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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\rfoot{\small 2007}

\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES  2007 \decofourright \\\vspace{1cm} L'intégrale d'avril  à novembre 2007}}
 
\vspace{1cm}

Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large \textcolor{blue}{bleus}}
\end{center}

\vspace{1cm}
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\Large}X}
\hyperlink{Pondichery}{ Pondichéry  12 avril 2007} \dotfill \pageref{Pondichery} \\  
\hyperlink{AmeriqueduNord}{\Large Amérique du Nord 31 mai 2007} \dotfill \pageref{AmeriqueNord} \\
\hyperlink{Liban}{\Large Liban 31 mai 2007} \dotfill \pageref{Liban} \\  
\hyperlink{Antilles}{\Large Antilles-Guyane juin 2007} \dotfill  \pageref{Antilles} \\  
\hyperlink{Asie}{\Large Asie juin 2007} \dotfill  \pageref{Asie} \\  
\hyperlink{Centresetrangers}{\Large Centres étrangers juin 2007} \dotfill \pageref{Centresetrangers}\\  
\hyperlink{Metropole}{\Large Métropole juin 2007} \dotfill \pageref{Metropole} \\  
\hyperlink{LaReunion}{\Large La Réunion juin 2007}  \dotfill \pageref{LaReunion}\\  
\hyperlink{Polynesie}{\Large Polynésie juin 2007} \dotfill \pageref{Polynesie}\\
\hyperlink{Antillessept}{\Large Antilles-Guyane septembre 2007}  \dotfill \pageref{Antillessept}\\
\hyperlink{LaReunionsep}{\Large Métropole-La Réunion septembre 2007}  \dotfill \pageref{LaReunionsep}\\ 
\hyperlink{Polynesiesept}{\Large Polynésie septembre 2007}  \dotfill \pageref{Polynesiesept}\\
\hyperlink{AmeriqueSud}{\Large Amérique du Sud novembre 2007}  \dotfill \pageref{AmeriqueSud}\\ 
\hyperlink{Caledonienov}{\Large Nouvelle-Calédonie novembre 2007}  \dotfill \pageref{Caledonienov}\end{tabularx}

\newpage
 ~
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%   Pondichéry avril 2007
\hypertarget{Pondichery}{}

\label{Pondichery}
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small 12 avril 2007} 
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty} 
\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Pondichéry 12 avril 2007~\decofourright}} 
\end{center} 

\vspace{0,25cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, on ne demande aucune justification.\\
Barème : Une réponse exacte rapporte $0,5$ point. Une réponse inexacte enlève $0,25$ point. Une question sans réponse ne rapporte et n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif la note attribuée à l'exercice est ramenée à $0$.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans cette partie, pour chaque question, indiquer sur votre copie le numéro de la question et préciser en toutes lettres, sans justifier votre choix, VRAI ou FAUX ou ON NE PEUT PAS RÉPONDRE.

On connaît le tableau de variations d'une fonction $f$ définie et dérivable sur 

$\mathcal{D}_{f} = ]- \infty~;~1[ \cup ]1~;~+ \infty[$ : 
  
\begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(10,2.5)
\psframe(11,2.5)
\psline(0,2)(11,2) \psline(2,0)(2,2.5) \psline[doubleline=true](5,0)(5,2) %\psline(5.1,0)(5.1,2)
\psline{->}(2.5,0.2)(4.3,1.8) \psline{->}(5.8,0.2)(7.7,1.8) \psline{->}(8.3,1.8)(10.6,0.2)
\uput[u](1,2){$x$} \uput[u](2.3,2){$- \infty$} \uput[u](5,2){$1$} \uput[u](8,2){$3$} 
\uput[u](10.6,2){$+ \infty$} \uput[u](1,0.7){$f(x)$} \uput[u](2.2,0){$-2$} \uput[d](4.6,2){$+ \infty$} 
\uput[u](5.4,0){$- \infty$}  \uput[u](10.8,0){$1$} \uput[d](8,2){$5$}
\end{pspicture}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item  La droite d'équation $x =  -2$ est asymptote à la représentation graphique de $f$.
\item  L'équation $f(x) =  2$ admet exactement deux solutions dans $\mathcal{D}_{f}$.
\item  Pour tout $x$ appartenant à ]1~;~3 [,~$ f'(x) > 0 ~ (f'$ désigne la fonction dérivée de $f$ sur $\mathcal{D}_{f}$).
\item  Toute primitive de $f$ sur [3~;~8] est décroissante.
\item  La fonction $x \mapsto  \dfrac{1}{f(x)}$		est décroissante sur $[3~;~+ \infty[$
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie, pour chaque question, trois propositions sont formulées. Une seule d'entre elles convient. Indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier la proposition qui vous semble exacte, sans justifier votre choix.

\medskip

Soit la fonction $g$ définie par $g(x) = \dfrac{2\text{e}^x}{\text{e}^x - 1}$ et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  L'ensemble de définition D$_{g}$ de $g$ est égal à :

\begin{center}\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~}$]0~;~+\infty[$ 	&	\textbf{b.~~} $\R- \{0\}$ & \textbf{c.~~} $\R- \{1\}$\\
\end{tabularx} \end{center}

\item  L'équation $g(x) = 3$ admet pour solution

\begin{center}\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~}$\text{e}^3$	& 	\textbf{b.~~} $\ln 3$ & \textbf{c.~~} Aucune solution\\
\end{tabularx} \end{center}

\item  La limite de $g$ en $+\infty $ est

\begin{center}\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~}$- 1$&	\textbf{b.~~} $+ \infty$ & \textbf{c.~~}  $2$\\
\end{tabularx} \end{center}
 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Une entreprise de services d'une ville cherche à modéliser la consommation des ménages sur les dernières années.

Le rang $x_{1} = 1$ est donné pour l'année 1998. La consommation est exprimée en milliers d'euros.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année					&1998	&2000	&2001	&2002	&2004\\ \hline
Rang de l'année $x_{i}$	&1		&3		&4		&5 		&7 \\ \hline
Consommation en milliers
 d'euros $y_{i}$		&28,5	&35		&52		&70,5 	&100,5\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter le nuage de points $P_{i}(x_{i}~;~y_{i})$ dans un repère orthogonal du plan (on prendra 1~cm comme unité en abscisses et 1~cm pour \np{10000} \euro{} en ordonnées).
\item Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage; le placer dans le repère précédent.
\item On réalise un ajustement affine de ce nuage par la droite D d'équation 

$y = 12,5x+b$ qui passe par le point G. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la valeur de $b$. 
		\item Tracer la droite D dans le repère précédent.
	\end{enumerate}
\item Déterminer, à l'aide de l'ajustement précédent, la consommation estimée des ménages de cette ville en 2005.
\item 	En réalité, un relevé récent a permis de constater qu'en 2005 la consommation réelle des ménages de cette ville était de $y_{8} =  \np{140000}$ \euro.

Déterminer, en pourcentage, l'erreur commise par l'estimation précédente par rapport à la valeur exacte (on donnera un résultat à l'aide d'un nombre entier en effectuant un arrondi).
\item  Un nouvel ajustement de type exponentiel semble alors plus adapté.
	\begin{enumerate}
		\item  Recopier et compléter le tableau suivant sachant que $z = \ln y$. Les résultats seront arrondis au centième.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$				&1		&3		&4		&5		&7 		&8\\ \hline
$z_{i} = \ln y_{i}$	&3,35	&\ldots	&\ldots &\ldots &\ldots &4,94\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

		\item Déterminer l'équation réduite de la droite de régression de $z$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés à l'aide de la calculatrice ; cette équation est de la forme $z =  cx + d$ ; on donnera les arrondis des coefficients $c$ et $d$  à $10^{-2}$.
		\item En déduire que : $y =  20,49\text{e}^{0,23x}$.
		\item Estimer alors, à l'aide de ce nouvel ajustement, la consommation des ménages de cette ville en 2007 à 100 \euro{} près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Madame Boulard fait un très grand élevage de chats de races. Elle possède des Siamois, des Birmans et des Abyssins. Le printemps dernier, pratiquement toutes ses femelles ont eu des bébés et Madame Boulard a mis une annonce pour signaler qu'elle avait une très grande quantité de petits chatons à vendre.

On sait que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet $] 32\,\% des chatons sont des Siamois, 54\,\% des chatons sont des Abyssins et le reste est constitué de Birmans.
\item[$\bullet $] Parmi les Siamois, 54\,\% sont des mâles.
\item[$\bullet $] 66\,\% des Abyssins sont des femelles.
\item[$\bullet $] Il y a au total 40,96\,\% de chatons mâles.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Un petit garçon, Pierre, vient acheter un chaton avec sa mère. Comme ils sont tous adorables et qu'il n'arrive pas à choisir, Pierre décide de le prendre au hasard.

On désigne par $S$, $B$, $A$, $M$ et $F$ les évènements suivants :

$S$ : \og Pierre achète un chaton Siamois \fg ;
  
$B$ : \og Pierre achète un chaton Birman \fg ;
 
$A$ : \og Pierre achète un chaton Abyssin \fg ;
 
$M$ : \og Pierre achète un chaton mâle \fg ;
 
$F$ : \og Pierre achète un chaton femelle \fg ;

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Traduire les données de l'énoncé en langage de probabilités.
		\item Construire un arbre illustrant la situation, en indiquant sur chaque branche les probabilités données dans l'énoncé. Les probabilités manquantes seront calculées dans les questions ultérieures.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité que Pierre achète un chaton mâle Siamois,
		\item Calculer $p(M \cap A)$ et interpréter ce résultat à l'aide d'une phrase.
		\item En déduire que la probabilité que Pierre achète un chaton mâle Birman est égale à \np{0,0532}.
		\item Le chaton acheté par Pierre est un Birman. Quelle est la probabilité que ce soit un mâle ?
\end{enumerate}
\item Finalement, Pierre est tellement séduit par ces chatons qu'il décide d'en acheter trois toujours au hasard. On assimilera ces achats à des tirages successifs avec remise.
Quelle est la probabilité qu'il y ait, parmi ces trois chatons, exactement deux mâles Birmans (\emph{le résultat sera arrondi à} $10^{-3}$)?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = 5 \dfrac{\ln x}{x} + 3.\]

On note $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $0$ ; en donner une interprétation graphique.
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$ ; en donner une interprétation graphique.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ où $f'$ est la fonction dérivée de $f$, puis étudier son signe.
		\item En déduire le tableau de variation de la fonction $f$. On y indiquera les limites aux bornes de l'intervalle de définition de $f$ ainsi que la valeur exacte de $f(\text{e})$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une primitive de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$.
		
On pourra remarquer que $f(x) = 5u'(x)\times u(x) + 3$ avec $u(x)$ à préciser.
		\item  En déduire la valeur exacte de $\text{I} = \displaystyle\int_{2}^4 f(t)\:\text{d}t$ sous la forme $a(\ln 2)^2+b$ avec $a$ et $b$ deux réels à déterminer.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Préciser le signe de $f$ sur l'intervalle [2 ; 4].
		\item  Donner une interprétation graphique de I.
	\end{enumerate}
\item  On admet que le bénéfice, en milliers d'euros, que réalise une entreprise lorsqu'elle fabrique $x$ milliers de pièces est égal à $f(x)$.

En utilisant les résultats précédents, déterminer la valeur moyenne du bénéfice lorsque la production varie entre \np{2000} et \np{4000} pièces. On donnera une valeur approchée de ce bénéfice à 100 euros près.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%  fin Pondichéry avril 2007
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Amérique du Nord 31 mai 2007
\hypertarget{AmeriqueduNord}{}

\label{AmeriqueNord}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{31 mai 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Amérique du Nord  31 mai 2007~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\emph{Pour chaque question, une seule réponse est exacte. L'exercice consiste à cocher la réponse exacte sans justification.\\
Une bonne réponse apporte $1$ point, une mauvaise enlève $0,5$ point.\\
L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.\\
Si le total des points de l'exercice est négatif, il est ramené à $0$.}
 
\begin{center}
\textbf{COMPLÉTER LE DOCUMENT RÉPONSE EN ANNEXE}
\end{center}
 
\begin{flushleft}\textbf{Rappel : } La notation $P_{A}(B)$ désigne la probabilité de l'évènement $B$ sachant que l'évènement $A$ est réalisé.
\end{flushleft} 
\medskip
\begin{center} 
\begin{tabular}{|m{8cm}|m{3,5cm}|}\hline
Questions & \\ \hline
\multirow{3}{8cm}{\textbf{1.} $A$ et $B$ sont deux évènements indépendants tels que $p(A) = 0,7$ et $p(B) = 0,2$.} &$\Box~~p(A \cap B) = 0,14$\\ \cline{2-2}
 & $\Box~~p(A \cup B) = 0,9$\\ \cline{2-2}
 &$\Box~~p_{A}(B) =  0,5$\\ \hline
\multirow{3}{8cm}{\textbf{2.} Une pièce de monnaie est telle que la probabilité d'obtenir le côté face est égale à $\dfrac{1}{3}$. On lance $4$ fois de	
suite cette pièce.
Quelle est la probabilité d'obtenir au moins une fois le côté face ?}&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}  $\Box~~\dfrac{18}{81}$\\ \cline{2-2}
&\rule[-3mm]{0mm}{8mm} $\Box~~\dfrac{72}{81}$\\\cline{2-2}
&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}  $\Box~~\dfrac{65}{81}$\\\hline 
\multirow{3}{8cm}{\textbf{3.}  On considère l'arbre pondéré ci-dessous.\\
Quelle est la probabilité de $P_{H}(F)$ ?\\
\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$E$~}\taput{0,2}}
	  { 
		  \TR{$G$}\taput{0,6}
		  \TR{$H$}\tbput{}	   
	  }
	\pstree{\TR{$F$~}\tbput{}}
	  {
		  \TR{$G$}\taput{0,3}
		  \TR{$H$}\tbput{}	  
	  }
}
\end{center}}&\rule[-3mm]{0mm}{18mm} 	$\Box~~P_{H}(F) = 0,7$\\\cline{2-2}
&\rule[-3mm]{0mm}{18mm}$\Box~~P_{H}(F) = 0,56$\\\cline{2-2}
&\rule[-3mm]{0mm}{18mm}$\Box~~P_{H}(F) = 0,875$\\\hline
\multirow{3}{8cm}{\textbf{4.} Une urne contient 5 boules blanches et 5 boules	
noires. On tire, avec remise, une boule au hasard, $n$ fois de suite (avec $n> 1$).\\ 
Quelle est la probabilité d'obtenir des boules qui ne 
soient pas toutes de la même couleur ?}&\rule[-3mm]{0mm}{8mm} $\Box~~1 - \dfrac{1}{2^n}$\\ \cline{2-2}
&\rule[-3mm]{0mm}{8mm} $\Box~~1 - \dfrac{1}{2^{n-1}}$\\ \cline{2-2}
&\rule[-3mm]{0mm}{8mm} $\Box~~1 - \dfrac{1}{2^{2n}}$\\ \hline
\end{tabular} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}
\setlength\parindent{0mm}
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

La courbe ($\mathcal{C}$) ci-dessous représente une fonction $F$ définie et dérivable sur l'intervalle J $= \left]\dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right[$.

On sait que ($\mathcal{C}$) coupe l'axe des abscisses au point (3~;~0) et a une tangente horizontale au point $(1~;~- 2)$.

On note $f$ la fonction dérivée de $F$.

\bigskip

\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.75cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-0.5,-4.5)(7.6,10.5)
\psgrid[griddots=10,subgriddiv=1,gridlabelcolor=white,gridcolor=orange,gridwidth=1pt](0,0)(0,-4)(7.5,10)
\multido{\n=0.0+0.5}{16}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](\n,-4)(\n,10.)}
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5,Dy=2](0,0)(-0.,-4.5)(7.5,10.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=2]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=8000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.501}{7.5}{2 x mul 1 sub 2 x mul 1 sub ln mul 2 div x sub 3 add 5 ln 5 mul 2 div sub}
\uput[r](7,8.3){\blue ($\mathcal{C}$)}
\end{pspicture*}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  À l'aide du graphique, donner les variations de $F$ et en déduire le signe de $f$. 
		\item  Donner $f(1),\: F(1)$ et $F(3)$. Préciser le signe de $f(3)$.
		\item  Calculer $\displaystyle\int_{1}^3  f(x)\:\text{d}x$.
	\end{enumerate}
\item  Trois fonctions $f_{1}~,f_{2}$ et $f_{3}$ sont définies sur l'intervalle J par :
\[f_{1}(x) = (x^2 - x +1)\text{e}^{2x - 1},~	f_{2}(x) =  \ln (2x - 1 )~	\text{et}~f_{3}(x)  = - 1 + \dfrac{1}{2x - 1}.\]
Une de ces trois fonctions est la fonction $f$.
	\begin{enumerate}
		\item  Étudier le signe de $f_{1}$ sur l'intervalle J. 
		\item  Résoudre l'équation $f_{2}(x) = 0$ sur l'intervalle J. 
		\item  Calculer $f_{3}(1)$.
		\item  Calculer $\displaystyle\int_{1}^3 f_{3}(x)\:\text{d}x$. 
		\item  En déduire la fonction $f$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

\textbf{Première Partie : Étude d'un graphe}

\begin{center}
\begin{pspicture}(6,4)
\dotnode(0,0.5){Y} \dotnode(0,2){Z}  \dotnode(1,2.5){A}  
\dotnode(3,4){B}  \dotnode(2.5,1.8){C}  
\dotnode(4,2){D}  \dotnode(3.5,0.5){G}  \dotnode(6,3){F}  
\dotnode(5.5,1.5){E}  \dotnode(5,0){H}
\ncarc{Z}{A} \ncarc{A}{B} \ncarc{B}{F} \ncarc{F}{E} 
\ncarc{E}{H} \ncarc{E}{D} \ncarc{E}{B} \ncarc{H}{G} 
\ncarc{G}{D} \ncarc{G}{C} \ncarc{C}{D} \ncarc{A}{C} 
\ncarc{Y}{C} \ncarc{B}{D} \ncarc{A}{Y}
\uput[l](0,0.5){Y}  \uput[l](0,2){Z}  \uput[ul](1,2.5){A}    \uput[u](3,4){B}  \uput[d](2.5,1.8){C}   \uput[dr](4,2){D}  \uput[d](3.5,0.5){G}  \uput[r](6,3){F}  \uput[r](5.5,1.5){E}  \uput[r](5,0){H}  \ncarc{Y}{G}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

On considère le graphe ci-dessus.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Ce graphe est-il connexe ?
		\item  Déterminer le degré de chacun des sommets.
		
On pourra donner le résultat sous forme de tableau.
		\item  Justifier l'existence d'une chaîne eulérienne.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer un encadrement du nombre chromatique de ce graphe.
		\item  Montrer que ce nombre chromatique est égal à 3.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Deuxième Partie : Visite d'un musée}

\bigskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center} \begin{pspicture}(10,5)
\psframe(0,0)(3.3,3.4)%accueil
\psframe(3.3,0)(7.5,1.8)%G
\psframe(7.5,0)(10.6,1.8)%H
\psframe(3.3,1.8)(5.2,3.4)%C
\psframe(5.2,1.8)(9,3.4)%D
\psframe(9,1.8)(10.6,3.4)%E
\psframe(10.6,0)(12.1,5.2)%F
\psframe(0,3.4)(2.3,4.5)%boutique
\psframe(2.3,3.4)(6.5,5.2) %A
\psframe(6.5,3.4)(10.6,5.2)%B
\rput(1.1,3.8){Boutique} \rput(1.65,1.7){Accueil}
\rput(4.3,4.3){A}  \rput(8.8,4.4){B}  \rput(4.3,2.5){C}  \rput(7.1,2.5){D}  \rput(9.9,2.5){E}  \rput(11.5,2.8){F}  \rput(5.6,0.9){G}  \rput(9,0.9){H}
\psframe[linewidth=3pt,linecolor=gray,fillstyle=solid,fillcolor=gray](2.4,3.4)(3.2,3.4)%accueil
\psframe[linewidth=3pt,linecolor=gray,fillstyle=solid,fillcolor=gray](0,0.8)(0,2.2)%accueil
\psframe[linewidth=3pt,linecolor=gray,fillstyle=solid,fillcolor=gray](0,3.5)(0,4.4)%boutique gauche
\psframe[linewidth=3pt,linecolor=gray,fillstyle=solid,fillcolor=gray](2.3,3.6)(2.3,4.4)%boutique droite
\psframe[linewidth=3pt,linecolor=gray,linecolor=gray,fillstyle=solid,fillcolor=gray](6.5,3.9)(6.5,4.7)%A
\psframe[linewidth=3pt,linecolor=gray,fillstyle=solid,fillcolor=gray](3.3,0.4)(3.3,1.2)% accueil droit
\psframe[linewidth=3pt,linecolor=gray,fillstyle=solid,fillcolor=gray](3.3,2)(3.3,2.8)% accueil droit
\psframe[linewidth=3pt,linecolor=gray,fillstyle=solid,fillcolor=gray](3.3,2.2)(3.3,3)% accueil droit haut
\psframe[linewidth=3pt,linecolor=gray,fillstyle=solid,fillcolor=gray](5.2,2.2)(5.2,3)%C
\psframe[linewidth=3pt,linecolor=gray,fillstyle=solid,fillcolor=gray](9,2.2)(9,3)%D
\psframe[linewidth=3pt,linecolor=gray,fillstyle=solid,fillcolor=gray](7.8,3.4)(8.6,3.4)%D haut
\psframe[linewidth=3pt,linecolor=gray,fillstyle=solid,fillcolor=gray](10.6,2.2)(10.6,3)%E
\psframe[linewidth=3pt,linecolor=gray,fillstyle=solid,fillcolor=gray](7.5,0.4)(7.5,1.2)%G
\psframe[linewidth=3pt,linecolor=gray,fillstyle=solid,fillcolor=gray](6,1.8)(6.8,1.8)%G haut droit
\psframe[linewidth=3pt,linecolor=gray,fillstyle=solid,fillcolor=gray](4,3.4)(4.8,3.4)%C haut
\psframe[linewidth=3pt,linecolor=gray,fillstyle=solid,fillcolor=gray](4,1.8)(4.8,1.8)%C bas 
\psframe[linewidth=3pt,linecolor=gray,fillstyle=solid,fillcolor=gray](10.6,2.2)(10.6,3)%E droit
\psframe[linewidth=3pt,linecolor=gray,fillstyle=solid,fillcolor=gray](9.4,1.8)(10.2,1.8)%E bas
\psframe[linewidth=3pt,linecolor=gray,fillstyle=solid,fillcolor=gray](10.6,3.9)(10.6,4.7)%B droit
\psframe[linewidth=3pt,linecolor=gray,fillstyle=solid,fillcolor=gray](9.4,3.4)(10.2,3.4)%H haut
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip

Voici le plan d'un musée : les parties grisées matérialisent les portes et les visiteurs partent de l'accueil, visitent le musée et doivent terminer leur visite la la boutique.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Représenter la situation à l'aide d'un graphe en précisant ce que représentent arêtes et sommets.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Pourquoi est-il possible de trouver un circuit où les visiteurs passent une fois et une seule par toutes les portes ? 
		\item  Donner un exemple d'un tel circuit.
	\end{enumerate}
\item  Comment colorier les salles y compris l'accueil et la boutique, en utilisant un minimum de couleurs, pour que deux salles qui communiquent par une porte aient des couleurs différentes ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Dans tout l'exercice, le détail des calculs statistiques n'est pas demandé.\\Les résultats seront arrondis à }$10^{-3}$.

\emph{On rappelle que l'image d'un réel $x$ par la fonction exponentielle peut être notée } exp$(x) = \text{e}^x$.

\medskip

On veut étudier l'évolution des records de l'épreuve d'athlétisme du 100 mètres masculin. Pour cela, on cherche un ajustement des records pour en prévoir l'évolution.

On donne dans le tableau suivant certains records, établis depuis 1900.

\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 						&1900	&1912	&1921	&1930	&1964	&1983	&1991	&1999\\ \hline
Rang de l'année, $x_{i}$	&0		&12		&21		&30		&64		&83		&91		&99\\ \hline
Temps en secondes, $y_{i}$	&10,80	&10,60	&10,40	&10,30	&10,06	&9,93	&9,86	&9,79\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  \textbf{Étude d'un modèle affine} 
	\begin{enumerate}
		\item  Construire le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$, avec $i$ compris entre 1 et 8, associé à cette série statistique double. On prendra comme unité graphique 1~cm pour dix ans en abscisse et 1 cm pour un dixième de seconde en ordonnées. On commencera les graduations au point de coordonnées (0~;~9).
		\item  Peut-on envisager un ajustement affine à court terme ? Cet ajustement permet-il des prévisions pertinentes à long terme sur les records futurs ?
	\end{enumerate}
\item  \textbf{Étude d'un modèle exponentiel}

 Après étude, on choisit de modéliser la situation par une autre courbe. On effectue les changements de variables suivants :
 
\[X =  \text{e}^{-\nombre{0,00924}x}~\text{ et }~ Y = \ln y.\]

On obtient le tableau suivant :
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$X_{i} =  \text{e}^{-\np{0,00924}x_{i}}$&	1	&0,895 	&0,824 	&0,758 	&0,554 	&0,464 	&0,431&0,401\\ \hline
$Y_{i} = \ln y_{i}$						&2,380	&2,361	&2,342	&2,332	&2,309	&2,296	&2,288&2,281\\ \hline
\end{tabularx}
 
\medskip

	\begin{enumerate}
		\item  Donner une équation de la droite de régression de $Y$ en $X$ obtenue par la méthode des moindres carrés.
		\item  En déduire que l'on peut modéliser une expression de $y$ en fonction de $x$ sous la forme suivante : $y = \text{exp} (a \text{e}^{-\nombre{0,00924}x} + b)$ où $a$ et $b$ sont deux réels à déterminer.
		\item  À l'aide de cet ajustement, quel record du 100 mètres peut-on prévoir en 2010 ?
		\item  Calculer la limite en $+ \infty$ de la fonction $f$ définie sur $\R$ par l'expression suivante :

\[f(t) = \text{exp}\left(0,154 \text{e}^{-\nombre{0,00924}x} + 2,221\right).\]

		\item  Que peut-on en conclure, en utilisant ce modèle, quant aux records du cent mètres masculin, àa très long terme ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Les deux parties peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.}

\medskip

\textbf{Première partie}

\medskip

On considère une fonction $g$ définie sur l'intervalle $\left]- \dfrac{1}{2}~;~+\infty \right[$ par :

\[ g(x) = - x^2 + a x - \ln (2x + b),\: \text{ où } \:a\:\text{et}\: b\: \text{sont deux réels.}\]

Calculer $a$ et $b$ pour que la courbe représentative de $g$ dans un plan muni d'un repère \Oij{} passe par l'origine du repère et admette une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point d'abscisse $\dfrac{1}{2}$.

\medskip

\textbf{Deuxième  partie}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\left]- \dfrac{1}{2}~;~+\infty \right[$ par :

\[f(x) = -x^2 + 2x - \ln (2x+1).\]

On admet que $f$ est dérivable et on note $f'$ sa dérivée.

Le tableau de variations de la fonction $f$ est le suivant :

\begin{center}
\begin{pspicture}(11.5,5)
\psframe(11.5,5)
\psline(0,3)(11.5,3) \psline(0,4)(11.5,4) 
\psline(2.5,0)(2.5,5) \psline(2.6,0)(2.6,4) \psline(2.65,0)(2.65,4)
\psline{->}(3.25,2.7)(5.2,0.3) \psline{->}(5.8,0.3)(7.8,2.7) \psline{->}(9.2,2.7)(11,0.4) 
\uput[u](1.25,4.25){$x$}   \rput(1.25,3.5){signe de $f'(x)$}
\rput(1.25,2.7){variations} \rput(1.25,2){de} \rput(1.25,1.3){$f$} 
\uput[u](2.7,4.25){$- \frac{1}{2}$}\uput[u](5.5,4.25){$0$} \uput[u](8.5,4.25){$\frac{1}{2}$} \uput[u](11,4.25){$+\infty$}  \uput[u](5.5,3.25){$0$}\uput[u](8.5,3.25){$0$}
\uput[u](4,3.25){$-$}  \uput[u](7,3.25){$+$}  \uput[u](10,3.25){$-$} 
\uput[d](2.9,3){$+ \infty$}  \uput[u](5.5,0){$0$} \uput[d](8.5,3){$\frac{3}{4} + \ln \left(\frac{1}{2}\right)$} \uput[u](11,0){$- \infty$}
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip

\begin{enumerate}
\item  Justifier tous les éléments contenus dans ce tableau.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $\left[\frac{1}{2}~;~1\right]$.
		\item  Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\item  Déterminer le signe de $f(x)$ sur l'intervalle $\left]- \dfrac{1}{2}~;~+\infty \right[$.
\end{enumerate}

\newpage

\bigskip

\textbf{ANNEXE \hfill À RENDRE AVEC LA COPIE}

\bigskip

\begin{center} 
\begin{tabular}{|m{8cm}|m{3,5cm}|}\hline
Questions & \\ \hline
\multirow{3}{8cm}{\textbf{1.} $A$ et $B$ sont deux évènements indépendants tels que $p(A) = 0,7$ et $p(B) = 0,2$.} &$\Box~~p(A \cap B) = 0,14$\\ \cline{2-2}
 & $\Box~~p(A \cup B) = 0,9$\\ \cline{2-2}
 &$\Box~~p_{A}(B) =  0,5$\\ \hline
\multirow{3}{8cm}{\textbf{2.} Une pièce de monnaie est telle que la probabilité d'obtenir le côté face est égale à $\dfrac{1}{3}$. On lance $4$ fois de	
suite cette pièce.
Quelle est la probabilité d'obtenir au moins une fois le côté face ?}&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}  $\Box~~\dfrac{18}{81}$\\ \cline{2-2}
&\rule[-3mm]{0mm}{8mm} $\Box~~\dfrac{72}{81}$\\\cline{2-2}
&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}  $\Box~~\dfrac{65}{81}$\\\hline 
\multirow{3}{8cm}{\textbf{3.}  On considère l'arbre pondéré ci-dessous.\\
Quelle est la probabilité de $P_{H}(F)$ ?\\
\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$E$~}\taput{0,2}}
	  { 
		  \TR{$G$}\taput{0,6}
		  \TR{$H$}\tbput{}	   
	  }
	\pstree{\TR{$F$~}\tbput{}}
	  {
		  \TR{$G$}\taput{0,3}
		  \TR{$H$}\tbput{}	  
	  }
}
\end{center}}&\rule[-3mm]{0mm}{18mm} 	$\Box~~P_{H}(F) = 0,7$\\\cline{2-2}
&\rule[-3mm]{0mm}{18mm}$\Box~~P_{H}(F) = 0,56$\\\cline{2-2}
&\rule[-3mm]{0mm}{18mm}$\Box~~P_{H}(F) = 0,875$\\\hline
\multirow{3}{8cm}{\textbf{4.} Une urne contient 5 boules blanches et 5 boules	
noires. On tire, avec remise, une boule au hasard, $n$ fois de suite (avec $n> 1$).\\ 
Quelle est la probabilité d'obtenir des boules qui ne 
soient pas toutes de la même couleur ?}&\rule[-3mm]{0mm}{8mm} $\Box~~1 - \dfrac{1}{2^n}$\\ \cline{2-2}
&\rule[-3mm]{0mm}{8mm} $\Box~~1 - \dfrac{1}{2^{n-1}}$\\ \cline{2-2}
&\rule[-3mm]{0mm}{8mm} $\Box~~1 - \dfrac{1}{2^{2n}}$\\ \hline
\end{tabular} 
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%  fin Amérique du Nord juin 2007
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%  Liban juin 2007
\hypertarget{Liban}{}

\label{Liban}
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{mai 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} 
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Liban mai 2007~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\begin{center}

\begin{pspicture}(-3,-5.5)(7,6.5)

\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10,gridcolor=orange,gridwidth=0.75pt](0,0)(-3,-5)(7,6)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3,-5)(7,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot{-0.5}{2.5}{x 2 mul 2 sub}
\psline{<->}(2.25,1)(3.75,1) \psline{<->}(4.25,0.6)(5.75,0.6)
\psset{linewidth=1.5pt,linecolor=blue}
\psbezier(-0.6,-5)(-.2,-3.5)(.5,-1)(1,0)
\psbezier(1,0)(1.5,1)(2.5,1)(3,1)
\psbezier(3,1)(3.8,1)(4.5,.6)(5,.6)
\psbezier(5,.6)(5.5,.6)(5.7,1)(6,4)
\uput[ul](1,0){A} \uput[dr](6,4){\blue $C$} \uput[dr](2,3){T} \uput[d](7.1,0){$x$}
\psline[linestyle=dashed](5.5,0)(5.5,1)
\uput[l](0,6.2){$y$}\uput[d](5.5,-0.13){5,5}
\end{pspicture}

\end{center}

On considère la représentation graphique $C$ de la fonction $f$ définie et dérivable sur $]- \infty~;~6]$. La fonction dérivée de $f$ est notée $f'$. La droite T est la tangente à C au point d'abscisse 1. On admet que la courbe $C$ est située sous cette tangente T sur $]-\infty~;~6]$. \par

On répondra au QCM ci-après en s'appuyant sur les informations données par le graphique. \par

\medskip

\emph{Pour chaque question, une seule réponse est exacte. L'exercice consiste à cocher la réponse exacte sans justification. Une bonne réponse apporte $0,5$ point, une mauvaise enlève $0,25$ point. L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points de l'exercice est négatif, il est ramené à~$0$.}

\newpage
\textbf{COMPLÉTER LE DOCUMENT RÉPONSE EN ANNEXE.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{9cm}|X|}\hline
Questions& \\ \hline
\multirow{3}{9cm}{\textbf{1.} L'équation réduite de la tangente T à $C$ au	point A d'abscisse 1 est}&$\Box~$~~ $y = x - 1$\\ \cline{2-2}
&$\Box~$~~$y=x - 2$\\ \cline{2-2}
&$\Box~$~~$y = 2(x - 1)$\\ \hline
\multirow{3}{9cm}{\textbf{2.} L'équation $f'(x) = 0$ admet}&$\Box~$~~1 solution\\ \cline{2-2}
&$\Box~$~~	 2 solutions\\ \cline{2-2}
&$\Box~$~~	0 solution\\ \hline 
\multirow{3}{9cm}{\textbf{3.} La limite de $f(x)$ en $-\infty$ est}&$\Box~$~~$-\infty$\\ \cline{2-2}
&$\Box~$~~ $-5$\\ \cline{2-2}
&$\Box~$~~$6$\\ \hline 
\multirow{3}{9cm}{\textbf{4.} La fonction $\ln f$ est définie sur}&$\Box~$~~	$[- \infty~ ;~ 6]$\\ \cline{2-2}
&$\Box~$~~]0 ; 6]\\ \cline{2-2}
&$\Box~$~~]1 ; 6]\\ \hline 
\multirow{3}{9cm}{\textbf{5.} La fonction $\ln f$ s'annule exactement}&$\Box~$~~1 fois\\ \cline{2-2}
&$\Box~$~~ 2 fois\\ \cline{2-2}
&$\Box~$~~ 0 fois\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie du QCM, on appelle $g$ la fonction définie sur $]- \infty~;~6]$ par son expression 

$g(x) = \text{exp}[f(x)]$.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{9cm}|X|}\hline
Questions& \\ \hline
\multirow{3}{9cm}{\textbf{6.} La fonction $g$ est strictement crois\-sante sur	}&$\Box~$~~$]-\infty~;~3]$\\ \cline{2-2}
&$\Box~$~~] 1 ; 6]\\ \cline{2-2}
&$\Box~$~~$]- \infty~ ;~6]$\\ \hline
\multirow{3}{9cm}{\textbf{7.} $g'(1)$ est égal à}&$\Box~$~~2\\ \cline{2-2}
&$\Box~$~~0\\ \cline{2-2}
&$\Box~$~~2e\\ \hline
\multirow{3}{9cm}{\textbf{8.} La fonction $g$ s'annule exactement}&$\Box~$~~1 fois\\ \cline{2-2}
&$\Box~$~~ 2 fois\\ \cline{2-2}
&$\Box~$~~ 0 fois\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Les parties} A \emph{et} B \emph{sont indépendantes.}

\medskip

Les places d'une salle de cinéma sont toutes occupées. Le film proposé est une rediffusion d'une comédie à grand succès. Dans cette salle, les hommes représentent 25\:\%
 des spectateurs, les femmes $\dfrac{2}{5}$ des spectateurs et les autres spectateurs sont des enfants.
 
$\dfrac{1}{5}$	des hommes et 30\,\%  des femmes ont déjà vu ce film au moins une fois. À la fin de la projection, on interroge au hasard une personne sortant de la salle.

On appelle :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[]  $H$ l'évènement: \og la personne interrogée est un homme \fg
\item[]  $F$ l'évènement: \og la personne interrogée est une femme \fg
\item[]  $E$ l'évènement: \og la personne interrogée est un enfant \fg
\item[]  $V$ l'évènement: \og la personne interrogée avait déjà vu le film avant cette projection \fg
\item[]  $\overline{V}$ l'évènement: \og  la personne interrogée n'avait jamais vu le film avant cette projection \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

La notation $p(A)$ désigne la probabilité de l'évènement $A$.

La notation $p_{B}(A)$ désigne la probabilité de l'évènement $A$ sachant que $B$ est réalisé.

\bigskip
   
\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide des notations ci-dessus, traduire la situation décrite en recopiant et en complétant l'arbre pondéré dont le départ est proposé ci-dessous. On prendra soin de le compléter au fur et à mesure.

\medskip

\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$H$}\taput{0,25}}{
\TR{}  \TR{}}
\TR{$F$}
\TR{$E$}
}
\end{center}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Exprimer à l'aide d'une phrase l'évènement $H \cap V$. 
		\item  Donner $p_{H}$(V) et en déduire $p(H \cap V)$.
	\end{enumerate}
\item  La probabilité que l'évènement $V$ soit réalisé est égale à $0,345$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $p\left(\overline{V}\right)$.
		\item Déterminer la probabilité que si l'on interroge un enfant, il ait déjà vu ce film au moins une fois avant cette projection.
	\end{enumerate}
\item  On interroge au hasard et successivement quatre personnes sortant de la salle. On suppose que le nombre de spectateurs est suffisamment grand pour assimiler l'interrogation au hasard d'un spectateur à un tirage avec remise. Quelle est la probabilité arrondie à $10^{-3}$ près, qu'au moins une personne ait déjà vu le film avant cette projection ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

À la fin de l'année, une étude nationale a été réalisée sur le nombre de fois qu'un spectateur sortant de la salle est allé voir ce film. Le tableau ci-dessous, pour lequel il manque une valeur notée $q$ représente la loi de probabilité du nombre de fois que le spectateur est allé voir ce film.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de fois	&1		&2		& 3		&4		&5 		&6\\ \hline
probabilité		&0,55	&0,15	&0,15	&0,05	&$q$	&0,05\\ \hline
\end{tabularx}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $q$.
\item En déduire l'espérance mathématique, arrondie à l'unité de cette loi de probabilité et interpréter le résultat obtenu.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Une grande ville a créé un jardin pédagogique sur le thème de l'écologie, jardin qui doit être visité par la suite par la majorité des classes de cette ville.

Ce jardin comporte six zones distinctes correspondant aux thèmes :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\small}X}}
A. Eau&	B. économie d'énergies&	C. Plantations et cultures locales\\
D. Développement durable& E. Biotechnologies& 		F. Contes d'ici (et d'ailleurs)\\
\end{tabularx}

\medskip

Ces zones sont reliées par des passages (portes) où sont proposés des questionnaires.

Le jardin et les portes sont représentés par le graphe ci-dessous (chaque porte et donc chaque questionnaire est représenté par une arête).

\medskip

\begin{center}
\begin{pspicture}(8,6)
\uput[d](2,0){C} \uput[l](0,2){B} \uput[l](0,4){A}
\uput[dr](5,1){D} \uput[dr](8,2.5){E} \uput[r](6.5,5){F}
\psline(0,4)(0,2)(6.5,5)(0,4)(5,1)(8,2.5)(0,2)(2,0)(5,1)%ABFADEBCD
\psline(0,2)(5,1)%BD
\psline(0,4)(2,0)%AC
\end{pspicture}
\end{center}
\emph{Question préliminaire :}

Si un visiteur répond à tous les questionnaires, à combien de questionnaires aura-t-il répondu ?

\medskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner la matrice G associée à ce graphe.
\item Le graphe est-il complet ? Est-il connexe ? Justifier. 
\item Peut-on parcourir le jardin en répondant à tous les questionnaires et sans repasser deux fois devant le même questionnaire :
	\begin{enumerate}
		\item en commençant la visite par n'importe quelle zone ?
		\item en commençant la visite par la zone C (plantations et cultures) ? Dans ce cas, si la réponse est positive, quelle sera la dernière zone visitée.
		
(Dans les deux cas, \textbf{a} et \textbf{b}, justifiez votre réponse.)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

Pour illustrer chaque zone et présenter légendes et commentaires, les enfants ont décidé d'utiliser des supports de couleurs différentes.
Pour limiter le nombre de couleurs, on utilise des couleurs différentes seulement si les zones sont limitrophes (avec un passage entre les deux).
\begin{enumerate}
\item  Donner et justifier un encadrement du nombre chromatique de ce graphe. 
\item  Déterminer alors en utilisant un algorithme adapté le nombre chromatique de ce graphe et proposer une répartition des couleurs.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\psset{unit=1.25cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-5)(7,4)
\uput[ul](1,0){A} \uput[ul](2,3){B}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](1,0)(2,3)
\psplot{-0.67}{2.25}{3 x mul 3 sub}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.264}{6.65}{4 x sub x ln mul}
\rput(2.5,0.5){S}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{4}{4 x sub x ln mul}
\psline(1,0)(4,0)}
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2,griddots=10,gridwidth=0.75pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-1,-5)(7,4)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1,-5)(7,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\end{pspicture}

\end{center}

On considère la fonction $f$ dont la courbe représentative $\mathcal{C}$ est représentée ci-dessus dans le plan muni d'un repère orthonormal.

La courbe $\mathcal{C}$ passe par le point A(1~;~0) et admet la droite (AB) pour tangente à la courbe $\mathcal{C}$.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Pour tout réel $x$ de $]0~;~+ \infty[,~f(x) = (ax + b)\ln x$ où $a$ et $b$ sont deux réels.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$.
\item  Sans justifier et par lecture graphique, donner $f(4)$ et  $f'(1)$.
\item  Justifier que $a$ et $b$ sont solutions du système d'équations suivant : 

$\left\{\begin{array}{l c l}
4a + b&=&0\\
a + b&=&3\\
\end{array}\right.$.
 Déterminer $a$ et $b$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On admet que la fonction précédente est définie pour tout $x$ de $]0~;~ + \infty[$ par 

\[f(x) = (4 - x)\ln x.\]

On appelle S l'aire hachurée sous la courbe $\mathcal{C}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit $F$ la fonction définie et dérivable sur $]0~;~ + \infty[$ par 
\[F(x) = - \dfrac{1}{2}\left(x^2\ln x - \dfrac{x^2}{2} -  8x\ln x + 8x\right).\]

Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $]0~;~ + \infty[$.
\item  En déduire la valeur exacte de I $= \displaystyle\int_{1}^4 f(x)\:\text{d}x.$
\item  Donner une valeur arrondie à $10^{-1}$ de S exprimée en unités d'aire. Justifier.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
\emph{Les parties A et B sont indépendantes.}

\medskip

Le tableau ci-dessous donne le nombre de ménages (en milliers) équipés d'un ordinateur entre les années 1986 et 1996.

\medskip

{\small \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.6cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année&1986	&1987	&1988	&1989	&1990	&1991	&1992	&1993	&1994	&1995	&1996\\ \hline
Rang $x_{i}$&0		&1	&2	&3		&4		&5		&6		&7		&8		&9		&10\\ \hline
Nombre de  
ménages $y_{i}$	&160&235	&345	&510	&760	&\np{1160}&\np{1780}&\nombre{2600}&\np{3850}&\np{5400}&\np{7300}\\ \hline
\end{tabularx}}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer le pourcentage d'évolution du nombre de ménages équipés d'un ordinateur entre les années 1986 et 1987.
\item  Si ce pourcentage était resté le même d'année en année jusqu'en 1996, quel aurait été le nombre de ménages équipés en 1996 ? (on arrondira en millier).
\item  On pose $z = \ln y$.
	\begin{enumerate}
		\item Compléter le tableau donné en ANNEXE 2 (arrondir les valeurs au centième).
		\item 	Construire le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~ z_{i}\right)$ pour $i$ allant de $0$ à $10$ dans le repère donnée en ANNEXE 2.
		\item 	Donner une équation de la droite $d$ d'ajustement de $z$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au centième). 
		
Tracer cette droite dans le repère précédent.
\item 	Déduire de ce qui précède que l'on peut modéliser l'expression de $y$ en fonction de $x$ sous la forme $y = a\text{e}^ {bx},\: a$ étant un réel arrondi à l'entier le plus proche et $b$ un réel arrondi au centième.

En déduire dans ce cas, une estimation arrondie au millier du nombre des ménages qui auraient dû être équipés en 2000.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

En fait le nombre de ménages équipés en 2000 est de \nombre{15400000}.\\
On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par 

\[f(t) = \dfrac{20}{1 + \nombre{2000}\text{e}^{-0,44t}}\]

On estime alors que sur la période de 1980 à 2015 l'équipement des ménages en ordinateur peut être modélisé par la fonction $f$ définie ci-dessus. Ainsi, le nombre de ménages équipés en $1980 + n$, exprimé en millions, est donné par $f(n)$.
\begin{enumerate}
\item  Déterminer une estimation arrondie au millier du nombre des ménages équipés en 2002 puis en 2003.
\item Prouver que la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0~;~+ \infty[$.
	\begin{enumerate}
		\item En quelle année le nombre de ménages équipés a-t-il atteint 18 millions selon l'estimation ?
		\item Déterminer la limite de $f$  en $+ \infty$. Interpréter le résultat obtenu.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE 1 à RENDRE AVEC LA COPIE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{9cm}|X|}\hline
Questions& \\ \hline
\multirow{3}{9cm}{\textbf{1.} L'équation réduite de la tangente T à $C$ au	point A d'abscisse 1 est}&$\Box~$~~ $y = x - 1$\\ \cline{2-2}
&$\Box~$~~$y=x - 2$\\ \cline{2-2}
&$\Box~$~~$y = 2(x - 1)$\\ \hline
\multirow{3}{9cm}{\textbf{2.} L'équation $f'(x) = 0$ admet}&$\Box~$~~1 solution\\ \cline{2-2}
&$\Box~$~~	 2 solutions\\ \cline{2-2}
&$\Box~$~~	0 solution\\ \hline 
\multirow{3}{9cm}{\textbf{3.} La limite de $f(x)$ en $-\infty$ est}&$\Box~$~~$-\infty$\\ \cline{2-2}
&$\Box~$~~ $-5$\\ \cline{2-2}
&$\Box~$~~$6$\\ \hline 
\multirow{3}{9cm}{\textbf{4.} La fonction $\ln f$ est définie sur}&$\Box~$~~	$[- \infty~ ;~ 6]$\\ \cline{2-2}
&$\Box~$~~]0 ; 6]\\ \cline{2-2}
&$\Box~$~~]1 ; 6]\\ \hline 
\multirow{3}{9cm}{\textbf{5.} La fonction $\ln f$ s'annule exactement}&$\Box~$~~1 fois\\ \cline{2-2}
&$\Box~$~~ 2 fois\\ \cline{2-2}
&$\Box~$~~ 0 fois\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie du QCM, on appelle $g$ la fonction définie sur $]- \infty~;~6]$ par son expression 

$g(x) = \text{exp}[f(x)]$.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{9cm}|X|}\hline
Questions& \\ \hline
\multirow{3}{9cm}{\textbf{6.} La fonction $g$ est strictement crois\-sante sur	}&$\Box~$~~$]-\infty~;~3]$\\ \cline{2-2}
&$\Box~$~~] 1 ; 6]\\ \cline{2-2}
&$\Box~$~~$]- \infty~ ;~6]$\\ \hline
\multirow{3}{9cm}{\textbf{7.} $g'(1)$ est égal à}&$\Box~$~~2\\ \cline{2-2}
&$\Box~$~~0\\ \cline{2-2}
&$\Box~$~~2e\\ \hline
\multirow{3}{9cm}{\textbf{8.} La fonction $g$ s'annule exactement}&$\Box~$~~1 fois\\ \cline{2-2}
&$\Box~$~~ 2 fois\\ \cline{2-2}
&$\Box~$~~ 0 fois\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE 2 à RENDRE AVEC LA COPIE}

\bigskip

\textbf{Exercice 4\\ Commun à tous les candidats}

\bigskip

{\small \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{1.6cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année&	1986 &1987& 1988& 1989& 1990& 1991&1992 &1993&1994 & 1995&1996\\ \hline
Rang $x_{i}$&0	&1	&	2	&	3&	4	&5	&	6&	7& 	 8&	9&	10\\ \hline
Nombre de  ménages $z_{i} = \ln y_{i}$&	&	&	&&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}}

\bigskip

\begin{pspicture*}(-1,-1)(10.5,10.6)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2,griddots=10,gridwidth=0.75pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(10.5,10.5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(10.5,10.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](10.4,0){$x$} \uput[dl](0,0){O}
\uput[l](0,10.4){$y$}
\end{pspicture*}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%  fin Liban juin 2007 
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%  Antilles-Guyane juin 2007
\hypertarget{Antilles}{}

\label{Antilles} 
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{ \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Antilles-Guyane 
juin 2007~\decofourright}}} 
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

Un commerçant vendant des produits biologiques propose quotidiennement des paniers légumes frais contenant 2~kg de légumes ou des paniers contenant 5~kg de légumes.

35\,\% des clients qui achètent ces paniers ont au moins un enfant.

Parmi ceux qui n'ont pas d'enfant, 40\,\% choisissent les paniers de 5~kg de légumes et les autres choisissent les paniers de 2~kg de légumes.

\smallskip

On interroge au hasard un client qui achète un panier de légumes.

\smallskip

On note $E$ l'évènement \og le client interrogé a au moins un enfant \fg{} ;
on note $C$ l'évènement \og le client interrogé a choisi un panier de 5~kg de légumes\fg.

\smallskip
 
Pour tout évènement $A$, on note $\overline{A}$ l'évènement contraire.

\smallskip

\emph{Tous les résultats seront donnés sous forme décimale arrondie au millième}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que le client interrogé n'ait pas d'enfant~?
\item Sachant que le client interrogé n'a pas d'enfant, quelle est la probabilité qu'il ait choisi un panier contenant 5~kg de légumes ?
\item Décrire l'évènement $\overline{E} \cap C$, et montrer que $p\left(\overline{E} \cap  C\right)=0,\!26$.
\item On sait de plus que 30\,\% des clients qui achètent des paniers choisissent des paniers de 5~kg.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $p(E \cap C)$.
		\item En déduire la probabilité conditionnelle de $C$ sachant que $E$ est réalisé.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité.}

\medskip

La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous représente une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle \mbox{$I = ]0~;~+\infty[$}. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle $I$.

Les axes (O$x$) et (O$y$) sont asymptotes à $\mathcal{C}$.

La courbe $\mathcal{C}$ passe par les points $A(1~;~-1)$ et $B\left(\dfrac{1}{\text{e}}~;~0\right)$ et admet une tangente parallèle à $(Ox)$ au point~$A$.

\begin{center}

\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-0.6,-2)(11.3,7.22)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=orange](0,0)(0,-2)(11.3,7.22)
\psset{algebraic=true,dotstyle=+,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt}
\psaxes[Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt,xlabelPos=top,linewidth=1pt ](0,0)(-0.52,-1.76)(11.3,7.)
\psaxes[Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt,xlabelPos=top,linewidth=1.5pt ]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=8000,linewidth=1.25pt]{0.139}{11.3}{(-1-ln(x))/x}
\psline{->}(1,-1)(1.86,-1)
\psline{->}(1,-1)(0.14,-1)
\uput[dl](0,0){O}
\rput[tl](8.64,-0.5){\blue $\mathcal{C}$}
\psdots[dotscale=1.7,dotangle=45](1,-1)(0.368,0)
\rput[bl](1.08,-1.34){$A$}
\psdots[linecolor=darkgray](0.37,0)
\uput[dr](0.44,0){\darkgray{$B$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\smallskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant les données ci-dessus, déterminer sans justification :
	\begin{enumerate}
		\item $f(1)$ et $f'(1)$.
		\item $\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$.
		\item les solutions de l'inéquation $f(x)\geqslant 0$ et les solutions de l'inéquation $f'(x)\geqslant 0$.
	\end{enumerate}
\item On admet que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $I$, $f(x)=\dfrac{a+b\ln x}{x}$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $f'(x)$ en fonction des réels $a$ et $b$.
		\item Utiliser les résultats de la question 1a. pour montrer que $a=-1$ et $b = -1$.
		\item Retrouver les résultats de la question 1c par le calcul.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Réservé aux candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Dans un pays,  un organisme étudie l'évolution de la population. Compte tenu des naissances et des décès, on a constaté que la population a un taux d'accroissement naturel et annuel de 14 pour mille.

De plus, chaque année, \np{12000}~personnes arrivent dans ce pays et \np{5000}~personnes le quittent.

En 2005, la population de ce pays était de 75 millions d'habitants. On suppose que l'évolution ultérieure obéit au modèle ci-dessus.

On note $P_{n}$ la population de l'année $2005 + n$ exprimée en milliers d'habitants.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $P_{0}$, $P_{1}$ et $P_{2}$. La suite de terme général $P_{n}$ est-elle arithmétique~? géométrique~? Justifier la réponse.
\item Expliquer pourquoi on obtient, pour tout entier naturel $n$, $P_{n+1}=1,\!014P_{n}+7.$
\item Démontrer que la suite $(U_{n})$ définie par $U_{n}=P_{n}+500$ pour tout entier naturel $n$ est une suite géométrique. Déterminer sa raison et son premier terme.
\item Exprimer $U_{n}$ puis $P_{n}$ en fonction de $n$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Combien d'habitants peut-on prévoir en 2010 ?
		\item Au bout de combien d'années la population aura-t-elle doublé par rapport à l'année 2005 ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le tableau ci-dessous donne une estimation du montant des achats en ligne des ménages français, en millions d'euros, de 1998 à 2004.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Année 					&1998 	&1999 	&2000 	&2001 	&2002 	&2003 	&2004\\\hline
Rang de l'année $x_{i}$ &0 		&1 		&2		&3		&4		&5		&6\\\hline
Montant en millions
d'euros $y_{i}$ 		&75		&260	&820	&1650	&2300	&4000	&5300\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer  l'augmentation relative entre 2001 et 2002 du montant des achats.
\item Représenter par un nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal (unités graphiques: 2~cm pour une année sur l'axe des abscisses, 2~cm pour \np{1000} millions d'euros sur l'axe des ordonnées).
\item \emph{Dans cette question, les calculs, effectués à la machine, ne seront pas justifiés et seront arrondis à l'unité}.

Donner une équation des la droite d'ajustement affine $D$ de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés.

Représenter cette droite dans le repère précédent.
\item On propose  un deuxième ajustement de cette série statistique par la fonction $f$ définie, pour tout réel positif $x$, par: 
$f(x) = 130x^2 + 100x + 68$.

Recopier et compléter le tableau suivant:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
$x$&0&1&2&3&4&5&6\\
\hline
$f(x)$& &  & & & & & \\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}
Construire la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère précédent.
\item Le montant des achats en ligne en 2005 a été de \np{7700} millions d'euros. Lequel de ces deux ajustements vous paraît-il le plus conforme à la réalité ? Justifier votre réponse.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = x\text{e}^x-1$.

Le tableau suivant est le tableau de variations de la fonction $g$.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|ccccc|}
\hline
$x$ & $-\infty$ & $\qquad\qquad\qquad$ &$-1$&$\qquad\qquad\qquad$&$+\infty$\\
\hline
Signe de $g'(x)$ &&$-$&0&$+$&\\
\hline
&\rnode{a}{$-1$}& & & &\rnode{c}{$+\infty$}\\
Variations de $g$& & & & & \\
& & &\rnode{b}{$-\dfrac{1}{\text{e}-1}$}& & \\[2ex]
\hline
\end{tabular}
\ncline[nodesep=2pt]{->}{a}{b}
\ncline[nodesep=2pt]{->}{b}{c}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On admet que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $a$ strictement positive. En déduire le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$.
\item On note $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f(x)=\text{e}^x-\ln x$.
	\begin{enumerate}
		\item Étudier la limite de $f$ en $0$. Donner une interprétation graphique du résultat.		
		\item Vérifier que, pour tout $x > 0$, $f'(x) =\dfrac{g(x)}{x}$ où $f'$ est la fonction dérivée de $f$.
		\item Étudier les variations de $f$ puis établir son tableau de variations en admettant que la limite de $f$ en $+\infty$ est $+\infty$.
	\end{enumerate}
\item Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal.

Tracer la courbe $\mathcal{C}$ en prenant \np{0,57} comme valeur approchée de $a$.

(\emph{Prendre\: $4$~cm pour unité sur l'axe des abscisses et $2$~cm sur l'axe des ordonnées}).
\item On note $\mathcal{D}$ l'ensemble des points $M(x~;~y)$ du plan muni du repère ci-dessus tels que :

\[1\leqslant x\leqslant 2\quad \text{ et }\quad 0\leqslant y\leqslant f(x).\]

	\begin{enumerate}
		\item Hachurer le domaine $\mathcal{D}$.
		\item Vérifier que la fonction $H$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $H(x)=x\ln x-x$ est une primitive de la fonction $h$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $h(x)=\ln x$.
		\item En déduire une primitive $F$ de $f$ sur $]0~;~+\infty[$.
		\item Calculer l'aire du domaine $\mathcal{D}$, en unités d'aire, puis donner une valeur en cm\up{2}, arrondie au dixième.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%  fin Antilles-Guyane juin 2007
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Asie juin 2007
\hypertarget{Asie}{}

\label{Asie}
\lfoot{\small Baccalauréat ES  }
\rfoot{\small Asie juin 2007}
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \bf \decofourleft~Baccalauréat Asie ES juin 2007~\decofourright}\\
\end{center}

\bigskip

{\bf \large Exercice 1} \hfill{\bf 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{QCM}

\medskip

Pour chacune des questions, une seule des réponses A, B ou C est exacte.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.

Aucune justification n'est demandée.

\medskip

\textbf{NOTATION :} \emph{une réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse fausse enlève $0,25$ point, l'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est $0$.}

\medskip

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$, de dérivée $f'$. Son tableau de variations est donné ci-dessous. On nomme $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal.

\begin{center}\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(11,4)
\psframe(11,4)
\psline(2,0)(2,4) \psline(0,2)(11,2) 
 \psline(0,3)(11,3)
\psline(5,2)(5,3) \psline(8,2)(8,3)
\rput(1,1){$f(x)$} \rput(1,2.5){$f'(x)$}  \rput(1,3.5){$x$} 
\rput(2.3,3.5){$- \infty$}  \rput(5,3.5){$-2$} \rput(8,3.5){$2$} \rput(10.5,3.5){$+ \infty$}
\rput(3.5,2.5){$-$} \rput(5,2.5){$0$} \rput(6.5,2.5){$+$} \rput(8,2.5){$0$} \rput(9.5,2.5){$-$}
\rput(2.3,1.8){$+ \infty$} \rput(5,0.2){$-1$} \rput(8,1.2){e} \rput(10.7,0.2){$0$}
\psline{->}(2.7,1.8)(4.7,0.3) \psline{->}(5.4,0.3)(7.7,1) \psline{->}(8.4,1)(10.5,0.3) 
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  On peut affirmer que :

Réponse \textbf{A} : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$.

Réponse \textbf{B} : $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = + \infty$.

Réponse \textbf{C} : $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = + \infty$.

\item  La courbe $(\mathcal{C})$ admet :

Réponse \textbf{A} : la droite d'équation $x = 0$ pour asymptote.

Réponse \textbf{B} : la droite d'équation $x = 2$ pour asymptote.

Réponse \textbf{C} : la droite d'équation $y = 0$  pour asymptote.
\item  Dans $\R$ l'équation $f(x) = 0$ admet :

Réponse \textbf{A} : une unique solution

Réponse \textbf{B} : deux solutions distinctes.

Réponse \textbf{C} : trois solutions distinctes.
\item  Dans $\R$ l'inéquation $f(x) > 3$

Réponse \textbf{A} : n'a pas de solution.

Réponse \textbf{B} : a toutes ses solutions positives.

Réponse \textbf{C} : a toutes ses solutions négatives.
\end{enumerate}
 
\newpage
 
{\bf\large Exercice 2} \hfill{\bf 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le tableau ci-dessous rend compte de l'évolution du prix (en euros) du m$^3$ d'eau, dans une ville, entre 2002 et 2006.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.2cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Années&	2002&	2003&	2004&	2005&	2006\\ \hline
Rang de l'année $x_{i}$&	0&	1&	2&	3&	4\\ \hline
Prix en euros du m$^3$ d'eau $y_{i}$&	2,64	&2,76&	2,81&	2,95&	3,39\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{I.} Calculer le pourcentage d'augmentation du prix entre 2002 et 2006. Donner le résultat arrondi à 0,1\:\%.

\textbf{II.} Le nuage de points associé à cette série statistique est représenté ci-dessous :

\psset{xunit=2cm,yunit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-1)(5,4.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.5](0,0)(5,4)
\rput(2.5,4.25){\textbf{Évolution du prix du m\boldmath$^3$\unboldmath d'eau d'une ville}}
\rput{90}(-0.7,2){$y_{i}$ : prix du m$^3$ d'eau}
\rput{90}(-0.5,2){(en euros)}
\rput(2.5,-0.75){$x_{i}$ : rang de l'année}
\psline(5,0)(5,4)
\multido{\r=0+0.5}{9}{\psline(0,\r)(5,\r)}
\psdots[linecolor=blue](0,2.64)(1,2.76)(2,2.81)(3,2.95)(4,3.39) 
\end{pspicture}
\end{center}

L'allure du nuage suggère deux types d'ajustement :

\medskip

\begin{enumerate}
\item  \textbf{Ajustement affine}
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer à l'aide de la calculatrice une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés, les coefficients étant arrondis au centième.
		\item Quelle estimation du prix en euros (arrondie au centième d'euro) du m$^3$ d'eau peut-on en déduire pour 2010 ?
	\end{enumerate}
\item  \textbf{Ajustement exponentiel}

On pose $z_{i} = \ln y_{i}$.

On prend $z = 0,06x + 0,95$ pour équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés, avec $z =\ln y$.

	\begin{enumerate}
		\item En déduire qu'une relation entre $y$ et $x$ s'écrit alors sous la forme
		$y = \text{e}^{0,95} \cdot \text{e}^{0,06x}$.
		\item Quelle estimation du prix en euros (arrondie au centième d'euro) du m$^3$ d'eau peut-on en déduire pour 2010 ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
{\bf\large Exercice 3} \hfill{\bf 5 points}

{\bf Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Une île imaginaire dont la carte est représentée ci-dessous; est composée de six provinces, notées A, B, C, D, E et F.
 
\medskip
 
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,5)
\pscurve(0,3)(1,4.3)(2,4.7)(3,4.8)(4,4.6)(5,4.3)(6,3.85)(7,3.15)(8,2.8)(9,2.4)(9.8,1.3)(9,0.25)(8,0.1)(7,0.05)(6,0.1)(5,0.3)(4,0.45)(3,0.7)(2,1)(1,1.5)(0.1,2)(0,3)
\pscurve(1.8,1.05)(2.5,1.3)(3,1.9)(3.2,2.4)(3,3)(2.7,4)(2.75,4.8)
\pscurve(3.15,2.4)(4,2.2)(5,2.1)(5.2,2)
\pscurve(6.7,0.8)(6,1.15)(5.1,1.8)(5.2,2)(6,2.5)(7,2.3)(7.3,2.4)
\pscurve(5.6,2.3)(5.68,3)(6.1,3.75)
\pscurve(6.2,0.1)(6.8,1)(7,1.7)(7.4,2.5)(7.7,2.9)
\rput(8,1.4){A}  \rput(4.2,3.5){B}  \rput(1.5,2.7){C} 
\rput(6.3,1.7){D}  \rput(4.2,1.2){E}  \rput(6.4,3){F} 
\end{pspicture}
\end{center}
  
\medskip
  
On s'intéresse aux frontières séparant ces provinces. On traduit cette situation par un graphe dont les sommets sont les provinces et où chaque arête représente une frontière entre deux provinces.
  
On admet que le graphe $\mathcal{G}$ ci-dessous représente cette situation :
  
\medskip

\begin{center}
\begin{pspicture}(6,4)
\psline(0,3)(1,4)(3,0)(0,3)(4,3.5)(5,2)(1,0)(3,0)(4,3.5)%FADFBCEDB
\psline(1,4)(1,0)(4,3.5)%AEB
\uput[u](1,4){A} \uput[u](4,3.5){B} \uput[r](5,2){C} 
\uput[d](3,0){D} \uput[dl](1,0){E} \uput[l](0,3){F} 
\end{pspicture}
\end{center}  

\bigskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Donner l'ordre du graphe $\mathcal{G}$, puis le degré de chacun de ses sommets
		\item  Peut-on visiter cette île en franchissant une et une seule fois chacune des dix frontières ? Justifier Si oui, proposer un parcours possible.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Le graphe $\mathcal{G}$ possède-t-il un sous-graphe complet d'ordre 3 ? Si oui, en citer un.
		
Préciser, sans justification, si le graphe $\mathcal{G}$ possède un sous graphe complet d'ordre 4.

Quelle conséquence cela a-t-il sur le nombre chromatique $c$ du graphe $\mathcal{G}$ ?
		\item  Proposer une coloration de la carte (ou du graphe) avec le minimum de couleurs afin que deux provinces qui ont une frontière commune aient des couleurs différentes (on peut remplacer les couleurs par différents hachurages).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
{\bf \blue \large Exercice 3} \hfill{\bf 4 points}

{\bf Commun à tous les candidats}
 
\medskip
 
{\bf Partie A}

\medskip

Sur son trajet habituel pour aller travailler, un automobiliste rencontre deux feux tricolores successifs dont les fonctionnements sont supposés indépendants.

Ces feux sont réglés de telle sorte que la probabilité pour un automobiliste de rencontrer le feu au vert est $\dfrac{5}{12}$ à l'orange $\dfrac{1}{12}$ et au rouge $\dfrac{1}{2}$.

On note :
 
$R_{1}$ l'évènement : le premier feu rencontré est au rouge
  
$V_{1}$ l'évènement : le premier feu rencontré est au vert
  
$O_{1}$ l'évènement : le premier feu rencontré est à l'orange

et on définit de même $R_{2},\: V_{2},\: O_{2}$ pour le deuxième feu rencontré.

\medskip
   
\begin{enumerate}
\item  Quelle est la probabilité que l'automobiliste rencontre les deux feux au vert ?
\item  Calculer la probabilité pour qu'au moins l'un des deux feux rencontrés ne soit pas au vert
\end{enumerate}
 
\medskip
 
{\bf Partie B}

\medskip

On règle le deuxième feu afin de rendre la circulation des véhicules plus fluide.

L'arbre suivant modélise la nouvelle situation dans laquelle les fonctionnements des deux feux ne sont plus indépendants.

\medskip
 
\psset{unit=1.25cm}
\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R,levelsep=3cm]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$V_{1}$~}\taput{$\frac{5}{12}$}}
	  { 
		  \TR{$V_{2}$}\taput{$\frac{1}{4}$}
		  \TR{$O_{2}$}\tbput{$\frac{1}{4}$}	   
	  }
	\pstree{\TR{$R_{1}$~}\tbput{$\frac{1}{2}$}}
	  {
		  \TR{$V_{2}$}\taput{$\frac{7}{8}$}
		  \TR{$O_{2}$}\tbput{$\frac{1}{8}$} 
	  }
	\pstree{\TR{$O_{1}$~}\tbput{$\frac{1}{12}$}}
	  {
		  \TR{$V_{2}$}\taput{$\frac{3}{4}$}
		  \TR{$O_{2}$}\tbput{$\frac{1}{4}$}
	  }	
}
\end{center}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que l'automobiliste rencontre les deux feux au vert ? 
\item Quelle est la probabilité que le deuxième feu rencontré par l'automobiliste soit au vert ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
{\bf \large Exercice 4} \hfill{\bf 7 points}

{\bf Commun à tous les candidats}

\medskip

Une entreprise produit et vend un modèle de pièces pour hélicoptères. Pour des raisons techniques et de stockage, sa production mensuelle est comprise entre $100$ et $600$ pièces. Elle vend tout ce qui est produit.

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [1~;~6] par

\[f(x) = - x^2 + 10x - 9 - 8 \ln (x).\]

$f(x)$ représente le bénéfice mensuel, exprimé en dizaines de milliers d'euros, obtenu pour la vente de $x$ centaines de pièces.

La fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [1~;~6]. On note $f'$ sa fonction dérivée.
 
\bigskip

\textbf{Les questions 1 et 2 sont indépendantes}.

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que pour tout nombre reel $x$ appartenant à l'intervalle [1~;~6],
		
$f'(x) = \dfrac{-2(x - 1)(x - 4)}{x}$.
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [1~;~6].
		\item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~6].
		\item Quelle est la quantité de pièces à produire pour obtenir un bénéfice mensuel maximal ? Calculer ce bénéfice arrondi à l'euro près.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Prouver que la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par
		
$g(x) = x \ln(x) - x$  est une primitive de la fonction logarithme népérien sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
		\item En déduire une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~6].
		\item Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~6] (donner la valeur décimale arrondie au dixième).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\textbf{Rappel :} Soit $f$ une fonction et $[a~;~b]$ un intervalle sur lequel $f$ est définie et dérivable.

La valeur moyenne $m$ de $f$ sur un l'intervalle $[a~;~b]$, est le nombre $m$ tel que :

\[m = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x.\]
%%%%%%%%%%%%%%%  fin Asie juin 2007
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%  Centres étrangers juin 2007
\hypertarget{Centresetrangers}{}

\label{Centresetrangers}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft ~Baccalauréat ES Centres étrangers juin 2007~\decofourright}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Questionnaire à choix multiples}

\medskip

\emph{Pour chaque question, une seule réponse est exacte. L'exercice consiste à cocher la réponse exacte sans justification Une bonne réponse apporte $0,5$ point, une mauvaise enlève $0,25$ point. L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points de l'exercice est négatif, il est ramené à~$0$.}

\textbf{COMPLÉTER LE DOCUMENT RÉPONSE EN ANNEXE}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
\renewcommand\arraystretch{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{10cm}|X|}\hline
\multirow{3}{7cm}{\textbf{1.} $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \left(\text{e}^{-x^2 + 3}\right)$ est égale à :}	&$\Box~~+ \infty$ \\ \cline{2-2}
	&$\Box~~0$\\ \cline{2-2}
 	&$\Box~~\text{e}^3$\\ \hline
\multirow{3}{7cm}{\textbf{2.} $\text{e}^{\ln (2)} +\text{e} - 4$ est égal à :}&$\Box~~\text{e} - 2$\\ \cline{2-2}
	& $\Box~~\ln (2) +\text{e} - 4$\\ \cline{2-2}
	&$\Box~~-2$\\ \hline
\multirow{3}{7cm}{\textbf{3.} $\ln (1 - x) \geqslant 1$ est équivalente à :}	&$\Box~~x \leqslant 1 - \text{e}$\\ \cline{2-2}
				&$\Box~~x < 0$\\ \cline{2-2}
				&$\Box~~x  > -\text{e}$\\ \hline
\multirow{3}{10cm}{\textbf{4.}  La fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $f(x) = \ln (x)+2$ a pour primitive la fonction $F$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par :}&$\Box~~F(x) = x \ln (x)$\\ \cline{2-2}
	&$\Box~~F(x) = x \ln (x) - x$\\ \cline{2-2}	
 	&$\Box~~F(x) =  x\ln (x) + x$\\ \hline
 \end{tabularx}
 
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs. $A$ et $B$ sont deux évènements associés à une expérience aléatoire. On sait que 
$P(A) = a^2,~ P(B) =  b^2$ et 
$P(A \cap B) = 2ab$. Alors,

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{10cm}|X|}\hline
\multirow{3}{7cm}{\textbf{5.}  $P\left(\overline{A}\right)$ est égale à :}	&$\Box~~$ $(1 - a)(1 + a)$\\ \cline{2-2}
	&$\Box~~$ $a^2 - 1$\\ \cline{2-2}
	&$\Box~~$ $b^2 - a^2$\\ \hline
\multirow{3}{7cm}{\textbf{6.} $P(A \cup B)$ est égale à :}	&$\Box~~$ $(a+b)^2$\\ \cline{2-2}	
	&$\Box~~$ $(a - b)^2$\\ \cline{2-2}	
	&$\Box~~$ $a^2 + b^2$\\ \hline
\multirow{3}{7cm}{\textbf{7.} $P_{B}(A)$ est égale à:}		&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$ $\dfrac{a}{2b}$\\ \cline{2-2}
	&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$ $\dfrac{2b}{a}$\\ \cline{2-2}
	&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$ $\dfrac{2a}{b}$\\ \hline
 \end{tabularx}
 
\newpage

\textbf{Partie C}

\medskip

Soit $\left(U_{n}\right)_{n \geqslant 0}$,  la suite géométrique de premier terme $U_{0} =  2$ et de raison $ \dfrac{1}{2}$. Alors,

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{7cm}|X|}\hline
\multirow{3}{7cm}{\textbf{8.} $U_{n+1}$  est égale à :}&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$$U_{n} + \dfrac{1}{2}$\\ \cline{2-2}	
&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$$\dfrac{1}{2}U_{n}$\\ \cline{2-2}
&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$$\left(U_{n}\right)^{\frac{1}{2}}$\\ \hline
\multirow{3}{7cm}{\textbf{9.} $U_{n}$ est égale à :}&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$	$ 2 + \dfrac{1}{2}n$\\ \cline{2-2}
&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$	$2^{(1 - n)}$\\ \cline{2-2}
&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$$2^{(n+1)}$\\ \hline
\multirow{3}{7cm}{\textbf{10.} $U_{0} + U_{1} + U_{2} + U_{3} + U_{4}$ est égale à:}&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$  $\dfrac{31}{8}$\\ \cline{2-2}
&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$ $15$\\ \cline{2-2}
&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$ $ \dfrac{15}{8}$\\ \hline
\end{tabularx}
\renewcommand\arraystretch{1}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur I = [0 ; 4] ; sa courbe représentative est donnée ci-dessous dans un repère orthogonal . On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

Sont également tracées les tangentes à la courbe aux points d'abscisse $0$ et $2$ , ainsi que la droite ($d$) d'équation $y = x + 2$. Aux points d'abscisses $1$ et $3$ les tangentes à la courbe sont parallèles à l'axe des abscisses.

\bigskip

\parbox{0.59\textwidth}{
\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique, déterminer :
	\begin{enumerate}
		\item $f(0)$ et $f'(0)$.
		\item $f(1)$ et $f'(1)$.
		\item $f(2)$ et $f'(2)$.
		\item l'ensemble des réels $x$ tels que 
		
		$f(x) \leqslant  x + 2$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Par lecture graphique, dresser le tableau de variations de $f$ sur I ; on indiquera le signe de $f'(x)$.
		\item En déduire le tableau de variations de la fonction $g$ définie sur [0~;~4] par $g(x) =  \ln [f(x)]$
	\end{enumerate}.
\item On appelle $\mathcal{A}$ l'aire du domaine hachuré exprimée en unités d'aire. Parmi les trois propositions suivantes, déterminer celle qui est exacte, en la justifiant par des arguments géométriques
	\begin{enumerate}
		\item $0 \leqslant \mathcal{A} \leqslant 1$ 
		\item $1 \leqslant \mathcal{A} \leqslant 6$
		\item $6 \leqslant \mathcal{A} \leqslant 8$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
}
\hfill \parbox{0.36\textwidth}{
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(4.,12)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(-1,-1)(4,12)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=15](0,0)(-1,-1)(4,12)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\psline(-1,1)(4.5,6.5) \psline(0,2)(1.1111,12) \psline(-0.5,11.5)(3.5,-0.5)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{4}{x 3 sub 2 exp x mul 2 add}
\uput[u](3.9,0){$x$}\uput[r](0,11.8){$y$}
\uput[dl](0,0){O} \uput[u](-1,1){($d$)}
\pscustom[fillstyle=vlines,hatchcolor=blue]
{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{2}{4}{x 3 sub 2 exp x mul 2 add}
\psline(4,6)(2,4)
}
\end{pspicture}
}

\begin{enumerate}[resume] 
\item On suppose que $f(x) =  mx^3 + nx^2 + px + q$, où $m,~ n,~ p$ et $q$ sont des réels. 
	\begin{enumerate}
		\item  En utilisant les résultats de la question 1 a, déterminer $p$ et $q$. 
		\item  En utilisant les résultats de la question 1 b, déterminer $m$ et $n$.
	\end{enumerate}
\item On admet que $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que les tangentes à la courbe aux points d'abscisses $0$ et $4$ sont parallèles. 
		\item  Calculer, en unités d'aire, l'aire $\mathcal{A}$ du domaine hachuré.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{center}
\emph{Les parties} A \emph{et} B \emph{sont indépendantes}
\end{center}

L'objet d'étude est le réseau des égouts d'une ville. Ce réseau est modélisé par le graphe ci-dessous : les sommets représentent les stations et les arêtes, les canalisations.

\vspace*{-0.5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,3.4)
\psline(0,1.5)(1.5,3)(5.2,3)(7.3,0.5)(5.2,0)(1.5,0)(5.2,3)(7.3,0.5)(7.5,2.5)%EADGCBDGS
\psline(0,1.5)(1.5,0)%EB
\psline(1.5,3)(5.2,0)(7.5,2.5)(5.2,3)%ACSD
\psline(1.5,3)(1.5,0)%AB
\psline(5.2,3)(5.2,0)%DC
\uput[u](1.5,3){A} \uput[d](1.5,0){B} \uput[d](5.2,0){C} \uput[u](5.2,3){D} 
\uput[l](0,1.5){E} \uput[r](7.3,0.5){G} \uput[r](7.5,2.5){S} 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Ce graphe admet-il une chaîne eulérienne ?
\item Justifier que le nombre chromatique de ce graphe est compris entre 4 et 6.
\end{enumerate}	
	
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{center}
\begin{pspicture}(8,3.4)
\psline(0,1.5)(1.5,3)(5.2,3)(7.3,0.5)(5.2,0)(1.5,0)(5.2,3)(7.3,0.5)(7.5,2.5)%EADGCBDGS
\psline(0,1.5)(1.5,0)%EB
\psline(1.5,3)(5.2,0)(7.5,2.5)(5.2,3)%ACSD
\psline(1.5,3)(1.5,0)%AB
\psline(5.2,3)(5.2,0)%DC
\uput[u](1.5,3){A} \uput[d](1.5,0){B} \uput[d](5.2,0){C} \uput[u](5.2,3){D} 
\uput[l](0,1.5){E} \uput[r](7.3,0.5){G} \uput[r](7.5,2.5){S}
\rput(0.7,2.4){4}  \rput(0.7,0.6){7}  \rput(1.4,1.5){2}  \rput(2.5,2.4){8}  
\rput(2.8,1.25){6}  \rput(3.4,3.15){9}  \rput(3.2,-0.2){5}  \rput(5.1,1.5){3}  
\rput(6,2.25){5}  \rput(5.8,0.85){8}  \rput(6.8,2.85){8}  \rput(7.6,1.6){5}  
\rput(6.5,0.15){4}  
\end{pspicture}
\end{center}
Le graphe pondéré ci-dessus donne, en minutes, les durées des trajets existant entre les différentes stations du réseau des égouts.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un ouvrier doit se rendre par ce réseau de la station E à la station S. Déterminer, en utilisant un algorithme, le trajet le plus rapide pour aller de E à S et préciser sa durée.
\item Ayant choisi le trajet le plus rapide, l'ouvrier arrivant en C, apprend que les canalisations CG et CS sont fermées pour cause de travaux et qu'il ne peut les utiliser.
	\begin{enumerate}
		\item Comment peut-il terminer, au plus vite, son trajet jusqu'à S ? Combien de temps le trajet entre E et S prendra-t-il dans ce cas ?
		\item S'il avait su dès le départ que les canalisations CG et CS étaient impraticables, quel trajet aurait choisi l'ouvrier pour se rendre, au plus vite de E à S ? Combien de temps ce trajet aurait-il pris ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On suppose que, pour tous les jours de septembre, la probabilité qu'il pleuve est $\dfrac{1}{4}$.

S'il pleut, la probabilité que Monsieur X arrive à l'heure à son travail est $\dfrac{1}{3}$.

S'il ne pleut pas, la probabilité que Monsieur X arrive à l'heure à son travail est $\dfrac{5}{6}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter par un arbre de probabilité la situation ci-dessus.
\item Quelle est la probabilité qu'un jour de septembre donné, il pleuve et que Monsieur X arrive à l'heure à son travail ?
\item Montrer que la probabilité qu'un jour de septembre donné, Monsieur X arrive à l'heure à son travail est $\dfrac{17}{24}$.
\item Un jour de septembre donné, Monsieur X arrive à l'heure à son travail.\\
Quelle est la probabilité qu'il ait plu ce jour là ?
\item Sur une période de 4 jours de septembre, quelle est la probabilité que
Monsieur X arrive à l'heure au moins une fois ? \emph{On arrondira le résultat à $10^{-3}$ près.}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On s'intéresse à la production mensuelle d'une certaine catégories d'articles par une entreprise E. On sait que le nombre d'articles produits par mois est compris entre $0$ et $500$. On suppose que le coût marginal, exprimé en milliers d'euros, peut être modélisé par la fonction $C$ définie sur l'intervalle [0~;~5] par 

\[C(x) = 4x + (1 -  2x)\text{e}^{-2x + 3}\]

où $x$ représente le nombre de centaines d'articles fabriqués.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On sait que la fonction coût total, notée $C_{T}$, est la primitive de la fonction $C$ sur [0~;~5] qui s'annule pour $x =0$.

Justifier que $C_{T}(x) =  2x^2 + x\text{e}^{-2x + 3}$.
\item La fonction coût moyen, notée $C_{M}$ est la fonction définie sur ]0 ; 5] par :

\[C_{M}(x) = \dfrac{C_{T}(x)}{x}.\]

Donner une expression de $C_{M}(x)$, en fonction de $x$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer $C_{M}'(x)$ où $C_{M}'$ désigne la fonction dérivée de $C_{M}$.
		\item  Résoudre dans $\R$ l'équation : 	 $1 - \text{e}^{-2x + 3} =  0$.
		\item  Résoudre dans $\R$ l'inéquation : $1 - \text{e}^{-2x + 3} >  0$.
		\item  En déduire le sens de variations de $C_{M}$ sur ]0~;~5].
	\end{enumerate}
\item Pour quelle production l'entreprise a-t-elle un coût moyen minimal et quel est ce coût en euros ?
\item Chaque centaine d'articles est vendue \np{7000}~\euro. La recette totale pour $x$ centaines d'articles est donnée, en admettant que toute la production soit vendue, par $R_{T}(x) = 7x$ en milliers d'euros.

Le bénéfice est donc défini par $B(x) = R_{T}(x) - C_{T}(x)$.
	\begin{enumerate}
		\item  En \textbf{annexe 2} sont représentées les fonctions $C_{T}$ et $R_{T}$.
		
Par lecture graphique déterminer :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item le coût moyen minimal,
\item l'intervalle dans lequel doit se situer la production $x$ pour qu'il y ait un bénéfice positif de l'entreprise E,
\item la production $x_{0}$ pour laquelle le bénéfice est maximal.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On fera apparaître les constructions nécessaires.
		\item Avec l'aide de votre calculatrice, affiner l'intervalle (à un article près) dans lequel doit se situer la production $x$ pour qu'il y ait un bénéfice positif de l'entreprise E.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Annexe 1\hfill à rendre avec la copie}

Exercice 1 : commun à tous les candidats

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{10cm}|X|}\hline
\multirow{3}{7cm}{\textbf{1.} $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \left(\text{e}^{-x^2 + 3}\right)$ est égale à :}	&$\Box~~+ \infty$ \\ \cline{2-2}
		&$\Box~~0$\\ \cline{2-2}
 		&$\Box~~\text{e}^3$\\ \hline
\multirow{3}{7cm}{\textbf{2.} $\text{e}^{\ln (2)} +\text{e} - 4$ est égal à :}&$\Box~~\text{e} - 2$\\ \cline{2-2}
		& $\Box~~\ln (2) +\text{e} - 4$\\ \cline{2-2}
		&$\Box~~-2$\\ \hline
\multirow{3}{7cm}{\textbf{3.} $\ln (1 - x) \geqslant 1$ est équivalente à :}	&$\Box~~x \leqslant 1 - \text{e}$\\ \cline{2-2}
		&$\Box~~x < 0$\\ \cline{2-2}
		&$\Box~~x  > -\text{e}$\\ \hline
\multirow{3}{10cm}{\textbf{4.}  La fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $f(x) = \ln (x)+2$ a pour primitive la fonction $F$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par :}&$\Box~~F(x) = x \ln (x)$\\ \cline{2-2}
		&$\Box~~F(x) = x \ln (x) - x$\\ \cline{2-2}	
 		&$\Box~~F(x) =  x\ln (x) + x$\\ \hline
 \end{tabularx}
 
\medskip

\noindent\textbf{Partie B}

\medskip
\renewcommand\arraystretch{1.6}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{10cm}|X|}\hline
\multirow{3}{7cm}{\textbf{5.}  $P\left(\overline{A}\right)$ est égale à :}	&$\Box~~$ $(1 - a)(1 + a)$\\ \cline{2-2}
		&$\Box~~$ $a^2 - 1$\\ \cline{2-2}
		&$\Box~~$ $b^2 - a^2$\\ \hline
\multirow{3}{7cm}{\textbf{6.} $P(A \cup B)$ est égale à :}	&$\Box~~$ $(a+b)^2$\\ \cline{2-2}	
		&$\Box~~$ $(a - b)^2$\\ \cline{2-2}	
		&$\Box~~$ $a^2 + b^2$\\ \hline
\multirow{3}{7cm}{\textbf{7.} $P_{B}(A)$ est égale à:}		&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$ $\dfrac{a}{2b}$\\ \cline{2-2}
		&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$ $\dfrac{2b}{a}$\\ \cline{2-2}
		&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$ $\dfrac{2a}{b}$\\ \hline
 \end{tabularx}
 
\medskip

\noindent\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{10cm}|X|}\hline
\multirow{3}{7cm}{\textbf{8.} $U_{n+1}$  est égale à :}&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$$U_{n} + \dfrac{1}{2}$\\ \cline{2-2}	
&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$$\dfrac{1}{2}U_{n}$\\ \cline{2-2}
&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$$\left(U_{n}\right)^{\frac{1}{2}}$\\ \hline
\multirow{3}{7cm}{\textbf{9.} $U_{n}$ est égale à :}&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$	$ 2 + \dfrac{1}{2}n$\\ \cline{2-2}
&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$	$2^{(1 - n)}$\\ \cline{2-2}
&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$$2^{(n+1)}$\\ \hline
\multirow{3}{7cm}{\textbf{10.} $U_{0} + U_{1} + U_{2} + U_{3} + U_{4}$ est égale à:}&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$  $\dfrac{31}{8}$\\ \cline{2-2}
&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$ $15$\\ \cline{2-2}
&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$ $ \dfrac{15}{8}$\\ \hline
\end{tabularx}
\renewcommand\arraystretch{1}
\newpage

\textbf{Annexe 2\hfill à rendre avec la copie}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 : commun à tous les candidats}

\vspace{3cm}

\begin{center}
\psset{xunit=2.4cm,yunit=1.8mm}
\begin{pspicture}(5,50)
\multido{\n=0+0.2}{26}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.4pt](\n,0)(\n,50)}
\multido{\n=0+2}{26}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.4pt](0,\n)(5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=10]{->}(0,0)(5,50)
\uput[d](5.1,0){$x$} \uput[l](0,50){$y$}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=8000]{0}{5}{2.71828 3 2 x mul sub exp  x  mul  x 2 exp 2 mul add}
\psplot{0}{5}{7 x mul}
\psline[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](1,-6)(1.75,-6) \rput(3,-6){Courbe représentative de $C_{T}$}
\psline(1,-10)(1.75,-10) \rput(3,-10){Courbe représentative de $R_{T}$}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%  fin Centres étrangers juin 2007
\newpage
%%%%%%%%%%%%%  Métropole juin 2007
\hypertarget{Metropole}{}

\label{Metropole}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small 14 juin 2007}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Métropole 14 juin 2007~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{QCM}

\medskip

Pour chacune des questions, une seule des réponses A, B ou C est exacte.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.

Aucune justification n'est demandée.

\emph{NOTATION : une réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse fausse enlève $0,25$ point, l'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est $0$.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Pour tout nombre réel $a$ et pour tout nombre réel $b$, on peut affirmer que $\dfrac{\text{e}^a}{\text{e}^b}$ est égal à :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
Réponse \textbf{A} :~$\text{e}^{\left(\frac{a}{b}\right)}$ 	&Réponse \textbf{B} :~ $\text{e}^{(a - b)}$	&Réponse \textbf{C} : ~$\text{e}^{a} - \text{e}^{b}$  \\
\end{tabularx}
\item  On considère trois fonctions $f,~ g$ et $h$ définies sur $\R$ telles que, pour tout nombre réel 

$x,\:f(x) \leqslant  g(x) \leqslant  h(x)$.\\
Si l'on sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = +\infty$ alors on peut en déduire que :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
Réponse \textbf{A} :~$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = +\infty$ 	&Réponse \textbf{B} : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = -\infty$	&Réponse \textbf{C} :  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} h(x) = +\infty$ \\
\end{tabularx}
\item  On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$, de dérivée $f'$. On donne ci-dessous son	 tableau de variations.

\bigskip

\psset{unit=0.876cm}
\hspace{-1cm}\begin{pspicture}(14,4.5)
\psframe(14,4.5) \psline(2,0)(2,4.5) \psline(0,2.5)(14,2.5)
\psline(0,3.5)(14,3.5)
\psline[linewidth=1.pt]{->}(2.6,0.5)(5.7,2.1)
\psline[linewidth=1.pt]{->}(6.3,2.1)(9.7,0.5)
\psline[linewidth=1.pt]{->}(10.3,0.5)(13.4,2.1)
\rput(1,4){$x$} \rput(1,3){$f'(x)$} \rput(1,1.25){$f(x)$}
\uput[u](2.3,3.7){$- \infty$ } \uput[u](6,3.7){$-1$} \uput[u](10,3.7){$1$} 
\uput[u](13.6, 3.7){$+ \infty$} \uput[u](4,2.7){$+$} \uput[u](6,2.7){$0$} 
\uput[u](8,2.7){$-$} \uput[u](10,2.7){$0$} \uput[u](12,2.7){$+$}
\uput[u](2.2,0){$0$} \uput[d](6,2.5){e} \uput[u](10,0){$\sqrt{2}$} \uput[d](13.6,2.5){$+ \infty$}
\end{pspicture}

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item  L'équation $f(x) =1$ admet dans $\R$:

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
Réponse \textbf{A} :trois solutions 	&Réponse \textbf{B} : deux solutions	&Réponse \textbf{C} :  une solution \\
\end{tabularx}
		\item  On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère \Oij.\\
La tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ peut avoir pour équation :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
Réponse \textbf{A} :~$y=-3x+2$ 	&Réponse \textbf{B} : $y = 3x+2$	&Réponse \textbf{C} : $y= -4$  \\
\end{tabularx}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}\\

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans un pays européen, le montant des recettes touristiques, exprimé en millions d'euros, est donné dans le tableau ci-dessous :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année					&2000		&2001		&2002		&2003		&2004		&2005\\ \hline
Rang de l'année $x_{i}$	&0			&1			&2			&3			&4			&	5\\ \hline
Montant des recettes
 touristiques $y_{i} $ en
  millions d'euros		&\np{24495}	&\np{26500}	&\np{29401}	&\np{33299}	&\np{33675}	&\np{34190}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On utilise un ajustement affine. Donner, à l'aide de la calculatrice, l'équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés.

Les coefficients, obtenus à l'aide de la calculatrice, seront arrondis au centième.
\item  En supposant que cet ajustement est valable jusqu'en 2007, calculer le montant que l'on peut prévoir pour les recettes touristiques de l'année 2007, arrondi au million d'euros.
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie pour tout nombre entier $n$ par
 
\[f(n) = \text{e}^{10,13 + 0,07n}.\]

On utilise cette fonction pour modéliser l'évolution des recettes touristiques de ce pays européen. Ainsi $f(n)$ représente le montant des recettes touristiques (exprimé en millions d'euros) de ce pays européen pour l'année $2000 + n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Selon ce modèle, calculer le montant des recettes touristiques que l'on peut prévoir pour l'année 2007. Arrondir le résultat au million d'euros.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer le nombre entier $n$ à partir duquel $f(n) > \np{45000}$. 
		\item  En déduire l'année à partir de laquelle, selon ce modèle, le montant des recettes touristiques dépasserait \np{45000} millions d'euros.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

La production journalière d'une entreprise dépend de deux facteurs
: le travail de la main d'{\oe}uvre et l'utilisation des machines. On
désigne :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item par $x$ la durée journalière de travail de la main d'{\oe}uvre, exprimée
en heure; $x$ appartient à l'intervalle $]0~;~10]$
\item par $y$ la durée journalière d'utilisation des machines, exprimée
en heures; $y$ appartient à l'intervalle $]0~;~12]$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

La quantité journalière produite (en tonnes) est donnée par la relation:

\[f\left(x~;~y\right)=\frac{3xy}{x + y}\mbox{ avec }0 < x\leqslant 10\mbox{ et }0 < y \leqslant 12.\]


La figure ci-dessous représente la surface $\left(\mathcal{S}\right)$
d'équation : $z = f\left(x~;~y\right)$ pour $0 < x\leqslant10$ et 

$0 < y\leqslant 12$.

\begin{center}
\psset{xunit=0.55cm,yunit=0.65cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-2)(20,13)
\psset{Beta=15,Alpha=165}
\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=10,yMax=12,zMax=9,drawing=false]
\psset{linecolor=gray}
\pstThreeDLine(0,0,0)(0,0,9)(0,12,9)(10,12,9)(10,12,0)(10,0,0)(0,0,0)
\pstThreeDPut(-0.5,0,2){4}
\pstThreeDPut(-0.5,0,4){8}
\pstThreeDPut(-0.5,0,6){12}
\pstThreeDPut(-0.5,0,1){2}
\pstThreeDPut(-0.5,0,3){6}
\pstThreeDPut(-0.5,0,5){10}  
\pstThreeDPut(-0.5,0,0){0}
\pstThreeDPut(-0.5,0,7){14}
\pstThreeDPut(-0.5,0,8){16}
\pstThreeDPut(-0.5,0,9){18}
\pstThreeDPut(5,0,-1.5){\footnotesize{$x$ : durée journalière de travail de la main d'{\oe}uvre}}
\pstThreeDPut(12.5,6,0){\scriptsize{$y$: durée journalière}}
\pstThreeDPut(12.5,5.5,-0.5){\scriptsize{d'utilisation des machines}}
\rput{90}(-1,5){\footnotesize{$z$ : quantité journalière produite}}
\rput(8,12){\bf{surface $(\mathcal{S})$  d'équation $z=\dfrac{3xy}{x + y}$}}
\pstThreeDLine(0,12,0)(0,12,9)
\psset{linewidth=0.5pt}
\multido{\n=0+1}{11}{\pstThreeDPut(\n,0,-0.5){\n}}
\multido{\n=0+1}{13}{\pstThreeDPut(10.5,\n,0){\scriptsize{\n}}}
\multido{\n=0+1}{9}{\pstThreeDLine(0,0,\n)(0,12,\n)(10,12,\n)}
\multido{\n=0+1}{11}{\pstThreeDLine(\n,0,0)(\n,12,0)(\n,12,9)}
\multido{\n=0+1}{13}{\pstThreeDLine(10,\n,0)(0,\n,0)(0,\n,9)}
%z est divisé par 2
\newgray{gris}{0.15}
\parametricplotThreeD[linewidth=0pt](0.70588,10){t 2 t mul 3 t mul 2 sub div 1}
%pscustom semble avoir besoin de ceci pour "démarrer"
\psset{linecolor=red,linewidth=0.5pt,xPlotpoints=200}%le xPlotpoints permets d'éviter les problèmes quant la courbe s'approche de son asymptote, apparemment.
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
%\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](12,2){2 t mul 3 t mul 2 sub div t 1}
%\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](1,10){t 2 t mul 3 t mul 2 sub div 1}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,xPlotpoints=200](0.70588,10){t 2 t mul 3 t mul 2 sub div 1}
%le xPlotpoints permets d'éviter les problèmes quant la courbe s'approche de son asymptote, apparemment. 
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0.7142857,0){10 t 15 t mul 10 t add div}
\pstThreeDLine(10,0,0)(0,0,0)(0,12,0)
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0,0.70588){t 12 18 t mul t 12 add div}
}
%z=2-4
\newgray{gris}{0.25}
\pscustom[fillstyle=crosshatch,hatchcolor=gris,hatchsep=4pt]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,xPlotpoints=200](10,0.70588){t 2 t mul 3 t mul 2 sub div 1}
%\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](10,1){t 2 t mul 3 t mul 2 sub div 1}
%\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](2,12){2 t mul 3 t mul 2 sub div t 1}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0.70588,1.5){t 12 18 t mul t 12 add div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](1.5,10){t 4 t mul 3 t mul 4 sub div 2}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](1.53846,0.7142857){10 t 15 t mul 10 t add div}
}
%z=4-6
\newgray{gris}{0.75}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](2.4,10){t 6 t mul 3 t mul 6 sub div 3}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](2.5,1.53846){10 t 15 t mul 10 t add div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](10,1.5){t 4 t mul 3 t mul 4 sub div 2}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](1.5,2.4){t 12 18 t mul t 12 add div}}
%z=6-8
\pscustom[fillstyle=vlines,fillcolor=gris]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](2.4,10){t 6 t mul 3 t mul 6 sub div 3}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](2.5,3.6364){10 t 15 t mul 10 t add div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](10,3.42857){t 8 t mul 3 t mul 8 sub div 4}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](2.4,3.42857){t 12 18 t mul t 12 add div}}
%z=8-10
\newgray{gris}{0.30}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](3.42857,10){t 8 t mul 3 t mul 8 sub div 4}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](3.6364,5){10 t 15 t mul 10 t add div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](10,4.61538){t 10 t mul 3 t mul 10 sub div 5}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](4.61538,3.42857){t 12 18 t mul t 12 add div}}
%z=10-12
\pscustom[fillstyle=hlines,fillcolor=gris]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](4.61538,10){t 10 t mul 3 t mul 10 sub div 5}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](5,6.6667){10 t 15 t mul 10 t add div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](6,10){t 12 t mul 3 t mul 12 sub div 6}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](6,4.61538){t 12 18 t mul t 12 add div}}
%z=12-14
\newgray{gris}{0.60}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris,hatchcolor=white,hatchsep=12pt]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](6,10){t 12 t mul 3 t mul 12 sub div 6}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](6.6666,8.75){10 t 15 t mul 10 t add div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](10,7.63636){t 14 t mul 3 t mul 14 sub div 7}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](7.63636,6){t 12 18 t mul t 12 add div}}
%z=14-16
\newgray{gris}{0.25}
\pscustom[fillstyle=crosshatch*,fillcolor=gris,hatchcolor=white,hatchsep=3pt,hatchwidth=1.8pt]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](7.6364,10){t 14 t mul 3 t mul 14 sub div 7}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](8.75,11.42857){10 t 15 t mul 10 t add div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](10,9.6){t 16 t mul 3 t mul 16 sub div 8}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](9.6,7.6364){t 12 18 t mul t 12 add div}}
%surface
\psset{linewidth=0.5pt,linecolor=black}
\psplotThreeD[xPlotpoints=10,yPlotpoints=12,drawStyle=xyLines,linecolor=black,plotstyle=curve](0.001,10)(0.001,12){%
3 x y mul mul x y add div 2 div}
% le bord de la surface :
\parametricplotThreeD[linecolor=black](0,10){t 12 t 36 mul t 12 add div 2 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,linecolor=black](0,12){10 t t 15 mul t 10 add div}
%le point A
\pstThreeDDot[dotstyle=x,dotscale=2,linewidth=2pt](6,1.7142857,2)
\pstThreeDPut(5.8,1.5,2.55){\large{\bf{$A$}}}
%la légende
\psset{linewidth=0.5pt, linecolor=black}
\psframe(15.5,2)(19.8,12)
\newgray{gris}{0.25}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gris](15.7,2.5)(16.5,3.3)  \rput[l](17,2.9){\small $0\leqslant z\leqslant 2$}
\psframe[fillstyle=crosshatch,hatchcolor=gris,hatchsep=4pt](15.7,3.5)(16.5,4.3)  \rput[l](17,3.9){\small $2\leqslant z\leqslant 4$}
\newgray{gris}{0.75}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gris](15.7,4.5)(16.5,5.3)  \rput[l](17,4.9){\small $4\leqslant z\leqslant 6$}
\psframe[fillstyle=vlines,fillcolor=gris](15.7,5.5)(16.5,6.3)  \rput[l](17,5.9){\small $6\leqslant z\leqslant 8$}
\newgray{gris}{0.30}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gris](15.7,6.5)(16.5,7.3)  \rput[l](17,6.9){\small $8\leqslant z\leqslant 10$}
\psframe[fillstyle=hlines,fillcolor=gris](15.7,7.5)(16.5,8.3)  \rput[l](17,7.9){\small $10\leqslant z\leqslant 12$}
\newgray{gris}{0.60}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gris](15.7,8.5)(16.5,9.3)  \rput[l](17,8.9){\small $12\leqslant z\leqslant 14$}
\newgray{gris}{0.25}
\psframe[fillstyle=crosshatch*,fillcolor=gris,hatchcolor=white,hatchsep=3pt,hatchwidth=1.8pt](15.7,9.5)(16.5,10.3)  \rput[l](17,9.9){\small $14\leqslant z\leqslant 16$}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](15.7,10.5)(16.5,11.3)  \rput[l](17,10.9){\small $16\leqslant z\leqslant 18$}
\end{pspicture*}
\par\end{center}

\textbf{\large Partie 1 :} Le point $A$ représenté par
une croix est un point de la surface $\left(\mathcal{S}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer graphiquement l'abscisse et la cote
du point $A$. Calculer son ordonnée (arrondie au dixième).
\item  Interpréter les résultats obtenus en référence
à la production journalière de l'entreprise.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\large Partie 2 :} Pour chaque heure, le coût total
du travail s'élève à 4 milliers d'euros, et le coût d'utilisation
des machines s'élève à 1 millier d'euros.

L'entreprise décide de dépenser 36 milliers d'euros par jour et cherche
à maximiser sa production journalière sous cette contrainte. On a
alors $4x + y = 36$.

La quantité journalière produite (en tonnes) sous cette contrainte
de coût peut donc être modélisée par la fonction $g$ définie sur l'intervalle
$]0~;~10]$ par $g(x)={\displaystyle \frac{4x^{2}- 36x}{x - 12}}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On note $g'$ la fonction dérivée de $g$ sur
l'intervalle $]0~;~10]$.
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $]0~;~10]$,
calculer $g'(x)$ et montrer que

$g'(x) = {\displaystyle \frac{4\left(x-6\right)\left(x-18\right)}{\left(x-12\right)^{2}}}$.
		\item Étudier les variations de la fonction $g$ sur
l'intervalle $]0~;~10]$.
	\end{enumerate}
\item   
	\begin{enumerate}
		\item En déduire la durée journalière de travail
et la durée journalière d'utilisation des machines permettant d'obtenir
une production journalière maximale pour un coût total de 36 milliers
d'euros.
		\item Préciser la quantité journalière maximale produite
en tonnes.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
	
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Amateur de sudoku (jeu consistant à compléter une grille de nombres), Pierre s'entraîne sur un site internet.

40\,\% des grilles de sudoku qui y sont proposées sont de niveau facile, 30\,\% sont de niveau moyen et 30\,\% de niveau difficile.

\smallskip

Pierre sait qu'il réussit les grilles de sudoku de niveau facile dans 95\,\% des cas, les grilles de sudoku de niveau moyen dans 60\,\% des cas et les grilles de sudoku de niveau difficile dans 40\,\% des cas.
 
Une grille de sudoku lui est proposée de façon aléatoire.

On considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[~] $F$ : \og la grille est de niveau facile \fg
\item[~] $M$ : \og la grille est de niveau moyen \fg
\item[~] $D$ : \og la grille est de niveau difficile \fg
\item[~] $R$ : \og Pierre réussit la grille \fg ~et $\overline{R}$ son évènement contraire. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Traduire les données de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que la grille proposée soit difficile et que Pierre la réussisse. 
		\item Calculer la probabilité que la grille proposée soit facile et que Pierre ne la réussisse pas. 
		\item Montrer que la probabilité que Pierre réussisse la grille proposée est égale à $0,68$.
	\end{enumerate}
\item Sachant que Pierre n'a pas réussi la grille proposée, quelle est la probabilité que ce soit une grille de niveau moyen ?
\item Pierre a réussi la grille proposée. Sa petite s{\oe}ur affirme: \og Je pense que ta grille était facile \fg.

Dans quelle mesure a-t-elle raison ? Justifier la réponse à l'aide d'un calcul.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Un laboratoire pharmaceutique produit et commercialise un médicament en poudre. Sa production hebdomadaire, exprimée en kilogrammes, est limitée à 10 kilogrammes.

\medskip

\textbf{Partie I : étude des coûts hebdomadaires de production}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Le coût marginal de production est fonction de la quantité $x$ de médicament produit. Une étude a montré que, pour cette entreprise, l'évolution du coût marginal de production est modélisée par la fonction $C_{m}$ définie pour les nombres réels $x$ de l'intervalle [0~;~10] par :
 
\[C_{m}(x) = x + \dfrac{16}{x + 1}.\]

($C_{m}(x)$ est exprimé en centaines d'euros, $x$ en kilogrammes). Étudier les variations de la fonction $C_{m}$, puis dresser le tableau de variations de la fonction $C_{m}$ sur l'intervalle [0~;~10].
\item En économie, le coût marginal de production correspond à la dérivée du coût total de production. Ainsi le coût total de production hebdomadaire est modélisé par une primitive de la fonction $C_{m}$.

Déterminer la fonction $C$, primitive de la fonction $C_{m}$ sur l'intervalle [0~;~10] qui modélise ce coût total, pour une production de médicaments comprise entre $0$ et $10$ kilogrammes, sachant que $C(0) = 0$.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie II :  étude du bénéfice hebdomadaire.}

\medskip

On admet que le laboratoire produit une quantité hebdomadaire d'au moins 1 kg et que tout ce qui est produit est vendu. Le bénéfice hebdomadaire (exprimé en centaines d'euros) dépend de la masse $x$ (exprimée en kilogrammes) de médicament produit. Il peut être modélisé par la fonction $B$ définie sur l'intervalle [1~;~10] par :
 
 \[B(x)= 9x - 0,5x^2 -  16\ln (x + 1).\]
 
La représentation graphique de la fonction $B$ dans le plan muni d'un repère orthogonal est la courbe $(\Gamma)$ donnée ci-dessous.
 
\begin{center}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(-1,-3)(11,6)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2,griddots=10,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(0,-3)(11,6)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-3)(11,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{10}{9 x mul 0.5 x 2 exp mul sub x 1 add ln 16 mul sub}
\uput[u](10.7,0){$x$} \uput[r](0,5.7){$y$} \uput[u](9.6,3){\blue $(\Gamma)$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  On admet que la fonction $B$ est strictement croissante sur l'intervalle [1~;~7] et strictement décroissante sur l'intervalle [7~;~10].
		
En déduire la quantité de médicaments que l'entreprise doit produire par semaine pour que son bénéfice hebdomadaire (en centaines d'euros) soit maximal.
		\item  Calculer ce bénéfice hebdomadaire maximal en centaines d'euros (arrondir à l'euro).
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Utiliser la courbe $(\Gamma)$ pour déterminer un encadrement d'amplitude $0,5$ de la plus petite quantité $x_{0}$ de médicaments que l'entreprise doit produire par semaine pour ne pas perdre d'argent.
		\item  Utiliser la calculatrice pour déterminer une valeur décimale de $x_{0}$ approchée au centième.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole juin 2007
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   La Réunion juin 2007
\hypertarget{LaReunion}{}

\label{LaReunion}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small juin 2007}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES La Réunion juin 2007~\decofourright}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soit $f$ une fonction définie sur l'intervalle $[-5~;~2]$ et $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative relativement à un repère orthogonal.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Un logiciel fournit le graphique qui figure en annexe page 6.
 
En utilisant ce graphique, répondre aux questions suivantes. Expliquer les procédés utilisés et, lorsque c'est nécessaire, compléter le graphique.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner une estimation de $f'(0)$ où $f'$ est la fonction dérivée de la fonction $f$.
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item  Donner un encadrement d'amplitude $1$ de $\displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x$.
		\item  Donner une valeur approchée à $0,5$ près de la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~2].
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie on sait que la fonction $f$ est définie par :
  
\[\text{Pour tout élément}\: x \:\text{de}\: [-5~;~2],\: f(x) = (2 - x) \text{e}^x\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  On nomme $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$ pour $x$ élément de $[-5~;~2]$.
		\item  Justifier l'affirmation : \og Sur l'intervalle $[-5~;~2]$, la fonction $f$ admet un maximum pour $x=1$ et ce maximum est égal à e.\fg
	\end{enumerate}
\item 	Donner une équation de la droite (T) tangente à la courbe $(\mathcal{C})$ en son point d'abscisse $0$.
\item 	Soit $g$ la fonction définie par : pour $x$ élément de $[-5~;~2],~ g(x)= (3 - x)\text{e}^x$.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $g'(x)$ où $g'$ est la fonction dérivée de la fonction $g$.
		\item  Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~2] (en donner la valeur exacte).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Les deux parties sont totalement indépendantes.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soient $A,\: B,\: C$ et $T$ quatre évènements associés à une épreuve aléatoire. On note $\overline{T}$  l'évènement contraire de l'évènement $T$.

On donne l'arbre de probabilités suivant.

\medskip

\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$A$~}\taput{0,2}}
	  { 
		  \TR{$T$}\taput{0,4}
		  \TR{$\overline{T}$}	   
	  }
	\pstree{\TR{$B$~}}
	  {
		  \TR{$T$}
		  \TR{$\overline{T}$}
	  }
	\pstree{\TR{$C$~}\tbput{0,7}}
	  {
		  \TR{$T$}\taput{0,2}
		   \TR{$\overline{T}$}
	  }	
}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Donner la probabilité $p_{A}(T)$ de l'évènement \og $T$ sachant que $A$ est réalisé \fg.
\item  Calculer : 
	\begin{enumerate}
		\item  la probabilité $p(B)$ de l'évènement $B$ ; 
		\item  la probabilité $p_{A}\left(\overline{T}\right)$ de l'évènement \og non $T$ sachant que $A$ est réalisé \fg ;
		\item  la probabilité $p(A \cap T)$ de l'évènement \og $A$ et $T$ \fg.
	\end{enumerate}
\item  On sait que la probabilité $p(T)$ de l'évènement $T$ est : $p(T) = 0,3$.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la probabilité $p_{T}(A)$.
		\item  Calculer la probabilité $p_{B}(T)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

\parbox{0.85\linewidth}{Un domino est une petite plaque partagée en deux parties.

Sur chacune des parties figure une série de points.
	
Il peut y avoir de zéro à six points dans une série.

Un jeu de dominos comporte 28 dominos, tous différents. } \hfill 
\parbox{0.15\linewidth}{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(3,2.5) 
 %\psgrid
\psframe(2,1) \psframe(0,1.5)(2,2.5) \psline(1,0)(1,1) \psline(1,1.5)(1,2.5)
\qdisk(0.2,2.3){3pt} \qdisk(0.8,1.7){3pt} \qdisk(1.2,2.3){3pt} \qdisk(1.8,1.7){3pt}
\qdisk(0.2,0.8){3pt} \qdisk(0.2,0.2){3pt} \qdisk(0.8,0.8){3pt} \qdisk(0.8,0.2){3pt}
\end{pspicture}}	
Lors d'une fête, on propose le jeu suivant :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  le joueur tire au hasard un domino parmi les 28 dominos du jeu, 
\item  il gagne, en euros, la somme des points figurant sur le domino tiré.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On suppose que tous les dominos du jeu ont la même probabilité d'être tirés.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Établir la loi de probabilité des gains possibles.
\item 	Le joueur doit miser 7~\euro{} avant de tirer un domino. En se fondant sur le calcul des probabilités, peut-ii espérer récupérer ses mises à l'issue d'un grand nombre de parties ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Pour chacune des cinq questions suivantes numérotées de 1 à 5, une et une seule des trois propositions a, b, c est exacte.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la proposition exacte. Aucune justification n'est attendue.

\medskip

\emph{Pour chaque question, une réponse correcte rapporte $1$ point, une réponse incorrecte enlève $0,25$ point, une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total est négatif, la note pour cet exercice est ramenée à $0$.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Le nombre d'habitants d'une ville était : \np{157500} en 2002 et \np{139860} en 2006.

Le taux d'évolution du nombre d'habitants de cette ville de 2002 à 2006 est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.} : 11,2\,\%.&\textbf{b.} : $-12,6$\,\%.& 	\textbf{c.} :  $-11,2$\,\%.
\end{tabularx}

\medskip

\item  Effectuer une augmentation de 15\,\% suivie d'une baisse de 15\,\% revient à 
	\begin{enumerate}
		\item : ne procéder à aucune modification.
		\item : effectuer une augmentation de 2,25\,\%.
		\item : effectuer une diminution de 2,25\,\%.
	\end{enumerate}

\item On admet que le chiffre d'affaire d'une entreprise augmentera régulièrement de 3,2\,\% par an. Sur une période de 10 ans, il augmentera, à une unité près, de :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.} :  32\,\%&	\textbf{b.} : 29\,\%	&\textbf{c.}  : 37\,\%
\end{tabularx}

\medskip
\item  La suite $\left(u_{n}\right)$ est définie par : pour tout entier naturel $n,~u_{n} = \text{e}^{- n \ln 2}$.
	\begin{enumerate}
		\item  : $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $-\ln 2$.
		\item  : $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.
		\item  : $\left(u_{n}\right)$ n'est pas une suite géométrique.
	\end{enumerate}
\item On a représenté un nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~ ;~\ln v_{i}\right)$ et effectué un ajustement affine :

\medskip

\psset{unit=1cm,comma=true}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(8,4)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2,griddots=10,gridwidth=0.8pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(8,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=4.5,Dy=1.0]{->}(0,0)(0,0)(8,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=4.5,Dy=1.0](0,0)(0,0)(8,4)
\psdots[](1,1.03)(2,1.52)(3,1.65)(4,2.03)(5,2.4)(6,2.7)
\psline[linecolor=blue](-0.5,0.57)(8,3.4)
\uput[r](0,3.75){$y = \ln v$}
\end{pspicture}
\end{center}
 
\medskip
Selon cet ajustement, lorsque $x$ prendra la valeur 7, $y$ vaudra environ :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.} : $1,8$ &\textbf{b.} : $6,1$ &\textbf{c.} : $445$\\
\end{tabularx}

\medskip

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Pour chacune des cinq questions suivantes numérotées de 1 à 5, une et une seule des trois propositions a, b, c est exacte.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la proposition exacte. Aucune justification n'est attendue.

\emph{Pour chaque question, une réponse correcte rapporte $1$ point, une réponse incorrecte enlève $0,25$ point, une absence de réponse ne rapporte et n'enlève aucun point. Si le total est négatif, la note pour cet exercice est ramenée à $0$.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  La suite $\left(u_{n}\right)$ est définie par : pour tout entier naturel $n,\:
 u_{n} = 1 - \dfrac{6}{n - 10,5}$.

	\begin{enumerate}
		\item : La suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante.
		\item : La suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante. 
		\item : La suite $\left(u_{n}\right)$ n'est pas monotone.
	\end{enumerate}
\item  La suite $\left(u_{n}\right)$  est définie par :
$u_{0} = 2$ et, pour tout entier naturel $n$, ${u_{n+1}-u_{n}=-0,1u_{n}}$.
	\begin{enumerate}
		\item : La suite $\left(u_{n}\right)$ est arithmétique.
		\item : La suite $\left(u_{n}\right)$ n'est ni arithmétique, ni géométrique.
		\item : La suite $\left(u_{n}\right)$ est géométrique.
	\end{enumerate}
\item  Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item le plan (P) d'équation $x + y + z - 2 = 0$,
\item la droite (D) d'équations cartésiennes $y = 1$ et $z = 1 - x$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

	\begin{enumerate}
		\item  : La droite (D) est sécante au plan (P).
		\item  : La droite (D) est incluse dans le plan (P). 
		\item  : La droite (D) est strictement parallèle au plan (P).
	\end{enumerate}
\item  La matrice d'un graphe non orienté G, de sommets A, B, C, D, E est : 

\medskip

\[\begin{pmatrix}
0	&0	&1	&0	&1\\
0	&0	& 1	& 1	&1\\
1	&1	&0	&1	&0\\
0	&1	& 1	& 0	&0\\
1	& 1	& 0	&0	&0\\
\end{pmatrix}\]

	\begin{enumerate}
		\item : Le graphe G comporte 12 arêtes.
		\item : Le graphe G admet une chaîne eulérienne.
		\item : Le graphe G est complet.
	\end{enumerate}
\item 	Les ventes d'un nouveau roman ont régulièrement progressé de 2\,\%
 chaque semaine depuis sa parution. Au cours de la première semaine il s'en était vendu dix mille exemplaires.
 
Le nombre d'exemplaires vendus au cours des 45 semaines écoulées depuis
sa parution est:

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.} : \np{23 900}&\textbf{b.} : \np{718 927}&\textbf{c.} : \np{743 306}\\
\end{tabularx}

\medskip
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle [1~;~50] par :

\[f(x)= x^2 + 72\ln (10x + 1)\quad  \text{et} \quad  g(x)=\dfrac{f(x)}{x}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle [1~;~50].
\item La fonction $h$ est définie sur l'intervalle [1~;~50] par :

\[h(x) = x^{2} + \dfrac{720x}{10x + 1}  - 72 \ln (10x + 1).\]

	\begin{enumerate}
		\item On admet que la dérivée de la fonction $h$ est la fonction $h'$ définie par : pour tout $x$ élément de l'intervalle [1~;~50], $h'(x) = \dfrac{2x(10x -59)(10x + 61)}{(10x + 1)^2}$.
		
Résoudre l'équation $h'(x)=0$ sur l'intervalle [1~;~50].

Étudier le signe de $h'(x)$ sur l'intervalle [1~;~50].
		\item Dresser le tableau des variations de la fonction $h$.
		\item On admet que, dans l'intervalle [1~;~50], l'équation $h(x)= 0$ admet une unique solution $\alpha$. À l'aide de la calculatrice, donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $\alpha$.
		\item Expliquer pourquoi :

\setlength\parindent{5mm}		
\begin{itemize}
\item pour tout $x$ élément de l'intervalle $[1~;~\alpha],\:h(x) \leqslant  0$,
\item pour tout $x$ élément de l'intervalle $[\alpha~;~50],\: h(x) \geqslant 0$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}	

\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que pour tout $x$ élément de l'intervalle [1~;~50],\:$g'(x) = \dfrac{h(x)}{x^2}$.
		\item  Démontrer que la fonction $g$ admet un minimum pour $x = \alpha$.
		\item  En utilisant le fait que $g(x)=\dfrac{f(x)}{x}$, exprimer $g'(x)$ en fonction de $f'(x)$ puis déduire de la question précédente que $g(\alpha)= f'(\alpha)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B :  application}

\medskip

 Une entreprise a conduit une étude statistique sur les coûts de production de l'un de ses produits. Pour une production comprise entre 1 tonne et 50 tonnes et des coûts exprimés en milliers d'euros, cette étude conduit à adopter le modèle mathématique suivant :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item   le coût total de production C$_{\text{T}}$ est donné par C$_{\text{T}} = f(x)$, où $x$ est la quantité
produite exprimée en tonnes,
\item  	pour une production de $x$ tonnes, le coût moyen C$_{\text{M}}$ de production d'une tonne est donné par C$_{\text{M}} = g(x)$ et le coût marginal C de production est donné par C $=f'(x)$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

(\emph{Des graphiques obtenus à l'aide d'un logiciel sont fournis en annexe $2$. Ils peuvent être complétés et rendus avec la copie.}) 

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Expliquer pourquoi, quelle que soit la quantité produite, l'entreprise ne peut espérer faire un bénéfice si elle vend sa production moins de \np{38000}~\euro{} la tonne.
\item  Quelle que soit sa production, l'entreprise pense pouvoir la vendre en totalité au prix de \np{45000} euros la tonne. Donner une estimation des productions qui pourront permettre de réaliser un bénéfice.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{Annexe 1}

\bigskip

\textbf{à utiliser pour l'exercice 1 et à rendre avec la copie}

\bigskip

\psset{xunit=1.5cm,yunit=3cm}
\begin{pspicture}(-5.5,-0.25)(3,3)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=4,griddots=10,gridwidth=0.8pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,subgridwidth=0.4pt](0,0)(-5.5,-0.25)(3,3)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-5.5,-0.25)(3,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=8000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-5}{2}{2 x sub 2.71828 x exp mul}
\uput[u](2.9,0){$x$} \uput[r](0,2.9){$y$} \uput[ur](1.6,2){\blue $(\mathcal{C})$}
\end{pspicture}\end{center}

\newpage

\begin{center}

\textbf{Annexe 2}

\bigskip

\textbf{à utiliser pour l'exercice 4, partie B et à rendre avec la copie}

\bigskip

\textbf{Représentation graphique de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath
\medskip

\psset{xunit=0.175cm,yunit=0.00275cm}
\begin{pspicture}(-7.5,-250)(55,3000)
\multido{\n=0+2.5}{23}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.8pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,3000)} 
\multido{\n=0+250}{13}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.8pt,linecolor=orange](0,\n)(55,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=3000]{->}(0,0)(0,0)(55,3000)
\multido{\n=0+1000}{4}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}}
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{1}{50}{x 10 mul 1 add ln 72 mul x 2 exp add}
\uput[d](55,0){$x$} \uput[r](0,3000){$y$}

\end{pspicture}

\vspace{1.cm}

\textbf{Représentations graphiques de fonctions }\boldmath $f'$ \unboldmath \textbf{et} \boldmath $g$ \unboldmath

\medskip

\psset{xunit=0.16cm,yunit=0.15cm}
\begin{pspicture}(0,0)(70,60)
\multido{\n=0+2.5}{29}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.8pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,60)} 
\multido{\n=0+2.5}{25}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.8pt,linecolor=orange](0,\n)(70,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=10]{->}(0,0)(70,60)
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{1.15}{27.5}{720 x 10 mul 1 add div 2 x mul add}
\rput(15,20){courbe de la fonction \blue $f'$}
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.5pt,plotpoints=4000]{5.2}{50}{x 10 mul 1 add ln 72 mul x div x add}
\uput[d](70,0){$x$} \uput[l](0,60){$y$}
\rput(40,40){courbe de la fonction \red $g$}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%  fin La Réunion juin 2007
\newpage
%%%%%%%%%%%%%  Polynésie juin 2007
\hypertarget{Polynesie}{}

\label{Polynesie}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center} { \Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Polynésie juin 2007~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des trois questions, trois réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient.

\textbf{ Indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier la réponse que vous jugez convenir, sans justifier votre choix.}

\emph{Barème : Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse inexacte ou une question sans réponse ne rapporte et n'enlève aucun point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Voici la courbe représentative d'une fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~6[.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-.5,-0.5)(7,5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(7,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{0}{6}{(6-x)*(x^2-3*x+6)/9}
\end{pspicture} 
\end{center}
Sur l'intervalle [0~;~6[, la fonction composée $x \longmapsto \ln [f(x)]$ :
\setlength\parindent{5mm} 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  est strictement croissante.
\item[$\bullet~$] a les mêmes variations que $f$.
\item[$\bullet~$] a les variations contraires de celles de $f$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{5mm}
\item  Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $g(x) = 4x -2 \ln x$.

Dans un repère, une équation de la tangente à la courbe représentative de $g$ au point d'abscisse 1 est :
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $y = 2x + 2$.
\item[$\bullet~$] $y = 4x - 2$.
\item[$\bullet~$] $y = 2x + 6$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\item  L'ensemble des solutions de l'équation $2 \ln x = \ln (2x + 3)$ est :
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] l'ensemble vide.
\item[$\bullet~$] $\{-1~;~3\}$.
\item[$\bullet~$] $\{3\}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Dans un village de vacances, trois stages sont proposés aux adultes et aux enfants. Ils ont lieu dans la même plage horaire ; leurs thèmes sont : la magie, le théâtre et la photo numérique.
\par

150 personnes dont 90 adultes se sont inscrites à l'un de ces stages. Parmi les 150 personnes inscrites, on relève que :
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] la magie a été choisie par la moitié des enfants et 20\,\% des adultes
\item[$\bullet~$] 27 adultes ont opté pour la photo numérique ainsi que 10\,\% des enfants.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\begin{enumerate}
\item  Recopier et compléter le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
		&Magie	&Théâtre	&Photo numérique&Total\\ \hline
Adultes	&		&			&				& \\  \hline	
Enfants	&		&			&				&  \\ \hline	
Total	&		&			&				&	150\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

On appelle au hasard une personne qui s'est inscrite à un stage. On pourra utiliser les notations suivantes :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $A$ l'évènement \og la personne appelée est un adulte \fg{};
\item[$\bullet~$] $M$ l'évènement \og la personne appelée a choisi la magie \fg{};
\item[$\bullet~$] $T$ l'évènement \og la personne appelée a choisi le théâtre \fg{};
\item[$\bullet~$] $N$ l'évènement \og la personne appelée a choisi la photo numérique \fg{}.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Quelle est la probabilité que la personne appelée soit un enfant ? 
		\item  Quelle est la probabilité que la personne appelée ait choisi la photo sachant que c'est un adulte ? 
		\item  Quelle est la probabilité que la personne appelée soit un adulte ayant choisi le théâtre
	\end{enumerate}
\item Montrer que la probabilité que la personne appelée ait choisi la magie est $0,32$.
\item Le directeur du village désigne une personne ayant choisi la magie. Il dit qu'il y a deux chances sur trois pour que ce soit un enfant. A-t-il raison ? Justifier votre réponse.
\item On choisit, parmi les personnes qui désirent suivre un stage, trois personnes au hasard. On assimile ce choix à un tirage avec remise.

Quelle est la probabilité qu'une seule personne ait choisi la magie (\emph{on donnera une valeur arrondie au centième}) ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Une entreprise fabrique des savons et des bougies parfumées en quantités
respectives $x$ et $y$ exprimées en tonnes.

Le coût total de production $z$, exprimé en milliers d'euros, est
donné par la relation 

\[z = 2x^{2}-8x+y^{2}-6y+18 \:\text{ avec }\: x \in \left[0~;~6\right]\: \text{ et }\:y \in \left[0~;~8\right].\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item  La surface $\mathcal{S}$ représentant
le coût en fonction de $x$ et $y$ dans un repère orthogonal \Oijk{}
est donnée sur la feuille annexe 1, figure 1.

\begin{center}
\textbf{\textsl{L'annexe $1$ sera rendue complétée avec la copie.}}
\par\end{center}

\begin{enumerate}
\item  Le point A(3~;~2~;~3) appartient-il à la surface $\mathcal{S}$ ? Justifier. 

\medskip

\item  Placer sur la figure 1 le point $B$
d'abscisse 5 et d'ordonnée 2 qui appartient à $\mathcal{S}$.

\medskip

\item  Soit $y = 2$. Exprimer alors $z$ sous
la forme $z = f\left(x\right)$ puis donner la nature de la section
de la surface $\mathcal{S}$ par le plan d'équation $y = 2$ en justifiant.
\end{enumerate}

\item  La fabrication de $x$ tonnes de savons et de
$y$ tonnes des bougies parfumées engendre la contrainte $x + y = 5$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Quelle est la nature de l'ensemble des points
de l'espace dont les coordonnées vérifient $x + y = 5$ ?

\medskip

\item  Vérifier que, sous la contrainte $x + y = 5$, $z$
peut s'écrire sous la forme $z=g\left(x\right)$ avec 

$g(x) = 3x^{2} - 12x + 13$.

\medskip

\item  Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle $g$
admet un minimum puis la valeur de $y$ et le coût de production $z$
qui correspondent. On note $C$ le point de la surface $\mathcal{S}$
qui correspond à ce coût minimum.

\medskip

\item  On donne, sur la feuille annexe 1, figure 2,
la projection orthogonale de la surface $\mathcal{S}$ sur le plan
$\left(x\text{O}y\right)$ (\og vue de dessus de la surface $\mathcal{S}$ \fg{}).

Construire sur cette figure 2 la projection orthogonale sur le plan
$\left(x\text{O}y\right)$ des points dont les coordonnées vérifient $x+y=5$.

Placer sur cette figure 2 le point $C_{1}$, projeté orthogonal du
point $C$ sur le plan $\left(x\text{O}y\right)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage

\begin{center}
\textbf{\textcolor{black}{ANNEXE 1 : Exercice 2 (spécialité)}}
\par\end{center}

\begin{center}
\textbf{\textcolor{black}{À rendre avec la copie}}
\par\end{center}

\textbf{\textcolor{black}{Figure 1}}

%\begin{center}
\hspace{-2cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-2)(15,9)
\psset{Beta=30,Alpha=170}
%\psset{Beta=85,Alpha=160} pour tests
\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=8,yMax=6,zMax=60,drawing=false]
\pstThreeDLine(0,0,0)(0,0,6)(0,6,6)(8,6,6)(8,6,0)(8,0,0)(0,0,0)
\pstThreeDPut(-0.5,0,2){20}
\pstThreeDPut(-0.5,0,4){40}
\pstThreeDPut(-0.5,0,6){60}
\pstThreeDPut(-0.5,0,1){10}
\pstThreeDPut(-0.5,0,3){30}
\pstThreeDPut(-0.5,0,5){50}  
\pstThreeDPut(-0.5,0,0){0}
\pstThreeDPut(3,0,-1){$y$}
\pstThreeDPut(9,3,0){$x$}
\pstThreeDPut(-1,0,3){$z$}
\pstThreeDLine(0,6,0)(0,6,6)
\multido{\n=0+1}{9}{\pstThreeDPut(\n,0,-0.5){\n}}
\multido{\n=0+1}{7}{\pstThreeDPut(8.5,\n,0){\n}}
\multido{\n=0+1}{6}{\pstThreeDLine(0,0,\n)(0,6,\n)(8,6,\n)}
\multido{\n=0+1}{8}{\pstThreeDLine(\n,0,0)(\n,6,0)}
\multido{\n=0+1}{6}{\pstThreeDLine(8,\n,0)(0,\n,0)}
%z est divisé par 10
%z=0-10
\newgray{gris}{0.85}
\parametricplotThreeD(-70.529,250.529){t cos 3 mul 3 add t sin 2.121 mul 2 add  1}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](-70.529,250.529){t cos 3 mul 3 add t sin 2.121 mul 2 add  1}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](2,4){t 0 t 2 exp 6 t mul sub 18 add 10 div}}
 %z=10-20
\newgray{gris}{0.7}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](250.529,-70.529){t cos 3 mul 3 add t sin 2.121 mul 2 add  1}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](4,6.317){t 0 t 2 exp 6 t mul sub 18 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](-40.458,133.492){t cos 4.359 mul 3 add t sin 3.082 mul 2 add 2}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](4.236,0){0 t t 2 exp 2 mul 8 t mul sub 18 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0,2){t 0 t 2 exp 6 t mul sub 18 add 10 div}
}
%z=20-30
\newgray{gris}{0.55}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](-31.683,-21.801){t cos 5.385 mul 3 add t sin 3.808 mul 2 add 3}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,linecolor=blue](0.586,3.414){8 t t 2 exp 2 mul 8 t mul sub 34 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](21.801,123.8545){t cos 5.385 mul 3 add t sin 3.808 mul 2 add 3}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,linecolor=blue](5.162,4.236){0 t t 2 exp 2 mul 8 t mul sub 18 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](133.492,-40.458){t cos 4.359 mul 3 add t sin 3.082 mul 2 add 2}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,linecolor=blue](6.317,7.582){t 0 t 2 exp 6 t mul sub 18 add 10 div}}

%z=30-40
\newgray{gris}{0.4}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,linecolor=blue](7.582,8){t 0 t 2 exp 6 t mul sub 18 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,linecolor=blue](0,0.586){8 t t 2 exp 2 mul 8 t mul sub 34 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](-21.801,-31.683){t cos 5.385 mul 3 add t sin 3.808 mul 2 add 3}}
\pscustom[fillstyle=solid, fillcolor=gris]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](21.801,123.8545){t cos 5.385 mul 3 add t sin 3.808 mul 2 add 3}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,linecolor=blue](5.162,5.873){0 t t 2 exp 2 mul 8 t mul sub 18 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](118.7105,115.066){t cos 6.245 mul 3 add t sin 4.416 mul 2 add 4}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,linecolor=blue](0.354,5.646){t 6 t 2 exp 6 t mul sub 42 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](64.934,36.809){t cos 6.245 mul 3 add t sin 4.416 mul 2 add 4}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,linecolor=blue](4.646,3.414){8 t t 2 exp 2 mul 8 t mul sub 34 add 10 div}}

%z=40-50
\newgray{gris}{0.25}
\pscustom[fillstyle=solid, fillcolor=gris]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](36.809,64.934){t cos 6.245 mul 3 add t sin 4.416 mul 2 add 4}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,linecolor=blue](5.646,7.123){t 6 t 2 exp 6 t mul sub 42 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](53.913,44.415){t cos 7 mul 3 add t sin 4.95 mul 2 add 5}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,linecolor=blue](5.448,4.646){8 t t 2 exp 2 mul 8 t mul sub 34 add 10 div}}

\pscustom[fillstyle=solid, fillcolor=gris]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](115.066,118.7105){t cos 6.245 mul 3 add t sin 4.416 mul 2 add 4}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,linecolor=blue](5.873,6){0 t t 2 exp 2 mul 8 t mul sub 18 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,linecolor=blue](0,0.354){t 6 t 2 exp 6 t mul sub 42 add 10 div}}

%z=50-60
\newgray{gris}{0.1}
\pscustom[fillstyle=solid, fillcolor=gris]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](53.913,44.415){t cos 7 mul 3 add t sin 4.95 mul 2 add 5}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,linecolor=blue](5.448,6){8 t t 2 exp 2 mul 8 t mul sub 34 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,linecolor=blue](8,7.123){t 6 t 2 exp 6 t mul sub 42 add 10 div}}

%la surface...
\psplotThreeD[xPlotpoints=8,yPlotpoints=6,drawStyle=xyLines,linecolor=blue,plotstyle=curve](0,8)(0,6){%
y 2 exp 2 mul x 2 exp add y 8 mul sub x 6 mul sub 18 add 10 div}
% le bord de la surface :
\parametricplotThreeD[linecolor=blue](0,8){t 6 t 2 exp 6 t mul sub 42 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,linecolor=blue](0,6){8 t t 2 exp 2 mul 8 t mul sub 34 add 10 div}
%la légende
\psframe[linewidth=0.5pt](9.5,0)(12,6)
\psset{linewidth=0.5pt, fillstyle=solid}
\newgray{gris}{0.85}
\psframe[ fillcolor=gris](9.6,0.5)(9.9,0.8)  \rput[l](10.5,0.65){0-10}
\newgray{gris}{0.7}
\psframe[ fillcolor=gris](9.6,1.5)(9.9,1.8)  \rput[l](10.5,1.65){10-20}
\newgray{gris}{0.55}
\psframe[ fillcolor=gris](9.6,2.5)(9.9,2.8)  \rput[l](10.5,2.65){20-30}
\newgray{gris}{0.4}
\psframe[ fillcolor=gris](9.6,3.5)(9.9,3.8)  \rput[l](10.5,3.65){30-40}
\newgray{gris}{0.25}
\psframe[ fillcolor=gris](9.6,4.5)(9.9,4.8)  \rput[l](10.5,4.65){40-50}
\newgray{gris}{0.1}
\psframe[ fillcolor=gris](9.6,5.5)(9.9,5.8)  \rput[l](10.5,5.65){50-60}
\end{pspicture*}
\par
%\end{center}

\textbf{\textcolor{black}{Figure 2}}

\begin{center}
%Polynésie 2007, figure 2

\psset{unit=1cm}

\begin{pspicture}(-1,-1)(14,7)

\newgray{gris}{0.85}
\pscustom[fillstyle=solid, fillcolor=gris]{
\parametricplot{-70.529}{250.529}{t cos 3 mul 3 add t sin 2.121 mul 2 add }
\psline(2,0)(4,0)}

\newgray{gris}{0.7}
\pscustom[fillstyle=solid, fillcolor=gris]{
\parametricplot{-70.529}{250.529}{t cos 3 mul 3 add t sin 2.121 mul 2 add }
\psline(2,0)(0,0)(0,4.236)
\parametricplot{133.492}{-40.458}{t cos 4.359 mul 3 add t sin 3.082 mul 2 add }
\psline(6.317,0)(4,0)}

\newgray{gris}{0.55}
\pscustom[fillstyle=solid, fillcolor=gris]{
\parametricplot{-40.458}{133.492}{t cos 4.359 mul 3 add t sin 3.082 mul 2 add }
\psline(0,4.236)(0,5.162)
\parametricplot{123.8545}{21.801}{t cos 5.385 mul 3 add t sin 3.808 mul 2 add }
\psline(8,3.414)(8,0.586)
\parametricplot{-21.801}{-31.683}{t cos 5.385 mul 3 add t sin 3.808 mul 2 add }
\psline(7.582,0)(6.317,0)}

\newgray{gris}{0.4}
\pscustom[fillstyle=solid, fillcolor=gris]{
\psline(7.582,0)(8,0)(8,0.586)
\parametricplot{-21.801}{-31.683}{t cos 5.385 mul 3 add t sin 3.808 mul 2 add }}
\pscustom[fillstyle=solid, fillcolor=gris]{
\parametricplot{123.8545}{21.801}{t cos 5.385 mul 3 add t sin 3.808 mul 2 add }
\psline(8,3.414)(8,4.646)
\parametricplot{36.809}{64.934}{t cos 6.245 mul 3 add t sin 4.416 mul 2 add }
\psline(5.646,6)(0.354,6)
\parametricplot{115.066}{118.7105}{t cos 6.245 mul 3 add t sin 4.416 mul 2 add }
\psline(0,5.873)(0,5.162)}

\newgray{gris}{0.25}
\pscustom[fillstyle=solid, fillcolor=gris]{
\parametricplot{36.809}{64.934}{t cos 6.245 mul 3 add t sin 4.416 mul 2 add }
\psline(5.646,6)(7.123,6)
\parametricplot{53.913}{44.415}{t cos 7 mul 3 add t sin 4.95 mul 2 add }
\psline(8,5.448)(8,4.646)}
\pscustom[fillstyle=solid, fillcolor=gris]{
\parametricplot{115.066}{118.7105}{t cos 6.245 mul 3 add t sin 4.416 mul 2 add }
\psline(0,5.873)(0,6)(0.354,6)}

\newgray{gris}{0.1}
\pscustom[fillstyle=solid, fillcolor=gris]{
\parametricplot{53.913}{44.415}{t cos 7 mul 3 add t sin 4.95 mul 2 add }
\psline(8,5.448)(8,6)(7.123,6)}
\psgrid[subgriddiv=0,gridcolor=black,gridwidth=0.6pt](0,0)(8,6)
%la légende
\psframe[linewidth=0.5pt](10,0)(12.8,6)
\psset{linewidth=0.5pt, fillstyle=solid}
\newgray{gris}{0.85}
\psframe[ fillcolor=gris](10.2,0.5)(10.5,0.8)  \rput[l](11,0.65){0-10}
\newgray{gris}{0.7}
\psframe[ fillcolor=gris](10.2,1.5)(10.5,1.8)  \rput[l](11,1.65){10-20}
\newgray{gris}{0.55}
\psframe[ fillcolor=gris](10.2,2.5)(10.5,2.8)  \rput[l](11,2.65){20-30}
\newgray{gris}{0.4}
\psframe[ fillcolor=gris](10.2,3.5)(10.5,3.8)  \rput[l](11,3.65){30-40}
\newgray{gris}{0.25}
\psframe[ fillcolor=gris](10.2,4.5)(10.5,4.8)  \rput[l](11,4.65){40-50}
\newgray{gris}{0.1}
\psframe[ fillcolor=gris](10.2,5.5)(10.5,5.8)  \rput[l](11,5.65){50-60}
\end{pspicture}
\par\end{center}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le tableau ci-dessous donne l'évolution du montant des ventes d'appareils photos numériques en France, en milliers d'euros, entre 1999 et 2004.

\begin{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année						&1999	&2000	&2001	&2002		&2003		&2004\\ \hline
Rang de l'année $x_{i}$		&1		&2		&3		&4			&5			&6\\ \hline
Montant des ventes $y_{i}$	&179	&332	&584	&\np{1092}	&\np{2675}	&\np{4164}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'augmentation, en pourcentage, du montant des ventes entre 1999 et 2000 puis entre 2000 et 2001. On exprimera ces pourcentages par un nombre entier en effectuant un arrondi.\\
Peut-on additionner ces augmentations successives pour obtenir le pourcentage d'augmentation entre 1999 et 2001 ? Justifier.
\item  La rapidité de la croissance suggère un ajustement de type exponentiel. On pose : $z_{i} = \ln \left(y_{i}\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item  Présenter la série statistique $\left(x_{i}~;~z_{i}\right)$ dans un tableau en arrondissant les valeurs de $z_{i}$ au centième.
		\item  Donner une équation de la droite d'ajustement affine de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés, les coefficients seront arrondis au centième.
		\item  En utilisant cet ajustement, donner une estimation du montant des ventes pour l'année 2008, arrondie au millier d'euros.
	\end{enumerate}
\item Du fait de l'apparition des téléphones mobiles avec appareil photo intégré, on a observé un ralentissement dans la progression des ventes, avec un montant de \nombre{5027} milliers d'euros en 2005 puis une diminution de 10\,\%  en 2006.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer le montant des ventes, arrondi au millier d'euros, pour 2006.
		\item  En supposant qu'après 2006 le montant des ventes continuera de baisser de 10\,\% par an, quelle prévision peut-on faire pour 2008 ? (On arrondira le montant au millier d 'euros)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Dans une entreprise, on a modélisé le bénéfice réalisé, en milliers d'euros, pour la vente de $x$ centaines d'appareils par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par :
 
\[f(x) = - 2x + \left(\text{e}^2 - 1\right)\ln x + 2.\]

La courbe de la fonction $f$ est donnée sur la figure ci-dessous :
 
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-3)(10,4)

\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot{1}{7.38906}{2.71828 2 exp 1 sub x ln mul 2 add x 2 mul sub} 
\psline(1,0)(7.38906,0)
}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.2pt,linecolor=blue]{0.54}{9.8}{2.71828 2 exp 1 sub x ln mul 2 add x 2 mul sub}
\psline[linestyle=dashed](3.1945,0)(3.1945,3)
\psline[linewidth=1.1pt]{<->}(2.1945,3.05)(4.1945,3.05)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=0.8pt](0,0)(-2,-3)(10,4)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2,-3)(10,4)
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier par le calcul que $f(1) = 0$ et $f\left(\text{e}^2\right) = 0$.
\item À l'aide du graphique, déterminer approximativement :
	\begin{enumerate}
		\item  le nombre d'appareils que l'entreprise doit fabriquer pour réaliser un bénéfice maximal et le montant de ce bénéfice ; 
		\item  les valeurs de $x$ pour lesquelles le bénéfice réalisé est positif ou nul,
	\end{enumerate}
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire le sens de variation de la fonction $f$.
		\item En déduire le nombre d'appareils vendus par cette entreprise quand elle réalise le bénéfice maximal (le résultat sera arrondi à l'unité).
	\end{enumerate}
\item Parmi les courbes données en annexe, une seule correspond à celle d'une primitive de $f$. Déterminer la courbe qui convient, en expliquant votre choix (on pourra s'appuyer sur le signe de $f(x)$).
\item En utilisant le résultat de la question précédente, en déduire, par une lecture graphique, une valeur approchée (en unité d'aire) de l'aire du domaine hachuré dans la figure ci-dessus.
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que la fonction $F$ définie sur l'intervalle $]0 ~;~+ \infty[$ par :

\[F(x) = -x^2 + \left(3 - \text{e}^2\right)x + \left(\text{e}^2 - 1\right)x\ln x~~ \text{est une primitive de}~f.\]

		\item Déterminer la valeur moyenne du bénéfice de l'entreprise sur l'intervalle où ce bénéfice est positif ou nul.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE : exercice 4}
\medskip

\psset{unit=6mm}
\begin{pspicture*}(-3,-5)(10,5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10,gridcolor=orange](0,0)(-3,-5)(10,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-3,-4.99)(10,5)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{-2}{6.389 x div 2 sub}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.9}{10}{6.389 x div 2 sub}
\rput(12,0){Courbe de $F_{1}$}
\end{pspicture*}

\bigskip

\psset{unit=5mm}
\begin{pspicture}(-3,-4)(14,10)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10,gridcolor=orange](0,0)(-3,-4)(14,10)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-3,-4)(14,10)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.01}{12}{6.389 x mul x ln mul x 4.389 mul sub x 2 exp sub 2 add}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.01}{12}{6.389 x mul x ln mul x 4.389 mul sub x 2 exp sub 2 add}
\rput(17,0){Courbe de $F_{2}$}
\end{pspicture}

\bigskip

\psset{unit=6mm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(10,10)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10,gridcolor=orange](0,0)(-2,-2)(10,10)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-2,-2)(10,10)
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.11}{9.24}{7.2 x mul x ln 6 mul sub x dup mul 0.6 mul sub 4 sub}
\rput(12,0){Courbe de $F_{3}$}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%    fin Polynésie juin 2007
\newpage
%%%%%%%%%%%%%  Antilles--Guyane ES septembre 2007
\hypertarget{Antillessept}{}

\label{Antillessept}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small septembre 2007}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Antilles--Guyane septembre 2007~\decofourright}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Pour chacune des affirmations suivantes, recopier la proposition qui vous semble exacte sur votre copie. Aucune justification n'est demandée.

Barème : \emph{Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse inexacte ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  La fonction $F :  x \longmapsto  \ln (2x + 4)$ est une primitive sur $[0~;~+ \infty[$ de la fonction $f$ définie par :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
${\Huge \bullet~} f(x)=\dfrac{1}{x + 4}$&${\large \bullet~} f(x) =	\dfrac{1}{2x + 4}$&${\large \bullet~} f(x) = \dfrac{1}{x + 2}$\\
\end{tabularx}
\item  L'intégrale $\displaystyle\int_{0}^1  3x\text{e}^{x^2}\:\text{d}x$ est égale à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
${\Huge \bullet~} 6(\text{e} - 1)$&${\Huge \bullet~} \dfrac{3}{2}(\text{e} - 1)$&${\Huge \bullet~} \dfrac{3}{2}\text{e}$\\
\end{tabularx}
\item  Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~ +\infty[$ par : $f(x)= \dfrac{1}{x} - \ln x+1$.

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij.

La tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$ passe par le point de coordonnées :

\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
${\Huge \bullet~} (2~;~ 0)$&${\Huge \bullet~} (1~;~-1)$&${\Huge \bullet~} \left(2~;~\dfrac{3}{2} - \ln 2\right)$\\
\end{tabularx}

\item  Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par : $f(x)= 2x+ \ln \left(\dfrac{x + 1}{2x}\right)$.

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij.

La courbe $\mathcal{C}$ admet pour asymptote la droite d'équation :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
${\Huge \bullet~} y = 0$	&${\Huge \bullet~} y = 2x - \ln 2$	&${\Huge \bullet~} y=2x$.
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

On donne ci-dessous la proportion, en pourcentage, du nombre d'enfants nés hors mariage en France métropolitaine.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Année $a_{i}$		&1980	&1985	&1990	&1995	&2000	&2003\\ \hline
Proportion $y_{i}$	&11,4	&19,6	&30,1	&37,6	&42,6	&45,2\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

On souhaite effectuer un ajustement de cette série statistique de la proportion en fonction de l'année.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Construire le nuage de points de coordonnées $(a_{i},~ y_{i})$ dans le plan muni du repère orthogonal suivant
\setlength\parindent{5mm}		
\begin{itemize}
\item  sur l'axe des abscisses, on placera 1980 à l'origine et on prendra comme unité $0,5$~cm,
\item  sur l'axe des ordonnées, on placera $10$ à l'origine et on prendra comme unité $0,5$~cm. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
		\item  Un ajustement affine semble-t-il adapté ?
	\end{enumerate}
\item  On note $a$ l'année et $y$ la proportion, on pose $x = a -1950$ et $t = \ln x$.
	\begin{enumerate}
		\item  Compléter sur la feuille annexe le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année $a_{i}$				&1980	&1985	&1990	&1995	&2000	&2003\\ \hline
$x_{i} = a_{i} - 1950$		&30		&		&		&		&		&\\ \hline
$t_{i}  = \ln x_{i}$		&3,401	&		&		&		&		&\\ \hline
$y_{i}$						&11,4	&		&		&		&		&  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

On donnera pour $t$ des valeurs arrondies au millième.
		\item Exprimer $y$ en fonction de $t$ par une régression linéaire en utilisant la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients au dixième.
		\item En déduire la relation : $y = 61,3 \ln x - 197$.
		\item Quel pourcentage du nombre d'enfants nés hors mariage (arrondi à $1$\,\%), peut-on prévoir en 2010 en utilisant cet ajustement ?
		\item À partir de quelle année peut-on prévoir que la proportion du nombre d'enfants nés hors mariage sera-t-elle supérieure à $60$\,\% ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Une entreprise désire construire dans son hall d'entrée un aquarium ayant la forme d'un pavé droit de hauteur $5$~dm (décimètres).

Ses deux autres dimensions, exprimées en dm, sont des entiers naturels $x$ et $y$ tels que
\[x \in ]0~;~20[ \quad \text{et} \quad  y \in ]0~;~20[.\]
La structure de cette construction est un bâti métallique correspondant aux $12$ arêtes du pavé droit et nécessitant des réglettes d'aluminium dont le prix de revient est de $0,8$~euro le dm.

Les quatre parois verticales et le fond de cet aquarium sont construits en verre.

\medskip

\textbf{PARTIE A :}

\medskip

On décide d'investir exactement $80$~euros pour la construction du bâti métallique.
\begin{enumerate}
\item  Montrer que, pour cet investissement, les dimensions $x$ et $y$ sont liées par la contrainte

$x + y =  20$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer en fonction de $x$ et $y$ le volume $V$, exprimé en dm$^3$, de cet aquarium.
		\item 	En déduire le volume $V$ en fonction de $x$  sous la contrainte précédente.
 	\end{enumerate}
\item  On définit la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ~;~ 20[$ par $f(x) = V$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $f$ admet un maximum sur $]0 ~;~ 20[$.
		\item En déduire les dimensions de l'aquarium peur que son volume soit maximal ainsi que la valeur de ce volume maximal.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE B :}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie pour tout $x \in ]0 ~;~ 20[$  et tout $y \in ]0 ~;~20[$ par :

\[g(x~;~y) = xy + 10(x+y).\]

On donne en annexe la représentation graphique de la surface d'équation $z =g(x,~y)$ dans un repère orthonormé \Oijk.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Quelle est la nature de la section de cette surface par le plan d'équation $x = 12$, parallèle au plan $\left(\text{O}~ ;~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$ ? Justifier la réponse.
\item  Montrer que $g(x~;~y)$ représente en fonction des dimensions $x$ et $y$ l'aire $S$, exprimée en dm$^2$, de la surface vitrée de l'aquarium.
\item  On suppose pour cette question que $x = 12.$
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'aire de la surface vitrée de l'aquarium dans le cas où la contrainte de la partie A est respectée.
		\item Déterminer, à l'aide du graphique, les valeurs de $y$ pour lesquelles l'aire est comprise entre $400$ et $500$ dm$^2$.
		\item Vérifier le résultat précédent en utilisant le résultat de la question 1.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On donne ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par

\[f(x) = \text{e}^{- \frac{1}{2}x + 1}\]

dans un repère orthonormé du plan \Oij{} d'unité $2$~cm.
 
\medskip

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-0.25,-0.5)(5,4)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=4,griddots=10](0,0)(5,4)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(5,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5}{2.71828 x 0.5 neg mul 1 add exp}
\uput[l](0,2.71828){e} \uput[u](4.5,0.27){\blue $\mathcal{C}$}
\end{pspicture} 
\end{center} 
 
\begin{enumerate}
\item  Démontrer que l'équation réduite de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $2$ est $y= - \dfrac{1}{2}x + 2$. Tracer $T$ sur le graphique de la feuille annexe.
\item  On définit la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par : 

\[g(x) = f(x) + \dfrac{1}{2}x	- 2.\]

	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que la fonction $g$ est décroissante sur l'intervalle [0~;~2] et croissante sur l'intervalle $[2~;~+\infty[$.
		\item  Calculer $g(2)$. En déduire le signe de $g$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. Interpréter graphiquement le résultat.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Hachurer sur le graphique de la feuille annexe le domaine $\mathcal{D}$ délimité par la courbe $\mathcal{C}$, la droite $T$, la droite d'équation $x = 2$ et l'axe des ordonnées.
		\item  Calculer l'aire du domaine $\mathcal{D}$ en cm$^2$. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à $10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Sur son trajet quotidien qui le conduit de son domicile à son lieu de travail, un automobiliste rencontre deux feux tricolores. Si, lorsqu'il parvient à leur niveau, le signal est vert, il passe, si le signal est orange ou rouge, il s'arrête.

On note : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item $A_{1}$ l'évènement : \og l'automobiliste s'arrête au premier feu \fg.
\item $A_{2}$ l'évènement: \og l'automobiliste s'arrête au deuxième feu \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On note $\overline{A_{1}}$  et $\overline{A_{2}}$ les évènements contraires des évènements $A_{1}$ et $A_{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Lorsque l'automobiliste se présente au premier feu, la probabilité que le signal soit orange est $\dfrac{1}{6}$, la probabilité qu'il soit rouge est $\dfrac{1}{3}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Quelle est la probabilité que l'automobiliste s'arrête au premier feu ? 
		\item  Quelle est la probabilité qu'il passe sans s'arrêter au premier feu ?
	 \end{enumerate}
\item  Si l'automobiliste s'est arrêté au premier feu, la probabilité qu'il s'arrête également au deuxième feu est $\dfrac{1}2$ ;	s'il ne s'est pas arrêté au premier feu, la probabilité qu'il s'arrête au deuxième feu est $\dfrac{1}{3}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Illustrer cette situation par un arbre pondéré. 
		\item  Démontrer que la probabilité que l'automobiliste ne s'arrête pas sur son trajet est $\dfrac{1}{3}$.
		\item  Calculer $P\left(A_{1} \cap  A_{2}\right)$ et $P\left(\overline{A_{1}} \cap  A_{2}\right)$ ;  en déduire $P\left(A_{2}\right)$.
		\item  L'automobiliste s'est arrêté au deuxième feu. Quelle est la probabilité qu'il se soit également arrêté au premier feu ?
	 \end{enumerate}
\item Si l'automobiliste effectue le trajet sans s'arrêter, celui-ci dure neuf minutes, s'il s'arrête une fois, douze minutes, et s'il s'arrête deux fois, quinze minutes.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la loi de probabilité de la durée du trajet.
		\item  Déterminer la durée moyenne du trajet.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexes à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 2}

\vspace{1cm}

\renewcommand{\arraystretch}{1.75}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année $a_{i}$			&1980	&1985	&1990	&1995	&2000	&2003\\ \hline
$x_{i} = a_{i} - 1950$	&30		&		&		&		&		&\\ \hline
$t_{i}  = \ln x_{i}$	&3,401	&		&		&		&		&\\ \hline
$y_{i}$					&11,4	&		&		&		&		&  \\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{2cm}

\textbf{Exercice 3}

\vspace{1cm}

\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-0.25,-0.5)(5,4)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=4,griddots=10](0,0)(5,4)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(5,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) 
\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5}{2.71828 x 0.5 neg mul 1 add exp}
\uput[ur](0,2.71828){e} \uput[u](4.5,0.27){\blue $\mathcal{C}$}
\end{pspicture} 
\end{center} 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

Spécialité ES\hfill{}Antilles Guyane Septembre 2007

\begin{center}
\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-2)(30,24)
%\SpecialCoor
\psset{Beta=12,Alpha=165}
%\psset{Beta=90,Alpha=180}% pour tests
\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=22,yMax=22,zMax=800,drawing=false] 
%la boîte
%à noter : le repère du sujet original (Excel like ?) n'est pas direct. Il faut donc inverser les x et les y
\pstThreeDPut(10,0,-1){$y$} \pstThreeDPut(22,10,0){$x$}
\pstThreeDPut(-2.5,0,8){$z$}
\pstThreeDLine(0,20,0)(0,20,16)
\multido{\n=0+2}{11}{\pstThreeDPut(\n,0,-0.5){\n}}
\multido{\n=0+2}{9}{\fpMul{\z}{\n}{50}\pstThreeDPut(-1,0,\n){\z}}
\multido{\n=0+4}{6}{\pstThreeDPut(21,\n,0){\n}}
\multido{\n=0+2}{9}{\pstThreeDLine(0,0,\n)(0,20,\n)(20,20,\n)}
\multido{\n=0+1}{21}{\pstThreeDLine(\n,0,0)(\n,20,0)(\n,20,16)}
\multido{\n=0+2}{11}{\pstThreeDLine(20,\n,0)(0,\n,0)(0,\n,16)}
%courbes de niveaux 
%z=0-100
\newgray{gris}{0.45}
\parametricplotThreeD(0,10){t 100 t 10 mul sub t 10 add div 2}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0,10){t 100 t 10 mul sub t 10 add div 2}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](10,0){t 0 t 5 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0,10){0 t t 5 div}}
%z>=100
\newgray{gris}{0.15}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\pstThreeDLine(10,0,2)(20,0,4)
\pstThreeDLine(20,0,4)(20,20,16)
\pstThreeDLine(20,20,16)(0,20,4)
\pstThreeDLine(0,20,4)(0,10,2)
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](0,10){t 100 t 10 mul sub t 10 add div 2}
}
%z>=200
\newgray{gris}{0.85}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\pstThreeDLine(20,0,4)(20,20,16)(0,20,4)
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](0,20){t 200 t 10 mul sub t 10 add div 4}
}
%z>=300
\newgray{gris}{0.65}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\pstThreeDLine(20,3.3333,6)(20,20,16)(3.3333,20,6)
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](10,60){t 3 div 900 t 10 mul sub t 30 add div 6}
}
%z>=400
\newgray{gris}{0.45}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\pstThreeDLine(20,6.66667,8)(20,20,16)(6.66667,20,8)
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](20,60){t 3 div 1200 t 10 mul sub t 30 add div 8}
}
%z>=500
\newgray{gris}{0.3}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\pstThreeDLine(20,10,10)(20,20,16)(10,20,10)
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](10,20){t  500 t 10 mul sub t 10 add div 10}
}
%z>=600
\newgray{gris}{0.15}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\pstThreeDLine(20,13.33333,12)(20,20,16)(13.33333,20,12)
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](40,60){t 3 div 1800 t 10 mul sub t 30 add div 12}
}
%z>=700
\newgray{gris}{0.75}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\pstThreeDLine(20,16.66667,14)(20,20,16)(16.66667,20,14)
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](50,60){t 3 div 2100 t 10 mul sub t 30 add div 14}
}
%surface
\psplotThreeD[drawStyle=xyLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=20,linewidth=0.5pt](0,20)(0,20){x y mul  x y add 10 mul add 50 div} %50div pour que cela rentre 
%la légende
\psframe[linewidth=0.5pt](25.5,6)(29.8,14)
\psset{linewidth=0.5pt, fillstyle=solid}
\newgray{gris}{0.45}
\psframe[ fillcolor=gris](25.7,6.5)(26,6.8)  \rput[l](26.5,6.65){0-100}
\newgray{gris}{0.15}
\psframe[ fillcolor=gris](25.7,7.5)(26,7.8)  \rput[l](26.5,7.65){100-200}
\newgray{gris}{0.85}
\psframe[ fillcolor=gris](25.7,8.5)(26,8.8)  \rput[l](26.5,8.65){200-300}
\newgray{gris}{0.65}
\psframe[ fillcolor=gris](25.7,9.5)(26,9.8)  \rput[l](26.5,9.65){300-400}
\newgray{gris}{0.45}
\psframe[ fillcolor=gris](25.7,10.5)(26,10.8)  \rput[l](26.5,10.65){400-500}
\newgray{gris}{0.3}
\psframe[ fillcolor=gris](25.7,11.5)(26,11.8)  \rput[l](26.5,11.65){500-600}
\newgray{gris}{0.15}
\psframe[ fillcolor=gris](25.7,12.5)(26,12.8)  \rput[l](26.5,12.65){600-700}
\newgray{gris}{0.75}
\psframe[ fillcolor=gris](25.7,13.5)(26,13.8)  \rput[l](26.5,13.65){700-800}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%  fin Antilles-Guyane septembre 2007
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Métropole--La Réunion septembre 2007
\hypertarget{LaReunionsep}{}

\label{LaReunionsep}
\lfoot{\small Métropole--La Réunion}
\rfoot{\small septembre 2007}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Métropole--La Réunion septembre 2007~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Pour chacune des quatre questions de ce QCM, une seule réponse est exacte.

\textbf{ Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.}

\emph{Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse fausse enlève $0,25$ point. L'absence de réponse n'ajoute ni n'enlève aucun point.}

\medskip 
Une fonction $f$ est définie et dérivable sur l'ensemble $]-6~;~-3[ \cup ] -3~;~+\infty[$. Le tableau de variations de la fonction  $f$ est le suivant :

\bigskip

\begin{pspicture}(12,3)
\psframe(12,3)
%\psgrid
\psline(0,2.5)(12,2.5) \psline(2,0)(2,3) \psline[doubleline=true](7,0)(7,2.5)%\psline(7.1,0)(7.1,2.5)
\uput[u](1,2.5){$x$} \uput[u](2.2,2.5){$-6$} \uput[u](4.5,2.5){$-4$}  \uput[u](5.75,2.5){$-3,5$} \uput[u](7,2.5){$-3$} \uput[u](9.5,2.5){$2$} 
\uput[u](11.7,2.5){$+ \infty$}
\rput(1,1.5){Variations} \rput(1,0.5){de $f$} 
\uput[u](2.2,0){$7$} \rput(4.5,2.2){$8$} \rput(5.75,1.15){$0$} \uput[u](6.5,0){$- \infty$}
\uput[d](7.4,2.5){$+ \infty$} \uput[u](9.5,0){$3$} \uput[d](11.75,2.5){$5$}
\psline{->}(2.4,0.4)(4.3,2.1) \psline{->}(4.7,2.1)(6.3,0.6) \psline{->}(7.5,2)(9.3,0.4)
\psline{->}(9.7,0.4)(11.5,2.1)
\end{pspicture}

\begin{enumerate}
\item  On peut affirmer que : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
Réponse \textbf{A} : $\displaystyle\lim_{x \to 5} f(x) = +\infty$.&Réponse \textbf{B} : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 5$\\
Réponse \textbf{C} : $\displaystyle\lim_{x \to -6} f(x) = - \infty$.& Réponse \textbf{D} : $\displaystyle\lim_{\substack{x \to -3\\ x < -3}} f(x) = 0$.\\
\end{tabularx}
\item  La courbe représentative de $f$ admet pour asymptotes les droites d'équation :\\
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
Réponse \textbf{A} : $x =5$ et $y = -3$ & Réponse \textbf{B} : $x = -3$ et $y = 5$.\\
Réponse \textbf{C} : $y =  8$ et $y =3$	&Réponse \textbf{D} : $x = -6$ et $y = 5$.\\
\end{tabularx}
\item  Dans l'ensemble $]-6~;~ -3[ \cup ] -3~ ;~ +\infty[$ l'équation $f(x) = 4$ admet\\
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
Réponse \textbf{A} : $0$ solution	&Réponse \textbf{B} : $1$ solution\\
Réponse \textbf{C} : $2$ solutions	&Réponse \textbf{D} : $3$ solutions\\
\end{tabularx}
\item  On considère le nombre réel $I = \displaystyle\int_{2}^4 f(x) \:\text{d}x$. On peut affirmer que :\\
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
Réponse \textbf{A} : $0 \leqslant I \leqslant 3$   	& Réponse \textbf{B} : $6\leqslant I \leqslant 10$\\
Réponse \textbf{C} : $3 \leqslant I \leqslant 6$		& Réponse \textbf{D} : $I \geqslant 10$.\\
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le tableau suivant donne, en milliers, le nombre de Pactes civils de solidarité (PACS) signés chaque année en France :

\medskip

\medskip \begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Années&2000&2001&2002&2003	&2004\\ \hline
Rang de l'année, $x_{i}$&	0&1&2&3&4\\ \hline
Nombres de PACS en milliers, $y_{i}$	&	22,1	&19,4&	25&	31,1&	39,6\\ \hline
\end{tabularx}
\begin{flushright}Source INSEE.\end{flushright}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer, à 0,1 près, le pourcentage d'augmentation du nombre de milliers de Pactes civils de solidarité entre 2000 et 2004.
\item  	\textbf{On envisage un ajustement affine}
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la calculatrice, donner l'équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés, sous la forme $y = ax + b$. Par la suite, on pose $f(x) = ax + b$.
		\item 	En supposant que cet ajustement affine est valable jusqu'en 2007, donner une estimation du nombre de milliers de Pactes civils de solidarité signés en 2007.
	\end{enumerate}
\item  	\textbf{On envisage un autre type d'ajustement}

On modélise le nombre de milliers de Pactes civils de solidarité signés durant l'année $2000+x$
	($x$ entier) à l'aide de la fonction $g$ définie par 

	\[g(x) = 1,6x^2 -1,8x+ 21,4.\]
	
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant ce second modèle, calculer le nombre de milliers de Pactes civils de solidarité signés en 2007.
		\item 	On suppose que l'évolution se poursuit selon ce modèlejusqu'en 2015.
	Le nombre de milliers de Pactes civils de solidarité signés en 2010 sera-t-il supérieur à \np{100000} ? Justifier.
	\end{enumerate}
\item  	\textbf{Comparaison des deux ajustements}

Pour chacun des deux modèles, on calcule ci-dessous le tableau des carrés des écarts entre les valeurs réelles et les valeurs calculées à l'aide de chacun des deux ajustements.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$&	0&1&2&	3&4\\  \hline
$\left[(y_{i} - f(x_{i})\right]^2$& 16& 11,36& 5,95& 1,02& 7,95\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$&0&1&2&	3&4\\  \hline
$\left[(y_{i} - g(x_{i})\right]^2$&	0,49&&&& \\ \hline
\end{tabularx}

\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le deuxième tableau, les valeurs étant arrondies au centième. 
		\item  Lequel de ces deux ajustements semble le plus proche de la réalité ? Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\textbf{Partie I}

\medskip

Le graphe suivant représente le plan d'une ville. Les arêtes du graphe représentent ses avenues commerçantes et les sommets du graphe les carrefours de ces avenues.

\begin{center}
\begin{pspicture}(8,3.25)
\pspolygon(0,0)(8,0)(3.9,2.9)(1.6,2.9)(3.9,1.2)(1.6,1.2)(1.6,2.9)%EFBACDAE
\psline(1.6,1.2)(0,0)%ED
\psline(3.9,2.9)(3.9,1.2)(8,0)%BCF
\uput[u](1.6,2.9){A} \uput[u](3.9,2.9){B} \uput[d](3.9,1.2){C} \uput[d](1.6,1.2){D} 
\uput[dl](0,0){E} \uput[dr](8,0){F}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Donner l'ordre de ce graphe, puis le degré de chacun de ses sommets.
\item 	Un piéton peut-il parcourir toutes ces avenues sans emprunter plusieurs fois la même avenue ? Justifier votre réponse.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie  II}

\medskip

Dans le graphe suivant, on a indiqué le sens de circulation dans les différentes avenues.

\begin{center}
\psset{arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(8,3.25)
\pnode(1.6,2.9){A} \pnode(3.9,2.9){B} \pnode(3.9,1.2){C} 
\pnode(1.6,1.2){D} \pnode(0,0){E} \pnode(8,0){F}
\pnode(2.75,2.9){G}\ncline{->}{A}{G}\ncline{G}{B}
\pnode(5.95,1.45){H}\ncline{->}{B}{H}\ncline{H}{F}
\pnode(5.95,0.6){I}\ncline{->}{F}{I}\ncline{I}{C}
\pnode(3.9,2.05){J} \ncline{->}{C}{J}\ncline{J}{B}
\pnode(2.75,2.05){K}\ncline{->}{C}{K}\ncline{K}{A}
\pnode(1.6,2.05){L}\ncline{->}{D}{L}\ncline{L}{A}
\pnode(2.75,1.2){M}\ncline{->}{D}{M}\ncline{M}{C}
\pnode(0.8,0.6){N}\ncline{->}{E}{N}  \ncline{N}{D}
\pnode(0.8,1.45){O}\ncline{->}{A}{O}\ncline{O}{E}
\pnode(4,0){P}\ncline{->}{F}{P}\ncline{P}{E}
%\pspolygon(0,0)(8,0)(3.9,2.9)(1.6,2.9)(3.9,1.2)(1.6,1.2)(1.6,2.9)%EFBACDAE

\uput[u](1.6,2.9){A} \uput[u](3.9,2.9){B} \uput[d](3.9,1.2){C} \uput[d](1.6,1.2){D} \uput[dl](0,0){E} \uput[dr](8,0){F}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Écrire la matrice M associée à ce graphe.

(On rangera les sommets dans l'ordre alphabétique).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le nombre de trajets de longueur 2 reliant D à B ?
		\item  Comment pourrait-on obtenir ce résultat uniquement par le calcul à partir de la matrice M ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 7 points}
	
\textbf{Commun à tous les  candidats}

\medskip

La courbe ($\mathcal{C}$) donnée en ANNEXE, est la représentation graphique dans un repère orthogonal d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $R$. On note $f'$ sa fonction dérivée.

Les points A (3 ; e) et B (4 ; 2 ) appartiennent à cette courbe.

La tangente à la courbe en A est parallèle à l'axe des abscisses et la tangente (T) à la courbe en B coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse 6.

\medskip
\textbf{PARTIE I : lecture graphique}

\medskip

Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes, sans justifier.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Pour quelles valeurs du nombre réel $x$ de l'intervalle [3~;~10] a-t-on $f(x) \leqslant  2$ ?
\item  Déterminer $f'(3)$ et $f'(4)$.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{PARTIE II étude de la fonction}

\medskip

La fonction $f$ représentée dans l'ANNEXE, est la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par

\[f(x) =(x - 2) \text{e}^{(-x + 4)}\]

/smallskip

\begin{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
		\item  Calculer $f(0)$. Donner la valeur décimale arrondie à l'unité.
		\item  On donne $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x) =0$. Donner une interprétation graphique de ce résultat.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[0~;~ +\infty[$, calculer $f'(x)$ et montrer que
		
$f'(x)=(3-x) \text{e}^{(-x+4)}$.
		\item   Sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ étudier le signe de $f'(x)$, puis dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\item   On admet que la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par 

\[g(x) =  (1- x) \text{e}^{(-x + 4)}\]

est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0; + \infty[$.

En déduire la valeur moyenne $m$ de $f$ sur l'intervalle [2 ; 10]. On donnera la valeur exacte, puis la valeur décimale arrondie au millième.

Rappel : Soit $f$ une fonction et $[a~;~ b]$ un intervalle sur lequel $f$ est définie et dérivable.

La valeur moyenne $m$ de $f$ sur un l'intervalle $[a ~;~b]$ est le nombre $m$ tel que :
\[ m = \dfrac{1}{b - a} \times \displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x.\]
 \end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{PARTIE III : étude d'un bénéfice}

\medskip

Une entreprise vend $x$ centaines de litres de parfum par jour $1,8 \leqslant  x \leqslant 4,5$.

Le bénéfice en milliers d'euros réalisé, par jour, par l'entreprise lorsqu'elle vend $x$ centaines de litres est donné par $f(x)$ pour $x \in $[1,8~;~4,5]. On suppose donc que pour des raisons techniques et commerciales l'entreprise vend au moins $180$ litres et au plus $450$ litres.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer le bénéfice en euros réalisé sur la vente de $400$ litres (soit 4 centaines de litres). 
\item  Déterminer la quantité de litres à vendre par jour pour réaliser un bénéfice maximal.

Quel est ce bénéfice maximal en euros ? (Donner la réponse arrondie à 1~\euro). 
\item  À partir de quelle quantité journalière l'entreprise ne vend-elle pas à perte ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}
	
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Jean s'amuse régulièrement sur un terrain de football avec le gardien de but. Chaque partie consiste à tirer successivement deux tirs au but.

Au vu des résultats obtenus au cours de l'année, on admet que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  la probabilité que Jean réussisse le premier tir au but est égal à $0,8$ ;
\item  s'il réussit le premier, alors la probabilité de réussir le second est $0,7$ ;
\item  s'il manque le premier, alors la probabilité de réussir le second est $0,5$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
   
On note $R_{1}$ l'évènement : \og le premier tir au but est réussi \fg{} et $\overline{R_{1}}$ son évènement contraire,

$R_{2}$ l'évènement: \og le second tir au but est réussi \fg{} et $\overline{R_{2}}$ son évènement contraire.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter la situation par un arbre pondéré.
\item  Calculer la probabilité que les deux tirs au but soient réussis.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que le second tir au but soit réussi.
		\item Les évènements $R_{1}$ et $R_{2}$ sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.
	 \end{enumerate}
\item On note $A$ l'évènement : \og Jean a réussi exactement un tir au but \fg.

Montrer que $p (A) = 0,34$.
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 3}

\bigskip

\textbf{Commun à tous les candidats}

\vspace{1.5cm}

\psset{unit=1.125cm}
\begin{pspicture}(-0.666,-8.3)(10,3.66)
\multido{\d=0.0000+0.3333}{31}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](\d,-8.333)(\d,3.666)}
\multido{\d=-8.3333+0.3333}{37}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](0,\d)(10,\d)}
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-8.3)(10,3.66)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot{2.331}{9.666}{6 x sub}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{1.387}{9.666}{2.71828 4 x sub exp x 2 sub mul}
\uput[d](3,2.666){A} \uput[ur](4,2){B} \uput[u](8,0.25){\blue $(\mathcal{C})$}
\uput[d](8,-2.4){(T)} \uput[dl](0,0){O}
\psdots(3,2.71828)(4,2)
\psline[linewidth=1pt]{<->}(2,2.71828)(4,2.71828)
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%  fin Métropole--La Réunion septembre 2007 
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%  Polynésie septembre 2007
\hypertarget{Polynesiesept}{}

\label{Polynesiesept}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large  \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Polynésie  septembre 2007~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Une buvette, située en bordure de plage, est ouverte de 12 heures à 18 heures. Elle propose des crêpes salées et des crêpes sucrées.

 Chaque client achète une seule crêpe.
 
60\,\% des clients se présentent à l'heure du déjeuner (entre 12 heures et 14 heures).

Parmi les clients achetant une crêpe l'après-midi (à partir de 14 heures), 80\,\% choisissent une crêpe sucrée.

On appelle :

$D$ l'évènement : \og le client est venu à l'heure du déjeuner \fg.

$A$ l'évènement : \og le client achète une crêpe salée \fg.

On sait que la probabilité qu'un client achète une crêpe salée est égale à $0,62$.

\emph{On pourra représenter les différentes situations par des arbres pondérés.}

\emph{Les résultats seront donnés sous forme décimale.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les probabilités des évènements $D$ et $\overline{D}$.
\item  \begin{enumerate}
\item Un client est venu l'après-midi. Quelle est la probabilité qu'il ait acheté une crêpe salée ?
\item Calculer $P\left(A \cap \overline{D}\right)$.
\item En utilisant la formule des probabilités totales, calculer $P\left(A \cap  D\right)$.
\item Un client vient à l'heure du déjeuner ; montrer que la probabilité qu'il achète une crêpe salée est égale à $0,9$.
\end{enumerate}
\item Un client a acheté une crêpe salée ; quelle est la probabilité, à $0,01$ près, qu'il soit venu l'après-midi ?
\item On vend 3~euros une crêpe salée et 2 euros une crêpe sucrée. La buvette reçoit $250$~clients par jour. Quelle est l'espérance de la recette quotidienne due à la vente de crêpes ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Pour chacune des cinq propositions ci-dessous, indiquer si la proposition est vraie ou fausse en justifiant votre réponse.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  La fonction $x \mapsto  \text{e} + \dfrac{1}{5}$ est la fonction dérivée de la fonction $x \mapsto  \text{e}x + \ln 5$.
\item  L'ensemble des solutions sur $\R$ de l'équation $\left(\text{e}^x - 1\right)\left(\text{e}^x + 4\right) = 0$ est : $S = \{0\}$.
\item Si $\left(1 - \dfrac{1}{100}\right)^n \leqslant  0,7$ alors  $n \geqslant \dfrac{\ln 0,7}{\ln 0,99}$.
\item L'ensemble des solutions sur $\R$ de l'équation $\ln \left(x^2 + 4x + 3\right) = \ln(5x+ 9)$ est $S = \{-2~;~3\}$.
\item La limite quand $x$ tend vers 1, $x < 1$, de la fonction $x \mapsto \ln \left(\dfrac{\sqrt{1 - x}}{2}\right)$	est $0$.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 9 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Les parties} A \emph{et} B \emph{sont indépendantes.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $f(x) = (ax + b)\text{e}^{-x}$ où $a$ et $b$ sont deux réels.

 On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $[0~;~+\infty [$ et on note $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal.
 
 \medskip
  
\begin{enumerate}
\item  On sait que $(\mathcal{C})$ passe par le point E(0~;~1) et qu'elle admet au point d'abscisse $0$ une tangente horizontale. En déduire $f(0)$ et $f'(0)$.
\item  Vérifier que $f'(x) = (- ax + a - b)\text{e}^{-x}$
\item  En utilisant les résultats précédents, déterminer $a$ et $b$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Pour la suite, on admet que la fonction $f$ est définie sur $[0~;~+\infty[$ par : 

\[f(x) = (x + 1)\text{e}^{-x}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item  Vérifier que pour tout $x$ de $[0~;~+\infty[,\: f(x) = \dfrac{x}{\text{e}^x} + \dfrac{1}{\text{e}^x}$.
\item  Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
\item  En déduire que $(\mathcal{C})$ possède une asymptote dont on précisera une équation.
\end{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item  Calculer $f'(x)$.
\item  Étudier le signe de $f'(x)$ sur $[0~;~+\infty[$ puis dresser le tableau de variations complet de $f$.
\end{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item Montrer que l'équation $f(x) =  0,5$ possède une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle [0~;~4].
\item  Déterminer un encadrement de $\alpha$ à $10^{-3}$ près.
\end{enumerate}
\item  On considère la fonction $g$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $g(x) = - (x + 2)\text{e}^{-x}$.

Montrer que $g$ est une primitive de $f$ sur $[0~;~+\infty[$.
\item  Calculer la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle [0~;~4]. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au millième du résultat.

(Rappel : la valeur moyenne d'une fonction $f$ sur un intervalle $[a~;~b]$ est égale à $\left.\dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_{a}^b  f(x)\:\text{d}x\right)$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Une entreprise produit $q$ milliers de pièces par jour, $q$ étant un réel de [0~;~4].

Le prix de revient d'une pièce, exprimé en euros, dépend de $q$ et est donné par l'expression :

\[f(q) = (q + 1)\text{e}^{-q}.\]

\smallskip
	
\begin{enumerate}
\item  Combien coûte, en moyenne, à l'euro près, la production de \np{4000} pièces ?
\item  À partir de quelle quantité de pièces produites le prix de revient d'une pièce est-il inférieur à $0,5$~euro ?
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%  fin Polynésie septembre 2007
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%  Amérique du Sud ES novembre 2007
\hypertarget{AmeriqueSud}{}

\label{AmeriqueSud}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small novembre 2007}
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty} 

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat ES Amérique du Sud 
novembre 2007~\decofourright} 
\end{center} 

\bigskip 

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$.

La figure ci-dessous montre une partie de sa courbe représentative $(\mathcal{C}_{f})$ dans un repère orthonormal \Oij.

\medskip

On dispose des renseignements suivants sur la fonction $f$ et la courbe $(\mathcal{C}_{f})$ :
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle [0~;~2], elle est strictement décroissante sur l'intervalle $]- \infty~;~ 0]$ et sur l'intervalle $[2~;~+\infty[$ ;
\item[$\bullet~$]	la courbe $(\mathcal{C}_{f})$ passe par l'origine du repère et par les points A(1~;~e) et B(2~;~4) ;
\item[$\bullet~$]	la droite (OA) est tangente en A à la courbe $(\mathcal{C}_{f})$ et l'axe des abscisses est asymptote à $(\mathcal{C}_{f})$ en $+ \infty$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ et on appelle $F$ la primitive de $f$ sur $\R$ telle que $F(0) = 0$.
 
\begin{center}
 
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(8,5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2,-0.99)(8,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline(-0.368,-1)(1.8394,5)
\psplot[plotpoints=8000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-0.607}{8}{x 2 exp 2.71828 2 x sub  exp mul}
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](1,2.71828)(2,4) \uput[ul](1,2.71828){A} \uput[ur](2,4){B} \uput[u](4.2,2.1){\blue $(\mathcal{C}_{f})$}
\end{pspicture}
\end{center} 
 
\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, en utilisant les informations données par l'énoncé, cocher la cas V (l'affirmation est vraie) ou la case F (l'affirmation est fausse) sur l'annexe $1$ à rendre avec votre copie. Il n'est pas demandé de justifier les réponses. Une réponse exacte rapporte $0,5$ point; une réponse inexacte enlève $0,25$ point; l'absence de réponse n'enlève aucun point et n'en rapporte aucun. Si le total des points est négatif, la note attribuée à l'exercice est $0$.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$.
\item L'équation $f(x) =  0,1$ admet exactement deux solutions dans $\R$.
\item $f'(1) = f(1)$.
\item $\displaystyle\int_{2}^4 f(x)\,\text{d}x < 5$.
\item $\displaystyle\int_{1}^3 f'(x)\,\text{d}x < 1$.
\item La fonction $F$ est croissante sur $\R$.
\item $F(5) > F(6)$.
\item La fonction $f'$ est croissante sur l'intervalle [0~;~2].
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidat n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Une revue professionnelle est proposée en deux versions : une édition papier et une édition électronique consultable via internet. Il est possible de s'abonner à une seule des deux éditions ou de s'abonner à l'édition papier et à l'édition électronique.

L'éditeur de la revue a chargé un centre d'appel de démarcher les personnes figurant sur une liste de lecteurs potentiels.
 
On admet que lorsqu'un lecteur potentiel est contacté par un employé du centre d'appel, la probabilité qu'il s'abonne à l'édition papier est égale à $0,2$ ; s'il s'abonne à l'édition papier, la probabilité qu'il s'abonne aussi à l'édition électronique est égale à $0,4$ ; s'il ne s'abonne pas à l'édition papier, la probabilité qu'il s'abonne à l'édition électronique est égale à $0,1$.

\medskip

\textbf{Partie I}

\medskip

Une personne figurant sur la liste de lecteurs potentiels est contactée par un employé du centre d'appel.

On note :
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $A$ l'évènement \og la personne s'abonne à l'édition papier \fg,
\item[$\bullet~$] $B$ l'évènement \og la personne s'abonne à l'édition électronique \fg,
\item[$\bullet~$] $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$,\,$\overline{B}$ l'évènement contraire de $B$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Reproduire et compléter l'arbre suivant :

\medskip

\begin{center}\psset{arrows=->}\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$A$~}\taput{0,2}}
	  { 
		  \TR{$B$}
		  \TR{$\overline{B}$}  
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{A}$~}\tbput{}}
	  {
		  \TR{$B$}
		  \TR{$\overline{B}$} 
	  }	
}
\end{center}

	\item Donner la probabilité de $\overline{B}$ sachant $A$ et la probabilité de $\overline{B}$ sachant $\overline{A}$.
\end{enumerate}
\item   
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la probabilité que la personne contactée s'abonne à l'édition papier et à l'édition électronique.
		\item  Justifier que la probabilité de l'évènement $B$ est égale à $0,16$.
		\item  Les évènements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?
 	\end{enumerate}
\item On suppose que la personne contactée s'est abonnée à l'édition électronique. Quelle est alors la probabilité qu'elle soit aussi abonnée à l'édition papier ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie II}

\medskip

Pour chacune des personnes contactée, le centre d'appel reçoit de l'éditeur de la revue
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 2 \euro{} si la personne ne s'abonne à aucune des deux éditions ;
\item[$\bullet~$] 10 \euro{} si la personne s'abonne uniquement à l'édition électronique ;
\item[$\bullet~$] 15 \euro{} si la personne s'abonne uniquement à l'édition papier ;
\item[$\bullet~$] 20 \euro{} si la personne s'abonne aux deux éditions.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter, sans donner de justification, le tableau ci-dessous donnant la loi de probabilité de la somme reçue par le centre d'appel pour une personne contactée.

\medskip

\begin{center}\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Somme reçue en \euro{}	&2	&10	&15	&20\\   \hline
Probabilité				&	&	&	&\\   \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\item  Proposer, en expliquant votre démarche, une estimation de la somme que le centre d'appel recevra de l'éditeur s'il parvient à contacter \np{5000} lecteurs potentiels.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidat ayant  choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~7]
et tout réel $y$ de l'intervalle [0~;~5] par :

\[f(x~;~y) = 4x + 3y + xy.\]

\emph{Les parties} A \emph{et} B \emph{sont indépendantes.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On appelle $\mathcal{S}$ la surface représentant la fonction $f$ dans un repère orthogonal
de l'espace.

La figure ci-après, à rendre avec la copie, donne une vue de la surface $\mathcal{S}$.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
\def\func{x y  mul  4 x mul add  3 y mul add 10 div}

\psset{unit=1cm,linewidth=1.pt}
\begin{pspicture}(-1,-1.5)(10,10)
%\psgrid
\psset{Beta=25,Alpha=160,xsubticks=7,ysubticks=5}%
\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=7,yMax=5,zMax=8,linewidth=1pt,drawing=False]
\pstThreeDPut(3.5,-1.5,0){$x$} \pstThreeDPut(8,2.2,0){$y$}
\pstThreeDPut(-0.85,-0.3,3.6){$z$}
\psset{linewidth=1pt,linecolor=gray}
\psset{linewidth=1.25pt}
\newgray{gris}{0.25}
\parametricplotThreeD(0,2.5){t 10 4 t mul sub t 3 add div 1}
\parametricplotThreeD(0.5556,5){t 20 4 t mul sub t 3 add div 2}
\parametricplotThreeD(1.667,7){t 30 4 t mul sub t 3 add div 3}
\parametricplotThreeD(2.8,7){t 40 4 t mul sub t 3 add div 4}
\parametricplotThreeD(4,7){t 50 4 t mul sub t 3 add div 5}
\parametricplotThreeD(5,7){t 60 4 t mul sub t 3 add div 6}
\parametricplotThreeD(6.1,7){t 70 4 t mul sub t 3 add div 7}

\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=green]{
\parametricplotThreeD(0,2.5){t 10 4 t mul sub t 3 add div 1}
\pstThreeDLine(2.5,0,1)(0,0,0)(0,3.333,1)}

\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{
\parametricplotThreeD(0,2.5){t 10 4 t mul sub t 3 add div 1}
\pstThreeDLine(2.5,0,1)(5,0,2)
\parametricplotThreeD(5,0.5556){t 20 4 t mul sub t 3 add div 2}
\pstThreeDLine(0.5556,5,2)(0,5,1.5)(0,3.333,1)}

\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{
\parametricplotThreeD(5,0.5556){t 20 4 t mul sub t 3 add div 2}
\pstThreeDLine(0.5556,5,2)(1.667,5,3)
\parametricplotThreeD(1.667,7){t 30 4 t mul sub t 3 add div 3}
\pstThreeDLine(7,0.2,3)(7,0,2.8)(5,0,2)}

\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=magenta]{
\parametricplotThreeD(1.667,7){t 30 4 t mul sub t 3 add div 3}
\pstThreeDLine(7,0.2,3)(7,1.2,4)
\parametricplotThreeD(7,2.8){t 40 4 t mul sub t 3 add div 4}
\pstThreeDLine(2.8,5,4)(1.6667,5,3)}

\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\parametricplotThreeD(7,2.8){t 40 4 t mul sub t 3 add div 4}
\pstThreeDLine(2.8,5,4)(3.889,5,5)
\parametricplotThreeD(3.889,7){t 50 4 t mul sub t 3 add div 5}
\pstThreeDLine(7,2.2,5)(7,1.2,4)}

\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=cyan]{
\parametricplotThreeD(3.889,7){t 50 4 t mul sub t 3 add div 5}
\pstThreeDLine(7,2.2,5)(7,3.2,6)
\parametricplotThreeD(7,5){t 60 4 t mul sub t 3 add div 6}
\pstThreeDLine(5,5,6)(3.8889,5,5)}

\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=red]{
\parametricplotThreeD(6.1,7){t 70 4 t mul sub t 3 add div 7}
\pstThreeDLine(7,4.2,7)(7,5,7.8)(6.11,5,7)}
\pstThreeDPlaneGrid(0,0)(7,5)
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=xz,planeGridOffset=5](0,0)(7,8)
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=yz](0,0)(5,8)
\multido{\n=0+1}{8}{\pstThreeDPut(\n,-1,0){\n}}%graduation
\multido{\n=0+1}{6}{\pstThreeDPut(7.5,\n,0){\n}}%graduation
\multido{\n=0+1,\na=0+10}{9}{\pstThreeDPut(-0.5,0,\n){\na}}%graduation
\psset{linewidth=1.pt}

\psplotThreeD[xPlotpoints=14,yPlotpoints=10,drawStyle=xyLines,linecolor=blue](0,7)(0,5){\func}

\psset{linewidth=1.25pt}
\newgray{gris}{0.25}
\parametricplotThreeD(0,2.5){t 10 4 t mul sub t 3 add div 1}
\parametricplotThreeD(0.5,5){t 20 4 t mul sub t 3 add div 2}
\parametricplotThreeD(1.7,7.){t 30 4 t mul sub t 3 add div 3}
\parametricplotThreeD(2.8,7){t 40 4 t mul sub t 3 add div 4}
\parametricplotThreeD(4,7){t 50 4 t mul sub t 3 add div 5}
\parametricplotThreeD(5,7){t 60 4 t mul sub t 3 add div 6}
\parametricplotThreeD(6.1,7){t 70 4 t mul sub t 3 add div 7}
%\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=green]{
%\parametricplotThreeD(0,2.5){t 20 4 t mul sub t 3 add div 2}
%\parametricplotThreeD(2.5,0){t 10 4 t mul sub t 3 add div 1}
%}
%\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{
%\parametricplotThreeD(0,2.5){t 10 4 t mul sub t 3 add div 1}
%\pstThreeDLine(2.4,0.55)(0,0)(1.2,2.25)
%}

\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{enumerate}
\item A est le point de $\mathcal{S}$ d'abscisse 3 et d'ordonnée 4, B est le point de $\mathcal{S}$ d'ordonnée 2 et de cote 40.
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A et B sur la figure.
		\item Déterminer la valeur exacte de la cote du point A et la valeur exacte de
l'abscisse du point B.
	\end{enumerate}
\item On appelle $\mathcal{L}$ l'intersection de la surface $\mathcal{S}$ et du plan d'équation
$y = 4$.
	
Déterminer la nature de l'ensemble $\mathcal{L}$ et surligner en couleur cet ensemble
sur la figure.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}
 
\medskip

Les activités d'une grosse entreprise sont réparties entre deux secteurs : le
secteur P (production) et le secteur C (commercialisation).

Cette entreprise envisage d'investir au cours de l'année 2008 jusqu'à
7~millions d'euros dans le secteur P et jusqu'à 5~millions d'euros dans le
secteur C. 

Le service chargé d'évaluer l'effet de ces investissements sur le
chiffre d'affaire 2009 de l'entreprise, propose le modèle suivant :

Pour $0 \leqslant x \leqslant 7$ et $0 \leqslant y \leqslant 5$, si l'entreprise investit au cours de l'année 2008, $x$ millions d'euros dans le secteur P et $y$ millions d'euros dans le
secteur C, cela entraînera en 2009 une hausse du chiffre d'affaire égale à
$f(x~;~y)$ millions d'euros.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la hausse du chiffre d'affaire 2009 prévue par ce modèle
dans chacun des cas suivants :
	\begin{enumerate}
		\item $x = 3$ et $y = 5$,
		\item $x = 7$ et $y = 1$.
	\end{enumerate}
\item On suppose que l'entreprise décide de fixer à 8 millions d'euros le montant
total des investissements prévus au cours de l'année 2008.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, sous cette contrainte, on peut exprimer $f(x~;~y)$ en fonction
de $x$ seulement. On note $g(x)$ l'expression ainsi obtenue. Vérifier
que :
		\[g(x) = - x^2 + 9x + 24.\]
		
		\item Selon le modèle proposé, comment faudra-t-il répartir entre les secteurs
P et C les 8 millions euros à investir au cours de l'année 2008 pour obtenir
une hausse maximale du chiffre d'affaire de l'année 2009 ? 	
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

On admettra que les fonctions considérées dans cet exercice sont dérivables sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.

Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par :

\[f(x) = (2 - \ln x) \ln x.\]

La figure ci-dessous donne la courbe représentative $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij.

La courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ coupe l'axe des abscisses en A(1 ; 0) et en B.
	
La tangente en C à la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ est parallèle à l'axe des abscisses et la tangente en A à la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ coupe l'axe des ordonnées en D.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(-1,-3)(9,2)
\psgrid[gridlabelcolor=white,griddots=10,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=1pt](0,0)(-1,-3)(9,2)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.99,-3)(9,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline(2,2)(-0.5,-3)
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.366}{9}{2 x ln sub x ln mul}
\uput[ul](1,0){A} \uput[ur](7.389,0){B}
\uput[u](2.718,1){C} \uput[ul](0,-2){D}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](2.7183,1)
\psline{<->}(1.718,1)(3.718,1)
\uput[dl](0,0){O}\uput[u](5.5,0.5){\blue $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer l'abscisse du point B (la valeur exacte est demandée).
\item  Calculer la limite de $f$ en $0$ et la limite de $f$ en $+\infty$.
\item  On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$.
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$,

\[f'(x) = \dfrac{2(1 - \ln x)}{x}\]

		\item  Déterminer les coordonnées du point C et l'ordonnée du point D (les valeurs exactes sont demandées).
	 \end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Soit la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$ par
		
\[g(x) = x[f(x)+2 \ln x - 4].\]

Démontrer que $g$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
		\item  Calculer $\displaystyle\int_{1}^{\text{e}^2} f(x)\, \text{d}x$ et donner une interprétation géométrique de cette intégrale.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Annexe 1 (à rendre avec sa copie)}

\bigskip

\begin{center}  \textbf{Exercice 1} \end{center}

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{10cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\multicolumn{1}{|c|}{Affirmations}&	V&	F\\  \hline
\rule[-4mm]{0mm}{5mm}\textbf{a.}~ $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = -  \infty$.&&\\  \hline
\textbf{b.}~ L'équation $f(x) =  0,1$ admet exactement deux solutions dans $\R$.\rule[-4mm]{0mm}{5mm} &&\\  \hline
\rule[-4mm]{0mm}{5mm}\textbf{c.}~ $f'(1) = f(1)$.&&\\  \hline
\textbf{d.}~ $\displaystyle\int_{0}^2 f(x)\,\text{d}x < 5$.\rule[-4mm]{0mm}{5mm} &&\\  \hline
\rule[-4mm]{0mm}{5mm}\textbf{e.}~ $\displaystyle\int_{1}^3 f(x)\,\text{d}x < 1$.&&\\  \hline
\rule[-4mm]{0mm}{5mm}\textbf{f.}~ La fonction $F$ est croissante sur $\R$.&&\\  \hline
\rule[-4mm]{0mm}{5mm}\textbf{g.}~ $F(5) > F(6)$.&&\\  \hline
\rule[-4mm]{0mm}{5mm}\textbf{h.}~ La fonction $f'$ est croissante sur l'intervalle [0 ; 2].&&\\  \hline
\end{tabularx}
\renewcommand{\arraystretch}{1}

\newpage

\textbf{Annexe 2 }

\bigskip

\begin{center}  \textbf{Exercice 3} 

Représentation graphique des séries statistiques $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ et $\left(x_{i}~;~q_{i}\right)$\\

\vspace{1cm}

\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.04cm}
\begin{pspicture}(10,400)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=50](0,0)(10,400)
\psdots[dotstyle=square*,dotscale=2](1,45)(2,53)(3,63)(4,74)(5,87)(6,103)
\psdots[dotstyle=triangle*,dotscale=2](1,298)(2,310)(3,321)(4,330)(5,339)(6,348)
\multido{\n=0+1}{11}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,0)(\n,400)}
\multido{\n=0+50}{9}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(10,\n)}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%  fin Amérique du Sud novembre 2007
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Nouvelle--Calédonie ES décembre 2007
\hypertarget{Caledonienov}{}

\label{Caledonienov}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small novembre 2007}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{\Large \decofourleft~Baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie
novembre 2007~\decofourright}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats }

\medskip

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$, strictement croissante sur l'intervalle ]0~;~2] et strictement décroissante sur l'intervalle $[2~;~+\infty[$.

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
 
\medskip
 
\parbox{0.55\linewidth}{La courbe $\Gamma$ représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé est tracée ci-dessous.

Elle passe par les points A$\left(\dfrac{1}{2}~;~-2\right)$, B(1~;~0), C(2~;~1) et D$\left(\dfrac{7}{2}~;~0\right)$.

E est le point de coordonnées $\left(1~;~\dfrac{3}{2}\right)$.

La courbe $\Gamma$  admet au point C une tangente parallèle à l'axe des abscisses.

La droite (AE) est tangente à la courbe $\Gamma$  au point A.}\hfill
\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-1,-4.5)(6.5,4)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2,griddots=10,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,-4.5)(6,4)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-4.5)(6,3.99)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot{0.14285}{1.3571}{7 x mul 5.5 sub}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{0.245}{5.7}{x ln 4 mul x dup mul 0.156 mul sub x 1.3 mul sub 1.45 add}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0.5,-2)(1,0)(1,1.5)(2,1)(3.5,0)
\uput[dr](0,0){O} \uput[r](0.5,-2){A} \uput[dr](1,0){B} \uput[u](2,1){C} \uput[ur](3.5,0){D} \uput[ul](1,1.5){E}
\psline{<->}(1,1)(3,1) \uput[ur](5,-2){$\Gamma$}
\end{pspicture*}} 
\medskip
 
Pour chacune des affirmations ci-dessous, cocher la case V (l'affirmation est vraie) ou la case F (l'affirmation est fausse) sur l'annexe, à rendre avec la copie.

Les réponses ne seront pas justifiées.

NOTATION :  \emph{une réponse exacte rapporte $0,5$ point; une réponse inexacte retire $0,25$ point; l'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est $0$.} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'équation $f(x)= - 1$ admet exactement deux solutions sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$
\item Le coefficient directeur de la droite (AE) est égal à $\dfrac{1}{7}$.
\item Les fonctions $f$ et $f'$ ont le même signe sur l'intervalle 
[1 ; 2]. 
\item Les primitives de la fonction $f$ sont croissantes sur l'intervalle $\left[1~;~\dfrac{7}{2}\right]$. 
\item On peut calculer $\ln [f(x)]$ pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
\item La fonction $g$ définie sur l'intervalle $[2~;~+\infty[$ par $g(x) =  \text{e}^{f(x)}$ est croissante sur cet intervalle.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Un club sportif a été créé au début de l'année 2000 et, au cours de cette année-là, 140 adhérents s'y sont inscrits.

Le tableau cl-dessous donne le nombre d'adhérents de 2000 à 2005.

\begin{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3,4cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
année						&2000	&2001	&2002	&2003	&2004	&2005\\ \hline
rang de l'année $x_{i}$		&0		&1		&2 		&3		&4		&5\\ \hline
nombre	d'adhérents $y_{i}$	&140	&165	&220	&240	&260	&310\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
	
\emph{Le détail des calculs statistiques à effectuer à la calculatrice n'est pas demandé.}
\begin{enumerate}
\item Représenter dans un repère orthogonal \Oij{} le nuage des points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ associé à cette série statistique.

On prendra comme unités graphiques 2~cm pour 1 année en abscisse et 1~cm pour 10 adhérents en ordonnées. Sur l'axe des ordonnées, on commencera la graduation à 120.
\item Un premier ajustement du nuage des points $M_{i}\left(x_{i}~;~ y_{i}\right)$
	\begin{enumerate}
		\item  On désigne par G$_{1}$, le point moyen des trois points M$_{1}$, M$_{2}$ et M$_{3}$ du nuage et par G$_{2}$ le point moyen des trois points M$_{4}$, M$_{5}$ et M$_{6}$ du nuage. Calculer les coordonnées respectives de G$_{1}$ et de G$_{2}$ dans le repère
		
\Oij.
		\item  Déterminer l'équation réduite $y = Ax +B$ de la droite (G$_{1}$G$_{2}$) dans le repère \Oij.

Les coefficients A et B seront donnés sous la forme de fractions irréductibles.

Tracer la droite (G$_{1}$G$_{2}$) sur le graphique.
		\item En utilisant la droite (G$_{1}$G$_{2}$) comme droite d'ajustement du nuage, calculer le nombre d'adhérents au club sportif que l'on peut prévoir pour l'année 2007.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on utilise la droite des moindres carrés,
	\begin{enumerate}
		\item Soit $\Delta$ la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. Donner, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite $\Delta$ dans le repère \Oij.
		\item  En utilisant la droite $\Delta$, calculer le nombre d'adhérents au club sportif que l'on peut prévoir pour l'année 2007.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Si le taux d'augmentation du nombre d'adhérents d'une année à l'autre était fixe et égal à $t$\,\%, quelle serait la valeur de $t$ arrondie au centième qui donnerait la même augmentation du nombre d'adhérents entre 2000 et 2005 ?
		\item Avec ce même taux d'augmentation $t$, quel serait le nombre d'adhérents, arrondi à l'unité, pour l'année 2007 ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\parbox{0.63\linewidth}{Sur le graphe ci-contre, les sept sommets A, B,
C, D, E, F et G correspondent à sept villes. Une arête reliant deux de ces sommets indique l'existence d'une liaison entre les deux villes correspondantes.}\hfill
\parbox{0.3\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(4,5)
\psline(0.5,3)(2,4)(2.8,0.3)(3.8,3)(3.8,1.7)(0,1.7)(2,4)%ABECDGB
\psline(0.5,3)(3.8,3)%AC
\psline(2,4)(3.8,1.7)%BD
\psline(3.8,1.7)(0.7,0.3)(2.8,0.3)%DFE
\uput[ul](0.5,3){A} \uput[u](2,4){B} \uput[ur](3.8,3){C} \uput[r](3.8,1.7){D} 
\uput[dr](2.8,0.3){E} \uput[d](0.7,0.3){F} \uput[l](0,1.7){G} 
\end{pspicture}}

\emph{Les questions $1,~2$ et $3$ sont indépendantes.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Est-il possible de trouver un trajet, utilisant les liaisons existantes, qui part d'une des sept villes et y revient en passant une fois et une seule fois par toutes les autres villes ?
\item  On note M la matrice associée au graphe ci-dessus. Les sommets sont rangés suivant l'ordre alphabétique.

\renewcommand\arraystretch{1}
On donne M$^3 =\begin{pmatrix}
0	& 7 &6	& 1 &0 	&4 	&2\\
7 	&2 	&1	&10	&9	&1 	&5\\
6	&1	&0	&9	&8	&0	&3\\
1	&10	&9	&2	&1	&7	&5\\
0	&9	&8	&1	&0	&6	&3\\
4	&1	&0	&7	&6	&0	&2\\
2 	&	5&3 &5	&3 	&2	&2\\
\end{pmatrix}$

Donner le nombre de chemins de longueur 3 qui relient le sommet A au sommet F.

Les citer tous. Aucune justification n'est demandée.

\parbox{0.6\linewidth}{\textbf{3.}  On donne ci-dessous et sur le graphe ci-contre les distances exprimées en centaines de kilomètres entre
deux villes pour lesquelles il existe une liaison :

AB : 5 ; AC : 7 ;

BD : 8 ; BE: 15 ;

BG : 6 ;CD : 10 ;

CE : 15 ; DF : 20 ;

DG : 10 ; EF : 5 ;

Un représentant de commerce souhaite aller	de la ville A à la ville F.} \hfill
\parbox{0.34\linewidth}{\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(4,5)
\psline(0.5,3)(2,4)(2.8,0.3)(3.8,3)(3.8,1.7)(0,1.7)(2,4)%ABECDGB
\psline(0.5,3)(3.8,3)%AC
\psline(2,4)(3.8,1.7)%BD
\psline(3.8,1.7)(0.7,0.3)(2.8,0.3)%DFE
\uput[ul](0.5,3){A} \uput[u](2,4){B} \uput[ur](3.8,3){C} \uput[r](3.8,1.7){D} 
\uput[dr](2.8,0.3){E} \uput[d](0.7,0.3){F} \uput[l](0,1.7){G}
\rput(1.2,3.7){5}  \rput(1.6,3.2){7}  \rput(3.1,2.85){8}  \rput(0.6,2.6){6}  \rput(4,2.4){10}  
\rput(2.2,2.2){15}  \rput(1.2,1.9){10}  \rput(3.2,0.9){15}  \rput(1.5,0.9){20}  \rput(1.8,0.5){5}  
\end{pspicture}}
\medskip

En expliquant la méthode utilisée, déterminer le trajet qu'il doit suivre pour que la distance parcourue soit la plus courte possible et donner cette distance.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats }

\medskip

Une étude réalisée auprès des élèves d'un lycée a permis d'établir que 55\,\% des élèves possèdent un ordinateur. Parmi les élèves qui ont un ordinateur, 98\,\% possèdent un téléphone portable.

De plus, parmi ceux qui possèdent un téléphone portable, 60\,\% possèdent un ordinateur.

Dans tout l'exercice, on arrondira les résultats au centième donc les pourcentages à l'unité.

\emph{Les parties A et B sont indépendantes.}
 
\medskip
 
\textbf{Partie A :} on choisit au hasard un élève de ce lycée.\\
On note :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item $M$ l'évènement : \og L'élève possède un ordinateur \fg{} ;
\item $T$ l'évènement : \og L'élève possède un téléphone portable \fg{} ;
\item $\overline{M}$ l'évènement contraire de $M$ ;
\item $\overline{T}$ l'évènement contraire de $T$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que l'élève possède un ordinateur et un téléphone portable.
		\item En déduire la probabilité que l'élève possède un téléphone portable.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item On prend $0,90$ comme valeur de la probabilité de l'évènement $T$.
Calculer la probabilité que l'élève ne possède pas d'ordinateur mais possède un téléphone portable.
		\item  En déduire la probabilité que l'élève possède un téléphone portable sachant qu'il ne possède pas d'ordinateur.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B :} on choisit trois élèves au hasard, indépendamment les uns des autres.

On note E l'évènement : \og Exactement deux des trois lycéens choisis possèdent un ordinateur \fg.

Calculer la probabilité de l'évènement E.
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats }

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $h$ définie et dérivable sur R par
 
\[h(x) = \text{e}^{2x} - 7\text{e}^{x} +6.\]

On note $h'$ sa fonction dérivée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la limite de la fonction $h$ en $- \infty$.
		\item  Calculer la limite de la fonction $h$ en $+ \infty$ ; on pourra utiliser l'égalité vraie pour tout réel $x\::\: h(x) = \text{e}^{x}\left(\text{e}^{x} -  7 + 6\text{e}^{-x}\right)$.
	\end{enumerate}
\item  Calculer $h\left[\ln\left(\dfrac{7}{2}\right)\right],~ h(0)$ puis $h(\ln 6)$.
\item Déterminer par le calcul l'image $h'(x)$ d'un réel $x$ par la fonction $h'$ et étudier les variations de la fonction $h$.

Dresser le tableau de variations de la fonction $h$ et faire figurer les résultats des questions précédentes dans ce tableau.
\item En déduire le tableau des signes de la fonction $h$.
\end{enumerate}
	
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par
 
\[f(x) = 6 - 6\text{e}^{-x}\quad  \text{et}\quad g(x)= \text{e}^{x} - 1. \]

On note $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ dans un repère du plan d'unités graphiques : 2 cm en abscisses et 1 cm en ordonnées.

Les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ sont données en annexe.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le point de coordonnées $(\ln 6~;~ 5)$ est un point d'intersection des courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$.
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que, pour tout réel $x,~ f(x) - g(x) = \dfrac{- h(x)}{\text{e}^{x}}$.
		\item  Déterminer, par le calcul, la position relative des courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$.
	\end{enumerate}
\item 	On note $\mathcal{D}$ le domaine du plan limité par les courbes $\mathcal{C}_{f},~\mathcal{C}_{g}$ et les droites d'équations respectives $x= 0$ et $x= \ln 6$.
	\begin{enumerate}
		\item  Hachurer le domaine $\mathcal{D}$ sur le graphique donné en annexe.
		\item  Calculer la valeur exacte de l'aire du domaine $\mathcal{D}$ en cm$^2$ puis en donner une valeur approchée arrondie au centième.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE}
\bigskip

\textbf{À compléter et à rendre avec la copie}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{10cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
\multicolumn{1}{|c|}{Affirmation}&	V&F\\ \hline
\textbf{1.}  L'équation $f(x)= -1$ admet exactement deux solutions sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.&\rule[2mm]{0mm}{3mm}&\\ \hline
\textbf{2.}  Le coefficient directeur de la droite (AE) est égal à $\dfrac{1}{7}$.&&\rule[1mm]{0mm}{5mm}\\ \hline
\textbf{3.}  Les fonctions $f$ et $f'$ ont le même signe sur l'intervalle 
[1 ; 2].&& \\ \hline
\textbf{4.} \rule[2mm]{0mm}{3mm} Les primitives de la fonction $f$ sont croissantes sur l'intervalle $\left[1~;~\dfrac{7}{2}\right]$.&&\\ \hline
\textbf{5.}  On peut calculer $\ln [f(x)]$ pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+\infty[$.&&\\ \hline
\rule[2mm]{0mm}{3mm} \textbf{6.}	La fonction $g$ définie sur l'intervalle $[2~;~+\infty[$ par $g(x) =  \text{e}^{f(x)}$ est croissante sur cet intervalle.&&\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{1,5cm}

\textbf{Exercice 4}

\bigskip

\psset{xunit=2cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.25,-2)(4,6.5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=4,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-1,-2)(4,6)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1,-2)(4,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.29}{3.5}{6 6 2.71828 x exp div sub}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{-1}{1.95}{2.71828 x exp 1 sub}
\uput[dr](0,0){O} \uput[d](3.5,5.7){\blue $\mathcal{C}_{f}$} \uput[r](1.9,5.8){\cyan$\mathcal{C}_{g}$} 
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%   fin Nouvelle-Calédonie novembre 2007 
\end{document}