\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{makeidx}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès 
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text,pst-func}
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\def\e{\text{e}}
\def\i{\text{i}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\makeindex
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small{Baccalauréat ES/L : l'intégrale 2013}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 
\begin{center}
{\huge \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES  
2013~\decofourright\\ \vspace{1cm} L'intégrale d'avril 2013 
à  mars 2014}}

\vspace{1cm}

Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large 
\textcolor{blue}{bleus}}
\end{center}

\vspace{1cm}
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\Large}X}
\hyperlink{Pondichery}{Pondichéry  15 avril 2013} \dotfill \pageref{Pondichery} \\
\hyperlink{AmeriqueNord}{Amérique du Nord 30  mai 2013} \dotfill \pageref{AmeriqueNord}  \\
\hyperlink{Liban}{Liban  28  mai 2013} \dotfill \pageref{Liban}  \\
\hyperlink{Polynesie}{Polynésie 7  juin 2013} \dotfill \pageref{Polynesie}  \\
\hyperlink{Antillesjuin}{Antilles-Guyane 19 juin 2013} \dotfill \pageref{Antilles}  \\
\hyperlink{Asie}{Asie 20  juin 2013} \dotfill \pageref{Asie}  \\
\hyperlink{Centres etrangers}{Centres étrangers 12  juin 2013} \dotfill \pageref{Centresetrangers}  \\
\hyperlink{Metropole}{Métropole  21 juin 2013} \dotfill \pageref{Metropole}  \\
\hyperlink{Metropoledevoile}{Métropole  dévoilé juin 2013} \dotfill \pageref{Metropoledevoile}  \\
\hyperlink{Polynesiesept}{Polynésie   7 septembre 2013} \dotfill \pageref{Polynesiesept}  \\
\hyperlink{Antillessept}{Antilles-Guyane  11 septembre 2013} \dotfill \pageref{Antillessept}  \\
\hyperlink{Metropolesept}{Métropole  13 septembre 2013} \dotfill \pageref{Metropolesept}
\hyperlink{AmeriqueSud}{Amérique du Sud  14 novembre 2013} \dotfill \pageref{AmeriqueSud}  \\
\hyperlink{Caledonienov}{Nouvelle-Calédonie   16 novembre 2013} \dotfill \pageref{Caledonienov}  \\
\hyperlink{Caledoniemars}{Nouvelle-Calédonie  7 mars 2014} \dotfill \pageref{Caledoniemars}
\end{tabularx}

\vspace{1cm}À la fin index des notions abordées

\newpage ~
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%  Pondichéry avril 2013    
\hypertarget{Pondichery}{}

\label{Pondichery}
\lhead{\small Baccalauréat ES/L }
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small 15 avril 2013} 
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty} 

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES  Pondichéry 15 avril 2013~\decofourright}} 
\end{center} 

Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices.
 
Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie.
 
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
 
IL  est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation des copies. 

\vspace{0,35cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats} 

\bigskip
 
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\
 Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.\\ 
Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte.\\ Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.\\ Aucune justification n'est demandée.}\index{Q. C. M.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x) = \text{e}^{- x^2}$ est une primitive de la fonction définie par : \index{Primitive}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{X X} 
\textbf{A :}\quad  $f(x) = - x\text{e}^{- x^2}$ &\textbf{B :}\quad  $f(x) = - 2x\text{e}^{- x^2}$\\
\textbf{C :}\quad $f(x) = x\text{e}^{- x^2}$ &\textbf{D :}\quad $f(x) = \text{e}^{- 2x}$\\
\end{tabularx}
\medskip 
\item Soit la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x) = (7x - 23)\text{e}^{x}$. 

L'équation $h(x) = 0$

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{A :}\quad a pour solution $2,718$   &\textbf{B :}\quad a une solution sur $[0~;~+\infty[$\\
\textbf{C :}\quad a deux solutions sur $\R$ &\textbf{D :}\quad a une solution sur 
$]-\infty~;~ 0]$\\ 
\end{tabularx}
\medskip 

\item On pose $I = \displaystyle\int_{0}^1 3\text{e}^{3x}\:\text{d}x$.
 
On peut affirmer que :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{X X} 
\textbf{A :}\quad $I = \text{e}^{3} - 1$ &\textbf{B :}\quad $I = 3\text{e}^{3} - 3$ \\
\textbf{C :}\quad $I = 19,1$ 			&\textbf{D :}\quad $I = 1 - \text{e}^{3}$.\\
\end{tabularx}
\medskip
 
\item La fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = x^3 - 9x$ est convexe sur l'intervalle :

\medskip \index{Fonction convexe}

\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}  
\textbf{A :}\quad  $]- \infty~;~+\infty[$ 	&\textbf{B :}\quad  $[0~;~+\infty[$\\
\textbf{C :}\quad $]- \infty~;~0]$			&\textbf{D :}\quad  $[- 3~;~3]$\\ 
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L.} 

\bigskip
 
Une enquête a été réalisée auprès des élèves d'un lycée afin de connaître leur point de vue sur la durée de la pause du midi ainsi que sur les rythmes scolaires.
 
L'enquête révèle que 55\,\% des élèves sont favorables à une pause plus longue le midi et parmi ceux qui souhaitent une pause plus longue, 95\,\% sont pour une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire.
 
Parmi ceux qui ne veulent pas de pause plus longue le midi, seulement 10\,\% sont pour une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire.
 
On choisit un élève au hasard dans le lycée. On considère les évènements suivants :

\medskip
\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item $L$ : l'élève choisi est favorable à une pause plus longue le midi ; 
\item $C$ : l'élève choisi souhaite une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}\index{Arbre pondéré}
\item Construire un arbre pondéré décrivant la situation. 
\item Calculer $P(L \cap  C)$ la probabilité de l'évènement $L \cap C$. 
\item Montrer que $P(C) = \np{0,5675}$. 
\item Calculer $P_{C}(L)$, la probabilité de l'évènement $L$ sachant l'évènement $C$ réalisé. En donner une valeur arrondie à $10^{-4}$. 
\item On interroge successivement et de façon indépendante quatre élèves pris au hasard parmi les élèves de l'établissement. Soit $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre d'élèves favorables à une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire. Le nombre d'élèves étant suffisamment grand, on considère que $X$ suit une loi binomiale.
 
	\begin{enumerate}
		\item Préciser les paramètres de cette loi binomiale. 
		\item Calculer la probabilité qu'aucun des quatre élèves interrogés ne soit favorable à une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire. En donner une valeur arrondie à $10^{-4}$. 
		\item Calculer la probabilité qu'exactement deux élèves soient favorables à une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats de la série ES ayant  suivi l'enseignement de spécialité} 

\bigskip

\emph{Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment}

\medskip
 
On considère le graphe $\Gamma$ ci-dessous : \index{Graphe}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6.5,4)
\psdots[dotscale=1.25](0,1.5)(1.3,3.5)(2,0.1)(3,2.2)(4.5,3.5)(5,0.1)(6,2.5)
\uput[u](0,1.5){A} \uput[u](1.3,3.5){B} \uput[d](2,0.1){C} \uput[u](3,2.2){D} \uput[u](4.5,3.5){E} \uput[d](5,0.1){F} \uput[r](6,2.5){G}
\psline(0,1.5)(1.3,3.5)(4.5,3.5)(6,2.5)(3,2.2)(4.5,3.5)(5,0.1)(2,0.1)(3,2.2)(2,0.1)(1.3,3.5)(0,1.5)
\psline(6,2.5)(5,0.1)(3,2.2)(1.3,3.5)
\psline(0,1.5)(2,0.1) 
\end{pspicture}
\end{center}
 
\textbf{PARTIE A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Ce graphe admet-il une chaîne eulérienne ? Justifier la réponse. Si oui donner une telle chaîne. \index{Chaîne eulérienne}
\item Ce graphe admet-il un cycle eulérien ? Justifier la réponse. Si oui donner un tel cycle. 
\item Donner la matrice $M$ associée au graphe $\Gamma$. Les sommets seront pris dans l'ordre alphabétique : \index{Cycle eulérien}
A, B, C, D, E, F, G.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE B}

\medskip

Une région est munie d'un réseau de trains, représenté par le graphe $\Gamma$ ci-dessous.
 
Les stations sont symbolisées par les sommets A, B, C, D, E, F et G. Chaque arête représente une ligne reliant deux gares. Les temps de parcours (correspondance comprise) en minutes entre chaque sommet ont été rajoutés sur le graphe.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6.5,4)
\psdots[dotscale=1.25](0,1.5)(1.3,3.5)(2,0.1)(3,2.2)(4.5,3.5)(5,0.1)(6,2.5)
\uput[u](0,1.5){A} \uput[u](1.3,3.5){B} \uput[d](2,0.1){C} \uput[u](3,2.2){D} \uput[u](4.5,3.5){E} \uput[d](5,0.1){F} \uput[r](6,2.5){G}
\psline(0,1.5)(1.3,3.5)(4.5,3.5)(6,2.5)(3,2.2)(4.5,3.5)(5,0.1)(2,0.1)(3,2.2)(2,0.1)(1.3,3.5)(0,1.5)
\psline(6,2.5)(5,0.1)(3,2.2)(1.3,3.5)
\psline(0,1.5)(2,0.1)
\rput(0.6,2.7){4} \rput(1.4,1.8){7} \rput(1,0.6){8} \rput(2.2,2.9){18} \rput(2.4,1.3){10} \rput(3,3.7){21} 
\rput(3.7,3.1){15} \rput(4.2,2.5){31} \rput(4,1.4){12} \rput(3.5,0.2){25} \rput(4.9,1.8){10} \rput(5.35,3.1){17} 
\rput(5.6,1.2){7}   
\end{pspicture}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer le plus court chemin en minutes, reliant la gare B à la gare G.\index{Chemin le plus court} 

Justifier la réponse grâce à un algorithme. 
\item Quelle est la longueur en minutes de ce chemin ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats} 

\bigskip

Le 1\up{er} janvier 2000, un client a placé \np{3000}~\euro{} à intérêts composés au taux annuel de 2,5\,\%. 

On note $C_{n}$ le  capital du client au 1\up{er} janvier de l'année $2000 + n$, où $n$ est un entier naturel.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $C_{1}$ et $C_{2}$. Arrondir les résultats au centime d'euro. 
\item Exprimer $C_{n+1}$ en fonction de $C_{n}$. En déduire que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a la relation : 

\[C_{n} = \np{3000} \times 1,025^n.\]
 
\item On donne l'algorithme suivant :\index{Algorithme}

\begin{center}
\begin{tabular}{l |l|}\cline{2-2} 
\textbf{Entrée}& Saisir un nombre $S$ supérieur à \np{3000}\\ \cline{2-2} 
\textbf{Traitement}& Affecter à $n$ la valeur $0$.\quad \emph{Initialisation} \\
&Affecter à $U$ la valeur \np{3000} \quad \emph{Initialisation} \\
&\\
&Tant que $U \leqslant S$\\ 
&\qquad $n$ prend la valeur $n + 1$\\ 
&\qquad $U$ prend la valeur $U \times 1,025$\\ 
&Fin tant que\\ \cline{2-2}  
\textbf{Sortie}&Afficher le nombre $2000 + n$\\\cline{2-2} 
\end{tabular}
\end{center}
 
	\begin{enumerate}
		\item Pour la valeur $S = \np{3300}$ saisie, recopier et compléter autant que nécessaire le tableau suivant. Les résultats seront arrondis à l'unité.
		
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{1-3}\cline{5-5}		 
Valeur de $n$& $0$& $1$&\dotfill& \\ \cline{1-3}\cline{5-5} 
Valeur de $U$& \np{3000}&&\dotfill& \\ \cline{1-3}\cline{5-5}
Condition $U \leqslant S$ &vrai&&\dotfill& \\ \cline{1-3}\cline{5-5} 
\end{tabularx}

\medskip
		\item En déduire l'affichage obtenu quand la valeur de $S$ saisie est \np{3300}. 
		\item Dans le contexte de cet exercice, expliquer comment interpréter le nombre obtenu en sortie de cet algorithme quand on saisit un nombre $S$ supérieur à \np{3000}.
	\end{enumerate}  
\item Au 1\up{er} janvier 2013, le client avait besoin d'une somme de \np{5000}~\euro. Montrer que le capital de son placement n'est pas suffisant à cette date. 
Déterminer, en détaillant la méthode, à partir du 1\up{er} janvier de quelle année le client pourrait avoir son capital initial multiplié par $10$.
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats} 

\bigskip
 
\emph{La partie C peut être traitée indépendamment des parties A et B.}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE A}

\medskip
 
On désigne par $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~6] par 

\[f(x) = 1 - (x + 1)\text{e}^{- x}.\]\index{Fonction exponentielle}
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f'(x) = x\text{e}^{- x}$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$. 
\item Démontrer que l'équation $f(x) = 0,5$ admet une solution unique $\alpha$ sur l'intervalle [0~;~6].
 
Déterminer une valeur arrondie de $\alpha$ à $0,01$. 
\item On admet que la fonction $F$ définie sur [0~;~6] par $F(x) = x + (x + 2)\text{e}^{- x}$ est une primitive de $f$ sur [0~;~6]. Donner la valeur exacte puis une valeur arrondie à $10^{-3}$ de $I = \displaystyle\int_{0}^6 f(x)\:\text{d}x$.\index{Primitive}
\end{enumerate}
 
\textbf{PARTIE B}

\medskip
 
Une entreprise lance la production de batteries pour véhicules électriques.
 
Une étude a modélisé le rythme de la production journalière sur les six premiers mois à l'aide de la fonction $f$ définie dans la partie A pour $x$ compris entre 0 et 6.
 
$x$ représente le nombre de mois (de 30 jours) depuis le lancement du produit.

$f(x)$ représente la production journalière de batteries en milliers.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Exprimer en mois puis en jours le moment où la production atteindra $0,5$ millier soit $500$~unités. 
\item Déterminer une valeur arrondie à $10^{-3}$ de la valeur moyenne, exprimée en milliers, de la production sur les six premiers mois.\index{Valeur moyenne}
\end{enumerate}
 
\textbf{PARTIE C}

\medskip
 
Il est prévu que l'autonomie permise par ce type de batteries, sous certaines conditions de conduite, soit de $200$~km.
 
Sur un parcours joignant une ville située à 160~km, on suppose que l'autonomie, exprimée en km, permise par ces batteries suit une loi normale d'espérance $\mu = 200$ et d'écart-type $\sigma = 40$.\index{Loi normale}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité, arrondie au centième, de ne pas atteindre cette ville ? 
\item La probabilité de pouvoir faire l'aller-retour jusqu'à cette ville sans recharge des batteries est-elle supérieure à $0,01$ ? Justifier votre réponse. 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%  fin Pondichéry avril 2013
\newpage
%%%%%%%%%%%%%  Amérique du Nord mai 2013  
\hypertarget{AmeriqueNord}{}

\label{AmeriqueNord}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{30 mai  2013}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} { \Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Amérique du Nord  30 mai  2013~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\bigskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à  choix multiples. Chaque question ci-après comporte quatre réponses possibles. Pour chacune de ces questions, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\ 
Recopier pour chaque question la réponse exacte, on ne demande pas de justification. \\
Chaque réponse exacte rapportera $1$ point, une mauvaise réponse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}
 
\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item Pour tout réel $a$ non nul, le nombre réel $\text{e}^{- \frac{1}{a}}$  est égal à  :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X} 
\textbf{a.~~}$- \text{e}^{\frac{1}{a}}$&
\textbf{b.~~}$\dfrac{1}{\text{e}^{\frac{1}{a}}}$&
\textbf{c.~~}$\dfrac{1}{\text{e}^a}$&
\textbf{d.~~}$\text{e}^a$
\end{tabularx}

\medskip
 \item Pour tout réel $a$, le nombre réel $\text{e}^{\frac{a}{2}}$ est égal à  : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}  
\textbf{a.~~} $\sqrt{\text{e}^a}$&\textbf{b.~~}$\dfrac{\text{e}^a}{2}$&\textbf{c.~~}$\dfrac{\text{e}^a}{\text{e}^2}$&\textbf{d.~~}$\text{e}^{\sqrt{a}}$
\end{tabularx}

\medskip 
\item Pour tout réel $x < 0$, le nombre réel $\ln \left(- \dfrac{1}{x} \right)$ est égal à  : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} $\ln (x)$&\textbf{b.~~}$- \ln (- x)$& \textbf{c.~~}$- \ln (x)$&\textbf{d.~~}$\dfrac{1}{\ln (- x)}$
\end{tabularx}

\medskip
 
\item On donne la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par $f(x) = x \ln (x)$.
 
La dérivée de $f$ est définie sur $]0~;~+\infty[$ par :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\small}X}} 
\textbf{a.~~} $f'(x) = 1$&\textbf{b.~~}$f'(x) = \ln (x)$&\textbf{c.~~}$f'(x) = \dfrac{1}{x}$&\textbf{d.~~}$f'(x) = \ln (x) + 1$
\end{tabularx}

\medskip 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\bigskip

Dans cet exercice, les résultats seront donnés à  $10^{- 3}$ près.

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item Une étude interne à  une grande banque a montré qu'on peut estimer que l'âge moyen d'un client demandant un crédit immobilier est une variable aléatoire, notée $X$, qui suit la loi normale de moyenne $40,5$ et d'écart type $12$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que le client demandeur d'un prêt soit d'un âge compris entre $30$ et $35$~ans. 
		\item Calculer la probabilité que le client n'ait pas demandé un prêt immobilier avant 55~ans.
	\end{enumerate} 
\item Dans un slogan publicitaire, la banque affirme que 75\,\% des demandes de prêts immobiliers sont acceptées.
 
Soit $F$ la variable aléatoire qui, à  tout échantillon de \np{1000}~demandes choisies au hasard et de faà§on indépendante, associe la fréquence de demandes de prêt immobilier acceptées. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence de prêts acceptés par la banque. 
		\item Dans une agence de cette banque, on a observé que, sur les \np{1000}~dernières demandes effectuées, $600$~demandes ont été acceptées.
		 
Énoncer une règle de décision permettant de valider ou non le slogan publicitaire de la banque, au niveau de confiance 95\,\%. 
		\item Que peut-on penser du slogan publicitaire de la banque ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

La bibliothèque municipale étant devenue trop petite, une commune a décidé d'ouvrir une médiathèque qui pourra contenir \np{100000}~ouvrages au total.
 
Pour l'ouverture prévue le 1\up{er} janvier 2013, la médiathèque dispose du stock de \np{35000}~ouvrages de l'ancienne bibliothèque augmenté de \np{7000}~ouvrages supplémentaires neufs offerts par la commune.

\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Chaque année, la bibliothécaire est chargée de supprimer 5\,\% des ouvrages, trop vieux ou abîmés, et d'acheter \np{6000}~ouvrages neufs.
 
On appelle $u_{n}$ le nombre, en milliers, d'ouvrages disponibles le 1\up{er}  janvier de l'année $(2013 + n)$. 

On donne $u_{0} = 42$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$ , on a $u_{n+1} = u_{n} \times 0,95 + 6$. 
\item On propose, ci-dessous, un algorithme, en langage naturel. 

Expliquer ce que permet de calculer cet algorithme. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.45\linewidth}{|X|}\hline
\\
Variables :\\ 
\hspace{0.4cm}$U, N$\\ 
Initialisation :\\ 
\hspace{0.4cm}Mettre $42$ dans $U$\\
\hspace{0.4cm}Mettre $0$ dans $N$\\ 
Traitement : \\
\hspace{0.4cm}Tant que $U < 100$\\ 
\hspace{0.8cm}$U$ prend la valeur $U \times\: 0,95 + 6$\\
\hspace{0.8cm}$N$ prend la valeur $N + 1$\\ 
\hspace{0.4cm}Fin du Tant que\\ 
Sortie\\ 
Afficher $N$.\\
\\ \hline
\end{tabularx}

\end{center} 
\item À l'aide de votre calculatrice, déterminer le résultat obtenu grâce à  cet algorithme. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
La commune doit finalement revoir ses dépenses à  la baisse, elle ne pourra financer que \np{4000} nouveaux ouvrages par an au lieu des \np{6000} prévus.

On appelle $v_{n}$ le nombre, en milliers, d'ouvrages disponibles le 1\up{er} janvier de l'année $(2013 +n)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Identifier et écrire la ligne qu'il faut modifier dans l'algorithme pour prendre en compte ce changement. 
\item On admet que $v_{n+1} = v_{n} \times 0,95 + 4$ avec $v_{0} = 42$. 

On considère la suite $\left(w_{n}\right)$ définie, pour tout entier $n$, par $w_{n} = v_{n} - 80$.
 
Montrer que $\left(w_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $q = 0,95$ et préciser son premier terme $w_{0}$. 
\item On admet que, pour tout entier naturel $n : w_{n} = - 38 \times (0,95)^n$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $\left(w_{n}\right)$. 
		\item En déduire la limite de $\left(v_{n}\right)$. 
		\item Interpréter ce résultat. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip 
 
Léa est inscrite sur les réseaux sociaux et consulte régulièrement sa page.

\bigskip
 
On considère que :
 
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Si Léa s'est connectée un certain jour, la probabilité qu'elle se connecte le lendemain est égale à  $0,9$. 
\item[$\bullet~~$] Si Léa ne s'est pas connectée un certain jour, la probabilité qu'elle se connecte le lendemain est égale à  $0,8$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
Pour tout entier $n \geqslant 1$, on note $a_{n}$ la probabilité que Léa se connecte le $n$-ième jour et $b_{n}$ la probabilité qu'elle ne se connecte pas le $n$-i\`eme jour.
 
On a donc : $a_{n} + b_{n} = 1$.

\medskip
 
Le 1\up{er} jour, Léa ne s'est pas connectée, on a donc $a_{1} = 0$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Traduire les données par un graphe probabiliste. 
		\item Préciser la matrice $M$ de transition associée à  ce graphe. 
		\item Déterminer la probabilité que Léa se connecte le troisième jour.
	\end{enumerate} 
\item Démontrer que, pour tout entier $n \geqslant 1$, on a : $a_{n+1} = 0,1a_{n} + 0,8$. 
\item On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie, pour tout entier $n \geqslant  1$, par $u_{n}n = a_{n} - \dfrac{8}{9}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique, préciser sa raison et son premier terme. 
		\item Exprimer $u_{n}$ puis $a_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer en justifiant la limite de $\left(a_{n}\right)$. 
		\item Interpréter ce résultat. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\bigskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ dont la courbe représentative $C_{f}$ est tracée ci-dessous dans un repère orthonormé.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-8,-5)(4.3,3.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=10,gridcolor=orange,gridwidth=1.pt](-8,-4)(5,4)
\psaxes[linewidth=1pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-8,-4)(4.2,3.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-8}{2.93}{2 x sub 2.71828 x 2 div exp mul}
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt]{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2}{2 x sub 2.71828 x 2 div exp mul}
\psline(2,0)(0,0)}
\uput[d](4.2,0){$x$}\uput[l](0,3.4){$y$}\uput[ur](0,2){A}\uput[ur](2,0){D}
\uput[r](3,-3.8){\blue $C_{f}$}
\rput(-1.5,-4.5){\emph{Figure} 1}
\end{pspicture*}
\end{center} 

\textbf{Partie A}
 
\medskip
  
On suppose que $f$ est de la forme $f(x) = (b - x)\text{e}^{ax}$ où $a$ et $b$ désignent deux constantes.

On sait que :
 
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Les points A(0~;~2) et D(2~;~0) appartiennent à  la courbe $C_{f}$. 
\item[$\bullet~~$] La tangente à  la courbe $C_{f}$ au point A est parallèle à  l'axe des abscisses.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
On note $f'$ la fonction dérivée de $f$, définie sur $\R$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique, indiquer les valeurs de $f(2)$ et $f'(0)$. 
\item Calculer $f'(x)$. 
\item En utilisant les questions précédentes, montrer que $a$ et $b$ sont solutions du système suivant : 

\[\left\{\begin{array}{r c l}
b - 2&=&0\\
ab - 1 &=& 0
\end{array}\right.\] 
\item Calculer $a$ et $b$ et donner l'expression de $f(x)$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}
 
\medskip 

On admet que $f(x) = (- x + 2) \text{e}^{0,5x}$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide de la figure 1, justifier que la valeur de l'intégrale 
$\displaystyle\int_{0}^2  f(x)\:\text{d}x$ est comprise entre $2$ et $4$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On considère $F$ la fonction définie sur $\R$ par $F(x) = (- 2x + 8)\text{e}^{0,5x}$. 
		
Montrer que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\R$. 
		\item Calculer la valeur exacte de $\displaystyle\int_{0}^2  f(x)\:\text{d}x$ et en donner une valeur approchée à  $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate} 
\item On considère $G$ une autre primitive de $f$ sur $\R$.
 
Parmi les trois courbes $C_{1}, C_{2}$ et $C_{3}$ ci-dessous, une seule est la représentation graphique de $G$. 

Déterminer la courbe qui convient et justifier la réponse.
\end{enumerate} 

\begin{center}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-11,-5.5)(12,9)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=lightgray](-11,-4)(12,9)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-11,-4)(12,9)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2](0,0)(-11,-4)(12,9)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-11}{4.068}{8 2 x mul sub 2.71828 x 2 div exp mul 3 sub}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-11}{12}{x 3 sub  2.71828 x 2 div exp mul 0.5 sub}
%\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=magenta](-11,0.9)(-4,0.5)(-2,0.25)(-1,0.22)(0,1)(0.37,3)(0.6,4)(1,4.5)(2,3.3)(4,2)(8,1.5)(11.5,1.25)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=magenta]{-11}{12}{20.25 x x dup mul 1 add div exp}
\rput(0,-5){\emph{Figure} 2}
\uput[r](4.1,7){\red$C_{1}$}\uput[r](9,1.7){\magenta$C_{2}$}\uput[ul](-1.9,1.5){\blue$C_{3}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%  fin Amérique du Nord mai 2013
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Liban juin 2013  
\hypertarget{Liban}{}

\label{Liban}
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{28 mai 2013}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES  Liban 28  mai 2013~\decofourright}}

\vspace{0,25cm}

\end{center}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

\emph{Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). 
Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse exacte. 
Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}\index{Q. C. M.}

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item Parmi toutes les fonctions définies sur $]0~;~+\infty[$ et dont l'expression algébrique est donnée ci-dessous, la seule qui est convexe est :\index{Fonction convexe} 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~} $x^3 - 3x^2 + 4$&\textbf{b.~~} $\ln (x)$&\textbf{c.~~} $- \text{e}^{x}$&\textbf{d.~~} $x^2 + x + 5$
\end{tabularx}
\medskip
 
\item Une primitive de $f$ sur $]0~;~+\infty[$ définie par $f(x) = \ln (x)$ est la fonction $F$ définie par :\index{Primitive}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4} X}
\textbf{a.~~} \small$F(x) = \dfrac{1}{x}$&\textbf{b.~~}\small$F(x) = x\ln (x) - x$&\textbf{c.~~} \small$F(x) = x\ln (x)$&\textbf{d.~~}\small$F(x) = \ln (x)$
\end{tabularx}
\medskip
 
\item La valeur exacte de l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^1 \text{e}^{2x}\:\text{d}x$ est égale à : \index{Intégrale}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~} $3,19$ 	&\textbf{b.~~} $\text{e}^2 - 1$&\textbf{c.~~} $\dfrac{1}{2} \text{e}^2$&\textbf{d.~~} $\dfrac{1}{2} \left(\text{e}^2 - 1\right)$
\end{tabularx}
\medskip
 
\item Si une variable aléatoire $X$ suit la loi normale $\mathcal{N}(1~;~ 4)$, alors une valeur approchée au centième de $P(2  \leqslant X \leqslant 3)$ est : \index{Loi normale}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~} 0,15 	&\textbf{b.~~} 0,09&\textbf{c.~~} 0,34&\textbf{d.~~} 0,13
\end{tabularx}
\medskip
  
\item Dans une commune comptant plus de \np{100000} habitants, un institut réalise un sondage auprès de la population. Sur 100 personnes interrogées, 55 affirment être satisfaites de leur maire.
 
L'intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$ permettant de connaître la cote de popularité du maire est :\index{Intervalle de confiance}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~} [0,35~;~0,75] 	&\textbf{b.~~} [0,40~;~0,70]&\textbf{c.~~} [0,45~;~0,65] &\textbf{d.~~} [0,50~;~0,60] 
\end{tabularx}
\medskip 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 10$ et pour tout entier naturel $n,$

\[ u_{n+1} = 0,9u_{n} + 1,2.\]\index{Suite}
 
\begin{enumerate}
\item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n} = u_{n} - 12$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.\index{Suite géométrique} 
		\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n,\: u_{n} = 12 - 2 \times  0,9^n$.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer la limite de la suite $\left(v_{n}\right)$ et en déduire celle de la suite $\left(u_{n}\right)$.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
En 2012, la ville de Bellecité compte 10 milliers d'habitants. Les études démographiques sur les dernières années ont montré que chaque année :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 10\,\% des habitants de la ville meurent ou déménagent dans une autre ville ; 
\item[$\bullet~$] \np{1200} personnes naissent ou emménagent dans cette ville.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que cette situation peut être modélisée par la suite $\left(u_{n}\right)$ où $u_{n}$ désigne le nombre de milliers d'habitants de la ville de Bellecité l'année $2012 + n$. 
\item Un institut statistique décide d'utiliser un algorithme pour prévoir la population de la ville de Bellecité dans les années à venir.\index{Suite}
 
Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'il calcule la population de la ville de Bellecité l'année $2012 + n$.\index{Algorithme} 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|p{0.3cm}lp{0.3cm}|}\cline{1-3}
&VARIABLES&\\ 
&$a, i, n.$&\\ 
&INITIALISATION& \\
&Choisir $n$&\\ 
&$a$ prend la valeur 10&\\ 
&TRAITEMENT&\\ 
&Pour $i$ allant de $1$ à $n$,&\\ 
&$a$ prend la valeur \ldots.&\\
&~ &\\
&SORTIE &\\
&Afficher $a$&\\ \cline{1-3}
\end{tabularx}
\end{center} 

\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'inéquation $12 - 2 \times 0,9^n > 11,5$. 
		\item En donner une interprétation. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
On considère la fonction $C$ définie sur l'intervalle [5~;~60] par :

\[C(x) = \dfrac{\text{e}^{0,1x} + 20}{x}.\]\index{Fonction exponentielle}
 
\begin{enumerate}
\item On désigne par $C'$ la dérivée de la fonction $C$. 

Montrer que, pour tout $x \in [5~;~60],\: C'(x) = \dfrac{0,1x\text{e}^{0,1x} - \text{e}^{0,1x} - 20}{x^2}$. 
\item On considère la fonction $f$ définie sur [5~;~60] par 

\[f(x) = 0,1x\text{e}^{0,1x} - \text{e}^{0,1x} - 20.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur [5~;~60]. 
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ possède une unique solution 
		$\alpha$ dans [5~;~60]. 
		\item Donner un encadrement à l'unité de $\alpha$. 
		\item En déduire le tableau de signes de $f(x)$ sur [5~;~60].
	\end{enumerate} 
\item En déduire le tableau de variations de $C$ sur [5~;~60]. 
\item En utilisant le tableau de variations précédent, déterminer le nombre de solutions des équations suivantes : 
	\begin{enumerate}
		\item $C(x) = 2$. 
		\item $C(x) = 5$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Une entreprise fabrique chaque mois $x$ vélos de course, avec $x$ appartenant à l'intervalle [5~;~60].
 
Le coût moyen de fabrication, exprimé en milliers d'euros, pour une production de $x$ vélos de course, est donné par la fonction $C$ définie dans la partie A.
 
Déterminer le nombre de vélos à produire pour que le coût de fabrication moyen soit minimal. 

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

Un propriétaire d'une salle louant des terrains de squash s'interroge sur le taux d'occupation de ses terrains. Sachant que la location d'un terrain dure une heure, il a classé les heures en deux catégories : les heures pleines (soir et week-end) et les heures creuses (le reste de la semaine). Dans le cadre de cette répartition, 70\,\% des heures sont creuses.
 
Une étude statistique sur une semaine lui a permis de s'apercevoir que :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] lorsque l'heure est creuse, 20\,\% des terrains sont occupés ; 
\item[$\bullet~~$] lorsque l'heure est pleine, 90\,\% des terrains sont occupés.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On choisit un terrain de la salle au hasard. On notera les évènements : 

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$C$ : \og l'heure est creuse \fg 
\item[$\bullet~~$]$T$ : \og le terrain est occupé \fg 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter cette situation par un arbre de probabilités.\index{Arbre pondéré} 
\item Déterminer la probabilité que le terrain soit occupé et que l'heure soit creuse. \index{Probabilités}
\item Déterminer la probabilité que le terrain soit occupé. 
\item Montrer que la probabilité que l'heure soit pleine, sachant que le terrain est occupé, est égale à $\dfrac{27}{41}$.

\medskip
  
Dans le but d'inciter ses clients à venir hors des heures de grande fréquentation, le propriétaire a instauré, pour la location d'un terrain, des tarifs différenciés :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 10~\euro{} pour une heure pleine, 
\item[$\bullet~~$] 6~\euro{} pour une heure creuse.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On note $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeur la recette en euros obtenue grâce à la location d'un terrain de la salle, choisi au hasard. Ainsi, $X$ prend 3 valeurs :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 10 lorsque le terrain est occupé et loué en heure pleine, 
\item[$\bullet~~$] 6 lorsque le terrain est occupé et loué en heure creuse, 
\item[$\bullet~~$] 0 lorsque le terrain n'est pas occupé.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\item Construire le tableau décrivant la loi de probabilité de $X$. 
\item Déterminer l'espérance de $X$. 
\item La salle comporte 10 terrains et est ouverte 70 heures par semaine.
 
Calculer la recette hebdomadaire moyenne de la salle. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
Le graphe ci-dessous représente les autoroutes entre les principales villes du Sud de la France :
 
Bordeaux (B), Clermont-Ferrand (C), Lyon (L), Marseille (M), Montpellier (P), Brive (R), Toulouse (T), Valence (V) et Biarritz (Z).

\begin{center} 
\begin{pspicture}(10,4)
%\psgrid
\cnodeput(0.5,0.5){A}{Z}\cnodeput(1,3){B}{B}\cnodeput(3.2,0){C}{T}
\cnodeput(3,3.5){D}{R}\cnodeput(5.5,3.3){E}{C}\cnodeput(7,0.25){F}{P}
\cnodeput(9,3.8){G}{L}\cnodeput(9.1,2.5){H}{V}\cnodeput(9.5,0.8){I}{M}
\ncline{A}{B}\ncline{A}{C}\ncline{C}{B}\ncline{B}{D}\ncline{D}{C}
\ncline{D}{E}\ncline{E}{F}\ncline{E}{G}\ncline{G}{H}
\ncline{H}{F}\ncline{F}{I}\ncline{C}{F}\ncline{H}{I}
\end{pspicture}
\end{center}

Pour cette question, on justifiera chaque réponse. 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ordre du graphe. 
		\item Déterminer si le graphe est connexe.\index{Graphe connexe} 
		\item Déterminer si le graphe est complet.\index{Graphe complet}
	\end{enumerate} 
\item Un touriste atterrit à l'aéroport de Lyon et loue une voiture.
 
Déterminer, en justifiant, s'il pourra visiter toutes les villes en empruntant une et une seule fois chaque autoroute. 
\item Il décide finalement d'aller seulement de Lyon à Biarritz. 

On note $N$ la matrice associée au graphe, les sommets étant rangés dans l'ordre alphabétique : B, C, L, M, P, R, T, V, Z. 

Voici les matrices $N$ et $N^3$ : \index{Matrices}


\[N = \begin{pmatrix}
0 &0 &0 &0 &0 &1 &1 &0 &1\\ 
0 &0 &1 &0 &1 &1 &0 &0 &0 \\
0 &1 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &0\\ 
0 &0 &0 &0 &1 &0 &0 &1 &0\\ 
0 &1 &0 &1 &0 &0 &1 &1 &0\\
1 &1 &0 &0 &0 &0 &1 &0 &0\\
1 &0 &0 &0 &1 &1 &0 &0 &1 \\
0 &0 &1 &1 &1 &0 &0 &0 &0\\ 
1 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &0 &0\\
\end{pmatrix}
 \:\:\text{et}\:\: N^3 = \begin{pmatrix}
4 &2 &1 &1 &3 &6 &6 &1 &5\\ 
2 &0 &5 &2 &8 &6 &1 &1 &3\\ 
1 &5 &0 &2 &1 &0 &3 &5 &0\\ 
1 &2 &2 &2 &5 &2 &1 &4 &1\\ 
3 &8 &1 &5 &2 &1 &8 &7 &1\\ 
6 &6 &0 &2 &1 &2 &8 &3 &2\\ 
6 &1 &3 &1 &8 &8 &4 &1 &6\\ 
1 &1 &5 &4 &7 &3 &1 &2 &1\\ 
5 &3 &0 &1 &1 &2 &6 &1 &2\\
\end{pmatrix}\]
 
	\begin{enumerate}
		\item En détaillant le calcul, déterminer le coefficient de la troisième ligne et dernière colonne de la matrice $N^4$. 
		\item En donner une interprétation. 
	\end{enumerate}
\item Sur les arêtes du graphe sont maintenant indiqués les prix des péages en euro.  

\begin{center} 
\begin{pspicture}(0,-0.2)(10,4)
\cnodeput(0.5,0.5){A}{Z}\cnodeput(1,3){B}{B}\cnodeput(3.2,0){C}{T}
\cnodeput(3,3.5){D}{R}\cnodeput(5.5,3.3){E}{C}\cnodeput(7,0.25){F}{P}
\cnodeput(9,3.8){G}{L}\cnodeput(9.1,2.5){H}{V}\cnodeput(9.5,0.8){I}{M}
\ncline{A}{B}\ncline{A}{C}\ncline{C}{B}\ncline{B}{D}\ncline{D}{C}
\ncline{D}{E}\ncline{E}{F}\ncline{E}{G}\ncline{G}{H}
\ncline{H}{F}\ncline{F}{I}\ncline{C}{F}\ncline{H}{I}
\rput(0.4,1.8){4,40} \rput(1.6,0){19,60} \rput(1.7,1.3){17,50} 
\rput(2,3.5){11,50} \rput(2.6,1.8){14,60} \rput(4.4,3.6){11,50}
\rput(5.9,1.7){8,60} \rput(4.9,-0.1){19,60} \rput(7.2,3.8){10,70}
\rput(9.4,3.3){7,10} \rput(7.8,1.6){16,20} 
\rput(8.2,0.3){9,40} \rput(9.7,1.6){15,70}
\end{pspicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de l'algorithme de Dijkstra, déterminer le chemin que doit prendre le touriste pour minimiser le coût des péages de Lyon à Biarritz.\index{Algorithme de Dijkstra} 
		\item Déterminer le coût, en euro, de ce trajet. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%   fin Liban mai 2013
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Polynésie juin 2013  
\hypertarget{Polynesie}{}

\label{Polynesie}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{7 juin  2013}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Polynésie  7 juin  2013~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip
 
\emph{Cet exercice  est un questionnaire à choix multiples.\\
Pour chaque question,  une seule des quatre réponses  proposées  est correcte.\\
Une réponse  juste rapporte  $1$  point  ; une réponse  fausse ou l'absence  de réponse ne rapporte  ni n'enlève de point.\\
Reporter sur le sujet le numéro de la question  ainsi que la réponse choisie.  Aucune justification  n'est demandée.}\index{Q. C. M.}

\bigskip

On considère  la fonction  $f$  définie  sur $\R$ par :  $f (x) =  x\mathrm{e}^{-x}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'image  $f\left(\ln 2\right)$ de $\ln 2$ par $f$ est égale  à  : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}X}
\textbf{a.~~} $\ln 2$ & \textbf{b.~~} $-2\ln 2$ \\ 
\textbf{c.~~} $2\ln 2$ &\textbf{d.~~} $\dfrac{1}{2}\ln 2$
\end{tabularx}
\medskip

\item $f$ est dérivable sur $\R$ et on note  $f'$ sa fonction  dérivée.  Alors,  pour tout nombre réel $x$, on a  :\index{Dérivée}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2} X}
\textbf{a.~~}  $f'(x) =  \mathrm {e}^{-x}$ &\textbf{b.~~} $f'(x) = - \mathrm {e}^{-x}$ \\
\textbf{c.~~}  $f'(x) = (1-x) \mathrm {e}^{-x}$ &\textbf{d.~~} $f'(x) =  (1+x)\mathrm {e}^{-x}$
\end{tabularx}
\medskip
 
\item L'équation réduite de la tangente à la courbe de la fonction  $f$  au point d'abscisse  0 est  : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}X}
\textbf{a.~~} $y=2x$ 	&\textbf{b.~~} $y=x-1$ \\
\textbf{c.~~} $y=x$ &\textbf{d.~~} $y=2x-1$
\end{tabularx}
\medskip
 
\item La fonction  $f$ est :\index{Fonction convexe}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}X}
\textbf{a.~~} concave sur $[0~;~1]$ 	&\textbf{b.~~} concave sur $[0~;~+\infty [$ \\
\textbf{c.~~} convexe sur $[0 ;+\infty [$ &\textbf{d.~~} convexe sur $[0 ; 1 ]$
\end{tabularx}
\medskip
  
\item L'intégrale  $\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\mathrm{d}x$ est égale à  :\index{Intégrale}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}X}
\textbf{a.~~} $\mathrm {e} - 5$ 	&\textbf{b.~~} 5 \\
\textbf{c.~~} $\dfrac{\mathrm {e}-2}{\mathrm {e}}$ &\textbf{d.~~} 1
\end{tabularx}
\medskip 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

Une agence  de voyage  propose  des formules week-end  à Londres au départ de Paris pour lesquelles le transport  et l'hôtel sont compris.  Les clients  doivent  choisir entre les deux formules  : \og avion + hôtel \fg{} ou \og train + hôtel \fg{} et peuvent  compléter ou non leur formule  par une option \og visites guidées \fg{}.

Une étude  a produit  les données suivantes  :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 40\,\%  des clients optent  pour la formule   \og avion + hôtel \fg{} et les autres pour la formule  \og train + hôtel \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] parmi les clients  ayant choisi la formule  \og train + hôtel \fg{}, 50\,\% choisissent  aussi l'option \og visites guidées \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] 12\,\% des clients ont choisi la formule  \og avion + hôtel \fg{}  et l'option  \og visites guidées \fg{}.
\end{itemize}
 
On interroge  au hasard  un client  de l'agence  ayant souscrit  à une formule  week-end  à Londres.  On note  :

\begin{itemize}
\item[] $A$ l'évènement : le client  interrogé a choisi la formule   \og avion + hôtel \fg{} ;
\item[] $T$ l'évènement : le client  interrogé a choisi la formule  \og train + hôtel \fg{} ;
\item[] $V$ l'évènement : le client  interrogé a choisi l'option  \og visites guidées \fg{}.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité de l'évènement : le client interrogé  a choisi la formule  \og avion + hôtel \fg{} et l'option  \og visites guidées \fg{} ?\index{Probabilités}
		\item Calculer la probabilité $P_A(V)$.
		\item Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.\index{Arbre pondéré}
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la probabilité  pour que le client interrogé ait choisi  l'option \og visites guidées \fg{} est égale à 0,42.
		\item Calculer la probabilité  pour que le client interrogé  ait pris l'avion sachant qu'il n'a pas choisi l'option \og visites guidées \fg{}. Arrondir  le résultat au millième.
	\end{enumerate}
\item L'agence pratique les prix (par personne)  suivants  :

\begin{center}
 
\fbox{\parbox {6cm}{
\begin{itemize}
\item[] Formule  \og avion + hôtel \fg{} : $390$ \euro
\item[] Formule  \og train + hôtel \fg{} : $510$ \euro
\item[] Option   \og visites guidées \fg{} : $100$ \euro
\end{itemize}}}
\end{center}

Quel montant  du chiffre d'affaires  l'agence  de voyage  peut-elle espérer obtenir avec $50$ clients qui choisissent  un week-end  à Londres ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\begin{center}
\emph{Les parties  A et B sont indépendantes}
\end{center}
 
Alors  qu'une  entreprise A possédait le monopole de l'accès à internet des particuliers, une entreprise concurrente  B est autorisée à s'implanter.

Lors de l'ouverture au public  en 2010 des services du fournisseur d'accès B, l'entreprise  A possède  90\,\% du marché  et l'entreprise B possède  le reste du marché.

Dans cet exercice,  on suppose  que chaque  année, chaque internaute  est client d'une seule entreprise A ou B.

On observe  à partir de 2010 que chaque année,  15\,\% des clients de l'entreprise A deviennent des clients de l'entreprise  B, et 10\,\% 
des clients de l'entreprise  B deviennent  des clients de l'entreprise  A.

Pour tout entier naturel  $n$, on note $a_n$ la probabilité qu'un internaute de ce pays, choisi au hasard, ait son accès à internet fourni par l'entreprise  A pour l'année  $2010 + n$, et $b_n$, la probabilité  pour que son fournisseur d'accès  en $2010 + n$ soit l'entreprise  B.

On note  $P_n =\begin{pmatrix} a_n & b_n \end{pmatrix}$ la matrice correspondant  à l'état probabiliste  de l'année $2010 + n$ et on a ainsi $a_0 = 0,9$ et $b_0 = 0,1$.\index{Matrices}

\medskip
 
\textbf{\textsc{partie a}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter  cette situation par un graphe  probabiliste.\index{Graphe probabiliste}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la matrice de transition $M$ de ce graphe.
		\item Montrer qu'en 2013,  l'état probabiliste  est environ $\begin{pmatrix} 0,61 & 0,39 \end{pmatrix}$.
		\item Déterminer  l'état stable $P =\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}$ de la répartition  des clients des entreprises  A et B. Interpréter le résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{\textsc{partie b}}

\medskip

Lors d'une campagne de marketing l'entreprise  B distribue  un stylo ou un porte-clés  ; il en coûte à l'entreprise  0,80 \euro{} par stylo et 1,20 \euro{} par porte-clés distribué.

À la fin de la journée l'entreprise  a distribué  550 objets  et cela lui a coûté 540 \euro.

On cherche le nombre  $s$ de stylos  et le nombre $c$ de porte-clés  distribués.

\begin{enumerate}
\item Écrire un système  traduisant  cette situation.
\item Montrer que le système précédent est équivalent à $R \times X = T$ où $R =\begin{pmatrix}
 1 & 1 \\
0,8 & 1,2 \end{pmatrix}$ et $X$ et $T$ sont des matrices  que l'on précisera.\index{Matrices}
\item Résoudre  le système à l'aide  de la calculatrice.  Interpréter le résultat.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip
 
La production des perles de culture de Tahiti est une activité  économique importante  pour la Polynésie Française.

Les montants réalisés à l'exportation des produits perliers de 2008 à 2011  sont donnés dans le tableau suivant,  en milliers d'euros  :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{6cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}	\hline
Années & 2008 &	2009 &	2010 &  2011 \\ \hline
Valeurs brutes des produits perliers (en milliers d'euros) & \np{81295} & \np{66052} & \np{64690} & \np{63182}\\ \hline
\multicolumn {5}{r}{\scriptsize{\textsf{Source :  ISPF ((Institut de Statistiques de Polynésie  Française)}}} \\
\end{tabularx}

\begin{enumerate}
\item  Montrer  que le taux d'évolution  annuel moyen  des montants  à l'exportation  des produits perliers  de Polynésie  entre 2008  et 2011  est  $-  8,06\%$ arrondi au centième.
\end{enumerate}
 
\emph{On admet  pour la suite de l'exercice,  que la production continuera  à baisser  de  8\,\% par an à partir de 2011}.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item On considère  l'algorithme suivant  :\index{Algorithme}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{m{3cm}|X|}	\cline{2-2}
\textsf {\textbf{Entrée}} & Saisir un nombre positif $P$  \\ 	\cline{2-2}
\textsf {\textbf{Traitement :}} & Affecter  la valeur 0 à la variable  $N$ \hfill\{initialisation\}\\
& Affecter la valeur \np{63182} à  $U$ \hfill\{initialisation\} 

\medskip

 Tant que $U > P$ 
\begin{itemize}
\item[] Affecter la valeur $N + 1$ à $N$
\item[] Affecter la valeur $0,92 \times U$ à $U$  
\end{itemize}
Fin de Tant que

\medskip
Affecter la valeur $N + 2011$ à $N$ \\ \cline{2-2}
\textsf {\textbf{Sortie}} & Afficher $N$  \\ 	\cline{2-2}

\end{tabularx}

\medskip

Si on saisit $\mathrm{P} = \np{50000}$ en entrée,  qu'obtient-on  en sortie par cet algorithme ? Interpréter ce résultat dans le contexte  de la production  de perles.

\item Pour prévoir les montants réalisés à l'exportation des perles de Tahiti, on modélise la situation  par une
suite $\left(u_n\right)$. On note $u_0$ le montant en 2011,  en milliers d'euros,  et $u_n$ le montant  en $2011+n$, en milliers
d'euros. On a donc  $u_0 = \np{63182}$ et on suppose  que la valeur baisse  tous les ans de 8\,\%.\index{Suite}
\begin{enumerate}
\item Montrer  que $\left(u_n \right)$ est une suite géométrique  dont on précisera la raison.
\item Exprimer,  pour tout entier naturel $n$, $u_n$ en fonction  de $n$.
\item Avec ce modèle, quel montant  peut-on prévoir pour l'exportation des produits perliers de Polynésie Française en 2016 ? On arrondira  le résultat  au millier d'euros.
\end{enumerate}
\item Calculer le montant cumulé des produits perliers exportés  que l'on peut prévoir  avec ce modèle à partir de 2011 (comprise)  jusqu'à 2020 (comprise). On donnera une valeur approchée au millier d'euros.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip
 
On s'intéresse  à une espèce de poissons présente  dans deux zones  différentes  (zone  1  et zone 2) de la planète.

\medskip
 
\textbf{A. Étude de la zone  1}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{X m{6cm}@{}} 
On note  $X$ la variable aléatoire qui  à chaque poisson observé dans la zone  1 associe sa taille en cm.

Une étude statistique  sur ces poissons de la zone 1 a montré que la variable aléatoire $X$ suit une loi normale de moyenne  $\mu$  et
d'écart type  $\sigma = 30$. La courbe  de la densité de probabilité associée à $X$ est représentée ci-contre.\index{Loi normale}
&
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-2)(9,5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-2)(9,5)
\psset{xunit=.2mm, yunit=156.25cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=50, Ox=100, Dy=0.0064,comma]{->}(0,0)(-50,-.0063)(225,0,016)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$100$}} \uput[dl](225,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,0.016){\footnotesize{$y$}}
\psGauss[sigma=30, mue=50, linewidth=1.25pt,plotpoints=600, linecolor=bleu]{-75}{225}
\end{pspicture}
\end{tabularx}
\begin{enumerate}
\item Par lecture  graphique,  donner la valeur  de $\mu$.
\item On pêche un de ces poissons dans la zone 1.  Donner  la probabilité, arrondie  à $10^{-2}$, d'avoir un poisson  dont la taille est comprise  entre $150$~cm et $210$~cm.\index{Probabilités}
\item Un poisson  de cette espèce de la zone 1 est considéré comme adulte quand  il  mesure plus de $120$~cm.

On pêche un poisson de l'espèce  considérée  dans la zone 1. Donner la probabilité,  arrondie à $10^{-2}$, de pêcher un poisson  adulte.
\item On considère  un nombre  $k$ strictement plus grand que la valeur moyenne $\mu$.

Est-il vrai que $P(X < k) < 0,5$ ? Justifier.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{B. Étude de la zone  2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Certains  poissons de la zone 2 sont atteints d'une maladie. On prélève de façon  aléatoire  un échantillon de 50 poissons de cette espèce  dans la zone  2 et on constate que 15 poissons sont malades.
\begin{enumerate}
\item Calculer la fréquence $f$  de poissons malades dans l'échantillon.
\item Déterminer un intervalle de confiance, au niveau  de 95\,\%, de la proportion $p$ de poissons malades dans toute  la zone 2. On arrondira les bornes au millième.\index{Intervalle de confiance}
\end{enumerate}
\item Soit $Y$ la  variable  aléatoire qui, à chaque  poisson de l'espèce  considérée  de la zone 2, associe  sa taille en cm. On admet que la variable aléatoire  $Y$ suit la loi normale  de moyenne  $\mu' = 205$ et d'écart type $\sigma' = 40$.\index{Loi normale}

En comparant  avec le graphique de la zone 1 donné  à la question 1 qui représente une loi normale d'écart type  $\sigma = 30$, dire laquelle des trois courbes ci-dessous représente la densité de probabilité  de la variable aléatoire $Y$. Justifier  la réponse.\index{Lectures graphiques}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-2)(9,5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\uput[dl](8,5){\textbf{\footnotesize{\emph{Courbe}  1}}}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-2)(9,5)
\psset{xunit=.2mm, yunit=156.25cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=50, Ox=100, Dy=0.0064,comma]{->}(0,0)(-75,-.0063)(225,0,016)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$100$}} \uput[dl](225,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,0.016){\footnotesize{$y$}}
\psGauss[sigma=40, mue=105, linewidth=1.25pt,plotpoints=600, linecolor=bleu]{-75}{225}
\end{pspicture}

\medskip

\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-2)(9,7)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\uput[dl](8,7){\textbf{\footnotesize{\emph{Courbe}  2}}}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-2)(9,7)
\psset{xunit=.2mm, yunit=156.25cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=50, Ox=100, Dy=0.0064,comma]{->}(0,0)(-75,-.0063)(225,0,0224)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$100$}} \uput[dl](225,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,0.0224){\footnotesize{$y$}}
\psGauss[sigma=20, mue=105,linewidth=1.25pt,plotpoints=600, linecolor=bleu]{-75}{225}
\end{pspicture}

\medskip

\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-2)(9,5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\uput[dl](8,5){\textbf{\footnotesize{\emph{Courbe}  3}}}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-2)(9,5)
\psset{xunit=.2mm, yunit=156.25cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=50, Ox=100, Dy=0.0064,comma]{->}(0,0)(-75,-.0063)(225,0,016)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$100$}} \uput[dl](225,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,0.016){\footnotesize{$y$}}
\psGauss[sigma=40, mue=50, linewidth=1.25pt,plotpoints=600, linecolor=bleu]{-75}{225}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%  fin Polynésie juin 2013
\newpage
%%%%%%%%%%%%%  Antilles-Guyane juin 2013 
\hypertarget{Antilles}{}

\label{Antilles}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small 19 juin 2013}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Antilles--Guyane 19 juin 2013~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des quatre questions, quatre réponses sont proposées; une seule de ces réponses est exacte. 

\medskip

\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte sans justifier le choix effectué.}\index{Q. C. M.}

\medskip 

\emph{Barème : une bonne réponse rapporte un point. Une réponse inexacte ou une absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.} 

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Une augmentation de 20\,\% suivie d'une augmentation de 15\,\% est équivalente à une augmentation globale de :\index{Pourcentages}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} 17,5\,\%& \textbf{b.~~}  30\,\% &\textbf{c.~~}  35\,\% &
\textbf{d.~~}  38\,\%
\end{tabularx}

\bigskip 
\parbox{0.42\linewidth}{\item On donne ci-contre la représentation graphique $C$ d'une fonction $f$ définie sur [0~;~10]. 

La tangente à la courbe $C$ au point A d'abscisse 5 est tracée. 

Parmi les quatre courbes ci-dessous, déterminer laquelle représente graphiquement la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$.}\hfill
\parbox{0.54\linewidth}{
\psset{unit=.6cm}
\begin{pspicture}(-1,-4)(11,4)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{(1-x)*(x-5)*(x-9)/16} 
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-4)(11,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1,-4)(11,4)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{10}{\f}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psline[linewidth=.75pt,linecolor=prune](2,-3)(8,3)
\psdots[linewidth=.75pt,linecolor=prune,dotscale=.75](3,-2)(5,0)(7,2)
\uput[ur](8,1.3){\bleu{\footnotesize{$C$}}}
\uput[ul](5,0){\bleu{\footnotesize{$A$}}}
\end{pspicture}
}
\index{Lectures graphiques}
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\psset{unit=0.26cm}
\begin{pspicture}(-1,-5)(11,4) 
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\f{x*(10-x)*(x^2-10*x+19.4)*.027}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,griddots=6,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-5)(11,4) 
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.7pt,ticksize=-1.5pt 1.5pt]{->}(0,0)(-.98,-4.98)(11,4)
\uput[dl](0,0.25){\tiny{0}}  
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{0}{10}{\f}
\end{pspicture}&\psset{unit=0.26cm}
\begin{pspicture}(-1,-7)(11,2) 
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\f{(-3*x^2+30*x-60)/8}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,griddots=6,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-7)(11,2)  
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.7pt,ticksize=-1.5pt 1.5pt]{->}(0,0)(-.98,-6.98)(11,2)
\uput[dl](0,0.25){\tiny{0}} 
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{0.1}{9.9}{\f}
\end{pspicture}&\psset{unit=0.26cm}
\begin{pspicture}(-1,-5)(11,4) 
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\f{(-3*x^2+30*x-59)/16}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,griddots=6,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-5)(11,4) 
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.7pt,ticksize=-1.5pt 1.5pt]{->}(0,0)(-.98,-4.98)(11,4) 
\uput[dl](0,0.25){\tiny{0}} 
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{0}{10}{\f}
\end{pspicture}&\psset{unit=0.26cm}
\begin{pspicture}(-1,-6)(11,3) 
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\f{(1-x)*(x-5)^2*(x-9)/45}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,griddots=6,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-6)(11,3) 
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.7pt,ticksize=-1.5pt 1.5pt]{->}(0,0)(-.98,-5.98)(11,3)
\uput[dl](0,0.25){\tiny{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{0}{10}{\f}
\end{pspicture}\\
\textbf{a.~~} Courbe 1&  \textbf{b.~~} Courbe 2& \textbf{c.~~} Courbe 3& \textbf{d.~~} Courbe 4\\ 
\end{tabularx}

\medskip
 
\item Soit la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $f(x) = \dfrac{\ln (x)}{x}$ et $f'$ sa fonction dérivée. On a : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} $f'(x) = \dfrac{\ln (x) - 1}{x^2}$&\textbf{b.~~} $f'(x) = \dfrac{1 - \ln (x)}{x^2}$&\textbf{c.~~} $f'(x) = \dfrac{1}{x^2}$&\textbf{d.~~} $f'(x) = \dfrac{1 + \ln (x)}{x^2}$\\
\end{tabularx}
\index{Dérivée}
\medskip

\item On considère la suite géométrique $\left(u_{n}\right)$ de premier terme $u_{0} = 2$ et de raison $q = 1,05$.\index{Suite géométrique}
 
La somme $S$ des 12 premiers termes de cette suite est donnée par : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} $S = 2 \times \dfrac{1 - 1,05^{12}}{1 - 1,05}$& 
\textbf{b.~~} $S = 2 \times \dfrac{1 - 1,05^{13}}{1 - 1,05}$&
\textbf{c.~~} $S = 1,05 \times \dfrac{1 - 2^{13}}{1 - 2}$&
\textbf{d.~~} $S = 1,05 \times \dfrac{1 - 2}{1 - 2^{12}}$
\end{tabularx}

\medskip

\item $X$ est une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance $22$ et d'écart-type $3$.\index{Loi normale}
 
Une valeur approchée à $10^{- 2}$ de la probabilité de l'évènement $\{(X \in  
[22~;~28]\}$ est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} $0,2$&\textbf{b.~~} $0,28$&\textbf{c.~~} $0,48$&\textbf{d.~~}  $0,95$
\end{tabularx}

\medskip 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
On a représenté ci-dessous, dans le plan muni d'un repère orthonormal, la courbe représentative $C$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~20]. On a tracé les tangentes à la courbe $C$ aux points A, D et E d'abscisses respectives $0$ ; $6$ et $11$.
 
On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

\medskip
 
\begin{center}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-6)(21,11)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{(5*x-5)*EXP(-0.2*x)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-6)(21,11)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.99,-5.99)(21,11)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}} \uput[dl](21,0){$x$} \uput[dl](0,11){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{20}{\f}
\psset{linewidth=.75pt, linecolor=prune}
\psline(3,9.97)(20,0.554)
\psline(0,-5)(2.5,10)
\psline(-0.5,7.53)(20,7.53)
\psdots[linecolor=bleu,dotscale=.8](6,7.53)(11,5.54)(1,0)
\uput[ur](1,0){\bleu \footnotesize{B}} \uput[u](6,7.53){\bleu \footnotesize{D}} \uput[ur](11,5.54){\bleu \footnotesize{E}} \uput[r](0,-5){\bleu \footnotesize{A}}
\uput[u](16.5,2.7){\bleu $C$}
\end{pspicture}
\end{center}

Par lecture graphique (aucune justification n'est demandée) :\index{Lectures graphiques} 
\begin{enumerate}
\item Donner les valeurs exactes de $f(0),\: f(1),\: f'(0)$ et $f'(6)$. 
\item Indiquer si la courbe $C$ admet un point d'inflexion. Si oui, préciser ce point.\index{Point d'inflexion} 
\item Déterminer un encadrement, d'amplitude 4, par deux nombres entiers de 
$I = \displaystyle\int_{4}^{8} f(x)\:\text{d}x$. 
\item Indiquer le nombre de solutions  
de l'équation $f(x) = 4$. Préciser un encadrement de la (ou des) solution(s) à l'unité.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
La fonction $f$ est définie sur l'intervalle [0~;~20] par 

\[f(x) = (5x - 5)\text{e}^{- 0,2x}.\]\index{Fonction exponentielle}
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f'(x) = (- x + 6)\text{e}^{- 0,2x}$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle [0~;~20].\index{Dérivée} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur [0~;~20]. 
		\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur [0~;~20]. On fera apparaître les valeurs exactes de $f(0)$ et $f(6)$.
	\end{enumerate} 
\item Justifier que l'équation $f(x) = 4$ admet une unique solution $\alpha$ sur [0~;~6]. Donner la valeur arrondie au millième de $\alpha$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $F$ définie sur [0~;~20] par $F(x) = (-25x - 100)\text{e}^{- 0,2x}$ est une primitive 
de $f$ sur [0~;~20].\index{Primitive} 
		\item Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [4~;~8]. 
Donner sa valeur exacte.\index{Valeur moyenne}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
Une entreprise fabrique $x$ centaines d'objets où $x$ appartient à [0~;~20]. La fonction $f$ des parties A et B modélise le bénéfice de l'entreprise en milliers d'euros, en supposant que toute la production est vendue.
 
Répondre aux questions suivantes en utilisant les résultats précédents, et en admettant que l'équation $f(x) = 4$ admet une autre solution $\beta$ sur [6~;~ 20] dont la valeur arrondie au millième est $13,903$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quelle doit être la production de l'entreprise pour réaliser un bénéfice d'au moins 4000~\euro{} ? (Arrondir à l'unité). 
\item L'entreprise pense produire régulièrement entre $400$ et $800$~objets. 

Déterminer alors la valeur moyenne du bénéfice. (On donnera le résultat arrondi à l'euro près). \index{Valeur moyenne}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats de ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L}

\bigskip 
 
Dans un magasin spécialisé en électroménager et multimédia, le responsable du rayon informatique fait le bilan sur les ventes d'ordinateurs portables, de tablettes, et d'ordinateurs fixes. Pour ces trois types de produit, le rayon informatique propose une extension de garantie.
 
Le responsable constate que 28\,\% des acheteurs ont opté pour une tablette, et 48\,\% pour un ordinateur portable.
 
Dans cet exercice, on suppose que chaque acheteur achète un unique produit entre tablette, ordinateur portable, ordinateur fixe, et qu'il peut souscrire ou non une extension de garantie.
 
Parmi les acheteurs ayant acquis une tablette, 5\,\% ont souscrit une extension de garantie et, parmi ceux ayant acquis un ordinateur fixe, 12,5\,\% ont souscrit une extension de garantie.

\medskip
 
On choisit au hasard un de ces acheteurs.
 
On note :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{description}
\item[ ] $T$ l'évènement \og l'acheteur a choisi une tablette \fg{} ; 
\item[ ] $M$ l'évènement \og l'acheteur a choisi un ordinateur portable \fg{} ; 
\item[ ] $F$ l'évènement \og l'acheteur a choisi un ordinateur fixe\fg{} ; 
\item[ ] $G$ l'évènement \og l'acheteur a souscrit une extension de garantie \fg.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}
 
On note aussi $\overline{F} , \overline{M} , \overline{T} , \overline{G}$ les évènements contraires.

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré en indiquant les données de l'énoncé.\index{Arbre pondéré} 
\item Calculer $P(F)$ la probabilité de l'évènement $F$, puis $P(F \cap G)$.\index{Probabilités} 
\item On sait de plus que 12\,\% des acheteurs ont choisi un ordinateur portable avec une extension de garantie. 

Déterminer la probabilité qu'un acheteur ayant acquis un ordinateur portable souscrive une extension de garantie. 
\item Montrer que $P(G) = 0,164$. 
\item Pour tous les appareils, l'extension de garantie est d'un montant de $50$~euros. Quelle recette complémentaire peut espérer le responsable du rayon lorsque \np{1000} appareils seront vendus ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats de ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip 

Un guide de randonnée en montagne décrit les itinéraires possibles autour d'un pic rocheux.
 
La description des itinéraires est donnée par le graphe ci-contre. Les sommets de ce graphe correspondent aux lieux remarquables. Les arêtes de ce graphe représentent les sentiers possibles entre ces lieux.\index{Graphe}

\bigskip

\parbox{0.52\linewidth}{
Légende :

 \renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{lll l}
\large{\ding{192}} & Départ & \large{\ding{193}} & Passerelle\\ 
\large{\ding{194}} & Roche percée & \large{\ding{195}} & Col des 3 vents\\
\large{\ding{196}} & Pic rouge &\large{\ding{197}} & Refuge\\ 
\large{\ding{198}} & Col vert & \large{\ding{199}} & Pont Napoléon\\  
\large{\ding{200}} & Cascade des anglais & \large{\ding{201}} & Arrivée\\
\end{tabular}}\hfill\parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}
\begin{flushright}
\begin{pspicture}(8.5,8)
\psset{linewidth=1pt,dotstyle=*,dotscale=1.2}
\dotnode(0.4,3.6){A} \dotnode(1.7,3.3){B} \dotnode(1.6,.7){C} \dotnode(3.1,6.8){D} \dotnode(3.6,4){E} \dotnode(3.9,2.2){F} \dotnode(5.9,3){G} \dotnode(6.3,1.1){H} \dotnode(6.9,6.7){I} \dotnode(7.5,2.4){J}
\ncline{A}{C} \ncline{C}{B} \ncline{B}{A} \ncline{A}{D} \ncline{D}{B} \ncline{B}{E} \ncline{E}{D} \ncline{D}{I} \ncline{I}{G} \ncline{G}{E}
\ncline{E}{F} \ncline{F}{C} \ncline{C}{H} \ncline{H}{J} \ncline{J}{I} \ncline{F}{H} \ncline{H}{G}
\psset{linewidth=.75pt,,linecolor=black,labelsep=1.5pt}
\nput{180}{A}{\ding{192}}
\nput{-30}{B}{\ding{193}}
\nput{-90}{C}{\ding{194}}
\nput{90}{D}{\ding{195}}
\nput{40}{E}{\ding{196}}
\nput{-90}{F}{\ding{197}}
\nput{-30}{G}{\ding{198}}
\nput{-90}{H}{\ding{199}}
\nput{90}{I}{\ding{200}}
\nput{-30}{J}{\ding{201}}
\uput[l](-.1,3.6){D}
\uput[dl](8.3,2.4){A}
\end{pspicture}
\end{flushright}}

\begin{enumerate}
\item Donner un itinéraire allant de D à A passant par tous les sommets du graphe une seule fois mais n'empruntant pas forcément tous les sentiers. 
\item Existe-t-il un itinéraire allant de D à A utilisant tous les sentiers une seule fois ? 

Justifier votre réponse.
	\end{enumerate}
\parbox{0.52\linewidth}{\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{2}
\item On note $M$ la matrice d'adjacence associée à ce graphe, les sommets étant pris dans l'ordre. On donne ci-contre $M^5$.\index{Matrice d'adjacence} 
	\begin{enumerate}
		\item Que représente le nombre $89$ situé sur la deuxième ligne et la quatrième colonne ? 
		\item Déterminer le nombre d'itinéraires allant de D à A empruntant 5 sentiers. Citer un tel itinéraire passant par le pic rouge.
	\end{enumerate} 
	\end{enumerate}}\hfill\parbox{0.46\linewidth}{\begin{flushright}	
	 {\small $M^5 = \begin{pmatrix}
56 &78 &75 &82 &59 &57 &54& 40 &26 &31\\
78 &88 &95 &89 &96 &57 &50 &65 &48 &30\\ 
75 &95 &68 &68 &77 &68 &46 &73 &52 &23\\ 
82 &89 &68 &62 &98 &49 &29 &79 &67 &13\\ 
59 &96 &77 &98 &50 &82 &80 &40 &24&46 \\
57 &57 &68 &49 &82 &36 &25 &68 &49 &16\\ 
54 &50 &46 &29 &80 &25 &10 &73 &60 &5\\ 
40 &65 &73 &79 &40 &68 &73 &32 &14 &48\\ 
26 &48 &52 &67 &24 &49 &60 &14 &6 &39 \\
31 &30 &23 &13 &46 &16 &5 &48 &39 &2
\end{pmatrix}$}
	\end{flushright}}
\parbox{0.52\linewidth}{\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{3}
\item On a complété ci-contre le graphe décrivant les itinéraires avec les temps de parcours en minutes pour chacun des sentiers. 

Déterminer l'itinéraire allant de D à A le plus court en temps. 

On fera apparaître la démarche en utilisant un algorithme.\index{Algorithme de Dijkstra}
\end{enumerate}}\hfill\parbox{0.46\linewidth}{
\psset{unit=0.8cm}
\begin{flushright}
\begin{pspicture}(8.5,8)
\psset{linewidth=1pt,dotstyle=*,dotscale=1.2,labelsep=1pt}
\dotnode(0.4,3.6){A} \dotnode(1.7,3.3){B} \dotnode(1.6,.7){C} \dotnode(3.1,6.8){D} \dotnode(3.6,4){E} \dotnode(3.9,2.2){F} \dotnode(5.9,3){G} \dotnode(6.3,1.1){H} \dotnode(6.9,6.7){I} \dotnode(7.5,2.4){J}
\ncline{A}{C}\nbput{\sf{\small{15}}} \ncline{C}{B}\nbput{\sf{\small{25}}} \ncline{B}{A}\nbput{\sf{\small{35}}} \ncline{A}{D}\naput{\sf{\small{90}}} \ncline{D}{B}\naput{\sf{\small{60}}} \ncline{B}{E}\nbput{\sf{\small{50}}} \ncline{E}{D}\nbput{\sf{\small{35}}} \ncline{D}{I}\naput{\sf{\small{45}}} \ncline{I}{G} \nbput{\sf{\small{20}}}\ncline{G}{E}\nbput{\sf{\small{10}}}
\ncline{E}{F}\naput{\sf{\small{40}}} \ncline{F}{C}\nbput{\sf{\small{25}}} \ncline{C}{H}\nbput{\sf{\small{90}}} \ncline{H}{J}\nbput{\sf{\small{40}}} \ncline{J}{I}\nbput{\sf{\small{20}}} \ncline{F}{H}\naput{\sf{\small{55}}} \ncline{H}{G}\nbput{\sf{\small{15}}}
\psset{linewidth=.75pt,,linecolor=black,labelsep=1.5pt}
\nput{180}{A}{\ding{192}}
\nput{-30}{B}{\ding{193}}
\nput{-90}{C}{\ding{194}}
\nput{90}{D}{\ding{195}}
\nput{40}{E}{\ding{196}}
\nput{-90}{F}{\ding{197}}
\nput{-30}{G}{\ding{198}}
\nput{-90}{H}{\ding{199}}
\nput{90}{I}{\ding{200}}
\nput{-30}{J}{\ding{201}}
\uput[l](-.1,3.6){D}
\uput[dl](8.5,2.4){A}
\end{pspicture}
\end{flushright}
}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip
 
Les parties A et B sont indépendantes.
 
Les résultats décimaux seront arrondis au millième pour tout l'exercice.

\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
La direction d'une société fabriquant des composants électroniques impose à ses deux sites de production de respecter les proportions ci-dessous en termes de contrat d'embauche du personnel :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item 80\,\% de CDI (contrat à durée indéterminée) 
\item 20\,\% de CDD (contrat à durée déterminée).
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On donne la composition du personnel des deux sites dans le tableau suivant : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
					&CDI 	&CDD 	&Effectif total\\ \hline
Site de production A& 315 	&106 	&421\\ \hline 
Site de production B& 52 	&16 	&68\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer le pourcentage de CDI sur chaque site de production.\index{Pourcentages} 
\item Pour une proportion $p = 0,8$, déterminer les intervalles de fluctuation asymptotiques au seuil de 95\,\% relatifs aux échantillons de taille $n$, pour $n = 421$ et pour $n = 68$.\index{Intervalle de confiance}\index{Intervalle de fluctuation} 
\item Comment la direction de la société peut-elle interpréter les intervalles obtenus dans la question précédente ?
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
\emph{Dans cette partie, on convient que l'on peut utiliser l'intervalle de fluctuation asymptotique lorsque $n \geqslant 30,\: np \geqslant 5$ et $n(1 - p) \geqslant 5$, où $p$ désigne la proportion dans une population, et $n$ désigne la taille d'un échantillon de cette population.}

\medskip

La direction de cette même société tolère 7\,\% de composants défectueux. Le responsable d'un site de production souhaite évaluer si sa chaîne de production respecte cette contrainte de 7\,\%. Pour cela, il prélève un échantillon de composants électroniques.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item S'il prélève un échantillon de $50$~composants, peut-il utiliser l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% ? Expliquer. \index{Intervalle de fluctuation}
\item S'il prélève un échantillon de $100$~composants, peut-il utiliser l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% ? Expliquer. 
\item Le responsable du site de production prélève un échantillon de taille $100$, dans lequel $9$ composants électroniques s'avèrent défectueux. Comment peut-il interpréter ce résultat ? 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%  fin Antilles-Guyane juin 2013
\newpage
%%%%%%%%%%%%  Asie juin 2013
\hypertarget{Asie}{}

\label{Asie}
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{19 juin  2013}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Asie  19 juin  2013~\decofourright}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip
 
Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des quatre questions, quatre réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient.\index{Q. C. M.}

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie sans justifier le choix effectué.

Une bonne réponse rapporte 1 point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On choisit au hasard un réel de l'intervalle $[- 2~;~5]$.

Quelle est la probabilité que ce nombre appartienne à l'intervalle $[-1~;~1]$ ?

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~} $\dfrac{1}{5}$ 	&\textbf{b.~~} $\dfrac{2}{7}$ & \textbf{c.~~} $\dfrac{1}{2}$  & \textbf{d.~~} $0,7$
\end{tabularx}

\medskip
 
\item Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne 3 et d'écart type 2.\index{Loi normale}

Quelle est la valeur arrondie au centième de la probabilité $P(X \leqslant 1)$ ? 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~} $0,16$ 	&\textbf{b.~~} $0,68$ & \textbf{c.~~} $0,95$  & \textbf{d.~~} $0,99$
\end{tabularx}

\medskip

\item Quelle courbe représente la fonction de densité d'une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale $\mathcal{N}(0,\,1)$ ?\index{Fonction densité}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
\textbf{a.~~}  &\textbf{b.~~} \\
\psset{unit=.44cm}
\begin{pspicture}(-4,-1)(11,5)
%\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
%\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-4,-1)(11,5)
\psset{xunit=.4cm, yunit=8cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none,Dy=0.1,labelFontSize=\footnotesize]{->}(0,0)(-4,-0.05)(11,0.25)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{$0$}} \uput[d](1,0){\scriptsize{$1$}} \uput[l](0,0.1){\scriptsize{$0,1$}}
\uput[dl](11,0){\scriptsize{$x$}} \uput[dl](0,0.25){\scriptsize{$y$}} 
\psGauss[sigma=2, mue=3, linewidth=1.25pt,plotpoints=600, linecolor=bleu]{-4}{11}
\end{pspicture} &
\psset{unit=.45cm}
\begin{pspicture}(-7,-1)(7,6)
%\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
%\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\f{1/(x^2+1)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-7,-1)(7,6)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none,labelFontSize=\footnotesize]{->}(0,0)(-7,-1)(7,6)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{$0$}} \uput[d](1,0){\scriptsize{$1$}} \uput[l](0,1){\scriptsize{$0,2$}}
\uput[dl](7,0){\scriptsize{$x$}} \uput[dl](0,6){\scriptsize{$y$}} 
\psset{xunit=.4cm, yunit=2cm}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=360,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-7}{7}{\f}
\end{pspicture} \\ \hline
\textbf{c.~~}   &\textbf{d.~~}  \\
\psset{unit=.45cm}
\begin{pspicture}(-5,-1)(6,9)
%\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
%\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-5,-1)(6,9)
\psset{xunit=.4cm, yunit=8cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none,Dy=0.1,labelFontSize=\footnotesize]{->}(0,0)(-5,-0.05)(6,0.45)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{$0$}} \uput[d](1,0){\scriptsize{$1$}} \uput[l](0,0.1){\scriptsize{$0,1$}}
\uput[dl](6,0){\scriptsize{$x$}} \uput[dl](0,0.45){\scriptsize{$y$}} 
\psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1.25pt,plotpoints=600, linecolor=bleu]{-5}{6}
\end{pspicture} &
\psset{unit=.45cm}
\begin{pspicture}(-7,-1)(7,9)
%\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
%\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\f{1/(x^2)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-7,-1)(7,9)
\psset{xunit=.4cm,yunit=.8cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none,labelFontSize=\footnotesize]{->}(0,0)(-7,-.5)(7,4.5)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{$0$}} \uput[d](1,0){\scriptsize{$1$}} \uput[l](0,1){\scriptsize{$1$}}
\uput[dl](7,0){\scriptsize{$x$}} \uput[dl](0,4.5){\scriptsize{$y$}} 
\psplot[algebraic=true,plotpoints=360,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-7}{-.47}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=360,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{.47}{7}{\f}
\end{pspicture} \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item Lors d'un sondage avant une élection, on interroge 800 personnes (constituant un échantillon représentatif). 424 d'entre elles déclarent qu'elles voteront pour le candidat H.

Soit $p$ la proportion d'électeurs de la population qui comptent voter pour H.

Lequel des intervalles ci-dessous est un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95\% de la proportion $p$ ?

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~}  $[0,46~;~0,60]$ & \textbf{b.~~} $[0,48~;~0,58]$ & \textbf{c.~~} $[0,49~;~0,57]$ &\textbf{d.~~} $[0,51~;~0,55]$
\end{tabularx}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

Le tableau ci-dessous donne la répartition des élèves de terminale de séries générales selon la série et le
sexe, à la rentrée 2010.

\begin{center}
\begin{tabularx}{.8\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
& Filles & Garçons \\ \hline
Littéraire (L) & \np{40872} & \np{11080} \\ \hline
Sciences économiques et sociales (ES)  & \np{63472} & \np{40506} \\ \hline
Scientifique (S) & \np{71765} & \np{87031} \\ \hline \hline
Total & \np{176109} & \np{138617} \\ \hline
\multicolumn {3}{r}{\footnotesize{\textsf{\emph{Source : Ministère de l'Éducation nationale, DEPP}}}} \\
\end{tabularx}
\end{center}

Notations :

$p(A)$ désigne la probabilité d'un évènement $A$.

$p_{A}(B)$ désigne la probabilité d'un évènement $B$ sachant que l'évènement $A$ est réalisé.

\medskip

On choisit au hasard un élève de terminale de série générale.

On note : 

$F$ : l'évènement \og L'élève choisi est une fille \fg.

$L$ : l'évènement \og L'élève choisi est en série Littéraire \fg.

$ES$ : l'évènement \og L'élève choisi est en série Sciences Économiques et Sociales \fg.

$S$ : l'évènement \og L'élève choisi est en série Scientifique \fg.

\begin{center}
\textbf{Tous les résultats seront arrondis au centième.}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item En utilisant les effectifs inscrits dans le tableau :\index{Probabilités}
\begin{enumerate}
\item Sachant qu'on interroge un garçon, calculer la probabilité qu'il soit en série Littéraire.
\item Calculer $p(\mathrm{S})$.
\end{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous :\index{Arbre pondéré}

\begin{center}
\psset{arrows=-,treesep=.75cm,levelsep=3cm,linewidth=.75pt,labelsep=1pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{\; \small{$F$}\;}\naput{\small{0,56}}}
	{\TR{\;\small{$L$}}\naput{\small{0,23}}
	\TR{\;\small{$ES$}}\naput{\small{0,36}}
	\TR{\;\small{$S$}}
	}
\pstree{\TR{\;\small{$G$}\;}}
	{\TR{\;\small{$L$}}
	\TR{\;\small{$ES$}}\naput{\small{0,29}}
	\TR{\;\small{$S$}}
	}
}
\end{center}

\item En utilisant l'arbre complété et les propriétés des probabilités :
\begin{enumerate}
\item Montrer que la probabilité, arrondie au centième, que l'élève choisi soit un élève de la série Sciences Économiques et Sociales est égale à 0,33.
\item Calculer $p_{ES}(F)$.
\end{enumerate}
\item  On choisit successivement et au hasard $10$~élèves de terminale de série générale. On admet que le nombre de lycéens est suffisamment grand pour que ces choix soient assimilés à des tirages indépendants avec remise.

Calculer la probabilité de choisir exactement trois élèves de la série ES.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip
 
Les deux parties de l'exercice sont indépendantes.
 
\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
Pour accéder à sa messagerie, Antoine a choisi un code qui doit être reconnu par le graphe étiqueté suivant, de sommets 1, 2, 3 et 4 :

\begin{center}
\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture}(0,-.5)(3,.5)
\psset{labelsep=2pt,nodesep=1pt}
\rput(0,0){\dianode{A}{1}}
\rput(1,0){\dianode{B}{2}}
\rput(2,0){\dianode{C}{3}}
\rput(3,0){\dianode{D}{4}}
\ncarc{->}{A}{B}\naput{\textbf{S}}
\ncarc{->}{B}{A}\naput{\textbf{U}}
\nccircle[nodesep=3pt]{<-}{B}{.7cm}\naput{\textbf{P}}
\rput{180}(1,0){\nccircle[nodesep=3pt]{->}{B}{.7cm}\naput[nrot=:U]{\textbf{C}}}
\ncline{->}{B}{C}\naput{\textbf{E}}
\nccircle[nodesep=3pt]{<-}{C}{.7cm}\naput{\textbf{N}}
\ncline{->}{C}{D}\naput{\textbf{S}}
\end{pspicture}
\end{center}

Une succession des lettres constitue un code possible si ces lettres se succèdent sur un chemin du graphe orienté ci-dessus, en partant du sommet 1 et en sortant au sommet 4. Les codes SES et SPPCES sont ainsi des codes possibles, contrairement aux codes SUN et SPEN.

\begin{enumerate}
\item Parmi les trois codes suivants, écrire sur votre copie le (ou les) code(s) reconnu(s) par le graphe.

\begin{center}
\begin{tabularx}{.8\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}}
SUCCES & SCENES & SUSPENS
\end{tabularx}
\end{center}
\item Recopier et compléter la matrice d'adjacence A associée au graphe. On prendra les sommets dans l'ordre 1-2-3-4.
\[ A= \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 2 & 1 & 0 \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 
\end{pmatrix}
\]

\item Avec une calculatrice on a calculé : $A^4 =\begin{pmatrix}
5 & 12 & 8 & 3 \\
12 & 29 & 20 & 8 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}$.\index{Matrices}

En déduire le nombre de codes de 4 lettres reconnus par le graphe. Quels sont ces codes ?
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=1.5cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(6,1)
\psset{linewidth=.75pt}
\cnodeput(0,0){N}{\bf N}   \cnodeput(1,-1){R}{\bf R} \cnodeput(1,1){V}{\bf V} \cnodeput(2.2,1){T}{\bf T} \cnodeput(3,0){A}{\bf A} \cnodeput(3.8,-1){E}{\bf E} \cnodeput(5,1){B}{\bf B} \cnodeput(5,-1){C}{\bf C}  \cnodeput(6,0){D}{\bf D}
\ncline{B}{A}\ncput*{\bf \sf 35}  \ncline{A}{E}\ncput*{\bf \sf 12}  \ncline{E}{C} \ncput*{\bf \sf 38} \ncline{C}{D} \ncput*{\bf \sf 18}  \ncline{D}{B} \ncput*{\bf \sf 19} \ncline{B}{E} \ncput*{\bf \sf 41} \ncline{E}{R} \ncput*{\bf \sf 53} \ncline{R}{N} \ncput*{\bf \sf 21}  \ncline{N}{V} \ncput*{\bf \sf 32} \ncline{V}{T} \ncput*{\bf \sf 16} \ncline{T}{R} \ncput*{\bf \sf 24} \ncline{R}{A} \ncput*{\bf \sf 58}
\ncline{A}{T} \ncput*{\bf \sf 25} \ncline{T}{B} \ncput*{\bf \sf 63} 
\end{pspicture} 
\end{center}

\medskip

Antoine décide d'aller visiter neuf châteaux de la Loire.

Il a construit le graphe ci-dessus où les sommets représentent:

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
A : Amboise &  B : Blois & C : Cheverny & D : Chambord\\
E : Chenonceau & T : Tours & V : Villandry & R : Azay-le-Rideau\\
N : Chinon & & & \\
\end{tabularx}

Sur les arêtes sont indiquées les distances en km

\begin{enumerate}
\item Antoine peut-il partir de Blois et y revenir, en parcourant une et une seule fois chacune des routes matérialisées par les arêtes de ce graphe ? On justifiera la réponse.
\item Déterminer le plus court chemin pour aller du château de Chambord au château de Chinon. On donnera le parcours ainsi que le nombre total de kilomètres.\index{Algorithme de Dijkstra}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}


\medskip
 
Le gestionnaire d'une salle de concert constate que, chaque année, le nombre d'abonnés est constitué de 70\,\% des abonnés de l'année précédente, auxquels s'ajoutent 210 nouveaux abonnés.

Le nombre d'abonnés en 2010 était de 600.

\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre d'abonnés en 2011 et 2012.
\item On définit la suite $\left(u_n\right)$ par : $u_0 = 600$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0,7u_n + 210$.\index{Suite}

On utilise un tableur pour calculer les termes de la suite $(u_n)$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{.5\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
& \textsf{A} & \textsf{B} \\ \hline
\textsf{1} & $n$ & $un$ \\ \hline
\textsf{2} & 0 & 600 \\ \hline
\textsf{3} & 1 &  \\ \hline
\textsf{4} & 2 &  \\ \hline
\textsf{5} & 3 &  \\ \hline
\textsf{6} & 4 &  \\ \hline
\textsf{7} & 5 &  \\ \hline
\textsf{8} & 6 &  \\ \hline
\textsf{9} & 7 &  \\ \hline   
\end{tabularx}
\end{center}

Proposer une formule à écrire en B3 pour calculer $u_1$ ; cette formule \og tirée vers le bas \fg{} dans la colonne devra permettre de calculer les valeurs successives de la suite $\left(u_n\right)$.

\medskip

\item On pose, pour tout entier naturel $n$ : $v_n = u_n - 700$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison 0,7.\index{Suite géométrique}

Préciser son premier terme.
\item Justifier que pour tout entier naturel $n$, $u_n = 700 - 100 \times 0,7^n$.
\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $n$ un entier naturel. Démontrer que $u_n \geqslant 697$ est équivalent à $0,7^n \leqslant 0,03$.
		\item Pour résoudre cette inéquation, on utilise l'algorithme suivant :\index{Algorithme}

\medskip

\begin{tabular}{|lp{6cm}}
\textbf{Variables :} & $N$ est un nombre entier naturel\\
\textbf{Initialisation :} & Affecter à $N$ la Valeur 0 \par Affecter à $U$ la valeur 1 \\
\textbf{Traitement :} & Tant que $U > 0,03$ \par
\begin{itemize}
\item[] Affecter à $N$ la valeur $N + 1$.
\item[] Affecter à $U$ la valeur $0,7 \times U$.
\end{itemize}
Fin du Tant que\\
\textbf{Sortie :} & Afficher $N$.\\
\end{tabular}

\medskip

Quelle valeur de $N$ obtient-on en sortie ? (On fera tourner l'algorithme).
		\item Retrouvez ce résultat en résolvant l'inéquation $0,7^n \leqslant 0,03$.
		\item En utilisant l'étude précédente de la suite $\left(u_n\right)$, déterminer à partir de quelle année le nombre d'abonnés atteindra au moins $697$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip
 
La courbe $\mathcal{C}_f$ ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur l'ensemble des nombres réels.

Elle passe par les points $A\left(1~;~4\mathrm{e}^{0,5} \right)$, $B(0~;~5)$ et $C(5~;~0)$.

Le point $D(-3~;~0)$ appartient à la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $A$.

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $\R$.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=.5cm}
\begin{pspicture}(-5,-4)(7,12)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{(5-x)*EXP(0.5*x)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-5,-4)(7,12)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt](0,0)(-5,-4)(7,12)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=1.25pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}
\uput[dl](7,0){{$x$}} \uput[dl](0,12){{$y$}} 
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-5}{5.285}{\f}
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=prune](-5,-3.297)(4.278,12)
\psdots[dotstyle=*, linecolor=bleu,dotscale=.8](1,6.595)
\uput[r](0,5){\bleu{$B$}}
\uput[u](1,6.59){\bleu{$A$}}
\uput[ur](5,0){\bleu{$C$}}
\uput[dl](4.9,7){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
\uput[ul](-3,0){\prune{$D$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{Partie A - Par lecture graphique}\index{Lectures graphiques}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le signe de $f'(1)$ ? Justifier.
\item Que semble représenter le point $A$ pour la courbe $\mathcal{C}_f$ ?
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Préciser un domaine du plan dont l'aire est égale à $I = \displaystyle\int_{0}^{3} f(x)\:\mathrm{d}x$ unités d'aires.\index{Intégrale}
		\item Recopier sur votre copie le seul encadrement qui convient parmi :
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X}
$0 \leqslant I \leqslant 9$ & $10 \leqslant I \leqslant 12$ & $20 \leqslant I \leqslant 24$
\end{tabularx}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B - Par le calcul}

\medskip

On admet que pour tout réel $x$, $f(x) = (-x + 5)\mathrm{e}^{0,5x}$ et $f'(x) = (1,5 - 0,5x)\mathrm{e}^{0,5x}$. 

On note $f''$ la fonction dérivée seconde de $f$ sur $\R$.

\begin{enumerate}
\item	
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que, pour tout réel $x$, $f''(x) = 0,25(- x + 1)\mathrm{e}^{0,5x}$.\index{Dérivée}
		\item Résoudre l'équation $f''(x) = 0$. Montrer que le point $A$ est un point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_f$.\index{Point d'inflexion}
		\item Sur quel intervalle la fonction $f$ est-elle convexe ? Justifier.\index{Fonction convexe}
	\end{enumerate} 
\item Soit $F$ la fonction définie, pour tout réel $x$, par $F(x) = (-2x+14)\mathrm{e}^{0,5x}$. On admet que $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$.

Calculer $I = \displaystyle\int_{0}^{3} f(x)\:\mathrm{d}x$. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième.\index{Intégrale}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%  fin Asie juin 2013
\newpage
%%%%%%%%%%%%  Centres étrangers juin 2013
\hypertarget{Centresetrangers}{}

\label{Centresetrangers}
\lfoot{\small{Centres Etrangers}}
\rfoot{\small{12 juin  2013}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Centres Etrangers  12 juin  2013~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

Les services de la mairie d'une ville ont étudié l'évolution de la population de cette ville. Chaque année, 12,5\,\% de la population quitte la ville et \np{1200} personnes s'y installent.

En 2012, la ville comptait \np{40000} habitants.

On note $U_n$ le nombre d'habitants de la ville en l'année $2012 + n$.

On a donc $U_0 = \np{40000}$.\index{Suite}

On admet que la suite $\left( U_n \right)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par $U_{n+1} = 0,875 \times U_n + \np{1200}$.

On considère la suite $\left( V_n \right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $V_n = U_n - \np{9600}$.

\medskip

\emph{Les questions numérotées de $1$ à $5$ de cet exercice forment un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions, quatre affirmations sont proposées : une seule réponse est exacte. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Pour chaque question, le candidat notera sur sa copie le numéro de la question suivi de la proposition qui lui semble correcte. Aucune justification n'est demandée.}\index{Q. C. M.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La valeur de $U_1$ est : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~} \np{6200} & \textbf{b.~~} \np{35000} &\textbf{c.~~} \np{36200} &\textbf{d.~~} \np{46200} \\
\end{tabularx}

\medskip

\item La suite $\left(V_n \right)$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2} X}
\textbf{a.~~}   géométrique de raison $-12,5 \%$ &\textbf{c.~~} géométrique de raison $-0,875$\\ 
\textbf{b.~~} géométrique de raison $0,875$ & \textbf{d.~~} arithmétique de raison $-\np{9600}$\\
\end{tabularx}
\index{Suite géométrique}
\medskip
 
\item La suite $\left(U_n \right)$ a pour limite : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~} $+\infty$ 	&\textbf{b.~~} $0$ &\textbf{c.~~} $\np{1200}$ &\textbf{d.~~} $\np{9600}$
\end{tabularx}

\medskip
 
\item  On considère  l'algorithme suivant  :\index{Algorithme}

\begin{center}
\framebox [7.5cm]{\begin{minipage}{7cm} 

\textsf {\textsc{variables} :}

\setlength\parindent{5mm}
$U$, $N$
\setlength\parindent{0mm}

\textsf {\textsc{initialisation} :}

\setlength\parindent{5mm}
$U$ prend la valeur \np{40000}

$N$ prend la valeur 0
\setlength\parindent{0mm}

\textsf {\textsc{traitement} :}

\setlength\parindent{5mm}
Tant que  $U> \np{10000}$

\begin{itemize}
\item[] $N$ prend la valeur $N + 1$
\item[] $U$ prend la valeur $0,875 \times  U + \np{1200}$
\end{itemize}

Fin du Tant que
\setlength\parindent{0mm}

\textsf {\textsc{sortie} :}

\setlength\parindent{5mm}
Afficher $N$
\setlength\parindent{0mm}

\end{minipage}}
\end{center} 

Cet algorithme permet d'obtenir :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2} X}
\textbf{a.~~} la valeur de  $U_{\np{40000}}$ &\textbf{c.~~} le plus petit rang $n$ pour lequel on a

  $U_n \leqslant \np{10000}$\\ 
\textbf{b.~~} toutes les valeurs de $U_0$ à $U_N$ & \textbf{d.~~} le nombre de termes inférieurs à \np{1200}\\
\end{tabularx}

\medskip
  
\item La valeur affichée est  :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~} $33$ 	&\textbf{b.~~} $34$ &\textbf{c.~~} $\np{9600}$ &\textbf{d.~~} $\np{9970,8}$\\
\end{tabularx}
\medskip 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

Une association de consommateurs a fait une enquête sur des ventes de sacs de pommes.

On sait que :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 15\,\% des sacs sont vendus directement dans l'exploitation agricole et le reste est vendu dans des supermarchés.
\item[$\bullet~$] Parmi les sacs vendus directement dans l'exploitation agricole, 80\,\% contiennent des pommes de variétés différentes et les autres ne contiennent qu'un seul type de pommes.
\item[$\bullet~$] Parmi les sacs vendus dans des supermarchés, 10\,\% contiennent des pommes de variétés différentes et les autres ne contiennent qu'un seul type de pommes.
\end{itemize}

On désigne par $E$ l'évènement  \og les sacs de pommes sont vendus sur l'exploitation \fg{} et par $V$ l'évènement \og les sacs contiennent des pommes de variétés différentes\fg.
 
L'évènement contraire de l'évènement $A$ sera noté $\overline{A}$.

On achète de façon aléatoire un sac de pommes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire les trois données de l'énoncé en termes de probabilités.\index{Probabilités}
\item Construire un arbre pondéré traduisant cette situation.\index{Arbre pondéré}
\item Définir par une phrase l'évènement $E \cap  V$ puis calculer sa probabilité.
\item Montrer que la probabilité que le sac acheté contienne des pommes de variétés différentes est égale à $0,205$.
\item Le sac acheté contient des pommes d'une seule variété. 

Calculer la probabilité qu'il ait été acheté directement sur l'exploitation agricole, arrondir le résultat à $0,001$ près.
\item Des producteurs, interrogés lors de l'enquête, disposent ensemble de \np{45000} sacs. Chaque sac, qu'il contienne un seul type de pommes ou des pommes de variétés différentes, est vendu $0,80$~euro sur l'exploitation agricole et $3,40$~euros dans des supermarchés.

Calculer le montant total des ventes qu'ils peuvent prévoir.
\end{enumerate}
  

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

Dans le graphe ci-dessous, les sommets représentent différentes zones de résidence ou d'activités d'une municipalité. Une arête reliant deux de ces sommets indique l'existence d'une voie d'accès principale entre deux lieux correspondants.\index{Graphe}
 
\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=2.5cm,yunit=4cm}
\begin{pspicture}(0,0)(4,1)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{linewidth=1pt,linecolor=bleu}
\cnodeput(0,0){A}{\bleu \bf A}  \cnodeput(1,1){B}{\bleu \bf B}   \cnodeput(2,0.5){C}{\bleu \bf C}  \cnodeput(3,1){D} {\bleu \bf D} \cnodeput(2,0){E}{\bleu \bf E}  \cnodeput(3,0){F} {\bleu \bf F} \cnodeput(4,.5){G}{\bleu \bf G} 
\ncline{C}{A}\ncline{A}{B} \ncline{B}{E} \ncline{E}{C}\ncline{C}{B} \ncline{B}{D} \ncline{D}{G}
\ncline{G}{F} \ncline{F}{E} \ncline{E}{D} \ncline{D}{F}\ncline{F}{C}\ncline{C}{D}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner, sans justifier, le degré de chacun des sommets (la réponse pourra être présentée sous forme de tableau où les sommets seront mis dans l'ordre alphabétique).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la matrice $M$ associée au graphe (les sommets seront mis dans l'ordre alphabétique).\index{Matrices}
		\item On donne la matrice $M^3 =\begin{pmatrix}
2 & 7 & 8 & 5 & 5 & 5 & 3 \\
7 & 8 & 12 & 13 & 12 & 8 & 5\\
8 & 12 & 12 &15 & 13 & 13 & 5\\
5 & 13 & 15 & 12 & 13 & 12 & 8\\
5 & 12 & 13 & 13 & 10 & 12 & 5\\
5 & 8 & 13 & 12 & 12 & 8 & 7\\
3 & 5 & 5 & 8 & 5 & 7 & 2\\
\end{pmatrix}$

Déterminer, en justifiant, le nombre de chemins de longueur 3 reliant $A$ et $F$ puis donner leur liste.
	\end{enumerate}
\item Pour sa campagne électorale, un candidat souhaite parcourir toutes les voies d'accès principales de ce quartier sans emprunter plusieurs fois la même voie.

Montrer qu'un tel parcours est possible.
\item Dans le graphe ci-dessous, les valeurs indiquent, en minutes, les durées moyennes des trajets entre les différents lieux via les transports en commun.

\medskip

\begin{center}
 \psset{xunit=2.5cm,yunit=4cm}
\begin{pspicture}(0,0)(4,1)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{linewidth=1pt,linecolor=bleu}
\cnodeput(0,0){A}{\bleu \bf A}  \cnodeput(1,1){B}{\bleu \bf B}   \cnodeput(2,0.5){C}{\bleu \bf C}  \cnodeput(3,1){D} {\bleu \bf D} \cnodeput(2,0){E}{\bleu \bf E}  \cnodeput(3,0){F} {\bleu \bf F} \cnodeput(4,.5){G}{\bleu \bf G} 
\ncline{C}{A}\ncput*{\prune \bf \sf 4} \ncline{A}{B}\ncput*{\prune \bf \sf 8}  \ncline{B}{E} \ncput*{\prune \bf \sf 12} \ncline{E}{C}\ncput*{\prune \bf \sf 12}  \ncline{C}{B} \ncput*{\prune \bf \sf 8} \ncline{B}{D}\ncput*{\prune \bf \sf 4}  \ncline{D}{G}\ncput*{\prune \bf \sf 20} \ncline{G}{F}\ncput*{\prune \bf \sf 8}  \ncline{F}{E} \ncput*{\prune \bf \sf 4} \ncline{E}{D}\ncput*{\prune \bf \sf 12}  \ncline{D}{F} \ncput*{\prune \bf \sf 24} \ncline{F}{C} \ncput*{\prune \bf \sf 20} \ncline{C}{D}\ncput*{\prune \bf \sf 16} 
\end{pspicture}
\end{center}
 
\medskip
 
Ce même candidat se trouve à la mairie $(A)$ quand on lui rappelle qu'il a un rendez-vous avec le responsable de l'hôpital situé en zone $G$.
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant l'algorithme de Dijkstra, déterminer le chemin de durée minimale que ce candidat devra emprunter pour arriver à son rendez-vous.\index{Algorithme de Dijkstra}
		\item Combien de temps faut-il prévoir pour effectuer ce trajet ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[2~;~8]$ par : 

\[f(x) = \frac{- x^2 + 10x - 16}{x^2}\]

On appelle $(C)$ sa courbe représentative dans un repère.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel de l'intervalle $[2~;~8]$, on a : 

\[f'(x)=\frac{-10x + 32}{x^3}\]\index{Dérivée}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[2~;~8]$.
		\item En déduire le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $[2 ; 8]$.
	\end{enumerate}
\item On appelle $f''$ la dérivée seconde de $f$ sur $[2~;~8]$.

On admet que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[2~;~8]$, on a : 

\[f''(x) = \frac{20x-96}{x^4}\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $f$ est une fonction convexe sur $[4,8~;~8]$.\index{Fonction convexe}
		\item Montrer que le point de $(C)$ d'abscisse $4,8$ est un point d'inflexion.\index{Point d'inflexion}
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction $F$ définie sur $[2~;~8]$ par :

\[F(x) = - x + 10\ln x + \frac{16}{x}\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur  $[2~;~8]$.\index{Primitive}
		\item Calculer  $I = \displaystyle\int_{2}^8 f(x)\:\mathrm{d}x$. \index{Intégrale}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip
 
Tous les jours, Guy joue à un jeu en ligne sur un site, avec trois amis.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Paul se connecte sur le site. La durée $D$ (en seconde) qu'il faut pour réunir les quatre joueurs est une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur l'intervalle $[20~;~120]$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité que les quatre joueurs soient réunis au bout de $60$~secondes.\index{Probabilités}
		\item Calculer l'espérance mathématique de $D$. Interpréter ce résultat.
	\end{enumerate}
\item L'équipe est maintenant réunie et la partie peut commencer. La durée $J$ (en minute) d'une partie est une variable aléatoire qui suit la loi normale $\mathcal{N} (120,~400)$.\index{Loi normale}
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'espérance et l'écart-type de la variable aléatoire $J$.
		\item Montrer l'équivalence : 

\[90 < J < 180 \iff - 1,5 < \frac{J - 120}{20} <3 \]

		\item On définit la variable aléatoire $X$ par $X =\dfrac{J - 120}{20}$.

Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire $X$.
		\item Déterminer la probabilité que la partie dure entre $90$ et $180$ minutes, à $0,001$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%  fin Centres étrangers juin 2013
\newpage
%%%%%%%%%%%%  Métropole juin 2013  
\hypertarget{Metropole}{}

\label{Metropole}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small  21 juin 2013}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES/L Métropole 21 juin 2013~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

Une usine de composants électriques dispose de deux unités de production, A et B.
 
La production journalière de l'usine A est de $600$ pièces, celle de l'unité B est de $900$~pièces.

\medskip
 
On prélève au hasard un composant de la production d'une journée.

\medskip
 
La probabilité qu'un composant présente un défaut de soudure sachant qu'il est produit par l'unité A est égale à $0,014$.
 
La probabilité qu'un composant présente un défaut de soudure sachant qu'il est produit par l'unité B est égale à $0,024$. 

On note :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $D$ l'évènement : \og le composant présente un défaut de soudure \fg 
\item[$\bullet~$] $A$ l'évènement : \og le composant est produit par l'unité A \fg 
\item[$\bullet~$] $B$ l'évènement :\og le composant est produit par l'unité B \fg 
\end{itemize}

On note $p(D)$ la probabilité de l'évènement $D$ et $P_{A}(D)$ la probabilité de l'évènement $D$ sachant que l'évènement $A$ est réalisé.

\bigskip
 
\textbf{Partie A : généralités}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item D'après les données de l'énoncé, préciser $P_{A}(D)$  et $P_{B}(D)$.\index{Probabilités}
		\item Calculer $p(A)$ et $p(B)$.
 	\end{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous :\index{Arbre pondéré}

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A$~}}
	{\TR{$D$} \TR{$\overline{D}$}
	}
\pstree{\TR{$B$~}}
	{\TR{$D$} \TR{$\overline{D}$}
	}
}
\end{center}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $p(A \cap D)$ et $p(B \cap D)$. 
		\item En déduire $p(D)$.
	\end{enumerate}		 
\item On prélève dans la-production totale un composant présentant un défaut de soudure. Quelle est la probabilité qu'il provienne de l'unité A ?
\end{enumerate} 

\bigskip
 
\textbf{Partie B : contrôle de qualité}

\medskip
 
On suppose que les composants doivent présenter une résistance globale comprise entre $195$ et $205$ ohms. 

On admet que la variable aléatoire $R$ qui, à un composant prélevé au hasard dans la production, associe sa résistance, suit une loi normale de moyenne $\mu = 200,5$ et d'écart-type $\sigma = 3,5$.\index{Loi normale}
 
On prélève un composant dans la production.
 
\emph{Les résultats seront arrondis à $\np{0,0001}$~près ; ils pourront être obtenus à l'aide de la calculatrice ou de la table fournie en annexe 1.} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité $p_{1}$ de l'évènement : \og La résistance du composant est supérieure à $211$~ohms \fg.\index{Probabilités} 
\item Calculer la probabilité $p_{2}$ de l'évènement :\og La résistance du composant est comprise dans l'intervalle de tolérance indiqué dans l'énoncé \fg. 
\item On prélève au hasard dans la production trois composants. On suppose que les prélèvements sont indépendants l'un de l'autre et que la probabilité qu'un composant soit accepté est égale à $0,84$. 

Déterminer la probabilité $p$ qu'exactement deux des trois composants prélevés soient acceptés. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip
 
Pour chacune des questions posées, une proposition est faite. Il est demandé de déterminer si cette proposition est vraie ou fausse. en justifiant.

\bigskip
 
\textbf{Question 1}

\medskip
 
Un étudiant a travaillé durant l'été et dispose d'un capital de \np{2500}~euros. 
À partir du premier septembre 2013, il place son capital $c_{0} = \np{2500}$ sur un compte rapportant 0,2\,\% d'intérêts composés par mois et il loue une chambre qui lui coûte $425$~euros par mois.
 
On note $c_{n}$ le capital disponible, exprimé en euros, au début de chaque mois. Par exemple le capital disponible au début du mois d'octobre vaudra :
$c_{1} = 1,002 \times c_{0} - 425 = \np{2080}$~euros.
 
L'année universitaire s'achève à la fin du mois de juillet 2014.

\medskip
 
On admet que la suite des capitaux $\left(c_{n}\right)$ est décrite par les relations :\index{Suite}

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $c_{0} = \np{2500}$ 
\item[$\bullet~$] Pour tout entier naturel $n,\: c_{n+ 1} = 1,002 \times  c_{n} - 425$
\end{itemize} 

\textbf{PROPOSITION :}  Sans apport supplémentaire l'étudiant sera à découvert à partir du début du mois de mars 2014. 

\bigskip
 
\textbf{Question 2}

\medskip 
Sur I = $]0~;~+ \infty[$, on définit la fonction $f$ par 

\[f(x) = 2x + 1 - \ln x.\]
 
\textbf{PROPOSITION :} $f$ est une fonction convexe sur I.\index{Fonction convexe} 

\bigskip
 
\textbf{Question 3}

\medskip
On définit sur l'intervalle I \:$ = ]0~;~+\infty[,\: F(x) = 2x \ln x - 2x + 5$. On a effectué à l'aide d'un logiciel de calcul formel les séquences suivantes: 

\renewcommand\arraystretch{1}
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|X X|}\hline
1	&dériver$((2x) \star \ln (x) - 2x + 5)$&\\ 
	&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}					&$2\star\ln (x)+\dfrac{2\star x}{x}-2$\\ \hline 
2	&simplifier $\left(2\star\ln (x) + \dfrac{2\star x}{x} - 2\right)$&\\  
	&					&$\ln \left(x^2\right)$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{PROPOSITION :} $F$ est une primitive de la fonction $f$ définie sur I par $f(x) = 2\ln x$.\index{Primitive} 

\bigskip
 
\textbf{Question 4}

\medskip

$X$ est une variable aléatoire suivant la loi normale d'espérance $\mu = 0$ et d'écart-type $\sigma = 0,6$.\index{Loi normale}
 
\textbf{PROPOSITION :} $P(- 0,6 \leqslant  X \leqslant 0,6) \approx 0,68$ 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip
 
Une entreprise fabrique des poulies utilisées dans l'industrie automobile. On suppose que toute la production est vendue.
 
L'entreprise peut fabriquer entre $0$ et \np{3600}~poulies paf semaine. On note $x$ le nombre de milliers de poulies fabriquées et vendues en une semaine. ($x$ varie donc dans l'intervalle [0~;~3,6]).
 
Le bénéfice hebdomadaire est noté $B(x)$, il est exprimé en milliers d'euros.

\medskip
 
L'objet de cet exercice est d'étudier cette fonction $B$. Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.

\bigskip
 
\textbf{Partie A : étude graphique}

\medskip
 
On a représenté, en annexe 2, la fonction $B$ dans un repère du plan.
 
Chaque résultat sera donné à cent poulies près ou à cent euros près suivant les cas.
 
Les traits utiles à la compréhension du raisonnement seront laissés sur le graphique et une réponse écrite sur la copie sera attendue pour chaque question posée.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer dans quel intervalle peut varier le nombre de poulies pour que le bénéfice soit supérieur ou égal à \np{13000}~euros.\index{Lectures graphiques} 
\item Quel est le bénéfice maximum envisageable pour l'entreprise ?
 
Pour quel nombre $N$ de poulies fabriquées et vendues semble-t-il être réalisé ? 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : étude théorique}

\medskip
 
Le bénéfice hebdomadaire noté $B(x)$, exprimé en milliers d'euros vaut 

\[B(x) = - 5 + (4 - x)\text{e}^x.\]\index{Fonction exponentielle}
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On note $B'$ la fonction dérivée de la fonction $B$. 

Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle I = [0~;~3,6], on a : $B'(x) = (3 - x)\text{e}^x$.\index{Dérivée} 
		\item Déterminer le signe de la fonction dérivée $B'$ sur l'intervalle I. 
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $B$ sur l'intervalle I. On indiquera les valeurs de la fonction $B$ aux bornes de l'intervalle.
	\end{enumerate} 
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que l'équation $B(x) = 13$ admet deux solutions $x_{1}$ et $x_{2}$, l'une dans l'intervalle [0~;~3] l'autre dans l'intervalle [3~;~ 3,6].
		 
À l'aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée à $0,01$ près de chacune des deux solutions.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L}

\bigskip
 
Dans cet exercice on étudie l'évolution de la dépense des ménages français en programmes audiovisuels (redevance audiovisuelle, billets de cinémas, vidéos, \ldots).

\medskip
 
On note $D_{n}$ la dépense des ménages en programmes audiovisuels, exprimée en milliards d'euros, au cours de l'année $1995 + n$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
année &1995 &1996 &1997 &1998 &1999 &2000 &2001 &2002\\ \hline 
$n$ &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 \\ \hline
$D_{n}$ &4,95 &5,15 &5,25 &5,4 &5,7 &6,3 &6,55 &6,9\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
année 	&2003 	&2004 	&2005 	&2006 	&2007 	&2008 	&2009 	&2010\\ \hline 
$n$ 	&8 		&9 		&10 	&11 	&12 	&13 	&14 	&15\\ \hline 
$D_{n}$	& 7,3 	&7,75 	&7,65 	&7,79	&7,64 	&7,82 	&7,89 	&8,08\\ \hline 
\end{tabularx}

\end{center}

Soit $f$ la fonction définie, pour tout nombre réel $x$, par 

\[f(x) = - \np{0,0032}x^3 + 0,06x^2 + 5.\]
 
Pour tout entier $n$ vérifiant $0 \leqslant n \leqslant 20$, on décide de modéliser la dépense des ménages français en programmes audiovisuels exprimée en milliards d'euros, au cours de l'année $1995 + n$ par le nombre $f(n)$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f(5)$. 
\item Déterminer le pourcentage $p$, de l'erreur commise en remplaçant $D_{5}$ par $f(5)$. 
 
(Le pourcentage d'erreur est obtenu par le calcul :\index{Pourcentages} 

$p = \dfrac{\text{valeur réelle} - \text{valeur estimée}}{\text{valeur réelle}}$	et le résultat  sera donné à 0,1\,\% près.) 
\item En utilisant la fonction $f$, quelle estimation de la dépense totale peut-on effectuer pour l'année 2013 ? (On arrondira le résultat au centième de milliard d'euros). 
\item On veut utiliser la fonction $f$ pour estimer la dépense moyenne des ménages entre le 1\up{er} janvier 1995 et le 1\up{er} janvier 2015. 

On calcule pour cela $M = \dfrac{1}{20} \displaystyle\int_{0}^{20} f(x)\:\text{d}x$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~20].\index{Primitive} 
		\item Calculer $M$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip
 
Un chauffeur-livreur réside en Italie dans la ville d'Aoste.
 
Quatre fois par mois, son employeur l'envoie livrer du matériel informatique dans la ville de Florence.
 
Il est établi que le trajet en camion coûte, en carburant, $0,51$ euro au kilomètre. Le chauffeur dispose d'un budget mensuel de \np{2200}~euros pour son carburant. Ce qu'il réussit à économiser lui permet de toucher une prime P équivalente en fin de mois.
 
li consulte donc la carte routière ci-dessous pour optimiser ses trajets.
 
Le graphe ci-dessous indique les distances entre différentes villes d'Italie : Aoste, Milan, Parme, Turin, Gènes, La Spézia, Bologne et Florence. Chaque ville est désignée par son initiale.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9,7)
\cnodeput(0.3,6){A}{A}
\cnodeput(5.2,6.2){B}{M}
\cnodeput(1.9,4.7){C}{T}
\cnodeput(6.8,4.9){D}{P}
\cnodeput(3.6,3.3){E}{G}
\cnodeput(5.2,1.9){G}{LS}
\cnodeput(8.5,0.4){H}{F}
\cnodeput(8.5,3.5){I}{B}
\ncarc{A}{B} \ncput*{174}
\ncarc{A}{C} \ncput*{120}
\ncarc{C}{B} \ncput*{140}
\ncarc{D}{B} \ncput*{126}
\ncarc{C}{D} \ncput*{246}
\ncarc{C}{E} \ncput*{168}
\ncarc{E}{G} \ncput*{108}
\ncarc{D}{G} \ncput*{119}
\ncarc{D}{I} \ncput*{98}
\ncarc{H}{I} \ncput*{104} 
\ncarc{H}{G} \ncput*{145}
\end{pspicture}
\end{center} 

Les deux parties sont indépendantes.

\bigskip
 
\textbf{Partie A : étude du trajet}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer le trajet le plus court entre Aoste et Florence. (On indiquera les villes parcourues et l'ordre de parcours).\index{Algorithme de Dijkstra} 
\item Déterminer le budget carburant nécessaire aux quatre voyages aller-retour du mois (le résultat sera arrondi à l'euro près). 

En déduire le montant de la prime P qui lui sera versée en fin de mois, à l'euro près. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : traversée de Parme}

\medskip

Durant son trajet, le chauffeur est obligé de traverser Parme et ses très nombreux feux tricolores. Lorsque le feu est orange, le chauffeur se comporte comme lorsqu'il est rouge, il s'arrête.
 
L'expérience lui a permis d'établir que s'il se présente à un feu, il se produit les évènements suivants  :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Arrivé au feu, celui-ci est au vert (V) : la probabilité que le suivant soit vert est de $0,85$. 
\item[$\bullet~~$] Arrivé au feu, celui-ci est orange ou rouge (R) : la probabilité que le suivant soit vert est de $0,30$.
\end{itemize}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Représenter la situation par un graphe probabiliste.\index{Graphe probabiliste} 
\item Indiquer la matrice de transition $M$ du graphe, en considérant les sommets dans l'ordre (V,\: R) en ligne comme en colonne.\index{Matrices} 
\item Le premier feu rencontré est vert. La matrice $P_{1}$ donnant l'état initial est donc (1\quad 0). 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les matrices $P_{2} = P_{1} \times  M$ et $P_{3} = P_{2} \times M$. (Le détail des calculs n'est pas demandé.
		\item  Conclure quant à la probabilité $p$ de l'évènement \og Le chauffeur doit s'arrêter au troisième feu \fg.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage
 
{\large\textbf{Annexes - à rendre avec la copie}}

\bigskip
 
\textbf{Annexe 1}

\medskip
 
\textbf{Extrait de la table de la loi normale pour \boldmath$\mu = 200,5$ \unboldmath et \boldmath$\sigma = 3,5$\unboldmath.}

\begin{center}
\begin{tabular}{|*{6}{c|}}\hline
$t$&$p(X \leqslant t)$ &$t$& $p(X\leqslant t)$&$t$&$p(X \leqslant t)$\\ \hline
186 &\np{0,0000} &196 &\np{0,0993} &206 &\np{0,9420}\\ \hline 
187 &\np{0,0001} &197 &\np{0,1587} &207 &\np{0,9684}\\ \hline 
188 &\np{0,0002} &198 &\np{0,2375} &208 &\np{0,9839}\\ \hline  
189 &\np{0,0005} &199 &\np{0,3341} &209 &\np{0,9924}\\ \hline  
190 &\np{0,0013} &200 &\np{0,4432} &210 &\np{0,9967}\\ \hline  
191 &\np{0,0033} &201 &\np{0,5568} &211 &\np{0,9987}\\ \hline  
192 &\np{0,0076} &202 &\np{0,6659} &212 &\np{0,9995}\\ \hline  
193 &\np{0,0161} &203 &\np{0,7625} &213 &\np{0,9998}\\ \hline  
194 &\np{0,0316} &204 &\np{0,8413} &214 &\np{0,9999}\\ \hline  
195 &\np{0,0580} &205 &\np{0,9007} &215 &\np{1,0000}\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
 
\textbf{Annexe 2}

\vspace{0,5cm}

\begin{center} 
\psset{xunit=3cm,yunit=0.6cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.2,-1.5)(3.7,15.5)
\multido{\n=0.0+0.1}{38}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-1)(\n,15.5)}
\multido{\n=-1.0+0.5}{34}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(3.7,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.2,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,-1.5)(3.7,15.5)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{3.6}{4 x sub 2.71828 x exp mul 5 sub}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%  fin Métropole juin 2013
\newpage
%%%%%%%%%%%%  Métropole  dévoilé juin 2013
\hypertarget{Metropoledevoile}{}

\label{Metropoledevoile}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small  21 juin 2013}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES/L Métropole 21 juin 2013 (sujet dévoilé)~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).\index{Q. C. M.}
 
Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. 

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. 

Aucune justification n'est demandée. 

Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$. Le tableau de variations de la fonction $f$ est le suivant :\index{Lectures graphiques}
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,0)(6.5,2.5)
\psframe(-0.5,0)(6.5,2.5)\psline(-0.5,2)(6.5,2)\psline(0.5,0)(0.5,2.5)
\uput[u](0,2){$x$} \uput[u](1,2){$- \infty$} \uput[u](2,2){$- 5$} 
\uput[u](3.5,2){$- 1$} \uput[u](5,2){$7$} \uput[u](6,2){$+ \infty$}
\rput(0,1){$f(x)$} \rput(2,1){$0$}\uput[u](3.5,0){$- 4$}\rput(5,1){$0$}
\psline{->}(1,1.5)(3,0.5) \psline{->}(4,0.5)(6,1.5)
\end{pspicture}
\end{center} 

	\begin{enumerate}\index{Intégrale}
		\item L'intégrale $\displaystyle\int_{- 1}^7  f(x)\:\text{d}x$ est strictement positive. 
		\item L'intégrale $\displaystyle\int_{- 1}^7  f(x)\:\text{d}x$ est strictement négative. 
		\item L'intégrale $\displaystyle\int_{- 1}^7  f(x)\:\text{d}x$ est nulle.
		\item Le tableau de variations ne permet pas de connaître le signe de l'intégrale 
$\displaystyle\int_{- 1}^7  f(x)\:\text{d}x$.
	\end{enumerate} 
\item Dans une ville de \np{23000} habitants, la municipalité souhaite connaître l'opinion de ses concitoyens sur la construction d'un nouveau complexe sportif. Afin de l'aider dans sa décision, la municipalité souhaite obtenir une estimation de la proportion de personnes favorables à la construction de ce complexe sportif, au niveau de confiance de 95\,\% avec un intervalle d'amplitude inférieure à 4\,\%.\index{Intervalle de confiance}
 
Le nombre minimum de personnes que la municipalité doit interroger est de :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} $625$ &\textbf{b.~~} $\np{2500}$ &\textbf{c.~~} $920$ &\textbf{d.~~} $874$
\end{tabularx}

\medskip  
\item Soit $f$ la fonction dérivable définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{2 \ln x}{x + 1} - 4$.

Dans le plan muni d'un repère, la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d'abscisse $1$ admet pour équation :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~}  $y = x + 3$&\textbf{b.~~} $y = x - 5$&\textbf{c.~~} $y = - x - 3$&\textbf{d.~~} $y = 2x - 6$
\end{tabularx}

\medskip 
\item On résout dans $\R$ l'inéquation : $\ln x + \ln 2 \geqslant \ln(3x - 6)$. 

L'ensemble des solutions est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~}  $]2~;~6]$&\textbf{b.~~} $[6~;~+ \infty[$&\textbf{c.~~} $]0~;~6]$&\textbf{d.~~} $]0~;~4]$
\end{tabularx}

\medskip  
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L}

\bigskip

Un industriel étudie l'évolution de la production des jouets sur la machine VP1OOO de son entreprise. En 2000, lorsqu'il l'a achetée, elle pouvait produire \np{120000}~jouets par an.
 
Du fait de l'usure de la machine, la production diminue de 2\,\% par an. 

On modélise le nombre total de jouets fabriqués au cours de l'année $(2000 + n)$ par une suite $\left(U_{n}\right)$. On a donc 

$U_{0} = \np{120000}$.

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n :\: U_{n} = \np{120000} \times 0,98^n$.\index{Suite géométrique} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quel a été le nombre de jouets fabriqués en 2005 ? 
		\item Déterminer à partir de quelle année, le nombre de jouets fabriqués sera strictement inférieur à \np{100000}. 
		\item Cet industriel décide qu'il changera la machine lorsqu'elle produira moins de \np{90000}~jouets par an. 

Recopier et compléter les lignes 8 et 9 de l'algorithme ci-dessous afin qu'il permette de déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $U_{n} < \np{90000}$.\index{Algorithme}

\begin{center}

\begin{tabular}{l|l l} 
1	&\textbf{Variables :} 	&$A$ est un réel\\ 
2 	&						&$n$ est un entier naturel\\ 
3 	&						&\\
4 	&\textbf{Initialisation :}& Affecter à $A$ la valeur \np{120000}\\ 
5 	&						&Affecter à $n$ la valeur $0$\\ 
6	&						&\\ 
7 	&\textbf{Traitement :}	& Tant que $A \geqslant  \np{90000}$\\ 
8	&						& \hspace{0,5cm}$n$ prend la valeur \ldots\\ 
9	&						& \hspace{0,5cm}\ldots\\ 
10	& 						&Fin Tant que\\ 
11	&						&\\ 
12 &\textbf{Sortie :}		& Afficher $n$\\
\end{tabular}
\end{center}
 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $1 + 0,98 + 0,98^2 + \cdots + 0,98^n$ en fonction de $n$. 
		\item On pose $S_{n} = U_{0} + U_{1} + U_{2} + \cdots	+ U_{n}$. 
		
Montrer que $S_{n} = \np{6000000} \times \left(1 - 0,98^{n+1}\right)$. 
		\item En déduire le nombre total de jouets fabriqués pendant les $15$~premières années de production.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip
 
Dans une entreprise, la société de débit boisson CAFTHÉ installe deux machines : l'une ne sert que du café et l'autre ne sert que du thé.
 
Chaque jour lors de la pause déjeuner, chaque employé de l'entreprise choisit une boisson, et une seule : café ou thé. On suppose que le nombre total d'employés de l'entreprise reste constant au cours du temps. 

La société CAFTHÉ pense que la machine à café sera toujours la plus utilisée. Une enquête, effectuée sur plusieurs jours, auprès des employés pour connaitre leurs choix de boisson a montré que :
 
$\bullet~~$97\,\% des employés qui choisissent un café un jour donné prennent encore un café le lendemain.
 
$\bullet~~$98\,\% des employés qui choisissent un thé un jour donné prennent encore un thé le lendemain. 

On admet que cette tendance se poursuit les jours suivants.

\medskip
 
Le premier jour, 70\,\% des employés ont choisi un café. 

On note $C$ l'état \og L'employé choisit un café \fg{} et $T$ l'état \og L'employé choisit un thé \fg. 

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note :
 
$\bullet~~$$c_{n}$ la probabilité de l'évènement \og un employé, pris au hasard, choisit un café le jour n\fg;
 
$\bullet~~$$t_{n}$ la probabilité de l'évènement \og un employé, pris au hasard, choisit un thé le jour $n$ \fg ;
 
$\bullet~~$$P_{n}$ la matrice $\left(c_{n}\quad  t_{n}\right)$ correspondant à l'état probabiliste le jour $n$.

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item Traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste de sommets $C$ et $T$.\index{Graphe probabiliste} 
\item Déterminer la matrice $P_{1}$ donnant l'état probabiliste le premier jour.\index{Matrices} 
\item La matrice de transition $M$ de ce graphe, en considérant les sommets dans l'ordre $C$ et $T$ est $M = \begin{pmatrix}0,97&0,03\\0,02&0,98\end{pmatrix}$. 

Déterminer la probabilité, arrondie au centième, qu'un employé choisisse un thé le quatrième jour.\index{Probabilités} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'état stable est $(0,4\quad 0,6)$. 
		\item Est-ce que la société CAFTHÉ avait raison quant à l'utilisation de la machine à café à long terme?
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $P_{n+1}$ en fonction de $P_{n}$. 

En déduire que pour tout entier $n$, on a $c_{n + 1} = 0,95 \times c_{n} + 0,02$. 
		\item On considère l'algorithme suivant :\index{Algorithme}
	
\medskip
\begin{tabular}{|l l} 
\textbf{Variables :}& 	$A$ est un réel\\ 
&$i$ et $n$ sont des entiers naturels\\ 
\textbf{Entrée :}& Saisir $n$\\ 
\textbf{Initialisation :} &Affecter à $A$ la valeur $0,70$ \\
\textbf{Traitement :} &Pour $i$ de $1$ à $n$\\ 
&\hspace{0,5cm}Affecter à $A$ la valeur $0,95 \times A + 0,02$\\ 
&Fin Pour \\
\textbf{Sortie :} &Afficher $A$ \\
\end{tabular}
\medskip

En faisant apparaître les différentes étapes, donner la valeur affichée par cet algorithme lorsque la valeur de $n$ est égale à 3.
 
Que permet de déterminer cet algorithme ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip
 
\emph{Dans cet exercice, sauf indication contraire, les résultats seront donnés sous forme décimale, arrondis éventuellement au millième.}

\medskip
 
\emph{Les parties A et B sont indépendantes.}

\medskip
 
On s'intéresse à une entreprise chargée de mettre du lait en bouteilles.

\bigskip
 
\textbf{Partie A : Étude du processus de mise en bouteille}

\medskip
 
La bouteille vide arrive sur un tapis roulant et passe successivement dans 2 machines $M_{1}$ et $M_{2}$. La machine $M_{1}$ remplit la bouteille de lait et la machine $M_{2}$ met le bouchon.
 
Une étude statistique portant sur un grand nombre de bouteilles de lait à la fin de la chaîne a permis d'établir que 5\,\% des bouteilles ne sont pas correctement remplies et que parmi elles 8\,\% ont un bouchon. D'autre part, 4\,\% des bouteilles correctement remplies n'ont pas de bouchon.
 
On choisit une bouteille de lait au hasard à la fin de la chaîne et on note :
 
$\bullet~~$$R$ l'évènement : \og la bouteille est correctement remplie \fg{} ; 

$\bullet~~$$B$ l'évènement: \og la bouteille a un bouchon \fg.
 
\textbf{Rappel des notations :}
 
Si $A$ et $B$ sont deux évènements donnés, $P(A)$ désigne la probabilité que l'évènement $A$ se réalise et $P_{B}(A)$ désigne la probabilité de l'évènement $A$ sachant que l'évènement $B$ est réalisé.
 
$\overline{A}$ désigne l'évènement contraire de l'évènement $A$.

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item Traduire l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.\index{Arbre pondéré} 
\item Déterminer la probabilité que la bouteille soit correctement remplie et qu'elle ait un bouchon.\index{Probabilités} 
\item Montrer que la probabilité que la bouteille ait un bouchon est égale à $0,916$. 
\item Sachant que la bouteille a un bouchon, déterminer la probabilité qu'elle soit correctement remplie. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : Production journalière}

\medskip
 
Une étude sur les dix premières années a montré que la production journalière de bouteilles de lait dans cette entreprise peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale de moyenne \np{2000} et d'écart type $200$.\index{Loi normale}

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité que la production journalière soit comprise entre \np{1800} et \np{2200}~bouteilles. 
\item Le service maintenance doit intervenir sur les machines si la production journalière devient inférieure à \np{1600}~bouteilles. Déterminer la probabilité que le service maintenance intervienne sur les machines.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Rappel :}
 
Si $X$ est une variable aléatoire qui suit la loi normale $\mathcal{N}\left(\mu~;~\sigma^2\right)$ alors : 

\begin{description}
\item[ ] $\bullet~~$$P\left(X \in [\mu - \sigma~;~\mu + \sigma] \right) \approx 0,683$
\item[ ] $\bullet~~$$P\left(X \in [\mu - 2\sigma~;~\mu +2\sigma] \right) \approx 0,954$
\item[ ] $\bullet~~$$P\left(X \in [\mu - 3\sigma~;~\mu + 3\sigma] \right) \approx 0,977$ 
\end{description}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip
 
Dans un laboratoire, des scientifiques ont étudié pendant 10~ans l'effet de la pollution sur une population d'insectes car ils craignaient l'extinction de cette espèce. 
L'étude a été effectuée sur un échantillon de \np{25000}~insectes.

\medskip 
Les deux parties peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.

\medskip
 
\textbf{Partie A :}

\medskip
 
Une étude a permis de montrer que la population d'insectes diminue très rapidement lors des quatre premières années. La population peut être modélisée par la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~4] par 

\[f(t) = 25\text{e}^{-0,5t},\]\index{Fonction exponentielle}

où $t$ est le temps exprimé en années et $f(t)$ le nombre de milliers d'insectes.

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer le pourcentage de diminution du nombre d'insectes la première année. Arrondir à 1\,\%. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $F$ définie sur l'intervalle [0~;~4J par 
		\[F(t) = - 50\text{e}^{-0,5t}\]
		
est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~4]. \index{Primitive}
		\item Calculer la valeur exacte de $\displaystyle\int_{2}^4  25\text{e}^{-0,5t}\:\text{d}t$. 
		\item En déduire la population moyenne d'insectes entre le début de la deuxième et le début de la quatrième année.\index{Valeur moyenne}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textbf{Partie B :}

\medskip
 
Après de longues recherches, un biologiste a mis au point un traitement pour essayer de sauver cette espèce. Ce traitement est administré aux insectes à partir de la quatrième année.
 
L'évolution de la population est alors modélisée par la fonction $g$ définie sur l'intervalle [4~;~10] par : 

\[g(t) = 20\text{e}^{-0,1t^2} + t - 4,65.\]\index{Fonction exponentielle}
 
\begin{enumerate}
\item On désigne par $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$.
 
Montrer que pour réel $t$ de l'intervalle [4~;~10], $g'(t) = - 4t\text{e}^{-0,1t^2} + 1$. 
\item On admet que la fonction $g'$ est continue et strictement croissante sur l'intervalle [4~;~10].\index{Dérivée}
 
Montrer que l'équation $g'(t) = 0$ a une solution et une seule $\alpha$ dans l'intervalle [4~;~10]. 

Donner la valeur arrondie au dixième de $\alpha$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En déduire le signe de $g'(t)$ sur l'intervalle [4~;~10]. 
		\item Donner le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle [4~;~10]. 
		\item Que peut-on supposer quant à l'effet du traitement sur la population d'insectes ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%  fin Métropole  dévoilé juin 2013
\newpage
%%%%%%%%%%%   Polynésie septembre 2013
\hypertarget{Polynesiesept}{}

\label{Polynesiesept}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{4 septembre 2013}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 

\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES  Polynésie 4 septembre 2013~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\bigskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Les questions sont indépendantes les unes des autres. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est correcte.\\ 
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.\\ 
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'apporte, ni n'enlève aucun point.}\index{Q. C. M.} 

\medskip

On a tracé ci-dessous la courbe représentative $C_{f}$ d'une fonction $f$ définie sur $\R$ ainsi que sa tangente au point A d'abscisse 2. 

\begin{center}
\psset{unit=0.45cm}
\begin{pspicture*}(-20,-5)(6.5,7)
\multido{\n=-20+2}{14}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-5)(\n,7)}
\multido{\n=-4+2}{6}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](-20,\n)(6,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-19.9,-5)(6.4,6.9)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-20}{3.5}{1.64872  2 x sub mul 2.71828 0.25 x mul exp mul}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1pt]{-2}{4}{2.71828   2 x sub mul}
\psline[linestyle=dashed](-2,0)(-2,4)(0,4)
\uput[ur](2,0){A}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Quelle est l'équation de la tangente à $C_{f}$ en A ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~} $y = - \text{e}x + 2\text{e}$& 	\textbf{b.~} $y = 3x + 2\text{e}$& 
\textbf{c.~} $y = \text{e}x + 3\text{e}$&\textbf{d.~} $y = - 5x + 4\text{e}$
\end{tabularx}
\medskip

\item La fonction $f$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}  
\textbf{a.~} concave sur $]- \infty~;~0]$& 
\textbf{b.~} convexe sur $]- \infty~;~0]$ &
\textbf{c.~} concave sur [0~;~2]&
\textbf{d.~} convexe sur [0~;~2]
\end{tabularx}
\medskip\index{Fonction convexe}

\item La valeur de $\displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x$ est: 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}  
\textbf{a.~} $50\text{e}$&\textbf{b.~} $16\text{e} - 24\sqrt{\text{e}}$& 
\textbf{c.~} $0,1\text{e}$&\textbf{d.~} $- 5\text{e} - \sqrt{\text{e}}$
\end{tabularx}
\medskip\index{Intégrale}

\item Parmi les 4 courbes représentées ci-dessous, laquelle représente la fonction dérivée de la fonction $f$ ?\index{Dérivée}\index{Lectures graphiques}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X} 
\psset{unit=0.3cm}
\begin{pspicture}(-9,-6)(9,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-9,-6)(9,5)
\rput(-8,5){\textbf{a.}}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{-9}{3.9}{1.64872  2 x add 4 div  mul 2.71828 0.25 x mul exp mul neg}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}& \psset{unit=0.3cm}
\begin{pspicture}(-10,-4)(8,8)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-10,-4)(8,8)
\rput(-9,7){\textbf{b.}}
\pscurve[linewidth=1.25pt](-10,2)(-6,1.95)(0,1)(2,0)(3,2.25)(4,8)
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}\\
\psset{unit=0.3cm}
\begin{pspicture}(-12,-4)(4,8)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-12,-4)(4,8)
\rput(-11,6){\textbf{c.}}
\pscurve[linewidth=1.25pt](-12,1)(-6,0.9)(-2,0.4)(0,0)(1,1.6)(2,8)
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}&\psset{unit=0.3cm}
\begin{pspicture}(-10,-5)(8,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-10,-5)(8,5)
\rput(-9,5){\textbf{d.}}
\pscurve[linewidth=1.25pt](-10,1.2)(-4,1)(0,0.4)(2,0)(6,-2)(8,-4.5)
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{tabularx}
 
\end{enumerate} 

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats de ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip
 
\emph{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\parbox{0.52\linewidth}{Un club sportif organise une course d'orientation. Sept postes de contrôles (appelés balises) sont prévus. 
 
Les sept balises notées B1 ; B2 ; \ldots ; B7 sont représentées sur le graphe ci-contre. Les arêtes du graphe représentent les chemins possibles entre les balises et sur chaque arête est indiqué le temps de parcours estimé en minutes.}\hfill
\parbox{0.43\linewidth}{\begin{pspicture}(6,5)
%\psgrid
\pspolygon(0.5,2)(1.2,4)(3.5,4.5)(2.5,2)%B3B1B2B4
\psline(3.5,4.5)(4.8,3)(2.5,2)(5.8,2)(4.8,3)%B2B6B4B7B6
\pspolygon(5.8,2)(2.5,2)(2.3,0.5)%B7B4B5
\psline(2.5,2)(0.5,2)(2.3,0.5)%B4B3B5
\uput[ul](0.82,3){13}\uput[u](2.2,4.2){21}\uput[ur](4.3,3.6){6}
\uput[l](3,3.2){9}\uput[ul](3.8,2.6){4}\uput[ur](5.3,2.4){5}
\uput[u](1.6,2){8}\uput[u](4.5,2){13}\uput[r](2.4,1.4){2}
\uput[dl](1.4,1.2){5}\uput[dr](4,1.2){15}
\uput[l](0.5,2){B3} \uput[ul](1.2,4){B1} \uput[ur](3.5,4.5){B2} 
\uput[ur](4.8,3){B6} \uput[r](5.8,2){B7} \uput[d](2.3,0.5){B5} 
\uput[ul](2.5,2){B4}  
\end{pspicture}}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Le graphe est-il connexe ? Justifier la réponse.\index{Graphe connexe}  
		\item Existe-t-il un parcours qui permet de revenir à une balise de départ en passant une et une seule fois par tous les chemins? Justifier la réponse. 
		\item Existe-t-il un parcours qui permet de relier deux balises différentes en passant une et une seule fois par tous les chemins ?
	\end{enumerate} 
\item Les organisateurs décident de situer le départ à la balise B1 et l'arrivée à la balise B7. Chaque participant doit rallier la balise B7 en un minimum de temps. Ils ne sont pas tenus à emprunter tous les chemins.
 
Quelle est la durée minimale du parcours possible et quel est ce parcours ? Justifier votre réponse à l'aide d'un algorithme.\index{Algorithme de Dijkstra}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Depuis l'année 2011, ce club sportif propose à ses licenciés une assurance spécifique. La première année, 80\,\% des licenciés y ont adhéré. En 2012, 70\,\% des licenciés ayant adhéré en 2011 ont conservé cette assurance et 60\,\% de ceux n'ayant pas adhéré en 2011 ont adhéré en 2012. 

En supposant que cette évolution se maintienne, le club sportif souhaite savoir quel pourcentage de licenciés adhèrera à cette assurance à plus long terme. 
On note : 	\begin{tabular}{l}
A \og  le licencié est assuré \fg\\ 
B \og le licencié n'est pas assuré \fg
\end{tabular} 

Pour tout entier $n$ non nul, l'état probabiliste du nombre d'assurés l'année $2011 + n$ est défini par la matrice  ligne $P_{n} = \left(x_{n}\quad y_{n}\right)$ où $x_{n}$ désigne la probabilité pour un licencié d'être assuré l'année $2011 + n$.\index{Matrices}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets A et B. 
\item Écrire la matrice de transition $M$ de ce graphe en prenant les sommets A et B dans cet ordre. 
\item En remarquant que $P_{0} = (0,8\quad  0,2)$, déterminer $P_{1}$. Interpréter ce résultat. 
\item Le club sportif maintiendra son offre d'assurance spécifique si le nombre d'assurés reste supérieur à 55\,\%. L'évolution prévue lui permet-elle d'envisager le maintien de son offre à long terme ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip
  
Une entreprise qui produit du papier recyclé, a été créée en l'année 2000 et le tableau ci-dessous donne l'évolution de sa production.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.4cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année 				&2000 	&2002 	&2004 	&2006 	&2008 	&2010 	&2012\\ \hline 
Rang de l'année 	&0 		&2 		&4 		&6 		&8 		&10 	&12\\ \hline  
Production en tonnes &\np{7000} &\np{18811} &\np{36620} &\np{49000} &\np{58012} &\np{63098} &\np{68500}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le pourcentage d'augmentation de la production entre les années 2000 et 2012. On donnera le résultat arrondi sous la forme $a\,\%$ où $a$ est un nombre entier.\index{Pourcentages} 
		\item Déterminer un nombre réel positif qui est solution de l'équation :
		
$x^{12} = 9,79$. Interpréter ce nombre en termes de taux d'évolution de la production de cette entreprise entre les années 2000 et 2012. On donnera le résultat arrondi sous la forme $b\,\%$ où $b$ est un nombre entier.
	\end{enumerate} 
\item L'entreprise fait appel à un cabinet d'experts pour modéliser l'évolution de la production de l'entreprise afin de faire une projection jusqu'en 2020. Le cabinet d'experts propose la fonction $f$ définie sur l'intervalle [2~;~20] par : 

\[f(x) = \np{27131}\ln x + 0,626 x^3\]\index{Fonction avec logarithme}
 
où $x$ représente le rang de l'année et $f(x)$ le nombre de tonnes produites. 
	\begin{enumerate}
		\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle [2~;~20]. Déterminer $f'(x)$ puis les variations de la fonction $f$ sur [2~;~20].\index{Dérivée} 
		\item À l'aide de cette modélisation, l'entreprise peut-elle dépasser une production de \np{90000}~tonnes de papier recyclé avant l'année 2020 ? Justifier.
	\end{enumerate} 
\item Une commande de bobines de papier de 2,20 m de large et pesant chacune environ 500 kg est faite à cette entreprise. Le poids d'une bobine varie en fonction de nombreux facteurs.
 
Soit $X$ la variable aléatoire qui à toute bobine choisie au hasard dans cette commande associe son poids. On admet que $X$ suit une loi normale de paramètres $\mu = 500$ et $\sigma = 2$. \index{Loi normale}
	\begin{enumerate}
		\item Toute bobine dont le poids est inférieur à $496$~kg est refusée.
		 
Quelle est la probabilité qu'une bobine choisie au hasard dans cette commande soit refusée ? 

Donner une valeur arrondie du résultat à $10^{- 4}$. 
		\item L'entreprise perd de l'argent pour toute bobine dont le poids est supérieur à $506$~kg.
		 
Quelle est la probabilité qu'une bobine choisie au hasard dans cette commande fasse perdre de l'argent à l'entreprise ? Donner une valeur arrondie du résultat à $10^{- 4}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

La population de l'Allemagne (nombre de personnes résidant sur le territoire allemand) s'élevait à \np{81751602}~habitants au premier janvier 2011.
 
De plus, on sait qu'en 2011, le nombre de naissances en Allemagne ne compense pas le nombre de décès, et sans tenir compte des flux migratoires on estime le taux d'évolution de la population allemande à $- 0,22\,\%$. On admet que cette évolution reste constante les années suivantes.
 
\emph{Les résultats seront arrondis à l'unité}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
On propose l'algorithme suivant: 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{l|X|}\cline{2-2}
\textbf{Entrée :}& Saisir le nombre entier naturel non nul $S$.\\ \cline{2-2} 
\textbf{Traitement :}&Affecter à $U$ la valeur \np{81751602}\quad  \{initialisation\}\\  
&Affecter à $N$ la valeur 0\phantom{\np{1751602}} \quad  \{initialisation\}\\ 
&Tant que $U  > $ S\\ 
&\qquad Affecter à $U$ la valeur $\np{0,9978} \times  U$\\ 
&\qquad Affecter à $N$ la valeur $N + 1$\\ 
&Fin tant que\\ \cline{2-2} 
\textbf{Sortie :}& Afficher $N$\\ \cline{2-2} 
\end{tabularx}
\end{center} \index{Algorithme}

On saisit en entrée le nombre $S = \np{81200000}$. Recopier et compléter le tableau suivant autant que nécessaire en arrondissant les résultats à l'unité. Quel nombre obtient-on en sortie ? 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$U$				&\np{81751602}	&\np{81571748}	&\ldots&\\ \cline{1-3}\cline{4-5}
$N$				& 0 			&				&\ldots&\\ \cline{1-3}\cline{4-5}
Test $U  >  S$	& Vrai			&				&\ldots&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On note $u_{n}$ l'effectif de la population de l'Allemagne au premier janvier $2011 + n$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $u_{0}$ et $u_{1}$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique, de 1\up{er} terme \np{81751602} et de raison \np{0,9978}.\index{Suite géométrique} 
		\item Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate} 
\item Si cette évolution de $- 0,22\,\%$ se confirme : 
	\begin{enumerate}
		\item Quel serait l'effectif de la population de l'Allemagne au premier janvier 2035 ? 
		\item En quelle année la population passera-telle au-dessous du seuil de \np{81200000}~habitants ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip

Dans cette partie, on tient compte des flux migratoires : on estime qu'en 2011 , le solde migratoire (différence entre les entrées et les sorties du territoire) est positif en Allemagne et s'élève à \np{49800}~personnes.
 
On admet de plus que le taux d'évolution de $- 0,22\,\%$ ainsi que le solde migratoire restent constants les années suivant 2011.\index{Pourcentages}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Modéliser cette situation à l'aide d'une suite $\left(v_{n}\right)$ dont on précisera le premier terme $v_{0}$ ainsi qu'une relation entre $v_{n+1}$ et $v_{n}$.\index{Suite} 
\item Calculer $v_{1}$ et $v_{2}$. Que peut-on conjecturer sur l'évolution de la population de l'Allemagne ? 
\end{enumerate}

(\emph{Données recueillies par l'Institut national d'études démographiques}) 
%%%%%%%%%%%%   fin Polynésie septembre 2013
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Antilles-Guyane 11 septembre 2013
\hypertarget{Antillessept}{}

\label{Antillessept}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small 12 septembre 2013}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Antilles--Guyane 12 septembre 2013~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

\emph{Dans tout l'exercice, les résultats seront arrondis à $10^{- 2}$ près.}

\medskip

\emph{Les parties A, B et C peuvent être traitées indépendamment.}

\medskip
 
Deux roues sont disposées sur le stand d'un forain. Elles sont toutes deux partagées en 10 secteurs identiques. 

La première comporte 5 secteurs rouges, 3 bleus et 2 verts. 

La deuxième comporte 7 secteurs noirs et 3 jaunes. 

Quand on fait tourner une de ces deux roues, un repère indique, lorsqu'elle s'arrête, un secteur. Pour chacune des deux roues, on admet que les 10 secteurs sont équiprobables.
 
Le forain propose le jeu suivant : on fait tourner \textbf{la première roue} et, lorsqu'elle s'arrête, on considère la couleur du secteur indiqué par le repère.

\medskip
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item Si c'est le rouge, le joueur a perdu et la partie s'arrête. 
\item Si c'est le bleu, la partie continue; le joueur fait tourner \textbf{la deuxième roue} : si le repère indique un secteur jaune, le joueur a gagné un lot et s'il indique un secteur noir, le joueur a perdu. 
\item Si c'est le vert, la partie continue ; le joueur fait tourner \textbf{la deuxième roue} : si le repère indique un secteur noir, le joueur a gagné un lot et s'il indique un secteur jaune, le joueur a perdu.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Le joueur fait une partie.
 
On note les évènements suivants :
 
$R$ : \og Le repère de la première roue indique la couleur rouge \fg{} ; 

$B$ : \og Le repère de la première roue indique la couleur bleue \fg{} ; 

$V$ : \og Le repère de la première roue indique la couleur verte \fg{} ; 

$N$ : \og Le repère de la deuxième roue indique la couleur noire \fg{} ; 

$J$ : \og Le repère de la deuxième roue indique la couleur jaune \fg{} ; 

$G$ : \og Le joueur gagne un lot \fg.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré décrivant la situation.\index{Arbre pondéré} 
\item Calculer la probabilité $P(B \cap J)$ de l'évènement $B \cap J$. \index{Probabilités}
\item Démontrer que la probabilité $P(G)$ que le joueur gagne un lot est égale à $0,23$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Un joueur fait quatre parties successives et indépendantes. On rappelle que la probabilité de gagner un lot est égale à $0,23$.
 
Déterminer la probabilité que ce joueur gagne un seul lot sur ces quatre parties.\index{Loi binomiale}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip 

Durant le week-end, un grand nombre de personnes ont tenté leur chance à ce jeu.
 
On note $X$ le nombre de parties gagnées durant cette période et on admet que $X$ suit la loi normale d'espérance $\mu = 45$ et d'écart-type $\sigma = 5$. Déterminer :\index{Loi normale}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item la probabilité : $P( 40 < X < 50)$ ; 
\item la probabilité qu'au moins $50$ parties soient gagnées durant le week-end. 
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats de ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L}

\medskip 
  
\emph{Les parties A et B sont indépendantes.}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
La courbe $C$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ est donnée ci-dessous.

La courbe $C$ passe par les points A$(-1~;~\text{e})$ et B$(0~;~2)$ où e $= \text{exp}(1)$.
 
La tangente à la courbe $C$ au point A est horizontale et la tangente à la courbe $C$ au point B est la droite (BD), où D a pour coordonnées $(2~;~0)$. 

\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-3.5,-3.1)(3.5,4)
\psaxes[linewidth=1pt,xsubticks=5,ysubticks=2](0,0)(-3.5,-3.1)(3.5,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,xsubticks=5,ysubticks=2]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.3}{3.5}{x 2 add 2.71828 x exp div}
\psplot{-2}{3.5}{2 x sub}
\psline{<->}(-1.8,2.71828)(-0.2,2.71828)
\uput[d](3.4,0){$x$}
\uput[r](0,3.9){$y$}
\uput[d](-1,2.71828){A}
\uput[ur](0,2){B}
\uput[u](2,0){D}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}

Pour chacune des affirmations suivantes, recopier sur votre copie le numéro de la question et indiquer, sans justifier, si elle est vraie ou fausse en vous appuyant sur la représentation graphique ci-dessus.

\medskip
 
\emph{Une bonne réponse rapporte $0,5$ point ;  une mauvaise réponse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item L'équation $f(x) = 1$ admet exactement trois solutions dans l'intervalle $[-2~;~3]$.\index{Lectures graphiques} 
\item La fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $[1~;~3]$.\index{Fonction convexe} 
\item $f'(- 1) = 0$. 
\item $f'(0) = - 1$. 
\item $f'(x) \geqslant 0$ sur l'intervalle $[1~;~3]$. 
\item Une primitive $F$ de la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[1~;~3]$.\index{Primitive} 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip  

Pour chacune des affirmations suivantes, recopier sur votre copie le numéro de la question et indiquer, \textbf{en justifiant}, si elle est vraie ou fausse.\index{Vrai--Faux}

\medskip
 
\emph{Une bonne réponse rapporte 1 point ; une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item L'ensemble des solutions de l'inéquation :\: $0,2\ln x - 1 \leqslant 0$ est l'intervalle $[\text{e}~;~+ \infty[$. 
\item On considère la fonction $g$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : $g(x) = x^2 - 2\ln x$.
 
La fonction $g$ est convexe sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.\index{Fonction convexe} 
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats de ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip
 
Une entreprise de produits cosmétiques fait réaliser une étude marketing sur une population donnée. 

\medskip

Cette étude montre que lors de la sortie d'une nouvelle crème hydratante, la probabilité qu'une cliente l'achète lors de la première vente promotionnelle est de $0,2$. 

De plus, lorsqu'une cliente a acheté une crème hydratante lors d'une vente promotionnelle, la probabilité qu'elle en achète à nouveau lors de la vente promotionnelle suivante est de $0,8$. Lorsqu'une cliente n'a pas acheté de crème hydratante, la probabilité pour qu'elle en achète à la vente promotionnelle suivante est de 0,3.
 
$n$ étant un entier naturel non nul, on note :

\medskip
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $a_{n}$ la probabilité qu'une cliente achète une crème hydratante lors de la $n$-ième vente promotionnelle. 
\item[$\bullet~~$] $b_{n}$ la probabilité qu'une cliente n'achète pas une crème hydratante lors de la $n$-ième vente promotionnelle. 
\item[$\bullet~~$] $P_{n} = \left(a_{n}\quad  b_{n}\right)$ la matrice ligne traduisant l'état probabiliste à la $n$-ième vente promotionnelle.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $P_{1}$. 
		\item Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets :\index{Graphe probabiliste}
		 
\hspace{0.75cm}$V$ quand il y a achat ;
 
\hspace{0.75cm}$\overline{V}$ quand il n'y a pas achat.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Écrire la matrice $M$ de transition associée à ce graphe.\index{Matrices} 
		\item Calculer $P_{2}$ et $P_{3}$. D'après ces résultats, quel est l'effet de ces trois premières ventes promotionnelles ?
	\end{enumerate} 
\item Justifier qu'il existe un état stable $P = (a \quad  b)$ pour cette situation. Le déterminer. 
\item L'étude marketing montre que certains produits ne sont jamais achetés simultanément. On représente les incompatibilités par le graphe suivant, où deux sommets reliés représentent deux produits qui ne sont jamais dans une même commande. Par exemple, les produits A et B, représentés par des sommets reliés, ne sont jamais dans une même commande.
 
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9.5,6.4)
\pspolygon(0.5,2.8)(2.5,5.2)(6.2,6)(8.8,2.8)(5.2,0.3)(1.8,0.3)%HABDEF
\psline(2.5,5.2)(5.4,4.3)(7,3.2)(5.2,0.3)(0.5,2.8)(5.4,4.3)(1.8,0.3)(2.5,5.2)%AGCEHGFA
\psline(6.2,6)(5.4,4.3)(5.2,0.3)(2.5,5.2)%BGEA
\uput[u](2.5,5.2){A} \uput[ur](6.2,6){B} \uput[ur](7,3.2){C} \uput[r](8.8,2.8){D} 
\uput[d](5.2,0.3){E} \uput[dl](1.8,0.3){F} \uput[r](5.4,4.4){G} \uput[l](0.5,2.8){H} 
\end{pspicture} 
\end{center}

\bigskip

L'entreprise souhaite répartir les produits dans des lots constitués de produits ne présentant aucune incompatibilité d'achat. Combien de lots doit-elle prévoir au minimum ? Justifier votre réponse à l'aide d'un algorithme et proposer une répartition des produits. 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip 

En 2005, année de sa création, un club de randonnée pédestre comportait $80$~adhérents. Chacune des années suivantes on a constaté que :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item 10\,\% des participants ne renouvelaient pas leur adhésion au club ;
\item $20$ nouvelles personnes s'inscrivaient au club.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On suppose que cette évolution reste la même au fil des ans.

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip 
On donne l'algorithme suivant : \index{Algorithme}

\begin{center}
\begin{tabular}{l |l|}\cline{2-2} 
Entrée :	& Saisir $n$ entier positif\\ \cline{2-2} 
Traitement :&$X$ prend la valeur $80$ \{Initialisation\}\\  
			&Pour $i$ allant de 1 à $n$\\ 
			&\hspace{1cm}Affecter à $X$ la valeur $0,9X + 20$\\  
			&Fin Pour\\  
			&$X$ prend la valeur de $X$ arrondie à l'entier inférieur\\ \cline{2-2} 
Sortie:		&Afficher $X$\\ \cline{2-2}  
\end{tabular}
\end{center} 
 
\begin{enumerate}
\item Pour la valeur $n = 2$ saisie, quelle est la valeur affichée à la sortie de cet algorithme ? 
\item Interpréter dans le contexte du club de randonnée, pour la valeur $n = 2$ saisie, le nombre affiché à la sortie de cet algorithme.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On considère la suite $\left(a_{n}\right)$ définie par $a_{0} = 80$ et, pour tout entier naturel $n,\: a_{n+1} = 0,9a_{n} + 20$. Pour tout entier naturel $n$, on pose : $b_{n} = a_{n} - 200$.\index{Suite} 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $\left(b_{n}\right)$ est une suite géométrique ; préciser sa raison et son premier terme.\index{Suite géométrique} 
		\item Exprimer $b_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate} 
\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : $a_{n} = 200 - 120  \times 0,9^n$. 
\item Quelle est la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$ ?
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item L'objectif du président du club est d'atteindre au moins $180$ adhérents. Cet objectif est-il réalisable ? 
\item Même question si l'objectif du président du club est d'atteindre au moins $300$ adhérents. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip
 
Une entreprise fabrique des pièces métalliques pour la construction automobile. On modélise le bénéfice journalier par la fonction $B$ définie sur $[0~;~10]$ par 

\[B(x) = x + 4\text{e}^{-x} - 5,\]\index{Fonction exponentielle}

où $x$ représente le nombre de pièces produites et vendues, exprimé en centaines, et $B(x)$ représente le bénéfice en milliers d'euros.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $B'(x)$, où $B'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $B$.\index{Dérivée} 
		\item Démontrer que $B'(x)$ s'annule uniquement pour $x = \ln (4)$. 
		\item Calculer les valeurs exactes de $B(0) ; B(10)$ et $B(\ln(4))$. 
		\item Dresser et compléter le tableau de variation de la fonction $B$ sur $[0~;~10]$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que l'équation $B(x) = 0$ possède une solution unique 
		$\alpha$ sur $[\ln(4)~;~10]$. 
		\item Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ de $\alpha$.
	\end{enumerate}		 
\item À partir de combien d'unités produites et vendues l'entreprise sera-t-elle bénéficiaire ? 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%   fin Antilles-Guyane 11 septembre 2013
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Métropole 13 septembre 2013
\hypertarget{Metropolesept}{}

\label{Metropolesept}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small  13 septembre 2013}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES/L Métropole--La Réunion 13 septembre 2013~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,35cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

Un opérateur de téléphonie mobile organise une campagne de démarchage par téléphone pour proposer la souscription d'un nouveau forfait à sa clientèle, composée à 65\,\% d'hommes.
 
Des études préalables ont montré que 30\,\% des hommes contactés écoutent les explications, les autres raccrochant aussitôt (ou se déclarant immédiatement non intéressés). Parmi les femmes, 60\,\% écoutent les explications.
 
On admet que ces proportions restent stables. 

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
On choisit au hasard une personne dans le fichier clients. Chaque personne a la même probabilité d'être choisie.
 
On note $H$ l'évènement \og la personne choisie est un homme \fg,\\
\phantom{On note }$F$ l'évènement \og la personne choisie est une femme \fg,\\ 
\phantom{On note }$E$ l'évènement \og la personne choisie écoute les explications du démarcheur\fg{} et\\  
\phantom{On note }$\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$.

\medskip
 
\textbf{Rappel des notations :}
 
Si $A$ et $B$ sont deux évènements donnés, $P(A)$ désigne la probabilité que l'évènement $A$ se réalise et $P_{B}(A)$ désigne la probabilité de l'évènement $A$ sachant que l'évènement $B$ est réalisé.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre de probabilité proposé ci-dessous :\index{Arbre pondéré} 

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$H$~}\taput{$0,65$}}
		{
\TR{$E$}\taput{\ldots}
\TR{$\overline{E}$}\tbput{\ldots}
 		}
	\pstree{\TR{$F$~}\tbput{\ldots}}
		{
\TR{$E$}\taput{$0,6$}
\TR{$\overline{E}$}\tbput{\ldots}
 		}
}
\end{center}

\item
	\begin{enumerate}
		\item Traduire par une phrase l'évènement $E \cap F$ et calculer sa probabilité. 
		\item Montrer que la probabilité que la personne choisie écoute les explications du démarcheur est égale à $0,405$. 
		\item Le démarcheur s'adresse à une personne qui l'écoute. Quelle est la probabilité que ce soit un homme ? \emph{On donnera le résultat arrondi au centième.}\index{Probabilités}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Les relevés réalisés au cours de ces premières journées permettent également de constater que 12\,\% des personnes interrogées souscrivent à ce nouveau forfait.
 
Chaque employé de l'opérateur effectue 60 appels par jour.
 
On suppose le fichier suffisamment important pour que les choix soient considérés réalisés de façon indépendante et dans des conditions identiques.
 
On note $X$ la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de souscriptions réalisées par un employé donné un jour donné.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. \index{Loi binomiale}
\item Déterminer la probabilité que l'employé obtienne $5$~souscriptions un jour donné. (\emph{On arrondira le résultat au centième}). 
\item Déterminer la probabilité que l'employé obtienne au moins une souscription un jour donné. \emph{On donnera une valeur arrondie au dix millième}. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire--L}

\bigskip

\parbox{0.5\linewidth}{On considère une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-1~;~3]$, deux fois dérivable sur cet intervalle et dont la représentation $\mathcal{C}_{f}$ dans un repère orthonormé est proposée ci-contre.
 
On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$, par $f''$ la fonction dérivée seconde de $f$, par $F$ une primitive de $f$ (On admet l'existence de $F$). 

La droite D est tangente à $\mathcal{C}_{f}$ au point A d'abscisse 1, seul point en lequel la courbe traverse la tangente.
 
L'axe des abscisses est tangent à $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse 2. 

La tangente à $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse 0 est la droite d'équation $y = 4$.} \hfill
\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-2,-1.5)(4,6)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,griddots=5](-2,-1.5)(4,6)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1.99,-1.5)(3.99,5.99)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{3}{x 3 exp x dup mul 3 mul sub 4 add}
\psplot{-0.5}{2.5}{5 3 x mul sub}
\psdots[dotscale=1](1,2)\uput[ur](1,2){A}
\uput[l](-0.8,2.2){\blue $\mathcal{C}_{f}$}
\uput[l](-0.2,5.5){$D$}
\uput[d](3.9,0){$x$}
\uput[r](0,5.9){$y$}
\end{pspicture*}
\end{center}}

\medskip 

Pour chacune des questions ci-dessous, une seule des quatre propositions est exacte.

Indiquez sur votre copie le numéro de la question et la proposition choisie.
 
Une réponse juste apporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.\index{Vrai--Faux}
\index{Lectures graphiques}\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $f$ est convexe sur l'intervalle $[- 1~;~0]$. 
		\item $f$ est concave sur l'intervalle ]1~;~2[. 
		\item $f$ est convexe sur l'intervalle ]1~;~3[. 
		\item $\mathcal{C}_{f}$ est au -dessus de sa tangente au point d'abscisse $- 1$.
	\end{enumerate} \index{Fonction convexe}
\item
	\begin{enumerate}
		\item $f(1) = 5$ 
		\item $f'(1) = 2$ 
		\item $f''(1) = - 3$ 
		\item La tangente à $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse 1 a pour équation $y = -3x + 5$. 
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item $f'(x) > 0$ pour tout $x$ de l'intervalle $]- 1~;~2[$. 
		\item $f'$ est croissante sur l'intervalle ]1~;~2[. 
		\item $f(x) = 0$ si et seulement si $x = 0$ ou $x = 2$ 
		\item $f'(x) \leqslant 0$ pour tout $x$ de l'intervalle $]- 2~;~-1[$. 
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  $\displaystyle\int_{-1}^0 f(x)\:\text{d}x < 0$ 
		\item  $3 < \displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x < 6$ 
		\item  $\displaystyle\int_{-1}^0 f(x)\:\text{d}x = \displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x$ 
		\item  La valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle [0~;~2] est égale à $1$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item $f'$ est croissante sur l'intervalle $]- 1~;~2[$. 
		\item $F$ est croissante sur l'intervalle $]- 1~;~2[$. 
		\item $f$ est croissante sur l'intervalle $]- 1~;~2[$. 
		\item $F(1) > F(2)$
	\end{enumerate}		 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\bigskip
 
\textbf{Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.}

\medskip
 
Un lycée d'une grande ville de province organise un forum des grandes écoles de la région pour aider ses élèves dans leurs choix d'orientation post-bac.

\bigskip
 
\textbf{PARTIE A}

\medskip
 
Une des écoles a effectué une étude sur la mobilité des étudiants de la promotion de 2008 en ce qui concerne les choix de carrière.
 
Elle a relevé qu'en 2008, à la fin de leurs études, 25\,\% des diplômés sont partis travailler à l'étranger alors que le reste de la promotion a trouvé du travail en France.
 
On a observé ensuite qu'à la fin de chaque année, 20\,\% des personnes ayant opté pour l'étranger reviennent sur un poste en France alors que 10\,\% des personnes travaillant en France trouvent un poste à l'étranger. On considère que cette situation perdure.
 
On note $P_{n} = \left(e_{n}\quad  l_{n}\right)$ la matrice correspondant à l'état probabiliste en $2008 + n$, avec $e_{n}$ la probabilité que la personne travaille à l'étranger, $l_{n}$ celle qu'elle travaille en France.\index{Matrices}
 
Ainsi $P_{0} = (0,25\quad 0,75)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Proposer le graphe probabiliste associé à cette situation. On désignera par E (étranger) et F (France) les deux sommets.\index{Graphe probabiliste} 
\item Donner la matrice de transition $M$ associée en prenant les sommets dans l'ordre E puis F. 
\item Montrer qu'en 2011, la proportion des étudiants de la promotion 2008 travaillant à l'étranger est de $30,475$\,\%. 
\item Déterminer l'état stable du graphe probabiliste et interpréter le résultat obtenu.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE B}

\medskip
 
\parbox{0.48\linewidth}{Pour clôturer cette journée, un groupe de lycéens musiciens a décidé d'organiser un concert. 
Ils décident de faire le tour de tous les lycées de la ville et de distribuer des prospectus sur le trajet pour faire de la publicité pour cette soirée. 
Les membres du groupe ont établi le graphe ci-contre. Les sommets représentent les différents lycées et les arêtes, les rues reliant les établissements. Les arêtes sont pondérées par les durées des trajets entre deux sommets consécutifs, exprimées en minutes.}\hfill
\parbox{0.46\linewidth}{\psset{unit=0.6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(10,9)
\cnodeput(0.5,5.5){A}{A}
\cnodeput(2.5,8.5){B}{B}
\cnodeput(4.5,7){C}{C}
\cnodeput(2.5,2){D}{D}
\cnodeput(6.5,3.5){E}{E}
\cnodeput(8.2,8.5){F}{F}
\cnodeput(9.5,0.5){G}{G}
\ncline{A}{B}\ncput*{16}\ncline{A}{D}\ncput*{30}\ncline{G}{D}\ncput*{60}\ncline{G}{F}\ncput*{28}\ncline{B}{F}\ncput*{40}
\ncline{B}{D}\ncput*{36}\ncline{C}{D}\ncput*{32}\ncline{C}{E}\ncput*{15}\ncline{C}{F}\ncput*{27}\ncline{E}{F}\ncput*{30}
\ncline{D}{E}\ncput*{29}\ncline{G}{E}\ncput*{33}
\end{pspicture}
\end{center}} 

\begin{enumerate}
\item Existe- t -il un trajet d'un lycée à un autre permettant de parcourir toutes les rues une fois et une seule ? 

Si oui, donner un tel trajet, si non expliquer pourquoi. 
\item Arrivé en retard au lycée A, un membre du groupe veut trouver le chemin le plus rapide pour rejoindre ses camarades au lycée G. Quel trajet peut-il prendre ? Quelle est alors la durée du parcours ? \index{Algorithme de Dijkstra}
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[-10~;~30]$ par 

\[f(x) = 5 + x \text{e}^{0,2x - 1}.\]\index{Fonction exponentielle}
 
On admet que $f$ est dérivable sur cet intervalle et admet des primitives sur cet intervalle.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Soit $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. 

Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-10~;~30]$, $f'(x) = (0,2x + 1) \text{e}^{0,2x - 1}$.\index{Dérivée} 
\item En déduire le sens de variation de $f$ sur l'intervalle $[-10~;~30]$. 
\item Justifier que l'équation $f(x) = 80$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle [0~;~20] et donner un encadrement de $\alpha$ à $0,1$ près. 
\item Soit $F$ la fonction définie sur $[-10~;~30]$ par 
\[F(x) = 5(x - 5) \text{e}^{0,2x - 1} + 5x.\]
 
On admet que $F$ est une primitive de $f$ dans l'intervalle $[-10~;~30]$.  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur exacte de $I = \displaystyle\int_{5}^{10} f(x)\:\text{d}x$.\index{Intégrale} 
		\item En déduire la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [5~;~10]. (On donnera une valeur arrondie au centième.)\index{Valeur moyenne}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

En 2010, un styliste a décidé d'ouvrir des boutiques de vêtements à prix modérés, tout d'abord dans son pays d'origine, puis dans la communauté européenne et au niveau mondial.
  
Il a utilisé la fonction $f$ définie dans la partie A mais seulement sur l'intervalle $[0~;~20]$ pour modéliser son développement et a désigné par $f(x)$ le nombre de magasins de son enseigne existant en $2010 + x$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $f(0)$ et interpréter le résultat. 
\item En utilisant la partie A, indiquer à partir de quelle année la chaîne possédera 80 boutiques. 
\item Chaque magasin a un chiffre d'affaires journalier moyen de \np{2500}~euros.
 
Si on considère qu'un magasin est ouvert $300$~jours par an, calculer à la centaine d'euros près, le chiffre d'affaires annuel moyen que le styliste peut espérer pour l'ensemble de ses boutiques entre 2015 et 2020. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

Le responsable du foyer des jeunes d'un village a décidé d'organiser une brocante annuelle. Pour la première brocante, en 2012, il a recueilli $110$ inscriptions.
 
D'après les renseignements pris auprès d'autres organisateurs dans les villages voisins, il estime que d'une année sur l'autre, 90\,\% des exposants se réinscriront et que 30 nouvelles demandes seront déposées.
 
On désigne par $u_{n}$ le nombre d'exposants en $(2012 + n)$ avec $n$ un entier naturel.
 
Ainsi $u_{0}$ est le nombre d'exposants en 2012, soit $u_{0} = 110$.\index{Suite}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quel est le nombre d'exposants attendu pour 2013 ? 
\item Justifier que, pour tout entier naturel $n,\: u_{n+1} = 0,9u_{n} + 30$. 
\item Vu la configuration actuelle de la manifestation dans le village, le nombre d'exposants ne peut pas excéder $220$.
 
Recopier et compléter l'algorithme proposé ci-dessous afin qu'il permette de déterminer l'année à partir de laquelle l'organisateur ne pourra pas accepter toutes les demandes d'inscription.\index{Algorithme}

\begin{center}
\begin{tabular}{|l l} 
\textbf{Variables :} &$u$ est un nombre réel \\
					&$n$ est un nombre entier naturel\\
					&\\ 
\textbf{Initialisation :} &Affecter à $u$ la valeur \ldots\\
					& Affecter à $n$ la valeur 2012 \\
					&\\
\textbf{Traitement :}& Tant que \ldots\\ 
					&\hspace{1.25cm}Affecter à $u$ la valeur \ldots\\
					&\hspace{1.25cm}Affecter à $n$ la valeur $n + 1$\\
					&\\ 
\textbf{Sortie :} 	&Afficher \ldots\\
\end{tabular}

\end{center}
 
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_{n} = u_{n} - 300$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,9$.\index{Suite géométrique} 
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n,\: u_{n} = - 190 \times  0,9^n + 300$. 
		\item Déterminer le résultat recherché par l'algorithme de la question 3 en résolvant une inéquation.
	\end{enumerate} 
\item L'organisateur décide d'effectuer une démarche auprès de la mairie pour obtenir assez de place pour ne jamais refuser d'inscriptions. Il affirme au maire qu'il suffit de lui autoriser $300$ emplacements. A-t-il raison de proposer ce nombre ? Pourquoi ? 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%   fin Métropole 13 septembre 2013
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Amérique du Sud novembre 2013
\hypertarget{AmeriqueSud}{}

\label{AmeriqueSud}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small 21 novembre 2013}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat ES/L Amérique du Sud
21 novembre 2013~\decofourright} \end{center}

\vspace{0,35cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

Une entreprise informatique produit et vend des clés USB. La vente de ces clés est réalisée par des commerciaux qui se déplacent aux frais de l'entreprise.

\medskip
 
Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.\index{Vrai--Faux}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La direction de l'entreprise décide de diminuer le budget consacré aux frais de déplacements de ses commerciaux. 

\medskip 
\textbf{Affirmation 1 }: \og Diminuer ce budget de 6\,\% par an pendant 5 ans revient à diminuer ce budget de 30\,\% sur la période de 5 ans \fg. 
\item La production mensuelle varie entre $0$ et \np{10000} clés.
 
Le bénéfice mensuel, exprimé en milliers d'euros, peut être modélisé par la fonction $B$ définie sur l'intervalle [0~;~10] par 

\[B(x) = - x^2 + 10x - 9,\]

où $x$ représente le nombre de milliers de clés produites et vendues.
 
\medskip
 
\textbf{Affirmation 2a}: \og Lorsque l'entreprise produit et vend entre \np{1000} et \np{9000} clés USB, le bénéfice est positif \fg.
 
\medskip
 
\textbf{Affirmation 2b}: \og Lorsque l'entreprise produit et vend \np{5000} clés USB, le bénéfice mensuel est maximal \fg.
 
\medskip
 
\textbf{Affirmation 2c} : \og Lorsque l'entreprise produit et vend entre \np{2000} et \np{8000} clés USB, son bénéfice mensuel moyen est égal à \np{78000}~euros \fg. 
\item Pour contrôler la qualité du stock formé des milliers de clés USB fabriquées chaque année, on sélectionne au hasard un échantillon de \np{4000}~clés. Parmi ces clés, $210$ sont défectueuses.
 
Le directeur des ventes doit stopper toute la chaîne de fabrication des clés USB si la borne supérieure de l'intervalle de confiance, au niveau de confiance 95\,\%, dépasse 7\,\%.
 
\medskip
 
\textbf{Affirmation 3} : \og À l'issue du contrôle, le directeur des ventes stoppera toute la chaîne de fabrication \fg. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip
 
On considère $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = x\text{e}^{- x} + 1.\]
 
On note $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé du plan et $f'$ la fonction dérivée de $f$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout réel $x,\: f'(x) = \text{e}^{- x}(1 - x)$.\index{Dérivée} 
		\item En déduire le sens de variation de $f$ sur $\R$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $[-1~;~0]$. 
		\item Donner un encadrement de $\alpha$ à $10^{- 1}$ près.
	\end{enumerate} 
\item Montrer que l'équation réduite de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $0$ est $y = x + 1$. 
\item L'objectif de cette question est de déterminer la position relative de $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à $T$.
 
À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on a obtenu, pour tout réel $x$, l'expression et le signe de $f''(x)$ où $f''$ désigne la dérivée seconde de $f$.

\begin{center} 
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|l|X|}\hline
&\textbf{Instruction} &\textbf{Réponse}\\ \hline 
1& $f(x) = x*\text{exp}(-x) + 1$ &$x\text{e}^{-x} + 1$\\ \hline 
2& $f''(x) = $ dérivée seconde$[f(x)]$& $\text{e}^{-x}(x - 2)$\\ \hline 
3& résoudre $[\text{e}^{-x}(x - 2) \geqslant 0]$&$x \geqslant 2$\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}
 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le sens de variation de la dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur $\R$. 
		\item Déterminer l'intervalle de $\R$ sur lequel la fonction est convexe puis celui sur lequel elle est concave.\index{Fonction convexe} 
		\item En déduire la position relative de $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à $T$ sur l'intervalle $]-~\infty~;~2]$.
	\end{enumerate}  
\item On a tracé ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et la tangente $T$ dans un repère orthonormé. 

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture*}(-2,-0.666)(2,2.666)
\multido{\n=-2.0000+0.1666}{25}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.25pt,dotsep=1mm](\n,-0.666)(\n,2.666)}
\multido{\n=-0.6666+0.1666}{21}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.25pt,dotsep=1mm](-2,\n)(2,\n)}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-2}{1.6}{x 1 add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{2}{x 2.71828 x exp div 1 add}
\psaxes[linewidth=1pt]{->}(0,0)(-2,-0.666)(2,2.666)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{x 2.71828 x exp div 1 add}
\psline(1,2)(0,1)}
\uput[dl](0,0){O}\uput[dr](1.5,2.5){$T$}
\uput[d](1.9,1.25){\blue $\mathcal{C}_{f}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item On considère la fonction $F$ définie sur $\R$ par 
		
		\[F(x) = \text{e}^{- x}(- 1 - x) + x.\]
		
Montrer que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\R$. 
		\item Calculer, en unités d'aire, l'aire du domaine hachuré compris entre la courbe $\mathcal{C}_{f}$, la tangente $T$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$ puis donner le résultat arrondi à $10^{- 3}$ près. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{ES : Enseignement obligatoire\\
L : Enseignement de spécialité}

\bigskip

Dans un pays, suite à une élection, un institut de sondage publie chaque mois la cote de popularité du président (c'est-à-dire le pourcentage de personnes ayant une opinion favorable à l'action qu'il mène). Ce sondage résulte d'une enquête réalisée auprès d'un échantillon de la population du pays.

\medskip
 
Les enquêtes réalisées révèlent que d'un mois à l'autre :

\setlength\parindent{8mm} 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 6\,\% des personnes qui étaient favorables ne le sont plus ; 
\item[$\bullet~~$] 4\,\% des personnes qui n'étaient pas favorables le deviennent.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

\medskip
 
On interroge au hasard une personne dans la population du pays et on note :

\setlength\parindent{8mm} 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $F_{0}$ l'évènement \og la personne interrogée a une opinion favorable dès l'élection du président \fg{} de probabilité $p_{0}$ et $\overline{F_{0}}$ son évènement contraire ; 
\item[$\bullet~~$] $F_{1}$ l'évènement \og la personne interrogée le 1\up{er} mois a une opinion favorable \fg{} de probabilité $p_{1}$ et $\overline{F_{1}}$ son évènement contraire.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant. \index{Arbre pondéré}

\begin{center}

\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$F_{0}$~}\taput{$p_{0}$}}
	  { 
		  \TR{$F_{1}$}\taput{\ldots}
		  \TR{$\overline{F_{1}}$}\tbput{\ldots}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{F_{0}}$~}\tbput{\ldots}}
	  {
		  \TR{$F_{1}$}\taput{0,04}
		  \TR{$\overline{F_{1}}$}\tbput{\ldots}	
	  }
}
\end{center}
 
		\item Montrer que $p_{1} =  0,9 p_{0} + 0,04$. 
	\end{enumerate} 
\medskip

\emph{Pour la suite de l'exercice, on donne $p_{0} = 0,55$ et on note, pour tout entier naturel $n,\: F_{n}$ l'évènement \og  la personne interrogée le $n$-ième mois a une opinion favorable \fg{} et $p_{n}$ sa probabilité.\\ 
On admet de plus, que pour tout entier naturel $n,\: p_{n+1} = 0,9 p_{n} + 0,04$.} 

\item On considère l'algorithme suivant :\index{Algorithme}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|l X|}\hline 
\textbf{Variables :}& \\
&$I$ et $N$ sont des entiers naturels\\
& $P$ est un nombre réel\\ 
\textbf{Entrée :}&\\
&Saisir $N$\\ 
\textbf{Initialisation :}&\\
&$P$ prend la valeur $0,55$\\ 
\textbf{Traitement :}&\\
&Pour $I$ allant de $1$ à $N$\\ 
& \hspace{1cm} $P$ prend la valeur $0,9P + 0,04$\\
& Fin Pour\\ 
\textbf{Sortie :}&\\
&Afficher $P$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire ce qu'affiche cet algorithme lorsque l'utilisateur entre la valeur 
		$N = 1$. 
		\item Donner le rôle de cet algorithme.
	\end{enumerate} 
\item On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : 
$u_{n} = p_{n} - 0,4$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,9$ et préciser la valeur de son premier terme $u_{0}$.\index{Suite géométrique} 
		\item En déduire l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$ puis l'expression de $p_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(p_{n}\right)$ et interpréter le résultat.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $0,15 \times 0,9^n + 0,4 \leqslant  0,45$. 
		\item Interpréter le résultat trouvé.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip 
 
Une étude est réalisée chaque hiver sur une population composée de personnes qui peuvent pratiquer le ski de piste ou le snowboard.
 
L'étude révèle que :

\setlength\parindent{6mm} 
\begin{itemize}
\item Si une personne pratique le ski de piste, alors la probabilité qu'elle pratique le snowboard l'hiver suivant est égale à $0,2$. 
\item Si une personne pratique le snowboard, alors la probabilité qu'elle pratique le ski de piste l'hiver suivant est égale à $0,3$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
On note $S$ l'état : \og la personne pratique le ski de piste \fg{} et $\overline{S}$ l'état : \og la personne pratique le snowboard \fg.
 
On note également pour tout entier naturel $n$ :
 
\setlength\parindent{6mm} 
\begin{itemize}
\item $p_{n}$ la probabilité qu'une personne pratique le ski de piste lors du $n$-ième hiver ; 
\item $q_{n}$ la probabilité qu'une personne pratique le snowboard lors du $n$-ième hiver; 
\item $P_{n} = \left(p_{n}\quad  q_{n}\right)$ la matrice ligne donnant l'état probabiliste du système lors du $n$-ième hiver.\index{Suite}
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On suppose que la population initiale ne comporte que des personnes pratiquant le ski de piste, on a donc $P_{0} = (1\quad  0)$.

\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Représenter la situation à l'aide d'un graphe probabiliste de sommets $S$ et $\overline{S}$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la matrice de transition $M$ de ce graphe probabiliste. 
		\item Calculer $M^2$. 
		\item Déterminer l'état probabiliste $P_{2}$.
	\end{enumerate} 
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a $p_{n+1} = 0,5 p_{n} + 0,3$. 
\item On considère l'algorithme suivant :\index{Algorithme}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l X|}\hline 
\textbf{Variables :}&\\
\textcircled{1}&$J$ et $N$ sont des entiers naturels\\ 
\textcircled{2}&$p$ est un nombre réel\\ 
\textbf{Entrée :}&\\
\textcircled{3}& 	Saisir $N$\\ 
\textbf{Initialisation :}&\\
\textcircled{4}&$p$ prend la valeur 1\\ 
\textbf{Traitement :}&\\
\textcircled{5}&Pour $J$ allant de $1$ à $N$\\ 
\textcircled{6}&\hspace{0.75cm}$p$ prend la valeur \dotfill.\\ 
\textcircled{7}&Fin Pour\\ 
\textbf{Sortie :}&\\
\textcircled{8}&Afficher $p$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
Recopier et compléter la ligne $\textcircled{6}$ de cet algorithme afin d'obtenir la probabilité $p_{N}$. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On considère, pour tout entier naturel $n$, l'évènement $S_{n}$ : \og la personne pratique le ski de piste lors du $n$-ième hiver \fg. La probabilité de l'évènement $S_{n}$ est notée $p\left(S_{n}\right)$. On a donc $p_{n} = p\left(S_{n}\right)$.
 
On sait d'après la \textbf{partie A} que pour tout entier naturel $n,\: p_{n+1} = 0,5p_{n} + 0,3$.
 
Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n} = p_{n} - 0,6$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,5$ et préciser la valeur de $u_{0}$.\index{Suite} 
\item En déduire l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$ puis l'expression de $p_{n}$ en fonction de $n$. 
\item Déterminer la limite de la suite $\left(p_{n}\right)$ et interpréter le résultat.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip

Une partie du domaine skiable est représentée par le graphe ci-dessous.
 
Le sommet A représente le haut des pistes de ski et le sommet I en représente le bas.

Les sommets B, C, D, E, F, G et H représentent des points de passages.
 
Chacune des arêtes est pondérée par la distance, en centaine de mètres, entre deux sommets.\index{Graphe}

\begin{center} 
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(13,11.5)
\cnodeput(0.3,8){A}{A}
\cnodeput(4.8,10.8){B}{B}
\cnodeput(12.3,8.3){C}{C}
\cnodeput(10.6,3.6){D}{D}
\cnodeput(1.8,4.1){E}{E}
\cnodeput(5.5,6.2){F}{F}
\cnodeput(9.3,0.8){G}{G}
\cnodeput(6.4,3.7){H}{H}
\cnodeput(4,0.4){I}{I}
\ncline{A}{B}\ncput*{7}\ncline{B}{C}\ncput*{13}\ncline{C}{D}\ncput*{12}\ncline{D}{G}\ncput*{5}
\ncline{G}{I}\ncput*{7}\ncline{I}{E}\ncput*{18}\ncline{A}{E}\ncput*{21}\ncline{C}{A}\ncput*{16}\ncline{E}{F}\ncput*{5}
\ncline{F}{C}\ncput*{8}\ncline{B}{D}\ncput*{18} 
\ncline{H}{D}\ncput*{6}\ncline{H}{E}\ncput*{12}
\ncline{H}{I}\ncput*{19}\ncline{H}{G}\ncput*{13}
\ncline{B}{E}\ncput*{15}\ncline{F}{H}\ncput*{7}
\ncline{F}{B}\ncput*{8}
\end{pspicture}
\end{center} 

Déterminer, à l'aide de l'algorithme de Dijkstra, la distance minimale permettant de relier le sommet A au sommet I. 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

\emph{Dans cet exercice, les résultats seront donnés sous forme décimale et arrondis à $10^{-3}$ près. \\
Les parties A et B sont indépendantes.}

\medskip
 
Dans un cabinet d'assurance, une étude est réalisée sur la fréquence des sinistres déclarés par les clients ainsi que leur coût.

\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Une enquête affirme que 30\,\% des clients ont déclaré un sinistre au cours de l'année.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Dans le cadre d'une étude approfondie, on choisit au hasard et de manière indépendante 15 clients.
 
On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de clients ayant déclaré un sinistre au cours de l'année. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la loi de probabilité de $X$ est la loi binomiale de paramètres $n = 15$ et $p = 0,3$. \index{Loi binomiale}
		\item Calculer $P(X \geqslant 1)$.
	\end{enumerate} 
\item Un expert indépendant interroge un échantillon de $100$ clients choisis au hasard dans l'ensemble des clients du cabinet d'assurance. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la proportion de clients ayant déclaré un sinistre au cours de l'année.\index{Intervalle de fluctuation} 
		\item L'expert constate que $19$ clients ont déclaré un sinistre au cours de l'année.
		 
Déterminer, en justifiant, si l'affirmation du cabinet d'assurance : \og 30\,\% des clients ont déclaré un sinistre au cours de l'année \fg{} peut être validée par l'expert.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Selon leur gravité, les sinistres sont classés en catégorie.

\medskip
 
On s'intéresse dans cette question au coût des sinistres de faible gravité sur le deuxième semestre de l'année.
 
On note $Y$ la variable aléatoire donnant le coût, en euros, de ces sinistres.
 
On admet que la variable aléatoire $Y$ suit la loi normale d'espérance $\mu = \np{1200}$ et d'écart-type $\sigma = 200$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité qu'un sinistre de faible gravité ait un coût compris entre \np{1000}~\euro{} et \np{1500}~\euro. 
\item Calculer la probabilité qu'un sinistre de faible gravité ait un coût supérieur à \np{1000}~\euro. 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%   fin Amérique du Sud novembre 2013
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Nouvelle-Calédonie  novembre 2013
\hypertarget{Caledonienov}{}

\label{Caledonienov}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small 18 novembre 2013}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie
18 novembre 2013~\decofourright} \end{center}

\vspace{0,35cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [1~;~10] par 

\[f(x) = x^2 - 14x + 15 + 20\ln x.\]\index{Fonction avec logarithme}

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [1~;~10] on a : 

$f'(x) = \dfrac{2x^2 - 14x + 20}{x}$.\index{Dérivée} 
\item Construire en le justifiant le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~10]. 
\item En déduire le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 3$ dans l'intervalle [1~;~10].
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip
 
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
 
Pour chacune des questions posées une seule des quatre réponses est exacte. 
Recopier le numéro de la question sur la copie et indiquer la lettre correspondant à la réponse choisie.

\medskip
 
Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.
 
Aucune justification n'est demandée.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est définie pour tout nombre réel $x$ par 

\[f(x) = \text{e}^{2x + \ln 2}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item La fonction $f$ est concave. \index{Fonction convexe}
		\item La fonction $f$ possède une fonction dérivée seconde qui s'annule. 
		\item La fonction $f$ possède une fonction dérivée seconde strictement positive. 
		\item La fonction $f$ possède une fonction dérivée qui s'annule. 
	\end{enumerate}
\item Une primitive de $f$ sur $\R$ est définie par : \index{Primitive}
	\begin{enumerate}
		\item $F(x) = 2\text{e}^{2x + \ln 2}$ 
		\item $F(x) = \text{e}^{x^2+ x\ln 2}$ 
		\item $F(x) = \dfrac{1}{2} \text{e}^{2x + \ln 2}$ 
		\item $F(x) = \text{e}^{2x + \ln 2}$ 
	\end{enumerate} 
\item La fonction $g$ est la fonction constante définie pour tout nombre réel $x$ par $g(x) = 2$.
 
L'aire du domaine délimité par les courbes représentatives de $g$ et de $f$, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = \ln 2$ est : \index{Intégrale} 
	\begin{enumerate}
		\item $\displaystyle\int_{0}^{\ln 2}(F(x) - 2x)\:\text{d}x$  
		\item $\displaystyle\int_{0}^{\ln 2}(f(x) + 2)\:\text{d}x$ 
		\item $\displaystyle\int_{0}^{\ln 2}(2 - f(x))\:\text{d}x$ 
		\item $\displaystyle\int_{0}^{\ln 2}(f(x) - 2)\:\text{d}x$ 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire -- L}

\bigskip
 
Le premier janvier 2014, Monica ouvre un livret d'épargne sur lequel elle dépose \np{6000}~euros.
 
Elle décide de verser $900$ euros sur ce livret chaque premier janvier à partir de 2015 jusqu'à atteindre le plafond autorisé de \np{19125}~euros.
 
On suppose dans tout cet exercice que le taux de rémunération du livret reste fixé à 2,25\,\% par an et que les intérêts sont versés sur le livret le premier janvier de chaque année.

\bigskip
 
\textbf{Première partie}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer le montant des intérêts pour l'année 2014 et montrer que Monica disposera d'un montant de \np{7035}~euros sur son livret le premier janvier 2015. 
\item On note $M_{n}$ le montant en euros disponible sur le livret le premier janvier de l'année $2014 + n$. 

On a donc $M_{0} = \np{6000}$ et $M_{1} = \np{7035}$. 

Montrer que pour tout entier naturel $n :\: M_{n+1} = \np{1,0225}M_{n} + 900$.\index{Suite}
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Deuxième partie}

\medskip
 
Monica souhaite savoir en quelle année le montant de son livret atteindra le plafond de \np{19125}~euros.

\medskip
  
\begin{enumerate}
\item Première méthode :
 
On considère la suite $\left(G_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par \mbox{$G_{n} = M_{n} + \np{40000}$}. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(G_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison \np{1,0225}. On précisera le premier terme.\index{Suite géométrique} 
		\item Donner l'expression de $G_{n}$ en fonction de $n$.
		 
En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $M_{n} = \np{46000} \times \np{1,0225}^n - \np{40000}$. 
		\item Déduire de l'expression de $M_{n}$ obtenue en b. l'année à partir de laquelle le plafond de \np{19125}~euros sera atteint.
	\end{enumerate}
\item Deuxième méthode :
 
L'algorithme ci-dessous permet de déterminer l'année à partir de laquelle le plafond sera atteint.\index{Algorithme}

\begin{center}
{\small{
\begin{tabularx}{\linewidth}{r|>{\bf}l X} 
LIGNE&&\\ 
1&  Variables :&MONTANT est un réel\\ 
2&& ANNÉE est un entier\\ 
3&&\\ 
4 & Initialisation:&Affecter à MONTANT la valeur \np{6000}\\ 
5&&Affecter à ANNÉE la valeur 2014\\ 
6&&\\ 
7& Traitement :&Tant que  $\text{MONTANT }< \np{19125}$\\ 
8&&\hspace{0,5cm}Affecter à MONTANT la valeur $\np{1,0225} \times \text{MONTANT } + 900$\\ 
9&&\hspace{0,5cm}Affecter à ANNÉE la valeur ANNÉE $+ 1$\\ 
10&&\\ 
11&  Sortie : &Afficher \og Le plafond du livret sera atteint en \ldots \fg\\ 
12&& Afficher ANNÉE\\
\end{tabularx}
} }
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Il suffit de modifier deux lignes de cet algorithme pour qu'il détermine l'année à partir de laquelle le plafond est atteint pour un montant versé initialement de \np{5000}~euros et des versements annuels de \np{1000}~euros.
		 
Indiquez sur votre copie les numéros des lignes et les modifications proposées. 
		\item Proposez une modification de la boucle conditionnelle pour que l'algorithme affiche également à l'écran le montant disponible au premier janvier de chaque année.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\bigskip

Dans la commune de Girouette, deux partis s'affrontent aux élections tous les ans.
 
En 2010, le parti Hirondelle l'a emporté avec 70\,\% des voix contre 30\,\% au parti Phénix.
 
On admet qu'à partir de l'année 2010 :

\setlength\parindent{8mm} 
\begin{description}
\item[ ] 14\,\% des électeurs votant pour le parti Hirondelle à une élection voteront pour le parti Phénix à l'élection suivante. 
\item[ ] 6\,\% des électeurs votant pour le parti Phénix à une élection voteront pour le parti Hirondelle à l'élection suivante.
\item[ ] Les autres ne changent pas d'avis.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

 
On considère un électeur de Girouette choisi au hasard.
 
On note $H$ l'état \og L'électeur vote pour le parti Hirondelle \fg{} et $P$ l' état \og L'électeur vote pour le parti Phenix \fg.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter le graphe probabiliste associé à cette situation.\index{Graphe probabiliste} 
		\item Déterminer la matrice de transition $M$ en considérant les états dans l'ordre alphabétique.
	\end{enumerate} 
\item On appelle $E_{n} = \left(h_{n}\quad  p_{n}\right)$ la matrice ligne de l'état probabiliste de l'année $2010 + n$.
 
On a donc $E_{0} = (0,7\quad 0,3)$.
 
Déterminer $E_{1}$ et $E_{4}$. (On arrondira les coefficients de $E_{4}$ au centième). Interpréter les résultats. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a : $h_{n+1} = 0,8h_{n} + 0,06$. 
		\item On définit la suite $\left(u_{n}\right)$ par : pour tout entier naturel $n,\: u_{n} = h_{n} - 0,3$.
		 
Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique. 
		\item Montrer que pour tout entier naturel $n,\: h_{n} = 0,3 + 0,4 \times 0,8^n$.
	\end{enumerate} 
\item À partir de combien d'années la probabilité qu'un électeur choisi au hasard vote pour le parti Hirondelle sera-t-elle strictement inférieure à $0,32$ ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

On interroge des français de plus de $15$ ans sur le nombre de langues étrangères qu'ils parlent \og bien \fg, c'est-à-dire qu'ils parlent suffisamment bien pour participer à une conversation. À l'issue du sondage, on observe que l'échantillon des personnes interrogées est partagé en trois catégories :
 
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 44\,\% des personnes interrogées ne parlent \og bien \fg{} aucune langue étrangère. 
\item[$\bullet~~$] 28\,\% des personnes interrogées parlent \og bien \fg{} une langue étrangère. 
\item[$\bullet~~$] 28\,\% des personnes interrogées parlent \og bien \fg{} deux ou plus de deux langues étrangères.
\begin{flushright} 
{\small(d'après EUROBAROMÈTRE 64.3 Commission Européenne 2005)}
\end{flushright}
\end{itemize}

\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
Ces trois catégories seront désignées dans la suite du problème respectivement par L0, L1 et L2+.
 
56\,\% des personnes de la catégorie L1 citent l'anglais comme la langue étrangère qu'elles parlent \og bien \fg. 

73\,\% des personnes de la catégorie L2+ citent l'anglais parmi les langues étrangères qu'elles parlent \og bien \fg.

\medskip
 
On choisit de manière aléatoire une personne de cet échantillon.

\medskip
 
On note
 
$E_{0}$ l'évènement : \og la personne ne parle bien aucune langue étrangère \fg, 

$E_{1}$ l'évènement : \og la personne parle bien une langue étrangère \fg, 

$E_{2+}$ l'évènement : \og la personne parle bien deux ou plus de deux langues étrangères \fg.

$A$ est l'évènement : \og la personne parle bien l'anglais \fg{} et $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$.

\medskip
 
\textbf{Rappel des notations :}
 
Si $A$ et $B$ sont deux évènements donnés, $p(A)$ désigne la probabilité que l'évènement $A$ se réalise et $P_{B}(A)$ désigne la probabilité de l'évènement $A$ sachant que l'évènement $B$ est réalisé.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant pour qu'il traduise les données de l'expérience aléatoire décrite dans l'énoncé : \index{Arbre pondéré}

\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,levelsep=3cm,labelsep=1pt,nodesepB=2.5pt]{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=1.5pt]{\TR{$E_{0}$~}}
	  {\TR{$A$}\taput{0}
		  \TR{$\overline{A}$}\tbput{1}	   
	  }
	\pstree[nodesepA=1.5pt]{\TR{$E_{1}$~}}
	  {\TR{$A$}
		  \TR{$\overline{A}$}
	  }
	\pstree[nodesepA=1pt]{\TR{$E_{2+}$~}}
	  {\TR{$A$}
		  \TR{$\overline{A}$}
	  }	
}
\end{center} 

Dans la suite de l'exercice les résultats seront donnés, éventuellement arrondis, au dix millième. 
\item Calculer la probabilité que la personne choisie soit de la catégorie L1 et qu'elle ne parle pas \og bien \fg{} l'anglais.\index{Probabilités} 
\item Calculer la probabilité que la personne choisie ne parle pas \og bien \fg{} l'anglais. 
\item Calculer la probabilité que la personne soit de la catégorie L2+ sachant qu'elle parle \og bien \fg{} l'anglais. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 5}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

\emph{Les résultats seront donnés sous forme décimale, arrondis au dix millième, ou sous forme de pourcentage arrondis à $0,01$\,\%.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Le lendemain d'une épreuve de mathématiques au baccalauréat, on corrige un échantillon de $160$~copies choisies au hasard parmi l'ensemble des copies et on a observe que $78$~copies ont obtenu une note supérieure ou égale à 10. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la proportion des copies de l'échantillon ayant obtenu une note supérieure ou égale à 10. 
		\item Déterminer un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95\,\% de la proportion des copies qui obtiendront une note supérieure ou égale à 10 dans l'ensemble des copies. \index{Intervalle de confiance}
		\item Quelle devrait être la taille de l'échantillon pour obtenir un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95\,\% d'amplitude inférieure à $0,04$ ?
	\end{enumerate} 
\item À l'issue du premier groupe d'épreuves on désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à un candidat choisi au hasard parmi l'ensemble des candidats, associe sa moyenne générale.
 
Un correcteur propose de considérer que la variable aléatoire $X$ suit une loi normale de moyenne $10,5$ et d'écart-type $2$.\index{Loi normale}
	\begin{enumerate}
		\item Si ce correcteur a raison, quel intervalle centré en $10,5$ devrait contenir 95\,\% des moyennes des candidats ? 
		\item À l'aide de la calculatrice ou de la table fournie en annexe, calculer \mbox{$P(X > 12)$}. 
		\item Lors des délibérations de jury à l'issue du premier groupe d'épreuves, les candidats ayant obtenu une moyenne supérieure ou égale à 10 sont déclarés admis. Il est aussi d'usage, par exemple, lorsqu'un candidat a obtenu une moyenne inférieure mais très proche de 10 et lorsque le dossier de ce candidat met en avant la qualité de son travail au cours de l'année, de le déclarer admis et de porter à 10 sa moyenne.
		 
Le graphique figurant en annexe 2 permet de visualiser les notes moyennes d'environ 330 000 candidats à l'issue des délibérations des jurys du premier groupe d'épreuves du baccalauréat 2001. 

Commenter la forme du graphique et ses éventuelles irrégularités.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 
\newpage

\begin{center}\textbf{\large Annexe 1}
\end{center}
 
\textbf{Extrait de la table de la loi normale pour \boldmath $\mu = 10,5 $\unboldmath\: et\: \boldmath $\sigma = 2$ \unboldmath}
 
\vspace{0,5cm}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{2}{ c|>{\centering \arraybackslash} X||}c|>{\centering \arraybackslash} X|}\hline 
$t$ &$p(X \leqslant t)$&$t$ &$p(X \leqslant t)$&$t$ &$p(X \leqslant t)$\\ \hline\hline
10& \np{0,4013} &11 &\np{0,5987} &12 &\np{0,7734}\\ \hline
10,1 &\np{0,4207} &11,1 &\np{0,6179} &12,1 &\np{0,7881}\\ \hline 
10,2 &\np{0,4404} &11,2 &\np{0,6368} &12,2 &\np{0,8023}\\ \hline 
10,3 &\np{0,4602} &11,3 &\np{0,6554} &12,3 &\np{0,8159} \\ \hline
10,4 &\np{0,4801} &11,4 &\np{0,6736} &12,4 &\np{0,8289} \\ \hline 
10,5 &\np{0,5000} &11,5 &\np{0,6915} &12,5 &\np{0,8413}\\ \hline 
10,6 &\np{0,5199} &11,6 &\np{0,7088} &12,6 &\np{0,8531}\\ \hline 
10,7 &\np{0,5398} &11,7 &\np{0,7257} &12,7 &\np{0,8643}\\ \hline 
10,8 &\np{0,5596} &11,8 &\np{0,7422} &12,8 &\np{0,8749}\\ \hline 
10,9 &\np{0,5793} &11,9 &\np{0,7580} &12,9 &\np{0,8849}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\vspace{0,5cm}
 
\begin{center}\textbf{\large Annexe 2}

\bigskip

\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.2cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-6.8)(20,41)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psset{linewidth=0.1pt, linecolor=darkgray}
\multido{\n=0.0+0.5}{41}{\psline(\n,0)(\n,41)}
\multido{\n=0+5}{9}{\psline(0,\n)(20,\n)}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=5, ylabelFactor=\,000](0,0)(-.001,0)(20,41)
\savedata{\donnees}[{{0.25,.03},}{.75,.05},{1.25,.1},{1.75,.08},{2.25,.05},{2.75,.06},{3.25,.4},{3.75,.8},{4.25,1.8},{4.75,2.2},{5.25,2.5},{5.75,2.7},{6.25,4.2},{6.75,5.8},{7.25,8.5},{7.75,9.8},{8.25,22},{8.75,22.5},{9.25,28},{9.75,27.5},{10.25,40.2},{10.75,28},{11.25,27.5},{11.75,18},{12.25,23},{12.75,14.9},{13.25,12.5},{13.75,7},{14.25,8.5},{14.75,5},{15.25,3},{15.75,2.4},{16.25,2.6},{16.75,1}{17.25,.6},{17.75,.2},{18.25,.1},{18.75,.05},{19.25,.01},{19.75,.005}}]
\dataplot[plotstyle=bar,barwidth=.25,fillstyle=solid,fillcolor=lightgray,linewidth=.75pt, linecolor=black]{\donnees}
\uput[l](0,0){\footnotesize{0}}
\rput(10,-5){(Source: Direction de la Programmation et du Développement,} \rput(10,-6.80){Ministère de la Jeunesse de l'Education nationale et de la Recherche, 2002) }
\end{pspicture} 
\end{center}
%%%%%%%%%%%%   fin Nouvelle-Calédonie  novembre 2013
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Nouvelle-Calédonie  7 mars 2014
\hypertarget{Caledoniemars}{}

\label{Caledoniemars}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small 7 mars  2014}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie
7 mars  2014~\decofourright} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

Une classe est composée de 17 filles dont 8 étudient le russe et 9 l'allemand et de 23 garçons dont 12 étudient le russe et 11 l'allemand.
 
Chaque élève étudie une et une seule de ces deux langues vivantes.
 
On choisit un élève au hasard dans la classe et on définit les évènements :

\setlength\parindent{8mm} 
\begin{description}
\item[ ] $F$ l'évènement : \og L'élève choisi est une fille \fg{}; 
\item[ ] $G$ l'évènement : \og L'élève choisi est un garçon \fg{}; 
\item[ ] $R$ l'évènement : \og L'élève choisi étudie le russe \fg{};
\item[ ] $A$ l'évènement : \og L'élève choisi étudie l'allemand \fg.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm} 

\medskip
  
\textbf{Rappel des notations :}

Si $X$ et $Y$ sont deux évènements, $P(X)$ désigne la probabilité que l'évènement $X$ se réalise et $P_{Y}(X)$ désigne la probabilité que l'évènement $X$ se réalise sachant que l'évènement $Y$ est réalisé.
 
$\overline{X}$ désigne l'évènement contraire de l'évènement $X$.

\medskip
 
Chaque résultat sera exprimé sous forme décimale exacte ou sous la forme d'une fraction irréductible.
 
On pourra utiliser un tableau ou un arbre.\index{Arbre pondéré}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $P(G),\: P(R \cap G)$ et $P(R)$.\index{Probabilités} 
\item Quelle est la probabilité que l'élève choisi soit une fille qui étudie l'allemand ? 
\item L'élève choisi étudie le russe. Calculer la probabilité que cet élève soit un garçon. 
\item On procède successivement deux fois au choix d'un élève de la classe. Le même élève peut être choisi deux fois. 

Calculer la probabilité de l'évènement: \og Les deux élèves choisis n'étudient pas la même langue \fg. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\bigskip
 
On a observé l'évolution des inscriptions dans le club de gymnastique d'une ville.

\medskip
 
Chaque année, 30\,\% des personnes inscrites au club de gymnastique l'année précédente renouvellent leur inscription au club.
 
De plus, chaque année, 10\,\% des habitants de la ville qui n'étaient pas inscrits au club l'année précédente s'y inscrivent.
 
On appelle $n$ le nombre d'années d'existence du club.
 
On note $g_{n}$ la proportion de la population de la ville inscrite au club de gymnastique lors de l'année $n$ et $p_{n}$ la proportion de la population qui n'est pas inscrite.

\medskip
 
La première année de fonctionnement du club (année \og zéro \fg), 20\,\% des habitants de la ville se sont inscrits. On a donc $g_{0} = 0,2$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel. Que vaut la somme $g_{n} + p_{n}$ ? 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que, pour tout entier naturel $n,\: g_{n+1} = 0,3g_{n} + 0,1p_{n}$.\index{Suite} 
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n,\: g_{n+1} =  0,2g_{n} + 0,1$.
	\end{enumerate} 
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_{n} = g_{n} - 0,125$.
 
Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.\index{Suite géométrique} 
\item Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
\item Montrer que pour tout entier $n,\: g_{n} = 0,125 + 0,075 \times  0,2^n$.
 
Comment la proportion de la population de la ville inscrite au club de gymnastique évolue-t-elle au cours des années ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,35cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

On a observé l'évolution des inscriptions dans le club de gymnastique d'une ville.

\medskip
 
Chaque année, 30\,\% des personnes inscrites au club de gymnastique l'année précédente renouvellent leur inscription au club.
 
De plus, chaque année, 10\,\% des habitants de la ville qui n'étaient pas inscrits au club l'année précédente 
s'y inscrivent.

\medskip
 
On appelle $n$ le nombre d'années d'existence du club.
 
On note $g_{n}$ la proportion de la population de la ville inscrite au club de gymnastique lors de l'année $n$ et $p_{n}$ la proportion de la population qui n'y est pas inscrite.
 
La première année de fonctionnement du club (année \og zéro \fg), 20\,\% des habitants de la ville se sont inscrits.
 
On note $E_{n} = \left(g_{n}\quad  p_{n}\right)$ la matrice traduisant l'état probabiliste de l'année $n$. On a donc $E_{0} = (0,2\quad  0,8)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste.\index{Graphe probabiliste} 
\item On nomme $A$ la matrice de transition associée à cette situation, c'est-à-dire la matrice vérifiant : pour tout entier naturel $n,\: E_{n+1} = E_{n} \times  A$.\index{Matrices}
 
Donner la matrice $A$. 
\item Déterminer $E_{1}$ et $E_{2}$. Interpréter les résultats. 
\item Déterminer l'état probabiliste stable (on donnera les coefficients de la matrice ligne sous la forme de fractions irréductibles).
 
Comment peut-on interpréter ce résultat ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,35cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Pour chacune des affirmations ci-dessous, indiquer si elle est vraie ou fausse et \textbf{justifier la réponse}.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La fonction $G$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 

\[G(x) = x \ln x - x + 10\]

 est une primitive de la fonction $g$ définie sur l'intervalle 
$]0~;~+ \infty[$ par 

$g(x) = \ln x$. 
\item On a l'égalité : 	$\displaystyle\int_{0}^1	\left(x^2 + 1\right)\:\text{d}x = \dfrac{1}{3}$. 
\item Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle $[0~;~1]$.
 
On a alors : $E(X) = 1$. 
\item Dans une population, la proportion de garçons à la naissance est $p = 0,51$.
 
L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la proportion de garçons dans un échantillon de taille $100$ est (en arrondissant les bornes à $0,001$ près) : $[0,412~;~0,608]$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,35cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [2~;~5] par 

\[f(x) = (3 - x) \text{e}^x + 1,\]\index{Fonction exponentielle}

soit $f'$ sa fonction dérivée et soit $f''$ sa fonction dérivée seconde.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $[2~;~5]$, 

$f'(x) = (2 - x) \text{e}^x$ et $f''(x) = (1 - x) \text{e}^x$.\index{Dérivée} 
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[2~;~5]$. 
\item Justifier que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[2~;~5]$.
 
Montrer que : $3 < \alpha < 4$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $T$ la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d'abscisse $3$.
		 
Montrer que $T$ a pour équation $y = - \text{e}^3 x + 3 \text{e}^3 + 1$. 
		\item Déterminer les coordonnées du point d'intersection de la droite $T$ et de l'axe des abscisses. 
		\item Étudier le signe de $f''(x)$ sur l'intervalle $[2~;~5]$ et en déduire la convexité ou la concavité de $f$ sur cet intervalle. \index{Fonction convexe}
		\item En déduire que : $\alpha < 3 + \dfrac{1}{\text{e}^3}$. 
 
On a donc : $3 < \alpha < 3 + \dfrac{1}{\text{e}^3} < 3,05$.
	\end{enumerate} 
\item On considère l'algorithme suivant :\index{Algorithme}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|m{2,5cm}X} 
\textbf{Variables :}& $a, b, m$ et $r$ sont des nombres réels \\
\textbf{Initialisation :} &Affecter à $a$ la valeur 3\\
& Affecter à $b$ la valeur 3,05\\ 
\textbf{Entrée :} &Saisir $r$\\ 
\textbf{Traitement :}& TANT QUE $b - a > r$\\ 
&\hspace{0,5cm} Affecter à $m$ la valeur $\dfrac{a+b}{2}$\\ 
&\hspace{0,5cm} SI $f(m) > 0$\\
&\hspace{1cm} ALORS Affecter à $a$ la valeur $m$\\
&\hspace{1cm} SINON Affecter à $b$ la valeur $m$\\
&\hspace{0,5cm} FIN SI \\
&FIN TANT QUE\\ 
\textbf{Sortie :}& Afficher $a$.\\
&Afficher $b$\\
\end{tabularx}
\end{center}
 
	\begin{enumerate}
		\item Faire fonctionner l'algorithme précédent avec $r = 0,01$ en recopiant et complétant le tableau ci-dessous. On arrondira au millième les valeurs de $f(m)$. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.9cm}|*{7}{@{}>{\centering \arraybackslash\small}X@{}|}}\hline
&$b - a$& \mbox{ $b - a > r$ }&$m$ &$f(m)$ &\mbox{$f(m) > 0$} &$a$ &$b$ \\
\end{tabularx}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.9cm}|*{7}{@{}>{\centering \arraybackslash}X@{}|}}\hline
Initiali\-sation	&		&	&		&		&	& 3 	&3,05\\ \hline 
étape 1				& 0,05 	&oui&3,025 	&0,485 	&oui&3,025 	&3,05 \\ \hline
étape 2				&		&	&		&		&	&		&\\ \hline 
étape 3				&		&	&		&		&	&		&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

		\item Interpréter les résultats trouvés pour $a$ et $b$ à la fin de l'étape 3.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 
%%%%%%%%%%%%   fin Nouvelle-Calédonie  7 mars 2014
\printindex
\end{document}