcours, en minutes, entre deux arrêts (correspondances comprises).

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(9,7)\cnodeput(0,2){B}{b} 
\cnodeput(1.8,6.5){C}{c} \cnodeput(5.9,6.5){G}{g} 
\cnodeput(6.7,3.3){F}{f} 
\cnodeput(5.5,2){E}{e} \cnodeput(9,2){H}{h} \cnodeput(6.7,0){D}{d} 
\cnodeput(2.5,0){A}{a}
\ncarc{B}{C} \mput*{5} 
\ncarc{B}{A} \mput*{3}
\ncarc{A}{C} \mput*{11}
\ncarc{A}{G} \mput*{20}
\ncarc{A}{E} \mput*{16}
\ncarc{E}{C} \mput*{6}
\ncarc{G}{E} \mput*{6}
\ncarc{H}{G} \mput*{11}
\ncarc{H}{F} \mput*{4}
\ncarc{H}{D} \mput*{9}
\ncarc{E}{D} \mput*{3}
\ncarc{A}{D} \mput*{17}
\ncarc{A}{G} \mput*{20}
\ncarc{F}{E} \mput*{7}
\ncarc{C}{G} \mput*{7} 
\end{pspicture} 
\end{center}

\vspace{0,5cm} 

Déterminer, à l'aide d'un algorithme, la durée minimum pour aller de l'arrêt a
 à l'arrêt h et donner ce trajet.
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3 Commun à tous les candidats} \hfill 4 points}

Le tableau suivant donne en France le nombre de centenaires au 1\up{er} janvier des années indiquées.
 
\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année						&1950	&1960	&1970		&1980		&1990		&1998		&2003\\ \hline
Rang $x_{i}$ de l'année		&0		&10		&20			&30			&40			&48			&53\\ \hline
Nombre $y_{i}$ de centenaires&200	&977	&\np{1122}	&\np{1545}	&\np{3760}	&\np{6840}	& 
12\:871\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le pourcentage d'augmentation du nombre de centenaires entre le premier janvier 1950 et le premier janvier 1980 ?
		\item Peut-on affirmer que le nombre de centenaires a augmenté en 
moyenne de près de $10\,\%$ par an entre le premier janvier 1990 et le premier 
janvier 2003 ?
	\end{enumerate}
\item Le nuage de points de la série statistique $\left(x_{i},~y_{i}\right)$ est représenté ci-dessous, ainsi que la droite D d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés.

\begin{center} 
\psset{xunit=1.2mm,yunit=0.005mm} 
\begin{pspicture}(-10,-1000)(90,16000)
\multido{\n=0+2000}{8}{\uput[l](0,\n){\footnotesize \np{\n}}}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=15000]{->}(0,0)(80,14000)
\psdots(0,200)(10,977)(20,1122)(30,1545)(40,3760)(48,6840)(53,12871)
\multido{\n=0+20}{5}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.25pt](\n,0)(\n,14000)}
\multido{\n=0+1000}{15}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.25pt](0,\n)(80,\n)}
\psline[linewidth=1.5pt](9,0)(65,11000)
\rput(40,-1500){\footnotesize rang de l'année}
\rput{90}(-10,8000){\footnotesize nombre de centenaires}
\end{pspicture}
\end{center}
    
\vspace{0,5cm}

En utilisant le graphique préciser le nombre de centenaires que l'on peut, avec cet ajustement, prévoir au premier janvier 2010. Ce nombre semble-t-il réaliste par rapport aux valeurs observées ?
\item L'allure du nuage de points invite à chercher un ajustement exponentiel. À  cette fin, on pose $z = \ln \left(y_{i}\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau où les nombres seront arrondis à $10^{-4}$ près.

\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.75cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Rang $x_{i}$ de l'année	& 0 &10	&20	&30	&40	&48	&53\\ \hline
$z_{i} = \ln (y_{i})$ 	& 	& 	& 	& 	& 	& 	& \\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

\smallskip

		\item En utilisant la calculatrice, déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite d'ajustement affine de $z$ en $x$ (les coefficients seront arrondis à $10^{-4}$ près).
		\item En déduire une estimation du nombre de centenaires que l'on peut, avec cet ajustement exponentiel, prévoir au premier janvier 2010.
	\end{enumerate}  
\end{enumerate} 
 
\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 4 Commun à tous les candidats} \hfill 6 points}

\medskip
 
Une entreprise décide, pour la promotion de nouveaux produits, de mener une 
campagne publicitaire. Elle envisage la distribution d'un dépliant aux consommateurs.

Le but de l'exercice est de déterminer le nombre d'envois permettant à l'entreprise de réaliser un bénéfice maximal.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit la fonction $R$ définie sur $[0~ ;~ + \infty[$ par 

\[R(x) = x \text{e}^{-0,1x + 0,1}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $R'(x) = (1 - 0,1x)\text{e}^{-0,1x + 0,1}$ , où $R'$  désigne la fonction dérivée de $R$. 
		\item \'Etudier les variations de $R$, puis dresser son tableau de 
variations. 

On admettra que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} R(x) = 0.$
	\end{enumerate}
\item Une étude préalable a montré que le montant total, en milliers d'euros, des recettes attendues à l'issue de cette campagne peut être estimé par 
$R(x)$, pour $x \in [1~;~15]$, où $x$ représente le nombre
d'envoi en milliers.
	\begin{enumerate}
		\item Représenter $R$ sur l'intervalle [1 ; 15] (unités graphiques : 1 cm  pour un millier d'envois sur l'axe des abscisses et 1 cm pour un millier d'euros sur l'axe des ordonnées).
		\item Le coût total en milliers d'euros de cette campagne est $C(x) =  0,4 + 0,3x$  pour $x \in [1~;~15]$.

Représenter cette fonction dans le même repère que celui utilisé pour 
la fonction $R$.
	\end{enumerate}
\item Le bénéfice envisagé à l'issue de cette campagne publicitaire est donné 
par $B(x) = R(x) - C(x)$ pour tout réel $x$ de [1~;~15].
	\begin{enumerate}
		\item Donner, avec la seule précision que l'on peut obtenir par lecture graphique,
les valeurs de $x$ qui assurent un bénéfice positif.
		\item On nomme $B'$ la fonction dérivée de la fonction $B$. 
		
Établir que $B'(x) = (1 -0,1x)\text{e}^{-0,1x + 0,1} - 0,3$.
		\item Soit $B''$ la fonction dérivée de $B'$. Voici la courbe représentative de $B''$  telle qu'elle apparaît à l'écran d'une calculatrice graphique. 

L'axe des abscisses est gradué de 1 en 1 depuis 0 jusqu'à 15. L'axe des ordonnées est gradué de 0,1 en 0,1 de $- 0,2$ à 0,1.

\begin{center}
\psset{xunit=0.3cm,yunit=11cm} \begin{pspicture}(0,-0.2)(15,0.1)
\psframe(0,-0.22)(16,0.11)
\psline(1,0)(16,0)
\psline(0.05,-0.2)(0.05,0.1)
\multido{\n=0+1}{16}{\psline(\n,0)(\n,0.01)}
\multido{\r=-0.2+0.1}{4}{\psline(0,\r)(0.5,\r)}
\psplot{1}{15}{2.71828 0.1 0.1 x mul sub exp 0.01 x mul 0.2 
sub mul}
\end{pspicture}
\end{center}
    
Donner par lecture graphique le signe de $B''$ puis dresser le tableau 
de variations de $B'$ sur [1~;~15].
		\item En déduire que l'équation $B'(x) = 0$ admet une unique solution 
$\alpha$ dans [1~;~15], dont on donnera, à l'aide de la calculatrice, la valeur arrondie à $10^{-2}$.
		\item Déterminer, sur [1 ; 15], le signe de $B'(x)$.
	\end{enumerate}
\item Quel est le nombre d'envois, arrondi à la dizaine près, nécessaire 
pour obtenir un bénéfice maximal ? Que  vaut alors ce bénéfice ?
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%   La Réunion juin 2004
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Liban juin 2004
\hypertarget{Liban}{}

\label{Liban}
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES  Liban juin 2004~\decofourright}}
    
\vspace{0,5cm}
    
L'utilisation d'une  calculatrice  est autorisée.

Des éléments de formulaire sont joints au sujet.

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill  5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

Sur le document réponse \no 1  ci-joint, la courbe $\mathcal{C}_1$ représente, dans le plan  muni d'un repère orthogonal, une fonction $f$ définie dans l'intervalle $[-1~;~6]$.

On sait que la courbe $\mathcal{C}_1$ :

\setlength\parindent{5mm}
$\bullet~$	coupe l'axe des ordonnées en le point A, d'ordonnée 3, et l'axe des abscisses en le point B, d'abscisse b,

$\bullet~$ admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point d'abscisse 2,

$\bullet~$	admet la droite T$_{\text{A}}$ pour tangente au point A.
\setlength\parindent{0mm}

\bigskip

\textbf{Partie A Étude graphique de la fonction} \boldmath  $f$ 
\unboldmath

\medskip

Répondre sans justification aux questions \textbf{A. 1,  A. 2,  A. 3} et 
\textbf{A. 4} sur le document  réponse n° 1.

\bigskip

\textbf{Partie B Étude de la fonction} \boldmath  $g = \ln f$ \unboldmath

\medskip

On étudie maintenant la fonction $g$ qui à $x$ associe $g(x) = \ln [f(x)]$, 
où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

\emph{Chacune des réponses devra \^etre justifiée avec soin sur la 
copie}.

\textbf{B. 1}	Préciser l'intervalle de définition I de la fonction $g$.

\textbf{B. 2}	Déterminer la limite de la fonction $g$ quand $x$ tend 
vers $b$.

\textbf{B. 3}	Étudier les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle 
I. Dresser son tableau de variations.

\textbf{B. 4}	Calculer $g'(0)$ puis $g'(2)$ ;

\textbf{B. 5}	Résoudre, dans I, l'inéquation $g(x) \geqslant  - \ln 
2$.

On utilisera les résultats de la partie \textbf{A}.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Les résultats approchés seront donnés sous forme décimale, 
arrondis à} $10^{-3}$.

\emph{Pour répondre aux questions on pourra s'aider d'arbres 
pondérés.}

\medskip

Un centre d'entraînement réputé se voit confier de très nombreux chevaux,
 juments et mâles, spécialisés en trotteurs ou en galopeurs selon leurs aptitudes. Ainsi le centre comprend $62\:\%$ de galopeurs, $30\,\%$ de juments dont $35\,\%$ font du galop.

On définit les évènements suivants :

\setlength\parindent{8mm}
$\bullet~$ $J$ : \og Le cheval est une jument \fg,

$\bullet~$ $T$ : \og Le cheval est un trotteur \fg.
\setlength\parindent{0mm}

Un lad, chargé des soins, choisit au hasard un cheval du centre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que le cheval choisi soit un trotteur ?
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité que le cheval choisi soit une jument qui fasse du galop ?
		\item Quelle est la probabilité que le cheval choisi soit un mâle qui fasse du galop ?
	\end{enumerate}
\item Le lad a choisi un mâle. Quelle est la probabilité que ce ne soit pas un trotteur ?

Tôt le matin, il faut transporter quatre chevaux, du centre d'entraînement à l'hippodrome.
 Pour cela, un apprenti choisit les chevaux au hasard et de manière 
 indépendante ; on admet que le nombre de chevaux dans ce centre est suffisamment grand pour assimiler le choix dès quatre chevaux à des tirages successifs avec remise.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité qu'il y ait exactement deux trotteurs parmi les quatre chevaux choisis.
		\item Calculer la probabilité qu'il y ait au moins un galopeur parmi les quatre chevaux choisis.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Lors d'une partie de fléchettes, un joueur envoie une à une des fléchettes vers une cible.
 La tentative est réussie quand la fléchette atteint la cible, elle échoue dans le cas contraire.

Pour la 1\up{re} fléchette, les chances de réussite ou d'échec sont égales.

Pour chaque lancer suivant, la probabilité qu'il réussisse dépend uniquement du résultat du lancer précédent :

$\bullet~$ Elle est de $0,7$ quand le lancer précédent atteint la cible ;

$\bullet~$ Elle est de $0,4$ quand il a échoué.

On note :

$\bullet~$ $C_n$ l'évènement \og La $n$up{e} fléchette atteint la 
cible \fg,

$\bullet~$ $E_n$ l'évènement \og Le $n$\up{e} lancer a échoué \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La partie ne comporte que deux fléchettes. Traduire la situation à l'aide d'un arbre  pondéré. En déduire la probabilité pour que la $2$\up{e} fléchette atteigne la cible.

\textbf{Dans toute la suite de l'exercice,} \boldmath $n$ 
\unboldmath \textbf{désigne un entier supérieur ou égal à 1 et on considère
 que le jeu se déroule avec} \boldmath $n$ \unboldmath \textbf{fléchettes}.

On désigne par $c_n$ la probabilité d'atteindre la cible lors du $n$\up{e} lancer et par $e_n$ la probabilité que ce lancer échoue.

On note $P_n = \left[ c_n \quad e_n\right]$ la matrice ligne qui traduit l'état probabiliste 
lors du $n$\up{e} lancer.

La matrice P$_1 = [0,5 \quad  0,5]$  traduit donc l'état probabiliste initial lors du 
1\up{e} lancer.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter la situation à l'aide d'un graphe probabiliste.
		\item Donner l'état P$_2$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la relation $P_{n+1} =  P_n \times \text{A}$ où A est la matrice de transition $\begin{pmatrix}
0,7 &  0,3\\
0,4 &  0,6\\ \end{pmatrix}$,
exprimer la probabilité $c_{n+1}$ d'atteindre la cible lors du $n +1$\up{e} lancer en fonction des probabilités $c_n$ et $e_n$.
		\item Montrer que pour tout entier $n \geqslant 1$, on a $c_{n+1} = 0,3 c_n +  0,4.$
	\end{enumerate}
\item Soit la suite $(u_n)$ définie, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, 
par $u_n = c_n - \dfrac{4}{7}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique de raison 0,3.
		\item En déduire $u_n$ puis $c_n$ en fonction de $n$.
		\item Calculer la limite de $c_n$ quand $n$ tend vers l'infini. Interpréter cette limite.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 10 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A Étude de propriétés de quelques fonctions}

\medskip

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle [0~;~900]  par :

\[f (x) = \np{7500} \text{e}^{0,002x}\qquad  \text{et} \qquad  g(x) = 15 
\text{e}^{0,002x}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est une primitive de la fonction $g$.
\item Soit la fonction $h$ définie sur [0~;~900] par $h(x) =  \dfrac{f(x)}{x}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la limite de $h$ en $0$.
		\item Calculer la dérivée de $h$ et montrer que la fonction $h$ admet un minimum, noté $b$, pour une valeur de $x$, notée $a$.
	\end{enumerate}

Dans le repère orthogonal ci-joint (document réponse \no 2)  sont tracées les courbes $\mathcal{C}_{g}$ et $\mathcal{C}_{h}$ représentatives des fonctions $g$ et $h$ dans l'intervalle [0~;~900] ainsi que la droite (D) d'équation $y = 45$.
\item Montrer que les courbes $\mathcal{C}_{g}$ et $\mathcal{C}_{h}$ représentatives des fonctions $g$ et $h$ se coupent au point $I (a~;~b)$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans [0~;~900] l'équation $g (x) =  45$. Soit $x_{0}$ la solution de cette équation.
		\item Justifier, que l'équation $h(x) = 45$ possède exactement deux solutions $x_{1}$ et $x_{2}$ dans l'intervalle ]0~;~900] ($x_{1}$ désignera la plus petite des deux solutions, $x_{2}$ la plus grande).

Donner une valeur arrondie à l'unité de $x_{1}$ et $x_{2}$.
	\end{enumerate}
\item Montrer que $\displaystyle\int_{0}^{x_{1}}  [45 - g(x)]\: \text{d}x = f(0)$.

On note $E$ le point d'intersection de la droite (D) avec $\mathcal{C}_{g}$ , $R$ et $F$ les points 
d'intersection de cette droite (D) avec $\mathcal{C}_{h}$ , tandis  que $B$ et $L$ désignent les points d'intersection de l'axe des ordonnées avec respectivement la droite (D) et la courbe $\mathcal{C}_{g}$.
\item Placer sur l'axe des abscisses les nombres $a$,\: $x_{0}$, \:$x_{1}$ et $x_{2}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B  Étude de coûts}

\medskip

Rappels : 

$\bullet~$ Le coût marginal d'une production $q$ assez grande est le coût de l'unité 
suivante, c'est à dire de la $(q+1)$\up{e} unité. La fonction \og coût marginal \fg{} $C_{m}$ est considérée comme la dérivée de la fonction \og coût total \fg{} $C_{T}$.

$\bullet~$ Le coût moyen unitaire d'une production $q$ est le quotient 
$\dfrac{C_{T}(q)}{q}$.

Une entreprise peut produire jusqu'à $900$ unités par jour.

Ses coûts fixes journaliers s'élèvent à \np{7500}~\euro{} ;

$\bullet~$ Toute sa production journalière est vendue au prix unitaire 
de 45~\euro{} ;

$\bullet~$ Pour tout $x$ de l'intervalle ]0~;~900], le coût marginal 
de $x$ unités est modélisé par :

$C_{m}(x) = g(x)$, où $g$ est la fonction définie dans la \textbf{partie 
A}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que le coût total journalier  de production est défini par la fonction $f$ étudiée dans la \textbf{partie A}.
		\item En utilisant le résultat de la question \textbf{A.5.}, en déduire le domaine du plan dont l'aire représente les coûts fixes journaliers. (On hachurera le domaine sur le document réponse).
	\end{enumerate}
\item Que représente la valeur $h(x)$ ?
\item Justifier, à partir du graphique, que le bénéfice journalier de l'entreprise est positif lorsque la production est comprise entre $x_{1}$ et $x_{2}$.
 \item 
 	\begin{enumerate}
		\item Calculer, à $10^{-1}$ près, le bénéfice réalisé sur la fabrication de la $401$\up{e} unité. On fera apparaître ce bénéfice sur le graphique.

\item En déduire ce que représente l'aire du domaine, délimité par la droite d'équation $x = x_{1}$ la droite d'équation $x = x_{0}$ et les courbes (D) et 
$\mathcal{C}_{g}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
    
\textbf{Document-réponse \no 1, à rendre avec la copie (exercice 1)}
    
\vspace{1cm}    

\psset{xunit=1.4cm,yunit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-2,-4)(6,8)
\psgrid[subgriddiv=2,gridlabelcolor=white,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-2,-4)(6,8)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-2,-4)(6,8)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\psline[linewidth=1pt]{<->}(-1,1)(1,5)
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-1,0.5)(-0.5,1.85)(0,3)(1,4.5)(2,5)(3,4.5)(4,3)(5,0.5)(6,-3)
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](1,0){1} \uput[d](6,0){6} \uput[l](0,1){1} 
\uput[u](6,0){$x$}  \uput[l](0,8){$y$}
\uput[ul](0,3){A} \uput[ur](1,5){$\left(\text{T}_{\text{A}}\right)$}
\uput[ur](5.3,0){B}
\uput[d](5.5,-1.7){\blue $\mathcal{C}_{1}$}
\end{pspicture}    

\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{A.1.} Lire graphiquement :

\[f(-1) = \qquad ;\quad  f(0) = \qquad ;\quad  f(2) = \qquad ; \quad f(5) = \qquad ;\quad  f(6) = \qquad \]

\vspace{0,5cm}

\textbf{A.2.} Résoudre graphiquement sur $[-1~;~6]$.

\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{a.~~} $f(x) = 0 \qquad x = \cdots$& \textbf{b.~~} $f(x) \geqslant 
\dfrac{1}{2} \qquad x \in \cdots$
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\textbf{A.3.} Déterminer graphiquement :

\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{a.~~} $f'(0) = \qquad \qquad$  &\textbf{b.~~} $f'(2) =  \qquad 
\qquad$
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\textbf{A.4.} Résoudre graphiquement sur $[-1~;~6]$ :

\[ f'(x) > 0 \qquad x \in \qquad \]

\newpage

\begin{center}

\textbf{Document-réponse \no 2, à rendre avec la copie (exercice 3)}
    
\vspace{1cm}
    
\psset{xunit=0.013cm,yunit=0.2cm}
\begin{pspicture}(0,15)(900,90.745)
\multido{\n=0+100}{10}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange,linewidth=1.pt](\n,0)(\n,90.745)}
\multido{\n=0+5}{19}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange,linewidth=1.pt](0,\n)(900,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1100,Dy=100]{->}(0,0)(900,90)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,90.745)
\uput[dl](0,0){O} \uput[u](900,0){$x$} \uput[l](0,90.745){$y$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{900}{2.71828 0.002 x mul exp 15 mul}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{102.6}{900}{2.71828 0.002 x mul exp 7500 mul x div}
\uput[u](850,84){\blue $\mathcal{C}_{g}$}
\uput[u](850,49){$\mathcal{C}_{h}$}
\uput[u](850,45){(D)}
\uput[d](850,45){$y=45$}
\psline[linewidth=1.5pt](0,45)(900,45)
\uput[d](100,0){100} \uput[d](900,0){900}
\uput[l](0,10){$10$}
\uput[l](0,15){L} \uput[l](0,45){B}
\uput[u](300,45){R} \uput[dr](500,40){I} 
\uput[dr](550,45){E} \uput[u](760,45){F}

\end{pspicture}    
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%   fin Liban juin 2004
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%   Polynésie juin 2004
\hypertarget{Polynesie}{}

\label{Polynesie}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Polynésie juin 2004~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

L'INED (Institut National d'Études Démographiques) a publié les informations
 suivantes sur la population française entre 1992 et 2000.

\medskip

{\small \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année&1992&1993 &1994 &1995&1996&1997&1998&1999&2000\\ \hline
Population(*)&57,24&57,47&57,66&57,84&58,02&58,21&58,40&58,62&58,62\\ 
\hline
 Nombre moyen d'enfants par femme&1,73&1,65&1,65&1,71&1,73&1,73&1,76&1,79&1,89\\\hline 
Espérance de vie à la naissance des hommes&73,2&73,3&73,7&73,9&74,2&74,6&74,6&74,9&75,2\\ \hline
Espérance de vie à la naissance des femmes&81,4& 81,4&81,8&81,9&82&82,3&82,4&82,4&84,7\\ \hline
\multicolumn{10}{r}{\footnotesize (*) en millions d'individus, arrondis à la dizaine de milliers.}
\end{tabularx} }

\medskip

\emph{Chaque question comporte trois propositions repérées par
les lettres a, b et c. Pour chaque question, une seule proposition est exacte. 
Indiquez laquelle en justifiant votre réponse.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le taux d'accroissement (arrondi au millième) de la population 
française entre 1992 et 2000 est-il de 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}\quad 1,024 ?& \textbf{b.}\quad $2,4\:\%$ ?&  \textbf{c.}\quad $0,24\,\%$ ?\\
\end{tabularx}
\medskip

\item En supposant un taux d'accroissement de $1\,\%$ tous les cinq ans, à 
partir de 2000, quel calcul permettrait d'obtenir exactement la 
population en 2020 ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
 \textbf{a.}\quad $58,62 \times 1,01^4$&   \textbf{b.}\quad $58,62 + 0,05$ 
& \textbf{c.}\quad $58,62 + 4 \times \np{0,5862}$.\\
\end{tabularx}
\medskip

\item Le taux d'accroissement de l'espérance de vie des femmes, entre 1996
 et 2000, est-il 
	\begin{enumerate}
		\item plus du triple de celui des hommes ? 
		\item le triple de celui des hommes ? 
		\item moins du triple de celui des hommes ?
	\end{enumerate}
\item Supposons que l'on ait effectué un ajustement linéaire du nuage de
 points représentant la population française en fonction des années, 
selon la méthode des moindres carrés. D'après cet ajustement, l'estimation
 de la population française en 2004 à 1 million près est-elle

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}\quad 59 ? & \textbf{b.}\quad 61 ? & \textbf{c.}\quad 62 ?\\
\end{tabularx}
\medskip 

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement
de spécialité}

\medskip

Un jeu télévisé propose quatre questions à un candidat. Pour chacune 
des quatre questions l'animateur propose trois réponses possibles, 
une seule étant la réponse exacte. 

Les questions posées lors du jeu  sont indépendantes les unes des autres. 

Un candidat retenu pour participer au jeu a une chance sur deux de connaître
 la réponse exacte à la question posée et, s'il ne connaît pas la 
réponse exacte, il répond au hasard.

\emph{Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'animateur pose la première question au candidat.

On considère les évènements :

$H$ : \og le candidat choisit au hasard la réponse à la première question \fg{}.

$E$ : \og le candidat répond correctement à la première question \fg{}.

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $P(H)$.
		\item Sachant qu'un candidat répond au hasard à la première question, 
quelle est la probabilité qu'il réponde correctement ? En déduire 
$P(E \cap H)$.
		\item Calculer $P(E)$. On pourra s'aider d'un arbre de probabilité.
		\item Un candidat a répondu correctement à la première question. Quelle  est la probabilité qu'il ait répondu au hasard à cette question ?
	\end{enumerate}
\item On admet que la probabilité qu'un candidat réponde correctement à 
une question est $\dfrac{2}{3}$.

On note $X$ le nombre de réponses exactes à l'issue des quatre questions.
	\begin{enumerate}
		\item Préciser la nature de la loi de probabilité de $X$ et donner ses 
paramètres. 
		\item Quelle est la probabilité que le candidat réponde correctement aux quatre questions ? 
		\item Quelle est la probabilité que le candidat donne au moins une bonne réponse ?
	\end{enumerate}  
 \end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Étude de l'évolution météorologique d'un jour à l'autre dans une
 localité.\\
Tous les résultats seront donnés sous forme de fractions rationnelles.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

$\bullet~$ S'il fait sec aujourd'hui, alors il fera encore sec demain avec
 la probabilité $\dfrac{5}{6}$, donc il fera humide
demain avec la probabilité $\dfrac{1}{6}$.

$\bullet~$ S'il fait humide aujourd'hui, alors il fera encore humide demain
 avec la probabilité $\dfrac{2}{3}$.

Nous sommes dimanche et il fait sec. On s'intéresse à l'évolution 
météorologique des jours suivants.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre de probabilité représentant la situation de 
dimanche à mercredi.

\item En déduire la probabilité des évènements suivants :

$J$ : \og il fera sec lundi, mardi et mercredi \fg{} ;
	
$K$ : \og il fera sec mardi \fg{} ;
	
$L$ : \og il fera humide mercredi \fg.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel, on note :

$s_n$ la probabilité pour que le jour $n$, il fasse sec ;

$h_n$ la probabilité pour que le jour $n$, il fasse humide ;

$P_n$ la matrice $(s_n,~h_n)$ traduisant l'état probabiliste du temps
 le jour $n$. Déterminer une relation entre $s_n$ et $h_n$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Si le premier dimanche est le jour correspondant à $n = 0$, donner  la matrice associée à l'état initial du temps. 
		\item Décrire l'évolution de cet état à l'aide d'un graphe probabiliste.
	\end{enumerate}
\item La matrice M de ce graphe est	$\begin{pmatrix}
\dfrac{5}{6}&\dfrac{1}{6}\\
\dfrac{1}{3}&\dfrac{2}{3}\\
\end{pmatrix}$

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer M$^2$ (utiliser la calculatrice).
		\item Expliquer comment retrouver à l'aide de la matrice M, la situation du mardi étudiée dans la partie A.
	\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'état stable associé à l'évolution météorologique.
		\item En déduire, qu'à long terme, la probabilité qu'il pleuve un certain jour est $\dfrac{1}{3}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 9 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Dans un cadre économique, on appelle fonction de satisfaction toute 
fonction $f$ définie sur une partie de $\R$ et à valeurs dans 
l'intervalle [0~;~100].

On dit qu'il y a \og saturation \fg{} lorsque la satisfaction est maximale, 
c'est-à-dire lorsque la fonction $f$prend la valeur $100$.

On définit de plus la fonction \og envie \fg{} $v$ dérivée de la fonction 
$f$ ; on a donc $v  = f'$.

On dit qu'il y a  \og envie \fg{} lorsque $v$ est positive sinon on dit qu'il y a \og rejet \fg.

\textbf{Chaque partie traite d'un modèle \boldmath  $f$ 
\unboldmath différent. Les trois parties sont indépendantes.}

\bigskip

\textbf{Partie A }

\medskip

On donne ci-dessous l'allure de la courbe représentative d'une fonction
 de satisfaction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~8].
 
\begin{center}
\psset{yunit=0.5mm}
\begin{pspicture}(10,120)
\multido{\n=0+20}{7}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](0,\n)(10,\n)}
\multido{\n=0+1}{11}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](\n,0)(\n,120)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=20]{->}(0,0)(10,120) 
\parabola[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,0)(4,100)
\psline[linewidth=1.25pt]{<->}(3,100)(5,100)
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{0,5cm}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour quelle quantité $x$ de produit y a-t-il saturation ?
		\item Sur quel(s) intervalle(s) y a-t-il envie ? Y a-t-il rejet ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Par lecture graphique, donner $v(4)$.
		\item Exprimer $v(x)$ en fonction de $x$ sachant que $v$ est une fonction affine définie sur l'intervalle [0 ; 8] vérifiant $v(0) = 50$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

La fonction \og envie \fg{} $v$ pour un salaire dans une entreprise est modélisée, pour tout $x$ de $[0~;~+ \infty[$ par :

\[v(x) = \dfrac{100}{(x+1)^2}\]

où $x$ désigne le salaire annuel d'un employé en milliers d'euros.

\begin{enumerate}
\item On rappelle que $f$ est une primitive de la fonction $v$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
 
Sachant que $f(0) = 0$, montrer que $f(x) = \dfrac{100x}{x + 1}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $ + \infty$. Interpréter graphiquement le résultat.
		\item Étudier le sens de variations de $f$ sur $[0 ~;~+ \infty[$. Dresser le tableau de variations de $f$.
		\item Représenter graphiquement la fonction $f$ dans un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques 1~cm pour \np{1000}~euros en abscisse et 1~cm pour $10$ en ordonnée.
		\item Interpréter les résultats obtenus (limite et variations de $f$) 
en termes de satisfaction.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Une agence de voyages propose différents types de formule pour 
les vacances et décide d'étudier la satisfaction de ses clients 
concernant la durée en jours d'une croisière.

La fonction de satisfaction $f$ est définie sur l'intervalle [0~;~50] 
par 

\[f(x) = 10 x \text{e}^{- 0,1x +1}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$ sur [0~;~
50].

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le signe de $f'(x)$.
		\item En déduire le sens de variations de $f$ sur [ 0~;~50].
		\item Dresser le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate}
\item Quelle doit être la durée en jours de la croisière pour qu'il y 
ait saturation ?
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Polynésie juin 2004
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   Antilles-Guyane septembre 2004
\hypertarget{Antillessept}{}

\label{Antillessept}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small septembre 2004}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Antilles--Guyane septembre 2004~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Soit $u$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle [0 ; 4].

La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous est la représentation graphique de cette fonction dans le repère orthonormal \Oij. Elle passe par les points de coordonnées respectives
$(0~;~-3),~(1~;~0),~(2~;~1),~(3~;~0)$ et $(4~;~-3)$.

Elle admet, au point d'abscisse 2, une tangente parallèle à l'axe des abscisses.

\begin{enumerate}
\item Sans justification
	\begin{enumerate}
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $u$, en précisant le signe de sa dérivée.
		\item Dresser le tableau donnant le signe de la fonction $u$ sur [0~;~4].
	\end{enumerate}

\begin{center} 
\begin{pspicture}(-1,-4)(5,2)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](0,0)(-1,-4)(5,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=8,Dy=8]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=8,Dy=8](0,0)(-1,-4)(5,2)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} 
\uput[dl](0,0){O} \uput[dl](3.9,-2.5){\blue $\mathcal{C}$}
\psline[linewidth=1.25pt]{<->}(1,1)(3,1)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=3000]{0}{4}{4 x mul 3 sub x dup mul sub}
\end{pspicture}
\end{center}

\item On considère la fonction $f = \ln \circ u$ (fonction composée de $u$ suivie de $\ln$).

On admet que $f$ est dérivable en tout point où elle est définie.

En justifiant soigneusement votre choix, dire si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse
	\begin{enumerate}
		\item $f$ est définie sur $]0~;~4[$.
		\item $f$ est positive ou nulle sur son ensemble de définition.
		\item $f'(2) = 0$.	
		\item La droite d'équation $x = 1$ est une asymptote à la courbe représentative de $f$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 Obligatoire} \hfill 5 points}

\medskip

Pour fabriquer un appareil on utilise successivement et dans cet ordre deux machines M$_{1}$ et M$_{2}$. La machine M$_{1}$ peut provoquer deux défauts $d_{1}$ et $d_{2}$. Un relevé statistique permet d'estimer que :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 4\,\% des appareils présentent le défaut $d_{1}$ et lui seul ;
\item[$\bullet~$] 2\,\% des appareils présentent le défaut $d_{2}$, et lui seul ;
\item[$\bullet~$] 1\,\% des appareils présentent à la fois les défauts $d_{1}$ et
$d_{2}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On prélève au hasard un appareil à la sortie de M$_{1}$.
On note 

$A$ l'évènement \og l'appareil présente le défaut $d_{1}$ \fg{} ;

$B$ l'évènement \og l'appareil présente le défaut $d_{2}$ \fg{} ;

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Calculer les probabilités des évènements $A$ et $B$ notées respectivement  $p(A)$ et $p(B)$.
		
Les évènements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?
		\item Soit $D$ l'évènement \og l'appareil présente au moins un défaut \fg.
		
Montrer que la probabilité de l'évènement $D$ est égale à $0,07$.
\item Quelle est la probabilité pour que l'appareil ne présente aucun défaut.

À la sortie de la machine M$_{1}$ les appareils en cours de fabrication passent par la machine M$_{2}$ qui peut provoquer un défaut $d_{3}$ dans les conditions suivantes :
	\end{enumerate}
$\bullet~$ 60\,\% des appareils ayant au moins un défaut en sortant de M$_{1}$ présentent le défaut $d_{3}$ ;

$\bullet~$3\,\% des appareils sans défaut à la sortie de M$_{1}$ présentent le défaut $d_{3}$.

\item On prélève au hasard un appareil après les passages successifs dans les
machines M$_{1}$ et M$_{2}$.

On note C l'évènement \og l'appareil présente le défaut $d_{3}$ \fg.
	\begin{enumerate}
		\item Traduire les informations précédentes à l'aide d'un arbre pondéré.
		\item Quelle est la probabilité qu'un appareil fabriqué soit sans défaut ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 Spécialité} \hfill 5 points}

\medskip

Lucien, fumeur impénitent, décide d'essayer de ne plus fumer.

\smallskip


S'il ne fume pas un jour donné, la probabilité qu'il ne fume pas le lendemain est 0,3.

Par contre, s'il fume un jour donné, la probabilité qu'il ne fume pas le lendemain est $0,9$.

\smallskip

On note $F$ l'évènement \og Lucien fume \fg et $\overline{F}$ l'évènement contraire.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire ces informations à l'aide d'un graphe probabiliste dont les sommets seront notés F et  $\overline{F}$.

On admet que la matrice M associée au graphe est 
$\begin{pmatrix}
0,1& 0,9\\
0,7& 0,3\\
\end{pmatrix}$
\item Pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1, l'état probabiliste le $n$-ième jour est défini par la matrice ligne $P_{n} = \left(a_{n}\quad b_{n}\right)$ où $a_{n}$ désigne la probabilité que Lucien fume le $n$-ième jour et $b_{n}$ la probabilité que Lucien ne fume pas le $n$-ième jour.
	\begin{enumerate}
		\item On suppose que le premier jour la probabilité que Lucien fume est 0,2.

Déterminer $P_{1}$.
		\item Calculer $M^2$ et en déduire $P_{3}$.
		\item Déterminer $P_{n+1}$ en fonction de $P_{n}$ et en déduire la probabilité que Lucien fume le $(n  + 1)$-ième jour en fonction de $a_{n}$ et $b_{n}$. 
		\item On considère la matrice ligne $P = (a\quad  b)$ où $a$ et $b$ sont deux réels tels que $a + b = 1$.
		
Déterminer $a$ et $b$ pour que $P = PM$.

En déduire la limite de $a_{n}$ quand $n$ tend vers $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 10 points}

\medskip

Une entreprise a lancé sur le marché un produit informatique en 1990.

Une étude statistique a permis d'établir les taux des ménages équipés entre
1993 et 2002.

Les résultats de cette étude sont consignés dans le tableau ci-dessous :
 
\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.8cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année							&1993	&1994 	&1995	&1996	&1997	&1998	&1999	&2000	&2001	&2002\\ \hline
Rang de	l'année $t_{i}$			&0		&1		&2		&3		&4		&5		&6		&7		&8		&9\\ \hline
Taux de ménages	équipés $y_{i}$	&0,20	&0,22	&0,32	&0,34	&0,35	&0,43	&0,48	&0,49	&0,53	&0,60\\ \hline
\end{tabularx}\]

Cette entreprise doit prévoir une reconversion dès que 90\,\% des ménages seront équipés, c'est-à-dire dès que le taux des ménages équipés sera égal à 0,9.

Pour faire cette étude prévisionnelle, elle envisage deux types d'ajustement.

Dans tout le problème, le plan est muni d'un repère orthogonal \Oij.

(Unités graphiques : 1 cm sur l'axe des abscisses, 20 cm sur l'axe des ordonnées).

\textsl{Les parties} B \textsl{et} C \textsl{peuvent \^etre traitées indépendamment de la partie} A.

\bigskip

\textbf{Partie A - Ajustement affine}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter en couleur le nuage de points associé à la série statistique
$\left(t_{i},~ y_{i}\right)$ dans le repère \Oij.
\item Donner une équation de la droite D d'ajustement affine de $y$ en $t$ par la méthode des moindres carrés. On ne demande pas le détail des calculs et les valeurs seront arrondies à $10^{-3}$.
\item Représenter D dans le repère \Oij.
\item Pourquoi cet ajustement ne permet-il pas d'effectuer des prévisions
après l'année 2011 ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Ajustement logistique}

\medskip

On suppose que la situation est modélisée par la fonction $f$, définie et
dérivable sur $[0~;~+ \infty[$, telle que

\[f(t) = \dfrac{1}{1 + 4\text{e}^{-0,2t}}.\]

Le nombre $f(t)$ donne en fonction du rang $t$ de l'année le taux des menages équipés.

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le repère \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Calculer la limite de $f$ en $+\infty$ et en déduire que $\mathcal{C}$ admet une asymptote notée $\Delta$ dont on donnera une équation.
	\item Vérifier que, pour tout réel $t$ de $]0~;~+\infty[,~f'(t) = \dfrac{0,8\text{e}^{- 0,2t}}{\left(1 + 4\text{e}^{-0,2t}\right)^2}$.
	
En déduire le sens de variation de $f$ puis dresser son tableau de variations.
	\item Tracer $\mathcal{C}$ et $\Delta$ dans le repère \Oij.
	\item Résoudre algébriquement l'inéquation $f(t) \geqslant  0,9.$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C - Application}

\medskip

\textsl{Dans cette partie, les pourcentages seront arrondis à l'unité}.

On suppose que $f(t)$ est une approximation satisfaisante, au moins jusqu'en 2013, du taux des ménages équipés de ce produit informatique.

À l'aide de cette approximation et des résultats de la \textbf{partie B}, déterminer :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le pourcentage des ménages équipés de ce produit informatique en 2008.
\item L'année à partir de laquelle 90\,\% des ménages seront équipés.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%  fin Antilles septembre 2004
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%   Métropole--La Réunion septembre 2004
\hypertarget{Metropolesept}{}

\label{Metropolesept}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{septembre 2004}}  
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty} 
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Métropole--La Réunion septembre 2004~\decofourright}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 7 points} 

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie pour tout $x$ élément de $\R$ par 

\[f(x) = 30\text{e}^{-5x}.\]
 
Soit $g$ la fonction définie pour tout $x$ élément de $\R$ par 

\[g(x) = \text{e}^{5x} + 1.\]

 On admet que $f$ et $g$ sont dérivables sur $\R$.
 
\medskip
  
\begin{enumerate} 
\item Démontrer que la fonction $f$ est strictement décroissante sur $\R$. 
\item Démontrer que la fonction $g$ est strictement croissante sur $\R$. 
\item Tracer sur la copie dans un même repère orthogonal les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$ sur l'intervalle [0 ; 0,5] (on prendra 20 cm pour 1 unité sur l'axe des abscisses et 0,5 cm pour 1 unité sur l'axe des ordonnées). 
\item Le but de cette question est de résoudre dans $\R$ l'équation : 
\[(\text{E}) \quad : \quad f(x) = g(x).\] 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que (E) s'écrit aussi : $\left(\text{e}^{5x}\right)^2 + \text{e}^{5x} - 30 = 0$. 
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation : $X^2 + X - 30 = 0$.  \item En déduire que $\dfrac{\ln 5}{ 5}$ est l'unique solution de l'équation (E). 
	\end{enumerate} 
\item Dans cette question, on considère la partie du plan située au dessus de l'axe des abscisses.
 
Hachurer sur le graphique de la \textbf{question 3.} le domaine situé à la fois sous la courbe de $f$ et sous la courbe de $g$, et limité par les droites d'équation $x= 0$ et $x = 0,5$.
 
Calculer, en cm$^2$, l'aire $\cal{A}$ de ce domaine. Donner la valeur exacte de l'aire $\cal{A}$ puis une valeur approchée à $10^{-1}$ près. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} 

\medskip

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur [0,5~;~4]. On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. On note ($\cal{C}$) la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal (0, I, J). La courbe ($\cal{C}$) est représentée ci-dessous. 

La courbe ($\cal{C}$) passe par le point A et admet la droite (AD) pour tangente en A. 

La courbe ($\cal{C}$) passe par le point B, d'abscisse e, et en B elle admet une tangente horizontale. On rappelle que e est le nombre réel tel que $\ln$ e = 1. 

\begin{center}
\psset{xunit=2.8cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-0.22,-2)(4,9) 
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-1.9)(4,9) 
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O} \uput[dr](1,0){I} \uput[ul](0,1){J} \uput[d](2.718,0){e} 
\uput[u](2.718,7.389){B} \uput[ul](2,7){D} \uput[ul](1,3){A} 
\psline(-0.5,-3)(2.5,9) 
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](1,0)(1,3)(0,3) 
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](2,0)(2,7)(0,7) 
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](2.71828,0)(2.721828,7.389) 
\psline[linewidth=1.25pt]{<->}(2.218,7.389)(3.221,7.389) 
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.5}{4}{3 2 x ln mul sub x 2 exp mul} 
\end{pspicture*}


\end{center}

 
\begin{enumerate} 
\item En utilisant les données graphiques, donner sans justification 
	\begin{enumerate} 
		\item le nombre de solutions sur l'intervalle [0,5~;~4] de l'équation $f(x) = 6$, et une valeur approchée à 0,25 près des solutions éventuelles. 
		\item Le signe de la dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur l'intervalle [0,5~;~4]. 
		\item Les valeurs de $f '(1)$ et $f '(\text{e})$. 
	\end{enumerate}  
\item Justifier que : $3 \leqslant \displaystyle\int_{1}^2 f(x)\:\text{d}x \leqslant 7$. 
\item Soit $h,~ g$ et $j$ les fonctions définies pour tout réel $x$ de l'intervalle [0,5~;~4] respectivement par : 

\[h(x) = (4x)(1 - \ln x) \qquad g(x) = \dfrac{\text{e}}{x} - 1 \qquad j(x) = \dfrac{2}{\text{e} - 1}(x - \text{e})(x - 3).\]
 
Parmi ces trois fonctions, deux ne peuvent pas être la dérivée de la fonction $f$. Lesquelles ? Pourquoi? 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Pour les candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité} 

\medskip

On considère une grande population d'acheteurs de yaourts.

On suppose que l'effectif de cette population est stable.

\smallskip

Une entreprise commercialise des yaourts sous la marque Y.

30\,\% des acheteurs de yaourts achètent la marque Y.

L'entreprise décide de faire une campagne publicitaire pour améliorer ses ventes.

Au bout d'une semaine, une enquête indique que :

\setlength\parindent{9mm}
$\bullet~~$20\,\% des acheteurs de yaourts qui achetaient la semaine précédente des yaourts des autres marques achètent maintenant des yaourts Y.

$\bullet~~$10\,\% des acheteurs de yaourts qui achetaient la semaine précédente des yaourts Y achètent maintenant des yaourts des autres marques.
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

L'entreprise continue sa campagne publicitaire. On fait l'hypothèse que l'évolution des résultats
obtenus à l'issue de la première semaine de campagne publicitaire est la même les semaines
suivantes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dessiner le graphe probabiliste correspondant à cette situation.
\item Soit $X_0 = \begin{pmatrix}0,3 &0,7\end{pmatrix}$ la matrice ligne décrivant l'état initial de la population.
	\begin{enumerate}
		\item Donner la matrice de transition (notée $A$) associée au graphe précédent.
		\item Déterminer la probabilité qu'un acheteur de yaourts choisi au hasard après deux semaines de campagne publicitaire, achète des yaourts de la marque Y.
	\end{enumerate}
\item On admet que pour tout entier naturel $n$ on a : $A^n = \begin{pmatrix}
\dfrac{2}{3} + \left(\dfrac{1}{3} \right)0,7^n&\dfrac{1}{3} - \left(\dfrac{1}{3} \right)0,7^n\\
\dfrac{2}{3} - \left(\dfrac{2}{3} \right)0,7^n&\dfrac{1}{3} + \left(\dfrac{2}{3} \right)0,7^n
	\end{pmatrix}$.
	
Avec l'hypothèse ci-dessus, l'entreprise peut-elle espérer atteindre une part de marché de
70\,\% ? Justifier.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 8 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Un jeu télévisé se déroule sur quatre semaines maximum, et est organisé de la manière suivante : 

Un candidat se présente la première semaine et joue une partie. 

S'il la gagne, il a la possibilité de poursuivre en deuxième semaine ou de s'arrêter. 

S'il la perd, il est éliminé. 

Le même processus s'applique en deuxième et troisième semaine. 

À l'issue de la quatrième partie le jeu s'arrête, que le candidat ait gagné ou perdu. 

Un candidat ayant joué et gagné les quatre parties est déclaré \og grand gagnant \fg. 
On admet que pour un candidat donné, la probabilité de gagner une partie est la même chaque semaine et vaut $\dfrac{3}{5}$.  On admet également, qu'un candidat ayant gagné une partie décide d'arrêter le jeu avec une  probabilité de $\dfrac{1}{10}$.  

\medskip

\begin{enumerate} 
\item On a dessiné le début d'un arbre modélisant le fonctionnement du jeu, pour un candidat donné. 
Compléter sur la feuille ANNEXE (à rendre avec la copie) l'arbre identique à celui-ci, et  indiquer sur chaque branche les probabilités correspondantes. 

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{G$_1$} \naput{\footnotesize 1\up{re} partie}}
	{\pstree{\Tr{C$_1$}\naput{\footnotesize Décision}}
		{\pstree{\TR{G$_2$}\naput{\footnotesize 2\up{e} partie}}
			{\pstree{\TR{C$_2$}\naput{\footnotesize Décision }}
				{\TR{}
				\TR{}
				}
			\TR{A$_2$}
			}
		\TR{P$_2$}
		}
	\TR{A$_1$}
	}
\Tr{P$_1$}
} 
\end{center}


G$_{1}$ désigne l'évènement : \og le candidat gagne la première partie \fg. 

P$_{1}$ désigne l'évènement : \og le candidat perd la première partie \fg.

C$_{1}$ désigne l'évènement : \og le candidat décide de continuer le jeu après la première partie \fg.

A$_{1}$ désigne l'évènement : \og le candidat décide d'arrêter le jeu après la première partie \fg.

On définit de même les évènements G$_{2}$,~ G$_{3}$,~ G$_{4}$,~P$_{2}$,~P$_{3}$,~P$_{4},$~A$_{2}$ et A$_{3}$.

\vspace{0,3cm}

 
\item Calculer la probabilité que le candidat gagne la première partie et arrête le jeu. 
\item Montrer que la probabilité que le candidat arrête le jeu après avoir gagné la deuxième partie est \np{0,0324}. 
\item Calculer la probabilité que le candidat soit \og grand gagnant \fg{} (donner une valeur approchée à $10^{-1}$ près). 
\item On attribue un gain de $100$ \euro{} à un candidat qui gagne la première partie et décide d'arrêter le jeu. 
On attribue un gain de \np{1000}~\euro{} à un candidat qui a gagné les deux premières parties et décide d'arrêter le jeu. 
On attribue un gain de \np{10000}~\euro{} à un candidat qui a gagné les trois premières parties et décide d'arrêter le jeu. 
On attribue un gain de \np{100000}~\euro{} à un candidat \og grand gagnant \fg. 

Dans tous les autres cas, le candidat a perdu et ne gagne rien. 
On donne le tableau suivant dont une case n'a pas été remplie : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.7cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Gain 								&0~\euro &100~\euro &\np{1000}~\euro &\np{10000}~\euro& \np{100000}~\euro\\ \hline 
Probabilité  (exacte ou arrondie)	& 		&0,06 		&\np{0,0324} 	&\np{0,0175} 	&\np{0,0945}\\ \hline    
\end{tabularx} 
\end{center}
 
	\begin{enumerate}
		\item Que vaut la probabilité manquante ? Justifier la réponse. 
		\item Donner une valeur approchée de l'espérance mathématique du gain à 1~\euro{} près. 
		\item Interpréter ce résultat. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole--La Réunion septembre 2004
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Amérique du Sud novembre 2004
\hypertarget{AmeriqueduSud}{}

\label{AmeriqueduSud}
\lfoot{\small{novembre 2004}}
\rfoot{\small{Amérique du Sud}}   
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty} 

\begin{center} \textbf{\Large \decofourleft~Baccalauréat ES Amérique du Sud novembre 2004~\decofourright} 
\end{center} 

\bigskip 

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} 

\medskip

Le tableau suivant donne les indices des prix à la consommation pour les années 1990 à 1997. 

{\small \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l| *{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année 					&1990 	&1991	&1992 	&1993 	&1994 	&1995 	&1996 	&1997\\ \hline 
Rang de l'année $x_i$	&0 		&1 		&2 		&3 		&4 		&5 		&6 		&7\\ \hline 
Indice $y_i$			&100 	& 103,2 &105,7 	&107,9 	&109,7 	&111,6 	&113,8 	&115,2\\ \hline
\multicolumn{9}{r}{\footnotesize Source Insee} 
\end{tabularx} \end{center}} 
 
\smallskip

\begin{enumerate}
\item Représenter le nuage de points associé à la série statistique 
$\left(x_i~;~y_i\right)$ dans un repère orthogonal (2~cm représente une année en abscisse et 1~cm représente un point d'indice en ordonnée ; faire débuter la graduation à 100 sur l'axe des ordonnées). 

Calculer les coordonnées du point moyen et placer ce point. 
\item À l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite d'ajustement affine $D$ par la méthode de moindres carrés (les coefficients seront arrondis à $10^{-1}$ près). Représenter la droite $D$ dans le repère précédent. 
\item On envisage l'ajustement du nuage par une branche de parabole 
d'équation $y = ax^2 + bx + c$, et l 'on cherche les trois nombres $a$,\: $b$ 
et $c$. Pour cela on pose $z_i = \sqrt{1198 -10y_i}$. 

Une équation de la droite d'ajustement affine de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés est alors : $z = - x +14$. 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $y = -0,1x^2 + 2,8x + 100,2$. 
		\item Dans le repère précédent, et sans étudier la fonction correspondante, tracer la  branche de parabole d'équation $y = -0,1x^2 + 2,8x + 100,2$ pour $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~7]. 
		\item En choisissant ce dernier ajustement, quelle prévision de l'indice des prix à la consommation pouvait-on faire fin 1997 pour 1998 ? 
		\item On sait aujourd'hui que l'indice des prix à la consommation en 1998 était de 116. 
Calculer le pourcentage de l'erreur commise en utilisant la prévision trouvée 
en \textbf{3. c.}. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} 

\textbf{(pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de 
spécialité)} 

\medskip

Un magasin vend des salons de jardin. 

Une enquête statistique a montré que : 

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item $10\,\%$ des personnes qui entrent dans le magasin achètent une 
table ; 
\item parmi les personnes qui achètent une table, $80\:\%$ achètent un lot de chaises ; 
\item parmi les personnes qui n'achètent pas de table, $10\:\%$ achètent un lot de chaises. 
\end{itemize} 
\setlength\parindent{0mm}

Une personne entre dans le magasin. 

On note $T$ l'évènement : \og La personne achète une table \fg 

On note $C$ l'évènement : \og La personne achète un lot de chaises \fg 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire à l'aide d'un arbre pondéré ou d'un tableau la situation 
décrite ci-dessus. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la probabilité que la personne achète un lot de 
chaises est égale à $0,17$. 
		\item Quelle est la probabilité que la personne n'achète pas de table sachant qu'elle a acheté un lot de chaises ? 
	\end{enumerate} 
\item À la fin de la journée, le directeur du magasin constate qu'il a réalisé en moyenne un bénéfice de $11,80$~\euro{} par personne entrant dans le magasin. 

On sait que le directeur a fait un bénéfice de 50~\euro{} par table vendue. 

On appelle $x$ le bénéfice exprimé en euros qu'il a réalisé par lot de chaises vendues. On se propose de calculer $x$. 
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire et compléter le tableau suivant définissant la loi de 
probabilité \og montant du bénéfice réalisé par personne entrant dans le magasin~\fg. 

\begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l| *{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline 
Montant du bénéfice &$0$ 	&$50$ 	& $x$ 	& $50 + x$\\ \hline 
Probabilité 		& 		& 		& 		& \\ \hline 
\end{tabularx} \end{center}
 
		\item Montrer que l'espérance mathématique de cette loi est égale à $5+ 0,17x$. 
		\item Conclure. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} 

\textbf{(pour les candidats ayant suivi l'enseignement de 
spécialité)} 

\medskip

Au cours de la première semaine de l'année scolaire, un professeur propose aux élèves de sa classe le choix entre deux sorties pédagogiques une sortie A et une sortie B. 

20\,\% des élèves de la classe sont favorables à la sortie A et tous les autres élèves sont favorables à la sortie B. 

Les arguments des uns et des autres font évoluer cette répartition en cours 
d'année. 

Ainsi $30\,\%$ des élèves favorables à la sortie A et 20\,\% des élèves 
favorables à la sortie B changent d'avis la semaine suivante. 

On note : 

$a_n$ la probabilité qu'un élève soit favorable à la sortie A la semaine 
$n$ ; 

$b_n$ la probabilité qu'un élève soit favorable à la sortie B la semaine $n$ ; 

$P_n$ la matrice $\left(a_n~;~b_n\right)$ traduisant l'état probabiliste la 
semaine $n$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'état initial $P_1$. 
\item Représenter la situation par un graphe probabiliste. 

\item En déduire que $P_{n+1} = P_n \times \text{M}$ où M est la matrice 
$\begin{pmatrix} 0,7 & 0,3\\0,2 & 0,8\\ \end{pmatrix}$ 
\item Déterminer l'état probabiliste $P_3$ et en déduire la probabilité qu'un élève soit favorable à la sortie A la troisième semaine. 
\item Déterminer le réel $x$ tel que $(x~;~1 - x) \times \text{M} =(x~;~1 - 
x)$. 

On admet que la suite $\left(a_n\right)$ est croissante. La sortie A finira-t-elle par être préférée à la sortie B ? 
\end{enumerate} 

\newpage 

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points} 

\medskip

La figure ci-dessous représente la fonction $f$ définie sur 
l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = \dfrac{\ln x}{x^2}\] 

\begin{center}\psset{unit=2cm} \begin{pspicture}(-1,-2)(4,1) 
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.2,-2)(4,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) 
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{% 
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=3000]{1}{2.71828}{x ln x 2 exp div} 
\psline(2.71828,0)(1,0)}  
\psline(2.71828,-2)(2.71828,1) 
\uput[dl](2.71828,0){e} \uput[dl](0,0){O} 
\uput[u](4.1,0){$x$} \uput[r](0,1){$y$} 
\uput[d](1.5,-2){Graphique n$\up{o}~1$} 
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=3000]{0.549}{4}{x ln x 2 exp div} 
\end{pspicture} 
\end{center} 

\vspace{0,4cm} 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la fonction présente un maximum en $x = \sqrt{\text{e}}$ et qu'il vaut $\dfrac{1}{2\text{e}}$. 
		\item Donner le signe de $f(x)$ sur $]0~;~+ \infty[$. 
	\end{enumerate} 
\item Une primitive $F$ de la fonction $f$ est représentée 
ci-dessous : 

\begin{center}\psset{unit=1.2cm} \begin{pspicture}(-1,-1)(5,4) 
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.2,-0.5)(5,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) 
\psline[linestyle=dotted](1,0)(1,1)(0,1) 
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.232}{5}{1 x ln add neg x div 2 add} 
\uput[d](2,-0.6){Graphique n$\textsuperscript{o}~2$} \uput[dl](0,0){O} 
\end{pspicture} \end{center} 

\vspace{0,3cm} 

Elle vérifie de plus $F(\text{e}) = \dfrac{2\text{e} - 
2}{\text{e}},~F\left(\sqrt{\text{e}}\right) = 2 - 
\dfrac{3}{2\sqrt{\text{e}}}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Les variations de la fonction $F$ 
semblent-elles cohérentes avec le résultat de la question \textbf{1. 
b.} ? Justifier votre réponse. 
		\item Donner, en le justifiant le coefficient directeur de la 
tangente à la courbe représentant $F$ au point d'abscisse $\sqrt{\text{e}}$. 

		\item Exprimer, en unités d'aire, l'aire de la partie grisée sur le 
graphique \no 1. 
		\item La fonction $G$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 
$G(x) = \dfrac{- 1 - \ln x}{x}$ est une primitive de la fonction $f$. 

Exprimer $F(x)$ en fonction de $x$, pour $x \in ]0~;~+ \infty[$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points} 

\medskip

Soit $f$ la fonction de la variable réelle définie sur [0~;~10] par 

\[f(x) = \dfrac{90}{2 + \text{e}^{-x}}.\] 

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur [0~;~10]. 
\item Calculer $f(0)$ et $f(10)$. 
\item Déduire des questions précédentes que l'équation $f(x) = 44$ admet exactement une solution dans l'intervalle [0~;~10]. Donner un encadrement de cette solution par deux entiers consécutifs. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $f(x) = 45\dfrac{2\text{e}^x}{2\text{e}^x + 1}$ et en déduire une primitive de $f$ sur 
[0~;~10]. 
		\item Montrer que $\displaystyle\int_0^2 f(x)\:\text{d}x = 45\ln 
\left(\dfrac{2\text{e}^2 + 1}{3}\right)$. 
	\end{enumerate} 
\item Soit $g$ la fonction de $\N$ vers $\R$ définie par $g(x) = \dfrac{90} 
{2 + \text{e}^{-x}}$. 

La fonction $g$ peut modéliser l'évolution des exportations d'une 
entreprise, $x$ étant le temps écoulé en années depuis le 01/01/2000 et 
$g(x)$ étant le montant des exportations en millions d'euros de l'année 
correspondante. 
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le montant des exportations de l'entreprise 
au 01/01/2000 ? 
		\item En quelle année les exportations dépasseront-elles 44 millions d'euros ? 

L'entreprise peut-elle espérer que ses exportations dépasseront 45 millions d'euros sur l'une des onze années 2000 à 2010 ? 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%  fin Amérique du Sud novembre 2004
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Nouvelle Calédonie novembre 2004
\hypertarget{Caledonienov}{}

\label{Caledonienov}
\lfoot{\small{novembre 2004}}
\rfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie novembre 2004~\decofourright} \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points}

\medskip

\begin{center} 
\begin{pspicture}(10,3.5)
\psframe(10,3.5) \psline(0,2)(10,2) \psline(0,3)(10,3)
\psline(2,0)(2,3.5) \psline[doubleline=true](6,0)(6,3) 
\uput[u](1,3){$x$} \uput[u](2.3,3){$-\infty$} \uput[u](6,3){$-2$} 
\uput[u](8,3){$1$} \uput[u](9,3){$\alpha$} \uput[u](9.65,3){$+ \infty$}
\uput[u](1,2.2){$f'(x)$} \uput[u](4,2.2){$-$} \uput[u](7,2.2){$-$} 
\uput[u](8,2.2){$0$} \uput[u](9,2.2){$+$}
\uput[u](0.9,1.4){variation}\uput[d](2.3,2){$+ \infty$} 
\uput[d](6.5,2){$+ \infty$}\uput[d](9.7,2){$+ \infty$} 
\uput[u](0.5,0.5){de $f$} \uput[u](5.5,0){$- \infty$} 
\uput[u](8,0){$- 1$} \uput[u](9,0.75){$0$}  \uput[d](9.7,21){$+ \infty$}
\psline{->}(2.8,1.6)(5.1,0.5)  \psline{->}(6.5,1.6)(7.6,0.5)
\psline{->}(8.4,0.5)(9.6,1.6)          
\end{pspicture} 
\end{center}

On a donné le tableau de variations d'une fonction $f$ définie sur 
$]- \infty~;~-2[ \cup  ]-2~;~+ \infty[$, où $\alpha$ est le nombre réel
strictement supérieur à 1 tel que $f(\alpha) = 0$.

On appelle $\mathcal{C}$ la représentation graphique de la fonction $f$ dans un 
repère orthonormal \Oij.

Dire pour chacune des cinq affirmations suivantes si elle est VRAIE ou 
si elle est FAUSSE ou si ON NE PEUT PAS CONCLURE. Aucune justification n'est demandée.

Le barème est le suivant : 

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item 0,5 point par réponse exacte ; 
\item 0,25 point par réponse fausse ;
\item 0 point pour absence de réponse.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Cet exercice sera noté entre $0$ et $3$ ; il n'y aura pas de note globale négative.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item La droite d'équation $y = -2$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.
\item L'équation $f(x) = 1$ admet exactement deux solutions.
\item $f(x) \leqslant  0$ pour tout $x \in~  ]-5~;~-2[$.
\item Sachant que $\alpha$ appartient à l'intervalle $]1~;~2[$, on a 
$\displaystyle\int_{\alpha}^2  f(x)\:\text{d}x < 0$.
\item Les primitives de $f$ sont croissantes sur l'intervalle $[1~;~\alpha]$.
\item Si $- 2 < x < 1$ et $\alpha < x'$ alors  $f(x) < f(x')$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

Pour chacune des questions suivantes, indépendantes les unes des autres, il est proposé quatre réponses dont une seule est exacte. Donnez la bonne réponse en justifiant votre choix.

\begin{enumerate} 
\item $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}  \ln \left(2 + \dfrac{3}{x}\right) = L$

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~}\quad $L = 0$ & \textbf{B.~~}\quad $L = \ln 2$& \textbf{C.~~} \quad $L = \ln 5$ &	\textbf{D.~~}\quad $L = 0,7$.\\
\end{tabularx}
\medskip

\item La courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $]0~;~ 
+\infty[$  par
$f(x) = x - 2 + \dfrac{3\text{e}^x}{\text{e}^x - 1}$ admet pour asymptote
en $+ \infty$ la droite d'équation :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~}\quad $y = x + 1$&\textbf{B.~~}\quad $y = x - 2$ & \textbf{C.~~}\quad $y = x $&	\textbf{D.~~}\quad $y = 3$.\\
\end{tabularx}
\medskip

\item $I = \displaystyle\int_0^1 \text{e}^{2x+1}\:\text{d}x$.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~}\quad  $I = \dfrac{1}{2}\text{e}^3 - \dfrac{1}{2}\text{e}$&\textbf{B.~~}\quad 
$I = \text{e}^3 - 1$ &	\textbf{C.~~}\quad $I = 0$ &	
\textbf{D.~~}\quad $I = 2\text{e}^3 - 2\text{e}$.
\end{tabularx}
\medskip


\item Dans un lycée $45\,\%$ des élèves de terminale sont des garçons. Les 
élèves de ce lycée étudient l'anglais, l'allemand ou l'espagnol en première langue vivante.

\setlength\parindent{9mm}
$\bullet~~70\,\%$ des élèves étudient l'anglais,

$\bullet~~20\,\%$ des garçons étudient l'allemand,

$\bullet~~40\,\%$ des élèves qui étudient l'anglais sont des garçons,

$\bullet~~$il y a autant de garçons que de filles qui étudient l'espagnol.

\setlength\parindent{0mm}

À l'aide d'un tableau ou d'un arbre, répondre aux questions suivantes :
	\begin{enumerate} 
		\item Quel est le pourcentage des garçons qui étudient l'anglais ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~}\quad $42\,\%$ &	\textbf{B.~~}\quad $28\,\%$ &	\textbf{C.~~}\quad $18\,\% $&	\textbf{D.~~}\quad $52\,\%$\\
\end{tabularx}
\medskip

		\item On choisit au hasard la fiche d'un élève parmi ceux qui ne  pratiquent pas l'allemand. Quelle est la probabilité que ce soit une fille qui étudie l'espagnol ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~}\quad $\dfrac{2}{7}$&\textbf{B.~~}\quad $\dfrac{4}{43}$&	\textbf{C.~~}\quad $\dfrac{8}{55}$ & \textbf{D.~~}\quad $\dfrac{5}{16}$.
\end{tabularx}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}  \hfill 5 points}

\textbf{pour les candidats n'ayant pas suivi la spécialité}

\medskip

Soit l'équation (E) : $\dfrac{1}{x} = x - 2$ où l'inconnue est un réel de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.

\begin{enumerate} 
\item Un élève a représenté sur sa calculatrice l'hyperbole 
d'équation $y = \dfrac{1}{x}$ et la droite d'équation $y = x-2$.

\begin{center} \begin{pspicture}(-4,-4)(4,4)
\psline(-4,0)(4,0) \psline(0,-4)(0,4)
\psaxes[Dx= 5,Dy=5,ticks=all]{->}(0,0)(-4,-4)(4,4)
\psplot{-4}{-0.25}{1 x div}
\psplot{0.25}{4}{1 x div} 
\psline(-2,-4)(4,2)
\multido{\n=-4+1}{9}{\psline(\n,0)(\n,0.1)}
\multido{\n=-4+1}{9}{\psline(0,\n)(0.1,\n)}
\end{pspicture} \end{center}

Au vu du graphique ci-dessus obtenu à l'écran de sa calculatrice, combien l'équation (E)  semble-t-elle admettre de solutions sur $]0~;~+\infty[$ ?

\item Un second élève considère la fonction $g$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 

\[g(x) =  x - 2 - \dfrac{1}{x}.\]

	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer les limites de $g$ aux bornes de l'ensemble de définition.
		\item On note $g'$ la fonction dérivée de $g$. Calculer $g'(x)$. Montrer que $g$ est strictement croissante sur $] 0~;~+ \infty[$.
		\item En déduire le nombre de solutions de l'équation (E) et en donner, à  l'aide de la calculatrice, un encadrement d'amplitude $10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\item Un troisième élève dit : \og Je peux résoudre l'équation (E)  algébriquement \fg. Justifier, en résolvant l'équation (E), que ce troisième élève a raison.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}  \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant suivi la spécialité}

\medskip

Pour modéliser la production d'une entreprise les économistes utilisent des fonctions qui suivent le modèle dit de Cobb-Douglas : $z =  Ax^{\alpha}y^{\beta}\quad  (A,\:\alpha,\:\beta$ réels strictement positifs), où $z$ désigne une quantité obtenue à partir de deux quantités variables $x$ et $y$.

\vspace{0,3cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère les fonctions $f$ et $h$ définies pour $x \in  [0~;~10]$ et $y \in  [0~;~10]$ respectivement par

\[f(x~;~y) =  x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{2}}\quad  \text{et}\quad  h(x~;~y) = \dfrac{1}{4}x^2y.\]

\smallskip

\begin{enumerate} 
\item Vérifier que $f$ et $h$ sont deux fonctions de Cobb-Douglas en donnant pour chacune d'elles les valeurs  $A,~ \alpha,~\beta$.
\item Les représentations graphiques de $f$ et $h$ figurent parmi les trois représentations graphiques ci-dessous.
 
Associer à chaque fonction sa représentation graphique. Les choix seront justifiés.
 
\vspace{1,5cm}

\begin{center}
\begin{tabular}{c c }
\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.4cm,Alpha=135,Beta=30,drawing=false}
\begin{pspicture}(0,-5)(13,10)
\pstThreeDCoor[xMin=0.01,xMax=10,yMin=0.01,yMax=10,zMin=0.01,zMax=8]
\pstThreeDBox(0,0,0)(10,0,0)(0,10,0)(0,0,8)
\psplotThreeD[xPlotpoints=20,yPlotpoints=20,drawStyle=xyLines,linecolor=green](0.01,10)(0.01,10){x  2 exp  y 2 exp 3 mul  add  50 div}
\pstThreeDPut(5,-2,0){$x$} \pstThreeDPut(0,-2,0){$0$}\pstThreeDPut(10,-2,0){$10$}  \pstThreeDPut(12,4,0){$y$}\pstThreeDPut(12,-1,0){$0$} \pstThreeDPut(12,8,0){$10$}
\pstThreeDPut(21.5,0,12){$z$} \pstThreeDPut(21.5,0,9){$0$}\pstThreeDPut(21.5,0,16){$200$}
\end{pspicture} &\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.4cm,Alpha=135,Beta=30,drawing=false}
\begin{pspicture}(-2,-5)(13,10)
\pstThreeDCoor[xMin=0.01,xMax=10,yMin=0.01,yMax=10,zMin=0.01,zMax=7.143]
\pstThreeDBox(0,0,0)(10,0,0)(0,10,0)(0,0,7.14286)
\psplotThreeD[xPlotpoints=20,yPlotpoints=20,drawStyle=xyLines,linecolor=red](0,10)(0,10){x dup mul  y  mul 4 div 35 div}
\pstThreeDPut(5,-2,0){$x$} \pstThreeDPut(0,-2,0){$0$}\pstThreeDPut(10,-2,0){$10$}  \pstThreeDPut(12,4,0){$y$}\pstThreeDPut(12,-1,0){$0$} \pstThreeDPut(12,8,0){$10$}
\pstThreeDPut(21.5,0,12){$z$} \pstThreeDPut(21.5,0,9){$0$}\pstThreeDPut(21.5,0,16){$250$}
\end{pspicture}\\
représentation 1 & \hspace{2cm}représentation 2\\
\end{tabular}

\begin{tabular}{c c }
\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.4cm,Alpha=135,Beta=30,drawing=false}
\begin{pspicture}(0,-5)(10,13)
\pstThreeDCoor[xMin=0.01,xMax=10,yMin=0.01,yMax=10,zMin=0.01,zMax=6.81]
\pstThreeDBox(0,0,0)(10,0,0)(0,10,0)(0,0,8.172)
\pstThreeDPut(5,-2,0){$x$} \pstThreeDPut(0,-2,0){$0$}\pstThreeDPut(10,-2,0){$10$}  \pstThreeDPut(12,4,0){$y$}\pstThreeDPut(12,-1,0){$0$} \pstThreeDPut(12,8,0){$10$}
\pstThreeDPut(21.5,0,12){$z$} \pstThreeDPut(21.5,0,9){$0$}\pstThreeDPut(21.5,0,17){$6,81$}
\psplotThreeD[xPlotpoints=20,yPlotpoints=20,drawStyle=xyLines,linecolor=blue](0.01,10)(0.01,10){x 1 3 div exp   y 1 2 div exp mul 1.2 mul}
\end{pspicture} & \\
représentation 3 & \\
\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}

\vspace{0,3cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

La fabrication d'un produit dépend des durées de fonctionnement de deux machines M et M$'$. Les durées de fonctionnement des machines M et M$'$ exprimées en centaines d'heures sont respectivement égales à $x$ et $y$. La quantité produite, exprimée en tonnes, est $z = h(x,~y)$, où $h$ est la fonction définie à la \textbf{partie A}.

\begin{enumerate}
\item Dans cette question la quantité produite est fixéeà 25 tonnes.

Quelle est, parmi les trois représentations graphiques suivantes, celle de la section du plan d'équation $z = 25$ avec la surface d'équation $z = \dfrac{1}{4}x^2y$ ?

\[\begin{array}{c c c}
\psset{unit=0.45cm}\begin{pspicture}(10.5,10.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(10.5,10.5)
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](10,0){$x$} \uput[r](0,10.2){$y$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5}{x dup mul 2.5 div}
\multido{\n=0+2}{6}{\psline(0,\n)(10,\n)}
\end{pspicture} & ~~~~~~
\psset{unit=0.45cm}\begin{pspicture}(10.5,10.5)
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](10,0){$x$} \uput[r](0,10.2){$y$}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(10.5,10.5)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{3.168}{10}{100 x dup mul div}
\multido{\n=0+2}{6}{\psline(0,\n)(10,\n)}
\end{pspicture}\\
\end{array}\]

\medskip

\[\psset{unit=0.45cm} \begin{pspicture}(10.5,10.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(10.5,10.5)
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](10,0){$x$} \uput[r](0,10.2){$y$}
\multido{\n=0+2}{6}{\psline(0,\n)(10,\n)}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1.0005}{10}{1 x 1 sub  div ln 2.2 add}
\end{pspicture}\]

\item Les horaires de travail font que la somme des durées de fonctionnement des deux machines M et M$'$ est de huit centaines d'heures.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que $z = 2x^2 - \dfrac{1}{4}x^3$.
		\item Soit la fonction $g$ définie par $g(x) = 2x^2 - \dfrac{1}{4}x^3$  pour $x  \in [0~;~8]$.

Étudier les variations de $g$ et en déduire les durées de fonctionnement $x$ et$y$ qui assurent une production maximum.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 8 points}

\medskip

Soit la fonction $g$ définie sur $\R$ par 

\[g(x) = x\text{e}^x - 1.\]

\begin{enumerate} 
\item
	 \begin{enumerate}
	 	 \item On admet que la limite 
de $g$ en $- \infty$ est $- 1$. Le tableau ci-dessous  est le tableau de 
variations de $g$. Justifier toutes les affirmations qui sont notées dans 
ce tableau :

\begin{center} 
\psset{xunit=1cm,yunit=0.75cm}
\begin{pspicture}(10,4.8)
\psframe(10,4.8)
\psline(0,3)(10,3) \psline(0,4)(10,4)
\psline(2,0)(2,4.8)
\uput[u](1,4){$x$} \uput[u](2.3,4){$- \infty$} \uput[u](6,4){$-1$}
\uput[u](9.6,4){$+ \infty$}
\uput[u](1,3.3){$g'(x)$} \uput[u](4,3.3){$-$} \uput[u](6,3.3){$0$}
\uput[u](8,3.3){$+$}
\uput[u](1,1){$g(x)$} \uput[d](2.2,3){$-1$} 
\uput[u](6,0){$-\dfrac{1}{\text{e}} - 1$} \uput[d](9.6,3){$+ \infty$}   
\psline{->}(2.5,2.5)(5.3,0.5) \psline{->}(6.6,0.5)(9.3,2.5)
\end{pspicture} \end{center}

		\item On admet que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$. En  déduire le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$.
	\end{enumerate}
\item On note $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) =  \text{e}^x - \ln x.\]

	\begin{enumerate}
		\item Étudier la limite de $f$ en $0$.
		\item Vérifier que, pour $x > 0,\: f'(x) = \dfrac{g(x)}{x}$, où $f'$ est la fonction dérivée de $f$.
		\item Dresser le tableau de variations de $f$, en admettant que la limite  de $f$  en $+ \infty$ est $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\item Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal. Prendre 4 cm pour unité sur l'axe des abscisses et $2$~cm sur l'axe des ordonnées.

Tracer $\mathcal{C}$, en prenant $0,6$ comme valeur approchée de $\alpha$.

\item On note $\mathcal{D}$ l'ensemble des points $M(x~;~ y)$ du plan muni du repère ci-dessus tels que : $\dfrac{1}{2} \leqslant x \leqslant 1$ et $0 \leqslant y \leqslant f(x)$.
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer l'ensemble $\mathcal{D}$.
		\item Vérifier que la fonction $U$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $U(x) = x \ln x - x$ est une primitive de la fonction logarithme népérien.
		\item En déduire une primitive de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$.
		\item Calculer l'aire de $\mathcal{D}$ en unités d'aire. Puis en donner une valeur  approchée en cm$^2$ à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%   fin Nouvelle Calédonie novembre 2004
\end{document} 